Embed Size (px)
Citation preview
PRUŽNOST A PLASTICITA
Doc. Ing. Petr Konečný, Ph.D.
LPH 407/3
tel. 59 732 1384
http://fast10.vsb.cz/konecny
Povinná literatura
http://mi21.vsb.cz/modul/pruznost-plasticita
Doporučená literatura
Benda:Stavební statika I.VŠB-TU Ostrava2005
Šmířák:Pružnost a plasticita IVUT Brno 1999
Šmířák, Hlavinková: Pružnost a plasticita IPříkladyVUT Brno 2000
Jurčíková, Krejsa,Lausová, Michalcová:Stavební statikaVŠB-TU Ostrava2013
http://mi21.vsb.cz/modul/pruznost-plasticita
Podmínky zápočtu: • Stavební statika (zápočet)
• Aktivní účast na cvičeních 70%
• Znalosti (bodové ohodnocení 18-35 bodů)– nepovinné testy bez opravných termínů
– 3 zápočtové testy správně vypracované s možnosti dvou opravných termínů
• Vypracované a odevzdané programy bez bodového ohodnocení
Podmínky zkoušky: • Pružnost a plasticita (zápočet)
• Zkouška ze Stavební statiky, Fyziky a Matematiky II
• Zápočet (bodové ohodnocení 18 - 35 bodů)
• Úspěšná písemná zkouška (18 - 35 bodů)
• Ústní a písemná zkouška část zkoušky dohromady min 33b.
• V případě pochybností může být vyžádáno:Prokázání znalostí z průběhů vnitřních sil a průběhů napětí (-35 - 10 bodů)
5
Vnější síly:
• objemové (působí v elementech objemu), patří k nim:
vlastní tíha, odstředivé síly atd.
• povrchové síly působí jako zatížení na ploše a to jako:
spojité zatížení na ploše a na čáře (přímce) a bodové síly (singulární síly).
Objemové a plošné zatížení je reálné, bodové zatížení a zatížení na čáře je abstraktní, idealizuje zatížení plošné.
Vnitřní síly vznikají vlivem vnějšího zatížení, jsou jím indukovány.
Vnější a vnitřní síly (opakování Stavební statika)
Název Vnitřní síla Napětí
(intenzita vnitřních sil)
Osové namáhání(tah, prostý tlak)
Nx sx
Ohyb My sx
Smyk Vz txy, txz
KrouceníT
(někdy také značení Mx)t
Základní typy namáhání v rovině xz (indexy vnitřních sil):
Výchozí předpoklady klasické lineární pružnosti:
Kapitola 1.2. skript včetně poznámek
Tyto předpoklady jsou velmi hrubým obrazem objektivní skutečnosti,
umožňují ale uplatnění některých zásadních matematicko-fyzikálních
principů ve výpočtech jako např. principu superpozice (skládání
účinků), který je založen na linearitě všech matematických závislostí.
8
Látka tělesa je
• homogenní, může být přitom
a) izotropní b) anizotropní
• dokonale pružná a to
a) lineárně
b) nelineárně (nebudeme se zatím zabývat)
• deformace tělesa působením vnějších vlivů jsou malé –geometricky lineární teorie pružnosti
• počáteční napjatost je nulová, nepůsobí-li na těleso vnější síly.
Výchozí předpoklady klasické lineární pružnosti:
1) Princip akce a reakce: Každá akce vyvoláváreakci stejně velikou, ale opačného smyslu. Tlačí-li těleso tíhy G na podložku (základ), musí tato působit na těleso stejně velikou, ale opačného smyslu.
2) Princip superpozice (skládání) účinků (platí pouze v lineární oblasti): Rozdělíme-li obecnou soustavu sil působící na těleso do dílčích silových soustav (dále jen SS) 1, 2, ... n , od každé stanovíme účinky R1, R2, ... Rn , pak výsledný účinek obdržíme vektorovým součtem účinků od jednotlivých dílčích SS.
3) Princip úměrnosti: Působí-li na těleso SS F1 , F2 , ... , Fn
vyvolávající výsledný účinek R , potom SS k.F1 , k.F2 , ... , k.Fn vyvolává výsledný účinek k.R pro k = konst.
Základní zákony statiky - zopakovat
Issac Newton(1642 - 1727)
Typy namáhání
Základní typy namáhání:a) prosté (osové, ohyb, kroucení, smyk)b) složené
Kombinace základních případů namáhání:
• prostorový (obecný) ohyb• excentrický tah a tlak(kombinace ohybu s tahem nebo tlakem)
• kroucení s tahem nebo tlakem a s ohybem
Díky principu superpozice, který platí v lineárně pružném oboru, pak lze řešit složené případy namáhání rozkladem na základní stavy a výsledné účinky složit – superponovat.
Saint - Venantův princip lokálního účinku
F
F oblast poruchy
neovlivněná část
F
q
oblast blízkého okolí
Usnadňuje řešení napjatosti těles.
• Rovnovážná soustava ovlivní stavnapjatosti jen v blízkém okolí
• Ve vzdálenějších bodech mázanedbatelné účinky
Jean Claude Saint-Venant(1797-1886)
F
Po provedení výpočtu, zejména jsou-li vyčíslena i napětí v průřezech, je nutno provést korekce napětí s ohledem na provedené idealizace.
b) skutečné rozměry prutu možno idealizovat do střednice.
(síla působí na střednici prutu nikoliv na horní nebo spodní líc)
Raz
Rbz
F
Raz Rbz
oblast blízkého okolí, nutno provést korekci
Používá se:
a) ke zjednodušení povrchového zatížení jeho náhradou - staticky ekvivalentním, pro výpočet výhodnějším zatížením
(spojité zatížení na malé ploše lze nahradit osamělým břemenem)
Schwedlerovy vztahy – opakování ze Stavební statiky
Teorie vychází ze Schwedlerových vztahů, zopakovat ze stavební statiky,nebo kapitola 1.3.2 ve skriptech:
z
y Vx
M
d
d
Materiál
Lineárně pružný materiál – Hookeův zákon – dnešní hodina
Nepružný materiál – Plasticita – částečně dnešní hodina
Zatížení (namáhání)
Vnější silové zatížení – částečně dnešní hodina
Zatížení teplotou – dnešní hodina
Základní pojmy předmětu Pružnost a plasticita
Napětí (míra intenzity vnitřních sil) – dnešní hodina
Deformace – dnešní hodina
Stabilita (štíhlé tlačené pruty – kapitola 9. skript)
Popuštění podpor (předmět SSKI)
15
Napětí
Poměr elementární síly a velikosti plošky je napětí na této plošce:
n
n
n
n
An
dA
Fd
A
Fp
lim
0
Základní jednotkou napětí je Pascal Pa [N/m2], jeho násobky pak:
MPa [N/mm2] nebo [MN/m2], kPa [kN/m2]
Míra intenzity vnitřních sil
Směr napětí je shodný se směrem síly působící na danou plošku.
Napětí
A
Fp n
n
Zmenšuje-li se velikost plošky A k nule, získá se napětí pn v bodě:
16
Napětí, pokračování
dA
dV
dA
dNn nv ts
Při rozložení síly dFn do směru normály n a stopy v plošky dA je:
22
nvnnp ts +
Platí přitom:
sn je normálové napětí, působí ve směru normály n
tnv je smykové napětí, působí v rovině plošky dAve směru stopy v síly dFn
Vnitřní síly, napětí
xs
xztxyt
yq
zq
xnxm
dA
N
zVyV
zq yq
xnxm
Indexy napětí
xs
xztxyt
yq
zq
xnxm
dA
N
zVyV
zq yq
xnxm
Znaménková konvence:Pravidlo pravé rukyKonvence dle Stavební statiky
N
zVyV
zq yq
xnxm
Stav napjatosti tělesa
Znaménková konvence,indexy u napětí
Věta o vzájemnosti smykových napětí - důležité
Posuny (přemístění) konkrétních bodů zkoumaného tělesa
Deformace a posuny v tělese
Poměrné deformace (přetvoření)
Posuny (přemístění) konkrétních bodů zkoumaného tělesa
Poměrné deformace (přetvoření)Délkové poměrné deformace
Poměrné deformace (přetvoření)
Úhlové poměrné deformace
Geometrické rovnice
dx
y
dx
x
u
dx
dxdxx
udx
AB
ABBA
x
xxx
+
''
e
Popisují vztahy mezi složkami poměrných deformací tělesa a složkami posunůlibovolných bodů v tomto tělese.
dx
y
Geometrické rovnice
x
v
y
u
dx
dydxx
vdy
dy
dxdyy
udx
AB
ABBA
AB
ABBA
xy
x
yy
y
xxxy
+
+
+
+
+
''''
dx
Materiál - Pracovní diagramy (tady oceli a betonu – osově namáhaný prut)
vyjadřují vztah mezi napětím a deformací (poměrnou)
kapitola 2.2 skript nebo Stavební hmoty
Plasticita: schopnost materiálu deformovat se trvale bez porušení.
Tažnost: plastické protažení přetržené tyče (vzdálenost /OT/), ocel 15%.
Pracovní diagram ideálně pružnoplastického materiáluv tahu i tlaku (platí i pro smyk – viz dále)
E.xx es
E…Modul pružnosti v tahu a tlaku [MPa] (jedna ze tří materiálových konstant)
fy napětí na mezi kluzu εx
V pružné (lineární) oblasti (do hodnoty napětí na mezi kluzu) platí Hookeův zákon:
Platí pro kladné hodnoty napětí (tah) i záporné (tlak)
Lineárně pružný materiál - Hookeův zákon
= arctg E
sx ... normálové napětí [Pa]
ex ... poměrné deformace [-](prodloužení, zkrácení)
E ... Youngův modul pružnostiv tahu a tlaku [Pa](jedna ze tří materiálových konstant)
Hookeův zákon - definuje vztahy mezi napětími a deformacemi, závisí na
fyzikálních a mechanických vlastnostech materiálu, platí pouze v lineární oblasti.Matematicky ho popisují fyzikální rovnice.
Y
+sx
fy mez kluzu
εelast.
Pružná oblast
Oblast platnosti Hookeova zákona
E.xx es
ε
s
ex = ∆l/l
Ee
stan
Fyzikální rovnice pro tah a prostý tlak (zakresleno pouze pro tah):
Hookeův zákon
Strmost přímky (arctg E) závisí na pružnosti materiálu
Lineárně pružný materiáljiné znění Hookeova zákona
= arctg E
Y
+sx
fy mez kluzu
εelast.
Pružná oblast
Oblast platnosti Hookeova zákona
E.xx es
ε
s
ex = ∆l/l
Ee
stan
Odvození pro tah a prostý tlak(zakresleno pouze pro tah):
do Hookeova zákona dosadit co již známo:
,A
Nx s
EA
Nll
l
l
x
ux
e
jiné zněníHookeova zákona
Hookeův zákon
= arctan G
txz ... smykové napětí [Pa]
xz ... zkosení
G ... modul pružnosti ve smyku [Pa]
txz
xz
G
ttan
Gxzxz t
(jedna ze tří materiálových konstant)
Lineárně pružný materiál - Hookův zákon ve smyku
Hookeův zákon - definuje vztahy (fyzikální) mezi napětími a deformacemi, závisí na
fyzikálních a mechanických vlastnostech materiálu, platí pouze v lineární oblasti
1. Vnější zatížení Osa x vždy osa prutu – pozor u sloupu!!!
R
+N
Vnější osové zatížení F → vnitřní síla N →normálové napětí σx
(intenzita vnitřních sil)[MPa]
Tah, tlak – pozor jednotky!!! (řády)
x
lF
Př.: Jak velké napětí vznikne, je-li N=10kN a A=10cm2?
a) Napětí taženého (tlačeného) prutu
Zatížení osově namáhaného prutu – napětí a deformace
b) deformace taženého (tlačeného) prutu(geometrické rovnice) naučit kap.1.3 učebnice
rozměrové změny:
l
lx
e
xzy eee
deformace podélná(bezrozměrná veličina)
deformace příčná
b´ = b+∆bh´ = h+∆h
b
by
e
h
hz
e
l´= l + ∆l
50,νPoissonův součinitel příčné deformace(jedna ze tří materiálových konstant)
Kruhový průřez průměr d?
x
F
l Δl
z
b
h
b´
h´y
Materiálové konstanty
υG
E+ 12
2) Změna teploty
TTzTyTxT eee
T - součinitel teplotní roztažnosti [°C-1]
lTl T ..
není-li bráněno deformaci → napětí = 0 → neplatí Hookeův zákonbude vysvětleno zachvíli
+ΔT
εxT = Δl/l = Δb/b = Δh/h = Δd/d
l´= l + ∆l
b´ = b+∆bh´ = h+∆h
a) napětí
b) deformace
ba
Nosník se v podpoře b posune,nevznikne N ani napětí
+ΔT
Určete rozměrové změny a napětí v oceli a v betonu. Konstrukce dle obrázku.
Příklad domácí úkol
1
2
h1=
0,5
mh
2=
0,2
m
P1=150kN
P2=165kNP2
a = 0,15m
b =
0,1
m
E1 = 210 000MPaν1 = 0,3
E2=33 500MPaν2 = 0,2
N
--
ocel
beton
d´= 30,009mm, a´= 150,029mm, b´= 100,019mm,
h1´=499,495mm, h2´=199,809mm, h´= 699,304mm
σ1= -212,21MPa, σ2= -32,0MPa … normálové napětí
d1 = 0,03m
PůdorysPohled
Okruhy problémů k ústní části zkoušky
1. Pružnost a pevnost ve stavebním inženýrstvíVýchozí předpoklady klasické lineární pružnostiPojem plasticita, teorie malých deformací,teorie II.řáduNapětí, stav napjatosti tělesa
2. Vztahy mezi napětími a vnitřními silami v průřezu prutu, diferenciální podmínky rovnováhyZákladní typy namáhání - prosté a složenéSaint - Venantův princip lokálního účinku
3. Deformace a posuny v tělese, geometrické rovnice4. Fyzikální rovnice, Hookeův zákon, lineárně pružný materiál
5. Pracovní diagramy stavebních materiálůNepružný a ideálně pružno-plastický materiál, tažnost
6. Deformace od změny teploty
7. Napětí při osovém tahu a tlaku
8. Přetvoření taženého a tlačeného prutu
9. Materiálové konstanty
Základní typy namáhání
1. Osové namáhání 2. Ohyb 3. Kroucení 4. Smyk
ba
F
+
Normálová síla N 0
ba-
tah
tlak
FRax
Rax
NN
NN
pro průřez platí: N Nx
1. Osové namáhání 2. Ohyb 3. Kroucení 4. Smyk
Ohybový moment My , Mz 0
b
Rbz
a
Raz
FM M
b
Rbz
a
Raz FM M
tah
tah
tlak
tlak
-
+
Základní typy namáhání
pro rovinu xz platí: M My
1. Osové namáhání 2. Ohyb 3. Kroucení 4. Smyk
Kroutící (torzní)moment T 0
+y
+z+x
1
2 3
F1
F2
F3
Vnitřní síly na prutu 2 od vnějšího zatížení:
F1: N, Mz
F2: Vy, Mz
F3: Vz, Mx, My
nv = 6 Např. prostorově lomený nosník
Základní typy namáhání
Při kroucení platí: T Mx
1. Osové namáhání 2. Ohyb 3. Kroucení 4. Smyk
Posouvající síla Vy , Vz 0
ba
VV
RbzRaz
F
VV-+
Základní typy namáhání
pro rovinu xz platí: V Vz
