TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Prof. Antonio Carlos

Significado e elementos importantes

Trigonometria

Três Ângulos Medida

É o ramo da matemática que estuda a relação entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo.

hipotenusa

catetos

Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo

hipotenusa

cateto

cateto

Fração

oposto

adjacente(oposto)

(adjacente)

𝑠𝑒𝑛𝑜 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

Observações:

• Quando falamos de seno, cosseno ou tangente, sempre devemos relacionar a um ângulo.

• O maior valor possível para seno ou cosseno é 1.

• Cada ângulo tem seu próprio valor de seno, cosseno e tangente.

• O cosseno de um ângulo é igual ao seno do complementar dele. Ex.: cos 30° = sen 60°

6. (Enem (Libras) 2017) A famosa Torre de Pisa, localizada na Itália, assim como muitos outros prédios, por motivos adversos,

sofrem inclinações durante ou após suas construções.

Um prédio, quando construído, dispunha-se verticalmente e tinha 60 metros de altura. Ele sofreu uma inclinação de um ângulo 𝛼, e a projeção ortogonal de sua fachada lateral sobre o solo tem largura medindo 1,80 metro, conforme mostra a figura.

O valor do ângulo de inclinação pode ser determinado fazendo-se o uso de uma tabela como a

apresentada.

Ângulo 𝛼 (Grau) Seno

0,0 0,0

1,0 0,017

1,5 0,026

1,8 0,031

2,0 0,034

3,0 0,052

Uma estimativa para o ângulo de inclinação 𝛼, quando dado em grau, é tal que

a) 0 ≤ 𝛼 < 1,0

b) 1,0 ≤ 𝛼 < 1,5

c) 1,5 ≤ 𝛼 < 1,8

d) 1,8 ≤ 𝛼 < 2,0

e) 2,0 ≤ 𝛼 < 3,0

60

𝑠𝑒𝑛𝛼 =1,8

60=

18

600= 0,03

1. (G1 - ifpe 2017) Um estudante do curso técnico de Edificações do IFPE Campus Recife, precisou medir a altura de

um edifício de 6 andares. Para isso, afastou-se 45 metros do edifício e, com um teodolito, mediu o ângulo de 28°,conforme a imagem abaixo.

Usando as aproximações 𝑠𝑒𝑛 28° = 0,41, 𝑐𝑜𝑠 28° = 0,88 e 𝑡𝑔 28° = 0,53, esse estudante concluiu corretamente que a altura desse edifício é

a) 21,15 𝑚.

b) 23,85 𝑚.

c) 39,6 𝑚.

d) 143,1 𝑚.

e) 126,9 𝑚. 𝑡𝑔28° =𝑥

45

0,53 =𝑥

45

0,53 . 45 = 𝑥

𝑥 = 23,85

ÂNGULOS NOTÁVEIS

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30° 45° 60°

Seno1

2

2

2

3

2

Cosseno3

2

2

2

1

2

Tangente3

31 3

Ângulos Notáveis

30° 45° 60°

Seno

Cosseno

Tangente

Ângulos Notáveis

1 2 3

3 2 1

1

2

1

2

2

2

2

2

3

2

3

2

3

2

3

2

2

2

2

2

3

31 3

4. (Enem 2018) Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel transparente, na qual

está desenhada em negrito uma diagonal que forma 30° com a borda inferior. O raio da base do cilindro mede 6

𝜋𝑐𝑚, e

ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice, como na figura.

O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é

a)36 3

b)24 3

c)4 3

d)36

e)72

𝐶 = 2. 𝜋. 𝑟

𝑥 = 6 . 2. 𝜋.6

𝜋

𝑥 = 6 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑠

𝑥 = 72

𝑡𝑔30° =ℎ

72

3

3=

ℎ

72

3. ℎ = 72 3

ℎ =72 3

3

ℎ = 24 3

ℎ =?

5. (Unifor 2014) Uma pessoa está a 80 3𝑚 de um prédio e vê o topo do prédio sob um ângulo de 30°, como mostra a figura abaixo.

Se o aparelho que mede o ângulo está a 1,6𝑚 de distância do solo, então podemos afirmar que a altura do prédio em metros

é:

a) 80,2 b) 81,6 c) 82,0 d) 82,5 e) 83,2

80 3

𝐻 =?

ℎ

𝑡𝑔30° =ℎ

80 3

3

3=

ℎ

80 3

3. ℎ = 80 3. 3

3. ℎ = 80 . 3

ℎ = 80

1,6

𝐻 = 80 + 1,6

𝐻 = 81,6

CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

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CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

Definição: é um círculo de raio 1 e centro na origem do plano cartesiano. A cada ponto da circunferência associamos um ângulo, que é formado entre o eixo x e o raio. Conseguimos ver no círculo trigonométrico os valores das razões trigonométricas para qualquer ângulo.

𝑥𝐴

𝑦𝐴

𝛼

𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠²𝛼 = 1𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑥

1

𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑠𝑒𝑛𝛼 =𝑦

1

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑡𝑔𝛼 =𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑐𝑜𝑠𝛼

“com sono”

“sem sono”

“deitado”

“em pé”

1° 2° 3° 4°

Seno + + − −

Cosseno + − − +

Tangente + − + −

Sinais nos Quadrantes

0°=360° 90° 180° 270°

Seno 0 1 0 −1

Cosseno 1 0 −1 0

Tangente 0 ∄ 0 ∄

Ângulos Quadrantais

Redução ao 1° Quadrante

Ex.: a) sen 150° = sen 30° =1

2

Ex.: b) cos 210° = cos 30° =– −3

2

Ex.: c) tg 300° = tg 60° =– − 3

UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS

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2𝜋

3𝑟𝑎𝑑 =

2.180°

3= 120°

80° 𝑥

180° 𝜋 𝑟𝑎𝑑

80°𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 180°. 𝑥

𝑥 =80𝜋

180𝑟𝑎𝑑

𝑥 =4𝜋

9𝑟𝑎𝑑

LEI DOS SENOS

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LEI DOS SENOS

𝑎

𝑠𝑒𝑛 መ𝐴=

𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝐵=

𝑐

𝑠𝑒𝑛 መ𝐶= 2𝑟

(Ufpb 2010) A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre um rio que corta essa cidade, uma ponte que deve ser

reta e ligar dois pontos, A e B, localizados nas margens opostas do rio. Para medir a distância entre esses pontos, um

topógrafo localizou um terceiro ponto, C, distante 200m do ponto A e na mesma margem do rio onde se encontra o

ponto A. Usando um teodolito (instrumento de precisão para medir ângulos horizontais e ângulos verticais, muito

empregado em trabalhos topográficos), o topógrafo observou que os ângulos B መ𝐶A e C መ𝐴B mediam, respectivamente,

30º e 105º, conforme ilustrado na figura a seguir.

Com base nessas informações, é correto afirmar que a distância, em

metros, do ponto A ao ponto B é de:

a) 200 2 b) 180 2 c) 150 2 d) 100 2 e) 50 2

𝑎

𝑠𝑒𝑛 መ𝐴=

𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝐵=

𝑐

𝑠𝑒𝑛 መ𝐶= 2𝑟

𝑥

𝑠𝑒𝑛 30°=

200

𝑠𝑒𝑛 45°⇒

𝑥

12

=200

22

⇒ 𝑥 =200

2

⇒ 𝑥 =200 2

2⇒ 𝑥 = 100 2

(Ufjf 2012) Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir:

Os segmentos 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 e 𝐶𝐴 simbolizam ciclovias construídas no interior

da praça, sendo que 𝐴𝐵 = 80 𝑚. De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a:

a) 160 3

3𝑚 b)

80 3

3𝑚 c)

16 3

3𝑚 d)

8 3

3𝑚

𝑎

𝑠𝑒𝑛 መ𝐴=

𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝐵=

𝑐

𝑠𝑒𝑛 መ𝐶= 2𝑟

80

𝑠𝑒𝑛 60°= 2𝑟 ⇒

80

32

= 2𝑟 ⇒ 80 = 2𝑟 .3

2

⇒ 𝑟 =80

3⇒ 𝑟 =

80 3

3

LEI DOS COSSENOS

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LEI DOS COSSENOS

𝑎² = 𝑏2 + 𝑐2 − 2. 𝑏. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠 መ𝐴

7. (Unicamp 2018) Considere que o quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷, representado na figura abaixo, tem lados de comprimento de 1 𝑐𝑚, e que 𝐶 é o ponto médio do segmento 𝐴𝐸. Consequentemente, a distância entre os pontos 𝐷 e 𝐸 será igual a

a) 3 𝑐𝑚. b) 2 𝑐𝑚. c) 5 𝑐𝑚. d) 6 𝑐𝑚.

𝑥 =?

1

1= 2𝑑

𝑑2 = 12 + 1²

𝑑2 = 2

d = 2

2

1

𝑎² = 𝑏2 + 𝑐2 − 2. 𝑏. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠 መ𝐴

𝑥2 = 12 + 2. 22− 2.1.2 2. 𝑐𝑜𝑠45°

𝑥2 = 1 + 8 − 2.1.2 2.2

2

𝑥2 = 1 + 8 − 4

𝑥2 = 5

𝑥 = 5

Mapa mental para resolver problemas com triângulos

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Preciso de quantos triângulos para resolver o problema?

Um

Dois

O triângulo é retângulo?

Sim

Não

Tenho ângulo agudo?

Sim

Não

O que eu tenho?

2 lados2 ângulos

LEI DOS SENOS

3 lados1 ângulo

(G1 - ifpe 2017) O professor de matemática do Campus Pesqueira lançou um desafio à turma de Edificações: estimar

a altura da Serra do Ororubá utilizando apenas um transferidor. Sara, aluna da turma, lembrou que existe uma placa

turística a 1 𝑘𝑚 de distância da serra de onde se consegue enxergar o cume da Serra. Chegando a esta placa, Sara, com o transferidor perpendicular ao solo, estimou um ângulo de 50° entre a base e o cume da Serra do Ororubá. Sabendo que 𝑠𝑒𝑛50° = 0,77 ; 𝑐𝑜𝑠 50° = 0,64; 𝑡𝑔 50° = 1,19; e tomando como referência o esquema mostrado na figura abaixo, certo que Sara não errou os cálculos, qual é a altitude estimada da Serra do Ororubá calculada por ela?

a)1.000 𝑚 b)640 𝑚 c)770 𝑚 d)1.190 𝑚 e)830 𝑚

𝑡𝑔50° =ℎ

1000

1,19 =ℎ

1000

ℎ = 1000 . 1,19

ℎ = 1190

(Ufpb 2010) Em parques infantis, é comum encontrar um brinquedo, chamado escorrego, constituído de uma

superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de uma escada que dá acesso à rampa. No

parque de certa praça, há um escorrego, apoiado em um piso plano e horizontal, cuja escada tem 2m de comprimento

e forma um ângulo de 45º com o piso; e a rampa forma um ângulo de 30º com o piso, conforme ilustrado na figura a

seguir.De acordo com essas informações, é correto afirmar que

o comprimento (L) da rampa é de:

a) 2m

b) 2 2m

c) 3 2m

d) 4 2m

e) 5 2m

2

𝑠𝑒𝑛 30°=

𝐿

𝑠𝑒𝑛 45°⇒

2

12

=𝐿

22

⇒ 2 =𝐿

2⇒ 𝐿 = 2 2

(G1 - cps 2016) A erosão é o processo de desgaste, transporte e sedimentação das rochas e, principalmente, dos

solos. Ela pode ocorrer por ação de fenômenos da natureza ou do ser humano. A imagem mostra uma fenda no solo,

proveniente de erosão. Para determinar a distância entre os pontos A e B da fenda, pode-se utilizar o modelo

matemático da figura.Na figura, tem-se:

- os triângulos 𝐴𝐹𝐶 e 𝐸𝐹𝐷;

- o ponto 𝐸 pertencente ao segmento 𝐴𝐹;

- o ponto 𝐷 pertencente ao segmento 𝐶𝐹;- os pontos 𝐶, 𝐷 e 𝐹 pertencentes ao terreno plano que margeia a borda da fenda;

- as retas 𝐴𝐶 e 𝐸𝐷 que são paralelas entre si.

Sabendo-se que 𝐵𝐶 = 5 𝑚, 𝐶𝐷 = 3 𝑚,𝐷𝐹 = 2 𝑚 e 𝐸𝐷 = 4,5 𝑚, então, a distância entre os pontos 𝐴 e 𝐵 é, em metros,

a) 6,25. b) 6,50. c) 6,75. d) 7,25. e) 7,75.

5

3

2

4,5

𝑥 =?4,5

𝑥 + 5=2

5⇒ 2𝑥 + 10 = 22,5

⇒ 2𝑥 = 22,5 − 10

⇒ 2𝑥 = 12,5

⇒ 𝑥 =12,5

2= 6,25

(G1 - cp2 2020) Para incentivar o turismo, o prefeito de uma cidade decide criar uma tirolesa ligando duas montanhas

do Parque Ecológico Municipal. Um engenheiro foi contratado para projetar a atração e precisa saber quantos metros

de cabo de aço necessitará para ligar os topos dessas duas montanhas.

Para facilitar esses cálculos, o engenheiro criou, em seu projeto, os triângulos equiláteros 𝐴𝐵𝐶 e 𝐷𝐸𝐹, pertencentes a

um mesmo plano vertical, em que 𝐴 e 𝐷 representam os topos das montanhas e os pontos 𝐵, 𝐶, 𝐸 e 𝐹 estão

alinhados no plano horizontal. Observe a figura a seguir com a situação descrita:

Sabendo que os triângulos equiláteros 𝐴𝐵𝐶 e 𝐷𝐸𝐹 têm,

respectivamente, 32 metros e 16 metros de lado; e que a

distância entre os pontos 𝐶 e 𝐸 é de 23 metros, a medida

de cabo de aço (𝐴𝐷), em metros, que o engenheiro

encontrará será de

a) 47. b) 49. c) 51. d) 53.

32

32

32

16

16

16

𝑥 =?

𝐻 =ℓ 3

2

16 38 3

23

8 3

8 3

23 + 8 + 16 = 47

𝑥2 = 472 + (8 3)²

𝑥2 = 2209 + 64.3

𝑥2 = 2209 + 192

𝑥2 = 2401

𝑥 = 2401 = 49

(G1 - ifsul 2015) Em certa cidade, a igreja está localiza no ponto 𝐴, a prefeitura no ponto 𝐵, e a livraria no ponto 𝐶,como mostra os pontos a seguir. Sabendo-se que a distância da igreja à prefeitura é de 10 metros, a distância da prefeitura à livraria corresponde a 15 metros, e que o ângulo formado por essas duas direções é 60°, a distância da livraria à igreja é

a) 17 5𝑚 b) 5 7𝑚 c) 25 7𝑚 d) 7 5𝑚10

15

60°

𝑥 =?

𝑎² = 𝑏2 + 𝑐2 − 2. 𝑏. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠 መ𝐴

𝑥2 = 102 + 15² − 2.10.15. 𝑐𝑜𝑠60°

𝑥2 = 100 + 225 − 2.10.15.1

2

𝑥2 = 100 + 225 − 150

𝑥2 = 175

𝑥 = 5 7

(Enem 2017) Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar esse

desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 𝑐𝑚, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as

hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse de 120°. A ponta seca está representada pelo ponto 𝐶, a ponta do grafite está representada pelo ponto 𝐵 e a cabeça do compasso está representada pelo ponto 𝐴conforme a figura.

Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber

o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este

se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de

acordo com os dados.

Tipo de material Intervalo de valores de raio (𝑐𝑚)I 0 < 𝑅 ≤ 5II 5 < 𝑅 ≤ 10III 10 < 𝑅 ≤ 15IV 15 < 𝑅 ≤ 21V 21 < 𝑅 ≤ 40

Considere 1,7 como aproximação para 3.

O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção

será

a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.

10 10

𝑅 =?

10 10

𝑅 =?

10

𝑠𝑒𝑛 30°=

𝑅

𝑠𝑒𝑛 120°

10

12

=𝑅

32

𝑅 = 10 3

𝑅 = 10 . 1,7

2 ângulos iguais

Triângulo isósceles

2 lados iguais

𝑠𝑒𝑛 120° = 𝑠𝑒𝑛 60°

𝑅 = 17

(Enem 2017) Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar esse

desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 10 𝑐𝑚, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as

hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse de 120°. A ponta seca está representada pelo ponto 𝐶, a ponta do grafite está representada pelo ponto 𝐵 e a cabeça do compasso está representada pelo ponto 𝐴conforme a figura.

Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber

o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este

se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de

acordo com os dados.

Tipo de material Intervalo de valores de raio (𝑐𝑚)I 0 < 𝑅 ≤ 5II 5 < 𝑅 ≤ 10III 10 < 𝑅 ≤ 15IV 15 < 𝑅 ≤ 21V 21 < 𝑅 ≤ 40

Considere 1,7 como aproximação para 3.

O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção

será

a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.

10 10

𝑅 =?

𝑅 = 17

POLÍGONOS REGULARES NA CIRCUNFERÊNCIA

Prof. Antonio Carlos

𝑅

TRIÂNGULO EQUILÁTEROR = raio da circunferência circunscrita

𝑅

Propriedade: o raio da circunferência circunscrita é bissetriz do ângulo interno do polígono.

a

a = apótema do polígono ➔ segmento de reta que parte do centro da circunferência circunscrita e divide o lado ao meio, perpendicularmente.

𝐿

2

60°

30°

â =360°

2. 𝑛

𝑠𝑒𝑛 30° =𝑎

𝑅

1

2=

𝑎

𝑅

𝑅 = 2 . 𝑎

𝑐𝑜𝑠 30° =ൗ𝐿 2𝑅

3

2=

ൗ𝐿 2𝑅

𝐿 = 𝑅 3

O apótema é o raio da circunferência inscrita.

QUADRADO

𝑅𝑅

45°

a

𝑐𝑜𝑠 45° =ൗ𝐿 2𝑅

2

2=

ൗ𝐿 2𝑅

𝐿 = 𝑅 2

𝐿

2

tg 45° =𝑎

ൗ𝐿 2

1 =𝑎

ൗ𝐿 2

𝑎 =𝐿

2

HEXÁGONO REGULAR

𝑅

60°

a

ൗ𝐿 2

120°

𝑐𝑜𝑠 60° =ൗ𝐿 2𝑅

1

2=

ൗ𝐿 2𝑅

𝐿 = 𝑅

tg 60° =𝑎

ൗ𝐿 2

3 =𝑎

ൗ𝐿 2

𝑎 =𝐿 3

2

10. (Enem 2012) Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas

giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma.

Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma

plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em

termos da medida L do lado da base da estatua.

Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida?

a) 𝑅 ≥ 𝐿/ 2 b) 𝑅 ≥ 2𝐿/𝜋 c) 𝑅 ≥ 𝐿/ 𝜋 d) 𝑅 ≥ 𝐿/2 e) 𝑅 ≥ 𝐿/ 2 2

𝑅

45°

a

𝐿

2

𝑐𝑜𝑠 45° =ൗ𝐿 2𝑅

2

2=

ൗ𝐿 2𝑅

𝑅 2 = 𝐿

𝑅 2 ≥ 𝐿

𝑅 ≥𝐿

2

9. (Ueg 2018) A melhor maneira de alocarmos pontos igualmente espaçados em um círculo é escrevê-los nos

vértices de polígonos regulares, conforme a figura a seguir exemplifica com 6 pontos.

Para alocarmos 36 pontos igualmente espaçados em um círculo de raio 1, a distância mínima entre eles deve ser aproximadamente. Use 𝑠𝑒𝑛 (5°) = 0,08

a) 0,12 b) 0,11 c) 0,16 d) 0,14 e) 0,19

𝑅a

â =360°

2. 𝑛➔ â =

360°

2.36➔ â =

360°

72➔ â = 5°

𝐿

2

𝑠𝑒𝑛 5° =ൗ𝐿 2𝑅

0,08 =ൗ𝐿 21

𝐿

2= 0,08 𝐿 = 0,16

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