PROIEZIONI ORTOGONALI DI FIGURE PIANEPROIEZIONI ORTOGONALI DI FIGURE PIANE

Per figura piana si intende una parte di piano delimitata da una linea chiusa. Poiché questo contorno è riconducibile ad un insieme di punti, si può ottenere la proiezione ortogonale della figura proiettando sul quadro alcuni suoi punti.

FIGURA PIANA PARALLELA AL QUADROFIGURA PIANA PARALLELA AL QUADROLA SUA PROIEZIONE ORTOGONALE E’ SEMPRE UGUALE AD ESSA

FIGURA PIANA ORTOGONALE AL QUADROFIGURA PIANA ORTOGONALE AL QUADRO LA SUA PROIEZIONE ORTOGONALE E’ SEMPRE UN SEGMENTO

FIGURA PIANA INCLINATA RISPETTO AL FIGURA PIANA INCLINATA RISPETTO AL QUADROQUADRO

LA SUA PROIEZIONE ORTOGONALE E’ SEMPRE DEFORMATA RISPETTO ALLA FIGURA REALE

Quando una figura piana è parallela ad un quadro, la sua proiezione ortogonale sul quel quadro rappresenta la sua vera forma e grandezzavera forma e grandezza, cioè la figura non subisce alcuna deformazione.

Per tale motivo:

È molto vantaggioso iniziare il disegno dalla vista in cui la È molto vantaggioso iniziare il disegno dalla vista in cui la figura mostra la sua vera forma.figura mostra la sua vera forma.

Proiezioni ortogonali di un triangolo equilatero parallelo al Proiezioni ortogonali di un triangolo equilatero parallelo al piano piano pp11

PROIEZIONI ORTOGONALI DI UN SOLIDOPROIEZIONI ORTOGONALI DI UN SOLIDO

Un solido può essere semplificato prendendo in considerazione solo i punti cospicui delle sue facce.

Per ottenere la proiezione ortogonale di un solido è quindi sufficiente proiettare perpendicolarmente sul quadro i suoi elementi (vertici e profili)

Per descrivere compiutamente un solido, si ricorre alle proiezioni ortogonali su più quadri, il cui numero viene definito in base alla complessità dell’oggetto da rappresentare.

Per i solidi la proiezione ortogonale su un solo quadro non è sufficiente per avere informazioni complete sull’oggetto, in genere occorrono tre proiezioni.

Le proiezioni ortogonali sui Le proiezioni ortogonali sui piani non devono essere piani non devono essere necessariamente due o tre, necessariamente due o tre, ma vengono definite in base ma vengono definite in base alla complessità dell’oggetto alla complessità dell’oggetto da rappresentare.da rappresentare.

Le tre proiezioni ortogonali sui tre piani coordinati prendono il nome di:

-Vista dall’alto (o pianta) sul piani π1

-Vista anteriore (o prospetto frontale) sul piano π2

-Vista da sinistra (o prospetto laterale) sul piano π3

Per disegnare sul piano del foglio da disegno occorre ribaltare due dei tre quadri, in modo che i tre piani coordinati diventino complanari e le viste siano rappresentabili su un unico foglio da disegno.

PROIEZIONI ORTOGONALI: RAPPRESENTAZIONE DI UN PARALLELEPIPEDOPROIEZIONI ORTOGONALI: RAPPRESENTAZIONE DI UN PARALLELEPIPEDO

PROIEZIONI ORTOGONALI: RAPPRESENTAZIONE DI UN CONOPROIEZIONI ORTOGONALI: RAPPRESENTAZIONE DI UN CONO

PROIEZIONI ORTOGONALI: RAPPRESENTAZIONE DI UN CILINDROPROIEZIONI ORTOGONALI: RAPPRESENTAZIONE DI UN CILINDRO

Proiezioni ortogonali della volta a botteProiezioni ortogonali della volta a botte

Rappresentazione a fil di ferroRappresentazione a fil di ferro

Proiezioni ortogonali della volta a botteProiezioni ortogonali della volta a botte

Rappresentazione con spessoreRappresentazione con spessore

Prospetto frontaleProspetto frontale Prospetto lateraleProspetto laterale

Pianta della coperturaPianta della copertura

Proiezioni ortogonali della volta a crocieraProiezioni ortogonali della volta a crociera

Rappresentazione a fil di ferroRappresentazione a fil di ferro

Proiezioni ortogonali della volta a crocieraProiezioni ortogonali della volta a crociera

Prospetto frontaleProspetto frontale Prospetto lateraleProspetto laterale

Rappresentazione con spessoreRappresentazione con spessorePianta della coperturaPianta della copertura

Proiezioni ortogonali Proiezioni ortogonali della volta a crocieradella volta a crociera

Proiezioni ortogonali della volta a padiglioneProiezioni ortogonali della volta a padiglione

Rappresentazione a fil di ferroRappresentazione a fil di ferro

Proiezioni ortogonali della volta a padiglioneProiezioni ortogonali della volta a padiglione

Prospetto frontaleProspetto frontale Prospetto lateraleProspetto laterale

Rappresentazione con spessoreRappresentazione con spessorePianta della coperturaPianta della copertura

Proiezioni ortogonali della volta a velaProiezioni ortogonali della volta a vela

Rappresentazione a fil di ferroRappresentazione a fil di ferro

Proiezioni ortogonali della volta a velaProiezioni ortogonali della volta a vela

Prospetto frontaleProspetto frontale

Pianta della coperturaPianta della copertura Rappresentazione con spessoreRappresentazione con spessore

RIBALTAMENTO DI FIGURE PIANERIBALTAMENTO DI FIGURE PIANE

Spesso i solidi rappresentati in un disegno presentano alcune facce inclinate rispetto ai piani di riferimento e, come noto, le figure piane si presentano nella loro vera forma e grandezzavera forma e grandezza solo quando sono parallele al quadro.

Nel caso di figure inclinate le proiezioni ortogonali forniscono immagini deformate e quindi non se ne può conoscere la vera forma.

Per trovare la vera forma di una figura piana, comunque disposta, occorre ribaltare la figura intorno alla traccia del piano a cui appartiene finchè non si adagi sul piano di riferimento.

In genere l’asse di rotazione è la retta di intersezione dei due piani di cui, in genere, il primo è uno dei piani di proiezione e l’altro è il piano che si vuole ribaltare.

RIBALTAMENTORIBALTAMENTO

●E’ un rotazione, che porta un piano a coincidere con un altro, in cui l’asse di rotazione è la retta di intersezione dei due piani, di cui uno è il piano di proiezione e l’altro è il piano che si vuole ribaltare

● E’ un’ operazione necessaria per conoscere la vera forma e grandezza di una figura appartenente ad un piano qualsiasi o viceversa quando note la vera forma e grandezza di una figura si vogliono determinare le sue proiezioni.

● E’ un affinità ortogonale, la relazione che intercorre tra la proiezione di una figura e il suo ribaltamento, con asse nella retta di intersezione dei due piani e centro improprio con direzione ortogonale all’asse.

Ribaltare sul piano xy un punto P appartenente al piano Ribaltare sul piano xy un punto P appartenente al piano αααααααα..

Il ribaltamento viene effettuato attorno alla Il ribaltamento viene effettuato attorno alla ττττττττ11α α α α α α α α ed è quindi simile a quanto ed è quindi simile a quanto avviene sfogliando le pagine di un libro. Da P’’ si traccia un arco con centro nel avviene sfogliando le pagine di un libro. Da P’’ si traccia un arco con centro nel punto di intersezione punto di intersezione τ1ατ1ατ1ατ1ατ1ατ1ατ1ατ1α e e τ2ατ2ατ2ατ2ατ2ατ2ατ2ατ2α fino a toccare l’asse x in P’’*;da questo si conduce fino a toccare l’asse x in P’’*;da questo si conduce una retta parallela a y fino ad intersecare la retta per P’ parallela a x, nel punto una retta parallela a y fino ad intersecare la retta per P’ parallela a x, nel punto P*, che è il ribaltamento di P su xy.P*, che è il ribaltamento di P su xy.

xx

zz

yy

Determinare la vera forma e grandezza di una retta inclinata rispetto ai tre piani di Determinare la vera forma e grandezza di una retta inclinata rispetto ai tre piani di proiezioneproiezioneUna retta generica r forma un angolo w con il primo piano di proiezione (angolo di pendenza

della retta) e un angolo f con il secondo piano. Tali angoli non sono rilevabili nella proiezione

ortogonale perché subiscono una deformazione.

Per determinare l’angolo w e la retta r in vera forma e grandezza si costruisce un piano bperpendicolare a p1e passante per r,e si ribalta la retta sul piano p1( il ribaltamento può

essere effettuato ribaltando la seconda traccia T2r); unendo T1r con T2r* si trova la r*, ribaltamento di r. L’angolo w è definito dalla prima proiezione di r, r1, e da r*.

Eseguire il ribaltamento del piano a su p1.

Per ribaltare un piano su altro è sufficiente conoscere il ribaltamento di una sua retta Per ribaltare un piano su altro è sufficiente conoscere il ribaltamento di una sua retta o di un suo punto. Assegnato il piano o di un suo punto. Assegnato il piano αα mediante le sue tracce, si disegna un piano mediante le sue tracce, si disegna un piano ausiliario ausiliario gg, tale che t, tale che tγγ1 sia ortogonale a t1 sia ortogonale a taa1 e t1 e tgg2 sia ortogonale alla LT. 2 sia ortogonale alla LT. L’intersezione dei 2 piani individua la retta r, appartenete ad entrambi. Si effettua il L’intersezione dei 2 piani individua la retta r, appartenete ad entrambi. Si effettua il ribaltamento della T2r sul piano ribaltamento della T2r sul piano pp1, attorno alla traccia t1, attorno alla traccia tgg1, quindi si ribalta T2r** 1, quindi si ribalta T2r** attorno alla tattorno alla taa1 facendo perno in T1r. Congiungendo T2r* con il punto M si ottiene la 1 facendo perno in T1r. Congiungendo T2r* con il punto M si ottiene la

t2a*t2a*

Determinare la vera forma e grandezza di un triangolo appartenente al piano Determinare la vera forma e grandezza di un triangolo appartenente al piano αααααααα..

Si esegue il ribaltamento sul piano yz effettuando la rotazione attorno a Si esegue il ribaltamento sul piano yz effettuando la rotazione attorno a τ3ατ3ατ3ατ3ατ3ατ3ατ3ατ3α; tutti i ; tutti i punti descrivono traiettorie circolari parallele al piano punti descrivono traiettorie circolari parallele al piano π2π2π2π2π2π2π2π2..

Dato un Dato un parallelepipedo parallelepipedo poggiato su poggiato su ππππππππ1 con 1 con uno spigolo e uno spigolo e avente le facce avente le facce medie e minori medie e minori inclinate rispetto inclinate rispetto a tutti i piani (solo a tutti i piani (solo le facce maggiori le facce maggiori sono sono perpendicolari a perpendicolari a ππππππππ1), determinare 1), determinare la vera forma e la vera forma e grandezza di una grandezza di una faccia maggiore.faccia maggiore.

Il piano ausiliario è parallelo alla proiezione della faccia A’’’H’’’G’’’F’’’; le sue Il piano ausiliario è parallelo alla proiezione della faccia A’’’H’’’G’’’F’’’; le sue tracce t’ e t’’ lo delimitano rispetto a tracce t’ e t’’ lo delimitano rispetto a ππππππππ1 e 1 e ππππππππ2, mentre (t’’) è il ribaltamento di t’’ 2, mentre (t’’) è il ribaltamento di t’’ sul piano orizzontale.sul piano orizzontale.

Una figura del piano potrà essere ribaltata sul primo piano di proiezione attraverso il ribaltamento dei suoi singoli punti, e tenendo conto delle relazioni omologiche.

GENERALITA’ SULLE SEZIONIGENERALITA’ SULLE SEZIONI

Gli oggetti da rappresentare contengono spesso delle parti che dall’esterno risultano nascoste; per facilitare la loro rappresentazione si ricorre alla sezione.

Questa operazione consiste nel taglio dell’oggetto con un piano ideale (piano di sezionepiano di sezione) e nella rappresentazione di una delle due parti in cui l’oggetto è stato diviso.

Per rappresentare una casa, la vista dall’alto non consente di vedere i muri interni, che invece risulteranno visibili sezionandola con un piano orizzontale.

La scelta del piano di sezione è legata alla posizione e alla forma dell’oggetto; si ricorre pertanto a piani di sezione disposti nel modo opportuno: orizzontali, verticali, obliqui.

In genere nella rappresentazione degli edifici vengono eseguite anche delle sezioni con piani verticali, che consentono la vista dei solai, delle porte, finestre etc.

Per ridurre il numero delle viste o delle sezioni si può ricorrere ai semipiani di semipiani di sezionesezione, ovvero l’oggetto viene tagliato solo per una parte.

La semisezione semisezione mostra l’oggetto per metà intero e per l’altra metà sezionato.

INDICAZIONE DELLE SUPERFICI SEZIONATEINDICAZIONE DELLE SUPERFICI SEZIONATE

Le superfici sezionate, devono essere campite con il tratteggio generico.Le superfici sezionate, devono essere campite con il tratteggio generico.

Esso è formato da linee sottili, equidistanti, inclinate di 45Esso è formato da linee sottili, equidistanti, inclinate di 45°° rispetto al contorno o rispetto al contorno o agli assi della figura. La distanza tra le linee deve essere proporzionata alla agli assi della figura. La distanza tra le linee deve essere proporzionata alla dimensione della figura.dimensione della figura.

SEZIONI DI SEZIONI DI SOLIDISOLIDI

Parallelepipedo ruotato, sezionato con un piano parallelo a pppp3

Cilindro sezionato Cilindro sezionato da un piano da un piano perpendicolare a perpendicolare a ππππππππ33

SEZIONI CONICHESEZIONI CONICHE

CONO SEZIONATO CON UN PIANO CONO SEZIONATO CON UN PIANO INCLINATOINCLINATO

La sezione di una superficie conica con un piano genera una curva conica (cerchio, ellisse, parabola, iperbole).

METODO DEI PIANI PARALLELI

CONO CONO SEZIONATO SEZIONATO CON UN CON UN PIANO PIANO INCLINATOINCLINATO

METODO DELLE GENERATRICI

Vera forma e grandezza della sezioneVera forma e grandezza della sezione

Le sezioni sono talvolta ottenute con piani inclinati rispetto ai piani di Le sezioni sono talvolta ottenute con piani inclinati rispetto ai piani di proiezione; pertanto in questi casi le figure ottenute con l’operazione di proiezione; pertanto in questi casi le figure ottenute con l’operazione di sezione si presentano deformate nelle proiezioni ortogonali.sezione si presentano deformate nelle proiezioni ortogonali.

Pertanto per ottenere la vera forma e grandezza della sezione si ricorre Pertanto per ottenere la vera forma e grandezza della sezione si ricorre all’operazione di ribaltamento di una figura piana.all’operazione di ribaltamento di una figura piana.

Il ribaltamento può essere effettuato su qualsiasi piani di proiezione.Il ribaltamento può essere effettuato su qualsiasi piani di proiezione.

Vera forma e grandezza dell’ ellisse ottenuta sezionando il cono con un Vera forma e grandezza dell’ ellisse ottenuta sezionando il cono con un piano piano αααααααα comunque inclinato.comunque inclinato.

Il ribaltamento viene Il ribaltamento viene effettuato attorno alla effettuato attorno alla traccia del piano di traccia del piano di sezione.sezione.

Sezioni della volta a crocieraSezioni della volta a crociera

Sezioni della volta a padiglioneSezioni della volta a padiglione

Sezione della volta a velaSezione della volta a vela

INTERSEZIONI DI SOLIDIINTERSEZIONI DI SOLIDI

In genere gli oggetti sono entità complesse scomponibili in solidi o figure piane geometriche.

La compenetrazione di diversi solidi crea delle linee di intersezionelinee di intersezione che hanno forma di segmenti o linee spezzate quando le facce che si intersecano sono piane, quando invece una delle superfici è curva vengono originate delle line di intersezione curve oppure miste (segmenti e curve).

La determinazione della linea di intersezione si risolve riconducendo il problema a casi più semplici quali l’intersezione tra due piani oppure tra una superficie e una retta.

SOLIDO SOLIDO PRISMATICO PRISMATICO CON FORO CON FORO CILINDRICOCILINDRICO

Tra le facce del Tra le facce del solido e il cilindro solido e il cilindro si crea una linea si crea una linea di intersezione di intersezione formata da una formata da una semicirconf. su semicirconf. su π3π3

e da una e da una semiellisse su semiellisse su π1π1. . I punti di I punti di quest’ultima si quest’ultima si possono ottenere possono ottenere tracciando delle tracciando delle generatrici del generatrici del cilindro e cilindro e individuando la individuando la loro intersezione loro intersezione sul piano sul piano inclinato nella inclinato nella vista su vista su pp2…….2…….

Intersezione di due volte a botte di luce diversaIntersezione di due volte a botte di luce diversa

((Volta a botte con lunetta cilindricaVolta a botte con lunetta cilindrica))

Intersezione di una volta a botte con due piani verticali passanti per Intersezione di una volta a botte con due piani verticali passanti per l’imposta dell’arco di apertural’imposta dell’arco di apertura

((Volta a botte con lunetta sferoidicaVolta a botte con lunetta sferoidica))

Volta a crociera con foro cilindricoVolta a crociera con foro cilindrico Volta a padiglione con foro cilindricoVolta a padiglione con foro cilindrico