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¶PøTO TEYXO™
M·ıËÌ·ÙÈο Aã¢ËÌÔÙÈÎÔ‡
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5
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7
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8
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OOÈÈ ‹‹ÚÚˆ̂˜̃ ÙÙÔÔ˘̆ ‚‚ÈÈ‚‚ÏÏ››ÔÔ˘̆ 6-7
¶¶ÂÂÚÚÈȱfifiÌÌÂÂÓÓ·· 8-9
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Aã ¶ÂÚ›Ô‰Ô˜∞ÚÈıÌÔ›: √È ·ÚÈıÌÔ› ̤¯ÚÈ ÙÔ 20 – ∆· ۇ̂ÔÏ· Ù˘
Û‡ÁÎÚÈÛ˘ – ∆·ÎÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›. ¶Ú¿ÍÂȘ: ¶ÚÔÛı¤ÛÂȘ Ì ·ÚÈıÌÔ‡˜ ̤¯ÚÈ ÙÔ 10.°ÂˆÌÂÙÚ›·: ¶ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi˜ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ – °ÂˆÌÂÙÚÈο
Û¯‹Ì·Ù·.ªÂÙÚ‹ÛÂȘ: ™‡ÁÎÚÈÛË Û˘Ó¯ÒÓ ÌÂÁÂıÒÓ –
∆· ÓÔÌ›ÛÌ·Ù· ̤¯ÚÈ ÙÔ 10.
EÓfiÙËÙ· 1Ë: √π ∞ƒπ£ª√π ª∂Ãπ ∆√ 5 – Ãøƒ√™ ∫∞π ™Ã∏ª∞∆∞
11 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô: ¶ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi˜ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-11
12 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô: °ÂˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-13
13 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô: ™‡ÁÎÚÈÛË Î·È ÂÎÙ›ÌËÛË ÔÛÔÙ‹ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . 14-15
14 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4Ô: √È ·ÚÈıÌÔ› ·fi ÙÔ 1 ¤ˆ˜ ÙÔ 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-17
15 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5Ô: ∞Ú›ıÌËÛË, ·Ó¿ÁÓˆÛË Î·È ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ (I) . . . 18-19
16∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô: ∞Ú›ıÌËÛË, ·Ó¿ÁÓˆÛË Î·È ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ (II) . . . 20-21
17 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 7Ô: ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ó¿Ï˘ÛË ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì¤¯ÚÈ ÙÔ 5 (π) . . 22-23
18 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 8Ô: ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24-25
EÓfiÙËÙ· 2Ë: ¶ƒ√™£∂™∏ ∫∞π ∞¡∞§À™∏ ∞ƒπ£ªø¡ ª∂Ãπ ∆√ 5
19 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 9Ô:™‡ÁÎÚÈÛË ÌÂÁÂıÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26-27
10 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 10Ô: √È ·ÚÈıÌÔ› ·fi ÙÔ 6 ̤¯ÚÈ ÙÔ 10 (I) . . . . . . . . . . . . . 28-29
11 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 11Ô: √È ·ÚÈıÌÔ› ·fi ÙÔ 6 ̤¯ÚÈ ÙÔ 10 (II) . . . . . . . . . . . . . . 30-31
12 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 12Ô: ™‡ÁÎÚÈÛË ·ÚÈıÌÒÓ – ∆· ۇ̂ÔÏ· =, > Î·È < . . . . . . . 32-33
13 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 13Ô: ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ó¿Ï˘ÛË ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì¤¯ÚÈ ÙÔ 5 (ππ) . . 34-35
14 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 14Ô: °Ú·Ê‹ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Ì ÙË ¯Ú‹ÛË Û˘Ì‚fiÏˆÓ . . . . . 36-37
15 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 15Ô: ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38-39
16 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 16Ô: ∂·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40-41
9
¶ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi˜ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ1
10
11¶ËÁ·›Óˆ ¢ı›· Î·È ÛÙÚ›‚ˆ ‰ÂÍÈ¿.÷ڿ˙ˆ Ì ÙÔ ÌÔχ‚È ÙË ‰È·‰ÚÔÌ‹.
∆Ô ·˘ÙÔΛÓËÙÔ ÛÙÚ›‚ÂÈ ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ‹ ‰ÂÍÈ¿;
22÷ڿ˙ˆ ÌÈ· ÁÚ·ÌÌ‹, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ٷ ÎfiÎÎÈÓ· ÏÔ˘ÏÔ‡‰È·
Ó· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Ì¤Û· ÛÙË ÁÚ·ÌÌ‹.
11
33
ÂÓfiÙËÙ· 1Ë
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°ÂˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·2
12
11
22Ãڈ̷ٛ˙ˆ Ì ÙÔ ›‰ÈÔ ̄ ÚÒÌ· Ù· ÁˆÌÂÙÚÈο ÛÙÂÚ¿.
™˘Ó‰¤ˆ Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ Î·È Ù· ̆ fiÏÔÈ· Û¯‹Ì·Ù·.
13
33™˘Ó‰¤ˆ Ù· Û¯‹Ì·Ù· Ì ÙÔ fiÓÔÌ¿ ÙÔ˘˜.
ÂÓfiÙËÙ· 1Ë
44Ãڈ̷ٛ˙ˆ Ì ÙÔ ›‰ÈÔ ̄ ÚÒÌ· ·˘Ù¿ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Û¯‹Ì·.
TÚ›ÁˆÓÔ Î‡ÎÏÔ˜ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ
™‡ÁÎÚÈÛË Î·È ÂÎÙ›ÌËÛË ÔÛÔًوÓ311
14
22
33§¤ˆ fiÛ˜ Â›Ó·È ÔÈ ÎÔ˘ÎΛ‰Â˜.
™˘Ó‰¤ˆ Ì ÌÈ· ÁÚ·ÌÌ‹ ÙȘ Û˘ÏÏÔÁ¤˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ›ÛÔ ·ÚÈıÌfi ·ÓÙÈÎÂÈ̤ӈÓ.
¶·Ú·ÙËÚÒ Û οı ÂÈÎfiÓ· fiÛ· Â›Ó·È Ù· ‰¿¯Ù˘Ï·.¢È·Áڿʈ ·fi οı ÂÈÎfiÓ· Ù· ·ÓÙÈΛÌÂÓ· Ô˘ ÂÚÈÛÛ‡ԢÓ.
ÂÓfiÙËÙ· 1Ë
15
55
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∑ˆÁÚ·Ê›˙ˆ ¤Ó· ΢ÎÏ¿ÎÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ. ∑ˆÁÚ·Ê›˙ˆ ¤Ó· ΢ÎÏ¿ÎÈ ÏÈÁfiÙÂÚÔ.
77
44
1 ...2 10
4. OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·ÚÈıÌÔ‡Ó ÚÔÊÔÚÈο ̤¯ÚÈ ÙÔ 10, ÍÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ‰È¿ÊÔÚÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
¶·Ú·ÙËÚÒ ÙËÓ ÂÈÎfiÓ· Î·È Û˘Ó¯›˙ˆ Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ.
™¯Â‰È¿˙ˆ ÙfiÛ˜ ÁÚ·Ì̤˜ fiÛ· Â›Ó·È Ù· ·˘ÙÔÎÈÓËÙ¿ÎÈ·.
II
¶ÚÔÊÔÚÈ΋ ·Ú›ıÌËÛË.
OÈ ·ÚÈıÌÔ› ·fi ÙÔ 1 ¤ˆ˜ ÙÔ 54
16
22
33
1. ¢Â›¯ÓÔ˘Ì ÙȘ ηÚ٤Ϙ Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ‰È·‚¿˙Ô˘Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜.
11¢È·‚¿˙ˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
2 4 1 3 5
™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙËÓ ÂÈÎfiÓ· Ì ٷ Ì‹Ï· Î·È ÙȘ ÎÔ˘ÎΛ‰Â˜ Ô˘ Ï›ԢÓ.
µ¿˙ˆ Û ·ÎÏÔ ÙfiÛ· ·È¯Ó›‰È· fiÛ· ‰ËÏÒÓÂÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜.
2
2
3
5
4
3
5
17
55
66
ÂÓfiÙËÙ· 1Ë44
¶fiÛ˜ Â›Ó·È ÔÈ ÎÔ˘ÎΛ‰Â˜;
4. ¢Â›¯ÓÔ˘Ì ÙȘ ηÚ٤Ϙ Ì ÙȘ ÎÔ˘ÎΛ‰Â˜ Î·È ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó fiÛ˜ ›ӷÈ.
µÚ›ÛΈ fiÛ· Â›Ó·È Ù· ‰¿¯Ù˘Ï· Î·È Ù· ΢‚¿ÎÈ· Î·È Ù· Û˘Ó‰¤ˆ Ì ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
ªÂÙÚÒ Ù· Ì·ÏfiÓÈ· Ô˘ ÎÚ·Ù¿ οı ·È‰› Î·È Û˘Ó‰¤ˆÙËÓ ÂÈÎfiÓ· Ì ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ·ÚÈıÌfi.
2 4 3 5
4
3
5
2
∞Ú›ıÌËÛË, ·Ó¿ÁÓˆÛË Î·È ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ (I)5
18
22
33
11∑ˆÁÚ·Ê›˙ˆ fiÛ˜ ÎÔ˘ÎΛ‰Â˜ Ú¤ÂÈ.
2
3
1
4
1. H ‰·ÛοϷ ϤÂÈ ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi ̤¯ÚÈ ÙÔ 5 Î·È ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ̇ ˆÁÚ·Ê›˙Ô˘Ó ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë Û˘ÛÙÔȯ›· Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ ÙÔ˘ ̇ ·ÚÈÔ‡.
¶·Ú·ÙËÚÒ Î·È Áڿʈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 2.
¶·Ú·ÙËÚÒ ÙȘ ÂÈÎfiÓ˜ Î·È ÙȘ ÂÓÒÓˆ Ì ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
2
2
19
44
55
ÂÓfiÙËÙ· 1Ë
3
3
Ãڈ̷ٛ˙ˆ οı ÊÔÚ¿ ÙfiÛ· ΢ÎÏ¿ÎÈ· fiÛ· Â›Ó·È Ù· ·ÓÙÈΛÌÂÓ·.
¶·Ú·ÙËÚÒ Î·È Áڿʈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 3.
∞Ú›ıÌËÛË, ·Ó¿ÁÓˆÛË Î·È ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ (II)6
20
22
33
11∞ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ·Ú›ıÌËÛË ÍÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ÙÔ 10.
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
¶·Ú·ÙËÚÒ Î·È Áڿʈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 5.
5
5
∂ÓÒÓˆ Ì ÌÈ· ÁÚ·ÌÌ‹ ÙȘ ÎÔ˘ÎΛ‰Â˜ Ì ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
21
66™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Ï›ԢÓ.
55
ÂÓfiÙËÙ· 1Ë
3 6 7 8 9 104. ∆· ·È‰È¿ ÌÂÙÚÔ‡Ó ÙȘ ÎÔ˘ÎΛ‰Â˜ Î·È Ï¤Ó fiÛ˜ ›ӷÈ.
44¶fiÛ˜ Â›Ó·È ÔÈ ÎÔ˘ÎΛ‰Â˜;
Ãڈ̷ٛ˙ˆ ÙfiÛ˜ ̿Ϙ fiÛ˜ ‰Â›¯ÓÔ˘Ó ÔÈ ·ÚÈıÌÔ›.
2
4
5
3
6
¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ó¿Ï˘ÛË ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì¤¯ÚÈ ÙÔ 5 (π)7
22
11
22™˘ÌÏËÚÒÓˆ ‹ ‰È·Áڿʈ ÊÚÔ‡Ù·,
ÁÈ· Ó· Â›Ó·È ÙfiÛ· fiÛ· ‰ËÏÒÓÂÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜.
™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Ï›ԢÓ.
2
5
3
3 4 2
4 5
4
1 3 1 4 1
3
ÂÓfiÙËÙ· 1Ë
23
44¶·Ú·ÙËÚÒ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙȘ ÎÔ˘ÎΛ‰Â˜
Î·È ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Ï›ԢÓ.
55°Ú¿Êˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
3. OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·Ú·ÙËÚÔ‡Ó ÙÔ˘˜ Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡˜ Î·È Ï¤Ó ÚÔÊÔÚÈο ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ·ÚÈıÌfi.
33¶fiÛ˜ Â›Ó·È ÔÈ ÎÔ˘ÎΛ‰Â˜;
1 1 2 2
1 1 2 2
3 3 4 4
3 3 5 5
Î·È Î·È
Î·È Î·È
Î·È Î·È
1 2
4 5
2 5
E·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·8
24
22
33
1. §¤Ì ÛÙ· ·È‰È¿ ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi ·fi ÙÔ 1 ̤¯ÚÈ ÙÔ 10 Î·È ÙÔ˘˜ ̇ ËÙԇ̠ӷ Ì·˜ Ô˘Ó ÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ Î·È ÙÔÓ ÂfiÌÂÓÔ ·ÚÈıÌfi.
11¶ÔÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ÚÈÓ Î·È ÔÈÔ˜ ÌÂÙ¿;
3 4 5 ...
µ¿˙ˆ Û ·ÎÏÔ fiÏ· Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· Î·È ̄ ڈ̷ٛ˙ˆ ·˘Ùfi Ô˘ Â›Ó·È ›‰ÈÔ Ì ÙÔ ÚfiÙ˘Ô.
¶fiÛ· Â›Ó·È fiÏ· οı ÊÔÚ¿;
¶ÚfiÙ˘Ô
ηÈ
ηÈ
ŸÏ· ›ӷÈ
ŸÏ· ›ӷÈ
ŸÏ· ›ӷÈ
ŸÏ· ›ӷÈ
ηÈ
ηÈ
21
1
25
55
66
ÂÓfiÙËÙ· 1Ë
4. ∏ ‰·ÛοϷ ϤÂÈ ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi ̤¯ÚÈ ÙÔ 5 Î·È ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ˙ˆÁÚ·Ê›˙Ô˘Ó ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë Û˘ÛÙÔȯ›· Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ ÙÔ˘ ̇ ·ÚÈÔ‡.
44∑ˆÁÚ·Ê›˙ˆ ÎÔ˘ÎΛ‰Â˜.
Ãڈ̷ٛ˙ˆ Ì ÙÔ ›‰ÈÔ ̄ ÚÒÌ· Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Û¯‹Ì·Ù·.
ªÔÈÚ¿˙ˆ ÙȘ ηڷ̤Ϙ Û ‰‡Ô ̤ÚË Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜. ™˘ÌÏËÚÒÓˆ Ù· ÎÔ˘Ù¿ÎÈ· Ì ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
5
ηÈ
ηÈ
ηÈ
ηÈ
ηÈ
™‡ÁÎÚÈÛË ÌÂÁÂıÒÓ9
26
11°Ú¿Êˆ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÁÈ· Ó· ÌÔ˘Ó ÛÙË ÛÂÈÚ¿ Ù· ·ÓÙÈΛÌÂÓ·
·fi ÙÔ ÈÔ Ì·ÎÚ‡ ̂ ˜ ÙÔ ÈÔ ÎÔÓÙfi.
°Ú¿Êˆ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÁÈ· Ó· ÌÔ˘Ó ÛÙË ÛÂÈÚ¿ Ù· ‚È‚Ï›··fi ÙÔ ÈÔ Ï·Ù‡ ̤¯ÚÈ ÙÔ ÈÔ ÛÙÂÓfi.
°Ú¿Êˆ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÁÈ· Ó· ÌÔ˘Ó ÛÙË ÛÂÈÚ¿ Ù· Û΢ÏÈ¿ ·fi ÙÔ ÈÔ ̄ ÔÓÙÚfi ̂ ˜ ÙÔ ÈÔ ÏÂÙfi.
1
ÂÓfiÙËÙ· 2Ë
27
22
¶ÔÈÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Â›Ó·È:
ÙÔ ÈÔ „ËÏfi; ..... ÙÔ ÈÔ ̄ ·ÌËÏfi; ..... ÙÔ ÈÔ Ï·Ù‡; ..... ÙÔ ÈÔ ÛÙÂÓfi; .....
33
¢°BA
∑ˆÁÚ·Ê›˙ˆ ¤Ó· Ê›‰È ÈÔ Ì·ÎÚ‡ Î·È ÈÔ ̄ ÔÓÙÚfi.
∑ˆÁÚ·Ê›˙ˆ ¤Ó· ÎÔ˘Ù›ÈÔ Ï·Ù‡ Î·È ÈÔ „ËÏfi.
∑ˆÁÚ·Ê›˙ˆ ¤Ó· ÎÔ˘Ù›ÈÔ ÛÙÂÓfi Î·È ÈÔ ̄ ·ÌËÏfi ·fi ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi.
OÈ ·ÚÈıÌÔ› ·fi ÙÔ 6 ̤¯ÚÈ ÙÔ 10 (π)10
28
11
22
33
ŸÏ· Ì·˙› Â›Ó·È ÃˆÚ›˙ÔÓÙ·È Û Èڛ˙ÔÓÙ·È ÛÂ
Î·È Î·È
ŸÏ· Ì·˙› Â›Ó·È ÃˆÚ›˙ÔÓÙ·È Û Èڛ˙ÔÓÙ·È ÛÂ
Î·È Î·È
¶·Ú·ÙËÚÒ Î·È Áڿʈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 8.
8
¶fiÛ· Â›Ó·È fiÏ· Ù· „¿ÚÈ·; ¶Ò˜ ̄ ˆÚ›˙ÔÓÙ·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜; °Ú¿Êˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
¶fiÛ· Â›Ó·È fiÏ· Ù· ‰ÂÏÊ›ÓÈ·; ¶Ò˜ ̄ ˆÚ›˙ÔÓÙ·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜; °Ú¿Êˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
ÂÓfiÙËÙ· 2Ë
29
44
55¶·Ú·ÙËÚÒ ÙȘ ÂÈÎfiÓ˜ Î·È ÙȘ ÂÓÒÓˆ Ì ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
6 8 7 5
µÚ›ÛΈ fiÛ· Â›Ó·È fiÏ· Ù· ̇ Ò· Î·È Áڿʈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi. Ãڈ̷ٛ˙ˆ fiÛ· ΢ÎÏ¿ÎÈ· Ú¤ÂÈ.
6
OÈ ·ÚÈıÌÔ› ·fi ÙÔ 6 ̤¯ÚÈ ÙÔ 10 (ππ)11
30
11
22™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Ï›ԢÓ.
Ãڈ̷ٛ˙ˆ ÙfiÛ· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· fiÛ· ‰ËÏÒÓÂÈ Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯԘ ·ÚÈıÌfi˜.
¶·Ú·ÙËÚÒ Î·È Áڿʈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 9.
9
9
0 1 2 5
31
44
ÂÓfiÙËÙ· 2Ë33
°Ú¿Êˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ·ÎÔ‡ˆ.
3. ∏ ‰·ÛοϷ ̆ ·ÁÔÚ‡ÂÈ ÌÂ Ù˘¯·›· ÛÂÈÚ¿ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·fi ÙÔ 4 ¤ˆ˜ ÙÔ 10, ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÁÚ¿ÊÔ˘Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜.
5 4Î·È 5 5ηÈ
ηÈ
ηÈ
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Î·È Î·È
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ηÈ
ηÈ
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9 10
ªÔÈÚ¿˙ˆ Ù· Û¯‹Ì·Ù· Û ‰‡Ô ̤ÚË Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜ Î·È Ù· ۯ‰ȿ˙ˆ. ™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜
·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
™‡ÁÎÚÈÛË ·ÚÈıÌÒÓ –∆· ۇ̂ÔÏ· =, > Î·È <12
32
22
33
1. §¤Ì ÛÙ· ·È‰È¿ ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi ·fi ÙÔ 1 ̤¯ÚÈ ÙÔ 10 Î·È ÙÔ˘˜ ̇ ËÙԇ̠ӷ Ì·˜ Ô˘Ó ÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ Î·È ÙÔÓ ÂfiÌÂÓÔ ·ÚÈıÌfi.
11µÚ›ÛΈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÚÈÓ Î·È ÌÂÙ¿.
7 8 9
™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È Û˘ÁÎÚ›Óˆ.
™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙȘ ϤÍÂȘ Î·È ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
4
4 >
2
5
ÙÚ›·
¤Ó·
33
55∑ˆÁÚ·Ê›˙ˆ „¿ÚÈ· Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
66™˘ÌÏËÚÒÓˆ ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi.
ÂÓfiÙËÙ· 2Ë
4. ·) ∏ ‰·ÛοϷ ϤÂÈ ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi ̤¯ÚÈ ÙÔ 10 Î·È ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó ‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔÈÎ·È ‰‡Ô Ô˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔÈ ·fi ·˘ÙfiÓ.
‚) ∏ ‰·ÛοϷ ϤÂÈ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Ú¤ÂÈ Ó· ‚ÚÔ˘Ó ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Î·È ¤Ó·ÓÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·˘ÙÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
3 > … 2 < … 8 < … 0 = …
6 = … 6 > … 10 > … 9 < …
44µÚ›ÛΈ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˘˜ Î·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˘˜
·fi ·˘ÙfiÓ.
2 4 5 7 9
>
><
=
¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ó¿Ï˘ÛË ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ̤¯ÚÈ ÙÔ 5 (ππ)13
34
11
3 1 4
ηÈ
ηÈ
ηÈ
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Î·È Î·È Î·È
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οÓÔ˘Ó Ì·˙›
∞ӷχˆ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 4 Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜. ™¯Â‰È¿˙ˆ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
35
ÂÓfiÙËÙ· 2Ë22
33ªÂ ÔÈÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜ ÌÔÚÒ Ó· ÌÔÈÚ¿Ûˆ ÙȘ Ì›ÏȘ Û ‰‡Ô ̤ÚË;
∑ˆÁÚ·Ê›˙ˆ ÙÔÓ Î¿ı ÙÚfiÔ ̄ ˆÚÈÛÙ¿.
™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È ̆ ÔÏÔÁ›˙ˆ fiÛ· Â›Ó·È fiÏ· Ì·˙›.
ηÈ
Î·È Î·È Î·È
ηÈ
Î·È Î·È
Î·È Î·È Î·È Î¿ÓÔ˘Ó Ì·˙›
Î·È Î·È Î·È Î¿ÓÔ˘Ó Ì·˙›
οÓÔ˘Ó Ì·˙›
11°Ú¿Êˆ Ù· ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ô˘ ‚Ú›ÛΈ οı ÊÔÚ¿.
°Ú·Ê‹ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Ì ÙË ¯Ú‹ÛË Û˘Ì‚fiψÓ14
36
22
1. ∑ËÙԇ̠·fi ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ Ó· ̆ ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ó ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ô˘ ‰ÂÓ ̆ ÂÚ‚·›ÓÔ˘Ó ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 5.
∆· ÎÔ˘ÙÈ¿ ¤¯Ô˘Ó ̤۷ ̿Ϙ.¶fiÛ˜ Â›Ó·È fiϘ Ì·˙› ÔÈ Ì¿Ï˜;
4 + 1 = ...
... + ... = ...
... + ... + ... = ...
... + ... + ... = ...
4
2
3
2 2
ÂÓfiÙËÙ· 2Ë
37
33
44™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÁÈ· Ó· ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ ÈÛfiÙËÙ˜.
™˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Ï›ԢÓ.
1 + 2 + 1 = ... ... = 2 + 1 4 = ... + ...
2 + 1 = ... 2 + 0 = ... 1 + ... = 2
... = 4 + 0
3 + ... = 5
... = 4 + 1
... + ... = ... ... = ... + ... + ... ... = ... + ...
2
3
...
+
3
...
...
+
2
...
...
+
¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·15
38
11ª¤Û· ÛÙ· ̷ԇϷ ¤¯Ô˘Ì ·È¯Ó›‰È·.
¶fiÛ· ·È¯Ó›‰È· ̆ ¿Ú¯Ô˘Ó Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ̷ԇϷ Ì·˙›;
22
ŸÏ· Ù· ·È¯Ó›‰È· ›ӷÈ
◊Ù·Ó
MÂÙ¿ ‹Úı·Ó ¿ÏÏ· Î·È ¤ÁÈÓ·Ó
. ◊ÚıÂ ·ÎfiÌË
Î·È ¤ÁÈÓ·Ó + =
+ =
2 3
39
ÂÓfiÙËÙ· 2Ë33
44ŸÏ· Ù· ÔÓÙ›ÎÈ· Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ¤ÓÙÂ. ¶fiÛ· Â›Ó·È ÎÚ˘Ì̤ӷ;
E›Ó·È ÎÚ˘Ì̤ӷ ÔÓÙ›ÎÈ·.
¶fiÛ· Ì·ÏfiÓÈ· Ú¤ÂÈ Ó· ‰ÒÛÂÈ ÙÔ ÎÔÚ›ÙÛÈ ÛÙÔ ·ÁfiÚÈ, ÁÈ· Ó· ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi Ì·ÏÔÓÈÒÓ;
∆Ô ÎÔÚ›ÙÛÈ Ú¤ÂÈ Ó· ‰ÒÛÂÈ
Ì·ÏfiÓÈ·.
E·Ó·ÏËÙÈÎfi Ì¿ıËÌ·16
40
11ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Áڿʈ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ.
22
33™˘ÌÏËÚÒÓˆ ¤Ó· ·fi Ù· ۇ̂ÔÏ·: >, < ‹ =.
44™˘Ó¯›˙ˆ Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ.
1. ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· ‰‡Ô ·ÚÈıÌÒÓ Ì¤¯ÚÈ ÙÔ 5.
6 7 8 6 7 8 6
2 + 2 ... 4 + 17 ... 9 8 ... 10 9 ... 6
1 + 0 ... 105 > 3 6 ... 6 9 ... 8 + 1
ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Áڿʈ ÙËÓ Ú¿ÍË Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘.
2 + 2 = ... ................. .................
41
ÂÓfiÙËÙ· 2Ë55
66ÀÔÏÔÁ›˙ˆ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓˆ ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
ªÔÈÚ¿˙ˆ Ù· ÊÔÚÙËÁ¿ Û ‰‡Ô ̤ÚË Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜. °Ú¿Êˆ ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.
8
+
+
+
+
+
2 + ... = 3 0 + ... = 2 4 + ... = 4 ... + 3 = 5
1+2+0+1= ... 1+3+1+0= ... 1+1+1+1+0= ...
3
2
...
+
4
1...
+
2
...
5
+
112
...
+
3
10
...
+
ªÂ ·fiÊ·ÛË Ù˘ ∂ÏÏËÓÈ΋˜ ∫˘‚¤ÚÓËÛ˘ Ù· ‰È‰·ÎÙÈο ‚È‚Ï›· ÙÔ˘¢ËÌÔÙÈÎÔ‡, ÙÔ˘ °˘ÌÓ·Û›Ô˘ Î·È ÙÔ˘ §˘Î›Ԣ Ù˘ÒÓÔÓÙ·È ·fi ÙÔÓ√ÚÁ·ÓÈÛÌfi ∂ΉfiÛˆ˜ ¢È‰·ÎÙÈÎÒÓ µÈ‚Ï›ˆÓ Î·È ‰È·Ó¤ÌÔÓÙ·È ‰ˆÚÂ-¿Ó ÛÙ· ¢ËÌfiÛÈ· ™¯ÔÏ›·. ∆· ‚È‚Ï›· ÌÔÚ› Ó· ‰È·Ù›ıÂÓÙ·È ÚÔ˜ÒÏËÛË, fiÙ·Ó Ê¤ÚÔ˘Ó ‚È‚ÏÈfiÛËÌÔ ÚÔ˜ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ÁÓËÛÈfiÙË-Ù¿˜ ÙÔ˘˜. ∫¿ı ·ÓÙ›Ù˘Ô Ô˘ ‰È·Ù›ıÂÙ·È ÚÔ˜ ÒÏËÛË Î·È ‰Â ʤÚÂÈ‚È‚ÏÈfiÛËÌÔ, ıˆÚÂ›Ù·È ÎÏ„›Ù˘Ô Î·È Ô ·Ú·‚¿Ù˘ ‰ÈÒÎÂÙ·È Û‡Ì-ʈӷ Ì ÙȘ ‰È·Ù¿ÍÂȘ ÙÔ˘ ¿ÚıÚÔ˘ 7, ÙÔ˘ ¡fiÌÔ˘ 1129 Ù˘ 15/21ª·ÚÙ›Ô˘ 1946 (ºEK 1946, 108, Aã).
∞·ÁÔÚ‡ÂÙ·È Ë ·Ó··Ú·ÁˆÁ‹ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘, Ô˘Î·Ï‡ÙÂÙ·È ·fi ‰ÈηÈÒÌ·Ù· (copyright), ‹ Ë ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ Û ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÌÔÚÊ‹, ¯ˆÚ›˜ÙË ÁÚ·Ù‹ ¿‰ÂÈ· ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘.
BIB§IO™HMO