Pruty namáhané

prostým tahem a tlakem

staticky neurčitá úloha

Staticky neurčité úlohy

Předpoklad: pružné chování materiálu

Staticky neurčité úlohy:

počet neznámých > počet podmínek rovnováhy

početneznámých =

podmínkyrovnováhy +

podmínkydeformační

Řešení:

Příklad 1

Fdl1=1,5m

l2=2,5m

Stanovte stupeň statické neurčitosti konstrukce. Spočítejte normálové napětí v obou prutech o průřezech IPN140 a IPN180. Nosník je na obou stranách nepoddajně uložen a zatížen dle obrázku silou Fd=650kN (již návrhová hodnota).Posuďte oba pruty, je-li fyk=235MPa, γM=1Předpoklad: pružné chování materiálu

IPN180

IPN 140

Statické podmínky rovnováhy:

Deformační podmínka:

Průběh N sil a z něj vyjádření N1 a N2 z jedné strany:

Řešení deformační podmínky:

N1

N2

N

-

+

bRN ====1

∑ = 0ixF

FNFRN b −=−= 12

0====∆∆∆∆l 021 ====∆∆∆∆++++∆∆∆∆====∆∆∆∆ lll

0)(

02

21

1

11

2

22

1

11 =−

−≡=+=∆EA

lFN

EA

lN

EA

lN

EA

lNl

Rb

Ra

Příklad 1

Fd

l1=1,5m

l2=2,5m

Stanovte stupeň statické neurčitosti konstrukce. Spočítejte normálové napětí v obou prutech o průřezech IPN140 a IPN180. Nosník je na obou stranách nepoddajně uložen a zatížen dle obrázku silou Fd=650kN (již návrhová hodnota).Posuďte oba pruty, je-li fyk=235MPa, γM=1.

Pro IPN profil z tabulek: A1=1830mm2, A2=2790mm2

IPN180

IPN 140N1

N2 -

+

Výsl.:

N1=339,47kN, N2=-310,53kN

σ1= 185,5MPa, σ2= -113,3MPa

Výsledná přetvoření

)325,1(1

111 mm

EA

lNl ==∆

)325,1(2

222 mm

EA

lNl −==∆

Posouzení průřezů prutů

1yd1Rd AfN = kN05,430=

2yd2Rd AfN = kN65,655=

Průřezy vyhoví

1EdN≥

2EdN≥

11 EdNN = 22 EdNN =

N

Daná tyč je zatížena dle obrázku. A1 = 3cm2, A2 = 10cm2 , E1 = E2, F1 = 20kN, F2 = 45kN. Vykreslete průběh N sil. Určete reakce ve vetknutí.Rozdělte tyč na úseky, kde se vyskytnou různá napětí a tyto hodnoty spočtěte. Počítejte se zadanými neredukovanými hodnotami sil F1 a F2.Předpoklad: pružné chování materiálu

1

2F2

F1

0,6m

0,8m

0,4m

x

Příklad 2

Statická podmínka rovnováhy

Deformační podmínka

Odhad průběhů N sil - 3 úseky, (zvolte směry reakcí), z jedné strany vyjádřete N síly

Řešení deformační podmínky

Výsl.:

N1=26,875kN

N2=-18,125kN

N3=1,875kN

Ra(dole)=26,875kN ↓

Rb(nahoře)=1,875kN ↑

σ1= 26,875MPa

σ2= -18,125MPa

σ3= 6,25MPa

a

b

N1

N2 -

+

+

N3

Rb

Ra

N

Vnitřní síly vykreslete

Příklad 3

2) Statická podmínka rovnováhy (pouze osová úloha):

∑ = 0Fix NRRRR baba ⇒=⇒=− 0

N

3) Deformační podmínka :

0=⋅∆+=∆⇒ lTEA

Nll Tα

EATN T ⋅∆α−=⇒

Ra Rb

∆T

1) Úloha 1x staticky neurčitá v osové úloze

0=∆l

Pozn. : úlohu lze vyřešit pouze z def. podmínky

4) Výpočet napětí v prutu:

Posouzení průřezu prutů :

AfN ydRd =

EdRd NN ≥ …průřez vyhoví

=317,3kN

Stanovte stupeň statické neurčitosti konstrukce. Spočítejte normálové napětí v oboustranně nepoddajném prutu o průřezu UPN100, jenž je rovnoměrně oteplen o ∆T=75°C. Napište název tohoto napětí a vykreslete jeho průběh po výšce průřezu. Prut posuďte, je-li: l=6m, E=2,1.105MPa, fyk=235MPa, γM=1Předpoklad: pružné chování materiálu.

[ ]151021 −−⋅=α C,

o

T

Příklad 4

kN15,255−=

MPa0,189A

Nx −==σ

N

Příklad 5

Měděný prut délky l = 1 m je vložen za pokojové teploty mezi tuhé opěry s mezerou 0,2 mm. Jaké normálové napětí vznikne v prutu po jeho oteplení o 50°C?

1) Deformační podmínka:m102,0 3−

⋅=∆l

αT = 17 · 10-6 °C-1, E = 1,1 · 105 MPa

3

T 102,0lTEA

Nl −⋅=⋅∆α+

0,2 mm

L =

100

0 m

m

2) Výsledek: Není dána plocha průřezu, vyjádřete z rovnice celý výraz N/A

MPa5,71x −=σ

Příklad 6

g = 120 kNm-1 l = 1

2 m

a = 3 m b = 4 m

7 m

a

b c

1 2

Stanovte stupeň statické neurčitosti a určete napětí v táhlech, oba mají průřez IPN 140.

Předpoklad: pružné chování materiálu táhel a tuhé chování desky

Pozor: neposuzujete ani nenavrhujete

výsledky:

N1 = 152,1 kN, N2 = 354,8 kNσ1 = 83,1 MPa, σ2 = 193,9 MPa

Napětí v táhlech:

A

N,

A

N 22

11 =σ=σ

2) Stat. podm. rovn.:

∑ = 0izF

∑ = 0ixF

∑ = 0iaM

l = 1

2 m

a = 3 m b = 4 m

7 m

a

b

Rb Rc

Raz

Rax

1 2

1) Úloha je 1x staticky neurčitá

Příklad 6

Stanovte stupeň statické neurčitosti a určete napětí v táhlech, oba mají průřez IPN 140.

g = 120 kNm-1

Statická podmínka rovnováhy: ∑ = 0Mia

�� ��=

12

m

a b

a

b c

1 2

1l∆

2l∆

3) Deformační podmínka a výpočet N sil:

ba

l

a

l 21

+

∆=

∆

(2 neznámé N1 a N2, stačí přidat jednu rovnici ze stat.podmínek rovnováhy, která obsahuje pouze neznámé N1 a N2)

N1 N2

Příklad 6

7

1

3

1 21

EA

lN

EA

lN=⇒

Stanovte stupeň statické neurčitosti a určete napětí v táhlech, oba mají průřez IPN 140.

05,37q7N3N 21 =⋅⋅−⋅+⋅⇒

g = 120 kNm-1

Rb Rc

výsledky:

N1 = 152,1 kN, N2 = 354,8 kNσ1 = 83,1 MPa, σ2 = 193,9 MPa

4) Napětí v táhlech:

A

N,

A

N 22

11 =σ=σ

0,5 1,0 0,5 1,0 m

q = 10kN/ma α

Určete osové síly v prutech. A1 = A2, E1 = E2

α =30°

Příklad 7

N1.0,5 + N2sinα.1,5 - q.1,0.2,5 = 0

Statická podmínka rovnováhy :

Deformační podmínka:

R1.0,5 + R2sinα.1,5 - q.1,0.2,5 = 0

5,1

sin.l

5,0

l 21 α∆=

∆

2

1

l

lsin =αNápověda:

Výsl.:

N1=9,09kN … svisné táhlo

N2=27,27kN… šikmé táhlo

12

R1R2

∑ = 0iaM

α =30°

Příklad 8

Ocelobetonový sloup je tvořen trubkou vyplněnou betonem. Určete normálová napětí v oceli i v betonu a posuďte únosnost trubky. Její vnější průměr je 80 mm, vnitřní 70 mm.

Fe360 / S235Eo = 210·103 MPaEb = 80 GPa

L =

0,5

m

F= 112 kN

Statické podmínky rovnováhy:

Deformační podmínka:

Průběh N sil:

Řešení deformační podmínky:

N

- -

NONb

Úloha 1x VNITŘNĚ staticky neučitá: N = No

+ NB

Příklad 8

Ocelobetonový sloup je tvořen trubkou vyplněnou betonem. Určete normálová napětí v oceli i v betonu a posuďte únosnost trubky. Její vnější průměr je 80 mm, vnitřní 70 mm.

Fe360 / S235Eo = 210·103 MPaEb = 80 GPa

L =

0,5

m

F= 112 kN

Výsledky: No = -50kN, Nb = -62kNσo= -42,4MPa, σb = -16,15MPa

Statické podmínky rovnováhy:

Deformační podmínka:

Průběh N sil:

Řešení deformační podmínky:

N

- -

NONb

Úloha 1x VNITŘNĚ staticky neučitá: N = No

+ NB

⇒∆=∆ betonuoceli llbB

B

oo

o

AE

lN

AE

lN=

∑ = 0ixF F - R = 0 R = F = -N = - No

- NB

No

=-F- NB