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Protocolo Aloha. N = Número de estações. Est. 1. Est. 2. Est. N. canal comum. Protocolo Aloha. Arquitetura física :. Uma estação transmite quando precisa , sem se preocupar em escutar o canal. Protocolo Aloha. - PowerPoint PPT Presentation
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Protocolo AlohaProtocolo Aloha
Protocolo AlohaProtocolo Aloha Arquitetura física:
Uma estação transmite quando precisa, sem se preocupar em escutar o canal.
Est. 1
N = Número de estações
Est. 2 Est. N
canal comum
Protocolo AlohaProtocolo Aloha
Técnica mais simples que utiliza a estratégia de acesso a um meio comum, que pode ser acessado por todos os usuários.
Existem dois tipos de protocolo Aloha: Aloha Puro Aloha Segmentado
Protocolo Aloha puroProtocolo Aloha puro
Duas ou mais estações podem transmitir ao mesmo tempo. Esta situação dá origem a colisões, que devem ser detectadas e logo resolvidas.
Est. 1
Est. 2
Est. 3Tempo
Modelo Aloha puroModelo Aloha puro
Est. 1
CANAL
+
Est. N +
Modelo do canal:
.
.
.
Modelo Aloha puroModelo Aloha puro
Hipóteses:Hipóteses: Comprimento fixo dos pacotes = T Canal livre de ruído (perda de pacotes somente por
colisões) Estações têm comportamento homogêneo Uma estação transmite pacotes com sucesso antes da
chegada do seguinte
Chegada de pacotes em cada estação obedece a um proceso de Poisson taxa de chegadas ao meio comum tem distribuição de Poisson
Taxa efetiva de transmissãoTaxa efetiva de transmissão
Est. 1
CANAL
+
Est. N +
= taxa média de transmissão de novos pacotes ao canal, em cada estação (pac/seg)
’ = taxa média de transmissão ao canal de pacotes novos mais os retransmitidos (devido a colisões), em cada estação (pac/seg)
.
.
.
Taxa efetiva de transmissãoTaxa efetiva de transmissãoEst. 1
CANAL
G
+
Est. N +
S
= tamanho fixo de um pacote (seg)
S = N T = utilização proporcional do canal por pacotes efetivamente transmitidos (novos)
G = N ’ T = utilização proporcional do canal pelo total de pacotes transmitidos (novos mais colisões)
.
.
.
Taxa efetiva de transmissãoTaxa efetiva de transmissão
GS
P0 Logo, tem-se que: (1)
P0 = probabilidade de transmissão com sucesso de pacotes pelo canal (sem colisões)
Taxa total de transmissão de pacotes tem distribuição de Poisson com parâmetro N’:
P t
N t e
i!i
i N t
2
Taxa efetiva de transmissãoTaxa efetiva de transmissão
Canal
2T Tempo
Colisão entre duas mensagens:
Tempo de vulnerabilidade
A probabilidade de que não ocorram colisões nesse intervalo [0,2T] é a probabilidade de que não sejam transmitidos pacotes neste intervalo. Logo, de (2) obtem-se:
0
P P 2T P nenhuma transmissao em 0,2T
P e e
0 0
02N t 2G
3
Taxa efetiva de transmissãoTaxa efetiva de transmissão
Das equações (1) e (3) obtém-se a capacidade do canal (S) em função da taxa de transmissão total de pacotes (G):
S G P G e02G
Rendimento máximo ocorre para G=0.5, com S=0.184:
Max (S) = 18%
Taxa efetiva de transmissãoTaxa efetiva de transmissão Gráfico de S(G):
G
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,184
Observações:
Para cargas baixas de pacotes acontecem poucas colisões, portanto S = G
À medida em que G aumenta e, portanto, S aproxima-se de 0.18, o número de colisões aumenta.
S G e 2G
Taxa efetiva de transmissãoTaxa efetiva de transmissão Gráfico de S(G):
G
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,184
Observações:
Ao aumentar o número de colisões, aumenta o número de retransmissões e, por conseguinte, aumenta a probabilidade de que ocorra uma colisão.
Então, S decai e o sistema torna-se instável para altos valores de G.
S G e 2G
ProtocoloProtocolo Aloha segmentadoAloha segmentado A estação espera que comece um intervalo de
tempo para transmitir um pacote
O sistema passa de contínuo a discreto
Est. 1
Est. 2
Est. 3
Tempo
É necessário haver sincronismo geral.
Neste caso, ocorre colisão total ou não ocorre.
Tempo de vulnerabilidade cai à metade:
G0 eG=PGS
T
Após a mesma análise que foi feita com Aloha puro, obtém-se o seguinte resultado para Aloha segmentado:
Taxa efetiva de transmissãoTaxa efetiva de transmissão
Taxa efetiva de transmissãoTaxa efetiva de transmissão Gráfico de S(G):
G
0
0,1
0,2
0,3
0,4
S G e G 0,368
Rendimento máximo ocorre para G=1, com S=0.368:
Max (S) = 37%
Est. 1
Aloha segmentado
Aloha puro
ComparaçãoComparação
Est. 2
Est. 3
Est. 1
Est. 2
Est. 3
Tempo
Tempo
Resumo de resultados:
ComparaçãoComparação
Puro
Segmentado
Taxa efetiva S(G)
Máximo rend. S
S G e 2G
S G e G
18% (G = 0,5)
37% (G = 1)
ComparaçãoComparação Comparação de gráficos:
G
00,050,1
0,150,2
0,250,3
0,350,4
Aloha Puro Aloha Segmentado
Distribuições contínuasDistribuições contínuas
Variáveis aleatórias contínuasVariáveis aleatórias contínuas
Variáveis aleatórias contínuas: a v.a. assume valores em um contínuo de valores possíveis, seu domínio não é um conjunto enumerável.
X é uma variável aleatória contínua se existe uma função f: (-,) tal que B
P{XB} =
f(.) é a função de densidade de probabilidade da v.a. X
B
dxxf )(
Variáveis aleatórias contínuasVariáveis aleatórias contínuas
P{X(-,+)} =
P{X[a,b]} =
P{X = a} =
Probabilidade de uma v.a. contínua assumir determinado valor é nula
1)( dxxf
b
a
dxxf )(
a
a
dxxf 0)(
Variáveis aleatórias contínuasVariáveis aleatórias contínuas
Função de distribuição acumulada:
F(a) = P{X a} =
a
dxxf )(
)()( afaFdad
Variáveis aleatórias contínuasVariáveis aleatórias contínuas
Seja X uma v.a. contínua. Então, seu valor esperado é dado por:
dxxfxXE )(.][
Distribuição uniformeDistribuição uniforme
Uniforme u(0,1)
1,0X
contráriocaso
xxf 0
101)(
Uniforme u(,)
,X
contráriocaso
x
xf0
1
)(
Distribuição uniforme
Distribuição uniformeDistribuição uniforme
a
aa
a
aF
1
0
)(
Função de distribuição:
Valor esperado:
E[X] =
=
Portanto, E[X] =
dxx
2 2
2
( )
2
Distribuição uniformeDistribuição uniforme
Distribuição uniformeDistribuição uniformeParâmetrosParâmetros
E[X]
Var[X]
(b+a)/2
(b-a)2/12
Distribuição uniformeDistribuição uniforme Discos de um dispositivo de memória rodam uma vez a cada
25 ms. Quando a cabeça de leitura/escrita está posicionada sobre uma trilha para ler algum registro em particular dessa trilha, este pode estar em qualquer lugar. Então, o retardo rotacional T até que o registro fique na posição para ser lido é uniformemente distribuído no intervalo 0 a 25 ms.
(a) E[T] = ?
(b) Var[T] = ?
(c) probabilidade do retardo rotacional ficar entre 5 e 15 ms?
Distribuição uniformeDistribuição uniforme
(a)
(b)
(c)
E T ms
0 25
2125.
0833.52
12
025][
2
TVar
P T5 1510
250 4 .
Distribuição exponencialDistribuição exponencial X Exp ()
X
F xe x
x
x
1 0
0 0
,
,
f xe x
x
x
,
,
0
0 0
x-e xf
Distribuição exponencial
0.2 0.4 0.6 0.8 1.00
123
45
x
6789 = 8
0.125 E[x]
2x = 0.25
Distribuição exponencialDistribuição exponencial
0
1
2
3
4
x
5
6f (x)
0.5 1.5 2.01.0
= 6
= 2
= 4
x-e xf
e1 x xF
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0
= 8
x
Distribuição exponencial
0.125 E[x]
2x = 0.25
Distribuição exponencialDistribuição exponencial
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 5 10 15 20 25 30x
F(x
)
Valor esperado:
E[X]=
Para integrar por partes, define-se:
u = x ; du = dx
v = ; dv =
Logo:
E[X] = =
Portanto, E[X]=
dxex x
0
dxexe xx
00
00
e x
1
Distribuição exponencialDistribuição exponencial
xe dxe x
Distruibuição exponencialDistruibuição exponencial
E [X]
X
Var [X]
X ()
E [Xn]
1
1
2
1
n
n!
Exemplo 1Exemplo 1
X: v.a. tamanho de um pacote X ~ Exp (1/L) L: Valor médio do tamanho do pacote L: bits/pacote
X
Exemplo 2Exemplo 2
X: tamanho do pacote Y: v.a. tempo de transmissão de cada pacote Y ~ Exp (C/X) X/C: valor médio do tempo de transmissão de
um pacote (seg/pacote)
X
Canal de transmissão : C (bps)
Exemplo 3Exemplo 3Tempo entre chegadasTempo entre chegadas
i = t i -t i-1: tempo entre chegadas
i ~ Exp () i são independentes 1/: valor médio do tempo entre pacotes (seg/pacote)
t
t0 t1 t2 tn
Nó
chegada depacotes
Falta de memóriaFalta de memória
ut unidades de tempo
0 s t s+t
x [ut]
f (x)
= 8
P X s
P X s t X t
P X s t X t P X s
s t
, 0
Falta de memóriaFalta de memória
X : ~ Exp (): probabilidade de falha de uma rede P{X > s}: probabilidade de que a rede não falhe
durante s unidades de tempo P{X > s + t | X > t}: probabilidade de que a rede não
falhe durante s+t unidades de tempo, dado que funcionou durante t unidades de tempo
Como o sistema não tem memória:
P{X > s + t | X > t}= P{X > s}
Ordem entre eventos exponenciaisOrdem entre eventos exponenciais
X1 ~ Exp (1)
X2 ~ Exp (2)
Problema: ?
Solução:
P X X1 2
12 P X X1 2
1
GeneralizaçãoGeneralização
1
1i
i
n
P X1 X2 Xn X3
P X1 X2 Xn X3
Problema: ?
Xi ~ Exp(i), i=1,…,n
Solução:
Sistema de servidor de impressão formado por duas partes principais: servidor e impressora
Sejam:
Xs ~ Exp(s): vida útil servidor
Xi ~ Exp(i): vida útil impressora
E[Xs]: 10.000 hrs
E[Xi]: 3.000 hrs
Problema: Qual é a probabilidade do sistema falhar devido a uma falha no servidor?
ExemploExemplo
Problema :
Qual é a probabilidade do sistema falhar devido a uma falha no servidor?
Solução:
P Xs Xi
ss i
1
100001
10000
1
30003
13
ExemploExemplo
Distribuição de ErlangDistribuição de Erlang
X Erl (k,) X Função de densidade de probabilidade
Função de distribuição:
(1)
(2)
1,2,...=,00, -
e
1
,)!1(
)(kx
xk
kx
xf
1,2,...=,00, -
e1
0,
!) (
1 kxx
nk
n nx
xF
Distribuição de ErlangDistribuição de Erlang
E[x]=1 x
k = 2 = 2
0 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
2 2 x
0 -
e
1
,)!1(
)(
x
xk
kx
xf
Distribuição de Erlang
k = 2 = 2
x0 2 3 4 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
E[x]=1
2 2x
0 -
e1
0,
!) (
1
x
xnk
n nx
xF
Distribuição de Erlang (Distribuição de Erlang (kk,,)) ParâmetrosParâmetros
E [ X ]1
X
1
k
V a r ( X )1
2 k
X ( )
k
k
k
E [ X n ]
k k k n
kn
1 1. . .
Relação entre Exponencial e ErlangRelação entre Exponencial e Erlang
Servidor com somente uma entrada e uma saída
Todos os pacotes devem ser atendidos
Servidor atende somente um pacote de cada vez
Existe retardo somente no servidor
X: v.a. tempo de serviço
X ~ Exp(): f(x) = ·e-x, x 0
E[x] = 1/ x2 = 1/2
servidor
Relação entre Exponencial e ErlangRelação entre Exponencial e Erlang
Servidor com duas etapas em série Cada pacote deve passar por ambas etapas Servidor atende um pacote de cada vez (ambas etapas
não podem estar ativas simultaneamente) não há retardo entre etapas Xi: v.a. tempo de serviço da etapa i
Xi ~ Exp(2): f(xi ) = 2·e -2, x 0
E[Xi] = 1/(2xi2 = 1/(22
Etapa 2Etapa 1
Problema: qual é a distribuição do tempo total de serviço (retardo total)?
Solução: soma de duas variáveis aleatórias independentes e idênticamente distribuídas com distribuição exponencial
X: v.a. tempo de serviço total
Seja £[f(x)] a transformada de Laplace de f(x) Então: £[f(x)] = £[f(x1)] · £[f(x2)]
f(x) = xe-x, x E[X] = E[X1] + E[X2] = 1/
x2 = x1
2 +x22 = 1/(22)
Relação entre Exponencial e ErlangRelação entre Exponencial e Erlang
Servidor de k etapas em série Cada pacote deve passar pelas k etapas Um novo pacote pode entrar na etapa i apenas quando
o pacote em serviço acabar a etapa k não há retardo entre etapas Xi: v.a. tempo de serviço da etapa i
Xi ~ Exp(k): f(xi ) = k e -kx, x 0
E[xi] = 1/(k xi2 = 1/(k2
k k k kEtapa 1 Etapa 2 Etapa i Etapa k
Relação entre Exponencial e ErlangRelação entre Exponencial e Erlang
Problema: qual é a distribuição do tempo total de serviço (retardo total)?
Solução: é a soma de k variáveis aleatórias independentes e idênticamente distribuídas.X: v.a. tempo de serviço total
E[X] = E[Xi] = k (1/(k)) = 1/
X2 = Xi
2 = k (1/(k))2 = 1/(k2)
£[f(x)] = £[f(xi)]
Relação entre Exponencial e ErlangRelação entre Exponencial e Erlang
)(k,Erl~X :)!1(
1)()( xk
ek
kxkkxf
Relação entre Exponencial e ErlangRelação entre Exponencial e Erlang x: atraso total (em unidades de tempo) de um
pacote ao atravessar k etapas, cada uma das quais introduz um retardo y
Y~ Exp() X ~ Erl(k,), /k E[X] = k E[Y] x2k·y2
x·y k
29.00 1.86E-03 9.67E-0630.00 1.29E-03 5.50E-06 8.42E-11 1.75E-2631.00 8.92E-04 3.11E-06 3.31E-11 2.37E-2732.00 6.15E-04 1.76E-06 1.30E-11 3.21E-28
-5.00E-01
0.00E+00
5.00E-01
1.00E+00
1.50E+00
2.00E+00
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00 20.00
f(x)
= 1/2 , k = 4
= 2/3 , k = 3
= 1 , k = 2
= 2 , k = 1
Função de densidade para . k = 2 = x ~ Erl (k , ) y ~ Exp ()
Relação entre Exponencial e ErlangRelação entre Exponencial e Erlang
Função de densidade para Função de densidade para = 1= 1
x
k = 1k = 2
k = 10
k =
0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Fazendo : df(x)/dx = 0
obtém-se: xk
kf max
1 1
ExemploExemplo Problema: obter o tempo médio E[T] que demora um nó para transmitir n pacotes
de um buffer, se o tempo de transmissão de um pacote é Exp() com média 1/.
Nó
Canal de transmissãoBuffer
ExemploExemplo Solução:
S ~ Exp(): v.a. tempo de serviço por elemento
T: v.a. tempo de serviço de n elementos
Como o tempo de serviço por elemento distribui-se exponencialmente, então o tempo de transmissão de n elementos tem distribuição de Erlang.
Logo:
T ~ Erl(n,n)
E[T] = n/F t e
k
n k
kt t( ) ( )
!,
10
1
0 t
n=1024 pacotes
=100 pacotes/seg
n = 1024 pacotes = 100 pacotes/seg
T(segs)000.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1
E[T]=10.24 segs10 155 20
24.10]T[ n
E
ExemploExemplo
23.02
n
Variáveis aleatórias Variáveis aleatórias conjuntas e probabilidade conjuntas e probabilidade
condicionalcondicional
Variáveis aleatórias conjuntasVariáveis aleatórias conjuntas
Cálculos de probabilidades envolvendo duas ou mais variáveis simultaneamente
Função de distribuição de probabilidade acumulada de X e Y:
F(a,b) = P{X a,Y b} - < a,b < FX(a) = P{X a} = P{X a,Y } = F(a,)
Variáveis aleatórias conjuntasVariáveis aleatórias conjuntas
X e Y variáveis aleatórias discretas:
Função de massa de probabilidade conjunta
p(x,y) = P{X = x, Y = y}
pX(x) = 0),(:
),(yxpy
yxp
Variáveis aleatórias conjuntasVariáveis aleatórias conjuntas
X e Y são variáveis aleatórias contínuas conjuntas se existe uma função real f (x,y) definida para qualquer reais x e y tal que para quaisquer conjuntos A,B
P{XA, YB} =
f(x,y) é a função de densidade de probabilidade conjunta de X e Y
B A
dydxyxf ),(
Variáveis aleatórias conjuntasVariáveis aleatórias conjuntas
P{XA, YB} = P{XA, Y(-,)} =
=
onde
dydxyxfA
),(
dyyxfxf X ),()(
Variáveis aleatórias independentesVariáveis aleatórias independentes
X e Y são variáveis aleatórias independentes se para qualquer a e b tem-se:
P{X a,Y b} = P{X a}.P{Y b}
F(a,b) = FX(a).FY(b)
X discreta: p(x,y) = pX(x).pY(y)
X contínua: f(x,y) = fX(x).fY(y)
Funções geradoras de momentosFunções geradoras de momentos
X variável aleatória discreta:
X variável aleatória contínua:
x
txtX xpeet )(][E)(
dxxfeet txtX )(][E)(
Funções geradoras de momentosFunções geradoras de momentos
][E][E][E)(' tXtXtX Xeedtd
edtd
t
][E)0(' X
][E)()( 2''' tXeXtdtd
t
][E)0( 2'' X][E)0()( nn X
Probabilidade condicionalProbabilidade condicional
Cálculo de probabilidades quando há informações parciais
Probabilidade condicionalProbabilidade condicional
P[E|F] =
Caso discreto: função de massa de probabilidade condicional
pX|Y(x|y) = P{X=x|Y=y} = =
Se X é independente de Y, então:
px|y(x|y) = px(x)
)(P)(P
FFE
}{P},{P
yYyYxX
)(),(
ypyxp
Y
Probabilidade condicionalProbabilidade condicional
Função de distribuição de probabilidade condicional de X dado que Y = y:
Valor esperado condicional de X dado que Y=y
xa
YXYX yapyYxXPyxF )|(}|{)|( ||
x x
YX yxpxyYxXPxyYX )|(.}|{.]|[E |
Probabilidade condicionalProbabilidade condicional
X e Y v.a.s independentes:
}{
},{}|{)|(| yYP
yYxXPyYxXPyxp YX
}{}{
}}{{xXP
yYPyYxXP
][E]|[E XyYX
X e Y v.a.s independentes com distribuição de
Poisson de parâmetros 1 e 2 respectivamente.
Calcular:
P{X=k |X + Y = n} = ?
E[X |X + Y = n] = ?
P{X = k | X + Y = n} =
= =
Exemplo 1Exemplo 1
}{},{
nYXPnYXkXP
P X k Y n k
P X Y n
{ , }
{ }
P X k P Y n k
P X Y n
{ } { }
{ }
Como X+Y tem distribuição de Poisson de parâmetro 1+2
P{X = k | X + Y = n} =
=
!)(
)!(!
21)(
21
21
21
ne
kne
ke
n
knk
n
k n k
k n k
n
!
!( )! ( )
1 2
1 2
Exemplo 1Exemplo 1
n
k
k n k
1
1 2
2
1 2
Interpretação:
P{X= k | X +Y = n} é uma v.a. Bi(n, ),
logo:
E[X | X +Y = n]= n
1
1 2
Exemplo 1Exemplo 1
1
1 2
Sejam n + m experimentos independentes,
cada um sendo do tipo Be(p). Avaliar o número esperado de sucessos nos n primeiros experimentos, dado que nocorreram k sucessos no total.
Sejam as seguintes v.a.’s:
se houve sucesso no i-ésimo exp.
caso contrário
Y = número de sucessos nos (n+m) experimentos.
0
1iX
Exemplo 2Exemplo 2
Problema:
pois
Exemplo 2Exemplo 2
?]|[E1
n
ii kYX
mnk
nkYXkYXn
ii
n
ii
11
]|[E]|[E
mnk
kYXPkYX ii }|1{]|[E
Probabilidade condicionalProbabilidade condicional
Caso contínuo: se X e Y têm uma função de densidade de probabilidade conjunta f(x,y), então a função de densidade de probabilidade condicional de X dado que Y = y é dada por
Valor esperado condicional de X dado que Y=y
)(),(
)|(| yfyxf
yxfY
YX
dxyxfxyYX YX )|(.]|[E |
Sejam X e Y v.a.s tais que:
Problema:
20,0,.21
)|(| yxeyyxf xyYX
?]1|[E 2/ YeX
x
x
x
YYX e
dxe
e
fxf
xf
0
|
2121
)1()1,(
)1|(
2)1|(]1|[E0
2/0 |
2/2/ dxeedxxfeYe xx
YXxX
ExemploExemplo
Probabilidade condicionalProbabilidade condicional
Caso discreto:
E[X] = E[X | Y = y] P{Y = y}
Caso contínuo:
E[X] = E[X | Y = y] fY(y)dy Em geral:
E[X] = E[E[X|Y]]
y
Prova do caso discreto
Probabilidade condicionalProbabilidade condicional
x x y
yYxXPxxXPxX },{.}{.][E
y x
yYxXPx }|{.
}{}{
}|{yYP
yYPyYxXP
y x
y x
yYPyYxXPx }{}|{.
]]|[E[E}{]|[ YXyYPyYXEy
Sejam N uma v.a. Ge(p) e Y a seguinte v.a.:
, primeiro é cara (probabilidade p)
, primeiro é coroa (probabilidade 1-p) E[N] = número médio de experimentos realizados
até obter-se a primeira cara = ?
Solução condicionando no resultado do primeiro
experimento:
E[N]=E[N|Y=1].P{Y=1} + E[N|Y=0].P{Y=0}
= p.E[N|Y=1]. + (1-p).E[N|Y=0]
E[N] = p.1 + (1-p).(1+ E[N])
E[N] = 1/p
Y
1
0
1
p
ExemploExemplo