ª·ıËÌ·ÙÈο∞� °Àª¡∞™π√À

™À°°ƒ∞º∂π™ πˆ¿ÓÓ˘ μ·Ó‰Ô˘Ï¿Î˘, ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜Ã·Ú¿Ï·ÌÔ˜ ∫·ÏÏÈÁ¿˜, ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ - ¶ÏËÚÔÊÔÚÈÎfi˜,∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ π‰ÈˆÙÈ΋˜ ∂η›‰Â˘Û˘¡ÈÎËÊfiÚÔ˜ ª·Úο΢, ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜,∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ π‰ÈˆÙÈ΋˜ ∂η›‰Â˘Û˘™‡ÚÔ˜ ºÂÚÂÓÙ›ÓÔ˜, ™¯ÔÏÈÎfi˜ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ

∫ƒπΔ∂™-∞•π√§√°∏Δ∂™ ÷ڿϷÌÔ˜ ΔÛ›ÙÔ˘Ú·˜,∞Ó. ∫·ıËÁËÙ‹˜ ∞Δ∂π - ÷ÏΛ‰·˜°ÂÒÚÁÈÔ˜ ª·Ú·Ïfi˜,™¯ÔÏÈÎfi˜ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ÷ڛÎÏÂÈ· ∫ˆÓÛÙ·ÓÙ·ÎÔÔ‡ÏÔ˘,ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜, ∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ μ/ıÌÈ·˜ ∂η›‰Â˘Û˘

∂π∫√¡√°ƒ∞º∏™∏ ∫ÏÂÈÒ °ÎÈ˙ÂÏ‹, ∑ˆÁÚ¿ÊÔ˜ πfiÏË ∫˘ÚÔ‡ÛË, °Ú·Ê›ÛÙÚÈ·

ºπ§√§√°π∫∏ ∂¶πª∂§∂π∞ μ·Ú‚¿Ú· ¢ÂÚÓÂÏ‹, ºÈÏfiÏÔÁÔ˜,∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ μ/ıÌÈ·˜ ∂η›‰Â˘Û˘

À¶∂À£À¡√™ Δ√À ª∞£∏ª∞Δ√™ ∫∞π ∞ı·Ó¿ÛÈÔ˜ ™ÎÔ‡Ú·˜,Δ√À À¶√∂ƒ°√À ∫∞Δ∞ Δ∏ ™À°°ƒ∞º∏ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘

∂•øºÀ§§√ ª·ÓÒÏ˘ ÿÚÔ˜, ∑ˆÁÚ¿ÊÔ˜

¶ƒ√∂∫ΔÀ¶øΔπ∫∂™ ∂ƒ°∞™π∂™

™ÙË Û˘ÁÁÚ·Ê‹ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ̤ÚÔ˘˜ (1/3) ¤Ï·‚ ̤ÚÔ˜ Î·È Ë £ÂÔ‰ÒÚ· ∞ÛÙ¤ÚË, ∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ ∞/ıÌÈ·˜ ∂η›‰Â˘Û˘

°� ∫.¶.™. / ∂¶∂∞∂∫ II / ∂Ó¤ÚÁÂÈ· 2.2.1. / ∫·ÙËÁÔÚ›· ¶Ú¿ÍÂˆÓ 2.2.1.·:«∞Ó·ÌfiÚʈÛË ÙˆÓ ÚÔÁÚ·ÌÌ¿ÙˆÓ ÛÔ˘‰ÒÓ Î·È Û˘ÁÁÚ·Ê‹ Ó¤ˆÓ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎÒÓ ·Î¤ÙˆÓ»

¶∞π¢∞°ø°π∫√ π¡™ΔπΔ√ÀΔ√¢ËÌ‹ÙÚÈÔ˜ °. μÏ¿¯Ô˜ √ÌfiÙÈÌÔ˜ ∫·ıËÁËÙ‹˜ ÙÔ˘ ∞.¶.£.¶Úfi‰ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘

¶Ú¿ÍË Ì ٛÙÏÔ: «™˘ÁÁÚ·Ê‹ Ó¤ˆÓ ‚È‚Ï›ˆÓ Î·È ·Ú·ÁˆÁ‹˘ÔÛÙËÚÈÎÙÈÎÔ‡ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ‡ ˘ÏÈÎÔ‡ Ì ‚¿ÛËÙÔ ¢∂¶¶™ Î·È Ù· ∞¶™ ÁÈ· ÙÔ °˘ÌÓ¿ÛÈÔ»

∂ÈÛÙËÌÔÓÈÎfi˜ À‡ı˘ÓÔ˜ ŒÚÁÔ˘∞ÓÙÒÓÈÔ˜ ™. ªÔ̤ÙÛ˘ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘

∞Ó·ÏËÚˆÙ¤˜ ∂ÈÛÙËÌÔÓÈÎÔ› À‡ı˘ÓÔÈ ŒÚÁÔ˘°ÂÒÚÁÈÔ˜ ∫. ¶·ÏËfi˜ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘πÁÓ¿ÙÈÔ˜ ∂. ÷Ù˙Ë¢ÛÙÚ·Ù›Ô˘ ªfiÓÈÌÔ˜ ¶¿Ú‰ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘

ŒÚÁÔ Û˘Á¯ÚËÌ·ÙÔ‰ÔÙÔ‡ÌÂÓÔ 75% ·fi ÙÔ ∂˘Úˆ·˚Îfi ∫ÔÈÓˆÓÈÎfi Δ·ÌÂ›Ô Î·È 25% ·fi ÂıÓÈÎÔ‡˜ fiÚÔ˘˜.

À¶√Àƒ°∂π√ ∂£¡π∫∏™ ¶∞π¢∂π∞™ ∫∞𠣃∏™∫∂Àª∞Δø¡¶∞π¢∞°ø°π∫√ π¡™ΔπΔ√ÀΔ√

√ƒ°∞¡π™ª√™ ∂∫¢√™∂ø™ ¢π¢∞∫Δπ∫ø¡ μπμ§πø¡∞£∏¡∞

ª·ıËÌ·ÙÈο∞� °Àª¡∞™π√À

πˆ¿ÓÓ˘ μ·Ó‰Ô˘Ï¿Î˘ ÷ڿϷÌÔ˜ ∫·ÏÏÈÁ¿˜ ¡ÈÎËÊfiÚÔ˜ ª·Úο΢

™‡ÚÔ˜ ºÂÚÂÓÙ›ÓÔ˜

¶ƒ√§√°√™

Σ το Δημοτικό σχολείο ολοκληρώθηκε ο πρώτος κύκλος της βασικής

εκπαίδευσης. Στο Γυμνάσιο, θα στηριχτούμε στις γνώσεις που

αποκτήσαμε μέχρι τώρα, θα τις αξιοποιήσουμε και θα προσπαθήσουμε

να τις αναπτύξουμε και να τις διευρύνουμε.

Στην πορεία αυτή, ίσως διαπιστώσουμε ότι οι γνώσεις που διαθέτουμε δεν

επαρκούν πάντα. Πρέπει, λοιπόν, να συμπληρωθούν κατάλληλα και μετά

να προχωρήσουμε στο επόμενο βήμα, στο νέο προβληματισμό και τέλος

στην καινούρια γνώση. Έτσι, με τη δική μας προσπάθεια και παράλληλα

με τη βοήθεια και την καθοδήγηση του καθηγητή μας, θα καταφέρουμε,

όλοι μαζί μέσα στην τάξη, να αναπτύξουμε τις δυνατότητές μας,

προσθέτοντας, όχι μόνο γνώσεις αλλά και νέους τρόπους να τις

αποκτούμε.

Τα Μαθηματικά τα γνωρίζουμε ως ένα σχολικό μάθημα. Δεν πρέπει όμως

να μείνουμε μόνο σ’ αυτό. Όσα περισσότερα Μαθηματικά ξέρουμε και

χρησιμοποιούμε, τόσο καλύτερα ερμηνεύουμε τον κόσμο μας και τελικά

τον κατανοούμε. Είναι ένας κώδικας απαραίτητος για την κατανόηση του

κόσμου μας, που λειτουργεί όπως η “γλώσσα” προγραμματισμού στους

υπολογιστές. Όσες περισσότερες “λέξεις” ξέρει κανείς από αυτή τη

“γλώσσα”, δηλαδή τα Μαθηματικά, τόσο καλύτερα αξιοποιεί τις

δυνατότητες του μυαλού του. Επίσης, τα Μαθηματικά δεν είναι απλά ένα

εργαλείο για τη βελτίωση των ατομικών επιδόσεων, αλλά ένας βασικός

μοχλός που βοηθάει την κοινωνική ανάπτυξη.

Το βιβλίο αυτό φιλοδοξεί να αποτελέσει ένα βήμα προς τις κατευθύνσεις

αυτές. Είναι γραμμένο σύμφωνα με το Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο

Προγραμμάτων Σπουδών (ΔΕΠΠΣ) και το νέο Αναλυτικό Πρόγραμμα

Σπουδών (ΑΠΣ) για τα Μαθηματικά του Γυμνασίου, καθώς και τις

συγκεκριμένες προδιαγραφές και οδηγίες του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου.

Σημαντικό χαρακτηριστικό του βιβλίου αυτού είναι ότι η παρουσίαση της

θεωρίας περιορίζεται συχνά, για να αφήσει στους μαθητές τη δυνατότητα

να αναπτύξουν, με τη βοήθεια των καθηγητών τους, τη διαίσθηση, τη

δοκιμή, την έρευνα και τέλος την αναγκαία σύνθεση.

Οι δραστηριότητες που προτείνονται και προηγούνται της θεωρίας, έχουν

στόχο να υπάρξει ο προβληματισμός και η αναζήτηση που θα μας

οδηγήσει στην ανάγκη να αναπτύξουμε την κατάλληλη θεωρία. Έτσι,

γίνεται φανερό ότι η θεωρία είναι αποτέλεσμα μιας συγκεκριμένης

αναζήτησης και όχι αυτοσκοπός. Οδηγός σ’ αυτό το βηματισμό θα είναι

και πάλι ο συνάδελφος καθηγητής του Γυμνασίου, που χωρίς τη δική του

ουσιαστική συμβολή τίποτα δεν ολοκληρώνεται.

Πιστεύουμε ότι οι γονείς των μαθητών της Α� Γυμνασίου γνωρίζουν καλά,

ότι σ’ αυτή την ηλικία το σημαντικότερο δεν είναι η συνεχής

συσσώρευση γνώσεων – που φαίνονται ατελείωτες και συχνά μένουν

στείρες – αλλά ο τρόπος που αποκτάται σε κάθε περίπτωση η

απαραίτητη γνώση. Αν στον τρόπο αυτό προστεθεί και η μέθοδος

εμπέδωσης και αξιοποίησής της, τότε αυτή η γνώση παίρνει διαστάσεις

του πολύτιμου αγαθού και της κοινωνικής αξίας, που παραμένει ο τελικός

στόχος κάθε εκπαιδευτικής διαδικασίας.

Στην εποχή μας, που όλα μεταβάλλονται ταχύτατα – και μαζί τους οι

θεωρίες, οι απόψεις και οι θέσεις – κανείς δεν ισχυρίζεται ότι ένα

σχολικό βιβλίο μπορεί να συνθέσει όλες τις απόψεις και να περιλάβει,

στο σύνολό της, την εκπαιδευτική εμπειρία τόσων αιώνων.

Ως συγγραφείς του βιβλίου, θα είμαστε ευτυχείς αν οι συνάδελφοι

καθηγητές, αλλά και όλοι οι ενδιαφερόμενοι, στείλουν στο Παιδαγωγικό

Ινστιτούτο τις κρίσεις και τις παρατηρήσεις τους, ώστε να γίνει κατά το

δυνατόν καλύτερο τούτο το βιβλίο. Το ποσοστό της “αλήθειας” που αυτό

περιέχει θα διευρυνθεί όταν η προσπάθεια γίνει πιο συλλογική. Γι’ αυτή

την “αλήθεια” που, όπως λέει ο Ελύτης:

“Αιώνες τώρα με ρωτούν οι μάγοι

μα οι αστέρες αποκρίνονται κατά προσέγγιση”.

Οι συγγραφείς

¶∂ƒπ∂Ã√ª∂¡∞ª∂ƒ√™ ∞ � ∞ƒπ£ª∏Δπ∫∏ - ∞§°∂μƒ∞

K∂º∞§∞π√ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1. º˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - ¢È¿Ù·ÍË º˘ÛÈÎÒÓ - ™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. ¶ÚfiÛıÂÛË, ·Ê·›ÚÂÛË Î·È ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3. ¢˘Ó¿ÌÂȘ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4. ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË - ¢È·ÈÚÂÙfiÙËÙ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5. ÷ڷÎÙ‹Ú˜ ‰È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜ - ª∫¢ - ∂∫¶ - ∞Ó¿Ï˘ÛË ·ÚÈıÌÔ‡ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ 27

∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

K∂º∞§∞π√ 2Ô - Δ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1. ∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2. πÛÔ‰‡Ó·Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3. ™‡ÁÎÚÈÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4. ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5. ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.6. ¢È·›ÚÂÛË ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54K∂º∞§∞π√ 3Ô - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1. ¢Âη‰Èο ÎÏ¿ÛÌ·Ù· - ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - ¢È¿Ù·ÍË ‰Âη‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ - ™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË . . . . 563.2. ¶Ú¿ÍÂȘ Ì ‰Âη‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ - ¢˘Ó¿ÌÂȘ Ì ‚¿ÛË ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌfi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3. ÀÔÏÔÁÈÛÌÔ› Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ Ùۤ˘. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.4. Δ˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹ ÌÂÁ¿ÏˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.5. ªÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

K∂º∞§∞π√ 4Ô - ∂ÍÈÛÒÛÂȘ Î·È ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.1. ∏ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ - √È ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·+x=‚, x–·=‚, ·–x=‚, ·x=‚, ·:x=‚ Î·È x:·=‚. . . . . . . 724.2. ∂›Ï˘ÛË ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3. ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Â›Ï˘Û˘ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78K∂º∞§∞π√ 5Ô - ¶ÔÛÔÛÙ¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.1. ¶ÔÛÔÛÙ¿. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2. ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ì ÔÛÔÛÙ¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84K∂º∞§∞π√ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.1. ¶·Ú¿ÛÙ·ÛË ÛËÌ›ˆÓ ÛÙÔ Â›Â‰Ô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.2. §fiÁÔ˜ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÒÓ - ∞Ó·ÏÔÁ›· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.3. ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - π‰ÈfiÙËÙ˜ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.4. °Ú·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Û¯¤Û˘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.5. ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.6. ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

K∂º∞§∞π√ 7Ô - £ÂÙÈÎÔ› Î·È ·ÚÓËÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.1. £ÂÙÈÎÔ› Î·È ·ÚÓËÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› (ƒËÙÔ› ·ÚÈıÌÔ›) - ∏ ¢ı›· ÙˆÓ ÚËÙÒÓ - ΔÂÙÌË̤ÓË ÛËÌ›Ԣ . . . . 1147.2. ∞fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÚËÙÔ‡ - ∞ÓÙ›ıÂÙÔÈ ÚËÙÔ› - ™‡ÁÎÚÈÛË ÚËÙÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.3. ¶ÚfiÛıÂÛË ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.4. ∞Ê·›ÚÂÛË ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.5. ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.6. ¢È·›ÚÂÛË ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.7. ¢Âη‰È΋ ÌÔÚÊ‹ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.8. ¢˘Ó¿ÌÂȘ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì ÂÎı¤ÙË Ê˘ÛÈÎfi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.9. ¢˘Ó¿ÌÂȘ ÚËÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì ÂÎı¤ÙË ·Î¤Ú·ÈÔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.10. Δ˘ÔÔÈË̤ÓË ÌÔÚÊ‹ ÌÂÁ¿ÏˆÓ Î·È ÌÈÎÚÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

∫∂º∞§∞π√ 1Ô - μ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1471.1. ™ËÌÂ›Ô - ∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· - ∂˘ı›· - ∏ÌÈ¢ı›· - ∂›Â‰Ô - ∏ÌÈÂ›Â‰Ô . . . . . . . . . . . . . . . . 1481.2. °ˆÓ›· - °Ú·ÌÌ‹ - ∂›Â‰· Û¯‹Ì·Ù· - ∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· Û¯‹Ì·Ù· - ÿÛ· Û¯‹Ì·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . 1531.3. ª¤ÙÚËÛË, Û‡ÁÎÚÈÛË Î·È ÈÛfiÙËÙ· ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ - ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›ˆÓ

- ª¤ÛÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1571.4. ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ·Ê·›ÚÂÛË Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1631.5. ª¤ÙÚËÛË, Û‡ÁÎÚÈÛË Î·È ÈÛfiÙËÙ· ÁˆÓÈÒÓ - ¢È¯ÔÙfiÌÔ˜ ÁˆÓ›·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1651.6. ∂›‰Ë ÁˆÓÈÒÓ - ∫¿ıÂÙ˜ ¢ı›˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1691.7. ∂ÊÂÍ‹˜ Î·È ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ - ÕıÚÔÈÛÌ· ÁˆÓÈÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1731.8. ¶·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ Î·È Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ - ∫·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1761.9. £¤ÛÂȘ ¢ıÂÈÒÓ ÛÙÔ Â›Â‰Ô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

1.10. ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ ·fi ¢ı›· - ∞fiÛÙ·ÛË ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1841.11. ∫‡ÎÏÔ˜ Î·È ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1871.12. ∂›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›· - ™¯¤ÛË Â›ÎÂÓÙÚ˘ ÁˆÓ›·˜ Î·È ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ ÙfiÍÔ˘ - ª¤ÙÚËÛË ÙfiÍÔ˘ . . . . 1901.13. £¤ÛÂȘ ¢ı›·˜ Î·È Î‡ÎÏÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

∫∂º∞§∞π√ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1992.1. ™˘ÌÌÂÙÚ›· ˆ˜ ÚÔ˜ ¿ÍÔÓ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2002.2. ÕÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2042.3. ªÂÛÔοıÂÙÔ˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2062.4. ™˘ÌÌÂÙÚ›· ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2102.5. ∫¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2122.6. ¶·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi Ì›· ¿ÏÏË Â˘ı›· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

∫∂º∞§∞π√ 3Ô - ΔÚ›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ΔÚ·¤˙È· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2173.1. ™ÙÔȯ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ - ÕıÚÔÈÛÌ· ÁˆÓÈÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2183.2. ∂›‰Ë ÙÚÈÁÒÓˆÓ - π‰ÈfiÙËÙ˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2213.3. ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ - √ÚıÔÁÒÓÈÔ - ƒfiÌ‚Ô˜ - ΔÂÙÚ¿ÁˆÓÔ - ΔÚ·¤˙ÈÔ - πÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ . . . . 2253.4. π‰ÈfiÙËÙ˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ - √ÚıÔÁˆÓ›Ô˘ - ƒfiÌ‚Ô˘ - ΔÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ - ΔÚ·Â˙›Ô˘ -

IÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Àԉ›ÍÂȘ - ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ ·Û΋ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233∞.1. √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234∞.2. Δ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235∞.3. ¢Âη‰ÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236∞.4. ∂ÍÈÛÒÛÂȘ Î·È ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237∞.5. ¶ÔÛÔÛÙ¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237∞.6. ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238∞.7. £ÂÙÈÎÔ› Î·È ∞ÚÓËÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239μ.1. μ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242μ.2. ™˘ÌÌÂÙÚ›· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245μ.3. ΔÚ›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· - ΔÚ·¤˙È· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246∞ÏÊ·‚ËÙÈÎfi ¢ÚÂÙ‹ÚÈÔ fiÚˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

ª∂ƒ√™ ° � ¶∞ƒ∞ƒΔ∏ª∞

ª∂ƒ√™ μ � °∂øª∂Δƒπ∞

1 o∫∂º∞§∞π√

¶À£∞°√ƒ∞™ √ ™∞ªπ√™(580 - 500 .X.)

1.1 º˘ÛÈÎÔ› ∞ÚÈıÌÔ› - ¢È¿Ù·ÍË - ™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛËñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ñ ∞ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ˆ ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ÛËÌ›· ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ·ñ ™˘ÁÎÚ›Óˆ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ñ ™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔÈÒ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜

1.2. ¶ÚfiÛıÂÛË - ∞Ê·›ÚÂÛË Î·È ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓñ ¶ÚÔÛı¤Ùˆ, ·Ê·ÈÚÒ Î·È ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ˆ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ Î·È ÙȘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒ ÛÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi Ù˘ ÙÈÌ‹˜

ÌÈ·˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ñ ∂ÎÙÂÏÒ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Û ÌÈ· ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ì ÙËÓ ÚÔ‚ÏÂfiÌÂÓË ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ·

1.3. ¢˘Ó¿ÌÂȘ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ·Ó Î·È ‰È·‚¿˙ˆ ‰˘Ó¿ÌÂȘñ ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ì ÌÈÎÚfi ÂÎı¤ÙË Î·È ÁÈ· ÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ 10 ÂÊ·ÚÌfi˙ˆ ÙȘ

ÈÛfiÙËÙ˜: 10Ó = 10 ... 0 (Ó ÌˉÂÓÈο), 2 �10Ó = 20 ... 0 (Ó ÌˉÂÓÈο) Î.Ï.ñ ∂Ê·ÚÌfi˙ˆ ÙËÓ ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ· ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ ÛÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ Ì ‰˘Ó¿ÌÂȘ

Î·È ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ

1.4. ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË - ¢È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· Ù˘ ¢ÎÏ›‰È·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ñ ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ÙÔ ËÏ›ÎÔ Î·È ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ¢ÎÏ›‰È·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ ‰‡Ô ·ÎÂÚ·›ˆÓ ηÈ

Áڿʈ ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ·˘Ù‹˜ñ ∫·Ù·ÓÔÒ fiÙÈ ÔÈ ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ: “√ ¢ Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ‰”, “√ ‰ Â›Ó·È ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ÙÔ˘ ¢”

Î·È “√ ¢ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔÓ ‰” Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì˜ Ì ÙËÓ ¤ÎÊÚ·ÛË: “∏ ¢ÎÏ›‰ÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË ÙÔ˘¢ Ì ÙÔÓ ‰ Â›Ó·È Ù¤ÏÂÈ·”

1.5. ÷ڷÎÙ‹Ú˜ ‰È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜ - ª.∫.¢. - ∂.∫.¶. - ∞Ó¿Ï˘ÛË ·ÚÈıÌÔ‡ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ.ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÔÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ϤÁÔÓÙ·È ÚÒÙÔÈ Î·È ÔÈÔÈ Û‡ÓıÂÙÔÈñ °ÓˆÚ›˙ˆ Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒ Ù· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ‰È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜ Ì ÙÔ 2, ÙÔ 4, ÙÔ 5 Î·È ÙÔ 10

ηıÒ˜ Î·È Ì ÙÔ 3 Î·È ÙÔ 9ñ ∞ӷχˆ ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ Î·È

‚Ú›ÛΈ Ì’ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ ÙÔ ª.∫.¢. Î·È ÙÔ ∂.∫.¶. ·˘ÙÒÓ

º˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

ª∂ƒ√™ ∞�

- 10 - ª∂ƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

– £¤ÏÂȘ Ó· ¤¯ÂȘ ‹ Ó· ͤÚÂȘ;

ÚÒÙËÛÂ Ô ı›Ԙ ÙÔÓ ·ÓË„Èfi ÙÔ˘Ï›ÁÔ ÚÈÓ ÙÔÓ ·Ô¯·ÈÚÂÙ‹ÛÂÈ ÛÙÔ·ÂÚÔ‰ÚfiÌÈÔ.To ·ÁfiÚÈ ÎÔ›Ù·Í ÙÔ ıÂ›Ô ÙÔ˘ ÌÂÌÂÁ¿ÏË ·ÔÚ›· ÚÔÛ·ıÒÓÙ·˜Ó· ηٷϿ‚ÂÈ ÙÈ ÂÓÓÔÔ‡Û Ì ÙËÓÂÚÒÙËÛ‹ ÙÔ˘.– £¤ÏÂȘ Ó· ¤¯ÂȘ Ú¿ÁÌ·Ù· ‹

Ó· ͤÚÂȘ ÁÈ’ ·˘Ù¿;

Û˘ÌÏ‹ÚˆÛÂ Ô ı›Ԙ ÙÔ˘.¶ÚÈÓ ·ÎfiÌ· ÚÔÏ¿‚ÂÈ ÙÔ ·È‰› Ó···ÓÙ‹ÛÂÈ, Ô ı›Ԙ ÙÔ˘ Û˘Ó¤¯ÈÛÂ:

– ¶ÂÚ¿Û·Ì fiÌÔÚÊ· ÛÙȘ ‰È·ÎÔ¤˜. ΔÒÚ· Â›Ó·È ™Â٤̂ÚÈÔ˜, ÂÁÒ Á˘Ú›˙ˆ ÛÙË

‰Ô˘ÏÂÈ¿ ÌÔ˘ ÎÈ ÂÛ‡ ·Ú¯›˙ÂȘ ÙÔ °˘ÌÓ¿ÛÈÔ. £· Û ͷӷ‰Ò ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ ÙÔ Î·ÏÔη›ÚÈ

Î·È ı· Â›Û·È ¤Ó· ¯ÚfiÓÔ Î·È Ì›· Ù¿ÍË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜. ŒÈ·Û ÙÔ ·ÁfiÚÈ ·fi ÙÔ˘˜ÒÌÔ˘˜ Î·È ÎÔÈÙÒÓÙ·˜ ÙÔ ÛÙ· Ì¿ÙÈ· ÚfiÛıÂÛÂ:– ¢Â ı¤Ïˆ Ó· ÌÔ˘ ··ÓÙ‹ÛÂȘ ÙÒÚ·. £· Û ͷӷڈًۈ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘. Œ¯ÂȘ,

ÏÔÈfiÓ, ηÈÚfi Ó· ÙÔ „¿ÍÂȘ, Ó· οÓÂȘ ˘Ôı¤ÛÂȘ, Ó· ÊÙÈ¿ÍÂȘ ÈÛÙÔڛ˜ Î·È Èı·Ó¿

ÛÂÓ¿ÚÈ·, Ó· ÛÎÂÊÙ›˜. ∫˘Ú›ˆ˜ ·˘Ùfi: Ó· ÛÎÂÊÙ›˜, ›Â, ÛÊ›ÁÁÔÓÙ¿˜ ÙÔ˘ Ù· ¯¤ÚÈ·.“¶·Ú·Î·ÏÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ÂÈ‚¿Ù˜ Ù˘ Ù‹Û˘ ÁÈ· ¶·Ú›ÛÈ Ó· ÚÔÛ¤ÏıÔ˘Ó ÛÙÔÓ ¤ÏÂÁ¯Ô ÙˆÓÂÈÛÈÙËÚ›ˆÓ”, ·ÎÔ‡ÛÙËÎÂ Ë ·Ó·ÁÁÂÏ›· ·fi Ù· ÌÂÁ¿ÊˆÓ·.– ∫·È ÎÔ›Ù·, ·Ó ‰ÂÓ ¤¯ÂȘ Û›ÁÔ˘ÚË ·¿ÓÙËÛË, ‰ÂÓ ÂÈÚ¿˙ÂÈ. ∏ ‰È·‰ÚÔÌ‹ ·˘Ù‹

ÌÔÚ› Ó· ·Í›˙ÂÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ. ΔÔ Ì˘·Ïfi ÌÔÚ› Ó· ÊÙÈ¿ÍÂÈ ÌfiÓÔ ÙÔ˘ ¤Ó·Ó

ÔÏfiÎÏËÚÔ ÎfiÛÌÔ. “∫·Ï‹ ÔÚ›·, ·ÁfiÚÈ ÌÔ˘”

– ∫·Ïfi Ù·Í›‰È, ı›Â. . .

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∂™ °π∞ Δ∏¡ Δ∞•∏∏ Ù¿ÍË Â›Ó·È Ë ›‰È· ¤Ó· Ù·Í›‰È. ∂›Ó·È ÌÈ· ‰È·‰ÚÔÌ‹ ·fi ÛΤ„Ë Û ÛΤ„Ë, ·fi Ì›·ÁÓÒÌË Û ÌÈ· ¿ÏÏË, ·fi ÌÈ· ¤ÎÊÚ·ÛË Û ¤Ó· Û˘ÏÏÔÁÈÛÌfi. ∞fi„ÂȘ Ô˘ Û˘ÌʈÓÔ‡Ó,ÁÓÒ̘ Ô˘ ÂÈÓ·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜, ȉ¤Â˜ Ô˘ ‰È·ÌÔÚÊÒÓÔÓÙ·È, Û˘Óı¤ÙÔ˘Ó Ó¤Â˜ ÁÓÒÛÂÈ˜Î·È ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ó ÂÌÂÈڛ˜ . ∏ ıˆڛ· ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È ÌÂÙ¿ ·fi ÙÔ Û¯ÂÙÈÎfiÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌfi Î·È ÙÔ ‰È¿ÏÔÁÔ Ô˘ Á›ÓÂÙ·È Ì¤Û· ÛÙËÓ Ù¿ÍË. ∂›Ó·È Ë ÙÂÏÈ΋ ı¤ÛËÛÙËÓ ÔÔ›· ηٷϋÁÔ˘ÌÂ, ·ÊÔ‡ ‰ÔÎÈÌ¿ÛÔ˘ÌÂ Î·È Â·ÏËı‡ÛÔ˘Ì ÙË ÛΤ„Ë Ì·˜.∞ÎÚÈ‚Ò˜ ÁÈ ·˘Ùfi ÚÔËÁÔ‡ÓÙ·È ÔÈ Û¯ÂÙÈΤ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜. ª¤Û· ·’ ·˘Ù¤˜ ı·ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÙÔ‡ÌÂ Î·È ı· ÂÎÊÚ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ ¿Ô„‹ Ì·˜. ¢Â ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Û fiÏ· ı·¤¯Ô˘Ì ··ÓÙ‹ÛÂȘ Î·È fiÙÈ fiÏ· ı· Ù· ÌÔÚ¤ÛÔ˘Ì ÌfiÓÔÈ Ì·˜. °È’ ·˘Ùfi Â›Ó·È Î·È ÔÈ¿ÏÏÔÈ. ∞ÚΛ Ó· Ì¿ıÔ˘Ì Ӓ ·Îԇ̠ÙË ÁÓÒÌË ÙÔ˘˜. ∏ ÛΤ„Ë ÙˆÓ ¿ÏÏˆÓ ı· ¿ÂÈ ÙˉÈ΋ Ì·˜ ¤Ó· ‚‹Ì· ·Ú·¤Ú·. ™’ ·˘Ùfi Ì·˜ Û˘ÓÙÔÓ›˙ÂÈ Î·È Ì·˜ ‚ÔËı¿ÂÈ Ô Î·ıËÁËÙ‹˜Ì·˜. ŸÏÔÈ Ì·˙› Î·È ÔÌ·‰Èο ı· ηٷʤÚÔ˘Ì ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ·. ∞˜ ·Ú¯›ÛÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ.

Afi ÙÔ ¢ËÌÔÙÈÎfi Û¯ÔÏÂ›Ô Ì¿ı·Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡. ™ÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ ·˘Ù‹Á›ÓÂÙ·È Â·Ó¿ÏË„Ë Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜, Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ Î·È Ù˘ ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛ˘ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ·ÚÈıÌÒÓ. ª¤Û· ·fi ÙȘ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜, Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó, ı· ÚÔÛ·ı‹ÛÔ˘Ì ӷͷӷı˘ÌËıԇ̠·˘Ù¿ Ô˘ ¤¯Ô˘Ì ̿ıÂÈ Î·È Ó· Ù· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì Ì ÈÔ ÔÚÁ·ÓˆÌ¤ÓË ÛΤ„Ë.

¢È¿ÏÂÍ ¤Ó· ÙÚÈ„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi. μÚ˜ ÙÔ˘˜ ¤ÍÈ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÙÚÈ„‹ÊÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ÚÔ·ÙÔ˘Ó fiÙ·Ó ÂÓ·ÏÏ¿ÍÂȘ Ù· „ËÊ›· ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Ô˘ ‰È¿ÏÂ͘ Î·È ÁÚ¿„ ·˘ÙÔ‡˜Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ‰˘Ó·ÙÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜.➣ ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ Î·È ÔÈÔ˜ Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜;➣ °Ú¿„ fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ‚ڋΘ Ì ÛÂÈÚ¿ ·‡ÍÔ˘Û·, ‰ËÏ·‰‹ ·fi ÙÔ

ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÚÔ˜ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ.➣ ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ÁÚ¿„ ÙÔ˘˜ ›‰ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì Êı›ÓÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿.

°È· Ó· ‚·ıÌÔÏÔÁ‹ÛÔ˘Ì ¤Ó· ıÂÚÌfiÌÂÙÚÔ ·ÎÔÏÔ˘ıԇ̠ÌÈ· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË̤ıÔ‰Ô: ΔÔ ·Ê‹ÓÔ˘Ì ÛÙÔÓ ¿ÁÔ ·ÚÎÂÙ‹ ÒÚ· Î·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ı· ÛÙ·ıÂ›Ô ˘‰Ú¿ÚÁ˘ÚÔ˜ ÛËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ÙÔ Ìˉ¤Ó (0Æ). ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÙÔ ·Ê‹ÓÔ˘Ì ̤۷Û ÓÂÚfi Ô˘ ‚Ú¿˙ÂÈ Î·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ı· ÛÙ·ı› Ô ˘‰Ú¿ÚÁ˘ÚÔ˜ÛËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ÙÔ ÂηÙfi (100Æ).

➣ ™Î¤„Ô˘ Î·È ‰È·Ù‡ˆÛ ¤Ó· ÙÚfiÔ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô ı· ÌÔÚÔ‡Û˜ Ó·ÛËÌÂÈÒÛÂȘ Î·È fiϘ ÙȘ ÂӉȿÌÂÛ˜ ÂӉ›ÍÂȘ.

� √È ·ÚÈıÌÔ› 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 98, 99, 100, ..., 1999, 2000, 2001, ... ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·ÈÊ˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›.

� ∫¿ıÂ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ¤¯ÂÈ ¤Ó·Ó ÂfiÌÂÓÔ Î·È ¤Ó· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ Ê˘ÛÈÎfi·ÚÈıÌfi, ÂÎÙfi˜ ·fi ÙÔ 0 Ô˘ ¤¯ÂÈ ÌfiÓÔ ÂfiÌÂÓÔ, ÙÔ 1.

� √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ¯ˆÚ›˙ÔÓÙ·È Û ‰‡Ô ηÙËÁÔڛ˜: ÙÔ˘˜ ¿ÚÙÈÔ˘˜ ‹ ˙˘ÁÔ‡˜ Î·È ÙÔ˘˜ ÂÚÈÙÙÔ‡˜ ‹ ÌÔÓÔ‡˜.

� ÕÚÙÈÔÈ Ï¤ÁÔÓÙ·È ÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ‰È·ÈÚÔ‡ÓÙ·È Ì ÙÔ 2 Î·È ÂÚÈÙÙÔ› ÂΛÓÔÈ Ô˘ ‰ÂӉȷÈÚÔ‡ÓÙ·È Ì ÙÔ 2.

� ΔÔ ‰Âη‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘ ‰›ÓÂÈ ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· Ó· Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ÙÔ ·ÂÚÈfiÚÈÛÙÔÏ‹ıÔ˜ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÌfiÓÔ Ù· ‰¤Î· ÁÓˆÛÙ¿ „ËÊ›·:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.� H ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ˘¿Ú¯ÂÈ ÁÈ·Ù› Ë ·Í›· ÂÓfi˜ „ËÊ›Ô˘ ηıÔÚ›˙ÂÙ·È ÌfiÓÔ ·fi ÙË

ı¤ÛË Ô˘ η٤¯ÂÈ, ‰ËÏ·‰‹ ÙË ‰Âη‰È΋ Ù¿ÍË ÙÔ˘ (ÌÔÓ¿‰Â˜, ‰Âο‰Â˜, ÂηÙÔÓÙ¿-‰Â˜, ¯ÈÏÈ¿‰Â˜, ‰Âο‰Â˜ ¯ÈÏÈ¿‰Â˜, ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜ ¯ÈÏÈ¿‰Â˜, ...).

� ™ÙÔ ÂÍ‹˜ ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ ۇ̂ÔÏ·:ÙÔ = Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ “›ÛÔ˜ Ì”, ÙÔ < Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ “ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi” ηÈÙÔ > Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ “ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi”.� ªÔÚԇ̠¿ÓÙ· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ‰‡Ô Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜.

∂Ô̤ӈ˜ ¤¯Ô˘Ì ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· Ó· ‰È·Ù¿ÍÔ˘Ì ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·fiÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÚÔ˜ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ, ‰ËÏ·‰‹ Ì ·‡ÍÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜.°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·: 0<1<2<3< .... <10<11<12< ... <297< ... <1000< ...

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ

ª∂ƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - 11 -

∞.1.1. º˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - ¢È¿Ù·ÍË º˘ÛÈÎÒÓ - ™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ 1Ë

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ 2Ë

0Æ

100Æ

� ∏ ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· ·˘Ù‹, Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ÙÔ˘˜ ÙÔÔıÂÙ‹- ÛÔ˘Ì ¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›· ÁÚ·ÌÌ‹Ì ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ÙÚfiÔ:¢È·Ï¤ÁÔ˘Ì ·˘ı·›ÚÂÙ· ¤Ó· ÛËÌ›Ô√ Ù˘ ¢ı›·˜, Ô˘ ÙÔ Ï¤Ì ·Ú¯‹,ÁÈ· Ó· ·Ú·ÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 0.ªÂÙ¿ ‰ÂÍÈ¿ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √‰È·Ï¤ÁÔ˘Ì ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô ∞,Ô˘ ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 1. ΔfiÙÂ, Ì ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ ÙÔ √∞, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›·Ô˘ ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ó ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: 2, 3, 4, 5, ...

™ÙȘ 13 πÔ˘Ó›Ô˘ 2004, ·ÎÔ‡ÛÙËΠÛÙȘ Âȉ‹ÛÂȘ fiÙÈ ·fi Ù· 450 ÂηÙÔÌ̇ÚÈ· ÔÏÈÙÒÓ Ù˘∂˘Úˆ·˚΋˜ ŒÓˆÛ˘, „ËÊ›˙Ô˘Ó Ù· 338 ÂηÙÔÌ̇ÚÈ· ÁÈ· Ó· ÂÎϤÍÔ˘Ó 732 ‚Ô˘ÏÂ˘Ù¤˜ÙÔ˘ ∂˘ÚˆÎÔÈÓÔ‚Ô˘Ï›Ô˘.➣ °È·Ù› ‰ÂÓ ·Ó·Ê¤ÚıËΠÙÔ ·ÎÚÈ‚¤˜ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ 454.018.512 ÔÏÈÙÒÓ Ù˘ ∂.∂.,

ηıÒ˜ Î·È Ô ·ÎÚÈ‚‹˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ 337.922.145 Ô˘ ›¯·Ó ‰Èη›ˆÌ· „‹ÊÔ˘;➣ °È·Ù›, ·ÓÙ›ıÂÙ·, ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙˆÓ 732 Â˘Úˆ‚Ô˘Ï¢ÙÒÓ, ·Ó·Ê¤ÚıËÎÂ Ô ·ÎÚÈ‚‹˜

·ÚÈıÌfi˜;➣ ¶fiÙ ÂÈÙÚ¤ÂÙ·È Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠·˘Ù‹ ÙË ‰È·‰Èηۛ· ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ˘ ÂÓfi˜

Ê˘ÛÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡;

∏ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· ·˘Ù‹ Ì·˜ Ô‰ËÁ› Ó· ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÙԇ̠ÁÈ·Ù› Û ·ÚÈıÌÔ‡˜, fiˆ˜ ÙÔ ·ÎÚÈ‚¤˜Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÔÏÈÙÒÓ Ù˘ ∂.∂., ‰Â ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· ·Ó·ÊÂÚıԇ̠̠·ÎÚ›‚ÂÈ·, ÂÓÒ Û ¿ÏÏÔ˘˜, fiˆ˜Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ Â˘Úˆ‚Ô˘Ï¢ÙÒÓ, ··ÈÙÂ›Ù·È ·ÎÚ›‚ÂÈ·. ¶fiÙÂ, ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ·, Ë ·ÎÚÈ‚‹˜ ‰È·Ù‡ˆÛËÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ Â›Ó·È ·Ó·Áη›·;™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÙˆÓ ÔÏÈÙÒÓ ‹ ÙˆÓ „ËÊÔÊfiÚˆÓ Ù˘ ∂.∂., ·˘Ùfi Ô˘ ΢ڛˆ˜ÂӉȷʤÚÂÈ Â›Ó·È Ë “Ù¿ÍË ÌÂÁ¤ıÔ˘˜”, .¯. Ù· ÂηÙÔÌ̇ÚÈ·. ∂ÓÒ ÁÈ· ÙÔ˘˜ Â˘Úˆ‚Ô˘ÏÂ˘Ù¤˜ Ô·ÎÚÈ‚‹˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ˜, .¯. ÛÙȘ „ËÊÔÊÔڛ˜.∞fi Ù· ·Ú·¿Óˆ Â›Ó·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ÌÈ· ‰È·‰Èηۛ· Ô˘ Ì·˜ ‚ÔËı¿ÂÈ Ó· ÂÎÊÚ¿ÛÔ˘ÌÂ,Ì ÙÚfiÔ ÎÔÈÓ¿ ·Ô‰ÂÎÙfi, ¤Ó· Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ ··ÈÙÂ›Ù·È ·ÎÚ›‚ÂÈ·. °È··Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÙÔ ‡„Ô˜ ÂÓfi˜ ‚Ô˘ÓÔ‡ Ô˘ Â›Ó·È 1987 m., ϤÌÂ, Û˘Ó‹ıˆ˜, 2000 m. ∂ÓÒ Ô ·ÚÈıÌfi˜ÂÓfi˜ ÙËÏÂÊÒÓÔ˘, ÙÔ ∞ºª ‹ Ô Ù·¯˘‰ÚÔÌÈÎfi˜ Έ‰ÈÎfi˜ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ¿ÓÙ· Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ·.

� ¶ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ ·ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠¤Ó· Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ì ÌÈ· ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ‹ ÙÔ˘,‰ËÏ·‰‹ οÔÈÔ ¿ÏÏÔ Ï›ÁÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ‹ Ï›ÁÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚfi ÙÔ˘. ΔË ‰È·‰Èηۛ· ·˘Ù‹ÙËÓ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË.

� °È· Ó· ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ¤Ó· Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi:— ¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ÙË Ù¿ÍË ÛÙËÓ ÔÔ›· ı· Á›ÓÂÈ Ë ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË.— ∂ÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÙÔ „ËÊ›Ô Ù˘ ·Ì¤Ûˆ˜ ÌÈÎÚfiÙÂÚ˘ Ù¿Í˘.— ∞Ó ·˘Ùfi Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙÔ˘ 5 (‰ËÏ·‰‹ 0, 1, 2, 3 ‹ 4), ÙÔ „ËÊ›Ô ·˘Ùfi Î·È fiÏ·

Ù· „ËÊ›· ÙˆÓ ÌÈÎÚfiÙÂÚˆÓ Ù¿ÍÂˆÓ ÌˉÂÓ›˙ÔÓÙ·È.— AÓ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ‹ ›ÛÔ ÙÔ˘ 5 (‰ËÏ·‰‹ 5, 6, 7, 8 ‹ 9), ÙÔ „ËÊ›Ô ·˘Ùfi Î·È fiÏ·

Ù· „ËÊ›· ÙˆÓ ÌÈÎÚfiÙÂÚˆÓ Ù¿ÍÂˆÓ ÌˉÂÓ›˙ÔÓÙ·È Î·È ÙÔ „ËÊ›Ô Ù˘ Ù¿Í˘ ÛÙÚÔÁÁ˘-ÏÔÔ›ËÛ˘ ·˘Í¿ÓÂÙ·È Î·Ù¿ 1.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙÂ

™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛË

- 12 - ª∂ƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

0 1

O A B ° ¢ ∂

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

O A B ° ¢ ∂

?

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ 3Ë

¡· ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔÈËı› Ô ·ÚÈıÌfi˜ 9.573.842 ÛÙȘ (·) ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜, (‚) ¯ÈÏÈ¿‰Â˜ (Á) ÂηÙÔÌ̇ÚÈ·.

(·) Δ¿ÍË ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛ˘: ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜.¶ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù¿ÍË: 4 < 5. ŸÏ· Ù·ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ „ËÊ›· ÌˉÂÓ›˙ÔÓÙ·È. 9.573.842 ➜ 9.573.800

(‚) Δ¿ÍË ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛ˘: ¯ÈÏÈ¿‰Â˜¶ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù¿ÍË: 8 > 5. ŸÏ· Ù·ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ „ËÊ›· ÌˉÂÓ›˙ÔÓÙ·È Î·È ÙÔ „ËÊ›Ô Ù˘ Ù¿Í˘ Á›ÓÂÙ·È: 3 + 1 = 4 9.573.842 ➜ 9.574.000

(Á) Δ¿ÍË ÛÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛ˘: ÂηÙÔÌ̇ÚÈ·¶ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù¿ÍË: 5 = 5. ŸÏ· Ù· ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ „ËÊ›· ÌˉÂÓ›˙ÔÓÙ·È Î·ÈÙÔ „ËÊ›Ô Ù˘ Ù¿Í˘ Á›ÓÂÙ·È 9 + 1 = 10 9.573.842 ➜ 10.000.00

°Ú¿„ Ì „ËÊ›· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ‰›ÓÔÓÙ·È ·Ú·Î¿Ùˆ ÛÂ Ê˘ÛÈ΋ ÁÏÒÛÛ·:(·) ‰È·ÎfiÛÈ· ¤ÓÙÂ, (‚) ÂÙ·ÎfiÛÈ· ÙÚÈ¿ÓÙ· ‰‡Ô (Á) ›ÎÔÛÈ ¯ÈÏÈ¿‰Â˜ ÔÎÙ·ÎfiÛÈ· ‰¤Î· ÙÚ›·.

°Ú¿„ ÛÂ Ê˘ÛÈ΋ ÁÏÒÛÛ· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: (·) 38.951, (‚) 5.000.812, (Á) 120.003.

¶ÔÈÔÈ Â›Ó·È ÔÈ ÙÚÂȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÙÔ˘ 289 Î·È ÔÈÔÈ ÔÈ ‰‡Ô ÂfiÌÂÓÔÈ;

ΔÔÔı¤ÙËÛ Û ·‡ÍÔ˘Û· ÛÂÈÚ¿ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: 3.515, 4.800, 3.620, 3.508, 4.801.

ΔÔÔı¤ÙËÛ ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ: <, =, >, ÛÙÔ ÎÂÓfi ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÎfiÏÔ˘ıˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ:(·) 45...45 (‚) 38...36, (Á) 456...465, (‰) 8.765...8.970, (Â) 90.876...86.945, (ÛÙ) 345...5.690

∫·Ù·Û··Û ¤Ó·Ó ¿ÍÔÓ· Ì ·Ú¯‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √ Î·È ÌÔÓ¿‰· √∞ ›ÛÔ Ì 2 cm.ΔÔÔı¤ÙËÛ ٷ ÛËÌ›· μ, °, ¢, ∂ Û ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ 6 cm, 10 cm, 12 cm Î·È 14 cm·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ¶ÔÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙ· ÛËÌ›· ·˘Ù¿;

ΔÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË ™ø™Δ√ §∞£√™(·) ŒÓ·˜ ÂÓÙ·„‹ÊÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ¤¯ÂÈ 6 „ËÊ›· Î·È Ì ÚÒÙÔ „ËÊ›Ô ÙÔ 0(‚) ™ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 5780901 ÙÔ Ìˉ¤Ó ‰ËÏÒÓÂÈ ·Ô˘Û›· ‰Âο‰ˆÓ Î·È ¯ÈÏÈ¿‰ˆÓ(Á) ¢¤Î· ¯ÈÏÈ¿‰Â˜ Â›Ó·È Ì›· ‰Âο‰· ¯ÈÏÈ¿‰·(‰) ™Â ÌÈ· ÂÓÙ·‹ÌÂÚË ÂΉÚÔÌ‹ ı· Á›ÓÔ˘Ó ¤ÓÙ ‰È·Ó˘¯ÙÂÚ‡ÛÂȘ(Â) ∞fi ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 32 ˆ˜ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 122 ˘¿Ú¯Ô˘Ó 90 ·ÚÈıÌÔ›(ÛÙ) ™Â ÔÎÙÒ Ë̤Ú˜ ·fi Û‹ÌÂÚ·, Ô˘ Â›Ó·È ¶¤ÌÙË,ı· Â›Ó·È ¶·Ú·Û΢‹(˙) ∞fi ÙËÓ 12Ë ÛÂÏ›‰· ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ̤¯ÚÈ Î·È ÙËÓ 35Ë Â›Ó·È 24 ÛÂÏ›‰Â˜(Ë) ¢ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ 2 Î·È 3√È ÂfiÌÂÓ˜ Ù¤ÛÛÂÚȘ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·(ı) ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Ô ·ÚÈıÌfi˜ 370(È) ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô § ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Ô ·ÚÈıÌfi˜ 1050(È·) ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Ô ·ÚÈıÌfi˜ 1200(È‚) ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¡ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Ô ·ÚÈıÌfi˜ 1875

™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛ ÛÙËÓ ÏËÛȤÛÙÂÚË ÂηÙÔÓÙ¿‰· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: 345, 761, 659, 2.567,9.532, 123.564, 34.564, 31.549 Î·È 8.765.

™ÙÚÔÁÁ˘ÏÔÔ›ËÛ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 7.568.349 ÛÙȘ ÏËÛȤÛÙÂÚ˜: (·) ‰Âο‰Â˜, (‚) ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜,(Á) ¯ÈÏÈ¿‰Â˜, (‰) ‰Âο‰Â˜ ¯ÈÏÈ¿‰Â˜, (Â) ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜ ¯ÈÏÈ¿‰Â˜.

§‡ÛË

ª∂ƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - 13 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√μ§∏ª∞Δ∞1.

2.3.4.5.

6.

7.

8.

9.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏

K

0 150

§ ª ¡

¶·Ú·Î¿Ùˆ ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠̠ÙȘ “Ú¿ÍÂȘ” ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ΔÔ Ô˘ÛÈ·ÛÙÈÎfi “Ú¿ÍË”ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ Ú‹Ì· “Ú¿ÙÙˆ” Î·È ‰ËÏÒÓÂÈ ÌÈ· ‰Ú¿ÛË ‹ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·. √È ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ¤¯Ô˘ÌÂÁÓˆÚ›ÛÂÈ Ì¤¯ÚÈ ÙÒÚ· ˘ÏÔÔÈÔ‡Ó ·Ó¿ÁΘ ̤ÙÚËÛ˘. ™‡ÓıÂÙ˜ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ·fi ·Ï¤˜ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ Ì ÙË ‰È‰Èηۛ· ÙˆÓ Ú¿ÍˆÓ, fiˆ˜ ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È Ù˘ ·Ê·›ÚÂÛ˘.

√ ‰ÈÏ·Ófi˜ ›Ó·Î·˜ ‰›ÓÂÈ Ù· ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·, ‰ËÏ·‰‹ Ù··ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ ÙˆÓ ÌÔÓÔ„‹ÊȈÓÊ˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ.

➣ ΔÈ ·Ú·ÙËÚ›˜ ÁÈ· ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Ì ÙÔ 0;➣ ¶fiÛÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÚÔÛÙÂıÔ‡Ó Î¿ı ÊÔÚ¿;➣ ¢‡Ô ·ÚÈıÌÔ› ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 12 Î·È ‰È·ÊÔÚ¿ 2.

ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·˘ÙÔ‡˜;➣ ™‡ÁÎÚÈÓ ٷ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· 3 + 6 Î·È 6 + 3 Î·È ÌÂÙ¿ Ù·

·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· (5+4) + 2 Î·È 5 + (4+2)➣ ¢È·Ù‡ˆÛ ٷ Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù¿ ÛÔ˘.➣ ºÙÈ¿Í ¤Ó· ·ÚfiÌÔÈÔ ›Ó·Î· ÁÈ· ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi,

‰È·Ù‡ˆÛ ٷ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÂÚˆÙ‹Ì·Ù· Î·È ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‰ÒÛÂȘ ÙȘ ηٿÏÏËϘ ··ÓÙ‹ÛÂȘ.

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Î¿ı ÊÔÚ¿ ÌÔÚԇ̠ӷ ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÌfiÓÔ ·ÚÈıÌÔ‡˜, Û˘ÓÂÒ˜·fi Ù· ˙¢Á¿ÚÈ· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 12, ‰ËÏ·‰‹ 9+3, 8+4, 7+5, 6+6,ÂΛÓÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰È·ÊÔÚ¿ 2 Â›Ó·È ÙÔ ˙¢Á¿ÚÈ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ 7 Î·È 5.∂›Û˘, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ: 0+1=1+0=1, 0+2=2+0=2, 0+3=3+0=3, Î.Ô.Î.∏ Û‡ÁÎÚÈÛË ÙˆÓ ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ 3+6=9 Î·È 6+3=9, fiˆ˜ Î·È ¿ÏÏˆÓ Ù¤ÙÔÈˆÓ ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ.¯. 7+1=8 Î·È 1+7=8 Î.Ï., Ì·˜ Ô‰ËÁÔ‡Ó ÛÙË ‰È·Ù‡ˆÛË Ù˘ ·ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋˜ ȉÈfiÙËÙ·˜.∂›Û˘, Ë Û‡ÁÎÚÈÛË ÙˆÓ ·ıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ: (5+4)+2=11 Î·È 5+(4+2)=11, ·ÏÏ¿ Î·È ¿ÏψӷıÚÔÈÛÌ¿ÙˆÓ, fiˆ˜ .¯. (9+1)+3=13 Î·È 9+(1+3)=13 Î.Ï., Ì·˜ Ô‰ËÁÔ‡Ó ÛÙË ‰È·Ù‡ˆÛËÙ˘ ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋˜ ȉÈfiÙËÙ·˜. ∂Ô̤ӈ˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ.

™Â fiÏÔ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÂıÓÈÎÔ‡ ‰ÚfiÌÔ˘ ∞ı‹Ó·˜ - ∞ÏÂÍ·Ó‰ÚÔ‡ÔÏ˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¯ÈÏÈÔÌÂÙÚÈΤ˜ÂӉ›ÍÂȘ. √È ÂӉ›ÍÂȘ ·˘Ù¤˜ ÁÚ¿ÊÔ˘Ó: ÛÙË §·Ì›· 214, ÛÙË §¿ÚÈÛ· 362, ÛÙËÓ ∫·ÙÂÚ›ÓË 445,ÛÙË £ÂÛÛ·ÏÔÓ›ÎË 514, ÛÙËÓ ∫·‚¿Ï· 677, ÛÙËÓ •¿ÓıË 732, ÛÙËÓ ∫ÔÌÔÙËÓ‹ 788 Î·È ÛÙËÓ∞ÏÂÍ·Ó‰ÚÔ‡ÔÏË 854. ➣ ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÙȘ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ fiÏÂˆÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ;

√ ™‡ÚÔ˜ ˘ÔÏfiÁÈÛ Ì ÙÔ Ì˘·Ïfi ÙÔ˘ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Î·È ÙÔ ‚ڋΠ1600 ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈο¯ÈÏÈÔÛÙ¿.

➣ ÀÔÏfiÁÈÛÂ Î·È Û˘ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Î·È ‰ÒÛ ÌÈ· ÂÍ‹ÁËÛË ÁÈ· ÙÔ ÙÈ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ¤Î·Ó˜ ÁÈ· Ó· ÙÔ ‚ÚÂȘ.

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙÂ

- 14 - ª∂ƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

∞.1.2. ¶ÚfiÛıÂÛË, ·Ê·›ÚÂÛË Î·È ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ 1Ë

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ 2Ë

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ 3Ë

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 0 1 2 3 4 5 6 7 8 91 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 2 3 4 5 6 7 8 9 10 113 3 4 5 6 7 8 9 10 11 124 4 5 6 7 8 9 10 11 12 135 5 6 7 8 9 10 11 12 13 146 6 7 8 9 10 11 12 13 14 157 7 8 9 10 11 12 13 14 15 168 8 9 10 11 12 13 14 15 16 179 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

62

16

16

38

� ¶ÚfiÛıÂÛË Â›Ó·È Ë Ú¿ÍË Ì ÙËÓ ÔÔ›· ·fi ‰‡ÔÊ˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ · Î·È ‚, ÙÔ˘˜ ÚÔÛıÂÙ¤Ô˘˜,‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¤Ó· ÙÚ›ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi Á, Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜ Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ: · + ‚ = Á

π‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘:� ΔÔ 0 fiÙ·Ó ÚÔÛÙÂı› Û ¤Ó· Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi ‰ÂÓ ÙÔÓ

ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÈ.

� ªÔÚԇ̠ӷ ·ÏÏ¿˙Ô˘Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ ÙˆÓ ‰‡Ô ÚÔÛıÂ-Ù¤ˆÓ ÂÓfi˜ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ (∞ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·)

� ªÔÚԇ̠ӷ ·ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠ÚÔÛıÂÙ¤Ô˘˜ Ì ÙÔ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜ ‹ Ó· ·Ó·Ï‡Ô˘Ì ¤Ó· ÚÔÛıÂÙ¤Ô Û¿ıÚÔÈÛÌ· (¶ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·).

.� ∞Ê·›ÚÂÛË Â›Ó·È Ë Ú¿ÍË Ì ÙËÓ ÔÔ›·, fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ‰‡Ô

·ÚÈıÌÔ›, ª (ÌÂȈ٤Ԙ) Î·È ∞ (·Ê·ÈÚÂÙ¤Ô˜) ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¤Ó·Ó·ÚÈıÌfi ¢ (‰È·ÊÔÚ¿), Ô ÔÔ›Ô˜ fiÙ·Ó ÚÔÛÙÂı› ÛÙÔ ∞ ‰›ÓÂÈ ÙÔ ª.

� ™ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô ·Ê·ÈÚÂÙ¤Ô˜ ∞ Ú¤ÂÈ Ó· ›ӷȿÓÙ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ‹ ›ÛÔ˜ ÙÔ˘ ÌÂÈˆÙ¤Ô˘ ª. ™Â ·ÓÙ›ıÂÙËÂÚ›ÙˆÛË Ë Ú¿ÍË Ù˘ ·Ê·›ÚÂÛ˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó·ÂÎÙÂÏÂÛÙ›.

� ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Â›Ó·È Ë Ú¿ÍË Ì ÙËÓ ÔÔ›· ·fi ‰‡ÔÊ˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ · Î·È ‚, ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¤Ó·ÙÚ›ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi Á, Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓfi ÙÔ˘˜: · � ‚ = Á.

π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡:� ΔÔ 1 fiÙ·Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÙ› Ì ¤Ó· Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi ‰ÂÓ

ÙÔÓ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÈ.

� ªÔÚԇ̠ӷ ·ÏÏ¿˙Ô˘Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ ÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓÂÓfi˜ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ (∞ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·)

� ªÔÚԇ̠ӷ ·ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠·Ú¿ÁÔÓÙ˜ Ì ÙÔÁÈÓfiÌÂÓfi ÙÔ˘˜ ‹ Ó· ·Ó·Ï‡Ô˘Ì ¤Ó· ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÛÂÁÈÓfiÌÂÓÔ (¶ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·)

� ∂ÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË:

� ∂ÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË:

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ

ª∂ƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - 15 -

13 + 5 = 18

· + 0 = 0 + · = ·

· + ‚ = ‚ + ·

·+(‚+Á)=(·+‚)+Á

ª = ∞ + ¢

Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ

¢ = ª - ∞

7 � 6 = 42

· � 1 = 1 � · = ·

· � ‚ = ‚ � ·

· �(‚ �Á )= (· �‚ ) �Á

·�(‚+Á)=·�‚+·�Á

·�(‚-Á)=·�‚-·�Á

¶ÚÔÛıÂÙ¤ÔÈ ÕıÚÔÈÛÌ·

¶·Ú¿ÁÔÓÙ˜ °ÈÓfiÌÂÓÔ

¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó Ù· ÁÈÓfiÌÂÓ·: (·) 35 � 10, (‚) 421 � 100, (Á) 5 � 1.000, (‰) 27 � 10.000

(·) 35 � 10 = 350(‚) 421 � 100 = 42 .100(Á) 5 � 1 .000 = 5.000(‰) 27 � 10.000 = 270.000∞fi Ù· ·Ú·¿Óˆ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÁÈ· Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ¤Ó· ·ÚÈıÌfi › 10,100, 1.000, ... ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÙfiÛ· ÌˉÂÓÈο fiÛ· ¤¯ÂÈ Î¿ı ÊÔÚ¿ Ô·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ 10, 100, 1.000 ....

¡· ÂÎÙÂÏÂÛÙÔ‡Ó ÔÈ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ Ú¿ÍÂȘ:(·) 89 � 7 + 89 � 3, (‚) 23 � 49 + 77 � 49, (Á) 76 � 13 – 76 � 3, (‰) 284 � 99

(·) 89 � 7 + 89 � 3 = 89 � (7 + 3) = 89 � 10 = 890(‚) 23 � 49 + 77 � 49 = (23 + 77) � 49 = 100 � 49 = 490(Á) 76 � 13 – 76 � 3 = 76 � (13–3) = 76 � 10 = 760(‰) 284 � 99 = 284 � (100 – 1) = 284 � 100 – 284 � 1 = 28.400 – 284 = 28.116

¡· ÂÚÌËÓ¢ÙÔ‡Ó Ì ÁˆÌÂÙÚÈÎfi ÙÚfiÔ ÔÈ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜:(· + ‚) � Á = · � Á + ‚ � Á Î·È (· – ‚) � Á = · � Á – ‚ � Á

¢‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ·Ú·ÏÏËÏfi-ÁÚ·ÌÌ· (ÌϤ Î·È Î›ÙÚÈÓÔ)¤¯Ô˘Ó Ì›· ‰È¿ÛÙ·ÛË Ì ÙÔ ›‰ÈÔÌ‹ÎÔ˜ Á. °È· ·˘Ùfi ÙÔ ÏfiÁÔÌÔÚÔ‡ÌÂ, ·Ó Ù· “ÎÔÏÏ‹-ÛÔ˘Ì”, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔÛ¯‹Ì·, Ó· ÊÙÈ¿ÍÔ˘Ì ¤Ó·ÙÚ›ÙÔ, ÙÔ ∞∑∏¢, Ì ÂÌ‚·‰fiÓ ›ÛÔ Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘˜. ∞Ó ‚¿ÏÔ˘Ì ÙÔÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ¿Óˆ ÛÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·, ı· ·ÔÎÙ‹ÛÔ˘Ì ¤Ó· ¿ÏÏÔ,ÙÔ ∞∂£¢, Ô˘ ı· ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ ›ÛÔ Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ·Ú¯ÈÎÒÓ.

§‡ÛË

§‡ÛË

§‡ÛË

- 16 - ª∂ƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

·∞

¢

B

°

Á

‚∂

£

∑

∏∂Ì‚·‰fiÓ ∞μ°¢ = · � Á ∂Ì‚·‰fiÓ ∂∑∏£=‚�Á

∞

¢

Á

∑

∏

∂Ì‚. ∞ZH¢ = ∂Ì‚. ∞μ°¢ + ∂Ì‚. ∂∑∏£√fiÙÂ: (·+‚) � Á = · � Á + ‚ � Á

∂Ì‚. ∞∂£¢ = ∂Ì‚. ∞μ°¢ – ∂Ì‚. ∂∑∏£√fiÙÂ: (·–‚) � Á = · � Á – ‚ � Á

· + ‚B∂

°£

∞

¢

Á

°∏

· – ‚ B∑∂

£

2.

3.

∏ ÚÒÙË ÂÌÊ¿ÓÈÛË ÙˆÓ Û˘Ì‚fiÏˆÓ + Î·È — ¯ÚÔÓÔÏÔÁÂ›Ù·È ·fi Ù· Ù¤ÏË ÙÔ˘ 15Ô˘ ·ÈÒÓ·, ·ÏÏ¿ Ë ÁÂÓÈÎÂ˘Ì¤Ó˯ڋÛË ÙÔ˘˜ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÙÔÓ 19Ô ·ÈÒÓ·. ∞Ú¯Èο ÁÈ· ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËΠÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ «:».§¤ÁÂÙ·È fiÙÈ Ë Î·Ù·ÁˆÁ‹ ÙˆÓ Û˘Ì‚fiÏˆÓ ·˘ÙÒÓ ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔ˘˜ ÂÌfiÚÔ˘˜ Ô˘ Ù· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ÁÈ· Ó·‰ËÏÒÛÔ˘Ó fiÙÈ ¤Ó· ‚¿ÚÔ˜ ‚Ú¤ıËΠÈÔ Ôχ ‹ ÈÔ Ï›ÁÔ, ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, ·fi ÙÔ Î·ÓÔÓÈÎfi.Δ· ۇ̂ÔÏ· x Î·È = ηıÈÂÚÒıËÎ·Ó ·fi ÕÁÁÏÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ÙÔ 1632 Î·È ÙÔ 1557 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞Δ∞ - ∂º∞ƒª√°∂™1.

MÂÚÈΤ˜ ÊÔÚ¤˜ ¤Ó·˜ ·Ïfi˜ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌfi˜ οÔÈÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘ ·Í›˙ÂÈ ÈÔ Ôχ ·’ fiÏÔÙÔ ¯Ú˘Û¿ÊÈ ÙÔ˘ ÎfiÛÌÔ˘. M οÔȘ ¤Í˘Ó˜ ȉ¤Â˜ ÎÂÚ‰›˙ÔÓÙ·È Ì¿¯Â˜, Á›ÓÔÓÙ·ÈÌÓËÌÂÈÒ‰Ë ¤ÚÁ· Î·È ‰ÔÍ¿˙ÔÓÙ·È ¿ÓıÚˆÔÈ, ÂÓÒ ·Ú¿ÏÏËÏ· ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È Ë ÂÈÛÙ‹ÌË,ÂÍÂÏ›ÛÛÂÙ·È Ë Ù¯ÓÔÏÔÁ›·, ‰È·ÌÔÚÊÒÓÂÙ·È Ë ÈÛÙÔÚ›· Î·È ·ÏÏ¿˙ÂÈ Ë ˙ˆ‹.ŒÓ· ÌÈÎÚfi ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Â›Ó·È Ë “¤Í˘ÓË ÚfiÛıÂÛË” Ô˘ ÛΤÊÙËΠӷ οÓÂÈ Ô °Î¿Ô˘˜

(Karl Friedrich Gauss, 1777 - 1850), fiÙ·Ó Û ¤Ó· ¯ˆÚÈfi Ù˘ °ÂÚÌ·Ó›·˜ Á‡Úˆ ÛÙ· 1789, ÛÙËÓ ÚÒÙËÙ¿ÍË ÙÔ˘ Û¯ÔÏ›Ԣ, ¿Ú¯ÈÛ ӷ Ì·ı·›ÓÂÈ ÁÈ· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È ÙȘ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ Ú¿ÍÂȘ. ŸÙ·Ó Ô‰¿ÛηÏÔ˜ ˙‹ÙËÛ ·fi ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘ Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ó ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ·:1+2+3+....+98+99+100, ÚÈÓ ÔÈ ˘fiÏÔÈÔÈ ·Ú¯›ÛÔ˘Ó ÙȘ Ú¿ÍÂȘ, Ô ÌÈÎÚfi˜ °Î¿Ô˘˜ ÙÔ Â›¯Â ‹‰Ë˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ. √ ‰¿ÛηÏÔ˜ ¤ÎÏËÎÙÔ˜ ÙÔÓ ÚÒÙËÛ Ҙ ÙÔ ‚Ú‹ÎÂ. ΔfiÙ ÂΛÓÔ˜ ¤ÁÚ·„ ÛÙÔÓ ›Ó·Î·:

(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (48 + 53) + ( 50 + 51) == 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 + 101 = 101 � 50 = 5.050

50 ÊÔÚ¤˜

¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ ÙÔ˘ °Î¿Ô˘˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· 1+2+3+...+ 998 + 999 + 1000Î·È Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ÙÔ ¯ÚfiÓÔ Ô˘ ¯ÚÂÈ¿ÛÙËΘ. ¶fiÛÔ ¯ÚfiÓÔ ı· ¤Î·Ó˜ ¿Ú·Á ӷ ÙÔ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÌÂηÓÔÓÈ΋ ÚfiÛıÂÛË;

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿:

(·) H ȉÈfiÙËÙ· · + ‚ = ‚ + · ϤÁÂÙ·È ........................................................................

(‚) ∏ ȉÈfiÙËÙ· · + ‚ + Á = · + (‚ + Á) = (· + ‚) + Á ϤÁÂÙ·È ...............................

(Á) √ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÚÔÛÙ›ıÂÙ·È Û ·ÚÈıÌfi Î·È ‰›ÓÂÈ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙÔÓ · Â›Ó·È ................

(‰) ΔÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ù˘ ·Ê·›ÚÂÛ˘ ϤÁÂÙ·È ................................................................

(Â) ™Â ÌÈ· ·Ê·›ÚÂÛË ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ª, ∞ Î·È ¢ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÙË Û¯¤ÛË: ............................

(ÛÙ) ∏ ȉÈfiÙËÙ· · � ‚ = ‚ � · ϤÁÂÙ·È ............................................................................

(˙) ∏ ȉÈfiÙËÙ· · � (‚ � Á) = (· � ‚) � Á ϤÁÂÙ·È .............................................................

(Ë) ∏ ȉÈfiÙËÙ· · � (‚ + Á) = · � ‚ + · � Á ϤÁÂÙ·È ......................................................

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ÁÈÓfiÌÂÓ·: (·) 52� �=5.200, (‚) 37� �=370, (Á) 490��=4.900.000

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ÎÂÓ¿ Ì ÙÔ˘˜ ηٿÏÏËÏÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„Ô˘Ó ÛˆÛÙ¿ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·:

(·) (‚) (Á)

AÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛ οı ÁÚ·ÌÌ‹ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ›Ó·Î· ̤ӷ ·fi Ù· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙԉ‡ÙÂÚÔ ›Ó·Î·.

� 5 � 5+ 5 2 �

4 � 9 3

4 � 5+ 5 2 �

� � 1 0

� 5 8 2+ 7 5 � 1

� 1 � 7 3

ª∂ƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - 17 -

π™Δ√ƒπ∫O ™∏ª∂πøª∞

1.

2.3.

4.

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√μ§∏ª∞Δ∞

151 � 2 � 3 � 4

101 � 2 + 3 � 4

241 + 2 + 3 � 4

141 + 2 + 3 + 4

ΔÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË

(·) 157 + 33 = 190 200 180

(‚) 122 + 25 + 78 = 200 250 225

(Á) 785 – 323 = 462 458 562

(‰) 7.321 – 4.595 = 2.724 2.627 2.726

(Â) 60 – (18 – 2) = 60+18–2 (60–18)–2 60–18+2

(ÛÙ) 52 – 11 – 9 = 52–(11+9) (52–11)–9 52–20

(˙) 23 � 10 = 230 240 2.300

(Ë) 97 � 100 = 970 9.700 9.800

(ı) 879 � 1000 = 87900 879000 880000

ÀÔÏfiÁÈÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÁÈÓfiÌÂÓ·, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·:(·) 3�13, (‚) 7�11, (Á) 45�12, (‰) 12�101, (Â) 5�110, (ÛÙ) 4�111, (˙) 34�99, (Ë) 58�98.

YÔÏfiÁÈÛ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜Î·Ù¿ÏÏËÏ· ÙËÓ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·.

AÁÔÚ¿Û·Ì ‰È¿ÊÔÚ· Û¯ÔÏÈο ›‰Ë Ô˘ ÎfiÛÙÈ˙·Ó: 156 Q, 30 Q, 38 Q, 369 Q Î·È 432 Q.(·) ÀÔÏfiÁÈÛ Úfi¯ÂÈÚ· ·Ó ·ÚÎÔ‡Ó 1.000 Q ÁÈ· Ó· ÏËÚÒÛÔ˘Ì ٷ ›‰Ë Ô˘ ·ÁÔÚ¿Û·ÌÂ.(‚) μÚ˜ fiÛ· ·ÎÚÈ‚Ò˜ ¯Ú‹Ì·Ù· ı· ÏËÚÒÛÔ˘ÌÂ.

√ ¡›ÎÔ˜ η٤‚ËΠÁÈ· „ÒÓÈ· Ì 160 Q. ™Â ¤Ó· Ì·Á·˙› ‚ڋΠ¤Ó· Ô˘Î¿ÌÈÛÔ Ô˘ÎfiÛÙÈ˙ 35 Q, ¤Ó· ·ÓÙ·ÏfiÓÈ Ô˘ ÎfiÛÙÈ˙ 48 Q Î·È ¤Ó· ۷οÎÈ Ô˘ ÎfiÛÙÈ˙ 77 Q. ΔÔ˘ÊÙ¿ÓÔ˘Ó Ù· ¯Ú‹Ì·Ù· ÁÈ· Ó· Ù· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ fiÏ·;

™Â ¤Ó· ·ÚÙÔÔÈÂ›Ô ¤ÊÙÈ·Í·Ó Ì›· ̤ڷ 120 ÎÈÏ¿ ¿ÛÚÔ„ˆÌ›, 135 ÎÈÏ¿ ¯ˆÚÈ¿ÙÈÎÔ, 25 ÎÈÏ¿ ÛÈοψ˜ Î·È 38 ÎÈÏ¿ÔχÛÔÚÔ. ¶Ô˘Ï‹ıËÎ·Ó 107 ÎÈÏ¿ ¿ÛÚÔ „ˆÌ›, 112 ÎÈÏ¿¯ˆÚÈ¿ÙÈÎÔ, 19 ÎÈÏ¿ ÛÈοψ˜ Î·È 23 ÎÈÏ¿ ÔχÛÔÚÔ. ¶fiÛ·ÎÈÏ¿ „ˆÌ› ¤ÌÂÈÓ·Ó ·Ô‡ÏËÙ·;

√ ÕÚ˘ ÁÂÓÓ‹ıËΠÙÔ 1983 Î·È Â›Ó·È 25 ¯ÚfiÓÈ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜·fi ÙÔÓ ·Ù¤Ú· ÙÔ˘.(·) ¶fiÛˆÓ ¯ÚÔÓÒÓ Â›Ó·È Ô ÕÚ˘ Û‹ÌÂÚ·;(‚) ¶fiÙ ÁÂÓÓ‹ıËÎÂ Ô ·Ù¤Ú·˜ ÙÔ˘;

‘∂Ó· Û¯ÔÏÂ›Ô ¤¯ÂÈ 12 ·›ıÔ˘Û˜ ‰È‰·Ûηϛ·˜. √È 7 ¯ˆÚ¿Ó ·fi 20 ‰ÈÏ¿ ıÚ·Ó›· Î·È ÔÈ˘fiÏÔȘ ·fi 12 ‰ÈÏ¿ ıÚ·Ó›·. ™ÙÔ Û¯ÔÏÂ›Ô ÂÁÁÚ¿ÊËηÓ: ÛÙËÓ ∞’ Ù¿ÍË 80 ·È‰È¿,ÛÙËÓ μ’ Ù¿ÍË 58 ·È‰È¿ Î·È ÛÙËÓ °’ Ù¿ÍË 61 ·È‰È¿. ∂·ÚÎÔ‡Ó ÔÈ ·›ıÔ˘Û˜ ÁÈ· Ù· ·È‰È¿·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ °˘ÌÓ·Û›Ô˘;

- 18 - ª∂ƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

14

22

22

2

3 3

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

∞Ú¯Èο Ô ¿ÓıÚˆÔ˜ ¤Î·Ó ÌfiÓÔ ÙÔ ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi: ¤Ó·, ‰‡Ô, ÔÏÏ¿. ªÂ ÙËÓ ÚfiÔ‰Ô ÙÔ˘

ÔÏÈÙÈÛÌÔ‡, ÙËÓ ·Ó¿Ù˘ÍË ÙˆÓ Ù¯ÓÒÓ Î·È ÙÔ˘ ÂÌÔÚ›Ô˘ ‰È·ÌÔÚÊÒÓÂÈ ÙȘ ¤ÓÓÔȘ ÙˆÓ

·ÚÈıÌÒÓ. ™’ ·˘Ùfi ‚Ô‹ıËÛ·Ó Î·È Ù· Ê˘ÛÈο ÚfiÙ˘· ·Ú›ıÌËÛ˘, fiˆ˜ .¯. Ù· ‰¿ÎÙ˘Ï· ÙÔ˘

ÂÓfi˜ ¯ÂÚÈÔ‡ (·Ú›ıÌËÛË ‚¿ÛË ÙÔ 5) ‹ ÙˆÓ ‰‡Ô ¯ÂÚÈÒÓ (‚¿ÛË ÙÔ 10). ªÂÙ¿, Ù· ÚÒÙ· ·˘Ù¿

·ÚÈıÌËÙÈο Û˘ÛÙ‹Ì·Ù·, Û˘ÌÏËÚÒÓÔÓÙ·È Ì ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È Ù˘

·Ê·›ÚÂÛ˘.

Δ· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ù˘ ·Ú›ıÌËÛ˘ ηٷÁÚ¿ÊÔÓÙ·Ó Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ¯·Ú·ÁÒÓ ¿Óˆ Û ͇Ϸ

‹ ÎfiηϷ ‹ Ì ÎfiÌÔ˘˜ Û ۯÔÈÓÈ¿. ΔÔ ·Ú¯·ÈfiÙÂÚÔ Â‡ÚËÌ· ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙÔ˘˜

ÚÔ˚ÛÙÔÚÈÎÔ‡˜ ¯ÚfiÓÔ˘˜ Î·È Â›Ó·È ÙÔ ÎfiηÏÔ Ô‰ÈÔ‡ ÂÓfi˜ ÌÈÎÚÔ‡ χÎÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ 18

ÂηÙÔÛÙÒÓ Ô˘ ‚Ú¤ıËÎÂ, ÙÔ 1937, ÛÙËÓ fiÏË μÂÛÙfiÓÈÙÛ Ù˘ ªÔÚ·‚›·˜ (ÂÈÎfiÓ·).

∏ ·Ó¿ÁÎË ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÌÂÁÂıÒÓ ··ÈÙ› Û‡ÁÎÚÈÛË Ì ¤Ó· ÛÙ·ıÂÚfi ˘fi‰ÂÈÁÌ·, ÙË ÌÔÓ¿‰·

̤ÙÚËÛ˘. √È ÚÒÙ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ¿ÏÈ Û ̤ÏË ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜, fiˆ˜ ·Ï¿Ì˜,

‰¿¯Ù˘ÏÔ˘˜, fi‰È·, ÔÚÁÈ¿, ‹¯Ë. ∞fi Ù· Ê˘ÛÈο ÚfiÙ˘·, ÙȘ ¯·Ú·Á¤˜, ÙÔ˘˜ ÎfiÌÔ˘˜, Ù·

‚fiÙÛ·Ï· ÂÚ¿Û·Ì ̤۷ Û ÂÚ›Ô‰Ô ¯ÈÏÈ¿‰ˆÓ ÂÙÒÓ ÛÙ· ۇ̂ÔÏ· Ô˘ ·Ú›ÛÙ·Ó·Ó

·ÚÈıÌÔ‡˜. Δ· ۇ̂ÔÏ· ·˘Ù¿ ‹Ù·Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛÙÔ˘˜ ‰È¿ÊÔÚÔ˘˜ ·Ú¯·›Ô˘˜ ÔÏÈÛÙÈÛÌÔ‡˜.

∏ ÂÓÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ Û‹ÌÂÚ· ¯ÚÂÈ¿ÛÙËΠ¯ÈÏÈ¿‰Â˜

¯ÚfiÓÈ· ÁÈ· Ó· Á›ÓÂÈ.

∏ ÈÛÙÔÚ›· ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜ Î·È Ô Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ·ÎÔÏÔ˘ı› ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ÔÚ›·. ∫È ·˘Ùfi ÁÈ·Ù› Ë ·Ó¿ÁÎË

‡·Ú͢ ͯˆÚÈÛÙÔ‡ Û˘Ì‚fiÏÔ˘ ÁÈ· ÙÔ “Ù›ÔÙ·” ÂÌÊ·Ó›ÛÙËΠÔχ ·ÚÁfiÙÂÚ·.

√È ™Ô˘Ì¤ÚÈÔÈ Î·È ÔÈ μ·‚˘ÏÒÓÈÔÈ ¿ÊËÓ·Ó ¤Ó· ÎÂÓfi ‰È¿ÛÙËÌ· ÁÈ· Ó· ‰ËÏÒÛÔ˘Ó ÙËÓ ·Ô˘Û›· ·ÚÈıÌËÙÈÎÔ‡

„ËÊ›Ô˘ Û οÔÈ· ı¤ÛË. √È ·Ú·ÓÔ‹ÛÂȘ Î·È Ù· Ï¿ıË Ô˘ ÚÔ¤Î˘Ù·Ó ÙÔ˘˜ Ô‰‹ÁËÛ·Ó ÛÙËÓ

˘ÈÔı¤ÙËÛË ÙÔ˘ ÂȉÈÎÔ‡ Û˘Ì‚fiÏÔ˘ ‹ ‹ ηٿ ÙËÓ ¶ÂÚÛÈ΋ ÂÚ›Ô‰Ô.

ΔÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ ·˘Ùfi ÙÔ ÙÔÔıÂÙÔ‡Û·Ó ÌfiÓÔ ÌÂٷ͇ ‰‡Ô „ËÊ›ˆÓ Î·È fi¯È ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡. ∞fi

ÙÔÓ 3Ô - 12Ô ·ÈÒÓ· Ì.Ã. ÙÔ Ìˉ¤Ó Â›Ó·È ÌÈ· ÎԢΛ‰·. √ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Î·È ·ÛÙÚÔÓfiÌÔ˜ μÚ·¯Ì·ÁÎÔ‡Ù·,

ÙÔ 628 Ì.Ã. ÔÓÔÌ¿˙ÂÈ ÙÔ Ìˉ¤Ó ˆ˜ “ÙÔ Ù›ÔÙ·”. ΔÔÓ 9Ô ·ÈÒÓ· Û˘Ó·ÓÙ¿Ì ÂÈÁÚ·Ê‹ Ì ۷ʋ

Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi ÁÈ· ÙÔ Ìˉ¤Ó.

√È πÓ‰Ô› ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜ Î·È ˆ˜ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô „ËÊ›Ô ·ÚÈıÌÔ‡. ŒÙÛÈ Â›¯·Ó 10

ÈÛfiÙÈÌ· „ËÊ›· Ù·: ñ ‹ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Î·È 9.

√ ÕÚ·‚·˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ ∞Ï-ÃÔ˘·Ú›˙ÌÈ (787 - 850 Ì.Ã.), ÛÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ “∞ÏÁfiÚÈıÌÔÈ ÙˆÓ πÓ‰ÈÎÒÓ

·ÚÈıÌÒÓ” ÁÚ¿ÊÂÈ ÙÔ 820 Ì.Ã. ÁÈ· ÙÔ Ìˉ¤Ó: “ŸÙ·Ó ÌÈ· ·Ê·›ÚÂÛË ‰ÂÓ ·Ê‹ÓÂÈ Ù›ÔÙ·, ÙfiÙÂ, ÁÈ· Ó· ÌË

Ì›ÓÂÈ ¿‰ÂÈ· Ë ı¤ÛË Ú¤ÂÈ Ó· Ì·›ÓÂÈ ¤Ó·˜ ÌÈÎÚfi˜ ·ÎÏÔ˜, ÁÈ·Ù› ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÔÈ ı¤ÛÂȘ ı·

ÏÈÁÔÛÙ¤„Ô˘Ó Î·È ÌÔÚ› .¯. Ë ‰Â‡ÙÂÚË Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ ÚÒÙË”.

√ ŒÏÏËÓ·˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ ∫Ï·‡‰ÈÔ˜ ¶ÙÔÏÂÌ·›Ô˜ (100 - 178 Ì.Ã.) ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ 0 ÁÈ· Ó·

·Ú·ÛÙ‹ÛÂÈ ÙÔ Ìˉ¤Ó, ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ “ªÂÁ¿ÏË ª·ıËÌ·ÙÈ΋ ™‡ÓÙ·ÍË” ‹ “∞ÏÌ·Á¤ÛÙË”

(150 Ì.Ã.). ΔÔ ÂÈÓfiËÛ ·fi ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi ÁÚ¿ÌÌ· Ù˘ Ϥ͢ “Ô˘‰¤Ó” Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ Î·Ó¤Ó· („ËÊ›Ô).

ª∂ƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - 19 -

π™Δ√ƒπ∫∏ ∞¡∞¢ƒ√ª∏

∞fi fiÛ· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ·ÔÙÂÏÔ‡ÓÙ·È Ù· Ù¤ÛÛÂÚ· ÚÒÙ· Û¯‹Ì·Ù· Î·È ·fi fiÛÔ˘˜

·‚Ô˘˜ Ù· ÂfiÌÂÓ· ÙÚ›·;

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘ÌÂ: (1) 4=2�2=22, (2) 9=3�3=32, (3) 16=4�4=42, (4) 25=5�5=52

K·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·: (5) 8=2�2�2=23, (6) 27=3�3�3=33, (7) 64=4�4�4=43

√È ÂÚÈÙÒÛÂȘ (1) ¤ˆ˜ Î·È (4) ·ÊÔÚÔ‡Ó Ù· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ 2, 3, 4 Î·È 5.√È ÂÚÈÙÒÛÂȘ (5) ¤ˆ˜ Î·È (7) ·ÊÔÚÔ‡Ó ÙÔ˘˜ ·‚Ô˘˜ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ 2, 3 Î·È 4.

¶ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ Û˘Ó·ÓÙ¿Ì ÁÈÓfiÌÂÓ· ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ fiÏÔÈ ÔÈ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ Â›Ó·È ›ÛÔÈ. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË·˘Ù‹, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÔÓÔ̷ۛ˜ Î·È Û˘Ì‚ÔÏÈΤ˜ ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ·Ú·Î¿Ùˆ.

� ΔÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·�·�·� ... � ·, Ô˘ ¤¯ÂÈ Ó ·Ú¿ÁÔÓÙ˜›ÛÔ˘˜ Ì ÙÔ ·, ϤÁÂÙ·È ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ · ÛÙË Ó ‹ ÓÈÔÛÙ‹‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ · Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ·Ó.

� √ ·ÚÈıÌfi˜ · ϤÁÂÙ·È ‚¿ÛË Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ Î·È Ô ÓϤÁÂÙ·È ÂÎı¤Ù˘.

� ∏ ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÛÙË ‰Â˘Ù¤Ú·, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ·2,ϤÁÂÙ·È Î·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ·.

� ∏ ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÛÙËÓ ÙÚ›ÙË, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ·3,ϤÁÂÙ·È Î·È Î‡‚Ô˜ ÙÔ˘ ·.

� ΔÔ ·1, ‰ËÏ·‰‹ Ë ÚÒÙË ‰‡Ó·ÌË ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ ·Â›Ó·È Ô ›‰ÈÔ˜ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ·.

� √È ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ 1, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ 1Ó, Â›Ó·È fiϘ ›Û˜ Ì 1.

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙÂ

- 20 - ª∂ƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

A.1.3. ¢˘Ó¿ÌÂȘ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ 1Ë

(1)(2)

(3)(4) (5) (6) (7)

H·1 =·

H1Ó= 1

·3

·2

H·Ó=· �· �· � . . . �·

Ó ·Ú¿ÁÔÓÙ˜

O KˆÛÙ¿Î˘, Ë ƒ¤Ó· Î·È Ô ¢ËÌ‹ÙÚ˘ ¤Î·Ó·Ó ÙȘ Ú¿ÍÂȘ ÛÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË:8 � (2 � 3 + 4 � 6) + 5 � (7 + 7 � 9) + 10 Î·È ‚Ú‹Î·Ó Ô Î·ı¤Ó·˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·.√ ∫ˆÛÙ¿Î˘ ‚ڋΠ1.312, Ë ƒ¤Ó· 600 Î·È Ô ¢ËÌ‹ÙÚ˘ 180.➣ μÚ˜ ÔÈÔ ·fi Ù· ÙÚ›· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Â›Ó·È ÙÔ ÛˆÛÙfi.➣ ªÔÚ›˜ Ó· Ì·ÓÙ¤„ÂȘ Ì ÔÈ· ÛÂÈÚ¿ ¤Î·ÓÂ Ô Î·ı¤Ó·˜ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ;➣ ¢È·Ù‡ˆÛ ¤Ó·Ó ηÓfiÓ· ÁÈ· ÙËÓ ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ· Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ÙËÚÔ‡ÌÂ, fiÙ·Ó

οÓÔ˘Ì ڿÍÂȘ Û ÌÈ· ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË.

� ∞ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ï¤ÁÂÙ·È Î¿ı ÛÂÈÚ¿ ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ÌÂٷ͇ÙÔ˘˜ Ì ٷ ۇ̂ÔÏ· ÙˆÓ Ú¿ÍˆÓ.

� ∏ ÛÂÈÚ¿ Ì ÙËÓ ÔÔ›· Ú¤ÂÈ Ó· οÓÔ˘Ì ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Û ̛· ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ú¿-ÛÙ·ÛË (ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ· ÙˆÓ Ú¿ÍˆÓ) Â›Ó·È Ë ·ÎfiÏÔ˘ıË:1. ÀÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ‰˘Ó¿ÌˆÓ.2. ∂ÎÙ¤ÏÂÛË ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÒÓ Î·È ‰È·ÈÚ¤ÛˆÓ3. ∂ÎÙ¤ÏÂÛË ÚÔÛı¤ÛÂˆÓ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛˆÓ.

∞Ó ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ, ÂÎÙÂÏԇ̠ÚÒÙ· ÙȘ Ú¿ÍÂȘ ̤۷ ÛÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ ÌÂÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ÛÂÈÚ¿.

¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ, Ô Î‡‚Ô˜, Ë Ù¤Ù·ÚÙË, Ë ¤ÌÙË Î·È Ë ¤ÎÙË ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘·ÚÈıÌÔ‡ 10. ΔÈ ·Ú·ÙËÚ›ÙÂ;

102 = 10 � 10 = 100103 = 10 � 10 � 10 = 100 � 10 = 1.000104 = 10 � 10 � 10 � 10 = 1.000 � 10 = 10.000105 = 10 � 10 � 10 � 10 � 10 = 10.000 � 10 = 100.000106 = 10 � 10 � 10 � 10 � 10 � 10 = 100.000 � 10 = 1.000.000

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Î¿ı ̛· ·fi ÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ 10, Ô˘ ˘ÔÏÔÁ›ÛÙËηÓ, ¤¯ÂÈ ÙfiÛ· ÌˉÂÓÈ-ο fiÛÔ˜ Â›Ó·È Î·È Ô ÂÎı¤Ù˘ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·: 106 = 1 .000.000 (¤ÍÈ ÌˉÂÓÈο).

¡· ÂÎÙÂÏÂÛÙÔ‡Ó ÔÈ Ú¿ÍÂȘ: (·) (2 � 5)4 + 4 � (3 + 2)2 (‚) (2 + 3)3 – 8 � 32

(·) (2�5)4 + 4� (3+2)2 = 104 + 4�52 = 10.000 + 4�25 = 10.000 + 100 = 10.100(‚) (2+3)3 – 8�32 = 53 – 8�9 = 125 – 72 = 53

¡· ÁÚ·Ê› ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ 7.604 Ì ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ ÙÔ˘ 10.

∂›Ó·È: 7.604 = 7¯ÈÏÈ¿‰Â˜ + 6ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜ + 0‰Âο‰Â˜ +4ÌÔÓ¿‰Â˜.

= 7�1000 + 6�100 + 0�10 + 4�1 == 7�103 + 6�102 + 0�101 + 4

H ÌÔÚÊ‹ ·˘Ù‹ 7�103 + 6�102 + 0�101 + 4 ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ 7.604 Â›Ó·È ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘·ÚÈıÌÔ‡ Û ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ 10.

§‡ÛË

§‡ÛË

§‡ÛË

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ

ª∂ƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - 21 -

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ 2Ë

∏ ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ·ÚÂÓı¤ÛÂˆÓ ÍÂΛÓËÛ ·fi ÙÔÓ 17Ô ·ÈÒÓ· Ì ÛÙfi¯Ô Ó· ˘Ô‰Â›ÍÂÈ ÙËÓÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ· ÙˆÓ Ú¿ÍˆÓ.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞Δ∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

2.

3.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÛÙÔÓ ›Ó·Î· Ù· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· Î·È ÙÔ˘˜ ·‚Ô˘˜ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ:

°Ú¿„ Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ Ù· ÁÈÓfiÌÂÓ·: (·) 5�5�5�5�5�5 (‚) 8�8�8�8�8�8�6�6�6(Á) 1�1�1�1�1�1 (‰) ·�·�·�· (Â) x�x�x (ÛÙ) 2�2�2�2�·�·�·

ÀÔÏfiÁÈÛ ÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 210.

μÚ˜ Ù· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 Î·È 90.

μÚ˜ ÙÔ˘˜ ·‚Ô˘˜ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ: 10, 20, 30, 40, 50.

∫¿Ó ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: (·) 3�52, (‚) 3�52 + 2, (Á) 3�52 + 22, (‰) 3�5 +22, (Â) 3�(5 + 2)2.

∫¿Ó ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: (·) 32+33+23+24 , (‚) (13–2)4 + 5�32.

μÚ˜ ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ: (·) (6+5)2Î·È 62+52, (‚) (3+6)2 Î·È 32+62. ΔÈ ·Ú·ÙËÚ›˜;

°Ú¿„ ÈÔ Û‡ÓÙÔÌ· Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Î·È ÁÈÓfiÌÂÓ·:(·) ·+·+·, (‚) ·�·�·, (Á) x+x+x+x (‰) x�x�x�x

°Ú¿„ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜: (·) 34.720, (‚) 123.654, (Á) 890.650 Û ·Ó·Ù˘Á̤ÓË ÌÔÚÊ‹ ̯ڋÛË ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ ÙÔ˘ 10.

∞ÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛ ٷ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘ÓÛÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ›Ó·Î· Ì ÙÔ ÂÍ·ÁfiÌÂÓÔ ÙˆÓÚ¿ÍÂˆÓ Î¿ı ÁÚ·ÌÌ‹˜ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ›Ó·Î·.

∞ÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛ ٷ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘ÓÛÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ›Ó·Î· Ì ÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋·Ú¿ÛÙ·ÛË Î¿ı ÁÚ·ÌÌ‹˜ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ›Ó·Î·.

ÃÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ ÌfiÓÔ Ù· ۇ̂ÔÏ· ÙˆÓ Ú¿ÍˆÓ: + Î·È ñ

Î·È ÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ “(” Î·È “)” ÁÈ· Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ ÙȘÁÚ·Ì̤˜ ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„Ô˘Ó ÛˆÛÙ¤˜ ÈÛfiÙËÙ˜.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ̷ÁÈο ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ·.

·3

·2

25201918171615141312111098·

- 22 - ª∂ƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√μ§∏ª∞Δ∞

1.

2.3.4.5.6.7.8.9.

10.

11.

12.

141 + (2+3) � 4

9(1�2+3)� 4

211 � (2+3�4)

20(1+2) � (3+4)

554 + 4� 4 – 4

125 � 5+5 � 5� 5

65+5� 5+5� 5

164 + 4� 4� 4

683 + 3� 3

1502 + 2� 2

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∂™ °π∞ Δ√ ™¶πΔπ

1 2 3 4 = 36

1 2 3 4 = 15

1 2 3 4 = 14

1 2 3 4 = 131.

2.14

17

1820

232527

26

18

931

24

723618

√È ÈÔ ·ÏÈÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÁÚ¿ÊÙËÎ·Ó ·fi ÙÔ˘˜ ™Ô˘Ì¤ÚÈÔ˘˜ Û ‹ÏÈÓ· ÈӷΛ‰È·Ù˘ 3˘ - 2˘ ¯ÈÏÈÂÙËÚ›‰·˜ .Ã. √È ·ÚÈıÌÔ› ÁÚ¿ÊÔÓÙ·Ó ·fi Ù· ‰ÂÍÈ¿ ÚÔ˜ Ù··ÚÈÛÙÂÚ¿. ¶ÚÒÙ· ÔÈ ÌÔÓ¿‰Â˜, ÌÂÙ¿ ÔÈ ‰Âο‰Â˜ Î.Ï. ΔÔ 1854 ·Ó·Î·Ï‡ÊıËηÓÎÔÓÙ¿ ÛÙȘ fi¯ı˜ ÙÔ˘ ∂˘ÊÚ¿ÙË, ‹ÏÈÓ· ÈӷΛ‰È· ÁÚ·Ì̤ӷ ÛÙËÓ ÂÚ›Ô‰Ô2300 - 1600 .Ã. ·fi ÙÔ˘˜ μ·‚˘ÏÒÓÈÔ˘˜ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó Î·È ÙÔ‰Âη‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ·.√È ∞ÈÁ‡ÙÈÔÈ ·fi ÙÔ 3000 - 2500 .Ã. ›¯·Ó ÂȉÈο ÈÂÚoÁÏ˘ÊÈο ÁÈ· ÙËÓ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. Δ· ÂȉÈο ۇ̂ÔÏ· Ô˘ ›¯·Ó ÁÈ· Ó· ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘ÓÙȘ ÌÔÓ¿‰Â˜ οı ‰Âη‰È΋˜ Ù¿Í˘ Ê·›ÓÔÓÙ·È ÛÙÔÓ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ ›Ó·Î·:

ToÓ 5Ô ·ÈÒÓ· .Ã. ÛÙËÓ πˆÓ›· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ıËΠÙÔ ·ÏÊ·‚ËÙÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘, Ô˘ ‹Ù·Ó ÙÔÙÂÏÂÈfiÙÂÚÔ Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘ ÌÂÙ¿ ÙÔ ·Ú·‚ÈÎfi Î·È ¤ÌÂÈÓ Û ¯Ú‹ÛË Ì¤¯ÚÈ Î·È ÙËÓ ∞Ó·Á¤ÓÓËÛË,·Ú¿ÏÏËÏ· Ì ÙÔ ÚˆÌ·˚Îfi. ™’ ·˘Ùfi οı ·ÚÈıÌfi˜ ·fi ÙÔ 1 ˆ˜ ÙÔ 9, οı ‰Âο‰· 10, 20, 30,..., 90,οı ÂηÙÔÓÙ¿‰· 100, 200, ..., 900, Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÔÓÙ·Ó ·fi ¤Ó· ÁÚ¿ÌÌ· ÙÔ˘ ÂÏÏËÓÈÎÔ‡ ·ÏÊ·‚‹ÙÔ˘Ì ÌÈ· ÔÍ›· ¿Óˆ ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ÁÈ· Ó· Ù· ͯˆÚ›˙Ô˘Ó ·fi Ù· ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ÙˆÓ Ï¤ÍˆÓ. ∂Âȉ‹¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·Ó 27 ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ÁÈ· ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi fiÏˆÓ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Î·È ÙÔ ·ÏÊ¿‚ËÙÔ ¤¯ÂÈÌfiÓÔ 24, ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ·Ó ·ÎfiÌË ÙÚ›· ۇ̂ÔÏ· ÙÔ ÛÙ›ÁÌ· Ô˘ ·Ú›ÛÙ·Ó ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 6,

ÙÔ Îfi· Ô˘ ·Ú›ÛÙ·Ó ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 90 Î·È ÙÔ Û·Ì› Ô˘ ·Ú›ÛÙ·Ó ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 900.

ŒÙÛÈ Â›¯·Ó:°È· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ›¯·Ó ÌÈ· ÌÈÎÚ‹ ÁÚ·ÌÌ‹ οو ·ÚÈÛÙÂÚ¿, Ô˘ ‰‹ÏˆÓ fiÙÈ Ë ·Í›· ÙÔ˘ÁÚ¿ÌÌ·ÙÔ˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·˙fiÙ·Ó Â› 1.000. ¢ËÏ·‰‹:

�‰=4x1.000=4.000 ηÈ

�Ë=8 x 1.000 = 8.000.

ªÂ ÙÔ ·ÏÊ·‚ËÙÈÎfi ·ÚÈıÌËÙÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ: �‚‰� ÁÈ· ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 2004 Î·È ˆ�Ï�·� ÁÈ· ÙÔÓ 831.

√È ƒˆÌ·›ÔÈ ÂÈÛ‹Á·Á·Ó ¤Ó· ‰Âη‰ÈÎfi ·ÚÈıÌËÙÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ̠ͯˆÚÈÛÙ¿ ۇ̂ÔÏ· ÁÈ· ÙÔ˘˜·ÚÈıÌÔ‡˜ 1, 5, 10, 50, 100, 500 Î·È 1000. ¶ÈÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó Ù· ۇ̂ÔÏ·:

™ÙË ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÙÔ˘˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ÙËÓ ÚÔÛıÂÙÈ΋ ·Ú¯‹ ·fi Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ÚÔ˜ Ù·‰ÂÍÈ¿ ·ÏÏ¿ Î·È ÙËÓ ·Ê·ÈÚÂÙÈ΋ ·Ú¯‹. ΔÔ 2 ÁÚ¿ÊÂÙ·È ππ, ÙÔ 3 ÁÚ¿ÊÂÙ·È πππ, Î.Ï. ΔÔ 4 ÁÚ¿ÊÂÙ·È πV(5–1), ÙÔ 9 ÁÚ¿ÊÂÙ·È IX (10–1), ÙÔ 40 ÁÚ¿ÊÂÙ·È XL (50–10), ÙÔ 900 ÁÚ¿ÊÂÙ·È CM (1.000–100), Î.Ï.

°È· ÔÏÏÔ‡˜ ·ÈÒÓ˜ ΢ÚÈ¿Ú¯ËÛ ÙÔ ÂÏÏËÓÈÎfi Î·È ÙÔ ÚˆÌ·˚Îfi Û‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘. ΔÔ 1299 ÔÈ∫·ÓÔÓÈÛÌÔ› Ù˘ “Δ¤¯Ó˘ Ù˘ ™˘Ó·ÏÏ·Á‹˜” (Arte del Cambio) ··ÁfiÚ¢·Ó ÛÙÔ˘˜ ÙÚ·Â˙›Ù˜ Ù˘ºÏˆÚÂÓÙ›·˜ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó Ù· πÓ‰Ô·Ú·‚Èο ·ÚÈıÌËÙÈο „ËÊ›· Î·È Â¤‚·Ï·Ó Ù· ڈ̷˚ο.

Δ· ۇ̂ÔÏ· Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ۋÌÂÚ· ÙÔ˘ ‰Âη‰ÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ¤ÊÙ·Û·Ó Î·È ‰È·‰fiıËηÓÛÙËÓ ∂˘ÚÒË Ì¤Ûˆ ÙˆÓ ∞Ú¿‚ˆÓ, ÁÈ· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi ÔÓÔÌ¿ÛÙËÎ·Ó ∞Ú·‚Èο, ·ÏÏ¿ ›ӷÈπÓ‰Ô·Ú·‚Èο, ‰ÈfiÙÈ ·fi Ù· Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· ·Ú›ıÌËÛ˘ Ô˘ ˘‹Ú¯·Ó ÛÙÔ˘˜ ÕÚ·‚˜, ÙÔ ‰Âη‰ÈÎfiÛ‡ÛÙËÌ· ‹Úı ·’ ÙÔ˘˜ πÓ‰Ô‡˜. ∞˘Ùfi ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÁÈ· ÚÒÙË ÊÔÚ¿ ÛÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘ ∞Ï-ÃÔ˘·Ú›˙ÌÈ(787 - 850 Ì.Ã.) “∞ÏÁfiÚÈıÌÔÈ ÙˆÓ πÓ‰ÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ”. ◊Úı ÛÙË ª¤ÛË ∞Ó·ÙÔÏ‹ Ì ٷ ηڷ‚¿ÓÈ··fi ÙËÓ ¶ÂÚÛ›· Î·È ÙËÓ ∞›Á˘ÙÔ ÙËÓ ÂÚ›Ô‰Ô 224 - 641 Ì.Ã. √È Ù‡ÔÈ πÓ‰ÈÎÒÓ Û˘Ì‚fiÏˆÓ Â›Ó·È Ù·ÏÂÁfiÌÂÓ· “ÁÎÔÌ¿Ú” Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ÔÈ ÕÚ·‚˜ ÛÙËÓ πÛ·Ó›· Ô˘ ÙËÓ Â›¯·Ó ηٷϿ‚ÂÈ·fi ÙÔ 711 Ì.Ã.

ª∂ƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - 23 -

1.000.000100.00010.0001.000100101

π V X L C D M �L ⎜C� ⎜1 5 10 50 100 500 1.000 50x1.000=50.000 100x100x1.000=10.000.000

π™Δ√ƒπ∫∏ ∞¡∞¢ƒ√ª∏

� ªÂ ‚¿ÛË ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ÈÛÙÔÚÈ΋ ·Ó·‰ÚÔÌ‹ οÓ ¤Ó· ÓÔÂÚfi Ù·Í›‰È ÛÙÔ ¯ÚfiÓÔ ÚÔ˜ÙÔ ·ÚÂÏıfiÓ Î·È Ê·ÓÙ¿ÛÔ˘ fiÙÈ ˙ÂȘ ÛÙË ¯ÒÚ· ÙˆÓ ™Ô˘ÌÂÚ›ˆÓ ÙÔ 3000 .Ã., ÙˆÓ∞ÈÁ˘Ù›ˆÓ ·fi ÙÔ 2500 .Ã., ÙˆÓ πÒÓˆÓ ÙÔ 500 .Ã., ÙˆÓ ƒˆÌ·›ˆÓ ÙÔ 1200 Ì.Ã., ÙˆÓπÛ·ÓÒÓ ÙÔ 1300 Ì.Ã., ̤¯ÚÈ ÙËÓ ÂÔ¯‹ Ì·˜ ÙÔ˘ 21Ô˘ ·ÈÒÓ· Î·È ÁÚ¿„ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ‡˜‰È΋˜ ÛÔ˘ ÂÈÏÔÁ‹˜, fiˆ˜ ÙÔ˘˜ ¤ÁÚ·Ê·Ó ÂΛÓÔÈ ÙfiÙÂ.

- 24 - ª∂ƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

√È ·ÚÈıÌÔ› ›¯·Ó ·Ó·¯ı› ·fi ÙË Û¯ÔÏ‹ ÙÔ˘ ¶˘ı·ÁfiÚ· Û ıÂ̤ÏÈÔ fiÏˆÓ ÙˆÓÂÈÛÙËÌÒÓ. √È ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔÈ ›ÛÙ¢·Ó fiÙÈ fiÏÔÈ ÔÈ ÓfiÌÔÈ ÙÔ˘ ۇ̷ÓÙÔ˜ ÌÔÚÔ‡ÓÓ· ÂÎÊÚ·ÛÙÔ‡Ó Ì ÙËÓ ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Î·È ÙˆÓ ÏfiÁˆÓ ÙÔ˘˜.∞˘Ù‹ Ë ÙÔÏÌËÚ‹ ˘fiıÂÛË ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È ·Ú·ÛÙ·ÙÈο ÛÙËÓ ÂÚ›ÊËÌË ı¤ÛË ÙÔ˘˜

“Ù· ¿ÓÙ· Â›Ó·È ·ÚÈıÌfi˜”. √È ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔÈ Â›¯·Ó ·Ó·Ù‡ÍÂÈ ¤Ó· ȉÈfiÙ˘Ô ÙÚfiÔÛ˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· “„‹ÊˆÓ” ‰È·ÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ ÛÙË ÌÔÚʋηÓÔÓÈÎÒÓ ÁˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. ŒÙÛÈ Û¯ËÌ¿ÙÈ˙·Ó ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ “ÙÚ›ÁˆÓˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ”,Ô˘ ‹Ù·Ó ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔÈ Û ۯ‹Ì· ÙÚÈÁÒÓˆÓ, ÙÂÙÚ¿ÁˆÓˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ, Ô˘ ‹Ù·Ó‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔÈ Û ۯ‹Ì· ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ:

ñ

ñ �ñ ñ ñ ññ ñ ñ ññ ñ ñ ññ ñ ñ ñ

ñ ñ ññ ñ ññ ñ ñ

�ñ

ñ ññ ñ ñ

ññ ñ

ñ ñ ññ ñ ñ ñ1 3 6 10

...1 4 9 16

E›‰·Ì fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÚÈıÌËÙÈο Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi„ËÊ›ˆÓ, fiˆ˜ .¯. Â›Ó·È ÙÔ ‰˘·‰ÈÎfi ·ÚÈıÌËÙÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› ÌfiÓÔ Ù·„ËÊ›· 0 Î·È 1. ™ÙÔ ‰˘·‰ÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÓÙ› ÁÈ· ÌÔÓ¿‰Â˜, ‰Âο‰Â˜, ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜, ¯ÈÏÈ¿‰Â˜Î.Ï. ¤¯Ô˘ÌÂ: ÌÔÓ¿‰Â˜, ‰˘¿‰Â˜, ÙÂÙÚ¿‰Â˜, ÔÎÙ¿‰Â˜, ‰ÂηÂÍ¿‰Â˜ Î.Ï. ŒÙÛÈ ÛÙÔ ÙÚÈ·‰ÈÎfiÛ‡ÛÙËÌ· ·Ú›ıÌËÛ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÌfiÓÔ ÙÚ›· „ËÊ›·: 0, 1, 2, ı· ¤¯Ô˘ÌÂÌÔÓ¿‰Â˜, ÙÚÈ¿‰Â˜, ÂÓÓÈ¿‰Â˜ Î.Ï.

¢Âη‰ÈÎfi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ...

¢˘·‰ÈÎfi 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 ...

ΔÚÈ·‰ÈÎfi 0 1 2 10 11 12 20 21 22 100 101 102 110 111 112 120 121 ...

™Ã∂¢π√ ∂ƒ°∞™π∞™

O ηıËÁËÙ‹˜ Ê˘ÛÈ΋˜ ·ÁˆÁ‹˜ Ú¤ÂÈ Ó· ·ÔÊ·Û›ÛÂÈ Ì ÔÈÔÙÚfiÔ ÌÔÚ› Ó· ·Ú·Ù¿ÍÂÈ ÙÔ˘˜ 168 Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘ Û¯ÔÏ›ԢÁÈ· ÙËÓ ·Ú¤Ï·ÛË.➣ ªÔÚ› Ó· ÊÙÈ¿ÍÂÈ Ï‹ÚÂȘ ÙÚÈ¿‰Â˜, ÙÂÙÚ¿‰Â˜, ÂÓÙ¿‰Â˜,

ÂÍ¿‰Â˜ ‹ ÂÙ¿‰Â˜;➣ ¶fiÛ˜ ·fi ·˘Ù¤˜ ı· Û¯ËÌ·ÙÈÛÙÔ‡Ó Û οı ÂÚ›ÙˆÛË;

°È· Ó· ·ÔÊ·Û›ÛÂÈ Ô Î·ıËÁËÙ‹˜ Ì ÔÈÔ ÙÚfiÔ ı· ·Ú·Ù¿ÍÂÈ ÙÔ˘˜ 168 Ì·ıËÙ¤˜ ÁÈ· ÙËӷڤϷÛË, Ú¤ÂÈ Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÂÈ ÙÔ 168 Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 3, 4, 5, 6 Î·È 7.¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ 168 ‰È·ÈÚÂ›Ù·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ì ÙÔ 3 Î·È ‰›ÓÂÈ ËÏ›ÎÔ 56, ÔfiÙ ÌÔÚ› Ó··Ú·Ù¿ÍÂÈ ÙÔ˘˜ 168 Ì·ıËÙ¤˜ Û 56 ÙÚÈ¿‰Â˜.¶·ÚfiÌÔÈ·, Ë ‰È·›ÚÂÛË ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ 168 Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 4, 6, Î·È 7 ‰›ÓÂÈ Ù· Ëϛη: 42, 28Î·È 24 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ∂Ô̤ӈ˜, ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·Ú·Ù·¯ıÔ‡Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Û 42 ÙÂÙÚ¿‰Â˜ ‹ 28ÂÍ¿‰Â˜ ‹ Û 24 ÂÙ¿‰Â˜. Δ¤ÏÔ˜, Ë ‰È·›ÚÂÛË ÙÔ˘ 168 Ì ÙÔ 5 ‰›ÓÂÈ ËÏ›ÎÔ 33 Î·È ·Ê‹ÓÂÈ˘fiÏÔÈÔ 3. ÕÚ·, ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ô Î·ıËÁËÙ‹˜ Ó· ·Ú·Ù¿ÍÂÈ ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ Û ϋÚÂȘ ÂÓÙ¿‰Â˜.

� ŸÙ·Ó ‰ÔıÔ‡Ó ‰‡Ô Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ¢ Î·È ‰, ÙfiÙ¢¿Ú¯Ô˘Ó ‰‡Ô ¿ÏÏÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Î·È ˘, ¤ÙÛÈÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ:

� √ ·ÚÈıÌfi˜ ¢ ϤÁÂÙ·È ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˜, Ô ‰ ϤÁÂٷȉȷÈÚ¤Ù˘, Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ËÏ›ÎÔ Î·È ÙÔ ˘˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘.

� ΔÔ ˘fiÏÔÈÔ Â›Ó·È ·ÚÈıÌfi˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ‹ ›ÛÔ˜ ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜Î·È ¿ÓÙ· ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ÙÔ˘ ‰È·ÈÚ¤ÙË:

� ∏ ‰È·›ÚÂÛË Ù˘ ·Ú·¿Óˆ ÌÔÚÊ‹˜ ϤÁÂÙ·È ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· ¢È·›ÚÂÛË.

� ∞Ó ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ˘ Â›Ó·È 0, ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì ̛·Δ¤ÏÂÈ· ¢È·›ÚÂÛË:

� ™ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ë Ù¤ÏÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË Â›Ó·È Ú¿ÍË·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡, fiˆ˜ Â›Ó·È Î·È Ë ·Ê·›ÚÂÛËÚ¿ÍË ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘.

� √ ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ‰ ÌÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È 0.

� ŸÙ·Ó ¢ = ‰, ÙfiÙ ÙÔ ËÏ›ÎÔ = 1

� ŸÙ·Ó Ô ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ‰ = 1, ÙfiÙ ÙÔ ËÏ›ÎÔ = ¢

� ŸÙ·Ó Ô ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˜ ¢ = 0, ÙfiÙ ÙÔ ËÏ›ÎÔ = 0

¢ = ‰ �

0 � ˘ < ‰

¢ = ‰ � + ˘

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ

™ÎÂÊÙfiÌ·ÛÙÂ

ª∂ƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - 25 -

A.1.4. E˘ÎÏ›‰ÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË - ¢È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞

¢ÔÎÈÌ‹7

x 642

+ 143

←¢È·ÈÚ¤Ù˘←¶ËÏ›ÎÔ

←ÀfiÏÔÈÔ←¢È·ÈÚÂÙ¤Ô˜

15 ̿Ϙ

5 ̿Ϙ 5 ̿Ϙ 5 ̿Ϙ

⇓ ⇓⇓

‰ ≠ 0

· : ·

· : 1 = ·

0 : · = 0

43 7- 4 2

1 66 �7=42

ËÏ›ÎÔ

‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˜

˘fiÏÔÈÔ

‰È·ÈÚ¤Ù˘

¶ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó “∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË”;(·) 120 = 28 � 4 + 8 (‚) 1.345 = 59 � 21 + 106 (Á) 374 = 8 � 46 + 6

(·) Œ¯Ô˘Ì ˘ = 8, Ô˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ 28 Î·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ 4.ÕÚ·, Â›Ó·È ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ Ì ‰È·ÈÚ¤ÙË ÌfiÓÔ ÙÔ 28 Î·È fi¯È ÙÔ 4.

(‚) Œ¯Ô˘Ì ˘ = 106, Ô˘ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ 59 Î·È ·fi ÙÔ 21. ÕÚ· ‰ÂÓÂ›Ó·È ˘fiÏÔÈÔ ÌÈ·˜ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ Ì ‰È·ÈÚ¤ÙË ÙÔ 59 ‹ ÙÔ 21.

(Á) Œ¯Ô˘Ì ˘ = 6, Ô˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ 8 Î·È ·fi ÙÔ 48. ÕÚ· Â›Ó·È˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ Ì ‰È·ÈÚ¤ÙË Â›Ù ÙÔ 46 ›Ù ÙÔ 8.

™Â ÌÈ· ‰ÈÛΤٷ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·ÔıË΢ÙÔ‡Ó 11 ʈÙÔÁڷʛ˜. (·) ¶fiÛ˜ ‰ÈÛΤÙ˜¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È ÁÈ· Ó· ·ÔıË΢ÙÔ‡Ó 5 ÊÈÏÌ ÙˆÓ 36 ÛÙ¿ÛÂˆÓ ÙÔ Î·ı¤Ó·; (‚) °È· fiÛ˜ʈÙÔÁڷʛ˜ ı· Ì›ÓÂÈ ¯ÒÚÔ˜ ÛÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ‰ÈÛΤٷ;

(·) Δ· 5 ÊÈÏÌ ÙˆÓ 36 ÛÙ¿ÛÂˆÓ ÙÔ Î·ı¤Ó· ¤¯Ô˘Ó Û˘ÓÔÏÈο 5 � 36 = 180 ʈÙÔÁڷʛ˜.∏ ‰È·›ÚÂÛË ÙˆÓ 180 ʈÙÔÁÚ·ÊÈÒÓ Ì ÙȘ 11 Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·ÔıË΢ÙÔ‡Ó ÛÂÌÈ· ‰ÈÛΤٷ, ¤¯ÂÈ ËÏ›ÎÔ 16 Î·È ˘fiÏÔÈÔ 4, ‰ËÏ·‰‹ ¤¯Ô˘Ì 180 = 11 � 16 + 4.ŒÙÛÈ, ¯ÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙ 16 ‰ÈÛΤÙ˜, ÂÚÈÛÛÂ‡Ô˘Ó fï˜ 4 ʈÙÔÁڷʛ˜ ·ÎfiÌË,ÂÔ̤ӈ˜, ı· Ú¤ÂÈ Ó· ¿ÚÔ˘Ì ÂÈϤÔÓ Ì›· ‰ÈÛΤٷ, ¿Ú· ı· ¯ÚÂÈ·ÛıÔ‡Ó 16 + 1 = 17 ‰ÈÛΤÙ˜.

(‚) ∞ÊÔ‡ ÛÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ‰ÈÛΤٷ ı· ·ÔıË΢ÙÔ‡Ó ÔÈ 4 ʈÙÔÁڷʛ˜, Ô˘ÂÚ›ÛÛ„·Ó, ı· Ì›ÓÂÈ ¯ÒÚÔ˜ ÁÈ· 11 – 4 = 7 ʈÙÔÁڷʛ˜.

¡· οÓÂȘ ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ Î·È ÙȘ ‰ÔÎÈ̤˜ ÙÔ˘˜: (·) 4002:69 (‚) 1445:17, (Á) 925:37 (‰) 3621:213, (Â) 35280:2940, (ÛÙ) 5082:77.

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ: (·) ¶fiÛÔ ÎÔÛÙ›˙ÂÈ ÙÔ 1 ̤ÙÚÔ ˘Ê¿ÛÌ·ÙÔ˜ ·Ó Ù· 5 ̤ÙÚ· ÎÔÛÙ›˙Ô˘Ó 65 Q;(‚) ¶fiÛÔ ÎÔÛÙ›˙ÂÈ ÙÔ 1 ÎÈÏfi ÎÚ¤·˜ ·Ó ÁÈ· Ù· 3 ÎÈÏ¿ ÏËÚÒÛ·Ì 30 Q; (Á) ¶fiÛ· ‰Ô¯Â›· ÙˆÓ52 Ï›ÙÚˆÓ ı· ¯ÚÂÈ·ÛÙÔ‡Ó ÁÈ· 46.592 Ï›ÙÚ· ÎÚ·ÛÈÔ‡;

N· ÂÍÂÙ¿ÛÂȘ ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ó ∂˘ÎÏ›‰ÂȘ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ:(·) 125=35�3+20, (‚) 762=38�19+40, (Á) 1500=42�35+30, (‰) 300=18�16+12

∞Ó Ô Ó Â›Ó·È Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÔÈ· ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Ù· ˘fiÏÔÈ· Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ Ó:8;

∞Ó ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰È·ÈÚÂı› ‰È· 9 ‰›ÓÂÈ ËÏ›ÎÔ 73 Î·È ˘fiÏÔÈÔ 4. ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜;

∞Ó Û‹ÌÂÚ· Â›Ó·È ΔÚ›ÙË, ÙÈ Ì¤Ú· ı· Â›Ó·È ÌÂÙ¿ ·fi 247 Ë̤Ú˜;

§‡ÛË

§‡ÛË

- 26 - ª∂ƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

√ÓÔÌ¿˙Ô˘Ì “∂˘ÎÏ›‰ÂÈ· ¢È·›ÚÂÛË” ÙË ‰È·›ÚÂÛË ‰‡Ô ·ÚÈıÌÒÓ, ÚÔ˜ ÙÈÌ‹Ó ÙÔ˘ ∂˘ÎÏ›‰Ë, ÌÂÁ¿ÏÔ˘ŒÏÏËÓ· ª·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡, Ô ÔÔ›Ô˜ ¤˙ËÛ ÂÚ›Ô˘ ·fi ÙÔ 330 ¤ˆ˜ ÙÔ 275 .Ã. ªÂÙ¿ ÙȘ ÛÔ˘‰¤˜ ÙÔ˘ÛÙËÓ ∞ı‹Ó· ‹Á ÛÙËÓ ∞ÏÂÍ¿Ó‰ÚÂÈ· Ù˘ ∞ÈÁ‡ÙÔ˘, fiÏË Ô˘ ·Ó·‰Â›¯ıËΠ۠ÌÂÁ¿ÏÔ ÔÏÈÙÈÛÙÈÎfiΤÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÎfiÛÌÔ˘ ÂΛӢ Ù˘ ÂÔ¯‹˜ Ì ÙË ÊÚÔÓÙ›‰· ÙÔ˘ ¶ÙÔÏÂÌ·›Ô˘ ÙÔ˘ ∞’. ΔÔ ÈÔ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi¤ÚÁÔ ÙÔ˘ ∂˘ÎÏ›‰Ë Â›Ó·È “Δ· ™ÙÔȯ›·” Ô˘ ·ÔÙÂÏÔ‡ÓÙ·È ·fi 13 ‚È‚Ï›· Î·È ·ÔÎÚ˘ÛÙ·ÏÏÒÓÔ˘Ó ÙËÓÂÈÙ˘¯Ë̤ÓË ÚÔÛ¿ıÂÈ· ÙÔ˘ ∂˘ÎÏ›‰Ë Ó· ·ÍÈÔÔÈ‹ÛÂÈ Î·È Ó· Û˘ÛÙËÌ·ÙÔÔÈ‹ÛÂÈ ÙȘ Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ÁÓÒÛÂȘ Ù˘ ÂÔ¯‹˜ ÙÔ˘.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞Δ∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

2.

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√μ§∏ª∞Δ∞

1.2.

3.4.5.6.

ΔÔ ÙÔÈÎfi ÁÚ·ÊÂ›Ô Ù˘ UNISEF ı· ÌÔÈÚ¿ÛÂÈ 150 ÙÂÙÚ¿‰È·, 90ÛÙ˘Ïfi Î·È 60 Áfi̘ Û ·Î¤Ù· ‰ÒÚˆÓ, ÒÛÙ ٷ ·Î¤Ù· Ó· ›ӷÈÙ· ›‰È· Î·È Ó· ÂÚȤ¯Ô˘Ó Î·È Ù· ÙÚ›· ›‰Ë.➣ ªÔÚ› Ó· Á›ÓÔ˘Ó 10 ·Î¤Ù· ‰ÒÚˆÓ; ∞Ó Ó·È, fiÛ· ·fi

οı ›‰Ô˜ ı· ¤¯ÂÈ Î¿ı ·Î¤ÙÔ;➣ ¶fiÛ· ·Î¤Ù· ‰ÒÚˆÓ ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÔ˘Ó Ì fiÏ· Ù· ‰È·ı¤ÛÈÌ· ›‰Ë;➣ ¶fiÛ· ·Î¤Ù· ‰ÒÚˆÓ ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÔ˘Ó Ì ٷ ÏÈÁfiÙÂÚ· ‰˘Ó·Ù¿ ·fi οı ›‰Ô˜;

� ¶ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· ÂÓfi˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ · Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ›Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ·fi ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi ÙÔ˘ Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.

� ∫¿ıÂ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰È·ÈÚ› Ù· ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ¿ ÙÔ˘.� ∫¿ıÂ Ê˘ÛÈÎfi˜ Ô˘ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È ·fi ¤Ó·Ó ¿ÏÏÔ Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï¿ÛÈfi ÙÔ˘.� ∞Ó ¤Ó·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ‰È·ÈÚ› ¤Ó·Ó ¿ÏÏÔÓ ı· ‰È·ÈÚ› Î·È Ù· ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ¿ ÙÔ˘.

� ΔÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi Ù· ÎÔÈÓ¿ ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·ÈÌˉ¤Ó ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ∂Ï¿¯ÈÛÙÔ ∫ÔÈÓfi ¶ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ (∂∫¶) ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ·˘ÙÒÓ.

� ¢È·ÈÚ¤Ù˜ ÂÓfi˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ · ϤÁÔÓÙ·È fiÏÔÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ÙÔÓ ‰È·ÈÚÔ‡Ó.

� ∫¿ı ·ÚÈıÌfi˜ · ¤¯ÂÈ ‰È·ÈÚ¤Ù˜ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1 Î·È ·.

� ŒÓ·˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰È·ÈÚ¤Ù˜ ÌfiÓÔ ÙÔÓ Â·˘Ùfi ÙÔ˘ Î·È ÙÔ 1 ϤÁÂÙ·È ÚÒÙÔ˜·ÚÈıÌfi˜, ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ϤÁÂÙ·È Û‡ÓıÂÙÔ˜.

� ¢‡Ô Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› · Î·È ‚ ÌÔÚ› Ó· ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓÔ‡˜ ‰È·ÈÚ¤Ù˜. √ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi·˘ÙÔ‡˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ª¤ÁÈÛÙÔ˜ ∫ÔÈÓfi˜ ¢È·ÈÚ¤Ù˘ (ª∫¢) ÙˆÓ · Î·È ‚ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ª∫¢(·, ‚).

� ¢‡Ô ·ÚÈıÌÔ› · Î·È ‚ ϤÁÔÓÙ·È ÚÒÙÔÈ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ó Â›Ó·È ª∫¢(·, ‚) = 1.

¢‡Ô ÏÔ›· ÂÈÛΤÙÔÓÙ·È ¤Ó· ÓËÛ¿ÎÈ. ΔÔ ÚÒÙÔ ·Ó¿ 3 Ë̤Ú˜, ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ·Ó¿ 4Ë̤Ú˜. ∞Ó ÍÂΛÓËÛ·Ó ·fi ÙÔ ÓËÛ¿ÎÈ Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ·, Û fiÛ˜Ë̤Ú˜ ı· Í·Ó·‚ÚÂıÔ‡Ó ÛÙÔ ÏÈÌ¿ÓÈ ÙÔ˘ ÓËÛÈÔ‡;

μÚ›ÛÎÔ˘Ì ٷ ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ 3 Î·È 4.

OÈ ·ÚÈıÌÔ› 12, 24, 36, ... Â›Ó·È ÎÔÈÓ¿ ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ 3 Î·È 4. ∂Âȉ‹, ÙÔÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi Ù· ÎÔÈÓ¿ ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· Â›Ó·È ÙÔ 12, ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ: ∂∫¶(3, 4) = 12.

¢ËÏ·‰‹, ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÌÂÙ¿ ·fi 12 Ë̤Ú˜ ı· Í·Ó·‚ÚÂıÔ‡Ó Ù· ‰‡Ô ÏÔ›· ÛÙÔ ÏÈÌ¿ÓÈ ÙÔ˘ÓËÛÈÔ‡ Î·È ·˘Ùfi ı· ·ӷϷ̂¿ÓÂÙ·È Î¿ı 12 Ë̤Ú˜.

...48444036322824201612840¶ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· ÙÔ˘ 4

...3633302724211815129630¶ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· ÙÔ˘ 3

§‡ÛË

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ

ª∂ƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - 27 -

A.1.5. ÷ڷÎÙ‹Ú˜ ‰È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜ - ª∫¢ - ∂∫¶ - ∞Ó¿Ï˘ÛË ·ÚÈıÌÔ‡ ÛÂÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞

0 , · , 2· , 3· , 4· , . . .

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞Δ∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· ·Ó·Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 2520, 2940, 3780 Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ. ªÂ ÙË‚Ô‹ıÂÈ· ·˘Ù‹˜ Ù˘ ·Ó¿Ï˘Û˘ Ó· ‚ÚÂı› Ô ª∫¢ Î·È ÙÔ ∂∫¶ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ.

∞Ó·Ï‡Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Û ÁÈÓfiÌÂÓ· ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ Î·È ·›ÚÓÔ˘Ì ÌfiÓÔÙÔ˘˜ ÎÔÈÓÔ‡˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ Ì ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÂÎı¤ÙË ÁÈ· ÙÔ ª∫¢ Î·È ÙÔ˘˜ ÎÔÈÓÔ‡˜ Î·È ÌËÎÔÈÓÔ‡˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ Ì ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÂÎı¤ÙË ÁÈ· ÙÔ ∂∫¶.

2520 2 ‰È·ÈÚÒ Ì ÙÔ 2 2940 2 ‰È·ÈÚÒ Ì ÙÔ 2 3780 2 ‰È·ÈÚÒ Ì ÙÔ 21260 2 » 1470 2 » 1890 2 »630 2 » 735 3 ‰È·ÈÚÒ Ì ÙÔ 3 945 3 ‰È·ÈÚÒ Ì ÙÔ 3315 3 ‰È·ÈÚÒ Ì ÙÔ 3 245 5 ‰È·ÈÚÒ Ì ÙÔ 5 315 3 »105 3 » 49 7 ‰È·ÈÚÒ Ì ÙÔ 7 105 3 »35 5 ‰È·ÈÚÒ Ì ÙÔ 5 7 7 » 35 5 ‰È·ÈÚÒ Ì ÙÔ 57 7 ‰È·ÈÚÒ Ì ÙÔ 7 1 7 7 ‰È·ÈÚÒ Ì ÙÔ 71 1

2520 = 23�32�5�7 2940 = 22�3�5�72 3780 = 22�33�5�7

M∫¢(2520, 2940, 3780) = 22�3�5�7 = 420 Î·È ∂∫¶(2520, 2940, 3780) = 23�33�5�72 = 52920

� ∫ÚÈÙ‹ÚÈ· ¢È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜ ϤÁÔÓÙ·È ÔÈ Î·ÓfiÓ˜ Ì ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÌÔÚÔ‡ÌÂ Ó·Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ¯ˆÚ›˜ Ó· οÓÔ˘Ì ÙË ‰È·›ÚÂÛË, ·Ó ¤Ó·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰È·ÈÚ›ٷÈÌ 2, 3, 4, 5, 9, 10 ‹ 25.

� ŒÓ·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì 10, 100, 1000 ..., ·Ó Ï‹ÁÂÈ Û ¤Ó·, ‰‡Ô,ÙÚ›·, ... ÌˉÂÓÈο ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.

� ŒÓ·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 2, ·Ó ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô „ËÊ›Ô Â›Ó·È 0, 2, 4, 6, 8.� ŒÓ·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 5, ·Ó Ï‹ÁÂÈ Û 0 ‹ 5.� ŒÓ·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 3 ‹ ÙÔ 9, ·Ó ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ „ËÊ›ˆÓ ÙÔ˘

‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 3 ‹ ÙÔ 9 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.� ŒÓ·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 4 ‹ ÙÔ 25, ·Ó Ù· ‰‡Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›·

„ËÊ›· ÙÔ˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ·ÚÈıÌfi Ô˘ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 4 ‹ ÙÔ 25 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·.

¡· ‚ÚÂı› ·Ó ‰È·ÈÚÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 12510, 772, 225, 13600 Ì 2, 3, 4, 5, 8, 9. 10. 25. 100.

✔✔✔–✔✔✔–✔13.600 –✔–✔–✔–✔–225 ––––✔–✔–✔772 ––✔✔–✔–✔✔12.510

1002510985432

§‡ÛË

∫ÚÈÙ‹ÚÈ· ¢È· ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜

§‡ÛË

- 28 - ª∂ƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

2.

3.

¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó fiÏÔÈ ÔÈ ÚÒÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÌÂٷ͇ ÙÔ˘ 1 Î·È ÙÔ˘ 100.

√È ·Ú¯·›ÔÈ ŒÏÏËÓ˜ ÁÓÒÚÈ˙·Ó fiÙÈ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Ì¤ÁÈÛÙÔ˜ ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, ‰ËÏ·‰‹ fiÙÈÔÈ ÚÒÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È ¿ÂÈÚÔÈ ÛÙÔ Ï‹ıÔ˜. °ÓÒÚÈ˙·Ó ·ÎfiÌË fiÙÈ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜·Ïfi˜ ηÓfiÓ·˜ Ô˘ Ó· ‰›ÓÂÈ ÙÔ˘˜ ‰È·‰Ô¯ÈÎÔ‡˜ ÚÒÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ªÂ ÙËÓ ·Ï‹Ì¤ıÔ‰Ô ÙÔ˘ ∂Ú·ÙÔÛı¤ÓË, ÁÓˆÛÙ‹ ˆ˜ “∫fiÛÎÈÓÔ ÙÔ˘ ∂Ú·ÙÔÛı¤ÓË”, Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ›ٷÈ̤¯ÚÈ Î·È Û‹ÌÂÚ·, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ÚÒÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔÈ·fi ‰ÔṲ̂ÓÔ ·ÚÈıÌfi.

™ÙÔÓ ‰ÈÏ·Ófi ›Ó·Î· ‰È·ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 1 Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È Ô‡Ù ÚÒÙÔ˜ Ô‡ÙÂÛ‡ÓıÂÙÔ˜.ªÂÙ¿ ÛËÌ·‰Â‡Ô˘Ì ÙÔ 2 Î·È ‰È·ÁÚ¿ÊÔ˘Ì fiÏ· Ù· ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ¿ ÙÔ˘. ΔÔ ›‰ÈÔ Î¿ÓÔ˘ÌÂÎ·È Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 3, 5 Î.Ï. ª’ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiÔ ‰È·ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È fiÏÔÈ ÔÈ Û‡ÓıÂÙÔÈ·ÚÈıÌÔ› Î·È Ì¤ÓÔ˘Ó ÌfiÓÔ ÔÈ ÚÒÙÔÈ, ·fi ÙÔ 1 ¤ˆ˜ ÙÔ 100:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 71, 73, 79, 83, 89 Î·È 97.

§‡ÛË

ª∂ƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - 29 -

4.

100999897969594939291908988878685848382818079787776757473727170696867666564636261605958575655545352515049484746454443424140393837363534333231302928272625242322212019181716151413121110987654321

O EÚ·ÙÔÛı¤Ó˘ (∫˘Ú‹ÓÂÈ· §È‚‡Ë˜ 276 .Ã. - ∞ÏÂÍ¿Ó‰ÚÂÈ· 197 .Ã.) ‰È·ÎÚ›ıËΈ˜ ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜, º˘ÛÈÎfi˜, °ÂˆÁÚ¿ÊÔ˜, ∞ÛÙÚÔÓfiÌÔ˜, πÛÙÔÚÈÎfi˜ ηȺÈÏfiÏÔÁÔ˜. ∞fi ÙÔ 235 .Ã. Î·È Â› 40 ¯ÚfiÓÈ·, ‰ÈÂÙ¤ÏÂÛ ‰È¢ı˘ÓÙ‹˜ Ù˘ÂÚ›ÊËÌ˘ ‚È‚ÏÈÔı‹Î˘ Ù˘ ∞ÏÂÍ¿Ó‰ÚÂÈ·˜ Î·È ‰›‰·Í ÛÙÔ ªÔ˘ÛÂ›Ô Ù˘.™Ù· ÂÚ›ÊËÌ· “°ÂˆÁÚ·ÊÈο” Ô˘ ·ÚÔ˘Û›·Û ÙËÓ ÚÒÙË ·ÎÚÈ‚‹ Ì·ıËÌ·ÙÈ΋̤ÙÚËÛË Ù˘ ÂÚÈ̤ÙÚÔ˘ (ÌÂÛËÌ‚ÚÈÓÔ‡) Ù˘ °Ë˜, ˆ˜ 250.000 ÛÙ¿‰È· (=39.400- 41.000 km, ¤Ó·ÓÙÈ Ù˘ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋˜ 40.000 km) (∫ÏÂÔÌ‹‰Ë˜, ™ÙÚ¿‚ˆÓ).∂›Û˘, ˘ÔÏfiÁÈÛ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË Ù˘ ÛÂÏ‹Ó˘ 780.000 ÛÙ¿‰È· Î·È ÙÔ˘ ◊ÏÈÔ˘804.000.000 ÛÙ¿‰È·.ª¤ÙÚËÛ ÙËÓ ÎÏ›ÛË ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· Ù˘ Á˘ Ì ÌÂÁ¿ÏË ·ÎÚ›‚ÂÈ· Î·È ¤ÊÙÈ·Í ¤Ó·Î·Ù¿ÏÔÁÔ Ô˘ ÂÚÈÂÏ¿Ì‚·Ó 675 ·ÛÙ¤Ú˜. §¿ÙÚ˘ Ù˘ Ù·ÍÈÓfiÌËÛ˘ Ù˘·ÓıÚÒÈÓ˘ ÁÓÒÛ˘, Ô ∂Ú·ÙÔÛı¤Ó˘ ‰ÂÓ ÌfiÚÂÛ ӷ ·ÓÙ¤ÍÂÈ ÙË ÛÙ¤ÚËÛË Ù˘ÌÂϤÙ˘, Ô˘ ÙÔ˘ ¤‚·ÏÂ Ë ÁÂÚÔÓÙÈ΋ Ù‡ÊψÛË Î·È ÙÂÏÈο ÙÂÚÌ¿ÙÈÛ ÙË ˙ˆ‹ÙÔ˘, Û ËÏÈΛ· 82 ÂÙÒÓ, Ì ·ÂÚÁ›· ›ӷ˜.

431

9

735535

16

406689

3124

1337

100

32 57

11

13

17 1923

29

3137

41

43

4753

6171

7379

83 89

97

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿:(·) ŒÓ· ÎÔÈÓfi ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ 5 Î·È 8 Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ .... Î·È ÙÔ ∂∫¶(5, 8) = ....(‚) ∞Ó ÙÔ ∂∫¶(·, ‚) = ‚, Ô ‚ Â›Ó·È ................................................... ÙÔ˘ ·.(Á) ¶ÚÒÙÔÈ Ï¤ÁÔÓÙ·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ...........................................................................

Î·È Û‡ÓıÂÙÔÈ Ï¤ÁÔÓÙ·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ...................................................................(‰) ¢‡Ô ·ÚÈıÌÔ› ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÚÒÙÔÈ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ fiÙ·Ó.............................................

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔ ÎÂÓfi Ì ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ „ËÊ›Ô ÒÛÙÂ, Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ı· Û¯ËÌ·ÙÈÛÙ› Ó·‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 9: (·) 6�4, (‚) 95�4, (Á) 601� .

ΔÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË(·) EK¶ (3, 5) = 8 9 15 30 (‚) EK¶ (11, 6) = 17 36 66 132 (Á) EK¶ (5, 10) = 10 15 45 50 (‰) EK¶ (3, 2, 5) = 15 20 30 60 (Â) EK¶ (3, 6, 9) = 9 18 36 27 (ÛÙ) EK¶ (8, 12, 15) = 15 30 60 120

∏ ÂÙ·ÈÚ›· ∞ ‚Á¿˙ÂÈ Ó¤Ô ÌÔÓÙ¤ÏÔ ·˘ÙÔÎÈÓ‹ÙÔ˘ οı 2 ¯ÚfiÓÈ·ÂÓÒ Ë ÂÙ·ÈÚ›· μ οı 3 ¯ÚfiÓÈ· Î·È Ë ÂÙ·ÈÚ›· ° οı 5¯ÚfiÓÈ·. ∞Ó ÙÔ 2001 ¤‚Á·Ï·Ó Î·È ÔÈ ÙÚÂȘ ÂÙ·ÈÚ›˜ Ó¤·ÌÔÓ٤Ϸ, fiÙ ı· Í·Ó·‚Á¿ÏÔ˘Ó Î·È ÔÈ ÙÚÂȘ Ì·˙› Ó¤Ô ÌÔÓÙ¤ÏÔ;

ŒÓ·˜ Á˘ÌÓ·ÛÙ‹˜ ·Ú·Ù‹ÚËÛ fiÙÈ fiÙ·Ó ÙÔÔıÂÙ› ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ Ù˘ ·’ Á˘ÌÓ·Û›Ô˘ ·Ó¿3, ·Ó¿ 5 Î·È ·Ó¿ 7 ‰ÂÓ ÂÚÈÛÛ‡ÂÈ Î·Ó¤Ó·˜. ¶fiÛÔÈ ‹Ù·Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Ù˘ ·’ Á˘ÌÓ·Û›Ô˘ÛÙÔ Û¯ÔÏÂ›Ô ·˘Ùfi, ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ÌÂٷ͇ 100 Î·È 200;

√ °È¿ÓÓ˘ ËÁ·›ÓÂÈ ÛÙÔÓ ÎÈÓËÌ·ÙÔÁÚ¿ÊÔ Î¿ı 10 Ë̤Ú˜ Î·È Ô ¡›ÎÔ˜ οı 12 Ë̤Ú˜.∞Ó Û˘Ó·ÓÙ‹ıËÎ·Ó ÛÙȘ 10 ª·ÚÙ›Ô˘ ÛÙÔÓ ÎÈÓËÌ·ÙÔÁÚ¿ÊÔ, fiÙ ı· Í·Ó·Û˘Ó·ÓÙËıÔ‡Ó;™ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ‰‡Ô Û˘Ó·ÓÙ‹ÛÂÒÓ ÙÔ˘˜ fiÛ˜ ÊÔÚ¤˜ ¤¯ÂÈ ¿ÂÈ Ô Î·ı¤Ó·˜ÙÔ˘˜ ¯ˆÚÈÛÙ¿ ÛÙÔÓ ÎÈÓËÌ·ÙÔÁÚ¿ÊÔ;

ΔÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË(·) ª∫¢ (5, 8) = 1 5 8 40 (‚) ª∫¢ (16, 24) = 4 8 16 24 (Á) ª∫¢ (30, 15) = 3 5 15 30 (‰) ª∫¢ (10, 30, 60) = 5 10 30 60 (Â) ª∫¢ (22, 32, 50) = 2 11 72 82

¢‡Ô ·ÚÈıÌÔ› ¤¯Ô˘Ó ª∫¢ ÙÔ 24. ¡· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó Î·È ¿ÏÏÔ˘˜ ÎÔÈÓÔ‡˜‰È·ÈÚ¤Ù˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ·fi ÙË ÌÔÓ¿‰·.

BÚ˜ ÙÔ˘˜ ‰È·ÈÚ¤Ù˜ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. ¶ÔÈÔÈ ·fiÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·˘ÙÔ‡˜ Â›Ó·È ÚÒÙÔÈ; ¶ÔÈÔÈ Â›Ó·È Û‡ÓıÂÙÔÈ;

To ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÂÓfi˜ ÚÒÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Â›Ó·È ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‹ Û‡ÓıÂÙÔ˜ Î·È ÁÈ·Ù›;

¡· ‚ÚÂȘ fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ‰È·ÈÚ¤Ù˜ ÙˆÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÚÈıÌÒÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ Ù· ÎÚÈÙ‹ÚÈ·‰È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜: (·) 28, (‚) 82, (Á) 95, (‰) 105, (Â) 124, (ÛÙ) 345, (˙) 1.232, (Ë) 3.999.

¡· ·Ó·Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ·ÎfiÏÔ˘ıÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ:(·) 78, (‚) 348, (Á) 1.210, (‰) 2.344.

- 30 - MEƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√μ§∏ª∞Δ∞1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.10.11.12.

ª∂ƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› - 31 -

ºÀ™π∫√π ∞ƒπ£ª√π: 0, 1, 2, 3, 4,. . .

¶Ú¿Í Ș ÌÂٷ͇ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ

KÚÈÙ‹ÚÈ· ¢È·ÈÚÂÙfiÙËÙ·˜ : ŒÓ·˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‰È·ÈÚ›ٷÈ:� Ì ÙÔ 10, 100, 1000, ... ·Ó Ï‹ÁÂÈ Û 1, 2, 3,... ÌˉÂÓÈο� Ì ÙÔ 2, ·Ó ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô „ËÊ›Ô ÙÔ˘ Â›Ó·È 0, 2, 4, 6, 8.� Ì ÙÔ 5, ·Ó Ï‹ÁÂÈ Û 0 ‹ 5� Ì ÙÔ 3 ‹ ÙÔ 9, ·Ó ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ „ËÊ›ˆÓ ÙÔ˘ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 3 ‹ ÙÔ 9� Ì ÙÔ 4 ‹ 25, ·Ó Ù· ‰‡Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›· „ËÊ›· ÙÔ˘ Â›Ó·È ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 4 ‹ 25.

√ƒπ™ª√π� ΔÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi Ù· ÎÔÈÓ¿ ÔÏÏ·Ï¿ÛÈ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ› ϤÁÂÙ·È ∂∫¶ ·˘ÙÒÓ.� √ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ˘˜ ÎÔÈÓÔ‡˜ ‰È·ÈÚ¤Ù˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ› ϤÁÂÙ·È ª∫¢ ·˘ÙÒÓ.� ŒÓ·˜ ·ÚÈıÌfi˜ · Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰È·ÈÚ¤Ù˜ ÌfiÓÔ ÙÔÓ · Î·È ÙÔ 1 ϤÁÂÙ·È ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜, ·ÏÏÈÒ˜ ϤÁÂÙ·È Û‡ÓıÂÙÔ˜.� ¢‡Ô ·ÚÈıÌÔ› · Î·È ‚ ϤÁÔÓÙ·È ÚÒÙÔÈ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ fiÙ·Ó ª∫¢(·, ‚) = 1

¶ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ· ¶Ú¿ÍˆÓ➊ ¢˘Ó¿ÌÂȘ ➜ ➋ ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ› Î·È ¢È·ÈÚ¤ÛÂȘ ➜ ➌ ¶ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ∞Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ

√È Ú¿ÍÂȘ ̤۷ ÛÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ ÚÔËÁÔ‡ÓÙ·È Î·È Á›ÓÔÓÙ·È Ì ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ÛÂÈÚ¿

∂˘ÎÏ›‰Â È· ¢È·›ÚÂÛË : ¢= ‰ � + ˘, 0 � ˘ <‰ΔÔ ¢ ϤÁÂÙ·È ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˜, ÙÔ ‰ ‰È·ÈÚ¤Ù˘, ÙÔ ËÏ›ÎÔ Î·È ÙÔ ˘ ˘fiÏÔÈÔ

¢‡Ó·ÌË: ·Ó = · � · � · � ... �· (Ó ÊÔÚ¤˜) ΔÔ · ϤÁÂÙ·È ‚¿ÛË Î·È ÙÔ Ó ÂÎı¤Ù˘

∂¶πª∂ƒπ™Δπ∫∏ π¢π√Δ∏Δ∞ΔÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË: ·�(‚+Á)=· �‚+· �ÁΔÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ·Ê·›ÚÂÛË: · � (‚–Á )=· �‚–· �Á

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜: · � ‚ = Á· Î·È ‚ ϤÁÔÓÙ·È ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ ηÈ

ÙÔ Á ϤÁÂÙ·È ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ · Î·È ‚.π‰ÈfiÙËÙ˜ ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡:

ñ ·�‚ = ‚�· (∞ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋)ñ ·�(‚�Á)=(·�‚)�Á (¶ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋)ñ ·�1=1�·=· (ÙÔ 1 ‰ÂÓ ÙÔÓ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÈ)

Δ¤ÏÂÈ· ¢È·›ÚÂÛË · : ‚ = Á, ‚ �0ΔÔ · ϤÁÂÙ·È ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˜, ÙÔ ‚ ϤÁÂÙ·È

‰È·ÈÚ¤Ù˘ Î·È ÙÔ Á ϤÁÂÙ·È ËÏ›ÎÔ.∞Ó · : ‚=Á ÙfiÙ ·=‚ � Á ‹ · : Á=‚

ñ · : 1=· Î·È · : ·=1 Î·È 0 : ·=0

¶ÚfiÛıÂÛË: · + ‚ = Á· Î·È ‚ ϤÁÔÓÙ·È ÚÔÛıÂÙ¤ÔÈ Î·È

ÙÔ Á ϤÁÂÙ·È ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ · Î·È ‚.π‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘:

ñ ·+‚ = ‚+· (∞ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋)ñ ·+(‚+Á)=(·+‚)+Á (¶ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋)ñ ·+0=0+·=· (ÙÔ 0 ‰ÂÓ ÙÔÓ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÈ)

∞Ê·›ÚÂÛË: · – ‚ = Á, ·>‚ΔÔ · ϤÁÂÙ·È ÌÂȈ٤Ԙ, ÙÔ ‚ ϤÁÂÙ·È

·Ê·ÈÚÂÙ¤Ô˜ Î·È ÙÔ Á ϤÁÂÙ·È ‰È·ÊÔÚ¿.∞Ó · – ‚=Á ÙfiÙ ·=‚+Á ‹ · – Á=‚

ñ ·—0=·

ÕÚÙÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È ÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ› Ô˘ ‰È·ÈÚÔ‡ÓÙ·È Ì ÙÔ 2¶ÂÚÈÙÙÔ› ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È ÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ› Ô˘ ‰ÂÓ ‰È·ÈÚÔ‡ÓÙ·È Ì ÙÔ 2

A Ó · Î Â Ê · Ï · › ˆ Û Ë

- 32 - MEƒ√™ ∞� - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - √È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘

∞Û΋ÛÂȘ ™ˆÛÙÔ‡ ‹ §¿ıÔ˘˜ΔÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË

™ø™Δ√ §∞£√™

1. πÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ: (100 – 30) – 10 = 100 – (30 – 10)

2. °È· Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi Ì ÙÔ 11 ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ

Ì ÙÔ 10 Î·È ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì 1.

3. To ÁÈÓfiÌÂÓÔ 3 � 3 � 3 ÁÚ¿ÊÂÙ·È 33.

4. ΔÔ 25 ÈÛÔ‡Ù·È ÌÂ 10.

5. · + · + · + · = 4 � ·.

6. · � · � · � · � · � · = ·5.

7. 23 + 3 = 11.

8. 3 � 102 + 2 � 101 + 2 � 100 = 322.

9. 20 – 12 : 4 = 2.

10. 9 � 3 – 2 + 5 = 30.

11. (3 � 1 – 3) : 3 = 0.

12. ™ÙË ÛÂÈÚ¿ ÙˆÓ Ú¿ÍˆÓ: 7 + (6 �5) + 4, ÔÈ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ ‰ÂÓ ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È.

13. ∏ ‰È·ÊÔÚ¿ ‰‡Ô ÂÚÈÙÙÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ¿ÓÙ· ÂÚÈÙÙfi˜ ·ÚÈıÌfi˜.

14. ∞Ó Ô ·ÚÈıÌfi˜ · Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ‚, ÙfiÙÂ Ô ·

‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ ‚.

15. ΔÔ 38 Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ 2 Î·È ÙÔ˘ 3.

16. √ ·ÚÈıÌfi˜ 450 ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 3 Î·È ÙÔ 9.

17. √ 35 Î·È Ô 210 ¤¯Ô˘Ó ̤ÁÈÛÙÔ ÎÔÈÓfi ‰È·ÈÚ¤ÙË ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 5.

18. ΔÔ ∂∫¶ ÙˆÓ 2 Î·È 24 Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 48.

19. ∏ ‰È·›ÚÂÛË 420 : 15 ‰›ÓÂÈ ˘fiÏÔÈÔ 18.

20. ∏ Û¯¤ÛË 177 = 5 � 35 + 2 Â›Ó·È ÌÈ· ¢ÎÏ›‰È· ‰È·›ÚÂÛË.

21. √ ·ÚÈıÌfi˜ 3 � · + 9 ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 3.

22. √ ·ÚÈıÌfi˜ 300 ·Ó·Ï‡ÂÙ·È Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ˆ˜ 3 � 102.

23. √ ·ÚÈıÌfi˜ 224 ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔ 4 Î·È ÙÔ 8.