PROJET DE FIN D’ÉTUDES

SPÉCIALITÉ GÉNIE CIVIL

INTERPRÉTATION EN CONTRAINTES EFFECTIVES DU COMPORTEMENT RÉVERSIBLE DES MATÉRIAUX

GRANULAIRES COMPACTÉS NON-SATURÉS SOUS SOLLICITATIONS TRIAXIALES CYCLIQUES

Auteur : ARSENIE Ioana Maria INSA Strasbourg, Génie Civil Tuteur Enterprise : MASROURI Farimah Directeur, LAEGO Nancy Tuteur INSA Strasbourg : CHAZALLON Cyrille Proffeseur Agrégé de Génie Civil Juin 2009

REMERCIEMENTS

J’adresse mes plus sincères remerciements à l’ensemble du personnel du laboratoire de recherche LAEGO et plus particulièrement à :

� Madame Farimah MASROURI, directrice du LAEGO et ma responsable de stage, de m’avoir accueillie pour effectuer ce stage au sein de ce laboratoire de recherche du 28 février au 13 juin 2009 et de m’avoir guidée pendant ce projet de recherche.

� Monsieur Hossein NOWAMOOZ, ATER en Mécanique des Sols, pour m'avoir

fait découvrir et comprendre le travail expérimental, pour ses conseils pratiques et pour sa patience.

� L'ensemble du personnel technique pour avoir mené à bien les essais

expérimentaux et pour les renseignements fournis.

� Toutes les personnes du laboratoire pour m’avoir intégrée dans l’équipe et m’avoir fait partager leurs connaissances.

Je remercie Monsieur Pierre HORNYCH, Résponsable du Groupe Essais et Modélisation des Matériaux du LCPC de Nantes et son equipe, pour m'avoir accueillie du 26 janvier au 30 janvier au sein de la section Conception de Chaussées et Géotechnique Routière et de m’avoir fait connaître leur travail. J’ai beaucoup apprecié la visite du Manège de Fatigue et son mode de fonctionnement, structure de chaussée qui a comme sol support le sable étudié. Mes remerciements vont également à Monsieur Cyrille CHAZALLON, mon tuteur de stage, professeur à l’INSA de Strasbourg, pour m’avoir donné l’occasion de faire une étude très intéressante sur le comportement réversible d’un matéraiux sableux non-saturé soumis aux chargements cycliques, pour son aide et son soutien continu pendant cette étude.

SOMMAIRE INTRODUCTION…… .....................................................................................................1

Le Laboratoire Environnement Géomécanique et Ouvrage....................................3 Le Laboratoire Central de Ponts et Chaussées........................................................4

I ÉTUDE BIBLIOGRAPHIQUE……….………….....……….………...………. .........6 I.1 Prise en compte des GNT et des sols dans le dimensionnement des chaussées à faible trafic...................................................................................................................7

I.1.1 Les chaussées souples.....................................................................................7 I.2.2 La méthode actuelle de dimensionnement des chaussées...............................8

I.2 L’étude du comportement mécanique des matériaux non traités...................................9 I.2.1 L’essai triaxial à chargements répétés…...…..….…......….…………....…....9 I.2.2 Procédure d’essai pour l’analyse du comportement réversible.....................10 I.2.3 Procédure d’essai pour l’analyse du comportement permanent....................11 I.2.4 Résultats antérieurs de l’étude du comportement réversible du sable de Missillac.....................................................................................12 I.2.5 Résultats antérieurs de l’étude du comportement réversible.........................13 I.2.6 Problématique de l’étude...............................................................................14

I.3 La non saturation des sols.……………......….……...…...….......................................15

I.3.1 Le phénomène de succion..............................................................................15 I.3.2 La courbe de rétention de l’humidité du sol..................................................17

I.3.3 Points caractéristiques de la courbe de rétention...........................................17 I.3.4 L’hystérésis....................................................................................................18 I.3.5 La notion de contrainte effective...................................................................18

I.4 Lois de comportement et modèles de prédiction du comportement réversible............19 I.4.1 Loi de comportement en élasticité linéaire....................................................19 I.4.2 Modèles de comportement en contraintes totales..........................................20

I.4.2.1 Modèle k - Ө………………………………………………….…..20 I.4.2.2 Modèle de Boyce............................................................................21

I.4.3 Modèle de Boyce en contraintes effectives...................................................22 II TRAVAIL EXPÉRIMENTAL......................... .......................................................24

II.1 Caractérisation générale du matériau..............................................................25 II.1.1 L’analyse granulométrique...............................................................25

II.1.2 L’essai de compactage Proctor..............................…………...........27 II.1.3 L’essai CBR……...…......…................……………........................29

II.2 Mesure de la succion avec le papier filtre.......................................................31 II.2.1 Echantillon type I.............................................................................34

II.2.1.1 Résultats de la mesure de la succion.................................34

II.2.1.2 Interprétation des résultats................................................34 II.2.2 Echantillon type II............................................................................35

II.2.2.1 Résultats de la mesure de la succion.................................35 II.2.2.2 Interprétation des résultats................................................37

II.3 Mesure de la succion avec le tensiomètre.......................................................38 II.3.1 Résultats de la mesure..........................................................39 II.3.2 La courbe de rétention du sable de Missillac.......................40

III MODÉLISATION DU COMPORTEMENT RÉVERSIBLE EN CONTRAINTES EFFECTIVES.............................................................................43

III.1 Hypothèses de calcul......................................................................................44 III.2 Approche en contraintes effectives................................................................44 III.3 Optimisation des paramètres du modèle de Boyce........................................45 III.4 Modélisation du comportement réversible pour les teneurs en eau étudiées.....................................................................47

III.4.1 Calage du modèle pour w = 6%…..................................................47 III.4.2 Calage du modèle pour w = 7%…..................................................49 III.4.3 Calage du modèle pour w = 8%…..................................................51 III.4.4 Calage du modèle pour w = 9,6%…...............................................53 III.4.5 Calage du modèle pour w = 10%…................................................55 III.4.6 Calage du modèle pour w = 11%…................................................57 III.4.7 Calage du modèle pour w = 12,3%.................................................59

III.5 Interprétation des résultats.............................................................................61 III.6Variation du module réversible en fonction de la contrainte moyenne effective..........................................................................................................62

III.7 Modélisation du modulé réversible en élasticité isotrope……………......…62 III.7.1 Calage du modèle pour q/p = 0,5…................................................64 III.7.1 Calage du modèle pour q/p = 1…...................................................65 III.7.1 Calage du modèle pour q/p = 2…...................................................66 III.7.1 Calage du modèle pour q/p = 3…...................................................67

CONCLUSION………………………………………………………….………….…..69 RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES…….....…………………………….…...….71 ANNEXES……....……………………………................................................................73 Annexe 1. Analyse granulométrique.................................................................................74 Annexe 2. Mesure de la succion avec le papier filtre.

Courbe d’étalonnage du papier filtre Watman..................................................76 Annexe 3. Mesure de la succion avec le tensiomètre. Feuille d’acquisition du logiciel AOIP.............................................................77 Annexe 4. Feuille d’optimisation des paramètres du modèle de Boyce............................78 Annexe 5. Feuille d’optimisation des paramètres du modèle élastique isotrope...............82 Annexe 6. Calage du modèle de Boyce.............................................................................84

INTRODUCTION

La détermination des propriétés mécaniques des matériaux non traités soumis à des chargements cycliques permet de fournir les paramètres nécessaires au dimensionnement des chaussées souples et de prévenir leur dégradation. L’objectif de l’étude de ces propriétés est de concevoir un modèle qui permette de bien décrire la réponse du sol aux chargements du trafic. La teneur en eau d’un matériau granulaire a une influence significative sur sa résistance et son comportement mécanique. Les recherches effectuées sur l’influence de la teneur en eau dans les couches granulaires des chaussées ont montré que la rigidité du matériau dépend de son degré de saturation et qu’elle atteint sa valeur maximale pour une teneur en eau égale à l’Optimum Proctor. Un fort degré de saturation et une faible perméabilité produisent une augmentation de la pression interstitielle et engendrent une diminution de la rigidité du matériau. Le but de ce travail a été de montrer l’effet de la non-saturation sur le comportement réversible d’un sable soumis aux chargements cycliques. Le sable de Missillac a été utilisé comme sol support dans la construction de la chaussée du Manège de fatigue, réalisée au LCPC de Nantes. Ce travail de recherche poursuit au LAEGO représente une contribution à l’étude antérieure réalisée en 2003 au LCPC de Nantes. Dans l’étude réalisée précédemment, le sable de Missillac a été testé à l’appareil triaxial à chargements répétés. Ces essais ont été effectués à teneur en eau constante et sans mesure de la succion. Les résultats obtenus ont mis en évidence la non linéarité et l’anisotropie du comportement du matériau. La modélisation a permis de décrire le comportement réversible du sol en contraintes totales et de conclure que le meilleur calage s’obtient avec le modèle élastique non-linéaire anisotrope. Les influences de la teneur en eau et de la densité sur le comportement réversible du matériau observées n’ont pas été significatives, ce qui est en contradiction avec les résultats d’essais CBR. Cette nouvelle étude a permis de simuler l’état initial du matériau, décrit par sa teneur en eau et par sa densité sèche (indice de vides) et de trouver une variation de la succion et son influence sur le comportement réversible du sol. Ce travail se décompose en trois parties principales. La première partie représente une étude bibliographique concernant le comportement mécanique de sols non-saturés. Elle présente l’essai triaxial à chargements répétés et les deux approches possibles pour la modélisation du comportement : en contraintes totales et en contraintes effectives. La deuxième tiens compte de l’état hydrique du sol à travers le phénomène de la succion et sa variation avec la teneur en eau du sol.

La deuxième partie présente le travail expérimental, qui a été réalisé au LAEGO. Elle regroupe deux catégories de mesures. Les mesures réalisées pour la caractérisation globale du matériau ont permis de réaliser la courbe granulométrique et la courbe Proctor, et de trouver l’indice type CBR du matériau pour differentes teneurs en eau. Les résultats de ces essais ont été comparés avec ceux obtenus dans l’étude antérieure. Ensuite, des mesures de succion ont été effectuées avec deux méthodes différentes (papier filtre et tensiomètre) pour certaines teneurs en eau et densités sèches du matériau. Ces mesures ont permis d’obtenir la courbe de rétention du sol. La troisième partie concerne la modélisation du comportement réversible du matériau. L’obtention de la courbe de rétention a permis la réalisation d’une approche en contraintes effectives sur la base d’un modèle de comportement élastique non-linéaire anisotrope. Le passage de contraintes totales en contraintes effectives a été fait en utilisant l’équation de Bishop pour les sols non-saturés. Cette nouvelle approche a utilisé les résultats des essais triaxiaux obtenus au LCPC de Nantes et la courbe de rétention du sol obtenue après les essais expérimentaux réalisés au LAEGO.

Le Laboratoire Environnement Géomécanique et Ouvrage

Le LAEGO de Nancy est un laboratoire de recherche en Sciences de la Terre et Environnement, situé dans le Pôle Géosciences et Génie Civil de à l’Institut National Polytechnique de Lorraine (INPL). Régionalement, le LAEGO est un laboratoire bien identifié pour ses compétences utiles à l’Aménagement du Territoire en Lorraine, et il constitue plus généralement dans le Grand Est un pôle de référence dans le domaine de la Géomécanique.

Crée en 1977, le laboratoire est issu du rapprochement entre le Laboratoire de Géomécanique de l’Ecole Nationale Supérieure de Géologie (ENSG) et le Laboratoire de Mécanique des Terrains de l’ Ecole Nationale Supérieure des Mines de Nancy (ENSMN), deux écoles apparténant à l’INPL

Le domaine interdisciplinaire de recherche du LAEGO : Géomécanique, Géosciences, Mécanique et Physico-Chimie, se situe dans le vaste secteur de l'utilisation et de l'aménagement du sol et du sous-sol avec une implication majeure dans le domaine de la sûreté des ouvrages. Les champs d’application sont : ouvrages, géotechnique, géotechnique de l’environnement, protection de l’environnement, stockage, risques naturels et anthropiques, sûreté des ouvrages.

Les thématiques scientifiques sont organisées autour de quatre axes: Mécanique des roches, Mécanique des sols, Transfers en milieux poreux et Système et risques. C’est au sein du deuxième axe que j’ai effectué la partie expérimentale de cette étude.

Les travaux de recherche menés dans la Mécanique des sols se placent dans le domaine de l’étude et de la modélisation physique et numérique du comportement de différents types de sols, en particuliers les sols fins argileux saturés ou non-saturés. Le but est d’apporter une contribution à la bonne maîtrise du comportement des ouvrages de construction dans les sols.

Les travaux sont plus particulièrement orientés vers l’étude des matériaux gonflants compactés ou naturels, aussi bien sur le plan expérimental qu’en modélisation, et le traitement et l’amélioration de ces sols pour leur utilisation optimale dans les remblais routiers ou pour le remblaiement des carrières et des galeries de stockage de déchets radioactifs. Les essais sont réalisées avec des équipements de laboratoire comme l’oedomètre à succion contrôlée ,l’oedomètre hydrocyon avec mesure de la pression interstitielle, la machine d'essai de cisaillement asservie ou la cellule triaxiale tube creux.

Le Laboratoire Central de Ponts et Chaussées

Le LCPC est un organisme national français de recherche appliquée et de développement, un établissement public à caractère scientifique et technologique, placé sous la tutelle conjointe du Ministère de l’Ecologie, de l’Energie, du Développement durable et de l’Aménagement du territoire et du Ministère chargé de la Recherche. Le siège "historique" se trouve à Paris depuis 1949 et le laboratoire est implanté à Nantes, à Marne-la-Vallée et à Satory Versailles.

Le LCPC a structuré ses activités en quatre grands secteurs : Routes, Ouvrages d'art, Géotechnique et Risques naturels, Domaine urbain.

Crée donc en 1975 sur la commune de Bouguenais, le centre de Nantes s’étend sur une surface de 150 ha. Le laboratoire accueille des grands équipements comme le Manège de fatigue des chaussées, la Piste de référence et d'expérimentations routières, la Station de malaxage ou la Centrifugeuse.

Le LCPC de Nantes comporte huit unités de recherche, appelées divisions ou laboratoires, entre lesquelles la division Matériaux et Structures de Chaussées (MSC). Le domaine d'activité du laboratoire des matériaux de chaussées comprend les matériaux bitumineux, traités aux liants hydrauliques et non traités. Les recherches concernent à la fois la structure des matériaux, leur comportement mécanique et leur impact sur l'environnement.

Le laboratoire d’études de matériaux de chaussées dispose d'une large gamme d'équipements, comme l’Appareil triaxial cyclique pour matériaux non traités, le Viscoanalyseur, l'essai de « rupture locale répétée », la Machine de fatigue pour enrobés bitumineux, le Dispositif d‘analyse d'émission de fumées, le Banc de retrait empêché et le Tribomètre pour Revêtement Routier.

Le Manège de Fatigue, mis en service en 1984 sur le site du LCPC à Nantes, permet l’observation des mécanismes de dégradation des chaussées par le trafic, essentielle pour mieux concevoir et dimensionner les chaussées, et pour améliorer leurs techniques de construction et d’entretien. Les chaussées sont normalement conçues pour de longues durées de service (20 à 30 années sur le réseau routier national). L’intérêt du manège est l’application aux chaussées expérimentales testées, en quelques semaines, des charges lourdes supportées par une chaussée réelle à fort trafic pendant toute sa durée de vie, sa vitesses pouvant atteindre 100 km/h.

Figure 1. Manège de fatigue des structures de chaussées à Nantes [17]

Associées aux essais de laboratoire, les expériences Manège contribuent à une meilleure connaissance du comportement des matériaux et structures de chaussée, au développement et à la validation des modèles théoriques, au calage des méthodes de dimensionnement et de renforcement des chaussées. Le manège sert ainsi au calage des paramètres de dimensionnement des grandes familles de structures constituant le Catalogue des Chaussées neuves de la Direction des Routes.

Le matériau testé dans cette étude est un matériau de type sableux provenant de la carrière de Missillac, utilisé comme sol support dans la construction de la chaussée du Manège de fatigue. La semaine passée au LCPC m’a permis de voir la structure et de comprendre l’utilité de cette étude.

I ÉTUDE BIBLIOGRAPHIQUE

I.1 Prise en compte des GNT et des sols dans le dimensionnement des chaussées à faible trafic I.1.1 Les chaussées souples Le guide technique ‘’Conception et dimensionnement des structures de chaussées’’[18] classe les structures de chaussée du réseau routier français en six groupes principaux :

- souples, - bitumineuses épaisses, - à assise traitée aux liants hydrauliques, - à structure mixte, - à structure inverse, - en béton de ciment.

La structure d’une chaussée souple ou à faible trafic est composée d’une couverture bitumineuse relativement mince (inférieure à 15 cm ) disposée sur une ou plusieurs couches de matériaux granulaires non traités, l’ensemble reposant sur un sol support. L’épaisseur globale de cette structure de chaussée est généralement comprise entre 30 et 60 cm. Le revêtement hydrocarboné peut être décomposé en une couche de roulement et une couche de liaison, d’un corps de chaussée lui même le plus souvent divisé en une couche de base à la partie supérieure et une couche de fondation sous jacente en graves non traitées, reposant sur un ensemble appelé plate-forme support de chaussée, constituée du sol terrassé, surmonté en général d’une couche de forme. En fonction de l’importance de la chaussée, le revêtement peut être très mince (20 mm) avec un rôle d’usure et d’étanchéité ou plus épais (15 cm) avec un rôle de répartition de charges. Les couches en graves non traitées doivent assurer la résistance aux charges du à la mise en œuvre de la chaussée, la répartition de sollicitations mécaniques du au trafic et le drainage. Les couches granulaires ont une faible rigidité qui dépend de leur épaisseur et de celle du sol. Les contraintes verticales élevées produisent les déformations plastiques du sol ou de la grave qui conduisent à la déformation plastique en surface de la chaussée. La figure I.1. schématise une coupe de chaussée souple.

Figure I.1. Coupe verticale d’une structure de chaussée [18]

Les sollicitations dues au trafic et aux conditions climatiques, particulièrement les conditions hydriques, représentent les causes d’endommagement de ce type de chaussée. La faible rigidité de ces structures les rend sensibles aux variations d’état hydrique des sols supports. Cette sensibilité se manifeste par la réduction de portance en période humide pouvant conduire a des affaissements de rive et fissuration de retraite hydrique en période de dessiation, nommés ‘’effets de bord’’ [18]. Les principales modes de dégradation sont : l’orniérage à grand rayon et la fissuration par fatigue de la couverture bitumineuse. Les deux phénomènes facilitent l’infiltration de l’eau dans la structure de la chaussée provoquant l’accélération de la dégradation, remarquée sous forme d’épaufrures aux lèvres des fissures avec départ de matériaux et formation de nids de poule. I.1.2 La méthode actuelle de dimensionnement des chausées La méthode française actuellement utilisée pour le dimensionnement des structures de chaussées est une méthode rationnelle, du type calcul de structures de génie civil. D’après [18] et [19], le dimensionnement d’une chaussée s’effectue en deux temps : premièrement un dimensionnement mécanique qui assure la résistance mécanique de la structure et deuxièmement une vérification au gel/dégel qui assure que la chaussée issue du dimensionnement mécanique peut supporter sans dommage un hiver d’intensité donnée. Le calcul de dimensionnement mécanique considère la chaussée comme une structure élastique formée de plusieurs couches, caractérisées par leur épaisseur, le module de Young (E) et le coefficient de Poisson (ν). Ces caractéristiques doivent répondre aux sujétions du trafic pendant une durée donnée. La structure de la chaussée a été bien choisie si les sollicitations calculées au sein de la structure sous l’essieu de référence de 130 kN restent inférieures ou égales aux sollicitations admissibles. Les sollicitations admissibles correspondent à la rupture par fatigue des matériaux liés ou à la déformation permanente des couches non liées. Les matériaux utilisés dans la construction de chaussées se trouvent dans un état non-saturé. Les calculs sont usuellement réalisés en contraintes totales parce que la mesure de la succion implique l’utilisation des méthodes plus élaborées basées sur le principe de ‘’translation des axes’’. La réalisation en laboratoire de recherche des essais avec l’appareil triaxial, l’oedomètre ou avec la boite de cisaillement à succion contrôlé permettent d’étudier l’influence de la succion sur les propriétés mécaniques de matériaux et de donner une approche en contraintes effectives. I.2 L’étude du comportement mécanique des matériaux non-traités

I.2.1 L’essai triaxial à chargements répétés (TCR) Les graves non-traitées (GNT) sont des matériaux granulaires qui possèdent une granulométrie étalée et une densité optimale pour une certaine teneur en eau. Dans le domaine de la recherche, le principal essai permettant de caractériser leur comportement mécanique est devenu l’appareil triaxial à chargements répétés de compression (Paute et Lefort, 1967). Le chargement cyclique permet d’étudier séparément le comportement réversible et le comportement à long terme (irréversible) du matériau testé. L’étude du comportement irréversible est limitée par le fait que l’appareil triaxial ne tient pas compte de la rotation de la direction des contraintes principales. Afin de conserver l’état initial de contraintes pour un échantillon testé, des cellules triaxiales de dimensions plus grandes ont été réalisées et des nouvelles procédures d’essai ont été mises au point en 2003 par Hornych et Gidel [11].

Les éprouvettes testées sont fabriquées par vibrocompression selon la norme NF P 98-230-1. Elles sont de forme cylindrique et ont un diamètre de 160 mm et une hauteur de 320 mm. Dans un essai triaxial, l’éprouvette est soumise a une pression de confinement

‘’ 3σ ’’ et a une contrainte axiale ‘’1σ ’’. Les contraintes appliquées sont définies en terme

de contrainte moyenne ‘’p’’ et de contrainte deviatorique ‘’q’’ de la manière suivante :

1 3q σ σ= − et 1 32

3p

σ σ+ ⋅= (1)

contraintes

temps

déformation

déformationpermanente

déformationréversible

0

cycle ncycle 1 cycle 2 cycle 3

cycle ncycle 1 cycle 2 cycle 3

q

3

3

3q

σ

σ

σ

Figure I.2. Action de contraintes sur une éprouvette [1] Les invariants de contraintes vε et qε pour le cas axisymétrique sont définis de la même

manière :

vε : déformation volumique 1 32vε ε ε= + ⋅ (2)

qε : déformation deviatorique ( )1 3

2

3qε ε ε= ⋅ − (3)

Le chargement cyclique suivant différents chemins de contraintes, est réalisé grâce à un système pneumatique. La figure I.3. présente l’appareil et les dispositifs de mesures de déformations.

Figure I.3. Cellule triaxiale de l’appareil TCR d’après Hornych [11] I.2.2 Procédure d’essai pour l’analyse du comportement réversible Ce comportement est normalisé (pr ENV 00227413, 1997). L’analyse du comportement réversible du matériau est réalisée en deux phases [11]. La première consiste à appliquer à l’éprouvette un conditionnement cyclique pendant 10 000 cycles de chargement – déchargement sous un chemin de contraintes standard (∆q/∆p = 2), afin d’obtenir la stabilisation de la déformation permanente. Après le conditionnement, le comportement du matériau est de type réversible. La deuxième phase consiste en l’application d’une serie de 100 chargements cycliques sur plusieurs niveaux de contraintes (pmax ; qmax), selon différents chemins de chargement (q/p). La déformation réversible est mesurée à la fin du 100ème cycle.

Résultats du conditionnement :Déformation axiale permanente

0

20

40

60

80

100

120

0 2000 4000 6000 8000 10000

Nombre de cycles N

Déf

orm

atio

n ax

iale

per

man

ente

εε εε 1

p (

10-4

)

GSM1 - d=2 - w=11%GSM2 - d=2 - w=10,1%GSM3 - d=2 - w=8,8%GSM4 - d=2 - w=11,4%GSM6 - d=2 - w=13,2%GSM7 - d=1.9 - w=11%GSM8 - d=1.9 - w=10%GSM9 - d=1.9 - w=14,3%GSM10 - d=2 - w=7.17%

gsm1

gsm2

gsm3

gsm4

gsm6

gsm7

gsm8

gsm9

gsm10

Figure I.4. Evolution des déformations axiales permanentes au cours du conditionnement

[3]

I.2.3 Procédure d’essai pour l’analyse du comportement permanent Pour l’analyse du comportement permanent, la procédure générale d’essai triaxial consiste à soumettre une éprouvette à un grand nombre de cycles de chargement (minimum 105) sous un seul niveau de contraintes. Pour cette analyse, la procédure d’essai triaxial proposé par Hornych et Gidel [11] consiste à soumettre une éprouvette à plusieurs niveaux de contraintes successifs croissants. Dans cette procédure, chaque éprouvette est soumise à un seul niveau de chargement ou chemin de contraintes, caractérisé par un rapport constant (q/p=ct). Chaque chemin est composé de plusieurs paliers dont les valeurs de contraintes q et p évoluent de manière croissante, tout en respectant un rapport q/p constant propre à chaque chemin. Chaque palier a une durée de 50 000 cycles. Le mode de chargement cyclique par paliers est représenté sur la figure I.5.

Figure I.5. Chargement cyclique par paliers d’après Hornych [11]

I.2.4 Résultats antérieurs de l’étude du comportement réversible du sable de Missillac L’étude du comportement réversible du sable de Missillac a été fait en contraintes totales dans l’étude antérieure. Pour étudier le comportement réversible du matériau, l’échantillon a été soumis à un conditionnement de 104 cycles de chargement à l’appareil triaxial à chargements répétés (TCR), à une fréquence de 1Hz, afin d’obtenir une stabilisation des déformations (l’accroissement de la déformation plastique a été inférieur à 10-8 par cycle). Cela a été réalisé en appliquant un état de contraintes (∆p, ∆q) = (40 kPa, 80 kPa) à partir de l’état de contraintes initial (10 kPa, 5 kPa). Une série de 100 chargements cycliques a été appliquée sur différents chemins (q/p) et pour chaque niveau de contraintes (pmax, qmax). Six chemins de contraintes ont été étudiés (∆q/∆p = 0 ; 0,5; 1; 2; 2,5 ; 3) et trois ou quatre niveaux de contraintes ont été appliqués pour chaque chemin. Le comportement réversible du sable de Missillac a été interprété avec le modèle élastique linéaire et non linéaire de Boyce, isotrope ou anisotrope.

Différents cas de chargements

0

20

40

60

80

100

120

140

0 20 40 60 80 100 120 140

p (kPa)

q (k

Pa)

q/p = 0

q/p = 0.5

q/p = 1

q/p = 2

q/P = 2.5

q/p = 3

droite rupture

Figure I.6. Les différents chemins de contrainte appliqués lors de l’étude du

comportement réversible du sable de Missillac [3]

Les résultats expérimentaux ont montré la non linéarité du comportement du sol et sa dépendance à la contrainte moyenne p et au chemin de contraintes q/p. L’anisotropie de ce comportement a également été remarquée dans tous les essais. Entre 0,1 et 5 Hz, la fréquence de chargement n’a pas d’influence sur le comportement réversible du sol. Les meilleures prédictions ont été obtenues avec le modèle de Boyce non linéaire anisotrope.

Exemple de modélisation du comportement réversibleavec le modèle de Boyce anisotrope

Essai GSM8 - Cycle 95 - εεεεv = f(p)

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

0 20 40 60 80 100 120

Contrainte p (kPa)

Déf

orm

atio

n vo

lum

ique

εε εεv

(10

-4)

q/p = 0,5

Modèle anisotrope

q/p = 1

Modèle anisotrope

q/p = 2

Modèle anisotrope

q/p = 3

Modèle anisotrope

q/p = 0

Modèle anisotrope

Figure I.7. Ajustement des déformations volumiques d’un cycle complet, pour le sable de Missillac, w = 8% [3]

Exemple de modélisation du comportement réversibleavec le modèle de Boyce anisotrope

Essai GSM8 - Cycle 95 - εεεεq = f(p)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 20 40 60 80 100 120

Contrainte p (kPa)

Déf

orm

atio

n de

cis

aille

men

t εε εεq

(10

-4)

q/p = 0,5Modèle anisotrope

q/p = 1Modèle anisotrope

q/p = 2Modèle anisotrope

q/p = 3Modèle anisotrope

q/p = 0Modèle anisotrope

Figure I.7. Ajustement des déformations de cisaillement d’un cycle complet, pour le sable

de Missillac, w = 8% [3] I.2.5 Résultats antérieurs de l’étude du comportement réversible Dans les travaux de Coronado [6] sur les propriétés mécaniques de quatre matériaux granulaires type GNT, les deux approches ont été réalisées après les essais triaxiaux avec imposition de la succion. Il a étudié un seul chemin de contraintes q/p=3 et il s’est aperçu que l’évolution du module résilient pour chaque teneur en eau (w= 2,00 % ; 2,05 % ; 3,86 % ; 5,12 %) peut être décrite par une droite en contraintes totales de forme 0E E pα= + ⋅

et que grâce aux mesures de succions toutes les droites se retrouvent sur une seule courbe

de forme ( )' nE pα= ⋅ en contraintes effectives.

La contrainte moyenne effective'p a été déduite avec deux relations : la relation de Taibi et la relation de Terzaghi et les deux series de résultats ont conduit au même résultat.

Figure I.8. Variation du module sécant avec la contrainte moyenne effective 'p deduite

de la relation de Terzaghi ; echelle log, d’après Coronado [6] I.2.6 Problématique de l’étude Cette étude se propose de montrer l’effet de la non-saturation sur le comportement réversible du sable de Missillac soumis aux chargements cycliques au moyen d’une approche en contraintes effectives. Plus précisément, ce travail de recherche visait à :

- Introduire l’influence de la teneur en eau dans l’expression d’un modèle de comportement élastique non linéaire anisotrope

- Appliquer le modèle sur les résultats obtenus pour le sable de Miscillac, après les essais triaxiaux à différentes teneurs en eau

- Trouver une loi de comportement pour le comportement réversible du matériau en contraintes- déformations influencée par sa teneur en eau. Les contraintes et la teneur du sol étant connues, cette loi devrait permettre de prédire la réponse élastique du sol (déformations volumiques et déformations deviatoriques). Cela se traduit par un seul groupe de valeurs de paramètres de la loi, valable pour toutes les teneurs en eau du matériau.

Dont le but de montrer la prise en compte de l’effet de la teneur en eau sur le comportement réversible du matériau, cette nouvelle étude visait également à obtenir une réprésentation du module réversible pour les différentes teneurs en eau du sol avec une approche en contrainte effective.

I.3 La non-saturation des sols I.3.1 Le phenomene de succion La succion ‘’s’’ représente un déficit de pression (defini par rapport à la pression atmosphérique) dans un échantillon de sol sans contrainte extérieure [20]. Elle est définie comme la différence entre la pression atmosphérique et la pression négative de l’eau, dans un échantillon de sol ( a ws u u= − ).

La succion totale d’un sol varie dans une gamme très large, de 0 pour un sol saturé à 610 kPa pour un sol séché à l’étuve. Pour éviter l’utilisation de chiffres aussi importants, en 1935 Schofield [8] a introduit le terme de « potentiel of free energy » noté pF. La succion totale quantifie le potentiel thermodynamique de l’eau interstitielle (eau présente dans les pores du sol) par rapport au potentiel de l’eau libre, c'est-à-dire l’eau qui n’est pas en interaction avec d’autres phases et qui est soumise seulement à l’action de la force gravitationnelle. Le pF est défini par la relation : pF = log s où la succion s est exprimée en centimètres de colonne d’eau. La succion totale d’un sol est formée de deux composantes principales : une succion matricielle et une succion osmotique (Aitchinson, 1965) [8]. La composante matricielle est dépendante des propriétés capillaires du milieu et des propriétés d’adsorption développées par les particules d’un sol. Les propriétés capillaires sont caractérisées par le « rayon de pores », soit par la structure du sol. Les propriétés d’adsorption sont liées aux forces d’adsorption des minéraux argileux (forces de type électrique) et des ions superficiels développées par les particules d’un sol (forces de type Van de Waals); elles dépendent de la surface spécifique des particules du sol. La composante osmotique est due au déséquilibre de composition ionique entre l’eau interstitielle et la surface des particules solides. La succion matricielle décrit le comportement rhéologique du sol, alors que la succion osmotique ne joue aucun rôle dans ce comportement. La loi de Jurin-Laplace [15] permet de relier la pression capillaire existant au niveau de l’interface air-eau des pores au rayon d’un pore équivalent :

rTP sc

αcos.2= ou )

11(

21 RRTuuP swac +=−=

Où : Pc : pression capillaire [kPa] Ts : tension superficielle de l’eau [Nm-1] α : angle de raccordement du ménisque [◦] r : rayon du tube capillaire équivalent [m] ua : pression de l’air au-dessus de l’interface [kPa] uw : pression de l’eau en dessous de l’interface [kPa] R1, R2 : rayons principaux de courbure [m]

Figure I.9. Loi de Laplace La loi de Kelvin [15] permet d’exprimer quantitativement la succion totale, reliée à

l’humidité relative (0p

p) :

=

0

lnp

p

V

RTs

w

Où : s : succion [kPa] R : constante de gaz parfaits (=8,3143 Jmol-1◦K-1) T : température absolue [K] Vw : volume d’une mole d’eau (=1,8 10-5 m3 mol-1) p : pression de vapeur d’eau [kPa] p0 : pression de vapeur d’eau pure libre [kPa] D’après Fleureau [7], les essais qui considèrent la pression négative peuvent être de deux types : - drainés, essais à pression négative imposée et la pression de Laplace est maintenue constante - non drainés, essais avec mesure de la pression et la pression capilaire (ua - uw) peut varier L’imposition de la succion peut être réalisée avec les plaques tensiométriques, les plaques de pression, le dessiccateur à vide ou avec la technique osmotique. La mesure de la succion peut être réalisée avec le tensiomètre à eau, le tensiomètre osmotique, le psychromètre ou avec le papier filtre. Deux méthodes de mesure de la succion ont été appliquées dans ce travail de recherche : la methode du papier filtre et la methode tensiomètrique. I.3.2 La courbe de rétention de l’eau du sol

Eau libre

Capillaire

Ts

La courbe qui représente la relation entre le potentiel d’un sol et sa teneur en eau est appelée ‘’courbe de rétention de l’humidité du sol’’ ou ‘’courbe caractéristique du sol’’[15]. Cette relation n’est pas unique, elle peut être obtenue par ‘’drainage’’ ou par ‘’mouillage’’ d’un échantillon de sol. Dans le premier cas, des accroissements de succion sont appliqués à l’échantillon initialement saturé afin de sécher le sol graduellement. Des mesures successives de la teneur en eau en fonction de la succion sont faites. Dans le deuxième cas, la succion est réduite graduellement en partant d’un échantillon de sol sec. Chaque méthode donne une courbe de rétention mais les deux courbes ne sont pas identiques. A l’équilibre à une succion donnée, la teneur en eau d’un sol est plus grande en drainage qu’en mouillage. Pour un sol, le graphique obtenu par les deux processus est de type ‘’hystérésis’’. L’hystérésis est généralement attribué aux plusieurs facteurs comme : l’angle de contact, la présence d’air piégé qui tend à réduire la teneur en eau du sol en chemin d’humidification, le gonflement et le retrait qui provoquent des variations différentielles de la structure du sol et aussi la non uniformité géométrique des pores individuels. I.3.3 Points caractéristiques de la courbe de rétention Une augmentation de la succion engendre une quantité d’eau drainée plus significative et une vidange des pores du fait qu’ils ne peuvent pas retenir l’eau contre la succion appliquée [20]. Les pores les plus grands sont les premiers à se vider. L’application d’une faible succion à l’eau d’un sol saturé engendre une réduction de sa teneur en eau seulement à partir d’une valeur critique pour laquelle les pores les plus grands commencent à se vider. Cette valeur critique de la succion est appelée ‘’point d’entrée d’air’’ et elle dépend de la nature ansi que de la structure du sol. Lorsque la teneur en eau décroît l’indice des vides tend vers une valeur constante et la teneur en eau correspondant à ce point, donc à l’indice des vides final du sol est appelée ‘’limite de retrait’’.

Figure I.10. Exemple de courbe caractéristique d’un sol, d’après Vanapalli [22] I.3.4 L’hystérésis

D’un point de vue énergétique, la surface observée entre les deux branches d’un cycle de drainage-humidification, correspond à la quantité d’énergie transformée irréversiblement pendant le processus (Andrei, 1977). Un article récent [10] explique le phénomène d’hystérésis de la manière suivante : l’augmentation de la succion engendre une augmentation de la contrainte effective qui conduit à un écrouissage du sol. Le comportement du sol ressemble au comportement d’un sol saturé. Que la valeur de la succion ait dépassé le point d’entrée d’air, l’énergie plastique de la succion matricielle est consommée pour le séchage du matériau et la surface formée entre les deux courbes représente le travail plastique sur l’unité de volume.

Figure I.11. Premièr cycle de drainage-imbibition sur le limon de Jossigny normalement

consolidé [9] I.3.5 La notion de contrainte effective Le sol est un milieu multiphasique, formé de grains solides, de l’eau et de l’air [20]. Le principe de contraintes effectives a été défini pour la première fois par Terzaghi en 1936, de la manière suivante : ‘’Les contraintes en un point quelconque d’une section à travers un échantillon de sol peuvent être calculées à partir de contraintes principales 1σ , 2σ et 3σ qui agissent en ce point’’.

Si les vides dans le sol sont remplis d’eau à une pression uw, les contraintes totales principales se divisent en deux parties : - une partie, uw, qui agit dans l’eau et sur le solide avec la même valeur dans toutes les directions. Elle est appelée ‘’contrainte neutre’’ ou ‘’pression interstitielle’’. - les valeursw '

1 1 wuσ σ= − , '2 2 wuσ σ= − et '

3 3 wuσ σ= − représentant les différences par

rapport à la pression interstitielle u, et sont appliquées exclusivement sur la phase solide. Ces fractions des contraintes totales principales sont appelées ‘’contraintes principales effectives ‘’.

Une variation de la pression interstitielle ne produit pratiquement aucune variation de volume et n’a pratiquement pas d’influence sur l’état de contrainte à la rupture. Les changements de tous les paramètres mesurables provoqués par les variations de contrainte tels que la résistance à la compression, à la distorsion et la résistance au cisaillement sont exclusivement dus aux variations des contraintes effectives'1σ , '

2σ et '3σ

[20]. Ce principe décrit bien le comportement de sols saturés à pression positive ou nulle. Pour les sols non saturés, le principe a été généralisé en 1959 par Bishop [12]. L’équation du Bishop permet d’exprimer les contraintes effectives en fonction des contraintes totales, de la succion et d’un nouveau paramètre dépendant de la structure du sol ‘’χ ‘’. La valeur de ce paramètre est égale à 1 pour les sols saturés et égale à zéro pour les sols secs.

Où : ua : pression de l’air dans les pores du sol uw : pression de l’eau dans les pores du sol χ : coefficient de contraintes effectives I.4 Lois de comportement et modèles de prediction du comportement réversible I.4.1 Loi de comportement en elasticité linéaire La loi de Hooke [14], valable en élasticité linéaire décrit le mieux le comportement en contrainte-déformation pour un matériau isotrope.

( )

( )

3 1 2 01

. (5)20 1

3

v

q

p

qE

νεε ν

⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ +

Où : E : module d’élasticité du matériau ν : coefficient de Poisson Pour le chargement cyclique, le module résilient du matériau est défini par la relation suivante :

( ) ( )' ,0 1 (4)a a wu u uσ σ χ χ= − + ⋅ − ≤ ≤

1

(6)r

qM

ε∆=∆

et 3

1

(7)ενε

∆= −∆

,où q∆ , 1ε∆ et 3ε∆ sont les différences en contrainte et en déformation calculé par

rapport au premier palier. Le module de compressibilité et le module de cisaillement du matériau sont exprimés en fonction du module réversible et du coefficient de Poisson :

(8)3 (1 2 )

rr

MK

ν=

⋅ − ⋅ et (9)

2 (1 )r

r

MG

ν=

⋅ +

Il existe deux approches possibles pour la modélisation du comportement réversible : en contrainte totale ou en contrainte effective. L’étude en contrainte totale se fait sans la prise en compte de l’effet de la succion. Cet effet est pris en compte dans une étude en contrainte effective. I.4.2 Modèles de comportement en contraintes totales I.4.2.1 Modèle k - Ө Le modèle k - Ө de Hicks et Monismith [14] décrit le comportement en contraintes-déformations de matériaux de type granulaire soumis au chargement cyclique. Ce modèle suppose que le module élastique du matériau dépende seulement de la contrainte moyenne.

2

21 1

3k

kr a

a

pM k k p

pθ

⋅= ⋅ = ⋅ ⋅

et ν = ct (10)

Où :

1 2 3 3 pθ σ σ σ= + + = ⋅

Mr : module réversible du matériau p : contrainte moyenne pa : pression de référence (pa=100 kPa) k1, k2 : paramètres du modèle I.4.2.2 Modèle de Boyce

Le modèle de Boyce (1980) [14] permet d’exprimer le module de compressibilité en fonction de la contrainte moyenne et de la contrainte deviatorique et le module de cisaillement en fonction de la contrainte moyenne.

1

21

n

ar

a a

p

pK

q

K K p

β

− =

− ⋅

et

=

−

a

n

ar

G

p

p

G1

1

ou ( )1 (11)6

a

a

Kn

Gβ = − ⋅

⋅

Où : Kr : module de compressibilité, Gr : module de cisaillement Ka : paramètre du modèle, Ka >0 Ga : paramètre du modèle, Ga >0 n : paramètre de non linéarité, 0 1n< ≤ Les relations en contraintes-déformations ont la forme suivante :

1 32vr

p

Kε ε ε ∆∆ = ∆ + ⋅ ∆ = et ( )1 3

2(12)

3 3qr

q

Gε ε ε ∆∆ = ⋅ ∆ − ∆ =

En termes de déformation volumique et déformation deviatorique, l’expression du modèle devient:

( ) 2

1

111

6

na

v na a a

n Kp q

K p G pε −

− ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

et 1

1(13)

3

n

q na a

p q

G p pε −= ⋅ ⋅

⋅

Puisqu’une chaussée est formée de plusieurs couches, le comportement des matériaux utilisés dans la structure de chaussées peut être de type non isotrope. Pour tenir compte de l’anisotropie, le coefficient d’anisotropie « γ » a été introduit et les nouvelles expressions de p et de q ont pris les formes suivantes :

* 1 32

3p

γ σ σ⋅ + ⋅= et *1 3q γ σ σ= ⋅ − , 0 1 (14)γ< <

*p : contrainte moyenne qui tient compte de l’anisotropie du matériau *q : contrainte deviatorique qui tient compte de l’anisotropie du matériau

Les relations en contraintes-déformations pour le modèle anisotrope sont:

( )*

* * *1 3

2

3 3qr

q

Gε ε ε ∆∆ = ⋅ ∆ − ∆ =

⋅ et

** * *

1 32 (15)vr

p

Kε ε ε ∆∆ = ∆ + ⋅∆ =

Le module de compressibilité et le module de cisaillement pour le modèle de Boyce anisotrope ont les expressions suivantes :

1*

2*

*

1

n

ar

a a

p

pK

q

K K p

β

− =

− ⋅

et

=

−

a

n

ar

G

p

p

G1

1*

, où ( )1 (16)6

a

a

Kn

Gβ = −

⋅

En termes de déformation volumique et déformation déviatorique, l’expression du modèle anisotrope est :

( ) ( ) 2* **

1 *

111

6

n

av n

a a a

p n K q

K p G pε −

− ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

et ( )* *

*1 *

1(17)

3

n

q na a

p q

G p pε −= ⋅ ⋅

⋅

I.4.3. Modèle de Boyce en contraintes effectives Le passage du modèle de Boyce en contraintes totales à un modèle en contraintes effectives a été effectué en utilisant l’équation de Bishop pour les sols non-saturés. Les expressions de la contrainte axiale effective '

1σ et de la contrainte de confinement '3σ

peuvent s’écrire dans la même forme que (4) et en tenant compte de l’anisotropie de la manière suivante :

( ) ( )'1 1 a a wu u uσ γ σ χ= ⋅ − + ⋅ −

( ) ( )'

3 3 (18)a a wu u uσ σ χ= − + ⋅ −

Où ( ) suu wa =−

Les expressions de la contrainte moyenne et de la contrainte déviatorique en contraintes effectives ont été obtenues en remplaçant 1σ et 3σ par les expressions de '1σ et de '

3σ

dans les formules dep et deq .

( ) ( ) ( )1 3' *2 2(19)

3a a

a

u s u sp p u s

γ σ χ σ χχ

⋅ − + ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅= = − + ⋅

( ) ( )' *1 3 1 3 (20)a aq u s u s qγ σ χ σ χ γ σ σ= ⋅ − + ⋅ − − − ⋅ = ⋅ − =

En termes de déformation volumique et déformation déviatorique, l’expression du modèle de Boyce non linéaire anisotrope est :

( ) ( ) 2' '

1 '

111

6

n

av n

a a a

p n K q

K p G pε −

− ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅

et ( )' '

1 '

1(21)

3

n

q na a

p q

G p pε −= ⋅ ⋅

⋅

Où :

( )*' ap p u sχ= − + ⋅ *'q q=

Les déformations calculées avec les expressions (21) sont des déformations anisotropes. La formulation du comportement élastique non-linéaire sur la base du modèle de Boyce a été donnée par Hornych [1], par dérivation de l’énergie potentielle.

L’expression de l’énergie potentielle s’écrit :

( )

2'' 1

1 '

1 1 1(22)

1 6c n

na a a

qU p

p n K G p+

−

= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

Les dérivés mathématiques du potentiel d’énergie exprimée avec le modèle du Boyce non linéaire anisotrope (22) par rapport à la contrainte moyenne et à la contrainte déviatorique permettent de calculer les déformations volumiques et déviatoriques pendant l’essai.

( )2' * *

1 '

2 1 12

3 18 3 'v

n

na a a a

p n q q

p K G p G p

γ γε γ−

+ − −= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( )2' * *

1 '

2 1 1 2 11 (23)

3 3 18 6 '

n

q na a a a

p n q q

p K G p G p

γ γε γ−

− − ⋅ += ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Ce modèle a été appliqué sur les résultats expérimentaux d’essai triaxiaux dans partie de la modélisation.

II TRAVAIL EXPÉRIMENTAL

II.1 Caractérisation générale du matériau Les graves non-traitées sont des mélanges de matériaux granulaires et d’eau sans ajout de liant. Ce type de matériaux est utilisé pour la fabrication de chaussées assurant un trafic

routier faible à moyen, défini comme inférieur à 200 poids lourds/ jour [18]. Leur granulométrie est continue et la taille du plus gros grain est inférieure à 31,5 mm. Le matériau étudié est le sable de Missillac, utilisé ultérieurement comme sol support de la chaussée du Manège de fatigue au LCPC de Nantes. II.1.1 L’analyse granulométrique L’analyse granulométrique du sable de Missillac comprend trois étapes : le tamisage par voie humide (XP P 94-041), le tamisage à sec après lavage (NF P 94-056) et la sédimentation (NF P 94-057). Cette analyse, complétée par d’autres paramètres, permet de classifier un matériau à partir de la dimension des grains. Le principe de la méthode de tamisage par voie humide consiste à séparer par lavage les grains agglomérés d’un échantillon de masse connue du matériau, puis à les fractionner, au moyen d’une série de tamis ; et enfin à peser successivement après séchage la partie du matériau retenue sur chaque tamis (le refus sur un tamis). Le lavage du matériau a été réalisé manuellement. Les tailles des mailles des tamis utilisés sont les suivantes : 80 µm; 125 µm; 400 µm; 630 µm; 1,25 mm; 2,5 mm; 5 mm; 10 mm; 20 mm. Les refus ont été séchés à l’étuve à une température de 60°C pendant deux jours. Ces refus ont été utilisés pour le tamisage à sec qui est un tamisage dynamique réalisé avec le dispositif présenté dans la figure II.1. Les tamis avec les refus ont été pesés. Le mode opératoire est présenté en Annexe 1.

Figure II.1. Dispositif de tamisage dynamique La masse minimale de tamisât nécessaire en fonction de la dimension maximale des grains du matériau (d= 20 mm) est de trois kilogrammes (Annexe 1.). La masse exacte utilisée vaut 3,27 kilogrammes. Une quantité identique de matériau a été utilisée pour déterminer la teneur en eau initiale. Une analyse granulométrique par sédimentation a été réalisée pour déterminer la distribution pondérale de la taille des particules fines d’un sol (Ø < 80 µm). Les particules inferieures à 80 µm séparées du reste du sol par tamisage sont mises en suspension dans l’eau additionnée d’un défloculant. La vitesse de sédimentation des particules est fonction de leur taille. Un densimètre permet alors de mesurer l’évolution dans le temps de la

masse volumique de la solution et la profondeur d’immersion de l’appareil, présenté dans la figure II.2.

Figure II.2. Dénsimètre utilisé pour l’analyse granulométrique par sédimentation La courbe granulométrique obtenue est représentée dans la figure II.3(a). Comme les matériaux de type sableux, le sable de Missillac présente une granulométrie étalée (d60= 1,10 mm; d30= 0,48 mm; d10= 0,01mm).

Figure II.3(a) Courbe granulométrique du sable de Missillac Les valeurs obtenues sont confirmées par les résultats de l’analyse granulométrique effectuée en 2003 [3]; d60= 1,25 mm; d30= 0,60 mm; d10= 0,15 mm), présentée dans la figure II.3(b). Les différences ne sont pas significatives est elles sont dues à la distribution de la tailles des particules du matériau analysé.

Figure II.3(b) Courbe granulométrique du sable de Missillac [3]

II.1.2 L’essai de compactage Proctor L’essai Proctor Normal ou Modifié permet de trouver la teneur en eau optimale qui conduit au meilleur compactage possible d’un sol. Le compactage de l’échantillon de sol est fait dans un moule normalisé, avec une dame normalisée, selon un processus bien défini (NF P 94-093). La teneur en eau et le poids spécifique sec après compactage du sol sont mesurés. L’essai est répété plusieurs fois sur des échantillons portés à différentes teneurs en eau. Les points obtenus de cette manière forment une courbe dans l’espace (γd; w) et le point dont l’ordonnée est la densité sèche maximale et l’abscisse est la teneur en eau correspondante représente l’Optimum Proctor. Dans cette étude, six essais Proctor Normal ont été réalisés. Le compactage Proctor Normal est réalisé en trois couches avec 55 coups de dame par couche dans un appareil de compactage du même type que celui de la figure II.4. Les valeurs fixées pour ce type d’essai sont les suivantes : Masse de la dame : 2490 kg Hauteur de chute : 30,5 cm Energie de compactage : 533 kJ/ m3

Figure II.4. Machine de compactage

Le moule utilisé pour le sable de Missillac est de type CBR, caractérisé par :

ømoule : 152 mm H : 152 mm sans rehausse H disque d’espacement : 35,3 mm H utile : 116,7 mm Vmoule CBR : 2 116,55 cm3 La courbe de compactage de sable de Missillac est presenteé dans le graphique suivant.

Figure II.5(a) Essai de compactage Proctor Normal sur le sable de Missillac L’étude de la courbe montre que l’Optimum Proctor se situe dans l’intervalle w = (9%; 9,2%). La valeur a été approximée à wopt = 9%. Les caractéristiques optimales de compactage Proctor Normal valent wopt = 9% et d = 2,06 g/cm3. La densité varie de 0,12 g/cm3 et de la même manière dans les intervalles [ wopt – 2 % ; wopt] et [ wopt; wopt + 3]. Les résultats obtenus pour une teneur en eau de 5,7% ont montré qu’un abaissement de la teneur en eau réduit la densité sèche du matériau de 0,22 g/ cm3 par rapport à l’Optimum Proctor. Une augmentation plus significative de la teneur en eau par rapport à la valeur optimale conduit au même effet. Les valeurs obtenues sont confirmées par les résultats de compactage Proctor Normal obtenus lors de l’étude antérieure qui valent wopt = 9,2% et d = 2,06 g/cm3 et la courbe de compactage est représentée dans la figure II.5(b).

Figure II.5(b) Essai de compactage Proctor Normal sur le sable de Missillac [3] Les teneurs en eau et les densités obtenues après le compactage ont permis de calculer l’indice de vides :

La valeur qui a été prise en compte pour le coefficient Gs est celle connue pour les matériaux sableux, c’est-à-dire Gs = 2,65. Les résultats sont regroupés dans le tableau ci-dessous.

Nr d'essai

w [%]

γγγγd

[g/cm3] e

1 5,7 1,83 0,45 2 7,9 2,00 0,33 3 9,3 2,05 0,29 4 9,9 2,01 0,32 5 10,5 1,99 0,33

6 12 1,93 0,37

Tableau II.1. Indices de vides obtenus après le compactage II.1.3 L’essai CBR L’utilisation d’un moule de type CBR a permis la réalisation des essais CBR, effectués après le compactage Proctor. Ces essais ont permis de trouver un indice qui exprime en pourcentage le rapport entre les pressions produisant dans le même temps un enfoncement donné dans un sol étudié et dans un matériau type. Par définition, cet indice est pris égal à la plus grande des deux valeurs suivantes :

.1 (24)s w

d

Ge

γγ

= −

2525

100.

13,35

FI CBR

⋅=

5050

100.

19,93

FI CBR

⋅=

( )50 25 50. max . ; .I CBR I CBR I CBR=

Où:

F25 : Force [kN] à 2,5 mm d'enfoncement

F50 : Force [kN] à 5 mm d'enfoncement

13,35 : Force [kN] à 2,5 mm d'enfoncement pour le matériau type

19,93 : Force [kN] à 5 mm d'enfoncement pour le matériau type

La presse utilisée pour les essais CBR est représentée dans la figure II.6. Elle est reliée à un système d’acquisition informatique qui permet de fournir les paramètres (forces et déplacements) au cours de l’essai. La vitesse de compactage a été prise égale à 1,4 mm/ min, vitesse qui ne provoque pas de changement d’arrangement de grains dans l’échantillon.

Figure II.6. Presse de compactage

Les résultats obtenus pour les différentes teneurs en eau sont exprimés sous forme de graphique dans la figure II.7. Pour une variation de la teneur en eau entre 5,7% et 12% la valeur de l’indice CBR varie de 45 à 2. La pente positive de la première partie du graphique est due au phénomène de cavitation et l’indice CBR croît de 35 à 45 pour une augmentation en teneur en eau de 1,2%. Le point maximum de la courbe obtenue (I.CBR= 45) correspond a une teneur en eau de 7,9%, inférieure à l’Optimum Proctor, soit wopm – 1,2%. Cette variation confirme la validité de la courbe de compactage.

Figure II.7. Variation de l’indice CBR pour différents teneurs en eau du sol

II.2 Mesure de la succion avec le papier filtre La méthode de mesure de la succion avec le papier filtre [2] est basée sur l’hypothèse de l’établissement d’un équilibre hydrique entre le papier filtre et un échantillon de sol ayant une succion donnée. A l’équilibre, la teneur en eau du papier filtre est égale à la teneur en eau de l’échantillon. Cette technique permet de mesurer des succions allant jusqu’à 10 000 kPa. La méthode consiste à insérer trois papiers filtres dans un échantillon formé de deux parties, puis à emballer le tout dans du papier aluminium afin d’éviter les pertes d’eau. L’eau circule de l’échantillon vers le papier filtre jusqu’à l’équilibre. La succion mesurée est la succion matricielle. Pour mesurer une succion totale, le papier filtre est suspendu au dessus de l’échantillon, sans contact avec l’échantillon. Dans ce cas, le transfert aura lieu en phase vapeur à partir de l’échantillon de sol jusqu’à l’équilibre hydrique. Après le séchage à l’étuve, le matériau est mélangé avec différentes quantités d’eau correspondante aux teneurs en eau étudiées. Les teneurs en eau et les densités sèches étudiées sont les mêmes que dans l’étude précédente. Les valeurs sont regroupées dans le tableau ci-dessous:

Nr d'essai

w [%]

γγγγd [g/cm3]

e

Sr [%]

1 6 2 0,33 48 2 8 2 0,33 64 3 9,6 2 0,33 77 4 10 2 0,33 80 5 11 1,9 0,39 74 6 11 2 0,33 88 7 12,3 2 0,33 99

Tableau II.2. État initial du matériau Chaque mélange est alors compacté avec une presse de compactage statique pour obtenir la densité souhaitée. Plusieurs échantillons ont été taillés avec les mêmes densité et teneur en eau que les échantillons utilisés dans l’étude antérieure. La figure II.8. présente les dispositifs utilisés pour obtenir les échantillons et l’introduction de papiers filtres.

Figure II.8. Dispositifs utilisés pour la réalisation des échantillons et l’introduction de papiers filtres

Deux types d’échantillons ont été utilisés lors de cette étude. Ils sont présentés dans la figure II.9. Le premier type d’échantillon est usuellement utilisé pour l’étude du comportement des argiles. Les argiles sont des matériaux qui présentent un pourcentage de fines beaucoup plus significatif que les sables, qui ont une granulométrie étalée. Pour cette raison, le contact entre le sol et le papier filtre est réalisé plus vite pour les argiles que pour les sables. Pour pouvoir apprécier si la taille de l’échantillon influence le contact entre le sable et les papiers filtres et donc les valeurs de la succion mesurées, un deuxième type d’échantillon de taille plus grande a été testé. Les deux types ont une forme cylindrique et les dimensions caractéristiques suivantes : Type I : Diamètre : 3,5 cm Type II : Diamètre : 6,9 cm

Hauteur : 2 cm Hauteur : 3,15 cm Les échantillons sont composés de deux parties identiques de 1 cm de hauteur pour le type I et de 1,575 cm pour le type II. Trois papiers filtres ont été insérés entre les deux parties composant chaque échantillon comme dans la figure II.8. Le papier au milieu est le papier qui mesure la succion matricielle du sol.

Chaque échantillon a été conservé dans un bocal en verre. Un autre papier filtre a été suspendu au dessus de l’échantillon, dans l’intérieur du chaque bocal, pour mesurer la succion totale. Le montage est montré dans la figure II.10.

Figure II.9. Types d’echantillon utilisés Figure II.10. Mesure de la succion totale La durée d’obtention de l’équilibre pour les sols sableux est comprise entre sept et dix jours. Après une durée de huit jours, durée nécessaire pour atteindre l’équilibre, les teneurs en eau des papiers filtres ont été mesurées et la succion a été calculée avec des abaques présentés en Annexe 2. Le poids de matériau nécessaire pour obtenir un échantillon de sol d’une certaine teneur en eau, fonction de la densité et à volume constant, a été calculé avec la formule suivante :

2

(1 ) (1 ) (25)4d d

dM V w h w

πγ γ⋅= ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ +

Où : V : volume du cylindre

dγ : densité sèche

w : teneur en eau du sol II.2.1 Echantillon type I

II.2.1.1 Résultats de la mesure de la succion Les valeurs de la succion matricielle et de la succion totale obtenues avec la méthode du papier filtre sont présentées dans le tableau suivant.

Nr teneur en eau teneur en eau densité sèche teneur en eau succion teneur en eau succion mesure initiale du sol finale du sol γd du papier filtre matricielle du papier filtre totale

% % g/cm3 % kPa % kPa 1 6 5,5 2,0 21,0 4852 19,3 6666 2 8 6,2 2,0 27,9 1374 24,4 2599 3 9,6 6,4 1,9 32,1 630 25,0 2352 4 10 6,6 2,0 33,2 519 26,4 1801 5 11 7,3 1,9 34,8 387 31,3 738 6 11 7,7 2,0 37,4 238 26,4 1799

7 12,3 8,0 2,0 37,5 232 27,1 1576

Tableau II.3. Résultats expérimentaux de mesure de la succion avec le papier filtre pour l’échantillon type I Pendant la durée d’obtention de l’équilibre les échantillons de sol ont perdu de l’eau et leurs teneurs en eau ont diminué significativement, allant jusqu'à 4,3% pour la teneur en eau attendue de 12,3%. La succion prend des valeurs importantes avec la diminution de la teneur en eau. Pour la teneur en eau de 5,5% le sable a une pression négative de 4852 kPa en termes de succion matricielle et de 6666 kPa en termes de succion totale. Une grande différence entre les deux séries de valeurs de succions a été observée. La succion matricielle représente 73% de la succion totale pour une teneur en eau de 5,5%. Dans le même temps, cette partie diminue significativement à 15% pour une teneur en eau de 8%. Cette grande variation qui représente la succion osmotique ne semble pas correcte. Particulièrement pour cette raison, une autre série des mesures a été faite sur les échantillons de type II. II.2.1.2 Interprétation des résultats La première série d’essais réalisés avec la méthode du papier filtre a permis de trouver une variation de la succion entre 5,5% et 8% de teneur en eau. Les résultats ont permis de faire les observations suivantes : - la taille de l’échantillon est trop petite pour pouvoir représenter un sol de type sableux qui a une granulométrie étalée et le contact entre le papier filtre et le sol n’est pas parfait, donc les valeurs mesurées sont très élevées.

- la taille des bocaux en verre utilisés pour conserver l’échantillon dans la chambre à température contrôlée est suffisamment grande par rapport à la taille de l’échantillon de sol pour qu’il y ait des pertes d’eau. - le temps de dix jours considéré pour atteindre l’équilibre des pressions entre le sol et le papier filtres est trop long. La solution choisie a été l’utilisation des plus grandes échantillons (H = 3,15 cm, D = 6,9 cm) pour toutes les teneurs en eau étudiés. La procédure de fabrication des échantillons de sol et la période considérée pour attendre la stabilisation de pressions à été d’une semaine. II.2.2 Echantillon type II II.2.2.1 Résultats de la mesure de la succion Le tableau II.4. résume les résultats de la mesure de la succion matricielle et totale. Par rapport à la première série d’essais, dans cette série le matériau a perdu moins en teneur en eau (1,1% contre 4,3% pour w =12,3%).

Nr teneur en eau teneur en eau densité sèche teneur en eau succion teneur en eau succion mesure initiale du sol finale du sol γd du papier filtre matricielle du papier filtre totale

% % g/cm3 % kPa % kPa 1 6 6 2,0 34,5 405 32,1 625 2 8 7,7 2,0 48,9 66 39,1 95 3 9,6 9,1 1,9 57,3 49 41,2 88 4 10 9,8 2,0 63,6 39 45,5 75 5 11 10,4 1,9 81,4 21 59,1 46 6 11 10,3 2,0 92,8 14 58,5 47

7 12,3 11,1 2,0 105,2 9 60,4 44

Tableau II.4. Résultats expérimentaux de mesure de la succion avec le papier filtre pour l’échantillon type II Les valeurs les plus significatives obtenues dans cette série d’essai sont 405 kPa pour la succion matricielle et 625 kPa pour la succion totale. Les valeurs sont dix fois plus petites que celles obtenues dans la première série d’essais. En partant d’une teneur en eau de 11,1%, une diminution de 5,1% de teneur en eau engendre une augmentation d’environ 400 kPa en succion matricielle et d’environ 580 kPa en succion totale. Parce que les valeurs de succions obtenues sont inférieures à 700 kPa, les différences entre les valeurs des succions totales et des succions matricielles n’ont pas le même ordre de grandeur et ont été considérées acceptables (maximum 220 kPa).

Pendant les mesures faites sur les échantillons de grande taille la teneur en eau a varié moins que dans la première série des mesures, mais les valeurs de la succion pour l’état saturé du matériau n’ont pas pu être mesurées. Pour atteindre la saturation du matériau où la teneur en eau vaut 12,3%, un autre type de procédé à été mis en place. Un échantillon de type I a été préparé à cette teneur en eau, de la même manière que dans les mesures précédentes. Il a ensuite été conservé dans un petit tube en plastique de forme cylindrique, comme présenté dans la figure II.11. Après une semaine, seulement la mesure de la succion matricielle a été possible et sa valeur vaut 4,91 kPa.

Figure II.11. Tube en plastique utilisé pour conserver l’échantillon de sol Le graphique illustré si-dessous présente la variation de la succion avec la teneur en eau du sol. La courbe de variation de la succion matricielle avec la teneur en eau est dénommée courbe de rétention du sol. Dans un premier temps, le calage a été réalisé manuellement.

Figure II.12. Variation de la succion en fonction de la teneur en eau du sol

II.2.2.2 Interprétation des résultats Les résultats expérimentaux de la deuxième série de mesures ont montré que le sable de Missillac présente une double porosité, confirmé par les résultats de l’analyse de porosimétrie au mercure, présentée ci-dessous. La double porosité est caractéristique pour la plupart des sols naturels ou compactés et elle est due à l’organisation interne des particules du sol qui s’associent pour former des agrégats. Les pores formés à l’intérieur des agrégats (micropores) sont plus petits que les pores qui séparent les agrégats (macropores). La courbe de variation présente un changement important de la pente pour deux valeurs de la succion. Les deux points sont les points d’entrée d’air correspondant à la désaturation de macropores et à celle des micropores. Un essai de porosimétrie au mercure (MIP) a été réalisé pour evaluer la distribution de la dimension de pores du matériau. Deux intrusions ont été réalisées. La première intrusion remplie tous les espaces des pores et donne la distribution de la porosité totale. La deuxième intrusion suit approximativement le même chemin de la phase d’extrusion de mercure et définit la porosité libre. La différence entre les deux cycles est la porosité piégée. Les résultats de l’analyse sont présentés dans les figures suivantes. La limite du diamètre entre les deux familles de pores peut être fixée à la valeure de 0,2 µm pour le sable de Missillac. Cette valeur correspond à la fin de la phase de retrait lors de la deuxième injection.

(a) (b)

Figure II.13. Distribution des rayons de pores après la première injection (a) et la deuixième injection (b)

Figure II.14. Répartition de deux types de porosité Pour valider les résultats obtenus, une mesure de la succion matricielle avec la méthode du tensiomètre a ensuite été réalisée. II.3 Mesure de la succion avec le tensiomètre La méthode de mesure de la succion la plus utilisée est la mesure avec le tensiomètre classique à eau [13]. Ce dispositif permet de mesurer la succion matricielle d’un sol. Les valeurs des succions sont comprises entre 0 et 100 kPa. Cette limitation est due aux problèmes de cavitation de l’eau dans le tensiomètre lorsque la pression dépasse 100 kPa et aussi à la pression d’entrée d’air de la sonde poreuse. Les valeurs sont mesurées avec un logiciel d’acquisition des données. Le tensiomètre est composé d’une sonde poreuse en céramique, perméable au liquide et imperméable à l’air, connectée à un dispositif de mesure de pression par un tube en plastique. Avant de réaliser le contact entre l’échantillon de sol et la sonde, cette dernière doit être saturée. En contact avec le sol, l’eau dans le tensiomètre entre en contact avec l’eau du sol et à l’équilibre les deux ont la même pression. Pour le sable de Missillac la durée pour atteindre jusqu’à l’équilibre vaut 24 heures. Le matériau a été compacté pour obtenir les densités souhaitées pour les différents teneurs en eau étudiées. Les dimensions caractéristiques des échantillons sont les suivantes :

Ø = 6,9 cm H = 3,15 cm

Les sondes poreuses utilisées dans cette méthode ainsi qu’un exemple d’échantillon de sol mis en contact avec une sonde de mesure sont présentés dans les figures II.15. a et b.

Figure II.15.(a). Sondes tensiomètrique (b). Echantillon de sol utilisé dans la méthode tensiomètrique

II.3.1 Résultats de la mesure La mesure de la succion a été possible pour les teneurs en eau supérieures à 7%. Pour la teneur en eau de 6,95% la mesure a dévié après avoir atteint une valeur d’environ 70 kPa, ce qui est dû au phénomène de cavitation (Annexe 3). Les valeurs obtenues pour le sable de Missillac sont comprises entre 10 et 72,24 kPa pour une teneur en eau comprise entre 7% et 11,3%, comme le montre le tableau II.5.

Mesures tensiomètriques teneur en succion

eau matricielle % kPa

6,95 72,24 8,43 58,32 8,75 57,22 9,70 10 11,30 14,4

Tableau II.5. Résultats expérimentaux de mesure de la succion avec le tensiomètre Les résultats de mesures de succion réalisées avec le tensiomètre ont complété les valeurs obtenues dans la deuxième série de mesures de papier filtre. La courbe de variation de la succion avec la teneur en eau du sol à été construite manuellement sur la base de ces deux séries de résultats et elle est illustrée dans la figure II.16.

Figure II.16. Résultats expérimentaux obtenus avec les deux méthodes de mesure de la succion

II.3.2 La courbe de rétension du sable de Missillac La variation obtenue est caractéristique des sols à double porosité. Ce type de variation a été décrit dans la littérature avec la fonction de Brooks-Corey [5], dont l’expression est la suivante :

( )

( )

'

';

; (26)

;

r j r jd

j s j d jd

s d

λ

λ

ψθ θ θ ψ ψψ

ψθ θ θ θ ψ ψ ψψ

θ ψ ψ

−

−

+ − ⋅ <

= + − ⋅ < ≤

≤

Où :

θ : teneur en eau volumique , (27)d

w

wγθγ

⋅=

rθ : teneur en eau volumique résiduelle

jθ : point d’inflexion ; les macropores sont désaturés et les micropores commencent à se

désaturer

sθ : teneur en eau correspondante à la saturation

dψ : succion correspondante au point d’entrée d’air pour les macropores

'dψ : succion correspondante au point d’entrée d’air pour les micropores

λ : paramètre de distribution des macropores 'λ : paramètre de distribution des macropores

Figure II.17. Schéma de conception d’une courbe de rétention bimodale du sol, d’après Burger and Shackelford [5]

Cette équation a été associée à la courbe expérimentale et le Solveur Excel a permis le calcul et l’optimisation de ses paramètres. Les valeurs de ψd, ψ'd, ψj et Өs ont été approximées sur la base de résultats expérimentaux et les paramètres Өj, Өr, λ et λ' ont été considérés pour l’optimisation. Les valeurs de la fonction Ө (26) ont été déterminées avec la Méthode des Moindres Carrés et la fonction Solveur de Excel a permis d’optimiser les paramètres Өj, Өr, λ et λ'. Cela a permis de trouver une équation qui permet d’approximer la valeur de la succion si la densité sèche et la teneur en eau du sol sont connues. Les valers de tous les paramètres sont présentées dans le tableau II.6.

Paramètres Valeurs Brooks-Corey

ψd 4,91 ψ'd 39,25 ψj 20,64 Өs 24,50 Өj 20,07 Өr 11,44 λ 1,57 λ' 1,40

Tableau II.6. Paramètres de la fonction de Brooks-Corey

Figure II.18. Courbe de rétention du sable de Missillac La qualité de la corrélation est exprimée par le coefficient de corrélation suivant :

( ) ( )( ) ( )2 2

.(28)

.

x x y yCorrél

x x y y

− −=

− −

∑

∑ ∑

Où : x θ= : teneur en eau volumique expérimentale, calculée avec les valeurs mesurées de la succion

( )y f θ= : teneur en eau volumique calculée avec la fonction de Brooks-Corey

,x y : valeurs moyennes des séries ( ), fθ θ

Le coefficient de corrélation est égal à 0,99 et la corrélation est considérée comme très bonne, ce qui signifie que la fonction de Brooks-Corey décrit bien la variation de la succion avec la teneur en eau.

III MODÉLISATION DU COMPORTEMENT RÉVERSIBLE EN CONTRAINTES EFFECTIVES

III.1 Hypothèses de calcul La modélisation s’est basée sur trois hypothèses : 1) La succion est considérée constante pendant l’essai triaxial ( cts = ). La valeur de la succion correspondante à chaque teneur en eau est la valeurs calculée avec l’équation de Brooks-Corey dans le chapitre II. 2) Le coefficient de contraintes effectives est considéré égal au degré de saturation ( rSχ = ).

3) La pression de l’air est nulle ( 0≈au ).

III.2 Approche en contraintes effectives Le passage du modèle de Boyce en contraintes totales à un modèle en contraintes effectives a été effectué pour chaque teneur en eau étudiée en considérant les valeurs du degré de saturation et de la succion. Le calcul de la variation du degré de saturation en fonction de la variation de l’indice des vides a montré que le degré de saturation ne varie pratiquement pas pendant l’essai triaxial, la variation maximale étant de 1%, donc le degré de saturation reste constant pendant chaquue essai (rS ct= ).

Chaque chemin de chargement q/p comprend 50 niveaux de contraintes (p; q). L’indice « n » correspond au niveau de contraintes caractérisé par les valeurs de la contrainte moyenne pn et de la contrainte déviatorique qn. Pour chaque essai, les valeurs de la contrainte moyenne effective et de la contrainte déviatorique effective pour chaque niveau de contraintes ont été calculées en utilisant les équations :

' *n n rp p S s= + ⋅ et ' * (29)n nq q=

Où :

'np : contrainte moyenne effective d’un niveau n de contraintes *np : contrainte moyenne du niveau n de contraintes qui tient compte de l’anisotropie du

matériau, calculée avec (14) 'nq : contrainte déviatorique effective pour un niveau n de contraintes *nq : contrainte déviatorique du niveau n qui tient compte de l’anisotropie du matériau,

calculé avec (14) Les déformations réversibles ont été calculées avec les expressions (23) en fonction de paramètres Ka, Ga, n et γ. Le modèle a été calé sur les résultats d’essais triaxiaux et les quatre paramètres ont été optimisés avec le Solveur d’Excel.

III.3 Optimisation des paramètres du modèle de Boyce L’optimisation des paramètres est faite pour l’ensemble de teneurs en eau étudiées en utilisant les valeurs expérimentales pour un cycle complet et les valeurs calculées des déformations réversibles accumulées entre le début du cycle );( minmin qpvε et

);( minmin qpqε et le niveau de chargement maximal );( maxmax qpvε et );( maxmax qpqε . La

feuille d’optimisation est présentée en Annexe 4.

min,max, vvv εεε −=

,max ,min (30)q q qε ε ε= −

La méthode de moindres carrés a été appliquée avec le Solveur d’Excel à la somme suivante :

( )( )

( )( )

22

min 2 2

( ', )( ', )(31)

qv

v v q q

g p qf p qS

m m

εεε ε

−−= +

− −

∑∑∑ ∑

Où :

qv εε , : déformations volumiques et deviatoriques expérimentales

( ) ( )qpgqpf ,',,' : déformations volumiques et déviatoriques calculées avec les relations (30) et (23).

qv mm , : valeurs moyennes des déformations volumiques et déviatoriques expérimentales

La corrélation calculée avec l’expression (32) est de 0,6.

)32(2

1 min.

SCcorrél −=

L’application du modèle de Boyce non-linéaire anisotrope en contraintes effectives sur les résultats expérimentaux a permis d’obtenir un groupe unique de quatre paramètres pour les différentes teneurs en eau étudiées, présentés dans le tableau III.1.

Calcul de paramètres du modèle de Boyce non-linéaire anisotrope w (%) Ka (MPa) Ga (MPa) n γγγγ

6; 7; 8; 9,6 10; 11; 12,3 2,56 2,06 0,99 0,65

Tableau III.1. Résultats de la première optimisation des paramètres du modèle de Boyce Pour mieux décrire le comportement du sol, une autre optimisation a été effectuée en considérant quatre points pour caractériser chaque chemin de contraintes q/p: le début du cycle de chargement, le niveau maximal et deux points intermédiaires.

La valeur expérimentale de la déformation réversible associée à un point intermédiaire est la valeur moyenne entre la déformation au niveau de chargement et la déformation au même niveau de déchargement du cycle. Les valeurs des paramètres du modèle résultant de l’optimisation sont presque les mêmes que les précédentes et le coefficient de corrélation obtenu reste le même. Le coefficient n diminue un peu et la non-linéarité est mise en évidence.

Calcul de paramètres du modèle de Boyce non-linéaire anisotrope w (%) Ka (MPa) Ga (MPa) n γγγγ

6; 7; 8; 9,6 10; 11; 12,3 2,29 1,95 0,93 0,66

Tableau III.2. Résultats de la deuxième optimisation des paramètres du modèle de Boyce Même si la corrélation globale est de 0,6 pour les deux optimisations, la deuxième offre un meilleur calage sur l’ensemble de valeurs expériméntales et le modèle devient plus précis. Le résultats du calage sont préséntés en Annexe 6. Les calages du modèle pour l’état non saturé ( w = 6%) et pour l’état saturé (w = 12 ,3%) sont moins satisfaisants que les calages obtenus pour les autres teneurs en eau. Pour voir l’influence de ces deux états sur les paramètres du modèle, une troisième optimisation des paramètres a été réalisé. Les teneurs en eau considérées dans cette optimisation sont : 7%, 8%, 9,6%, 10% et 11%. La corrélation globale vaut 0,61 et le calage avec les valeurs expériméntales obtenues pour ces teneurs en eau est amélioré.

Calcul de paramètres du modèle de Boyce non-linéaire anisotrope w (%) Ka (MPa) Ga (MPa) n γγγγ

7; 8; 9,6 10; 11 2,16 1,95 0,91 0,64

Tableau III.3. Résultats de la troisième optimisation des paramètres du modèle de Boyce C’est ce dernier groupe des paramètres qui a été retenu pour le modèle de Boyce.

III.4 Modélisation du comportement réversible pour les teneurs en eau étudiées

III.4.1 Calage du modèle des déformations volumiques, w = 6%

Figure III.1. Modélisation des déformations volumiques avec le modèle de Boyce non-linéaire anisotrope en contraintes effectives, w = 6%.

Calage du modèle des déformations déviatoriques, w = 6%

Figure III.2. Modélisation des déformations déviatoriques avec le modèle de Boyce non-linéaire anisotrope en contraintes effectives, w = 6%.

III.4.2 Calage du modèle des déformations volumiques, w = 7%

Figure III.3. Modélisation des déformations volumiques avec le modèle de Boyce non-linéaire anisotrope en contraintes effectives, w = 7%.

Calage du modèle des déformations déviatoriques, w = 7%

Figure III.4. Modélisation des déformations déviatoriques avec le modèle de Boyce non-linéaire anisotrope en contraintes effectives, w = 7%.

III.4.3 Calage du modèle des déformations volumiques, w = 8%

Figure III.5. Modélisation des déformations volumiques avec le modèle de Boyce non-linéaire anisotrope en contraintes effectives, w = 8 %.

Calage du modèle des déformations déviatoriques, w = 8%

Figure III.6. Modélisation des déformations déviatoriques avec le modèle de Boyce non-linéaire anisotrope en contraintes effectives, w = 8%.

III.4.4 Calage du modèle des déformations volumiques, pour w = 9,6%

Figure III.7. Modélisation des déformations volumiques avec le modèle de Boyce non-linéaire anisotrope en contraintes effectives, w = 9,6%.

Calage du modèle des déformations déviatoriques, w = 9,6%

Figure III.8. Modélisation des déformations déviatoriques avec le modèle de Boyce non-linéaire anisotrope en contraintes effectives, w = 9,6%.

III.4.5 Calage du modèle des déformations volumiques, w = 10%

Figure III.9. Modélisation des déformations volumiques avec le modèle de Boyce non-linéaire anisotrope en contraintes effectives, w = 10 %.

Calage du modèle des déformations déviatoriques, w = 10%

Figure III.10. Modélisation des déformations déviatoriques avec le modèle de Boyce non-linéaire anisotrope en contraintes effectives, w = 10%.

III.4.6 Calage du modèle des déformations volumiques, w = 11%

Figure III.11. Modélisation des déformations volumiques avec le modèle de Boyce non-linéaire anisotrope en contraintes effectives, w = 11%.

Calage du modèle des déformations déviatoriques, w = 11%

Figure III.12.Modélisation des déformations déviatoriques avec le modèle de Boyce non-linéaire anisotrope en contraintes effectives, w = 11%.

III.4.7 Calage du modèle des déformations volumiques, w = 12,3%

Figure III.13. Modélisation des déformations volumiques avec le modèle de Boyce non-linéaire anisotrope en contraintes effectives, w = 12,3%.

Calage du modèle des déformations déviatoriques, w = 12,3%

Figure III.14. Modélisation des déformations déviatoriques avec le modèle de Boyce non-linéaire anisotrope en contraintes effectives, w = 12,3%.

III.5 Interprétation des résultats Le calage du modèle avec l’ensemble des résultats expérimentaux d’essais triaxiaux pour les différentes teneurs en eau du sol offre des résultats satisfaisants. Jusqu’à 9,6% de teneur en eau les corrélations obtenues avec le modèle sont à peu près du même ordre que la corrélation globale de 0,61 et avec l’augmentation de la teneur en eau elles deviennent plus satisfaisantes. Ces différences sont dues à l’influence du paramètre de contraintes effectives. Pour un sol saturé, χ est égal au degré de saturation mais avec la diminution de la teneur en eau le sol

devient non-saturé et le coefficient est une fonction du degré de saturation ( )rSf=χ . Quand le degré de saturation diminue significativement, la deuxième hypothèse de calcul n’est pas applicable, ce qui est montré par le calage du modèle pour 6% et 7% de teneur en eau. Le calage du modèle pour l’état saturé (w = 12 ,3%) est moins satisfaisant que le calage obtenu pour la teneur en eau de 11%. Les différences peuvent s’expliquer avec le coefficient « B » de Skempton [10], déduit de l’équation de la pression de pores pour l’état de chargement triaxial qui s’écrit comme suivant :

( )( ) )33(313 σσσ ∆−∆⋅+∆⋅=∆ ABu

aw uuu −=∆

Où : A, B : coefficients de Skempton

Pour 31 σσ ∆=∆ , ( )3σ∆⋅=∆ Bu et 3p σ= , donc la relation devient u

Bp

∆=∆

.

Si 0au = , (35)wuB

p

∆=∆

Ecrite sous une autre forme, cette relation montre que pour les sols saturés le coefficient B vaut 1.

(36)1

ww

u Bn C

C

σ σ∆∆ = = ⋅ ∆⋅+

Où : n : porosité du matériau

wC : compressibilité de l’eau

C : compressibilité du sol

Pour les sols saturés C >> wC et 1=B (37).

Les expressions (35) et (37) montrent que pour un sol saturé chargé à l’appareil triaxial, le rapport entre la pression de l’eau et la contrainte moyenne vaut 1. Pendant les essais

triaxiaux cycliques la succion à été considéré constante ( , 0,a w a wu u ct u u ct∆ − ∆ = = ∆ = ) mais la contrainte moyenne augmente pendant le

chargement ( ctp ≠∆ ), donc 1≠B et le modèle donne des prédictions moins satisfaisantes que celles obtenues pour les cas de sols non-saturés. III.6 Variation du module réversible en fonction de la contrainte moyenne effective Le calcul des valeurs du module réversible pendant chaque essai a été efféctué à l’aide de la formule (7), en utilisant les données expérimentales des déformations réversibles axiales et radiales. La variation q∆ a été calculée par rapport à la première valeur de la contrainte déviatorique. Les valeurs de la contrainte moyenne effective, calculées avec l’équation (38) en utilisant les valeurs de la contrainte moyenne isotrope (39) et les valeurs de la succion propres à chaque teneur en eau, ont été utilisées pour représenter la variation du module réversible dans le plan( )rMp ,' .

' (38)n n rp p S s= + ⋅

1 32(39)

3npσ σ+ ⋅=

Les courbes de variation de chaque teneur en eau présentent à peu près la même pente et sont décalées. Une représentation à l’aide d’une échelle logarithmique des valeurs expérimentales du module réversible avec la contrainte effective montre bien que les pentes sont presque les mêmes. Le décalage est dû à la contrainte moyenne effective qui est différente pour chaque teneur en eau. Plus précisément, la succion est le paramètre qui varie avec la teneur en eau du sol et comme la contrainte nette est la même au début de tous les essais, la contrainte effective est différente au début des essais distincts. III.7 Modélisation du modulé réversible en élasticité isotrope Le modèle k-Ө a été testé, sous la forme de la relation (10). Le modèle est appliqué séparément pour tous les chemins de contraintes q/p. L’optimisation des paramètres ‘’k 1’’et ‘’k 2’’pour un chemin de contraintes q/p est faite pour toutes les teneurs en eau. Trois valeurs expérimentales du module réversible ont été choisies pour chaque teneur en eau. Les chemins de contraintes prise en compte dans l’optimisation sont q/p = 0,5 ; 1 ; 2 et 3. Le chemin de contraintes q/p = 2,5 n’a pas été utilisé dans l’optimisation parce qu’il n’a pas été appliqué à toutes les teneurs en eau. Les corrélations obtenues avec le modèle pour les différents chemins de contraintes ne sont pas satisfaisantes. Sans prendre en compte les teneurs en eau de 6% et de 12,3%, la corrélation globale réalisée pour les teneurs en eau de 7%, 8%, 9,6%, 10% et 11% est inférieures à 0,5 pour q/p = 0,5; 2; 3 et de 0,6 pour q/p = 1.

Ensuite, un modèle élastique en fonction du rapport '0

' / pp et des deux paramètres ‘’k’’

et ‘’n’’, ayant la même forme que le modèle k-Ө, est proposé. Sa formulation est la suivante :

'

'0

3(40)

n

r a

pM k p

p

⋅= ⋅ ⋅

Les teneurs en eau considérées pour ce modèle sont celles pour lesquelles les hypothèses prises dans le calcul de la contrainte moyenne effective sont valables: 7 %, 8 %, 9,6 %, 10 % et 11 %. Les corrélations obtenues avec le modèle pour tous les chemins de contraintes sont satisfaisantes : 0,7 pour q/p = 1 et 0,6 pour les autres chemins. La feuille d’optimisation est présentée en Annexe 5. Le résultat est une equation à deux paramètres qui permet de prédire le module réversible du sol en fonction du rapport en contrainte moyenne effective ' '

0/p p pour un chemin de

contraintes connu pour les teneurs en eau envisagées dans un calcul de dimensionnement, correspondants a un degré de saturation compris entre 50 et 90 %.

Teneurs en eau Chemins Paramètres du modèle étudiées de contraintes

w % q/p k n 7; 8; 9,6; 10; 11 0,5 179,9 0,61 7; 8; 9,6; 10; 11 1 196,5 0,74 7; 8; 9,6; 10; 11 2 208,4 0,87 7; 8; 9,6; 10; 11 3 120,8 1,40

Tableau III.3. Résultats de l’optimisation de paramètres du modèle élastique isotrope Le calage du modèle a été réalisé avec les valeurs optimisées sur l’ensemble des points expérimentaux. Chaque graphique ci-dessous illustre la variation du module réversible en fonction de la contrainte moyenne effective pour un seul chemin de contraintes q/p pour toutes les teneurs en eau étudiées.

III.7.1 Calage du modèle pour q/p = 0,5

Figure.III.15. Evolution du module réversible avec la contrainte moyenne effective et calage du modèle élastique, q/p=0,5 echelle log.

III.7.2 Calage du modèle pour q/p = 1

Figure.III.16. Evolution du module réversible avec la contrainte moyenne effective et calage du modèle élastique, q/p=1, echelle log.

III.7.3 Calage du modèle pour q/p = 2

Figure.III.17. Evolution du module réversible avec la contrainte moyenne effective et calage du modèle élastique, q/p=2, echelle log.

III.7.4 Calage du modèle pour q/p = 3

Figure.III.18. Evolution du module réversible avec la contrainte moyenne effective et calage du modèle élastique, q/p=3, echelle log.

Similaire au modèle de Boyce, ce modèle n’est pas applicable pour les faibles teneurs en eau parce que la deuxième hypothèse de calcul n’est pas valable. Cela est dû à la différence significative entre le coefficient de contraintes effectives et le degré de saturation, expliquée précédemment. Le module réversible pour l’état saturé ne peut pas être prédit avec le modèle élastique proposé dans l’hypothèse d’une succion constante pendant l’essai. En effet, pour un état près de l’état saturé, la succion varie et la première hypothèse de calcul qui considère une succion constante pendant l’essai triaxial n’est plus applicable. Les études faites par Tang [21], Nawamooz [16] et Bagherieh [4] sur différents types de sols montrent que pour une teneur en eau importante la succion varie significativement pendant l’essai de compression.

Figure.III.20. Courbe de rétention [21] Figure.III.21. Variation de la succion dans un essai triaxial

de compression [21]

.

(a) (b)

Figure. III.22. Courbes de rétention pour (a) p = 110 kPa ; (b) p= 750 kPa [4] L’étude [4] sur la réponse d’un kaolin compacté statiquement a montré que pour des valeurs plus faibles et intermédiaires de la contrainte moyenne, (110 et 410 kPa), la courbe de rétention du sol est bimodale. Pour des valeurs significatives de la contrainte moyenne (750 kPa), les macropores se ferment et la réponse du sol s’approche de celle d’un sol à simple porosité. La fermeture de macropores engendre une diminution de l’indice des vides des micropores et le point d’entrée d’air correspondant aux micropores augmente.

Figure.III.23. Courbes de compression statique et courbes d’iso valeurs de succion [16]

La figure III.23. présente les courbes de compactage réalisées à différentes énergies de compactage pour un mélange de limon- bentonite. Quand le degré de saturation est faible, l’énergie de compactage n’influence pas la succion du sol. En revanche, quand le sol est près de la saturation, cette dernière est différente pour chaque énergie de compactage.

CONCLUSION La mesure de la succion du sable de Missillac à différentes teneurs en eau a permis de prendre en compte l’effet de la non-saturation du sol soumis à des chargements cycliques sur les variables réversibles à travers une approche en contrainte effective. L’application du modèle élastique non-linéaire anisotrope de Boyce a permis d’obtenir un groupe de quatre paramètres uniques de la loi de prédiction, valables pour tous les chemins de contraintes et pour toutes les teneurs en eau. Le calage du modèle avec les valeurs expérimentales est satisfaisant pour un degré de saturation du matériau compris entre 50% et 90%. L’application d’un modèle élastique isotrope à deux paramètres sur les valeurs expérimentales a permis de montrer que pour un chemin de contraintes connu les modules réversibles correspondants à différentes teneurs en eau se regroupent autour de la même courbe. Cette variation confirme les résultats obtenus par Coronado en 2005. Les teneurs en eau pour lequelles le modèle offre des bonnes corrélations sont les mêmes que pour le modèle de Boyce. On a pu remarquer que le module réversible pour un état presque saturé ne peut pas être prédit avec le modèle élastique proposé, puisque dans cet état, la succion est diférente pour chaque niveau de contraintes. L’approche en contraintes effectives appliqué à l’aide de deux modèles de comportement a permis de conclure que la teneur en eau du sol a une importante influence sur son comportement mécanique et que ce comportement peut être décrit en contraintes effectives. Entre 6% et 12,3% de teneur en eau, la différence en terme de succion est d’environ 400 kPa pour le sable de Missillac. Les résultats de la modélisation ont montré que pour les faible degrés de saturation, le coefficient de contraintes effectives a une influence plus significative sur le comportement réversible du sol et il ne peut pas être considéré egal au degré de saturation. Une amélioration des modèles pourrait être obtenue en considérant le coefficient de contraintes effectives comme une fonction du dégré de saturation et en appliquant une correction des valeurs de succion. Une application concrète de ces résultats dans le dimensionnement de chaussées supposerait une procédure simple :

- la réalisation d’un nombre réduit d’essais expérimentaux avec l’appareil triaxial, le minimum nécessaire pour une régression

- le calcul de la pente avec les valeurs expérimentales obtenues - la réalisation de la courbe de rétention du sol en laboratoire avec le tensiomètre ou

le papier filtre

- le calcul de la contrainte effective moyenne pour les essais triaxiaux avec les modèles élastiques isotrope et anisotrope

Cette procédure permet alors d’obtenir deux équations de prédiction de caractéristiques du comportement réversible pour les teneurs en eau envisagées dans le calcul de dimensionnement :

- une équation simple à deux paramètres capable de prédire le module réversible du sol pour un chemin de contraintes connu pour toutes les teneurs en eau

- une équation à quatre paramètres capable de prédire les déformations réversibles du sol pour tous les chemins de contraintes et toutes les teneurs en eau.

L’obtention de ces équations constitue la principale contribution de ce travail de recherche.

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

1. ALLOU, F., 2006, ‘’Un modèle élastoplastique pour la modélisation de l’orniérage des chaussées à faible trafic’’, thèse de doctorat, Université de Limoges.

2. ASTM D 52980-094, 1995, ‘’Standard Test Method for Measurement of Soil

Potential (Suction) Using Filter Paper’’, Vol. 4.09, pp 154 – 159. 3. BATARD, G., 2002, ‘’ Etude du comportement de sols de chaussées à l’essai

triaxial à chargements répétés, projet de fin d’études, INSA Rennes –LCPC Nantes.(Étude antérieure)

4. BAGHERIEH, A.R., KHALLILI, N., 2009, ‘’Drying response and effective stress

in a double porosity aggregated soil’’, Engineering Geology.

5. BURGER, C.A., CHARLES, D., 2001, ‘’Evaluating dual porosity of palletized diatomaceous earth using bimodal soil-water characteristic curve functions’, Can. Geotech. J., Vol. 38, pp 53 – 66.

6. CORONADO, O., 2005, ‘’Contribution à l’étude de graves non-traitées’’, thèse de doctorat, École Centrale de Paris.

7. COUSSY, O., FLEUREAU, J.M., 2002, ‘’Mecanique des sols non saturés’’,

Lavoisier Editions, pp 1 – 31.

8. ED DINY, S., 1993, ‘’Etude expérimentale des transferts hydriques et du comportement mécanique d un limon non saturé’’, thèse de doctorat, Ecole Nationale Supérieure de Géologie, Nancy.

9. FLEUREAU, J.M., INDARTO., 1993, ‘’Comportement du limon de Jossigny

remanié soumis à une pression interstitielle négative’’, Rev. Franç. Géotech., 62.

10. HABIBAGAHI, G., AJDARI, M., 2008, ‘’Is matrix suction a stress variable?’’, NingLU, N.ASCE Vol.134, No7, 899 – 905.

11. HORNYCH, P., GIDEL, G., 2001, ‘’Nouvel approche pour l’étude de

déformations permanentes de graves non traitées à l’appareil triaxial à chargements répétés’’, Bulletin de liaison de Laboratoire des Ponts et Chaussées, France.

12. IK Lee., 1968, ‘’Soil Mechanics’’, University of Sydney, BUTTER WORTHS,

London, pp 76 – 80.

13. ISO 11275, 2004, ‘’Soil quality – Determination of unsaturated hydraulic conductivity and water-retention characteristic – Wind’s evaporation method’’.

14. LALOUI, L., CHARLIER, R., CHAZALLON, C. et al., 2008, ‘’Water influence

on mechanical behaviour of pavements. Experimental Investigation’’, Water in Road Constructions Vol. 5, Chapter 10, Springer Netherlands, ISBN 978-1-40208561-1, pp 217 – 242.

15. LU, N., WILLIAM, J., 2004, ‘’Unsaturated soil mechanics’’, John Wiley and

Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, pp 114 – 128.

16. NOWAMOOZ, H., MASROURI, F., 2008 ‘’Hydro mechanical behavior of an expansive bentonite / silt mixture in cyclic suction-controlled frying and wetting tests’’, Engineering Geology.

17. SAMARIS, 2006, ‘’Development and validation of a method of prediction of

rutting of unbound pavement layers’’, Work Package 5, research program GROWTH.

18. SETRA–LCPC, 1994, ’’Conception et Dimensionnement des structures de

chaussées’’, Guide technique, France.

19. SETRA–LCPC, 1998, ‘’Catalogue des structures types de chaussées neuves’’, Catalogue technique, France.

20. TAIBI, S., 1994, ‘’Comportement mécanique et hydraulique des sols soumis à

une pression interstitielle négative’’, thèse de doctorat, Ecole Centrale Paris.

21. TANG, G., GRAHAM, J. et al., 2002, ‘’Suction, stresses and strengths in unsaturated sand – bentonite’, Engineering Geology.

22. VANAPALLI, S.K., FREDLUNG, D.G., PUFAHL, D.E., 1999, ‘’ The influence

of soil water characteristics of a compacted till’’, Géotechnique 49, No. 2, 143 - 159