Projeto de Controladores Robustos em Modelos Não-lineares

Centro de Tecnologia e UrbanismoDepartamento de Engenharia Eleacutetrica

Nilson Moutinho dos Santos

Projeto de Controladores Robustos em Modelos Natildeo-lineares Utilizados emEngenharia Biomeacutedica Pacientes Parapleacutegicos e Tetrapleacutegicos

Brasil2014

Projeto de Controladores Robustos em ModelosNatildeo-lineares Utilizados em Engenharia Biomeacutedica

Pacientes Parapleacutegicos e Tetrapleacutegicos

Dissertaccedilatildeo de Mestrado apresentada ao Pro-grama de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Engenharia Eleacute-trica da Universidade Estadual de Londrinacomo parte dos requisitos para a obtenccedilatildeo doTiacutetulo de Mestre em Engenharia Eleacutetrica

Universidade Estadual de Londrina ndash UEL

Departamento de Engenharia Eleacutetrica

Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo

Orientador Dr Ruberlei GainoCoorientador Dr Maacutercio Roberto Covacic

Brasil2014

Nilson Moutinho dos SantosProjeto de Controladores Robustos em Modelos Natildeo-lineares Utilizados em

Engenharia Biomeacutedica Pacientes Parapleacutegicos e Tetrapleacutegicos Nilson Moutinhodos Santos ndash Brasil 2014-

231 p il (algumas color) 30 cm

Orientador Dr Ruberlei Gaino

Dissertaccedilatildeo (Mestrado em Engenharia Eleacutetrica) ndash Universidade Estadual de Lon-drina ndash UELDepartamento de Engenharia EleacutetricaPrograma de Poacutes-Graduaccedilatildeo 20141 modelo dinacircmico natildeo-linear em espaccedilo de estados 2 controle robusto

3 LMIs 4 realimentaccedilatildeo de estados 5 incertezas parameacutetricas limitadas emnorma I Dr Ruberlei Gaino II Universidade Estadual de Londrina ndash UEL IIIDepartamento de Engenharia Eleacutetrica IV Projeto de Controladores RobustosUtilizando Modelos Natildeo-lineares em Engenharia Biomeacutedica Pacientes Parapleacutegicose Tetrapleacutegicos

CDU 021410057

Trabalho aprovado Brasil 12 de dezembro de 2014

Dr Ruberlei GainoOrientador

Universidade Estadual de Londrina

Dr Maacutercio Roberto CovacicCoorientador

Dr Emerson Ravazzi Pires da SilvaConvidado

UTFPr - Universidade Tecnoloacutegica Federaldo Paranaacute

Campus de Corneacutelio Procoacutepio

Brasil2014

Agrave minha esposa Mercia Mary companheira de tantos anos que me incentivou meajudou nos momentos mais difiacuteceis dessa caminhada e soube aceitar com paciecircncia as

horas furtadas de estar ao seu lado de corpo e mente com todo reconhecimento e amor

Agradecimentos

Agradeccedilo agravequele que tudo pode e cujo poder manteacutem todas as coisas em movimentono universo

Agradeccedilo agrave minha esposa coautora comigo da nossa maior obra sobre a terranossos filhos e filhas de quem advieram a alegria dos avoacutes nossos netos e netas

Agradeccedilo ao meu orientador Prof Dr Ruberlei Gaino que me guiou com o seuconhecimento sobre Teoria do Controle e Engenharia Biomeacutedica compartilhando-o comigonos momentos cruciais dessa caminhada Conhecimento esse fruto de seu trabalho aacuterduoe experiecircncia de vaacuterios anos na aacuterea sem o qual o trabalho presente natildeo teria a qualidadeque apresenta Aleacutem disso ele soube me incentivar para vencer os obstaacuteculos tatildeo frequentesnessa aventura intelectual

Agradeccedilo ainda ao Prof Dr Maacutercio Roberto Covacic por suas preciosas sugestotildeesna melhoria do texto e na superaccedilatildeo das dificuldades no trabalho oriundas da complexidadematemaacutetica da utilizaccedilatildeo das desigualdades matriciais lineares na teoria de controle

ldquoNatildeo se ajustem demais agrave sua cultura a ponto de natildeo poderem pensar mais Em vezdisso concentrem a atenccedilatildeo em Deus Vocecircs seratildeo mudados de dentro para fora

Descubram o que ele quer de vocecircs e tratem de atendecirc-lo Diferentemente da culturadominante que sempre os arrasta para baixo ao niacutevel da imaturidade Deus extrai omelhor de vocecircs e desenvolve em vocecircs uma verdadeira maturidade (Biacuteblia Sagrada

Romanos 12 2 Fonte Paraacutefrase do original por (PETERSON 2011))

ResumoO presente estudo tem por finalidade abordar o controle de acionamento da cadeira derodas por sopro e succcedilatildeo e o controle de movimentos dos pacientes parapleacutegicos com ouso de eletroestimuladores Inicialmente satildeo utilizados controladores proporcional-integral(PI) e proporcional (P) para estabilizaccedilatildeo dinacircmica de um modelo linear simplificado dacadeira de rodas controlada por sopro e succcedilatildeo Em seguida alguns modelos dinacircmicoslineares e natildeo-lineares de veiacuteculos sobre rodas com tracionamento diferencial (VRTD)encontrados na literatura acadecircmico-cientiacutefica e representados em espaccedilo de estados satildeocomparados em suas caracteriacutesticas baacutesicas Um modelo dinacircmico linearizado simplificadoeacute obtido e testado em ambiente do Matlabreg Entatildeo a matriz de realimentaccedilatildeo de saiacuteda eacutedeterminada para regular o sistema considerando as incertezas politoacutepicas parameacutetricascontidas no modelo e utilizando uma abordagem com Linear Matrix Inequality LMI Ametodologia de incertezas parameacutetricas limitadas em norma eacute utilizada para desenvolverum controlador robusto para estabilizaccedilatildeo da posiccedilatildeo do joelho de um paciente parapleacutegicoatraveacutes da estimulaccedilatildeo eleacutetrica funcional Functional Electrical Stimulation (FES) Nestesegundo caso poreacutem eacute determinada uma matriz de realimentaccedilatildeo de estados para regularo sistema e satildeo inseridas restriccedilotildees algeacutebricas nas LMIs para limitaccedilatildeo da duraccedilatildeo dopulso eleacutetrico utilizado na FES para o recrutamento das fibras muscularesisto eacute a largurade pulso miacutenima da planta Essas restriccedilotildees atuam como um limitante superior para avariaccedilatildeo desses sinais

Palavras-chaves modelo dinacircmico natildeo-linear em espaccedilo de estados controle robustoLMIs realimentaccedilatildeo de estados realimentaccedilatildeo de saiacuteda incertezas parameacutetricas politoacutepicasincertezas parameacutetricas limitadas em norma

AbstractThe present study aims to address the drive control of the wheelchair by blowing andsuction and the control of movements of paraplegic patients using functional electricalstimulation Initially proportional-integral (PI) and proportional (P) controllers are usedfor dynamic stabilization of a simplified linear model of the wheelchair controlled byblowing and sucking Then some linear and nonlinear dynamic models of vehicles on wheelswith traction differential found in academic-scientific literature and represented in statespace are compared in their basic characteristics A linearized simplified dynamic modelis obtained and tested in the Matlabreg environment Then the output feedback matrixis determined to regulate the system considering the polytopic parametric uncertaintiesof the model by using an Linear Matrix Inequality (LMI) approach The norm-boundeduncertainties methodology is used to develop a robust controller to stabilize the positionof a paraplegic patient knee through Functional Electrical Stimulation (FES) In the lattercase however a state feedback matrix is determined to stabilize the system Algebraicrestrictions are placed on the LMI for limiting the duration of the electrical pulse used inthe FES to the recruitment of muscular fibers ie the minimum pulse width of the plantThese restrictions act as an upper bound for the variation of these signals

Key-words nonlinear dynamic state-space model robust control LMIs state feedbackoutput feedback polytopic parametric uncertainties norm-bounded parametric uncertain-ties

Lista de ilustraccedilotildees

Figura 1 ndash Equipe multidisciplinar envolvida com a reabilitaccedilatildeo de uma pessoacom incapacidade fiacutesica 38

Figura 2 ndash Diagrama esquemaacutetico do controle robusto em MF do neuroestimulador 40Figura 3 ndash Nomenclatura das regiotildees da curva de recrutamento 40Figura 4 ndash Curva de recrutamento de fibras (os ciacuterculos pretos representam fibras

ativadas) O eixo vertical mostra o grau de ativaccedilatildeo muscular α o eixohorizontal mostra a duraccedilatildeo d do estiacutemulo aplicado no muacutesculo 41

Figura 5 ndash Forma geral de modelos 42Figura 6 ndash Os elementos e a formulaccedilatildeo da Programaccedilatildeo Linear do Problema de

Decisatildeo do Carpinteiro 43Figura 7 ndash Princiacutepio de funcionamento do reloacutegio de aacutegua com regulador de flutua-

ccedilatildeo de Ktesibios 45Figura 8 ndash Maacutequina a vapor de Watt com regulador centriacutefugo de esferas suspensas 46Figura 9 ndash Diagrama de blocos de um sistema de controle linear de tempo contiacutenuo

representado em espaccedilo de estado pelas equaccedilotildees 15 e 16 50Figura 10 ndash Linearizaccedilatildeo em torno de um ponto A 52Figura 11 ndash Ilustraccedilatildeo dos conceitos de estabilidade em duas dimensotildees (a) Estado

de equiliacutebrio estaacutevel no sentido de Lyapunov (b) Estado de equiliacutebrioassintoticamente estaacutevel (c) Estado de equiliacutebrio instaacutevel 55

Figura 12 ndash Sistema massa-mola-massa 59Figura 13 ndash Planta em MF com controlador proporcional 61Figura 14 ndash Saiacuteda do controlador proporcional e integral 62Figura 15 ndash Saiacuteda do controlador proporcional e derivativo 63Figura 16 ndash Modelo linear simplificado do veiacuteculo sobre rodas com tracionamento

diferencial 64Figura 17 ndash Um politopo com cinco veacutertices 74Figura 18 ndash Representaccedilatildeo graacutefica de um sistema com realimentaccedilatildeo da saiacuteda do

Problema 1131 92Figura 19 ndash Protoacutetipo da cadeira de rodas controlada da UELCTU Departamento

de Engenharia Eleacutetrica 104Figura 20 ndash Diagrama de blocos do sistema de controle da cadeira de rodas guiada

por um interface homem-maacutequina com trecircs possibilidade de comandosde direccedilatildeo oral autocircnomo e manual 106

Figura 21 ndash Diagrama de blocos do sistema de controle da cadeira de rodas comindicaccedilatildeo dos paracircmetros e variaacuteveis do modelo 107

Figura 22 ndash Diagrama de blocos do sistema de controle da cadeira de rodas comvalores numeacutericos para simulaccedilatildeo 108

Figura 23 ndash Diagrama de blocos modificado do sistema de controle da cadeira derodas com separaccedilatildeo do controlador PI em dois blocos paralelos deganho P e controlador I com explicitaccedilatildeo das variaacuteveis X1(s) X2(s)X3(s) e X4(s) 112

Figura 24 ndash Relaccedilotildees entre a derivada e a funccedilatildeo em um integrador 112Figura 25 ndash Representaccedilatildeo graacutefica do modelo natildeo-linear de um VRTD e seus paracirc-

metros segundo ZHANG et al (1998) 118Figura 26 ndash Representaccedilatildeo graacutefica do modelo natildeo-linear de um VRTD e seus paracirc-

metros segundo MARTINS et al (2008) 118Figura 27 ndash Representaccedilatildeo graacutefica do modelo natildeo-linear de um VRTD e seus paracirc-

metros segundo De La CRUZ BASTOS e CARELLI (2011) 120Figura 28 ndash Representaccedilatildeo esquemaacutetica da planta da articulaccedilatildeo do joelho do paciente132Figura 29 ndash Resultados da resposta ao degrau unitaacuterio do controle dinacircmico da

cadeira V = 0[ms] e Ω = 1[rads] e V = 1[ms] e Ω = 0[rads] 139Figura 30 ndash Velocidades angulares das rodas direita e esquerda para MF veacutertice

Pd1(040 0 0151) e degrau unitaacuterio nas entradas Uref e Ωref 144Figura 31 ndash Velocidades angulares das rodas direita e esquerda para MF veacutertice

Pd2(040 0minus0151) e degrau unitaacuterio nas entradas Uref e Ωref 144Figura 32 ndash Velocidades angulares das rodas direita e esquerda para MF veacutertice

Pd8(070 0151minus0151) e degrau unitaacuterio nas entradas Uref e Ωref 147Figura 38 ndash Velocidades angulares das rodas direita e esquerda para MF ponto

Pdcg1(070 0 0) do interior e degrau unitaacuterio nas entradas Uref e Ωref 148Figura 39 ndash Velocidades angulares das rodas direita e esquerda para MF ponto

Pdcg3(045 0 0) do interior e degrau unitaacuterio nas entradas Uref e Ωref 149

Figura 41 ndash Velocidades angulares das rodas direita e esquerda para MF pontoPdcg4(070 0minus01)do interior e degrau unitaacuterio nas entradas Uref e Ωref 149

Figura 42 ndash Movimentaccedilatildeo angular da cadeira para a direita em relaccedilatildeo agrave movimen-taccedilatildeo angular das rodas de tracionamento 150

Figura 43 ndash Velocidades angulares das rodas direita e esquerda para malha abertaponto Pdcg1(070 0 0) do interior e degrau unitaacuterio nas entradas Urefe Ωref 150

Figura 44 ndash Simulaccedilatildeo das equaccedilotildees dinacircmicas do modelo do parapleacutegico para oponto de operaccedilatildeo de 30 sendo f21max = minus217834 e f21min = minus360085SEM restriccedilatildeo de saiacuteda 156

Figura 45 ndash Simulaccedilatildeo das equaccedilotildees dinacircmicas do modelo do parapleacutegico para oponto de operaccedilatildeo de 30 sendo f21max = minus217834 e f21min = minus360085COM restriccedilatildeo de saiacuteda 157

Figura 46 ndash Intervalo de restriccedilatildeo para a largura de pulso miacutenima 157

Lista de tabelas

Tabela 1 ndash Paracircmetros e valores do modelo linear simplificado do VRTD 65Tabela 2 ndash Descriccedilatildeo dos paracircmetros dos modelos natildeo-lineares utilizados em (ZHANG

et al 1998 CELESTE et al 2007 MARTINS et al 2008 De La CRUZBASTOS CARELLI 2011) 117

Tabela 3 ndash Paracircmetros do modelo da cadeira de rodas utilizados para determinaccedilatildeodas matrizes Adi e Bdi correspondentes a cada um dos veacutertices dopolitopo 128

Tabela 4 ndash Natureza e valores dos paracircmetros obtidos experimentalmente em (FER-RARIN PEDOTTI 2000 GAINO et al 2011 DIOGO et al 2012)para o complexo canela-peacute de um paciente de 30 anos parapleacutegico 133

Tabela 5 ndash Autovalores da planta para cada veacutertice do politopo Pdi(di b1i b2i)para i = 1 2 middot middot middot 7 e 8 e para os quatro pontos do interior do politopoPdcg1 Pdcg2 Pdcg3 e Pdcg4 em MA e MF 143

Tabela 6 ndash Valores dos paracircmetros iniciais escolhidos para simulaccedilatildeo 153Tabela 7 ndash Paracircmetros de entrada e de saiacuteda obtidos experimentalmente para o

caso simples de simulaccedilatildeo SEM restriccedilatildeo na saiacuteda considerando osparacircmetros da Tabela 6 e utilizados na geraccedilatildeo da Figura 44 154

Tabela 8 ndash Pontos notaacuteveis observaacuteveis na Figura 44 simulaccedilatildeo SEM restriccedilatildeo desaiacuteda Para cada paracircmetro de entrada e saiacuteda satildeo examinadas trecircscurvas a saber para δ = 1 δ = 0 e δ = minus1 conforme legenda 155

Tabela 9 ndash Paracircmetros de entrada e de saiacuteda obtidos experimentalmente para ocaso de simulaccedilatildeo com restriccedilatildeo na saiacuteda considerando os paracircmetrosda Tabela 6 e utilizados na Figura 45 158

Tabela 10 ndash Pontos notaacuteveis observaacuteveis na Figura 44 simulaccedilatildeo COM restriccedilatildeode saiacuteda Para cada paracircmetro de entrada e saiacuteda satildeo examinadas trecircscurvas a saber para δ = 1 δ = 0 e δ = minus1 conforme legenda 159

Lista de abreviaturas e siglas

AP Action Potential (Potencial de Accedilatildeo)

DOF Degree Of Freedom (Grau de Liberdade)

DC Direct Current (Corrente Contiacutenua)

ERP Estritamente Real Positivo

ITAE Integral of Time multiplied by Absolute Error (Integral de Tempomultiplicada pelo Erro Absoluto)

LMI Linear Matrix Inequality (Desigualdade Matricial Linear)

LMIs Linear Matrix Inequalities (Desigualdades Matriciais Lineares)

LQR Linear Quadratic Regulator (Regulador Quadraacutetico Linear)

LVDT Linear Variable Differential Transformer (Transformador DiferencialVariaacutevel Linear)

LTI Linear Time Invariant (Linear Invariante no Tempo)

MIMO Multiple-Input Multiple-Output (Entradas Muacuteltiplas Saiacutedas Muacuteltiplas)

NES Neuromuscular Electrical Stimulation (Estimulaccedilatildeo Eleacutetrica Neuromus-cular Funcional)

MA Malha Aberta

MF Malha Fechada

PID Proportional Integral Derivative (Proporcional Integral Derivativo)

PI Proportional Integral (Proporcional Integral)

PD Proportional Derivative (Proporcional Derivativo)

P Proportional (Proporcional)

Ps Largura de Pulso

PN Largura de Pulso Natildeo-Referenciada

RP Real Positivo

SAE Society of Automotive Engineers (Sociedade de Engenheiros Automoti-vos)

SFR Sistema Fiacutesico Real

SISO Single-Input Single-Output (Entrada Simples Saiacuteda Simples)

SPR Strictly Positive Real (Sistemas Estritamente Reais Positivos)

SDP Semidefinite Programming (Programaccedilatildeo Semidefinida)

S-Procedure Procedimento S

VRTD Veiacuteculo sobre Rodas com Tracionamento Diferencial

Lista de siacutembolos

a Distacircncia entre o centro cinemaacutetico e o ponto de interesse na cadeira derodas

A Ponto da cadeira de rodas rastreado pelo controlador matriz caracteriacutes-tica do modelo em espaccedilo de estados

b1 b2 Deslocamentos longitudinal e lateral do CG da cadeira de rodas respec-tivamente

β Taxa de decaimento

B Coeficiente viscoso centro da linha de base das rodas acionadoras dacadeira de rodas matriz de entrada do modelo em espaccedilo de estados

Be Coeficiente viscoso efetivo do motor rotor e engrenagens da cadeira derodas combinados

C Local da ferramenta da cadeira de rodas matriz de saiacuteda do modelo emespaccedilo de estados

d Distacircncia entre as rodas traseiras de acionamento da cadeira de rodas

D Matriz de transmissatildeo direta do modelo em espaccedilo de estados

δ Acircngulo de direccedilatildeo das rodas de um veiacuteculo vetor de incertezas parameacute-tricas

δA Matriz de incertezas

∆ Matriz diagonal das incertezas contendo paracircmetros incertos normaliza-dos na diagonal principal

exist Existe

E Coeficiente do termo exponencial

forallx Para qualquer valor de x

Fxprimec Fyprimec Forccedilas resultantes no pneu nas direccedilotildees longitudinal e lateral no pontoC respectivamente

γ Limitante superior para norma infinita da funccedilatildeo de transferecircncia Gwz

G Coeficiente da funccedilatildeo de transferecircncia (ganho estaacutetico) centro de gravi-dade

isin Pertence

I Constante integral dos controladores PI

I minus z Momento de ineacutercia do veiacuteculo em torno do eixo z e

Ie Momento de ineacutercia efetivo do motor rotor e engrenagens da cadeirade rodas combinados

J Momento de ineacutercia do complexo peacute-canela

K1 K2 Constantes proporcionais dos controladores P e PI respectivamente

ka kb Constantes eletromotiva e de torque dos motores das rodas da cadeirade rodas respectivamente

K Ganho da funccedilatildeo de transferecircncia dos motores DC

KDR KDT Ganho derivativo do controlador PD de baixo niacutevel rotacional e transla-cional respectivamente

KPR KPT Ganho proporcional do controlador PD de baixo niacutevel rotacional etranslacional respectivamente

KP Ganho do controlador proporcional

KI Ganho do controlador integral

l Distacircncia entre o joelho e o centro de massa do complexo peacute-canela

L Ponto de contato da roda com o chatildeo da roda castor matriz componenteda matriz de incertezas δA

λ Autovalores de uma matriz de sistema coeficiente do termo exponencialde um modelo matemaacutetico

λ0 Restriccedilatildeo de saiacuteda para sistemas com incertezas limitadas em norma

hArr Se e somente se

m Massa do complexo peacute-canela relaccedilatildeo entre o eixo traseiro e o eixo daroda motorizada da cadeira de rodas

Ma0 Torque ativo do joelho do paciente parapleacutegico

micro Limitante superior a sinais de controle e saiacutedas

6 exist Natildeo existe

νxprimee νyprimee Forccedilas resultantes nas direccedilotildees longitudinal e lateral no ponto E res-pectivamente

ω Velocidade angular acircngulo elaacutestico de repouso do joelho

ωr ωl Velocidades angurlares das rodas direita e esquerda da cadeira de rodasrespectivamente

Ω Velocidade angular

P gt 0 Indica que a matriz P eacute positiva definida

P le 0 Indica que a matriz P eacute negativa semidefinida

P lt 0 Indica que a matriz P eacute negativa definida

P ge 0 Indica que a matriz P eacute positiva semidefinida

π Fator de restriccedilatildeo escalar para sistemas incertos com incertezas limitadas

PN Largura de pulso neuroestimulador natildeo referenciada

ψ Acircngulo para funccedilotildees geomeacutetricas acircngulo de posicionamento da cadeirade rodas

Ps Largura do pulso neuroestimulador

r Raio das rodas traseiras de acionamento da cadeira de rodas

R Ponto de contato com o chatildeo das rodas direita e esquerda da cadeira derodas

Ra Resistecircncia eleacutetrica dos motores acionadores da cadeira de rodas

rArr Implica em

Rt Raio nominal dos pneus das rodas da cadeira de rodas

τ τu τω Torques mecacircnico de motores eleacutetricos

τ Restriccedilatildeo escalar coeficiente da funccedilatildeo de transferecircncia (constante detempo do polo)

θ Acircngulo de direcionamento da cadeira de rodas vetor de grandezasparameacutetricas

θν Acircngulo de articulaccedilatildeo do joelho do paciente

θν0 Ponto de operaccedilatildeo angular relativo agrave articulaccedilatildeo do joelho de umpaciente

Por definiccedilatildeo

T Constante de tempo do motor DC

uref Uref ωref Ωref Velocidades lineares e angulares de referecircncia da cadeira derodas respectivamente

V Velocidade angular

ξ Fator de limitaccedilatildeo da saiacuteda de um sistema fator de restriccedilatildeo escalarpara sistemas incertos com incertezas limitadas vetor de estado parasistemas descritores

Tal que

prime Indica matriz ou vetor transpostos

Sumaacuterio

Introduccedilatildeo 33

I REFERENCIAIS TEOacuteRICOS 35

1 REVISAtildeO BIBLIOGRAacuteFICA 3711 Conceitos baacutesicos sobre engenharia biomeacutedica 37111 Engenharia Biomeacutedica e Engenharia de Reabilitaccedilatildeo 37112 A utilizaccedilatildeo da estimulaccedilatildeo eleacutetrica funcional (FES) na praacutetica cliacutenica da

reabilitaccedilatildeo do paciente com deficiecircncia fiacutesica 3912 Modelagem simulaccedilatildeo e controle 41121 Uma abordagem histoacuterica 41122 Modelagem em Espaccedilo de Estados de Sistemas Dinacircmicos 4713 Meacutetodos de linearizaccedilatildeo de sistemas natildeo-lineares 50131 Meacutetodo de expansatildeo em seacuterie de Taylor 51132 Meacutetodo indireto de Lyapunov 5314 Estabilidade de sistemas natildeo-lineares 5515 Controlabilidade e Observabilidade de Sistemas 5616 Controlador Proporcional-Integral-Derivativo - PID 6117 Modelagem dinacircmica simplificada de um veiacuteculo sobre rodas com

tracionamento diferencial - VRTD 6318 Desigualdades Matriciais Lineares - LMIs 66181 Estabilidade de Lyapunov e uma breve perspectiva histoacuterica do desenvolvi-

mento das LMIs 66182 Propriedades das LMIs 7119 Normas de vetores matrizes sinais e sistemas 79110 Norma euclidiana H2 821101 Norma euclidiana H2 via LMIs 85111 Norma infinita Hinfin 851111 Norma infinita Hinfin via LMIs 86112 Controle robusto H2 para sistema descritor 88113 Sistemas Estritamente Reais Positivos - ERP 901131 Introduccedilatildeo 901132 Sistemas hiperestaacuteveis e assintoticamente hiperestaveis 901133 Siacutentese de sistemas ERP 921134 Determinaccedilatildeo da matriz de realimentaccedilatildeo que torna o sistema ERP 93

1135 Sistemas com realimentaccedilatildeo da saiacuteda e mesmo nuacutemero de entradas e saiacutedas 931136 Sistemas com realimentaccedilatildeo da saiacuteda e nuacutemeros diferentes de entradas e

saiacutedas 94114 Sistemas com incertezas limitadas em norma 96115 Controle de sistemas com taxa de decaimento e restriccedilatildeo de saiacuteda 99116 Conclusatildeo Parcial Capiacutetulo 1 101

2 CONTROLADOR PI PARA UMMODELO LINEAR SIMPLIFICADODA CADEIRA DE RODAS 103

21 Contextualizaccedilatildeo e definiccedilatildeo do problema 10322 Modelo Simulinkreg da estabilizaccedilatildeo da cadeira de rodas com con-

trolador P e PI 106221 Funcionamento dos controladores P e PI no diagrama da Figura 20 106222 Modelo Simulinkreg da estabilizaccedilatildeo da cadeira de rodas 10723 Modelo no Espaccedilo de Estados da estabilizaccedilatildeo da cadeira de rodas

com controlador PI e P 108231 Deduccedilatildeo das variaacuteveis de estado a partir do diagrama de blocos do modelo

linear simplificado do ambiente Simulinkreg 111

3 CONTROLADOR ROBUSTO UTILIZANDO LMIS EM PRESENCcedilADE INCERTEZAS PARAMEacuteTRICAS POLITOacutePICAS PARA UMMODELO NAtildeO-LINEAR DE UM VEIacuteCULO SOBRE RODAS COMTRACcedilAtildeO DIFERENCIAL 115

31 Contextualizaccedilatildeo e definiccedilatildeo do problema 11532 Anaacutelise e avaliaccedilatildeo de alguns modelos natildeo-lineares da cadeira de

rodas 115321 Modelo natildeo-linear da cadeira de rodas segundo ZHANG et al (1998) 115322 Modelo natildeo-linear da cadeira de rodas segundo MARTINS et al (2008) 116323 Modelo natildeo-linear da cadeira de rodas segundo De La CRUZ C C e CARELLI

(2006) 11933 Determinaccedilatildeo da equaccedilatildeo do modelo dinacircmico natildeo-linear simplifi-

cado da cadeira de rodas segundo De La CRUZ BASTOS e CA-RELLI (2011) 121

34 Linearizaccedilatildeo do modelo natildeo-linear simplificado segundo De La CRUZBASTOS e CARELLI (2011) 123

341 Obtenccedilatildeo da representaccedilatildeo natildeo-linear do sistema em equaccedilotildees de estado 123342 Linearizaccedilatildeo do modelo natildeo-linear simplificao da cadeira de rodas 12435 Projeto do controlador robusto do sistema com incertezas politoacutepi-

cas e LMIs 126351 Determinaccedilatildeo dos valores das matrizes para cada veacutertice do politopo 127

4 CONTROLADOR ROBUSTO DO AcircNGULO DE ARTICULACcedilAtildeODO JOELHO DE UM PACIENTE PARAPLEacuteGICO UTILIZANDOLMIS EM PRESENCcedilA DE INCERTEZAS PARAMEacuteTRICAS LIMI-TADAS EM NORMA 131

41 Contextualizaccedilatildeo e definiccedilatildeo do problema 13142 Modelo natildeo-linear da articulaccedilatildeo do joelho do paciente 13243 Projeto do controlador do sistema com incertezas limitadas em

norma e LMIs 134

II RESULTADOS 137

51 Saiacutedas da simulaccedilatildeo com Matlabreg e Equaccedilotildees de Estado 13952 Conclusatildeo Parcial Capiacutetulo 5 140

6 CONTROLADOR ROBUSTO UTILIZANDO LMIS EM PRESENCcedilADE INCERTEZAS PARAMEacuteTRICAS POLITOacutePICAS PARA UMMODELO NAtildeO-LINEAR DE UM VRTD 141

61 Saiacutedas da simulaccedilatildeo 141611 Obtenccedilatildeo da matriz de realimentaccedilatildeo 141612 Determinaccedilatildeo dos autovalores da planta nos veacutertices do politopo e geraccedilatildeo

das saiacutedas 14262 Conclusatildeo Parcial Capiacutetulo 6 151

71 Paracircmetros de entrada valores e graacuteficos de saiacutedas da simulaccedilatildeo 15372 Conclusatildeo Parcial Capiacutetulo 7 160

8 CONCLUSAtildeO 161

Conclusatildeo 16181 Sugestotildees para trabalhos futuros 16382 Artigos publicados apresentados e submetidos 163

Referecircncias 165

APEcircNDICES 173

III MODELAGEM DINAcircMICA LINEAR SIMPLIFICADADE VRTD 175

APEcircNDICE A ndash PROGRAMAS IMPLEMENTADOS EM AMBIEN-TES MATLABreg E SIMULINKreg 177

A1 Simulaccedilatildeo com modelo da cadeira de rodas em espaccedilo de estadoFonte do proacuteprio autor 178

IV MODELAGEM DINAcircMICA NAtildeO-LINEAR SIMPLI-FICADA DE VRTD 181

APEcircNDICE B ndash DEFINICcedilOtildeES DOS VETORES PARAMEacuteTRICOSE DE DISTUacuteRBIOS 183

B1 Definiccedilatildeo do vetor parameacutetrico e de distuacuterbio de Zhang 183B2 Definiccedilatildeo do vetor de distuacuterbio de De La Cruz 183

APEcircNDICE C ndash PARAcircMETROS DO CONTROLADOR ROBUSTOPARA UM MODELO NAtildeO-LINEAR DE UM VRTD185

C1 Determinaccedilatildeo dos elementos das matrizes lineares do VRTD Fontedo proacuteprio autor 185

C11 Determinaccedilatildeo dos elementos da matriz A 185C12 Determinaccedilatildeo dos elementos da matriz B 187

APEcircNDICE D ndash PROGRAMAS DO MATLABreg PARA DETERMI-NACcedilAtildeO DAMATRIZ DE REALIMENTACcedilAtildeO DOCONTROLE ROBUSTO DO VRTD 189

D1 Programa para determinaccedilatildeo dos valores das matrizes dos veacuterticesdo politopo Fonte do proacuteprio autor 190

D2 Programa para caacutelculo da matriz Ko de realimentaccedilatildeo de saiacuteda dosistema utilizando LMIs Fonte do proacuteprio autor 201

D3 Programa para caacutelculo dos autovalores do sistema e geraccedilatildeo dascurvas de saiacuteda Fonte do proacuteprio autor 204

APEcircNDICE E ndash CONTROLADOR ROBUSTO DO AcircNGULO DEARTICULACcedilAtildeO DO JOELHO DE UM PACIENTEPARAPLEacuteGICO UTILIZANDO LMIS EM PRE-SENCcedilA DE INCERTEZAS PARAMEacuteTRICAS LI-MITADAS EM NORMA 219

E1 Programa para determinaccedilatildeo da matriz de realimentaccedilatildeo Fontedo proacuteprio autor 220

E2 Programa para simulaccedilatildeo do sistema e emissatildeo dos graacuteficos de saiacutedaFonte do proacuteprio autor 223

APEcircNDICE F ndash DETERMINACcedilAtildeO DAS MATRIZES DE INCER-TEZAS DA EQUACcedilAtildeO 1115 227

Introduccedilatildeo

Os modelos simboacutelicos satildeo aqueles mais usados em simulaccedilatildeo Eles reforccedilamou complementam o entendimento dos profissionais dos diversos campos da ciecircncia eda engenharia O primeiro passo para a utilizaccedilatildeo da simulaccedilatildeo eacute a obtenccedilatildeo de ummodelo matemaacutetico que represente o sistema em estudo dentro de um grau adequadode aproximaccedilatildeo do sistema real (BAZZO PEREIRA 2006 ALLEN KLEE 2011) Ahistoacuteria do controle moderno percorreu um longo caminho desde a Clepsidra de Ktesibiosde Alexandria (sec III AC) ateacute chegar aos dias de hoje (sec XXI) (SILVEIRA 2007)

Os modelos trabalhados aqui satildeo utilizados com dois objetivos baacutesicos A primeiraparte analisa o caso dos sistemas de controle robusto utilizados para controlar o movimentoda cadeira de rodas atraveacutes de um modelo em presenccedila de incertezas politoacutepicas O objetivoeacute dar mais mobilidade agraves pessoas com deficiecircncia fiacutesica tais como pessoas bastante idosase pacientes de paraplegia e tetraplegia A segunda parte analisa o caso dos sistemasde controle robusto utilizados para controlar a variaccedilatildeo do acircngulo de posiccedilatildeo do joelhodo parapleacutegico para reabilitaccedilatildeo ou locomoccedilatildeo O objetivo eacute o controle da estimulaccedilatildeoeleacutetrica neuromuscular funcional em presenccedila de incertezas limitadas por norma usandoum modelo da planta constituiacuteda pela coxa e o complexo canela-peacute do paciente comdeficiecircncia (GAINO 2009)

A cadeira de rodas segue uma abordagem geneacuterica pela modelagem de um Veiacuteculosobre Rodas com Tracionamento Diferencial (VRTD) Muitos trabalhos cientiacuteficos tecircm sidodesenvolvidos neste campo por isso depois da avaliaccedilatildeo de diversos modelos encontrados naliteratura teacutecnica e cientiacutefica opta-se pelo modelo de De La CRUZ BASTOS e CARELLI(2011) que permite estudar a estabilidade da cadeira de rodas considerando o deslocamentodo centro de gravidade da cadeira ocasionado pela movimentaccedilatildeo do cadeirante

Quanto mais proacuteximos do sistema fiacutesico real mais complexo se torna o modelo Essesmodelos dinacircmicos de sistemas mais complexos apresentam natildeo linearidades inerentesAssim haacute a necessidade de consideraccedilotildees simplificativas e de linearizaccedilatildeo do modelopara desenvolvimento do projeto do controlador robusto Aleacutem disso os modelos globaisda cadeira de rodas satildeo representados por meio de equaccedilotildees de estados que carregamem si a representaccedilatildeo da parte dinacircmica e cinemaacutetica do sistema Por isso eacute feito umdesacoplamento da parte dinacircmica do modelo global seguido da linearizaccedilatildeo do modeloencontrado

Conforme BOYD et al (1994) eacute possiacutevel tratar muitos problemas da teoria dossistemas e controle utilizando otimizaccedilatildeo convexa envolvendo as desigualdades matriciaislineares LMIs As LMIs satildeo um conjunto de inequaccedilotildees que representam o sistema fiacutesico

34 Introduccedilatildeo

que permitem a anaacutelise da estabilidade do sistema se forem encontradas algumas matrizesque satisfaccedilam essas desigualdades O desenvolvimento das LMIs se deu atraveacutes do Teoremade Lyapunov surgido na deacutecada de 1940 (BOYD et al 1994) Os primeiros pesquisadoresdessa teacutecnica utilizavam uma abordagem analiacutetica para busca das matrizes que satisfa-ziam as desigualdades Seguiu-se um longo desenvolvimento dessa teacutecnica bem como desua aplicaccedilatildeo sempre crescente a vaacuterios problemas praacuteticos em engenharia de controleFinalmente o surgimento dos algoriacutetimos de pontos interiores e de excelentes ferramentascomputacionais numeacutericas tornou a utilizaccedilatildeo das LMIs no estudo da estabilidade dossistemas Dessa maneira na sequecircncia as LMIs satildeo utilizadas neste trabalho para obtenccedilatildeode projetos de controladores robustos para sistemas dinacircmicos em presenccedila de incertezasparameacutetricas politoacutepicas e limitadas em norma

O modelo dinacircmico linearizado do veiacuteculo sobre rodas com tracionamento diferencialobtido eacute representado atraveacutes de LMIs e testado em ambiente do Matlabreg O controladorrobusto eacute projetado para estabilizaccedilatildeo da planta e testado no ambiente de simulaccedilatildeoadotado O mesmo ocorre com o modelo natildeo-linear do controle da posiccedilatildeo do joelho de umpaciente parapleacutegico por estimulaccedilatildeo eleacutetrica funcional (Functional Electrical Stimulation -FES) eacute projetado

Parte I

Referenciais teoacutericos

1 Revisatildeo Bibliograacutefica

Neste capiacutetulo satildeo abordados os conceitos fundamentais utilizados nesta dissertaccedilatildeoApoacutes abordar os conceitos baacutesicos de Engenharia Biomeacutedica eacute feita uma breve retrospectivahistoacuterica da modelagem e simulaccedilatildeo dando destaque para simulaccedilatildeo matemaacutetica e compu-tacional via ambiente Matlabreg e Simulinkreg Na sequecircncia discorre-se sobre os princiacutepiosde modelagem em espaccedilo de estados de sistemas dinacircmicos Em seguida eacute apresentado omeacutetodo de linearizaccedilatildeo de Lyapunov Finalmente satildeo abordados os princiacutepios teoacutericos deestabilidade de sistemas natildeo-lineares LMIs incertezas parameacutetricas politoacutepicas e limitadasem normas e projeto de controladores robustos

11 Conceitos baacutesicos sobre engenharia biomeacutedica

111 Engenharia Biomeacutedica e Engenharia de ReabilitaccedilatildeoSegundo COCIAN (2003) a Engenharia Biomeacutedica engloba os seguintes campos

Engenharia Eletromeacutedica Engenharia Cliacutenica Engenharia Biomecacircnica Engenharia Bioin-formaacutetica e Bioengenharia Ele situa a engenharia biomeacutedica como um campo de atuaccedilatildeoparalelo ao da engenharia eleacutetrica e define o trabalho do engenheiro biomeacutedico da seguintemaneira

ldquo[] aplica os meacutetodos e teacutecnicas da engenharia eleacutetrica mecacircnica quiacutemica ede plaacutesticos para analisar modificar ou controlar sistemas bioloacutegicosrdquo

Embora na classificaccedilatildeo anterior natildeo se faccedila menccedilatildeo da Engenharia de Reabilitaccedilatildeocontudo GODINHO (2010) mostra que ela eacute incluiacuteda em Engenharia Biomeacutedica em vaacuteriospaiacuteses Ainda de acordo com GODINHO (2010)

ldquoOs primeiros 5 Centros de Engenharia de Reabilitaccedilatildeo dos EUA [] foramcriados em 1971 e 1972 nas seguintes aacutereas 1 Estimulaccedilatildeo eleacutectrica funcionalde nervos e muacutesculos paralisados (Hospital Rancho Los Amigos UniversidadeSouthern Califoacuternia) 2 Sistemas de Controlo Neuromuscular (Hostital deReabilitaccedilatildeo Moss Universidade Temple e Drexel Universities) [] 5 desen-volvimento de produtos de apoio para pessoas com deficiecircncias significativasincluindo sistemas de controlo para cadeiras de rodas eleacutectricas []rdquo

Na realidade a reabilitaccedilatildeo de uma pessoa com incapacidade fiacutesica como eacute o casode uma pessoa parapleacutegica ou tetrapleacutegica envolve uma multiplicidade de disciplinas

38 Capiacutetulo 1 Revisatildeo Bibliograacutefica

conforme ilustrado na Figura 1 Os profissionais dessas disciplinas interagem no sentido deprover recursos para a melhoria da qualidade de vida do paciente e o desenvolvimento detodas as suas potencialidades (GODINHO 2010) E isto deve ser alcanccedilado pela praacutetica daengenharia de criaccedilatildeo e manutenccedilatildeo de serviccedilos e sistemas aparelhos maacutequinas estruturasprocessos e produtos destinados a melhorar a qualidade de vida de forma efetiva e eficiente(GODINHO 2010)

Figura 1 ndash Equipe multidisciplinar envolvida com a reabilitaccedilatildeo de uma pessoa comincapacidade fiacutesica

Fonte (GODINHO 2010)

Verifica-se que ainda natildeo haacute um consenso em relaccedilatildeo ao estabelecimento dasfronteiras definitivas de cada uma das especialidades da engenharia envolvidas nessa aacutereade atuaccedilatildeo Por exemplo no Brasil a Resoluccedilatildeo Nordm 473 de 26 de Novembro de 2002do Conselho Federal de Engenharia Arquitetura e Agronomia - Confea na instituiccedilatildeoda Tabela de Tiacutetulos Profissionais do Sistema ConfeaCrea na uacuteltima atualizaccedilatildeo de05072012 inclui o engenheiro biomeacutedico niacutevel graduaccedilatildeo dentro da modalidade deEngenharia Eleacutetrica e natildeo menciona a Engenharia de Reabilitaccedilatildeo (CONFEA 2012)Jaacute GODINHO (2010) para a realidade de Portugal separa Engenharia Biomeacutedica deEngenharia de Reabilitaccedilatildeo colocando-as em paralelo com Engenharia Eletroteacutecnica eEngenharia Mecacircnica conforme representado na Figura 1

11 Conceitos baacutesicos sobre engenharia biomeacutedica 39

112 A utilizaccedilatildeo da estimulaccedilatildeo eleacutetrica funcional (FES) na praacutetica cliacutenicada reabilitaccedilatildeo do paciente com deficiecircncia fiacutesica

Segundo GAINO (2009) uma lesatildeo na medula toraacutecica ou cervical leva a umaraacutepida atrofia nos muacutesculos grandes da coxa Esta atrofia debilita a sauacutede do indiviacuteduo jaacuteque as atividades do coraccedilatildeo e dos pulmotildees ficam comprometidas O quadro cliacutenico deuma pessoa nesta situaccedilatildeo pode agravar-se pela falta de exerciacutecio dos muacutesculos afetadosE isto contribui para uma baixa qualidade de vida do paciente e das pessoas que estatildeo agravesua volta

Para BOHORQUEZ de SOUZA e PINO (2013) a praacutetica cliacutenica da reabilitaccedilatildeo fazuso da estimulaccedilatildeo eleacutetrica funcional (FES) no fortalecimento na recuperaccedilatildeo e preservaccedilatildeofuncional dos muacutesculos enfraquecidos Contudo a ausecircncia de padrotildees adequados para arealizaccedilatildeo de um movimento preacute-estabelecido constitui-se em um problema tendo em vistaque os paracircmetros da estimulaccedilatildeo (frequecircncia intensidade de corrente e duraccedilatildeo do pulso)satildeo variados de maneira heuriacutestica

Os pacientes que perderam suas funccedilotildees motoras poreacutem mantiveram os nervosperifeacutericos intatos apresentam grande probabilidade de aumentar a circulaccedilatildeo do san-gue no membro paralisado Este benefiacutecio pode ser conseguido atraveacutes da estimulaccedilatildeoeleacutetrica neuromuscular funcional (NES) A aplicaccedilatildeo da estimulaccedilatildeo eleacutetrica funcional(FES) nos neurocircnios motores do muacutesculo em questatildeo produz a contraccedilatildeo involuntaacuteria domesmo ou seja ocasiona um potencial de accedilatildeo (AP) (GAINO 2009 DIOGO et al 2012BOHORQUEZ de SOUZA PINO 2013)

GAINO (2009) afirma tambeacutem que embora se possa trabalhar com a NES emmalha aberta (MA) os grupos de pesquisa sobre o assunto tecircm trabalhado com a teoria decontrole em malha fechada (MF) desenvolvendo equipamentos para geraccedilatildeo de movimentosortostatismo e ateacute mesmo a marcha em deficientes O controle eficiente obtido sobre FES emMF auxilia os movimentos e evitam a fadiga precoce dos muacutesculos envolvidos procedimentoesse representado na Figura 2

Para que o muacutesculo se contraia eacute necessaacuterio que a amplitudeintensidade e aduraccedilatildeo do estiacutemulo eleacutetrico representado agrave direita da Figura 2 estejam acima de umlimiar Quando isso ocorre entatildeo o potencial de accedilatildeo eacute gerado e se propaga nas duasdireccedilotildees da fibra nervosa (DIOGO et al 2012) Complexos mecanismos de estiacutemuloseletroquiacutemicos ocorrem na estrutura neuromuscular provocando o processo de acoplamentoexcitaccedilatildeo-contraccedilatildeo responsaacutevel pelo movimento da perna (GAINO 2009) A modulaccedilatildeoda forccedila pelo nuacutemero de fibras musculares recrutadas e a velocidade de recrutamentodas fibras dependem de vaacuterios paracircmetros entre eles a proximidade do eletrodo com afibra nervosa o diacircmetro do eletrodo e a variaccedilatildeo de nuacutemeros de estados ativos das fibraspela variaccedilatildeo da amplitude ou duraccedilatildeo do pulso (GAINO 2009 DIOGO et al 2012)

Figura 2 ndash Diagrama esquemaacutetico do controle robusto em MF do neuroestimulador

Adaptado de (GAINO 2009)

Figura 3 ndash Nomenclatura das regiotildees da curva de recrutamento

Fonte (GAINO 2009)

Conforme se pode verificar na Figura 4 o grau de ativaccedilatildeo muscular (α) em funccedilatildeo daduraccedilatildeo do estiacutemulo (d) eacute de natureza natildeo-linear

GAINO (2009) mostra tambeacutem que haacute uma regiatildeo variando em torno de 03[micros] a06[micros] em que o estiacutemulo produz ativaccedilatildeo ou forccedila muscular conforme pode ser visto na

12 Modelagem simulaccedilatildeo e controle 41

Figura 4 ndash Curva de recrutamento de fibras (os ciacuterculos pretos representam fibras ativadas)O eixo vertical mostra o grau de ativaccedilatildeo muscular α o eixo horizontal mostraa duraccedilatildeo d do estiacutemulo aplicado no muacutesculo

Fonte (MAKSSOUD GUIRAUD POIGNET 2004 GAINO 2009)

Figura 3 Entre 0 e 03[micros] natildeo haacute ativaccedilatildeo muscular e este periacuteodo corresponde agrave zonamorta Acima de 06[micros] de duraccedilatildeo do estiacutemulo nenhuma fibra eacute recrutada e o muacutesculoentra na regiatildeo de saturaccedilatildeo

12 Modelagem simulaccedilatildeo e controle

121 Uma abordagem histoacutericaUm modelo pode ser de natureza fiacutesica que eacute tangiacutevel de faacutecil compreensatildeo mas

de difiacutecil reproduccedilatildeo e manipulaccedilatildeo Em razatildeo disso sua utilizaccedilatildeo eacute muito baixa Comoexemplo cita-se o modelo fiacutesico de uma aeronave Pode tambeacutem ser de natureza analoacutegicaque eacute intangiacutevel de difiacutecil compreensatildeo poreacutem de reproduccedilatildeo e manipulaccedilatildeo mais faacutecil doque o anterior Sua utilizaccedilatildeo eacute maior do que a do modelo anterior Um exemplo poderiaser um graacutefico ou um velociacutemetro Um modelo pode ainda ser de natureza simboacutelicaEsse modelo eacute intangiacutevel como o analoacutegico e de compreensatildeo mais difiacutecil Poreacutem eacute dereproduccedilatildeo e manipulaccedilatildeo muito faacutecil de tal maneira que sua utilizaccedilatildeo eacute de escopo muitomais amplo Alguns exemplos deste tipo satildeo os modelos de simulaccedilatildeo algeacutebricos planilhasetc (GOMIDE 2007)

Segundo ALLEN e KLEE (2011) o objetivo da simulaccedilatildeo eacute reforccedilar ou comple-mentar o entendimento dos profissionais praticantes dos diversos campos da ciecircncia e daengenharia sobre um sistema Na simulaccedilatildeo representa-se alguns aspectos do mundo realatraveacutes de nuacutemeros ou siacutembolos os quais poderatildeo facilmente ser manipulados facilitando o

estudo dos aspectos representados Aleacutem disso o desenvolvimento e utilizaccedilatildeo de modelospermite tambeacutem estudar a dinacircmica de sistemas reais ou hipoteacuteticos As ferramentascomputacionais de simulaccedilatildeo existentes tais como o Matlabreg e Simulinkreg Maplereg Math-CADreg Mathematicareg e outras satildeo cada vez mais utilizadas A razatildeo principal eacute que elaspermitem aperfeiccediloar a maneira como os sistemas e as pessoas desempenham suas funccedilotildeesE disponibilizam ferramentas em um ambiente seguro controlaacutevel e com custos reduzidospara explorar as soluccedilotildees dos modelos como alternativa de experimentaccedilatildeo com sistemasreais

A simulaccedilatildeo no entanto natildeo pode ocorrer sem que antes um modelo matemaacuteticoseja desenvolvido para o sistema em estudo ou seja os modelos matemaacuteticos satildeo o pontode partida na evoluccedilatildeo dos modelos de simulaccedilatildeo (ALLEN KLEE 2011) Os modelos desimulaccedilatildeo servem como uma forma de predizer a resposta do sistema para vaacuterias entradase condiccedilotildees iniciais

Figura 5 ndash Forma geral de modelos

Variaacuteveis de Decisatildeo

(controlaacuteveis)

Paracircmetros (natildeo-

controlaacuteveis)

Objetivos

Restriccedilotildees

Medidas de Desempenho

Variaacuteveis de Saiacuteda

Fonte Adaptado de (GOMIDE 2007)

O comportamento de sistemas dinacircmicos pode ser explicado por meio de equaccedilotildeesmatemaacuteticas e foacutermulas que incorporam os princiacutepios cientiacuteficos as observaccedilotildees empiacutericasou ambas em relaccedilatildeo ao sistema Quando os paracircmetros e variaacuteveis do sistema mudam con-tinuamente no tempo ou espaccedilo os modelos consistem de equaccedilotildees algeacutebricas e diferenciaisacopladas Em alguns casos tabelas de pesquisa contendo dados empiacutericos satildeo utilizadaspara calcular os paracircmetros Equaccedilotildees podem ser complementadas por desigualdades ma-

temaacuteticas que restringem a variaccedilatildeo de uma ou mais variaacuteveis dependentes A agregaccedilatildeode equaccedilotildees e dados numeacutericos empregadas para descrever o comportamento dinacircmico deum sistema em termos quantitativos eacute chamado em conjunto como modelo matemaacuteticodo sistema (ALLEN KLEE 2011) A Figura 5 mostra um modelo graacutefico dos modelosmatemaacuteticos ressaltando as variaacuteveis de decisatildeo e os paracircmetros de entrada os objetivose restriccedilotildees associados agraves variaacuteveis e as variaacuteveis de saiacuteda e medidas de desempenho Asequaccedilotildees do modelo matemaacutetico estatildeo inseridas no retacircngulo central denominado modeloA Figura 6 mostra a representaccedilatildeo graacutefica de um exemplo de modelo matemaacutetico paraanaacutelise de estabilidade do ldquoProblema de Decisatildeo do Carpinteiro utilizando ProgramaccedilatildeoLinearrdquo criado por ARSHAM (1994) em sua paacutegina sobre otimizaccedilatildeo

Figura 6 ndash Os elementos e a formulaccedilatildeo da Programaccedilatildeo Linear do Problema de Decisatildeodo Carpinteiro

Fonte Adaptado de (ARSHAM 1994)

BAZZO e PEREIRA (2006) ao considerarem a complexidade de um SistemaFiacutesico Real (SFR) reconhecem que a criaccedilatildeo de um um modelo matemaacutetico implica nasimplificaccedilatildeo do mesmo uma vez que objetiva-se analisaacute-lo convenientemente e com maisfacilidade Aquele que vai simular um SFR precisa antes de mais nada ter em vistaum modelo conceitual que o represente adequadamente Eles entendem tambeacutem que aatividade da modelagem em particular da modelagem matemaacutetica depende muito daperiacutecia do profissional que a realiza Eles comentam que se trata de ldquouma arte altamenteindividualizada e o engenheiro deveraacute decidir por um lado qual o grau de realismo

necessaacuterio para o modelo e por outro a sua praticidade para determinar uma soluccedilatildeonumeacutericardquo (BAZZO PEREIRA 2006)

ALLEN e KLEE (2011) afirmam que ldquoModelagem matemaacutetica eacute uma ciecircnciainexata apoiada sobre uma combinaccedilatildeo de intuiccedilatildeo experiecircncia empiricismo e aplicaccedilatildeode leis cientiacuteficas da naturezardquo Existe uma linha de pensamento que vecirc a diferenccedila entremodelos matemaacuteticos e modelos de simulaccedilatildeo como inexistente Neste caso os modelosmatemaacuteticos satildeo vistos como incorporando os atributos do sistema real e a simulaccedilatildeocomo se referindo agraves soluccedilotildees das equaccedilotildees do modelo poreacutem satildeo geralmente aproximadasem natureza

Haacute outra linha de raciociacutenio na qual eacute feita uma distinccedilatildeo entre os dois modelosNeste caso a simulaccedilatildeo seria derivada do modelo matemaacutetico Para os que adotam esteponto de vista simular a dinacircmica de um sistema requer um modelo de simulaccedilatildeo que eacutediferente em natureza do modelo matemaacutetico E um modelo de simulaccedilatildeo confiaacutevel deveser capaz de produzir soluccedilotildees numeacutericas numa concordacircncia razoaacutevel com as soluccedilotildeesreais (desconhecidas) do modelo matemaacutetico

Resumindo segundo ALLEN e KLEE (2011) modelagem eacute um ponto de partidaessencial para qualquer estudo de simulaccedilatildeo Poreacutem a maneira como o modelo matemaacuteticoeacute obtido eacute de importacircncia secundaacuteria para um completo entendimento do modelo Oentendimento vem atraveacutes do conhecimento das variaacuteveis paracircmetros e das condiccedilotildees quepodem impor restriccedilotildees na sua adequabilidade para uma aplicaccedilatildeo especiacutefica

As primeiras maacutequinas foram desenvolvidas pelo homem com a finalidade de ampliarsuas capacidades naturais Neste sentido elas satildeo verdadeiras proacuteteses para os muacutesculosas maacutequinas mecacircnicas para a visatildeo as lunetas e os microscoacutepios etc Depois vierammaacutequinas energeacuteticas desviando a energia transportada pelos ventos rios etc Nessestipos de maacutequinas simples o homem eacute o operador e continuamente as aciona ajustaregula segundo o seu querer O reloacutegio eacute outro tipo de maacutequina que surgiu com a funccedilatildeode manter uma marcha uniforme do tempo sem a intervenccedilatildeo do homem ou seja umamaacutequina autorregulada (SILVEIRA 2007)

Um exemplo desse uacuteltimo tipo que apresentava um regulador de funcionamentoindissociado da maacutequina conferindo-lhe um comportamento automaacutetico eacute a clepsidrado inventor e matemaacutetico grego em Alexandria Ktesibios (285-222AC) Ela usava umavaacutelvula controlada pelo niacutevel de um tanque de aacutegua para regular o fluxo de saiacuteda da aacutegua(SILVEIRA 2007) A Figura 7 ilustra o princiacutepio de funcionamento da clepsidra Nelapode-se ver no primeiro tanque o flutuador em forma de cone que se casava com a forma defunil invertido do tanque Se o tanque estaacute cheio o flutuador corta o fornecimento da aacuteguaQuando o niacutevel baixa ele o abre mantendo o niacutevel constante (VILLACcedilA SILVEIRA2013)

Figura 7 ndash Princiacutepio de funcionamento do reloacutegio de aacutegua com regulador de flutuaccedilatildeo deKtesibios

Fonte (VILLACcedilA SILVEIRA 2013)

A partir do iniacutecio do seacuteculo XVII ateacute o iniacutecio do seacuteculo XVIII comeccedilaram a apareceras primeiras maacutequinas energeacuteticas complexas para transformaccedilatildeo de um tipo de energia emoutra as maacutequinas a vapor Elas surgiram impulsionadas pelos trabalhos de Denis Papin(1707) Thomas Savery (1698) e Thomas Newcomen (1712) Contudo devido agraves variaccedilotildeesde pressatildeo provocadas pela queima natildeo homogecircnea do carvatildeo a regularidade da marchana rotaccedilatildeo do eixo dessas maacutequinas ainda era muito pequena VALENTI (1996) mostrauma interessante disputa pela autoria da invenccedilatildeo da maacutequina a vapor e sua utilizaccedilatildeoindustrial e naval

Na segunda metade do seacuteculo XVIII a procura de maacutequinas autocircnomas comregularidade de marcha jaacute era de interesse geral O aparecimento dos primeiros tearesautomaacuteticos das boias para caixas drsquoaacutegua e para caldeiras dos controladores de descargae dos reguladores de temperaturas introduziram o uso da realimentaccedilatildeo da saiacuteda paramanter constante o seu valor sendo classificados na categoria de reguladores A invenccedilatildeo damaacutequina a vapor por James Watt (1769) representada na Figura 8 inaugura a RevoluccedilatildeoIndustrial e faz o uso do regulador centriacutefugo garantindo a regularidade da marcha damaacutequina em torno de um ponto de operaccedilatildeo escolhido arbitrariamente pelo operador(SILVEIRA 2007 VILLACcedilA SILVEIRA 2013)

O seacuteculo XIX viu nascer e se consolidar de maneira empiacuterica o conceito de reali-mentaccedilatildeo da informaccedilatildeo ou controle em MF os modelos matemaacuteticos simples utilizandoreguladores e a teoria da estabilidade De acordo com SILVEIRA (2007) ldquoa fundaccedilatildeo dateoria de controle eacute datada dos trabalhos de J C Maxwell J Vyshnegradskii []rdquo no finaldo seacuteculo XIX (SILVEIRA 2007) De fato na comunicaccedilatildeo de MAXWELL (1868) agrave RoyalSociety of London lecirc-se

Figura 8 ndash Maacutequina a vapor de Watt com regulador centriacutefugo de esferas suspensas

ldquoA governor is a part of a machine by means of which the velocity of themachine is kept nearly uniform notwithstanding variations in driving poweror resistance[] I propose at present without entering in any details ofmechanism to direct the attention of engineers and mathematicians to thedynamical theory of such governors1rdquo (MAXWELL 1868) p 270 e 271

Em 1876 Vyshnegradski apoiou-se na definiccedilatildeo abstrata de estabilidade de L MLyapunov2 e publicou um trabalho na Academia de Ciecircncias de Paris onde da mesmaforma que Maxwell utilizou matemaacutetica formal para modelagem do sistema e de seuregulador (SILVEIRA 2007)

Segundo DORF e BISHOP (2008) antes da Segunda Guerra Mundial a teoriae a praacutetica do controle desenvolveram-se de maneira diferente nos Estados Unidos eEuropa Ocidental do que na Ruacutessia e Europa Oriental Assim enquanto nos EstadosUnidos o domiacutenio da frequecircncia era utilizado principalmente para descrever a operaccedilatildeodos amplificadores de realimentaccedilatildeo em termos de largura de banda e outras variaacuteveis defrequecircncia na Uniatildeo Sovieacutetica o campo da teoria de controle era inspirado e dominadopor eminentes matemaacuteticos e engenheiros que utilizavam a abordagem do domiacutenio dotempo O impulso principal para a utilizaccedilatildeo da realimentaccedilatildeo nos Estados Unidos foi o1 O regulador eacute uma parte de uma maacutequina por meio da qual a velocidade da maacutequina eacute mantida quase

uniforme natildeo obstante as variaccedilotildees na potecircncia ou na resistecircncia de acionamento [] Proponhono presente sem entrar em quaisquer detalhes de mecanismo chamar a atenccedilatildeo dos engenheiros ematemaacuteticos para a teoria dinacircmica de tais governadores (traduccedilatildeo nossa)

2 Sobre estabilidade de Lyapunov consulte a Seccedilatildeo 14

desenvolvimento do sistema telefocircnico e os amplificadores de realimentaccedilatildeo eletrocircnicospor Bode Nyquist e Black nos laboratoacuterios da Bell Telephone Black teve que resolver aquestatildeo da estabilizaccedilatildeo linearizaccedilatildeo e melhoria dos amplificadores utilizados em parespara levar as conversaccedilotildees atraveacutes de milhares de quilocircmetros de distacircncia (SILVEIRA2007 DORF BISHOP 2008 NISE 2009) SILVEIRA (2007) observa que

ldquoSe Black generalizou bastante a ideia da realimentaccedilatildeo negativa do erroNyquist e Bode perceberam que a funccedilatildeo de transferecircncia era uma funccedilatildeo devariaacutevel complexa agrave qual podia ser aplicada a riquiacutessima teoria deste tipo defunccedilatildeo Esta observaccedilatildeo matemaacutetica permitiu uma verdadeira explosatildeo dosmeacutetodos de projeto na aacuterea de controle e automaccedilatildeo3rdquo

122 Modelagem em Espaccedilo de Estados de Sistemas DinacircmicosOs modelos em espaccedilo de estados satildeo representados por matrizes que satildeo obtidas

a partir de um sistema de equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem que representammatematicamente o sistema em estudo As equaccedilotildees do sistema expressas em termos devariaacuteveis de estado satildeo conhecidas por equaccedilotildees de estado Ferramentas matemaacuteticas paraa resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees de estado tais como o Matlabreg estatildeo disponiacuteveis para auxiliaro engenheiro no seu trabalho (DrsquoAZZO HOUPIS 2003)

Como argumenta OGATA (2010) na anaacutelise em espaccedilo de estados estatildeo em focotrecircs tipos de variaacuteveis envolvidas na modelagem de sistemas dinacircmicos variaacuteveis de entradavariaacuteveis de saiacuteda e variaacuteveis de estado Embora a representaccedilatildeo em espaccedilo de estado natildeoseja uacutenica para um dado sistema contudo o nuacutemero de variaacuteveis de estado eacute o mesmo paraqualquer representaccedilatildeo de diferente do mesmo sistema em espaccedilo de estado No controleem tempo contiacutenuo de um sistema dinacircmico os valores das entradas para t ge t1 satildeoguardados em dispositivos de memoacuteria tais como as saiacutedas dos integradores as quais satildeoconsideradas como variaacuteveis definidoras do estado interno do sistema dinacircmico Por estarazatildeo o nuacutemero de variaacuteveis de estado que define completamente a dinacircmica do sistema eacuteigual ao nuacutemero de integradores envolvidos no sistema

Segundo DrsquoAZZO e HOUPIS (2003 apud KALMAN 1963 p 55) o estado de umsistema eacute definido como

ldquo[middot middot middot ] a mathematical structure containing a set of n variables x1(t) x2(t) middot middot middot xi(t) middot middot middot xn(t) called the state variables such that the initial values xi(t0)of this set and the system inputs uj(t) are sufficient to describe uniquely thesystemrsquos future response of t ge t0 A minimum set of state variables is required

3 O Controle de um processo industrial (manufatura produccedilatildeo etc) por meios automaacuteticos ao inveacutes demanual eacute frequentemente denominado automaccedilatildeo e estaacute presente de maneira ampla nas induacutestriasquiacutemica de potecircncia eleacutetrica de papel de automoacuteveis e accedilo(DORF BISHOP 2008)

to represent the system accurately The m inputs u1(t) u2(t) middot middot middot uj(t) middot middot middot um(t) are deterministic ie they have specific values for all values of timet ge t04rdquo

O tempo inicial t0 eacute tomado como zero e as variaacuteveis de estado natildeo tecircm a neces-sidade de serem quantidades fisicamente observaacuteveis e mensuraacuteveis pois elas podem serquantidades puramente matemaacuteticas (DrsquoAZZO HOUPIS 2003)

O conjunto de variaacuteveis xi(t) representa os elementos ou componentes de um vetor n-dimensional x(t) denominado vetor de estado ou seja x(t) =

[x1(t) x2(t) middot middot middot xn(t)

]prime

A ordem da equaccedilatildeo caracteriacutestica do sistema eacute n por isso a representaccedilatildeo em espaccedilo deestado do sistema eacute composta de n equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem (DrsquoAZZOHOUPIS 2003) Quando todas as entradas uj(t) para uma planta dada satildeo especificadaspara t ge t0 o vetor de estado resultante determina de maneira uacutenica o comportamento daplanta para t ge t0

O espaccedilo de estado eacute um espaccedilo n-dimensional no qual os componentes do vetor deestado representam seus eixos coordenados O caminho produzido no espaccedilo de estado pelovetor de estado x(t) agrave medida que ele muda com a passagem do tempo eacute denominadotrajetoacuteria de estado O espaccedilo e a trajetoacuteria de estados no caso bi-dimensional eacute denominadode plano de fase e trajetoacuteria de fase respectivamente (DrsquoAZZO HOUPIS 2003)

A escolha das variaacuteveis de estado fiacutesicas para representar a planta implica nadeterminaccedilatildeo dos elementos que armazenam energia no sistema e no fato de que somentevariaacuteveis fiacutesicas que natildeo podem ser expressas em termos das demais variaacuteveis de estadoeleitas podem ser escolhidas

OGATA (2010) estabelece que se um sistema MIMO5 envolve n integradores mentradas e r saiacutedas entatildeo as equaccedilotildees de estado o sistema satildeo dadas por

x1(t) = f1(x1 x2 middot middot middot xnu1 u2 middot middot middot um t)x2(t) = f2(x1 x2 middot middot middot xnu1 u2 middot middot middot um t)

xn(t) = fn(x1 x2 middot middot middot xnu1 u2 middot middot middot um t)

4 [middot middot middot ] uma estrutura matemaacutetica contendo um conjunto de n variaacuteveis x1(t) x2(t) middot middot middot xi(t) middot middot middot xn(t) chamadas de variaacuteveis de estado tais que os valores iniciais xi(t0) desse conjunto e as entradasdo sistema uj(t) satildeo suficientes para descrever de maneira uacutenica as respostas futuras do sistema demaneira precisa para t ge t0 Um conjunto miacutenimo de variaacuteveis de estado eacute requerido para representaro sistema precisamente As m entradas u1(t) u2(t) middot middot middot uj(t) middot middot middot um(t) satildeo determiniacutesticas ouseja elas tecircm valores especiacuteficos para todos os valores do tempo t ge t0 (traduccedilatildeo nossa)

5 Sistemas com muacuteltiplas entradas e muacuteltiplas saiacutedas

as equaccedilotildees de saiacutedas do sistema satildeo dadas por

y1(t) = g1(x1 x2 middot middot middot xnu1 u2 middot middot middot um t)y2(t) = g2(x1 x2 middot middot middot xnu1 u2 middot middot middot um t)

yr(t) = gr(x1 x2 middot middot middot xnu1 u2 middot middot middot um t)

as equaccedilotildees 11 e 12 podem ser expressas de maneira concisa por

x(t) = f(xu t) (13)

y(t) = g(xu t) (14)

onde 13 eacute a equaccedilatildeo de estado 14 eacute a equaccedilatildeo de saiacuteda e

x(t) =

x1(t)x2(t)

f(xu t) =

f1(x1 x2 middot middot middot xnu1 u2 middot middot middot um t)f2(x1 x2 middot middot middot xnu1 u2 middot middot middot um t)

fn(x1 x2 middot middot middot xnu1 u2 middot middot middot um t)

y(t) =

y1(t)y2(t)

g(xu t) =

g1(x1 x2 middot middot middot xnu1 u2 middot middot middot um t)g2(x1 x2 middot middot middot xnu1 u2 middot middot middot um t)

gr(x1 x2 middot middot middot xnu1 u2 middot middot middot um t)

u(t) =

u1(t)u2(t)

Ainda segundo OGATA (2010) se as funccedilotildees vetoriais f eou g envolvem o tempo

explicitamente entatildeo o sistema que elas representam eacute chamado de sistema variante notempo

OGATA (2010) argumenta tambeacutem que se as equaccedilotildees 13 e 14 satildeo linearizadascom relaccedilatildeo a um estado de operaccedilatildeo as equaccedilotildees 15 e 16 representam as equaccedilotildees deestado e de saiacuteda linearizadas respectivamente

x(t) = A(t) middot x(t) + B(t) middot u(t) (15)

y(t) = C(t) middot x(t) + D(t) middot u(t) (16)

onde x isin ltn eacute o vetor de estado u isin ltm eacute a entrada de controle y isin ltr eacute o vetor desaiacuteda do sistema A isin ltntimesn eacute a matriz caracteriacutestica do sistema B isin ltntimesm eacute a matriz deentrada ou de controle do sistema C isin ltrtimesn eacute matriz de saiacuteda do sistema e D isin ltrtimesm eacutematriz de transmissatildeo direta do sistema

Figura 9 ndash Diagrama de blocos de um sistema de controle linear de tempo contiacutenuorepresentado em espaccedilo de estado pelas equaccedilotildees 15 e 16

Fonte (OGATA 2010)

O diagrama de blocos do sistema representado pelas equaccedilotildees 15 e 16 eacute mostradona Figura 9

No caso de as funccedilotildees vetoriais f e g natildeo envolverem o tempo t de maneiraexpliacutecita entatildeo o sistema que elas representam eacute denominado sistema invariante no tempoe pode ser representado conforme as equaccedilotildees 17 e 18

x(t) = A middot x(t) + B middot u(t) (17)

y(t) = C middot x(t) + D middot u(t) (18)

Dois exemplos de equaccedilotildees de estados que expressam modelos de veiacuteculos sobrerodas podem ser encontrados na Seccedilatildeo 17 o modelo inverso de um VRTD e na Seccedilatildeo 32o modelo dinacircmico simplificado

13 Meacutetodos de linearizaccedilatildeo de sistemas natildeo-linearesNISE (2009) mostra que a modelagem de um pecircndulo simples pode resultar numa

representaccedilatildeo por um sistema de equaccedilotildees diferenciais natildeo-lineares SLOTINE e LI (1991)

13 Meacutetodos de linearizaccedilatildeo de sistemas natildeo-lineares 51

argumentam que os sistemas fiacutesicos satildeo inerentemente natildeo-lineares e que todo controle desistemas satildeo natildeo-lineares ateacute certo ponto ldquoPor outro lado se a faixa de operaccedilatildeo de umsistema de controle eacute pequena e se as natildeo-linearidades envolvidas satildeo suaves entatildeo osistema de controle para estabilizaccedilatildeo do sistema pode ser razoavelmente aproximado porum sistema linearizado cuja dinacircmica eacute descrita por um conjunto de equaccedilotildees diferenciaislinearesrdquo (SLOTINE LI 1991) pag 4

Um sistema eacute natildeo-linear se o princiacutepio de superposiccedilatildeo natildeo se aplica (OGATA2010) Assim se a resposta na saiacuteda de um sistema agrave soma de entradas eacute igual agrave somadas respostas agraves entradas individuais e se a multiplicaccedilatildeo de uma entrada do sistema porum escalar fornece uma resposta que eacute igual agrave resposta anterior multiplicada pelo mesmoescalar entatildeo se diz que o sistema goza das propriedades de superposiccedilatildeo e homogeneidadeNesse caso o sistema eacute dito linear (NISE 2009) Os procedimentos utilizados para sedeterminar as soluccedilotildees de problemas de sistemas natildeo-lineares em geral satildeo extremamentecomplexos (OGATA 2010)

Contudo se um sistema eacute natildeo-linear sua anaacutelise e projeto do controlador podem sersimplificados atraveacutes de uma aproximaccedilatildeo linear Trata-se de uma linearizaccedilatildeo em torno deum ponto de equiliacutebrio das equaccedilotildees natildeo-lineares que representam o sistema desde que osresultados obtidos forneccedilam uma boa aproximaccedilatildeo da realidade Em outras palavras podeser estabelecida uma relaccedilatildeo linear em um ponto de uma curva natildeo-linear se a faixa devalores de entrada nas proximidades desse ponto for pequena e se a origem for transladadaateacute esse ponto (DrsquoAZZO HOUPIS 2003 NISE 2009) Poreacutem os resultados da anaacutelisede um sistema natildeo-linear utilizando seus modelos linearizados devem ser interpretadoscuidadosamente a fim de evitar erros grosseiros devido agrave aproximaccedilatildeo no processo delinearizaccedilatildeo (ZAK 2003)

Frequentemente eacute necessaacuterio investigar as propriedades de estabilidade de umsistema natildeo-linear baseadas na sua linearizaccedilatildeo em torno de um dado ponto de equiliacutebrioNesta seccedilatildeo satildeo introduzidas duas ferramentas bastante uacuteteis para esse propoacutesito as quaissatildeo conhecidas como ldquomeacutetodo de expansatildeo em seacuterie de Taylorrdquo e ldquoprimeiro meacutetodo oumeacutetodo indireto de Lyapunovrdquo (ZAK 2003)

131 Meacutetodo de expansatildeo em seacuterie de Taylor

Considere-se um sistema natildeo-linear operando em um ponto A cujas coordenadassatildeo dadas por [x0 f(x0)] conforme mostra a Figura 10 Pequenas variaccedilotildees na entrada δxpodem ser relacionadas agraves variaccedilotildees na saiacuteda δf(x) no entorno do ponto A por meio dainclinaccedilatildeo ma da curva naquele ponto (NISE 2009)

[f(x)minus f(x0)] asymp ma(xminus x0)

Figura 10 ndash Linearizaccedilatildeo em torno de um ponto A

Fonte (NISE 2009)

De onde vem que

δf(x) asymp maδx

ou seja

f(x) asymp f(x0) +ma(xminus x0) asymp f(x0) +maδx

Na Figura 10 se pode ver que do ponto A origina-se um novo conjunto de eixosδx e δf(x) e que f(x) asymp f(x0) que eacute a ordenada da nova origem adicionada a pequenasvariaccedilotildees maδx em seguida do ponto A

Formalmente a expansatildeo de uma funccedilatildeo em seacuterie de Taylor expressa o valor dafunccedilatildeo em termos do seu valor em um ponto particular da continuidade da funccedilatildeo adiantedesse ponto e das derivadas calculadas nesse ponto veja Equaccedilatildeo 19

f(x) = f(x0) + df

dx|x=x0

(xminus x0)1 + d2f

dx2 |x=x0

(xminus x0)2

2 + middot middot middot (19)

Para pequenas excursotildees de x em torno de x0 eacute possiacutevel desprezar os termos deordem superior da Equaccedilatildeo 19 e se chegar agraves Equaccedilotildees 110 ou 111 que satildeo relaccedilotildees

lineares entre δf(x) e δx obtidas anteriormente de maneira intuitiva

f(x)minus f(x0) asymp df

dx|x=x0(xminus x0) (110)

δf(x) asymp ma|x=x0δx (111)

132 Meacutetodo indireto de LyapunovO meacutetodo indireto de Lyapunov consiste na anaacutelise da estabilidade de um sistema

natildeo-linear atraveacutes do sistema linearizado nas proximidades de um ponto de equiliacutebrio dosistema

Considere-se que o ponto de equiliacutebrio para testar a estabilidade do sistema eacute aorigem e que o modelo eacute natildeo-linear e representado pela Equaccedilatildeo 112 Considere-se aindaque f D rarr ltn eacute uma funccedilatildeo continuamente diferenciaacutevel do domiacutenio D sube ltn em ltnque a origem x = 0 estaacute no interior de D e que eacute um estado de equiliacutebrio de 112 ou sejaf(0) = 0 entatildeo a matriz Jacobiana de f calculada em x = 0 eacute dada pela Equaccedilatildeo 113(ZAK 2003)

x = f(x) (112)

A = partfpartx

∣∣∣∣∣x=0

partf1partx1

partf1partx2

middot middot middot partf1partxn

partfnpartx1

partfnpartx2

middot middot middot partfnpartxn

onde f1(x) middot middot middot fn(x) satildeo as componentes da funccedilatildeo vetorial f(x) ou seja funccedilotildees escalaresdiferenciaacuteveis na origem x = 0 isto eacute f(x) = [f1(x) middot middot middot fn(x)]prime

Desenvolvendo o lado direito da Equaccedilatildeo 112 por Taylor tem-se

x = A middot x + g(x) (114)

onde a funccedilatildeo g representa os termos de mais alta ordem que gozam da seguinte propriedade

limxrarr0

= 0 (115)

As equaccedilotildees 114 e 115 sugerem que no entorno da origem eacute possiacutevel substituir osistema natildeo-linear representado pela Equaccedilatildeo 112 pelo seu sistema linearizado em tornoda origem x = A middot x Ou seja a matriz Jacobiana eacute utilizada para representar sistemas

natildeo-lineares por equaccedilotildees lineares aproximadas na vizinhanccedila de seus pontos singulares(DrsquoAZZO HOUPIS 2003)

Os Lemas 131 132 e 133 a seguir disponibilizam um meacutetodo simples paradeterminar a estabilidade assintoacutetica ou a instabilidade de um estado de equiliacutebrio para umsistema natildeo-linear Segundo SLOTINE e LI (1991) ZAK (2003) atraveacutes destes teoremas domeacutetodo de linearizaccedilatildeo de Lyapunov pode-se inferir sobre as propriedades de estabilidadeda origem do sistema natildeo-linear baseado na estabilidade do sistema linearizado As provasde cada um deles pode ser encontrada em (ZAK 2003)

Lema 131 (Equiliacutebrio Assintoticamente Estaacutevel) Seja a origem x=0 um estadode equiliacutebrio de um sistema natildeo-linear x=f(x) Entatildeo a origem eacute um equiliacutebrio assintoti-camente estaacutevel do sistema natildeo-linear se A a matriz Jacobiana de f calculada na origemtem todos os seus autovalores no semi-plano esquerdo aberto (ZAK 2003)

Lema 132 (Equiliacutebrio Instaacutevel) Seja a origem x=0 um estado de equiliacutebrio de umsistema natildeo-linear x=f(x) Entatildeo a origem eacute instaacutevel se A tem um ou mais autovaloresno semi-plano direito (ZAK 2003)

Lema 133 (Equiliacutebrio Marginalmente Estaacutevel) Se o sistema linearizado eacute margi-nalmente estaacutevel (isto eacute todos os autovalores de A estatildeo no semi-plano esquerdo maspelo menos um deles estaacute no eixo imaginaacuterio jω) entatildeo natildeo se pode concluir nada daaproximaccedilatildeo linear (o ponto de equiliacutebrio pode ser estaacutevel assintoticamente estaacutevel ouinstaacutevel para o sistema natildeo-linear (SLOTINE LI 1991)

Quando o sistema apresenta uma entrada u a equaccedilatildeo de estado natildeo-linear eacute dadapela Equaccedilatildeo 116 e o ponto de equiliacutebrio eacute constante e determinado fazendo x = f(x0 u0)As matrizes Jacobianas satildeo entatildeo dadas pelas equaccedilotildees 117 e 118

x = f(xu) (116)

partf1(xu)partx1

partf1(xu)partx2

middot middot middot partf1(xu)partxn

partfn(xu)partx1

partfn(xu)partx2

middot middot middot partfn(xu)partxn

x=0u=0

partf1(xu)partu1

middot middot middot partf1(xu)partur

partfn(xu)partu1

middot middot middot partfn(xu)partur

x=0u=0

14 Estabilidade de sistemas natildeo-lineares 55

14 Estabilidade de sistemas natildeo-linearesA teoria sobre estabilidade dos sistemas tem um papel central na teoria de controle

e na engenharia Haacute vaacuterios tipos de problemas de estabilidade no estudo dos sistemasdinacircmicos como por exemplo estabilidade de pontos de equiliacutebrio estabilidade de entrada-saiacuteda estabilidade de oacuterbitas perioacutedicas entre outros (KHALIL 2001) A seguir seraacuteabordado o conceito de estabilidade de pontos de equiliacutebrio no sentido de Lyapunov Aestabilidade do ponto de equiliacutebrio na origem de ltn onde x = 0 com x representadopela Equaccedilatildeo 116 para um sistema linear e invariante no tempo pode ser completamentecaracterizada pelo posicionamento dos autovalores de A representada pela Equaccedilatildeo 117 noplano complexo Aleacutem disso a estabilidade tambeacutem pode ser determinada pela linearizaccedilatildeoem torno daquele ponto (KHALIL 2001)

Figura 11 ndash Ilustraccedilatildeo dos conceitos de estabilidade em duas dimensotildees (a) Estado deequiliacutebrio estaacutevel no sentido de Lyapunov (b) Estado de equiliacutebrio assintoti-camente estaacutevel (c) Estado de equiliacutebrio instaacutevel

Fonte (ZAK 2003)

Seja o vetor constante xe um ponto de equiliacutebrio ou estado tal que f(t xe) = 0para qualquer t Segundo ZAK (2003) eacute possiacutevel transferir este ponto de equiliacutebrio para aorigem de ltn pela introduccedilatildeo de uma nova variaacutevel x = xminus xe tal que f(t 0) = 0 paraqualquer t Entatildeo considerando a Figura 11 os estados de equiliacutebrio possiacuteveis no sentidode Lyapunov6 podem ser assim interpretados se o estado de equiliacutebrio eacute estaacutevel comona Figura 11(a) uma trajetoacuteria comeccedilando dentro de um ciacuterculo interno de raio δ nuncadeixaraacute um ciacuterculo exterior de raio ε se o estado de equiliacutebrio eacute assintoticamente estaacutevelcomo na Figura 11(b) entatildeo uma trajetoacuteria comeccedilando dentro de um ciacuterculo interno deraio δ mesmo quando excursionar pelo ciacuterculo externo de raio ε tenderaacute ao estado deequiliacutebrio xe na medida que t tender ao infin isto eacute f(t xe)rarr 0 na medida em que trarrinfinfinalmente se o estado de equiliacutebrio eacute instaacutevel como na Figura 11(c) entatildeo uma trajetoacuteriainiciando dentro de um ciacuterculo interno de raio δ deixaraacute o ciacuterculo externo de raio ε emalgum tempo mais tarde6 Sobre Lyapunov veja Seccedilatildeo 18

15 Controlabilidade e Observabilidade de SistemasSeja um sistema representado pela Equaccedilatildeo 119 onde U(s) eacute a entrada Y (s)

eacute a saiacuteda e todas as raiacutezes do polinocircmio do denominador satildeo distintas isto eacute pi 6= pjSegundo OGATA (2010) pode-se representaacute-lo em sua forma canocircnica controlaacutevel dadapela Equaccedilatildeo 120 em sua forma canocircnica observaacutevel dada pela Equaccedilatildeo 121 e nasua forma canocircnica diagnonal dada pela Equaccedilatildeo 122 A forma canocircnica controlaacutevel eacuteimportante para o projeto de sistemas de controle atraveacutes da abordagem de alocaccedilatildeo depoacutelos

Y (s)U(s) = b0s

n + b1snminus1 + middot middot middot+ bnminus1s+ bn

(s+ p1)(s+ p2) + middot middot middot+ (s+ pn)

= b0sn + b1s

nminus1 + middot middot middot+ bnminus1s+ bnsn + a1snminus1 + middot middot middot+ anminus1s+ an

= b0 + c1

s+ p1+ c2

s+ p2+ middot middot middot+ cn

s+ pn (119)

xnminus1

0 1 0 middot middot middot 00 0 1 middot middot middot 0 0 0 0 middot middot middot 1minusan minusanminus1 minusanminus2 middot middot middot minusa1

xnminus1

y =[bn minus an middot b0 | bnminus1 minus anminus1 middot b0 | middot middot middot | b1 minus a1 middot b0

xnminus1

+ b0 middot u (120)

0 0 middot middot middot 0 minusan1 0 middot middot middot 0 minusanminus1 0 0 middot middot middot 1 minusa1

bn minus anb0

bnminus1 minus anminus1b0

b1 minus a1b0

0 0 middot middot middot 0 1]

xnminus1

+ b0 middot u (121)

15 Controlabilidade e Observabilidade de Sistemas 57

xnminus1

minusp1 0minusp2

minuspnminus1

0 minuspn

xnminus1

y =[c1 c2 middot middot middot cnminus1 cn

xnminus1

+ b0 middot u (122)

Se houverem raiacutezes muacuteltiplas entatildeo a forma canocircnica diagonal representada pelaEquaccedilatildeo 122 transforma-se na forma canocircnica de Jordan representada na Equaccedilatildeo 123que eacute vaacutelida para p1 = p2 = p3

minusp1 1 00 minusp1 10 0 minusp1

0 middot middot middot 0 0 middot middot middot 0

minusp4 middot middot middot 0 0 middot middot middot minuspn

xnminus1

+ b0 middot u (123)

Definiccedilatildeo 151 (Controlabilidade) Uma planta linear eacute controlaacutevel em um tempo t0se for possiacutevel obter uma entrada capaz de transferir todas as variaacuteveis de estado do sistemade um estado inicial desejado para um estado final desejado em um intervalo de tempofinito (ZAK 2003 PEREIRA 2007 SILVA 2007 NISE 2009 OGATA 2010) Nestecaso existe uma trajetoacuteria no espaccedilo de estados que pode ser percorrida pelo sistema deMF desde o estado inicial x(t0) ateacute o estado final x(tf ) em um tempo finito tfminust0 Se todosos estados do sistema forem controlaacuteveis a planta eacute dita ser completamente controlaacutevel

Definiccedilatildeo 152 (Observabilidade) Uma planta linear eacute observaacutevel se for possiacutevel obterum vetor de estado inicial x(t0) a partir da medida de u(t) e de y(t) durante um intervalode tempo finito tf minus t0 Isso equivale dizer que qualquer transiccedilatildeo de estado que afete asaiacuteda do sistema estabelece a observabilidade do sistema De maneira oposta se para amodificaccedilatildeo do valor de alguma variaacutevel de estado natildeo houver alteraccedilatildeo na saiacuteda entatildeoessa variaacutevel de estado eacute natildeo observaacutevel (ZAK 2003 PEREIRA 2007 SILVA 2007NISE 2009 OGATA 2010)

Partindo das transformaccedilotildees lineares A X rarr X B U rarr X onde dimX = n edimU = m e considerando o sistema linear contiacutenuo e invariante no tempo dado por 124PEREIRA (2007) define controlabilidade e observabilidade conforme 153 e 154

x(t) = A middot x(t) +B middot u(t)

x(t0) = x0 t ge t0 (124)

Definiccedilatildeo 153 (Controlabilidade por equaccedilotildees de estados) Diz-se que no sistema124 x1 eacute alcanccedilaacutevel num tempo T a partir de uma condiccedilatildeo inicial x0 se existir umaentrada u [t0 T ] rarr U admissiacutevel tal que a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo 124 com x(t0) = x0obedeccedila a x(T ) = x1 Um sistema eacute controlaacutevel se todo estado x1 puder ser alcanccediladonum tempo T a partir de uma condiccedilatildeo inicial x0 arbitraacuteria A matriz de controlabilidadeC eacute representada em 125 (PEREIRA 2007)

C =[B A middotB middot middot middot Anminus1 middotB

] (125)

O espaccedilo R0 alcanccedilaacutevel a partir da origem eacute dado por R0 = Im C

Definiccedilatildeo 154 (Observabilidade por equaccedilotildees de estados) O sistema 124 eacute ob-servaacutevel se o estado x(t) no intervalo [t0 t0 + T ] puder ser determinado a partir doconhecimento de u() e y() neste mesmo intervalo A matriz de observabilidade O eacuterepresentada por 126 (PEREIRA 2007)

O =[C C middot A middot middot middot C middot Anminus1

]prime (126)

O subespaccedilo N0 natildeo-observaacutevel eacute dado por N0 = ker C = 0

Exemplo 151 (Sistema massa-mola-massa) Consideremos o sistema massa-mola-massa mostrado na Figura 12 onde w1(t) e w2(t) satildeo forccedilas perturbatoacuterias e u1(t) e u2(t)satildeo entradas (da Silva 2013) O sistema pode ser representado pelas de equaccedilotildees de estados127

Figura 12 ndash Sistema massa-mola-massa

Fonte Adaptado de (da Silva 2013)

y(t) = C middot x(t) +D middot u(t) (127)

As matrizes e vetores que definem o sistema satildeo

0 1 0 0minus km

00 0 0 1km

0 minus km

00 00 k

C = 1 0 0 0

0 0 1 0

D = 0 0

Considerando a massa m = 1[kg] e a constante de mola k = 1[Nm] e utilizando oambiente Matlabreg eacute possiacutevel testar a controlabilidade do sistema massa-mola-massa

gtgt k = 1

gtgt m = 1

gtgt A = [0 1 0 0 minus1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 minus 1 0]

gtgt B = [0 0 1 0 0 0 0 1]

gtgt C = [1 0 0 0 0 0 1 0]

Para caacutelculo da matriz de controlabilidade C tem-se

gtgt MC = ctrb(AB)

0 0 1 0 0 0 minus1 11 0 0 0 minus1 1 0 00 0 0 1 0 0 1 minus10 1 0 0 1 minus1 0 0

Para decomposiccedilatildeo de C em seus valores singulares basta determinar o posto7 da

matriz o qual eacute o nuacutemero de seus valores singulares natildeo nulos

gtgt V SC = svd(MC)

V SC = 22361 22361 10000 10000

Tendo em vista que foram retornados 4 valores singulares natildeo-nulos isto indica queo sistema eacute controlaacutevel uma vez que o posto da matriz de controlabilidade coincide com adimensatildeo do estado

Para caacutelculo da matriz de observabilidade O tem-se

gtgt MO = obsv(AC)

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1minus1 0 1 01 0 minus1 00 minus1 0 10 1 0 minus1

Para decomposiccedilatildeo de O em seus valores singulares basta determinar o posto da

gtgt V SO = svd(MO)

V SO = 22361 22361 10000 10000

Tendo em vista que foram retornados 4 valores singulares natildeo-nulos isto indica queo sistema eacute observaacutevel uma vez que o posto da matriz de observabilidade coincide com adimensatildeo do estado7 posto(C) = p eacute o nuacutemero de linhas (ou colunas) da matriz C linearmente independentes O posto de

uma matriz mtimes n eacute no maacuteximo igual ao valor da menor dimensatildeo da matriz

16 Controlador Proporcional-Integral-Derivativo - PID 61

16 Controlador Proporcional-Integral-Derivativo - PIDXUE D CHEN e ATHERTON (2007) afirma que o PID eacute uma das primeiras

estrateacutegias de controle surgidas utilizando primeiramente dispositivos pneumaacuteticos seguidode dispositivos de eletrocircnica analoacutegica agrave vaacutecuo e estado soacutelido antes de chegar aosdispositivos microprocessadores digitais dos dias atuais Segundo CAMPOS e TEIXEIRA(2006) XUE D CHEN e ATHERTON (2007) o controlador PID eacute o algoritmo de controlemais tradicional na induacutestria devido agrave simplicidade no ajuste dos seus paracircmetros (sintonia)para se obter um bom desempenho e do fato deste algoritmo estar disponiacutevel em quasetodos os equipamentos de controle na induacutestria

O controlador PID determina inicialmente a funccedilatildeo de erro e(t) entre a variaacutevelque estaacute sendo medida no processo (variaacutevel controlada ou Process Variable PV ) e o seuvalor desejado (setpoint SP ) Entatildeo gera um sinal de controle para eliminar este desvioPara produzir a saiacuteda ou variaacutevel manipulada o algoritmo PID usa o erro em trecircs moacutedulosdistintos o termo proporcional P o termo integral I e o termo derivativo D

O controlador P utilizado no sistema da Figura 13 eacute representado pela Equaccedilatildeo129 sendo que KP eacute o ganho proporcional do controlador A posiccedilatildeo da saiacuteda no momentoem que o controlador foi colocado em automaacutetico eacute o seu valor inicial u0 No caso doscontroladores digitais o algoritmo em velocidade que calcula a variaccedilatildeo da saiacuteda inclui ovalor de u0 Nesse caso a determinaccedilatildeo da posiccedilatildeo da saiacuteda do controlador jaacute parte doponto atual Verifica-se que quanto maior Kp maior seraacute a accedilatildeo do controlador sobre avaacutelvula na saiacuteda do mesmo para igual erro na variaacutevel de processo (CAMPOS TEIXEIRA2006)

Figura 13 ndash Planta em MF com controlador proporcional

Fonte Adaptado de (CAMPOS TEIXEIRA 2006)

u(t) = KP middot e(t) + u0 (129)

O controlador proporcional e integral PI gera uma saiacuteda que eacute proporcional P aoerro e proporcional agrave integral I do erro Eacute representado pela Equaccedilatildeo 130 do algoritimo

de posiccedilatildeo do controlador PI paralelo claacutessico TI eacute o tempo integral e ambos os ganhossatildeo ajustaacuteveis (SOBRINHO et al 2003) O fator multiplicativo 1TI eacute o ganho integralsendo TI o tempo integral

Figura 14 ndash Saiacuteda do controlador proporcional e integral

A Figura 14 representa a accedilatildeo dos controladores proporcional e integral quandoocorre um erro em degrau A reaccedilatildeo proporcional ao degrau eacute tambeacutem um degrau multi-plicado pelo ganho proporcional KP A reaccedilatildeo integral eacute uma rampa que aumentaraacute oudiminuiraacute a saiacuteda do controlador indefinidamente enquanto o erro existir CAMPOS eTEIXEIRA (2006) argumentam que enquanto a accedilatildeo proporcional muda instantaneamentea saiacuteda quando ocorre um erro a accedilatildeo integral por sua vez continuaraacute mudando a saiacutedaenquanto existir o erro Sendo assim a accedilatildeo do controlador proporcional-integral PI natildeoaceitaraacute um erro em regime permanente entre o valor desejado SP e a variaacutevel controladapelo processo PV ao buscar a eliminaccedilatildeo do erro SV minus PV Dessa maneira a saiacuteda docontrolador tenderaacute agrave saturaccedilatildeo

u(t) = KP middot e(t) + KP

0e(t)dt+ u0 (130)

A Figura 15 representa a accedilatildeo dos controladores proporcional e derivativo repre-sentado pela Equaccedilatildeo 131 quando ocorre um erro em rampa A reaccedilatildeo derivativa ao erroem rampa seraacute um valor constante uma vez que a derivada de uma rampa eacute um valorfixo (degrau) que seraacute multiplicado por um tempo derivativo KP middot TD O tempo derivativoantecipa a accedilatildeo do proporcional que ocorre jaacute no tempo zero assim que o controlador

17 Modelagem dinacircmica simplificada de um veiacuteculo sobre rodas com tracionamento diferencial - VRTD63

calcula a derivada do erro (CAMPOS TEIXEIRA 2006) Essa accedilatildeo evita oscilaccedilotildees emprocessos lentos

Figura 15 ndash Saiacuteda do controlador proporcional e derivativo

u(t) = KP middot e(t) +KP middot TD middotde(t)dt

+ u0 (131)

O controlador proporcional integral e derivativo PID fornece uma saiacuteda que eacuteproporcional ao erro agrave integral do erro e agrave derivada do erro e(t) conforme representadona equaccedilatildeo 132

0e(t)dt+KP middot TD middot

de(t)dt

+ u0 (132)

onde TD eacute o tempo derivativo do controlador

17 Modelagem dinacircmica simplificada de um veiacuteculo sobre rodascom tracionamento diferencial - VRTDUm veiacuteculo sobre rodas com tracionamento diferencial possui uma plataforma que

se apoia sobre quatro rodas As duas rodas traseiras produzem o movimento do veiacuteculoque eacute causado pela accedilatildeo de dois motores com acionamentos independentes As duas rodasdianteiras satildeo livres e podem movimentar-se cada uma em torno de um eixo vertical elassatildeo conhecidas como rodas castores

Para obtenccedilatildeo de um modelo linear simplificado do VRTD algumas suposiccedilotildeessimplificativas satildeo consideradas o veiacuteculo eacute um corpo riacutegido as massas das quatro rodas edos rotores dos motores satildeo despreziacuteveis o torque aplicado a cada roda acionadora gerauma forccedila que simultaneamente produz o movimento (MAZO et al 1994)

De acordo com MAZO et al (1994) SAADATZI e POSHTAN (2010) o modelolinear simplificado obtido estaacute representado na Figura 16 e pode ser utilizado para calculara velocidade linear V e a velocidade angular Ω de um VRTD a partir das velocidadesangulares de acionamento da roda direita ωr e da roda esquerda wl do raio r das rodase da distacircncia d entre as rodas Considerando que a posiccedilatildeo instantacircnea do VRTD eacute dadapela direccedilatildeo θ representada pela Equaccedilatildeo 133 e pela velocidade linear V representadapela Equaccedilatildeo 134 MAZO et al (1995) SOBRINHO et al (2003) obtecircm a Equaccedilatildeo 135da velocidade angular

θ = θ0 + r

0(ωl minus ωr)dt (133)

V = du

2(ωl + ωr) (134)

Ω = dθ

d(ωl minus ωr) (135)

Figura 16 ndash Modelo linear simplificado do veiacuteculo sobre rodas com tracionamento diferen-cial

Fonte (MAZO et al 1994)

De posse das equaccedilotildees que representam a dinacircmica do VRTD as equaccedilotildees deestado do Modelo Inverso e Direto satildeo expressas respectivamente em 136 e em 137

rdminus rd

1rminus d

Conforme MAZO et al (1995) SOBRINHO et al (2003) considerando que Ω gt 0significa movimento angular para a direita o controle de direcionamento do VRTD atraveacutesda variaccedilatildeo de V e Ω apresenta nove estados bem definidos

1- [V = 0Ω = 0] parada

2- [V gt 0Ω = 0] indo em frente

3- [V lt 0Ω = 0] indo para traacutes

4- [V = 0Ω gt 0] girando em torno de si para a direita

5- [V = 0Ω lt 0] girando em torno de si para a esquerda

6- [V gt 0Ω lt 0] indo em frente e simultaneamente para esquerda

7- [V gt 0Ω gt 0] indo em frente e simultaneamente para a direita

8- [V lt 0Ω gt 0] indo para traacutes e simultaneamente para direita e

9- [V lt 0Ω lt 0] indo para traacutes e simultaneamente para a esquerda

Tabela 1 ndash Paracircmetros e valores do modelo linear simplificado do VRTD

Paracircmetro Natureza do paracircmetro Valorr Raio das rodas traseiras de acionamento 0 15 [m]d Distacircncia entre as rodas traseiras de acionamento 0 7 [m]m Relaccedilatildeo entre o eixo traseiro e da roda motorizada 0 1K Ganho da funccedilatildeo de transferecircncia dos motores DC 7 6394T Constante de tempo do motor DC 013K1 Constante proporcional dos controladores P 0 1768K2 Constante proporcional dos controladores PI 1I Constante integral dos controladores PI 10

Fonte Adaptado de (SOBRINHO et al 2003)

Para este modelo de VRTD seraacute utilizado em cada roda de acionamento ummotor DC cuja funccedilatildeo de transferecircncia simplificada eacute dada na Equaccedilatildeo 138 onde Ω(s)eacute a transformada de Laplace da velocidade angular E(s) eacute a transformada de Laplaceda tensatildeo de armadura T eacute a constante de tempo do motor e m eacute relaccedilatildeo entre o eixodo motor e da roda Estes paracircmetros utilizados no modelo linear simplificado do VRTDsatildeo resumidos na Tabela 1 que inclui tambeacutem as constantes K1 K2 e I dos controladoresutilizados para estabilizaccedilatildeo do VRTD na Seccedilatildeo 22

H(s) = Ω(s)E(s) = K middotm

T middot s+ 1 (138)

18 Desigualdades Matriciais Lineares - LMIsSegundo BOYD et al (1994) muitos problemas que surgem na teoria dos sistemas

e controle podem ser reduzidos a problemas de otimizaccedilatildeo convexa ou quasi-convexaenvolvendo LMIs Esse fato aliado ao surgimento de excelentes ferramentas computacionaisnumeacutericas para resoluccedilatildeo de LMIs e ao desenvolvimento de eficientes e poderosos meacutetodosde pontos interiores que se aplicam aos problemas convexos8 foram um incentivo ao usodas mesmas no estudo de estabilidade de sistemas

181 Estabilidade de Lyapunov e uma breve perspectiva histoacuterica do desen-volvimento das LMIs

Esse desenvolvimento tem sua origem a partir da publicaccedilatildeo do Teorema de Lya-punov em 1890 descrito no Lema 181 a seguir Lyapunov estabeleceu as condiccedilotildees paraque o sistema representado pela Equaccedilatildeo 140 seja estaacutevel9 isto eacute todas as suas trajetoacuteriasconvirjam para zero Essa foi a primeira LMI Ela podia ser resolvida analiticamente paraestudar a estabilidade de pequenos sistemas dinacircmicos de segunda ou terceira ordem

Definiccedilatildeo 1811 (Criteacuterio de estabilidade de Lyapunov) Segundo PALHARES eGONCcedilALVES (2007) o criteacuterio de estabilidade de Lyapunov eacute obtido pela definiccedilatildeo dafunccedilatildeo quadraacutetica escalar positiva de Lyapunov dada por 139 sendo P = P prime gt 0 eP isin ltntimesn

V (x(t)) = xprime(t) middot P middot x(t) gt 0 (139)8 Um hiperplano divide o espaccedilo vetorial em 2 semi-espaccedilos O semi-espaccedilo que conteacutem o hiper-plano

eacute denominado semi-espaccedilo fechado Um subconjunto S isin ltn eacute chamado convexo se para quaisquerdois pontos A e B de S o segmento AB estaacute inteiramente contido em S Um semi-espaccedilo fechado eacuteconvexo (BOLDRINI et al 1986)

9 Sobre o conceito de estabilidade veja Seccedilatildeo 14

18 Desigualdades Matriciais Lineares - LMIs 67

e avaliando a derivada (caso contiacutenuo) ao longo das trajetoacuterias x(t) isto eacute V (x(t)) =xprime(t) middot (Aprime middot P + P middot A) middot x(t)

Tendo em vista que V (x(t)) eacute positiva definida a estabilidade assintoacutetica como estado de equiliacutebrio em x(t) equiv 0 soacute ocorreraacute se V (x) for definida negativa ou sejaV (x) lt 0 Isto implica em Aprime middot P + P middot A lt 0 com P gt 0 (PALHARES GONCcedilALVES2007) Essas condiccedilotildees levam ao Lema 181

Lema 181 (Lyapunov) A planta 140 eacute estaacutevel se e somente se existe uma matrizpositiva definida10 P tal que satisfaccedila agraves desigualdades representadas em 141 Nesse casodiz-se que o sistema (ou simplesmente a matriz A) eacute assintoticamente estaacutevel (BOYD etal 1994)

x = Ax(t) (140)

AprimeP + PA lt 0

P gt 0 (141)

As desigualdades representadas em 141 ficaram conhecidas como ldquodesigualdade deLyapunov em Prdquo

OLIVEIRA e PERES (2010) propotildeem uma abordagem alternativa para encontrara soluccedilatildeo atraveacutes de uma igualdade ao inveacutes de uma desigualdade Toma-se uma matrizqualquer Q = Qprime gt 0 e resolve-se a equaccedilatildeo linear AprimeP + PA = minusQ para a matriz P(CRUSIUS 1996 GEROMEL OLIVEIRA HSU 1999) Entatildeo considerando-se o Tr(P )11

e dadas as matrizes A e Q = Qprime gt 0 a soluccedilatildeo para a desigualdade de Lyapunov 141pode ser obtida pela resoluccedilatildeo do procedimento de otimizaccedilatildeo Trata-se da minimizaccedilatildeode uma funccedilatildeo linear formada com os elementos da matriz P isto eacute minimizaccedilatildeo deuma funccedilatildeo objetivo linear com restriccedilotildees que definem um conjunto convexo portanto oproblema eacute convexo12

minPTr(P )

sujeito a10 Uma matriz P = P prime isin ltntimesn eacute positiva definida se xprime middot P middot x gt 0 forallx 6= 0 e x isin ltn o que implica que

todos os autovalores (ou todos os menores principais liacutederes) de P satildeo positivos (OLIVEIRA PERES2010)

11 O traccedilo da matriz P Tr(P ) eacute a soma dos elementos da diagonal principal de P 12 Ou seja minimizaccedilatildeo de uma funccedilatildeo objetivo linear com restriccedilotildees que definem um conjunto convexo

142 (OLIVEIRA PERES 2010) Para maiores detalhes sobre conjunto convexo verifique a Subseccedilatildeo182 142 (PALHARES GONCcedilALVES 2007)

AprimeP + PA+Q lt 0

P gt 0 (142)

LOPES (2011) argumenta que se pode entender as LMIs como uma ferramenta paraa interpretaccedilatildeo de problema de controle dado como se fosse ldquoum problema de programaccedilatildeosemidefinida (SDP) Em outras palavras as LMIs seriam um problema de otimizaccedilatildeo comobjetivo linear e restriccedilotildees semidefinidas positivas envolvendo matrizes simeacutetricas que satildeoafins13 nas variaacuteveis de decisatildeordquo

Contudo no caso da desigualdade eacute necessaacuterio somente ldquouma soluccedilatildeo factiacutevel parao problema e nenhuma variaacutevel necessita ser minimizadardquo (GACS 1996)

Exemplo 1811 (Anaacutelise da estabilidade via Lyapunov) Seja por exemplo o sis-tema dado por

x = 1 3

xO problema de determinar se o sistema eacute estaacutevel ou natildeo utilizando o Lema 181 de

Lyapunov pode ser resolvido de maneira numeacuterica utilizando as ferramentas matemaacuteticasdisponiacuteveis hoje Por exemplo no Matlabreg os comandos que se seguem encontram a matrizP simeacutetrica positiva definida garantindo a estabilidade do sistema dado

gtgt Q = eye(2)

gtgt P = lyap(Aprime Q)

P = [minus0500 07500 07500 minus 27500]prime

examinando P constata-se que eacute simeacutetrica

gtgt eig(P )

ans = [minus29771 minus02729]prime

poreacutem P natildeo eacute positiva definida pois seus autovalores natildeo satildeo positivos

Exemplo 1812 Seja agora o sistema dado por13 Para maiores detalhes sobre funccedilatildeo afim verifique a Subseccedilatildeo 182

x = 0 1minus2 minus3

xSeguindo o mesmo procedimento anterior verifica-se que agora a matriz P eacute

simeacutetrica positiva definida garantindo a estabilidade do sistema dado

gtgt Q = eye(2)

examinando P constata-se que os autovalores de P satildeo todos positivos

gtgt P

ans = [12500 02500 02500 02500]prime

gtgt eig(P )

ans = [13090 01910]prime

Este mesmo problema poderia ser resolvido numericamente com auxiacutelio do solverSeDuMi14 (OLIVEIRA PERES 2010)

Exemplo 1813 Seja o exemplo anterior A sequecircncia de comandos do Yalmip a seguirfornece os mesmos resultados obtidos com os comandos Matlabreg utilizados

gtgt A = [0 1minus2 minus 3]

gtgt Q = eye(2)

gtgt LMIs = set([])

gtgt P = sdpvar(2 2prime symmetricprime)

gtgt LMIs = LMIs+ set(P gt 0) + set(minusAprime lowast P + P lowast AminusQ gt 0)

gtgt obj = trace(P )

gtgt sol = solvesdp(LMIs obj sdpsettings(primesolverprimeprime sedumiprime))14 O SeDuMi eacute um solver para programaccedilatildeo semidefinida O YALMIP eacute uma linguagem de modelagem

para modelagem avanccedilada e para soluccedilatildeo de problemas de otimizaccedilatildeo convexa e natildeo convexa OYALMIP eacute um toolbox que pode ser instalada no ambiente do Matlabreg baixando o pacote YAL-MIPzip no site httpusersisyliusejohanlyalmippmwikiphpn=TutorialsInstallation O Yalmipfoi desenvolvido por J Loumlefberg

Apoacutes o processamento os resultados podem ser obtidos com os comandos

gtgt double(obj)

ans = 15000

gtgt double(P)

ans = [12500 02500 02500 02500]prime

gtgt eigs(P)

ans = [13090 01910]prime

que satildeo os mesmos resultados obtidos apenas com o Matlabreg

O passo seguinte de uma longa caminhada histoacuterica no desenvolvimento e usode LMIs ocorreu na deacutecada de 1940 quando alguns estudiosos russos entre eles Lurrsquoee Postinikov aplicaram o meacutetodo de Lyapunov a problemas praacuteticos em engenharia decontrole como a estabilidade de um sistema de controle com natildeo-linearidades no atuador(BOYD VANDENBERGHE 2009 OLIVEIRA PERES 2010)

Segundo (BOYD et al 1994) um grande avanccedilo veio atraveacutes dos trabalhos deYakubovich Popov Kalman e outros no iniacutecio da deacutecada de 60 que tiveram sucesso emreduzir a soluccedilatildeo das LMIs que apareceram no problema de Lurrsquoe a um simples criteacuteriograacutefico utilizando que hoje eacute conhecido por Lema da Positividade Real (positive-real PR)Este lema e suas extensotildees foram intensamente estudados na uacuteltima metade da deacutecadade 60 e verificou-se que estavam relacionados agraves ideias de passividade teorema do ganhopequeno introduzidos por Zames e Sandberg e controle oacutetimo linear quadraacutetico Peladeacutecada de 70 soube-se que a LMI que aparecia no Lema PR poderia ser resolvida natildeosomente por meios graacuteficos mas tambeacutem pela soluccedilatildeo da equaccedilatildeo algeacutebrica de Riccati 144(Algebraic Riccati Equation ARE) (CRUSIUS 1996) Segundo OLIVEIRA e PERES (2010apud WILLEMS 1971 p 207) ldquoa primeira menccedilatildeo expliacutecita de uma LMI eacute atribuiacuteda aWILLEMS (1971) em um artigo que apresenta a LMIrdquo 143

Aprime middot P + P middot A+Q P middotB + C prime

Bprime middot P + C R

ge 0 (143)

condiccedilatildeo esta que se aplica ao sistema

x = A middot x+B middot u

y = C middot x

e que pode ser resolvida estudando-se as soluccedilotildees simeacutetricas da Equaccedilatildeo 144 onde P eacute avariaacutevel e as matrizes A B C Q e R satildeo conhecidas

Aprime middot P + P middot Aminus (P middotB + C prime) middotRminus1 middot (Bprime middot P + C) +Q = 0 (144)

Na deacutecada de 70 vaacuterios pesquisadores observaram que as LMIs que apareciamna teoria de sistemas e controle poderiam ser formuladas em termos de problemas deotimizaccedilatildeo convexa os quais eram passiacuteveis de serem solucionados por meio de computadorSegundo BOYD et al (1994) essa simples observaccedilatildeo teve como consequecircncia a ideia deque era possiacutevel solucionar de maneira confiaacutevel muitas LMIs para as quais natildeo haviasido encontrada soluccedilatildeo analiacutetica alguma Finalmente no final da deacutecada de 80 pesqui-sadores tais como Nesterov e Nemirovskii desenvolveram meacutetodos dos pontos interioresque se aplicavam diretamente aos problemas convexos envolvendo LMIs E hoje vaacuteriosalgoritmos de pontos interiores para problemas com LMIs foram desenvolvidos e testadoem famiacutelias especiacuteficas de LMIs que surgem na teoria de controle apresentando resultadosextremamente eficientes (BOYD et al 1994)

182 Propriedades das LMIsUma outra representaccedilatildeo da LMI eacute a forma canocircnica dada pela Equaccedilatildeo 145 para

o caso de LMIs estritas

F (x) F0 +msumi=1

xiFi gt 0 (145)

onde x isin ltm eacute a variaacutevel x = [x1 x2 middot middot middot xm]prime e as matrizes simeacutetricas Fi = Fiprime isin ltntimesn

para i = 0 middot middot middot m satildeo dadas O siacutembolo de desigualdade na Equaccedilatildeo 145 significa queF (x) eacute positiva-definida isto eacute uprime middot F (x) middot u gt 0 forallu 6= 0 sendo que u isin ltn (BOYD et al1994 PALHARES GONCcedilALVES 2007)

Uma LMI na forma canocircnica natildeo estrita eacute representada pela Equaccedilatildeo 146

F (x) ge 0 (146)

Um conjunto de LMIs F (1)(x) gt 0 middot middot middot F (p)(x) gt 0 pode ser representado comose fosse uma soacute LMI do tipo diag(F (1)(x) middot middot middot F (p)(x)) gt 0 Quando as matrizes Fi satildeodiagonais a LMI F (x) gt 0 eacute apenas um conjunto de desigualdades lineares (BOYD et al1994)

Definiccedilatildeo 1821 (Conjunto e funccedilatildeo afins) Se um subconjunto M isin ltn eacute afimentatildeo forallλ isin lt e forallx y isinM tem-se que (1minus λ) middot x+ λ middot y isinM Assim uma funccedilatildeo afim eacute

uma funccedilatildeo polinomial cujo grau eacute no maacuteximo 1 do tipo f(x) = a middotx+ b sendo f lt rarr lte a b isin lt e a 6= 0

A funccedilatildeo F (x) representada na Equaccedilatildeo 145 eacute uma funccedilatildeo afim uma vez que parax = 0 tem-se F (0) = F0 (CRUSIUS 1996)

Definiccedilatildeo 1822 (Conjunto e funccedilatildeo convexos) Se um subconjunto C isin ltn eacute con-vexo entatildeo forallx y isin C(1 minus λ) middot x + λ middot y isin C e 0 le λ le 1 Ou seja um con-junto eacute convexo se o segmento de reta que une quaisquer dois pontos do conjuntotambeacutem pertencer ao conjunto Considere-se agora que o epiacutegrafo de f eacute o conjuntoepif (x micro) x isin S micro isin lt micro ge f(x) A ligaccedilatildeo entre conjuntos convexos e funccedilotildeesconvexas se daacute atraveacutes do seu epiacutegrafo a funccedilatildeo f S isin ltn rarr lt eacute convexa em S se o seuepiacutegrafo15 eacute convexo

A LMI 145 eacute uma restriccedilatildeo convexa em x isto eacute o conjunto x F (x) gt 0 eacuteconvexo conforme pode-se verificar da prova que se segue (CRUSIUS 1996)

Prova 181 (Prova convexidade conjunto soluccedilatildeo de uma LMI) Sejam y e x doispontos que satisfazem a inequaccedilatildeo 145 e x = αmiddoty+(1minusα)middotz onde 0 le α le 1 Substituindoem 145 vem

F0 +msumi=1

Fi middot xi = F0 +msumi=1

Fi middot (α middot yi + (1minus α) middot zi) =

F0 +msumi=1

Fi middot zi + α middotmsumi=1

Fi middot (yi minus zi) =

(1minus α) middot (F0 +msumi=1

Fi middot zi) + α middot (F0 +msumi=1

Fi middot yi) gt 0

Desta forma verifica-se que x tambeacutem eacute soluccedilatildeo da LMI (CRUSIUS 1996)

Uma LMI pode representar uma ampla variedade de restriccedilotildees convexas em xtais como desigualdades lineares desigualdades quadraacuteticas (convexas) desigualdades denorma matriciais16 e restriccedilotildees que aparecem na teoria de controle tais como Lyapunov edesigualdades matriciais quadraacuteticas convexas

15 O prefixo epi significa acima logo epiacutegrafo significa acima do graacutefico Trata-se da regiatildeo que se iniciaimediatamente acima do graacutefico de uma funccedilatildeo (BOYD et al 1994)

16 Uma norma sobre o espaccedilo vetorial formado pelas matrizes reais ou complexas de ordem n timesmdenotado por Mntimesm eacute chamado de norma matricial A norma 1 por exemplo denotada por 1 eacutedefinida como o maacuteximo da soma moacutedulo das entradas de cada linha da matriz (BOLDRINI et al1986 p 340)

Lema 182 (Transformaccedilatildeo de Congruecircncia) Duas matrizes simeacutetricas Q R isin ltntimesn

satildeo congruentes se existir T isin ltntimesn natildeo-singular17 Q = T prime middot R middot T Se Q e R satildeocongruentes entatildeo Q gt 0 se e somente se R gt 0

Prova 182 R gt 0 rArr forallx 6= 0 xprime middot R middot x gt 0 Definindo y = Tminus1 middot x tem-se xprime middot R middot x =yprime middot T prime middotR middot T middot y = yprime middotQ middot y gt 0forally 6= 0rArr Q gt 0 (OLIVEIRA PERES 2010)

Note que para R = Rprime isin ltntimesn e T isin ltntimesm T prime middot R middot T isin ltmtimesm Neste casoR gt 0rArr T prime middotRmiddotT ge 0 R gt 0 e rank(T ) = mrArr T prime middotRmiddotT gt 0 pois rank(T prime middotRmiddotT ) = rank(T )e se rank(T ) = m 6 exist x 6= 0 T middot x = 0

Note que para R = Rprime isin ltntimesn e T isin ltntimesm entatildeo T prime middotR middot T gt 0 6rArr R gt 0

Exemplo 1821 Seja por exemplo R = [1 0 0 minus 1]prime e T = [1 0]prime Constata-se queR = Rprime ou seja R eacute simeacutetrica e que T prime middotR middot T = 1 gt 0 poreacutem os autovalores de R satildeo 1e minus1 logo R 6gt 0

Segundo PALHARES e GONCcedilALVES (2007) o criteacuterio de estabilidade de Lyapunovcomo apresentado na Subseccedilatildeo 181 daacute origem a um importante tema de debate na teoriade controle robusto que eacute a verificaccedilatildeo da estabilidade de uma famiacutelia de sistemas ou umsistema com incertezas conforme estudado na Seccedilatildeo 114

Definiccedilatildeo 1823 (Conjunto Poliedral) A intersecccedilatildeo de um nuacutemero finito de subes-paccedilos fechados forma um conjunto poliedral os quais satildeo convexos e fechados (BOLDRINIet al 1986)

Definiccedilatildeo 1824 (Politopo) Um politopo ou envelope convexo eacute um conjunto poliedrallimitado de N pontos x1 x2 middot middot middot xN isin ltn Um ponto descrito como α1 middot x1 + α2 middot x2 +middot middot middot + αN middot xN com αi ge 0 para i = 1 middot middot middot N e α1 + α2 + middot middot middot + αn = 1 eacute chamado decombinaccedilatildeo convexa dos pontos x1 x2 middot middot middot xN (PALHARES GONCcedilALVES 2007)

Seja o politopo descrito pelos seus cinco veacutertices P = cox1 x2 middot middot middot x5 onde corepresenta a casca ou o envelope convexo conforme ilustrado na Figura 17 Cada pontop isin P pode ser escrito atraveacutes de uma combinaccedilatildeo convexa dos veacutertices

p =5sumi=1

αi middot xi αi ge 05sumi=1

αi = 1

Exemplo 1822

p1 = 14 middot x1 + 1

4 middot x2 + 0 middot x3 + 12 middot x4 + 0 middot x5

17 Uma matriz A eacute inversiacutevel ou natildeo-singular se det(A) 6= 0 (BOLDRINI et al 1986)

Figura 17 ndash Um politopo com cinco veacutertices

Fonte Adaptado de (PALHARES GONCcedilALVES 2007)

p2 = 13 middot x1 + 1

p1 = 34 middot p2 + 1

4 middot x4

PALHARES e GONCcedilALVES (2007) argumentam que ldquopor analogia pode-sesupor que cada veacutertice eacute uma matriz A de um conjunto de sistemas autocircnomosrdquo Aindaldquoesta propriedade de convexidade eacute suficiente para que se possa formular o problema deestabilidade de um sistema incerto verificando a estabilidade em um politopo e usando ateoria de Lyapunovrdquo

Seja o sistema dinacircmico incerto com K veacutertices representado pela Equaccedilatildeo 147

∆[x(t)] = A middot x(t) A isin P

Ksumi=1

αiAi αi ge 0Ksum1α = 1

Para o sistema contiacutenuo no tempo 147 se existe uma matriz P = P prime gt 0 tal que

Aprime middot P + P middot A lt 0 forallA isin P

entatildeo o sistema eacute dito ser quadraticamente estaacutevel

A definiccedilatildeo de estabilidade quadraacutetica exige que se fixe apenas uma matriz deLyapunov que satisfaz simultaneamente todos os muacuteltiplos sistemas descritos pelo politopo

(LEITE et al 2004 PALHARES GONCcedilALVES 2007) Para os sistemas invariantes notempo esta exigecircncia produz algum grau de conservadorismo na anaacutelise de estabilidade

Considerando a maneira como a estabilidade quadraacutetica eacute formulada conformeaparece na Subseccedilatildeo 181 natildeo haacute necessidade de se verificar a condiccedilatildeo para os infinitossistemas que compotildeem o politopo mas eacute suficiente testar a condiccedilatildeo apenas nos seusK veacutertices Ou seja para comprovar se o sistema eacute quadraticamente estaacutevel eacute suficienteverificar a existecircncia de P = P prime gt 0 tal que o conjunto finito das K LMIs seja satisfeitoPor exemplo para o caso dos sistemas contiacutenuos no tempo

Aprime1 middot P + P middot A1 lt 0Aprime2 middot P + P middot A2 lt 0

AprimeK middot P + P middot AK lt 0

O complemento de Schur eacute uma propriedade das matrizes que fornece um artifiacutecioutilizado frequentemente para converter uma desigualdade (convexa) natildeo-linear em umaLMI (ou vice-versa) (OLIVEIRA PERES 2010)

Definiccedilatildeo 1825 (Complemento de Schur para matrizes) Considere a matriz qua-drada simeacutetrica particionada representada pela Equaccedilatildeo 148 (PALHARES GONCcedilALVES2007 BOYD VANDENBERGHE 2009 OLIVEIRA PERES 2010)

bull Se A = Aprime e det(A) 6= 0 entatildeo o complemento de Schur de A em relaccedilatildeo a M eacute amatriz C minusBprime middot Aminus1 middotB

bull Se C = C prime e det(C) 6= 0 entatildeo o complemento de Schur de C em relaccedilatildeo a M eacute amatriz AminusB middot Cminus1 middotBprime

M = A B

Bprime C

Lema 183 (Complemento de Schur para LMIs) Considere as desigualdades natildeo-lineares convexas representada por 149 onde Q(x) = Q(x)prime R(x) = R(x)prime e S(x) satildeoafins em x (ANTWERP BRAATZ 2000) Nestas condiccedilotildees trata-se de uma desigualdadematricial bilinear ou seja uma BMI O lema do Complemento de Schur converte esteconjunto de desigualdades natildeo-lineares convexas dadas em 149 em uma LMI equiva-lente conforme mostrada em 150 Assim o complemento de Schur constitui-se em umaferramenta para converter BMIs em LMIs (ERKUS 2006)

R(x) gt 0 Q(x)minus S(x)R(x)minus1S(x)prime gt 0 (149)

Q(x) S(x)S(x)prime R(x)

gt 0 (150)

Seja a matriz quadraacutetica simeacutetrica particionada representada por 148 entatildeo ocomplemento de Schur surge nas seguintes situaccedilotildees (PALHARES GONCcedilALVES 2007BOYD VANDENBERGHE 2009)

bull na soluccedilatildeo de equaccedilotildees lineares A B

Bprime C

middot x

bull quando se elimina um bloco de variaacuteveis

bull ele eacute a inversa da matriz do bloco (2 2) na matriz simeacutetrica particionada

Mminus1 = A B

Bprime C

minus1

bull surge tambeacutem na minimizaccedilatildeo de uma forma quadraacutetica em relaccedilatildeo a algumasvariaacuteveis

]middot

Bprime C

middot x

e finalmente

bull na caracterizaccedilatildeo da positividade da matriz representada na Equaccedilatildeo 148

Exemplo 1823 (Restriccedilatildeo de norma matricial (BOYD et al 1994)) Considerea restriccedilatildeo da norma matricial ou o valor singular maacuteximo Z(x) lt 1 onde Z(x) isin ltptimesq

eacute a variaacutevel matricial e depende de maneira afim de x Encontre a representaccedilatildeo LMI dainequaccedilatildeo dada Uma vez que a restriccedilatildeo da norma matricial

Z(x) lt 1

eacute equivalente aI minus Z(x) middot I middot Z(x)prime gt 0

utilizando o complemento de Schur pode-se escrevecirc-la como

I Z(x)Z(x)prime I

BOYD et al (1994) argumentam que o caso em que q = 1 se reduz a umadesigualdade quadraacutetica convexa geneacuterica em x

Exemplo 1824 (Restriccedilatildeo quadraacutetica (BOYD et al 1994)) A restriccedilatildeo c(x)prime middotP (x)minus1 middot c(x) lt 1 onde c(x) isin ltn e P (x) = P (x)prime gt 0 pode ser escrita na forma de LMIutilizando o complemento de Schur em relaccedilatildeo a P (x) da seguinte maneira

P (x) c(x)prime

c(x) 1

poisc(x)prime middot P (x)minus1 middot c(x) lt 1

pode ser escrita como1minus c(x)prime middot P (x)minus1 middot c(x) gt 0

Nem sempre a minimizaccedilatildeo dos ganhos do controlador projetado com a utilizaccedilatildeode LMIs consegue eliminar o conservadorismo inerente ao projeto Segundo BUZACHERO(2010) BUZACHERO et al (2011) um certo grau de conservadorismo tem sido inseridona anaacutelise de estabilidade quadraacutetica Os projetos de controladores que levam a ganhosmaiores podem introduzir saturaccedilotildees no sinal de controle o que torna o projeto mais difiacutecilde ser implementado A relaxaccedilatildeo na anaacutelise de estabilidade ou a estabilidade estendidatem sido alcanccedilada com a utilizaccedilatildeo de teacutecnicas como o Procedimento-S e o Lema deFinsler aumentando assim a regiatildeo de factibilidade

Definiccedilatildeo 1826 (S-Procedure) Considere as matrizes simeacutetricas representadas porT0 middot middot middot Tp isin ltntimesn e a condiccedilatildeo dada pela Equaccedilatildeo 151 em T0 middot middot middot Tp

ψprime middot T0 middot ψ gt 0forallψ 6= 0 ψprime middot Ti middot ψ ge 0 i = 1 middot middot middot p (151)

Se existirem escalares τi ge 0 middot middot middot τp ge 0 tais que

T0 minuspsumi=1

τi middot Ti gt 0 (152)

entatildeo a condiccedilatildeo 151 estaacute satisfeita

Aleacutem disso 151 e 152 satildeo equivalentes quando p = 1 e quando Ti satildeo funccedilotildeesafins de um conjunto de paracircmetros a condiccedilatildeo 152 rArr 151

O S-Procedure eacute uma teacutecnica de anaacutelise de estabilidade de sistemas natildeo-linearespara formas quadraacuteticas e desigualdades estritas que permite concatenar vaacuterias restriccedilotildeesescalares de desigualdade em uma uacutenica Esta teacutecnica introduz multiplicadores comofatores de ponderaccedilatildeo a serem determinados a fim de reduzir os resultados conservadores(BOYD et al 1994) Na realidade o S-Procedure nada mais eacute do que a teacutecnica de relaxaccedilatildeo

de Lagrange18 a qual na maioria das vezes eacute utilizada com restriccedilotildees quadraacuteticas Umdos resultados mais importantes eacute a condiccedilatildeo para exatidatildeo (minimizaccedilatildeo de perdas)da relaxaccedilatildeo especialmente quando um objetivo quadraacutetico estaacute sujeito a uma restriccedilatildeoquadraacutetica O S-Procedure tem numerosas aplicaccedilotildees na anaacutelise de equaccedilotildees diferenciaisincertas Eacute frequentemente utilizada para obter estabilidade e resultados de desempenhopara sistemas natildeo-lineares e sistemas em presenccedila de incertezas (JOumlNSSON 2006)

Exemplo 1825 BOYD et al (1994) abordam um problema que surge em sistemasincertos com incertezas limitadas em norma (norm-bounded uncertainties) trata-se deencontrar P tal que ξ

prime middot Aprime middot P + P middot A P middotB

Bprime middot P 0

middot ξ

forallξ πprime middot π le ξprime middot C prime middot C middot ξ (153)

A restriccedilatildeo em π e ξ acima pode ser reescrita como se segue ξ

prime middot minusC prime middot C 0

middot ξ

le 0 (154)

Aplicando a restriccedilatildeo 152 em 153 e 154 e considerando i = 1 tem-se

Aprime middot P + P middot A P middotBBprime middot P 0

minus τ1 middot

minusC prime middot C 00 I

entatildeo aplicando-se S-Procedure a restriccedilatildeo 153 eacute equivalente agrave existecircncia de τ1 ge 0 talque

Aprime middot P + P middot A+ τ1 middot C prime middot C P middotBBprime middot P minusτ1 middot I

lt 0 (155)

Dessa maneira a soluccedilatildeo do problema de encontrar P gt 0 de tal maneira que aInequaccedilatildeo 153 seja satisfeita pode ser expresso como a LMI 155 em P e na variaacutevelescalar τ1 acima18 Em programaccedilatildeo linear inteira eacute possiacutevel relaxar algumas das restriccedilotildees do problema original

removendo as restriccedilotildees de integralidade do modelo Formalmente Seja a formulaccedilatildeo F dada porz = minc(x) x isin P onde P eacute o conjunto de pontos que satisfazem as restriccedilotildees dessa formulaccedilatildeoc(x) a funccedilatildeo objetivo e z o valor da soluccedilatildeo oacutetima A formulaccedilatildeo FR dada por zR = minf(x) x isin Reacute uma relaxaccedilatildeo se todo ponto de P estaacute em R ou seja P sube R e se f(x) le c(x) para x isin P Arelaxaccedilatildeo lagrangeana consiste em remover algumas das restriccedilotildees da formulaccedilatildeo original e embutiressas desigualdades na funccedilatildeo objetivo penalizando a funccedilatildeo objetivo quando as restriccedilotildees removidasforem violadas O ldquopesordquo dessas penalidades eacute controlado por coeficientes chamados de multiplicadoreslagrangeanos (de OLIVEIRA BERRETTA 2007)

19 Normas de vetores matrizes sinais e sistemas 79

O Lema de Finsler definido em 1827 eacute bastante uacutetil pois permite que se possainserir restriccedilotildees de igualdade em uma uacutenica desigualdade a qual pode entatildeo ser resolvidavia LMI E BUZACHERO (2010) argumenta que a utilizaccedilatildeo desse lema em projetosde sistemas com realimentaccedilatildeo de estados traz a vantagem de desacoplar a siacutentese damatriz de realimentaccedilatildeo K da matriz de Lyapunov P deixando-a livre uma vez queP = P prime gt 0 jaacute eacute uma realidade A utilizaccedilatildeo do Lema de Finsler para expressar ascondiccedilotildees de estabilidade em termos de LMIs introduz novos graus de liberdade na anaacutelisede sistemas incertos possibilitando a eliminaccedilatildeo de variaacuteveis e de natildeo-linearidades

Definiccedilatildeo 1827 (Lema de Finsler) Seja x isin ltn Q = Qprime isin ltntimesn B isin ltmtimesn umamatriz dada com rank(B) lt n e Bperp uma base para o espaccedilo nulo de B ou seja B middotBperp = 0As seguintes afirmaccedilotildees satildeo verdadeiras (de OLIVEIRA 2004)

i) xprime middot Q middot x lt 0 x 6= 0 B middot x = 0

ii) Bperpprime middot Q middot Bperp lt 0

iii) existmicro isin lt Qminus micro middot Bprime middot B lt 0

iv) existX isin ltntimesm Q+ X middot B + Bprime middot X prime lt 0

Exemplo 1826 (BARBOSA TROFINO 2002) propotildeem as condiccedilotildees para estabilidadequadraacutetica de sistemas descritores representadas em 187 ou seja encontre P tal que

v(x) = x

prime middot J prime1 middot P + P middot J1 P middot J2

J prime2 middot P 0

middot x

forallJ isin C0 middot[Ji]qi=1

forall

[J3 J4

]middot

Aplicando-se o Lema de Finsler condiccedilatildeo ldquoivrdquo eacute possiacutevel inserir a restriccedilatildeo deigualdade em uma uacutenica LMI representada em 156

J prime1 middot P + P middot J1 P middot J2

J prime2 middot P 0

+ L middot[J3 J4

]+[J3 J4

]primemiddot Lprime lt 0 (156)

19 Normas de vetores matrizes sinais e sistemasSegundo SKOGESTAD e POSTLETHWAITE (2001) uma norma eacute uma ferramenta

matemaacutetica uacutetil pois permite que atraveacutes de um uacutenico nuacutemero obter uma medida globaldo tamanho de um vetor de uma matriz de um sinal ou de um sistema Ele daacute a seguintedefiniccedilatildeo de norma

Definiccedilatildeo 191 (Norma de e) Uma norma de um vetor uma matriz um sinal ou umsistema denotados genericamente por e eacute um nuacutemero real simbolizado por e quesatisfaz as seguintes propriedades

1 Natildeo-negatividade e ge 0

2 Positividade e = 0hArr e = 0

3 Homogeneidade α middot e = |α| middot e forallα isin C

4 Desigualdade triangular e1 + e2 le e1+ e2

De maneira mais precisa ldquoerdquo eacute um elemento num espaccedilo vetorial V sobre o campo C denuacutemeros complexos e as propriedades acima devem ser satisfeitas foralle e1 e2 isin V e forallα isin C

SKOGESTAD e POSTLETHWAITE (2001) classificam as normas em dois grupos oprimeiro envolvendo normas espaciais e o segundo normas de funccedilotildees ou normas temporaisEsses dois grupos abrangem quatro tipos diferentes de objetos os quais satildeo normas sobrequatro espaccedilos vetoriais diferentes

1 normas espaciais onde e representa um vetor constante ou entatildeo uma matrizconstante A pergunta pertinente eacute ldquoComo encontrar a meacutedia ou o valor global doscanaisrdquo e

2 normas de funccedilotildees ou normas temporais onde e representa um sinal dependentedo tempo e(t) onde para cada valor fixo de t pode-se ter um escalar ou vetorconstantes ou um ldquosistemardquo representado por uma funccedilatildeo de transferecircncia G(s) ouuma resposta ao impulso g(t) para os quais a cada valor fixo de s ou de t tem-se umescalar ou uma matriz constantes Aqui deseja-se obter a meacutedia ou o valor globalcomo uma funccedilatildeo da frequecircncia ou do tempo

Os objetivos dos sistemas de controle podem ser estabelecidos como garantir aestabilidade interna e atingir certas especificaccedilotildees de desempenho de um sistema Eacute precisogarantir que possiacuteveis perturbaccedilotildees ocorrendo num sistema de controle natildeo iratildeo afetar demaneira proibitiva as variaacuteveis de interesse sob controle Uma das maneiras mais utilizadaspara atender os requisitos de desempenho eacute conhecimento da energia de determinados sinaisde interesse Atraveacutes da medida do niacutevel de energia desses sinais eacute possiacutevel conhecer-seo grau de influecircncia da perturbaccedilatildeo externa sobre a saiacuteda de interesse (SKOGESTADPOSTLETHWAITE 2001)

A capacidade de um sistema de controle de limitar os efeitos indesejaacuteveis dessasperturbaccedilotildees eacute conhecida como rejeiccedilatildeo de perturbaccedilotildees e pode ser quantificada devaacuterias formas No conceito de perturbaccedilotildees estatildeo incluiacutedos distuacuterbios externos tais como

temperatura ambiente velocidade do vento forccedila e amplitude das ondas mariacutetimasdistuacuterbios internos tais como sensores descalibrados gerando medidas incorretas dos sinaisou ruiacutedos de mediccedilatildeo etc Em componentes da variaacutevel de desempenho estatildeo incluiacutedostodos os sinais a serem controlados ou que forneccedilam informaccedilotildees vitais para a dinacircmica dosistema tais como sinal de erro sinal de controle etc (SKOGESTAD POSTLETHWAITE2001)

Do ponto de vista histoacuterico as normas de sistemas satildeo definidas de acordo coma resposta em frequecircncia dos mesmos Assim a resposta de regime permanente paraexcitaccedilotildees senoidais de diversas frequecircncias eacute caracterizada pela resposta em frequecircncia deum sistema LTI estaacutevel Por exemplo a norma infinita Hinfin de uma funccedilatildeo de transferecircnciaescalar estaacutevel f(s) tratada na Subseccedilatildeo 111 eacute simplesmente o valor de pico da funccedilatildeoda frequecircncia |f(jω)| representada na equaccedilatildeo 157 (SKOGESTAD POSTLETHWAITE2001)

f(s)infin maxω|f(jω)| (157)

SKOGESTAD e POSTLETHWAITE (2001) fornecem as seguintes explicaccedilotildeespara a escolha dos siacutembolos utilizados para representar as normas infinita e euclidianarespectivamente

bull O siacutembolo infin eacute proveniente do fato de que a magnitude maacutexima sobre a frequecircnciapode ser escrita como

maxω|f(jω)| = lim

prarrinfin

( int infinminusinfin|f(jω)|p dω

Ao elevar |f | a uma potecircncia infinita seu valor de pico eacute selecionado

bull O siacutembolo H vem de ldquoHardy space19rdquo e Hinfin eacute o conjunto de funccedilotildees de transferecircncialimitada pela norma infinita isto eacute o conjunto de funccedilotildees de transferecircncia estaacuteveis eestritamente proacuteprias20

bull Da mesma maneira o siacutembolo H2 eacute utilizado para o ldquoHardy spacerdquo das funccedilotildees detransferecircncia limitadas em norma-2 o qual eacute o conjunto de funccedilotildees de transferecircnciaestaacuteveis e estritamente proacuteprias Assim a norma H2 de uma funccedilatildeo de transferecircnciaescalar estaacutevel estritamente proacutepria eacute definida como

f(s)2 (

int infinminusinfin|f(jω)|2 dω

19 ldquoHardy spacerdquo eacute o espaccedilo de todas as funccedilotildees analiacuteticas f no disco unitaacuterio D = z isin C |z| lt 1para 1 le p ltinfin

20 Funccedilatildeo de transferecircncia estritamente proacutepria eacute aquela na qual o grau do numerador eacute menor do queo grau do denominador

Minimizar a normaHinfin corresponde a minimizar o pico do maior valor singular (piordireccedilatildeo e frequecircncia) Ao passo que minimizar a norma H2 corresponde a minimizar a somado quadrado de todos os valores singulares sobre toda frequecircncia (direccedilatildeo e frequecircnciasmeacutedias) Resumindo a norma Hinfin empurra para baixo o pico do maior valor singular e anorma H2 empurra para baixo todos os valores singulares sobre todas as frequecircncias

Em controle robusto a norma mais utilizada eacute a Hinfin isto porque ela eacute muito uacutetilpara representar modelos incertos natildeo estruturados e satisfaz a propriedade multiplicativarepresentada pela equaccedilatildeo 158 a seguir

Definiccedilatildeo 192 (Norma Matricial) A norma de uma matriz A eacute uma norma ma-tricial se aleacutem das quatro propriedades da Definiccedilatildeo 191 tambeacutem satisfaz a propriedademultiplicativa (chamada de condiccedilatildeo de consistecircncia)

A middotB le A+ B (158)

As normas que satisfazem as propriedades encontradas em 191 poreacutem natildeo sa-tisfazem a propriedade 192 da norma matricial satildeo denominadas normas matriciaisgeneralizadas

Para as Seccedilotildees 110 e 111 a seguir considere-se o sistema nominal 159 pertencenteagrave classe de sistemas LTI

x(t) = A middot x(t) +Bω middot ω(t)

z(t) = Cz middot x(t) +Dωz middot ω(t) (159)

Sendo que x(t) isin ltn representa o vetor de estados ω(t) isin ltnω o vetor de entradade perturbaccedilotildees (entradas exoacutegenas) z(t) isin ltnz o vetor de saiacutedas de interesse (saiacutedasmedidas) e A Bω Cz e Dωz satildeo matrizes constantes com dimensotildees apropriadas

110 Norma euclidiana H2

A norma 2 de um sinal z(t) eacute definida de acordo com 160 sendo ε a medida daenergia

z(t)22 =

int infin0

z(t)2 middot dt = ε (160)

A expressatildeo 160 eacute uma generalizaccedilatildeo de energia dissipada Se z(t) representa umsinal de tensatildeo entatildeo a expressatildeo 160 pode ser entendida como a energia dissipada numresistor unitaacuterio O conjunto de todos os sinais que possuem energia finita isto eacute satildeoquadraticamente integraacuteveis formam um espaccedilo denominado L2 (de SOUZA 1994) O

110 Norma euclidiana H2 83

ganho L2 do operador entradasaiacuteda permite determinar o desempenho do sistema emrelaccedilatildeo ao sinal de perturbaccedilatildeo

Segundo BARBOSA (2003) a norma 2 de um sinal vetorial z(t) =[z1 middot middot middot zn(t)

]prime

ou seja a energia da resposta ao impulso eacute definida como sendo a soma das energias detodas as componentes do vetor conforme representada em 161

z(t)22 =

nsumi=1

int infin0

z(t)2i middot dt =

int infin0

z(t)prime middot z(t) middot dt = ε (161)

O Lema de Parseval enunciado em 1101 permite relacionar energia de um sinaldefinida no domiacutenio do tempo com a transformada de Fourier do sinal (de SOUZA 1994BARBOSA 2003)

Lema 1101 (Teorema de Parseval) Seja f(t) um sinal real causal com energia limi-tada e F (jw) sua transformada de Fourier Entatildeo a relaccedilatildeo 162 envolvendo a energia εdo sinal f(t) eacute verdadeira

ε =int infin

0f(t)prime middot f(t) middot dt = 1

2π middotint infinminusinfin

F (j middot ω)lowast middot F (j middot ω) middot dω (162)

Seja o sistema representado pela equaccedilatildeo 159 e considere-se ainda que x0 =x(0) = 0 e que o termo de transmissatildeo direta de ω para z eacute Dωz = 0 uma das condiccedilotildeespara que a norma H2 seja finita (ROBERTS 2009)

Consequentemente o operador perturbaccedilatildeosaiacuteda de interesse no domiacutenio dafrequecircncia para o sistema 159 eacute dado pela matriz de transferecircncia representada em 163

Gωz = Cz middot (sI minus A)minus1 middotBω (163)

Dessa maneira o desempenho do sistema vai depender do tamanho do operadorentre ω(t) e z(t) Gωz A maneira de se avaliar o valor de Gωz satildeo as normas H2 e Hinfin Eacutepossiacutevel representar as perturbaccedilotildees que afetam o sistema atraveacutes de uma saiacuteda do sistemadinacircmico excitado por um impulso incorporando-as ao operador perturbaccedilatildeosaiacuteda deinteresse desde que a forma dos sinais seja conhecida

Assim a norma H2 de Gωz pode ser definida como a energia da resposta ao impulsow(t) que eacute a energia do sinal de saiacuteda z(t) Quando o sistema 159 eacute estritamente proacuteprio eestaacutevel isto eacute a matriz A eacute Hurwitz21 e Dωz = 0 entatildeo a energia de saiacuteda z(t) seraacute finita

CRUSIUS (1996) SKOGESTAD e POSTLETHWAITE (2001) BARBOSA (2003)mostram que a norma H2 pode ser definida de diversas maneiras21 A matriz A do sistema 159 eacute Hurwitz se todos os autovalores de A apresentam as partes reais

estritamente negativas em outras palavras Re[λi] lt 0 para cada λi

bull para funccedilotildees de transferecircncia

Gωz(s)22 = 1

int infinminusinfin

Tr(Glowast(jω) middotG(jω))dω (164)

bull para equaccedilotildees de estado com Dωz = 0 e gramiano22 de controlabilidade Lc

Gωz22 = Tr(Cz middot Lc middot C primez) A middot Lc + Lc middot Aprime +Bω middotBprimeω = 0 (165)

bull para equaccedilotildees de estado com Dωz = 0 e gramiano de observabilidade Lo

Gωz22 = Tr(Bω middot Lo middotBprimeω) A middot Lo + Lo middot Aprime + Cz middot C primez = 0 (166)

bull atraveacutes de otimizaccedilatildeo convexa para sistema controlaacutevel

Gωz22 = minTr(Cz middot Lc middot C primez) A middot Lc + Lc middot Aprime +Bω middotBprimeω le 0 Lc gt 0 (167)

Lc =int infin

0exp (Aprime middot t) middotBprimeω middotBω middot exp (A middot t)dt (168)

A matriz Lc pode ser obtida atraveacutes da resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo de Lyapunov

A middot Lc + Lc middot Aprime +Bω middotBprimeω = 0 (169)

bull atraveacutes de otimizaccedilatildeo convexa para sistema observaacutevel

Gωz22 = minTr(Bω middot Lo middotBprimeω) A middot Lo + Lo middot Aprime + Cz middot C primez le 0 Lo gt 0 (170)

Lo =int infin

0exp (Aprime middot t) middot C primez middot Cz middot exp (A middot t)dt (171)

A matriz Lo pode ser obtida atraveacutes da resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo de Lyapunov

A middot Lo + Lo middot Aprime + C primeω middot Cω = 0 (172)22 Dada uma matriz A isin lt a matriz Aprime middot A eacute uma matriz gramiana das colunas de A ao passo que

A middotAprime eacute a matriz gramiana das linhas de A Conforme explicado na Seccedilatildeo 15 quando aplicado agrave teoriade controle por exemplo o gramiano de controlabilidade eacute utilizado para determinar se um sistemalinear eacute ou natildeo controlaacutevel O gramiano de observabilidade eacute utilizado para determinar se o sistemalinear eacute ou natildeo observaacutevel

111 Norma infinita Hinfin 85

1101 Norma euclidiana H2 via LMIsBARBOSA (2003) mostra que o problema do caacutelculo da norma H2 pode ser

resolvido como um problema de otimizaccedilatildeo convexa atraveacutes da Equaccedilatildeo 173 com aprecisatildeo desejada

Gωz22 = min

PTrBprimeω middot P middotBω P = P prime gt 0 Aprime middot P + P middot A+ C primez middot Cz lt 0 (173)

111 Norma infinita HinfinSeja o sistema nominal representado na Seccedilatildeo 110 pela equaccedilatildeo 159 com x(0) =

0 e x(t) isin ltn representando o vetor de estados ω(t) isin ltnω o vetor de entrada deperturbaccedilotildees (entradas exoacutegenas) z(t) isin ltnz o vetor de saiacutedas de interesse (saiacutedasmedidas) e A Bω Cz e Dωz satildeo matrizes constantes com dimensotildees apropriadas Entatildeoa matriz de transferecircncia representando o operador perturbaccedilatildeosaiacuteda de interesse nodomiacutenio da frequecircncia neste caso eacute dada por

Gωz = Cz middot (sI minus A)minus1 middotBω +Dωz (174)

Dessa maneira a norma Hinfin de uma funccedilatildeo de transferecircncia Gωz eacute simplesmenteo valor de pico de |Gωz(jω)| ou o maior ganho que o sistema eacute capaz de oferecer ao sinalde entrada Ela eacute representada no caso de sistemas SISO23 pela equaccedilatildeo 175 onde aentrada ω a saiacuteda z e a funccedilatildeo de transferecircncia Gωz satildeo escalares (BARBOSA 2003)

Gωz(s)infin maxω|Gωz(jω)| (175)

No caso de sistemas MIMO24 a ideia de moacutedulo natildeo se aplica e deve ser substituiacutedapela norma espectral da matriz de transferecircncia representada pela equaccedilatildeo 176 Entatildeo anorma Hinfin eacute definida como

Gωz(s)infin supωσGωz(jω) (176)

onde σGωz(jω) denota o valor singular maacuteximo de Gωz(jω) (CRUSIUS 1996)

Segundo SKOGESTAD e POSTLETHWAITE (2001) eacute possiacutevel substituir o siacutembololdquomaxrdquo isto eacute ldquomaacuteximo valorrdquo em 175 por ldquosuprdquo isto eacute ldquoo supremo o limite superiormiacutenimordquo Isso devido ao fato de que o maacuteximo soacute poder ser aproximado na medida emque ω rarrinfin e portanto pode realmente natildeo ser alcanccedilado Eles argumentam finalmente23 Sistemas com apenas uma entrada e apenas uma saiacuteda24 Sistemas com muacuteltiplas entradas e muacuteltiplas saiacutedas

que para os propoacutesitos da engenharia natildeo haacute diferenccedila entre ldquosuprdquo e ldquomaxrdquo Quando seusa os termos norma e controle Hinfin estaacute-se simplesmente falando sobre um meacutetodo deprojeto cujo objetivo eacute fazer com que os picos de uma ou mais funccedilotildees de transferecircnciaescolhidas diminuam

CRUSIUS (1996) sustenta que o caacutelculo da norma infinita no caso das funccedilotildees detransferecircncia natildeo pode ser feito diretamente como no caso da norma H2 mas deve seguirum procedimento iterativo

A versatildeo no domiacutenio do tempo da norma Hinfin surge de acordo com COLMENARESe GONZAacuteLEZ (2005) da aplicaccedilatildeo do Lema 1101 de Parseval na definiccedilatildeo da normaHinfin equaccedilatildeo 176 a qual se traduz pelo maior ganho da resposta em frequecircncia da normaem questatildeo Esta versatildeo eacute representada pela equaccedilatildeo 177

Gωz(s)infin supω 6=0

z(t)2ω(t)2

1111 Norma infinita Hinfin via LMIsPara sistemas nominais SISO pode-se determinar a norma Hinfin atraveacutes da sua

resposta em frequecircncia utilizando o diagrama de Bode para obter o ganho maacuteximodo sistema em relaccedilatildeo a todas as frequecircncias (COLMENARES GONZAacuteLEZ 2005)Todavia para sistemas MIMO essa abordagem eacute complexa prefere-se utilizar a noccedilatildeo dedecomposiccedilatildeo pelo valor singular

Assim em lugar da determinaccedilatildeo do valor exato para a norma Hinfin determina-senumericamente um limitante superior γ para Gωz(s)infin buscando-se a partir de 177 umescalar positivo tal que

Gωz(s)infin lt γ (178)

CRUSIUS (1996) argumentam que encontrar o limitante que satisfaccedila 178 de-nominado o problema Hinfin sub-oacutetimo pode ser resolvido de diversas maneiras incluindoequaccedilatildeo de Riccati matriz Hamiltoniana e LMI CRUSIUS (1996) acrescenta que encontrarum controlador que minimize essa norma eacute denominado de problema oacutetimo Hinfin

OLIVEIRA e PERES (2010) propotildeem a sequecircncia de raciociacutenio que se segue paradeterminar a norma Hinfin atraveacutes de LMI

bull manipulando a equaccedilatildeo 177 vem

Gωz(s)infin = supω 6=0

z(t)2ω(t)2

= supω 6=0

radicradicradicradic intinfin0 z(t)prime middot z(t)dtintinfin0 ω(t)prime middot ω(t)dt lt γ (179)

bull a equaccedilatildeo 179 pode ser reescrita da seguinte forma

int infin0

z(t)prime middot z(t)dt lt2 middotint infin

0ω(t)prime middot ω(t)dt (180)

bull considere que o sistema eacute exponencialmente estaacutevel isto eacute x(infin) = 0 e que ascondiccedilotildees iniciais satildeo nulas isto eacute x(0) = 0

bull considere o problema de determinar uma funccedilatildeo V (x) = x(t)prime middot P middot x(t) onde P eacuteuma matriz simeacutetrica definida positiva tal que

V (x) + z(t)prime middot z(t)minus γ2 middot ω(t)prime middot ω(t) lt 0 (181)

onde V eacute a derivada de V (x) para as trajetoacuterias do sistema Para comprovar 180 eem consequecircncia 179 basta encontrar V (x) que satisfaccedila 181 Integrando 181 nointervalo t isin (0 T ) com T rarrinfin

bull trabalhando a equaccedilatildeo 181 eacute possiacutevel expressaacute-la como uma LMI

V (x) + z(t)prime middot z(t)minus γ2 middot ω(t)prime middot ω(t) =

primemiddot (Aprime middot P + P middot A+ C primez middot Cz) (P middotBω + C primez middotDωz)

(Bprimeω middot P +Dprimeωz middot Cz) minusγ2 middot Inω +Dprimeωz middotDωz

middot x

lt 0 forall x

bull finalmente a expressatildeo anterior pode ser colocada na forma de LMI

(Aprime middot P + P middot A+ C primez middot Cz) (P middotBω + C primez middotDωz)(Bprimeω middot P +Dprimeωz middot Cz) minusγ2 middot Inω +Dprimeωz middotDωz

lt 0 (182)

A LMI 182 recebe o nome de ldquoBounded Real Lemmardquo e eacute uma condiccedilatildeo necessaacuteriae suficiente para 179

bull Isto implica que o valor exato da norma pode ser obtido com a precisatildeo desejadaatraveacutes do problema de otimizaccedilatildeo convexa expresso por 183

minPγ2

P gt 0 (Aprime middot P + P middot A+ C primez middot Cz) (P middotBω + C primez middotDωz)

lt 0(183)

112 Controle robusto H2 para sistema descritorOs sistemas descritores satildeo conhecidos tambeacutem por sistemas com restriccedilotildees algeacute-

bricas ou sistemas singulares (BARBOSA TROFINO 2002) Segundo Lu et al (2009)um sistema descritor descreve melhor os sistemas fiacutesicos do que um sistema em espaccedilode estado Contudo um sistema descritor tem uma estrutura mais complexa do queaquela de um sistema em espaccedilo de estados Isto porque o primeiro usualmente apresentatrecircs tipos de modos quais sejam modos dinacircmicos finitos modos impulsivos e modosestaacuteticos Os sistemas em espaccedilo de estado soacute apresentam os modos dinacircmicos finitos Parasistemas descritores com incertezas parameacutetricas a estabilidade robusta eacute garantida paratodas as incertezas admissiacuteveis atraveacutes de uma condiccedilatildeo de LMI estrita por intermeacutedio daestabilidade quadraacutetica generalizada

BARBOSA e TROFINO (2002) estudam o problema da anaacutelise da estabilidadepara o sistema descritor representado por 184 com incertezas representadas por 186

E middot ξ = A middot ξ (184)

onde ξ isin ltnξ representa o vetor de estados do sistema e A isin ltnξtimesnξ e E isin ltnξtimesnξsatildeo matrizes dinacircmicas do sistema com rankE lt nξ caracterizando a singularidade dosistema

A forma algeacutebrico-diferencial desacoplada com a restriccedilatildeo algeacutebrica eacute dada por185 onde x isin ltn representa os estados e z isin ltl representa as variaacuteveis algeacutebricas dosistema isto eacute algebricamente dependente do estado e J eacute a matriz jacobiana do sistema

x = A1 middot x+ A2 middot z

0 = A3 middot x+ A4 middot z

J = J1 J2

J isin C0 middot[Ji]qi=1

Ji = J1i J2i

J3i J4i

Neste sistema C0 middot[Ji]qi=1

representa o politopo convexo de veacutertices Ji dasincertezas

BARBOSA e TROFINO (2002) argumentam que a anaacutelise da estabilidade desistemas com restriccedilotildees algeacutebricas na forma algeacutebrico-diferencial pode ser feita eliminando-se a variaacutevel algeacutebrica e transformando o sistema algeacutebrico-diferencial em um outro

112 Controle robusto H2 para sistema descritor 89

puramente diferencial de menor dimensatildeo Poreacutem essa abordagem dificulta a consideraccedilatildeode incertezas no modelo por envolver inversatildeo de matrizes com elementos incertos Sea dimensatildeo do problema eacute grande outra dificuldade que pode ocorrer eacute a perda daesparsidade das matriz gerando impacto computacional consideraacutevel Como uma forma deevitar esses problemas BARBOSA e TROFINO (2002) propotildee expressar o problema emLMIs que satildeo trataacuteveis numericamente de maneira eficiente

BARBOSA e TROFINO (2002) considerando que a matriz J4 eacute inversiacutevel e queo sistema eacute admissiacutevel propotildeem a seguinte condiccedilatildeo para a estabilidade do sistemarepresentado por 185 e 186

Definiccedilatildeo 11201 (Estabilidade quadraacutetica para o sistema descritor) O sistemadescritor eacute quadraticamente estaacutevel se existe uma funccedilatildeo v(x) = xprime middot P middot x gt 0 forallx tal quesua derivada temporal para as trajetoacuterias do sistema 185 e 186 satisfaccedila a condiccedilatildeo deestabilidade representada por 187 (BARBOSA TROFINO 2002)

v(x) = x

J prime2 middot P 0

middot x

forall

[J3 J4

]middot

= 0 (187)

Para transformar a condiccedilatildeo de estabilidade 187 em um problema envolvendoapenas uma LMI basta aplicar o Lema de Finsler representado pela Definiccedilatildeo 1827utilizando a condiccedilatildeo ldquoivrdquo conforme mostra o Exemplo 1826

Assim para o sistema nominal com soluccedilatildeo via LMI basta encontrar P tal quesatisfaccedila a seguinte condiccedilatildeo

J prime2 middot P 0

+ L middot[J3 J4

]+[J3 J4

]primemiddot Lprime lt 0

Conforme BARBOSA e TROFINO (2002) para o mesmo sistema e consideradasas incertezas politoacutepicas tem-se que ele eacute quadraticamente estaacutevel e admissiacutevel se existemmatrizes P gt 0 e L tais que a LMI que se segue seja satisfeita para todo i = 1 middot middot middot q

J prime1i middot P + P middot J1i P middot J2i

J prime2i middot P 0

+ L middot[J3i J4i

]+[J3i J4

113 Sistemas Estritamente Reais Positivos - ERP

1131 IntroduccedilatildeoPara uma introduccedilatildeo agrave teoria sobre sistemas Estritamente Reais Positivos nesta

seccedilatildeo considere-se uma planta linear invariante no tempo controlaacutevel e observaacutevel25

representada por 188 (COVACIC 2001 COVACIC et al 2010 COVACIC et al 2010b)

x(t) = A middot x(t) + B middot u(t)

onde x isin ltn eacute o vetor de estado u isin ltm eacute a entrada de controle y isin ltm eacute o vetor desaiacuteda do sistema A isin ltntimesn eacute a matriz caracteriacutestica do sistema B isin ltntimesm eacute a matriz deentrada ou de controle do sistema C isin ltmtimesn eacute matriz de saiacuteda do sistema e D isin ltntimesm eacutematriz de transmissatildeo direta do sistema

Segundo COVACIC (2001) COVACIC (2006) os sistemas ERP se revestem degrande importacircncia no controle de sistemas com incertezas26 e distuacuterbios por causa dadisponibilidade de resultados relevantes sobre a estabilidade desses sistemas ANDERSON(1968) por exemplo mostra que Popov introduziu o conceito de hiperestabilidade parasistemas lineares invariantes no tempo com uma entrada e uma saiacuteda em 1963 Depoisampliou suas ideacuteias mostrando que existe uma equivalecircncia entre sistemas hiperestaacuteveis esistemas que podem ser descritos por uma funccedilatildeo de transferecircncia que eacute real positiva ouseja que hiperestabilidade implica em real positividade

1132 Sistemas hiperestaacuteveis e assintoticamente hiperestaveis

Definiccedilatildeo 1131 (Matriz de Transferecircncia Real Positiva) (ANDERSON 1968) Amatriz de transferecircncia proacutepria racional G(s) isin ltmtimesm da planta 188 eacute Real Positiva (RP)se as seguintes condiccedilotildees satildeo satisfeitas

(a) Os elementos de G(s) natildeo possuem poacutelos com parte real positiva

(b) Glowast(s) = Gprime(slowast) e

(c) A matriz hermitiana J(s) = G(s) +Gprime(slowast) eacute semi-positiva definida em Re(s) gt 0sendo que o asterisco () denota o complexo conjugado de um escalar ou o complexoconjugado transposto de um vetor ou matriz (ANDERSON 1968)

25 Sobre controlabilidade e observabilidade consultar Seccedilatildeo 1526 Sobre sistemas com incertezas consulte Seccedilatildeo 114

113 Sistemas Estritamente Reais Positivos - ERP 91

Definiccedilatildeo 1132 (Matriz de Transferecircncia Estritamente Real Positiva) A matrizde transferecircncia G(s) isin ltmtimesm eacute Estritamente Real Positiva (ERP) se G(s minus ε) for RPpara algum ε gt 0 (KHALIL 2001 COVACIC 2001 COVACIC 2006)

Considere-se novamente a planta linear invariante no tempo controlaacutevel e obser-vaacutevel representada pela Equaccedilatildeo 188 (ANDERSON 1968) tal que para todo T positivo

0uprime(t)y(t)dt lt δ[x(0)] sup

0letleTx(t) (189)

Na Equaccedilatildeo 189 δ eacute uma constante positiva dependente do estado inicial x(0) dosistema poreacutem independente do tempo T e o siacutembolo representa a norma Euclideana

ANDERSON (1968) argumenta que a hiperestabilidade eacute uma propriedade dosistema que requer que o vetor de estado permaneccedila limitado se as entradas u satildeo restritasao subconjunto do conjunto de todas as entradas possiacuteveis Sendo assim o subconjuntodas entradas u eacute definido por aqueles u() que satisfazem a Equaccedilatildeo 189

Definiccedilatildeo 1133 (Sistema Hiperestaacutevel) O sistema 188 eacute dito hiperestaacutevel se paraqualquer u() limitado definido em 189 a seguinte inequaccedilatildeo eacute satisfeita para algumaconstante positiva K e para todo t ge 0 (ANDERSON 1968)

x(t) le K(x(0)+ δ) (190)

Definiccedilatildeo 1134 (Sistema Assintoticamente Hiperestaacutevel) O sistema 188 eacute ditoassintoticamente hiperestaacutevel se para qualquer u() limitado definido em 189 a inequaccedilatildeo190 eacute satisfeita juntamente com (ANDERSON 1968)

limtrarr0

x(t) = 0 (191)

Seja por definiccedilatildeo G(s) = C middot (sI minus A)minus1 middot B + D a matriz de transferecircncia dosistema 188 entatildeo

Lema 1131 (Sistema hiperestaacutevel) A condiccedilatildeo necessaacuteria e suficiente para que osistema 188 seja hiperestaacutevel eacute que G(s) seja RP (ANDERSON 1968)

Lema 1132 (Sistema assintoticamente hiperestaacutevel) A condiccedilatildeo necessaacuteria e su-ficiente para que o sistema 188 seja assintoticamente hiperestaacutevel eacute que G(s) seja ERP(ANDERSON 1968)

1133 Siacutentese de sistemas ERPSistemas Estritamente Reais Positivos (ERP) satildeo sistemas passivos27 realimentados

negativamente com o mesmo nuacutemero de entradas e saiacutedas e que apresentam a propriedadede estabilidade assintoacutetica A condiccedilatildeo necessaacuteria e suficiente para que isso aconteccedila eacuteque todos os zeros de transmissatildeo28 tenham parte real negativa (COVACIC et al 2010COVACIC et al 2012)

Tornar um sistema ERP eacute um processo conhecido como siacutentese ERP Consiste namanipulaccedilatildeo do sistema com o objetivo de colocaacute-lo na forma ERP de tal maneira aaproveitar os resultados sobre a estabilidade destes sistemas De uma maneira resumidatrata-se de encontrar duas matrizes constantes Ko de realimentaccedilatildeo da saiacuteda e F em seacuteriecom a saiacuteda como na Figura 18 tais que o sistema controlado AminusBKoCB FC seja ERP(COVACIC 2006) Na Seccedilatildeo 35 satildeo utilizados os conceitos de siacutentese ERP para encontraruma matriz de realimentaccedilatildeo das saiacutedas de maneira a estabilizar um veiacuteculo sobre rodascom tracionamento diferencial em presenccedila de incertezas parameacutetricas utilizando LMIs

Figura 18 ndash Representaccedilatildeo graacutefica de um sistema com realimentaccedilatildeo da saiacuteda do Problema1131

Fonte (COVACIC 2001 COVACIC 2006)

Para que um sistema de MA x = A middot x seja ERP ele deve obedecer agraves condiccedilotildees doLema 1133

Lema 1133 (Condiccedilatildeo para que um sistema seja ERP) A matriz de transferecircn-cia do sistema 188 com D = 0 G(s) = C middot (sI minus A)minus1 middotB eacute ERP se e somente se existiruma matriz P = P prime tal que (COVACIC 2001 COVACIC 2006)

P middot A+ Aprime middot P lt 027 Sistemas passivos satildeo sistemas independentes de utilizaccedilatildeo de energia externa para o seu controle

Sistemas ativos por outro lado satildeo aqueles que dependem por exemplo de atuadores para seremcontrolados (TORRES 2010)

28 Um zero de transmissatildeo ou simplesmente um zero de um sistema dinacircmico MIMO eacute um valorda variaacutevel da Transformada de Laplace s denominado de frequecircncia generalizada z para o qual aresposta temporal da saiacuteda do sistema eacute zero ou seja y(t) = 0 para t ge 0 para um vetor de entradasdiferente de zero variando segundo u(t) = u0(t) middot exp z middot t (TORRES 2010)

Bprime middot P = C

P gt 0 (192)

1134 Determinaccedilatildeo da matriz de realimentaccedilatildeo que torna o sistema ERPCOVACIC (2006) baseando-se no Lema 1133 considerando a planta 188 com

D = 0 e sendo x isin ltn o vetor de estado u isin ltm a entrada de controle y isin ltp o vetorde saiacuteda do sistema A isin ltntimesn a matriz caracteriacutestica do sistema B isin ltntimesm a matriz deentrada ou de controle do sistema e C isin ltptimesn a matriz de saiacuteda do sistema com p ge mposto(C) = p e posto(B) = posto(CB) = m propotildee o Problema 1131 que se segue

Problema 1131 (Determinar F Ko para sistema ERP) Dada a planta ABC

linear invariante no tempo controlaacutevel e observaacutevel com posto(C) = p e posto(B) =posto(CB) = m obtenha as condiccedilotildees necessaacuterias eou suficientes usando LMIs para aexistecircncia de matrizes constantes F e Ko isin ltmtimesp para que o sistema descrito na Figura18 seja ERP

1135 Sistemas com realimentaccedilatildeo da saiacuteda e mesmo nuacutemero de entradas esaiacutedas

Considere-se em primeiro lugar sistemas com realimentaccedilatildeo da saiacuteda e com omesmo nuacutemero de entradas e saiacutedas (m = p) A soluccedilatildeo do Problema 1131 eacute obtida como uso do Lema 1134 (COVACIC 2001 COVACIC 2006)

Lema 1134 (Soluccedilatildeo para 1131 com m = p) O Problema 1131 tem soluccedilatildeo se esomente se existirem matrizes P = P prime R e F tais que

P middot A+ Aprime middot P minus C prime middot (R +Rprime) middot C lt 0 (193)

Bprime middot P = F middot C (194)

P gt 0 (195)

Aleacutem disso quando 193-195 satildeo satisfeitas entatildeo uma matriz Ko obtida pela expressatildeo

Ko = (F prime)minus1 middotR (196)

torna o sistema da Figura 18 com entrada U(s) e saiacuteda Y (s) ERP (ANDERSON 1968COVACIC 2001 COVACIC 2006)

Prova 1131 A partir do Lema 1133 o sistema descrito na Figura 18 com entradaU(s) e saiacuteda Y (s) eacute ERP se e somente se existirem matrizes P = P prime Ko e F tais que

P middot (AminusB middotKo middot C) + (AminusB middotKo middot C)prime middot P lt 0 (197)

P gt 0 (199)

Substituindo 198 em 197 e definindo R = F prime middotKo tem-se

P middot A+ Aprime middot P minus C prime middot F prime middotKo middot C minus C prime middotKprime

o middot F middot C lt 0

que corresponde agrave equaccedilatildeo 193

Considerando a Equaccedilatildeo 194 como posto(B) = m entatildeo Bprime middot P middotB = F middot C middotBtem posto m Portanto F isin ltmtimesm tambeacutem tem posto m e assim (F prime)minus1 existe Entatildeo seo sistema mostrado na Figura 18 for ERP 193-195 satildeo factiacuteveis e se 193-195 foremfactiacuteveis o sistema na Figura 18 eacute ERP para Ko dado em 196 (COVACIC 2001)

Observaccedilatildeo 1131 Segundo (GAHINET et al 1995) se as LMIs dadas em 193-195 fo-rem factiacuteveis elas podem ser facilmente resolvidas utilizando-se programas computacionaisdisponiacuteveis como o Matlabreg

1136 Sistemas com realimentaccedilatildeo da saiacuteda e nuacutemeros diferentes de entradase saiacutedas

Seja a planta 188 com D = 0 onde x isin ltn eacute o vetor de estado u isin ltm a entradade controle y isin ltp o vetor de saiacuteda do sistema A isin ltntimesn a matriz caracteriacutestica dosistema B isin ltntimesm a matriz de entrada ou de controle do sistema e C isin ltptimesn a matrizde saiacuteda do sistema Seja ainda p gt m posto(C) = p e posto(B) = posto(CB) = m

COVACIC (2006) Dessa maneira fazendo-se inicialmente a dimensatildeo do vetor de saiacutedaigual a dimensatildeo do vetor de estado (p = n) propotildee-se entatildeo a soluccedilatildeo do Problema1131 atraveacutes do uso do Lema 1135 (COVACIC 2006)

Lema 1135 (Soluccedilatildeo para 1131 com m 6= p) O Problema 1131 com p = n temsoluccedilatildeo se e somente se existirem matrizes X = X prime R e F tais que satisfaccedilam agraves seguintesLMIs

A middotX +X middot Aprime minusB middotRminusRprime middotBprime lt 0 (1101)

X gt 0 (1102)

Neste caso as matrizes F e Ko podem ser obtidas por (COVACIC 2006)

F = Bprime middotXminus1 middot Cminus1 (1103)

Ko = R middotXminus1 middot Cminus1 (1104)

P gt 0 (1107)

Definindo-se X = Pminus1 tecircm-se de 1105-1107

(AminusB middotKo middot C) middotX +X middot (AminusB middotKo middot C)prime lt 0 (1108)

Bprime = F middot C middotX (1109)

X gt 0 (1110)

As LMIs 1102 e 1110 satildeo equivalentes Definindo-se em 1108 R = Ko middotC middotX obteacutem-sea LMI 1101 Como as matrizes C e X satildeo inversiacuteveis as matrizes F e Ko podem serobtidas atraveacutes das equaccedilotildees 1103 e 1104

A middotX +X middot Aprime minusB middotRminusRprime middotBprime lt 0

X gt 0 (1111)

e as matrizes F e Ko seratildeo obtidas das equaccedilotildees 1112 e 1113

114 Sistemas com incertezas limitadas em normaSabe-se que os modelos matemaacuteticos satildeo na verdade aproximaccedilotildees do SFR Assim

o esquema de controle baseado num modelo que apresenta incertezas seraacute tanto maiseficiente quanto mais proacuteximo do SFR (LOPES 2011) Todavia quanto mais proacuteximoum modelo estaacute do SFR mais complexo ele se torna Os sistemas dinacircmicos apresentamincertezas originaacuterias de vaacuterias fontes tais como desconhecimento de paracircmetros (cons-tantes variantes no tempo ou conhecidos com imprecisatildeo) e desconhecimento de entradasdo sistema (COVACIC 2001) Aleacutem disso haacute duas classes conhecidas de sistemas ospassivos independentes de utilizaccedilatildeo de energia externa para o seu controle e os ativosque dependem por exemplo de atuadores para serem controlados (TORRES 2010)

Considere-se a planta representada pela Equaccedilatildeo 1114

x = (A+ δA) middot x+ (B + δB) middot u (1114)

onde as matrizes com incertezas satildeo dadas pelas equaccedilotildees 1115

δA = L middot∆ middotRA

δB = L middot∆ middotRB

∆ middot∆prime le I (1115)

As matrizes RA isin ltmtimesn RB isin ltmtimesm e L isin ltntimesm satildeo determinadas algebri-camente29 de modo que atendam agraves expressotildees da Equaccedilatildeo 1114 para δA isin ltntimesn eδB isin ltntimesm dadas na Equaccedilatildeo 1115 ∆ isin ltmtimesm eacute a matriz diagonal das incertezascontendo os paracircmetros incertos normalizados na diagonal principal sendo que o moacutedulode cada um deles eacute menor ou igual a 1

O Lema 1141 estabelece uma condiccedilatildeo suficiente para a estabilidade do sistemaem MA representado pela Equaccedilatildeo 1114 com as matrizes incertas dadas em 1115 eu = 0 ou seja entrada nula

Lema 1141 (Estabilidade com Incertezas MA) (LU et al 2009) A planta 1114com u = 0 eacute estaacutevel para quaisquer matrizes δA e δB definidas em 1115 se existir umamatriz X = X prime e uma constante real ε que atendam agraves seguintes condiccedilotildees

A middotX +X middot Aprime + ε middot L middot Lprime X middotRprimeA

RA middotX minusε middot I

X gt 0 (1116)29 A determinaccedilatildeo das matrizes RA isin ltmtimesn RB isin ltmtimesm e L isin ltntimesm estaacute detalhada no Apecircndice F

114 Sistemas com incertezas limitadas em norma 97

Prova 1141 De acordo com o segundo meacutetodo de Lyapunov a planta 1114 com u = 0e δA definida em 1115 e eacute assintoticamente estaacutevel se e somente se existir uma matrizX = X prime tal que

(A+ L middot∆ middotRA) middotX +X middot (A+ L middot∆ middotRA)prime =

A middotX +X middot Aprime + L middot∆ middotRA middotX +X middotRA middot∆prime middot Lprime lt 0

X gt 0 (1117)

Para qualquer ∆ tal que ∆ middot∆prime le I de acordo com o Lema 3 de Lu et al (2009)a LMI 1117 eacute satisfeita se existir um escalar ε gt 0 tal que

A middotX +X middot Aprime + ε middot L middot Lprime + εminus1 middotX middotRprime

A middotRA middotX lt 0

isto eacute

minus(A middotX +X middot Aprime + ε middot L middot Lprime)minus (minusX middotRprime

A) middot (ε middot I)minus1 middot (minusRA middotX) gt 0 (1118)

Como ε gt 0 de acordo com o complemento de Schur mostrado em 183 (BOYDet al 1994) a LMI 1118 eacute equivalente agrave

minus(A middotX +X middot Aprime + ε middot L middot Lprime) minus(X middotRprimeA)

minus(RA middotX) ε middot I

que corresponde agrave Equaccedilatildeo 1116

Seja agora a planta dada pela Equaccedilatildeo 1114 com as matrizes δA e δB dadaspela Equaccedilatildeo 1115 e a lei de controle com realimentaccedilatildeo de estados dada pela Equaccedilatildeo1119

u = minusK middot x (1119)

Assim considerando as equaccedilotildees 1114 e 1115 o sistema realimentado com a leide controle representada pela Equaccedilatildeo 1119 eacute definido pela Equaccedilatildeo 1120

x = [(AminusB middotK) + L middot∆ middot (RA minusRB middotK)] middot x (1120)

O Lema 1142 a seguir corresponde ao Lema 1141 poreacutem aplicado ao sistemade MF e estabelece uma condiccedilatildeo suficiente para a estabilidade do sistema realimentado

dado pela Equaccedilatildeo 1120 com as matrizes incertas dadas pela Equaccedilatildeo 1115 e entradarepresentada pela Equaccedilatildeo 1119

Lema 1142 (Estabilidade com Incertezas MF) O sistema 1120 eacute estaacutevel paraquaisquer matrizes δA e δB definidas em 1115 se existirem matrizes X = X prime e W

e uma constante real ε que atendam agraves seguintes condiccedilotildees

A middotX +X middot Aprime minusB middotW minusW prime middotBprime + ε middot L middot Lprime X middotRprimeA minusW prime middotRprime

RA middotX minusRB middotW minusε middot I

X gt 0 (1121)

A partir da soluccedilatildeo a matriz K eacute dada por K = W middotXminus1

Prova 1142 De acordo com o segundo meacutetodo de Lyapunov a planta realimentada dadapela Equaccedilatildeo 1120 com δA e δB definidas na Equaccedilatildeo 1115 eacute assintoticamente estaacutevelse e somente se existir uma matriz X = X prime e uma matriz W tal que satisfaccedila a Equaccedilatildeo1122

[(AminusB middotK) + L middot∆ middot (RA minusRB middotK)] middotX +X middot [(AminusB middotK) + L middot∆(RA minusRB middotK)]prime

= A middotX minusB middotK middotX + L middot∆ middotRA middotX minus L middot∆ middotRB middotK middotX +X middot Aprime minusX middotK prime middotBprime+

X middotRprime

A middot∆prime middot Lprime minusX middotK prime middotRprime

B middot∆prime middot Lprime lt 0

X gt 0 (1122)

Substituindo K middotX por W e X middotK prime por W prime em 1122 tem-se

[(AminusB middotK) + L middot∆ middot (RA minusRB middotK)] middotX +X middot [(AminusB middotK) + L middot∆ middot (RA minusRB middotK)]prime

= A middotXminusB middotK middotX+L middot∆ middotRA middotXminusL middot∆ middotRB middotK middotX+X middotAprimeminusX middotK prime middotBprime+X middotRprime

A middot∆prime middotLprimeminus

X middotK prime middotRprime

X gt 0 (1123)

Para qualquer ∆ tal que ∆∆prime le I de acordo com o Lema 3 de Lu et al (2009) aLMI representada pela Equaccedilatildeo 1123 eacute satisfeita se existir um escalar ε gt 0 tal que

115 Controle de sistemas com taxa de decaimento e restriccedilatildeo de saiacuteda 99

A middotX +X middot Aprime minusB middotW minusW prime middotBprime + ε middot L middot Lprime+

εminus1(X middotRprime

A minusW prime minusRprime

B)(RA middotX minusRB middotW ) lt 0

isto eacute

minus(A middotX +X middot Aprime minusB middotW minusW prime middotBprime + ε middot L middot Lprime)minus[minus(X middotRprime

A minusW prime middotRprime

B)]middot (εminus1) middot [minus(RA middotX minusRB middotW )] gt 0 (1124)

Segundo BOYD et al (1994) como ε gt 0 e considerando o complemento de Schurmostrado em 183 a LMI representada pela Equaccedilatildeo 1124 eacute equivalente a

minus(A middotX +X middot Aprime minusW prime middotBprime minusB middotW + ε middot L middot Lprime) minus(X middotRprimeA minusW prime middotRprime

B)minus(RA middotX minusRB middotW ) ε middot I

(1125)

115 Controle de sistemas com taxa de decaimento e restriccedilatildeo desaiacuteda

De acordo com BOYD et al (1994) anaacutelises de estabilidade e projetos de controlede sistemas descritos por LMIs permitem a introduccedilatildeo de outros iacutendices de desempenhono projeto do controlador Entre eles por exemplo a especificaccedilatildeo da resposta transitoacuteriaatraveacutes da taxa de decaimento (γ) que permite uma resposta transitoacuteria mais raacutepida e aespecificaccedilatildeo de restriccedilotildees (micro λ) nos sinais de controle e nas saiacutedas dos sistemas sendoque essas restriccedilotildees atuam como um limitante superior para a amplitude desses sinais(GAINO 2009)

BUZACHERO (2010) argumenta que a magnitude dos controladores projetadospode prejudicar a implementaccedilatildeo praacutetica dos mesmos sendo necessaacuteria uma minimizaccedilatildeodos ganhos do controlador para viabilizar sua implementaccedilatildeo isto eacute a otimizaccedilatildeo danorma de K Jaacute pelo fato de que o tempo de estabilizaccedilatildeo do sistema possa ser maior doque aquele especificado no projeto haacute a necessidade de restriccedilotildees nas LMIs que limitem ataxa de decaimento obtidas com a inserccedilatildeo do paracircmetro γ nas LMIs

COVACIC et al (2012) afirmam que haacute a necessidade de manter a amplitudede alguns sinais de um SFR dentro de uma faixa de valores segura por causa das suaslimitaccedilotildees que satildeo representadas por saturaccedilotildees nos atuadores ou o risco de danificaccedilatildeo nos

sensores Por outro lado os sinais de amplitudes pequenas apresentam energias menoresPor isso em muitas aplicaccedilotildees algumas entradas e saiacutedas devem ser incluiacutedas no projetodo controle

BOYD et al (1994) BUZACHERO (2010) definem a taxa de decaimento parasistemas com realimentaccedilatildeo de estados como a maior constante positiva γ tal que

limtrarrinfin

exp (γt) middot x(t) = 0 (1126)

e que se mantenha para todas as trajetoacuterias x(t) t gt 0

BUZACHERO (2010) mostra que eacute possiacutevel utilizar a funccedilatildeo quadraacutetica de Lyapu-nov 139 e estabelecer um limite inferior sobre a taxa de decaimento do sistema controladoatraveacutes dela de tal maneira que

V (x(t)) lt 2 middot γ middot V (x(t)) (1127)

Um sistema que apresenta um desempenho robusto deve ser capaz de manter seudesempenho mesmo em presenccedila de perturbaccedilotildees ou distuacuterbios de ruiacutedos e de incertezasDentre os vaacuterios tipos de incertezas existentes seratildeo consideradas as incertezas limitadasem norma Nesse tipo representado pela matriz ∆ a uacutenica informaccedilatildeo que se tem sobre aincerteza estaacute na sua norma Nesse caso a incerteza representada pela matriz ∆ atua nasmatrizes que definem as equaccedilotildees do espaccedilo de estado do sistema Todavia natildeo eacute conhecidoo quanto seus elementos satildeo afetados pela incerteza (REGIS FILHO 2004) A norma H2

da perturbaccedilatildeo por exemplo pode ser calculada por ∆2 =radicλmax middot (∆prime middot∆) isto eacute a

raiz quadrada do maacuteximo valor de (∆prime middot∆) (REGIS FILHO 2004)

Considere-se y(t) = C middot x(t) assumindo que a condiccedilatildeo inicial x(0) eacute conhecidae que as LMIs 1129 e 1130 satildeo factiacuteveis quando a restriccedilatildeo representada pela Equaccedilatildeo1128 eacute imposta para todo tempo t ge 0 Entatildeo o estudo de estabilidade assintoacutetica dosistema 1114 com saiacuteda limitada se obteacutem adicionando as LMIs 1129 e 1130 agraves LMIs1121 do Lema 1142 mantendo-se X = X prime gt 0 como indicado em (REGIS FILHO 2004GAINO 2009 COVACIC et al 2012)

max y(t)2 = maxradicyprime(t) middot y(t) le λ0 (1128)

A condiccedilatildeo da restriccedilatildeo estabelecida na Equaccedilatildeo 1128 eacute atendida se as LMIs 1129e 1130 satildeo satisfeitas

1 xprime(0)x(0) X

ge 0 (1129)

116 Conclusatildeo Parcial Capiacutetulo 1 101

X X middot C prime

C middotX λ02 middot I

ge 0 (1130)

116 Conclusatildeo Parcial Capiacutetulo 1O conhecimento cientiacutefico e teacutecnico acumulado sobre a questatildeo do projeto de

controladores robusto eacute vasto Na realidade cada vez mais acelera-se a obtenccedilatildeo denovos avanccedilos Procurou-se inicialmente situar o leitor no desenvolvimento histoacuterico damodelagem simulaccedilatildeo e controle a fim de construir uma pequena base para a introduccedilatildeodos conceitos sobre a modelagem no espaccedilo de estados de sistemas dinacircmicos

Tendo em vista que o grande desafio eacute o tratamento dos sistemas natildeo-linearesde abordagem complexa buscou-se introduzir as teacutecnicas de linearizaccedilatildeo de sistemaspara simplificaccedilatildeo da abordagem A partir do meacutetodo da expansatildeo em seacuterie de Taylorprogride-se para o meacutetodo indireto de Lyapunov com o objetivo de discutir o meacutetodopara determinar a estabilidade de um sistema Trecircs lemas baacutesicos sobre o equiliacutebrio dossistemas satildeo analisados equiliacutebrio assintoticamente estaacutevel equiliacutebrio instaacutevel e equiliacutebriomarginalmente estaacutevel

O conceito baacutesico que permite aos cientistas e engenheiros de controle grandesprogressos eacute o da estabilidade de pontos de equiliacutebrio no sentido de Lyapunov As formascanocircnicas observaacutevel e controlaacutevel das plantas lineares na abordagem por alocaccedilatildeo de polose por equaccedilotildees de estado satildeo estudadas de maneira concisa Um exemplo de aplicaccedilatildeo dosconceitos eacute proposto e resolvido com auxiacutelio do ambiente do Matlabreg

Uma das primeiras estrateacutegias de controle surgidas na engenharia o uso de con-troladores do tipo Proporcional-Integral-Derivativo eacute introduzida O conceito de funccedilatildeode erro eacute comentado e uma planta em MF eacute mostrada atraveacutes da teacutecnica de diagrama deblocos Os princiacutepios das accedilotildees Proporcional Integral e Derivativa satildeo vistos de maneiraraacutepida Esses conceitos seratildeo utilizados no projeto de controle de um veiacuteculo sobre rodascom tracionamento diferencial (VRTD) A seguir a modelagem dinacircmica simplificadado VRTD utilizando equaccedilotildees de estados eacute proposta Os paracircmetros com seus valoresutilizados no modelo satildeo apresentados

Um estudo mais detalhado da teacutecnica matemaacutetica a ser utilizada em toda adissertaccedilatildeo eacute apresentado Trata-se das Desigualdades Matriciais Lineares ou como satildeomais conhecidas LMIs Uma breve perspectiva histoacuterica do desenvolvimento da teacutecnicade LMIs eacute abordada Nesse ponto eacute identificada aquela que seria conhecida como aprimeira LMI proposta a desigualdade de Lyapunov Alguns exemplos de determinaccedilatildeoda estabilidade de sistemas utilizando LMIs em ambiente Matlabreg satildeo resolvidos e seusresultados comparados Os exemplos satildeo resolvidos utilizando o LMI Robust ControlToolbox e o SeDuMi com a interface Yalmip para o LMILab Algumas propriedades

mais importantes das LMIs satildeo vistas alguns teoremas importantes avaliados e maisexemplos satildeo abordados O conceito de politopo e sua importacircncia no estudo de sistemasdinacircmicos incertos satildeo discutidos Alguns exemplos de problemas satildeo vistos com a finalidadede exemplificar os conceitos vistos Os dois uacuteltimos conceitos bastante utilizados nastransformaccedilotildees de equaccedilotildees para desigualdades satildeo postos S-procedure para formasquadraacuteticas e desigualdades estritas e Lema de Finsler Esta seccedilatildeo finaliza com algunsexemplos de aplicaccedilatildeo desses princiacutepios a sistemas incertos e estabilidade quadraacutetica

Considerando que as normas de vetores e matrizes seratildeo bastante utilizadas nadissertaccedilatildeo uma seccedilatildeo mais detalhada eacute dedicada ao assunto Normas de vetores e matrizessatildeo avaliadas O Teorema de Parseval eacute introduzido e sua relaccedilatildeo em termos de energia deum sinal com as normas H2 e Hinfin eacute estabelecida As normas H2 e Hinfin satildeo estabelecidasvia LMIs

Uma breve introduccedilatildeo sobre controle robusto H2 para sistema descritor eacute apresen-tada Tendo em vista que o desenvolvimento dos controladores nos proacuteximos capiacutetuloslidaratildeo com incertezas parameacutetricas eacute dedicada uma seccedilatildeo detalhada sobre sistemas comincertezas limitadas em norma A estabilidade da planta em MA e MF satildeo vistas Ocontrole de sistemas com taxa de decaimento e restriccedilatildeo de saiacuteda satildeo abordados tendo emvista a utilizaccedilatildeo no desenvolvimento do controle do acircngulo de posiccedilatildeo do joelho de umpaciente parapleacutegico

Finalmente uma seccedilatildeo detalhada tambeacutem eacute dedicada aos Sistemas EstritamenteReais (ERP) uma vez que esses conceitos seratildeo o ponto focal de utilizaccedilatildeo no problema docontrole do acircngulo da posiccedilatildeo do joelho do paciente parapleacutegico

2 Controlador PI para um modelo linear sim-plificado da cadeira de rodas

A partir de SOBRINHO et al (2003) SOBRINHO et al (2000) Ferreira Cervantese Germanovix (2008) eacute possiacutevel descrever uma visatildeo global do desenvolvimento do projetode controle do modelo de uma cadeira de rodas controlada por sopro e succcedilatildeo Apoacutes acontextualizaccedilatildeo e definiccedilatildeo do problema a ser tratado o modelo dinacircmico simplificado doVRTD eacute adotado como modelo da cadeira de rodas dando enfoque na parte de baixo niacutevelda planta A planta eacute entatildeo estabilizada utilizando-se controladores PI e P (SOBRINHOet al 2000) Finalmente o modelo dinacircmico simplificado da cadeira de rodas eacute transferidopara um diagrama de blocos e simulado em ambiente Simulinkreg

21 Contextualizaccedilatildeo e definiccedilatildeo do problemaSegundo GIL (2002) cerca de trecircs por cento da populaccedilatildeo brasileira eacute portadora

de deficiecircncia motora Tendo em vista que o Censo de 2010 (IBGE 2010) apontou que apopulaccedilatildeo do Brasil neste ano era de 190732694 de pessoas conclui-se que 5721980 depessoas no Brasil sofrem de restriccedilotildees em relaccedilatildeo agrave mobilidade e independecircncia (SIQUEIRAet al 2009) Essa situaccedilatildeo tende a piorar na medida em que a expectativa de vida dobrasileiro continua a aumentar De acordo com GAIER (2010) esta expectativa era daordem de 732 anos em 2010 Uma cadeira de rodas com controle colaborativo de baixocusto permitiria ao deficiente ganhar mobilidade de maneira segura e independente Estanecessidade se torna mais aguda quando se sabe que 747 das Unidades Baacutesicas de Sauacutedeno Brasil natildeo dispotildeem de cadeira de rodas (SIQUEIRA et al 2009)

O Departamento de Engenharia Eleacutetrica da Universidade Estadual de Londrinadesenvolveu o protoacutetipo da cadeira de rodas mostrada na Figura 19 que utiliza um controlecolaborativo onde o cadeirante interage com a cadeira atraveacutes de sopros e succcedilotildees paraalcanccedilar o ponto desejado na trajetoacuteria Trata-se de uma cadeira de rodas com acionamentodiferencial nas duas rodas traseiras controlado por um computador embarcado o que lheconfere a capacidade de movimentaccedilatildeo autocircnoma

A cadeira utilizada pela UEL segue os padrotildees normalmente apresentados pelainduacutestria que consiste de uma plataforma retangular baseada em quatro rodas (MAZOet al 1995) duas rodas livres (denominadas rodas castores) e duas rodas independentesde acionamento Cada roda de acionamento utiliza um motor DC [24V 9A] e a fonte depotecircncia consiste de uma bateria de 24[V ] As duas rodas de acionamento devem estar tatildeolonge quanto possiacutevel uma da outra pelas seguintes razotildees

104 Capiacutetulo 2 Controlador PI para um modelo linear simplificado da cadeira de rodas

Figura 19 ndash Protoacutetipo da cadeira de rodas controlada da UELCTU Departamento deEngenharia Eleacutetrica

Fonte (FERREIRA CERVANTES GERMANOVIX 2008)

bull A estabilidade estaacutetica e dinacircmica da cadeira de rodas eacute melhorada

bull A influecircncia da resoluccedilatildeo do codificador sobre o erro de orientaccedilatildeo da cadeira derodas eacute diminuiacuteda e

bull Durante os movimentos em linha reta perturbaccedilotildees mecacircnicas e eleacutetricas faratildeo comque os motores funcionem em velocidades angulares diferentes resultando numatrajetoacuteria temporariamente encurvada Eacute conhecido pela trigonometria que o raio datrajetoacuteria curva eacute diretamente proporcional agrave distacircncia entre as rodas de acionamento

No protoacutetipo da cadeira de rodas descrito aqui a distacircncia entre as duas rodas deacionamento eacute de 700mm O raio das rodas de acionamento eacute de 300mm e a distacircnciaentre o eixo das rodas de acionamento e o eixo das rodas castores eacute de 500mm

Vaacuterios tipos de interface homem-maacutequina podem ser construiacutedos a fim de permitirao usuaacuterio o controle da cadeira (MAZO et al 1995 SOBRINHO et al 2003) Poreacutemalgumas dessas interfaces satildeo mais onerosas do que outras Um exemplo desse tipo deinterface eacute o proposto por MAZO et al (1994) que consiste em trecircs modos de dirigircombinados num mesmo sistema de controle que satildeo

bull Comandos orais ldquoControle por vozrdquo O sistema de sensor da cadeira atua comosistema de seguranccedila

bull Direccedilatildeo autocircnoma ldquoControle autocircnomordquo Nesse modo a cadeira segue as paredese utiliza a informaccedilatildeo proveniente dos sensores de infravermelho e ultrassom Avelocidade linear eacute modificada com comandos orais e

bull Joystick ldquoControle manualrdquo

21 Contextualizaccedilatildeo e definiccedilatildeo do problema 105

Quanto agrave facilidade de manobra eacute preciso lembrar que alguns tipos de deficiecircn-cias com um alto grau de dano na medula espinhal ou tetraplegia apresentam comoconsequecircncia uma perda de habilidade para operar uma cadeira de rodas por exemploatraveacutes de joystick (FERREIRA CERVANTES GERMANOVIX 2008) Isso ensejouo desenvolvimento de um projeto para a disponibilizaccedilatildeo de ldquouma alternativa de baixocusto a ser aplicada na aacuterea meacutedica em casos de pacientes possuidores de paralisiaspermanentes ou temporaacuterias dos membros inferiores e superioresrdquo (SOBRINHO et al2000) Os comandos para controle de trajetoacuteria da cadeira de rodas devem ser obtidosatraveacutes da utilizaccedilatildeo de sopros e succcedilotildees pelo cadeirante O sistema de controle estaacutedividido nos seguintes subsistemas Unidade de Disparo Unidade de Controle Unidadede Traccedilatildeo lsquomotor DCrsquo e Unidade Direcionamento Na Unidade de Disparo o transdutorutilizado para gerar os sinais de comando eacute constituiacutedo por um LVDT O componenteprincipal da Unidade de Controle eacute um Conjunto Processador que recebe os sinais deentrada provenientes do LVDT e envia os sinais adequados para a Unidade de Traccedilatildeo eUnidade de Direcionamento

Segundo Ferreira Cervantes e Germanovix (2008) especial atenccedilatildeo deve ser dadaagrave forma como o cadeirante interage com o veiacuteculo A interface deveraacute ter as seguintescaracteriacutesticas

ldquoEntre os fatores mais importantes estatildeo a facilidade de uso e a conveniecircncia nocontrole A operaccedilatildeo do dispositivo deve ser faacutecil de aprender e exigir o miacutenimoesforccedilo por parte do usuaacuterio O dispositivo deveraacute ser pequeno natildeo obstruiacutevelbaixo custo e natildeo ou minimamente invasivo ldquoFerreira Cervantes e Germanovix(2008 apud KRISHNAMURTHY GHOVANLOO 2006)rdquo Finalmente um fatorque eacute frequentemente negligenciado eacute que o dispositivo deveraacute ser esteticamenteaceitaacutevel A pessoa deficiente quer ser aceita e despertar atenccedilatildeo especialrdquo(FERREIRA CERVANTES GERMANOVIX 2008)

No controle colaborativo eacute preciso levar em conta as advertecircncias de FerreiraCervantes e Germanovix (2008) no sentido de que o compartilhamento de tarefa entre ohomem e a maacutequina deve ser tal que natildeo crie constrangimento para o homem Eacute necessaacuterioque haja um balanceamento adequado autonomia da cadeira inteligente e a autonomia dousuaacuterio A introduccedilatildeo do automatismo no sistema homem-maacutequina deve ser feita de talmaneira a incrementar a seguranccedila do deslocamento sem coibir o usuaacuterio de se aproximarde locais de seu interesse

Conforme MAZO et al (1994) ZHANG et al (1998) o protoacutetipo da cadeira derodas utilizado no laboratoacuterio da UEL pode ser estudado atraveacutes do modelo dinacircmicolinear simplificado de um VRTD como o representado graficamente na Figura 16

22 Modelo Simulinkreg da estabilizaccedilatildeo da cadeira de rodas comcontrolador P e PIA Figura 20 mostra o diagrama de blocos do sistema de controle de uma cadeira

de rodas guiada por uma interface homem-maacutequina que eacute uma combinaccedilatildeo de comandosorais direccedilatildeo autocircnoma e controle manual A figura mostra tambeacutem um diagrama deblocos integrando todos os componentes do controle da cadeira de rodas

Figura 20 ndash Diagrama de blocos do sistema de controle da cadeira de rodas guiada porum interface homem-maacutequina com trecircs possibilidade de comandos de direccedilatildeooral autocircnomo e manual

Fonte Adaptado de (MAZO et al 1994)

221 Funcionamento dos controladores P e PI no diagrama da Figura 20A cadeira utilizada por MAZO et al (1994) estaacute equipada com oito sensores de

ultrassom distribuiacutedos nos quatro lados da cadeira e um sensor infravermelho na frenteda cadeira Os sensores de ultrassom seguem as paredes ao longo do movimento paradistinguir os objetos-obstaacuteculos

A cadeira apresenta uma interface constituiacuteda por trecircs tipos diferentes de de entradade comando do sistema comando por voz comando por joystick e movimento autocircnomocontrolado por sensores Conforme pode ser verificado atraveacutes da Figura 20 MAZO etal (1994) introduzem na planta o vetor dos valores de referecircncia da velocidade angular evelocidade linear

[Ωref Vref

]prime

A entrada do bloco de soluccedilatildeo direta ~ω =[ωr ωl

]prime eacute fornecida pelo subsistema

codificador-sensor que lecirc o vetor dos valores das velocidades angulares das rodas deacionamento direita ωr e esquerda ωl A saiacuteda do bloco ldquoSoluccedilatildeo Direta Percebidardquo[

Ω V]prime eacute comparada com o vetor de referecircncia

[Ωref Vref

]prime O erro entre valores

multiplicado pelo ganho proporcional Kp do controlador P eacute entrada para o bloco

22 Modelo Simulinkreg da estabilizaccedilatildeo da cadeira de rodas com controlador P e PI 107

ldquoSoluccedilatildeo Inversa Atuadardquo que fornece um vetor de velocidades angulares de referecircncia queeacute comparado com o vetor das velocidades angulares das rodas lido ~ω =

[ωr ωl

]prime O

erro dessas leituras constitui-se na entrada do controlador PI que atua sobre esse sinalatraveacutes do ganho proporcional KP e integral 1TI O sinal do controlador PI atua entatildeosobre os motores buscando a estabilidade do sistema1

222 Modelo Simulinkreg da estabilizaccedilatildeo da cadeira de rodasAdmita-se como suposiccedilatildeo simplificadora que a funccedilatildeo de transferecircncia do ldquobloco

do sensorrdquo eacute 1 Entatildeo o diagrama de blocos para utilizaccedilatildeo no ambiente do Matlabreg-Simulinkreg corresponde ao lado direito do bloco ldquoseleccedilatildeo de controlerdquo no diagrama deblocos da Figura 20 Esse diagrama eacute representado na Figura 21 onde estatildeo destacados osparacircmetros e variaacuteveis envolvidos no modelo

Figura 21 ndash Diagrama de blocos do sistema de controle da cadeira de rodas com indicaccedilatildeodos paracircmetros e variaacuteveis do modelo

Na Figura 21 estaacute destacado o ldquoModelo Diretordquo (SOBRINHO et al 2003) querecebe como entrada o vetor ~ω =

[ωr ωl

]primee fornece na saiacuteda o vetor ~v =

]prime

Esse segmento do modelo corresponde ao bloco da ldquoSoluccedilatildeo Inversa Atuadardquo da Figura1 Sobre o funcionamento do controlador P PI e PID consultar a Seccedilatildeo 16

Figura 22 ndash Diagrama de blocos do sistema de controle da cadeira de rodas com valoresnumeacutericos para simulaccedilatildeo

20 Tambeacutem estaacute destacado o ldquoModelo Inversordquo que recebe como entrada ~v =[

Ω V]prime

e fornece como saiacuteda ~ω =[ωr ωl

]prime Esse segmento do modelo corresponde ao bloco

ldquoSoluccedilatildeo Direta Percebidardquo (MAZO et al 1994) Substituindo os valores da Tabela 1 nodiagrama de blocos da Figura 21 obteacutem-se o diagrama de blocos da Figura 22

Para os detalhes do funcionamento dos controladores P PI e PID sugere-se aconsulta das Seccedilotildees 16 e 22

23 Modelo no Espaccedilo de Estados da estabilizaccedilatildeo da cadeira derodas com controlador PI e P

A partir do diagrama da Figura 21 segue-se uma anaacutelise em MF da estabilizaccedilatildeoda cadeira de rodas que jaacute inclui os controladores P e PI com seus ganhos Aleacutem dissoleva-se em consideraccedilatildeo todos os paracircmetros envolvidos na modelagem da cadeira de rodaspode-se determinar as matrizes de estado 21 22 23 e 24 que satisfazem as equaccedilotildees de

23 Modelo no Espaccedilo de Estados da estabilizaccedilatildeo da cadeira de rodas com controlador PI e P 109

estado 25 e 26 (SOBRINHO et al 2003)

minusK2middot(K1+1)middotKmiddotmminus1T

0 KmiddotmT

00 minusK2middot(K1+1)middotKmiddotmminus1

T0 Kmiddotm

minusI middot (K1 + 1) 0 0 00 minusI middot (K1 + 1) 0 0

K2middotK1middotKmiddotm

rmiddotTK2middotK1middotKmiddotmmiddotd

2middotrmiddotTK2middotK1middotKmiddotm

rmiddotT minusK2middotK1middotKmiddotmmiddotd2middotrmiddotT

ImiddotK1r

ImiddotK1middotd2middotr

ImiddotK1r

minus ImiddotK1middotd2middotr

C = 1 0 0 0

0 1 0 0

D = 0 0

x(t) = A middot x(t) +B middot u(t) (25)

sendo as derivadas das variaacuteveis de estado definidas nas Equaccedilotildees de 27 a 212 as variaacuteveisde saiacuteda definidas em 211 e 212 e a entrada u(t) dada pela Equaccedilatildeo 213

x1(t) = minusK2 middot (K1 + 1) middotK middotmminus 1T

middot x1(t) + K middotmTmiddot x3(t) +

K2 middotK1 middotK middotmr middot T

middot V (t) + K2 middotK1 middotK middotm middot d2 middot r middot T middot Ω(t) (27)

middot V (t)minus K2 middotK1 middotK middotm middot d2 middot r middot T middot Ω(t) (28)

x3(t) = minusI middot (K1 + 1) middot x1(t) + I middotK1

rmiddot V (t) + I middotK1 middot d

2 middot r middot Ω(t) (29)

rmiddot V (t)minus I middotK1 middot d

y1(t) = ωr(t) = x1(t) (211)

y2(t) = ωl(t) = x2(t) (212)

u(t) =[V (t) Ω(t)

]prime (213)

Considerando o diagrama de blocos do sistema de controle da cadeira de rodas coma indicaccedilatildeo dos paracircmetros e variaacuteveis do modelo representados na Figura 21 eacute possiacutevelchegar-se agraves equaccedilotildees de estado do modelo utilizado

Iniciando-se pelo bloco de soma que gera a funccedilatildeo de erro entre Vref e V pode-seseguir a malha que define o Modelo Direto e encontrar a equaccedilatildeo abaixo

[(V minus (ωr + ωl) middot

2) middotK1 middot1r

+ (Ωminus (ωr minus ωl) middotr

d)]middotK1 middot

2 middot r minus ωrmiddot

(K2s+ I

s) middot ( K middotm

Ts+ 1) = wr (214)

para Ω = 0 tem-se que

[V middotK1

rminus (ωr + ωl) middot

2 + (minusωr + ωl) middotK1

]minus ωr

middot

K middotK2 middotm middot s+K middotm middot IT middot s2 + s

= wr (215)

[V middotK1

rminus ωr middotK1

2 minus ωl middotK1

2 minus ωr middotK1

2 minus ωr]middot

= wr (216)

V middotK1

rmiddot (K middotK2 middotm middot s+K middotm middot I

T middot s2 + s) = ωr + (omegar middotK1 + ωr) middot

ωr middot[1 + (K1 + 1) middot KmiddotK2middotmmiddots+KmiddotmmiddotI

T middots2+s

rmiddot K middotK2 middotm middot s+K middotm middot I

T middot s2 + s (218)

com mais algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas chega-se agrave funccedilatildeo de transferecircncia de cadasaiacuteda

= 1rmiddot Km1 middot s+Km2 middot IT middot s2 +Km3s+Km4 middot I

∣∣∣∣∣Ω=0

Km1 = K middotK1 middotK2 middotm

Km2 = K middotK1 middotm

Km3 = 1 +K middotK1 middotK2 middotm+K middotK2 middotm

Km4 = K middotK1 middotm+K middotm (220)

Utilizando o mesmo procedimento algeacutebrico obteacutem-se as funccedilotildees de transferecircnciadas demais saiacutedas

∣∣∣∣∣Ω=0

ωrΩ = 1

rmiddot (d2) middotKm1 middot s+Km2 middot IT middot s2 +Km3s+Km4 middot I

∣∣∣∣∣V=0

ωlΩ = 1

rmiddot minus(d2) middotKm1 middot s+Km2 middot IT middot s2 +Km3s+Km4 middot I

∣∣∣∣∣V=0

Aplicando-se o princiacutepio da superposiccedilatildeo obteacutem-se as funccedilotildees de transferecircncia decada saiacuteda em relaccedilatildeo agraves duas entradas o que no Modelo Direto fica

ωr = 1rmiddot [Km1 middot s+Km2 middot I] middot V + [(d2) middotKm1 middot s+Km2 middot I] middot Ω

T middot s2 +Km3s+Km4 middot I (224)

ωl = 1rmiddot [Km1 middot s+Km2 middot I] middot V minus [(d2) middotKm1 middot s+Km2 middot I] middot Ω

231 Deduccedilatildeo das variaacuteveis de estado a partir do diagrama de blocos domodelo linear simplificado do ambiente Simulinkreg

Considerando que os integradores nos sistemas de controle contiacutenuos no tempooperam como memoacuteria suas saiacutedas podem ser consideradas como valores das variaacuteveisde estado interno de sistemas dinacircmicos assim substituindo os controladores PIs dosmotores DC mostrados na Figura 21 por um bloco integrador I em paralelo com um

bloco de ganho P eacute possiacutevel explicitar as variaacutereis de estado do sistema indicadas naFigura 23 Assim as saiacutedas dos blocos dos motores ωr e ωl foram identificadas com asvariaacuteveis de estado x(1) e x(2) ao passo que as saiacutedas dos integradores foram identificadascom x(3) e x(4) (SOBRINHO et al 2003) todas representadas na Figura 24

Figura 23 ndash Diagrama de blocos modificado do sistema de controle da cadeira de rodascom separaccedilatildeo do controlador PI em dois blocos paralelos de ganho P econtrolador I com explicitaccedilatildeo das variaacuteveis X1(s) X2(s) X3(s) e X4(s)

Figura 24 ndash Relaccedilotildees entre a derivada e a funccedilatildeo em um integrador

Partindo da Figura 24 tem-se que as derivadas podem ser expressas como

Xn(s) = F (X1 X2 X3 X4 VΩ s) middotKi

a middot s+ b (226)

ou ainda

sXn(s) = Ki middot F (X1 X2 X3 X4 VΩ s)minus b middotXn(s)a

Para n = 3 tem-se Ki = I a = 1 e b = 0 logo 227 pode ser expressa como

s middotX3(s) = I middot F (X1 X2 X3 X4 VΩ s) (228)

Indo para o diagrama de blocos do sistema no Simulinkreg tem-se que

F (X1 X2 X3 X4 VΩ s) =[(V minus (X1(s) +X2(s)) middot r2) middot K1

r+ (Ωminus (X1(s)minusX2(s)) middot r

d)]middot K1 middot d

2 middot r minusX1(s) (229)

s middotX3(s) = I middot[K1 middot Vrminus K1 middotX1(s)

2 minus K1 middotX2(s)2

+I middot[K1 middot d middot Ω

2 middot r minus K1 middotX1(s)2 + K1 middotX2(s)

2 minusX1(s)] (230)

Finalmente

s middotX3(s) = minusI middot (K1 + 1) middotX1(s) + I middotK1 middot Vr

+ I middotK1 middot d middot Ω2 middot r (231)

De maneira anaacuteloga para n = 4 obteacutem-se a definiccedilatildeo da variaacutevel de estado x4representada pela Equaccedilatildeo 232

minus I middotK1 middot d middot Ω2 middot r (232)

A fim de completar as equaccedilotildees para n = 1 e n = 2 fornecendo respectivamenteX1 e X2 basta encontrar F (X1 X2 X3 X4 VΩ s) e F (X2 X2 X3 X4 VΩ s) que satildeoas parcelas do sinal que passam pelos controladores K1 e K2 e proceder agrave simplificaccedilatildeoalgeacutebrica obtendo

s middotX1(s) = minus(K middot (K1 + 1) middotK2 middotmminus 1) middotX1(s)T

+ K middotK1 middotK2 middotm middot Vr middot T

K middotK1 middotK2 middotm middot d middot Ω2 middot r middot T + K middotm middotX3(s)

T (233)

T (234)

Para completar a determinaccedilatildeo das variaacuteveis de estado toma-se a transformadainversa de Laplace chega-se agraves mesmas equaccedilotildees das variaacuteveis de estado representadasnas Equaccedilotildees de 27 a 212 e agrave entrada u(t) dada pela Equaccedilatildeo 213

114Capiacutetulo

2Controlador

PIpara

ummodelo

linearsim

plificadoda

cadeirade

rodasAs equaccedilotildees em espaccedilo de estado de 27 a 213 do modelo linear simplificado da cadeira de rodas mostrado na Figura 23 podem ser

postas na forma canocircnica obtendo-se as Equaccedilotildees 235 e 236

x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)

minus (Kmiddot(K1+1)middotK2middotmminus1)

T0 Kmiddotm

0 minus (Kmiddot(K1+1)middotK2middotmminus1)T

0 KmiddotmT

middotx1(t)x2(t)x3(t)x4(t)

KmiddotK1middotK2middotm

rmiddotTKmiddotK1middotK2middotmmiddotd

2middotrmiddotTKmiddotK1middotK2middotm

rmiddotT minusKmiddotK1middotK2middotmmiddotd2middotrmiddotT

ImiddotK1r

middot v(t)

y(t) = 1 0 0 0

0 1 0 0

middot v(t)

No Capiacutetulo 5 que trata dos resultados da simulaccedilatildeo dos modelos lineares simplificados da cadeira de rodas satildeo mostradas saiacutedascorrespondentes a esses modelos vistos para alguns casos especiais

3 Controlador robusto utilizando LMIs empresenccedila de incertezas parameacutetricas politoacute-picas para um modelo natildeo-linear de um veiacute-culo sobre rodas com traccedilatildeo diferencial

31 Contextualizaccedilatildeo e definiccedilatildeo do problemaConforme foi visto no Capiacutetulo 2 uma cadeira de rodas pode ser estudada de

um maneira mais geneacuterica como um veiacuteculo sobre rodas com traccedilatildeo diferencial (VRTD)Segundo ESPINOSA et al (2001) o projeto de um controlador eacute fortemente influenciadopela qualidade do modelo do sistema fiacutesico que estaacute sendo modelado Obter o modelodinacircmico do veiacuteculo em MA pode ser extremamente complexo para as unidades de cadeirasde rodas no que diz respeito agrave estrutura da plataforma e ao nuacutemero e detalhes de efeitos aserem modelados Uma vez obtido o modelo eacute necessaacuterio lidar com as incertezas inerentesao modelo Aleacutem disso muitos desses modelos satildeo de natureza natildeo-linear como poderaacuteser constatado mais adiante e seraacute necessaacuteria a utilizaccedilatildeo de teacutecnicas de linearizaccedilatildeo

De La CRUZ BASTOS e CARELLI (2011) afirmam que deve ser consideradaa dinacircmica do veiacuteculo juntamente com sua cinemaacutetica porque as cadeiras de rodastransportam cargas relativamente pesadas Alguns modelos natildeo consideram o fato de queo centro de massa de uma cadeira roboacutetica pode ser deslocado lateralmente devido aomovimento do cadeirante Assim eacute importante projetar um controlador robusto que possaestabilizar a planta mesmo em presenccedila de incertezas parameacutetricas

32 Anaacutelise e avaliaccedilatildeo de alguns modelos natildeo-lineares da cadeirade rodas

321 Modelo natildeo-linear da cadeira de rodas segundo ZHANG et al (1998)O modelo natildeo-linear de ZHANG et al (1998) mostrado na Figura 25 eacute elaborado

utilizando-se os torques dos motores e inclui o vetor de incertezas representado pelaEquaccedilatildeo 31 Trata-se de um modelo dinacircmico simplificado que estaacute baseado nos seguintespressupostos

bull dois sistemas de coordenadas local xprime minus G minus yprime fixo na plataforma do veiacuteculo e

116Capiacutetulo 3 Controlador robusto utilizando LMIs em presenccedila de incertezas parameacutetricas politoacutepicas para

um modelo natildeo-linear de um veiacuteculo sobre rodas com traccedilatildeo diferencial

global fixo no plano de deslocamento xminus ominus y

bull o movimento da cadeira eacute limitado a trecircs graus de liberdade num plano caracterizadopelas variaacuteveis independentes u v ω mostradas na Figura 25 e descritas na Tabela 2

bull a somatoacuteria das forccedilas e momentos aplicados estatildeo relacionados ao sistema dereferecircncia local xprime minusGminus yprime

bull o ponto de contato roda-solo eacute ideal ou seja natildeo haacute deslizamento

bull natildeo existem distuacuterbios e momentos externos atuantes e

bull as forccedilas viscosas de fricccedilatildeo e as forccedilas de resistecircncia das rodas do tipo castor satildeodesprezadas

Se todos esses efeitos perturbadores natildeo modelados forem considerados comoincertezas do modelo e representados por δ =

[δx δy 0 δu δω

]prime seraacute possiacutevel propor

um modelo que inclua o vetor de incertezas representado pela Equaccedilatildeo 31 Os efeitos dosparacircmetros fiacutesicos do robocirc moacutevel foram considerados no vetor de paracircmetros identificadosθ =

[θu θω

]prime

Os paracircmetros representados na Figura 25 e constantes da Tabela 2 que aparecemna Equaccedilatildeo 31 satildeo definidos pelas equaccedilotildees auxiliares representadas no Apecircndice B1

Examinando o Modelo Dinacircmico Simplificado da Equaccedilatildeo 31 verifica-se que asaiacuteda do controlador dinacircmico que estaacute sendo utilizada como entrada para o veiacuteculo sobrerodas eacute constituiacuteda pelos torques resultantes τu e τω dos motores acionadores das rodasesquerda e direita respectivamente (ZHANG et al 1998 ZHANG CHUNG VELINSKY2003) Aleacutem disso a Equaccedilatildeo 31 conteacutem em si dois niacuteveis do controlador o controladorcinemaacutetico envolvendo as variaacuteveis de estado x y e Ψ as quais determinam a trajetoacuteriada cadeira e o controlador dinacircmico envolvendo as variaacuteveis de estado u e ω

u middot cos Ψminus a middot ω middot senΨu middot senΨ + a middot ω middot cos Ψ

ωmmiddotbmiddotr2

θuω2

2middotmmiddotbmiddotr2

θωu middot ω

0 00 00 0

2middotrθu

00 2middotrmiddotd

322 Modelo natildeo-linear da cadeira de rodas segundo MARTINS et al (2008)Segundo MARTINS et al (2008) os sinais de controle gerados pela maioria dos

controladores dinacircmicos reportados na literatura satildeo torques ou voltagens τu e τω para osmotores do veiacuteculo sobre rodas conforme Equaccedilatildeo 31 Os veiacuteculos sobre rodas comerciais

32 Anaacutelise e avaliaccedilatildeo de alguns modelos natildeo-lineares da cadeira de rodas 117

Tabela 2 ndash Descriccedilatildeo dos paracircmetros dos modelos natildeo-lineares utilizados em (ZHANGet al 1998 CELESTE et al 2007 MARTINS et al 2008 De La CRUZBASTOS CARELLI 2011)

Paracircmetro Natureza do paracircmetroτu τω Torques resultantes dos motores acionadores localizados nas rodas

direita e esquerdaG B R LC A

Centro de Gravidade centro da linha de base das rodas ponto decontato com o chatildeo das rodas direita e esquerda ponto de contatocom o chatildeo da roda castor local da ferramenta ponto rastreadopelo controlador respectivamente

ωl ωruref ωref

Velocidades angulares das rodas esquerda e direita velocidadeslinear e angular de referecircncia dos servocontroles de baixo niacutevel dacadeira de rodas respectivamente

r Raio das rodas motorizadasd Distacircncia entre as rodas motorizadasa Distacircncia entre o centro cinemaacutetico B e o ponto de interesse h no

veiacuteculoRt Raio nominal dos pneusRa Resistecircncia eleacutetrica dos motoreskb ka Constantes eletromotiva e de torque dos motores das rodas respec-

tivamenteu ω Velocidades longitudinal e angular do centro de massa G da cadeira

de rodas respectivamentex minus o minus yxprime minusGminus yprime

Sistemas de coordenadas global fixo no mundo real (o) e local fixono Centro de Gravidade (G) respectivamente

Iz Ie Be Momento de ineacutercia do veiacuteculo em torno do eixo z momento deineacutercia e coeficiente viscoso efetivos do motor rotor e engrenagenscombinados respectivamente

Fxprimec Fyprimecηxprimee ηyprimee

Forccedilas resultantes no pneu e forccedilas resultantes nas direccedilotildees longitu-dinal e lateral nos pontos C e E respectivamente

b1 b2 Deslocamentos longitudinal e lateral do CG respectivamenteΨ Acircngulo de posicionamento do veiacuteculov Velocidade lateral do centro de massa Gω Velocidade angular do veiacuteculom Massa do veiacuteculo sobre rodasKDR KDT KPR KPT

Ganho derivativo do controle proporcional-derivativo de baixoniacutevel rotacional e translacional ganho proporcional do controleproporcional-derivativo de baixo niacutevel rotacional e translacionalrespectivamente

Fonte do proacuteprio autor

por outro lado usualmente recebem comandos de velocidade uref e ωref PortantoMARTINS et al (2008) buscaram uma forma alternativa de expressar o modelo dinacircmicoda cadeira utilizando as velocidades linear e angular de referecircncia como entradas na

Figura 25 ndash Representaccedilatildeo graacutefica do modelo natildeo-linear de um VRTD e seus paracircmetrossegundo ZHANG et al (1998)

Fonte Adaptado de (ZHANG et al 1998)

Equaccedilatildeo 32 que corresponde agrave Figura 26

Figura 26 ndash Representaccedilatildeo graacutefica do modelo natildeo-linear de um VRTD e seus paracircmetrossegundo MARTINS et al (2008)

Fonte (MARTINS et al 2008)

ωθ3θ1middot ω2 minus θ4

θ1middot u

minus θ5θ2middot u middot ω minus θ6

θ2middot ω

0 00 00 01θ1

MARTINS et al (2008) fazem uso do vetor dado pela Equaccedilatildeo 33 que descreveos componentes do vetor de paracircmetros identificados O vetor de incertezas parameacutetricasassociado ao modelo eacute δ =

[δx δy 0 δu δω

]prime

θ =[θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6

]prime (33)

Os componentes δx e δy satildeo funccedilotildees das velocidades de deslizamento e da orientaccedilatildeodo veiacuteculo sobre rodas Os componentes δu e δω satildeo funccedilotildees de paracircmetros fiacutesicos taiscomo massa momento de ineacutercia do veiacuteculo e do motor diacircmetros das rodas e pneusparacircmetros dos motores e seus servos forccedilas nas rodas e outros paracircmetros dentre aquelesencontrados na Tabela 2 e representam os distuacuterbios do sistema O vetor θ eacute funccedilatildeo deparacircmetros fiacutesicos do veiacuteculo sobre rodas tais como aqueles encontrados na Tabela 2

323 Modelo natildeo-linear da cadeira de rodas segundo De La CRUZ C C eCARELLI (2006)

Neste trabalho seraacute utilizado o modelo dinacircmico do veiacuteculo sobre rodas descrito em(De La CRUZ BASTOS CARELLI 2011) e representado na Figura 27 As definiccedilotildees dosvetores de paracircmetros representado em 34 estatildeo detalhadas nas equaccedilotildees de 35 ateacute 312As definiccedilotildees dos elementos dos vetores de distuacuterbio estatildeo detalhadas no Apecircndice B2

θ =[θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6 θ7 θ8

]prime (34)

θ1 = kDTkPT

+ Ra middot r2 middot kPT middot ka

middot(2 middot Ie

r2 +m) (35)

θ2 =(Ie middot d2

2 middot r2 + Iz +m middot b21 +m middot b2

)times Ra middot rd middot kPR middot ka

+ kDRkPR

θ3 = Ra middot r middotm middot b1

2 middot kPT middot ka (37)

θ4 = 1 + kbkPT middot r

+ Be middotRa

kPT middot ka middot r (38)

Figura 27 ndash Representaccedilatildeo graacutefica do modelo natildeo-linear de um VRTD e seus paracircmetrossegundo De La CRUZ BASTOS e CARELLI (2011)

Fonte (De La CRUZ BASTOS CARELLI 2011)

d middot kPR middot ka (39)

θ6 = 1 + d middot kb2 middot kPR middot r

+ d middotBe middotRa

2 middot kPR middot ka middot r (310)

Analisando as equaccedilotildees de 35 ateacute 312 e considerando a Figura 27 verifica-se quepara i variando de 1 a 8 θi adquire os seguintes valores

bull quando o centro de massa G estaacute sobre a linha que une as duas rodas traseiras istoeacute a linha de base entatildeo b1 = 0 logo θi gt 0 para i = 1 2 4 e 6 ao passo que θi = 0para i = 3 e 5

bull quando o centro de massa G estaacute sobre a mediatriz que passa pelo ponto B entatildeob2 = 0 logo θi = 0 apenas para i = 7 e 8

33 Determinaccedilatildeo da equaccedilatildeo do modelo dinacircmico natildeo-linear simplificado da cadeira de rodas segundoDe La CRUZ BASTOS e CARELLI (2011) 121

bull quando o centro de massa G estiver exatamente sobre o ponto B mediatriz do eixoque une ambas as rodas traseiras entatildeo b1 = b2 = 0 logo θi = 0 para i = 3 5 7 e 8e

bull independentemente da posiccedilatildeo que o cadeirante ocupe sempre aconteceraacute que θi gt 0para i = 1 2 4 e 6

33 Determinaccedilatildeo da equaccedilatildeo do modelo dinacircmico natildeo-linear sim-plificado da cadeira de rodas segundo De La CRUZ BASTOSe CARELLI (2011)Observando o modelo de (MARTINS et al 2008) da Figura 26 eacute possiacutevel perceber

que o centro de massa G da cadeira pode ser deslocado apenas ao longo da linhaperpendicular que passa pelo ponto B ponto meacutedio entre as duas rodas traseiras permitindodeslocamento longitudinal do cadeirante mas natildeo transversal

De La CRUZ BASTOS e CARELLI (2011) apresentam um modelo natildeo-linearrepresentado na Figura 27 que se constitui numa escolha mais adequada para o objetivodeste trabalho Este modelo permite deslocamento transversal e longitudinal do cadeiranteem relaccedilatildeo ao centro de gravidade da plataforma O cadeirante se desloca para a esquerdana transversal quando os valores do paracircmetro b2 satildeo maiores que zero e se desloca para adireita quando b2 satildeo menores que zero Aleacutem disso o modelo contempla duas rodas livresna parte dianteira da plataforma o que eacute mais proacuteximo da cadeira de rodas utilizada

CELESTE et al (2007) De La CRUZ BASTOS e CARELLI (2011) trabalhamcom o modelo dinacircmico de maneira a desacoplar parte cinemaacutetica (Equaccedilatildeo 313) da partedinacircmica (Equaccedilatildeo 314)

= cos Ψ minusa middot senΨ

senΨ a middot cos Ψ

Ψ = ω (313)

θ1 minusθ7

minusθ8 θ2

+ θ4 middot uminus θ3 middot ω2

θ6 middot ω + θ5 middot u middot ω

= uref

A partir do modelo dinacircmico representado pela Equaccedilatildeo 314 e considerando que natildeohaacute deslizamento das rodas e que as forccedilas que agem nas rodas dianteiras (castores) satildeo nulastem-se que os distuacuterbios δu e δω satildeo tambeacutem nulos Desprezando-se o vetor de incertezas e

explicitando o vetor de referecircncia[uref ωref

]prime obteacutem-se a parametrizaccedilatildeo linear do mo-

delo dada pela Equaccedilatildeo 315 em funccedilatildeo do vetor θ =[θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6 θ7 θ8

]prime

cujos elementos estatildeo definidos nas Equaccedilotildees de 35 ateacute 312

= u 0 minusω2 u 0 0 minusω 0

0 ω 0 0 u middot ω ω 0 minusu

times[θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6 θ7 θ8

]prime (315)

Tomando a Equaccedilatildeo 315 e realizando o produto entre as matrizes segue que

uref = u middot θ1 minus ω2 middot θ3 + u middot θ4 minus ω middot θ7 (316)

ωref = ω middot θ2 + u middot ω middot θ5 + ω middot θ6 minus u middot θ8 (317)

Isolando-se u e ω tem-se

u = 1θ1middot[uref + ω2 middot θ3 minus u middot θ4 + ω middot θ7

] (318)

ω = 1θ2middot [ωref minus u middot ω middot θ5 minus ω middot θ6 + u middot θ8] (319)

Substituindo-se Equaccedilatildeo 318 na 319 e fazendo-se as manipulaccedilotildees necessaacuteriasobteacutem-se

ω = 1θ1 middot θ2 minus θ7 middot θ8

[ωref middot θ1 minus u middot ω middot θ1 middot θ5 minus ω middot θ1 middot θ6] +

1θ1 middot θ2 minus θ7 middot θ8

[uref middot θ8 + ω2 middot θ3 middot θ8 minus u middot θ4 middot θ8

] (320)

u = 1θ1 middot θ2 minus θ7 middot θ8

middot[uref middot θ2 + ω2 middot θ2 middot θ3 minus u middot θ2 middot θ4

[ωref middot θ7 minus u middot ω middot θ5θ7 minus ω middot θ6 middot θ7] (321)

Rearranjando o sistema na forma matricial tem-se

= 1θ1 middot θ2 minus θ7 middot θ8

middot

θ2 θ7

θ8 θ1

times uref

minus θ4 minusω middot θ3

ω middot θ5 θ6

34 Linearizaccedilatildeo do modelo natildeo-linear simplificado segundo De La CRUZ BASTOS e CARELLI (2011)123

Realizando o produto matricial interno indicado obteacutem-se

middot

θ2 θ7

θ8 θ1

times uref

minus u middot θ4 minus ω2 middot θ3

u middot ω middot θ5 + ω middot θ6

Fazendo a troca das variaacuteveis V e Ω da Equaccedilatildeo 137 por u e ω respectivamente

e tomando a derivada da Equaccedilatildeo 137 encontra-se

2middotr1rminus d

2middotr

Tomando a expressatildeo de[V Ω

]primeda Equaccedilatildeo 322 e substituindo as expressotildees

de V e Ω das equaccedilotildees 134 e 135 na Equaccedilatildeo 322 acima tem-se

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

times uref

minus r

2 middot (ωr + ωl) middot θ4 minus r2

d2 middot (ωr minus ωl)2 middot θ3r2

2middotd middot (ω2r minus ω2

l ) middot θ5 + rdmiddot (ωr minus ωl) middot θ6

A Equaccedilatildeo 323 representa o modelo dinacircmico natildeo-linear simplificado da cadeirade rodas acionada por traccedilatildeo diferencial Nessa equaccedilatildeo

[uref ωref

]primeeacute o vetor de

entrada constituiacutedo das velocidades linear e angular de referecircncia para os controladoresproporcional derivativo de velocidade de baixo niacutevel O vetor de estados que natildeo apareceexplicitado eacute dado por

[ωr ωl

]prime(MOUTINHO et al 2013)

34 Linearizaccedilatildeo do modelo natildeo-linear simplificado segundo De LaCRUZ BASTOS e CARELLI (2011)

341 Obtenccedilatildeo da representaccedilatildeo natildeo-linear do sistema em equaccedilotildees de estado

A partir da Equaccedilatildeo 323 satildeo identificadas a matriz caracteriacutestica representadapela Equaccedilatildeo 324 a qual natildeo mostra o vetor

[ωr ωl

]primena sua forma expliacutecita a matriz

de entrada representada pela Equaccedilatildeo 325 a matriz de saiacuteda representada pela Equaccedilatildeo326 e a matriz de transmissatildeo direta representada pela Equaccedilatildeo 327 para estabeleceras equaccedilotildees de estado do modelo dinacircmico (MOUTINHO et al 2013) Supotildee-se que todasas variaacuteveis de estados estejam disponiacuteveis para mediccedilatildeo o que se verifica quando C = Iconforme Equaccedilatildeo 326

A = minus 1θ1 middot θ2 minus θ7 middot θ8

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

times r

B = 1θ1 middot θ2 minus θ7 middot θ8

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

C = 1 0

D = 0 (327)

342 Linearizaccedilatildeo do modelo natildeo-linear simplificao da cadeira de rodas

O modelo dinacircmico mostrado na Equaccedilatildeo 323 apresenta natildeo-linearidades em ωr

e ωl mas de acordo com a Subseccedilatildeo 132 pode ser transformado em um conjunto deequaccedilotildees diferenciais natildeo-lineares na forma da Equaccedilatildeo 328 (SLOTINE LI 1991) Essalinearizaccedilatildeo do modelo dinacircmico eacute realizada por intermeacutedio da aproximaccedilatildeo na vizinhanccedilade um ponto de operaccedilatildeo utilizando o meacutetodo indireto de Lyapunov

x = f(xu) = f(ωr ωl uref ωref ) (328)

A estabilidade do projeto de controle de um sistema natildeo-linear pode ser garantidaem torno da origem que eacute um ponto de equiliacutebrio substituindo-se a matriz natildeo-linearoriginal pela matriz Jacobiana da funccedilatildeo (SLOTINE LI 1991) conforme pode ser vistona Subseccedilatildeo 132 No caso a Equaccedilatildeo 329 estabelece a matriz A Jacobiana de f(xu) emrelaccedilatildeo agraves velocidades angulares das rodas traseiras e a Equaccedilatildeo 330 estabelece a matrizB em relaccedilatildeo agraves velocidades linear e angular de referecircncia

A =[partf

partωrpartf

partωl

](ur=0ωl=0)

B =[partf

parturefpartf

partωref

](uref=0ωref=0)

Nas equaccedilotildees 331 e 332 tem-se o sistema linearizado para o qual cada elemento damatriz eacute definido nas equaccedilotildees de 333 ateacute 340 Os detalhes de como obter essas equaccedilotildeespodem ser conferidos no Apecircndice C1

A = A11 A12

A21 A22

B = B11 B12

B21 B22

A11 = minus 1θ1 middot θ2 minus θ7 middot θ8

middot[

1rmiddot θ2 + d

2 middot r middot θ8

]times

2 middot θ4 minus2 middot r2

d2 middot (ωr minus ωl) middot θ3

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

] [r2 middot ωrdmiddot θ5 + r

dmiddot θ6

] (333)

middot[

1rmiddot θ2 + d

]times

2 middot θ4 + 2 middot r2

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

] [minusr

2 middot ωldmiddot θ5 minus

dmiddot θ6

] (334)

middot[

1rmiddot θ2 minus

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

dmiddot θ6

] (335)

middot[

1rmiddot θ2 minus

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

] [minusr

dmiddot θ6

] (336)

B11 = 1θ1 middot θ2 minus θ7 middot θ8

middot[θ2

r+ d middot θ8

2 middot r

] (337)

middot[θ7

r+ d middot θ1

2 middot r

] (338)

middot[θ2

rminus d middot θ8

2 middot r

] (339)

middot[θ7

rminus d middot θ1

2 middot r

] (340)

O modelo linearizado obtido eacute uma aproximaccedilatildeo da cadeira de rodas real e comotal apresenta diversos tipos de incertezas Entre essas incertezas estatildeo dinacircmicas natildeomodeladas incertezas parameacutetricas ruiacutedos e linearizaccedilatildeo (ZHANG et al 1998) A anaacutelisee o projeto do controlador do sistema devem considerar essas incertezas (COVACIC 2001COVACIC 2006) O sistema deve ser robusto em relaccedilatildeo agraves incertezas parameacutetricas domodelo Esses paracircmetros podem ser vistos na Figura 27 sendo que as incertezas podemestar presentes nos raios das rodas traseiras r na distacircncia entre as rodas motorizadas de nas distacircncias dos deslocamentos lateral e longitudinal relativos ao CG do sistema b1 eb2 respectivamente Neste trabalho foram considerados como paracircmetros incertos apenasos valores de d b1 e b2 o que corresponde a um politopo de 23 = 8 veacutertices

35 Projeto do controlador robusto do sistema com incertezas po-litoacutepicas e LMIsNesta seccedilatildeo o foco estaacute no fato de que os sistemas ERP satildeo estaacuteveis por definiccedilatildeo

conforme mostrado na Seccedilatildeo 113 A formulaccedilatildeo em LMIs do Lema 1135 da tese de(COVACIC 2006) seraacute utilizada apenas com a finalidade de determinar a matriz Ko quetorna o sistema estaacutevel por meio da realimentaccedilatildeo da saiacuteda Todavia a matriz F natildeo seraacuteimplementada uma vez que o objetivo do capiacutetulo natildeo eacute tornar o sistema ERP

Aleacutem disso com a finalidade de examinar a influecircncia da movimentaccedilatildeo do cadei-rante na estabilidade da planta considerou-se que os paracircmetros b1 e b2 representados naFigura 27 variam dentro dos limites das faixas representadas por 341 e 342 respectiva-mente Foi tambeacutem estabelecida uma faixa de variaccedilatildeo para o paracircmetro d de acordo com343

35 Projeto do controlador robusto do sistema com incertezas politoacutepicas e LMIs 127

351 Determinaccedilatildeo dos valores das matrizes para cada veacutertice do politopoConsiderando as faixas de variaccedilatildeo dos paracircmetros Pdi(di b1i b2i) definidas em

341 a 343 foram determinados oito veacutertices do politopo1 formado mostrados de 344ateacute 351 Aleacutem dos veacutertices do politopo foram escolhidos quatro pontos do interior dopolitopo mostrados de 352 a 355

As matrizes Aij isin lt2times2 e Bij isin lt2times2 para i = 1 2 middot middot middot 7 e 8 que representam osistema nos oito veacutertices do politopo satildeo calculadas utilizando-se o programa definidoem D1 e os valores dos paracircmetros do modelo da cadeira mostrados na Tabela 3 Foitambeacutem utilizado o vetor de grandezas parameacutetricas θ cujos elementos estatildeo definidosnas equaccedilotildees de 35 ateacute 312 O programa eacute executado em ambiente Matlabreg e as matrizesresultantes satildeo mostradas de 356 a 363

Intervalo de variaccedilatildeo dos paracircmetros

0 le b1 le 0151 (341)

minus0151 le b2 le 0151 (342)

040 le d le 070 (343)

Veacutertices do politopo

Pd1(040 0 0151) (344)

Pd2(040 0minus0151) (345)

Pd3(040 0151 0151) (346)

Pd4(040 0151minus0151) (347)

Pd5(070 0 0151) (348)

Pd6(070 0minus0151) (349)

Pd7(070 0151 0151) (350)

Pd8(070 0151minus0151) (351)

Pontos do interior do politopo

Pdcg1(070 0 0) (352)

Pdcg2(040 0 0) (353)

Pdcg3(045 0 0) (354)

Pdcg4(070 0minus01) (355)

1 Sobre politopo consulte 1824

Tabela 3 ndash Paracircmetros do modelo da cadeira de rodas utilizados para determinaccedilatildeo dasmatrizes Adi e Bdi correspondentes a cada um dos veacutertices do politopo

Paracircmetro Valor Paracircmetro ValorkDT 01 xk 1kPT 1 Fpx 10kDR 01 Fpy 10kPR 1 τp 100Ra 02 ωl 0ka 1 ωr 0Ie 100 a 035Iz 150 m 80kb 1 yk 1Be 5

Pd1(04000151)

Ad1 = 00857 00274

00288 00831

00481 0015500476 minus00145

Pd2(0400-0151)

Ad2 = 00825 00282

00268 00851

00471 0014500476 minus00155

Pd3(04001510151)

Ad3 = 00854 00277

00289 00827

00481 0015400475 minus00144

Pd4(0400151-0151)

Ad4 = 00822 00284

00269 00847

00471 0014400475 minus00154

Pd5(07000151)

Ad5 = 01000 00132

00143 00976

00482 0028900476 minus00278

Pd6(0700-0151)

Ad6 = 00969 00136

00125 00993

00470 0027800476 minus00289

Pd7(07001510151)

Ad7 = 00997 00134

00142 00971

00482 0028800474 minus00276

Pd8(0700151-0151)

Ad8 = 00967 00138

00125 00988

00470 0027600474 minus00288

Pdcg1(07000)

Adcg1 = 00986 00132

00132 00986

Bdcg1 =

00476 0028500476 minus00285

Pdcg2(04000)

Adcg2 = 00843 00276

00276 00843

Bdcg2 =

00476 0015100476 minus00151

Pdcg3(045000)

Adcg3 = 00874 00244

00244 00874

Bdcg3 =

00476 0017700476 minus00177

Pdcg4(0700-01)

Adcg4 = 00975 00134

00127 00991

00472 0028000476 minus00288

Os pontos Pdcg1 Pdcg2 Pdcg3 e Pdcg4 satildeo pontos no interior do politopo ondeb1 ou b2 ou ambos satildeo nulos indicando vaacuteriaccedilotildees no CG devido agrave movimentaccedilatildeo docadeirante

A partir das matrizes A e B de cada veacutertice e ponto escolhido do politopo edo programa D2 que implementa as LMIs do Lema 1135 em ambiente Matlabreg eacutedeterminada a matriz de realimentaccedilatildeo da saiacuteda Ko para estabilizaccedilatildeo da cadeira derodas

4 Controlador robusto do acircngulo de articula-ccedilatildeo do joelho de um paciente parapleacutegicoutilizando LMIs em presenccedila de incertezasparameacutetricas limitadas em norma

Este capiacutetulo apresenta uma proposta de projeto para o controle da posiccedilatildeo do joelhode um paciente parapleacutegico atraveacutes da estimulaccedilatildeo eleacutetrica funcional (FES) representadona Figura 2 utilizando LMIs no controle de sistemas com incertezas limitadas em norma

41 Contextualizaccedilatildeo e definiccedilatildeo do problemaConforme observaram GAINO et al (2011) os sistemas FES baseados em controle

de MA apresentam problemas relacionados com falta de sensibilidade tanto para distuacuterbiosexternos como para mudanccedila nos paracircmetros internos Por outro lado por meio de sensoresos sistemas FES baseados em controles de MF permitem a mediccedilatildeo em tempo real domovimento produzido e fornecem um padratildeo de estimulaccedilatildeo com a modulaccedilatildeo adequada(FERRARIN PEDOTTI 2000) Isso possibilita a otimizaccedilatildeo da largura do pulso neuroes-timulador conforme Figura 2 com consequente diminuiccedilatildeo da fadiga do muacutesculo Aleacutemdisso GAINO et al (2011) mostraram que embora o sinal de realimentaccedilatildeo relacionadoao acircngulo de articulaccedilatildeo do joelho possa ser obtido utilizando-se eletrogoniocircmetros autilizaccedilatildeo de acelerocircmetros em pontos estrateacutegicos eacute mais vantajosa Ela simplifica amediccedilatildeo permitindo uma maior facilidade de fixaccedilatildeo dos sensores na pele do paciente epor isso eacute mais segura e confiaacutevel

A planta escolhida representando o sistema ilustrado na Figura 28 eacute a junccedilatildeo dojoelho isto eacute a cadeia cinemaacutetica aberta composta de dois segmentos riacutegidos a coxa e ocomplexo canela-peacute (FERRARIN PEDOTTI 2000) Ela permite estudar o relacionamentoentre os principais paracircmetros da estimulaccedilatildeo de entrada ou seja a largura de pulso efrequecircncia com a saiacuteda representada pelo torque da junta ativa produzido pelos muacutesculosestimulados em condiccedilotildees natildeo isomeacutetricas isto eacute produccedilatildeo de forccedila sem mudanccedila decomprimento (FERRARIN PEDOTTI 2000 BIOMECacircNICA 2001) O tornozelofoi fixado atraveacutes de um apoio externo de plaacutestico chamado oacutertese reduzindo assimo nuacutemero de graus de liberdade da planta Dessa forma o comprimento dos muacutesculosbiarticulares depende somente da posiccedilatildeo da articulaccedilatildeo do joelho A coxa foi apoiada namesa de suporte de maneira que somente a dinacircmica da canela-peacute e os movimentos de

132Capiacutetulo 4 Controlador robusto do acircngulo de articulaccedilatildeo do joelho de um paciente parapleacutegico utilizando

LMIs em presenccedila de incertezas parameacutetricas limitadas em norma

Figura 28 ndash Representaccedilatildeo esquemaacutetica da planta da articulaccedilatildeo do joelho do paciente

flexatildeo-extensatildeo do joelho foram considerados Essa modelagem foi inicialmente propostapor FERRARIN e PEDOTTI (2000)

42 Modelo natildeo-linear da articulaccedilatildeo do joelho do pacienteO modelo natildeo-linear da articulaccedilatildeo do joelho do paciente parapleacutegico eacute obtido a

partir da anaacutelise da planta representada na Figura 28

Por meio de eletrodos fixados na pele da coxa do paciente o quadriacuteceps recebe umaFES provocando a contraccedilatildeo do muacutesculo e posicionando o joelho num acircngulo θ desejadoentre a canela e a coxa no plano sagital (FERRARIN PEDOTTI 2000 GAINO et al2011) O acircngulo entre a canela e o eixo vertical no plano sagital eacute θν e o torque ativoproduzido pela FES no quadriacuteceps eacute Ma (GAINO et al 2008)

Conforme GAINO et al (2008) o ponto de equiliacutebrio de interesse do sistema eacuteaquele no qual θν0 = 30 ou seja o ponto de operaccedilatildeo do sistema natildeo eacute a origem Assimsegundo a teoria de estabilidade de Lyapunov eacute necessaacuterio efetuar uma troca de variaacuteveispara transladar o novo ponto de equiliacutebrio para a origem Dessa maneira as variaacuteveis deestado da Equaccedilatildeo 41 satildeo dadas por

bull x1(t) = ∆θν = θν minus θν0 acircngulo entre a canela e o eixo vertical no plano sagitaldeslocado para o ponto de operaccedilatildeo na origem

bull x2(t) = x1(t)=∆θν=θν minus ˙θν0 velocidade angular da canela deslocada para o pontode operaccedilatildeo na origem e

42 Modelo natildeo-linear da articulaccedilatildeo do joelho do paciente 133

bull x3(t) = ∆Ma = Ma minusMa0 torque ativo do joelho produzido pela FES deslocadopara o ponto de operaccedilatildeo na origem

O movimento da articulaccedilatildeo do joelho decorrente do estiacutemulo eleacutetrico aplicado noquadriacuteceps eacute regido pela equaccedilatildeo de estados 41 natildeo-linear de acordo com GAINO et al(2008)

x1(t)x2(t)x3(t)

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

x1(t)x2(t)x3(t)

middot PN (41)

Os paracircmetros da planta com seus significados e valores foram obtidos experimen-talmente em (FERRARIN PEDOTTI 2000 GAINO et al 2011) e satildeo mostrados naTabela 4

Tabela 4 ndash Natureza e valores dos paracircmetros obtidos experimentalmente em (FERRARINPEDOTTI 2000 GAINO et al 2011 DIOGO et al 2012) para o complexocanela-peacute de um paciente de 30 anos parapleacutegico

Paracircmetro Natureza Valor UnidadeJ Momento inercial do complexo peacute-canela 0362 [kg middotm2]m Massa do complexo peacute-canela 437 [Kg]l Distacircncia entre o joelho e o centro de massa

do complexo peacute-canela238 [cm]

B Coeficiente viscoso 027 [N middotm middot srad]λ Coeficiente do termo exponencial 41208 [N middotmrad]E Coeficiente do termo exponencial 2024 [radminus1]ω Acircngulo elaacutestico de repouso do joelho 2918 [rad]τ Coeficiente da funccedilatildeo de transferecircncia (cons-

tante de tempo do polo)0951 [s]

G Coeficiente da funccedilatildeo de transferecircncia (ganhoestaacutetico)

42500 [N middotms]

Adaptado de (GAINO et al 2007)

A natildeo-linearidade do modelo matemaacutetico da planta vem atraveacutes do elemento f21

da matriz caracteriacutestica do sistema mostrado na Equaccedilatildeo 41 o qual estaacute representadona Equaccedilatildeo 42 (GAINO et al 2008 GAINO 2009 GAINO et al 2011 DIOGO et al2012)

f21(x1(t)) = 1J middot x1(t) [m middot g middot l middot sen(x1(t) + θν0)]minus

1J middot x1(t)

[λ middot (expminusE middot

(x1(t) + θν0 + π

))(x1(t) + θν0 + π

2 minus ω)

] (42)

Conforme definido em GAINO et al (2008) GAINO (2009) GAINO et al (2011)DIOGO et al (2012) no ponto de operaccedilatildeo de interesse tem-se θν = θν0 = 30 Aleacutemdisso as derivadas θν e θν satildeo nulas Nesse caso o torque ativo do joelho Ma0 produzidopela estimulaccedilatildeo eleacutetrica eacute dado pela Equaccedilatildeo 43

Ma0 = m middot g middot l middot sen(θν0) + λ middot (expminusE middot(θν0 + π

))(θν0 + π

2 minus ω) (43)

Considerando-se os valores dos paracircmetros da Tabela 4 com g = 98[ms2] eθν0 = π

6 [rad] e substituindo-os na Equaccedilatildeo 43 obteacutem-se o valor de Ma0 = 46068[N middotm]No caso em que θν0 = π

3 [rad] tem-se Ma0 = 87653[N middotm] A partir da entrada do sistemaa largura de pulso Ps define-se a nova entrada do sistema dada por PN a largura de pulsonatildeo referenciada dada pela Equaccedilatildeo 44 (GAINO et al 2008 GAINO 2009 GAINO etal 2011 DIOGO et al 2012)

PN = Ps minusMa0

G (44)

Tendo em vista que soacute haveraacute movimentaccedilatildeo da perna do parapleacutegico se for aplicadoum pulso eletroestimulador na pele da coxa atraveacutes dos eletrodos previamente fixados aEquaccedilatildeo 44 mostra que esse pulso deve ter largura Ps gt 0 o que implica na desigualdade45 a seguir

PN gt minusMa0

G (45)

43 Projeto do controlador do sistema com incertezas limitadas emnorma e LMIsO controle da posiccedilatildeo do joelho do paciente parapleacutegico atraveacutes da estimulaccedilatildeo

eleacutetrica funcional (FES) aplicada ao muacutesculo quadriacuteceps visto na Seccedilatildeo 42 eacute descrito em(FERRARIN PEDOTTI 2000 TEIXEIRA et al 2006) A equaccedilatildeo da planta em espaccedilode estados eacute representada pela Equaccedilatildeo 1114 ou seja

x = (A+ δA) middot x+ (B + δB) middot u

sendo as matrizes caracteriacutestica e de entrada do sistema com as incertezas dadas pelasEquaccedilotildees 46 e 47

A+ δA =

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

43 Projeto do controlador do sistema com incertezas limitadas em norma e LMIs 135

B + δB =[

0 0 Gτ

]prime (47)

Conforme descrito na Seccedilatildeo 42 a funccedilatildeo f21(x1(t)) eacute uma natildeo-linearidade dosistema representada pela Equaccedilatildeo 42 tal que o intervalo de incertezas parameacutetricas eacute

f21min le f21(x1(t)) le f21max

Na Equaccedilatildeo 42 verifica-se que x1(t) aparece no denominador o que leva a umaindeterminaccedilatildeo caso seu valor seja nulo Para solucionar esse inconveniente GAINO (2009)expandiu analiticamente a Equaccedilatildeo 42 em duas seacuteries de Taylor uma de quinta ordeme outra de ordem superior agrave quinta utilizando Toolbox Symbolic do Matlabreg Para umintervalo fechado de interesse do estudo foi verificado que o erro de aproximaccedilatildeo torna-sepraticamente nulo (GAINO 2009)

Os valores maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo f21 encontrados por GAINO et al (2008)vatildeo depender do ponto de operaccedilatildeo e da faixa de variaccedilatildeo de θν escolhidos Para o pontode operaccedilatildeo θν0 = 30 levando-se em consideraccedilatildeo a restriccedilatildeo fiacutesica do paciente paramovimentar a perna apenas dentro da faixa 0 le θν le π

2 a faixa de variaccedilatildeo escolhida de θνeacute dada por 0 le θν le π

3 Nestas condiccedilotildees os valores encontrados satildeo f21min = minus217834 ef21max = minus360086

GAINO (2009) utilizando o basic fitting tool do software Matlabreg aproximoua funccedilatildeo natildeo-linear f21(x1(t)) na funccedilatildeo de primeira ordem dada pela Equaccedilatildeo 48 Afunccedilatildeo eacute vaacutelida para x1(t) variando na faixa 0 le θν(t) le 60 e ponto de operaccedilatildeo igual aθν0 = 30

f21(x1(t)) = 13584x1 minus 28896 (48)

Assim a planta nominal eacute representada por x = A middot x + B middot u com as matrizesdadas por

0 1 0f0 minusB

0 0 minus 1τ

0 0 Gτ

]prime

f0 = f21max + f21min2

As matrizes δA e δB satildeo decompostas1 de acordo com a Equaccedilatildeo 1115 sendo

0 δfmax 0]prime

1 0 0]

RB = [0]

∆ =[δ]

minus1 le δ le 1

δfmax = f21min minus f21max2

Para a determinaccedilatildeo da matriz de realimentaccedilatildeo de saiacuteda que estabiliza a variaccedilatildeodo acircngulo de articulaccedilatildeo do joelho de um paciente parapleacutegico utilizando LMIs em presenccedilade incertezas limitadas em norma eacute utilizado o Lema 1135 de COVACIC (2006)

As LMIs 1101 e 1102 satildeo programadas para resoluccedilatildeo em ambiente Matlabreg e seelas forem factiacuteveis as matrizes X e R seratildeo utilizadas para determinaccedilatildeo da matriz derealimentaccedilatildeo da saiacuteda Ko de acordo com a Equaccedilatildeo 1104 ou seja

Ko = R middotXminus1 middot Cminus1

A planta em MF estaacute representada na Figura 18 A matriz F natildeo eacute utilizada nestaabordagem Os valores numeacutericos das matrizes acima encontram-se nas tabelas da Seccedilatildeo71 da parte de resultados

1 Ver Apecircndice F sobre a determinaccedilatildeo das matrizes de incertezas Haacute mais de uma escolha possiacutevelPor exemplo as seguintes matrizes poderiam tambeacutem ser utilizadas L =

[0 1 0

]prime e RA =[˜f21maxminus ˜f21min

2 0 0]

Parte II

Resultados

51 Saiacutedas da simulaccedilatildeo com Matlabreg e Equaccedilotildees de EstadoConsiderando os valores da Tabela 1 e utilizando o Programa A1 foram encontradas

a matriz caracteriacutestica 51 a matriz de entrada 52 a matriz de saiacuteda 53 e a matriz detransmissatildeo direta 54 da planta para a representaccedilatildeo em espaccedilo de estados da cadeira derodas acionada por traccedilatildeo diferencial modelo linear simplificado

Figura 29 ndash Resultados da resposta ao degrau unitaacuterio do controle dinacircmico da cadeiraV = 0[ms] e Ω = 1[rads] e V = 1[ms] e Ω = 0[rads]

Os resultados mostrados nas saiacutedas da Figura 29 foram obtidos a partir das matrizesda representaccedilatildeo do modelo no espaccedilo de estados dadas pelas equaccedilotildees 21 22 23 e 24Os valores numeacutericos das matrizes foram obtidos pela substituiccedilatildeo dos valores numeacutericosexperimentais dos paracircmetros dados na Tabela 1 fornecidos por SOBRINHO et al (2003)e representados pelas Equaccedilotildees de 51 ateacute 54 Para a determinaccedilatildeo dos valores numeacutericosdas matrizes foi utilizado o Programa A1 As saiacutedas mostram que o sistema eacute estaacutevel

minus89721 0 5 8765 0

0 minus89721 0 5 8765minus57285 0 0 0

0 minus57285 0 0

12707 0444712707 minus0444756879 1990756879 minus19907

C = 1 0 0 0

0 1 0 0

D = 0 0

52 Conclusatildeo Parcial Capiacutetulo 5A movimentaccedilatildeo do cadeirante sobre a cadeira causa desvios laterais e longitudinais

do CG isto eacute do posicionamento do paciente O modelo linear simplificado natildeo permitea inclusatildeo dessa incerteza parameacutetrica Ele natildeo permite tambeacutem a inclusatildeo de detalhesestruturais que eacute outra fonte de incertezas parameacutetricas No proacuteximo capiacutetulo eacute feita umaanaacutelise de vaacuterios modelos natildeo-lineares que permitem superar essas limitaccedilotildees

O modelo da cadeira de rodas em equaccedilatildeo de estados da Seccedilatildeo 23 representado nasequaccedilotildees 21 a 213 sendo um modelo matemaacutetico teoacuterico fornece os valores esperados deV e Ω considerando os valores de referecircncia Vref e Ωref Contudo na praacutetica haacute restriccedilotildeesno resultado final jaacute que estaacute sendo utilizado um modelo linear simplificado que tem suaslimitaccedilotildees

6 Controlador robusto utilizando LMIs empresenccedila de incertezas parameacutetricas poli-toacutepicas para um modelo natildeo-linear de umVRTD

61 Saiacutedas da simulaccedilatildeoConsidere-se a planta representada pelas Equaccedilotildees 188 da Seccedilatildeo 113 e as matrizes

de saiacuteda e de transmissatildeo direta do sistema representadas pela Equaccedilotildees 62 e 61repectivamente

D = 0 (61)

C = 1 0

Dessa maneira o modelo de espaccedilo de estado do VRTD fica

y(t) = C middot x(t)

Como a planta tem duas entradas Uref e Ωref e duas saiacutedas ωr e ωl daiacute vem que

= a11 a12

a21 a22

middot ωr

+B middot

middot ωr

611 Obtenccedilatildeo da matriz de realimentaccedilatildeo

A matriz de realimentaccedilatildeo de saiacuteda do sistema Ko eacute calculada utilizando-se LMIsrepresentadas por 1111 atraveacutes do programa D2 para ambiente Matlabreg Satildeo utilizados

um modelo natildeo-linear de um VRTD

os valores dos paracircmetros da Tabela 3 e das matrizes dos veacutertices do politopo dadas peloPrograma D1 As matrizes resultantes do processo estatildeo representadas em 63 ateacute 65

X = 513762 minus17280minus17280 461799

R = 2678942 6747599

3711933 minus5927815

Ko = 57130 148253

68018 minus125818

612 Determinaccedilatildeo dos autovalores da planta nos veacutertices do politopo egeraccedilatildeo das saiacutedas

Por intermeacutedio do programa D3 foram calculados os autovalores da planta paraos veacutertices e pontos interiores escolhidos do politopo considerando o sistema em MA e emMF como pode ser visto na Tabela 5

A Tabela 5 estaacute organizada de tal maneira que para cada veacutertice e ponto dopolitopo foram calculados os polos sendo que agrave esquerda foi realizado um teste em MA eagrave direita foi realizado um teste em MF com realimentaccedilatildeo das saiacutedas da planta atraveacutes damatriz de realimentaccedilatildeo Ko mostrada na Equaccedilatildeo 65

Verificando a tabela constata-se que em MA tanto os pontos dos veacutertices do politopoquanto os pontos escolhidos no interior do politopo apresentam autovalores positivos oque quer dizer que o sistema eacute instaacutevel Analisando-se os autovalores de todos os pontos dopolitopo do sistema em MF constata-se que satildeo todos negativos garantindo a estabilidadeassintoacutetica do sistema

Nas Figuras 30 ateacute 37 tem-se as saiacutedas ωl e ωr em funccedilatildeo da aplicaccedilatildeo de degrausunitaacuterio nas entradas Uref e Ωref para os oito pontos dos veacutertices do politopo Nas Figuras38 a 41 tem-se as saiacutedas ωl e ωr em funccedilatildeo das entradas Uref e Ωref para quatro pontosdo interior do politopo Esses pontos estatildeo representados em suas matrizes de 356 ateacute367 As curvas dessas saiacutedas mostram um comportamento estaacutevel do sistema em MF

Conforme representado nas Figuras de 30 ateacute 41 os graacuteficos localizados do ladoesquerdo das referidas figuras foram obtidos para uma excitaccedilatildeo degrau unitaacuterio navelocidade linear de referecircncia Uref o que ocasiona uma velocidade linear da cadeira parafrente sendo assim ambas as rodas apresentam velocidades angulares na mesma direccedilatildeosentido horaacuterio compatiacuteveis com o movimento da cadeira Os graacuteficos localizados dolado direito das figuras em questatildeo foram obtidos para uma excitaccedilatildeo degrau unitaacuterio navelocidade angular de referecircncia Ωref o que ocasiona uma velocidade angular da cadeira

61 Saiacutedas da simulaccedilatildeo 143

Tabela 5 ndash Autovalores da planta para cada veacutertice do politopo Pdi(di b1i b2i) parai = 1 2 middot middot middot 7 e 8 e para os quatro pontos do interior do politopo Pdcg1 Pdcg2Pdcg3 e Pdcg4 em MA e MF

Pd1(040 0 0151) Pd2(040 0minus0151)Malha Aberta Malha Fechada Malha Aberta Malha Fechada01125 minus01816 00563 minus0179000563 minus09192 01113 minus09231Pd3(040 0151 0151) Pd4(040 0151minus0151)Malha Aberta Malha Fechada Malha Aberta Malha Fechada00558 minus01781 01124 minus0180701111 minus09213 00557 minus09174Pd5(070 0 0151) Pd6(070 0minus0151)Malha Aberta Malha Fechada Malha Aberta Malha Fechada01126 minus03358 00850 minus0329000850 minus09962 01112 minus10039Pd7(070 0151 0151) Pd8(070 0151minus0151)Malha Aberta Malha Fechada Malha Aberta Malha Fechada00846 minus03278 01123 minus0334901109 minus10002 00845 minus09917Pdcg1(070 0 0) Pdcg2(040 0 0)Malha Aberta Malha Fechada Malha Aberta Malha Fechada00854 minus03339 00567 minus0181401118 minus10011 01119 minus09216Pdcg3(045 0 0) Pdcg4(070 0minus01)Malha Aberta Malha Fechada Malha Aberta Malha Fechada00499 minus01493 00852 minus0330501119 minus09100 01114 minus10032

para a direita entatildeo as rodas apresentam velocidade angular positiva em ωl sentidohoraacuterio e velocidade angular negativa em ωr compatiacutevel com o movimento angular dacadeira de rodas para a direita como ilustrado na Figura 42

Apenas com a finalidade de constatar a instabilidade do sistema em malha abertaa Figura 43 apresenta as saiacutedas para o ponto Pdcg1(070 0 0) do interior do politopoquando eacute aplicado um degrau unitaacuterio nas entradas Uref e Ωref Verifica-se pelas curvasque crescem indefinidamente que o sistema realmente eacute instaacutevel

Figura 30 ndash Velocidades angulares das rodas direita e esquerda para MF veacuterticePd1(040 0 0151) e degrau unitaacuterio nas entradas Uref e Ωref

Figura 31 ndash Velocidades angulares das rodas direita e esquerda para MF veacuterticePd2(040 0minus0151) e degrau unitaacuterio nas entradas Uref e Ωref

Figura 38 ndash Velocidades angulares das rodas direita e esquerda para MF pontoPdcg1(070 0 0) do interior e degrau unitaacuterio nas entradas Uref e Ωref

Figura 41 ndash Velocidades angulares das rodas direita e esquerda para MF pontoPdcg4(070 0minus01)do interior e degrau unitaacuterio nas entradas Uref e Ωref

Figura 42 ndash Movimentaccedilatildeo angular da cadeira para a direita em relaccedilatildeo agrave movimentaccedilatildeoangular das rodas de tracionamento

Figura 43 ndash Velocidades angulares das rodas direita e esquerda para malha aberta pontoPdcg1(070 0 0) do interior e degrau unitaacuterio nas entradas Uref e Ωref

62 Conclusatildeo Parcial Capiacutetulo 6O modelo global do veiacuteculo sobre rodas com traccedilatildeo diferencial eacute composto de uma

parte cinemaacutetica e de uma parte dinacircmica que controla o niacutevel mais baixo do modelorepresentado pelas equaccedilotildees 31 e 32 Este uacuteltimo moacutedulo envolve apenas a parte decontrole das velocidades longitudinal e rotacional do veiacuteculo Para os objetivos destecapiacutetulo apenas o modelo dinacircmico foi tratado Contudo a mesma metodologia pode serutilizada para abordar a parte cinemaacutetica Neste caso satildeo utilizas as saiacutedas controladasdo moacutedulo dinacircmico como entradas do moacutedulo cinemaacutetico E entatildeo a matriz de controlepara estabilizar as variaacuteveis cinemaacuteticas responsaacuteveis pelo direcionamento do veiacuteculo istoeacute x y e Ψ pode ser determinada

O modelo dinacircmico natildeo-linear permite incluir a movimentaccedilatildeo do cadeirante e asvariaccedilotildees estruturais (parameacutetricas) que aparecem em forma de incertezas parameacutetricaspolitoacutepicas do modelo Essas incertezas satildeo representadas por um conjunto de veacuterticesmatriciais e incluiacutedas na programaccedilatildeo das LMIs que determinam a matriz de realimentaccedilatildeonegativa Ko que tornam o sistema estaacutevel

A matriz F que deveria ser colocada em seacuterie com a saiacuteda do sistema natildeo foideterminada por duas razotildees primeiro o objetivo inicial natildeo era obter uma siacutentese ERPsegundo porque o caacutelculo da matriz F = Bprime middotXminus1 middot Cminus1 diferentemente de Ko dependedas matrizes Bi com i = 1 2 middot middot middot 8 dos veacutertices do politopo

Vaacuterios modelos natildeo-lineares de VRTD satildeo estudados e o modelo de De La CRUZBASTOS e CARELLI (2011) eacute escolhido por que permite controlar o veiacuteculo sobre rodascom traccedilatildeo diferencial utilizando as velocidades longitudinal e de rotaccedilatildeo como entradasda parte dinacircmica do modelo

O objetivo inicial foi alcanccedilado isto eacute a estabilidade do sistema dinacircmico natildeo-linearcom incertezas politoacutepicas parameacutetricas foi analisada e controlador foi projetado utilizandoLMIs

71 Paracircmetros de entrada valores e graacuteficos de saiacutedas da simula-ccedilatildeoA Tabela 6 apresenta os valores e faixas de variaccedilatildeo dos paracircmetros para geraccedilatildeo

das saiacutedas de simulaccedilatildeo em ambiente Matlabreg Estes valores satildeo utilizados para todos oscasos de simulaccedilatildeo que se seguem

Tabela 6 ndash Valores dos paracircmetros iniciais escolhidos para simulaccedilatildeo

Paracircmetro Valores escolhidosPonto de Operaccedilatildeo θν0 π6Faixa de Variaccedilatildeo 0 le θν le π3Valores maacuteximo e miacutenimo da funccedilatildeo f21maxe f21min obtidos substituindo x1 por π6 naEquaccedilatildeo 48

minus217834 e minus360085 respec-tivamente

Estado Inicial x(0) =[minusθν0 0 minusMa0

]prime [minus05236 0 minus46068

]prime

Os paracircmetros de entrada e saiacuteda obtidos experimentalmente1 satildeo mostrados parao caso sem restriccedilatildeo de saiacuteda2 na Tabela 7 Para o caso com restriccedilatildeo de saiacuteda na Tabela9 Conforme pode ser visto na Seccedilatildeo 115 deste trabalho e de acordo com GAINO (2009)a estabilidade assintoacutetica do sistema representado pela equaccedilatildeo 41 pode ser obtida se acondiccedilatildeo inicial x(0) eacute conhecida e a restriccedilatildeo de saiacuteda 1128 eacute imposta para todo tempot ge 0 ao sistema Para obter esse resultado esperado basta adicionar as LMIs 1129 e 1130agraves LMIs 1121 do Lema 1142 obviamente desde que essas LMIs sejam factiacuteveis

Nas Tabelas 8 e 10 satildeo mostrados os paracircmetros e valores para os pontos notaacuteveisque satildeo vistos nos graacuteficos das Figuras 45 e 44 Para a geraccedilatildeo desses graacuteficos eacute necessaacuterio1 Os detalhes para o caacutelculo dessas matrizes podem ser vistos na Seccedilatildeo 43 sendo que o caacutelculo de

˜f21(x1(t)) estaacute baseado na Equaccedilatildeo 482 Ver Seccedilatildeo 115 sobre restriccedilatildeo de saiacuteda

Tabela 7 ndash Paracircmetros de entrada e de saiacuteda obtidos experimentalmente para o casosimples de simulaccedilatildeo SEM restriccedilatildeo na saiacuteda considerando os paracircmetros daTabela 6 e utilizados na geraccedilatildeo da Figura 44

Paracircmetro ValoresMatrizcaracteriacutesticaA+ δA (δ = 0)

0 1 0minus288960 minus07459 27624

0 0 minus10515

MatrizcaracteriacutesticaA+ δA (δ = 1)

0 1 0minus217834 minus07459 27624144989 minus44627 minus37559

MatrizcaracteriacutesticaA+ δA (δ = minus1)

Matrizde entrada B

[0 0 44690

]primeMatrizde saiacuteda C

[1 0 0

]Matriz D

Matriz L[

0 71126 0]prime

Matriz RA

[1 0 0

]Matriz RB

Matriz ∆ =[δ] [

1]e[minus1

]MatrizδA = L middot∆ middotRA

0 0 071126 0 0

0 0 0minus71126 0 0

Matriz derealimentaccedilatildeo K 10minus3 times

[minus03244 00999 00605

]Polos emmalha fechadaδ = 0 minus13777plusmn 61086i e minus17463δ = 1 minus16143plusmn 54951i e minus12732δ = minus1 minus12186plusmn 66799i e minus20646Variaacutevel escalarLema 1142 ε = 127728

primeiro determinar as matrizes de realimentaccedilatildeo K programando as LMIs estabelecidasno Lema 1142 utilizando o LMILab do ambiente Matlabreg Considerando que as matrizesde incertezas δA e δB satildeo dependentes da matriz diagonal das incertezas ∆ = [δ] eesta uacuteltima depende dos valores limites e ponto de operaccedilatildeo do intervalo de variaccedilatildeo deincertezas parameacutetricas as curvas satildeo geradas para δ = minus1 δ = 0 e δ = 1 Essas curvassatildeo geradas nesta ordem em todos os graacuteficos donde se observa que as curvas para δ = 0

71 Paracircmetros de entrada valores e graacuteficos de saiacutedas da simulaccedilatildeo 155

ficam localizadas entre as outras duas curvas

Tabela 8 ndash Pontos notaacuteveis observaacuteveis na Figura 44 simulaccedilatildeo SEM restriccedilatildeo de saiacutedaPara cada paracircmetro de entrada e saiacuteda satildeo examinadas trecircs curvas a saberpara δ = 1 δ = 0 e δ = minus1 conforme legenda

Paracircmetro ValoresLargura de pulso 217times 10minus4[s] em 0[s] estabiliza em 106times 10minus4[s] em 311[s]

217times 10minus4[s] em 0[s] estabiliza em 108times 10minus4[s] em 320[s]217times 10minus4[s] em 0[s] estabiliza em 108times 10minus4[s] em 326[s]

Acircngulo do joelho 050[rad] em 060[s] estabiliza em 052[rad] em 380[s]045[rad] em 080[s] estabiliza em 052[rad] em 380[s]040[rad] em 120[s] estabiliza em 052[rad] em 400[s]

Velocidade angular 135[rads] em 030[s] estabiliza em 0[rads] em 390[s]095[rads] em 035[s] estabiliza em 0[rads] em 390[s]070[rads] em 052[s] estabiliza em 0[rads] em 390[s]

Torque 415[Nm] no tempo de 100[s] estabiliza em 460[Nm] em400[s]410[Nm] no tempo de 130[s] estabiliza em 460[Nm] em370[s]400[Nm] no tempo de 170[s] estabiliza em 455[Nm] em395[s]

Nas Figuras 44 e 45 satildeo mostrados os resultados das simulaccedilotildees dos sistemasrepresentados pela Equaccedilatildeo 1114 com a lei de controle dada na Equaccedilatildeo 1119

O acircngulo do joelho em ambas as tabelas comeccedila proacuteximo de 0 correspondendo a∆x1 = θν0 = minusπ

6 = minus05236[rad] e estabiliza-se em em torno de 045[rad] no caso semrestriccedilatildeo de saiacuteda e exatamente em 052[rad] no caso com restriccedilatildeo de saiacuteda

A velocidade angular do joelho comeccedila proacuteximo de 0[rads] e apresenta um maacuteximovalor de ultrapassagem de 135[rads] em 060[s] para δ = 1 e no caso sem restriccedilatildeode saiacuteda Jaacute no caso com restriccedilatildeo de saiacuteda esse valor desce para 131[rads] no mesmoperiacuteodo A velocidade desce para 0[rads] em 380[s] para ambos os casos de sem e comrestriccedilatildeo de saiacuteda

E o torque ativo produzido pelos estiacutemulos inicia-se em 0[Nm] correspondendoa ∆x3 = Ma0 = 46068 tambeacutem eacute mostrada a resposta transitoacuteria da lei de controledo compensador dinacircmico aplicado agrave dinacircmica do paciente parapleacutegico com f21max =minus217834 e f21min = minus360085 calculados pela Equaccedilatildeo 48 e estado inicial dado na Tabela6 Em ambos os casos estabiliza-se em torno de 460[Nm] em 380[s]

Finalmente a largura de pulso inicia-se em torno de 110 times 10minus4[s] e estabiliza-se em torno de 107 times 10minus4[s] na melhor situaccedilatildeo para o caso com restriccedilatildeo de saiacuteda

Figura 44 ndash Simulaccedilatildeo das equaccedilotildees dinacircmicas do modelo do parapleacutegico para o pontode operaccedilatildeo de 30 sendo f21max = minus217834 e f21min = minus360085 SEMrestriccedilatildeo de saiacuteda

A Equaccedilatildeo 45 mostra que eacute necessaacuterio que a largura de pulso satisfaccedila a condiccedilatildeoPN gt minusMa0G Assim a condiccedilatildeo PN gt minusMa0G foi substituiacuteda por |PN | lt minusMa0G

para permitir o uso das LMIs que determinam a restriccedilatildeo de saiacuteda Na realidade qualquervalor de PN maior do que a razatildeo minusMa0G satisfaz a restriccedilatildeo Contudo a relaccedilatildeo preacuteviaimplica que |PN | lt minusMa0G dessa maneira qualquer valor de PN entre minusMa0G e Ma0G

satisfaz os requisitos como mostrado na Figura 46 Considerando-se o valor da relaccedilatildeoMa0G = (4606842500) = 108 times 10minus4[s] constata-se que ela estaacute dentro do intervaloestabelecido

Figura 45 ndash Simulaccedilatildeo das equaccedilotildees dinacircmicas do modelo do parapleacutegico para o pontode operaccedilatildeo de 30 sendo f21max = minus217834 e f21min = minus360085 COMrestriccedilatildeo de saiacuteda

Figura 46 ndash Intervalo de restriccedilatildeo para a largura de pulso miacutenima

Tabela 9 ndash Paracircmetros de entrada e de saiacuteda obtidos experimentalmente para o caso desimulaccedilatildeo com restriccedilatildeo na saiacuteda considerando os paracircmetros da Tabela 6 eutilizados na Figura 45

0 1 0minus288960 minus07459 27624

0 0 minus10515

Matrizde entrada B

[0 0 44690

[1 0 0

]Matriz D

Matriz L[

0 71126 0]prime

Matriz RA

[1 0 0

]Matriz RB

Matriz ∆ =[δ] [

1]e[minus1

0 0 071126 0 0

0 0 0minus71126 0 0

[minus02639 00602 00305

Fator de restriccedilatildeode saiacuteda λ0LMI 1130

λ0 = radicmicro =radic

462651 = 68018

Tabela 10 ndash Pontos notaacuteveis observaacuteveis na Figura 44 simulaccedilatildeo COM restriccedilatildeo de saiacutedaPara cada paracircmetro de entrada e saiacuteda satildeo examinadas trecircs curvas a saberpara δ = 1 δ = 0 e δ = minus1 conforme legenda

72 Conclusatildeo Parcial Capiacutetulo 7No Capiacutetulo 6 eacute utilizada uma metodologia de incertezas parameacutetricas politoacutepicas

ao passo que neste capiacutetulo eacute utilizada uma abordagem diferente incertezas parameacutetricaslimitadas em norma Neste caso no programa para caacutelculo das matrizes de realimentaccedilatildeotanto no caso sem restriccedilatildeo quanto no caso com restriccedilatildeo a primeira LMI utiliza os valoresnominais da matriz caracteriacutestica A e da matriz L e natildeo os veacutertices de um politopo Soacutedepois que a soluccedilatildeo foi obtida eacute que se verifica o caso nominal (δ = 0) e os casos extremos(δ = 1 e δ = minus1) Ou seja na abordagem por incertezas parameacutetricas limitadas em normaas incertezas estatildeo em δA = L middot∆ middotRA

Tanto no caso sem restriccedilatildeo quanto no caso com restriccedilatildeo percebe-se pelos graacuteficosde saiacuteda do sistema que a largura de pulso se estabiliza dentro da faixa dos limites teoacutericosestabelecidos na Figura 6 Pelos valores das Tabelas 8 e 10 verifica-se que o caso comrestriccedilatildeo de saiacuteda encaixa-se melhor nos intervalos teoacutericos estabelecidos do que o casosem restriccedilatildeo de saiacuteda Todavia a inclusatildeo da restriccedilatildeo de saiacuteda ainda eacute conservadorademandando uma abordagem mais eficaz

As Tabelas 8 e 10 mostram que os resultados confirmam a praacutetica de que o torqueestabiliza-se no seu valor maacuteximo num tempo igual agravequele que permite a estabilizaccedilatildeo emzero da velocidade angular As tabelas mostram tambeacutem que o acircngulo de estabilizaccedilatildeodo posicionamento final do joelho do paciente parapleacutegico alcanccedila os 30 inicialmenteesperado

8 Conclusatildeo Geral

De acordo com o Capiacutetulo 6 a modelagem de uma cadeira de rodas pode serdividida em duas partes principais o modelo da parte dinacircmica que tem como entradaas velocidades de referecircncia uref e ωref e como saiacuteda as velocidades linear u e angularω da cadeira o modelo da parte cinemaacutetica que tem como entrada as saiacutedas da partedinacircmica e fornece como saiacutedas as variaacuteveis de posicionamento da cadeira x y e Ψ Ambosos modelos no entanto acabam sendo uma aproximaccedilatildeo da planta real apresentandoincertezas parameacutetricas que precisam ser tratadas Por outro lado constata-se que osmodelos satildeo natildeo-lineares e a abordagem matemaacutetica se torna complexa e uma linearizaccedilatildeodo modelo em torno de um ponto de equiliacutebrio eacute necessaacuteria para tratar essa complexidade

Concentrando-se na parte dinacircmica da planta foi proposto inicialmente um modelolinear dinacircmico simplificado de um VRTD Verificou-se que esse modelo dinacircmico simplifi-cado permitia o estudo da cadeira de rodas num niacutevel baixo encontrando um modelo querelaciona as velocidades linear V e angular Ω com as velocidades angulares no eixo dosmotores direito ωr e esquerdo ωl considerando apenas dois paracircmetros o raio das rodasr e a distacircncia entre as rodas d

Partindo-se de um modelo implementado no Simulinkreg e de um modelo em espaccedilo deestados foi estudado um projeto de estabilizaccedilatildeo para a cadeira utilizando-se controladoresPI e P Contudo esse modelo era muito simples e natildeo permitia considerar como osmovimentos do cadeirante influenciava na estabilidade do veiacuteculo

Estes fatos direcionaram os esforccedilos na utilizaccedilatildeo de meacutetodos matemaacuteticos en-volvendo incertezas parameacutetricas politoacutepicas e incertezas limitadas em norma utilizandoLMIs para estudar a estabilidade do sistema em face das incertezas consideradas Optou-seentatildeo pelo projeto de um controlador robusto capaz de estabilizar o sistema mesmo emface de incertezas A busca por uma soluccedilatildeo adequada levou agrave utilizaccedilatildeo da metodologiaconhecida como siacutentese de sistemas ERP utilizando LMIs Foram estudados vaacuterios modelosde um VRTD optando-se pelo modelo de De La CRUZ BASTOS e CARELLI (2011) quese mostrou bastante completo pois levou em conta vaacuterios paracircmetros fiacutesicos da cadeira etambeacutem as incertezas inerentes ao mesmo

Como o modelo resultante era natildeo-linear desprezando-se o vetor de distuacuterbiosa matriz natildeo-linear original foi substituiacuteda pela matriz Jacobiana da funccedilatildeo obtendo-seum modelo linearizado Em seguida foi determinada a matriz de realimentaccedilatildeo Ko quegarantia a estabilidade do modelo dinacircmico

No caso da estabilizaccedilatildeo do posicionamento final do joelho do paciente parapleacutegicoverifica-se que o pulso de estimulaccedilatildeo eleacutetrica funcional aplicado no muacutesculo quadriacuteceps

162 Capiacutetulo 8 Conclusatildeo

constitui-se na entrada da planta A saiacuteda por sua vez eacute constituiacuteda pelo acircngulo da pernado paciente parapleacutegico que varia ateacute um limite definido pelas condiccedilotildees do pacienteAssim o objetivo inicial foi alcanccedilado foi obtida uma matriz de realimentaccedilatildeo de estadosK considerando incertezas limitadas em norma de modo que o sistema em questatildeo setorne estaacutevel

Para que a largura de pulso natildeo assuma valores negativos como aconteceu emvaacuterios estudos realizados pelo autor devem ser impostas restriccedilotildees na entrada comomostrado na Figura 46 para impedir tal fato

As saiacutedas de simulaccedilatildeo resultantes mostradas na 45 satildeo idecircnticas agravequelas obtidaspor GAINO (2009) nas mesmas condiccedilotildees Aqui os resultados de simulaccedilatildeo foram obtidosutilizando uma restriccedilatildeo imposta na saiacuteda por um fator λ0 = 68018 E os valores davariaacutevel escalar satildeo ε = 127728 e ε = 42263 para os casos sem e com restriccedilatildeo de saiacutedarespectivamente conforme podem ser verificados pelas Figuras 44 e 45 Como consequecircnciaa oscilaccedilatildeo foi eliminada do graacutefico da largura de pulso estabilizando em valores de PNmuito proacuteximos uns dos outros nas simulaccedilotildees

Mesmo quando se busca um modelo mais completo natildeo-linear haacute a necessidadede diminuir a complexidade inerente ao sistema desprezando-se algumas caracteriacutesticasfiacutesicas do modelo como os distuacuterbios por exemplo

Constata-se que o meacutetodo de projeto do controlador envolvendo incertezas parameacute-tricas politoacutepicas e LMIs utilizado no caso do modelo dinacircmico simplificado de um VRTDfoi bem sucedido pois as LMIs satildeo factiacuteveis uma vez que se encontrou uma resposta paraK

Para as plantas com realimentaccedilatildeo de saiacuteda via matriz de realimentaccedilatildeo K todosos pontos de testes escolhidos dentro do politopo considerado apresentaram autovalorescom a parte real negativa Portanto o sistema eacute estaacutevel independentemente dos valoresdos paracircmetros incertos o que eacute garantido pela factibilidade das LMIs utilizadas

Os graacuteficos das respostas transitoacuterias das velocidades linear e angular a uma entradaem degrau unitaacuterio tambeacutem mostram que todas as curvas se estabilizam em um tempoabaixo de 20[s]

Os objetivos iniciais dos projetos foram alcanccedilados uma vez que as matrizes derealimentaccedilatildeo de estado K utilizando incertezas parameacutetricas politoacutepicas foram obtidaspara cada sistema em particular tornando os sistemas realimentado estaacuteveis

No caso do controle robusto do acircngulo da articulaccedilatildeo do joelho do paciente para-pleacutegico o controle projetado eacute capaz de fazer com que a perna do paciente se mova dodescanso ateacute um acircngulo desejado e uma vez que a estimulaccedilatildeo do controlador eacute removidaa perna volta agrave situaccedilatildeo de repouso pela gravidade

81 Sugestotildees para trabalhos futuros 163

81 Sugestotildees para trabalhos futurosO projetar do controle robusto do acircngulo da articulaccedilatildeo do joelho do paciente

parapleacutegico incluindo uma taxa de decaimento para controlar a velocidade da respostatransitoacuteria permitindo um tempo de recuperaccedilatildeo mais curto como em (GAINO 2009)

Utilizar a mesma abordagem desenvolvida com auxiacutelio de LMIs em presenccedila deincertezas parameacutetricas politoacutepicas mostrada no Capiacutetulo 6 para projetar o controladorrobusto para a parte cinemaacutetica do veiacuteculo sobre rodas com tracionamento diferencial

Utilizar a metodologia aqui apresentada para estudar a estabilidade robusta doHelicoacuteptero 3-DOF da Quanser em presenccedila de incertezas e distuacuterbios A existecircncia daplanta representada pelo modelo de bancada disponibilizado pela Quanser permite queo modelo utilizando teacutecnicas de LMIs e incertezas parameacutetricas politoacutepicas possa sersimulado em ambiente Matlabrege posteriormente validado no modelo de bancada daQuanser

82 Artigos publicados apresentados e submetidosPublicado em co-autoria ROSSINI F L MOUTINHO N M S GAINO R

COVACIC M R Projeto de controlador robusto aplicado agrave cadeira de rodas moacuteveis viaabordagem por LMIs In XIX CONGRESSO BRASILEIRO DE AUTOMAacuteTICA 2012Campina Grande Anais Campina Grande 2012 p 2966-2972

Publicado em autoria e apresentado em Congresso MOUTINHO N M S ROS-SINI F L COVACIC M R GAINO R Controle robusto de veiacuteculo sobre plataformacom rodas e traccedilatildeo diferencial utilizando LMIs In XI SIMPOacuteSIO BRASILEIRO DEAUTOMACcedilAtildeO INTELIGENTE 2013 Fortaleza Cearaacute Brasil Fortaleza UniversidadeFederal do Cearaacute 2013 Disponiacutevel em lthttpwwwsbai2013ufcbrpdfs4737pdfgtAcesso em 30 nov 2013

Manuscrito Submetido sob nuacutemero 736246 em autoria MOUTINHO N MGAINO R COVACIC M R TEIXEIRA M C M CARVALHO A A ASSUNCcedilAtildeOE CARDIM R and SANCHES A A Robust Control of the Knee Joint Angle ofParaplegic Patients Considering Norm-bounded Uncertainties Submetido ao ao perioacutedicoMathematical Problem in Engineering Publisher Hindawi Publishing Corporation URLhttpwwwhindawicom Acesso em 10 dez 2014

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Apecircndices

Parte III

Modelagem dinacircmica linear simplificada deVRTD

APEcircNDICE A ndash Programas implementadosem ambientes Matlabreg e Simulinkreg

--------------------------------------------------------------------

Programa para executar a simulaccedilatildeo do controle da cadeira de rodas do modelo linear simplificado em equaccedilotildees de estado no Matlab --------------------------------------------------------------------

clear all clc

D = 07 Distacircncia entre as rodas traseiras de acionamento R = 015 Raio das rodas traseiras de acionamento m = 01 Relaccedilatildeo do Redutor de Engrenagens T = 013 Constante de Tempo do Motor K1 = 01750 Constante Proporcional dos Controladores P K2 = 018534 Constante Proporcional dos Controladores PI K = 24pi Ganho da Funccedilatildeo de Transferecircncia dos Motores I = 48753 Constante Integral dos Controladores PI A11 = (-K2(K1+1)Km-1)T A12 = 0 A13 = KmT A14 = 0 A21 = 0 A22 = A11 A23 = 0 A24 = A13 A31 = -I(K1+1) A32 = 0 A33 = 0 A34 = 0 A41 = 0 A42 = A31 A43 = 0 A44 = 0 B11 = K2K1Km(RT) B12 = K2K1KmD(2RT) B21 = B11 B22 = -B12 B31 = IK1R B32 = IK1D(2R) B41 = B31 B42 = -B32 C11 = 1 C12 = 0 C13 = 0 C14 = 0 C21 = 0 C22 = 1 C23 = 0 C24 = 0 D11 = 0 D12 = 0 D21 = 0 D22 = 0 A = [A11A12A13A14A21A22A23A24A31A32A33A34A41A42A43A44] B = [B11B12B21B22B31B32B41B42] C = [C11C12C13C14C21C22C23C24] D = [D11D12D21D22]

178 APEcircNDICE A Programas implementados em ambientes Matlabreg e Simulinkreg

A1 Simulaccedilatildeo com modelo da cadeira de rodas em espaccedilo deestado Fonte do proacuteprio autor

t=002138 [num1den1]=ss2tf(ABCD1) [num2den2]=ss2tf(ABCD2) [y1t1x1]=step(num1den1) [y2t2x2]=step(num2den2) for i=170 V(i) = y1(i1) Omega(i) = y1(i2) end

for i=170 wr(i) = y2(i1) wl(i) = y2(i2) end

figure(NameResposta ao Degrau V=0 e Omega=1NumberTitleoff)

subplot(211) plot(tVk-twrb-twlb--LineWidth15) title(Cadeira Vref=1 [ms] e Omegaref=0 [rads]) legend(Vwrwl) axis([-Inf 110 0 11]) ylabel([rads] [ms]) xlabel(Tempo [s]) grid on hold on

subplot(212) plot(tOmegak-twrb-twlb--LineWidth15) title(Cadeira Vref=0 [ms] e Omegaref=1 [rads]) legend(Omegawrwl) axis([-Inf 110 -05 11]) ylabel([rads]) xlabel(Tempo [s]) grid on hold on

A1 Simulaccedilatildeo com modelo da cadeira de rodas em espaccedilo de estado Fonte do proacuteprio autor 179

Parte IV

Modelagem dinacircmica natildeo-linear simplificadade VRTD

APEcircNDICE B ndash Definiccedilotildees dos vetoresparameacutetricos e de distuacuterbios

B1 Definiccedilatildeo do vetor parameacutetrico e de distuacuterbio de ZhangZHANG et al (1998) utiliza as definiccedilotildees dos componentes dos vetores parameacutetrico

e de distuacuterbio mostrados nas equaccedilotildees de B1 ateacute B6 a seguir

θu = m middotR2t + 2 middot Ie

θω = Ie middot d2 + 2 middotR2t middot (Iz +m middot b2) (B1)

τu = 12 middot [τl + τr]

τω = 12 middot [τl minus τr] (B2)

δu = 1θumiddot[m middotR2

t middot ω middot vs +R2t middot (Fxprimec + ηxprimee)minusBe middot (2 middot u+ usl + usr)minus Ie middot (usl + usr)

δω = 1θωminusBed

2ωminusBed[usl minususr]minusIed[usl minus usr]minus2mR2t vs+R2

t [(bminuse)ηyprimee+(a+b)Fyprimec+τe](B4)

δx = minusvs middot senΨ (B5)

δy = minusvs middot cos Ψ (B6)

B2 Definiccedilatildeo do vetor de distuacuterbio de De La CruzZHANG et al (1998) De La CRUZ C C e CARELLI (2006) MARTINS et al

(2008) De La CRUZ BASTOS e CARELLI (2011) utilizam o mesmo vetor de distuacuterbioδ com pequenas variaccedilotildees Como o modelo escolhido neste trabalho eacute de De La CRUZ

184 APEcircNDICE B Definiccedilotildees dos vetores parameacutetricos e de distuacuterbios

BASTOS e CARELLI (2011) ele estaacute definido nas equaccedilotildees de B7 ateacute B11 (MARTINSet al 2008 De La CRUZ BASTOS CARELLI 2011)

δu = 12 middot θ4 middot (usr + usl ) + 1

2 middot(θ1 minus

Ra middot r middotm2 middot kPT middot ka

)middot (usr + usl ) + Ra middot r

2 middot kPT middot kamiddot (m middot us middot ω + Fpxprime)

δω = δo1 minus co5 middot δu (B8)

δo1 = δo1a + δo1b + δo1c

δo1a = θ6

dmiddot (usr minus usl ) + co3

2 middot (usr minus usl ) + co2

2 middot (usr + usl )

δo1b =(co1dminus Ra middot rd2 middot kPR middotKa

middot (b21 middotm+ Iz)

)middot (usr minus usl )

δo1b = Ra middot rd middot kPR middot ka

middot (τp + b1 middot Fpyprime minus b1 middotm middot ˙us)

co1 = kDRkPR

+ Ra middot rd middotKPR middot ka

middot(Ie middot d2

2 middot r2 + b21 middotm+ Iz

co2 = frac2 middot b2d middot kPR middot(kDT + Ra middot Ie

ka middot r

co3 = frac2 middot b2d middot kPR middot(kPT + kb

r+ Ra middotBe

ka middot r

) (B9)

δx = minusus middot senΨ (B10)

δy = us middot cos Ψ (B11)

APEcircNDICE C ndash Paracircmetros do controladorrobusto para um modelo natildeo-linear de um

C1 Determinaccedilatildeo dos elementos das matrizes lineares do VRTDFonte do proacuteprio autor

C11 Determinaccedilatildeo dos elementos da matriz A

1 Seja

α = 1θ1 middot θ2 minus θ7 middot θ8

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

2 Entatildeo

A2times2 = minusα middot r

3 Transformando a matriz A por Lyapunov vem

partωr= part

partωr

r2 middot (ωr + ωl) middot θ4 minus r2

partωl= part

partωl

4 Isto eacute

partωr= r

2 middot θ4 minus 2middotr2

d2 middot (ωr minus ωl) middot θ3r2middotωrdmiddot θ5 + r

dmiddot θ6

partωl= r

2 middot θ4 + 2middotr2

minus r2middotωldmiddot θ5 minus r

dmiddot θ6

186 APEcircNDICE C Paracircmetros do controlador robusto para um modelo natildeo-linear de um VRTD

5 Entatildeo

d2 middot (ωr minus ωl) middot θ3r2 middot θ4 + 2middotr2

dmiddot θ6 minus r2middotωl

dmiddot θ5 minus r

dmiddot θ6

6 Substituindo α vem

A2times2 = minus 1θ1 middot θ2 minus θ7 middot θ8

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

times 1

r2 middot θ4 minus 2middotr2

dmiddot θ5 minus r

dmiddot θ6

7 Finalmente

middot[

1rmiddot θ2 + d

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

dmiddot θ6

middot[

1rmiddot θ2 + d

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

] [minusr

dmiddot θ6

middot[

1rmiddot θ2 minus

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

dmiddot θ6

middot[

1rmiddot θ2 minus

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

] [minusr

dmiddot θ6

C1 Determinaccedilatildeo dos elementos das matrizes lineares do VRTD Fonte do proacuteprio autor 187

C12 Determinaccedilatildeo dos elementos da matriz B

1 Seja

B2times2 = 1θ1 middot θ2 minus θ7 middot θ8

middot

1rmiddot θ2 + d

2middotr middot θ81rmiddot θ7 + d

2middotr middot θ11rmiddot θ2 minus d

2middotr middot θ1

2 Transformando a matriz B por Lyapunov vem

parturef= part

parturef

(1rmiddot θ2 + d

2middotr middot θ8)middot uref +

(1rmiddot θ7 + d

2middotr middot θ1)middot ωref(

1rmiddot θ2 minus d

(1rmiddot θ7 minus d

2middotr middot θ1)middot ωref

partωref= part

partωref

(1rmiddot θ2 + d

(1rmiddot θ7 + d

3 Ou seja

parturef= 1

rmiddot θ2 + d

2middotr middot θ8

partωref= 1

rmiddot θ7 + d

2middotr middot θ1

4 Entatildeo

middot

1rmiddot θ2 + d

2middotr middot θ1

5 Finalmente

middot[

1rmiddot θ2 + d

middot[

1rmiddot θ7 + d

middot[

1rmiddot θ2 minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

APEcircNDICE D ndash Programas doMatlabreg para determinaccedilatildeo da matriz de

realimentaccedilatildeo do controle robusto do VRTD

----------------------------------------------------------------------- Programa CalcMatCaractDeLaCruz45_deb1b2m CUsersNilsonDropboxQualificaccedilatildeoNilson_2014v3 Modelo Dinacircmico Cadeira de Rodas Motorizada Caacutelculo dos valores das Matrizes Caracteriacutestica e de Dados de DeLaCruz Este programa fornece as matrizes para o caacutelculo de Ko pelo programa SBAI2013_TesteMalhaAbertaEFechada451_vf14082014 que estaacute em DropboxQualificaccedilatildeoNilson_2014v3 ----------------------------------------------------------------------- syms d b1 b2 clearclose allclc

k_DT=01 k_PT=1 k_DR=01 k_PR=1 R_a=02 k_a=1 I_e=100 I_z=150 k_b=1 B_e=5 x_k=1 y_k=1 wl=0 wr=0

Paracircmetros Ajustaacuteveis

a=01 m=80 r=035

Pd1(04000151) d=040 b1=0 b2=0151 b2lt0 quando deslocamento eacute para direita

Utilizando o Caacutelculo das Constantes Thetas via pag 123-124 De La Cruz

theta0_1=(k_DTk_PT)+(R_ar((2I_er^2)+m)(2k_PTk_a)) theta0_2=(k_DRk_PR)+R_ar(I_ed^2(2r^2)+I_z+m(b1^2+b2^2))(dk_PRk_

a) theta0_3=R_armb1(2k_PTk_a) theta0_4=1+k_b(k_PTr)+B_eR_a(k_PTk_ar) theta0_5=R_arb1m(dk_PRk_a) theta0_6=1+dk_b(2rk_PR)+B_eR_ad(2k_PRk_ar) theta0_7=mb2R_ar(2k_PTk_a) theta0_8=b2R_arm(dk_PRk_a)

Derivaccedilatildeo das Matrizes Linearizadas por Lyapunov

190APEcircNDICE D Programas do Matlabreg para determinaccedilatildeo da matriz de realimentaccedilatildeo do controle

robusto do VRTD

D1 Programa para determinaccedilatildeo dos valores das matrizes dos veacuter-tices do politopo Fonte do proacuteprio autor

gama = 1(theta0_1theta0_2-theta0_7theta0_8) beta11= (theta0_2r) + dtheta0_8(2r) beta12= (theta0_7r) + dtheta0_1(2r) beta21= (theta0_2r) - dtheta0_3(2r) beta22= (theta0_7r) - dtheta0_1(2r)

alfa11= (rtheta0_42) - (2(r^2)(wr-wl)theta0_3)(d^2) alfa11a= (rtheta0_6d) + ((r^2)wrtheta0_5)d alfa12= (rtheta0_42) + (2(r^2)(wr-wl)theta0_3)(d^2) alfa12a= -(rtheta0_6d) - ((r^2)wltheta0_5)d alfa21= (rtheta0_42) - (2(r^2)(wr-wl)theta0_3)(d^2) alfa21a= (rtheta0_6d) + ((r^2)wrtheta0_5)d alfa22= (rtheta0_42) + (2(r^2)(wr-wl)theta0_3)(d^2) alfa22a= -(rtheta0_6d) - ((r^2)wltheta0_5)d

A11=gama(beta11alfa11+beta12alfa11a) A12=gama(beta11alfa12+beta12alfa12a) A21=gama(beta21alfa21+beta22alfa21a) A22=gama(beta21alfa22+beta22alfa22a)

B11=gamabeta11 B12=gamabeta12 B21=gamabeta21 B22=gamabeta22

Ad1=[A11 A12A21 A22] Bd1=[B11 B12B21 B22]

Pd2(0400-0151) d=040 b1=0 b2=-0151 b2lt0 quando deslocamento eacute para direita

alfa11= (rtheta0_42) - (2(r^2)(wr-wl)theta0_3)(d^2) alfa11a= (rtheta0_6d) + ((r^2)wrtheta0_5)d alfa12= (rtheta0_42) + (2(r^2)(wr-wl)theta0_3)(d^2) alfa12a= -(rtheta0_6d) - ((r^2)wltheta0_5)d alfa21= (rtheta0_42) - (2(r^2)(wr-wl)theta0_3)(d^2) alfa21a= (rtheta0_6d) + ((r^2)wrtheta0_5)d

D1 Programa para determinaccedilatildeo dos valores das matrizes dos veacutertices do politopo Fonte do proacuteprioautor 191

alfa22= (rtheta0_42) + (2(r^2)(wr-wl)theta0_3)(d^2) alfa22a= -(rtheta0_6d) - ((r^2)wltheta0_5)d

Ad2=[A11 A12A21 A22] Bd2=[B11 B12B21 B22]

Pd3(04001510151) d=040 b1=0151 b2=0151

robusto do VRTD

Ad3=[A11 A12A21 A22] Bd3=[B11 B12B21 B22]

Ad4=[A11 A12A21 A22] Bd4=[B11 B12B21 B22]

Pd5(07000151) d=070 b1=0 b2=0151

theta0_1=(k_DTk_PT)+(R_ar((2I_er^2)+m)(2k_PTk_a))

theta0_2=(k_DRk_PR)+R_ar(I_ed^2(2r^2)+I_z+m(b1^2+b2^2))(dk_PRk_

Ad5=[A11 A12A21 A22] Bd5=[B11 B12B21 B22]

gama = 1(theta0_1theta0_2-theta0_7theta0_8)

robusto do VRTD

beta11= (theta0_2r) + dtheta0_8(2r) beta12= (theta0_7r) + dtheta0_1(2r) beta21= (theta0_2r) - dtheta0_3(2r) beta22= (theta0_7r) - dtheta0_1(2r)

Ad6=[A11 A12A21 A22] Bd6=[B11 B12B21 B22]

Pd7(07001510151) d=070 b1=0151 b2=0151

Ad7=[A11 A12A21 A22] Bd7=[B11 B12B21 B22]

B11=gamabeta11 B12=gamabeta12 B21=gamabeta21

robusto do VRTD

B22=gamabeta22

Ad8=[A11 A12A21 A22] Bd8=[B11 B12B21 B22]

Pdcg1(07000) d=070 b1=0 b2=0 theta0_1=(k_DTk_PT)+(R_ar((2I_er^2)+m)(2k_PTk_a)) theta0_2=(k_DRk_PR)+R_ar(I_ed^2(2r^2)+I_z+m(b1^2+b2^2))(dk_PRk_

Adcg1=[A11 A12A21 A22] Bdcg1=[B11 B12B21 B22]

Pdcg2(04000) d=040 b1=0 b2=0

theta0_3=R_armb1(2k_PTk_a) theta0_4=1+k_b(k_PTr)+B_eR_a(k_PTk_ar) theta0_5=R_arb1m(dk_PRk_a) theta0_6=1+dk_b(2rk_PR)+B_eR_ad(2k_PRk_ar) theta0_7=mb2R_ar(2k_PTk_a) theta0_8=b2R_arm(dk_PRk_a)

Pdcg3(04500) d=045 b1=0 b2=0

robusto do VRTD

Pdcg4(0700-01) d=070 b1=0 b2=-01 b2lt0 quando deslocamento eacute para direita theta0_1=(k_DTk_PT)+(R_ar((2I_er^2)+m)(2k_PTk_a)) theta0_2=(k_DRk_PR)+R_ar(I_ed^2(2r^2)+I_z+m(b1^2+b2^2))(dk_PRk_

A11=gama(beta11alfa11+beta12alfa11a) A12=gama(beta11alfa12+beta12alfa12a) A21=gama(beta21alfa21+beta22alfa21a)

A22=gama(beta21alfa22+beta22alfa22a)

robusto do VRTD

------------------------------------------------------------ Programa para caacutelculo da matriz Ko de realimentaccedilatildeo da saiacuteda Modelo Dinacircmico de De La Cruz Utilizando Teorema 8 de Marcio Covacic Sendo X=X AX+XA-BR-RB lt 0 Xgt0 F = Binv(X)inv(C) Ko=Rinv(X)inv(C) Utilizando os veacutertices dos politopos de Ai e Bi este programa calcula o X o R e o Ko utilizando duas codificaccedilotildees diferentes para as LMIs -------------------------------------------------------------

clearclose allclc Versatildeo corrigido o sinal de gama Ad1=[00857 0027400288 00831] Ad2=[00825 0028200268 00851] Ad3=[00854 0027700289 00827] Ad4=[00822 0028400269 00847] Ad5=[01000 0013200143 00976] Ad6=[00969 0013600125 00993] Ad7=[00997 0013400142 00971] Ad8=[00967 0013800125 00988]

Bd1=[00481 0015500476 -00145] Bd2=[00471 0014500476 -00155] Bd3=[00481 0015400475 -00154] Bd4=[00471 0014400475 -00154] Bd5=[00482 0028900476 -00278] Bd6=[00470 0027800476 -00289] Bd7=[00482 0028800474 -00276] Bd8=[00470 0027600474 -00288]

Cd=[1 00 1]

n=size(Ad11)

setlmis([])

X=lmivar(1[n 1]) R=lmivar(2[n n])

Versatildeo A This block is of the form A1X1 + X1A1 + A2X2 + X2A2 Essa versatildeo gera os dados levados ao SBAI2013

lmiterm([1 1 1 X]1Ad1s) lmiterm([1 1 1 -R]1-Bd1s)

D2 Programa para caacutelculo da matriz Ko de realimentaccedilatildeo de saiacuteda do sistema utilizando LMIs Fontedo proacuteprio autor 201

D2 Programa para caacutelculo da matriz Ko de realimentaccedilatildeo de saiacutedado sistema utilizando LMIs Fonte do proacuteprio autor

lmiterm([8 1 1 X]1Ad8s) lmiterm([8 1 1 -R]1-Bd8s) -----------------------------------------------------

lmiterm([-9 1 1 X]11)

lmidin=getlmis

[tminxf]=feasp(lmidin) Xdin=dec2mat(lmidinxfX) Rdin=dec2mat(lmidinxfR) Ko=RdinXdinCd

robusto do VRTD

O Programa D2 acima determina a matriz de realimentaccedilatildeo Ko que estabilizaa planta dada pelo modelo dinacircmico de De La CRUZ BASTOS e CARELLI (2011)linearizado de conformidade com as equaccedilotildees de 333 ateacute 340 foi utilizado o Lema 1135de COVACIC (2006)

----------------------------------------------------------------------- Modelo Dinacircmico Cadeira de Rodas Motorizada Caacutelculo dos autovalores do sistema em cada um dos veacutertices do politop Geraccedilatildeo dos Graacuteficos de Saiacuteda pelo programa SBAI2013_TesteMalhaAbertaEFechada451_131114m que estaacute em DropboxDissertacaoUEL2014_Latex -----------------------------------------------------------------------

clearclose allclc

Paciente nos veacutertices do Politopo para a cadeira de rodas(essas

matrizes natildeo tecircm influecircncia aqui neste programa elas satildeo originadas a partir de veacutertices diferentes do politopo e satildeo utilizadas nas LMIs )

Ad1=[00857 0027400288 00831] Ad2=[00825 0028200268 00851] Ad3=[00854 0027700289 00827] Ad4=[00822 0028400269 00847] Ad5=[01000 0013200143 00976] Ad6=[00969 0013600125 00993] Ad7=[00997 0013400142 00971] Ad8=[00967 0013800125 00988]

Paciente no Centro de Gravidade Pdcg1(07000)

Adcg1 =[00986 0013200132 00986] Bdcg1 =[00476 0028500476 -00285]

Adcg2 =[00843 0027600276 00843] Bdcg2 =[00476 0015100476 -00151]

Paciente no Centro de Gravidade Pdcg3(04500) Adcg3 =[00874 0024400244 00874] Bdcg3 =[00476 0017700476 -00177]

Paciente no Centro de Gravidade Pdcg4(0700-01) Adcg4 = [00975 0013400127 00991] Bdcg4 = [00472 0028000476 -00288]

robusto do VRTD

D3 Programa para caacutelculo dos autovalores do sistema e geraccedilatildeodas curvas de saiacuteda Fonte do proacuteprio autor

Cd=[1 0 0 1] D=[0 00 0]

Matriz de realimentaccedilatildeo de saiacuteda que estabiliza a planta

Ko=[56548 14889568580 -125922] versao A

Ko=[65098 63488132726 -137025] versao B

disp(=========================================================)

================= Montagem dos 4 LTIs dos Pdcgis

========================

AAcg1=(Adcg1-Bdcg1KoCd) AAcg2=(Adcg2-Bdcg2KoCd) AAcg3=(Adcg3-Bdcg3KoCd) AAcg4=(Adcg4-Bdcg4KoCd)

Pdcg1(07000) syscg11=ss(Adcg1Bdcg1CdD) Malha Aberta 1 syscg21=ss(AAcg1Bdcg1CdD) Malha Fechada 1

Pdcg4(0700-01) syscg14=ss(Adcg4Bdcg4CdD) Malha Aberta 4 syscg24=ss(AAcg4Bdcg4CdD) Malha Fechada 4

==============OBTENCcedilAtildeO RESPOSTA STEP CGi======================

disp(-------------------------------------------------------) disp(RESULTADOS EM MALHA ABERTA DO PONTO INTERIOR CG 1 -gt

Pdcg1(07000)) disp(RESPOSTA AO DEGRAU) [y11t11x11] = step(syscg1120) Resposta degrau LTI malha aberta

Pdcg1(07000) pause disp(AUTOVALORES) eig(Adcg1) pause

disp(=========================================================)

disp(RESULTADOS EM MALHA FECHADA DO PONTO INTERIOR CG 1 -gt

Pdcg1(07000))

D3 Programa para caacutelculo dos autovalores do sistema e geraccedilatildeo das curvas de saiacuteda Fonte do proacuteprioautor 205

disp(RESPOSTA AO DEGRAU ) [y1t21x1] = step(syscg2120) Resposta degrau LTI malha fechada

Pdcg1(04000) pause disp(AUTOVALORES ) eig(AAcg1) pause

------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

Pdcg2(04000)) disp(RESPOSTA AO DEGRAU ) [y2t22x2] = step(syscg2220) Resposta degrau LTI malha fechada

----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

disp(RESULTADOS EM MALHA FECHADA DO VERTICE CG 3 -gt Pdcg3(04500)) disp(RESPOSTA AO DEGRAU ) [y3t23x3] = step(syscg2320) Resposta degrau LTI malha fechada

Pdcg3(04500) pause disp(AUTOVALORES ) eig(AAcg3)

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

disp(-------------------------------------------------------) disp(RESULTADOS EM MALHA ABERTA DO VERTICE CG 4 -gt Pdcg4(0700-01)) disp(RESPOSTA AO DEGRAU) [y14t14x14] = step(syscg1420) Resposta degrau LTI malha aberta

Pdcg4(0700-01) pause disp(AUTOVALORES) eig(Adcg4) pause

disp(=========================================================)

disp(RESULTADOS EM MALHA FECHADA DO VERTICE CG 4 -gt Pdcg4(0700-01)) disp(RESPOSTA AO DEGRAU ) [y4t24x4] = step(syscg2420) Resposta degrau LTI malha fechada

Pdcg4(0700-01) pause disp(AUTOVALORES ) eig(AAcg4) pause

================= Montagem dos 8 LTIs dos Veacutertices Pdis

========================

AAd1=(Ad1-Bd1KoCd) AAd2=(Ad2-Bd2KoCd) AAd3=(Ad3-Bd3KoCd) AAd4=(Ad4-Bd4KoCd)

Pd1 sysd11=ss(Ad1Bd1CdD) Malha Aberta 1 sysd21=ss(AAd1Bd1CdD) Malha Fechada 1

=============OBTENCcedilAtildeO RESPOSTA STEP Pdi ======================

disp(-------------------------------------------------------) disp(RESULTADOS EM MALHA ABERTA DO VERTICE Pd1) disp(RESPOSTA AO DEGRAU) [y11t11x11] = step(sysd1120) Resposta degrau LTI malha aberta Pd1 pause disp(AUTOVALORES) eig(Ad1) pause

disp(=========================================================)

disp(RESULTADOS EM MALHA FECHADA DO VERTICE Pd1) disp(RESPOSTA AO DEGRAU ) [yd1td1xd1] = step(sysd2120) Resposta degrau LTI malha fechada Pd1 pause disp(AUTOVALORES ) eig(AAd1) pause

------------------------------------------------------------------ tempo= 00115 disp(-------------------------------------------------------) disp(RESULTADOS EM MALHA ABERTA DO VERTICE Pd2) disp(RESPOSTA AO DEGRAU) [y12t12x12] = step(syscg1220) Resposta degrau LTI malha aberta Pd2 pause disp(AUTOVALORES) eig(Ad2) pause

disp(=========================================================)

disp(RESULTADOS EM MALHA FECHADA DO VERTICE Pd2) disp(RESPOSTA AO DEGRAU )

robusto do VRTD

[yd2td2xd2] = step(sysd2220) Resposta degrau LTI malha fechada

Pd2(0400-0151) pause disp(AUTOVALORES ) eig(AAd2) pause

----------------------------------------------------------------------

tempo= 000515 disp(-------------------------------------------------------) disp(RESULTADOS EM MALHA ABERTA DO VERTICE Pd3) disp(RESPOSTA AO DEGRAU) [y13t13x13] = step(syscg1320) Resposta degrau LTI malha aberta

Pd3(0400-0151) pause disp(AUTOVALORES) eig(Ad3) pause

disp(=========================================================)

disp(RESULTADOS EM MALHA FECHADA DO VERTICE Pd3) disp(RESPOSTA AO DEGRAU ) [yd3td3xd3] = step(sysd2320) Resposta degrau LTI malha fechada

-----------------------------------------------------------------------

disp(-------------------------------------------------------) disp(RESULTADOS EM MALHA ABERTA DO VERTICE Pd4) disp(RESPOSTA AO DEGRAU) [y14t14x14] = step(syscg1420) Resposta degrau LTI malha aberta

disp(=========================================================)

Pd5(07000151) pause disp(AUTOVALORES) eig(Ad5) pause

disp(=========================================================)

Pd5(07000151) pause disp(AUTOVALORES ) eig(AAd5) pause

------------------------------------------------------------------ tempo= 00115 disp(-------------------------------------------------------) disp(RESULTADOS EM MALHA ABERTA DO VERTICE Pd6) disp(RESPOSTA AO DEGRAU) [y12t12x12] = step(sysd1620) Resposta degrau LTI malha aberta

disp(=========================================================)

----------------------------------------------------------------------

tempo= 000515 disp(-------------------------------------------------------) disp(RESULTADOS EM MALHA ABERTA DO VERTICE Pd7) disp(RESPOSTA AO DEGRAU) [y13t13x13] = step(sysd1720) Resposta degrau LTI malha aberta

robusto do VRTD

disp(=========================================================)

-----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

=============== GRAVANDO QUATRO CURVAS Pdcg1 EM GRAacuteFICOS

=============== =================== EM MALHA ABERTA

=====================================

figure(NameSaiacuteda em malha ABERTA veacutertice

Pdcg1(07000)NumberTitleoff)

subplot(221)plot(t11y11(12)-kLineWidth15) title(Degrau unitaacuterio em U_ref) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_l$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(222)plot(t11y11(11)-kLineWidth15) title(Degrau unitaacuterio em Omega_ref) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_l$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(223)plot(t11y11(21)-kLineWidth15)

xlabel(tempo (s))ylabel($omega_r$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(224)plot(t11y11(22)-kLineWidth15) legend(Pdcg14InterpreterLaTex) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_r$ (rads)InterpreterLaTex) grid

-----------------------------------------------------------------------

=============== GRAVANDO QUATRO CURVAS Pdcgi EM GRAacuteFICOS

===============

figure(NameSaiacuteda em malha fechada veacutertice

subplot(223)plot(t21y1(21)-kLineWidth15) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_r$ (rads)InterpreterLaTex) grid

-----------------------------------------------------------------------

-- figure(NameSaiacuteda em malha fechada veacutertice

subplot(221)plot(t22 y2(12)-rLineWidth15) title(Degrau unitaacuterio em U_ref) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_l$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(222)plot(t22 y2(11)-rLineWidth15) title(Degrau unitaacuterio em Omega_ref) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_l$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(223)plot(t22 y2(21)-rLineWidth15) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_r$ (rads)InterpreterLaTex)

robusto do VRTD

subplot(224)plot(t22 y2(22)-rLineWidth15) legend(Pdcg24InterpreterLaTex) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_r$ (rads)InterpreterLaTex) grid

-----------------------------------------------------------------------

subplot(221)plot(t23y3(12)-bLineWidth15) title(Degrau unitaacuterio em U_ref) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_l$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(222)plot(t23y3(11)-bLineWidth15) title(Degrau unitaacuterio em Omega_ref) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_l$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(223)plot(t23y3(21)-bLineWidth15) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_r$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(224)plot(t23y3(22)-bLineWidth15) legend(Pdcg34InterpreterLaTex) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_r$ (rads)InterpreterLaTex) grid

-----------------------------------------------------------------------

figure(NameSaiacuteda em malha fechada veacutertice Pdcg4(0700-

01)NumberTitleoff)

subplot(221)plot(t24y4(12)-gLineWidth15) title(Degrau unitaacuterio em U_ref) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_l$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(222)plot(t24y4(11)-gLineWidth15) title(Degrau unitaacuterio em Omega_ref) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_l$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(223)plot(t24y4(21)-gLineWidth15) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_r$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(224)plot(t24y4(22)-gLineWidth15) legend(Pdcg44InterpreterLaTex) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_r$ (rads)InterpreterLaTex) grid

=============== GRAVANDO OITO CURVAS Pdi EM GRAacuteFICOS ===============

figure(NameSaiacuteda em malha fechada veacutertice Pd1NumberTitleoff)

subplot(221)plot(td1yd1(12)-kLineWidth15) title(Degrau unitaacuterio em U_ref) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_l$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(222)plot(td1yd1(11)-kLineWidth15) title(Degrau unitaacuterio em Omega_ref) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_l$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(223)plot(td1yd1(21)-kLineWidth15) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_r$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(224)plot(td1yd1(22)-kLineWidth15) legend(Pd14InterpreterLaTex) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_r$ (rads)InterpreterLaTex) grid

-----------------------------------------------------------------------

-- figure(NameSaiacuteda em malha fechada veacutertice Pd2NumberTitleoff)

subplot(221)plot(td2 yd2(12)-rLineWidth15) title(Degrau unitaacuterio em U_ref) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_l$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(222)plot(td2 yd2(11)-rLineWidth15) title(Degrau unitaacuterio em Omega_ref) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_l$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(223)plot(td2 yd2(21)-rLineWidth15) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_r$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(224)plot(td2 yd2(22)-rLineWidth15) legend(Pd24InterpreterLaTex) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_r$ (rads)InterpreterLaTex) grid

-----------------------------------------------------------------------

subplot(221)plot(td3yd3(12)-bLineWidth15) title(Degrau unitaacuterio em U_ref) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_l$ (rads)InterpreterLaTex)

robusto do VRTD

subplot(222)plot(td3yd3(11)-bLineWidth15) title(Degrau unitaacuterio em Omega_ref) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_l$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(223)plot(td3yd3(21)-bLineWidth15) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_r$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(224)plot(td3yd3(22)-bLineWidth15) legend(Pd34InterpreterLaTex) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_r$ (rads)InterpreterLaTex) grid

-----------------------------------------------------------------------

subplot(221)plot(td4yd4(12)-gLineWidth15) title(Degrau unitaacuterio em U_ref) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_l$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(222)plot(td4yd4(11)-gLineWidth15) title(Degrau unitaacuterio em Omega_ref) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_l$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(223)plot(td4yd4(21)-gLineWidth15) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_r$ (rads)InterpreterLaTex) grid

subplot(224)plot(td4yd4(22)-gLineWidth15) legend(Pd44InterpreterLaTex) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_r$ (rads)InterpreterLaTex) grid

-----------------------------------------------------------------------

subplot(221)plot(td7yd7(12)-bLineWidth15) title(Degrau unitaacuterio em U_ref) xlabel(tempo (s))ylabel($omega_l$ (rads)InterpreterLaTex) grid

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

APEcircNDICE E ndash Controlador robusto doacircngulo de articulaccedilatildeo do joelho de umpaciente parapleacutegico utilizando LMIs em

presenccedila de incertezas parameacutetricas limitadasem norma

--------------------------------------------------------------------- Programa para calcular matriz de realimentaccedilatildeo Ko do controle robusto do acircngulo de articulaccedilatildeo do joelho de pacientes parapleacutegicos via LMIs sem restriccedilatildeo de saiacuteda Calculando K para os valores de f21max=-217834 e f21min=-360085 e delta=0 delta=1 e delta=-1 obtendo os valores K0 = 10^(-3)[ -03244 00999 00605] para delta=0 K1=10^(-3)[ -02342 01288 00772] para delta=1 Km1=10^(-3)[ -02895 00503 00212] para delta=-1 ---------------------------------------------------------------------

limnorma30g2simplesM

clearclose allclc Sistema de controle da posiccedilatildeo da perna do paciente paraplegico

BB=027 J=0362 tau=0951 G=42500 teta0=pi6 theta= 30 graus Ma0=46068

xo=[-teta00-Ma0]

f21max=-217834 f21min=-360085

fo=(f21max+f21min)2 fi=(f21max-f21min)2 A=[0 1 0fo -BBJ 1J0 0 -1tau] B=[00Gtau] L=[0fi0] RA=[1 0 0] RB=[0] C=[1 0 0] Delta0=[0] DeltaM=[1] Deltam=[-1] DeltaA0=LDelta0RA DeltaAM=LDeltaMRA DeltaAm=LDeltamRA DeltaB0=LDelta0RB DeltaBM=LDeltaMRB DeltaBm=LDeltamRB ADelta0=A+DeltaA0 ADeltaM1=A+DeltaAM ADeltam1=A+DeltaAm

220APEcircNDICE E Controlador robusto do acircngulo de articulaccedilatildeo do joelho de um paciente parapleacutegico

utilizando LMIs em presenccedila de incertezas parameacutetricas limitadas em norma

E1 Programa para determinaccedilatildeo da matriz de realimentaccedilatildeo Fontedo proacuteprio autor

disp(xo= ) disp(xo) disp(fo= ) disp(fo) disp(fi) disp(fi) disp(A= ) disp(A) disp(B= ) disp(B) disp(L= ) disp(L) disp(Delta0= ) disp(Delta0) disp(DeltaM= ) disp(DeltaM) disp(Deltam= ) disp(Deltam) disp(DeltaA0= ) disp(DeltaA0) disp(DeltaAM= ) disp(DeltaAM) disp(DeltaAm= ) disp(DeltaAm) disp(ADelta0= ) disp(ADelta0) disp(ADeltaM1= ) disp(ADeltaM1) disp(ADeltam1= ) disp(ADeltam1) pause

LMIs setlmis([]) X=lmivar(1[3 1]) W=lmivar(2[1 3]) epsilonI=lmivar(1[1 0]) miI=lmivar(1[1 0]) LMI 1 A=ADelta0 A=ADeltaM1 A=ADeltam1

lmiterm([1 1 1 X]A1s) lmiterm([1 1 1 W]-B1s) lmiterm([1 1 1 epsilonI]LL) lmiterm([1 2 1 X]RA1) lmiterm([1 2 1 W]-RB1) lmiterm([1 2 2 epsilonI]-11)

LMI 2 lmiterm([-2 1 1 X]11) lmiterm([-2 2 1 X]C1) lmiterm([-2 2 2 miI]11)

E1 Programa para determinaccedilatildeo da matriz de realimentaccedilatildeo Fonte do proacuteprio autor 221

LMI 3 lmiterm([-2 1 1 X]11)

lmiln=getlmis

[tminxf]=feasp(lmiln) Xf=dec2mat(lmilnxfX) Wf=dec2mat(lmilnxfW) epsilonIf=dec2mat(lmilnxfepsilonI) mIf=dec2mat(lmilnxfmiI) if rank(Xf)==3 K=Wfinv(Xf) else K=0 end

disp(Polos de malha fechada do sistema nominal) A= eig(A-BK) Szero=A-BK para delta=0 eig(Szero)

disp(Polos de malha fechada delta=1 ou delta=-1)

eig(A-LRA-BK) S=(A-LRA-BK) eig(S)

--------------------------------------------------------------------- Programa para executar a simulaccedilatildeo do controle robusto do acircngulo de articulaccedilatildeo do joelho de pacientes parapleacutegicos via LMIs e sem considerar restriccedilotildees impressatildeo dos graacuteficos acircngulo do joelho (x10) velocidade angular do joelho (x20) torque ativo produzido pelo estiacutemulo (x30) e largura de pulso (u0) As matrizes de realimentaccedilatildeo K utilizadas foram Calculando K para os valores de f21max=-217834 e f21min=-360085 e delta=0 delta=1 e delta=-1 obtendo os valores K0 = 10^(-3)[ -03244 00999 00605] para delta=0 K1=10^(-3)[ -02342 01288 00772] para delta=1 Km1=10^(-3)[ -02895 00503 00212] para delta=-1 ---------------------------------------------------------------------

simparaln30g2XQM

clear teta0=pi6 Ma0=46068 para 30 graus G=42500 xo=[-teta00-Ma0] [t0deltax0]=ode23(sisparaln30g2mi0XQ[0 50]xo) [t1deltax1]=ode23(sisparaln30g2miMM1XQ[0 50]xo) [tm1deltaxm1]=ode23(sisparaln30g2mim1XQ[0 50]xo) pause deltax10=deltax0(1) deltax20=deltax0(2) deltax30=deltax0(3) x10=deltax10+teta0 x20=deltax20 x30=deltax30+Ma0

deltax11=deltax1(1) deltax21=deltax1(2) deltax31=deltax1(3) x11=deltax11+teta0 x21=deltax21 x31=deltax31+Ma0

deltax1m1=deltaxm1(1) deltax2m1=deltaxm1(2) deltax3m1=deltaxm1(3) x1m1=deltax1m1+teta0 x2m1=deltax2m1 x3m1=deltax3m1+Ma0

K0 = 10^(-3)[ -03244 00999 00605] para delta=0 K1=10^(-3)[ -02342 01288 00772] para delta=1 Km1=10^(-3)[ -02895 00503 00212] para delta=-1

E2 Programa para simulaccedilatildeo do sistema e emissatildeo dos graacuteficos de saiacuteda Fonte do proacuteprio autor223

E2 Programa para simulaccedilatildeo do sistema e emissatildeo dos graacuteficosde saiacuteda Fonte do proacuteprio autor

u0=-K0deltax0+Ma0G u1=-K1deltax1+Ma0G um1=-Km1deltaxm1+Ma0G

figure(NameOutput for theta=pi6 f21max=-163561 f21min=-510113 mi=

2100514 delta=1NumberTitleoff)

subplot(221)plot(t0x10-kt1x11-rtm1x1m1--

mLineWidth15) axis([-Inf 50 0 08]) xlabel(t)ylabel($theta$ [rad]InterpreterLaTexFontSize13) title(Acircngulo do joelhoFontSize11) grid

mLineWidth15) axis([-Inf 50 -1 2]) title(Velocidade angular do joelhoFontSize11) xlabel(t)ylabel($dottheta

[rads]$InterpreterLaTexFontSize13) grid

mLineWidth15) axis([-Inf 50 0 6]) title(Torque ativo produzido pela FESFontSize11) xlabel(t)ylabel($M_a [Nm]$InterpreterLaTexFontSize13) grid

subplot(224)plot(t0u0-kt1u1-rtm1um1--mLineWidth15) h=legend(delta=0delta=1delta=-13InterpreterLaTex) axis([-Inf 50 -510^(-4) 1510^(-4)]) title( Largura de pulsoFontSize11) xlabel(t)ylabel($u=P_N [s]$InterpreterLaTexFontSize13) grid

--------------------------------------------------------------------- Funccedilatildeo para executar o caacutelculo dos paracircmetros Ma0 f21 A B e xdot0=Ax+Bws0 utilizados para simulaccedilatildeo da articulaccedilatildeo do joelho de pacientes parapleacutegicos via LMIs utilizando delta=0 e K0 para os valores de f21 linearizado com ordem quinta K0 =[7880846 4155553 -2238878] ---------------------------------------------------------------------

sisparaln30gm

function xdot0=sisparaln30g2mi0XQ(t1x) format long J=0362 m=437 l=0238 B=027 LL=41208 E=2024 w=2918 G=42500 xx=pi6 para 30 graus g=98 tau=0951

Ma0=mglsin(xx)+LLexp(-E((xx)+(pi2)))(xx+(pi2)-w)

x=[x(1) x(2) x(3)]

para 30 graus f21=(1J)((-mgl)(1-16(x(1))^2-12xxx(1)-

A=[0 1 0 f21 -BJ 1J 0 0 -1tau] B=[0 0 Gtau]

K0 = 10^(-3)[ -03244 00999 00605] para delta=0

ws0=-K0x pause

xdot0=Ax+Bws0

pause t1

APEcircNDICE F ndash Determinaccedilatildeo das matrizesde incertezas da Equaccedilatildeo 1115

Partindo da equaccedilatildeo da planta em espaccedilo de estados eacute representada pela Equaccedilatildeo1114 ou seja

e sendo as matrizes caracteriacutestica e de entrada do sistema com as incertezas dadas pelasEquaccedilotildees 46 e 47 ou seja

A+ δA =

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

B + δB =[

0 0 Gτ

]prime

Considerando ainda a definiccedilatildeo das matrizes com incertezas dada pela Equaccedilatildeo1115 ou seja

∆ middot∆prime le I

A determinaccedilatildeo das matrizes L RA RB e ∆ pode ser feita como se segue

Substituindo as matrizes caracteriacutestica e de entrada representadas pelas Equaccedilotildees46 e 47 na Equaccedilatildeo 1114 vem

x1(t)x2(t)x3(t)

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

x1(t)x2(t)x3(t)

middotPN = (A+δA) middotx+(B+δB) middotu (F1)

Considerando δB = 0 tem-se

B + δB =

228 APEcircNDICE F Determinaccedilatildeo das matrizes de incertezas da Equaccedilatildeo 1115

A+ δA =

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

0 1 0f0 minusB

0 0 minus 1τ

0 0 0δf 0 00 0 0

Assim conclui-se que

f21 = f0 + δf = f21max + f21min

2 + f21max minus f21min

2 middot δ (F2)

onde δ varia no intervalo dado por

minus1 le δ le +1 (F3)

Dessa maneira considerando F2 e F3 pode-se ter trecircs situaccedilotildees diferentes

(a) Para δ = 0 correspondendo ao valor meacutedio de f21

f21 = f0 + δf = f21max + f21min

2 middot (0) = f21max + f21min

(b) Para δ = 1 correspondendo ao valor maacuteximo de f21

f21 = f0 + δf = f21max + f21min

2 middot (1) = f21max

(c) Para δ = minus1 correspondendo ao valor miacutenimo de f21

f21 = f0 + δf = f21max + f21min

2 middot (minus1) = f21min

Entatildeo para δA = 0 tem-se

f21max+f21min2 minusB

0 0 minus 1τ

Tendo em vista as Equaccedilotildees 1115 e considerando os demais valores de δA tem-se

f21maxminusf21min2 middot δ 0 00 0 0

= L middot∆ middotRA (F5)

Onde ∆ = [δ] com δ isin [minus1 1] e L e RA satildeo representados pelas Equaccedilotildees F6 eF7 neste caso tem-se que ∆ isin lt1times1 L isin lt3times1 e RA isin lt1times3 de modo que δA isin lt3times3

RA =[r1 r2 r3

] (F7)

Fazendo-se as devidas substituiccedilotildees vem

middot [δ] middot[ r1 r2 r3

]= δ middot

l1 middot r1 l1 middot r2 l1 middot r3

= δ middot

f21max+f21min2 0 00 0 0

E os valores dos produtos li middot rj podem ser determinados considerando as Equaccedilotildeesde F8 ateacute F16

l1 middot r1 = 0 (F8)

l2 middot r1 = f21max minus f21min

2 (F9)

Uma condiccedilatildeo necessaacuteria para que o lado direito da Equaccedilatildeo F9 seja diferente dezero eacute que F17 e F18 sejam verdadeiras simultaneamente

l2 6= 0 (F17)

r1 6= 0 (F18)

Considerando-se as condiccedilotildees necessaacuterias F17 e F18 obtecircm-se os seguintes resul-tados

(a) Levando F18 em F8 conclui-se que l1 = 0

(b) Levando F18 em F10 conclui-se que l3 = 0

(c) Levando F17 em F12 conclui-se que r2 = 0

(d) Levando F17 em F15 conclui-se que r3 = 0

(e) Assim as condiccedilotildees F11 F13 F14 e F16 satildeo atendidas automaticamente quandol1 = l3 = r2 = r3 = 0 de tal maneira que

(f) L =[

0 l2 0]primee RA =

[r1 0 0

(g) Os valores de l2 e r1 satildeo as soluccedilotildees de

Finalmente vaacuterias soluccedilotildees satildeo possiacuteveis e dentre elas

(1) Escolhendo r1 = 1 tem-se

l2 = f21max minus f21min

Portanto

f21maxminusf21min2

1 0 0]

(2) Escolhendo l2 = 1 tem-se

r1 = f21max minus f21min

Portanto

RA =[f21maxminusf21min

2 0 0]

Para o caso da matriz de entrada com incerteza δB = 0 tem-se

B0 + δB =

δB = L middot∆ middotRA =

Representando-se RB como RB = [r] vem

L middot∆ middotRB =

f21maxminusf21min2

middot [δ] middot [r] =[f21maxminusf21min

2 0 0]forallδ isin [minus1 1]

Finalmente tem-se que

f21max minus f21min

2 middot δ middot r = 0

Como f21maxminusf21min2 6= 0 e δ isin [minus1 1]

Entatildeo r = 0 e RB = [0]

Folha de rosto

Folha de aprovaccedilatildeo

Dedicatoacuteria

Agradecimentos

Epiacutegrafe

Resumo

Abstract

Lista de tabelas

Sumaacuterio

Revisatildeo Bibliograacutefica

Conceitos baacutesicos sobre engenharia biomeacutedica

Engenharia Biomeacutedica e Engenharia de Reabilitaccedilatildeo

A utilizaccedilatildeo da estimulaccedilatildeo eleacutetrica funcional (FES) na praacutetica cliacutenica da reabilitaccedilatildeo do paciente com deficiecircncia fiacutesica

Modelagem simulaccedilatildeo e controle

Uma abordagem histoacuterica

Modelagem em Espaccedilo de Estados de Sistemas Dinacircmicos

Meacutetodos de linearizaccedilatildeo de sistemas natildeo-lineares

Meacutetodo de expansatildeo em seacuterie de Taylor

Meacutetodo indireto de Lyapunov

Estabilidade de sistemas natildeo-lineares

Controlabilidade e Observabilidade de Sistemas

Controlador Proporcional-Integral-Derivativo - PID

Modelagem dinacircmica simplificada de um veiacuteculo sobre rodas com tracionamento diferencial - VRTD

Desigualdades Matriciais Lineares - LMIs

Estabilidade de Lyapunov e uma breve perspectiva histoacuterica do desenvolvimento das LMIs

Propriedades das LMIs

Normas de vetores matrizes sinais e sistemas

Norma euclidiana H2

Norma euclidiana H2 via LMIs

Norma infinita Hoo

Norma infinita Hoo via LMIs

Controle robusto H2 para sistema descritor

Sistemas Estritamente Reais Positivos - ERP


Sistemas hiperestaacuteveis e assintoticamente hiperestaveis

Siacutentese de sistemas ERP

Determinaccedilatildeo da matriz de realimentaccedilatildeo que torna o sistema ERP

Sistemas com realimentaccedilatildeo da saiacuteda e mesmo nuacutemero de entradas e saiacutedas

Sistemas com realimentaccedilatildeo da saiacuteda e nuacutemeros diferentes de entradas e saiacutedas

Sistemas com incertezas limitadas em norma

Controle de sistemas com taxa de decaimento e restriccedilatildeo de saiacuteda

Conclusatildeo Parcial Capiacutetulo 1

Controlador PI para um modelo linear simplificado da cadeira de rodas

Contextualizaccedilatildeo e definiccedilatildeo do problema

Modelo Simulinkreg da estabilizaccedilatildeo da cadeira de rodas com controlador P e PI

Funcionamento dos controladores P e PI no diagrama da Figura 20

Modelo Simulinkreg da estabilizaccedilatildeo da cadeira de rodas

Modelo no Espaccedilo de Estados da estabilizaccedilatildeo da cadeira de rodas com controlador PI e P

Deduccedilatildeo das variaacuteveis de estado a partir do diagrama de blocos do modelo linear simplificado do ambiente Simulinkreg

Controlador robusto utilizando LMIs em presenccedila de incertezas parameacutetricas politoacutepicas para um modelo natildeo-linear de um veiacuteculo sobre rodas com traccedilatildeo diferencial


Anaacutelise e avaliaccedilatildeo de alguns modelos natildeo-lineares da cadeira de rodas

Modelo natildeo-linear da cadeira de rodas segundo ZHANG et al (1998)

Modelo natildeo-linear da cadeira de rodas segundo MARTINS et al (2008)

Modelo natildeo-linear da cadeira de rodas segundo De La CRUZ C C e CARELLI (2006)

Determinaccedilatildeo da equaccedilatildeo do modelo dinacircmico natildeo-linear simplificado da cadeira de rodas segundo De La CRUZ BASTOS e CARELLI (2011)

Linearizaccedilatildeo do modelo natildeo-linear simplificado segundo De La CRUZ BASTOS e CARELLI (2011)

Obtenccedilatildeo da representaccedilatildeo natildeo-linear do sistema em equaccedilotildees de estado

Linearizaccedilatildeo do modelo natildeo-linear simplificao da cadeira de rodas

Projeto do controlador robusto do sistema com incertezas politoacutepicas e LMIs

Determinaccedilatildeo dos valores das matrizes para cada veacutertice do politopo

Controlador robusto do acircngulo de articulaccedilatildeo do joelho de um paciente parapleacutegico utilizando LMIs em presenccedila de incertezas parameacutetricas limitadas em norma


Modelo natildeo-linear da articulaccedilatildeo do joelho do paciente

Projeto do controlador do sistema com incertezas limitadas em norma e LMIs

Resultados


Saiacutedas da simulaccedilatildeo com Matlabreg e Equaccedilotildees de Estado


Controlador robusto utilizando LMIs em presenccedila de incertezas parameacutetricas politoacutepicas para um modelo natildeo-linear de um VRTD

Saiacutedas da simulaccedilatildeo

Obtenccedilatildeo da matriz de realimentaccedilatildeo

Determinaccedilatildeo dos autovalores da planta nos veacutertices do politopo e geraccedilatildeo das saiacutedas



Paracircmetros de entrada valores e graacuteficos de saiacutedas da simulaccedilatildeo


Conclusatildeo

Conclusatildeo

Sugestotildees para trabalhos futuros

Artigos publicados apresentados e submetidos

Referecircncias

Apecircndices

Modelagem dinacircmica linear simplificada de VRTD

Programas implementados em ambientes Matlabreg e Simulinkreg

Simulaccedilatildeo com modelo da cadeira de rodas em espaccedilo de estado Fonte do proacuteprio autor

Modelagem dinacircmica natildeo-linear simplificada de VRTD

Definiccedilotildees dos vetores parameacutetricos e de distuacuterbios

Definiccedilatildeo do vetor parameacutetrico e de distuacuterbio de Zhang

Definiccedilatildeo do vetor de distuacuterbio de De La Cruz

Paracircmetros do controlador robusto para um modelo natildeo-linear de um VRTD

Determinaccedilatildeo dos elementos das matrizes lineares do VRTD Fonte do proacuteprio autor

Determinaccedilatildeo dos elementos da matriz A

Determinaccedilatildeo dos elementos da matriz B

Programas do Matlabreg para determinaccedilatildeo da matriz de realimentaccedilatildeo do controle robusto do VRTD

Programa para determinaccedilatildeo dos valores das matrizes dos veacutertices do politopo Fonte do proacuteprio autor

Programa para caacutelculo da matriz Ko de realimentaccedilatildeo de saiacuteda do sistema utilizando LMIs Fonte do proacuteprio autor

Programa para caacutelculo dos autovalores do sistema e geraccedilatildeo das curvas de saiacuteda Fonte do proacuteprio autor


Programa para determinaccedilatildeo da matriz de realimentaccedilatildeo Fonte do proacuteprio autor

Programa para simulaccedilatildeo do sistema e emissatildeo dos graacuteficos de saiacuteda Fonte do proacuteprio autor


Determinaccedilatildeo das matrizes de incertezas da Equaccedilatildeo 1115

Universidade Estadual de Londrina ndash UEL

Departamento de Engenharia Eleacutetrica

Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo

Orientador Dr Ruberlei GainoCoorientador Dr Maacutercio Roberto Covacic

Brasil2014

CDU 021410057

Brasil2014

Agradecimentos

Lista de tabelas

MA Malha Aberta

MF Malha Fechada

Ps Largura de Pulso

RP Real Positivo

exist Existe

isin Pertence

rArr Implica em

Tal que

Sumaacuterio

norma e LMIs 134

II RESULTADOS 137

Referecircncias 165

APEcircNDICES 173

Parte I

Fonte (GAINO 2009)

(controlaacuteveis)

controlaacuteveis)

Objetivos

]prime

x(t) = f(xu t) (13)

y(t) = g(xu t) (14)

x(t) =

x1(t)x2(t)

f(xu t) =

y(t) =

y1(t)y2(t)

g(xu t) =

u(t) =

u1(t)u2(t)

Fonte (OGATA 2010)

Fonte (NISE 2009)

De onde vem que

δf(x) asymp maδx

ou seja

f(x) = f(x0) + df

dx|x=x0

(xminus x0)1 + d2f

dx2 |x=x0

(xminus x0)2

x = f(x) (112)

A = partfpartx

∣∣∣∣∣x=0

partf1partx1

partf1partx2

partfnpartx1

partfnpartx2

limxrarr0

= 0 (115)

x = f(xu) (116)

partf1(xu)partx1

partf1(xu)partx2

partfn(xu)partx1

partfn(xu)partx2

x=0u=0

partf1(xu)partu1

partfn(xu)partu1

x=0u=0

Fonte (ZAK 2003)

Y (s)U(s) = b0s

= b0sn + b1s

= b0 + c1

s+ p1+ c2

s+ pn (119)

xnminus1

+ b0 middot u (120)

bn minus anb0

b1 minus a1b0

xnminus1

+ b0 middot u (121)

xnminus1

minusp1 0minusp2

minuspnminus1

0 minuspn

xnminus1

+ b0 middot u (122)

xnminus1

+ b0 middot u (123)

x(t0) = x0 t ge t0 (124)

] (125)

]prime (126)

0 1 0 0minus km

00 0 0 1km

0 minus km

00 00 k

C = 1 0 0 0

0 0 1 0

D = 0 0

gtgt k = 1

gtgt m = 1

gtgt B = [0 0 1 0 0 0 0 1]

gtgt C = [1 0 0 0 0 0 1 0]

gtgt MC = ctrb(AB)

gtgt V SC = svd(MC)

V SC = 22361 22361 10000 10000

gtgt MO = obsv(AC)

gtgt V SO = svd(MO)

V SO = 22361 22361 10000 10000

0e(t)dt+ u0 (130)

+ u0 (131)

de(t)dt

+ u0 (132)

θ = θ0 + r

V = du

2(ωl + ωr) (134)

Ω = dθ

rdminus rd

1rminus d

1- [V = 0Ω = 0] parada

T middot s+ 1 (138)

x = Ax(t) (140)

AprimeP + PA lt 0

P gt 0 (141)

minPTr(P )

AprimeP + PA+Q lt 0

P gt 0 (142)

x = 1 3

gtgt Q = eye(2)

gtgt eig(P )

gtgt Q = eye(2)

gtgt P

ans = [12500 02500 02500 02500]prime

gtgt eig(P )

ans = [13090 01910]prime

gtgt Q = eye(2)

gtgt LMIs = set([])

gtgt double(obj)

ans = 15000

gtgt double(P)

ans = [12500 02500 02500 02500]prime

gtgt eigs(P)

ans = [13090 01910]prime

ge 0 (143)

y = C middot x

F (x) F0 +msumi=1

xiFi gt 0 (145)

F (x) ge 0 (146)

F0 +msumi=1

Fi middot yi) gt 0

p =5sumi=1

αi = 1

Exemplo 1822

p1 = 14 middot x1 + 1

p2 = 13 middot x1 + 1

p1 = 34 middot p2 + 1

4 middot x4

Ksumi=1

M = A B

Bprime C

gt 0 (150)

Bprime C

middot x

Mminus1 = A B

Bprime C

minus1

]middot

Bprime C

middot x

e finalmente

Z(x) lt 1

I Z(x)Z(x)prime I

P (x) c(x)prime

c(x) 1

T0 minuspsumi=1

Bprime middot P 0

middot ξ

le 0 (154)

minus τ1 middot

lt 0 (155)

v(x) = x

J prime2 middot P 0

middot x

forall

[J3 J4

]middot

J prime2 middot P 0

+ L middot[J3 J4

]+[J3 J4

maxω|f(jω)| = lim

prarrinfin

f(s)2 (

z(t)22 =

int infin0

]prime

z(t)22 =

nsumi=1

int infin0

z(t)2i middot dt =

int infin0

ε =int infin

Gωz(s)22 = 1

int infinminusinfin

Lc =int infin

Lo =int infin

Gωz22 = min

z(t)2ω(t)2

= supω 6=0

int infin0

middot x

lt 0 forall x

lt 0 (182)

minPγ2

lt 0(183)

J = J1 J2

Ji = J1i J2i

J3i J4i

v(x) = x

J prime2 middot P 0

middot x

forall

[J3 J4

]middot

= 0 (187)

J prime2 middot P 0

+ L middot[J3 J4

]+[J3 J4

+ L middot[J3i J4i

]+[J3i J4

0letleTx(t) (189)

x(t) le K(x(0)+ δ) (190)

limtrarr0

x(t) = 0 (191)

Bprime middot P = C

P gt 0 (192)

P gt 0 (195)

P gt 0 (199)

X gt 0 (1102)

P gt 0 (1107)

X gt 0 (1110)

X gt 0 (1111)

X gt 0 (1117)

isto eacute

X gt 0 (1121)

X middotRprime

X gt 0 (1122)

X gt 0 (1123)

isto eacute

(1125)

limtrarrinfin

1 xprime(0)x(0) X

ge 0 (1129)

X X middot C prime

ge 0 (1130)

[Ωref Vref

]prime

[Ωref Vref

[ωr ωl

]prime O

[ωr ωl

]prime

Ω V]prime

0 KmiddotmT

T0 Kmiddotm

ImiddotK1r

C = 1 0 0 0

0 1 0 0

D = 0 0

y1(t) = ωr(t) = x1(t) (211)

y2(t) = ωl(t) = x2(t) (212)

u(t) =[V (t) Ω(t)

]prime (213)

d)]middotK1 middot

(K2s+ I

Ts+ 1) = wr (214)

[V middotK1

]minus ωr

middot

= wr (215)

[V middotK1

rminus ωr middotK1

2 minus ωr]middot

= wr (216)

V middotK1

T middots2+s

∣∣∣∣∣Ω=0

ωrΩ = 1

∣∣∣∣∣V=0

ωlΩ = 1

∣∣∣∣∣V=0

a middot s+ b (226)

ou ainda

2 minusX1(s)] (230)

Finalmente

T (233)

T (234)

114Capiacutetulo

2Controlador

PIpara

ummodelo

linearsim

plificadoda

cadeirade

T0 Kmiddotm

0 KmiddotmT

ImiddotK1r

middot v(t)

y(t) = 1 0 0 0

0 1 0 0

middot v(t)

[δx δy 0 δu δω

[θu θω

]prime

ωmmiddotbmiddotr2

θuω2

θωu middot ω

0 00 00 0

2middotrθu

00 2middotrmiddotd

ωl ωruref ωref

θ1middot u

θ2middot ω

0 00 00 01θ1

[δx δy 0 δu δω

]prime

θ =[θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6

]prime (33)

θ =[θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6 θ7 θ8

]prime (34)

θ1 = kDTkPT

middot(2 middot Ie

r2 +m) (35)

θ2 =(Ie middot d2

+ kDRkPR

+ Be middotRa

Ψ = ω (313)

θ1 minusθ7

minusθ8 θ2

= uref

]prime

]prime (315)

] (318)

] (320)

middot

θ2 θ7

θ8 θ1

times uref

ω middot θ5 θ6

middot

θ2 θ7

θ8 θ1

times uref

2middotr1rminus d

2middotr

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

times uref

minus r

[uref ωref

[ωr ωl

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

times r

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

C = 1 0

D = 0 (327)

A =[partf

partωrpartf

partωl

](ur=0ωl=0)

B =[partf

parturefpartf

partωref

](uref=0ωref=0)

A = A11 A12

A21 A22

B = B11 B12

B21 B22

middot[

1rmiddot θ2 + d

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

dmiddot θ6

] (333)

middot[

1rmiddot θ2 + d

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

] [minusr

dmiddot θ6

] (334)

middot[

1rmiddot θ2 minus

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

dmiddot θ6

] (335)

middot[

1rmiddot θ2 minus

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

] [minusr

dmiddot θ6

] (336)

middot[θ2

r+ d middot θ8

2 middot r

] (337)

middot[θ7

r+ d middot θ1

2 middot r

] (338)

middot[θ2

rminus d middot θ8

2 middot r

] (339)

middot[θ7

rminus d middot θ1

2 middot r

] (340)

0 le b1 le 0151 (341)

minus0151 le b2 le 0151 (342)

040 le d le 070 (343)

Pd1(040 0 0151) (344)

Pd2(040 0minus0151) (345)

Pd3(040 0151 0151) (346)

Pd4(040 0151minus0151) (347)

Pd5(070 0 0151) (348)

Pd6(070 0minus0151) (349)

Pd7(070 0151 0151) (350)

Pd8(070 0151minus0151) (351)

Pdcg1(070 0 0) (352)

Pdcg2(040 0 0) (353)

Pdcg3(045 0 0) (354)

Pdcg4(070 0minus01) (355)

Pd1(04000151)

Ad1 = 00857 00274

00288 00831

00481 0015500476 minus00145

Pd2(0400-0151)

Ad2 = 00825 00282

00268 00851

00471 0014500476 minus00155

Pd3(04001510151)

Ad3 = 00854 00277

00289 00827

00481 0015400475 minus00144

Pd4(0400151-0151)

Ad4 = 00822 00284

00269 00847

00471 0014400475 minus00154

Pd5(07000151)

Ad5 = 01000 00132

00143 00976

00482 0028900476 minus00278

Pd6(0700-0151)

Ad6 = 00969 00136

00125 00993

00470 0027800476 minus00289

Pd7(07001510151)

Ad7 = 00997 00134

00142 00971

00482 0028800474 minus00276

Pd8(0700151-0151)

Ad8 = 00967 00138

00125 00988

00470 0027600474 minus00288

Pdcg1(07000)

Adcg1 = 00986 00132

00132 00986

Bdcg1 =

00476 0028500476 minus00285

Pdcg2(04000)

Adcg2 = 00843 00276

00276 00843

Bdcg2 =

00476 0015100476 minus00151

Pdcg3(045000)

Adcg3 = 00874 00244

00244 00874

Bdcg3 =

00476 0017700476 minus00177

Pdcg4(0700-01)

Adcg4 = 00975 00134

00127 00991

00472 0028000476 minus00288

x1(t)x2(t)x3(t)

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

x1(t)x2(t)x3(t)

middot PN (41)

42500 [N middotms]

1J middot x1(t)

(x1(t) + θν0 + π

))(x1(t) + θν0 + π

2 minus ω)

] (42)

))(θν0 + π

2 minus ω) (43)

PN = Ps minusMa0

G (44)

PN gt minusMa0

G (45)

A+ δA =

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

B + δB =[

0 0 Gτ

]prime (47)

f21(x1(t)) = 13584x1 minus 28896 (48)

0 1 0f0 minusB

0 0 minus 1τ

0 0 Gτ

]prime

0 δfmax 0]prime

1 0 0]

RB = [0]

∆ =[δ]

minus1 le δ le 1

[0 1 0

2 0 0]

Parte II

Resultados

minus89721 0 5 8765 0

0 minus89721 0 5 8765minus57285 0 0 0

0 minus57285 0 0

12707 0444712707 minus0444756879 1990756879 minus19907

C = 1 0 0 0

0 1 0 0

D = 0 0

D = 0 (61)

C = 1 0

= a11 a12

a21 a22

middot ωr

+B middot

middot ωr

X = 513762 minus17280minus17280 461799

R = 2678942 6747599

3711933 minus5927815

Ko = 57130 148253

68018 minus125818

]prime

0 1 0minus288960 minus07459 27624

0 0 minus10515

Matrizde entrada B

[0 0 44690

[1 0 0

]Matriz D

Matriz L[

0 71126 0]prime

Matriz RA

[1 0 0

]Matriz RB

Matriz ∆ =[δ] [

1]e[minus1

0 0 071126 0 0

0 0 0minus71126 0 0

[minus03244 00999 00605

0 1 0minus288960 minus07459 27624

0 0 minus10515

Matrizde entrada B

[0 0 44690

[1 0 0

]Matriz D

Matriz L[

0 71126 0]prime

Matriz RA

[1 0 0

]Matriz RB

Matriz ∆ =[δ] [

1]e[minus1

0 0 071126 0 0

0 0 0minus71126 0 0

[minus02639 00602 00305

462651 = 68018

Referecircncias

166 Referecircncias

Referecircncias 167

168 Referecircncias

Referecircncias 169

170 Referecircncias

Referecircncias 171

172 Referecircncias

Apecircndices

Parte III

--------------------------------------------------------------------

clear all clc

Parte IV

2 middot(θ1 minus

δo1a = θ6

co1 = kDRkPR

middot(Ie middot d2

ka middot r

r+ Ra middotBe

ka middot r

) (B9)

1 Seja

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

2 Entatildeo

partωr= part

partωr

partωl= part

partωl

4 Isto eacute

partωr= r

dmiddot θ6

partωl= r

dmiddot θ6

5 Entatildeo

dmiddot θ5 minus r

dmiddot θ6

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

times 1

dmiddot θ5 minus r

dmiddot θ6

7 Finalmente

middot[

1rmiddot θ2 + d

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

dmiddot θ6

middot[

1rmiddot θ2 + d

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

] [minusr

dmiddot θ6

middot[

1rmiddot θ2 minus

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

dmiddot θ6

middot[

1rmiddot θ2 minus

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

] [minusr

dmiddot θ6

1 Seja

middot

1rmiddot θ2 + d

2middotr middot θ1

parturef= part

parturef

(1rmiddot θ2 + d

(1rmiddot θ7 + d

partωref= part

partωref

(1rmiddot θ2 + d

(1rmiddot θ7 + d

3 Ou seja

parturef= 1

rmiddot θ2 + d

2middotr middot θ8

partωref= 1

rmiddot θ7 + d

2middotr middot θ1

4 Entatildeo

middot

1rmiddot θ2 + d

2middotr middot θ1

5 Finalmente

middot[

1rmiddot θ2 + d

middot[

1rmiddot θ7 + d

middot[

1rmiddot θ2 minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

a=01 m=80 r=035

robusto do VRTD

Ad1=[A11 A12A21 A22] Bd1=[B11 B12B21 B22]

Ad2=[A11 A12A21 A22] Bd2=[B11 B12B21 B22]

Pd3(04001510151) d=040 b1=0151 b2=0151

robusto do VRTD

Ad3=[A11 A12A21 A22] Bd3=[B11 B12B21 B22]

Ad4=[A11 A12A21 A22] Bd4=[B11 B12B21 B22]

Pd5(07000151) d=070 b1=0 b2=0151

Ad5=[A11 A12A21 A22] Bd5=[B11 B12B21 B22]

robusto do VRTD

Ad6=[A11 A12A21 A22] Bd6=[B11 B12B21 B22]

Pd7(07001510151) d=070 b1=0151 b2=0151

Ad7=[A11 A12A21 A22] Bd7=[B11 B12B21 B22]

robusto do VRTD

B22=gamabeta22

Ad8=[A11 A12A21 A22] Bd8=[B11 B12B21 B22]

Pdcg2(04000) d=040 b1=0 b2=0

Pdcg3(04500) d=045 b1=0 b2=0

robusto do VRTD

Cd=[1 00 1]

n=size(Ad11)

setlmis([])

lmiterm([-9 1 1 X]11)

lmidin=getlmis

robusto do VRTD

clearclose allclc

Adcg1 =[00986 0013200132 00986] Bdcg1 =[00476 0028500476 -00285]

Adcg2 =[00843 0027600276 00843] Bdcg2 =[00476 0015100476 -00151]

robusto do VRTD

Cd=[1 0 0 1] D=[0 00 0]

Ko=[56548 14889568580 -125922] versao A

Ko=[65098 63488132726 -137025] versao B

disp(=========================================================)

========================

disp(=========================================================)

Pdcg1(07000))

------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

========================

disp(=========================================================)

robusto do VRTD

----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

-----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

----------------------------------------------------------------------

robusto do VRTD

disp(=========================================================)

-----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

=============== =================== EM MALHA ABERTA

=====================================

-----------------------------------------------------------------------

===============

-----------------------------------------------------------------------

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

01)NumberTitleoff)

-----------------------------------------------------------------------

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

xo=[-teta00-Ma0]

f21max=-217834 f21min=-360085

lmiln=getlmis

simparaln30g2XQM

sisparaln30gm

x=[x(1) x(2) x(3)]

A=[0 1 0 f21 -BJ 1J 0 0 -1tau] B=[0 0 Gtau]

K0 = 10^(-3)[ -03244 00999 00605] para delta=0

ws0=-K0x pause

xdot0=Ax+Bws0

pause t1

A+ δA =

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

B + δB =[

0 0 Gτ

]prime

x1(t)x2(t)x3(t)

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

x1(t)x2(t)x3(t)

B + δB =

A+ δA =

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

0 1 0f0 minusB

0 0 minus 1τ

0 0 0δf 0 00 0 0

f21 = f0 + δf = f21max + f21min

2 middot δ (F2)

f21 = f0 + δf = f21max + f21min

0 0 minus 1τ

RA =[r1 r2 r3

] (F7)

]= δ middot

= δ middot

f21max+f21min2 0 00 0 0

2 (F9)

l2 6= 0 (F17)

r1 6= 0 (F18)

(f) L =[

0 l2 0]primee RA =

[r1 0 0

Portanto

f21maxminusf21min2

1 0 0]

Portanto

2 0 0]

B0 + δB =

f21maxminusf21min2

f21max minus f21min

Folha de rosto

Dedicatoacuteria

Agradecimentos

Epiacutegrafe

Resumo

Abstract

Lista de tabelas

Sumaacuterio



















Norma euclidiana H2


Norma infinita Hoo




































Resultados












Conclusatildeo

Conclusatildeo



Referecircncias

Apecircndices





















CDU 021410057

Brasil2014

Agradecimentos

Lista de tabelas

MA Malha Aberta

MF Malha Fechada

Ps Largura de Pulso

RP Real Positivo

exist Existe

isin Pertence

rArr Implica em

Tal que

Sumaacuterio

norma e LMIs 134

II RESULTADOS 137

Referecircncias 165

APEcircNDICES 173

Parte I

Fonte (GAINO 2009)

(controlaacuteveis)

controlaacuteveis)

Objetivos

]prime

x(t) = f(xu t) (13)

y(t) = g(xu t) (14)

x(t) =

x1(t)x2(t)

f(xu t) =

y(t) =

y1(t)y2(t)

g(xu t) =

u(t) =

u1(t)u2(t)

Fonte (OGATA 2010)

Fonte (NISE 2009)

De onde vem que

δf(x) asymp maδx

ou seja

f(x) = f(x0) + df

dx|x=x0

(xminus x0)1 + d2f

dx2 |x=x0

(xminus x0)2

x = f(x) (112)

A = partfpartx

∣∣∣∣∣x=0

partf1partx1

partf1partx2

partfnpartx1

partfnpartx2

limxrarr0

= 0 (115)

x = f(xu) (116)

partf1(xu)partx1

partf1(xu)partx2

partfn(xu)partx1

partfn(xu)partx2

x=0u=0

partf1(xu)partu1

partfn(xu)partu1

x=0u=0

Fonte (ZAK 2003)

Y (s)U(s) = b0s

= b0sn + b1s

= b0 + c1

s+ p1+ c2

s+ pn (119)

xnminus1

+ b0 middot u (120)

bn minus anb0

b1 minus a1b0

xnminus1

+ b0 middot u (121)

xnminus1

minusp1 0minusp2

minuspnminus1

0 minuspn

xnminus1

+ b0 middot u (122)

xnminus1

+ b0 middot u (123)

x(t0) = x0 t ge t0 (124)

] (125)

]prime (126)

0 1 0 0minus km

00 0 0 1km

0 minus km

00 00 k

C = 1 0 0 0

0 0 1 0

D = 0 0

gtgt k = 1

gtgt m = 1

gtgt B = [0 0 1 0 0 0 0 1]

gtgt C = [1 0 0 0 0 0 1 0]

gtgt MC = ctrb(AB)

gtgt V SC = svd(MC)

V SC = 22361 22361 10000 10000

gtgt MO = obsv(AC)

gtgt V SO = svd(MO)

V SO = 22361 22361 10000 10000

0e(t)dt+ u0 (130)

+ u0 (131)

de(t)dt

+ u0 (132)

θ = θ0 + r

V = du

2(ωl + ωr) (134)

Ω = dθ

rdminus rd

1rminus d

1- [V = 0Ω = 0] parada

T middot s+ 1 (138)

x = Ax(t) (140)

AprimeP + PA lt 0

P gt 0 (141)

minPTr(P )

AprimeP + PA+Q lt 0

P gt 0 (142)

x = 1 3

gtgt Q = eye(2)

gtgt eig(P )

gtgt Q = eye(2)

gtgt P

ans = [12500 02500 02500 02500]prime

gtgt eig(P )

ans = [13090 01910]prime

gtgt Q = eye(2)

gtgt LMIs = set([])

gtgt double(obj)

ans = 15000

gtgt double(P)

ans = [12500 02500 02500 02500]prime

gtgt eigs(P)

ans = [13090 01910]prime

ge 0 (143)

y = C middot x

F (x) F0 +msumi=1

xiFi gt 0 (145)

F (x) ge 0 (146)

F0 +msumi=1

Fi middot yi) gt 0

p =5sumi=1

αi = 1

Exemplo 1822

p1 = 14 middot x1 + 1

p2 = 13 middot x1 + 1

p1 = 34 middot p2 + 1

4 middot x4

Ksumi=1

M = A B

Bprime C

gt 0 (150)

Bprime C

middot x

Mminus1 = A B

Bprime C

minus1

]middot

Bprime C

middot x

e finalmente

Z(x) lt 1

I Z(x)Z(x)prime I

P (x) c(x)prime

c(x) 1

T0 minuspsumi=1

Bprime middot P 0

middot ξ

le 0 (154)

minus τ1 middot

lt 0 (155)

v(x) = x

J prime2 middot P 0

middot x

forall

[J3 J4

]middot

J prime2 middot P 0

+ L middot[J3 J4

]+[J3 J4

maxω|f(jω)| = lim

prarrinfin

f(s)2 (

z(t)22 =

int infin0

]prime

z(t)22 =

nsumi=1

int infin0

z(t)2i middot dt =

int infin0

ε =int infin

Gωz(s)22 = 1

int infinminusinfin

Lc =int infin

Lo =int infin

Gωz22 = min

z(t)2ω(t)2

= supω 6=0

int infin0

middot x

lt 0 forall x

lt 0 (182)

minPγ2

lt 0(183)

J = J1 J2

Ji = J1i J2i

J3i J4i

v(x) = x

J prime2 middot P 0

middot x

forall

[J3 J4

]middot

= 0 (187)

J prime2 middot P 0

+ L middot[J3 J4

]+[J3 J4

+ L middot[J3i J4i

]+[J3i J4

0letleTx(t) (189)

x(t) le K(x(0)+ δ) (190)

limtrarr0

x(t) = 0 (191)

Bprime middot P = C

P gt 0 (192)

P gt 0 (195)

P gt 0 (199)

X gt 0 (1102)

P gt 0 (1107)

X gt 0 (1110)

X gt 0 (1111)

X gt 0 (1117)

isto eacute

X gt 0 (1121)

X middotRprime

X gt 0 (1122)

X gt 0 (1123)

isto eacute

(1125)

limtrarrinfin

1 xprime(0)x(0) X

ge 0 (1129)

X X middot C prime

ge 0 (1130)

[Ωref Vref

]prime

[Ωref Vref

[ωr ωl

]prime O

[ωr ωl

]prime

Ω V]prime

0 KmiddotmT

T0 Kmiddotm

ImiddotK1r

C = 1 0 0 0

0 1 0 0

D = 0 0

y1(t) = ωr(t) = x1(t) (211)

y2(t) = ωl(t) = x2(t) (212)

u(t) =[V (t) Ω(t)

]prime (213)

d)]middotK1 middot

(K2s+ I

Ts+ 1) = wr (214)

[V middotK1

]minus ωr

middot

= wr (215)

[V middotK1

rminus ωr middotK1

2 minus ωr]middot

= wr (216)

V middotK1

T middots2+s

∣∣∣∣∣Ω=0

ωrΩ = 1

∣∣∣∣∣V=0

ωlΩ = 1

∣∣∣∣∣V=0

a middot s+ b (226)

ou ainda

2 minusX1(s)] (230)

Finalmente

T (233)

T (234)

114Capiacutetulo

2Controlador

PIpara

ummodelo

linearsim

plificadoda

cadeirade

T0 Kmiddotm

0 KmiddotmT

ImiddotK1r

middot v(t)

y(t) = 1 0 0 0

0 1 0 0

middot v(t)

[δx δy 0 δu δω

[θu θω

]prime

ωmmiddotbmiddotr2

θuω2

θωu middot ω

0 00 00 0

2middotrθu

00 2middotrmiddotd

ωl ωruref ωref

θ1middot u

θ2middot ω

0 00 00 01θ1

[δx δy 0 δu δω

]prime

θ =[θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6

]prime (33)

θ =[θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6 θ7 θ8

]prime (34)

θ1 = kDTkPT

middot(2 middot Ie

r2 +m) (35)

θ2 =(Ie middot d2

+ kDRkPR

+ Be middotRa

Ψ = ω (313)

θ1 minusθ7

minusθ8 θ2

= uref

]prime

]prime (315)

] (318)

] (320)

middot

θ2 θ7

θ8 θ1

times uref

ω middot θ5 θ6

middot

θ2 θ7

θ8 θ1

times uref

2middotr1rminus d

2middotr

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

times uref

minus r

[uref ωref

[ωr ωl

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

times r

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

C = 1 0

D = 0 (327)

A =[partf

partωrpartf

partωl

](ur=0ωl=0)

B =[partf

parturefpartf

partωref

](uref=0ωref=0)

A = A11 A12

A21 A22

B = B11 B12

B21 B22

middot[

1rmiddot θ2 + d

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

dmiddot θ6

] (333)

middot[

1rmiddot θ2 + d

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

] [minusr

dmiddot θ6

] (334)

middot[

1rmiddot θ2 minus

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

dmiddot θ6

] (335)

middot[

1rmiddot θ2 minus

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

] [minusr

dmiddot θ6

] (336)

middot[θ2

r+ d middot θ8

2 middot r

] (337)

middot[θ7

r+ d middot θ1

2 middot r

] (338)

middot[θ2

rminus d middot θ8

2 middot r

] (339)

middot[θ7

rminus d middot θ1

2 middot r

] (340)

0 le b1 le 0151 (341)

minus0151 le b2 le 0151 (342)

040 le d le 070 (343)

Pd1(040 0 0151) (344)

Pd2(040 0minus0151) (345)

Pd3(040 0151 0151) (346)

Pd4(040 0151minus0151) (347)

Pd5(070 0 0151) (348)

Pd6(070 0minus0151) (349)

Pd7(070 0151 0151) (350)

Pd8(070 0151minus0151) (351)

Pdcg1(070 0 0) (352)

Pdcg2(040 0 0) (353)

Pdcg3(045 0 0) (354)

Pdcg4(070 0minus01) (355)

Pd1(04000151)

Ad1 = 00857 00274

00288 00831

00481 0015500476 minus00145

Pd2(0400-0151)

Ad2 = 00825 00282

00268 00851

00471 0014500476 minus00155

Pd3(04001510151)

Ad3 = 00854 00277

00289 00827

00481 0015400475 minus00144

Pd4(0400151-0151)

Ad4 = 00822 00284

00269 00847

00471 0014400475 minus00154

Pd5(07000151)

Ad5 = 01000 00132

00143 00976

00482 0028900476 minus00278

Pd6(0700-0151)

Ad6 = 00969 00136

00125 00993

00470 0027800476 minus00289

Pd7(07001510151)

Ad7 = 00997 00134

00142 00971

00482 0028800474 minus00276

Pd8(0700151-0151)

Ad8 = 00967 00138

00125 00988

00470 0027600474 minus00288

Pdcg1(07000)

Adcg1 = 00986 00132

00132 00986

Bdcg1 =

00476 0028500476 minus00285

Pdcg2(04000)

Adcg2 = 00843 00276

00276 00843

Bdcg2 =

00476 0015100476 minus00151

Pdcg3(045000)

Adcg3 = 00874 00244

00244 00874

Bdcg3 =

00476 0017700476 minus00177

Pdcg4(0700-01)

Adcg4 = 00975 00134

00127 00991

00472 0028000476 minus00288

x1(t)x2(t)x3(t)

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

x1(t)x2(t)x3(t)

middot PN (41)

42500 [N middotms]

1J middot x1(t)

(x1(t) + θν0 + π

))(x1(t) + θν0 + π

2 minus ω)

] (42)

))(θν0 + π

2 minus ω) (43)

PN = Ps minusMa0

G (44)

PN gt minusMa0

G (45)

A+ δA =

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

B + δB =[

0 0 Gτ

]prime (47)

f21(x1(t)) = 13584x1 minus 28896 (48)

0 1 0f0 minusB

0 0 minus 1τ

0 0 Gτ

]prime

0 δfmax 0]prime

1 0 0]

RB = [0]

∆ =[δ]

minus1 le δ le 1

[0 1 0

2 0 0]

Parte II

Resultados

minus89721 0 5 8765 0

0 minus89721 0 5 8765minus57285 0 0 0

0 minus57285 0 0

12707 0444712707 minus0444756879 1990756879 minus19907

C = 1 0 0 0

0 1 0 0

D = 0 0

D = 0 (61)

C = 1 0

= a11 a12

a21 a22

middot ωr

+B middot

middot ωr

X = 513762 minus17280minus17280 461799

R = 2678942 6747599

3711933 minus5927815

Ko = 57130 148253

68018 minus125818

]prime

0 1 0minus288960 minus07459 27624

0 0 minus10515

Matrizde entrada B

[0 0 44690

[1 0 0

]Matriz D

Matriz L[

0 71126 0]prime

Matriz RA

[1 0 0

]Matriz RB

Matriz ∆ =[δ] [

1]e[minus1

0 0 071126 0 0

0 0 0minus71126 0 0

[minus03244 00999 00605

0 1 0minus288960 minus07459 27624

0 0 minus10515

Matrizde entrada B

[0 0 44690

[1 0 0

]Matriz D

Matriz L[

0 71126 0]prime

Matriz RA

[1 0 0

]Matriz RB

Matriz ∆ =[δ] [

1]e[minus1

0 0 071126 0 0

0 0 0minus71126 0 0

[minus02639 00602 00305

462651 = 68018

Referecircncias

166 Referecircncias

Referecircncias 167

168 Referecircncias

Referecircncias 169

170 Referecircncias

Referecircncias 171

172 Referecircncias

Apecircndices

Parte III

--------------------------------------------------------------------

clear all clc

Parte IV

2 middot(θ1 minus

δo1a = θ6

co1 = kDRkPR

middot(Ie middot d2

ka middot r

r+ Ra middotBe

ka middot r

) (B9)

1 Seja

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

2 Entatildeo

partωr= part

partωr

partωl= part

partωl

4 Isto eacute

partωr= r

dmiddot θ6

partωl= r

dmiddot θ6

5 Entatildeo

dmiddot θ5 minus r

dmiddot θ6

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

times 1

dmiddot θ5 minus r

dmiddot θ6

7 Finalmente

middot[

1rmiddot θ2 + d

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

dmiddot θ6

middot[

1rmiddot θ2 + d

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

] [minusr

dmiddot θ6

middot[

1rmiddot θ2 minus

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

dmiddot θ6

middot[

1rmiddot θ2 minus

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

] [minusr

dmiddot θ6

1 Seja

middot

1rmiddot θ2 + d

2middotr middot θ1

parturef= part

parturef

(1rmiddot θ2 + d

(1rmiddot θ7 + d

partωref= part

partωref

(1rmiddot θ2 + d

(1rmiddot θ7 + d

3 Ou seja

parturef= 1

rmiddot θ2 + d

2middotr middot θ8

partωref= 1

rmiddot θ7 + d

2middotr middot θ1

4 Entatildeo

middot

1rmiddot θ2 + d

2middotr middot θ1

5 Finalmente

middot[

1rmiddot θ2 + d

middot[

1rmiddot θ7 + d

middot[

1rmiddot θ2 minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

a=01 m=80 r=035

robusto do VRTD

Ad1=[A11 A12A21 A22] Bd1=[B11 B12B21 B22]

Ad2=[A11 A12A21 A22] Bd2=[B11 B12B21 B22]

Pd3(04001510151) d=040 b1=0151 b2=0151

robusto do VRTD

Ad3=[A11 A12A21 A22] Bd3=[B11 B12B21 B22]

Ad4=[A11 A12A21 A22] Bd4=[B11 B12B21 B22]

Pd5(07000151) d=070 b1=0 b2=0151

Ad5=[A11 A12A21 A22] Bd5=[B11 B12B21 B22]

robusto do VRTD

Ad6=[A11 A12A21 A22] Bd6=[B11 B12B21 B22]

Pd7(07001510151) d=070 b1=0151 b2=0151

Ad7=[A11 A12A21 A22] Bd7=[B11 B12B21 B22]

robusto do VRTD

B22=gamabeta22

Ad8=[A11 A12A21 A22] Bd8=[B11 B12B21 B22]

Pdcg2(04000) d=040 b1=0 b2=0

Pdcg3(04500) d=045 b1=0 b2=0

robusto do VRTD

Cd=[1 00 1]

n=size(Ad11)

setlmis([])

lmiterm([-9 1 1 X]11)

lmidin=getlmis

robusto do VRTD

clearclose allclc

Adcg1 =[00986 0013200132 00986] Bdcg1 =[00476 0028500476 -00285]

Adcg2 =[00843 0027600276 00843] Bdcg2 =[00476 0015100476 -00151]

robusto do VRTD

Cd=[1 0 0 1] D=[0 00 0]

Ko=[56548 14889568580 -125922] versao A

Ko=[65098 63488132726 -137025] versao B

disp(=========================================================)

========================

disp(=========================================================)

Pdcg1(07000))

------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

========================

disp(=========================================================)

robusto do VRTD

----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

-----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

----------------------------------------------------------------------

robusto do VRTD

disp(=========================================================)

-----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

=============== =================== EM MALHA ABERTA

=====================================

-----------------------------------------------------------------------

===============

-----------------------------------------------------------------------

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

01)NumberTitleoff)

-----------------------------------------------------------------------

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

xo=[-teta00-Ma0]

f21max=-217834 f21min=-360085

lmiln=getlmis

simparaln30g2XQM

sisparaln30gm

x=[x(1) x(2) x(3)]

A=[0 1 0 f21 -BJ 1J 0 0 -1tau] B=[0 0 Gtau]

K0 = 10^(-3)[ -03244 00999 00605] para delta=0

ws0=-K0x pause

xdot0=Ax+Bws0

pause t1

A+ δA =

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

B + δB =[

0 0 Gτ

]prime

x1(t)x2(t)x3(t)

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

x1(t)x2(t)x3(t)

B + δB =

A+ δA =

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

0 1 0f0 minusB

0 0 minus 1τ

0 0 0δf 0 00 0 0

f21 = f0 + δf = f21max + f21min

2 middot δ (F2)

f21 = f0 + δf = f21max + f21min

0 0 minus 1τ

RA =[r1 r2 r3

] (F7)

]= δ middot

= δ middot

f21max+f21min2 0 00 0 0

2 (F9)

l2 6= 0 (F17)

r1 6= 0 (F18)

(f) L =[

0 l2 0]primee RA =

[r1 0 0

Portanto

f21maxminusf21min2

1 0 0]

Portanto

2 0 0]

B0 + δB =

f21maxminusf21min2

f21max minus f21min

Folha de rosto

Dedicatoacuteria

Agradecimentos

Epiacutegrafe

Resumo

Abstract

Lista de tabelas

Sumaacuterio



















Norma euclidiana H2


Norma infinita Hoo




































Resultados












Conclusatildeo

Conclusatildeo



Referecircncias

Apecircndices





















Brasil2014

Agradecimentos

Lista de tabelas

MA Malha Aberta

MF Malha Fechada

Ps Largura de Pulso

RP Real Positivo

exist Existe

isin Pertence

rArr Implica em

Tal que

Sumaacuterio

norma e LMIs 134

II RESULTADOS 137

Referecircncias 165

APEcircNDICES 173

Parte I

Fonte (GAINO 2009)

(controlaacuteveis)

controlaacuteveis)

Objetivos

]prime

x(t) = f(xu t) (13)

y(t) = g(xu t) (14)

x(t) =

x1(t)x2(t)

f(xu t) =

y(t) =

y1(t)y2(t)

g(xu t) =

u(t) =

u1(t)u2(t)

Fonte (OGATA 2010)

Fonte (NISE 2009)

De onde vem que

δf(x) asymp maδx

ou seja

f(x) = f(x0) + df

dx|x=x0

(xminus x0)1 + d2f

dx2 |x=x0

(xminus x0)2

x = f(x) (112)

A = partfpartx

∣∣∣∣∣x=0

partf1partx1

partf1partx2

partfnpartx1

partfnpartx2

limxrarr0

= 0 (115)

x = f(xu) (116)

partf1(xu)partx1

partf1(xu)partx2

partfn(xu)partx1

partfn(xu)partx2

x=0u=0

partf1(xu)partu1

partfn(xu)partu1

x=0u=0

Fonte (ZAK 2003)

Y (s)U(s) = b0s

= b0sn + b1s

= b0 + c1

s+ p1+ c2

s+ pn (119)

xnminus1

+ b0 middot u (120)

bn minus anb0

b1 minus a1b0

xnminus1

+ b0 middot u (121)

xnminus1

minusp1 0minusp2

minuspnminus1

0 minuspn

xnminus1

+ b0 middot u (122)

xnminus1

+ b0 middot u (123)

x(t0) = x0 t ge t0 (124)

] (125)

]prime (126)

0 1 0 0minus km

00 0 0 1km

0 minus km

00 00 k

C = 1 0 0 0

0 0 1 0

D = 0 0

gtgt k = 1

gtgt m = 1

gtgt B = [0 0 1 0 0 0 0 1]

gtgt C = [1 0 0 0 0 0 1 0]

gtgt MC = ctrb(AB)

gtgt V SC = svd(MC)

V SC = 22361 22361 10000 10000

gtgt MO = obsv(AC)

gtgt V SO = svd(MO)

V SO = 22361 22361 10000 10000

0e(t)dt+ u0 (130)

+ u0 (131)

de(t)dt

+ u0 (132)

θ = θ0 + r

V = du

2(ωl + ωr) (134)

Ω = dθ

rdminus rd

1rminus d

1- [V = 0Ω = 0] parada

T middot s+ 1 (138)

x = Ax(t) (140)

AprimeP + PA lt 0

P gt 0 (141)

minPTr(P )

AprimeP + PA+Q lt 0

P gt 0 (142)

x = 1 3

gtgt Q = eye(2)

gtgt eig(P )

gtgt Q = eye(2)

gtgt P

ans = [12500 02500 02500 02500]prime

gtgt eig(P )

ans = [13090 01910]prime

gtgt Q = eye(2)

gtgt LMIs = set([])

gtgt double(obj)

ans = 15000

gtgt double(P)

ans = [12500 02500 02500 02500]prime

gtgt eigs(P)

ans = [13090 01910]prime

ge 0 (143)

y = C middot x

F (x) F0 +msumi=1

xiFi gt 0 (145)

F (x) ge 0 (146)

F0 +msumi=1

Fi middot yi) gt 0

p =5sumi=1

αi = 1

Exemplo 1822

p1 = 14 middot x1 + 1

p2 = 13 middot x1 + 1

p1 = 34 middot p2 + 1

4 middot x4

Ksumi=1

M = A B

Bprime C

gt 0 (150)

Bprime C

middot x

Mminus1 = A B

Bprime C

minus1

]middot

Bprime C

middot x

e finalmente

Z(x) lt 1

I Z(x)Z(x)prime I

P (x) c(x)prime

c(x) 1

T0 minuspsumi=1

Bprime middot P 0

middot ξ

le 0 (154)

minus τ1 middot

lt 0 (155)

v(x) = x

J prime2 middot P 0

middot x

forall

[J3 J4

]middot

J prime2 middot P 0

+ L middot[J3 J4

]+[J3 J4

maxω|f(jω)| = lim

prarrinfin

f(s)2 (

z(t)22 =

int infin0

]prime

z(t)22 =

nsumi=1

int infin0

z(t)2i middot dt =

int infin0

ε =int infin

Gωz(s)22 = 1

int infinminusinfin

Lc =int infin

Lo =int infin

Gωz22 = min

z(t)2ω(t)2

= supω 6=0

int infin0

middot x

lt 0 forall x

lt 0 (182)

minPγ2

lt 0(183)

J = J1 J2

Ji = J1i J2i

J3i J4i

v(x) = x

J prime2 middot P 0

middot x

forall

[J3 J4

]middot

= 0 (187)

J prime2 middot P 0

+ L middot[J3 J4

]+[J3 J4

+ L middot[J3i J4i

]+[J3i J4

0letleTx(t) (189)

x(t) le K(x(0)+ δ) (190)

limtrarr0

x(t) = 0 (191)

Bprime middot P = C

P gt 0 (192)

P gt 0 (195)

P gt 0 (199)

X gt 0 (1102)

P gt 0 (1107)

X gt 0 (1110)

X gt 0 (1111)

X gt 0 (1117)

isto eacute

X gt 0 (1121)

X middotRprime

X gt 0 (1122)

X gt 0 (1123)

isto eacute

(1125)

limtrarrinfin

1 xprime(0)x(0) X

ge 0 (1129)

X X middot C prime

ge 0 (1130)

[Ωref Vref

]prime

[Ωref Vref

[ωr ωl

]prime O

[ωr ωl

]prime

Ω V]prime

0 KmiddotmT

T0 Kmiddotm

ImiddotK1r

C = 1 0 0 0

0 1 0 0

D = 0 0

y1(t) = ωr(t) = x1(t) (211)

y2(t) = ωl(t) = x2(t) (212)

u(t) =[V (t) Ω(t)

]prime (213)

d)]middotK1 middot

(K2s+ I

Ts+ 1) = wr (214)

[V middotK1

]minus ωr

middot

= wr (215)

[V middotK1

rminus ωr middotK1

2 minus ωr]middot

= wr (216)

V middotK1

T middots2+s

∣∣∣∣∣Ω=0

ωrΩ = 1

∣∣∣∣∣V=0

ωlΩ = 1

∣∣∣∣∣V=0

a middot s+ b (226)

ou ainda

2 minusX1(s)] (230)

Finalmente

T (233)

T (234)

114Capiacutetulo

2Controlador

PIpara

ummodelo

linearsim

plificadoda

cadeirade

T0 Kmiddotm

0 KmiddotmT

ImiddotK1r

middot v(t)

y(t) = 1 0 0 0

0 1 0 0

middot v(t)

[δx δy 0 δu δω

[θu θω

]prime

ωmmiddotbmiddotr2

θuω2

θωu middot ω

0 00 00 0

2middotrθu

00 2middotrmiddotd

ωl ωruref ωref

θ1middot u

θ2middot ω

0 00 00 01θ1

[δx δy 0 δu δω

]prime

θ =[θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6

]prime (33)

θ =[θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6 θ7 θ8

]prime (34)

θ1 = kDTkPT

middot(2 middot Ie

r2 +m) (35)

θ2 =(Ie middot d2

+ kDRkPR

+ Be middotRa

Ψ = ω (313)

θ1 minusθ7

minusθ8 θ2

= uref

]prime

]prime (315)

] (318)

] (320)

middot

θ2 θ7

θ8 θ1

times uref

ω middot θ5 θ6

middot

θ2 θ7

θ8 θ1

times uref

2middotr1rminus d

2middotr

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

times uref

minus r

[uref ωref

[ωr ωl

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

times r

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

C = 1 0

D = 0 (327)

A =[partf

partωrpartf

partωl

](ur=0ωl=0)

B =[partf

parturefpartf

partωref

](uref=0ωref=0)

A = A11 A12

A21 A22

B = B11 B12

B21 B22

middot[

1rmiddot θ2 + d

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

dmiddot θ6

] (333)

middot[

1rmiddot θ2 + d

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

] [minusr

dmiddot θ6

] (334)

middot[

1rmiddot θ2 minus

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

dmiddot θ6

] (335)

middot[

1rmiddot θ2 minus

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

] [minusr

dmiddot θ6

] (336)

middot[θ2

r+ d middot θ8

2 middot r

] (337)

middot[θ7

r+ d middot θ1

2 middot r

] (338)

middot[θ2

rminus d middot θ8

2 middot r

] (339)

middot[θ7

rminus d middot θ1

2 middot r

] (340)

0 le b1 le 0151 (341)

minus0151 le b2 le 0151 (342)

040 le d le 070 (343)

Pd1(040 0 0151) (344)

Pd2(040 0minus0151) (345)

Pd3(040 0151 0151) (346)

Pd4(040 0151minus0151) (347)

Pd5(070 0 0151) (348)

Pd6(070 0minus0151) (349)

Pd7(070 0151 0151) (350)

Pd8(070 0151minus0151) (351)

Pdcg1(070 0 0) (352)

Pdcg2(040 0 0) (353)

Pdcg3(045 0 0) (354)

Pdcg4(070 0minus01) (355)

Pd1(04000151)

Ad1 = 00857 00274

00288 00831

00481 0015500476 minus00145

Pd2(0400-0151)

Ad2 = 00825 00282

00268 00851

00471 0014500476 minus00155

Pd3(04001510151)

Ad3 = 00854 00277

00289 00827

00481 0015400475 minus00144

Pd4(0400151-0151)

Ad4 = 00822 00284

00269 00847

00471 0014400475 minus00154

Pd5(07000151)

Ad5 = 01000 00132

00143 00976

00482 0028900476 minus00278

Pd6(0700-0151)

Ad6 = 00969 00136

00125 00993

00470 0027800476 minus00289

Pd7(07001510151)

Ad7 = 00997 00134

00142 00971

00482 0028800474 minus00276

Pd8(0700151-0151)

Ad8 = 00967 00138

00125 00988

00470 0027600474 minus00288

Pdcg1(07000)

Adcg1 = 00986 00132

00132 00986

Bdcg1 =

00476 0028500476 minus00285

Pdcg2(04000)

Adcg2 = 00843 00276

00276 00843

Bdcg2 =

00476 0015100476 minus00151

Pdcg3(045000)

Adcg3 = 00874 00244

00244 00874

Bdcg3 =

00476 0017700476 minus00177

Pdcg4(0700-01)

Adcg4 = 00975 00134

00127 00991

00472 0028000476 minus00288

x1(t)x2(t)x3(t)

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

x1(t)x2(t)x3(t)

middot PN (41)

42500 [N middotms]

1J middot x1(t)

(x1(t) + θν0 + π

))(x1(t) + θν0 + π

2 minus ω)

] (42)

))(θν0 + π

2 minus ω) (43)

PN = Ps minusMa0

G (44)

PN gt minusMa0

G (45)

A+ δA =

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

B + δB =[

0 0 Gτ

]prime (47)

f21(x1(t)) = 13584x1 minus 28896 (48)

0 1 0f0 minusB

0 0 minus 1τ

0 0 Gτ

]prime

0 δfmax 0]prime

1 0 0]

RB = [0]

∆ =[δ]

minus1 le δ le 1

[0 1 0

2 0 0]

Parte II

Resultados

minus89721 0 5 8765 0

0 minus89721 0 5 8765minus57285 0 0 0

0 minus57285 0 0

12707 0444712707 minus0444756879 1990756879 minus19907

C = 1 0 0 0

0 1 0 0

D = 0 0

D = 0 (61)

C = 1 0

= a11 a12

a21 a22

middot ωr

+B middot

middot ωr

X = 513762 minus17280minus17280 461799

R = 2678942 6747599

3711933 minus5927815

Ko = 57130 148253

68018 minus125818

]prime

0 1 0minus288960 minus07459 27624

0 0 minus10515

Matrizde entrada B

[0 0 44690

[1 0 0

]Matriz D

Matriz L[

0 71126 0]prime

Matriz RA

[1 0 0

]Matriz RB

Matriz ∆ =[δ] [

1]e[minus1

0 0 071126 0 0

0 0 0minus71126 0 0

[minus03244 00999 00605

0 1 0minus288960 minus07459 27624

0 0 minus10515

Matrizde entrada B

[0 0 44690

[1 0 0

]Matriz D

Matriz L[

0 71126 0]prime

Matriz RA

[1 0 0

]Matriz RB

Matriz ∆ =[δ] [

1]e[minus1

0 0 071126 0 0

0 0 0minus71126 0 0

[minus02639 00602 00305

462651 = 68018

Referecircncias

166 Referecircncias

Referecircncias 167

168 Referecircncias

Referecircncias 169

170 Referecircncias

Referecircncias 171

172 Referecircncias

Apecircndices

Parte III

--------------------------------------------------------------------

clear all clc

Parte IV

2 middot(θ1 minus

δo1a = θ6

co1 = kDRkPR

middot(Ie middot d2

ka middot r

r+ Ra middotBe

ka middot r

) (B9)

1 Seja

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

2 Entatildeo

partωr= part

partωr

partωl= part

partωl

4 Isto eacute

partωr= r

dmiddot θ6

partωl= r

dmiddot θ6

5 Entatildeo

dmiddot θ5 minus r

dmiddot θ6

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

times 1

dmiddot θ5 minus r

dmiddot θ6

7 Finalmente

middot[

1rmiddot θ2 + d

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

dmiddot θ6

middot[

1rmiddot θ2 + d

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

] [minusr

dmiddot θ6

middot[

1rmiddot θ2 minus

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

dmiddot θ6

middot[

1rmiddot θ2 minus

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

] [minusr

dmiddot θ6

1 Seja

middot

1rmiddot θ2 + d

2middotr middot θ1

parturef= part

parturef

(1rmiddot θ2 + d

(1rmiddot θ7 + d

partωref= part

partωref

(1rmiddot θ2 + d

(1rmiddot θ7 + d

3 Ou seja

parturef= 1

rmiddot θ2 + d

2middotr middot θ8

partωref= 1

rmiddot θ7 + d

2middotr middot θ1

4 Entatildeo

middot

1rmiddot θ2 + d

2middotr middot θ1

5 Finalmente

middot[

1rmiddot θ2 + d

middot[

1rmiddot θ7 + d

middot[

1rmiddot θ2 minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

a=01 m=80 r=035

robusto do VRTD

Ad1=[A11 A12A21 A22] Bd1=[B11 B12B21 B22]

Ad2=[A11 A12A21 A22] Bd2=[B11 B12B21 B22]

Pd3(04001510151) d=040 b1=0151 b2=0151

robusto do VRTD

Ad3=[A11 A12A21 A22] Bd3=[B11 B12B21 B22]

Ad4=[A11 A12A21 A22] Bd4=[B11 B12B21 B22]

Pd5(07000151) d=070 b1=0 b2=0151

Ad5=[A11 A12A21 A22] Bd5=[B11 B12B21 B22]

robusto do VRTD

Ad6=[A11 A12A21 A22] Bd6=[B11 B12B21 B22]

Pd7(07001510151) d=070 b1=0151 b2=0151

Ad7=[A11 A12A21 A22] Bd7=[B11 B12B21 B22]

robusto do VRTD

B22=gamabeta22

Ad8=[A11 A12A21 A22] Bd8=[B11 B12B21 B22]

Pdcg2(04000) d=040 b1=0 b2=0

Pdcg3(04500) d=045 b1=0 b2=0

robusto do VRTD

Cd=[1 00 1]

n=size(Ad11)

setlmis([])

lmiterm([-9 1 1 X]11)

lmidin=getlmis

robusto do VRTD

clearclose allclc

Adcg1 =[00986 0013200132 00986] Bdcg1 =[00476 0028500476 -00285]

Adcg2 =[00843 0027600276 00843] Bdcg2 =[00476 0015100476 -00151]

robusto do VRTD

Cd=[1 0 0 1] D=[0 00 0]

Ko=[56548 14889568580 -125922] versao A

Ko=[65098 63488132726 -137025] versao B

disp(=========================================================)

========================

disp(=========================================================)

Pdcg1(07000))

------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

========================

disp(=========================================================)

robusto do VRTD

----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

-----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

----------------------------------------------------------------------

robusto do VRTD

disp(=========================================================)

-----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

=============== =================== EM MALHA ABERTA

=====================================

-----------------------------------------------------------------------

===============

-----------------------------------------------------------------------

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

01)NumberTitleoff)

-----------------------------------------------------------------------

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

xo=[-teta00-Ma0]

f21max=-217834 f21min=-360085

lmiln=getlmis

simparaln30g2XQM

sisparaln30gm

x=[x(1) x(2) x(3)]

A=[0 1 0 f21 -BJ 1J 0 0 -1tau] B=[0 0 Gtau]

K0 = 10^(-3)[ -03244 00999 00605] para delta=0

ws0=-K0x pause

xdot0=Ax+Bws0

pause t1

A+ δA =

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

B + δB =[

0 0 Gτ

]prime

x1(t)x2(t)x3(t)

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

x1(t)x2(t)x3(t)

B + δB =

A+ δA =

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

0 1 0f0 minusB

0 0 minus 1τ

0 0 0δf 0 00 0 0

f21 = f0 + δf = f21max + f21min

2 middot δ (F2)

f21 = f0 + δf = f21max + f21min

0 0 minus 1τ

RA =[r1 r2 r3

] (F7)

]= δ middot

= δ middot

f21max+f21min2 0 00 0 0

2 (F9)

l2 6= 0 (F17)

r1 6= 0 (F18)

(f) L =[

0 l2 0]primee RA =

[r1 0 0

Portanto

f21maxminusf21min2

1 0 0]

Portanto

2 0 0]

B0 + δB =

f21maxminusf21min2

f21max minus f21min

Folha de rosto

Dedicatoacuteria

Agradecimentos

Epiacutegrafe

Resumo

Abstract

Lista de tabelas

Sumaacuterio



















Norma euclidiana H2


Norma infinita Hoo




































Resultados












Conclusatildeo

Conclusatildeo



Referecircncias

Apecircndices





















Agradecimentos

Lista de tabelas

MA Malha Aberta

MF Malha Fechada

Ps Largura de Pulso

RP Real Positivo

exist Existe

isin Pertence

rArr Implica em

Tal que

Sumaacuterio

norma e LMIs 134

II RESULTADOS 137

Referecircncias 165

APEcircNDICES 173

Parte I

Fonte (GAINO 2009)

(controlaacuteveis)

controlaacuteveis)

Objetivos

]prime

x(t) = f(xu t) (13)

y(t) = g(xu t) (14)

x(t) =

x1(t)x2(t)

f(xu t) =

y(t) =

y1(t)y2(t)

g(xu t) =

u(t) =

u1(t)u2(t)

Fonte (OGATA 2010)

Fonte (NISE 2009)

De onde vem que

δf(x) asymp maδx

ou seja

f(x) = f(x0) + df

dx|x=x0

(xminus x0)1 + d2f

dx2 |x=x0

(xminus x0)2

x = f(x) (112)

A = partfpartx

∣∣∣∣∣x=0

partf1partx1

partf1partx2

partfnpartx1

partfnpartx2

limxrarr0

= 0 (115)

x = f(xu) (116)

partf1(xu)partx1

partf1(xu)partx2

partfn(xu)partx1

partfn(xu)partx2

x=0u=0

partf1(xu)partu1

partfn(xu)partu1

x=0u=0

Fonte (ZAK 2003)

Y (s)U(s) = b0s

= b0sn + b1s

= b0 + c1

s+ p1+ c2

s+ pn (119)

xnminus1

+ b0 middot u (120)

bn minus anb0

b1 minus a1b0

xnminus1

+ b0 middot u (121)

xnminus1

minusp1 0minusp2

minuspnminus1

0 minuspn

xnminus1

+ b0 middot u (122)

xnminus1

+ b0 middot u (123)

x(t0) = x0 t ge t0 (124)

] (125)

]prime (126)

0 1 0 0minus km

00 0 0 1km

0 minus km

00 00 k

C = 1 0 0 0

0 0 1 0

D = 0 0

gtgt k = 1

gtgt m = 1

gtgt B = [0 0 1 0 0 0 0 1]

gtgt C = [1 0 0 0 0 0 1 0]

gtgt MC = ctrb(AB)

gtgt V SC = svd(MC)

V SC = 22361 22361 10000 10000

gtgt MO = obsv(AC)

gtgt V SO = svd(MO)

V SO = 22361 22361 10000 10000

0e(t)dt+ u0 (130)

+ u0 (131)

de(t)dt

+ u0 (132)

θ = θ0 + r

V = du

2(ωl + ωr) (134)

Ω = dθ

rdminus rd

1rminus d

1- [V = 0Ω = 0] parada

T middot s+ 1 (138)

x = Ax(t) (140)

AprimeP + PA lt 0

P gt 0 (141)

minPTr(P )

AprimeP + PA+Q lt 0

P gt 0 (142)

x = 1 3

gtgt Q = eye(2)

gtgt eig(P )

gtgt Q = eye(2)

gtgt P

ans = [12500 02500 02500 02500]prime

gtgt eig(P )

ans = [13090 01910]prime

gtgt Q = eye(2)

gtgt LMIs = set([])

gtgt double(obj)

ans = 15000

gtgt double(P)

ans = [12500 02500 02500 02500]prime

gtgt eigs(P)

ans = [13090 01910]prime

ge 0 (143)

y = C middot x

F (x) F0 +msumi=1

xiFi gt 0 (145)

F (x) ge 0 (146)

F0 +msumi=1

Fi middot yi) gt 0

p =5sumi=1

αi = 1

Exemplo 1822

p1 = 14 middot x1 + 1

p2 = 13 middot x1 + 1

p1 = 34 middot p2 + 1

4 middot x4

Ksumi=1

M = A B

Bprime C

gt 0 (150)

Bprime C

middot x

Mminus1 = A B

Bprime C

minus1

]middot

Bprime C

middot x

e finalmente

Z(x) lt 1

I Z(x)Z(x)prime I

P (x) c(x)prime

c(x) 1

T0 minuspsumi=1

Bprime middot P 0

middot ξ

le 0 (154)

minus τ1 middot

lt 0 (155)

v(x) = x

J prime2 middot P 0

middot x

forall

[J3 J4

]middot

J prime2 middot P 0

+ L middot[J3 J4

]+[J3 J4

maxω|f(jω)| = lim

prarrinfin

f(s)2 (

z(t)22 =

int infin0

]prime

z(t)22 =

nsumi=1

int infin0

z(t)2i middot dt =

int infin0

ε =int infin

Gωz(s)22 = 1

int infinminusinfin

Lc =int infin

Lo =int infin

Gωz22 = min

z(t)2ω(t)2

= supω 6=0

int infin0

middot x

lt 0 forall x

lt 0 (182)

minPγ2

lt 0(183)

J = J1 J2

Ji = J1i J2i

J3i J4i

v(x) = x

J prime2 middot P 0

middot x

forall

[J3 J4

]middot

= 0 (187)

J prime2 middot P 0

+ L middot[J3 J4

]+[J3 J4

+ L middot[J3i J4i

]+[J3i J4

0letleTx(t) (189)

x(t) le K(x(0)+ δ) (190)

limtrarr0

x(t) = 0 (191)

Bprime middot P = C

P gt 0 (192)

P gt 0 (195)

P gt 0 (199)

X gt 0 (1102)

P gt 0 (1107)

X gt 0 (1110)

X gt 0 (1111)

X gt 0 (1117)

isto eacute

X gt 0 (1121)

X middotRprime

X gt 0 (1122)

X gt 0 (1123)

isto eacute

(1125)

limtrarrinfin

1 xprime(0)x(0) X

ge 0 (1129)

X X middot C prime

ge 0 (1130)

[Ωref Vref

]prime

[Ωref Vref

[ωr ωl

]prime O

[ωr ωl

]prime

Ω V]prime

0 KmiddotmT

T0 Kmiddotm

ImiddotK1r

C = 1 0 0 0

0 1 0 0

D = 0 0

y1(t) = ωr(t) = x1(t) (211)

y2(t) = ωl(t) = x2(t) (212)

u(t) =[V (t) Ω(t)

]prime (213)

d)]middotK1 middot

(K2s+ I

Ts+ 1) = wr (214)

[V middotK1

]minus ωr

middot

= wr (215)

[V middotK1

rminus ωr middotK1

2 minus ωr]middot

= wr (216)

V middotK1

T middots2+s

∣∣∣∣∣Ω=0

ωrΩ = 1

∣∣∣∣∣V=0

ωlΩ = 1

∣∣∣∣∣V=0

a middot s+ b (226)

ou ainda

2 minusX1(s)] (230)

Finalmente

T (233)

T (234)

114Capiacutetulo

2Controlador

PIpara

ummodelo

linearsim

plificadoda

cadeirade

T0 Kmiddotm

0 KmiddotmT

ImiddotK1r

middot v(t)

y(t) = 1 0 0 0

0 1 0 0

middot v(t)

[δx δy 0 δu δω

[θu θω

]prime

ωmmiddotbmiddotr2

θuω2

θωu middot ω

0 00 00 0

2middotrθu

00 2middotrmiddotd

ωl ωruref ωref

θ1middot u

θ2middot ω

0 00 00 01θ1

[δx δy 0 δu δω

]prime

θ =[θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6

]prime (33)

θ =[θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6 θ7 θ8

]prime (34)

θ1 = kDTkPT

middot(2 middot Ie

r2 +m) (35)

θ2 =(Ie middot d2

+ kDRkPR

+ Be middotRa

Ψ = ω (313)

θ1 minusθ7

minusθ8 θ2

= uref

]prime

]prime (315)

] (318)

] (320)

middot

θ2 θ7

θ8 θ1

times uref

ω middot θ5 θ6

middot

θ2 θ7

θ8 θ1

times uref

2middotr1rminus d

2middotr

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

times uref

minus r

[uref ωref

[ωr ωl

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

times r

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

C = 1 0

D = 0 (327)

A =[partf

partωrpartf

partωl

](ur=0ωl=0)

B =[partf

parturefpartf

partωref

](uref=0ωref=0)

A = A11 A12

A21 A22

B = B11 B12

B21 B22

middot[

1rmiddot θ2 + d

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

dmiddot θ6

] (333)

middot[

1rmiddot θ2 + d

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

] [minusr

dmiddot θ6

] (334)

middot[

1rmiddot θ2 minus

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

dmiddot θ6

] (335)

middot[

1rmiddot θ2 minus

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

] [minusr

dmiddot θ6

] (336)

middot[θ2

r+ d middot θ8

2 middot r

] (337)

middot[θ7

r+ d middot θ1

2 middot r

] (338)

middot[θ2

rminus d middot θ8

2 middot r

] (339)

middot[θ7

rminus d middot θ1

2 middot r

] (340)

0 le b1 le 0151 (341)

minus0151 le b2 le 0151 (342)

040 le d le 070 (343)

Pd1(040 0 0151) (344)

Pd2(040 0minus0151) (345)

Pd3(040 0151 0151) (346)

Pd4(040 0151minus0151) (347)

Pd5(070 0 0151) (348)

Pd6(070 0minus0151) (349)

Pd7(070 0151 0151) (350)

Pd8(070 0151minus0151) (351)

Pdcg1(070 0 0) (352)

Pdcg2(040 0 0) (353)

Pdcg3(045 0 0) (354)

Pdcg4(070 0minus01) (355)

Pd1(04000151)

Ad1 = 00857 00274

00288 00831

00481 0015500476 minus00145

Pd2(0400-0151)

Ad2 = 00825 00282

00268 00851

00471 0014500476 minus00155

Pd3(04001510151)

Ad3 = 00854 00277

00289 00827

00481 0015400475 minus00144

Pd4(0400151-0151)

Ad4 = 00822 00284

00269 00847

00471 0014400475 minus00154

Pd5(07000151)

Ad5 = 01000 00132

00143 00976

00482 0028900476 minus00278

Pd6(0700-0151)

Ad6 = 00969 00136

00125 00993

00470 0027800476 minus00289

Pd7(07001510151)

Ad7 = 00997 00134

00142 00971

00482 0028800474 minus00276

Pd8(0700151-0151)

Ad8 = 00967 00138

00125 00988

00470 0027600474 minus00288

Pdcg1(07000)

Adcg1 = 00986 00132

00132 00986

Bdcg1 =

00476 0028500476 minus00285

Pdcg2(04000)

Adcg2 = 00843 00276

00276 00843

Bdcg2 =

00476 0015100476 minus00151

Pdcg3(045000)

Adcg3 = 00874 00244

00244 00874

Bdcg3 =

00476 0017700476 minus00177

Pdcg4(0700-01)

Adcg4 = 00975 00134

00127 00991

00472 0028000476 minus00288

x1(t)x2(t)x3(t)

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

x1(t)x2(t)x3(t)

middot PN (41)

42500 [N middotms]

1J middot x1(t)

(x1(t) + θν0 + π

))(x1(t) + θν0 + π

2 minus ω)

] (42)

))(θν0 + π

2 minus ω) (43)

PN = Ps minusMa0

G (44)

PN gt minusMa0

G (45)

A+ δA =

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

B + δB =[

0 0 Gτ

]prime (47)

f21(x1(t)) = 13584x1 minus 28896 (48)

0 1 0f0 minusB

0 0 minus 1τ

0 0 Gτ

]prime

0 δfmax 0]prime

1 0 0]

RB = [0]

∆ =[δ]

minus1 le δ le 1

[0 1 0

2 0 0]

Parte II

Resultados

minus89721 0 5 8765 0

0 minus89721 0 5 8765minus57285 0 0 0

0 minus57285 0 0

12707 0444712707 minus0444756879 1990756879 minus19907

C = 1 0 0 0

0 1 0 0

D = 0 0

D = 0 (61)

C = 1 0

= a11 a12

a21 a22

middot ωr

+B middot

middot ωr

X = 513762 minus17280minus17280 461799

R = 2678942 6747599

3711933 minus5927815

Ko = 57130 148253

68018 minus125818

]prime

0 1 0minus288960 minus07459 27624

0 0 minus10515

Matrizde entrada B

[0 0 44690

[1 0 0

]Matriz D

Matriz L[

0 71126 0]prime

Matriz RA

[1 0 0

]Matriz RB

Matriz ∆ =[δ] [

1]e[minus1

0 0 071126 0 0

0 0 0minus71126 0 0

[minus03244 00999 00605

0 1 0minus288960 minus07459 27624

0 0 minus10515

Matrizde entrada B

[0 0 44690

[1 0 0

]Matriz D

Matriz L[

0 71126 0]prime

Matriz RA

[1 0 0

]Matriz RB

Matriz ∆ =[δ] [

1]e[minus1

0 0 071126 0 0

0 0 0minus71126 0 0

[minus02639 00602 00305

462651 = 68018

Referecircncias

166 Referecircncias

Referecircncias 167

168 Referecircncias

Referecircncias 169

170 Referecircncias

Referecircncias 171

172 Referecircncias

Apecircndices

Parte III

--------------------------------------------------------------------

clear all clc

Parte IV

2 middot(θ1 minus

δo1a = θ6

co1 = kDRkPR

middot(Ie middot d2

ka middot r

r+ Ra middotBe

ka middot r

) (B9)

1 Seja

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

2 Entatildeo

partωr= part

partωr

partωl= part

partωl

4 Isto eacute

partωr= r

dmiddot θ6

partωl= r

dmiddot θ6

5 Entatildeo

dmiddot θ5 minus r

dmiddot θ6

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

times 1

dmiddot θ5 minus r

dmiddot θ6

7 Finalmente

middot[

1rmiddot θ2 + d

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

dmiddot θ6

middot[

1rmiddot θ2 + d

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

] [minusr

dmiddot θ6

middot[

1rmiddot θ2 minus

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

dmiddot θ6

middot[

1rmiddot θ2 minus

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

] [minusr

dmiddot θ6

1 Seja

middot

1rmiddot θ2 + d

2middotr middot θ1

parturef= part

parturef

(1rmiddot θ2 + d

(1rmiddot θ7 + d

partωref= part

partωref

(1rmiddot θ2 + d

(1rmiddot θ7 + d

3 Ou seja

parturef= 1

rmiddot θ2 + d

2middotr middot θ8

partωref= 1

rmiddot θ7 + d

2middotr middot θ1

4 Entatildeo

middot

1rmiddot θ2 + d

2middotr middot θ1

5 Finalmente

middot[

1rmiddot θ2 + d

middot[

1rmiddot θ7 + d

middot[

1rmiddot θ2 minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

a=01 m=80 r=035

robusto do VRTD

Ad1=[A11 A12A21 A22] Bd1=[B11 B12B21 B22]

Ad2=[A11 A12A21 A22] Bd2=[B11 B12B21 B22]

Pd3(04001510151) d=040 b1=0151 b2=0151

robusto do VRTD

Ad3=[A11 A12A21 A22] Bd3=[B11 B12B21 B22]

Ad4=[A11 A12A21 A22] Bd4=[B11 B12B21 B22]

Pd5(07000151) d=070 b1=0 b2=0151

Ad5=[A11 A12A21 A22] Bd5=[B11 B12B21 B22]

robusto do VRTD

Ad6=[A11 A12A21 A22] Bd6=[B11 B12B21 B22]

Pd7(07001510151) d=070 b1=0151 b2=0151

Ad7=[A11 A12A21 A22] Bd7=[B11 B12B21 B22]

robusto do VRTD

B22=gamabeta22

Ad8=[A11 A12A21 A22] Bd8=[B11 B12B21 B22]

Pdcg2(04000) d=040 b1=0 b2=0

Pdcg3(04500) d=045 b1=0 b2=0

robusto do VRTD

Cd=[1 00 1]

n=size(Ad11)

setlmis([])

lmiterm([-9 1 1 X]11)

lmidin=getlmis

robusto do VRTD

clearclose allclc

Adcg1 =[00986 0013200132 00986] Bdcg1 =[00476 0028500476 -00285]

Adcg2 =[00843 0027600276 00843] Bdcg2 =[00476 0015100476 -00151]

robusto do VRTD

Cd=[1 0 0 1] D=[0 00 0]

Ko=[56548 14889568580 -125922] versao A

Ko=[65098 63488132726 -137025] versao B

disp(=========================================================)

========================

disp(=========================================================)

Pdcg1(07000))

------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

========================

disp(=========================================================)

robusto do VRTD

----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

-----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

----------------------------------------------------------------------

robusto do VRTD

disp(=========================================================)

-----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

=============== =================== EM MALHA ABERTA

=====================================

-----------------------------------------------------------------------

===============

-----------------------------------------------------------------------

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

01)NumberTitleoff)

-----------------------------------------------------------------------

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

xo=[-teta00-Ma0]

f21max=-217834 f21min=-360085

lmiln=getlmis

simparaln30g2XQM

sisparaln30gm

x=[x(1) x(2) x(3)]

A=[0 1 0 f21 -BJ 1J 0 0 -1tau] B=[0 0 Gtau]

K0 = 10^(-3)[ -03244 00999 00605] para delta=0

ws0=-K0x pause

xdot0=Ax+Bws0

pause t1

A+ δA =

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

B + δB =[

0 0 Gτ

]prime

x1(t)x2(t)x3(t)

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

x1(t)x2(t)x3(t)

B + δB =

A+ δA =

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

0 1 0f0 minusB

0 0 minus 1τ

0 0 0δf 0 00 0 0

f21 = f0 + δf = f21max + f21min

2 middot δ (F2)

f21 = f0 + δf = f21max + f21min

0 0 minus 1τ

RA =[r1 r2 r3

] (F7)

]= δ middot

= δ middot

f21max+f21min2 0 00 0 0

2 (F9)

l2 6= 0 (F17)

r1 6= 0 (F18)

(f) L =[

0 l2 0]primee RA =

[r1 0 0

Portanto

f21maxminusf21min2

1 0 0]

Portanto

2 0 0]

B0 + δB =

f21maxminusf21min2

f21max minus f21min

Folha de rosto

Dedicatoacuteria

Agradecimentos

Epiacutegrafe

Resumo

Abstract

Lista de tabelas

Sumaacuterio



















Norma euclidiana H2


Norma infinita Hoo




































Resultados












Conclusatildeo

Conclusatildeo



Referecircncias

Apecircndices





















Agradecimentos

Lista de tabelas

MA Malha Aberta

MF Malha Fechada

Ps Largura de Pulso

RP Real Positivo

exist Existe

isin Pertence

rArr Implica em

Tal que

Sumaacuterio

norma e LMIs 134

II RESULTADOS 137

Referecircncias 165

APEcircNDICES 173

Parte I

Fonte (GAINO 2009)

(controlaacuteveis)

controlaacuteveis)

Objetivos

]prime

x(t) = f(xu t) (13)

y(t) = g(xu t) (14)

x(t) =

x1(t)x2(t)

f(xu t) =

y(t) =

y1(t)y2(t)

g(xu t) =

u(t) =

u1(t)u2(t)

Fonte (OGATA 2010)

Fonte (NISE 2009)

De onde vem que

δf(x) asymp maδx

ou seja

f(x) = f(x0) + df

dx|x=x0

(xminus x0)1 + d2f

dx2 |x=x0

(xminus x0)2

x = f(x) (112)

A = partfpartx

∣∣∣∣∣x=0

partf1partx1

partf1partx2

partfnpartx1

partfnpartx2

limxrarr0

= 0 (115)

x = f(xu) (116)

partf1(xu)partx1

partf1(xu)partx2

partfn(xu)partx1

partfn(xu)partx2

x=0u=0

partf1(xu)partu1

partfn(xu)partu1

x=0u=0

Fonte (ZAK 2003)

Y (s)U(s) = b0s

= b0sn + b1s

= b0 + c1

s+ p1+ c2

s+ pn (119)

xnminus1

+ b0 middot u (120)

bn minus anb0

b1 minus a1b0

xnminus1

+ b0 middot u (121)

xnminus1

minusp1 0minusp2

minuspnminus1

0 minuspn

xnminus1

+ b0 middot u (122)

xnminus1

+ b0 middot u (123)

x(t0) = x0 t ge t0 (124)

] (125)

]prime (126)

0 1 0 0minus km

00 0 0 1km

0 minus km

00 00 k

C = 1 0 0 0

0 0 1 0

D = 0 0

gtgt k = 1

gtgt m = 1

gtgt B = [0 0 1 0 0 0 0 1]

gtgt C = [1 0 0 0 0 0 1 0]

gtgt MC = ctrb(AB)

gtgt V SC = svd(MC)

V SC = 22361 22361 10000 10000

gtgt MO = obsv(AC)

gtgt V SO = svd(MO)

V SO = 22361 22361 10000 10000

0e(t)dt+ u0 (130)

+ u0 (131)

de(t)dt

+ u0 (132)

θ = θ0 + r

V = du

2(ωl + ωr) (134)

Ω = dθ

rdminus rd

1rminus d

1- [V = 0Ω = 0] parada

T middot s+ 1 (138)

x = Ax(t) (140)

AprimeP + PA lt 0

P gt 0 (141)

minPTr(P )

AprimeP + PA+Q lt 0

P gt 0 (142)

x = 1 3

gtgt Q = eye(2)

gtgt eig(P )

gtgt Q = eye(2)

gtgt P

ans = [12500 02500 02500 02500]prime

gtgt eig(P )

ans = [13090 01910]prime

gtgt Q = eye(2)

gtgt LMIs = set([])

gtgt double(obj)

ans = 15000

gtgt double(P)

ans = [12500 02500 02500 02500]prime

gtgt eigs(P)

ans = [13090 01910]prime

ge 0 (143)

y = C middot x

F (x) F0 +msumi=1

xiFi gt 0 (145)

F (x) ge 0 (146)

F0 +msumi=1

Fi middot yi) gt 0

p =5sumi=1

αi = 1

Exemplo 1822

p1 = 14 middot x1 + 1

p2 = 13 middot x1 + 1

p1 = 34 middot p2 + 1

4 middot x4

Ksumi=1

M = A B

Bprime C

gt 0 (150)

Bprime C

middot x

Mminus1 = A B

Bprime C

minus1

]middot

Bprime C

middot x

e finalmente

Z(x) lt 1

I Z(x)Z(x)prime I

P (x) c(x)prime

c(x) 1

T0 minuspsumi=1

Bprime middot P 0

middot ξ

le 0 (154)

minus τ1 middot

lt 0 (155)

v(x) = x

J prime2 middot P 0

middot x

forall

[J3 J4

]middot

J prime2 middot P 0

+ L middot[J3 J4

]+[J3 J4

maxω|f(jω)| = lim

prarrinfin

f(s)2 (

z(t)22 =

int infin0

]prime

z(t)22 =

nsumi=1

int infin0

z(t)2i middot dt =

int infin0

ε =int infin

Gωz(s)22 = 1

int infinminusinfin

Lc =int infin

Lo =int infin

Gωz22 = min

z(t)2ω(t)2

= supω 6=0

int infin0

middot x

lt 0 forall x

lt 0 (182)

minPγ2

lt 0(183)

J = J1 J2

Ji = J1i J2i

J3i J4i

v(x) = x

J prime2 middot P 0

middot x

forall

[J3 J4

]middot

= 0 (187)

J prime2 middot P 0

+ L middot[J3 J4

]+[J3 J4

+ L middot[J3i J4i

]+[J3i J4

0letleTx(t) (189)

x(t) le K(x(0)+ δ) (190)

limtrarr0

x(t) = 0 (191)

Bprime middot P = C

P gt 0 (192)

P gt 0 (195)

P gt 0 (199)

X gt 0 (1102)

P gt 0 (1107)

X gt 0 (1110)

X gt 0 (1111)

X gt 0 (1117)

isto eacute

X gt 0 (1121)

X middotRprime

X gt 0 (1122)

X gt 0 (1123)

isto eacute

(1125)

limtrarrinfin

1 xprime(0)x(0) X

ge 0 (1129)

X X middot C prime

ge 0 (1130)

[Ωref Vref

]prime

[Ωref Vref

[ωr ωl

]prime O

[ωr ωl

]prime

Ω V]prime

0 KmiddotmT

T0 Kmiddotm

ImiddotK1r

C = 1 0 0 0

0 1 0 0

D = 0 0

y1(t) = ωr(t) = x1(t) (211)

y2(t) = ωl(t) = x2(t) (212)

u(t) =[V (t) Ω(t)

]prime (213)

d)]middotK1 middot

(K2s+ I

Ts+ 1) = wr (214)

[V middotK1

]minus ωr

middot

= wr (215)

[V middotK1

rminus ωr middotK1

2 minus ωr]middot

= wr (216)

V middotK1

T middots2+s

∣∣∣∣∣Ω=0

ωrΩ = 1

∣∣∣∣∣V=0

ωlΩ = 1

∣∣∣∣∣V=0

a middot s+ b (226)

ou ainda

2 minusX1(s)] (230)

Finalmente

T (233)

T (234)

114Capiacutetulo

2Controlador

PIpara

ummodelo

linearsim

plificadoda

cadeirade

T0 Kmiddotm

0 KmiddotmT

ImiddotK1r

middot v(t)

y(t) = 1 0 0 0

0 1 0 0

middot v(t)

[δx δy 0 δu δω

[θu θω

]prime

ωmmiddotbmiddotr2

θuω2

θωu middot ω

0 00 00 0

2middotrθu

00 2middotrmiddotd

ωl ωruref ωref

θ1middot u

θ2middot ω

0 00 00 01θ1

[δx δy 0 δu δω

]prime

θ =[θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6

]prime (33)

θ =[θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6 θ7 θ8

]prime (34)

θ1 = kDTkPT

middot(2 middot Ie

r2 +m) (35)

θ2 =(Ie middot d2

+ kDRkPR

+ Be middotRa

Ψ = ω (313)

θ1 minusθ7

minusθ8 θ2

= uref

]prime

]prime (315)

] (318)

] (320)

middot

θ2 θ7

θ8 θ1

times uref

ω middot θ5 θ6

middot

θ2 θ7

θ8 θ1

times uref

2middotr1rminus d

2middotr

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

times uref

minus r

[uref ωref

[ωr ωl

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

times r

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

C = 1 0

D = 0 (327)

A =[partf

partωrpartf

partωl

](ur=0ωl=0)

B =[partf

parturefpartf

partωref

](uref=0ωref=0)

A = A11 A12

A21 A22

B = B11 B12

B21 B22

middot[

1rmiddot θ2 + d

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

dmiddot θ6

] (333)

middot[

1rmiddot θ2 + d

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

] [minusr

dmiddot θ6

] (334)

middot[

1rmiddot θ2 minus

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

dmiddot θ6

] (335)

middot[

1rmiddot θ2 minus

]times

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

] [minusr

dmiddot θ6

] (336)

middot[θ2

r+ d middot θ8

2 middot r

] (337)

middot[θ7

r+ d middot θ1

2 middot r

] (338)

middot[θ2

rminus d middot θ8

2 middot r

] (339)

middot[θ7

rminus d middot θ1

2 middot r

] (340)

0 le b1 le 0151 (341)

minus0151 le b2 le 0151 (342)

040 le d le 070 (343)

Pd1(040 0 0151) (344)

Pd2(040 0minus0151) (345)

Pd3(040 0151 0151) (346)

Pd4(040 0151minus0151) (347)

Pd5(070 0 0151) (348)

Pd6(070 0minus0151) (349)

Pd7(070 0151 0151) (350)

Pd8(070 0151minus0151) (351)

Pdcg1(070 0 0) (352)

Pdcg2(040 0 0) (353)

Pdcg3(045 0 0) (354)

Pdcg4(070 0minus01) (355)

Pd1(04000151)

Ad1 = 00857 00274

00288 00831

00481 0015500476 minus00145

Pd2(0400-0151)

Ad2 = 00825 00282

00268 00851

00471 0014500476 minus00155

Pd3(04001510151)

Ad3 = 00854 00277

00289 00827

00481 0015400475 minus00144

Pd4(0400151-0151)

Ad4 = 00822 00284

00269 00847

00471 0014400475 minus00154

Pd5(07000151)

Ad5 = 01000 00132

00143 00976

00482 0028900476 minus00278

Pd6(0700-0151)

Ad6 = 00969 00136

00125 00993

00470 0027800476 minus00289

Pd7(07001510151)

Ad7 = 00997 00134

00142 00971

00482 0028800474 minus00276

Pd8(0700151-0151)

Ad8 = 00967 00138

00125 00988

00470 0027600474 minus00288

Pdcg1(07000)

Adcg1 = 00986 00132

00132 00986

Bdcg1 =

00476 0028500476 minus00285

Pdcg2(04000)

Adcg2 = 00843 00276

00276 00843

Bdcg2 =

00476 0015100476 minus00151

Pdcg3(045000)

Adcg3 = 00874 00244

00244 00874

Bdcg3 =

00476 0017700476 minus00177

Pdcg4(0700-01)

Adcg4 = 00975 00134

00127 00991

00472 0028000476 minus00288

x1(t)x2(t)x3(t)

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

x1(t)x2(t)x3(t)

middot PN (41)

42500 [N middotms]

1J middot x1(t)

(x1(t) + θν0 + π

))(x1(t) + θν0 + π

2 minus ω)

] (42)

))(θν0 + π

2 minus ω) (43)

PN = Ps minusMa0

G (44)

PN gt minusMa0

G (45)

A+ δA =

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

B + δB =[

0 0 Gτ

]prime (47)

f21(x1(t)) = 13584x1 minus 28896 (48)

0 1 0f0 minusB

0 0 minus 1τ

0 0 Gτ

]prime

0 δfmax 0]prime

1 0 0]

RB = [0]

∆ =[δ]

minus1 le δ le 1

[0 1 0

2 0 0]

Parte II

Resultados

minus89721 0 5 8765 0

0 minus89721 0 5 8765minus57285 0 0 0

0 minus57285 0 0

12707 0444712707 minus0444756879 1990756879 minus19907

C = 1 0 0 0

0 1 0 0

D = 0 0

D = 0 (61)

C = 1 0

= a11 a12

a21 a22

middot ωr

+B middot

middot ωr

X = 513762 minus17280minus17280 461799

R = 2678942 6747599

3711933 minus5927815

Ko = 57130 148253

68018 minus125818

]prime

0 1 0minus288960 minus07459 27624

0 0 minus10515

Matrizde entrada B

[0 0 44690

[1 0 0

]Matriz D

Matriz L[

0 71126 0]prime

Matriz RA

[1 0 0

]Matriz RB

Matriz ∆ =[δ] [

1]e[minus1

0 0 071126 0 0

0 0 0minus71126 0 0

[minus03244 00999 00605

0 1 0minus288960 minus07459 27624

0 0 minus10515

Matrizde entrada B

[0 0 44690

[1 0 0

]Matriz D

Matriz L[

0 71126 0]prime

Matriz RA

[1 0 0

]Matriz RB

Matriz ∆ =[δ] [

1]e[minus1

0 0 071126 0 0

0 0 0minus71126 0 0

[minus02639 00602 00305

462651 = 68018

Referecircncias

166 Referecircncias

Referecircncias 167

168 Referecircncias

Referecircncias 169

170 Referecircncias

Referecircncias 171

172 Referecircncias

Apecircndices

Parte III

--------------------------------------------------------------------

clear all clc

Parte IV

2 middot(θ1 minus

δo1a = θ6

co1 = kDRkPR

middot(Ie middot d2

ka middot r

r+ Ra middotBe

ka middot r

) (B9)

1 Seja

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

2 Entatildeo

partωr= part

partωr

partωl= part

partωl

4 Isto eacute

partωr= r

dmiddot θ6

partωl= r

dmiddot θ6

5 Entatildeo

dmiddot θ5 minus r

dmiddot θ6

middot

d2middotr

1rminus d

2middotr

middot θ2 θ7

θ8 θ1

times 1

dmiddot θ5 minus r

dmiddot θ6

7 Finalmente

middot[

1rmiddot θ2 + d

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

dmiddot θ6

middot[

1rmiddot θ2 + d

]minus

middot[

1rmiddot θ7 + d

] [minusr

dmiddot θ6

middot[

1rmiddot θ2 minus

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

dmiddot θ6

middot[

1rmiddot θ2 minus

]minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

] [minusr

dmiddot θ6

1 Seja

middot

1rmiddot θ2 + d

2middotr middot θ1

parturef= part

parturef

(1rmiddot θ2 + d

(1rmiddot θ7 + d

partωref= part

partωref

(1rmiddot θ2 + d

(1rmiddot θ7 + d

3 Ou seja

parturef= 1

rmiddot θ2 + d

2middotr middot θ8

partωref= 1

rmiddot θ7 + d

2middotr middot θ1

4 Entatildeo

middot

1rmiddot θ2 + d

2middotr middot θ1

5 Finalmente

middot[

1rmiddot θ2 + d

middot[

1rmiddot θ7 + d

middot[

1rmiddot θ2 minus

middot[

1rmiddot θ7 minus

a=01 m=80 r=035

robusto do VRTD

Ad1=[A11 A12A21 A22] Bd1=[B11 B12B21 B22]

Ad2=[A11 A12A21 A22] Bd2=[B11 B12B21 B22]

Pd3(04001510151) d=040 b1=0151 b2=0151

robusto do VRTD

Ad3=[A11 A12A21 A22] Bd3=[B11 B12B21 B22]

Ad4=[A11 A12A21 A22] Bd4=[B11 B12B21 B22]

Pd5(07000151) d=070 b1=0 b2=0151

Ad5=[A11 A12A21 A22] Bd5=[B11 B12B21 B22]

robusto do VRTD

Ad6=[A11 A12A21 A22] Bd6=[B11 B12B21 B22]

Pd7(07001510151) d=070 b1=0151 b2=0151

Ad7=[A11 A12A21 A22] Bd7=[B11 B12B21 B22]

robusto do VRTD

B22=gamabeta22

Ad8=[A11 A12A21 A22] Bd8=[B11 B12B21 B22]

Pdcg2(04000) d=040 b1=0 b2=0

Pdcg3(04500) d=045 b1=0 b2=0

robusto do VRTD

Cd=[1 00 1]

n=size(Ad11)

setlmis([])

lmiterm([-9 1 1 X]11)

lmidin=getlmis

robusto do VRTD

clearclose allclc

Adcg1 =[00986 0013200132 00986] Bdcg1 =[00476 0028500476 -00285]

Adcg2 =[00843 0027600276 00843] Bdcg2 =[00476 0015100476 -00151]

robusto do VRTD

Cd=[1 0 0 1] D=[0 00 0]

Ko=[56548 14889568580 -125922] versao A

Ko=[65098 63488132726 -137025] versao B

disp(=========================================================)

========================

disp(=========================================================)

Pdcg1(07000))

------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

========================

disp(=========================================================)

robusto do VRTD

----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

-----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

----------------------------------------------------------------------

robusto do VRTD

disp(=========================================================)

-----------------------------------------------------------------------

disp(=========================================================)

=============== =================== EM MALHA ABERTA

=====================================

-----------------------------------------------------------------------

===============

-----------------------------------------------------------------------

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

01)NumberTitleoff)

-----------------------------------------------------------------------

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

robusto do VRTD

-----------------------------------------------------------------------

xo=[-teta00-Ma0]

f21max=-217834 f21min=-360085

lmiln=getlmis

simparaln30g2XQM

sisparaln30gm

x=[x(1) x(2) x(3)]

A=[0 1 0 f21 -BJ 1J 0 0 -1tau] B=[0 0 Gtau]

K0 = 10^(-3)[ -03244 00999 00605] para delta=0

ws0=-K0x pause

xdot0=Ax+Bws0

pause t1

A+ δA =

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

B + δB =[

0 0 Gτ

]prime

x1(t)x2(t)x3(t)

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

x1(t)x2(t)x3(t)

B + δB =

A+ δA =

0 1 0f21 minusB

0 0 minus 1τ

0 1 0f0 minusB

0 0 minus 1τ

0 0 0δf 0 00 0 0

f21 = f0 + δf = f21max + f21min

2 middot δ (F2)

f21 = f0 + δf = f21max + f21min

0 0 minus 1τ

RA =[r1 r2 r3

] (F7)

]= δ middot

= δ middot

f21max+f21min2 0 00 0 0

2 (F9)

l2 6= 0 (F17)

r1 6= 0 (F18)

(f) L =[

0 l2 0]primee RA =

[r1 0 0

Portanto

f21maxminusf21min2

1 0 0]

Portanto

2 0 0]

B0 + δB =

f21maxminusf21min2

f21max minus f21min

Folha de rosto

Dedicatoacuteria

Agradecimentos

Epiacutegrafe

Resumo

Abstract

Lista de tabelas

Sumaacuterio



















Norma euclidiana H2


Norma infinita Hoo




































Resultados












Conclusatildeo

Conclusatildeo



Referecircncias

Apecircndices





















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Projeto de Controladores Robustos em Modelos Não-lineares