1

TRIGONOMETRÍA

LA TRIGONOMETRÍA, ¿PARA QUÉ SIRVE?

El problema básico de la trigonometría es algo parecido a esto: Estás cerca de un ancho río y necesitas conocer la distancia hasta la otra orilla, digamos hasta el árbol marcado en el dibujo por la letra C (para simplificar, ignoremos la 3ª dimensión). ¿Cómo hacerlo sin cruzar el río?

La forma habitual es como sigue. Clave dos postes en el suelo en los puntos A y B, y mida con una cinta la distancia “c” entre ellos (base del triángulo).

Luego extraiga el poste del punto A y sustitúyalo por un telescopio de topógrafo "teodolito", contando con una placa dividida en 360 grados, marque la dirección (azimut) a la que apunta el telescopio. Dirigiendo el telescopio primero hacia el árbol y luego hacia el poste

B, mide el ángulo A del triángulo ABC, igual a la diferencia entre los números que ha leído de la placa de azimut. Sustituya el poste por el teodolito en el punto B y mida de la misma forma el ángulo B. La longitud “c” de la base y los dos ángulos A y B es todo lo que necesita para conocer el triángulo ABC, suficiente, por ejemplo, para construir un triángulo de la misma forma y mismo tamaño, en un sitio más conveniente.

La trigonometría (de trigón = triángulo) en un principio, fue el arte de calcular la información perdida mediante simple cálculo. Dada la suficiente información para definir un triángulo, la trigonometría te permite calcular el resto de las dimensiones y de ángulos.

¿Por qué triángulos? Porque son los bloques básicos de construcción para cualquier figura rectilínea que se pueda construir. El cuadrado, el pentágono u otro polígono puede dividirse en triángulos por medio de líneas rectas radiando desde un ángulo hacia los otros.

Para medir un terreno, los topógrafos lo dividen en triángulos y marcan cada ángulo con un "punto de referencia", que hoy en día es a menudo, una placa de latón redonda fijada en el suelo con un agujero en el centro, sobre el que ponen sus varillas y teodolitos (George Washington hizo este trabajo cuando era un adolescente). Después de medir la base, como la AB en el ejemplo del río, el topógrafo medirá (de la forma descrita aquí) los ángulos que se forman con el punto C y usará la trigonometría para calcular las distancias AC y BC. Estas pueden servir como base de 2 nuevos triángulos, que a su vez suministrarán bases para

Un antiguo telescopio De topógrafo (teodolito).

Figura 10

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dos más..., y de esta forma construirá más y más triángulos hasta que se cubra el terreno completo, con una red que tiene distancias conocidas. Posteriormente, se puede añadir una red secundaria, subdividiendo los triángulos grandes y marcando sus puntos con estacas de hierro, que proporcionarán distancias conocidas adicionales en las que se pueden basar los mapas o los planos.

Un gran proyecto de reconocimiento del siglo XIX fue la "Gran Planimetría Trigonométrica" de la India británica. Se construyeron para el proyecto los mayores teodolitos, monstruos con escalas circulares de 36" de ancho, cuyas lecturas se hacían de manera precisa con 5 microscopios. Cada uno con su caja pesaba media tonelada y se necesitaban 12 hombres para trasladarlo. Usándolos, el proyecto cubrió el país con múltiples cadenas de triángulos en las direcciones norte-sur y este-oeste (las áreas entre las cadenas se dejaron para más tarde) y se necesitaron décadas para completarla.

En 1843 Andrew Scott Waugh, se encargó del proyecto como Inspector General y puso especial atención a las montañas del Himalaya del norte de la India. Debido a las nubes y a la niebla, esas montañas se ven raramente desde las tierras bajas, y hasta 1847 no se consiguieron varias mediciones. Después de haberse hecho, los resultados necesitaron ser analizados laboriosamente por "computadores" en las oficinas de inspección; no eran máquinas sino personas que efectuaban los cálculos trigonométricos.

La historia dice que en 1852, el jefe de los "computadores" fue hacia el director y le dijo: "Señor, hemos descubierto la mayor montaña del mundo". Desde una distancia de más de 100 millas (160 km), observaron la montaña desde seis estaciones diferentes, y "no dio lugar a que el observador sospechara que estaba viendo a través de su telescopio el punto más alto de la Tierra". Al principio se la designó como "Pico XV" por la inspección, pero en 1856 Waugh la denominó Everest, en memoria de Sir George Everest su predecesor, en la oficina de jefe de inspectores. El Everest fue el primero en registrarse y en usar los teodolitos gigantes; ahora están expuestos en el "Museum of the Survey of India" en Dehra Dum.

Hoy en día se puede localizar de forma muy precisa la posición de un punto sobre la Tierra, usando el sistema de posicionamiento global (GPS) de 24 satélites en órbita exacta, que están difundiendo constantemente su posición. Un pequeño instrumento electrónico de mano recibe sus señales y devuelve nuestra posición con un error de 10-20 metros (aún es más preciso para usos militares, los patrocinadores del sistema). Se usa una gran cantidad de trigonometría, pero lo hace todo la computadora que está dentro de su aparato, lo único que usted necesita es pulsar los botones apropiados.

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3

LA TRIGONOMETRÍA

Es la rama de la geometría, que estudia las relaciones numéricas entre los lados y los ángulos de los triángulos

.

Las razones trigonométricas

Consideremos el triángulo rectángulo de referencia

Tomando en consideración el triángulo ABC y el ángulo α , pueden definirse las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo así:

Un ángulo es positivo, si OA se rota en sentido contrario al giro de las agujas del reloj hasta 0B. Un ángulo es negativo, si OA se rota en el mismo sentido del giro de las agujas del reloj hasta 0B.

• El origen 0 es el vértice de ángulo y las semirrectas 0A y 0B son los lados del ángulo. • 0A es el lado inicial y 0B es el lado terminal. • El ángulo A0B= α se genera mediante la rotación del lado 0A hasta el lado 0B • Los ángulos pueden denominarse con letras del alfabeto griego: .,,,,,, φσλγδβα • También puede denominarse BA0⊄ , que se lee como ángulo A0B.

• Un radián es el ángulo central de una circunferencia al que le corresponde un arco de longitud igual al radio. Si 360º=2π radianes 180º =π radianes de donde 1 radián = 180º/π = 57,30º

Un ángulo, es la posición del plano limitada por dos semirrectas que poseen un origen común.

• Para convertir de grado a radianes, multiplicamos el valor del ángulo en grado por π /180º. • Para convertir de radianes a grado, se multiplica el valor del ángulo en radianes por 180º/π .

AB = c: Hipotenusa BC = a: Cateto opuesto al ángulo α AC = d: Cateto adyacente al ángulo α

A

B C

c a

d α

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4

Se llama seno de α a la razón entre el cateto opuesto BC y la hipotenusa AB: AB

BCSen =)(α

Se llama coseno de α la razón entre el cateto adyacente AC y la hipotenusa AB: AB

ACCos =)(α

Se llama tangente de α a la razón entre el cateto opuesto

BC y el cateto adyacente AC: ACBCTan =)(α

Razones trigonométricas recíprocas

Se llama cotangente de α a la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto: CB

ACCotg =)(α

Se llama secante de α a la razón entre la hipotenusa AB y el cateto adyacente AC: AC

ABSec =)(α

Se llama cosecante de α a la razón entre la hipotenusa AB y el cateto opuesto BC: BC

ABCsc =)(α

Identidad fundamental de la trigonometría

Consideremos el triángulo rectángulo mostrado en la figura. Apliquemos el Teorema de Pitágoras a dicho triángulo.

(Hipotenusa)2 = (Cateto)2 + (Cateto)2

De acuerdo al triángulo rectángulo ABC se tiene que: 222 )()()( BCABAC += ,

Luego, dividimos toda la igualdad por (AC)2 y nos queda:

( )( )

( )( ) ( )2

22

22

2 )(ACBC

ACAB

ACAC

+= ,

Por la propiedad de la potenciación, se puede representar así: 222

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ACBC

ACAB

ACAC

Luego, según la definición de las razones trigonométricas se tiene que: Si AC es la hipotenusa, AB es el cateto opuesto del ánguloα y BC es el cateto adyacente del ánguloα , entonces:

αSenACAB

= , αCosACBC

= .

Y por propiedad de inverso en la multiplicación 1=ACAC

,

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Por lo tanto, si se sustituye estas igualdades en la anterior, nos queda:

( ) ( )221 αα CosSen += .

De esta manera la expresión:

( ) ( ) 122 =+ αα CosSen

representa la identidad fundamental de la trigonometría, en función al triángulo rectángulo y a uno de sus ángulos agudos.

Ejercicios propuestos

1- Marca con una X la opción “V” si consideras el enunciado como verdadero o la opción “F” si lo consideras falso:

• La trigonometría, estudia la simetría de las figuras planas V F

• La identidad fundamental de la trigonometría es llamada teorema de Euclides V F

• Las razones trigonométricas parten de un triángulo rectángulo V F

• La razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente se llama cotangente de α V F

• Para hallar la identidad fundamental hay que aplicar el teorema de Pitágoras V F

• El seno al cuadrado de un ángulo más el coseno al cuadrado del mismo ángulo es igual a la unidad

V F

• La secante de α es una razón trigonométrica recíproca del coseno V F

• El cateto adyacente más el cateto opuesto es igual a la hipotenusa V F

RESUMEN DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

Las identidades pitagóricas:

1. 122 =+ xCosxSen

2. xSecxTan 22 1 =+

3. xCscxCotg 22 11 =++

Las identidades del cociente:

4. xCosxSenxTan =

5. xSenxCosxCotg =

Las identidades recíprocas:

6. xSen

xCsc 1=

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6

7. xCos

xSec 1=

8. xTan

xCotg 1=

Ejercicios:

2. Sabiendo que 43

=αSen , calcular el resto de las identidades trigonométricas

3. Dado que la 3223

=φTan , calcular φCos y φSen

4. Sabiendo que 32

30=βSec , calcular βSen y βCotg

5. Sabiendo que 22

22

nmnmCos

+−

=α ,encontrar αCotg

6. Si ϕϕϕϕϕ 22

22

exp21

CotgSecCosTanresiónladevalorelhallarSen

+−

=

7. ϕϕϕϕϕϕ 2

22

22

exp3 CosCosSecCotgSenresiónladevalorelhallarSen +

++

=

8. Dado el triángulo de la derecha, calcular las

razones trigonométricas del ángulo α

α 1-a

1+a

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RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Observación: Muchas veces se toman las razones trigonométricas como conceptos aislados, sin considerar el

ángulo. Ejemplo: Cos, Sen, etc. Esto no tiene sentido

Estas razones existen en función de un ángulo, lo correcto es, por ejemplo:

Sen 60°, Cosθ , Tan 2π

, entre otras.

Los ángulos considerados en estas definiciones son ángulos agudos, es decir,

menores de º90 .

Ejemplo 1: Dado el triángulo rectángulo que se muestra en la siguiente figura, calcular las razones trigonométricas del ángulo agudo mayor.

El cateto opuesto al ángulo α es AC = 8, el cateto adyacente al ángulo α es AB = 6 y la

hipotenusa del triángulo es BC = 10, entonces las razones trigonométricas del ángulo α son:

43

86C ,

35

610 ,

45

810

;34

68 ,

53

106 ,

54

108

======

======

ααα

ααα

otgSecCsc

TanCosSen

Ejemplo 2: Calcular las razones trigonométricas para el ángulo 45°

El ángulo agudo mayor es ∠ B = α, porque está frente al cateto de mayor longitud.

C

B A

8 10

6 α

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8

C

∠ A = ∠ C = 45° y ∠ B = 90°

L

m

B L A 45°

45°

Dibujemos un triángulo con

dos lados iguales:

Tenemos la longitud de los dos catetos del triángulo rectángulo CB = L y BA = L, necesitamos

la longitud de la hipotenusa 22 LLmAC +== (Utilizando el Teorema de Pitágoras)

⇒== 22 22 LLm L2=m

Con este resultado podemos concluir entonces que, para un triángulo rectángulo con dos lados

iguales la hipotenusa es igual a L2 .

Entonces, ya tenemos los valores de los catetos L y de la hipotenusa L2=m , procederemos

a calcular las razones trigonométricas para el ángulo 45º:

21

245 =

//

==°L

LmLSen

Racionalizando el denominador 2 , nos queda:

22

22

21 45º =⋅=Sen

22 45º =⇒ Sen

22

21

245 ====°

LL

mLCos

2245 =°⇒ Cos

145 ==°LLTan 1 45º =⇒ Tan

⇒==°

=° 111

45145

TanCotg 145º =Cotg

22

22

145

145 ==°

=°Cos

Sec ⇒ 245 =°Sec

⇒==°

=° 2

22

145

145Sen

Csc 2 45º =Csc

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Ejemplo 3: Determinar los valores de todas las razones trigonométricas del ángulo 60°. Utilizaremos un triángulo equilátero, en el cual llamaremos “L” a la medida de cada lado.

Trazamos la bisectriz del ángulo C y obtenemos el triángulo rectángulo � ADC

Aplicamos el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ADC, para hallar la altura CD ,

del triángulo Δ ABC:

2

22

2CDLL +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

43

44

2222222

2 LCDLLCDCDLL =⇒−=⇒+=⇒

4

34

3 22 LCDLCD =⇒=⇒ LCD23

=⇒

Con este resultado, podemos concluir que para un triángulo equilátero de lado L, su altura es:

LCD23

= .

Como es un triángulo equilátero entonces

LBCABAC === Esto implica que sus ángulos deben tener la misma medida, por lo tanto:

CBA ∠=∠=°=∠ 60

L L

L

C

A B

60°

60° 60°

Los catetos son “CD ” y “2L

”

y la hipotenusa es “L”.

C

∠ A = 60°, ∠ ACD = 30°, ∠ D = 90°

CDAD, son catetos y AC es la hipotenusa

60°

30° 30° L

A D B

h

½ L

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Ahora, con los datos del triángulo rectángulo ACD, catetos e hipotenusa, calculemos ahora

las razones trigonométricas del ángulo 60°

2360

232

3

60 =°⇒=/

/⋅==° Sen

L

L

LCDSen

⇒=/

/==°

21

2260

LL

L

L

Cos2160 =°Cos

3232

2

23

2

60 =//

/===°

LL

L

L

LCDTan 3º60 =⇒ Tan

⇒===° 22

11

º60160

CosSec 260 =°Sec

332

32

23

160Sen

160Csc ===°

=°3

3260 =°⇒ Csc

33

31

60160 ==

°=°

TgCotg

3360 =°⇒ Cotg

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN EL PLANO CARTESIANO

Hasta ahora lo que hemos visto es la definición de las razones trigonométricas sólo para ángulos agudos, representados en un triángulo, pero si tenemos una manera de medir el ángulo en forma más general, podremos extender esta función a otros números reales.

La circunferencia trigonométrica es una circunferencia de radio uno, en la que se inscriben los ángulos, con el vértice en su centro. También en su centro se ubica el origen de un sistema de coordenadas ortogonales ),( yx . En la circunferencia trigonométrica se considera que los ángulos están orientados; se atribuye un signo al sentido de giro: si los ángulos se miden desde el eje X , crecen positivamente en sentido contrario al de las agujas del reloj, pero, si se miden en sentido horario los ángulos serán negativos.

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El punto ),( yxP está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo

α con la parte positiva del eje X . Observe que al inscribir un triángulo rectángulo en la

circunferencia unitaria, la hipotenusa de dicho triángulo siempre vale 1, es decir, 122 =+ yx .

Además, los ejes cartesianos dividen el plano en 4 partes, llamadas cuadrantes, I C, II C, III C y

IV C.

En el primer cuadrante (I C) el ángulo es agudo, es decir º900 ≤≤ α

En el segundo cuadrante (II C) el ángulo α está entre º90 y º180 es decir, º180º90 ≤< α

En el tercer cuadrante (III C) el ángulo α está entre º180 y º270 es decir, º270º180 ≤< α

En el cuarto cuadrante (IV C) el ángulo α está entre º270 y º360 es decir, º360º270 ≤< α

y

x α

O X

Y

r

I C

),( yxP

y α

X

YII C

rx

),( yxP

y

xα

X

Y

III C r ),( yxP ),( yxP

y

x α

X

Y

IV C

r

x

y

O

1=r

α

),( yxP

x

y

O

-α

),( yxP

1=r

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Relaciones Trigonométricas En base a lo anterior, podemos establecer las relaciones entre el ángulo que genera la rotación

del segmento OP y las magnitudes del punto ),( yxP .

Las seis relaciones trigonométricas para el ángulo α se definen en la siguiente tabla:

a. Seno del ángulo α . Es la razón entre la ordenada “ y ”

(cateto opuesto) y la distancia del punto P al origen O ,

OPr = (la hipotenusa) 22 yx

yrySen

+==α

b. Coseno del ángulo α : es la razón entre la abscisa “ x ”

(cateto adyacente) y la distancia del punto P al origen

O, OPr = (la hipotenusa) 22 yx

xrxCos

+==α

c. Tangente del ángulo α : Es la razón entre la ordenada

“ y ” (cateto opuesto) y la abscisa “ x ” (cateto adyacente)

del punto P cuando esta última es diferente de cero.

xyTan =α

0≠x

d. Cotangente del ángulo α . Es la razón entre la abscisa

“ x ” (cateto adyacente) y la ordenada “ y ”(cateto

opuesto), cuando esta última es diferente de cero.

yxCo =αtg

0≠y

e. Secante del ánguloα : Es la razón entre la distancia al

origen OP y la abscisa “ x ”, cuando esta última es

diferente de cero.

xyx

xrSec

22 +==α

0≠x

f. Cosecante del ángulo α : Es la razón entre la distancia

al origen OP y la ordenada “ y ”, cuando esta última

es diferente de cero.

yyx

yrCsc

22 +==α

0≠y

),( yxP

IV C

α

y

O X

x

Y

III C

II C I C

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Es importante hacerte notar:

• Si el punto ),( yxP , se encuentra en el eje Y entonces x =0; por tanto, la tangente y la secante de esos ángulos, como 90° y 270° no están definidas, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales.

• Si el punto ),( yxP está en el eje X entonces 0=y , en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0° y 180° tampoco está definida.

• Para todos los ángulos, lo valores del Seno y del Coseno son números reales, ya que 0≠r

Debido a que xyxr ≥+= 22 y yyxr ≥+= 22 , tenemos que:

• Los valores del αSen y αCos varían entre -1 y +1.

• La αTan y la αCotg son ilimitadas, y pueden tomar cualquier valor real.

• La αSec y la αCsc son mayores o iguales que +1 o menores o iguales que -1.

Como se ha podido ver anteriormente, el valor de las relaciones trigonométricas no depende de la longitud de r , pues las proporciones son sólo función del ángulo.

Por ejemplo, si queremos determinar el valor del Seno del ángulo de º45 , necesitamos determinar un punto ),( yxP en el plano, cuyo segmento al origen )0,0(O forme un ángulo de

º45 con el eje X . Consideremos el segmento OP , cuyo punto es )1,1( en el IC y divide el primer cuadrante en dos partes iguales, como se muestra en la siguiente figura:

Calculamos la distancia r del punto )1,1(P al origen: 211 22 =+=r y entonces

22

21º45 ===

rySen .

¿Qué resultado obtendríamos si tomamos, en lugar del punto )1,1(P el punto )3,3(P , cuyo

segmento OP también divide el primer cuadrante?

)1,1(P

º45

1

O X

1

Y I C

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Calculamos la distancia r del punto )3,3(P al origen: 23189933 22 ==+=+=r y

entonces 22

21

233º45 ====

rySen .

¡El resultado obtenido es el mismo! ¿Por qué?

¿Fue casual el resultado anterior? NO, la justificación que sigue lo confirma. Si no fuera así, las definiciones anteriores no serían buenas definiciones, pues a un mismo ángulo α le asignarían distintos valores de αSen y distintos valores de αCos .

Si tomamos una recta que es la prolongación del segmento, en este caso, que bisecta el primer cuadrante, es decir, que forma un ángulo de º45 con el eje X , para cualquier punto sobre dicha recta, las relaciones trigonométricas para el ángulo son iguales, por lo tanto podemos decir:

Veamos a continuación algunos ejemplos, donde dado un punto ),( yxP en el plano, se buscan

los valores de las relaciones trigonométricas del ángulo α , formado por el eje positivo X y el

segmento OP .

Ejemplo 4: Determinar las relaciones trigonométricas del ángulo α , que forma el segmento OP en el plano con el eje positivo X , donde el punto P es (3,4).

º45 O X3

Y

I C3 )3,3(P

Los valores de las relaciones trigonométricas de un ángulo α son independientes del punto que se tome sobre el lado terminal del ángulo.

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Representamos el punto )4,3(P en el plano cartesiano:

Calculamos la distancia del punto P al origen O :

52516943 2222 ==+=+=+= yxOP

Luego determinamos las relaciones trigonométricas del ánguloα , según las definiciones

anteriores:

431,

351,

451

34,

53,

54

======

===

αα

αα

αα

ααα

tgCotg

CosSec

SenCsc

TanCosSen

Ejemplo 5: Determinar las relaciones trigonométricas del ángulo β , formado por los

segmentos OXyOP , donde el punto es )3,2( −P .

Representamos el punto )3,2( −P en el plano cartesiano:

Calculamos la distancia del punto P al origen O :

( ) ( )

13

1394

32 2222

=

=+=

−+=+=

OP

yxOP

Luego calculamos las relaciones trigonométricas del ángulo β :

Y

X

P (2,-3)

O β

-3

2

O

Y

3

)4,3(P 4

X

5=OP

α

4

P

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16

13133

133 −

=−

=βSen ; 13

132132

==βCos ; 23−

=βTan

2131

==β

βCos

Sec ; 3131 −

==β

βSen

Csc ; 321 −

==β

βTan

Cotg

SIGNOS DE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS El signo de las relaciones trigonométricas varía según el cuadrante en el que se encuentre

ubicado el punto ),( yxP y por lo tanto, el ángulo de referencia.

Para realizar este estudio de los signos, consideraremos las relaciones definidas

anteriormente. Recordemos que la distancia entre dos puntos, en este caso, la distancia de un

punto ),( yxP al origen de coordenadas, siempre es positiva (en este caso la distancia es “ r ”).

rySen =α

rxCos =α

xyTan =α

0>x I C

0>y + + +

0<x I I C 0>y + - -

0<x I I I C 0<y - - +

0>x I V 0<y - + -

y

x α

O X

Y

r

I C

),( yxP

y α

X

YII C

rx

),( yxP

y

xα

X

Y

III C r ),( yxP ),( yxP

y

x α

X

Y

IV C

r

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17

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES.

Presentamos en la siguiente tabla, los valores de las relaciones trigonométricas para los ángulos notables: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°.

α 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° Sen α 0

21

22

23

1 0 -1 0

Cos α 1

23

22

21

0 -1 0 1

Tan α 0

31

1 3 No

existe 0 No

existe 0

Sec α 1

332

2 2 No

existe -1 No

existe 1

Csc α No existe

2 2 3

32

1 No existe

-1 No existe

Cotg α No existe

3 1

33

0 No

existe 0 No

existe

Ejercicios propuestos:

9. Para el triángulo rectángulo ABC, calcular las razones

trigonométricas de los ángulos α y β , sabiendo que la

longitud de los catetos son b = 2 y c= 4.

10. Dado el punto A(2,3) en el plano, el

triángulo AOB es un triángulo

rectángulo. Calcular las relaciones

trigonométricas del ángulo α .

11. Dado el punto A(-1,4) en el plano, el

triángulo AOB es un triángulo rectángulo.

Calcular las relaciones trigonométricas del ángulo

β .

B c a A b C

α

β

α

3

Β(2,0)

Α(2,3)

O X

Y

β

4

B(-1,0)

A(-1,4)

O X

Y

P

rohib

ida su

Ven

ta

Mat

erial

de

Apoyo

exc

lusivo

p

ara

uso

didác

tico

19

12. Determine (sin calculadora) los valores de las siguientes expresiones:

a.) 5 Sen 2 45º + 8 Cos 2 30º b.) 3 Sen 30º + 6 Cos 2 45º c.) 5 Tan 2 45º + 2 Sec2 45º

d.) 6 Tan 30º + 2 Csc 45º e.) 4 Cos 60º + 5 Csc 30º f.) Sen2 30º + Sec245º

g.) ºº

º30Csc 45Csc30º Sen 30 Tan

22

22

++

h.) º30Cosº30Sen

30º Csc º30Sen 22 +

+ i.)

º45Sec º45Cos30º Sen º45Sen

22

22

+

+

j.) Csc2 45º + Cos2 30º

13. Determine el valor de “ x ” en las siguientes figuras.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

10

30°

x

60°

15 x

45°

30 x

x 25

5

15

x

3 4

3

12

13

x

x

6

10

xx+2

30°

2 x

x+3

π/4

x

P

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Ven

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Mat

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de

Apoyo

exc

lusivo

p

ara

uso

didác

tico

20

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE DOS ÁNGULOS

¿Será cierto que ( ) º60º30º60º30 CosCosCos +=+ ?

Cálculos rápidos nos demuestran que no, mientras que:

( ) º900º60º30 CosCos ==+ ,

por otro lado se tiene que:

02

1321

236030 ≠

+=+=°+° CosCos

Nota: Basta que no se cumpla para un caso para decir que la proposición no se cumple.

Recordando que nuestro objetivo es aprender a utilizar las relaciones trigonométricas y no demostrarlas, les daremos a continuación las fórmulas correspondientes a las relaciones trigonométricas para la suma y resta de dos ángulos:

1) ( ) βαβαβα SenCosCosSenSen ⋅+⋅=+ 2) ( ) βαβαβα SenCosCosSenSen ⋅−⋅=−

3) ( ) βαβαβα SenSenCosCosCos ⋅−⋅=+ 4) ( ) βαβαβα SenSenCosCosCos ⋅+⋅=−

5) ( )βα

βαβαTanTan

TanTanTan⋅−

+=+

1 6) ( )

βαβαβα

TanTanTanTanTan⋅+

+=−

1

Así, con estas fórmulas a mano, podemos calcular Cos (30° + 60°). Utilizando la fórmula del

Coseno de la suma de dos ángulos:

( ) º60º30º60º30º60º30 SenSenCosCosCos ⋅−⋅=+

043

43

23

21

21.

23

=−=

⋅−=

Es decir, ( ) º900º60º30 CosCos ==+

Estas fórmulas son muy útiles al calcular relaciones trigonométricas de ángulos no notables. Veamos a continuación algunos ejemplos:

Ejemplo 6: Hallar el º105Sen y º105Tan

P

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Ven

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Apoyo

exc

lusivo

p

ara

uso

didác

tico

21

Podemos descomponer el ángulo 105° como la suma de dos ángulos notables. Es decir, 105° = 60° + 45°.

Entonces:

a) )º45º60(º105 += SenSen

Aplicamos la fórmula (1) : º45.º60º45º.60)º45º60(º105 SenCosCosSenSenSen +=+=

⇒⋅+⋅=22

21

22

23

42

46

+

9659,04

26≈

+=

b) )º45º60(º105 += TanTan

Aplicamos la fórmula (5) : )º45º60( +Tan = °°−

°+°45.601

4560TanTan

TanTan

= 7321,33131

1.3113

−≈−+

=−

+

Respuesta: 9659,0º105 =Sen y 7321,3º105 −=Tan

Ejemplo 7: Sea 1312 y

54 −=−= βα CosCos . Hallar ( ) ( )βαβα −− Seny Cos sabiendo

que α está en el segundo cuadrante y β β en el tercer cuadrante.

Para resolver este ejercicio usaremos las fórmulas trigonométricas (4) y (2):

( ) βαβαβα SenSenCos ⋅+⋅=− Cos Cos (Ec. 4)

( ) βαβαβα SenCosSenS ⋅−⋅=− Cos en (Ec. 2)

Conocemos el αCos y el βCos , pero no sabemos cuánto valen el αSen y el βSen .

Para hallarlos, utilizamos la identidad fundamental trigonométrica que dice:

αα

αα

αα

2

22

22

Cos-1

11Sen

±=⇒

−=⇒

=+

Sen

CosSenCos

Cálculo de αSen

Como II∈α cuadrante, entonces ,0>αSen por lo tanto αα 21 CosSen −= . Observe que se toma la parte positiva de la raíz.

P

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Mat

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p

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uso

didác

tico

22

25161

541

2

−=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−= αα SenSen

259

251625

=⇒−

=⇒ αα SenSen

53

259

=⇒=⇒ αα SenSen ⇒ 53

=αSen

Ahora aplicamos el mismo criterio para hallar el βSen .

Cálculo de βSen :

Sabemos que III∈β cuadrante, entonces 0<βSen , por lo tanto ββ 21 CosSen −−= .

135

16925

16925

169144169

1691441

13121

2

−=−=−=−

−=−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−=βSen

Entonces 135

−=βSen

De manera que volviendo a la ecuación (4), sustituimos los valores encontrados:

( ) βαβαβα SenSenCosCosCos ⋅+⋅=− (Ec. 4)

( ) =− βαCos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −13

553

1312

54

( ) =− βαCos6533

651548

6515

6548

=−

=− ( )6533

=−⇒ βαCos

Ahora veamos la ecuación (2) y sustituimos

( ) βαβαβα SenCosCosSenSen ⋅−⋅=− (Ec. 2)

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

135

54

1312

53βαSen

( ) =− βαSen6556

652036

6520

6536

−=−−

=−− ( )6556

−=−⇒ βαSen

Respuesta: ( )6533

=− βαCos y ( )6556

−=− βαSen

Ahora bien, utilizando estos dos resultados, ¿Podemos determinar el cuadrante donde está ubicado el ángulo “ βα − ”?

P

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23

Sí es posible, pues ( ) 0>− βαCos y ( ) 0<− βαSen , por lo tanto βα − está ubicado en el IV C (cuadrante).

Ejemplo 8: Dada la siguiente expresión, identifique cuál de las fórmulas vistas anteriormente se aplica para evaluarla y determine el resultado numérico (sin calculadora):

º7º52º7º52 SenCosCosSen ⋅−⋅

Revisando las fórmulas para las relaciones trigonométricas de la suma o resta de ángulos, tenemos que la fórmula ( 2 ) es la aplicable a la expresión, entonces

( ) º45º7º52º7º52º7º52 SenSenSenCosCosSen =−=⋅−⋅

Respuesta: 22º7º52º7º52 =⋅−⋅ SenCosCosSen

Ejercicios Propuestos: 14. Utilizando las fórmulas de las relaciones trigonométricas de la suma y resta de dos

ángulos, probar:

a) ααα CosSenSen ⋅= 2)2(

b) ααα 22)2( SenCosCos −=

c) α

αα 2122

TanTanTan

−=

Sugerencia, hacer αβ = .

15. Utilizando las fórmulas anteriores probar:

a) 2

212 αα CosSen −=

b) 2

212 αα CosCos +=

c) ααα

21212

CosCosTan

+−

=

A continuación resolveremos algunos ejercicios, donde se utilizarán las fórmulas de las

relaciones trigonométricas ya vistas.

Ejemplo 9: Sea α un ángulo en el segundo cuadrante, tal que 135

=αSen .

P

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24

Hallar ααα 2y 2 ,)2( TanCosSen

Para hallar las relaciones trigonométricas del ángulo doble, necesitaremos las relaciones del ángulo simple Cos α y Tan α.

De la identidad fundamental 122 =+ αα CosSen , obtenemos lo siguiente:

αα 21 SenCos −±= ,

Además sabemos que α está en el II C (cuadrante) luego 0<αCos , y 135

=αSen ,

2

1351 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=αCos

16925169

169251 −

−=−−=⇒ αCos

⇒−=−=−=⇒1312

169144

169144αCos

1312−

=αCos

( )( ) 12

51312135

1312

135

−=

−=

−==

ααα

CosSenTan

125−

=⇒ αTan

Ya tenemos las relaciones trigonométricas simples, entonces:

169120

1312

1352222 −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒⋅= αααα SenCosSenSen

1691202 −=⇒ αSen

169119

16925144

16925

169144

135

131222

2222 =

−=−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⇒−= αααα CosSenCosCos

144251

1210

1251

1252

tan1tan22 22

−

−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−

=α

ααTan ( ) ( )( ) ( ) 119

1201191214410

1441191210

14425144

1210

2 −=

××

−=

−

=−

−

=αTan

1191202 −

=⇒ αTan

Respuesta: 1691202 −=αSen ,

1691192 =αCos y

1191202 −

=αTan

P

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tico

25

Ejemplo 10: Una fotógrafa quiere tomarle una foto a una vasija que mide 40 cm. y está en un pedestal de 30 cm. Ella desea colocar la cámara en un punto C del piso, de manera que los ángulos subtendidos por la vasija y el pedestal sean idénticos.

¿A qué distancia desde el pedestal debe colocar la cámara? Es decir, cuánto vale “b”.

A partir de la figura, tenemos un triángulo rectángulo CBA, por lo tanto b

30Tan =α y tenemos

que la bb

Tan 7030402 =+

=α

bTan 702 =α . Ahora sustituimos el valor de αTan en la fórmula de α2Tan :

⇒

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⇒−

= 22 301

30270

122

b

bbTan

TanTanα

αα

2

9001

6070

b

bb −

=

2

2 900

6070

bb

bb −

= , resolvemos y despejamos el valor de b

( ) ⇒−

=bb

bb 900

60702

2

⇒−

=900

60702b

bb

( ) 22 6090070 bb =−

22 606300070 bb =− , despejando obtenemos:

α C α

2 α

b

30 cm.

40 cm.

A

B

P

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uso

didác

tico

26

⇒= 6300b 4,79≈b

Respuesta: La cámara debe colocarse aproximadamente a 79,4 cm. del pedestal.

RESUMEN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

A continuación presentamos un resumen de las identidades trigonométricas estudiadas hasta el momento.

a.) α

=αSen

Csc 1 b.)

α=α

Cos1Sec

c.) ααα

CosSenTan = d.)

αα

TanCotg 1

=

e.) 122 =+ αα CosSen f.) αα 22 1 CosSen −=

g.) αα 22 1 SecTan =+ h.) αα 22 1 CscCot =+

i.) ( ) βαβαβα SenCosCosSenSen ⋅+⋅=+ j.) ( ) βαβαβα SenCosCosSenSen ⋅−⋅=−

k.) ( ) βαβαβα SenSenCos ⋅−⋅=+ Cos Cos l.) ( ) βαβαβα SenSenCos ⋅+⋅=− Cos Cos

m.) β⋅α−

β+α=β+α

TanTanTanTan)(Tan

1 n.)

β⋅α+β−α

=β−αTanTan

TanTan)(Tan1

o.) ααα CosSenSen .22 = p.) 22.2 ααα SenCosCos −=

q.) α

αα 2122

tantanTan

−= r.)

2212 α−

=αCosSen

s.) 2

2Cos1Cos 2 α+

=α t.) ααα

21212

CosCosTan

+−

=

EJERCICIOS PROPUESTOS: 16. Demuestre que las siguientes expresiones son iguales a uno (1), utilizando las

identidades trigonométricas estudiadas.

a) (Sen α) (Cotg α) (Sec α)

b) (Cos2 θ) (tan2θ + 1)

c) (Cosβ) ( tanβ) ( Cscβ)

P

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tico

27

d) (Tan2θ ) (Csc2θ - 1) 17. Hallar las relaciones trigonométricas para el ángulo α , utilizando valores conocidos de

los ángulos notables de 30º y 45º

a) α = 75º b) α = 15º

18. Calcular las relaciones trigonométricas de los ángulos “ βα + ” y “ βα − ” sabiendo que

α y β están en el primer cuadrante :

a) Sen α = 53

, Sen β = 13

132

b)Tan α = 21

, Cotg β = 41

P

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28

SOLUCIÓN Y APLICACIONES DE TRIÁNGULO RECTÁNGULOS.

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Uno de los triángulos de mayor utilidad en trigonometría es el rectángulo. Herramienta tan útil

para resolver diversos problemas, que su solución resulta de vital importancia. Para resolver un

triángulo rectángulo debemos conocer las relaciones trigonométricas ya estudiadas en las

lecturas anteriores.

Ejemplo 1: ¿ Podrías determinar físicamente la distancia más corta entre los puntos B y C de

la siguiente figura?

Lago

Este problema, al igual que los otros relacionados con distancias que no pueden medirse en

forma directa, se puede resolver con la ayuda de las razones trigonométricas.

Observamos que el triángulo ABC tiene un ángulo recto ∠ C y un ángulo de 60° en el vértice

A.

El tramo de A a C queda sobre el terreno y puede medirse directamente. Si AC = 3 Km.,

determinamos BC como sigue:

⇒=°⇒=∠3

60 BCTanACBCATan ⇒=

33 BC

mBC 33=

B

A 3 Km.

C 60°

P

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29

Respuesta: La distancia más corta entre los puntos B y C es kmBC 33= .

Ejemplo 2: Dado el siguiente triángulo rectángulo. Hallar el valor de “x”

Tenemos un ángulo y la hipotenusa. Como necesitamos calcular

el cateto adyacente al ángulo, entonces utilizamos la razón

trigonométrica coseno del ángulo.

hipotenusaCos adyacente cateto30 =°

352

31023

101023

1030 ==⇒=⇒=⇒=° xxxxCos

35=x ≈ 8.7

Respuesta: El cateto buscado es 35=x .

Área de los triángulos rectángulos: Sabemos que el área de un triángulo viene dada por la fórmula:

Área = 21

(base) × (altura)

En el triángulo rectángulo se pueden tomar por base y altura los catetos del triángulo.

El área del triángulo es: Área = ( ) ( )ac ×21

Veamos a continuación algunos ejemplos:

Ejemplo 3: Dado el siguiente triángulo rectángulo,

representado en la figura siguiente, hallar su área.

c

C

B A

a b

h 5

6

10

30° x

P

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30

Tenemos las medidas de los dos catetos: la base = cm 6 y la altura = cm 5 . Entonces el área

del triángulo es:

( ) ( ) 22 15302156

21 cmcmcmcmA =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=×=

Respuesta: El área del triángulo es 215 cm

Ejemplo 4: Hallar el área del triángulo rectángulo ABC, representado en la siguiente figura

Tenemos un cateto AB (altura) = 3 u. Nos falta la base BC , pero tenemos la hipotenusa AC =

8 u.

Aplicando el Teorema de Pitágoras, al triángulo ABC:

( AC )2 = ( AB )2 + ( BC )2

Sustituyendo los valores de AC y AB , nos queda:

(8 u)2 = (3 u)2 + ( BC )2 ⇒ ( BC )2 +9 u2 = 64 u2

( BC )2 = 64 u2 – 9 u2 ⇒ ( BC )2 = 55 u2 ⇒ BC = 55 u

Entonces el área del triángulo rectángulo ABC es:

( )( ) 2u 5523u 55u 3

21u u

21

=×⋅== BCABA

Respuesta: 5523A = u2

8 u

3 u

B

A

C

u = unidades de medida

P

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31

Ejemplo 5: Hallar el área del triángulo rectángulo XYZ, representado a continuación:

Tenemos un cateto ZY = 4, que corresponde a la base del

triángulo y un ángulo interno ∠ Y = 30°, necesitamos el cateto

opuesto XZ (altura) para hallar el área del triángulo.

Entonces

⇒=⇒=°43

330 XZZYXZTan

334=XZ

Luego el área del triángulo es: ( )3384

334

21

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=A

Respuesta: 338=A

APLICACIONES DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Una vez dominado los conceptos involucrados en la Trigonometría, vamos a estudiar sus

aplicaciones a modelos matemáticos. Este tema es de vital importancia para todo estudiante

universitario, especialmente para estudiantes de ingeniería que cursarán las materias de Física

I, Física II, Mecánica, etc. Haremos este estudio a través de ejemplos prácticos.

Ejemplo 6: Desde un punto A, se mira la cima de una colina con un ángulo de elevación de

40°, se camina 80 mt. en línea recta alejándose de la colina y desde un punto B se mira la cima

otra vez, ahora con un ángulo de elevación de 25°. Determine la altura de la colina. Utilice dos

cifras decimales.

Debemos recordar que un ángulo de elevación es el ángulo formado desde una horizontal con

una visual dirigida “hacia arriba”; y un ángulo de depresión está formado por la horizontal y la

visual dirigida “hacia abajo”.

30°

Z

X

Y 4

Visual

Horizontal

Ángulo de Elevación

Visual

Horizontal

Ángulo de Depresión

2

P

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32

Hacemos un bosquejo de la situación y seleccionamos las incógnitas:

Nos piden encontrar h

Del triángulo ACD: º40Tanxh ⋅=

Del triángulo BCD:

º25)80( Tanxh ⋅+=

Igualando ambas expresiones:

=⋅ º40Tanx º25)80( Tanx ⋅+

=x84,0 47,0)80( ⋅+ x =⇒ x84,0 x47,06,37 +

6,3737,0 =⇒ x 62,101º40 =⇒⋅ xTanx

Ahora, vamos a calcular la altura h :

º40Tanxh ⋅= )84,0()62,101( ⋅=⇒ h

36,85=h

Respuesta: La altura de la colina es 85,36 mt.

Nota: Es importante para el próximo ejemplo, indicar la diferencia entre rumbo y dirección. El rumbo se mide siempre desde el Norte o el Sur, mientras que la dirección se puede medir desde cualquier eje cardinal. Es decir, rumbo 30° Noreste significa 30° al Este del Norte y se puede denotar como N30°E. Este ángulo es equivalente a la dirección 60° al Norte del Este. También existen términos direccionales tales como “curso” y “acimut”, los cuales proponemos sean investigados por los estudiantes.

Ejemplo 7: Dos barcos salen de un puerto al mismo tiempo. El primer barco navega a

300Km/h con un rumbo de 30° Noreste, mientras que el segundo navega a 400Km/h rumbo

120° Noreste. Determine la distancia que los separa después de 2 horas.

Hacemos un bosquejo gráfico de nuestro problema:

Puerto 120°

30°

N

dA

dB

d VA = 300 Km./h

VB = 400 Km./h

Después de 2 horas

Ad = (300) (2) = 600 Km.

Bd = (400) (2) = 800 Km.

25° 40°

C

D

h

B A 80 x

P

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33

Como el ángulo formado por Ad y Bd es 90°, aplicamos el Teorema de Pitágoras:

( ) ( )222BA ddd +=

( ) ( )222 800600 +=d 000.640000.3602 +=⇒ d

000.1000.000.1000.000.12 ==⇒=⇒ dd

Respuesta: Después de 2 horas, los barcos están separados 1.000 Km.

Ejemplo 8: Un poste de 6 mt. de altura es sostenido por cables, dos de los cuales están

anclados en A y B (ver figura), conociendo que el ángulo C es de 90°. Determine la distancia

que separa los puntos A y B, si la longitud del cable AC es 12 mt.

De la figura dada,

observamos que podemos

obtener el ángulo ∠ A:

°=∠

=∠

30A

126ASen

Como el ángulo ∠ C = 90°, entonces ∠ B = 90º – 30º → ∠ B = 60°

Llamaremos “D” a la base del poste, por lo tanto:

3,46mts.BD mts. 10,39AD

60º 6BD

30º6AD

6 6

66

==

==

∠=

∠=

=∠=∠

TanTan

BTanBD

ATanAD

BDBTan

ADATan

.85,13.46,3.39,10 mtsmtsmtsAB

BDADAB

=+=

+=

Respuesta: La distancia que separa los puntos A y B es 13,85 mt.

º90

A

mts12

BD

C

mts6

P

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ida su

Ven

ta

Mat

erial

de

Apoyo

exc

lusivo

p

ara

uso

didác

tico

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Ejercicios Propuestos:

19. El área de un triángulo rectángulo es 120 cm2 y la hipotenusa mide 26 cm. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos?

20. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 18º mayor que el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo del triángulo?

21. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 30 m y el área 30 m2. Calcula los catetos.

22. Desde la parte superior de una colina se observa un punto A con un ángulo de depresión de 47°, también se observa un punto B (más alejado de la colina que A) con un ángulo de depresión de 26°. Si la distancia entre A y B es de 85 mt., determina la altura de la colina.

23. Desde la parte superior de un edificio de 25 mt., el ángulo de elevación de la punta de un poste es 14°. Desde la base del edificio, el ángulo de elevación de la punta del poste es 28°. Encuentra:

a) La altura del poste

b) La distancia del poste a la base del edificio

24. Desde la cima de una colina de 40 mt. de altura se observa una antena. El ángulo de elevación a la parte superior de la antena es de 15° y el ángulo de depresión a la base de la antena es de 35°. Calcula la altura de la antena.

25. Desde la azotea de un edificio de 60 mt. de altura se observa un poste. El ángulo de depresión a la parte superior del poste es de 8° y el ángulo de depresión a la base del poste es de 25°. Calcula la altura del poste.

26. El perímetro de un triángulo isósceles es 16 cm. y cada lado igual mide 5 cm. Determina cuánto mide la altura.

27. Enrique viaja 2 Km. hacia el norte, 15 Km. hacia el este, 5 Km. hacia el norte y 9 Km. hacia el este. ¿A qué distancia está Enrique del punto de partida?

28. En un triángulo rectángulo un cateto es el doble del otro. Si la suma de ambos catetos es 18 mt. Determina la longitud de cada cateto y la hipotenusa.

29. Un triángulo rectángulo tiene un perímetro de 24 cm. Si la hipotenusa mide 10 cm. ¿Cuánto mide cada cateto, si la diferencia entre ellos es 2 cm.?

30. En un triángulo rectángulo, el cateto mayor es 2 cm. más que el doble del menor; además, la hipotenusa es 2 cm. menos que el triple del cateto menor. Determina la longitud de los catetos y la hipotenusa.

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