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FASE I.DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

EJERCICIO 1:

a.Determine la transformada Z de =1010cos100 .

Considere que el periodo de muestreo es 5 milisegundos

Solucin: =1010cos100Aplicando la ley de la homogeneidad tenemos:

= 1 0 10100Ahora desarrollamos la parte de la ecuacin sombreada correspondiente alcos100Sabemos que la trasformada Z de una constante por una funcin, es igual a lacontante por la trasformada de la funcin.

=10cos100

Usamos la identidad de Euler que dice: = + por lo tanto tenemos:100= 2 100= 2 2

Como = y su transformada Y(Z)= reemplazando en la ecuacin decosx tenemos:

100= 12 12 Reescribimos toda la ecuacin y tenemos:

= 1 0 1 0 {12 12 }

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= 1 0 1 0 {12 }Simplificamos la parte sombreada as:

= (

)

=

= 2 1Multiplicaos y dividimos por 2 el trmino entre parntesis:

= 2 2 2 2 2 1= 2 2cos100 2cos1001= 2cos100

2cos1001

Retomamos nuevamente la transformada completa y tenemos:

= 1 0 1 0 {12 2cos100 2cos1001} = 1 0 zcos100 2cos1001

Considerando el periodo de muestreo de 5ms tenemos entonces t=5ms

=

1 0 1 0 zcos1005

2cos10051

= 1 0 1 0 2 1 = 1 0 1 0 {1 1 }

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= 1 0 1 0 { 1 } =

1 0 10

1

b)Determine 0 para la siguiente funcin de transferencia: = 3 2Nota: revisar los teoremas de valor inicial y valor final.

Solucin:Teorema del valor inicial

= 0 = l i m

= 0 = l i m 11 3 2 = 0Teorema del valor final =lim1 =lim 1 3 2 =lim 1

21 = 1

De acuerdo a la teora, observamos un polo fuera del crculo unitario, por lo tantoel teorema del valor final no tiene aplicabilidad.

EJERCICIO 2:

Determine la cantidad y posicin de los polos y ceros para la siguiente funcin detransferencia:

= 1021 4 4Multiplicamos y dividimos por

y simplificamos:

= 02 4 4 = 02 2

Se observan dos polos en z=-2 (polos mltiples) y dos ceros en z=0 y z=-0.2

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EJERCICIO 3:

Encuentre Y(z) cuando T=0.1 segundos, para la funcin

= 21102110 = 1 10

2 = 1 1 0 1 0 1Ahora, si s=0

2 = 1 0 = 210 = 02Si s=-1 2 = 9 = 29

=022Si s=-10

2 = 910 = 290

=0022Tenemos entonces que:

= 02 022 1 002210 =02 11 022 11 0022 1 1

Ahora hallamos la trasformada z para t=0.1 segundo:

=02 11 022 11 0022 1 1 =02 11 022 11 0 8 1 8 0022 1103678

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EJERCICIO 4:

Considere el sistema de datos muestreados en lazo abierto mostrado en la figura No. 1 del anexo

de grficos. Determine la funcin de transferencia Y(z)/r(z).

= 10 3 5 =

Tenemos que es un retenedor de orden cero de la forma: = 1 Reemplazando tenemos

101 3 5 = Tomamos

= 10 3 5 Y resolvemos

= 3 5 =

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Resolvemos para A, B y C

1 0 = 3 5 5 3 Para S=0

= 1015 = 23 =067Para s= -3

= 106 = 53 =167Para s=-5

= 1010 = 1Reemplazando tenemos:

= 067 167 3 1 5 Entonces la trasformada Z ser:

=067 11 167 11 1 1

= 1 067 11 167 11 11 Como se muestra en la figura, tomamos T=0.2 segundos:

= 1 067 11 167 11 1 1 = 1 067 1

1 167 1

1055 1

1037