ESIME ZACATENCO ANLISIS DE MATRICES Y VECTORES TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M VI pgina 1 de 13INVERSION DE MATRICESMatriz no singular y matriz singular. Una matriz A cuadrada se denomina no singular si hayuna matriz B tal que AB = BA = I. Si esa matriz B existe se denota por A-1. A la forma A-1 se lellama inversa de A La matriz A-1 existe si det(A) no es cero. Si A-1 no existe, se dice que A essingular. I es la matriz identidad.Si A = 1-2 2 0-4 3 1 0-1inv(A)0.6667 -0.33330.33330.5000 -0.5000 -0.50000.6667 -0.3333 -0.6667La inversa de una matriz viene dada por la frmula de Cramer:AA AdjuntaA) (1=donde A es el determinante de A y la matriz adjunta es la transpuestade la matriz decofactores.En el caso visto A es 6 y la adjunta de A es: =4 2 43 3 32 2 4) (A AdjPROPIEDADES DE LA INVERSA:1a) Si A y B son matrices no singulares, el producto AB es una matriz no singular y(AB)-1 = B-1 A-1B = [0 -1 2;1 3 -4;2 0 2] 0-1 2 1 3-4 2 0 2ESIME ZACATENCO ANLISIS DE MATRICES Y VECTORES TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M VI pgina 2 de 13inv(B) -3.0000 -1.00001.00005.00002.0000 -1.00003.00001.0000 -0.5000C = inv(A*B) -1.83331.1667 -1.16673.6667 -2.33331.33332.1667 -1.33330.8333D = inv(B)*inv(A)-1.8333 1.1667-1.1667 3.6667-2.3333 1.3333 2.1667-1.3333 0.8333Tambin;1b) (A-1)t = (At)-1y1c) (A')-1 = (A-1)'inv(A)' 0.6667 0.5000 0.6667-0.3333-0.5000-0.3333 0.3333-0.5000-0.6667inv(A') 0.6667 0.5000 0.6667-0.3333-0.5000-0.3333 0.3333-0.5000-0.66672) Si k es un escalar: (kA)-1 = A-1/kinv(3*B) -1.0000 -0.33330.33331.66670.6667 -0.33331.00000.3333 -0.1667inv(B)/3 -1.0000 -0.33330.33331.66670.6667 -0.33331.00000.3333 -0.16673) El determinante de A-1 es el recproco del determinante de A:det(A-1) = 1/det(A)ESIME ZACATENCO ANLISIS DE MATRICES Y VECTORES TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M VI pgina 3 de 13det(A) 6det(inv(A))0.1667Inversa de una matriz de 2x2:Si:011 = =bc ad sia cb dbc adAd cb aASi A es de 3x3 y su determinante es diferente de cero:0 = A yi h gf e dc b aAentonces: =e db ah gb ah ge df dc ai gc ai gf df ec bi hc bi hf eAA11Lema de inversin de matriz: Si A, B, C y D son matrices de n x n, n x m, m x n y m x m,respectivamente, entonces(A+BDC)-1 = A-1A-1 B(D-1 + CA-1 B)-1CA-1siempre que las inversas indicadas existan.A = [1 0 -2 3;2 -4 5 0;-3 3 0 7;1 -1 2 4];inv(A) -0.5342 -0.7671 -0.56161.3836 -0.9178 -0.9589 -0.45211.4795 -0.5205 -0.2603 -0.13700.63010.16440.08220.0959 -0.0411B = [-5 2 0;2 -3 3;8 0 4;-2 3 9];D = [0 1 0;0 0 1;-4 -7 -5];ESIME ZACATENCO ANLISIS DE MATRICES Y VECTORES TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M VI pgina 4 de 13inv(D) -1.7500 -1.2500 -0.25001.0000 0 0 01.0000 0C = [3 8 0 -2;1 0 -2 2;4 3 -2 0];E = inv(A+B*D*C) -0.79390.4161 -0.37660.00200.7596 -0.26030.3186 -0.03690.26060.18510.0394 -0.08250.20350.12040.0804 -0.0776F = inv(A)-inv(A)*B*inv(inv(D) + C*inv(A)*B)*C*inv(A) -0.79390.4161 -0.37660.00200.7596 -0.26030.3186 -0.03690.26060.18510.0394 -0.08250.20350.12040.0804 -0.0776Tambin: = 11 1 110 0 DBD A ADB AEjemplo:E = inv([A B;zeros(3,4) D])-0.5342-0.7671-0.5616 1.3836-16.0993-15.5582-1.5308-0.9178-0.9589-0.4521 1.4795-12.3116-13.5103-0.9760-0.5205-0.2603-0.1370 0.6301 -2.1096 -4.6849-0.0685 0.1644 0.0822 0.0959-0.04110.3767 -0.0205 0.04790000 -1.7500 -1.2500-0.250000001.0000 000000 01.00000F = [inv(A) -inv(A)*B*inv(D);zeros(3,4) inv(D)]-0.5342-0.7671-0.5616 1.3836-16.0993-15.5582-1.5308-0.9178-0.9589-0.4521 1.4795-12.3116-13.5103-0.9760-0.5205-0.2603-0.1370 0.6301 -2.1096 -4.6849-0.0685 0.1644 0.0822 0.0959-0.04110.3767 -0.0205 0.04790000 -1.7500 -1.2500-0.250000001.0000 000000 01.00000ESIME ZACATENCO ANLISIS DE MATRICES Y VECTORES TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M VI pgina 5 de 13= 1 1 1110 0D CA DAD CAG = inv([A zeros(4,3);C D])-0.5342-0.7671-0.5616 1.3836 -0.0000 -0.00000-0.9178-0.9589-0.4521 1.47950.0000 -0.0000 0.0000-0.5205-0.2603-0.1370 0.6301 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.1644 0.0822 0.0959-0.04110.00000.0000 0.0000 -16.1473 -19.1986 -10.565130.3493 -1.7500 -1.2500-0.2500 9.274010.1370 5.4932 -16.06851.00000.00000-0.8356 0.0822 0.0959-0.0411 -0.00001.0000-0.0000H = [inv(A) zeros(4,3);-inv(D)*C*inv(A) inv(D)]-0.5342 -0.7671 -0.5616 1.3836000-0.9178 -0.9589 -0.4521 1.4795000-0.5205 -0.2603 -0.1370 0.6301000 0.16440.08220.0959-0.0411000 -16.1473-19.1986-10.565130.3493-1.7500-1.2500-0.2500 9.2740 10.13705.4932 -16.0685 1.000000-0.83560.08220.0959-0.04110 1.00000ECUACIN CARACTERSTICA DE LA MATRIZ A DE n x n:La ecuacin caracterstica de la matriz A viene dada al igualar a cero el polinomio caracterstico,el cual viene dado por el determinante:sI - A = sn + a1sn-1 + ... + an-1s + anEjemplo:0 3 44 3 34 4 45 4 44 3 34 4 45 4 42 3= + + =+ + = s s ssssA A 4-4 5 4-4 4-3 3-4poly(A) %Para determinar el polinomio caracterstico de A: 1.0000 4.0000 3.0000-0.0000Valores principales (o races) de una matriz cuadrada. Vienen dados al resolver la ecuacincaracterstica de la matriz.ESIME ZACATENCO ANLISIS DE MATRICES Y VECTORES TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M VI pgina 6 de 13sn + a1sn-1 + ... + an-1s + an=(s - 1)(s - 2)...(s - n)=0eig(A)-3.0000 0.0000-1.0000VECTORES PROPIOS (EIGENVECTORES) DE UNA MATRIZ n x na)Cuando las races son diferentes:El vector propio Xi viene dado al resolverAXi = iXidonde i es el valor principal i.Si X = [X1 X2 ... Xn] se tiene que X-1AX produce una matriz diagonal cuyos elementos de ladiagonal son las races de A.[X,D] = eig(A)X =0.67450.7071 -0.70710.49050.70710.0000 -0.5518 -0.00000.7071D = -3.0000 0 0 00.0000 0 0 0 -1.0000inv(X)*A*X -3.00000.00000.00000.0000 -0.00000.00000.00000.0000 -1.0000b)Cuando existen races complejasA 3 0-8 2ESIME ZACATENCO ANLISIS DE MATRICES Y VECTORES TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M VI pgina 7 de 13-2 0 6 1 3 0-7 1 3 0-7-1poly(A)1.00005.00008.00006.0000 0[X,D] = eig(A)X =0 0.6832 + 0.0614i0.6832 - 0.0614i -0.0789 1.0000-0.1248 - 0.5278i -0.1248 + 0.5278i0.65790 0.3416 + 0.0307i0.3416 - 0.0307i -0.23680-0.0307 + 0.3416i -0.0307 - 0.3416i -0.7105D =00000-1.0000 + 1.000i 0000 -1.000 - 1.000i 0000 -3.000inv(X)*A*X%Transformacin de semejanza0 0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i-0.000 + 0.000i0-1.0000 + 1.0000i-0.0000 - 0.0000i 0.000 + 0.000i0-0.0000 + 0.0000i-1.0000 - 1.0000i 0.000 - 0.000i0 0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i-3.000 + 0.000iNotar que MATLAB calcula a los vectores propios de manera que la suma del cuadrado de suscomponentes para cada vector propio es 1.0. Esto es, de manera normalizada.TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON:El teorema establece que: una matriz cuadrada satisface su propia ecuacin caracterstica, esto esAn + a1An-1 + ... + an-1A + anI = 0polyvalm(poly(A),A) %ejemplo con MATLAB% se evala A4 + 5A3 + 8A2 + 6A + 0I1.0e-012 *-0.0737 0 0.0142 0.0231 0.3926 0-0.7425 0.0737-0.1021 0 0.1377 0.0169ESIME ZACATENCO ANLISIS DE MATRICES Y VECTORES TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M VI pgina 8 de 13-0.3437 0 0.6812-0.0453que es virtualmente cero.ALGORITMO DE LEVERRIER (O DE FADDEEVA)Permite calcular los coeficientes del polinomio caracterstico de una matriz de orden n x n.Se definen las matrices E1, E2,...En y los escalares a1, a2, ..., an de la siguiente manera:E1 = Ia1 = - traza(AE1)/1E2 = AE1 + a1I a2 = - traza(AE2)/2.............. ........................En = AEn-1 + an-1I an = - traza(AEn)/nTambin AEn + anI = 0, para comprobar el mtodo%Mtodo de Leverrier ilustrado con MATLABA 3 0-8 2-2 0 6 1 3 0-7 1 3 0-7-1E1 = eye(4);a1 = -trace(A*E1)/1 5E2 = A*E1 + a1*eye(4) 8 0-8 2-2 5 6 1 3 0-2 1 3 0-7 4a2 = -trace(A*E2)/2 8E3 = A*E2 + a2*eye(4)ESIME ZACATENCO ANLISIS DE MATRICES Y VECTORES TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M VI pgina 9 de 1314 0 -22 6 5 8-3 6 6 0-9 3 0 0-3 3a3 = -trace(A*E3)/3 6E4 = A*E3 + a3*eye(4) 0 0 0 0 8 6 -13 9 0 0 0 0 0 0 0 0a4 = -trace(A*E4)/4 0E5 = A*E4 + a4*eye(4) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0FUNCIONES DE LOS ELEMENTOS DE UNA MATRIZA = [01 ; -1pi/2] 0 1.0000 -1.0000 1.5708cos(A) % MATLAB puede calcular la funcin de cada elemento, ejemplo:1.00000.54030.54030.0000FUNCIONES DE UNA MATRIZ CUADRADAf(A) se define mediante la serie convergente de Maclaurin:0 / ) ( ; ! / ) (0= = == en f d f donde k A f A fk kkkkkdonde y fk son escalares. Por ejemplo:eA = e0I + (e0)A + (e0)A2/2 + ... + Ak/k! + ...ESIME ZACATENCO ANLISIS DE MATRICES Y VECTORES TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M VI pgina 10 de 13funm(A,'cos') %MATLAB calcula el coseno de la matriz1.4385 -0.75310.75310.2554Si T es una matriz no singular, existe la transformacin de similitud T-1AT = D,Entonces: A = TDT-1; y adems, f(A) = Tf(D)T-1T = [-1 2;0 -2]; % Matriz de transformacin (no singular)D = inv(T)*A*T% D es semejante a A (los valores principales de A son idnticos a los de D)-1.0000 7.1416-0.5000 2.5708fd = funm(D,'cos') 2.1916-5.3786 0.3766-0.4977fa = T*fd*inv(T) 1.4385-0.7531 0.7531 0.2554La ventaja de la propiedad anterior es cuando la matriz D resulta diagonal, lo cual se lograusando a la matriz de vectores propios de A como la matriz de transformacin. La funcin de unamatriz diagonal es a su vez diagonal. Veamos un ejemplo:A -3.0000 0 -1.5000 -1.0000[X,D] = eig(A)% X es matriz de vectores propiosX =0.0 0.80001.00000.6000D = % Los elementos de la diagonal son los eigenvalores de AESIME ZACATENCO ANLISIS DE MATRICES Y VECTORES TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M VI pgina 11 de 13 -100 -3H = X*funm(D,'sin')*inv(X)-0.14110 0.5253-0.8415100*H %para ver ms dgitos (tambin se puede con format long)-14.1120 0 52.5263 -84.1471G = funm(A,'sin');100*G-14.1120 0.0000 52.5263 -84.1471Para corroborar que f(D) es diagonal:10*funm(D,sin)-8.41470.0 0.0-1.4112Rango de una matriz rectangular. Es el orden del determinante de orden mximo que podamosformar (eliminando filas y columnas) que sea diferente de cero. Por ejemplo:A = 1 0-4-219-2 0 5 2 -26 3 0 0 5 9 5 0-3 127MATLAB puede determinar el rango de cualquier matriz:rank(A) 3MATLAB permite definir una matriz extrayendo sus elementos de otra:B = A(2:4,3:5) 5 2 -26 0 5 9ESIME ZACATENCO ANLISIS DE MATRICES Y VECTORES TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M VI pgina 12 de 13-3 127det(B) 186El rango de A es 3 porque no existe un determinante de cuarto orden que sea diferente de cero.NORMA Norma de una matriz:norm(X) es el valor singular ms grande de X, max(svd(X)).norm(X,2)es lo mismo que norm(X).norm(X,1) es la 1-norma de X, La suma de columna ms grande,= max(sum(abs((X)))).A = [1 -2 4;0 -5 3; 2 3 -7];norm(A) 10.2300norm(A,1)14help cond COND Nmero de condicincon respecto a la inversin.cond(X) retorna el nmero de condicin de la 2-norma (Larazn del valor singular ms grande de X al ms pequeo).Nmeros de condicin muy grandes indican una matriz casisingular.cond(X,P) retorna el nmero de condicin de X en P-norma: norm(X,P) * norm(INV(X),P).donde P = 1, 2, inf, o 'fro.'cond(A) 5.9338ESIME ZACATENCO ANLISIS DE MATRICES Y VECTORES TEORA DE CONTROL IVProfr. Salvador Saucedo Grupo 9A2M VI pgina 13 de 13PROBLEMAS1Dadas las matrices A, B, C y D, usar MATLAB para calculara)La ecuacin caracterstica, los eigenvalores y los eigenvectores de A.b)La ecuacin caracterstica, los eigenvalores y los eigenvectores de D.c)La norma y el nmero de condicin de A.d)La norma y el nmero de condicin de D.e)La inversa de (A + BDC) de manera directa y mediante el lema de inversin.f)La inversa de (D + CAB) de manera directa y mediante el lema de inversin.g)Calcular el coseno y el logaritmo natural de la matriz A.h)Calcular exp(D)i)Corroborar que:= 1 1 1110 0D CA DAD CA== ==1 04 10211200 12 00 32 2 01 0 23 1 0D C B A2Dadas las matrices A, B, C y D, usar MATLAB para calcularj)La ecuacin caracterstica, los eigenvalores y los eigenvectores de A.k)La ecuacin caracterstica, los eigenvalores y los eigenvectores de D.l)La 1-norma y el nmero de condicin de A.m)La 1-norma y el nmero de condicin de D.n)La inversa de (A + BDC) de manera directa y mediante el lema de inversin.o)La inversa de (D + CAB) de manera directa y mediante el lema de inversin.p)Calcular el seno y el logaritmo natural de la matriz A.q)Calcular, mediante una transformacin de similitud, exp(D)==101100201 10 24 51 32 00 00 2 2 14 5 3 01 0 2 10 0 1 0C D B A