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Universidade de São Paulo Instituto de Física
Propriedades magnéticas e de spin em semicondutores do grupo III-V
Celso de Araujo Duarte
Orientador: Prof. Dr. Guennadii Michailovich Goussev
Tese apresentada ao Instituto de Física da Universidade de São Paulo para a obtenção do título de Doutor em Ciências
Banca examinadora:
Prof. Dr. Guennadii Michailovich Goussev (orientador – IFUSP) Prof. Dr. Antonio Domingues dos Santos (IFUSP) Prof. Dr. Iouri Poussep (IFSC) Prof. Dr. Antonio Carlos Seabra (EPUSP) Prof. Dr. Ivan Costa da Cunha Lima (UERJ)
São Paulo 2006
FICHA CATALOGRÁFICA Preparada pelo Serviço de Biblioteca e Informação do Instituto de Física da Universidade de São Paulo
Duarte, Celso de Araujo Propriedades magnéticas e de spin em
semicondutores do grupo III-V. São Paulo, 2006. Tese (Doutorado) - Universidade de São Paulo. Instituto de Física. Depto. Física dos Materiais e Mecânica. Orientador: Prof. Dr. Guennadii Michailovich Goussev Área de Concentração: Física
Unitermos: 1. Física; 2. Física da matéria condensada; 3. Física do estado sólido; 4. Propriedades dos sólidos. USP/IF/SBI-040/2006
Dedico este trabalho à Clauzinha, à minha família, e aos meus amigos, meus companheiros e auxiliares na caminhada.
Que um dia tenhamos paz no mundo, E que os seus habitantes humanos sejam todos eles nobres e felizes.
Agradecimentos Meu débito é grande, uma vez que me socorri da ajuda de inúmeras pessoas para a
realização de meu trabalho que, na sua forma final, se deve especialmente ao meu atual
orientador. No momento de maior dificuldade, foi quem me abriu as portas de sua sala
para me receber – sem me conhecer bem – e para me guiar na minha nova jornada, que
eu viria a realizar em um novo campo do conhecimento, felizmente muito proveitosa e
prazerosa para mim. Antes de tudo, manifesto minha gratidão pela sua humanidade no
momento crítico, e também durante estes dois últimos anos finais.
Disse nova jornada porque eu vinha de outro rumo, mas o destino subtraiu do mundo
quem guiava meu trabalho, deixando-nos, os vivos, perplexos e perdidos. Sou grato ao
falecido Prof. Dr. José Roberto Leite, não só por ter me orientado na primeira metade de
meu doutorado, como por me manter como membro do Laboratório de Novos Materiais
Semicondutores.
Também grato à Profª. Euzi pelo apoio e por ter me aceito como aluno na fase inicial de
meu doutorado, das mãos de quem este passou sucessivamente para o Prof. José
Roberto e depois para o Prof. Gusev.
Gratidão também tenho pelo Prof. Alain e pelo colega Dr. Tomas, que cresceram as
amostras de poços parabólicos. Pelos colegas do MBE e do LNMS por suas eventuais
ajuda, e pelo convívio, felizmente pacífico.
Gratidão também por pessoas que se prestaram de incomum boa vontade, cujo gesto
ficou registrado em mim e que, se eu for generoso, um dia os imitarei: o Prof. Antonio
(Toninho) e o Sergio, ambos do LMM, fazendo deposição de filmes de Au, SiN, etc.; a
Profª. Vera Salvador (IPEN) por medidas de dispersão de raios X; o Dr. Chubaci
(DFN), por medidas de refletância; o Marcel Dupret (FAP), por medidas de RBS; o
Prof. Pedro Vitoriano (IQ), por medidas de espectroscopia; os Profs. Zawislak,
Boudinov (IFRGS), Sebastião (LSI – Poli) e Marcelo (LME – Poli), por implantação
iônica, tratamento térmico e deposição de filmes em amostras; o Prof. Freitas (NRL –
Washington), por fornecer amostras de h-GaN e por me apoiar num momento crítico; o
Prof. Seabra, o Alexandre e demais membros do LSI – Poli, bem como a Rita (LME –
Poli), e o Prof. Pusep do IFSC, com respeito à litografia nas amostras de poços
parabólicos, deposição de Au etc..
Também gratidão pelo Prof. Portal do GHMFL – Grenoble, por oferecer o seu
laboratório para medições, fundamentais para este trabalho; pelos Drs. Julio e Rafael,
pelo auxilio em medidas de foto refletância e espalhamento Raman; pelo Prof. Valmir,
por medidas de Hall em amostras de GaN; pelo Prof. Lishka (Universidade de
Paderborn, Alemanha), pelo fornecimento de amostras de c-GaN.
Disse eu que meu débito era grande, cabe ao leitor se conformar com a extensão desta
lista.
Ao Geraldo, por apoio técnico eventual em problemas de equipamento; à Márcia
Ribeiro por zelar pelo equipamento de fotoluminescência e pela bobina; e também ao
Sr. Francisco de Paula (Paulinho), incansável e atencioso trabalhador a quem o IF muito
deve.
À Mônica, diligentíssima secretária, bem como a sua atual recém-substituta, Tatiana.
Aos colegas do MBE, viajantes da mesma nau, especialmente por aquele convívio que
já declarei pacífico, tendo sido algo bem a mais que isso: Ivan, Luis, Niko, Angela,
Tomas (bis), Geraldo (bis), etc.
À Odille e ao Prof. Myers, pelo apoio no momento crítico, confiança e amizade, sou
grato.
Tenho gratidão pela relativa paz em meu trabalho, especialmente quando lembro que
vivi protegido dos males comuns do ambiente profissional em nossos dias.
Enfim, aos merecedores da dedicatória, meus pais e meus irmãos, pelo que me
ajudaram; à minha companheira Claudia, que me ajudou muito no preparo da
apresentação deste trabalho – e também a “acender a luz para enxergar as coisas”,
acompanhando meus passos. À Kerlley, ao João, à Celize, pela amizade; à Márcia
Cunha e à ACCV pelo novo estímulo de vida; ao Prof. Antonio Tadeu pela amizade e
por ter me incentivado a estudar Física; e meus demais amigos, cujos nomes não
aparecem aqui – todos eles o pedaço da humanidade que me é mais familiar.
Tenho gratidão por ter chegado aqui, por ter feito o que fiz, tendo errado ou acertado.
Acredito que, no futuro, serei mais grato ainda quando, mais amadurecido e menos
desajeitado, haverei de me rejubilar e entender melhor as coisas, descobrindo que tudo
foi o semear para uma colheita posterior.
Resumo
Neste trabalho, apresentamos o resultado de nossas investigações em amostras
de poços quânticos parabólicos (PQW) de AlGaAs crescidas em substratos de GaAs por
MBE (Molecular Beam Epitaxy).
Nossos estudos se concentram nas implicações da variação do fator g de Landé
ao longo da estrutura dos PQW, a qual ocorre em virtude da dependência dessa
grandeza com respeito ao conteúdo de Al na liga AlGaAs. Essas implicações são
analisadas através de medidas de transporte eletrônico (medidas de Hall e do efeito
Shubnikov-de Haas).
As medidas de Subnikov-de Haas a temperaturas da ordem de dezenas a
centenas de milikelvin com variação do ângulo de inclinação se mostram um eficiente
método para a determinação do fator g. Distinguimos não só o fator g determinado pelas
propriedades da liga, como também uma contribuição oriunda de efeitos de muitos
corpos (contribuição de troca).
Por outro lado, as medidas de Hall nos revelam um comportamento anômalo,
que mostramos não ter origem no conhecido “efeito Hall anômalo” presente em
materiais ferromagnéticos, nem em efeitos de ocupação de múltiplas sub-bandas.
Atribuímos o fenômeno a um efeito “válvula de spin”, conseqüente da variação espacial
do fator g.
Nossas observações nos permitem a idealização de um transistor “válvula de
spin”, prescindindo do emprego de materiais magnéticos.
Abstract
We present the results of our investigations concerning MBE grown
AlGaAs/GaAs parabolic quantum well (PQW) samples.
We focused on the variation of the Landé g factor along the structure of the
PQWs, which occur as a consquence of its dependence on the Al content on the alloy
AlGaAs. The implications are studied by Hall and Shubnikov-de Haas measurements.
Shubnikov-de Haas measurements at temperatures of the order of tenths to
hundreds of milikelvin with variation of the tilt angle are shown to be an efficient
method for the determination of the g factor. We could distinguish not only the alloy g
factor, but its many body contribution (exchange contribution).
On the other hand, Hall measurements exhibit an unusual behavior, which we
prooved it has no relation neither to the well known “anomalous Hall effect”, a
characteristic of ferromagnetic materials, nor to a multi subband occupation effect. We
atribute such behavior to a “spin valve effect”, caused by the spatial variation of the g
factor.
Our observations allow us to idealize a “spin valve” transistor, without any
ferromagnetic material in its structure.
Sumário Introdução 1
Capítulo 1 – Conceitos fundamentais 1. Poços quânticos parabólicos 7
2. Determinação autoconsistente da ocupação de níveis em poços quânticos
parabólicos 10 3. Os efeitos Hall e Shubnikov-de Hass 15 O efeito Hall e o efeito Hall quântico 15 O efeito Shubnikov-de Hass 19 Oscilações da magnetorresistência a campo alto 21 4. O fator g de Landé em AlGaAs 26 5. O gap de spin e a contribuição de efeitos de muitos corpos 28 6. O colapso do gap de spin 31
Capítulo 2 – Estrutura e propriedades básicas das amostras estudadas, e equipamentos de medida
1. Plano de crescimento das amostras 35 Potenciais analógicos e digitais: cálculos comparativos 36 2. Estrutura das amostras 39 3. Preparo das amostras para a realização de medidas 40 4. Equipamentos para as medidas experimentais 43 5. Resultados de medidas de Shubnikov-de Haas e Hall 43
Capítulo 3 – Investigações sobre a variação do fator g de Landé em poços quânticos parabólicos de AlGaAs/GaAs
1. O fator g0 em poços quânticos parabólicos 45 Cálculo do fator g0 médio 46 2. Observações sobre a variação do fator g com o campo magnético 48 3. Determinação experimental de 0g : o colapso do gap de spin 52 Conclusões do capítulo 3 60
Capítulo 4 – O efeito válvula de spin em poços quânticos parabólicos de AlGaAs/GaAs 1. O efeito válvula de spin – teste com medidas de transporte 61 Efeitos de ocupação de múltiplas sub-bandas 66 Possibilidade de ocorrência de efeito Hall anômalo 70 Efeito da variação do fator g de Landé 71 Contribuição de troca para o fator g 73 Ação do campo magnético na função de onda 74 Nota final – Prova da inequação 44 77 Conclusões do capítulo 4 78
Capítulo 5 – Perspectiva: o transistor válvula de spin de AlGaAs/GaAs 1. O transistor válvula de spin 79 Aplicações do transistor válvula de spin 81 Contribuição de troca e ângulo de inclinação do campo 82 Transistor de spin de poço trapezoidal 82 O efeito válvula de spin no transistor de spin 84 Conclusões do capítulo 5 90
Conclusões 91
Referências 92
Anexos 96
Introdução
O estudo das propriedades dos materiais, fomentado não só pela avidez do
mercado consumista como também pela necessidade em áreas aplicadas, tem dado novas
fronteiras à Ciência.
A eletrônica “solid state” gerou um progresso tecnológico vertiginoso, bem
caracterizado pela lei de Moore, da década de 70: a cada um ano e meio a capacidade de
um chip aproximadamente dobra, independentemente de seu tamanho [1]. O crescimento
exponencial da quantidade de informação com que hoje em dia lidamos pede equipamentos
mais rápidos e sofisticados. Buscando continuamente reduzir o tamanho de dispositivos,
aumentar sua eficiência e sua rapidez de processamento, certamente chegaremos a um
ponto extremo: historicamente, as dimensões características dos dispositivos
microeletrônicos têm caído à metade de seu valor a cada quatro anos. Assim, em torno do
ano 2040 chegaremos a estruturas com dimensões em escala atômica. O desempenho dos
dispositivos não acompanha essa redução de tamanho, apesar de inúmeros esforços. Em
situações como essa, é conveniente a procura de caminhos diferentes dos que se vem
seguindo.
E, de fato, estamos acompanhando o surgimento de novos ramos da Ciência, que
prometem trazer soluções a esses problemas – além da Nanociência, despontam a
“Spintrônica” ou eletrônica do spin, a “Computação Quântica” etc..
Se, por um lado, a eletrônica convencional se baseia na carga do elétron, a
spintrônica – área que inspirou nosso trabalho – vem abrir novas possibilidades graças a
sua promessa de empregar as propriedades do spin do elétron, além das de sua carga.
Nossa tecnologia emprega fundamentalmente a carga elétrica como veículo de
informação e energia. Ela frutificou a tecnologia que conhecemos a partir do conhecimento
da eletricidade, suas manifestações e propriedades. Se tal tecnologia surgiu do estudo das
manifestações naturais “tangíveis” pelos nossos sentidos – como os relâmpagos e as
eletrizações de objetos –, a spintrônica tem origem num ente natural aquém de nossa
percepção: o spin.
Exibindo notáveis propriedades oriundas de seu caráter puramente quântico, o
spin promete incontáveis possibilidades. E promessas que antes pareceriam um sonho,
surgem ante nossos olhos por intermédio de uma ciência de já um século – a Mecânica
Quântica –, cujas leis governam nosso microcosmo.
1
Se por um lado a eletrônica – ainda que tenha bases na Mecânica Quântica – se
fundamenta em conceitos clássicos da Eletrostática e da Eletrodinâmica associados à carga
elétrica (em outras palavras, a lei de Coulomb e as equações de Maxwell), a spintrônica
traz a emergência de um novo linguajar, com termos como “emaranhamento”
(entanglement), coerência etc., os quais fogem ao âmbito da Física Clássica.
A spintrônica se propõe a possibilitar o controle e a manipulação do spin, com os
quais se possa desenvolver uma nova tecnologia complementar à eletrônica do silício e
demais semicondutores.
Se bem que ainda esteja no estágio inicial de investigação, em que inexistem
“circuitos spintrônicos” [2], já foram idealizados e testados alguns dispositivos com
sucesso. O mais conhecido, é a cabeça de gravação e leitura de discos rígidos de
computadores, baseada no princípio da magnetorresistência gigante (GMR, Giant
MagnetoRresistance), que encontrou vultosa aplicação comercial. É possível que, dentro
de algum tempo, venhamos encontrar no mercado uma variedade de equipamentos ultra-
sofisticados, complexos e versáteis.
Entre os vários problemas que impedem o desenvolvimento da spintrônica,
destaca-se o desconhecimento de como interligar seqüencialmente vários dispositivos
spintrônicos sem haver perda de coerência do spin dos portadores (o que significa a perda
da informação carregada pelo spin). Essa dificuldade tem como causas principais: 1) a
limitação intrínseca do tempo de coerência do spin nos materiais; 2) a dificuldade de
conservar a coerência nas regiões de interface entre materiais diferentes, especialmente do
tipo metal ferromagnético-semicondutor; e 3) a influência da temperatura.
É com a finalidade de resolver esses problemas que se tem investigado
intensamente diversos materiais para a aplicação na spintrônica.
Uma categoria de materiais indicados para a aplicação na spintrônica é a dos
semicondutores magnéticos, por exemplo, calcogenetos de európio [3]. Entretanto,
integrar materiais como esses à tecnologia atual – já difíceis de produzir –, significa na
prática, a habilidade de crescer filmes finos em substratos semicondutores como Si,
AlGaAs, GaN, InP etc. A diferença entre estruturas cristalinas e parâmetros de rede resulta
em filmes de má qualidade cristalina, o que os torna inapropriados à spintrônica, uma vez
que somente em estruturas de alta qualidade pode-se ter reduzida taxa de espalhamento que
proporciona longos tempos de coerência. Na prática, opta-se por uma solução alternativa,
criando materiais híbridos de semicondutores e magnéticos, denominados “semicondutores
magnéticos diluídos” (Diluted Magnetic Semiconductors, DMS). [4] Cresce-se uma liga de
2
material semicondutor com uma fração Mn, ou outro metal de transição, magnéticos, como
Fe, Cr, Co, Ni, V [5] (ou terras raras).
Entretanto, mesmo o crescimento dos DMS pode ser problemático. Há fatores a
considerar, como a solubilidade do metal escolhido na matriz semicondutora e sua
afinidade com esse substrato. Durante o crescimento de um filme de DMS, pode haver
fenômenos de segregação, impedindo a formação de uma liga homogênea. A formação de
coalescências (clusters) descaracteriza as propriedades da liga pura, tornando-a inadequada
para uma possível aplicação na spintrônica. Dessa maneira, é necessário um rigoroso
controle das condições de crescimento da liga para evitar a formação dessas coalescências.
Em paralelo, é conveniente o estudo teórico da liga que se pretende crescer, identificando
em que faixa de concentração pode-se encontrar comportamento ferromagnético.
Uma das maneiras de se produzir DMS é através da implantação iônica – técnica
essa já correntemente usada para a dopagem de semicondutores [6]. Ao invés de se crescer
diretamente a liga semicondutor + metal de transição, opta-se por implantar o
semicondutor com íons do metal. Com esse procedimento, evita-se em princípio qualquer
efeito indesejado de segregação, o que poderia ocorrer no caso do crescimento direto, por
técnicas como MBE (Molecular Beam Epitaxy). Além do mais, permite um melhor
controle da distribuição dos íons. Entretanto, a desvantagem é o dano causado à estrutura
cristalina, o qual só pode ser parcialmente eliminado através de um tratamento térmico
posterior.
Na prática, pode-se perguntar qual a finalidade de se estudar um DMS produzido
por implantação, já que os defeitos cristalinos são um empecilho à criação de dispositivos
spintrônicos. Entretanto, não deixa de ser para nós uma oportunidade de investigação, onde
poderemos aferir uma série de propriedades do material. Além do mais, é uma maneira de,
numa primeira instância, se produzir esse material, especialmente no caso em que não se
dispõe da possibilidade de crescer diretamente o DMS por MBE ou outra técnica refinada.
Diversos autores já se ocuparam da investigação das propriedades de semicondutores
implantados, analisando suas propriedades estruturais, ópticas e magnéticas, em que
destacamos o caso do GaN, que estudamos em nosso trabalho. [7] Notemos ainda que os
resultados de vários grupos de estudiosos revela que o GaN tem grande resistência
estrutural, face aos danos de implantação, se comparado ao Si ou ao GaAs. [6, 8]
Nosso trabalho incluiu, inicialmente, o estudo de amostras de GaN implantadas
com Mn. A escolha do GaN como substrato semicondutor teve como base um conhecido
trabalho teórico de Dietl et al. [9] baseado no modelo de Zener para o ferromagnetismo,
3
segundo o qual o GaN com 5% de dopagem de Mn, apresenta comportamento
ferromagnético à temperatura ambiente, enquanto outros semicondutores têm temperaturas
críticas muito baixas, inviabilizando a aplicação em dispositivos comercializáveis. Boseli
et. al., em simulações de Monte Carlo, estudaram o ferromagnetismo na fase metálica da
liga GaMnN de estrutura cúbica, prevendo temperaturas de transição de Curie superiores à
temperatura ambiente [10]. Além do mais, nosso grupo de pesquisa no Laboratório de
Novos Materiais Semicondutores vem desenvolvendo longo trabalho em torno dos nitretos
do grupo III, muito especialmente o GaN, que alcançou notoriedade com o famoso
trabalho de Nakamura. [11] Uma vez que o GaN pode ser crescido nas fases hexagonal
(estrutura de wurtzita) e cúbica (estrutura de blenda de zinco), estudamos essas duas fases
do material. Diversos trabalhos já foram feitos sobre implantação de íons de metais de
transição em GaN, entretanto, considerando apenas a fase hexagonal. [12] A contribuição
de nosso trabalho está no estudo da implantação na fase cúbica, e de suas propriedades
estruturais, ópticas e magnéticas como um todo. [13]
Uma vez que a máquina de MBE disponível em nosso laboratório não opera com
nitretos (e sim arsenetos), estudamos e implantamos amostras cedidas por instituições de
pesquisa estrangeiras com as quais mantemos colaboração, o Naval Research Laboratory
(Washington, EUA) e a Universität Paderborn (Paderborn, Alemanha).
Entretanto, há outro caminho alternativo para o controle do spin que prescinde do
emprego de DMS, e é através da manipulação do fator g de Landé. Não podemos na
verdade modificar por nenhum meio o fator g de um material, uma vez que ele é uma
propriedade intrínseca deste. No máximo, podemos esperar que alguma modificação possa
ser conseguida variando a densidade de portadores na estrutura (semicondutora), por
exemplo, pela aplicação de potenciais elétricos moduladores, já que efeitos de interação de
muitos corpos têm impacto no fator g. Entretanto, podemos tentar outro caminho mais
simples: sabendo-se que na liga AlxGa1-xAs o fator g depende fortemente do conteúdo x de
Al, [14] podemos nos aproveitar desse fato e tentar construir dispositivos spintrônicos. É
esse o propósito principal de nosso trabalho. Estudando medidas de Shubnikov-de Haas
(SdH) e Hall em amostras de poços quânticos parabólicos (PQW, Parabolic Quantum
Wells) de AlGaAs crescidas em substratos de GaAs, verificamos que o gás bidimensional
de elétrons (2DEG, Two Dimensional Electron Gas) confinado no PQW passa por
transições de estados de spin dependendo do fator g médio, de acordo com a localização do
2DEG ao longo do PQW, a qual é modulada através da aplicação de um potencial elétrico
4
externo. Esse fenômeno está ligado ao que se designa por efeito válvula de spin (spin valve
effect), graças ao qual pode-se, em princípio, construir um transistor válvula de spin (spin
valve transistor), [15] mas, diferentemente da literatura, não é necessário o emprego de
materiais com propriedades magnéticas.
Esse sistema constituído por um 2DEG num PQW pode assim, em princípio,
transpor a dificuldade tecnológica da realização de interfaces semicondutor-ferromagneto
com boa qualidade. Ressaltemos também a simplicidade do sistema, que emprega um
material semicondutor de largo uso comercial (AlGaAs) – sem falar que eventualmente
pode-se empregar outras ligas semicondutoras que tenham a mesma funcionalidade.
Neste trabalho, apresentaremos somente os nossos estudos sobre amostras de
PQW. A razão disso é o fato de que os estudos sobre GaN cúbico implantado tinham a
orientação do Prof. Dr. José Roberto Leite, cujo falecimento obrigou-nos à sua suspensão
em estágio incompleto. Apresentamos somente, em anexo, uma publicação no periódico
Appl. Phys. Lett. que contém os resultados da análise completa do primeiro conjunto de
amostras. Em contrapartida, os estudos sobre PQW foram feitos sob a orientação do Prof.
Dr. Guennadii M. Gusev, cuja linha de pesquisa concentra-se no estudo de propriedades de
transporte eletrônico.
Na apresentação deste trabalho, começamos pela introdução de conceitos básicos
no capítulo 1, e das propriedades das amostras estudadas no capítulo 2. A seguir, nossas
investigações se subdividem em três estudos intimamente relacionados: no capítulo 3,
inicialmente mostraremos de que maneira varia o fator g de Landé em PQW, auxiliados
por modelos baseados na teoria k.p [16] e por medidas de SdH. Esses estudos são
acompanhados por cálculos autoconsistentes da densidade eletrônica no PQW com o fim
de determinar o fator g efetivo, realizados com o auxílio de um programa que
desenvolvemos. Através de medidas de SdH, distinguimos duas contribuições conhecidas
para o fator g: a contribuição de bandas g0 intrínseca ao material, deduzida a partir da
teoria k.p (bare contribution) e a advinda de efeitos de troca (exchange contribution).
Estudamos também a variação do valor médio de g0 ao longo de um PQW, em função de
potenciais moduladores externos. [17] Estudos semelhantes já foram feitos por outros
autores empregando medidas ópticas. [18]
O segundo estudo, no capítulo 4, é o do efeito válvula de spin (spin valve) em
PQW: valendo-nos de medidas de Hall em campo magnético quase paralelo, mostramos
que as curvas de resistividade Hall em função do campo se desviam do comportamento
linear esperado. Mostramos que esse comportamento não pode ser interpretado como o
5
conhecido efeito hall anômalo, característico de materiais ferromagnéticos, nem como um
efeito da ocupação de múltiplas sub-bandas de energia nos PQW; antes, é o resultado da
manifestação do efeito “válvula de spin” (spin valve effect) devido a um gap de energia de
Zeeman associado à variação do fator g ao longo do PQW [19].
Esses dois estudos nos levam naturalmente ao terceiro, que considera a
possibilidade de construir um transistor válvula de spin empregando PQWs de AlGaAs,
sem o concurso de materiais com propriedades ferromagnéticas. Nossa proposta para um
transistor válvula de spin é apresentada no capítulo 5.
Por fim, encerraremos nossa apresentação com as conclusões do trabalho,
relatando nossas impressões finais.
6
Capítulo 1
Conceitos fundamentais
1. Poços quânticos parabólicos
Os recentes avanços na técnica de epitaxia de feixe molecular – MBE
(Molecular Beam Epitaxy) –, têm possibilitado a criação de inúmeras estruturas
artificiais com propriedades singulares, como os poços, fios e pontos quânticos,
denominadas genericamente heteroestruturas. O estudo dessas estruturas não só rendeu
avanços na Física de Estado Sólido, como também deu origem a inúmeros dispositivos
com larga aplicação comercial.
Dentre essas estruturas, destacamos como objeto de nosso estudo os poços
quânticos parabólicos – cujo nome advém da forma parabólica da banda de condução e
que passaremos a denominar simplesmente como PQW (Parabolic Quantum Wells) –
remotamente dopados de AlGaAs crescidos em substratos de GaAs. Consegue-se
produzir um PQW de AlGaAs variando gradualmente o teor de Al na liga. Escolhendo-
se como ponto de referência o GaAs, a posição relativa da banda de condução da liga
AlxGa1-xAs é dada pela fórmula (em eV) [20]. Sendo assim,
para se obter um perfil de potencial parabólico da forma:
2222,0693,0)( xxxV +=
1. ( )20)( zzazV −=
basta crescer a heteroestrutura com uma variação espacial da liga obedecendo a:
2. ( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−+= 1849,11561,1)( 2
0zzazx
onde a é um parâmetro constante e z0 a posição do centro do PQW.
A figura 1 representa o perfil da banda de condução de um PQW. Os
parâmetros característicos principais são a largura L e a altura Δ1 do poço, relacionados
a a por 214 La Δ= . Com o objetivo de obter amostras de melhor mobilidade, a altura
da barreira Δ2 em geral é diferente de zero. Para o estudo das propriedades de transporte
em PQW, é necessário enchê-lo com elétrons ou com buracos (caso que não
estudaremos), crescendo-se duas camadas de dopagem delta de Si fora do PQW, em
posições simétricas cuja distância do PQW é denominada spacer. Essa separação
contribui positivamente para a mobilidade.
7
z
Figura 1 – Esquema representativo do perfil da banda de condução de um PQW típico.
Sob o ponto de vista da eletrostática, o potencial parabólico é equivalente ao
produzido por uma densidade de carga positiva uniforme n+. De fato, substituindo o
potencial parabólico na equação de Poisson unidimensional ( 20)( zzazV −= )
+=∂ nezVz )()( 022 εε , obtemos diretamente:
3. 22108
Len Δ
=+ εε,
sendo um importante parâmetro característico dos PQW.
Com a introdução da dopagem delta, os elétrons são capturados pelo potencial
do PQW, e este se torna um canal passível de condução elétrica. Ao mesmo tempo, a
repulsão entre os elétrons confinados no PQW modifica o potencial total, cuja forma
resultante se caracteriza principalmente pelo achatamento do fundo do PQW, como se
representa na figura 2. A forma do potencial total pode ser calculada resolvendo-se as
equações de Schrödinger e de Poisson de modo autoconsistente, como explicaremos na
próxima seção.
8
z
Figura 2 – Esquema representativo do perfil da banda de condução do mesmo PQW da
figura anterior, após a captura dos elétrons das camadas de dopagem delta pelo
PQW. Os parâmetros Δ1 e Δ2 são apresentados apenas para a visualização do
achatamento da concavidade.
Dependendo da largura L e da altura Δ1 do PQW, a solução do problema
autoconsistente pode revelar a ocupação de uma ou mais sub-bandas de energia. Para
uma dada concentração (densidade superficial) de elétrons ns, os poços largos tendem a
ter maior número de sub-bandas ocupadas do que os estreitos, devido aos valores
menores das energias de confinamento. A solução autoconsistente dá o potencial
autoconsistente, o número de sub-bandas ocupadas e respectivas energias,
concentrações e distribuições espaciais de elétrons. Em casos de dopagem elevada, a
parte côncava da figura 1 se torna praticamente plana (de modo que o PQW cheio se
assemelha a um poço quadrado vazio de altura Δ2) ou mesmo convexa. Quando
, temos um PQW cheio. Define-se então o percentual de preenchimento de
um PQW através da grandeza
Lnns ×= +
( )Lnns+ .
Normalmente a distribuição de elétrons se concentra na parte central do PQW.
Nas regiões das dopagens delta, localizadas fora do PQW, a densidade de elétrons é
insignificante, bem como a amplitude das funções de onda ψψ zz =)( ( ψ
representa um auto-estado). Por outro lado, as dopagens representam um potencial
espalhador aleatório V, cujos elementos de matriz ψϕ V = ∫ dzzzVz ψϕ )( =
∫ dzzzzV ψϕ *)( determinam os tempos de transporte e mobilidades de sub-
9
bandas [21]. Sendo as amplitudes desprezíveis, segue que também o serão esses
elementos de matriz. Isso possibilita que a amostra apresente excelentes propriedades de
transporte, conforme dissemos – em oposição à inclusão de dopantes dentro do poço,
onde os elementos de matriz teriam valor apreciável.
Os PQW têm uma propriedade adicional: aplicando-se potenciais elétricos
externos ao longo da direção de crescimento z, promove-se apenas (em aproximação) o
deslocamento da densidade espacial de elétrons ao longo desse eixo. A razão disso é
simples: se denotarmos a função potencial do PQW por ( )20)( zzazV −= , onde z0 é a
posição do centro da concavidade, a aplicação de um campo elétrico constante E
representará a adição de um termo eEz ao potencial, de modo que o potencial resultante
será também parabólico, como o mostra uma simples manipulação matemática:
4. ( ) [ ]20
20 ')()(' zzaeEzzzaeEzzVzV −≡+−=+= .
Assim, a menos de uma constante aditiva, o centro do poço se desloca de z0 para a
posição com a aplicação do campo elétrico. Notemos em particular
que o deslocamento é proporcional ao campo elétrico. Do mesmo modo, a
densidade eletrônica sofrerá um deslocamento idêntico conservando sua forma. No caso
real, o deslocamento é ligeiramente diferente e ocorre também uma alteração da forma
do potencial, uma vez que o poço parabólico de uma amostra é finito. O achatamento do
fundo do poço, causado por concentrações elevadas de elétrons, também concorre para a
modificação do quadro, mas em linhas gerais as aproximações subentendidas pela
equação 2 são satisfatórias em casos de baixa dopagem. Observemos que, para poços de
perfil não parabólico (quadrados, triangulares etc.) não há preservação da forma do
potencial e da forma da densidade eletrônica mediante a ação de campos elétricos
externos.
aeEzz 2/' 00 +=
aeE 2/
2. Determinação autoconsistente da ocupação de níveis em
poços quânticos parabólicos
O problema da autoconsistência do sistema de equações de Schrödinger e de
Poisson unidimensional – que nos interessa –, consiste na busca de um conjunto de N
autofunções envelope normalizadas ψi e autovalores Ei (i = 1,2,...N) que satisfaçam
simultaneamente as equações [22]:
10
5.
( )
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=
=−=
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−=
+++=
=∂
∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂
−
−
=∑
)(94
)(*
4
)()(3
4
)(21
)(),...2,1(*
)()()(
)(211ln7734,01)(
)()()()()(
)()()(
)()()()(*2
3/1
2
20
3/13
2,
1
2,
*
02
2
2
22
K
Iem
a
Hznar
Grx
FNiEEmn
Eznzn
DRyrx
xzV
CzVzVeEzzVzV
Bznez
zV
AzEzzVzm
B
Bs
s
iFis
N
iiis
stc
tceeBC
ee
iii
πα
επε
π
π
ψ
πα
εε
ψψ
h
h
h
As equações 5.A e 5.B são as equações de Schrödinger (ou, mais
precisamente, a equação da massa efetiva [23]) e de Poisson unidimensionais. V(z) é o
potencial total (equação 5.C), que compreende o potencial da banda de condução VBC(z)
intrínseco à estrutura, o campo elétrico externo perpendicular à amostra E, o potencial
de repulsão eletrostática entre elétrons Vee(z) e o potencial de troca e correlação Vtc(z)
(equação 5.D) [24]. Vee(z) é determinado pela equação de Poisson em função da
densidade de elétrons por unidade de volume n(z), a qual por sua vez é dada pela
equação 5.E como a contribuição das densidades eletrônicas de cada uma das N sub-
bandas ocupadas, que dependem da concentração (superficial) de elétrons de cada sub-
banda ns,i e das funções de onda normalizadas ψi(z). As concentrações ns,i são funções
das auto-energias Ei e da energia de Fermi do sistema EF, conforme dado pela equação
5.F. Esse conjunto de equações depende dos parâmetros adimensionais x e rs (equações
5.G e 5.H), que dependem do raio de Bohr do material aB (equação 5.I). Em todas essas B
11
expressões, ε é a constante dielétrica do material, m é a massa efetiva do elétron e Ry
(unidade de energia do potencial de troca e correlação) é o Rydberg efetivo,
(em unidades do sistema MKS).
* *
)8/(1 02*
BaeRy επε=
Esse problema é bem conhecido e estudado, e a sua solução é obtida por meio
de cálculos numéricos [22]. Para a realização de cálculos autoconsistentes,
desenvolvemos, portanto, um programa em FORTRAN 95. Uma das finalidades
essenciais da elaboração desse programa foi a obtenção da densidade espacial
eletrônica, o que possibilitou determinar o fator g de Landé médio em PQW, conforme
explicaremos mais tarde. Outra utilidade foi a determinação do número de sub-bandas
ocupadas e suas respectivas concentrações.
Para a determinação do número de sub-bandas ocupadas N, manipulamos a
equação 5.F: dado que , em que a concentração elétrons nisN
i i nn ,1=∑ = s é um dado
inicial do cálculo, fazemos a somatória dessa equação, no índice i, resultando em
( )∑ =−=
N
i iFs ENEmn1
2* hπ . Desse modo, a energia de Fermi será:
6. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= ∑ =
N
i isF EnmN
E1*
21 hπ
Dado que os níveis ocupados devem ter energia igual ou menor que a energia de Fermi,
partimos inicialmente com N =1,2,... até o valor máximo Nmáx para o qual
, que é o numero de sub-bandas ocupadas desejado. máx,...2,1, NiEE Fi =≤
Nosso procedimento de cálculo foi o seguinte:
Escolha dos dados iniciais do cálculo: concentração de elétrons ns e perfil de
potencial da banda de condução (VBC(z));
1.
2.
3.
4.
5.
Estipulação de uma densidade de elétrons por unidade de volume n(0)(z)
arbitrária não nula (por exemplo, constante e de preferência baixa para evitar
divergência nos cálculos) e escolha de concentrações iniciais para cada sub-
banda , por exemplo ; )0(,isn 0)0(
, =isn
Determinação de Vee(z), rs, Vtc(z) e, portanto, V(z) (equações 5.B-H-D-C);
Determinação de ψi(z) e Ei (equação 5.A) (inicialmente escolhe-se um certo
número de valores para i, e o programa por si só verifica posteriormente o valor
correto de N);
12
Determinação de EF, N e das concentrações das sub-bandas ni(1) (equação 5.F e
sua equivalente 6);
13
6.
7.
Normalização das autofunções ψi(z) e determinação de n(1)(z) (equação 5.E);
Mistura de n(z), através de ( ) 2
1
)0(
1
)1()1()1( )(1)()( znncznzn i
N
ii
N
ii ψλλ ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−++← ∑∑
==
e
, sendo c um número (vide item 9 abaixo) e ( ) )(1)()( )0()1()1( znznzn λλ −+←
14,0=λ ;
Integração de n(z) para a obtenção de ns e posterior comparação com o valor
inicial;
8.
9. Substituições e e repetição do ciclo iterativamente
voltando ao item 3, aumentando c. Para um cálculo de I iterações, o valor de c
para a i-ésima iteração foi c = i/I.
)()( )1()0( znzn ← )1(,
)0(, isis nn ←
Seguindo esse algoritmo, conseguimos boa convergência para vários casos de
PQW. Verificamos que misturas adequadas, como a que criamos e apresentamos no
item 7, garantem melhor convergência do que outras – por exemplo, a mistura do
potencial total antigo V(0)(z) e atual V(1)(z), como
(sendo γ um número pequeno). A comparação entre nossos resultados com os de outros
autores [25] mostra boa concordância.
( ) )(1)()( )0()1()1( zVzVzV γγ −+←
Uma questão interessante é a variação da massa efetiva e da constante
dielétrica ao longo do PQW. De fato, essas duas grandezas variam com a composição da
liga x, e, portanto variam ao longo da coordenada z. Quanto à constante dielétrica, seu
valor para a liga AlxGa1-xAs é dado por x84,290,12 −=ε [26], e em nosso trabalho
consideramos o valor médio 12,87, empregado também por outros autores [27]. Quanto
à massa efetiva, a variação com a composição de Al é maior do que a que ocorre com a
constante dielétrica: [28]. A equação de Schrödinger que inclui
a variação da massa efetiva é:
[ 0083,0063,0* mxm += ]
( ) )()()()(½ 1*2 zEzzVzm iiizz ψψ =+∂∂− −h [29].
Desconsideramos ambas as variações, por terem pouca influência nos resultados [30].
Apenas para efeito de comparação, realizamos cálculos autoconsistentes com e sem
variação espacial da massa efetiva para um PQW de 500 Å de largura (incluindo a
variação espacial de m* nas equações 5.A, 5.F e 5.I), e verificamos uma ligeira
diferença entre os resultados, que não prejudica nossas conclusões.
Na figura 3 apresentamos, como referência, os resultados de cálculos
autoconsistentes para um PQW com 500 Å de largura com Δ1 = 147,5 meV, Δ2 = 88,7
meV, e ns = 4,7x1011cm-2, na ausência de campo elétrico externo (E = 0). Nos cálculos,
inicialmente adotamos a massa efetiva m* = 0,0687m0 (valor igual à média ao longo da
direção z, ∫−=
Å250
Å250Å500/** dzmm ). Uma vez terminado o cálculo autoconsistente,
recalculamos a massa efetiva como valor esperado, ∫= dzzzmm 2)()(** ψ , obtendo
m* = 0,064m0. A média desses dois valores é m* = 0,066m0, valor que empregamos
para todos os nossos cálculos autoconsistentes neste trabalho, sendo igual ao adotado
por Gwinn et al. [31] (Rimberg e Westervelt [32] empregaram o valor médio 0,0753m0,
enquanto os trabalhos posteriores de Gwinn et al. e Hopkins et al. [33], do mesmo
grupo de pesquisa, adotaram 0,067m0). O resultado do cálculo aponta a ocupação de
duas sub-bandas, com concentrações ns,1=4,43x1011cm-2 e ns,2=0,27x1011cm-2. Na figura
3, percebemos que o potencial autoconsistente (vermelho) é menos côncavo do que o
potencial da banda de condução (preto), o que é causado por interações entre elétrons.
-400 -200 0 200 400-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
Ene
rgia
(meV
)
z (Å)
Figura 3 – Resultados de cálculos autoconsistentes para um PQW de 500 Å e ns=
4,7x1011cm-2. Em preto, apresenta-se o perfil da banda de condução (VBC(z)).
Em azul e verde, a repulsão coulombiana (Vee(z)) e a interação de troca e
correlação (Vtc(z)), respectivamente, e em vermelho, o potencial
autoconsistente final. A linha tracejada em preto dá a distribuição da densidade
eletrônica.
14
3. Os efeitos Hall e Shubnikov-de Haas
O EFEITO HALL E O EFEITO HALL QUÂNTICO
O efeito Hall, descoberto por Edwin Herbert Hall em 1879 [34] é um
fenômeno que ocorre no transporte de corrente elétrica quando esta é submetida a um
campo magnético perpendicular ao seu movimento, em conseqüência da atuação de uma
força de Lorentz. Esse fenômeno é ilustrado na figura 4. Daremos uma explicação
simplificada mas suficiente com modelos clássicos, que também pode ser feita em
termos da equação de Boltzmann para o transporte [35].
Figura 4 - Ilustração do efeito Hall. Um campo magnético B (seta azul) atuando sobre
uma corrente elétrica I (seta cinza) à qual é perpendicular, causa o desvio da
trajetória dos portadores devido à ação de uma força de Lorentz. Dependendo
da natureza dos portadores associados a essa corrente (elétrons (e) ou buracos
(h), cujas trajetórias são simbolizadas pelas setas verdes e vermelhas,
respectivamente), surgirá uma diferença de potencial com sinal positivo ou
negativo ao longo da direção perpendicular simultaneamente a I e a B. A
extensão lateral do trecho por onde flui a corrente é designada por l.
15
Genericamente, tomando um campo magnético kBB ˆ=r
, uma carga q se
deslocando com velocidade sofrerá a ação de uma força de Lorentz ivv ˆ=r
jqvBBvqF ˆ−=×=rrr
. Assim, teremos um campo elétrico jvBqFEyˆ/ −==
rr e, entre dois
pontos ao longo do eixo y separados pela distancia l, uma diferença de potencial
. vBllEV y −==
Na figura 4, a corrente I se orienta na direção do eixo x positivo. Em metais ou
semicondutores do tipo n, essa corrente corresponde ao movimento de elétrons de carga
que, seguindo convenção, se movimentam na direção –x com velocidade média
. A força de Lorentz que atuará nos elétrons será (com
eq −=
ivv ˆ−=r
kBB ˆ=r
):
7. jevBBveF ˆ)( −=×−−=rrr
Essa força corresponde a um campo elétrico jvBEyˆ−=
r e a uma diferença de
potencial V na direção y, dada por:
8. vBllEV y −==
onde l é a largura do canal de condução.
No caso de um semicondutor tipo p, inverte-se a carga e o sinal do vetor
velocidade. Como conseqüência, a força de Lorentz tem o mesmo sentido que no caso
de uma corrente de elétrons (y positivo). Entretanto, o sentido do campo elétrico Ey e o
sinal da diferença de potencial se invertem. Essa mudança de sinal é um meio de
determinação do tipo de portador na amostra. A diferença de potencial resultante pode
gerar uma corrente, caso se faça um circuito fechado entre as laterais da barra
representada na figura 4.
Define-se a resistência Hall RH como a razão entre a diferença de potencial V e
a corrente , onde nvlenI s= s é a concentração de portadores:
9. s
H enB
IVR −==
(ressaltemos que a corrente envolvida nessa expressão é a que flui ao longo da direção
x).
A determinação experimental de RH possibilita, portanto, conhecer a
concentração de portadores ns. Para casos simples em que há ocupação de apenas uma
sub-banda, podemos obter a mobilidade μ – que é um importante parâmetro de
16
transporte definido como a razão entre o campo elétrico aplicado e a velocidade de
arraste – a partir de ns e da resistividade a campo zero ρ0, através de:
10. sne 0
1ρ
μ = .
Ressaltemos que, para sistemas de confinamento bidimensional como os que
estudamos, a resistividade e a condutividade são tensores de segunda ordem, que
simbolizaremos respectivamente por ρ e σ , e são inter-relacionados através da
expressão , de modo que 1ˆˆ −= σρ
11. 2222 ;xyxx
xyyxxy
xyxx
xxyyxx σσ
σρρ
σσσ
ρρ+
==+
== ,
sendo que yyxx σσ = , e yxxy σσ −= , valendo relações similares para as componentes de
ρ em função das de σ . Devido à natureza tensorial da resistividade, costuma-se
designar as componentes yyxx ρρ , por resistividades diagonais (por serem componentes
diagonais da matriz ρ ). Sob o ponto de vista geométrico, relacionam correntes e
diferenças de potencial ao longo da mesma direção, de onde segue a outra denominação
de resistividades longitudinais, que adotaremos em nosso trabalho. Em contrapartida,
yxxy ρρ , relacionam diferenças de potencial e correntes transversas, de modo que são
designadas resistividades transversais – ou também resistividades Hall, que
adotaremos. Valem denominações semelhantes às resistências: resistência longitudinal
e resistência Hall.
Entretanto, para campos magnéticos elevados, a equação 9 não descreve
adequadamente os dados experimentais. A discrepância se deve à manifestação de outro
fenômeno importante, o efeito Hall quântico inteiro, descoberto experimentalmente por
Klitzing et al. em 1980 [36], que consiste no aparecimento de platôs sucessivos na curva
da resistência diagonal Rxy, em função do campo magnético, dados por:
12. νν
Ω==
807,2581212e
hRH
onde ν, denominado fator de preenchimento, assume valores inteiros positivos, ν =
1,2,... (não confundir com o percentual de preenchimento de um PQW, definido na
seção 1, página 9).
Para compreender o efeito Hall quântico, partimos da equação de Schrödinger
para uma partícula num campo magnético, com autovalores de spin : ½±=s
17
13. ( ) )()()(*2
1 2rErBsgrAep
m Brrrrr ψψμ =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +− ,
onde Ar
é o potencial vetor, e 02/ meB h=μ é o magnéton de Bohr. O termo
BgBsg BB μμ ½±= corresponde ao desdobramento Zeeman de energia, causado pela
interação do campo magnético externo com o spin eletrônico. Na presença de um campo
magnético perpendicular à amostra kBB ˆ=r
, podemos escolher o calibre simétrico
, e obtemos por separação de variáveis a equação de Schrödinger
bidimensional:
rBA rrr×= ½
14. ( ) ( )[ ] ),(),(½½½*2
1 22 yxEyxBgeBxpeBypm Byx ψψμ =±−+−
Como resultado, teremos autovalores de energia dados por [37]:
15. ( ) BgnBE Bcn μω ½½)(, ±+=↓↑ h ,
onde é a freqüência de cíclotron, n = 0,1,2,... é o índice do nível de
Landau, e ↑ , representam os estados de spin “up” e “down”, respectivamente. Essa
equação mostra que, além do desdobramento de Zeeman, surge uma sucessão infinita de
estados separados pela energia
*/ meBc =ω
↓
cωh , e que são denominados níveis de Landau. Esses
níveis e seu espaçamento são proporcionais ao campo magnético.
A existência dos níveis de Landau é um dos fatores determinantes para a
manifestação do efeito Hall quântico. Outro fator determinante é a existência de
impurezas na amostra. Os platôs da resistência Hall (equação 12) ocorrem em
coincidência com as regiões de campo magnético onde o nível de Fermi passa por um
nível de Landau. Desse modo, o fator de preenchimento,
16. eB
hns=ν ,
determina quantos níveis de Landau estão completamente cheios (abaixo da energia de
Fermi). Paralelamente, nos valores de campo magnético em que ocorrem esses platôs
em Rxy, a magnetorresistência (ou resistência longitudinal) Rxx se anula. A explicação
para esse fato é simples: a uma dada temperatura, somente os elétrons da superfície de
Fermi (cuja posição depende da concentração ns) têm mobilidade, e, portanto podem
contribuir para a condução de corrente elétrica. Entretanto, a condução só é possível
quando o nível de Fermi coincide com algum dos níveis de energia En. Desse modo, a
18
componente σxx do tensor condutividade σ se anula fora dessas coincidências, e a
resistividade longitudinal ρxx também, já que
17. 022 ==∴+
= xxxxxyxx
xxxx σρ
σσσ
ρ .
Desse modo, ρxx apresenta um comportamento oscilatório. Notemos que, dessas
considerações, resulta o fato de que os zeros da resistividade longitudinal são
igualmente periódicos em B1 , com freqüência
18. ( )sss hn
ehne
hne
B=−
+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Δ
νν 11 .
Dessa expressão se extrai experimentalmente o valor da concentração ns.
O efeito Hall quântico inteiro, com a ocorrência de platôs na resistividade Hall
e zeros na resistividade diagonal, é claramente observado nas amostras que estudamos,
em baixas temperaturas.
Em nosso trabalho, apenas o efeito Hall ordinário foi objeto de estudo. Em
contrapartida, o efeito Hall quântico foi para nós uma ferramenta, com a qual, através
da expressão 18, determinamos em vários casos a concentração de elétrons em nossas
amostras.
O EFEITO SHUBNIKOV-DE HASS
Se a resistividade longitudinal apresenta zeros em valores periódicos na
variável B1 , isso entretanto não ocorre em todo o domínio de valores de campo. Para
valores altos de campo, temos o efeito Hall quântico com todas as suas conseqüências
citadas na seção anterior. Porém, para campos muito baixos, temos um comportamento
semiclássico em que a magnetorresistencia não apresenta oscilações [38]. Esse
comportamento ocorre quando o período de uma órbita ciclotrônica é muito maior do
que o tempo de espalhamento dos elétrons τq – chamado tempo quântico [39] –, isto é,
1<<qcτω , onde é a freqüência de cíclotron. Num paralelo clássico, o
elétron não consegue descrever uma órbita ciclotrônica completa entre duas colisões.
Entretanto, no meio termo entre o comportamento semiclássico e a região de
manifestação do efeito Hall quântico, temos um terceiro comportamento peculiar, na
*/ meBc =ω
19
região em que 1>>qcτω . Surge um comportamento oscilatório muito regular, também
de freqüência ( ) ( ) snheB =Δ 1 (como expresso pela equação 18), mas sem que a
resistividade longitudinal se anule. No regime de 1<<Δ xxxx ρρ e para a ocupação de
apenas uma sub-banda [40],
19. ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−∝
Δφ
ωπ
τωπ
ωπωπ
ρρ
c
F
qcc
c
xx
xx EkTsenh
kThh
h 2cosexp/2
/22
2
, ou seja,
( ) )0(2cosexp/2
/2)( 2
2
xxc
F
qcc
cxx
EkTsenh
kTAB ρφω
πτω
πωπ
ωπρ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
hh
h
onde φ é uma fase, T a temperatura e k a constante de Boltzmann. Essa expressão é
denominada fórmula de Lifshitz-Kosevich, e o efeito oscilatório da resistividade
(determinado pela função cosseno), é denominado Shubnikov-de Haas.
Segundo algumas referências, πφ −= para confinamento bidimensional [41]
entretanto, há autores que considerem 2/πφ += [42] ou mesmo 0=φ [43,44]. Com
respeito à amplitude A, na referência [44], A = 4. Em nossas simulações numéricas,
consideramos tanto a fase quanto a amplitude como arbitrárias.
Pelo ajuste matemático dessa função com medidas experimentais das
oscilações de Shubnikov-de Haas, podemos extrair não só o tempo quântico, como
também a massa efetiva e a concentração, caso que em particular nos interessa: isso se
consegue determinando experimentalmente o argumento da função cosseno na
expressão 15, pois ( ) Fs Emn 2* hπ= . Em outras palavras: o intervalo completo entre
duas oscilações sucessivas significará um período de 2π, para o qual
20. πππ 21212
2
*
1
*
=−Be
mEBe
mE FF
hh.
Dessa igualdade, obtemos simplesmente:
21. ( )Bhens 1
2Δ
= ,
onde ( ) 21 111 BBB −=Δ é o período de oscilação já mencionado.
Comparando as expressões 16 e 20, encontramos 2=Δν , o que significa o
preenchimento de um nível de Landau com a degenerescência de dois estados de spin.
Se B é dado em tesla e desejamos obter a concentração ns em unidades de , basta
usar a fórmula:
2−cm
20
22. ( )Bns 1
10835,4 10
Δ×
= .
No caso de ocupação de mais de uma sub-banda, a fórmula torna-se mais
complexa, envolvendo as concentrações e tempos quânticos correspondentes. Soma-se
expressões iguais à equação 19 para cada sub-banda i ocupada [44]:
23. ( ) )0(2
cosexp/2
/2)( ,
,,,2
,2
1xxi
c
iF
iqicic
icN
iixx
EkTsenh
kTAB ρφ
ωπ
τωπ
ωπωπ
ρ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∑
= hh
h
onde se distingue genericamente a massa efetiva de cada sub-banda em *,i
ic meB
=ω .
OSCILAÇÕES DA MAGNETORRESISTÊNCIA A CAMPO ALTO
Voltemos a considerar as regiões de campo magnético alto, em que se
manifesta o efeito Hall quântico acompanhado do comportamento oscilatório da
resistividade longitudinal – a qual se anula em fatores de preenchimento inteiros. Existe
um formalismo em que os efeitos de espalhamento são considerados na aproximação de
Born (self-consistent Born approximation) [45] e os oriundos do alargamento de níveis
são tratados autoconsistentemente. Como resultado, a densidade de estados de cada
nível de Landau tem forma de uma semi-elipse, e a densidade de estados total é
( )[∑∞
=Γ−−=
0
2/1221/2)(n nnEEheBED π ] , onde os parâmetros de alargamento Γn são
iguais para centros espalhadores de curto alcance (alcance menor do que 12/ +nl ,
onde eBl /h= é o comprimento magnético, que é igual a 80Å para B = 10 T). Pela
formula de Kubo [46], a condutividade longitudinal à temperatura zero é dada por [47]:
24. ( ) ( )[ ]∑∞
=
Γ−−+=0
2222 112/n
nnxx EEne hπσ .
Entretanto, a campos elevados, a densidade de estados fora das regiões de semi-elipses
se anula, o que não é conveniente para uma análise detalhada de espectros de
condutividade. Correções adicionais levam a uma solução intermediária entre a semi-
elipse e uma gaussiana. Cálculos de Gerhardts [48] na chamada aproximação cumulante
de ordem inferior (lowest order cumulant approximation), prevêem a forma gaussiana
para a densidade de estados, isto é,
21
25. ∑∞
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Γ
−−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Γ
−−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
Γ=
↓↑
0
)()(
2)(
)(2
22
)(12),(
n
BBEE
BBEE nn
eeBh
eBBEDπ
,
onde Γ(B) é o parâmetro de alargamento. Os picos da densidade de estados ocorrem nas
energias [ ] BgnE Bcn μω ½2/1, ±+=↓↑ h , as quais correspondem a níveis de Landau
sucessivos (n =0,1,2,...) desdobrados nos estados de spin . Os picos de
desdobramento de spin ocorrem em fatores de preenchimento semi-inteiros, dados por
),( ↓↑
½)12( −+= Nν e ½)12( ++= Nν , e o mínimo entre eles ocorre aproximadamente
(tão mais aproximadamente quanto menor o alargamento Γ(B)) no fator de
preenchimento ímpar 12 += Nν .
Quanto ao parâmetro de alargamento, em certas teorias auto-consistentes em
campos elevados, é tomado como a média geométrica da energia de cíclotron cωh e de
26. qτ/h=Γ ,
o que resulta em )*/(2qmeB τh , e representa uma dependência com o campo
magnético da forma B . Na aproximação auto-consistente de Born, a expressão é
ligeiramente diferente, )*/(2)( 2qmeBB τπh=Γ . Preferiremos adotar a definição mais
atual, segundo a equação 26 [49].
A essa densidade de estados está associada uma condutividade [50]
27. ∑∞
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Γ
−−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Γ
−−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
↓↑
0
)()(
4)(
)(42
22
21)(
n
BBEE
BBEE
xx
nFnF
eenheBσ
Com essa expressão, podemos determinar a resistividade longitudinal xxρ
através da equação 17. Para isso, necessitamos também da componente Hall da
condutividade, xxσ . Desprezamos, por aproximação, o efeito Hall quântico, tomando
assim para a condutividade Hall a expressão clássica BenB sxy −=)(σ [51]. Para
ilustrar esse resultado, na figura 5.a exibimos o gráfico da resistividade longitudinal
(calculada) do mesmo PQW com 500 Å de largura e ns = 4,7x1011cm-2 para o qual
realizamos os cálculos autoconsistentes na seção 2 deste capítulo. Nesse gráfico,
entretanto, o ajuste subentende a ocupação de apenas uma sub-banda, por aproximação
22
(já que ns,1 >> ns,2). Em conjunto, apresentamos também o resultado de uma medida de
Shubnikov-de Haas a 1,6 K de uma de nossas amostras com essas características.
Podemos notar uma grande semelhança entre as oscilações de ambas as curvas. No
ajuste, encontramos τq ~ 0,2-0,3 ps e ns = 4,75x1011cm-2. Para a massa efetiva usamos
. Para o fator g de Landé foi necessário usar a expressão de ajuste
(na verdade, previsões teóricas afirmam que
0066,0* mm =
8,06,13984,0 Bg += aBgg += 1 , onde g1
é constante e aB é associado a efeitos de muitos corpos, conforme veremos
posteriormente,). Não obstante a divergência do número de sub-bandas ocupadas entre o
cálculo autoconsistente e o ajuste da curva da magnetorresistividade, há grande
semelhança entre os resultados. Na figura 5.b, comparamos o mesmo resultado
experimental na região de campos baixos com um ajuste da fórmula de Lifshitz-
Kosevich, equação 19. Desse ajuste obtemos um tempo bem próximo ao anterior, τq =
0,3 ps. Com respeito à concentração de elétrons, obtemos ns = 5,6x1011cm-2, o que
difere em 16%. Essa diferença, na verdade, advém de uma limitação experimental do
equipamento (tempo de integração do sinal e taxa de variação temporal do campo
magnético durante a medida). Ela é perceptível na região de campo baixo – onde se
estuda as oscilações de Shubnikov-de Haas – onde a variação do campo é mais rápida, e
pode ser reduzida variando as condições de medida (reduzindo o tempo de integração
e/ou a variação temporal do campo).
23
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,45 0,50 0,55 0,60 0,65
experimento ajuste
EF = 17,298 meVm* = 0,066m0
τq = 0,2-0,3 ps
ns = 4,75x1011cm-2
(a)
B (T)
ρ xx (u
n. a
rbit.
)
ρ xx (u
n. a
rbit.
)
B (T)
(b)
τq = 0,3 ps
ns = 5,6x1011cm-2
Figura 5 – a) Gráfico da resistividade obtida através das equações 17 e 27 (em
vermelho) comparada com o resultado de uma medida de Shubnikov-de Haas
para uma amostra de PQW, à temperatura de 1,6 K (preto). b) Comparação do
mesmo resultado experimental (preto) na região de baixo campo com o ajuste
da fórmula de Lifshitz-Kosevich equação 19 (em vermelho).
Uma característica essencial desse comportamento oscilatório da
magnetorresistividade é que, à medida que o campo magnético aumenta, a
magnetorresistividade apresenta um máximo toda vez que um nível de Landau (mas
especificamente, um de seus desdobramentos de spin) passa pelo nível de Fermi, ou
seja, quando for satisfeita a relação ( )[ ] FEBmegn =±+ *¼½ h .
Na verdade, numa outra aproximação pode-se considerar a variação da energia
de Fermi com o campo magnético [51], o que altera não só a expressão para a densidade
de estados D(B) como a condutividade σxx(B). Nesse sentido, é mais correto substituir
EF por EF(B) na expressão acima. A inclusão dessa dependência gera de fato algumas
alterações no resultado, especialmente na forma dos picos e na dependência das
energias de desdobramento de spin dos níveis de Landau.
24
Outro fator crucial é a temperatura. As considerações acima dizem respeito ao
caso ideal de temperatura zero, mas em condições reais de temperatura não nula a
densidade de estados e a condutividade devem ser calculadas segundo a média
estatística. A expressão da condutividade envolvendo a dependência com a temperatura,
em região de temperaturas baixas onde o potencial químico μ pode ser substituído pela
energia de Fermi, é dada por
28. εεσεεσ dBTfTB xx
BE
xx
F
),(),(),()(
∫∞−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=
onde é a distribuição de Fermi, e [ ][ 1/ 1),(−−− += kTEFeTf εε ]
29. ∑∞
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Γ
−−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Γ
−−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
↓↑
0
)()(
4)(
)(42
22
21),(
n
BBE
BBE
xx
nn
eenheB
εε
εσ
(expressão idêntica à expressão 27, com a troca de EF pela variável ε).
Na figura 6 apresentamos os espectros de medidas de Shubnikov-de Haas de
amostras de PQW de 500 Å a temperaturas distintas, 50 mK (em preto) e 1,6 K (em
vermelho). Apesar de apresentarem uma ligeira diferença de concentrações eletrônicas
(da ordem de 5%) que faz com que os picos não ocorram nos mesmos valores de
campo, ambas as amostras foram crescidas em um mesmo “waffer” de GaAs (e
posteriormente cortadas dele), e possuem propriedades semelhantes. Na figura, linhas
pontilhadas em azul mostram a correspondência entre os picos de cada um dos
espectros. Os pares de picos rotulados por “A” e “B” são claramente visíveis em ambos
os espectros, enquanto que os pares “C” e “D” só são resolvidos no espectro à
temperatura menor. Nesse mesmo espectro, já o par “E” e seguintes não são resolvidos
em nenhum caso. A medida a 50 mK nos revela uma mobilidade μ50mK = 700000
cm2/V.s, enquanto que a medida a 1,6 K dá μ1,6K = 560000 cm2/V.s. Esse aumento na
mobilidade com a redução da temperatura significa um aumento no tempo de transporte
emt /*μτ = , e por conseguinte também um aumento no tempo quântico τq, com o qual
é relacionado, o que se reflete no parâmetro de alargamento Γ , equação 26. Esse fato
explica porque os picos à temperatura de 50 mK são estreitos, permitindo a visualização
dos desdobramentos, enquanto que à 1,6 K são bem mais alargados.
25
0 1 2 3 4 5
1,6 K 50 mK
Rxx
(un.
arb
it.)
B (T)
AB
E D C
Figura 6 – Medidas de Shubnikov-de Haas de duas amostras de PQW de 500 Å
extraídas de um mesmo waffer, a temperaturas distintas: 50 mK (preto) e 1,6 K
(vermelho). As linhas tracejadas em azul marcam as correspondências entre os
picos de ambos os espectros.
4. O fator g de Landé em AlGaAs
Atualmente, tem-se dado especial atenção ao estudo do fator g de Landé em
semicondutores, com o objetivo da aplicação prática, em especial na spintrônica. Para o
elétron livre , mas em sólidos o fator g assume valor diferente. Para
semicondutores, o modelo de 5 níveis na teoria
0023,2=g
pk rr. [52] dá uma previsão do valor de g
em função dos parâmetros de bandas do semicondutor. Em sistemas bulk (na ausência
de confinamento espacial), o fator g previsto é dado pela expressão [53]
30. ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++=
1001
10
111
000.
123
2111132'2
ffEE
fE
fECg PP
PPpk εεεεrr
26
Nessa expressão, C´ é um termo oriundo de contribuições de bandas distantes (far band
contribution); Δ é a energia de spin-órbita inter-bandas; são
energias dadas em função de elementos de matriz de momento inter-sub-bandas P
22)1(00)1(0 /2 hPmEP =
0(1);
)1(0)1(0)1(0 Δ+= εf , e as grandezas ε0(1) e Δ0(1) são parâmetros de bandas. Para ligas de
AlxGa1-xAs, que são o material das nossas amostras, essas grandezas assumem os
seguintes valores em eV, em função do conteúdo x de Al na liga:
31.
( ) ( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−=Δ=
+=+=++−=++−=
36,2061,086,27
98,014.3)(971,0969.2)(291,0229,18594.1)(22,036,15194,1)(
1
0
11
20
20
P
P
EE
xxfxxxxxfxxx
εε
O parâmetro C´ também varia com x. Entretanto, a comparação de resultados
experimentais com a equação 30 mostra que seu valor é desprezível. Desse modo, a
contribuição principal advém dos 5 níveis considerados pela teoria, e podemos
desconsiderar C´. Os resultados experimentais obtidos por Weisbuch e Hermann [54] à
temperatura de 4 K prevêem uma dependência empírica
32. . 29,325,444,0)( xxxgWH −+−=
Na figura 7 exibimos um gráfico comparativo dos resultados teóricos e
experimentais segundo as equações 30 (ajustando o parâmetro 05,0' −=C ) e 32, na
faixa de x = 0 a x = 31%, que corresponde à de nossas amostras de poços parabólicos.
Podemos notar uma boa concordância entre ambos os resultados.
27
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
g
x (conteúdo de Al)
k.p de 5 níveis (C'=-0.05) resultado experimental
Figura 7 – Comparação de valores para o fator g calculados em função da concentração
x de Al pela teoria pkr r. no modelo de 5 bandas (em preto) e pela fórmula
empírica de Weisbuch e Hermann (em vermelho).
5. O gap de spin e a contribuição de efeitos de muitos corpos
Desde as primeiras observações do efeito Shubnikov-de Haas em 1966, os
desdobramentos de Zeeman aparentaram na prática serem muito maiores do que o
esperado, o que se interpretou como uma conseqüência de uma mudança no fator g,
levando à idéia de que este tenha uma contribuição adicional. Na verdade, além da
contribuição do efeito de bandas citado, existe um fator adicional oriundo de interações
de muitos corpos. Se definirmos o gap de energia de Zeeman como a diferença de
energia entre dois estados de spin “up” e “down” associados a um mesmo nível de
Landau, isto é, ( ) BgBgBg BBB μμμ 000 ½½ =−−+ , o gap total de spin Δs deve ser
expresso como:
33. BgEBg BtrBs μμ *0 =+=Δ
onde g* é o fator g total, g0 o fator g de bandas (bare g factor) calculado através da
equação 30 (e que para AlxGa1-xAs é aproximadamente dado pela equação 32) e Etr é a
28
energia de interação de troca [55], definida como a energia necessária para a criação de
um nível de Landau de um par de um elétron com spin “down” e de um buraco com
spin “up” muito separados. Essa contribuição foi proposta pela primeira vez por Janak
[56] para explicar o valor relativamente elevado do fator g em transistores MOS (Metal
Oxide Semiconductor), em relação ao esperado g = 2, e estudada por uma série de
autores, destacando-se o trabalho de Ando e Uemura [57], que concluíram que o fator g
deveria ser uma função oscilatória do preenchimento dos níveis de Landau.
Normalmente, a contribuição Etr excede o gap de Zeeman
( ) BgBgBg BBB μμμ 000 ½½ =−− . Em GaAs, por exemplo, a razão entre essas
grandezas é da ordem de 20 [58]. Medidas de Etr não tem sucesso por técnicas ópticas,
uma vez que as transições radiativas entre estados de spin não devem ser influenciadas
por interações entre elétrons. Medidas de ressonância de spin eletrônico (ESR, Electron
Spin Resonance) só são hábeis em fornecer o valor de g0. A separação de Etr da
contribuição de bandas Bg Bμ0½± pode ser feita via medidas de transporte com
inclinação gradual da amostra, conforme explicaremos mais adiante.
A questão da dependência do gap de spin sΔ com respeito ao campo
magnético é um tanto controversa. Segundo Nicholas et al. [59], a campos baixos a
contribuição de troca é proporcional ao desdobramento Zeeman Bg Bμ0 , o que implica
que tanto Etc quanto são proporcionais ao campo, ao passo que a campos altos, EsΔ tc
satura simultaneamente com os estados de spin.
Teorias simples de muitos corpos, que tomam para a separação média dos
elétrons o comprimento magnético eBlB /h= , prevêem que a interação coulombiana
entre os elétrons Bc leE επε02 4= deve variar com B , de onde segue também que
Bs ~Δ . Entretanto, isso só é válido quando há apenas um nível de Landau ocupado, e
a interação coulombiana é pequena em comparação com a energia de cíclotron cωh .
Quando há muitos níveis ocupados nenhuma dessas condições é satisfeita: ccE ωh> e
somente 1/ν dos elétrons contribuem para a energia de troca, já que os restantes se
localizam nos outros níveis de Landau que estão cheios. Em acréscimo, o parâmetro de
distância característico para a interação de troca deixa de ser o comprimento magnético
para ser o vetor de onda de Fermi kF. Desse modo pode-se escrever a energia de troca
como:
29
34. νεπε
Ftr
keE0
2
4~ .
Dada a dependência de ν com o campo magnético (equação 16), segue que a
expressão acima pode ser escrita como:
35. ctrE ωαh= ,
onde α é uma constante, prevendo uma dependência linear.
Aleiner e Glazmann [60], usando um método mais sofisticado, mostraram que
Etc varia linearmente com o campo magnético no limite de ν grande, e deduziram a
seguinte expressão para a constante α:
36. ( )BF
BF
akak
πα 2ln
= ,
que, portanto, varia com a concentração através de kF, já que sBF nak 79,0= (no
sistema MKS). Para ns = 1011cm-2, encontramos α = 0,18.
De fato, medidas sugerem que o gap de spin varia linearmente com o campo
[61]. As expressões 33 e 35 implicam assim que g* é uma constante.
Para um gás bidimensional de elétrons, a contribuição de troca depende apenas
da componente do campo normal ao plano do gás [62]. Nesse sentido, escrevemos
37. ⊥+=Δ Bm
eBg Bs *0hαμ
Em outras palavras,
38. θαμ cos*0 Bm
eBg Bsh
+=Δ
ou seja, o fator g total g* é
39. θα cos*
2* 00 m
mgg += ,
que depende da inclinação do campo magnético.
Essas considerações nos habilitam a modificar ligeiramente a expressão para
os níveis de Landau desdobrados pelo spin, manifesta pela equação 15
40. trocaZeeman
Landaudenívelésimon
Bm
eBgm
eBnBsgEBE BBnn
−
±±⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=±=↑↓ θαμθμθ cos
21
21cos
21),( *0*
*,
hh
30
Como explicitado, o primeiro termo do último membro da expressão
representa os níveis de Landau. O segundo, a energia de Zeeman associada ao fator de
bandas g0. E o terceiro, a energia de Zeeman associada à contribuição de troca.
Na verdade, o termo referente aos níveis de Landau tem uma dependência
funcional em relação ao ângulo θ mais complexa para sistemas confinados. É
necessário reescrever a equação de Schrödinger (equação 14) considerando
, e incluirmos também o potencial parabólico (aliás, tomando um
potencial “efetivo” por aproximação, já que as interações entre elétrons também tem
papel importante): . No calibre
),0,( zx BBB =r
222 *½mV(z) zaz Ω== ),0,()( xx yByBzA −=r
[63],
obtém-se
( ) ϕωh½+= nEn
onde
)()2()()cos( 2222 θϕωϕϕωωϕ sensensen cc Ω−Ω+=
e ϕ é dado por
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Ω
Ω= 22
)(2½c
c senarctgω
θωϕ
Entretanto, verificamos que na prática a expressão 40 é suficiente e dispensa as
complicações dessa formulação mais complexa.
6. O colapso do gap de spin
Segundo Fogler e Shklovskii [64], o gap de spin Δs sofre colapso para fatores
de preenchimento acima de um certo valor, devido à destruição do termo de troca Etc
pela desordem. Vimos na seção 3 que os picos de desdobramento de spin ocorrem em
fatores de preenchimento semi-inteiros, ½)12( −+= Nν e ½)12( ++= Nν , de modo
que a distância entre ambos corresponde a um intervalo 1=δν . Experimentalmente,
entretanto, para fatores de preenchimento elevados (campos magnéticos baixos), os
picos surgem em δνν ½)12( ±+= N , com 1<δν . Fogler e Shklovskii mostram que,
para uma energia de Zeeman Bg Bμ0 nula, existe um dado fator de preenchimento
crítico νc, ou em outras palavras, um N crítico, cNN = (tal que 12 += cc Nν ), em que o
31
espaçamento δν cai a zero, o que significa que os dois picos de spin se fundem. Por
uma teoria de campo médio, mostram que, nesse colapso, δν sofre uma transição de
fase de segunda ordem em função do campo magnético, e que, para heteroestruturas de
alta mobilidade, depende diretamente da densidade de dopagem remota doadora ncN i,
da densidade do gás bidimensional de elétrons ns e do spacer d segundo a relação
, e para amostras de baixa mobilidade, 3/16/59,0 −= isc ndnN μsc nN ∝ . Para Bg Bμ0 não
nulo, a transição é um tanto mascarada, mas, para todos os efeitos, o elevado valor de
Etr em relação a Bg Bμ0 aproxima bem essas considerações da realidade. Podemos
concluir, de um modo geral, que o desdobramento de spin dos picos da condutividade
associado à contribuição de troca é determinado pela competição entre efeitos de
desordem e de interação entre elétrons.
Em campos elevados, as oscilações da magnetorresistividade apresentam
claramente picos separados de desdobramento de spin, e os máximos aparecem em
fatores de preenchimento semi-inteiros. Já na região de campos baixos, o
desdobramento dos picos não é resolvido. Sob esse aspecto, existe uma diferença
marcante entre os picos de desdobramento de spin e os picos não desdobrados a campo
baixo (que nada mais são do que picos de spin sobrepostos), que distingue o colapso do
gap de spin de um simples efeito “mascaramento” dos pares de picos resultante da
quase sobreposição matemática. Para isso, recorremos à expressão 19 (fórmula Lifshitz-
Kosevich). Essa expressão mostra que, à medida que o campo é reduzido, o fator de
amortecimento ( )qcτωπ−exp diminui a amplitude das oscilações progressivamente.
Esse amortecimento é acentuado a temperaturas mais elevadas pelo coeficiente
)/2(/2
2
2
c
c
kTsenhkT
ωπωπh
h. Num certo limite de campo, a amplitude torna-se tão pequena que
quase não se consegue distinguir as oscilações da magnetorresistividade, as quais
podem se confundir com o ruído associado a medidas. Leadley et al. [65] relatam ter
chegado a perceber oscilações correspondentes a fatores de preenchimento acima de
100 ou até superior a 150, em certos casos – tomando a precaução de obter bancos de
dados de medidas com considerável quantidade de pontos e cuidadosa variação do
campo magnético. Em suma, a experiência revela que as oscilações persistem
indefinidamente por menor que seja o campo, só perdendo amplitude.
32
Por outro lado, a progressão do colapso dos picos de spin com a diminuição do
campo tem uma característica bem diferente. Poder-se-ia acreditar num comportamento
análogo ao das oscilações da magnetorresistividade a baixo campo, a saber, que a
separação dos picos de spin diminuísse indefinidamente e que, se se tivesse condições
de realizar medidas com precisão e volume de dados cada vez maior, sempre se poderia
distinguir os dois picos de spin em campos arbitrariamente pequenos. Em outras
palavras, ter-se-ia a capacidade de identificar um ponto de mínimo relativo
correspondente a fatores de preenchimento ímpares (que correspondem ao ponto
intermediário entre dois picos de spin). Entretanto, Leadley et al. [65] revelam que,
independentemente da qualidade das condições experimentais, existe um valor de
campo magnético finito em que ambos os picos de spin (correspondentes a um mesmo
nível de Landau) convergem. Isso é um sinal de que o colapso é crítico, indicativo de
uma mudança de fase de segunda ordem quando a interação de troca desaparece.
Wong et al. [66] realizaram um estudo da influência da concentração, e
constataram que para cada nível de Landau N (relacionado ao fator de preenchimento
por 12 += Nν ) existe uma concentração crítica nc abaixo da qual o desdobramento
desaparece, e que, em primeira ordem, Nnc ∝ .
Leadley et al., investigando o comportamento de δν em função da
temperatura T para diversos fatores de preenchimento em diversas amostras,
constataram que todos os pontos experimentais parecem seguir a mesma dependência
funcional com respeito à variável ( ) 05,0 / TTT =− δν , onde é a temperatura em que 5,0=δνT
5,0=δν , e T0 é um parâmetro de temperatura obtido para cada amostra por um ajuste
numérico. Em acréscimo, verificaram que T0 segue uma dependência linear com qτ/1 ,
que é proporcional ao potencial de impurezas qτ/h originário do alargamento Γ das
oscilações de Shubnikov-de Haas (equação 19). Desse modo, propõem que esse
potencial tem influência marcante sobre o gap de spin, e que o gap de spin colapsa
quando a separação entre os níveis de spin for menor do que o alargamento (potencial
de desordem):
41. ( )q
sB Bgτ
μ h=Δ=* .
Apenas comentaremos que Leadley et. al. [65] propõem uma relação empírica
entre o fator de preenchimento crítico cν e a temperatura, ( ) ( ) cTT cc += −− 11 0νν , onde c
33
é um parâmetro. Dessa equação, em conjunto com a equação 33, deduzem que
MkTBg qB += τμ h* , onde M é uma constante numérica.
Para o caso de medidas com variação do ângulo de inclinação do campo,
igualamos as equações 38 e 41, obtendo assim
42. q
B Bm
eBgτ
θαμ hh=+ cos
*0
que, após manipulação algébrica, se converte em
43. αθθτ *
cos2
cos 01010
mmg
Bem
q
+= −−
ou ainda
44. αθω *
cos2*
0100
mmg
mm
c
s +=Δ −
h
onde *
cosm
eBc
θω = . A expressão 44 é essencial em nosso trabalho, na determinação
experimental de g0 que apresentaremos no capítulo 3.
34
Capítulo 2
Estrutura e propriedades básicas
das amostras estudadas, e
equipamentos de medida
35
1. Plano do crescimento das amostras
As amostras estudadas – todas elas contendo PQW – foram crescidas sobre
substratos de GaAs (001) por epitaxia de feixe molecular (MBE, Molecular Beam
Epitaxy) no Laboratório de Novos Materiais Semicondutores do Instituto de Física da
Universidade de São Paulo e no Institute of Semiconductor Physics (Novosibirsk
Rússia) (apenas a amostra AG662), uma técnica que já foi extensivamente empregada
em nosso grupo e foi bem descrita em inúmeros trabalhos, razão pelo que nos
absteremos de explicá-la [67]. O esquema completo do crescimento das amostras seguiu
as seguintes etapas:
1. Crescimento de um buffer de 1 μm de GaAs sobre o substrato de GaAs, para a
obtenção de uma superfície de alta qualidade cristalina, livre dos defeitos do
substrato; após os primeiros 2000 Å, cresceu-se uma super-rede de AlAs/GaAs,
para a contenção das impurezas do substrato;
2. Crescimento de uma rampa com concentração de Al variando linearmente de
zero até 30%, com largura de 500 Å;
3. Crescimento de uma liga uniforme com 31% de Al, com 1000 Å;
4. Crescimento da camada de dopagem delta e de um spacer;
5. Crescimento do PQW com parâmetros de acordo com o desejado;
6. Crescimento do segundo spacer e da segunda camada de dopagem delta (em
posição simétrica ao spacer anterior em relação ao PQW);
7. Crescimento de uma camada de AlGaAs com 31% de Al, com 400 Å;
8. Crescimento de uma camada de dopagem delta de Si, cuja finalidade é a de
neutralizar as cargas da superfície da amostra, resultante de ligações livres
(dangling bonds);
9. Crescimento de uma camada de GaAs de 100 Å, para proteger a amostra contra
oxidação.
O crescimento dos PQW (etapa 5, acima) foi feito com uma estrutura
denominada liga digital, em contraposição à denominada liga analógica. Isso foi feito
com a finalidade de se obter amostras com mobilidades melhores, pois amostras de
poços quânticos crescidas com liga digital apresentam melhores resultados em medidas
ópticas e elétricas [68]. Enquanto o crescimento de uma liga analógica de AlxGa1-xAs
consiste na deposição dos três elementos (Al, Ga, As) simultaneamente nas proporções
estequiométricas desejadas (no caso, ( ) 1:1: xx − ), o equivalente digital consiste de
uma camada de AlAs de largura de largura lx× e uma camada de GaAs de largura
, de modo que ao longo dessa extensão de largura l temos na média a mesma
proporção estequiométrica. Portanto, se por um lado o crescimento de um PQW com
liga analógica é feito depositando-se simultaneamente os três elementos Al, Ga, As com
estequiometria variando gradualmente ao longo da direção de crescimento z (segundo a
equação 2, capítulo 1), por outro lado o crescimento do mesmo PQW com liga digital
consiste em crescer sucessivas camadas de largura l (até completar a largura desejada do
poço), cada uma consistindo de uma camada de AlAs puro de largura e uma
camada de GaAs puro de largura
( ) lx ×−1
lx×
( ) lx ×−1 . O valor advém de uma otimização
baseada na teoria de perturbação de segunda ordem simples de Rayleigh-Schrödinger
[69].
Å20=l
Com essa estrutura de crescimento, consegue-se obter amostras de alta qualidade
cristalina e conseqüentemente boa mobilidade, fator indispensável para o nosso
trabalho. A melhor mobilidade que atingimos à temperatura do He líquido (4,2 K) foi de
590000 cm2/V.s, em uma amostra de PQW com 500 Å de largura.
POTENCIAIS ANALÓGICOS E DIGITAIS: CÁLCULOS COMPARATIVOS
No capítulo 1, nossos cálculos autoconsistentes se basearam num perfil de
potencial de liga analógica. É oportuno tentar um cálculo para uma liga digital. A
primeira dificuldade reside no fato de que, ao longo do PQW digital, as sucessivas
camadas de AlAs e GaAs têm um número fracionário de monocamadas. Na prática, isso
significa que se formam ilhas bidimensionais de uma monocamada, cuja soma das áreas
está em proporção com a área superficial da amostra assim como o valor da fração da
liga c. Para modelagem computacional, podemos tentar usar o mesmo modelo
unidimensional para cálculos autoconsistentes (seção 2 do capítulo 1), criando um
potencial com camadas de espessura fracionária (isto é, sem a restrição de números
inteiros de monocamadas, convertendo a média estatística das áreas de ilhas ao longo do
plano x,y em uma espessura média, conservando o volume). Outra questão é o
número de pontos de integração, o qual está vinculado à malha do potencial digital VD.
Dada a largura de uma camada (l), pode-se procurar o número mínimo de pontos p por
camada tais que se possa fazer exatamente a liga com a concentração c desejada fazendo
36
VD(n) = VD(n+1) = ... = VD(n+m) = VAlAs e VD(n+m+1) = ... = VD(n+p) = VGaAs, onde
VAlAs e VGaAs são os band offsets do AlAs e do GaAs (n, m, p inteiros). Entretanto, numa
primeira instância desconsideramos essa questão, fixando arbitrariamente um número de
pontos de integração (o mesmo escolhido para as simulações com potencial analógico),
e compensamos esse problema descontando proporcionalmente da altura do potencial
das camadas de AlAs. A terceira questão refere-se ao nível da banda de condução do
AlAs, cujo mínimo ocorre no ponto X e não pelo ponto Γ, como no caso do GaAs. Por
simplicidade, desconsideramos essa questão. Os potenciais de input equivalentes
(analógico e digital) são exibidos na figura 8.a, e correspondem a um PQW de 500 Å de
largura.
-300 -200 -100 0 100 200 300
0
200
400
600
800
1000
-300 -200 -100 0 100 200 300-100
0
100
200
300
b)
Ener
gia
(meV
)
z (Å)
a)
Figura 8 – a) Potenciais de input analógico (em verde) e digital (em azul) para cálculos
autoconsistentes. Na região de barreiras, a liga é analógica em ambos os casos.
b) Comparação entre o mesmo potencial analógico (em verde) e o potencial
resultante das médias aritméticas do potencial digital digital (em azul) da
figura (a), ao longo de cada camada l de 20 Å .
Na figura 9 são apresentados os resultados dos cálculos autoconsistentes para ns
= 4,7x1011cm-2. Em ambos os casos é prevista a ocupação de duas sub-bandas, cujas
concentrações eletrônicas são apresentadas na tabela I, e a diferença na concentração da
37
primeira sub-banda (dominante) é de apenas 6%. A maior discrepância está na forma da
função densidade eletrônica, como podemos ver na figura 9: para o potencial digital, é
mais confinada na região central. Isso causa, em princípio, uma diferença no cálculo do
valor esperado de grandezas, como por exemplo, o fator g médio (o que se fará no
capítulo 3), o que, em princípio, aponta vantagem do modelo digital sobre o analógico,
pois a largura dessa função é menor.
-300 -200 -100 0 100 200 300
0
200
400
600
800
1000
Densidade eletrônica (un. arbit.)
Ene
rgia
(meV
)
z (Å)
Figura 9 – Resultados de cálculos autoconsistentes para os potenciais analógico (em
verde) e digital (em azul) da figura anterior. São representados os potenciais
finais autoconsistentes e as concentrações eletrônicas.
Tabela I – Concentração de elétrons de cada sub-banda, resultante dos cálculos
autoconsistentes para L = 500 Å e ns = 4,7x1011cm-2 com potenciais analógico
e digital.
ns,i (x1011cm-2) Sub-banda
Digital Analógico
1 4,168 4,43
2 0,532 0,27
38
Em linhas gerais, dentro das aproximações consideradas, vemos uma
similaridade entre os resultados obtidos para ambos os tipos de potenciais – analógico e
digital –, o que nos basta para adotar o modelo de potencial analógico nos cálculos deste
trabalho.
2. Estrutura das amostras
Foi crescida uma série de amostras de PQW variando os parâmetros largura (L)
e altura (Δ1) do poço, altura da barreira (Δ2), densidade de dopagem delta de Si e spacer,
seguindo a simbologia apresentada na figura 1 (capítulo 1). Os valores de Δ1 e Δ2 foram
escolhidos em função da largura do PQW: para , a concentração de Al
dentro do PQW varia de zero (no centro) até 20% (nas bordas), de modo que Δ
ÅL 1500≤
1 =
147,48 meV e Δ2 = 88,68 meV; para PQW mais largos, com L > 1500Å, a concentração
no PQW varia de zero até 27%, e Δ1 = 203,29 meV e Δ2 = 32,87 meV. Essa escolha
também é um fator que garante boa mobilidade. Os parâmetros de todas as amostras
estudadas são apresentamos na tabela II, em ordem crescente de largura do PQW de
cada amostra.
Tabela II - Parâmetros básicos das amostras estudadas. As definições dos parâmetros
foram dadas no capítulo 1 (vide figura 1).
Número da
amostra
L (Å) spacer
(Å)
δSi
(x1011cm-2)
n+
(x1016cm-3)
Δ1
(meV)
Δ2
(meV)
2537 500 300 5 33,6
2536 750 250 5 14,9
2577 200
2579 300
2580
1000
400
50 8,40
2496 1500 200 5 3,73
147,48 88,68
2535 1700 200 5 4,01
2534 2200 150 6 2,39
AG662 4000 100 0,723
203,29 32,87
39
3. Preparo das amostras para a realização de medidas
O preparo das amostras consistiu na litografia de barras Hall, por meio de
fotolitografia e corrosão química. A fotolitografia foi feita no Laboratório de
Microeletrônica e no Laboratório de Sistemas Integráveis, da Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo. Empregou-se fotorresiste AZ 3312 com pré-bake a 110°C
por 90 s, rotação de spinner 7000 r.p.m.. A exposição foi feita com luz ultravioleta
durante 15 s numa fotoalinhadora com lâmpada de 350 W, e a revelação foi feita por 30
s com revelador MIF 300 concentrado. O pós-bake foi a 110° C por 1 min. A corrosão
foi feita durante 10 min com uma solução de na proporção de
, cuja taxa de corrosão que medimos à temperatura ambiente é de
aproximadamente 1200 Å/min. Após a fotolitografia, a amostra foi cortada em pedaços,
cada um deles contendo uma barra Hall. Na figura 10 se apresenta o desenho da barra
Hall litografada em nossas amostras, com as dimensões mais relevantes. Nela também
se mostra a posição do filme de Au depositado em algumas das amostras, para a
produção de portas (gates) para a aplicação de campos elétricos.
43222 :: POHOHOH
3:1:50
Figura 10 – Desenho da barra Hall litografada nas amostras, onde se destacam: contatos
para injeção de corrente (I1, I2) e para medida de voltagens (V1, V2, V3, V4).
Dimensões na região de interesse, em μm: largura da barra 200 μm,
comprimento 500 μm. O círculo amarelo representa o filme de Au depositado
em amostras com porta.
40
41
Na figura 11.a apresenta-se a fotografia ampliada de uma amostra após o
processo de litografia, antes do corte. Após o corte, produziu-se contatos ôhmicos por
meio da difusão de In a 400° C por 3 min, em atmosfera de N2. Na figura 11.b mostra-se
a fotografia de uma amostra após esse procedimento e posterior soldagem de terminais
elétricos. A seguir, faz-se a soldagem de terminais nos contatos de In, e um teste das
qualidades elétricas. A deposição do filme de Au para produção das portas foi feita por
sputtering com plasma de Ar, durante 3 a 5 min à razão de deposição de ~65Å/min.
Previamente à deposição do filme, depositou-se uma camada de fotorresiste, com a
finalidade de estabelecer isolamento elétrico (verificou-se que a deposição direta de Au
dava margem à passagem de correntes de fuga e difusão desse metal na estrutura,
danificando as amostras). Na figura 11.c apresentamos a fotografia de uma amostra já
com contatos e terminais, em que se depositou a camada de resiste (nas bordas aparece
desuniforme e avermelhado) e o filme de Au (cuja forma é circular, de acordo com o
esquema da figura 10). Posteriormente, foi soldado um terminal à superfície do filme de
Au, para a aplicação de tensões. O desenho representativo de uma amostra pronta para
medidas é representado na figura 11.d.
Figura 11 – a) Uma amostra após a fotolitografia, contendo quatro barras Hall, cada
uma vindo a ser uma amostra para medidas de transporte. b) Uma das
amostras, contendo uma barra Hall, após o corte, difusão dos contatos ôhmicos
de In e soldagem de terminais elétricos. c) Idem, após a soldagem de
terminais, deposição da camada isolante de resiste e do filme de Au (reflexo
amarelado no centro). d) Desenho de uma amostra pronta para medidas
(semelhante à figura c, mas após a soldagem de um terminal no filme de Au),
indicando os parâmetros da figura 10 mais o terminal da porta (Vp), e as
direções da corrente (verde) e do campo magnético (vermelho) na
configuração de campo perpendicular à amostra.
42
43
4. Equipamentos para as medidas experimentais
Todas as medidas foram feitas em bobinas supercondutoras, à temperatura do 4He líquido (4,2 K) superfluido (1,6 K) ou do 3He (da ordem de dezenas ou centenas de
mK). Medidas na faixa de campos magnéticos de até 10 T e às temperaturas do 4He
foram feitas no Laboratório de Novos Materiais Semicondutores do Instituto de Física
da Universidade de São Paulo, e medidas a campos de até 13 T bem como as sob
refrigeração de 3He, foram feitas no Grenoble High Magnetic Field Laboratory
(Grenoble, França). A coleta de dados foi feita usando um amplificador lock-in usual
acoplado a um microcomputador. A corrente empregada foi de 1μA. Para medidas com
amostra iluminada, utilizou-se um LED vermelho acoplado ao porta amostras, que era
ligado e desligado antes das medidas, cujo comprimento de onda é suficientemente alto
para excitar elétrons confinados no GaAs (energia de excitação na faixa do
infravermelho), os quais são imediatamente capturados pelos PQW. Esse procedimento
é normalmente usado para se aumentar a concentração de elétrons nos PQW.
5. Resultados de medidas de Shubnikov-de Haas e Hall
Realizamos uma série de medidas de Hall e Shubnikov de Haas à temperatura de
4,2 K, através das quais se determinou a concentração de elétrons e a mobilidade de
transporte para cada uma das amostras relacionadas na tabela II. A tabela III apresenta
os principais parâmetros, obtidos experimentalmente.
44
Tabela III – Concentrações e mobilidades medidas, antes e após a iluminação.
Número da
amostra
L (Å) ns, escuro
(x1011cm-2)
μ, escuro
(cm2/V.s)
ns, iluminada
(x1011cm-2)
μ, iluminada
(cm2/V.s)
2537 500 4,4 590000 6,4 440000
2536 750 4,4 322000 6,0 302000
2577 4,2 90000 5,9 210000
2579 4,0 131000 6,0 185000
2580
1000
3,4 232000 4,8 342000
2496 1500 3,5 150000 5,5 220000
2535 1700 3,2 220000 5,0 200000
2534 2200 3,1 186000 5,0 180000
AG662 4000 1,5 120000 3,5 240000
A amostra 2537 foi a mais indicada para nossos estudos no capítulo 3, uma vez
que apresenta a ocupação de praticamente uma única sub-banda. A vantagem disso
reside no fato de que a ocupação de múltiplas sub-bandas resulta invariavelmente no
aparecimento de picos sobrepostos na resistividade longitudinal, o que dificulta análise
para a determinação experimental do fator g de Landé efetivo através do colapso do gap
de spin. Além do mais, por ser a amostra de maior mobilidade, tem maiores tempos
quântico e de transporte, o que, segundo a equação 26, implica em um parâmetro de
alargamento Γ menor, e portanto, picos de oscilação mais definidos – outro fator
fundamental para a análise desenvolvida naquele capítulo.
Por outro lado, o conjunto total das amostras formou a base para os estudos do
capítulo 4, já que para esses estudos a ampla gama de larguras dos PQW nessas
amostras era fundamental. Nesse estudo, a mobilidade não teve importância especial.
Capítulo 3
Investigações sobre a variação
do fator g de Landé em poços
quânticos parabólicos de
AlGaAs/GaAs
1. O fator g0 em poços quânticos parabólicos
Tendo em vista a dependência do fator g de bandas (g0) com respeito ao conteúdo
de Al na liga AlxGa1-xAs (conforme a equação 32, seção 4, capítulo 1), podemos
determinar a forma da variação espacial dessa grandeza ao longo de um PQW. Isso se
consegue simplesmente substituindo a equação 2 – que dá a variação de x com a
coordenada z – na equação 32. Como exemplo, o resultado para um PQW de 500 Å de
largura é apresentado na figura 12, bem como a variação do conteúdo de Al ao longo da
direção z.
-400 -200 0 200 4000.0
0.1
0.2
0.3
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
fator g
Con
teúd
o de
Al n
a lig
a x
z (Å)
conteúdo de Al fator g
Figura 12 – Perfil de concentração de Al na liga que constitui uma amostra de PQW de 500
Å de largura (em preto) e perfil da variação do fator g, segundo a equação 32 (em
vermelho)
Nessa figura, observamos que o fator g0 (linha vermelha) assume valores
positivos ou negativos: na região central do PQW, aproxima-se de -0,44, valor
correspondente ao GaAs puro, ao passo que nas bordas chega a +0,2, e nas barreiras g =
+0,5. Esse fato é fundamental em nosso trabalho, já que mudanças de sinal no fator g
significarão mudanças de sinal na energia de Zeeman. Tal fato pode dar origem a um efeito
de “válvula de spin”, e nossas investigações apontam de fato a existência de tal efeito em
amostras de PQW de AlGaAs, que pode encontrar aplicação no desenvolvimento de um
transistor “válvula de spin”, sem a concorrência de materiais magnéticos.
45
CÁLCULO DO FATOR g0 MÉDIO
A variação de g0 exibida na figura 12 ainda não nos possibilita, de fato,
determinar qual a magnitude dos desdobramentos de Zeeman nos níveis de energia.
Devemos levar em consideração que o gás de elétrons se estende espacialmente ao longo
da direção z de acordo com a densidade auto-consistente 2
1)()( znzn i
N
i si ψ∑ == (soma em
todas as sub-bandas i=1,...N), de modo que o valor medido é dado pela média
45. s
o n
dzznzg
dzzn
dzznzgg ∫
∫∫ ==
)()(
)(
)()( 00
Em PQW, para baixas densidades de elétrons, as pequenas interações entre
elétrons não alteram significativamente o potencial parabólico, cujos auto-estados são os
do oscilador harmônico [70]. Nesse caso, para a ocupação de uma sub-banda teremos uma
densidade eletrônica na forma de uma gaussiana, concentrada no centro do poço, onde
. O alargamento da gaussiana contribui para a integral 45 com valores de g44,00 −=g 0
menores (em módulo), resultando num valor médio menor do que 44,0− . Para densidades
maiores, as interações entre elétrons tendem a alargar a função de distribuição eletrônica,
caso em que o valor médio é ainda menor.
Se, em acréscimo, se aplica um campo elétrico estático na direção z, a densidade
eletrônica se desloca ao longo dessa direção, e o valor de 0g muda gradualmente. Para
um determinado valor de campo, 0g se anula, e para campos mais elevados, assume
valor positivo. Como já dissemos, neste capítulo estudaremos apenas a amostra 2537. Na
figura 13 apresentamos os resultados dos cálculos autoconsistentes tomando uma
densidade ns = 4,4x1011cm-2. Nessa figura, as curvas de densidade eletrônica tem forma
similar à de uma gaussiana. Entretanto, para os casos de campos elétricos a partir de
3x104V/cm, surge um pico adicional de menor intensidade à direita do pico principal, que é
o reflexo da população da segunda sub-banda de energia do PQW.
46
-300 -200 -100 0 100 200 300
0
100
200
300
400
Densidade eletrônica (un. arbit.)
Ene
rgia
(meV
)
z (Å)
Campo elétrico (105V/cm)
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,3 0,4 0,5
Figura 13 – Resultados de cálculos autoconsistentes para um PQW de 500 Å com ns =
4,4x1011 cm-2. Linha tracejada: potencial autoconsistente da banda de condução;
linha cheia: densidades eletrônicas.
Lembrando entretanto de que, conforme discutido na seção 1 do capítulo 1, a
aplicação de um campo elétrico externo na direção z provoca um deslocamento da função
de onda ao longo dessa direção de uma quantidade aproximadamente igual a
(causando pouca alteração nas formas do potencial e da densidade autoconsistentes),
podemos esperar que, segundo a equação 45, possamos concentrar o máximo do pico da
densidade eletrônica em diferentes posições ao longo da direção z simplesmente mudando
a intensidade do campo elétrico. Desse modo, aplicando campos elétricos suficientemente
elevados, poderemos ter a densidade eletrônica concentrando-se até próximo às bordas do
PQW, onde g
aeE 2/
0 é positivo. Nesse caso, eventualmente a média dada pela equação 45 resulte
também num valor positivo.
47
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
<g> = -0,39+0,775.E
E (x105 V/cm)
<g0>
Figura 14 – Gráfico da variação do fator g médio <g> em função do campo elétrico E
calculada através das equações 1, 24 e 37, para o caso do PQW da figura anterior
(o ponto em 5x104V/cm foge à tendência comum devido ao início da ocupação da
segunda sub-banda). A linha pontilhada em azul representa o ajuste de uma reta
na faixa de campo de zero até 4x104 V/cm.
Na figura 14 apresentamos um gráfico com valores do fator g médio em função
do campo elétrico, calculados empregando-se as equações 2, 32 e 45. Observe-se, em
particular, a dependência praticamente linear na faixa de campos de zero até
aproximadamente 4x104 V/cm, para a qual se ajustou a reta
46. Eg .775,039,00 +−=
Para campos elevados (~5,5x104V/cm), verificamos, de fato, que 0g muda de
sinal, assumindo valores positivos.
2. Observações sobre a variação do fator g com o campo magnético
Lembremos que, no fim da seção 3 do capítulo 1, mencionamos a dependência da
energia de Fermi com respeito ao campo magnético, o que influencia diretamente a
condutividade longitudinal – e, portanto, a magnetorresistividade – e a densidade de
48
estados através das expressões 24 e 25, e certamente modifica a situação apresentada no
gráfico da figura 5.A.
Essa dependência provoca, principalmente, deslocamentos nas posições dos picos
da magnetorresistividade, fato cujo conhecimento é de crucial importância quando se
deseja estudar os desdobramentos de spin em função do campo magnético e, portanto, o
fator g. Por esse motivo, dedicaremos nossa atenção agora a uma reelaboração dos ajustes
numéricos da magnetorresistividade do final da seção 3 do capítulo 1, agora considerando
as variações da energia de Fermi. Para tanto, recorramos à seguinte idéia:
Visto que os elétrons ocupam níveis somente até o nível de Fermi, a integral da
densidade de estados por unidade de área até a energia de Fermi deve ser igual à densidade
superficial de elétrons ns [71]:
45. , ( )∫∞−
=)(
,BE
s
F
dEBEDn
onde se explicitou as dependências funcionais com respeito ao campo magnético B.
Explicitamente, considerando a expressão 25,
46. ∫ ∑∞−
∞
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Γ
−−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Γ
−−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
Γ=
↓↑)(
0
)(2
)(2
22
12 BE
n
BEEBEE
s
F nn
dEeeh
eBnπ
.
Se tratamos de um sistema cuja densidade de elétrons é constante – como ocorre
em nossas amostras durante as medidas experimentais –, a expressão 46 constitui uma
equação integral cuja solução nos dará a dependência desejada de EF com respeito ao
campo magnético.
Esse problema foi o objeto de outra série de cálculos. O algoritmo iniciou com o
cálculo da densidade de estados D(E,B) para um conjunto discreto de valores de campo
(conforme desejado, por exemplo, de zero até 10 T) e de energia (limites escolhidos de
modo que suas contribuições para a integral em 46 sejam desprezíveis). O índice de soma n
na expressão 46 foi tomado variando de zero a 200. A seguir, para cada valor de campo
magnético, a densidade de estados foi integrada na variável energia até que a igualdade 46
fosse verificada, de onde se obteve o limite superior de integração que é precisamente a
energia de Fermi para o dado valor de campo magnético. Com essa expressão, calculou-se
a condutividade longitudinal usando a expressão 29 e, a seguir, a resistividade longitudinal
(por inversão do tensor de condutividade, como feito no capítulo 1, figura 5.a).
Tratamos esse problema incluindo a variação do ângulo de inclinação do campo
magnético, em virtude desse caso ser o ponto central de nossos estudos e medidas
experimentais neste capítulo.
49
Para o desdobramento de spin, consideramos o gap de spin variando
genericamente na forma [ ]λθ )cos(. BconstBs +∝Δ , onde o primeiro termo diz respeito à
contribuição de bandas para a energia de Zeeman, que é independente do ângulo e varia
linearmente com o campo, e o segundo termo representa o termo de troca, que depende só
da componente perpendicular θcosBB =⊥ como já dissemos no final do capítulo 1.
Impondo 39,00 =g (valor que calculamos para um PQW de 500 Å para campo elétrico
zero), o melhor ajuste dos dados experimentais não deu uma dependência da forma B e
nem mesmo linear para o termo de troca, conforme as previsões teóricas que apresentamos
no capítulo 1 seção 5). A dependência foi supralinear, com λ = 1,8. As curvas ajustadas,
bem como os espectros experimentais correspondentes, são apresentadas na figura 15: as
medidas foram feitas com a amostra 2537, à temperatura de cerca de 300 mK, tendo uma
densidade eletrônica ns = 4,4x1011cm-2 e um tempo quântico τq = 3,2 ps. Os valores de
ângulos de inclinação também são teóricos, e surgem do ajuste matemático.
Nessa figura, a concordância entre modelo e experimento é verificada para
ângulos baixos, enquanto que, para ângulos elevados, o desdobramento de spin calculado
tende a ser maior do que o medido. Para conseguir um bom ajuste nessa região,
necessitamos aumentar o expoente λ (para °= 63,79θ , 0,2=λ ). Ainda não temos uma
explicação exata para esse fato, nem mesmo porque não verificamos dependência linear, e
sim supralinear. Eventualmente, pode ser uma simples conseqüência da limitação da
equação 40 (que empregamos em nossos cálculos), já que ela é apenas uma aproximação,
conforme discutido no fim da seção 5 do capitulo 1. A propósito, dada a diferença da
dependência funcional com respeito ao modelo teórico (o qual prevê variação linear,
conforme a equação 35, capítulo 1), não podemos comparar o valor da constante
066,0=α obtida experimentalmente com o valor estimado 18,0=α (página 29).
50
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4
Rxx
(un.
arb
it.)
Bcos(θ) (T)
79,63°
74,45°
70,12°
60°
49,83°
39,646°
30,68°
0°
Figura 15 – Espectros medidos na amostra 2537, à temperatura de 300 mK, com variação
do ângulo de inclinação (valores ajustados), em linhas contínuas. Para essa
amostra, ns = 4,4x1011cm-2. Em correspondência, espectros ajustados (linhas
pontilhadas), com a mesma densidade eletrônica e
[ ]λ )cos()cos(44,0* θθγ Bg += , obtendo-se γ = 2,0 e λ = 0,8. Portanto, o gap
de spin é dado por ( )[ ] 8,10 cos* θαμ BmeBg Bs h+=Δ , e 066,0=α .
A dependência funcional supralinear que observamos em nossas medidas é objeto
de estudo futuro. Não podemos antecipar nenhuma conclusão desse fato, uma vez que esse
assunto ainda depende de uma análise teórica mais detalhada. Entretanto, neste momento,
o fato mais importante para nós é o colapso do gap de spin, fenômeno já observável na
figura 15.
Esse assunto será tratado a seguir.
51
3. Determinação experimental de 0g : o colapso do gap de spin
Vimos na seção 5 do capítulo 1 que o gap de spin Δs conta com a contribuição do
termo intrínseco ao material (que contém g0) e do termo oriundo da energia de troca Etr,
sendo que a primeira contribuição independe da orientação do campo magnético externo,
enquanto que o segundo termo depende somente da componente perpendicular à superfície
da amostra. Lembremos que os níveis de Landau – independentemente das contribuições
de spin – também dependem somente da componente perpendicular do campo magnético.
Em face disso, pode-se em princípio buscar a separação dos dois termos de spin realizando
medidas de Shubnikov-de Haas com variação do ângulo de inclinação do campo. Essa
separação pode ser feita seguindo o procedimento que explicaremos. Além desse
procedimento, existem outros, como o método da coincidência (coincidence method) [72]
ou através da medida do gap de spin como energia de ativação para a condutividade em
fatores de preenchimento semi-inteiros, ( )kTsxx 2exp0 Δ−= σσ . [73]
Em primeiro lugar, reescrevemos a expressão 40 trocando a variável B pela
variável componente perpendicular do campo, θcosBB =⊥ :
47. ⊥⊥
⊥⊥↑↓ ±±⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += B
meBgB
menBE Bn *0*, 2
1cos2
121)( hh α
θμ .
A vantagem dessa dependência funcional está no fato de que, numa série de
medidas de Shubnikov-de Haas com variação do ângulo, a posição dos picos das
oscilações será invariável, se se desconsidera o desdobramento de spin.
Analisemos agora as alterações induzidas nesse quadro pelo desdobramento de
spin. Nessa série de medidas, o primeiro e o terceiro termos se manterão constantes, ao
passo que o segundo termo aumentará com o ângulo. Para campos magnéticos baixos, os
picos de magnetorresistividade de dois desdobramentos de spin de um mesmo nível de
Landau serão quase coincidentes, e se assemelharão a um único pico. Isso ocorre porque o
alargamento impede a distinção de ambos. Entretanto, para campos mais elevados, as
contribuições de spin se fazem perceber e nota-se uma separação gradual dos picos de
desdobramento. Para um dado valor fixo de , essa separação será comandada
justamente pelo termo de Zeeman associado a g
⊥B
0, o qual agora varia com o ângulo segundo
. θθ seccos 1 =−
52
0,0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3,0
7 6 5 4 3 2........
0,0°
Rxx
(un.
arb
it.)
Bcosθ (T)
85,5°ângulo
........
116-a
0,0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3,0
ponto aproximadode colapso
ângulo
Bcos(θ) (T)
0o
85,5o
Rxx
(un.
arb
it.)
16-b separação de picos(ângulo elevado)
53
Figura 16 (página anterior) – a) Medidas de Shubnikov-de Haas da amostra 2537 com
variação do ângulo de inclinação entre zero (curva inferior) até 85,5° (curva
superior) (temperaturas na faixa de 120 – 250 mK). Os retângulos tracejados
representam pares de picos de desdobramento de spin associados a um mesmo
nível de Landau (explicação no texto). Os círculos marcam o momento em que
uma série de picos (na vertical) sofre colapso, o que ocorre num ângulo
especifico. b) A mesma série de medidas, representadas num mapa de cores para
melhor visualização do colapso do gap de spin. Nessa figura, destaca-se o colapso
do gap de spin de um par de picos localizado em aproximadamente ( )θcosB =
1,4 T.
Esse comportamento foi, de fato, observado por nós em medidas de Shubnikov-
de Haas com variação do ângulo de inclinação, particularmente no caso da amostra 2537
(PQW de 500 Å de largura) a temperaturas extremamente baixas (na faixa de 120 a 250
mK), que mostramos nas figuras 16-a e 16-b. Como já dissemos, a temperatura baixa
garante uma boa resolução dos picos de desdobramento de spin, enquanto que a amostra
2537 foi a que apresentou menor ocupação de sub-bandas.
Na figura 16, pares de picos correspondentes a um mesmo nível de Landau
aparecem contornados por retângulos tracejados. Quando em azul, trata-se de pares de
picos claramente distinguíveis, e quando em laranja, pares que, a ângulos elevados
aparecem separados, mas em ângulos baixos aparecem colapsados em um único pico. O
momento em que ocorre o colapso é assinalado por círculos vermelhos. Esse colapso
progressivo também pode ser observado nas sucessões de espectros calculados da figura 15
(evidentemente também nos espectros experimentais apresentados na figura 15, já que são
da mesma amostra que corresponde à figura 16). Durante a passagem de θ = 0° até 85,5°,
em algum momento ocorre o colapso do gap de spin, traduzido pela mescla do par de
picos. Esse é justamente o momento em que é valida a equação 38, motivo pelo qual a
repetiremos aqui (após uma simples manipulação algébrica considerando que *cos meBc θω = ):
48. αθω *
cos2*
0100
mmg
mm
c
s +=Δ −
h.
Acompanhando um dado par de picos (por exemplo, o rotulado com numero 4 na
figura 16), desde a medida com θ = 85,5°, em que aparecem completamente separados, até
as de ângulos inferiores, escolhemos o ângulo de medida em que melhor parece que ocorre
54
o colapso (que corresponde ao assinalado pelo círculo vermelho). Tomando o cosseno
desse ângulo, o valor do campo B do pico colapsado e tempo quântico extraído através da
interpolação da fórmula de Lifshitz-Kosevich (equação 19), traçamos dois eixos
cartesianos nas variáveis (abscissas) e 1cos −θ ( ) ( )*0 mmcs ⋅Δ ωh (ordenadas) e nele
colocamos um ponto correspondendo aos valores dessas variáveis que foram obtidos
(lembrando que qs τh=Δ , ). Repetimos o procedimento, para um
segundo par de picos (por exemplo, o par 5), e assim sucessivamente, com quantos pares
de picos em quantos se consiga distinguir colapso, no conjunto de medidas experimentais
disponível. Ao fim, espera-se que o conjunto de pontos forme uma reta cujo coeficiente
angular seja
*/cos meBc θω =
2/0g , e cujo coeficiente linear seja ( )α*0 / mm . Do coeficiente angular
extrai-se diretamente o valor de 0g . O valor do tempo quântico obtido pelo ajuste da
fórmula de Lifshitz-Kosevich foi psq 5,1=τ (a metade do empregado no ajuste das curvas
da figura 15, entretanto, esse ajuste é menos confiável na determinação dessa grandeza).
O resultado desse procedimento é apresentado na figura 17. Podemos constatar
uma obediência ao comportamento linear, com exceção de um ponto, cuja razão é o fato de
corresponder a um ângulo de inclinação relativamente elevado, θ = 75°, região em que
varia rápido com θ aumentando a propagação de erro (surpreendentemente, para o
ponto se situar na reta, θ deveria ser 76,35°, o que representa uma diferença de apenas
1,35°). O coeficiente angular da reta interpolada nos dá
1cos −θ
0g = 0,38. Notemos a boa
concordância com o valor calculado 0g = 0,39 (seção 1 deste capítulo, ou ainda a
equação empírica 46 com E = 0 ), com menos de 3% de discrepância.
55
0 2 4 6 8 10 12 142,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
|g0| = 0,38
= cosθ-1+ α__ __ __ __hωc m* 2 m*
Δs m0 |g0| m0
(Δs/ h
ωc )(
m0/m
*)
cosθ-1
Figura 17 –Gráfico da variável ( ) ( )*0 mmcs ⋅Δ ωh em função de . Observa-se que
os pontos seguem a tendência linear esperada (equação 36). O módulo do fator g
1cos −θ
0
extraído é 0g = 0,38.
Esse procedimento foi repetido com medidas realizadas com a aplicação de
tensões de porta Vg = –2,0 e –4,0 V. Na figura 18 apresentamos um gráfico semelhante ao
da figura anterior, com os pontos experimentais e as retas interpoladas, incluindo os casos
com diferentes tensões de porta.
56
0 2 4 6 8 10 12 141,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
___.
___
hωc m
*Δ s
m0
|g0| = 0,1 Vg = -4 V
|g0| = 0,27 Vg = -2 V
|g0| = 0,38 Vg = 0 V
cosθ-1
Figura 18 – Idem à figura 17, agora com a aplicação de tensões de porta Vg = –2,0 e –4,0V.
O potencial negativo (repulsivo) aplicado na porta afasta a densidade eletrônica
do centro do PQW, implicando na modificação do valor do fator g0 médio, o que
de fato é denunciado pelos valores ajustados pelas inclinações das retas
(explicação no texto).
Neste momento devemos interpretar os diferentes valores obtidos para o fator g0
(em módulo) para as diferentes tensões de porta. Vimos na seção 1 do capítulo 1 que a
aplicação de um campo elétrico na direção z provoca um deslocamento da densidade
eletrônica, o que invariavelmente afeta o valor de <g0>, conforme mostra genericamente a
expressão 45. Traçamos então na figura 19 o gráfico dos valores de g0 em função da tensão
de porta (em violeta), e verificamos que a tendência é praticamente linear. Por outro lado, é
justamente esse comportamento o previsto pela expressão 39 (válida em princípio para a
faixa de valores de campo elétrico que estudamos), que também apresentamos no mesmo
gráfico (em azul). Na escala de correspondência tentativa , há quase
superposição dos pontos experimentais e calculados. O fator de escala depende da
distância d entre o PQW e a porta, já que trata-se de um capacitor em que =
1,10x10
gVE .1009,9 3×=
EVd g /=
-4cm = 1,10 μm. Visto que a camada superficial de AlGaAs/GaAs tem
aproximadamente 1000 Å e que a camada isolante de fotorresiste tem uma espessura da
ordem de 1 μm, vemos uma boa concordância entre resultados (notemos que essas
57
considerações independem da constante dielétrica da estrutura – tanto da amostra como da
camada isolante de fotorresiste).
-4 -3 -2 -1 0
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00|<
g 0>|
Vp (V)
experimental
E (105 V/cm)
calculado
Figura 19 – Comparação entre os valores de g0 obtidos experimentalmente em função da
tensão de porta (em púrpura) apresentados na figura 18 e calculados pela fórmula
Eg .775,039,00 +−= (equação 39) (em azul). Para a conversão empregou-se a
fórmula . gVE .1009,9 ×= 3
Uma pequena ressalva poderia ser feita. Sabemos que o efeito mais conhecido da
aplicação de potenciais em portas é a depleção, isto é, a diminuição da densidade de
portadores, devido à repulsão eletrostática (quando o sinal da carga dos portadores e do
potencial aplicado é o mesmo, como em nosso caso). Desse modo, os cálculos
autoconsistentes cujos resultados apresentamos na figura 13 não deveriam ser feitos com
densidade fixa de ns = 4,7x1011cm-2, e sim com densidades gradualmente decrescentes em
função da tensão aplicada. Entretanto, para a faixa de tensões aplicada de 0 a –4 V,
verificamos uma depleção mínima (medidas de Hall revelam uma depleção da ordem de
3%). Desse modo, o efeito é desprezível.
Concluímos, portanto, que medidas de Shubnikov-de Haas com variação do
ângulo de inclinação a temperaturas da ordem de milikelvin são hábeis em nos
proporcionar condições de determinar com segurança o valor do fator g0 médio em PQW,
o que, obviamente, deve ser válido para outras heteroestruturas. A condição para isso é a
58
de que a mobilidade e a concentração sejam suficientemente altas para que o espectro de
Shubnikov-de Haas apresente várias oscilações e picos estreitos, o que permita distinguir o
colapso do gap de spin.
59
Conclusões do capítulo 3
Neste capítulo, mostramos o resultado de cálculos autoconsistentes da densidade
eletrônica em um PQW de 500 Å de largura, com a aplicação de um campo elétrico
externo. A partir desses cálculos, determinamos o fator g0 médio. Em paralelo,
apresentamos medidas do colapso do gap de spin numa amostra também de PQW de 500
Å de largura através de uma série de medidas de Shubnikov-de Haas com variação do
ângulo de inclinação do campo magnético em relação à amostra. Essas medidas do colapso
do gap de spin nos possibilitaram medir experimentalmente o fator g0 médio. Verificamos
uma boa concordância entre os valores obtidos por cálculos autoconsistentes e os medidos
experimentalmente.
Verificamos, também, através dos cálculos autoconsistentes, que o fator g0 médio
muda de sinal, quando o campo elétrico externo é suficientemente elevado.
Medidas do colapso do gap de spin nos habilitaram a determinar o valor da
constante α associada à contribuição de troca do gap de spin (Etr). O valor obtido foi muito
próximo da previsão teórica para a liga AlGaAs.
Por outro lado, fizemos um ajuste de uma série de medidas de Shubnikov-de
Haas com variação do ângulo de inclinação para a mesma amostra de PQW de 500 Å de
largura empregando-se a fórmula de Kubo para a condutividade. O melhor ajuste
matemático nos levou a uma dependência supra-linear de Etr com o campo magnético, ao
invés da esperada dependência linear. Esse fato eventualmente pode ser uma conseqüência
do fato de termos empregado, por aproximação, a equação 40, entretanto, requer estudos
futuros.
60
Capítulo 4
O efeito válvula de spin em
poços quânticos parabólicos
de AlGaAs/GaAs
1. O efeito válvula de spin – teste com medidas de transporte
Tendo em vista as considerações do capítulo anterior, é oportuno tentar averiguar
a possível existência de um efeito válvula de spin em nossas estruturas. Não consta, até o
momento, que se tenha feito o uso de medidas de transporte com essa finalidade.
As medidas foram realizadas com as amostras de PQW relacionadas no capítulo
2, a temperaturas variando entre 1,5 K e 50 K, com variação do ângulo de inclinação.
Inicialmente realizamos medidas de Hall com ângulo de inclinação 89,9° (campo
quase paralelo à amostra) a diferentes temperaturas na amostra AG662 (com PQW de 4000
Å), as quais são apresentadas na figura 20, em conjunto com medidas da resistividade
longitudinal.
A medida de resistividade longitudinal a 1,5 K mostra uma série de oscilações na
região de campo baixo ( TB 5,2< ), denominadas oscilações diamagnéticas de
Shubnikov-de Haas, as quais resultam da ação combinada de campos elétricos e
magnéticos. Em poços com várias sub-bandas ocupadas, a variação do campo magnético
provoca a depopulação gradual de cada sub-banda, provocando o aparecimento de uma
oscilação [74]. Na figura 20 podemos distinguir cinco oscilações, o que nos revela que
cinco sub-bandas são ocupadas nesse poço. Com o aumento da temperatura, as oscilações
se fundem, e resta apenas uma estrutura com um único mínimo que corresponde à
depopulação do último nível de Landau.
Com respeito à resistividade Hall, ela é visivelmente linear com o campo
magnético aplicado na mesma faixa de campo. A campos mais elevados e baixa
temperatura, desvia-se desse comportamento, mas a linearidade é gradualmente recuperada
com o aumento da temperatura (30- 50 K). Essa dependência nos suscita a idéia de que
haja uma energia de ativação governando o fenômeno.
61
-12 -8 -4 0 4 8 12
62
1,5 K 4,2 K 10 K 15 K 20 K 30 K 50 K -Rxy
T
Rxx
T
T
Rxx
, Rxy
(un.
arb
it.)
B (T)
Figura 20 - Resistências diagonal (Rxx) e de Hall (Rxy) da amostra com PQW de 4000 Å
em função do campo magnético com ângulo de inclinação de 89,1≈ o a diferentes
temperaturas. As curvas de resistência Hall acima de T4B ≅ e temperaturas
baixas sofrem um desvio da linearidade, que desaparece a temperaturas elevadas.
Conforme mostra o desenho no canto inferior direito, o campo magnético se
orientou ao longo do plano perpendicular a amostra que contém a corrente.
As medidas foram repetidas para a amostra 2496 (com PQW de 1500 Å), a duas
temperaturas diferentes (1,5 K e 30 K) e duas orientações diferentes de campo magnético e
corrente, conforme mostra a figura 21. As oscilações diamagnéticas da magnetorresistência
revelam a ocupação de quatro sub-bandas. Em concordância com o esperado [75], a
amplitude dessas oscilações é maior quando o campo magnético se orienta num plano
perpendicular à corrente (figura 21, em azul), em comparação ao caso oposto (figura 21,
em vermelho), isto é, é co-planar com a corrente. Em acréscimo, podemos perceber que,
para campos maiores que TB 4≅ , o comportamento da resistência de Hall desvia-se da
linearidade também em dependência da temperatura, como ocorreu com a amostra de 4000
Å. Um fato que se pode cogitar é a possibilidade desse efeito estar ligado à orientação
preferencial do campo magnético, ou mesmo à corrente. Entretanto, experimentalmente
não se constatou nenhuma variação da resistência de Hall mediante uma mudança do sinal
da corrente ou da orientação do campo magnético, para ambas as amostras (note-se, em
particular, que o domínio de valores do campo magnético nas medidas abrange valores
positivos e negativos).
-12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12
-12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12
Rxx
(un.
arb
it.)
Rxy
(un.
arb
it.)
B(T)
Figura 21 – Resistências longitudinal (Rxx) e Hall (Rxy) da amostra de 1500 Å para campo
magnético quase paralelo à amostra ( ) em geometrias e temperaturas
diferentes. Em azul, medidas de R
o≈ 6,89
xx com campo perpendicular à corrente, e em
vermelho, com uma componente paralela à corrente (campo magnético co-planar
com a corrente). Curvas contínuas denotam medidas a 1,5 K, e pontilhadas a 30
K. Verde: resistência Hall. Amarelo: reta para comparação.
Na figura 22-a, as medidas de Hall são repetidas a 1,5 e 50 K da figura 20 (PQW
de 4000 Å). Enquanto o comportamento a campo baixo é tipicamente o efeito Hall
clássico, descrito pela equação 9 (seção 3, capítulo 1), verifica-se que para campos acima
de 4,2 T é bem descrito pela equação
38. s
xy
enBBR )(
cos0−
−=α
θ
63
onde BB0 = 2 T e α é um coeficiente. A figura 22-b mostra evolução com a temperatura da
resistência Hall a campo alto, através da razão entre as inclinações das curvas:
baixoxy
altoxy
baixoxy
altoxy
RR
BR
BR
Δ
Δ=
Δ
Δ
Δ
Δ. Essa figura revela que a inclinação aumenta com a diminuição
da temperatura. Em termos desse parâmetro, aparentemente, o efeito do desvio da
linearidade na resistividade Hall parece muito mais acentuado na amostra com L = 1500 Å
do que na amostra com L = 4000 Å. O fato significativo é o de que a inclinação do efeito
Hall, para ambas as larguras, é aproximadamente duas vezes maior a campo alto do que a
campo baixo.
1 10 100
1,0
1,5
2,0
-10 -5 0 5 10
4000 Å 1500 Å
(b)ΔR
xyal
to/ Δ
Rxy
baix
o
T(K)
(a)
50 K
1,5
K
Rxy
(un.
arb
it.)
B(T)
Figura 22 – a) As medidas de Hall para a amostra com L = 4000 Å, a temperaturas de 1,5 e
50 K (extraídas da figura 20). A curva tracejada obedece a equação
sxy 0 enBBR /)(cos/ −−= αθ , e extrapola a zero o comportamento a campo alto
para 1,5 K. b) Razão entre as inclinações da resistência Hall a campo alto e baixo,
em função da temperatura, para as amostras com L = 4000 Å e L = 1500 Å.
É oportuno, agora, investigar a variação do desvio da linearidade em função da
largura do PQW. Na figura 23, são apresentadas as curvas de resistência Hall e
longitudinal em função do campo magnético à temperatura de 1,6 K, para uma série de
amostras com L = 500, 750, 1000 e 2200 Å.
64
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
a) b)
Rxx
, Rxy
(un.
arb
it.)
c)
B (T)
d)
Figura 23 – Resistências longitudinal (Rxx, em preto) e Hall (Rxy, em vermelho) com
campo quase paralelo, à temperatura de 1,6 K, para amostras de L = a) 500 Å
( ); b) 1000 Å ( ); c) 1700 Å ( ); d) 2200 Å ( ). As
linhas tracejadas em vermelho seguem o comportamento linear a campo baixo
(equação que governa o efeito Hall ordinário
o o o o
enBR /cos/
7,89≈ 89≈ 4,89≈ 6,88≈
sxy = −θ ). Verificamos
que para os poços de maior largura (c e d) ocorre o maior desvio do
comportamento linear de Rxy a campo alto (marcadores em azul, à direita, em (c)
e (d)).
Na figura 23, observamos que o número de oscilações da magnetorresistencia
cresce com o aumento da largura do PQW, revelando que o número de sub-bandas
ocupadas cresce com a largura. Quanto à resistência Hall, verifica-se claramente que o
desvio da linearidade a campo alto de fato só ocorre nas amostras de PQW com maior
largura. Isso nos leva a acreditar que o fenômeno é associado à largura do poço e/ou ao
número de sub-bandas ocupadas. Na realidade, mostraremos que o critério determinante é
o percentual de preenchimento do poço (conforme definido na página 9 do capítulo 1),
65
caracterizado pela razão entre largura média da densidade eletrônica e a largura do poço,
razão essa que depende da largura do poço e da concentração ns. Quanto ao número de sub-
bandas, ele influencia diretamente a resistência Hall clássica (isto é, a resistência Hall
associada ao efeito Hall convencional, sem considerar as manifestações do efeito Hall
quântico), mas não se relaciona com o efeito observado, conforme mostraremos.
EFEITOS DE OCUPAÇÃO DE MÚLTIPLAS SUB-BANDAS
Vamos considerar agora quais os efeitos da ocupação de múltiplas sub-bandas na
resistência Hall. Cada sub-banda ocupada representa um canal de condução independente
para o fluxo de elétrons, e sua contribuição é tanto maior quanto maiores forem a sua
mobilidade e a sua densidade superficial de elétrons. No conjunto, definimos uma corrente
total como a soma das correntes que fluem por cada sub-banda, a partir da qual
determinamos a resistência resultante da amostra – não só a resistência longitudinal Rxx,
mas também a resistência Hall Rxy.
No caso de ocupação de uma única sub-banda, a resistência de Hall é linear com
o campo e dada pela equação 9 (capítulo 1, seção 3):
39. s
xy enBR −=
e assim, não sofre os desvios de linearidade e nem depende da temperatura, observados
experimentalmente em nossas amostras. Por outro lado, numa estrutura com ocupação de
duas sub-bandas [76],
40. ( )( ) s
xy enB
Br
BrR
221
2
221
2
μμμ
μμμ
+
+=
onde μi são as mobilidades de cada uma das duas sub-bandas, e r é um coeficiente de
espalhamento inter sub-bandas. No limite de campo alto, essa expressão se reduz à
equação 39, como se pode facilmente verificar. Em contrapartida, para campo baixo (nesta
seção desconsideraremos os sinais de B e de Rxy, tomando somente os valores absolutos
por simplicidade),
41. ss
xy enB
enBR >≈ 2
2
μ
μ
pois 22 μμ > , e assim a inclinação a campo baixo é maior do que a campo alto. Em
contrapartida, o desvio da linearidade que observamos nas medidas de Hall em (algumas
66
de) nossas amostras apresenta comportamento inverso, isto é, a campo alto a inclinação é
maior do que a campo baixo. Em prosseguimento, vale a pena procurarmos estender o caso
para, por exemplo, três sub-bandas, o que ainda não foi estudado por outros autores.
Nossos cálculos para o caso ideal de ausência de espalhamento inter sub-bandas, levaram à
expressão
42. s
xy enB
BcBccBcBcc
R 46
254
43
221
++++
=
onde os coeficientes cn (n = 1,...,6) são formas multilineares das mobilidades μi,
concentrações ns,i e coeficientes de espalhamento ri de cada uma das três sub-bandas (i
=1,2,3). Sem a necessidade de explicitar cada um desses coeficientes, apenas nos
restringimos a estudar novamente os casos-limite: a campo alto, temos novamente o efeito
Hall ordinário:
43. ss
xy enB
enB
cc
R ≡≈6
3 ,
e a campo baixo, a resistência Hall se reduz a uma expressão um tanto mais complexa, mas
que exibe uma inclinação maior do que senB :
44. Ben
Benn
n
enB
ccR
sss
kjikjis
ii
sxy
11'
21
2,,
,
4
1 >⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−==∑∑
μ
μμ
μ
μ,
conforme verificamos (vide nota final deste capítulo). Novamente, esse comportamento é
oposto ao que observamos experimentalmente.
Para o caso de ocupação de quatro ou mais sub-bandas, a expressão para a
resistência Hall em função do campo magnético se torna progressivamente mais complexa
e de difícil análise. Sem procurar desenvolvê-la explicitamente para tais casos, poderíamos
acreditar, por extensão, que seja maior do que para qualquer números de
sub-bandas ocupadas – o que vimos ser realidade para a ocupação de duas e três sub-
bandas. Entretanto, isso não é a realidade. No caso de três sub-bandas, a inequação 44 é
válida quase que casualmente, pois se verifica somente para valores de n
0, →BxyR ∞→BxyR ,
s,i (i = 1,2,3) que
por coincidência são fisicamente possíveis (vide nota final). É plausível acreditar que,
aumentando o número de sub-bandas, essa condição possa eventualmente se enfraquecer
ainda mais e tenhamos um subdomínio 3,2,1, ,, sss nnn em que Rxy não satisfaça a inequação
44. De fato, sob outro ponto de vista, o aumento do número de sub-bandas ocupadas leva a
inequação 44 a se tornar em igualdade: isso ocorre porque, no limite de um número
67
elevado de sub-bandas, o gás bidimensional se converte em gás tridimensional, caso em
que o efeito Hall passa a ser caracterizado pela equação ordinária com
dependência linear com respeito ao campo magnético. Ainda assim, mostraremos que o
desvio da linearidade observado nas medidas de Hall a campo (quase) paralelo não tem
relação com efeitos de sub-bandas.
sxy enBR /=
-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Rxy
(un.
arb
it.)
B B
B (T)
Figura 24 – Resistência Hall para a amostra de PQW de 2200 Å de largura, com campo
quase paralelo (à esquerda, ) e perpendicular (à direita), à temperatura de
4,2 K. Curvas em vermelho correspondem a medidas no escuro, enquanto que,
em azul, após iluminação da amostra. As linhas verticais e as setas (em laranja)
indicam o valor aproximado de campo em que o desvio da linearidade se inicia,
nas medidas após iluminação. Note-se que o desvio da linearidade nas duas
configurações de orientação de campo são opostas (a campo quase paralelo,
, e a campo perpendicular, ).
o
< RR > RR
4,89≈
∞→→ BxyBxy ,0, ∞→→ BxyBxy ,0,
Na figura 24, são apresentados os gráficos de medidas de Hall para a amostra de
PQW de 2200 Å de largura, em quatro situações diferentes: com campo quase paralelo e
perpendicular, amostra no escuro e após iluminação. Podemos perceber que, no escuro,
ambas as curvas têm comportamento linear. Entretanto, após iluminação, os
comportamentos são totalmente diversos: a campo quase paralelo, ,
enquanto que a campo perpendicular, . Esse comportamento a campo
perpendicular mostra, portanto, o efeito da ocupação de múltiplas sub-bandas, perceptível e
∞→→ < BxyBxy RR ,0,
∞→→ > BxyBxy RR ,0,
68
bem acentuado após iluminação (em que a densidade eletrônica é elevada e há ocupação de
muitas sub-bandas), mas não no escuro (apesar de nessa condição haver mais de uma sub-
banda ocupada). Note-se que, em particular, seja a campo quase paralelo ou perpendicular,
para campo baixo após a iluminação é menor do que no escuro – o que é evidente,
uma vez que em linhas gerais a inclinação é inversamente proporcional à concentração n
xyR
s
(equação 9).
Um outro fato significativo diz respeito à depopulação das sub-bandas, em campo
quase paralelo (fenômeno que já citamos no início deste capítulo). Na figura 23-d,
observamos que as oscilações da magnetorresistencia só ocorrem abaixo de um campo
limite, de valor aproximado de 2,5 T, acima do qual espera-se a depopulação da última
sub-banda. Em vista disso, esperar-se-ia que na região de campo alto a resistência Hall
obedecesse a equação 39, correspondendo ao caso de uma única sub-banda ocupada, cujo
valor da resistência Hall coincide com o comportamento a campo baixo. Entretanto, isso
está em desacordo com o desvio da linearidade observado, que ocorre a cerca de 3–4 T.
Para corroborar o fato de que os comportamentos anômalos da resistência Hall a
campo perpendicular e quase paralelo (após iluminação da amostra) não têm a mesma
origem, façamos ainda outra relação: na medida a campo quase paralelo, o desvio da
linearidade ocorre aproximadamente em TB 2= . Considerando o ângulo de inclinação
, a componente perpendicular desse valor de campo é
T. Se houvesse uma correlação, esperaríamos que o desvio da
linearidade na medida a campo perpendicular ocorresse nesse campo, entretanto, como
vemos na figura, ocorre em um campo dez vezes maior (
o4,89≈θ
021,0)4,89cos(2 =≈⊥oB
2,0≈⊥B T).
A figura 25 se assemelha às anteriores, mas agora referida à amostra AG662
(4000 Å). Notemos que agora a resistividade medida com campo perpendicular não
apresenta nenhum efeito de desvio de linearidade, mesmo após a iluminação. De fato, no
escuro ela apresenta 4 sub-bandas ocupadas, e após a iluminação, 6 sub-bandas. Nessas
condições já se aproxima o limite de tridimensionalidade, e o efeito Hall é o ordinário. Em
contrapartida, a medida a campo quase paralelo apresenta – assim como no caso da
amostra 2534 (2200 Å) – a mesma característica de , sendo que
novamente .
||,
||0, ∞→→ < BxyBxy RR
sBxyBxy enRR /10,||
0, == ⊥→→
69
-12 -8 -4 0 4 8 12 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
Rxy
(un.
arb
it.)
B (T)
B
B (T)
B
Figura 25 - Resistência Hall para a amostra de PQW de 4000 Å de largura, com campo
quase paralelo (à esquerda, ) e perpendicular (à direita), à temperatura de
4,2 K. Curvas em preto correspondem a medidas no escuro, enquanto que em
vermelho, após a iluminação da amostra.
o4,89≈
Em face dessas considerações, descartamos, portanto, a hipótese de que os
desvios da linearidade observados estejam ligados a efeitos de ocupação de múltiplas sub-
bandas, ou à sua depopulação.
POSSIBILIDADE DE EFEITO HALL ANÔMALO
Outra possibilidade que se pode considerar é a da ocorrência de efeito Hall
anômalo, entretanto, essa também não é uma causa do desvio da linearidade observado.
O efeito Hall anômalo (também denominado extraordinário) ocorre como
conseqüência do espalhamento assimétrico dos elétrons de condução por átomos [77], e em
materiais ferromagnéticos amorfos é extremamente pronunciado. Nesses casos,
empiricamente, a resistência Hall é dada por
45. MRBRR Sxy += 0
onde R0 é o coeficiente de Hall ordinário, RS o coeficiente de Hall anômalo, e M é a
magnetização da amostra. No limite de campos elevados, o material atinge a magnetização
de saturação e o termo torna-se constante, enquanto continua crescendo MRS BR0
70
71
)
linearmente com B e Rxy torna-se portanto independente da temperatura, diferentemente do
que observamos em nossas amostras de PQW. Nessa situação, , logo, em
aproximação, (que coincide com o comportamento ordinário) e
MRBR S>>0
( BenBRR sBxy /10, =≈∞→
BRBR BxyBxy 0,, →∞→ < , enquanto que em nossas amostras , e portanto
temos justamente o oposto:
( BenR sBxy /1, >∞→ )
BRBR BxyBxy 0,, →∞→ > (novamente desconsideramos os sinais
de B e de Rxy).
Apenas para um maior esclarecimento sobre a natureza do efeito Hall anômalo e
sua manifestação em materiais em geral (incluindo semicondutores não magnéticos, como
AlGaAs), faremos algumas explanações. Existem basicamente dois modelos para esse
espalhamento: skew scattering [77] e side jump [78], ambos dependentes do spin do
elétron. No primeiro caso, uma interação spin-órbita entre o elétron e o centro espalhador
provoca um desvio na trajetória do elétron, caracterizado por um ângulo de espalhamento
(da ordem de 10-2 rad). No segundo caso, o elétron salta para uma trajetória paralela à
anterior ao espalhamento, distante de cerca de 10-13 cm. Para ambos os modelos, um dos
entes envolvidos no processo – portador ou espalhador – é magnético. Não obstante a
pequena deflexão, a grande quantidade de centros espalhadores existentes nos
ferromagnetos amorfos (onde praticamente todos os átomos são centros espalhadores) leva
a um desvio global extremamente pronunciado, de modo que RS chega a superar o
coeficiente Hall ordinário em duas ou três ordens de grandeza.
Em semicondutores não magnéticos, a contribuição anômala do efeito Hall é
extremamente pequena [79], podendo ser muito menor do que a contribuição ordinária. Em
InSb, por exemplo, o ângulo de espalhamento anômalo é quatro ordens de magnitude
menor do que o ângulo de deflexão ordinário. Por outro lado, o desvio da linearidade da
resistência de Hall das amostras de PQW de GaAs/AlGaAs (a campo elevado) chega a ser
da mesma ordem de magnitude que a parte intrínseca ao efeito Hall (ordinário).
Essas considerações nos habilitam a afirmar que o fenômeno que observamos em
nossas amostras não é de modo algum a manifestação do efeito Hall anômalo.
EFEITO DA VARIAÇÃO DO FATOR g DE LANDÉ
Na tentativa de explicar o desvio da linearidade em Rxy, sugerimos um outro
mecanismo. Conforme explanado nos capítulos 1 e 3, existe uma variação do fator g de
Landé ao longo da direção do crescimento (z) nas amostras de PQW. No limite de campos
magnéticos elevados, na aproximação semi-clássica, os elétrons descrevem órbitas
ciclotrônicas cujo raio varia com B , caracterizadas portanto por um comprimento
magnético cB ml ω/h= . Para o caso em que o campo magnético é paralelo ao gás de
elétrons (perpendicular à direção z), a partir de um certo limite de campo lB se aproxima do
valor da largura do PQW, e o caráter ciclôtronico sobressai em relação ao confinamento
imposto pelo potencial parabólico. Desse modo, o elétron fica confinado em órbitas
circulares, localizado em regiões restritas do PQW ao longo da direção z. De acordo com a
localização na direção z, teremos um valor específico para o fator g médio
B
0g . Esse
fenômeno é exemplificado na figura 26.
O deslocamento do elétron ao longo da direção z faz com que ele mude sua
orientação de spin. Quando se localiza perto do centro do PQW, 0g é negativo, e então o
elétron assume spin “up” para minimizar a energia. Ao se deslocar para as regiões das
bordas do PQW, onde 0g é positivo, deverá ter seu spin mudado para “down”. A essa
mudança de estado de spin associamos um processo de espalhamento, o qual é
caracterizado por um tempo de espalhamento τs. Esse espalhamento deve interferir nas
propriedades de transporte da amostra, reduzindo sua mobilidade μ e sua condutividade σ.
Evidentemente essa influência do espalhamento deve se refletir também nas componentes
do tensor resistividade, tensor esse que é obtido pela inversão do tensor de condutividade.
Acreditamos que as alterações da inclinação da resistência Hall que observamos em nossas
amostras sejam originadas pelo mecanismo de espalhamento citado.
72
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6 L <1500 Å L >1500 Å
fato
r g
L
a = 1 a = 0,5 a = 0,25
( )2aLeB aLr
h==
z (un. arbit.)
Figura 26 – Representação de algumas órbitas ciclotrônicas (círculos) e perfis de variação
do fator g para nossas amostras de PQW de (em preto) e de
(em cinza), o qual assume valores positivos e negativos. As órbitas
representadas têm raios r = L, ½L, ¼L (laranja, verde, azul, respectivamente),
correspondendo a valores crescentes de campo
Å1500≤L
Å1500>L
222 4,2,B eLeLeL hhh= . No
calculo de 0g para cada caso, é obvio que essa grandeza assume valores muito
maiores no caso do máximo confinamento magnético, já que contribuições de
sinais opostos na integral de g (equação 45, capítulo 3) se cancelam, dando
menor resultado.
No próximo capítulo, quando apresentarmos a idealização de um transistor
válvula de spin, mostraremos de que modo se forma a barreira de energia de Zeeman
associada à mudança do sinal de 0g .
CONTRIBUIÇÃO DE TROCA PARA O FATOR g
Ressaltemos, a propósito, que para campos magnéticos com ângulo de inclinação
elevado – como no caso de nossas medidas a campo quase paralelo – o valor da
contribuição de troca para g (equações 28 e 31, capitulo 1) é
73
02,001,0cos5,5cos*2 0 −≈= θθα mm , valor da ordem de dez vezes menor do que g0, e
por isso desprezível. Em virtude disso, a contribuição de troca praticamente não participa
do efeito do desvio da linearidade que observamos nas medidas de Hall em nossas
amostras.
AÇÃO DO CAMPO MAGNÉTICO NA FUNÇÃO DE ONDA
Uma questão que pode surgir é a de qual a influência do campo magnético sobre
a densidade eletrônica. Essa questão é importante, uma vez que não sabemos se a
densidade eletrônica conserva a sua forma – o que poderia invalidar nossas conclusões
baseadas no movimento eletrônico ao longo da direção z.
Para resolver essa questão, inicialmente escrevemos o campo magnético
genericamente como , representando um campo inclinado de um ângulo ),0,( zx BBB =r
)/arctan( zx BB=θ em relação à normal à superfície da amostra. Podemos escolher o
potencial vetor no calibre . O potencial de confinamento, dado por
(capítulo 1), pode ser escrito sugestivamente em termos da freqüência
característica Ω de um oscilador harmônico, , de modo que
),0,( zx xBzBA =r
2)( azzV =
22*½)( zmzV Ω=
*122 mL Δ=Ω . O hamiltoniano total será [80] (desconsiderando as interações entre
elétrons, as quais podem, em aproximação, ser em muitos casos incluídas no potencial
V(z), com a escolha apropriada do parâmetro Ω):
46. ( ) ( )2
ˆ2
12ˆ
2ˆ
)(2ˆˆ
22*2
**
2
*
2
*
zmzeBxeBpmm
pmp
zVm
ApH xzyzx Ω
++−++=+−
=rr
Para diagonalizar H , fazemos uma rotação no sistema de coordenadas em torno
do eixo y, de um ângulo α, passando do sistema (x,y,z) para um sistema (X,y,Z), onde
47. . ( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
zyx
sen
sen
zyx
RZyX
αα
ααα
cos0010
0cos~
Escolhendo o ângulo de rotação tal que ( )( )22cos2)2( csentg ωθθα Ω−= ,
conseguimos eliminar termos cruzados nas variáveis coordenadas. Uma vez eliminados os
termos cruzados, eliminamos termos lineares em x,z perfazendo binômios quadrados. O
hamiltoniano resultante é idêntico ao de um oscilador harmônico em duas dimensões,
74
48. ( ) ( )20
22
*20
21
**
2
*
2
*
2
21
21
2ˆ
2
ˆ
2ˆˆ ZZmXXm
mp
mp
mp
H zyx ++−+++= ωω
cujos autovalores são (onde são inteiros): 21 ,nn
49. ( ) ( )½½ 21, +++= jiji nnE ωω hh
onde se introduziu as freqüências 21 ,ωω , dadas por
50. ( )( )⎩
⎨⎧
−=Ω−=Ω
Ω+Ω=
Ω+Ω=αθωαθω
αωαω
cos;
cos2222
2221
cZ
cX
X
Z sensen
e são centros de coordenada, dados por 00 ,ZX ( )21
*0 ωmkX ZyΩ= h e
( )22
*0 ωmkZ XyΩ= h . Como conseqüência, a única alteração introduzida pelo campo
magnético na forma da função de onda com respeito à variável z é o seu deslocamento de
uma quantidade z0. Na figura 27 se apresenta o gráfico de αα cos000 ZsenXz +−= em
função de B para nossas amostras (obs.: nos cálculos, empregamos θ = 89o, e Δ1 variando
conforme a amostra, vide tabela II do capítulo 2), com hFFy Emkk *2== (valor
máximo de ). O valor máximo de cada pico não ultrapassa 11-13% da largura do PQW
correspondente, o que é um valor relativamente pequeno. Para ângulos de inclinação mais
elevados, essa percentagem em nossas amostras aumenta até o limite de 30%. Observando
a figura 27, notamos que os picos ocorrem em valores de campo menores para PQW mais
largos, e, além do mais, a campos elevados
yk
LZ <<0 para poços largos. Em outras
palavras: por exemplo, para e , (valor
próximo a L), enquanto que . O efeito é
portanto menor em poços mais largos.
TB 10= o90=θ LÅLZ o ¼125)90,500(0 =≈== θ
LLÅLZ o <<=≈== 0,04160)90,4000(0 θ
75
0 2 4 6 8 100
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
z 0 (Å
)
B (T)
Largura do PQW 500 Å 1000 Å 1500 Å 1700 Å 2200 Å 4400 Å
θ=89o
Figura 27 – Centro de coordenada αα cos000 ZsenXz +−= para as amostras estudadas,
em função do campo magnético. Considerou-se em comum o valor médio
. 089=θ
Desta maneira, as alterações na densidade eletrônica devido à ação do campo
magnético não alteram nossas conclusões, o que prevalece mesmo quando se inclui no
hamiltoniano (equação 48) os termos referentes às interações entre elétrons (interação
coulombiana e de troca-correlação), conforme já mostrado por outros autores [81].
76
NOTA FINAL – PROVA DA INEQUAÇÃO 44
A validade da inequação 44 significa que o funcional abaixo é sempre maior que
um:
( ) 1'
21;)( 2
,,,
3,2,1,3,2,1 >−=Λ∑∑
==μ
μμ
μ
μμ
s
kjikjis
ii
isin
nni .
A busca do mínimo desse funcional leva a um sistema complexo de equações
quadráticas com termos mistos nas variáveis de mobilidade e concentração, que dificulta a
análise. Optamos por um estudo gráfico. Para isso, por simplicidade aproveitamos o fato de
que Λ é invariável com as transformações isis nn ,, α→ e ii βμμ → (α,β reais, i = 1,2,3), de
modo que podemos por exemplo fixar a mobilidade da primeira sub-banda como 11 =μ , e
transformar o vínculo ssss nnnn =++ 3,2,1, em
1=++ cba ( ). ssssss cnnbnnann →→→ 3,2,1, ;;
Assim, o problema se restringe a estudar o conjunto de funções ),( 32);( μμbaV
ssss bnnnanssssssba nnnnnnVii===
−−=Λ=2,1,1 ;;12,1,3,2,1,32132);( ),,,,,(),()(
μμμμμμ
para vários conjuntos de valores dos parâmetros a,b. Na realidade, a inequação (i) não é
sempre válida, mas os casos em exceção não correspondem a situações físicas reais. Essas
situações reais são caracterizadas pela hierarquia de valores de concentrações das sub-
bandas
3,2,1,)( sss nnniii >>
oriunda do fato de que são proporcionas às energias de Fermi correspondentes, que
também seguem hierarquia similar devido à hierarquia dos autovalores de energia
sucessivos das sub-bandas. Considerando somente os casos físicos reais, a análise gráfica
revela que de fato , sendo que 1>Λ 1→Λ para o caso extremo
( , ) e para o outro caso extremo ( ).
1→a
ss nn →1, 0, 3,2, →ss nn 2→Λ 5,0→a ss nn ½1, →
77
78
Conclusões do capítulo 4
Verificamos um comportamento peculiar na resistência Hall de algumas amostras
de PQW caracterizado por um desvio da linearidade, mas com comportamento assintótico
linear cuja inclinação é maior do que a esperada. Por outro lado, a inclinação a campo
baixo é característica do efeito Hall ordinário.
Esse fato foi observado apenas para amostras de PQW de maior largura e com
alta densidade de elétrons, a temperaturas baixas (até algumas dezenas de graus kelvin), e
com o aumento da temperatura o comportamento linear usual é recuperado.
Essa anomalia não pode ser explicada como conseqüência da ocupação de
múltiplas sub-bandas de energia, e nem como uma manifestação do conhecido efeito Hall
anômalo, típico de materiais ferromagnéticos.
Acreditamos que a causa do fenômeno seja a manifestação de um efeito “válvula
de spin”, em que a supressão do movimento eletrônico ao longo da direção z altera as
componentes do tensor condutividade, e assim também a resistência Hall. Essa supressão é
causada pela variação do fator g de Landé ao longo desse eixo, o que subentende a
existência de uma barreira de energia de Zeeman.
Capítulo 5
Perspectiva: o transistor
válvula de spin de
AlGaAs/GaAs
1. O transistor válvula de spin
No capítulo 3, nos ocupamos de medidas do fator g efetivo ( 0g ) em PQW de
AlGaAs/GaAs através do efeito Shubnikov-de Haas, auferindo boa concordância com o
modelo teórico. Vimos que o fator g efetivo pôde ser variado, e, não obstante os valores
experimentais tenham se restringido a positivos, o modelo teórico previu a possibilidade de
se mudar o sinal dessa grandeza através da aplicação de potenciais externos.
Já no capítulo 4, medidas de efeito Hall revelaram um comportamento não usual,
que atribuímos a um efeito válvula de spin em PQW largos de AlGaAs/GaAs, intimamente
associado à variação do fator g ao longo dessa estrutura.
Neste momento, apresentaremos a idealização de um dispositivo que surge como
conseqüência natural desses estudos: o transistor válvula de spin de AlGaAs/GaAs, que
designaremos simplesmente como transistor de spin de AlGaAs.
Se as interações energéticas entre o spin de correntes eletrônicas e a
magnetização permanente de materiais nos ofereceram dispositivos eficazes baseados na
magnetorresistência gigante (GMR, Giant MagnetoRresistance), os quais atualmente
ocupam posição de destaque no mercado, podemos ter a esperança de obter êxito com
dispositivos de operação similar, construídos com estruturas de AlGaAs/GaAs (ou mesmo
outros materiais convenientes), e cujo princípio de funcionamento prescinda de materiais
magnéticos – conquanto dependa de interações energéticas envolvendo spins –, só
dependendo de variações do fator g.
Na figura 28 apresentamos um primeiro esboço de nossa proposta para a
realização de um transistor de spin de AlGaAs, com uma estrutura de poço parabólico, e o
princípio de seu funcionamento. Ele, como os atuais dispositivos de GMR, é apenas um
dispositivo que opera em função de propriedades do spin, mas não chega a ser um
autêntico dispositivo spintrônico ideal, que aceita como sinal de entrada uma corrente de
spin, a manipula e a devolve para processamento por outros dispositivos externos – isto é:
vale-se do spin como ferramenta, mas não o emprega como finalidade em si, manipulando-
o, gerando correntes de spin, transportando informação através de correntes de spin, etc.,
integrado a uma rede de dispositivos.
79
0 50 100 150 200 250 0,0 0,1 0,2 0,3 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4
z (Å
)
Perfil da banda de
condução (meV)
a) b) c)
c (concentração de
Al na liga)
g(0) = 0,25
fator g
g(0) = -0,44
g(0) = 0,5
Figura 28 - Um transistor de spin de PQW de AlGaAs. a) Perfil da banda de condução, em
meV; b) perfil de concentração de Al na liga; c) variação do fator g ao longo da
estrutura. d) O dispositivo: uma corrente I (com sentido apontado pela seta cinza),
produzida por um fluxo de elétrons (esferas azuis), atravessa um PQW,
submetido a um campo magnético B paralelo à superfície da amostra. De acordo
com a localização da densidade eletrônica (representada pelas curvas em verde),
0g será positivo ou negativo, de modo que os elétrons adquirem spin “up”
(setas verdes) ou “down” (setas vermelhas), para que a energia de Zeeman
Bsg Bμ ( ½±=s ) seja a mínima. A localização eletrônica é manipulada por uma
porta (em cinza), à qual é aplicado um potencial (VP).
80
Na figuras 28.a, b, c, apresentamos figuras semelhantes às figuras 3 (em preto) do
capítulo 1 e figura 12 (preto e vermelho) do capítulo 3: são apresentados o perfil da banda
de condução, a variação do conteúdo de Al (eixo horizontal) e a variação do fator g, ao
longo da direção de crescimento (eixo vertical), para um PQW de 500 Å de largura. Na
coordenada z = 0, temos c = 0, o que corresponde a GaAs puro, e assim g(0) = –0,44. No
intervalo de z = –z1 até z = +z1, temos uma variação gradual de c (figura 28.b) que gera um
potencial parabólico (figura 28.a), e nesse intervalo g assume valores positivos e negativos
(figura 28.c), variando de g(–z1) = 0,25 até g(0) = –0,44 e novamente voltando ao valor
positivo, g(+z1) = 0,25. Nas regiões de barreira, g = 0,5.
Na figura 28.d se apresenta uma vista lateral da estrutura do dispositivo, que é
submetido à ação de um campo magnético B. Através da região central flui uma corrente I,
que, longe da porta, está associada a uma densidade eletrônica cujo centro coincide com o
centro do PQW, e 39,01 −=g . Quando o fluxo de elétrons atinge a região abaixo da
porta, a ação do potencial Vp é intensa e a função de onda é deslocada ao longo da vertical.
Nessas condições, o valor de 2g muda, e para potenciais de porta suficientemente
elevados torna-se positivo. Essa mudança representa uma variação da energia de Zeeman
BgBg BB μμ 21 −=Δ que, a temperaturas extremamente baixas, é maior do que kT e
representa portanto uma barreira de energia. Desse modo, espera-se que haja uma redução
da corrente I. O dispositivo nos habilita, portanto, o controle da corrente através da
aplicação de um potencial na porta, através de um mecanismo associado ao spin.
APLICAÇÕES DO TRANSISTOR VÁLVULA DE SPIN
A operação do transistor válvula de spin, conforme o que verificamos até agora,
leva-nos à conclusão de que ele em nada supera um transistor comum: em ambos controla-
se uma corrente através da aplicação de um potencial modulador, sendo que a diferença
básica reside no fato de que num transistor comum esse controle baseia-se na depleção de
cargas, enquanto que no transistor válvula de spin o que governa o mecanismo é a barreira
de energia de Zeeman resultante da variação espacial do fator g de Landé. O transistor
válvula de spin requer, em acréscimo, a ação de um campo magnético externo.
Visto como um dispositivo individual, o transistor válvula de spin pode parecer
no mínimo prescindível à tecnologia; ou no máximo, um simples equivalente de
transistores comuns. Entretanto, no âmbito da spintrônica, um transistor comum pode não
81
satisfazer os requisitos necessários. De fato, foge ao propósito central da spintrônica, que é
justamente o de manipular o spin eletrônico. Em contrapartida, o transistor válvula de spin
já é mais afeito a esse propósito, pois lida com o spin. Ele não controla verdadeiramente o
spin de um fluxo de corrente de elétrons como desejaria a spintrônica, no sentido de que
uma corrente de elétrons polarizada (ou não) que entra no transistor válvula de spin não sai
dele polarizada; ele apenas se vale das propriedades do spin eletrônico para alterar a
corrente. Entretanto, ele se iguala em importância e em princípio de operação, pelo menos,
aos conhecidos dispositivos que operam à base da magnetorresistência gigante, largamente
aplicados comercialmente, sem entretanto, necessitar do concurso de materiais
ferromagnéticos em sua constituição para, baseando-se assim unicamente na tecnologia de
semicondutores. Iguala-se também, ao conhecido transistor de Datta-Das, proposto em
1990 [82] – cujo funcionamento, entretanto, ainda não foi provado.
CONTRIBUIÇÃO DE TROCA E ÂNGULO DE INCLINAÇÃO DO CAMPO
O controle da corrente por meio da tensão de porta é, em ultima análise, uma
conseqüência da variação espacial do fator g de bandas. Entretanto, uma vez que existe
também a contribuição de troca, a qual é uma propriedade do gás bidimensional de elétrons
para a qual não está prevista a variação espacial, ela pode mascarar o efeito. Nesse caso, é
necessário suprimir o seu efeito, o que se pode fazer com a inclinação do campo
magnético. Para um ângulo de inclinação pequeno (isto é, campo quase perpendicular à
amostra), ≈θα cos2 *0 mm 5,52 *
0 =mmα , que é muito maior do que 0g em qualquer
condição. Desse modo, o auto-estado de spin do gás de elétrons é determinado por efeito
de muitos corpos – o qual depende unicamente da densidade superficial de elétrons ns
através do parâmetro α (conforme expressão 28, seção 5, capítulo 1) – e não da variação de
g ao longo do PQW. A condição para que o efeito válvula de spin realmente ocorra é,
portanto, a de que o dispositivo opere na configuração de campo quase paralelo, quando
θcos é pequeno e θα cos2 *0 mm . Tomando 2,0,4,0 21 +≈−≈ gg , isso significa que
(aproximadamente). o84≥θ
TRANSISTOR DE SPIN DE POÇO TRAPEZOIDAL
Nosso trabalho se concentrou unicamente no estudo de amostras de poços
parabólicos, heteroestrutura que tem sido bastante estudada em nosso grupo de pesquisa
82
especialmente por suas boas propriedades de transporte. Outra propriedade singular é a
preservação da forma parabólica independentemente do campo elétrico aplicado na direção
perpendicular, conforme vimos no capítulo 1. Entretanto, a condição essencial para o
funcionamento do transistor de spin é a variação do fator g com a composição da liga
AlGaAs, sem, em princípio, impor nenhuma restrição adicional, de modo que podemos
pensar em outras formas de potencial.
Uma estrutura simples é a de um poço de forma trapezoidal. Na figura 29-a
apresentamos o perfil da banda de condução (linha contínua, em vermelho) de um poço
trapezoidal de 500 Å de largura com liga de AlGaAs de 31% nas barreiras, e variação
linear no interior do poço. Escolhemos uma variação de zero (GaAs puro) a 20% dentro do
poço. Correspondentemente, g(z) varia dentro do poço de a
(conforme equação 32, capítulo 1). A variação do fator g ao longo da
estrutura é apresentada também na figura 29-a (linha pontilhada, em verde). Na figura 29-
b, apresenta-se o resultado de cálculos autoconsistentes para uma densidade eletrônica n
44,0)500( −=− Åg
254,0)500( +=+ Åg
s =
4,4x1011cm-2, igual à empregada nos cálculos para o PQW de mesma largura (500 Å)
efetuados no capítulo 3 (figuras 13 e 14). Na figura 29-b, as curvas em preto correspondem
ao caso de campo elétrico externo nulo, enquanto que em vermelho, com um campo igual a
-5x104V/cm. O valor médio de g varia de 31,00 −=g (campo nulo) a 21,00 +=g (com
campo elétrico), de modo que a diferença entre esses valores é 0,52. Em contrapartida, para
o PQW com a mesma largura verificamos, no capítulo 3 que a variação se estende de
39,00 −=g a 20,00 =g , o que representa uma diferença de 0,6. Podemos considerar
que ambos os casos são equivalentes, a grosso modo, pois poderíamos em princípio,
aumentar o valor do campo elétrico e obter valores maiores de 0g . Em todo caso, a
eletrostática impõe um limite, uma vez que, a partir de um certo campo a função de onda
escapa do confinamento. Ressaltemos em particular que, reduzindo a densidade para
1,5x1011cm-2, não há mudança significativa nos resultados. Com respeito à largura do
poço, para poços mais largos o campo elétrico necessário para se obter resultados
equivalentes aos de um poço mais estreito é menor, mas obtemos resultados próximos.
83
-300 -200 -100 0 100 200 300-40
0
40
80
120
160
200
240
280
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
-300 -200 -100 0 100 200 300-50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
b)
Ener
gia
(meV
)Poço trapezoidalL = 500 Å0% < x < 20%
a)
g(-500) = -0,44
g(+500) = +0,254
fator g
z (Å)
ns = 4,4x1011cm-2
E <g> (105V/cm)
0,0 -0,31-0,5 +0,21
Ener
gia
(meV
)
Figura 29 - a) Perfil da banda de condução de um poço trapezoidal com variação do
conteúdo de Al de 0 a 20% dentro do poço (linha vermelha), que correspondente
a uma variação do fator g (linha pontilhada verde) de -0,44 a +0,254. b)
Resultados de cálculos autoconsistentes para uma densidade eletrônica fixa
, na ausência de campo elétrico externo (linhas pretas) e sob a
ação de um campo elétrico igual a (linhas continuas: perfis dos
potenciais autoconsistentes; linhas pontilhadas: densidades eletrônicas).
211104,4 −×= cmns
cmV /105 4×−
O EFEITO VÁLVULA DE SPIN NO TRANSISTOR DE SPIN
Neste momento, faremos um estudo mais detalhado do efeito válvula de spin no
transistor de spin que estudamos. Para tanto, vamos estudar o efeito da barreira de energia
de Zeeman BgBg BB μμ 21 −=Δ na propagação de uma onda plana que representa
um fluxo de corrente de elétrons na direção de x positivo, tomando por simplicidade
apenas o caso de um dispositivo com PQW em sua estrutura.
ikxe
A equação de Schrödinger para o caso tridimensional, incluindo o potencial de
confinamento e o termo de Zeeman com o fator g dependente da
coordenada z é:
22*½)( zmzV Ω=
84
51. [ ] )()()(ˆ)(ˆ2
1 2
* rErBzgzVAepm B
rrrrψψμσ =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−
onde σ é o operador de spin (matriz de Pauli correspondente à projeção na direção z).
Para o caso particular de campo magnético ao longo da direção y jBB ˆ=r
,
perpendicular ao fluxo de corrente I que escolhemos na direção x, podemos empregar o
calibre )0,0,(zBA =r
. Nessa configuração, reescrevemos a equação 51 como:
52. [ ]( ) )()()(ˆ)(ˆˆˆ2
1 222* rErBzgzVezBppp
m Bzyxrr ψψμσ =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−++
Se Vp = 0 (sem aplicação de potencial na porta), a solução dessa equação dá um
conjunto de ondas planas nas direções x e y, enquanto que na direção z há confinamento.
Podemos resolver a equação 52 somente nas variáveis y e z, obtendo uma equação
unidimensional do tipo
53. )(),()(2ˆ
*
2
xBkxmp
yx χεχ = ,
onde χ é a função de onda na direção x. A função ),( Bk yε depende do campo magnético
B e do número de onda ky, bem como dos autovalores quantizados associados à variável z –
dependência essa que está implícita e não nos interessa salientar. Na equação 53, o grau de
liberdade na variável x determina também um espectro de valores de energia em função de
um numero de onda kx associado a essa variável x. Desse modo, reescreveremos os
autovalores da equação 53 de maneira mais geral, na forma ),,( Bkk yxε . Os valores de kx e
ky são determinados pela energia de Fermi através de 2*22 2 hFyx Emkk ≤+ . Quanto ao
confinamento espacial na direção z, ele já foi estudado no capítulo 4 (equações 46 a 50
com 2πθ = ). Ele é, para a condição de campo paralelo, regido unicamente pela
freqüência 222 Ω+= cωω , enquanto que o centro da função de onda se desloca na direção
z no máximo para (devido à ação do campo magnético), que é pequeno para campos
magnéticos elevados e PQW largos. Nesse caso, a distribuição eletrônica se assemelha à do
caso , para a qual, segundo nossos cálculos autoconsistentes, ela se distribui por uma
larga extensão espacial do PQW. Em qualquer caso, podemos determinar
0Z
0=B
0g , que
assume um valor específico para cada caso (em função da largura, do campo magnético, e
da densidade eletrônica), que designaremos por g1 e suporemos negativo.
Sejam ax = e (bx = ba < ) as coordenadas da porta na direção x, e
consideremos agora que . Longe dessa região, a influência do potencial de porta é 0≠pV
85
desprezível e valem todas as considerações do parágrafo anterior. Entretanto, na região
o potencial da porta é intenso, e a densidade eletrônica é deslocada de sua
posição. Em virtude disso, o valor de
bxa ≤≤
0g mudará para, digamos, 20 gg = . Levando em
consideração as equações 32 e 45, esperamos que para um valor suficientemente grande de
Vp, tenhamos . Isso significa que 02 >g 0g não é constante ao longo de toda a extensão
da coordenada x. Podemos distinguir, então, três regiões distintas no domínio de x: região
I, para ax ≤ ; região II, para bxa ≤≤ e região III para xb ≤ , e definir uma função
54. ⎩⎨⎧
≤≤><
=bxagbxaxg
xg,
;,)(
2
1
e generalizar (em aproximação) a equação 53 para todo o domínio de x, na forma:
55. )(),,()()(ˆ2ˆ
*
2
xBkkxBxgmp
yxBx χεχσ =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Nesse caso, escrevemos genericamente a solução como um espinor:
56. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
↓
↑
)()()(
xxx
φφχ
onde , são autoestados de spin up e down (autovalores da matriz de Pauli )(x↑φ )(x↓φ
σσ ˆˆ 3 = ), isto é,
57. )(½)(ˆ
)(½)(ˆ
xx
xx↓↓
↑↑
−=
+=
φφσ
φφσ
Com as expressões 55, 56 e 57 chegamos ao sistema de equações:
58. )(),,()()(½
2ˆ
)(),,()()(½2ˆ
*
2
*
2
xBkkxBxgmp
xBkkxBxgmp
yxBx
yxBx
↓↓
↑↑
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
φεφμ
φεφμ
Na resolução do sistema de equações 58, lembremos que, para ax << ou ,
temos ondas planas. Entretanto, na região da porta temos uma barreira de energia de
Zeeman
bx >>
( ) BggBg BB μμ 12 −=Δ e, dependendo de kx e ky, podemos ter ),( Bk yε maior ou
menor do que a altura da barreira. Isso distingue dois comportamentos possíveis: onda
plana ou exponencial real. Em outras palavras:
Caso A: BgBk By με Δ>),( : (ondas planas); ikxex ±~)(φ
86
Caso B: BgBk By με Δ<),( : (exponencial real). kxex ±~)(φ
Essas considerações definem a variação espacial de )( xχ , restando agora analisar a parte
dependente do spin. Dentre as soluções possíveis, devemos escolher sempre a de menor
energia. Na região distante da porta, o termo de Zeeman tem seu menor valor para spin
down, já que é positivo. Por outro lado, na região da porta, o termo de Zeeman troca de
sinal, e assim o spin muda para up.
2g
Esses dois casos são ilustrados na figura 30, e serão estudados separadamente.
ε(ky ,B)g < 0 g > 0 g < 0g < 0 g > 0 g < 0
a b
ε(ky ,B)
I II IIIa b
I II III
a) b)
Figura 30 – Propagação de uma onda provinda de −∞=x que marcha no sentido de x
positivo e sua passagem através da barreira de energia de Zeeman. Em azul, as
ondas que caminham no sentido de x positivo, e em vermelho as ondas refletidas
na direção oposta. Na região II, no caso de BgBk By με Δ>),( , temos ondas
planas (a). Em oposição, para BgBk By με Δ<),( , temos soluções exponenciais
reais (b).
Caso A ( BgBk By με Δ>),( ) – Podemos escrever a solução geral nas três regiões I,II e III
como:
59. )exp()(
)exp()exp()()exp()exp()(
xikSxxikRxikSx
xikRxikx
IIIIII
IIIIII
II
↑
↓↓
↑↑
=
−+=
−+=
χχχ
87
Nessas expressões, definimos
60. h
h
)½(2
)½(2
2*
1*
Bgmk
Bgmk
B
B
με
με
+=
−=
↓
↑ ,
que designam os números de onda na coordenada x, que correspondem à menor energia de
desdobramento Zeeman. RI e RII designam as amplitudes das ondas refletidas nas regiões I
e II, enquanto SI, SII e SIII, são as amplitudes das ondas propagadas na direção da corrente I
(sentido de –x para +x). Para determinar esses coeficientes podemos tentar aplicar as
condições usuais de continuidade da função de onda e de sua derivada nos pontos a e b,
apesar de, nas vizinhanças desses pontos, não termos a solução real (já que em torno desses
pontos a variação de g(x) é suave, e não abrupta como neste modelo matemático).
Façamos, então:
61. ⎩⎨⎧
====
)(')(');()()(')(');()(
bbbbaaaa
IIIIIIIIII
IIIIII
χχχχχχχχ
A partir disso, segue que a densidade de probabilidade da onda emergente 2
3SIII =Π na região III é dada por:
62. [ ]( ) 1
2cos
122
2 +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
=Π
↑↓
↑↓↓
Δ>
kkkk
bak
BgIII
Bμε .
Caso B ( BgBk By με Δ<),( ) – Procedemos de maneira semelhante, fazendo agora
63. )exp()(
)exp()exp()()exp()exp()(
xikSxxkRxkSx
xikRxikx
IIIIII
IIIIII
II
↑
↓↓
↑↑
=
+−=
−+=
χχχ
Após manipulação algébrica similar, encontramos a densidade de probabilidade
na região III para este caso:
64. [ ]( ) [ ]( )bak
kkkk
bak
BgIII
B
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
=Π
↓↑↓
↑↓↓
Δ<
222
2 cosh2
sinh
1με
Essa expressão traduz a fração da onda incidente que atravessou a barreira
por tunelamento.
ikxe
Tanto no caso I quanto no caso II, a fração de onda transmitida é sempre menor
do que a incidente, já que as expressões 62 e 64 são sempre menores do que um – exceto
na situação (trivial) em que 021 == gg . Isso significa que a variação do sinal do fator g
88
ao longo da estrutura representa uma barreira de energia que se opõe à passagem de
corrente, o que é a manifestação de um efeito válvula de spin.
Tomando valores típicos da variação do fator g em nossas estruturas, verificamos
que o desdobramento Zeeman é da ordem de . Evidentemente, a temperaturas
elevadas essa barreira de energia se constitui num obstáculo menor à passagem de corrente,
e essas temperaturas são caracterizadas basicamente por , isto é, .
Uma vez que essa temperatura é muito inferior à temperatura ambiente, surge
imediatamente a questão de que esse dispositivo não tem possibilidade de aplicação
prática. Em resposta a isso, nosso primeiro propósito é o do estudo do fenômeno em si,
sem ainda, neste estágio, nos preocuparmos com as conveniências na aplicação comercial.
Em acréscimo, na prática pode-se optar por outras ligas para a produção do transistor de
spin, ao invés de AlGaAs: sabe-se que em alguns materiais o fator g de Landé pode
assumir valores extremamente elevados, como no GaSb, em que chega [83]; no
InAs, onde [83,84]; ou no InSb, com
meV110−
meVT 110−> KT 2,1>
8,70 −=g
6,140 −=g 6,500 −=g [84]. Nesse caso particular
do InSb, é duas ordens de grandeza superior ao do GaAs por exemplo, em que
. Com respeito à liga AlGaAs, a equação 30 (que dá uma previsão teórica da
variação do fator g de Landé em AlGaAs), nos mostra que nessa liga assume o valor
máximo (em módulo) de 1,386 (AlAs puro) – neste caso também muito inferior ao
correspondente em InSb. Em contrapartida, o valor da barreira de energia de Zeeman
também aumenta proporcionalmente segundo o mesmo fator de escala, o que implica num
aumento na temperatura de operação do dispositivo também em até duas ordens de
grandeza. A escolha do material mais adequado deve incluir as conveniências tecnológicas.
0g
44,00 −=g
0g
89
Conclusões do capítulo 5
Neste capítulo, propusemos o modelo de um transistor válvula de spin construído
apenas com a liga AlGaAs, e sem, portanto, o concurso de materiais magnéticos.
A idealização desse dispositivo foi possível graças ao fato de que nessa liga o
fator g de Landé varia em função do conteúdo de Al. Com a aplicação de potenciais
elétricos de porta numa amostra de, por exemplo, PQW, desloca-se a densidade eletrônica
para regiões em que o fator g médio tem valor diferente daquele sem a aplicação de
potenciais. A essa mudança está associada uma barreira de energia de Zeeman, o que causa
portanto um efeito válvula de spin. A operação do dispositivo deve ocorrer sob a ação de
um campo magnético externo. Para suprimir a contribuição de troca, é necessário que o
campo se oriente paralelamente ao plano do PQW.
Nossas previsões mostram que o mesmo fenômeno também pode ocorrer em um
poço trapezoidal, o que nos leva a concluir que outras formas de potencial podem ser
empregadas na construção do transistor válvula de spin.
A restrição à operação desse dispositivo é a temperatura: para nossas estruturas,
deve ser em torno de 1,2 K, que é extremamente baixa. Para contornar esse problema,
propomos o emprego de outros materiais semicondutores, em que o fator g tem valores até
duas ordens de grandeza maiores, elevando proporcionalmente a temperatura de operação.
90
Conclusões
Partindo de uma analise teórica via cálculos autoconsistentes, determinamos a
distribuição eletrônica em amostras de poços quânticos parabólicos de AlGaAs/GaAs ao
longo da direção de confinamento (direção de crescimento). O resultado nos possibilitou
determinar o valor médio do fator g (valor esperado). Paralelamente, efetuamos medidas
de transporte eletrônico sob a ação de um campo magnético de inclinação variável, a
temperaturas da ordem de dezenas ou centenas de milikelvins, com as quais
determinamos o valor da mesma grandeza. A comparação entre teoria e prática mostrou
boa concordância, mesmo com a aplicação de campos elétricos estáticos externos (casos
específicos para os quais também realizamos cálculos autoconsistentes). Quanto a esse
aspecto, constatamos experimentalmente uma esperada variação do fator g médio com a
alteração do campo elétrico. Os cálculos autoconsistentes de fato nos anteciparam esse
fenômeno, e muito especialmente a mudança do sinal do fator g. Também identificamos
a contribuição oriunda de efeitos de muitos corpos para o fator g de Landé.
Acreditamos que a mudança de sinal do fator g médio tenha sido o efeito
causador de um desvio da linearidade em medidas de Hall que realizamos numa série de
amostras. Descartando a possibilidade de um efeito Hall anômalo (próprio de materiais
ferromagnéticos), e de um efeito de ocupação de múltiplas sub-bandas, interpretamos o
fenômeno como conseqüente de um “efeito válvula de spin”, em que uma barreira de
energia de Zeeman associada à variação do sinal do fator g dificulta o processo de “spin
flip” dos elétrons.
A conjectura da existência de um tal efeito válvula de spin nos levou a idealizar
um dispositivo spintrônico, o transistor válvula de spin de AlGaAs. Prescindindo do
concurso de materiais ferromagnéticos, tal dispositivo operaria à base das variações do
spin eletrônicas associadas à variação do fator g de Landé ao longo da estrutura.
91
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95
Anexos
Em seqüência, apresentamos cópias dos quatro artigos publicados durante o período do doutorado (somente aqueles cujo assunto se liga diretamente ao título da tese):
1) Referentes aos estudos sobre PQW: a) Fator g de Landé em PQW:
- C. A. Duarte, G. M. Gusev, A. A. Quivy, T. E. Lamas, J. C. Portal, Electric
field controlled g-factor in parabolic well determined by transport measurements, aceito para publicação em Physica E (“article in press”)
b) Efeito Hall e efeito válvula de spin em PQW: - C. A. Duarte, G. M. Gusev, A. A. Quivy, T. E. Lamas, Spin valve effect and
Hall resistance in a wide parabolic well, Braz. J. Physics 36, 488 (2006).
- G. M. Gusev, C. A. Duarte, A. A. Quivy, T. E. Lamas, J. R. Leite, A. K. Bakarov, A. I. Toropov, Spin dependent Hall effect in a parabolic well with a quasi-three-dimensional electron gas, Phys. Rev B, 71, 165311 (2005)
2) Referente aos estudos da implantação de Mn+ em GaN cúbico:
- V. A. Chitta, J. A. Coaquira, J. R. L. Fernandez, C. A. Duarte, J. R. Leite, D. Schikora, D. J. As, K. Lischka, Room temperature ferromagnetism in cubic GaN epilayers implanted with Mn+ ions, Appl. Phys. Lett. 85, 3777 (2004)
96
ARTICLE IN PRESS
1386-9477/$ - se
doi:10.1016/j.ph
CorrespondE-mail addr
Physica E 34 (2006) 329–332
www.elsevier.com/locate/physe
Electric field controlled g-factor in parabolic well determined bytransport measurements
C.A. Duartea,, G.M. Guseva, A.A. Quivya, T.E. Lamasa, J.C. Portalb,c,d
aInstituto de Fısica da Universidade de SaoPaulo, CP 66318, CEP 05315-970, Sao Paulo, SP, BrazilbGHMFL, BP-166, F-38042, Grenoble, Cedex 9, France
cINSA-Toulouse, 31077, Cedex 4, FrancedInstitut Universitaire de France, Toulose, France
Available online 24 April 2006
Abstract
The Shubnikov de Haas oscillations in 500 A parabolic well are studied in the tilted magnetic field. The electric field displaces the
electron wave function along Z-axis and leads to the strong variation of the average bare g-factor in such system. From the
measurements of the filling factor nc at which the spin gap collapse occurs, we deduce the total Zeeman energy, which consists of the bare
Zeeman energy and exchange-correlation term. By investigating of the variation of nc in tilted field we reliably extract the bare g-factor as
a function of the gate voltage.
r 2006 Elsevier B.V. All rights reserved.
PACS: 73.21.FG; 72.20My; 71.45.d
Keywords: Shunbnikov de Haas oscillations; Parabolic quantum well
1. Introduction
The main idea of the quantum computing is to replacethe classical bit by the quantum bit, or qubit, a quantumtwo-level system, which can be thought of the spin-up andspin-down states of the electron in quantum dots [1].However, the practical implementation of these ideasrequires complete control and manipulation of an indivi-dual spin by applying the static magnetic field. Therefore,each spin must have an individual set of coils producingsuch fields, and each spin must be shielded from fields fromother spins. This very challenging problem can be excluded,if we are able to manipulate with the electron g-factor, inparticular its sign, by applying the electric field. In this casethe direction of the spin polarization of electrons inindividual dot can be varied by local electric field in theuniform external magnetic field.
Promising system providing effective control and manip-ulation with the electron spin is a remotely doped
e front matter r 2006 Elsevier B.V. All rights reserved.
yse.2006.03.086
ing author. Tel.: +5511 30917098.
ess: [email protected] (C.A. Duarte).
AlxGa1xAs parabolic quantum well, because the spinproperties of such materials depend strongly on the Alcomposition x. In perpendicular magnetic field g-factorshould be calculated by averaging the local g-factor alongthe Z-axis:
g ¼
1
W
ZgðZÞjCðZÞj2 dZ, (1)
where CðZÞ is the electron wave function. Application ofthe strong perpendicular magnetic field leads to theZeeman splitting of the Landau levels (LL), which isproportional to the average g-factor in parabolic well.Recently, spin precessions of 2D electron gas in 1000 Aparabolic well has been measured from photoluminiscenceas a function of the gate voltage [2]. The electric fielddisplaces the electron wave function along Z-axis and leadsto the strong variation of the average g-factor, andconsequently, variation of the spin lifetime. This abilityto tune the local electron g-factor allows to fabricate inprinciple a logic gate for quantum computing, however theexistence of such spin-dependent property has not yet beenstudied by means of transport coefficients.
ARTICLE IN PRESS
400
200
-400 -200 0 200 400
0
Ene
rgy
(meV
)
z (Å)
8.0
4.0
0.0
Ele
ctro
n de
nsity
(x1
09 cm
-3)
Fig. 1. Calculated total potential and electron density for a 500 A
parabolic well for different electric fields (105 V=cm: 0.0 (thick line), 0.05
(dots), 0.1 (dashes), 0.15 (dot-dash), 0.2 (short dot), 0.3 (dash-dot-dot), 0.4
(short dash-dot), 0.55 (thin line)).
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
< g
>
Electric field (x105V/cm)
Fig. 2. Average g-factor of a 500 A parabolic well as a function of the
external electric field.
C.A. Duarte et al. / Physica E 34 (2006) 329–332330
In the present work, we studied Shubnikov de Haasoscillations in 500 A parabolic well in the tilted magneticfield. It is well established that the spin splitting in 2Delectron gas is determined by the bare Zeeman energy andexchange-correlation term. It has been shown [3] that thespin splitting collapses when energy separation of spin-upand spin-down levels is less than the LL broadening, whichdetermined by the single particle relaxation time ts.Therefore, from measurements of the filling factor nc atwhich the spin gap collapse occurs, it is possible to extractthe total Zeeman energy. From the other side, only the bareZeeman part of the spin gap increases as the magnetic fieldis tilted. It allows to separate the bare Zeeman part andexchange term of the Zeeman energy. By investigating thevariation of nc in tilted field we deduced the bare g-factor asa function of the external electric field.
2. Experimental results
The samples were made from AlxGa1xAs parabolicquantum wells grown by molecular beam epitaxy. Itincluded a 500, 750 and 1000 A-wide parabolic AlxGa1xAswells with x varying between 0 and 0:20, bounded byundoped AlyGa1yAs spacer layers with d-Si doping ontwo sides [4]. The mobility of the electrons in our 500 Awide well was 600 103 cm2/V s and the electron density4:4 1011 cm2. The characteristic bulk density is given byequation nþ ¼ O2
0me=4pe2, where the parameter O0 is
associated to the parabolic variation of the potential in thewell along the growth direction, V ðzÞ ¼ 1
2mO2
0z2. Theeffective thickness of the electronic slab can be obtainedfrom equation W eff ¼ ns=nþ. For the W ¼ 500 A widewell, we calculate W eff ¼ 80 A5W , where W is thegeometric width of the well. In this case, the density profileis sharply peaked. In the presence of an electric field theminimum of the confining potential is displaced with thecenter of the parabolic well, whereas the shape of theparabolic well and implicitly of the envelope of the wavefunction are conserved. This particular property ofthe partially filled parabolic well makes it suitable for thepractical realization of the electronic devices based on themanipulation of the g-factor. Fig. 1 shows self-consistentcalculations of the potential and the electron density profileacross the sample in the absence and in the presence of theexternal electric field. The displacement of the electronicwave function with an applied electric field away from thecenter results to the strong modification of the average g-factor. Fig. 2 shows the variation of the g-factor withexternal electric field calculated by Eq. (1).
It is worth noting that the bulk Fermi energy in oursystem decreases with the width as EF ¼ _2ð3p2nþÞ
2=3=ð2mW 4=3Þ and does not depend on the electron sheetdensity. Since the characteristic energy of the square wellE0 ¼ ð2pÞ
2_2=ð8mW 2Þ decreases with the width morerapidly than the Fermi energy, we have 1, 2, and twosubbands for 500, 750, and 1000 A parabolic well,consequently. The test samples were Hall bars with the
distance between the voltage probes L ¼ 500mm and thewidth of the bar d ¼ 200mm. Four-terminal resistance Rxx
and Hall Rxy measurements were made down to 50mK in amagnetic field up to 15T. The sample was immersed in amixing chamber of a top-loading dilution refrigerator. Themeasurements were performed with an AC current notexceeding 107 A. We measured the magnetoresistance atdifferent angles Y between the field and normal to theparabolic well plane, rotating our sample in situ. Below, wefocus on the results obtained in 500 A parabolic well. Wealso observe the variation of the g-factor with gate voltagein 750 and 1000 A-wide wells, although the results requiremore complicated analysis, because these structures havetwo subbands occupied.Fig. 3 shows the magnetoresistance of a 500 A parabolic
well as a function of magnetic field for different gate
ARTICLE IN PRESS
T=150 mK
ν=9 ν=7 ν=5 ν=3
Vg=5 V
Vg=2 V
Vg=0 V
2
1
00 0.25
1/ν
Rxx
, Rxy
(ar
b.un
its)
Fig. 3. The magnetoresistance of a 500 A parabolic well as a function of
magnetic field for different gate voltages at T ¼ 150mK. Arrows show the
minima in Rxx corresponding to the spin splitting.
Fig. 4. The magnetoresistance of a 500 A parabolic well as a function of
magnetic field at T ¼ 150mK for different tilt angles (from the bottom
trace to the top angle Y varies from 01 to 85.11), V g ¼ 0V. Arrows show
the minima in Rxx corresponding to the critical filling factors, when spin
gap collapses.
C.A. Duarte et al. / Physica E 34 (2006) 329–332 331
voltages. We may see that the spin splitting minima arefully resolved at filling factors n ¼ 3; 5 and 7 at zero gatevoltage, however, becomes partially resolved at n ¼ 5 and7, when external voltage is applied. Note that theamplitude of the SdH oscillations at low field is notchanged with voltage, therefore the collapse of the spinsplitting is not due to the increase of the level broadening.We also observe 10% increase of the electron density atV g ¼ þ5V. Since the minima are shifted to the higher field,naively, it is expected that the spin gap will be more open.Fig. 3 shows the opposite behavior. However, we showbelow that the collapse of the spin occurs mostly due to thedecrease of the exchange energy. It has been shown [3,5]that the spin splitting collapses when the energy separationof spin-up and spin-down levels is less than the LLbroadening, which determined by the single particlerelaxation time ts. Therefore, from measurements of thefilling factor nc at which the spin gap collapse occurs, it ispossible to deduce the total Zeeman energy. It is worthnoting that the spin-splitting maxima of the resistance isconverging from a spacing dn ¼ jn" n#j ¼ 1 at high fieldto dn ¼ 0 at low field in the finite interval of B, and criticalfilling factor nc is not very well defined. In Ref. [3] nc istaken, where dn ¼ 0:5 at T ¼ 0. Since the experimentalresults were done at finite temperature we define nc atcritical field when the depth of the minimum is less than10% of the peak height, since the maxima start to convergerapidly for this value, as dn collapses, and it is difficult tomeasure dno0:5 reliably, as a peak has a rather flat top.
As we already mentioned above, the spin splitting in 2Delectron gas is determined by the bare Zeeman energy andexchange-correlation term:
Dspin ¼ gmBB ¼ g0mBBþ Eex. (2)
The bare Zeeman splitting is found to be 6–10 times smallerthan the exchange-correlation energy. The critical fillingfactor can be obtained from the point where Dspin collapses.
In Ref. [3] it has been predicted that the exchange term isdestroyed by disorder at a critical filling factor, when
gmBB ¼ _=ts ¼ Es. (3)
Note that the bare Zeeman energy will remain at this point,however, it is much smaller than the level broadening,therefore Dspin collapses. It is worth noting that the bareZeeman splitting depends on the total magnetic field,whereas the exchange-correlation energy depends on theperpendicular component of the magnetic field.In the tilted magnetic field we should write [5]
Dspin ¼ gmBB ¼ g0mBBþ a_eB cos Y
m, (4)
since the exchange energy is given by Eex ¼ a_oc, whereoc ¼ eB=mc is the cyclotron energy and parameter a can beextracted from the experiment. From Eq. (3) we estimatea 0:16 which is close to the value of a ¼ 0:2, which wasobtained in Ref. [5]. Rearranging Eq. (3) in terms of thecyclotron energy at the point, when the spin splittingcollapses, we obtain for dimensionless energy
Enc ðyÞ ¼ Es1
_oc
m0
m
¼
g0
2 cos Yþ a
m0
m
. (5)
Now, we proceed to the experimental results in the tiltedfield. Fig. 4 shows the magnetoresistance traces fordifferent tilt angle for V g ¼ 0:0V. Arrows show theresistance maxima with partially resolved spin splitting.Note that the spin split minima are deeper and criticalfilling factor at which spin gap collapses increases at highertilt angle. We attribute such behavior to the additionalparallel component of the magnetic field at higher tiltangle, which results to the opening of the spin gap by theincreasing of the bare Zeeman energy contribution. Fromthe magnetoresistance traces shown in Fig. 4, we obtain thecritical magnetic field at which spin splitting collapses and,
ARTICLE IN PRESS
4
3
|g0|=0.38
Vg=0 V
|g0|=0.27
Vg=2 V |g0|=0.1
Vg=5 V
2
10 5
(Eνc
)
10 15
1/cosΘ
Fig. 5. Variation of the dimensionless energy Enc corresponding to the
critical magnetic field at which spin gap collapses as a function of the tilt
angle for different voltages. Solid lines are drawn from the prediction of
Eq. (5).
C.A. Duarte et al. / Physica E 34 (2006) 329–332332
consequently, the dimensionless energy Enc as a function ofthe tilt angle. Fig. 5 shows Enc versus 1= cos Y for differentgate voltages. From comparison with Eq. (5) we extractthe bare g-factor. We may see that for zero gate voltage
g-factor is in good agreement with bulk value of 0.44. Asexpected, the slope of the line in Fig. 5 decreases with gatevoltages, which corresponds to the decrease of the bare g-factor. Note that we are not able to change the sign of theg-factor in our samples. For this aim the parabolicAlxGax1As wells with x ¼ 0:0620:1 in the center of thewell are more appropriated. Indeed, we attempt to growsuch structures, however, they have much lower mobilitydue to the strong alloy scattering. Further progress in thegrowing of such material is necessary.
Acknowledgments
Support of this work by FAPESP, CNPq (Brazilianagencies) and USP-COFECUB is acknowledged.
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488 Brazilian Journal of Physics, vol. 36, no. 2A, June, 2006
Spin Valve Effect and Hall Resistance in a Wide Parabolic Well
C. A. Duarte, G. M. Gusev, A. A. Quivy, and T. E. LamasInstituto de Fısica da Universidade de Sao Paulo, CP 66318, CEP 05315-970, Sao Paulo, SP, Brazil
Received on 4 April, 2005
We report observation of the Hall slope change in wideAlcGa1−cAs parabolic wells in the presence of aquasi-parallel magnetic field. Above the critical magnetic fieldB> 4T, the Hall resistance becomes temperaturedependent and can be described by equationRxy/cosΘ∼ (B−B0)/ens, wherens is the electron density,B0=2-2.6 T andΘ is the angle between magnetic field and the normal to the well plane. The effect strongly dependson the electron density; it is observed only in parabolic wells, which are almost completely filled by electrons.We attribute the Hall slope change to the unusual behaviour of the effectiveg f actor in such parabolic well,which depends on theAl composition and changes the sign along the well width.
Keywords: Spin valve; Hall resistance;AlcGa1−cAsparabolic wells
I. INTRODUCTION
The Hall effect is very known and widely observed phe-nomenon in solid state physics. It arises from the Lorentzforce that acts on a moving charge. The Hall resistanceRxy isdescribed by the conventional equation
Rxy =−B/ens (1)
and offers a useful measure of the concentrationns of thecharge carriers in the sample. In two-dimensional system inthe strong magnetic field and low temperature the Hall resis-tance exhibits a plateaux, which equals toh/e2 divided by aninteger [1]. Another type of the Hall effect is an anomalous orextraordinary Hall effect discovered in ferromagnets almost50 years ago [2]. It was found that the Hall resistivity in ferro-magnets is larger than in nonmagnetic metals and can be fittedempirically by the formulaRxy = R0B+RSM, where B is ap-plied magnetic field,R0 is the ordinary Hall coefficient, andRS is the anomalous Hall coefficient.
In the present work we report observation of the anomalousHall slope change in wide parabolic wells in quasi-parallelmagnetic field. For tilt angleΘ ≤ 900 and low temperaturewe found that the Hall resistance atB> 4T increases its slopetwice and becomes temperature dependent. The ordinary Halleffect recovers at high(T = 50K) temperature and perpendic-ular magnetic field.
II. EXPERIMENTAL RESULTS AND DISCUSSIONS
The samples were made fromAlcGa1−cAsparabolic quan-tum well grown by molecular beam epitaxy. It includeda 500, 750, 1000, 1500, 1700 and 2200A-wide parabolicAlcGa1−cAs wells with Al content varying between 0 and0.29, bounded by undopedAlcGa1−cAs spacer layers withδ−Si doping on two sides [3]. The mobility of the electrongas in our samples was∼ (100−250)×103cm2/Vsand den-sity - ns = (2− 4)× 1011cm2, therefore our quantum wellswere partially full with 2-5 subbands occupied. Four -terminalresistanceRxx and HallRxy measurements were made down to1.5 K in a magnetic field up to 12 T. We rotate samplein situ,so that magnetic field could be tilted with respect to the sample
(x-y) plane in x or y directions. We denote the angle betweenB and the normal to the sample plane byΘ. The characteristic
bulk density is given by equationn+ = Ω20m∗ε
4πe2 . The effectivethickness of the electronic slab can be obtained from equationWe f f = ns/n+. For partially filled quantum wellWe is smallerthan the geometrical width of the wellW. The mobility ofthe electron gas in our samples was590×103cm2/Vsfor nar-row wells and∼ 200×103cm2/Vs for wider parabolic wells.We varied the electron sheet density by illumination with a redlight-emitting diode. The ratio between the effective thicknessof the electronic slab and geometric widthf = We f f/W wasless than0.3 for W < 1000A parabolic wells. After illumi-nation the effective thickness increases, however, the electrondensity is saturated, and quantum well still remains partiallyoccupied. The energy spectrum of the full PQW is more sim-ilar to the square quantum well than to a harmonic potential.
Application of the strong perpendicular magnetic fieldleads to the Zeeman splitting of the Landau levels, which isproportional to the averageg-factor in parabolic well. The ef-fective g-factor inAlcGa1−cAs structures changes with com-position [4]:g(c) =−g0+g1c, whereg0 = 0.44, andg1 = 2.7.Therefore, g-factor increases monotonically fromg = −0.44(middle of the well) tog = +0.4 at the edge of the well(c = 0.3), and changes the sign atc = 0.13. Fig. 1 showsthe variation of theg-factor in this parabolic well alongzaxis.
In perpendicular magnetic field g-factor should be calcu-lated by averaging local g-factor along z-axis :
< g >=1W
Z W/2
−W/2g(z) |Ψ(z) |2 dz, (2)
whereΨ is the electron wave function. In the presence of thein-plane magnetic field, however, evolution of 2D to 3D en-ergy spectrum is expected, because magnetic length becomessmaller than the sample width. In this case the states in the dif-ferent parts of the well along z axis has the different spin po-larization: the center of the well is almost antialigned spin andthe edge of the well is almost all aligned spins ( see Fig.1a). Itmay lead to the suppression of the electron motion inz direc-tion in crossed electric and magnetic fields, since the motionin z direction now requires the spin flip process, and, conse-quently to increase of the slope of the Hall effect in our case.Such effect is similar to the famous spin valve effect, which
C. A. Duarte, et al. 489
leads to the giant magnetoresistance in multilayers and has al-ready found important applications [5].
FIG. 1. Schematic view of the spin orientation of electrons inparabolic well in the presence of the strong in-plane magnetic field(a) and effective g-factor variation alongz (b).
FIG. 2. The Hall(a) and diagonal (b) resistance of2200A wideparabolic well in quasi-parallel (Θ ≈ 89.40) magnetic fields, T=4.2K. The curves (1) and (2) are measured before and after illumination.Open circles and squares show the equation 1, full circles show theequation 3.
Figure 2 shows longitudinalRxx and Hall Rxy resistancesof 2200A -wide parabolicAlcGa1−cAs well at Θ ≈ 890 as afunction of applied magnetic field before and after illumina-tion. The magnetic field is directed along the current flow.Note that for this tilt angle magnetic field is almost parallel tothe sample plane. We keep small perpendicular component
for Hall effect measurements. Indeed for completely parallelmagnetic field no Hall effect is observed. We may see thatthe magnetoresistance reveals oscillations, sometimes calleddiamagnetic Shubnikov de-Haas (SdH) oscillations, whichresults from the combined effect of the electric and magneticfields. In quantum well with several subbands occupied suchoscillations are interpreted as magnetic depopulation of thetwo-dimensional levels.
-1000 -500 0 500 1000
-1000 -500 0 500 1000
Energ
y (m
eV
)
Carrie
r density (1
0 cm
)1
5 -3
Z (Å)
25
20
15
10
5
0
25
20
15
10
5
0
80
60
40
20
0
15
10
5
0
(a)
(b)
FIG. 3. Calculated total potential and electron density in2200Aparabolic well for two different densitiesns(1011cm−2): 1.3(a), 3(b).
Figure 2 shows thatRxx exhibits 3 oscillations, therefore 3subbands are depopulated in this2200A -wide parabolic well.Before illuminations the Hall resistance is linear and can bedescribed by equation 1. After illumination the behaviour ofRxy is dramatically changed: the Hall resistance demonstrateslinear dependence on the magnetic field at low B, and at higherfield, Rxy deviates from the former linear dependence, and itsslope increases. Such anomalous behaviour at high field isdescribed by equation
Rxy/cosΘ =−A× (B−B0)/ens (3)
where the value ofB0 depends on the sample width. We foundthat the coefficientA strongly depends on the temperature:it gradually increases, when temperature decreases, and be-comes 2 times larger at T= 1.5 K than at low field and hightemperatures. In perpendicular magnetic field we found ordi-nary quantum Hall effect.
We attribute such large Hall slope to the spin valve effect inz direction, which also suppresses the motion iny-direction.Firstly, the Hall effect deviates from the ordinary slope atB > 4T, when magnetic length becomes smaller than the wellwidth, and localg-factor turns to bez-dependent. In lowerfield g-factor should be calculated by averaging localg-factor
490 Brazilian Journal of Physics, vol. 36, no. 2A, June, 2006
alongz-axis, given by equation 2. Secondly, the Hall slopechange is observed in quasi-parallel magnetic field, since thestrong in-plane field makes localg-factor variable alongz-axis. The change in the Hall slope also occurs in the pres-ence of multiple carrier types as the subbands are depopulated,however this change has opposite sign and can not explain ourobservation in quasi-parallel magnetic field. Finally, the Hallslope change is observed only in parabolic well, which is al-most completely filled by electrons. In these samples the ef-fective g-factor changes the sign across the well, which canlead to the spin-valve effect. In partially filled parabolic wellthe sign change of the g-factor along the z-direction does notoccur, and Hall resistance is not affected by spin dependenttransport. Fig. 3 shows charge distribution in parabolic quan-tum well before and after illumination. We see that the effec-tive width of the electronic slab increases after illumination.
We also can vary the electron density by applying the volt-age between the gate on the top of the sample and electronsheet.
Figure 4 shows the dependence of the diagonal and Hallresistance on the magnetic field for different gate voltages.We may see that the electron density decreases with negativegate voltage. Fig.5 demonstrates the behaviour ofRxx andRxy
in quasi-parallel magnetic field for different gate voltages.
The insert shows the ratio between the slope of the Hall re-sistance at low and high magnetic field as a function of theelectron density. We may see that this ratio decreases withelectron density decrease in accordance with our observationof the Hall slope change with illumination. However it isworth noting that the electric field in addition with depletionof the electron system may introduce the asymmetry and theshift of the wave function from the center of the parabolicwell. We expect that the spin-valve effect will be larger forthis experiments in comparison with the symmetric case.
We attribute the electron sheet density dependence or de-pendence of the Hall slope change on the width of the elec-tronic slab to the spin valve effect in parabolic well. The mag-nitude of the Zeeman splitting in GaAs is -0.064 meV at B=2.5T for electrons in the center of the sample. At the edge of thewell g-factor is positive and the Zeeman energy has almost thesame value, but opposite in the sign. Thus the spin flip processrequires the energy 0.12 meV, which is comparable with tem-perature T=1.6 K, and therefore may lead to the significantspin-valve effect. For partially occupied parabolic wells withf = We f f/W < 0.3 g-factor is varied between -0.2 and -0.44,and does not change the sign. Indeed the spin-valve effect isnot expected in this case, in accordance with our observation.
FIG. 4. The longitudinal and Hall resistance of the2200A wideparabolic well as a function of magnetic field atΘ = 00 for differentgate voltagesVg(Volts): 0(thick line),2(dashes),4(dots),6(thinline),8(dashes-dots),10(dots-dots-dashes).
FIG. 5. The longitudinal and Hall resistance of the2200A wideparabolic well as a function of magnetic field atΘ ≈ 89.60 for dif-ferent gate voltagesVg(Volts): 0(thick line),1(dashes),2(dots),4(thinline).Open circles show the equation 1, squares show the equation 3.The insert shows the ratio between the slope of the Hall resistance atlow and high magnetic field
III. CONCLUSION
We demonstrated that the variation of theg-factor along thewell width is responsible for the Hall slope change in wideparabolic well in the presence of the strong in-plane magneticfield. We attribute such large Hall slope to the spin valve ef-fect in z direction. Since in the tilted field the electronic mo-tion in thez-direction andy-direction are strongly coupled, thetransversal component of the conductance is suppressed, andHall resistance grows.
C. A. Duarte, et al. 491
AcknowledgmentsSupport of this work by FAPESP, CNPq (Brazilian agencies)is
acknowledged.
[1] The quantum Hall effect, edited by R. E. Prange, S. M. Girvin,New York, 1990.
[2] C. M. Hurd,The Hall Effect in Metals and Alloys, Plenum Press,New York, 1972.
[3] G. M. Gusev, A. A. Quivy, T. E. Lamas, J. R. Leite, A. K.Bakarov, A. I. Toropov, O. Estibals, J. C. Portal, Phys. Rev. B,
65, 205316 (2002).[4] C. Weisbuch, C. Hermann, Phys. Rev. B,15, 816 (1977).[5] G. A. Prinz, Science282, 1660 (1998); A. Wolf et al., ibid.294,
1488 (2001).
Spin-dependent Hall effect in a parabolic well with a quasi-three-dimensional electron gas
G. M. Gusev, C. A. Duarte, A. A. Quivy, T. E. Lamas, and J. R. Leite*Instituto de Física da Universidade de São Paulo, CP 66318CEP 05315-970, São Paulo, SP, Brazil
A. K. Bakarov and A. I. ToropovInstitute of Semiconductor Physics, Novosibirsk, Russia
sReceived 30 April 2004; revised manuscript received 17 November 2004; published 15 April 2005d
We study the Hall effect in wide AlcGac−1As parabolic wells in the presence of the tilted magnetic field. TheHall resistance is described by equationsRxy/cosQ=−B/ens at B,4 T, andRxy/cosQ=−A3 sB−B0d /ens atB.4 T, wherens is the electron density,B0=2–2.6 T,A is the temperature dependent coefficient, andQ is theangle between the magnetic field and the normal to the well plane. The effectiveg factor in such materialsdepends on the Al composition and changes the sign along the well width. In the presence of the strong tiltedmagnetic field electron moving along thez direction acquires a spin flip process, which is strongly suppressedat low temperatures, and leads to the change of the Hall effect slope.
DOI: 10.1103/PhysRevB.71.165311 PACS numberssd: 73.21.Fg, 72.20.My, 71.45.2d
I. INTRODUCTION
The electron spin is a subject of intense current investiga-tion in the area of spintronics—a new and very promisingdirection of research that may have important practical ap-plications in microelectronics. Manipulation with the elec-tron g factor, in particular its sign, is an effective method tovary the direction of the spin polarization of electrons, whichis the key factor in spintronics.
A promising system providing effective control and ma-nipulation with the electron spin is a remotely dopedGa1−cAl c As parabolic quantum well,1,2 because the spinproperties of such materials depend strongly on the Al com-positionc. Assuming asf001g the growth direction, and tak-ing asz=0 the position of the pure GaAs material, an effec-tive harmonic potential is given byU=mV2z2/2 with V=as2/md1/2 and effective massm, when a composition pro-file cszd=az2 is achieved. The effectiveg factor changes withcomposition:3 gscd=−g0+g1c, whereg0=0.44, andg1=2.7.Therefore, theg factor increases monotonically fromg=−0.44smiddle of the welld to g= +0.4 at the edge of the wellsc=0.3d, and changes sign atc=0.13. Figure 1 shows thevariation of theg factor in this parabolic well along thezaxis. An application of the strong perpendicular magneticfield leads to the Zeeman splitting of the Landau levels,which is proportional to the averageg factor in the parabolicwell. Recently spin precession of two-dimensionals2Dd elec-trons in a 1000 Å parabolic well in a perpendicular magneticfield has been measured from photoluminescence as a func-tion of the gate voltage.4 The electric field displaces the elec-tron wave function along thez axis and leads to the strongvariation of the averageg factor, and consequently, variationof the spin lifetime. This ability to tune the local electrongfactor allows us to fabricate, in principle, the spin valve tran-sistor or other spintronic devices, however, the existence ofsuch a spin-dependent property has not been studied yet intransport coefficients. Only the recently spin-related quantumHall ferromagnets at Landau filling factorn=2 have beenstudied in wides1000–3000 Åd parabolic wells from mag-netotransport measurements.5
In the present work we study the Hall effect in wide para-bolic wells in a quasiparallel magnetic field. For tilt angleQ&90 deg and low temperature we found that the Hall re-sistance atB.4 T increases its slope twice and becomestemperature dependent. The ordinary Hall effect recovers athigh sT=50 Kd temperature and perpendicular magneticfield. We attribute the Hall slope change in our parabolic wellto the unusual spin properties. In strong parallel magneticfield, when the cyclotron diameter becomes smaller than thewell width, the spectrum turns on the spectrum of the three-dimensional s3Dd gas6 in the quantum limit with localg-factor variable alongz. Moreover, the local effectiveg fac-tor in such a structure changes sign along the well width. Theordinary Hall effect arises from the Lorentz force that acts ona moving charge. In the tilted magnetic field, an electron inthe parabolic well moves in they sperpendicular to the cur-rent flowd and z directions. However, the motion in thezdirection requires a spin flip process, which is suppressed in
FIG. 1. The effectiveg factor sad and variation of the bandsbdalong thez direction for a 4000 Å-wide parabolic quantum wellwith compositionc=0 andc=0.29 at the center and the edge of thewell, respectively.
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1098-0121/2005/71s16d/165311s8d/$23.00 ©2005 The American Physical Society165311-1
the case of the small spin-orbit interaction. Since in the tiltedfield the electronic motion in thez direction andy directionare strongly coupled, the transversal component of the con-ductance is suppressed, and Hall resistance grows.
II. EXPERIMENTAL RESULTS
The samples were made from a Ga1−cAl cAs parabolicquantum well grown by molecular-beam epitaxy. It includeda 500, 750, 1000, 1500, 1700, 2200 and 4000 Å-wide para-bolic Ga1−cAl cAs well with the Al content varying between 0and 0.29, bounded by undoped Ga1−cAl cAs spacer layerswith d-Si doping on two sides.6 The characteristic bulk den-sity is given by equationn+=V0
2m*« /4pe2. The effectivethickness of the electronic slab can be obtained from theequationWeff=ns/n+. For a partially filled quantum well,Weis smaller than the geometrical width of the wellW. Themobility of the electron gas in our samples was 5903103 cm2/V s for narrow wells and,2003103 cm2/V sfor wider parabolic wells. We varied the electron sheet den-sity by illumination with a red light-emitting diode. The sum-mary of the sample parameters are shown in Table I. We seethat before illumination our quantum wells were partially fullwith 2–5 subbands occupied. The ratio between the effectivethickness of the electronic slab and geometric widthf=Weff/W was less than 0.3 forW,1000 Å parabolic wells.After illumination the effective thickness increases, however,the electron density is saturated, and the quantum well stillremains partially occupiedssee Table Id. We are able to ob-tain the ratiof =1 only for a 4000 Å wide sample. The en-ergy spectrum of the full PQW is more similar to the squarequantum well than to a harmonic potential.
The test samples were Hall bars with the distance betweenthe voltage probesL=200mm and the width of the bard=100mm. Four-terminal resistanceRxx and Hall Rxy mea-surements were made down to 1.5 K in a magnetic field upto 12 T. The current was directed along the Hall barsx axisd.We rotate samplein situ, so that the magnetic field could betilted with respect to the samplesx−yd plane inx or y direc-tions. We denote the angle betweenB and the normal to thesample plane byQ.
Figure 2 shows longitudinalRxx and HallRxy resistancesof 4000 Å-wide parabolic Ga1−cAl cAs well at Q<89 deg asa function of the applied magnetic field for different tem-peratures. The sample was illuminated in order to approachwider width of the electronic slab. The magnetic field is di-rected along the current flow. We may see that the magne-toresistance reveals oscillations, sometimes called diamag-netic Shubnikov de-HaassSdHd oscillations, which resultfrom the combined effect of the electric and magnetic fields.In a quantum well with several subbands occupied, such os-cillations are interpreted as the magnetic depopulation of thetwo-dimensional levels. Figure 2 shows thatRxx exhibits 5oscillations, therefore 5 subbands are depopulated in this4000 Å-wide parabolic well. When the temperature in-creases, the oscillations are smeared out, and only the mini-mum corresponding to the depopulation of the last Landaulevel is seen. The Hall resistance demonstrates linear depen-dence on the magnetic field at lowB, and at a higher field,Rxy deviates from the former linear dependence, and its slope
TABLE I. The sample parameters.
SampleSpacer
sÅdW
sÅdn+
s1016 cm−3d
ns
sdarkds1011 cm−2d
Weff
sÅd
msdarkd
scm2/V sd
ns
safter illuminationds1011 cm−2d
Weff
sÅd
msafter illuminationd
scm2/V sd
2537 250 500 47.6 4.4 92.4 590 000 6.4 133 440 000
2536 250 750 21 4.4 210 322 000 6.0 290 302 000
2577 200 1000 11.9 4.2 353 90 000 5.9 495 210 000
2579 300 1000 11.9 4 340 131 000 6.0 510 185 000
2580 400 1000 11.9 3.4 285 232 000 4.8 403 342 000
2496 200 1500 5.3 3.5 650 150 000 5.5 1040 220 000
2535 200 1700 4.1 3.2 784 220 000 5.0 1225 200 000
2534 150 2200 2.7 3.1 1150 186 000 5.0 1850 180 000
AG662 100 4000 0.88 1.5 1700 120 000 3.5 4000 240 000
FIG. 2. Diagonal and Hall resistances of the 4000 Å wide para-bolic well as a function of the magnetic field at tilt angleQ<89.1 deg for different temperatures: 1.5 K, 4.2 K, 10 K, 15 K,20 K, 30 K, 50 K. Top—geometry of the experiment.
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increases. Such anomalous behavior is observed only at alow temperature, atT=30–50 K,Rxy is recovered and dem-onstrates ordinary behavior. Figure 3 shows the magnetore-sistance and Hall effect for a 1500 Å-wide parabolic well fortwo different temperatures and orientations of the current andmagnetic field. In this samples we have 4 subbands occupied,as we may see from Shubnikov de Haas oscillations at a lowmagnetic field. Figure 3 shows also that the amplitude of themagneto-oscillations for geometry, when the magnetic fieldwas directed parallel to the current flowscurves 2d, is smallerthan for the magnetic field directed perpendicular to the cur-rent scurves 1d, in accordance with theory for 3D SdHoscillations.7 Hall resistance in this sample at high magneticfield B.4 T also deviates from a low-field slope and be-comes temperature dependent. It is worth noting that thisanomalous behavior does not depend on the orientation ofthe magnetic field and current flow. Indeed, we check it for1500 and 4000 Å-wide parabolic wells and found similarbehavior. Figure 4sad shows the Hall resistance for4000 Å-wide parabolic well in details. At relatively highsT=30–50 Kd temperatures in a quasiparallel magnetic fieldwe observed a linear Hall effectscurves 1d, described by aconventional equation,
Rxy/cosQ = − B/ens, s1d
wheree is the electron charge. At lowsT=1.5 Kd tempera-ture we found that for a magnetic fieldB below 4.2 T Hallresistance is not changed, however, forB.4.2 T it demon-strates unusual behaviorfcurve 2 in Fig. 4sadg, which may bedescribed by the equation
Rxy/cosQ = − A 3 sB − B0d/ens, s2d
whereB0=2 T, andA is the temperature-dependent coeffi-cient. The Hall slopeRH=DRxy/DB gradually increases,when the temperature decreases, and becomes 2 times largerat T=1.5 K than at a low field and high temperaturesfFig.4sbdg.
Figure 5 shows experimental traces of the diagonal andHall resistances for samples with different widthW. Allsamples were illuminated. It is worth noting that the bulkFermi energy in our system decreases with the width asEF="2s3p2n+d2/3/ s2mW4/3d and does not depend on the elec-tron sheet density. Since the characteristic energy of thesquare wellE0=s2pd2"2/ s8mW2d decreases with the width
FIG. 3. The longitudinal and Hall resistance of the 1500 Å wideparabolic well as a function of the magnetic field atQ<89.6 degfor different temperatures. Curves 1ssolid for T=1.5 K, dashed forT=30 Kd show magnetoresistance, when the magnetic field is di-rected parallel to the current flow. Curves 2ssolid for T=1.5 K,dashed forT=30 Kd show magnetoresistance, when the magneticfield is directed perpendicular to the current flow. Hall resistance isshown forT=1.5 K ssolidd and T=30 K sdashesd. Top—geometryof the experiment.
FIG. 4. The Hall resistance of a 4000 Å-wide parabolic well atQ<89.1 deg as a function of the magnetic field atT=50 K s1d andT=1.5 K s2d. Dashes show Eq.s2d. sbd The ratio between the slopeof the Hall resistance at a low and high magnetic field as a functionof temperature for two samples.
FIG. 5. The longitudinal and Hall resistance as a function of themagnetic field for various parabolic wells:sad 500 Å sns=6.431011 cm−2,Q<89.7 degd; sbd 1000 Å sns=6.031011 cm−2,Q<89 degd; scd 1700 Å sns=5.031011 cm−2,Q<89.4 degd; sdd2200 Å sns=5.031011 cm−2,Q<88.6 degd, T=1.6 K. Dashesshow Eq.s1d.
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more rapidly than the Fermi energy, we have 2, 2, 3 and 4subbands for 500, 1000, 1700 and 2200 Å parabolic well,consequently. Magnetoresistance oscillations in Fig. 5 are re-sulting from the depopulation of theses subbands in a quasi-parallel magnetic field. We may see that the Hall slopechangeDRH is observed only in wide parabolic wells withwidth W.1500 Å. Note that in the PQW with a widthsmaller than 1000 Å electrons occupy only central part of thewell and the ratiof =Weff/W is less than 0.3 even after illu-mination.
As we already mentioned previously, the width of theelectronic slab increases after illumination. This particularproperty of the parabolic well makes it suitable for the prac-tical realization of the electronic devices based on the ma-nipulation of the averageg factor. We checked the depen-dence of the Hall slopeRH in the perpendicular andquasiparallel magnetic field on the electron density. Figures 6and 7 show such Hall slopes for two samples with differentwidth W before and after strong illumination. We may seethat the Hall effect is linear before illumination for bothsamples and field configurations. After illumination the be-havior of the Hall resistance in a quasiparallel field is dra-matically changed: the low field slope decreases in accor-dance with Eq.s1d, which corresponds to an increase of theelectron sheet density, however, atB.4.2 T the Hall slope ischanged and described by Eq.s2d. In a perpendicular mag-netic field we observed the conventional behavior of the Hallresistance for a 4000 Å width well. For a 2200 Å width para-bolic well the Hall slope decreases at a high field. We willdiscuss the Hall slope change in the perpendicular field in thenext section. Here we only emphasize the difference in theHall slope behavior in quasiparallel and perpendicular mag-netic fields. Such an observation justifies that increase ofRH,which is shown in Figs. 2–4, is due to the presence of thestrong in-plane magnetic field.
Figure 8 shows the Hall effect for a 1500 Å width para-bolic well after illumination for different tilt angles. We maysee that the Hall slope change is observed only in a quasi-
parallel magnetic field. Indeed we checked that the angle isnot changed during the magnetic field sweep, since even asmall angle variationsu,0.1 degd may lead to a 1.6 timeschange in the Hall slope. For this aim we measure the Hallresistance in the narrow square GaAs quantum well and het-erostructuras Ga1−cAl cAs/GaAs during the same sweep ofthe magnetic field and find the conventional linear behavior.We also measure PQW in an almost parallel magnetic field,when Hall resistance approaches,10 Ohms, which corre-sponds to the tilt angle,89.97 deg. For this tilt angle thesame angle variationu,0.1 deg leads to 4.3 times change inthe Hall slope. We do not find this largeRH variation, and thebehavior of the Hall slopes is similar to behavior atQ<89.7 deg, however, Hall traces are much more noisy andless reliable. We also believe that density and width depen-
FIG. 6. The Hall resistance of a 2200 Å-wide parabolic well inquasiparallelsQ<89.4 degd sad and perpendicularsbd magneticfields, T=4.2 K. The curvess1d and s2d are measured before andafter illuminationssee Table Id. Open circles and squares show Eq.s1d; full circles show Eq.s2d.
FIG. 7. The Hall resistance of a 4000 Å-wide parabolic well inquasiparallelsQ<89.4 degd sad and perpendicularsbd magneticfields, T=4.2 K. The curvess1d and s2d are measured before andafter illuminationssee Table Id. Open circles and squares show Eq.s1d, triangles show Eq.s2d.
FIG. 8. Normalized Hall resistance atQ<89.6 degs1d and atQ=0 ssolid curve 2d as a function of the magnetic field,T=1.5 K.Dashes are the normalized Hall resistance atQ<89.6 deg as afunction of the magnetic field atT=50 K. Dots show Eq.s2d. sbdThe ratio between the slope of the Hall resistance at the low andhigh magnetic field as a function of tilt angleQ.
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dence measurements, which are shown in Figs. 5–7 justifythat the angle is not changed during the magnetic fieldsweep.
III. THE HALL EFFECT IN A QUASI-TWO-DIMENSIONALSYSTEM WITH SEVERAL SUBBANDS
It is well known that the presence of multiple carrier typessi.e., in the different subbandsd with different mobilitiescauses changes in the Hall coefficient. In the case of the twosubbands populated, the Hall resistance is given by theformula8
Rxy = −km2l + srm1m2Bd2
kml2 + srm1m2Bd2
B
ens, s3d
wheremi =eti /em* si =1,2d is the subband mobility,ti is thetransport scattering time,r is a factor depending on the in-tersubband scattering, which is 1, for two independent con-duction channels. The average mobility is defined as
kml =n1m1 + n2m2
n1 + n2, s4d
whereni is the subband densitysi =1,2d, with a similar defi-nition of km2l. It is worth determining the limiting values forthe Hall slopeRH:
RHs0d = −km2lkml2
1
enss5d
and
RHs`d = −1
ens. s6d
Since km2l. kml2, the Hall slope in the low field is largerthan the Hall slope in a strong magnetic field. It is valid forany value of factorr, however, forr ,1 the crossover fromlow to high field behavior may occur at a higher magneticfield than forr =1. In the quantum wells with three subbandoccupancy the situation is more complicated. We obtainedthe following equation for Hall resistance:
Rxy = −c1 + c2B
2 + c3B4
c4 + c5B2 + c3B
4
B
ens, s7d
whereci are parameters depending on the mobility and den-sity of electrons in the each subband. Indeed we find that theHall slope in low fieldRHs0d is larger than the Hall slope instrong magnetic fieldRHs`d=−1/ens as in the case of thetwo subband occupancy. We may conclude here that it isvalid for all quantum wells with multiple subband occu-pancy.
Let us focus on the experimental data. Figures 6sbd and7sbd show the Hall resistance in a low perpendicular mag-netic field for different electron densities and geometricalwidth. We find that after illumination of a 2200 Å-wide para-bolic well the third subband in this sample becomes popu-lated. Before illumination this parabolic well has only twooccupied subbands, and we may see in Fig. 6sbd that RHs0d
=RHs`d. When the third subband starts to become occupied,the Hall slope in a low field is changed and we obtainRHs0d.RHs`d in accordance with Eq.s6d. In principle wecan fit the data in Fig. 6sbd, magnetoresistance data and zerofield conductivity, and deduce transport mobilities for eachsubbands. The electron sheet density for each subband isextracted from an analysis of the Shubnikov de Haas oscil-lations frequency. The detailed analysis of the magnetotrans-port results in quantum well with three subband occupancywill be done in a forthcoming publication. It should be em-phasized here that the behavior of the Hall resistance in aquasiparallel magnetic field is completely different fromRxysBd in a perpendicular magnetic field. It is clear that theHall slope in a perpendicular fieldRHs0d'.RHs`d', on theother hand, in the quasiparallel magnetic fieldRHs0di
,RHs`di. Naively, the opposedB dependence of the Hallslope was expected. First, the in-plane field leads to the de-population of the subbands, therefore at the field correspond-ing to the onset of the depopulation of the last subbandsBc.2.5 T for a 2200 Å wide welld conventional Hall slopeRHs`di=−1/ens should be observed. Second, as in the per-pendicular field case, the crossover from low to high fieldbehavior leads to the change of the Hall slope fromRHs0d toRHs`d=−1/ens. However, this crossover depends on the per-pendicular component of magnetic fieldB', and in accor-dance with Fig. 6sbd occurs atB'=0.2 T. This value corre-sponds toB0=20 T for tilt angle Q<89.4 deg, which ismuch larger than the crossover magnetic fieldB0=2 T ob-tained in the experimentfFig. 6sadg. Therefore we may con-clude here that the changes in the Hall slope due to multiplesubband occupancy and subband depopulation cannot pro-vide a conventional explanation for our observation in qua-siparallel magnetic field.
Note that in Fig. 6sad RHs0di=RHs`d'=−1/ens. We ex-pect that for a quantum well with multiple subband occu-pancy in the low fieldRHs0di=RHs0d', which disagrees withour observations. It may be explained by the fast depopula-tion of the third subband, which already occurs in a low field,and in the interval 0.2 T,B,2.5 T only two subbandssoroned are occupied. Since for two subband occupancy we findRHs0d=RHs`d fsee Fig. 6sbd, curve 1g, therefore the low fieldHall slope in a quasiparallel magnetic field is determined bythe conventional formulaRHs0di=−1/ens.
Figure 7 shows the Hall resistance for a 4000 Å widewell, which has 4 subband occupancy before illuminationand 7–8 occupancy after illumination. We may see that in aperpendicular field the Hall slope is not changed with themagnetic field increase. It seems reasonable, because in thethree-dimensional limit we expect the conventional value ofthe Hall slopeRH=−1/ens for all intervals of the magneticfield. In a quasiparallel magnetic field we findRHs0di
,RHs`di and RHs0di=RHs0d'=−1/ens. Again, as for a2200 Å-wide parabolic well, we cannot explain this effect bymultiple subband occupancy and subband depopulation in aquasiparallel magnetic field.
IV. SPIN-DEPENDENT TRANSPORT IN A WIDEPARABOLIC WELL
We attribute the Hall slope change to the unusual spinproperties of our system. This effect is different from the
SPIN-DEPENDENT HALL EFFECT IN A PARABOLIC… PHYSICAL REVIEW B 71, 165311s2005d
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extraordinary Hall effect discovered in ferromagnets almost50 years ago.9 It was found that the Hall resistivity in ferro-magnets is larger than in nonmagnetic metals and can befitted empirically by the formulaRxy=R0B+RSM, whereB isapplied magnetic field,R0 is the ordinary Hall coefficient,andRS is the anomalous Hall coefficient. The magnitude ofthe anomalous Hall coefficient depends on the various pa-rameters of the material and its structure. For example, themagnitude ofRS is extremely large in amorphous ferromag-netics, it can be larger thanR0 by a factor of a 100 to a 1000,and may have the opposite sign. The asymmetric scatteringof electrons by magnetic atoms may lead to the anomalousHall voltage in ferromagnetic samples.
It is now accepted that two main mechanisms are respon-sible for such an effect: the skew-scattering proposed in thework of Ref. 9, and the side jump proposed in Ref. 10. Weshould mention that in these models the carriers are assumedto be magnetic and the scattering centers nonmagnetic. In-deed the result should be the same, when the situation isreversed. For a skew-scattering model the plane wave is scat-tered by impurity in the presence of the spin-orbit coupling.In such a situation the amplitude of the wave packet becomesanisotropic and depends on the spin. The average trajectoryof an electron is deflected by a spin-dependent angle, whichis typically of order 10−2 rad. For the side jump mechanismthe center of the wave packet is shifted during the scattering,and this shift is also spin dependent. The typical lateral dis-placement during this process is 10−13 cm. It is worth notingthat the deflection of the electron trajectory is very small,however, we can explain the large magnitude ofRS in anamorphous ferromagnet by a large number of scatterers,since practically every atom scatters the electron. Until re-cently, the anomalous Hall effect has been intensively stud-ied only in magnetic structures.11 In nonmagnetic semicon-ductors the anomalous Hall effect is very small, and can beseparated from the ordinary Hall effect by magnetic reso-nance of the conduction electrons.12 In InSb the Hall anglewas found to be 3310−4 rad, which is 4 orders of magnitudesmaller than the angle for the normal Hall effect.
In our parabolic well the Hall slope change is completelydifferent from the anomalous Hall effect. First, it has thesame magnitude as an ordinary Hall effect. Second, in para-bolic wells the dependence of the Hall resistance on a mag-netic field is different from the Hall effect in ferromagnets:the slope of the Hall resistance at a higher field is larger thanthe slope at lowB and depends on the temperature. In ferro-magnets the slope at a higher field is determined by the or-dinary Hall coefficient and usually it is smaller than ananomalous slope at lowB.
We cannot ascribe the Hall effect in a parabolic well bythe mechanism of the spin-dependent scattering describedabove, however, we suggest another explanation. As we al-ready mentioned above, the effectiveg factor in such a struc-ture changes the sign along the well widthfsee Fig. 1sadg. Ina strong quasiparallel magnetic field the magnetic length be-comes smaller than the sample width. In this case the statesin the different parts of the well along thez axis has differentspin polarization: the center of the well is almost antialignedspin and the edge of the well is almost all aligned spins. Itmay lead to the suppression of the electron motion in thez
direction in crossed electric and magnetic fields, since themotion in thez direction now requires the spin flip process.Such an effect is similar to the famous spin valve effect,which leads to the giant magnetoresistance in multilayersand has already found important applications. It should beemphasized here that the electron sheet density dependenceor dependence of the effect on the width of the electronicslab just confirms our explanation. The magnitude of theZeeman splitting in GaAs is −0.064 meV atB=2.5 T forelectrons in the center of the sample. At the edge of the welltheg factor is positive and the Zeeman energy has almost thesame value, but is opposite in sign. Thus the spin flip processrequires energy of 0.12 meV, which is comparable with tem-peratureT=1.6 K, and therefore may lead to a significantspin-valve effect. For partially occupied parabolic wells withf =Weff/W,0.3 sW=500 Å, 750 Å, 1000 Å and all samplesbefore illuminationd the g factor is varied between −0.2 and−0.44, and does not change the sign. Indeed the spin-valveeffect is not expected in this case, in accordance with ourobservation.
We now turn to the more qualitative description of theHall effect in our structures. The problem of quasi-two-dimensional electrons in a tilted magnetic field has beensolved for a parabolic well by Meriln in his paper.13 It isworth noting that spin splitting in the magnetic field wasneglected.
The conductivity of electrons in a parabolic well in thepresence of the tilted magnetic field is given by matrix
s = 1 sxx sxy sxz
− sxy syy syz
sxz − syz szz2 . s8d
We consider the case when the magnetic field is tilted inthe x direction. Before the calculation of the conductivitiessi j we need to perform the following transformation ofx andz coordinates:x=X cosa−Z sina, z=X sina+Z cosa. Theangle of rotationa is different from the tilt angleQ betweenthe field and normal to the parabolic well planez and isgiven by the formula
tans2ad = s"Vds"vcdsinQ/fs"Vd2 − s"vcd2g. s9d
In this new XyZ frame the energy of the electrons in aparabolic quantum well in a tilted magnetic field can be ex-pressed analytically:13
E = "v1sna + 1/2d + "v2snb + 1/2d, s10d
where
v1 = sVZ2 + V2 cos2 ad1/2,
v2 = sVX2 + V2 cos2 ad1/2,
VZ = vZ cosa − vX sina,
VX = vX cosa + vZ sina,
vc=eB/mc, vZ=vc cosQ, vX=vc sinQ, andna andnb areintegers. Therefore we know the energy spectrum and elec-tron wave functions in a parabolic well. With this knowledge
GUSEV et al. PHYSICAL REVIEW B 71, 165311s2005d
165311-6
it is possible to calculate transport coefficients employing theself-consistent Born approximation in anXyZ frame.14 Theconductivity tensor in this frame is given by the matrix
s = 1 sXX8 sXy8 0
− sXy8 syy8 syZ8
0 − syZ8 sZZ82 . s11d
All conductivity components can be obtained analytically atzero temperature:14
sXX8 =nse
m
g
v12 + g2 , s12d
sZZ8 =nse
m
g
v22 + g2 , s13d
syy8 =nseVZ
2
mv11
g
v12 + g2 +
nseVX2
mv22
g
v12 + g2 , s14d
sXy8 =nseVZ
mv12 +
VZ
v1E
−`
` df
dE
gsEdvc
sXX8 dE, s15d
syZ8 =nseVX
mv22 +
VX
v2E
−`
` df
dE
gsEdvc
sZZ8 dE, s16d
where g<spG2/2v1dds" /mv2d1/2, G is level broadening,and d is the range of the electron-impurity interaction. Thecomponents of the conductivity tensor of matrixs3d can beobtained when we return back to thexyz frame,
sxx = sXX8 cos2 a + sZZ8 sin2 a,
sxy = sXy8 cosa + syZ8 sina,
sxz= ssXy8 − syZ8 dcosa sina,
syz= syZ8 cosa − sXy8 sina,
szz= sZZ8 cos2 a + sXX8 sin2 a,
syy = syy8 .
Finally, the Hall longitudinal and transverse resistivity com-ponents are obtained by inverting the conductivity tensor.For Hall resistivity we have
rxy = −sxyszz+ sxzsyz
sxxsyyszz+ sxxsyz2 − syysxz
2 + szzsxy2 + 2sxysxzsyz
.
s17d
In Fig. 6 we plot the dependence of the Hall resistivity on themagnetic field for"V=2.85 meV,Q<89 deg,G=0.8 meVand ns=3.231011 cm−2. Indeed we find that the Hall resis-tivity depends on the electron density and tilt angle, and isnot sensitive to the confining potential. It is worth noting thatthe parameterG is deduced from the zero field conductivity
measurements. The range of the electron-impurity interactionis not well known in our structure, we take it to be0.1–0.2mm. Now we consider the electron motion in thezdirection. As we already mentioned above, this motion isstrongly suppressed, because it requires a spin flip processdue to variation of theg factor along thez axis. We cannotcalculate the spin flip process in our structure. Moreover, theelectronic motion in thex direction is strongly coupled withthat in thez direction. However, in the new coordinate sys-tem XyZ, the electronic motion in theX andZ directions isdecoupled. In principle, in this case we may separate thescattering time for both directions, although spin flip pro-cesses indeed are included into the scattering time for bothconductivity componentssXX8 and sZZ8 . We may introducephenomenological parameterDGS, which is responsible forthe spin-valve effect in thez direction. We denotedDGS=GZZ−GXX, whereGZZ, GXX are levels broadening forX andZ directions, added it to theg in Eq. s8d, and calculated theHall conductivities for various value ofDGS. Figure 9 plotsrxy as a function of the magnetic field. As we expected, ad-ditional asymmetricsfor X andZ directionsd scattering leadsto the increase in the slope of the Hall resistance. It is worthnoting that atB,4 T the Hall resistance is not linear and islower than Hall resistance for theDGS=0 case. This can beexplained by simplifications that are done in our model. Spinflip scattering is strongly depends on the magnetic field, itturns on only after hybrid level depopulation, when a localgfactor becomesz dependent. Since we are interested here inthe high field slope of the Hall resistance, the curves plottedin Fig. 6 are calculated forB-independentDGS. We may seethat the magnitude ofDGS decreases with a temperature in-crease, since at high temperature the fast spin-flip processesdestroys the spin valve effect and electrons move in thezdirection with the same probability as in thex and y direc-
FIG. 9. The Hall resistance calculated from Eq.s12d for differ-ent parametersDGS smeVd: 0.0, 0.01, 0.03, 0.05, 0.1, 0.2, 0.3.Circles—experimental curve for a 4000 Å-wide parabolic well atQ<89 deg andT=1.5 K.
SPIN-DEPENDENT HALL EFFECT IN A PARABOLIC… PHYSICAL REVIEW B 71, 165311s2005d
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tions. In spite of the indirect character of obtained informa-tion, the behavior of the parameterDGS may be interesting,because the amount of interest to the spin relaxation in alow-dimensional system is only poorly supported by the ex-periments, especially from transport measurements. Indeed afurther theoretical investigation of the transport in a para-bolic well with a locally variedg factor is required for adetailed comparison with experiments.
V. CONCLUSION
We demonstrated that the variation of theg factor alongthe well width is responsible for the Hall slope change in awide parabolic well in the presence of the strong in-planemagnetic field. We attribute such a large Hall slope to thespin valve effect in thez direction, which also suppresses themotion in they direction. It may be justified by the severalexperimental observations. First, the Hall effect deviatesfrom the ordinary slope atB.4 T, when the magnetic lengthbecomes smaller than the well width, and the localg factorturns to be thez dependent. In a lower field theg factorshould be calculated by averaging the localg factor along thez axis: kgl=s1/Wde−W/2
W/2 gszduCszdu2 dz, whereC is the elec-tron wave function; therefore the motion in thez direction is
not spin dependent. Second, the Hall slope change is ob-served in a quasiparallel magnetic field, since the strong in-plane field makes the localg factor variable along thez axis.The change in the Hall slope also occurs in the presence ofmultiple carrier types as the subbands are depopulated, how-ever, this change has an opposite sign and cannot explain ourobservation in the quasiparallel magnetic field. Finally, theHall slope change is observed only in the parabolic well,which is almost completely filled by electrons. In thesesamples the effectiveg factor changes the sign across thewell, which can lead to the spin-valve effect. In a partiallyfilled parabolic well the sign change of theg factor along thez direction does not occur, and Hall resistance is not affectedby spin-dependent transport. In order to quantitatively inter-pret the data we use a model that contains all the conductiv-ity components of a parabolic well in a tilted field. A spin-valve effects lead to the anisotropy of these components,which can be a controlled by a phenomenological parameter.
ACKNOWLEDGMENTS
The authors thank O. G. Balev for useful discussions.Support of this work by FAPESP, CNPqsBrazilian agenciesdis acknowledged.
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D. D. Awschalom, NaturesLondond 414, 619 s2001d.5G. M. Gusev, A. A. Quivy, T. E. Lamas, J. R. Leite, O. Estibals,
and J. C. Portal, Phys. Rev. B67, 155313s2003d.6G. M. Gusev, A. A. Quivy, T. E. Lamas, J. R. Leite, A. K.
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APPLIED PHYSICS LETTERS VOLUME 85, NUMBER 17 25 OCTOBER 2004
Room temperature ferromagnetism in cubic GaN epilayers implantedwith Mn + ions
V. A. Chitta,a) J. A. H. Coaquira, J. R. L. Fernandez, C. A. Duarte, and J. R. LeiteInstituto de Física da Universidade de São Paulo, Caixa Postal 66318, 05315-970 São Paulo, SP, Brazil
D. Schikora, D. J. As, and K. LischkaUniversität Paderborn, FB6 Physic, D-33095 Paderborn, Germany
E. AbramofInstituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE-LAS), Caixa Postal 515,12901-970 São José dos Campos, SP, Brazil
(Received 8 June 2004; accepted 6 September 2004)
Mn ions were implanted inp-type cubic GaN at doses from 0.6 to 2.431016 cm−2 at 200 keVenergy. A 200-nm-thick epitaxial layer, grown by molecular beam epitaxy on GaAs(001) substrate,is used for the Mn implantation. The Mn implanted samples were subjected to an annealing at950 °C for 1–5 min. The structural quality of the samples was investigated by high resolution x-raydiffraction and Raman spectroscopy. The annealing procedure leads to a significant increasing of thecrystalline quality of the samples. Hysteresis loops were observed for all cubic GaMnN annealedsamples and ferromagnetism was detected up to room temperature. ©2004 American Institute ofPhysics. [DOI: 10.1063/1.1812590]
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Group-III nitrides semiconductors have attracted minterest due to their usefulness in short-wavelength optotronics and high voltage, high-temperature, and hfrequency electronic devices.1–4 Especially, cubic (zincblende) GaN has received much attention since the sucful fabrication of light-emitting diodes based on structubuilt up using this material.5–10 On the other hand, since tdiscovery of carrier induced ferromagnetism in InMnAsGaMnAs, the interest in diluted magnetic semiconduc(DMS) has renewed. However, due to the low Curie tperature,TC, presented by these compounds, new DMSterials should be developed to be used in practical apptions. Theoretically, Dietlet al.11 using the Zener model,which the ferromagnetic interaction between the localmoments is considered to be mediated by holes, calcuthe Curie temperature for different III–V and II–VI semicoductors containing 5% of Mn and a hole concentration3.531020 cm−3. In particular, they predicted aTC aboveroom temperature for GaMnN. Several experimental reon the magnetic properties of hexagonal.(wurtzite) GaN-based DMS can be found in the literature.12–19Neverthelessthe results are not conclusive, since a paramagnetic asas a ferromagnetic behavior has been observed, with avariation ofTC. The very few experimental studies of cuGaN-based DMS are restricted so far to the investigatiostructural and electrical properties of GaMnN layers.20,21Re-cently,p-type conductivity in cubic GaMnN layers grownmolecular beam epitaxy on GaAs(001) substracts waobserved.21 Also recently, in a theoretical work, ferromanetism in the metallic phase of cubic GaMnN layersstudied by Monte Carlo simulations and Curie transitemperatures high above room temperature were predic22
In this letter we report on the investigation of the mnetic properties of cubic GaN implanted with Mn ions.contrast with the stable hexagonal phase, the cubic sa
a)
Electronic mail: [email protected]0003-6951/2004/85(17)/3777/3/$22.00 3777Downloaded 11 Apr 2005 to 143.107.131.44. Redistribution subject to AIP
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are free of spontaneous polarization and strain-induceezoelectric field, which can provide much longer spin reation times. Moreover, for cubic GaN we expect a Ctemperature 6% higher than for the wurtzite structure.11 Thecubic GaN sample was grown by plasma-assisted molebeam epitaxy, using a Riber-32 system, equipped witemental sources of Ga and As, and an Oxford Appliedsearch CARS 25 rf-activated plasma source. The 200thick layer was grown on a GaAs(001) substrate attemperature of 720 °C. Details of the growth procedure wreported in Ref. 23. Four pieces of the same sampleimplanted with four different doses of Mn ions as showTable I. The energy and temperature of implantation wkept constant at 200 keV and 350 °C, respectively. Theplanted layer is estimated to be centered at approxim110 nm from the surface and the implanted doses to cspond roughly to Mn concentrations varying from 1% toAfter implantation the samples were annealed up to 5 m950 °C under flowing nitrogen.
The structural quality of the samples was inspectehigh resolution x-ray diffraction and Raman spectroscThe x-ray spectra show that after implantation and annethe samples conserved their cubic structure with no apance of hexagonal inclusions. This was also confirmed bRaman measurements as can be seen in Fig. 1 whespectra, obtained at 10 K, for the samples before impltion (460—thin solid line), 460B just after implantation(dot-
TABLE I. Implantation dosessdd, annealing time at 950 °Cstd, and estimated Mn concentrationsxd.
Sample d scm−2d t (min) x (%)
460 ¯ ¯ 0460A 6.031015 1 0.7460B 1.231016 1 1.4460C 1.831016 1 2.1460D 2.431016 5 2.8
© 2004 American Institute of Physics license or copyright, see http://apl.aip.org/apl/copyright.jsp
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ted line), and 460B after 1 min of annealing(thick solid line)are depicted. The Raman spectrum of the sample beforplantation shows the characteristic transverse-optical(TO)and longitudinal-optical(LO) phonon frequencies of cubGaN at 555 and 741 cm−1, respectively.24 As can be observed, just after implantation, the sample shows a ccharacteristic of an almost amorphous material, with alcharacteristic peaks being smeared out, including the prelated to GaAs, indicating that the substrate has alsodisturbed by the implantation. After 1 min of annealingcrystalline quality has been partially recovered and, incring the annealing time, this improves. In all the spectratraces of hexagonal phase can be observed.
The electrical characteristics of the samples were msured at room temperature. The nonimplanted sample(460 inTable I) displays an intrinsic hole concentration of31017 cm−3. A slight improvement in the hole concentratis observed after implantation and annealing. This coulattributed to the introduction of the Mn ions, but, as itbeen reported,25,26 the energy level induced by Mn in GaNlocated deep in the gap, and thus would be an ineffeacceptor dopant. On the other hand, since stoichiometrfects, crystal defects, unintentional impurities, and contion through the substrate may control the final conductithe annealing rather than the introduction of Mn couldresponsible for this improvement.
Magnetization measurements of the Mn implanted cGaN, performed with a superconducting quantum inteence device, showed them to be ferromagnetic below rtemperature. In Fig. 2, we show the magnetic momentfunction magnetic field, measured at 10 K, for the annesamples 460B, 460C, and 460D. We observe hysteresisfor all of our implanted samples and, as the implanta
FIG. 2. Magnetic moment as a function of magnetic field at 10 K
FIG. 1. Raman spectra of sample 460(thin solid line) and 460B just afteimplantation(dotted line) and after annealing of 1 min at 950 °C(thick solidline). The vertical-dotted lines denote the transverse-optical(TO) andlongitudinal-optical(LO) cubic GaN phonon frequencies.
samples 460B, 460C, and 460D.Downloaded 11 Apr 2005 to 143.107.131.44. Redistribution subject to AIP
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doses increase, the magnetic moment at saturation inctoo. The reference sample(nonimplanted) shows only thecharacteristic diamagnetic response, i.e., no hysteresis lobserved for this sample.
The magnetization versus magnetic field curves forhighly Mn-implanted GaN epilayer, measured at 10 andK, are presented in Fig. 3. At 300 K the magnetizationcreases steeply at low fields, and saturates at approxim2.5 kOe. The increase in magnetization at 10 K is lesscentuated, possibly due to a paramagnetic contributioncurves show hysteresis for both temperatures, with coefields of 150 and 100 Oe for 10 and 300 K, respectively.hysteresis at low field, for the magnetization measuredK, is shown in the inset of Fig. 3. A remanent magnetizaof about 0.1–0.2 emu/g can also be observed. From theration value we can obtain the number of active Mn atoNMn=MS/gmBS, whereMS is the magnetization at saturatiog=2 is theg factor of Mn, mB is the Bohr magneton, anS=5/2 if we consider Mn2+. TakingMS.0.8 emu/g we obtain NMn=8.931019 cm−3, which correspond to an effectiMn concentration of only 0.2%.
The temperature-dependent magnetization forsample implanted with 2.431016 cm2 Mn ions is presentein Fig. 4. The shape of the curves is very similar to thobtained from implanted hexagonal GaN,16 and may indicatthe presence of a paramagnetic phase at low temperatucan also be inferred from the hysteresis loop at 10 K. Weattribute the ferromagnetic behavior observed in our samto the presence of Mn in the GaN layer. Even with the Gsubstrate being disturbed by the Mn implantation, as shby the Raman spectra, we can expect a negligiable contion from the substrate to the magnetic characteristic osamples. With the doses and energy used for the impltion, we can expect a very small concentration of Mn atsubstrate, near the interface with the GaN layer. As show
FIG. 3. Magnetization as a function of magnetic field at 10 and 300 Ksample 460D. The inset shows the low field region magnetization, meaat 10 K, where hysteresis can be observed.
FIG. 4. Field-cooled(FC) and zero field-cooled(ZFC) magnetization as
function of temperature for sample 460D. license or copyright, see http://apl.aip.org/apl/copyright.jsptednitudpletedm-the
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Appl. Phys. Lett., Vol. 85, No. 17, 25 October 2004 Chitta et al. 3779
Songet al.,27 the magnetization measured in GaAs implanwith 7.531017 cm−2 Mn ions, which is 30 times larger thethe highest dose we have used, is two orders of magnsmaller then the magnetization we measured in our sam
In conclusion, we show that cubic GaN films implanwith Mn ions clearly exhibit ferromagnetism at room teperature. At this point we are unable to clearly establishorigin of ferromagnetism in our samples. It is certainly rsonable to say that the origin of ferromagnetism in dilumagnetic semiconductors based on GaN is still not tounderstood. However, ferromagnetism has been observsamples with hexagonal structure that have very lowconcentrations, in insulating material, even inn-type material. The expected fact that GaMnN with cubic structureexhibits interesting ferromagnetic properties is confirmhere.
This work was supported byFundação de AmparoPesquisa do Estado de São Paulo(FAPESP), Conselho Nacional de Deselvolvimento Científico e Tecnológico(CNPq)and Deutsche Forschungsgemeinschaft(DFG). The authorare thankful to Professor I. Baumvol and Professor F. Zislak for the ion implantations carried out at the Physicsstitut, UFRGS.
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