Embed Size (px)
DESCRIPTION
ok
Citation preview
BARIS DAN DERETPola dan Barisan
Bilangan
Barisan Arimatika dan Barisan
Geometri
Deret Aritmetika dan Deret Geometri
Sifat-sifat Deret
PROFIL
POLA DAN BARISAN BILANGAN
Pola Bilangan
Barisan Bilangan
Pola bilangan yaitu susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu. Misalnya pada kalender terdapat susunan
angka" baik mendatar, menurun, diagonal (miring).
Pola Bilangan1. Pola Garis Lurus dan Persegi Panjang
Garis Lurus Persegi Panjang
2. Pola persegi
Pola bilangan persegi :: 1 , 4 , 9 , ... merupakan bilangan kuadrat dari bilangan asli . Un= n2
Pola bilangan persegi panjang :: 2, 6, 12, ...
Un = n(n+1)
3. Pola Segi tiga (segitiga sama sisi)
Cara 1Mengikuti pola berikut CARA 2
Pola bilangan segitiga :: 1, 3, 6, 10, ... Un = n/2 (n+1)
1 3 6 10 15 21
+2 +3 +4 +5 +6
Urutan1 Urutan2 Urutan3
• Pola kubus terbentuk dari bilangan kubik Un = n3
4. Pola Kubus
5. Pola bilangan ganjil dan genap
Bilangan kedua dan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua.
• Tetapkan angka 1 sebagai bilangan awal• Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua
a. Pola bilangan ganjil
b. Pola bilangan genap
• Tetapkan angka 2 sebagai bilangan awal• Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua
1 3 5 7 9
108642
+2
+2+2+2
+2+2+2
+2
6. Pola Bilangan Segitiga Pascal
1
2 11
1 1
4641
1 3 13
1
Jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2 n-1
9. Pola Bilangan Fibonaci
1 . . .85321
+++++ +
• Barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan yang telah diurutkan menurut suatu aturan tertentu.
Barisan Bilangan
Un
Un
U2
U1 Suku Pertama
Suku ke-2
Suku ke - n
Barisan bilangan biasanya ditulis :
U1, U2,`U3, . . . . , Un
Dengan Un adalah suku ke – n dan n =
1,2,3, . . .
Contoh : Barisan 0,2,4 berarti
U1 = 0, U2 = 2 , U3 = 4
(menambahkan 2 pada suku
sebelumnya)
• Contoh:• Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan bilangan 2,
5, 8, 11, . . .
1. Menentukan Suku Berikutnya Suatu Barisan Bilangan
Barisan 2, 5, 8, 11,. . .
= 2 = 5 = 2 + 3 = 8 = 5 +3
= 11 = 8 +3 Maka barisan selanjutnya adalah (2, 5, 8 ,11, 14, 17, 20, . . .n +3)
11852
333 U1
U2
U3
U4
Un = f (n)
2. Menentukan Suku Ke-n Suatu Barisan Bilangan
Pola tingkat satu satu barisan bilangan berselisih tetap
Pola tingkat satu satu barisan bilangan berasio tetap
Pola tingkat dua satu barisan bilangan berselisih tetap
Contoh :Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan ganjil.
Pola tingkat satu satu barisan bilangan berselisih tetap (b)
U1 U4U2 U3 Un =?
+b +b +b
Barisan bilangan ganjil
Maka rumus suku ke-nnya adalah = =2n+(1-2) = 2n -1
Un = bn + (U1 - b)
1 73 5 Un = ?
+2 +2 +2 b = 2
Un = bn + (U1 - b) Un
Pola tingkat satu satu barisan bilangan berasio tetap
U1 U4U2 U3 Un =?
x r x r x r Un = rn x U1/r
Contoh :Tentukan suku ke-n dari barisan bilangan (1, 10, 100, 1000, . . . Un )
Tahapan pertama dengan r=10
Rumus suku ke-n : Un = 10n x 1/10 = 10n -1
1 100010 100 Un =?
x10 x10 x10
Suku ke-n dari barisan bilangan berselisih tetap pada pola tingkat dua diberikan formula berikut :
Un = b/2 . n (n-1) + cDengan c = Suku ke-n barisan bilangan pola
b = Selisih tetap
Pola tingkat dua satu barisan bilangan berselisih tetap
Tuliskan suku ke-n dari barisan bilangan (3,6, 10, 15, 21, . . . )Jawab: 3 6 10 15 21
+3 +4 +5 +6
+1 +1 +1
pola tingkat2, dengan b=1
U1 = 3=1/2 x 1 0 +3U2 = 6 = ½ x 2x 1 +5U3 = 10 = ½ x 3x2 + 7U4 = 15= ½ x 4 x 3 +9U5 = 21 = ½ x 5 x 4 +11::Un = ½. n(n-1) +c
Menentukan c yang berupa barisan bilangan yang berpola tingkat satu
Barisan: 3 5 7 9 11Pola tingkat 1, b= 2
+2 +2 +2 +2
C= 2n + (U1 - b) = 2n+(3-2)= 2n +1
Jadi, suku ke-n adalah:Un = ½. n(n-1) +cUn = ½. n(n-1) + 2n + 1Un = ½ n2 – ½ n + 2n +1Un = ½ n2 – 3/2 n +1
LANJUTAN
BARISAN ARIMATIKA DAN BARISAN
GEOMETRI
Barisan Arimatika atau Barisan Hitung
Barisan Aretmatika barisan bilangan yang tiap sukunya
diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara menambah atau mengurangi dengan suatu
bilangan tetap
Perhatikan baarisan U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un. Dari definisi di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut :U1 = aU2 = U1 + b = a + bU3 = U2 + b = a + b + b = a + 2bU4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b
Un = a + (n – 1 )b
Dengan n = 1, 2, 3,..
Un = Un-1 + b = a + (n - 2)b + b = a + (n - 1)b
.
.
.
Bilangan b adalah suatu bilangan tetap yang sering disebut dengan beda. Penentuan rumus beda dapat di uraikan sebagai berikut :U2 = U1 + b => b = U2 - U1
U3 = U2 + b => b = U3 - U2
U4 = U3 + b => b = U4 - U3
.
.
.Un = Un-1 + b => b = Un - Un-1
Dengan melihat nili b, kita dapat menentukan barisan aritmetika itu naik atau turun.
Bila b ˃ 0 maka barisan aritmetika itu naikBila b ˂ 0 maka barisan aritmetika itu turun
Contoh:Tentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari barisan aritmetika berikut ini dan tulis jenis barisan aritmetika tersebut.
a. 1, 3, 5, 7,. . . .b. 4, 2, 0, -2,. . .
Jawab :Gunakan rumus beda untuk menentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari masing-masing barisan aritmetika.a. Barisan 1, 3, 5, 7 . . .
berdasarkan rumus Un = U1 + (n – 1) . b diperoleh ..U1 = 1 U2 = 3 U3 = 5b = U2 - U1 = 2 b = U3 - U2 = 2 b = U4 - U3 = 2
karena b = 2 > 0 barisan aritmetika merupakan barisan naik.U10 = U1 (10 - 1) . bU10 = 1 + 9 . 2 = 19
b. Barisan 4, 2, 0, -2, . .
U1 = 4 ; U2 = 2 ; U3 = 0 ; U4 = -2b = U2 - U1 = - 2 ; b = U3 - U2 = -2 ; b = U4 - U3 = - 2karena b = - 2 < 0 barisan aritmetika merupakan barisan turun, berdasarkan rumus
Un = U1 (n - 1) . bU10 = 4 + (9 . (- 2) ) = - 14
Jadi, suku ke sepuluh barisan tersebut adalah -14
Barisan Geometri atau Barisan Ukur
Barisan Geometribarisan bilangan yang tiap sukunya
diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan atau membagi dengan suatu
bilangan tetap
Misalkan, barisannya U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un, maka :
U1 = aU2 = U1 . r = arU3 = U2 . r = ar2
U4 = U3 . r = ar3
Un = Un-1 . r = arn-1
1. Un = r × Un-1 atau 2. Un = a × rn-1
Dengan: r = rasio atau pembanding n = bilangan asli a = suku pertama
Berdasarkan nilai rasio (r) kita dapat menentukan suatu barisan geometri naik atau turun.
Bila r > 1 maka barisan geometri naik.Bila 0 < r < 1 maka barisan geometri turun.
Contoh :a. Tentukan suku ke delapan dari barisan geometri :
b. Tulliskan rumus suku ke – n dari barisan geometri :
Jawab:a.
Jadi, suku kedelapan dari barisan geometri diatas adalah 729
b.
Jadi, suku ke-n dari barisan geometri di atas adalah
DERET ARITMETIKA DAN DERET GEOMETRI
Deret Aritmetika atau Deret Hitung
Deret bilangan jumlah yang ditunjuk untuk suku-suku dari suatu barisan bilangan
Menyatakan deret ke-n
Bentuk umum:
Contoh:1. Deret dari barisan 3, 5, 7, …, (2n+1) adalah Maka,
2. Deret dari barisan 1, 2, 4, …, adalah Maka,
Deret aritmetikajumlah suku yang ditunjukkan oleh
barisan aritmetika
Dengan dan
Deret aritmetika
Dengan: suku ke-n n = bilangan asli b = beda
Rumus n suku pertama deret aritmetika:
Contoh:1. Tentukan jmlah sepuluh suku pertama dari deret
Jawab:
2. Tentukan jumlah 5 suku pertama, jika suku kelima adalah 240 dan suku pertama adalah 20
Jawab:maka:
Deret Geometri atau Deret Ukur
Deret geometri jumlah suku-suku yang ditunjuk
oleh barisan geometri
𝑈 1 ,𝑈 2 ,𝑈 3 ,… ,𝑈𝑛
Barisan geometri:
dengan dan
Deret geometri:
Rumus n suku pertama deret geometri:
Contoh:1. Tentukan jumlah delapan suku pertama dari deret Jawab:
2. Diberikan deret geometri dengan suku-suku positif, dan Bila tentukanlah jumlah n suku pertama deret geometri itu.
Jawab:
Karena suku-suku positif maka
maka:
SIFAT-SIFAT DERET
Dalam deret aritmatika maupun deret geometri dapat menemukan sifat umum berikut ini.
.
.
.
Dari uraian diatas dapat dituliskan hubungan antara suku ke-n dan jumlah n suku pertama dari deret aritmatika maupun deret geometri, sebagai berikut.
𝑈𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛− 1
Contoh:Dalam deret aritmatika ditemukan, hitunglah :a. b. c. Beda
Jawab :a.
b.
c.
Sifat Dasar Deret Aritmetika
1. Bila merupakan deret aritmatika, maka :
2. Bila merupakan suku-suku pada deret aritmatika, maka:
𝑈 2−𝑈 1=𝑈 3 −𝑈 2=𝑈 4 −𝑈 3=𝑈 5−𝑈 4=…=𝑈𝑛−𝑈𝑛−1
2𝑈 2=𝑈 1+𝑈 3
Contoh:Tentukan nilai dari agar barisan merupakan suku-suku dari deret aritmatika.
Jawab: Kita gunakan sifat dasar kedua, yaitu
2(3x - 5) = x + 1 + 46x –10= x + 56x –x= 5 + 105x = 15x = 3
Selain kedua sifat di atas dapat pula kita turunkan beberapa sifat dari deret aritmatika yang lain.Perhatikan kembali formula suku ke-n berikut ini :
𝑈𝑛=𝑎+(𝑛−1 )
Dengan formula di atas dapat disusun kembali formula baru yang menyatakan hubungan antara suatu suku dengan suku yang lainnya.
Memo 7 = 1 + 67 = 4 + 37 = 5 + 27 = 3 + 4Secara umum dapat dituliskan:
𝑈𝑝=𝑈𝑘+(𝑝−𝑘 )𝑏 𝑏=𝑈𝑝−𝑈𝑘
𝑝−𝑘
Contoh:Bila dan dari deret aritmatika, tentukanlah :a. b b.
Jawab: a. b.
atau
Sift Dasar Deret Geometri1. Bila merupakan deret geometri, maka :
2. Bila merupakan suku-suku pada deret geometri, maka:
𝑈 2
𝑈 1=𝑈 3
𝑈 2=…=
𝑈𝑛
𝑈𝑛− 1=𝑟
𝑈 22=𝑈 1 ×𝑈 3
Contoh:
Tentukan nilai agar barisan merupakan barisan geometri.
Jawab:
Memo
atau
Berdasarkan sifat (2) barisan geometri, yaitu , diperoleh:
Jadi, nilai adalah atau
Selain kedua sifat di atas dapat juga kita menemukan sifat-sifat yang lain dari deret geometri.Perhatikan Un = arn-1
Dengan formula itu didapat:U10 = ar9
U10 = (ar2) . r7= U3 . r7
U10 = (ar4 ). r7 = U5 . r5
Memo
Lihat Indeks
10 = 1 + 9
10 = 3 + 7
10 = 5 + 5Secara umum di tuliskan:
𝑈𝑝=𝑈𝑘 ∙𝑟 𝑝−𝑘 𝑟𝑝−𝑘=𝑈𝑝
𝑈𝑘
Contoh:Diketahui deret geometri dengan U3 = 24 dan U6 = 192. Tentukanlah :a. r b. U2
Jawab :
b.
PROFIL KELOMPOK
Nama : Putri Kinanti Aprilianti (pemateri pertama)Kelas : 2 – JAlamat : Kapetakan, CirbonNPM : 112070184E – mail: [email protected]/tgl lahir:Ciamis,06 April 1994Dalam tugas ini saya membuat powerpoint , skenario sekaligus menjelaskannya pada slide 1 -16FKIP Pendidikan Matematika. UNSWAGATI Cirebon
Nama : Alang Ganda SutisnaNPM : 112070247Kelas : 2jAlamat : ds. Cikadu, dusun manis rt/rw 01/01 kec. Nusaherang, kab. kuningan.E-mail : [email protected]
Dalam tugas ini saya membuat powerpoint , skenario sekaligus menjelaskannya pada slide 17 -24
Leti SeptianiNama:
112070128NPM:
2-jKelas
Desa Nusaherang, Dusun Manis, RT.01/05, Kec. Nusaherang, Kab. Kuningan
Alamat:[email protected]
m
Email:
Dalam tugas ini saya membuat
powerpoint, skenario sekaligus
menjelaskannya pada slide 17 -24
Nama : Ivon GrianiTempat, Tanggal Lahir : Cirebon, 19 Oktober 1993Kelas : 2-INpm : 112070021Menjelaskan : 33-43Alamat : Jl. Sunan gunung jati,
Gg. Mandiri 2, RT/RW 02/01, Blok Akad,
Ds. Suranenggala kidul, Kec. Suranenggala,
Kab. Cibon, Prov. Jawa Barat
Dalam tugas ini saya membuat powerpoint , skenario sekaligus menjelaskannya pada slide 33 -43
Wilson Simangunsong. Matematika untuk SMP Kelas IX. Erlangga
DAFTAR PUSTAKA
