Téma 5: Kroucenífast10.vsb.cz/krejsa/studium/pp_tema05.pdfKatedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského studia

Téma 5Kroucení

• Základní principy a vztahy• Smykové napětí a přetvoření• Úlohy staticky určité a staticky neurčité

2 / 31

Kroutící moment

Základní principy a vztahy

Kroutící (torzní)moment T 0

+y

+z +x

1

2 3

F1

F2F3

Vnitřní síly:N, T (vždy),Vy, Vz, My, Mz (prut rovnoběžný s osou x)Vx, Vz, Mx, Mz (prut rovnoběžný s osou y)Vx, Vy, Mx, My (prut rovnoběžný s osou z)

nv = 6 Např. prostorově lomený nosník

3 / 31

Prosté kroucení


Ukázka prvku namáhaného kroucením –dřevěný rumpál

4 / 31

Prosté kroucení


Jediná nenulová složka vnitřních sil v libovolném průřezu prutu je kroutící (torzní) moment T = Mx.

0 zy VV 0 zy MM0N

Nejjednodušší řešení lze získat u prutů rotačně symetrického průřezu – kruhového a mezikruhového.

ddt

5 / 31

Základní předpoklady

a) osa prutu zůstane i po deformaci přímá

b) průřezy zůstávají rovinnými i po deformaci a vzájemně se nevzdálí

c) jednotlivé průřezy se otáčejí jako tuhé celky (průvodiče se nezkřiví)

00 xx

xMT

x

xd

Smykové napětí a přetvoření

6 / 31

Prosté kroucení přímého prutu kruhového průřezuxd

xMT

xx

x

xx d

AC

BD

AC

BD

xdx

- průřez x se pootočí o x AA xxx .tan

- průřez x+dx se pootočí o xx d BB

- původně pravoúhlý prvek ABDC se zkosí o

x

x

dd.

xx

dd ... poměrný úhel zkosení [m-1]


7 / 31

d dd

Ad.Ad

ST

r

r,0

ST r

max

rsr

t

max

... GG ... dle Hookova zákona ve smyku

pAA A

x IGAGAGdAMT ..d..d..... 2 ... polární moment setrvačnosti ke středu kruhu [m4]pI

32.

2. 44 drII tp

... moment tuhosti v kroucení [m4]tI... platí u kruhového průřezu

4444 .32

.2 sstp ddrrII

... platí u mezikruhového průřezu


Prosté kroucení přímého prutu (mezi)kruhového průřezu

8 / 31

d dd

Ad.Ad

ST

r

r,0

ST r

max

rsr

t

max

px IGMT .. ..G tp

x

IM

,

.

tp

x

IrM

,max

.

... maximální smykové napětí (po obvodu) [MPa]


Smykové napětí prutu (mezi)kruhového průřezu

9 / 31

Deformace prutu kruhového průřezu x [rad]


r

x

zy

x

xMT

l

CxIG

MCxxxtp

xx d.

.d.

,

okrajová podmínka: 00 xx

pro Ip = konst. a zatížení koncovým kroutícím momentem T:

tptptp

x IGxTx

IGTx

IGTx

,,, ..d.

.d

.

tpx IG

lTlx,

max, ..

rozvinutý plášť:

l

lr. xr x.x

10 / 31

Kroucení prutů obecného průřezu

Dochází k deplanaci – porušení rovinnosti průřezu. Pokud nenídeplanaci bráněno, vzniká volné kroucení (x=0) jinak vázanékroucení.

U prutů obecného průřezu vzniká kroucení k ose, jež je spojnicí středůsmyků, které nemusí být shodné s těžištěm. U masivních průřezů nenítento rozdíl významný, respektuje se u tenkostěnných průřezů.

Předpoklady:

a) příčný tvar průřezů se nemění, každý průřez se pootáčí kolem osy prutu jako tuhý celek.

b) x=0 , vzniká však deplanace, jež je shodná ve všech řezech.


11 / 31

Kroucení prutů obecného průřezu

A A

B

B

b

h

B

max

t

x

WM

max průřezový modul v kroucení [m3]tW

Pro :hbIt .. 3 ... [m4]

hbWt .. 2 ... [m3]

bezrozměrné součinitele [-] (tab.5.1) ,

vzniká ve středu delší strany obdélníka

max

...

...

...


12 / 31

Kroucení tenkostěnných prutů otevřeného průřezu

Často nelze zanedbat vliv vázaného kroucení

ht

t

hmax

htIt ..31 3

tIhtW t

t ..31 2

Složené průřezy

n

iii

n

iitt htII

1

3

1, ..

3.

... korekční součinitel, dle zkoušek (tab.5.2)

vzniká v části s největší tloušťkou, takže maxmax

min, tIW t

t


13 / 31

PříkladZadání: m2,3l

kNm6,0, dxMVálcovaný profil U160

MPa791,8410.10.07619,7

10.6,0 66

3,

max

t

dx

WM

369

max

m10.07619,70105,0

10.3,74

tIW t

t

49 m10.3,74 tI m10.5,10 3max

tt f

Z tabulek válcovaných profilů – pro profil U160


14 / 31

Kroucení tenkostěnných prutů uzavřeného průřezuNapř. mezikružný průřez. Při malé tloušťce je = konst.

Smykový tok: výslednice smykových napětí v řezu napříč tloušťkou průřezu.

max vzniká v nejužším místě průřezu.

min..2 tAW kt

plocha ohraničená střednicí průřezu [m2]

kA ...

nejužší místo průřezu [m]mint ...

Tuhost v kroucení:

s

kt

stdsAI

2.4

n

i i

i

kt

th

AI

1

2.4... křivkový integrál, vztahující se na celou délku střednice průřezu

... pro průřezy po částech konstantní


15 / 31

PříkladZadání:

?tW ?tI

1 2,0.75,11 A

2 25,0.50,22 A

3 2,0.546,13 A

2m1875,32

75,15,2.5,1

kA

Plocha omezená střednicí:

3min m275,1..2 tAW kt

44

1

2

m187918,121165,3464063,40.4

i i

i

kt

th

AI


16 / 31

Mimoúrovňové křížení dálnice D47, Rudná, Ostrava

Ukázky konstrukcí namáhaných kroucením

17 / 31



18 / 31



19 / 31Ukázky konstrukcí namáhaných kroucením





Most přes řeku Odru, Rudná, Ostrava











27 / 31

Průřezové charakteristiky vybraných obrazců

Průřezové charakteristiky v

kroucení vybraných obrazců:(tab.5.3)


28 / 31

Návrh a posudek prutu namáhaného kroucením

Posouzení návrhudle MS únosnosti

Návrh nosné konstrukce

Realizace

Dimenzování

maxmin, ,, dtEd fWT

tdRdEd WfTT .

RdTzvětšit


1Rd

Ed

TT

29 / 31

Návrh a posudek prutu namáhaného kroucením

Podmínka spolehlivé únosnosti:

RdEd TT

na úrovni vnitřních sil

index Ed ... návrhové zatíženíindex Rd ... návrhová pevnost (resistance)

Mezní stav použitelnosti: limmax

ty

tdRd Wf

WfT .3

.

(od charakteristických hodnot zatížení!!!)

3yd

d

ff

... napětí na mezi kluzu ve smyku [MPa]


1Rd

Ed

TT

Ocel:

30 / 31

Staticky neurčité případy kroucení

Úlohy staticky určité a staticky neurčité

Předpoklad řešení:pružné chování materiálu

Neznámé v úloze: 2,,1,, , xbxxax MMMM

Podmínka rovnováhy: 0,,, cxbxax MMM :0,ixM

Podmínka deformační:0

..2

1 ,

, i iti

iix

IGlM

:0 i

Oboustranně vetknutá hřídel

l

ba

1l 2l

cxM ,

c

bxM ,axM ,

TaxM ,

bxM ,

31 / 31

Okruhy problémů k ústní části zkoušky

1. Prosté kroucení, výpočet napětí a přetvoření prutus rotačně symetrickým průřezem

2. Kroucení prutů obecného průřezu3. Kroucení prutů s tenkostěnným průřezem4. Návrh a posudek prutu namáhaného kroucením5. Staticky neurčité případy kroucení

Podklady ke zkoušce

Documents

Téma 5: Kroucenífast10.vsb.cz/krejsa/studium/pp_tema05.pdfKatedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského