PrzykładyZastosowaniaŚrednichW GeometriiOpracowanie: Katarzyna Wróbel kl. Id

Średnia Arytmetyczna

Średnią arytmetyczną liczb , , ..., nazywamy liczbę

x1 x2 xn

n

xi

n

x

n

iaS

1

Nn

Rxi

Średnia Kwadratowa

Średnią kwadratową liczb , , ..., nazywamy liczbę

x1 x2 xn

n

x

n

xxx

n

ii

nkS

1

222

221

Średnia Geometryczna

Średnią geometryczną liczb , , ..., nazywamy liczbę

x1 x2 xn

Ni 0ix

ni

n

i

nng

xxxxS 121

Średnia Harmoniczna

Średnią harmoniczną liczb , , ..., nazywamy liczbę

x1 x2 xn

n

i in

h

x

n

xxx

nS

121

1111

Twierdzenie

Jeżeli , ,..., są rzeczywistymi liczbami dodatnimi, to , przy czym równość

występuje tylko wtedy, gdy = =...= .

Spróbujmy podstawić do nich liczby 2,4 a potem 3,4,5,6:

x1 x2 xnSSSS kagh

x1 x2 xn

162,32

42

667,2

41

21

2

828,242

32

42

22

k

h

g

a

S

S

S

S

637,44

6543

211,4

61

51

41

31

4

356,46543

5,44

6543

2222

4

k

h

g

a

S

S

S

S

Średnia arytmetyczna

Odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość równą średniej arytmetycznej długości jego podstaw.

Średnia geometryczna

Odcinek równoległy do podstaw i dzielący trapez ABCD na dwa trapezy podobne ma długość średniej geometrycznej długości jego

podstaw.

Średnia harmoniczna

Odcinek równoległy do podstaw i przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu ma długość równą średniej harmonicznej długości

jego podstaw.

Średnia kwadratowa

Odcinki i okrąg to jedna z geometrycznych interpretacji średnich.

Średnia geometryczna

Odcinek stycznej zawarty między punktami styku stycznej z kołami ma długość równą podwojonej średniej geometrycznej długości promieni

kół.

rRx

rRx

rRrRRrRrx

rRRrx

2

4

222

22222

222

Średnia geometryczna

W trójkącie prostokątnym wysokość spuszczona z kąta prostego jest równa średniej geometrycznej z odcinków przeciwprostokątnej, na które

dzieli ją ta wysokość

y

h

h

x

xyh

xyh

2

Średnia harmoniczna

Odcinek CD leżący na dwusiecznej kąta prostego C, gdzie D należy do przeciwprostokątnej AB, jest przekątną kwadratu o boku równym

(średnia harmoniczna a i b)

ba

ab

Średnia kwadratowa

Odcinek CE leżący na dwusiecznej kąta prostego C o długości równej połowie przeciwprostokątnej AB jest przekątną kwadratu, którego bok ma długość będącą połową średniej kwadratowej przyprostokątnych.

22

1 22ba