Progressão Aritmética - · PDF fileObs.: Emumaprogressãoaritmética,paraavançarumtermobasta,somararazão;para avançardoistermos,bastasomarduasrazões;eassimpordiante. Logo,deum

Progressão Aritmética

Prof. Gustavo Adolfo Soares

CEFET - Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca

Prof. Gustavo Adolfo Soares Progressão Aritmética

Definição

Uma Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números (a1, a2, . . . , an, . . .)(n ∈ N) na qual a diferença entre cada termo an+1 e o seu antecessor an é constante.Essa diferença é chamada de razão e a representaremos por r.


Ex.1:

Uma fábrica de automóveis produziu 400 veículos em Janeiro e aumenta mensalmentesua produção de 30 veículos. Quantos veículos produziu em Junho?


Classificação

Uma progressão Aritmética pode ser classificada das seguintes formas:

P.A. é crescente ⇔ r > 0.P.A. é decrescente ⇔ r < 0.P.A. é estacionária ⇔ r = 0.


Ex.2:

Diga qual(is) das sequências abaixo é (são) progressão(ões) aritmética(s) e, em casoafirmativo, classifique-a(s):

a) (2, 5, 8, 11, . . .)

b)(1

3,1

3,1

3,1

3, . . .

)c) (7, 3,−1,−5, . . .)d) (1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .)


Ex.2:


a) (2, 5, 8, 11, . . .)

b)(1

3,1

3,1

3,1

3, . . .

)

c) (7, 3,−1,−5, . . .)d) (1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .)


Ex.2:


a) (2, 5, 8, 11, . . .)

b)(1

3,1

3,1

3,1

3, . . .

)c) (7, 3,−1,−5, . . .)

d) (1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .)


Ex.2:


a) (2, 5, 8, 11, . . .)

b)(1

3,1

3,1

3,1

3, . . .

)c) (7, 3,−1,−5, . . .)d) (1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .)


Por que o nome da sequência é progressão ARITMÉTICA?

Consideremos uma progressão aritmética de três termos: a, b e c. Por definição,podemos afirmar que:

r = b− a = c− b

⇔ 2b = a+ c⇔ b =a+ c

2

Ou seja, dados três termos consecutivos quaisquer de uma progressão aritmética, otermo central é igual à média ARITMÉTICA dos outros dois.




r = b− a = c− b⇔ 2b = a+ c

⇔ b =a+ c

2





r = b− a = c− b⇔ 2b = a+ c⇔ b =a+ c

2





r = b− a = c− b⇔ 2b = a+ c⇔ b =a+ c

2



Termo Geral

Por definição, temos que:

a2 − a1 = ra3 − a2 = ra4 − a3 = r..................an−1 − an−2 = ran − an−1 = r

⇒ an − a1 = (n− 1) · r ⇒ an = a1 + (n− 1) · r


Termo Geral



⇒ an − a1 = (n− 1) · r

⇒ an = a1 + (n− 1) · r


Termo Geral



⇒ an − a1 = (n− 1) · r ⇒ an = a1 + (n− 1) · r


Ex.3:

O preço de um carro novo é R$ 15.000,00 e diminui de R$ 1.000,00 a cada ano de uso.Qual será o preço com 4 anos de uso?


Obs.:

Em uma progressão aritmética, para avançar um termo basta, somar a razão; paraavançar dois termos, basta somar duas razões; e assim por diante. Logo, de ump−ésimo termo a um n−ésimo termo, basta somar (n− p) razões. Portanto,

an = ap + (n− p) · r


Obs.:

Em uma progressão aritmética, para avançar um termo basta, somar a razão; paraavançar dois termos, basta somar duas razões; e assim por diante. Logo, de ump−ésimo termo a um n−ésimo termo, basta somar (n− p) razões. Portanto,

an = ap + (n− p) · r


Ex.4:

Em uma progressão aritmética, o quinto termo vale 30 e o vigésimo termo vale 50.Quanto vale o oitavo termo dessa progressão?


Ex.5:

Os lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética. Calcule-os,sabendo que o perímetro do triângulo é igual a 24 cm.

Obs.: Ao representar uma progressão aritmética com um número ímpar de termos, éconveniente nomear o termo central de x.


Ex.5:

Os lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética. Calcule-os,sabendo que o perímetro do triângulo é igual a 24 cm.

Obs.: Ao representar uma progressão aritmética com um número ímpar de termos, éconveniente nomear o termo central de x.


Ex.6:

Determine quatro números em progressão aritmética crescente, conhecendo sua soma 8e a soma de seus quadrados 36.

Obs.: Ao representar uma progressão aritmética com um número par de termos, éconveniente nomear os dois termos centrais de x− y e x+ y.


Ex.6:

Determine quatro números em progressão aritmética crescente, conhecendo sua soma 8e a soma de seus quadrados 36.

Obs.: Ao representar uma progressão aritmética com um número par de termos, éconveniente nomear os dois termos centrais de x− y e x+ y.


Caracterização de uma Progressão Aritmética

Do termo geral de uma progressão aritmética, temos que:

an = ap + (n− p) · r ⇒

⇒ an = ap + r · n− p · r ⇒⇒ an = r︸︷︷︸

A

·n+ ap − p · r︸︷︷︸B

⇒

⇒ an = An+B




an = ap + (n− p) · r ⇒⇒ an = ap + r · n− p · r ⇒

⇒ an = r︸︷︷︸A

·n+ ap − p · r︸︷︷︸B

⇒

⇒ an = An+B




an = ap + (n− p) · r ⇒⇒ an = ap + r · n− p · r ⇒⇒ an = r︸︷︷︸

A

·n+ ap − p · r︸︷︷︸B

⇒

⇒ an = An+B




an = ap + (n− p) · r ⇒⇒ an = ap + r · n− p · r ⇒⇒ an = r︸︷︷︸

A

·n+ ap − p · r︸︷︷︸B

⇒

⇒ an = An+B


Ex.7:

Qual o valor da soma dos inteiros de 1 até 100?


Soma dos n primeiros termos

Generalizando...

Sn = a1 + a2 + a3 + . . .+ an−2 + an−1 + an ⇒

⇒ Sn = a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + . . .+ (an − 2r) + (an − r) + an ⇒⇒ Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + . . .+ (a1 + an)⇒

⇒ Sn = (a1 + an) ·n

2



Generalizando...

Sn = a1 + a2 + a3 + . . .+ an−2 + an−1 + an ⇒⇒ Sn = a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + . . .+ (an − 2r) + (an − r) + an ⇒

⇒ Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + . . .+ (a1 + an)⇒

⇒ Sn = (a1 + an) ·n

2



Generalizando...

Sn = a1 + a2 + a3 + . . .+ an−2 + an−1 + an ⇒⇒ Sn = a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + . . .+ (an − 2r) + (an − r) + an ⇒⇒ Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + . . .+ (a1 + an)⇒

⇒ Sn = (a1 + an) ·n

2



Generalizando...

Sn = a1 + a2 + a3 + . . .+ an−2 + an−1 + an ⇒⇒ Sn = a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + . . .+ (an − 2r) + (an − r) + an ⇒⇒ Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + . . .+ (a1 + an)⇒

⇒ Sn = (a1 + an) ·n

2


Ex.8:

Qual é o valor da soma dos 20 primeiros termos da progressão aritmética (2, 6, 10, . . .)?


Ex.9:

Calcule a soma dos n primeiros números ímpares.


Caracterização da soma dos n primeiros termos de uma P.A.

Pela soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, temos que:

Sn = (a1+an)·n

2

= [a1+a1+(n−1)·r]·n2= (2a1+rn−r)·

n

2=(r2

)︸︷︷︸A

·n2+[(2a1 − r)

2

]︸︷︷︸

B

·n

⇒ Sn = An2 +Bn




Sn = (a1+an)·n

2= [a1+a1+(n−1)·r]·n

2

= (2a1+rn−r)·n

2=(r2

)︸︷︷︸A

·n2+[(2a1 − r)

2

]︸︷︷︸

B

·n

⇒ Sn = An2 +Bn




Sn = (a1+an)·n

2= [a1+a1+(n−1)·r]·n

2= (2a1+rn−r)·

n

2

=(r2

)︸︷︷︸A

·n2+[(2a1 − r)

2

]︸︷︷︸

B

·n

⇒ Sn = An2 +Bn




Sn = (a1+an)·n

2= [a1+a1+(n−1)·r]·n

2= (2a1+rn−r)·

n

2=(r2

)︸︷︷︸A

·n2+[(2a1 − r)

2

]︸︷︷︸

B

·n

⇒ Sn = An2 +Bn




Sn = (a1+an)·n

2= [a1+a1+(n−1)·r]·n

2= (2a1+rn−r)·

n

2=(r2

)︸︷︷︸A

·n2+[(2a1 − r)

2

]︸︷︷︸

B

·n

⇒ Sn = An2 +Bn


Ex.10:

A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por

Sn = 4n2 − 6n, n ∈ N∗.

Determine o primeiro termo e a razão.


Ex.11:

(AFA) Se a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada pelafórmula

Sn =3n2 + n

2,

então a soma do quarto com o sexto termo dessa progressão aritmética é

(A) 25 (B) 28 (C) 31 (D) 34


Ex.12:

(ITA) Seja a1, a2, ... uma progressão aritmética infinita tal que

n∑k=1

a3k = n√2 + πn2,

para n ∈ N∗. Determine o primeiro termo e a razão dessa progressão.


Progressão Aritmética de 2a ordem

Uma Progressão Aritmética de 2a ordem é uma sequência numérica na qual asdiferenças entre termos consecutivos constituem uma progressão aritmética crescenteou decrescente.


Ex.13:

Qual é o número máximo de regiões em que n retas podem dividir o plano?


Ex.14:

A sequência (an) = (6; 2; 0; 0; 2; 6; . . .) é uma progressão aritmética de segunda ordem.Quanto vale seu termo geral an?


Ex.15:

(UENF) Observe a sequência numérica a seguir: (0, 3, 8, 15, 24, ...)Determine, em relação a essa sequência:

a) seu 6o termo;b) a expressão do termo de ordem n.


Ex.16:

(MACKENZIE) Na sequência numérica (4, 7, a3, a4, a5, ...), sabe-se que as diferençasbn = an+1 − an, n ≥ 1, formam uma progressão aritmética de razão 2. Então, a15 éigual a:

(A) 172 (B) 186 (C) 200 (D) 214 (E) 228


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