I. FLUJO DE FLUIDOS A TRAVES DE MEDIOS POROSOS

A)Ecuación de continuidad en coordenadas cartesianas.

Principio de conservación de masa:

…(1)

Considerando un solo fluido, seleccionando nuestro volumen elemental.

Ecuación de movimiento Ecuación de estado

Ecuación de continuidad

ECUACION

DE

DIFUSION

Cantidad de

masa

que entra en

un t

Cantidad de

masa

que sale en

un t

- +

-

Masa neta

introducida

por fuentes o

sumideros =

Cantidad de

masa

acumulada en

un t

y

x

z

Y

X

Z

Aplicando el principio, sin considerar fuentes ni sumideros:

zyxxzyx vvv zxyyzxy vvv

+ yxzzyxz vvv

Reduciendo:

zyxv zxyv yxzv L.I

Para el lado derecho de la igualdad, si

zyx

MLL

M 33

Entonces el gasto másico:

L. D =

t

zyxttt

Igualando:

zyxv zxyv yxzv

zyx

t

ttt

Dividiendo entre zyx y aplicando límites:

x

x

x

v

lim

0

y

y

y

v

lim

0

z

z

z

v

lim

0

=t

ttt

t

lim

0

y

x

z

X

Y

Z

vy+(vy) vy

vz

vx+(vx)

2

3L

T

L

L

M

vx vz+(vz)

Finalmente se obtiene

x

vx

y

vy

z

vz

t

...(2) Ejercicio: Desarrollar la ecuación de continuidad en coordenadas cilíndricas. B.) Ecuación de movimiento

Válida para flujo laminar y NRe bajo, por lo tanto no es válida para:

Flujo turbulento

Flujo de Gas

Medio poroso que reaccione con el fluido

Para T

kv ................. (3)

Donde:

= Velocidad de fluido por unidad de área. k = Permeabilidad

= Densidad

= Viscosidad

= Gradiente de potencial en la dirección de flujo NOTA: El signo (-) implica que el flujo ocurre en la dirección en que disminuye el potencial. Hubbert definió el potencial como:

P

Pozg

dp

................. (4)

La ley de Darcy en x, y, y z:

x

pkv

xx

y

pkv

yy

g

z

pkv

zz

ECUACIÓN DE

CONTINUIDAD PARA UN

SOLO FLUIDO EN

COORDENADAS

CARTESIANAS

C) Ecuación de Estado La compresibilidad isotérmica se define:

Tp

V

Vc

1

Para un fluido ligeramente compresible:

oo ppc 1

Ahora acoplando las ecuaciones de estado y movimiento en la ecuación de continuidad se tiene:

x

pkppc

x

xoo

1

y

pkppc

y

yoo

1

z

pkppc

z

zoo

1 oo ppc

t

1

Considerando: Despreciando los efectos gravitacionales y cambiando los signos:

x

pk

xppc

xo

1

)(1 o

xppc

xx

pk

y

pk

yppc

yo

1

)(1 o

yppc

yy

pk

z

pk

zppc

zo

1

)(1 o

zppc

zz

pk

oppct

1

Si = constante, y el medio es isótropo:

x

pc

x

pk

x

pkppc o

2

2

1

x

pc

y

pk

y

pkppc o

2

2

1

x

pc

z

pk

z

pkppc o

2

2

1

t

pc

tppc o

1

Dividiendo entre oppc 1 :

2

2

2

1 x

p

cpp

ck

x

pk

o

2

2

2

1 y

p

cpp

ck

y

pk

o

2

2

2

1 z

p

cpp

ck

z

pk

o

t

p

cpop

c

t

p

p 1

=

t

p

cpp

c

p o1

1

Sea:

fcp

1 Y

'

1c

cpp

c

o

Además

tf ccc '

Considerando que los gradientes de presión de son pequeños entonces:

t

pc

z

p

y

p

x

pkt

2

2

2

2

2

2

...........(5)

Finalmente:

t

p

k

c

z

p

y

p

x

p t

2

2

2

2

2

2

..................... (6)

Ejercicios:

Obtener la ecuación de difusividad en coordenadas cilíndricas.

ECUACION DE DIFUSIVIDAD

EN COORDENADAS

CARTESIANAS

Demostrar que la compresibilidad de la formación está dada por:

pc f

1

ECUACION DE FORCHEIMMER Para resolver la Ecuación de Continuidad (2) discutida anteriormente, es

necesario usar una ecuación de estado (EOS) involucrando la densidad del fluido, tal como se hizo en la Ecuación (6) y otra expresión que describe el comportamiento de la velocidad. Sobre este punto, tradicionalmente la ley de Darcy (1856) ha sido usada como la ecuación de movimiento; en otras palabras se considera que el fenómeno de flujo ocurre bajo condiciones de flujo laminar, es decir, para valores de número de Reynolds bajos. El flujo que obedece a la ley de Darcy (1856) se le llama “flujo Darcy ".

Varios trabajos en la industria de petróleo se han orientado a llegar a un acuerdo sobre como nombrar el comportamiento de flujo cuando la proporcionalidad entre la velocidad y la reducción de presión a través de un medio poroso no aplica. Esto sucede en medios porosos cuando el límite máximo de velocidad es excedido, y la ley de Darcy (1856) que describe flujo bajo estas condiciones de proporcionalidad llega a ser inválida. Firoozabadi y Katz (1979) llamó al flujo que ocurre bajo estas condiciones, flujo de "alta velocidad ", otros (Camacho-V. et al., 1998) han nombrado al fenómeno como flujo “no laminar”. Una de las mejores discusiones sobre el flujo no laminar es la de Muskat (1937).

Una ecuación general de flujo incluyendo ambos términos, viscosos e inerciales, es la propuesta por Forcheimmer (1901) determinada como:

2. uukx

p

Donde es el coeficiente de alta velocidad. Se ha concluido que muchas situaciones de flujo pueden ser expresadas por medio de esta ecuación. Además, los términos del lado derecho de la ecuación anterior se denominan en la siguiente forma:

k

Término laminar 2 Término no laminar

Los factores que promueven el flujo no-Darcy son los siguientes: 1. La variación amplia en el tamaño, forma, y distribución de poros, 2. Superficies porosas irregulares, y 3. La presencia de fracturas. Los dos primeros factores se comprenden en lo qué se llama " la geometría de poro".

La presencia de estas condiciones en pozos con alta productividad se han encontrado en muchos casos, particularmente en yacimientos fracturados (Baker, 1955). Para la ecuación (6):

PARAMETRO UNIDAD CONSISTENTES

UNIDADES PRACTICAS

x, y, z Centímetro Pie

p Atmósfera lb/pg2

Fracción Fracción

Centipoises Centipoises

Ct Atm-1 (lb/pg2)-1

k Darcy Milidarcy

t Segundo Hora

Ejercicio

Determinar la constante de unidades para la ecuación de difusividad en coordenadas cartesianas, para utilizarla en unidades practicas.

FLUJO DE GAS A TRAVES DE MEDIOS POROSOS Ahora la ecuación de estado:

znRTpV

RTM

wZpV

zRT

pM

Entonces:

x

x

pk

zRT

pM x

+

y

y

pk

zRT

pM y

+

z

g

z

pk

zRT

pM z

=

-t

zRT

pM

Despreciando efectos gravitacionales y considerando y k constantes:

z

pp

zy

pp

yx

pp

x

k

t

p

+

tp

=

t

p

+

pp

t

p

Como: x

p

x

pp

2

2

Entonces:

t

p

ppp

z

p

zy

p

yx

p

x

k

11

2

1 222

t

p

k

c

t

pc

k

p

z

p

zy

p

yx

p

x

t

t

2222

22

1

t

p

k

c

z

p

y

p

x

p t

2

2

22

2

22

2

22 ......................... (7)

Para flujo radial:

t

p

k

c

r

pr

rr

t

22

1 ……………..( 8 )

PARA GASES REALES: Al–Hussainy R. Et al (1966) definieron:

P

Po

dpz

ppm

2)( …………….. ( 9 )

Como:

r

p

p

pm

r

pm

y:

z

pdp

z

p

pp

pm P

Po

22

Sustituyendo:

r

p

z

p

r

pm

2 ................. (10)

Ahora:

t

p

z

p

t

p

p

pm

t

pm

2 ................. (11)

*De la ecuación de continuidad para flujo radial:

ECUACIÒN DE DIFUSIVIDAD

PARA FLUJO DE GAS EN

COORDENADAS CARTESIANAS

t

vrrr

r

1

Sustituyendo la ec. de movimiento:

ttr

pkr

rr

1

t

p

pt

p

pr

pkr

rr

1

t

p

ppr

pkr

rr

111

Sea:

tcpp

11

t

pc

r

pkr

rrt

1

Despejando y sustituyendo:

t

pm

p

zc

zRTg

pM

r

pm

p

zk

zRT

pMr

rrt

22

1

Reduciendo:

t

pm

k

ct

r

pmr

rr

1 ................... (12)

ECUACIONES PARA FLUJO MULTIFASICO

t

pc

r

pr

rr t

t

1 ...............… (13)

Donde:

w

w

g

g

o

ot

kkk

Y:

ggwwoot scscscc

Referencias:

AL – HUSSAINY, R. Et. AL. : “ THE FLOW OF REAL GASES THROUGH POROUS MEDIUM, “ JPT (MAY, 1966)

MARTIN , J.C. : “ SIMPLIFIED EQUATIONS OF FLOW IN GAS DRIVE RESERVOIRS AND THE THEORETICAL FOUNDATION OF MULTIPHASE PRESSURE BUILDUP ANALYSIS,” TRANS. AIME (1939) V . 216

SOLUCIONES DE LA ECUACION DE DIFUSIVIDAD

A) Flujo estacionario lineal.

En esta situación:

02

2

2

2

z

p

y

p

t

p

02

2

x

p ......................... (14)

Ahora las condiciones de frontera:

p x =0= p 1 C.F.I.

Y

p x =L= p 2 C.F.E.

Integrando la ecuación (14):

1Cx

p

Separando variables e integrando:

dxCdp 1

21 CxCp (solución general)

211 0 CCp como 12 pC

L

ppCpLCCLCp 12

111212

Sustituyendo 1C y 2C :

P1 P2

X=0 X=L

112 px

L

ppxp

................. (15)

Gráficamente: b) Flujo radial estacionario:

De la ecuación de difusividad para flujo radial:

t

p

k

c

r

pr

rr

t

1 .................. (16)

Ahora las condiciones de frontera son:

rwp = wp C.F.I.

re

p = ep C.F.E.

Y:

p = p ( r )

p

P1

P2

p

L

X=0 X=L

x

De la ecuación de (16):

0

dr

dpr

dr

d

Separando variables e integrando:

0)(dr

dprd

1Cdr

dpr

Integrando nuevamente:

r

drCdp 1

21 ln CrCp ( solución general)

Para: wrr

21 ln CrCp ww

Para: err

21 ln CrCp ee

Resolviendo por ecuaciones simultaneas:

w

ewewe

r

rCrCrCpp lnlnln 111

w

e

we

rr

ppC

ln1

Sustituyendo:

w

w

e

wewww r

rr

ppprCpC ln

lnln12

Sustituyendo constantes en la ecuación general:

w

w

e

wew

w

e

wer

rr

pppr

rr

ppp ln

lnln

ln

............................. (17)

Finalmente:

w

w

e

wew rr

rr

ppprp /ln

ln

........................... (18)

Ecuación para flujo radial estacionario

Gráficamente: Donde :

w

e

we

rr

ppm

ln

De la ecuación de Darcy:

rw

rr

pA

kq

En el área expuesta al flujo: hrA wrw

2

Derivando la ecuación (17)

ww

e

we

rw rr

r

pp

r

p 1

ln

Sustituyendo A wr y rw

rp

en la ecuación de Darcy:

ww

e

wewr

rr

r

pphr

kq

1

ln2

w

e

wer

rr

ppkhq

ln

2

..................... (19)

Tarea.

Convertir la ecuación 19 a unidades practicas, k(mD), (cp), h(pie), p(lb/pg2),r(pie) y q(BPD)

1

p

ep

wp

wrln erln rln

Ecuación de gasto para flujo radial

C) FLUJO RADIAL PSEUDOESTACIONARIO. Se presenta cuando la declinación de la presión presente un comportamiento lineal.

ctet

p

Consideramos un yacimiento cerrado

Tp

V

Vct

1 ó

Tp

V

Vc

p

P

t

1

dp

dt

dt

dV

V

p

P

1

Entonces:

dt

dV

cVdt

dp

dt

dV

Vdt

dpc P

tP

P

P

t

11

q

t

PcV

q

dt

dp ……………………….. (20)

NOTA:

.ctect estado incompresible

p

m

1 t

pi

tc V

q=cte

Para este caso se considera la misma geometría que el inciso (b) El volumen poroso:

hrrV weP

22

Sustituyendo en (20):

twe chrr

q

dt

dp

22

la ecuación de difusión para flujo radial:

twe

t

chrr

q

k

c

dr

dpr

rr

22

1

Reduciendo:

khrr

q

dr

dpr

rrwe

22

1

………………… (21)

Las C. F.

0)1

errr

p 0

dr

dpk

rv r

ww

pr

p )2

Separando variables e integrando (21)

drr

khrr

q

dr

dprd

we

22

12

2

22C

r

khrr

q

dr

dpr

we

r

Cr

khrr

q

dr

dp

we

1

222

…………… (22)

Aplicando C. F. :

01

222

e

e

weer

Cr

khrr

q

rdr

dp

22

2

21we

e

rrkh

rqC

Separando variables e integrando (22)

r

drCdrr

khrr

qdp

we12

22

2

ln122

2

22CrC

r

khrr

qp

we

………………. (23)

Aplicando la C. F. (2) y sustituyendo 1

C :

2ln

22222

22

22Cr

rrkh

rqr

rrkh

qp w

we

ew

we

w

De donde:

2

ln

2

2

2

2

22

w

we

we

w

r

rr

rrkh

qpC

Sustituyendo 1

C y 2

C en (23)

2ln

2ln

222

22

2222

22

22

wwe

we

w

we

e

we

rrr

rrkh

qPr

rrkh

rqr

rrkh

qp

Finalmente:

2ln

2

22

2

22

we

w

e

we

w

rr

r

rr

rrkh

qpp

…………….. (24)

Cuando err ; epp

2ln

2

22

2

22

we

w

e

e

we

we

rr

r

rr

rrkh

qpp

2ln

2

22

2

22

we

w

e

e

wewe

rr

r

rr

pprrkhq

sí er wr 2

er 2

wr 02 wr

2ln

2

2

2

2

e

w

e

e

wee

r

r

rr

ppkhrq

Reduciendo:

2

1ln

2

w

e

we

r

r

ppkhq

……………………. (25)

D) FLUJO RADIAL TRANSITORIO Yacimiento infinito:

dt

dp

k

c

dr

dpr

rr

t

1

En este caso:

iablet

pvar

Condiciones Iniciales:

1) itr pp 0,

Condiciones de frontera

2) kh

q

rdr

dPr

w

2

, t 0

3) pip trr

),(lim

ECUACIÓN PARA FLUJO RADIAL

PSEUDOESTACIONARIO

Sí consideramos que el pozo se aproxima por una línea: Fronteras Impermeables q= cte q=cte

rw = 0 h

Fronteras yacimiento impermeables infinito Entonces la primera condición de frontera: 2ª)

r

Pr

r 0lim

kh

q

2 , t 0

Apoyándonos en la transformada de Boltzmann:

2

41

rc

tk

yt

tk

rcy t

4

2

r

y

tk

rc

r

y t 2

2

2

……………………. (26)

Sabemos que la ecuación de difusión:

t

p

k

c

r

p

r

p

r

t

2

21 ..……………….. (27)

1 2 3

rw

re

r

r

r

Necesitamos (1), (2) y (3) en términos de la transformada de Boltzmann: Para el término (1):

y

p

r

y

r

y

y

p

r

p

2 ...............(i)

y:

r

y

r

p

yr

p

rr

p

2

2

2

2

2

2

y

p

r

y

r

y

r

y

yy

p

r

y

r

y

y

p

yr

p

2

2

2

2

y

p

r

y

y

p

r

y

yr

y

r

p

2

2

2

2 222

y

p

r

y

y

p

r

y

yr

y

r

p

2

22

22

2 212

22

y

p

r

y

y

p

y

r

ry

rr

y

r

p

2

2

2

2

22

2 4

2

12

22

y

p

r

y

y

p

y

r

ry

rr

y

r

p

2

2

2

2

2

2 412

y

p

r

y

y

p

rr

y

r

p

por lo tanto:

2

2

2

2

22

2 42

y

p

r

y

y

p

r

y

r

p

…………….. (ii)

ahora:

kt

rc

ty

p

t

y

y

p

t

p t

4

2

y

P

kt

rc

t

P t

2

2

4

y

p

t

y

t

p

………………. (iii)

Sustituyendo (i), (ii) y (iii) en (27):

y

p

t

y

k

c

y

p

r

y

y

p

r

y

y

p

r

y

r

t

2

2

2

2

2

4221

y

p

t

y

r

ty

y

p

r

y

y

p

r

y

22

2

2

2

2

444

Reduciendo:

02

2

y

py

y

py

y

p

ó

012

2

dy

pdy

dy

dpy ……………. (28)

Ahora la condición de frontera:

)29(4

lim

2lim2

limlim

0

000

hk

q

y

py

y

py

y

p

r

yr

r

pr

y

yyr

Ahora:

)30(limlim iyr

ppp

Sí denotamos: 'pdy

dp entonces la ecuación (28):

0'

'1 dy

dpypy

Separando variables:

dyy

y

p

dp

1

'

'

Integrando:

ECUACUACION DE DIFUSIVIDAD EN TERMINOS DE LA VARIABLE DE

BOLTZMMAN

dyy

dydy

y

y

p

dp 1

'

'

Cyyp ln'ln

Aplicando antilogaritmo:

y

eCeeep

yCyy

1' ln

ó

yeCdy

dpy

1

Aplicando la 1ra condiciones de frontera:

hk

qCeC

y

py y

yy

411limlim

00

hk

qC

41 ....................(i)

De modo que: yehk

q

dy

dpy

4

Separando variables e integrando:

dyy

e

hk

qdp

y y

4

24

Cdyy

e

hk

qp

y

y

………(31)

Aplicando límites:

2

lim4

lim Cdyy

e

hk

qp

y

y

yy

cero

ipC 2

..........................(ii)

Sustituyendo en (31)

iy

y

pdyy

e

hk

qp

4

sí dyy

eyEi

y

y

Integral Exponencial

Entonces:

yEiAptrp i ,

Donde:

hk

qA

4

Sustituyendo y:

tk

rcEi

hk

qptrp t

i

44,

2

…….. (32)

Por definición de la integral exponencial

dxx

exE

x

x

i

Cuando: x 0 - Ei (- x)

Cuando: x - Ei (- x) 0 Cuando x <0.025 - Ei (-x) puede aproximarse -Ei (- x) = ln (1.781 x) ……………… (33)

De manera que:

-Ei (- x) = ln (1.781) + ln (x) ……………… (34)

Donde:

= 0.5772… ………… constante de Euler Cuando:

0.025 x 10.9 -Ei (-x) de tabla

x 10.9 -Ei (-x) = cero

x 0.025 -Ei (-x) con ecuación (33)

SOLUCION FUENTE LINEAL

Sustituyendo (34) en (32):

tk

rc

hk

qptrp t

i4

ln781.1ln4

,2

2ln4ln5772.0

4,

rc

tk

hk

qptrp

ti

80907.0ln

4,

2rc

kt

kh

qptrp

t

i

.................(35)

APROXIMACIÓN LOGARÍTMICA DE LA SOLUCION

FUENTE LINEAL