1. Kombinatorika

1. Kombinatorika alapfogalmai

PermutációIsmétlés nélküli permutációDefiníció: Adott n különböző elem. Az elemek egy meghatározott sorrendjét az adott n elem egy ismétlés nélküli permutációjának nevezzük. Az n elem permutációinak számát

a szimbólummal jelöljük. A permutációk képzését

permutálásnak nevezzük.Tétel: Az n elem permutációinak száma:

Ismétléses permutációDefiníció: Adott n elem, amelyek között r (rn) különböző található, ezek a1, a2 …ar . Az a1 elem k1-szer; az a2 elem k2-ször; … az ar elem kr-szer fordul elő és k1+k2+…+kr = nAz adott n elem egy meghatározott sorrendjét ezen elemek egy ismétléses permutációjának nevezzük. A szóba jövő ismétléses

permutációk számát a

szimbólummal jelöljük.Tétel: Rögzített n, r és k1; k2; …kr esetén az ismétléses permutációk száma:

VariációIsmétlés nélküli variációDefiníció: Adott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet (kn) úgy választunk ki, hogy mindegyik csak egyszer kerül sorra és a kiválasztás sorrendje is számít, akkor az n elem k-adosztályú ismétlés nélküli variációját (röviden: variációját) kapjuk.Az n elem k-adosztályú variációinak számát a

szimbólummal jelöljük.

Tétel: Az n különböző elem k-adosztályú variációinak száma:

Ismétléses variációDefiníció: Adott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet, és a kiválasztás sorrendje is számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ismétléses variációját kapjuk.Az n elem k-adosztályú ismétléses variációinak számát a

szimbólummal jelöljük.

Tétel: Az n különböző elem k-adosztályú ismétléses

variációinak száma:

KombinációIsmétlés nélküli kombinációDefiníció: Adott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet (0kn) úgy választunk ki, hogy mindegyik csak egyszer kerül sorra és a kiválasztás sorrendje nem számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ismétlés nélküli kombinációját (röviden: kombinációját) kapjuk.

Az n elem k-adosztályú kombinációinak számát a

szimbólummal jelöljük.Tétel: Az n különböző elem k-adosztályú kombinációinak száma:

Ismétléses kombinációDefiníció: Adott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet, és a kiválasztás sorrendje nem számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ismétléses kombinációját kapjuk.Az n elem k-adosztályú ismétléses kombinációinak számát a

szimbólummal jelöljük.

Tétel: Az n különböző elem k-adosztályú ismétléses kombinációinak száma:

2. Permutáció és számosságuk

PermutációIsmétlés nélküli permutációDefiníció: Adott n különböző elem. Az elemek egy meghatározott sorrendjét az adott n elem egy ismétlés nélküli permutációjának nevezzük. Az n elem permutációinak számát

a szimbólummal jelöljük. A permutációk képzését

permutálásnak nevezzük.Tétel: Az n elem permutációinak száma:

Ismétléses permutációDefiníció: Adott n elem, amelyek között r (rn) különböző található, ezek a1, a2 …ar . Az a1 elem k1-szer; az a2 elem k2-ször; … az ar elem kr-szer fordul elő és k1+k2+…+kr = nAz adott n elem egy meghatározott sorrendjét ezen elemek egy ismétléses permutációjának nevezzük. A szóba jövő ismétléses

permutációk számát a

szimbólummal jelöljük.Tétel: Rögzített n, r és k1; k2; …kr esetén az ismétléses permutációk száma:

3. Ismétléses és ismétlés nélküli variáció és bizonyítása

VariációIsmétlés nélküli variációDefiníció: Adott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet (kn) úgy választunk ki, hogy mindegyik csak egyszer kerül sorra és a kiválasztás sorrendje is számít, akkor az n elem k-adosztályú ismétlés nélküli variációját (röviden: variációját) kapjuk.

Az n elem k-adosztályú variációinak számát a

szimbólummal jelöljük.Tétel: Az n különböző elem k-adosztályú variációinak száma:

Ismétléses variációDefiníció: Adott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet, és a kiválasztás sorrendje is számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ismétléses variációját kapjuk.Az n elem k-adosztályú ismétléses variációinak számát a

szimbólummal jelöljük.

Tétel: Az n különböző elem k-adosztályú ismétléses

variációinak száma:

4. Kombináció fogalma és bizonyítása

KombinációIsmétlés nélküli kombinációDefiníció: Adott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet (0kn) úgy választunk ki, hogy mindegyik csak egyszer kerül sorra és a kiválasztás sorrendje nem számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ismétlés nélküli kombinációját (röviden: kombinációját) kapjuk.

Az n elem k-adosztályú kombinációinak számát a

szimbólummal jelöljük.Tétel: Az n különböző elem k-adosztályú kombinációinak száma:

Ismétléses kombinációDefiníció: Adott n különböző elem. Ha n elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet, és a kiválasztás sorrendje nem számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ismétléses kombinációját kapjuk.Az n elem k-adosztályú ismétléses kombinációinak számát a

szimbólummal jelöljük.

Tétel: Az n különböző elem k-adosztályú ismétléses kombinációinak száma:

5. Binomiális tétel és igazolása

Binomiális tételTétel: Tetszőleges kéttagú kifejezés (binom) bármely nemnegatív egész kitevőjű hatványa polinommá alakítható a következő módon:

Az szimbólumot binomiális

együtthatónak nevezzük.

6. Pascal háromszög, binomiális együtthatók tulajdonságának (szimmetria, összeg) igazolása

A binomiális együtthatók néhány tulajdonságaA binomiális együtthatókat az ún. Pascal-háromszögben helyezhetjük el.

Tétel: Bármely k, n N és 0kn esetén fennáll aa) szimmetriatulajdonság

b) összegtulajdonság

c)

2. Eseményalgebra7. Eseménytér – elemi és összetett események, teljes eseményrendszer. Az eseményalgebra és azonosságai

EseményalgebraAlapfogalmakDefiníció: Egy kísérlet lehetséges kimeneteleinek halmazát eseménytérnek nevezzük és H-val jelöljük.Definíció: A H eseménytér egy tetszőleges részhalmazát véletlen eseménynek (röviden: eseménynek) nevezzük.A H eseménytér egyelemű részhalmazait elemi eseményeknek hívjuk.A H halmazt, mint eseményt biztos eseménynek nevezzük.Az üres halmazt, mint eseményt lehetetlen eseménynek nevezzük.Definíció: Azt mondjuk, hogy az A esemény maga után vonja a B eseményt, ha valahányszor A bekövetkezik, bekövetkezik B is. Ezt a tényt az A B szimbólummal jelöljük.

Műveletek eseményekkelEllentétes esemény (komplementer)Definíció: Az A H esemény ellentétes eseményének

(komplementerének) nevezzük azt az szimbólummal

jelölt eseményt, amely akkor következik be, ha A nem

következik be és H.

Események összege (egyesítése)Definíció: Ha A és B ugyanazon eseménytér két eseménye, akkor azt az eseményt, hogy közülük legalább az egyik bekövetkezik, az A és B esemény összegének nevezzük és az AB szimbólummal jelöljük.Események szorzata (metszete, közös része)Definíció: Ha A és B ugyanazon eseménytér két eseménye, akkor azt az eseményt, hogy az A és B esemény egyszerre (egyidejűleg) bekövetkezik, a két esemény szorzatának nevezzük és az A B szimbólummal jelöljük.Definíció: A H eseménytér tetszőleges A és B eseményét egymást kizáró eseményeknek nevezzük, ha egyszerre nem következhetnek be, azaz ha A B = Események különbsége (kivonása)Definíció: Ha A és B ugyanazon eseménytér két eseménye, akkor azt az eseményt, hogy az A esemény bekövetkezik, de a

B nem, a két esemény különbségének nevezzük és az A\B szimbólummal jelöljük.A különbség két esemény szorzataként is felírható:

Teljes eseményrendszerDefiníció: Egy kísérlettel kapcsolatos B1, B2 … Bn események (amelyek közül egyik sem lehetetlen esemény) teljes eseményrendszert alkotnak, haa) egymást páronként kizáró eseményekb) összegük a biztos esemény Más szóval, haa) Bi Bj = (ij és i,j = 1,2…n)b) B1 B2 … Bn = H

Összetett eseményekDefiníció: Minden A eseményt felbonthatunk két esemény összegére a következő módon:A = A A illetve A = A Ezt a felbontást triviális (nem valódi) felbontásnak nevezzük.Definíció: Egy eseményt összetett eseménynek nevezünk, ha előállítható - a triviális felbontástól eltérően - két esemény összegeként.

Az eseményekre vonatkozó fontosabb azonosságokDefiníció: Tetszőleges A, B, C H eseményekre fennállnak a következő összefüggések:

1. idempotencia, 2. kommutativitás, 3. asszociativitás, 4. disztributivitásEzért az események a műveleti definíciókkal együtt Boole-algebrát alkotnak.Tétel: Tetszőleges A, B H eseményekre fennállnak a következő összefüggések:

1. (De-Morgan egyenlőségek)

2. (Beolvasztási szabályok)

Az eseményalgebra fogalmaHa egy eseményrendszer mint halmazrendszer kielégíti a halmazalgebra feltételeit, akkor eseményalgebráról beszélünk.

3. A valószínűségszámítás elemei8. Relatív gyakoriság és valószínűség foglama. Valószínűségszámítás axiómái.

A valószínűség fogalmaDefiníció: Ha egy kísérletet azonos körülmények között n-szer, egymástól függetlenül végrehajtunk, n hosszúságú kísérletsorozatról beszélünk.Tegyük fel, hogy a megfigyelt A esemény az n kísérletből kA-szor következett be!

Ekkor a kA számot az A esemény gyakoriságának; a

hányadost pedig az A esemény relatív gyakoriságának nevezzük.Azt a számértéket, amely körül a véletlen esemény relatív gyakorisága statisztikus ingadozást mutat, az illető esemény valószínűségének nevezzük.A valószínűség axiómáiAdott H eseménytér minden A H eseményéhez hozzárendelt P(A) valós szám eleget tesz a következő axiómáknak:I. Minden A esemény valószínűségére teljesül a 0 P(A) összefüggés II. A biztos esemény valószínűsége 1, azaz P(H) = 1 III. Ha A és B egymást kizáró események, azaz A B= , akkor P(A B) = P(A) + P(B)

9. Valószínűségszámítás tételei: lehetetlen esemény, ellentett esemény, két esemény összegének és különbségének valószínűségének bizonyítása.

Az üres halmazt, mint eseményt lehetetlen eseménynek nevezzük.Valószínűségszámítási tételek

Tétel: Ha az A esemény valószínűsége P(A), akkor az

ellentétes esemény valószínűsége

Tétel: Ha az A1, A2, … An események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor

Tétel: Ha A és B két tetszőleges esemény, akkor annak a valószínűsége, hogy közülük legalább az egyik bekövetkezik:

Tétel: Ha az A esemény maga után vonja a B eseményt, azaz AB fennáll, akkor

10. Mintavétel típusai, kapcsolatuk a hipergeometriai és binomiális eloszlással

A valószínűségek klasszikus kombinatorikus kiszámítási módjaTétel: Legyen a H eseménytér elemi eseményeinek száma n és tegyük fel, hogy mindegyik egyenlő valószínűséggel következik be. Ha egy A esemény pontosan k elemi esemény

összegeként írható fel, akkor

(klasszikus képlet)

Visszatevéses mintavétel: annak a valószínűsége, hogy az N elemű halmazból, - amelyben N db megjelölt minta van - n elemű mintát visszatevéssel kihúzva, abban pontosan k db jelölt elem van:

ha bevezetjük a és

jelöléseket:

(k=0,1,2,…n)ez a Bernoulli-képlet

Visszatevés nélküli mintavétel: annak a valószínűsége, hogy az N elemű halmazból, - amelyben N db megjelölt minta van - n elemű mintát visszatevés nélkül kihúzva, abban pontosan k db jelölt elem van:

11. Feltételes valószínűség fogalma, szorzási szabály, események függetlensége, kísérletek függetlensége,

Feltételes valószínűség és események függetlenségeA feltételes valószínűség fogalmaDefiníció: Ha az A és B a H eseménytér két eseménye és P(B)0, akkor a

hányadost az A eseménynek a B eseményre vonatkoztatott feltételes valószínűségének nevezzük.A valószínűségek szorzási szabályaTétel: Ha A és B a H eseménytér két eseménye és P(B)0, akkor együttes bekövetkezésük valószínűsége megegyezik az A esemény B eseményre vonatkozó feltételes valószínűségének

és a B esemény valószínűségének szorzatával, azaz

Ha az A és B szerepet cserél és P(A)0, akkor

alapján

Események függetlenségeDefiníció: Legyen A és B a H eseménytér két eseménye. Az A és B eseményeket egymástól függetlennek (vagy sztochasztikusan függetlennek) nevezzük, ha

azaz akkor, ha A és B együttes bekövetkezésének valószínűsége az A és a B események valószínűségének szorzata.

Tétel: Ha az A és B események függetlenek, akkor az és

, és , és események is függetlenek.

Definíció: Egy H eseménytér A, B és C eseményét teljesen függetleneknek nevezzük, ha a következő összefüggések mindegyike teljesül:

Többszörös és ismételt kísérletekFüggetlen kísérletekDefiníció: Tekintsünk n számú kísérletet. Ha az első kísérletnél az A1 esemény előfordulásának valószínűsége P(A1), a második kísérletnél az A2 esemény előfordulásának valószínűsége P(A2) stb., az n-edik kísérletnél az An esemény előfordulásának valószínűsége P(An) és annak a valószínűsége, hogy az elsőnél A1, a másodiknál A2 stb., az n-ediknél az An esemény következik be, egyenlő az egyes valószínűségek szorzatával, azaz P(A1 A2 … An) = P(A1)P(A2)…P(An)minden A1, A2…An esetén, akkor a kísérleteket független kísérleteknek nevezzük.A függetlenül megismételt kísérletek sorozatát Bernoulli-kísérletsorozatnak nevezzük, ha az egyes kísérleteknek két

lehetséges kimenetele van, az és az .

Tétel: Annak a valószínűsége, hogy függetlenül megismételt kísérletek n hosszúságú sorozatában az A esemény pontosan k-szor következik be:

ahol p= és q=1-p=

Nem független kísérletekHa a kísérletek kimenetelei hatással vannak egymásra, nem független kísérletekről beszélünk.Ekkor a feltételes valószínűségek általános szorzási szabályát kell alkalmazni.

12. Teljes valószínűség, Bayes tétele és bizonyítása

Teljes valószínűség tétele: Ha a H eseménytér B1, B2, … Bn eseményei teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bk)0 (k=1,2…n), akkor bármely a H-hoz tartozó A esemény valószínűsége:

Bayes-tétel: Ha a H eseménytér B1, B2, … Bn eseményei teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bk)0 (k=1,2…n), akkor bármely a H-hoz tartozó, pozitív valószínűségű A eseményre igaz, hogy

13. Bernoulli kísérletsor

A függetlenül megismételt kísérletek sorozatát Bernoulli-kísérletsorozatnak nevezzük, ha az egyes kísérleteknek két

lehetséges kimenetele van, az és az .

Tétel: Annak a valószínűsége, hogy függetlenül megismételt kísérletek n hosszúságú sorozatában az A esemény pontosan k-szor következik be:

ahol p= és q=1-p=

4. A valószínűségi változó14. A valószínűségi változó és típusai, eloszlásfüggvény és tulajdonságai, eloszlás fogalma

Valószínűségi változó A valószínűségi változó fogalmaDefiníció: Egy kísérlethez tartozó H eseménytéren értelmezzünk egy tetszőleges valós értékű függvényt, vagyis minden h kimenetelhez rendeljünk egy (h) valós számot. Ezt a függvényt valószínűségi változónak nevezzük.A valószínűségi változó típusai

Definíció: Ha valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma véges vagy megszámlálhatóan végtelen (a pozitív egész számoknak megfelelő sorrendbe szedhető), akkor diszkrét vagy más szóval diszkrét eloszlású valószínűségi változóról beszélünk.Definíció: Ha lehetséges értékei x1, x2, … akkor a P(=x1), P(=x2) … valószínűségek halmazát a valószínűségi változó valószínűségeloszlásának nevezzük.Az eloszlásfüggvény és tulajdonságaiDefiníció: Legyen valamely kísérlethez tartozó valószínűségi változó és F a valós számok halmazán értelmezett függvény, amely valamely x valós számhoz a x esemény bekövetkezésének valószínűségét rendeli: F:F(x) = P (x) Az F függvényt a valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük.Definíció: A valószínűségi változót folytonosnak vagy folytonos eloszlásúnak nevezzük, ha van olyan, véges számú pont kivételével folytonos f függvény, amelyre

Tétel: Ha F a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, akkorP (ab) = F(b) - F(a)

Tétel: Ha F eloszlásfüggvény, akkora) F (tágabb értelemben) monoton növekedő

b)

c) F balról folytonos, azaz

Tétel: Ha valamely F függvény eleget tesz az előző tételben felsorolt tulajdonságoknak, akkor tekinthető egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényének.Tétel: Ha a valószínűségi változó F eloszlásfüggvénye folytonos az x0 pontban, akkor P (=x0) = 0

15. Sűrűségfüggvény és tulajdonságai

A sűrűségfüggvény és tulajdonságaiDefiníció: Ha a folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F, akkor az f: f(x) = F’(x) függvényt a sűrűségfüggvényének nevezzük.Tétel: Ha valamely folytonos valószínűségi változónak f a sűrűségfüggvénye, akkora) f(x) 0, xDf

b)

c)

d) P

(ab)

Tétel: Ha valamely f, legfeljebb véges számú hely kivételével folytonos függvény rendelkezik az előző tételbeli a) és b) tulajdonságokkal, akkor egy folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvényének tekinthető.

16. Valószínűségi változó néhány jellemzője Me, Mo, kvartilis, M(), várható értékre vonatkozó tételek

A valószínűségi változó néhány jellemzőjeDefiníció: Valamely valószínűségi változó mediánja, med () az a valós szám, amelyre

és

ha diszkrét;

ha folytonosDefiníció: Ha a diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei között van olyan, amelyet nagyobb valószínűséggel vesz fel, mint a többit, akkor ezt az értéket móduszának nevezzük.Folytonos sűrűségfüggvény esetén módusza a sűrűségfüggvény maximumhelye. A módusz jele: mod ()Definíció: Legyen 0q1. Azt az xq számot, amely eleget tesz diszkrét eloszlás esetén a

egyenlőtlenségeknek, folytonos eloszlás esetén az

egyenletnek, a

valószínűségi változó q-kvantilisének nevezzük.

Várható értékA diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei legyenek x1, x2 … akkor várható értékének az

összeget nevezzük,ha folytonos valószínűségi változó és sűrűségfüggvénye f,

akkor a várható értéke

Tétel: Legyen c tetszőleges valós szám. Ekkor M(c) = cHa M() létezik, akkor létezik M(c) is és M(c) = cM()

Tétel: Legyen n pozitív egész. Ha a diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei x1, x2 … akkor

(ha létezik)Ha folytonos f sűrűségfüggvénnyel, akkor

(ha

létezik)

Az számot n-edik momentumának

nevezzük.Tétel: Ha

tetszőleges polinom, akkor

17. Szórás fogalma, szórás tételek igazolása

SzórásDefiníció: Ha a -M() valószínűségi változó négyzetének létezik a várható értéke, akkor ezt szórásnégyzetének nevezzük:

Ennek négyzetgyöke

a valószínűségi változó szórása.Tétel: Ha a valószínűségi változó négyzetének létezik a várható értéke, akkor

(vagyis második momentumából ki kell vonni az első momentum négyzetét)

Tétel: Ha a valószínűségi változó szórása létezik, akkor tetszés szerinti a és b valós számok esetén

18. Markov és Csebisev egyenlőtlenség igazolása

Markov- és Csebisev-egyenlőtlenség

Tétel:Markov-egyenlőtlenség: Legyen olyan nemnegatív valószínűségi változó, amelynek létezik várható értéke (M()0) és legyen t tetszőleges pozitív valós szám. Ekkor

Az a = tM() jelölést bevezetve a tétel más, ezzel ekvivalens alakban is felírható; tetszőleges a0 -ra

Tétel:Csebisev-egyenlőtlenség: Legyen olyan valószínűségi változó, amelynek létezik a várható értéke és a szórása. Ekkor tetszőleges t0 esetén

5. Valószínűségeloszlások19. Nevezetes diszkrét eloszlások és paramétereik jellemzése (bizonyítás nem)

Diszkrét eloszlások

Binomiális eloszlás (háttér: ismételt kísérlet, kockadobás, visszatevéses mintavétel)

A hipergeometrikus eloszlás (háttér: visszatevés nélküli mintavétel)Definíció: Az alábbi képlettel jellemzett eloszlást hipergeometrikus eloszlásnak nevezzük

(k=0,1,2…n)ha az n, M, N pozitív egész számokra fennáll: n MNA hipergeometrikus és binomiális eloszlás közti összefüggésTétel: Ha N és M úgy tartanak a végtelenbe, hogy közben az

hányados állandó marad, valamint n és k

rögzített számok, akkor

Tétel: A hipergeometriai eloszlású valószínűségi változó várható értéke és szórása

Tétel:

Karakterisztikus eloszlás (háttér: bekövetkezik-e A esemény vagy sem)

Geometriai eloszlás (háttér: első bekövetkezés, ismételek egy kísérletet és figyelek egy A eseményt, P(A)=p. Mikor

következik be először az A esemény?) végtelen eloszlás

Poisson eloszlás (háttér: intervallumba esések számának valószínűsége, intervallum: idő, hossz, terület stb…) végtelen eloszlás

20. Diszkrét egyenletes és geometriai eloszlás (kritérium, várható érték, szórás)

Az egyenletes eloszlásDefiníció: Ha a lehetséges értékei az x1, x2 … xn számok, akkor a

valószínűségeloszlást egyenletes eloszlásnak nevezzük.Tétel: A egyenletes eloszlású valószínűségi változó várható értéke és szórása

A geometriai eloszlásDefiníció: A valószínűségi változó geometriai eloszlású, ha lehetséges értékei az 1,2…n, … természetes számok és annak a valószínűsége, hogy a a k értéket veszi fel:

ahol 0p1; q = 1-p és k=1,2,…n…

Tétel: A geometriai eloszlású valószínűségi változó várható értéke és szórása

21. Binomiális eloszlás és jellemzői, binomiális és poisson közötti kapcsolat igazolása

A binomiális eloszlásDefiníció: A valószínűségi változót binomiális eloszlásúnak mondjuk, ha a lehetséges értékei 0,1,2…n és

ahol 0p1; k=0,1,…n és q = 1-pTétel: A binomiális eloszlású valószínűségi változó várható értéke és szórása

A binomiális és Poisson közti kapcsolat igazolásaTétel:

ha n esetén p 0 úgy, hogy közben az np szorzat állandó érték maradjon:np = 0

22. Poisson eloszlás és jellemző adatai

A Poisson-eloszlásDefiníció: A valószínűségi változó Poisson-eloszlású, ha lehetséges értékei a 0,1,2…n, … számok és valószínűségeloszlása:

ahol 0 és k=0,1,…n…Tétel: A képlet valóban valószínűségi eloszlást határoz meg.

Tétel: A Poisson-eloszlású valószínűségi változó várható értéke és szórása

23. Geometriai eloszlás fogalma, klasszikus valószínűségi mező

A geometriai eloszlásDefiníció: A valószínűségi változó geometriai eloszlású, ha lehetséges értékei az 1,2…n, … természetes számok és annak a valószínűsége, hogy a a k értéket veszi fel:

ahol 0p1; q = 1-p és k=1,2,…n…Tétel: A geometriai eloszlású valószínűségi változó várható értéke és szórása

24. Nevezetes folytonos eloszlások és paramétereik jellemzése (bizonyítás nem)

Exponenciális eloszlás

Örökifjú tulajdonság exponenciális eloszlású v. v.

Egyenletes eloszlás

Normális eloszlás

25. Folytonos egyenletes eloszlás, kritérium, M(), D()

Az egyenletes eloszlásDefiníció: A valószínűségi változót egyenletes eloszlásúnak nevezzük az ]a;b[ intervallumban, ha sűrűségfüggvénye:

Az eloszlásfüggvénye:

Tétel: Az egyenletes eloszlás várható értéke és szórása:

26. Exponenciális eloszlás és jellemző adatai (kritérium, M(), D()) Bizonyítsa be, hogy eloszlásfüggvény

Az exponenciális eloszlásDefiníció: A valószínűségi változót exponenciális eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye:

ahol a számot (0) az eloszlás paraméterének nevezzük.

Az eloszlásfüggvény:

Tétel: Az exponenciális eloszlás várható értéke és szórása:

Bizonyítsa be, hogy eloszlásfüggvény

27. Normális eloszlás, várható érték levezetése

A normális eloszlásDefiníció: A valószínűségi változót akkor nevezzük normális eloszlásúnak, ha sűrűségfüggvénye:

ahol m tetszőleges valós szám és 0Az eloszlásfüggvény:

Tétel: A normális eloszlás szórása: D()=Tétel: A normális eloszlás várható értéke: M()=m

28. Standard normális eloszlás és alkalmazása, tetszőleges normális eloszlás

Definíció: Standard normális eloszlás esetén m=0 és =1A standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

A standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye:

Kapcsolat a normális és a standard normális eloszlás között:

Standard normális eloszlás negatív értékekre:

6. Többdimenziós eloszlások29. Valószínűségi vektorváltozó (együttes és peremeloszlások)

Többdimenziós eloszlásokEgyüttes eloszlás, peremeloszlásokLegyenek és diszkrét, H-n értelmezett valószínűségi változók, lehetséges értékei: x1, x2, … xn

lehetséges értékei: y1, y2, … ym A valószínűségek:P (=xi; =yj) = pij

P (=xi) = pi

P (=yj) = qj (i=1,2…n; j=1,2…m)Tétel:

Definíció: A pij (i=1,2…n; j=1,2…m) valószínűségek halmazát a és együttes eloszlásának nevezzük. A -hez tartozó pi (i=1,2…n) és az -hoz tartozó qj (j=1,2…m) valószínűségek összességei a perem (vagy vetületi) eloszlások.A (,) tekinthető egyetlen valószínűségi vektorváltozónak.

30. Két valószínűségi változó együttes eloszlásfüggvénye és tulajdonságai

Együttes eloszlásfüggvény Definíció: Legyenek és a H-n értelmezett valószínűségi változók. A és az együttes eloszlásfüggvényének azt az F kétváltozós függvényt nevezzük, amely az (x,y) számpárhoz a x és y események együttes bekövetkezésének valószínűségét rendeli.F: F(x,y) = P (x; y) ((x,y) R2)Ekkor külön a valószínűségi változó F1 eloszlásfüggvényét és az valószínűségi változó F2 eloszlásfüggvényét perem (vagy vetületi) eloszlásfüggvénynek nevezzük.Tétel: Ha és együttes eloszlásfüggvénye F, akkorP (ab; cd) = F(a;c) + F(b;d) - F(a;d) - F(b;c)

Tétel: Ha F egy (,) valószínűségi vektorváltozó együttes eloszlásfüggvénye, akkor 1. Mindkét változója szerint monoton növekedő2. Mindkét változója szerint balról folytonos3.

4.

Tétel:

31. Két valószínűségi változó együttes sűrűségfüggvénye

Együttes sűrűségfüggvény Definíció: Legyen és együttes eloszlásfüggvénye F. Ha létezik olyan nemnegatív f kétváltozós függvény, amelyre

fennáll, akkor a (,) vektorváltozót folytonos eloszlásúnak nevezzük és a f a (,) vektorváltozó együttes sűrűségfüggvénye.Tétel: Ha f (,) együttes sűrűségfüggvénye és F az együttes eloszlásfüggvény, akkor minden olyan pontban, ahol f folytonos,

Tétel: Ha és folytonos valószínűségi változók és sűrűségfüggvényük f, akkor

1.

2.

3.

ahol f1 illetve f2 a illetve az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye, ezek az ún. perem-sűrűségfüggvények.

32. Peremeloszlás és sűrűség fogalma, értelmezése, meghatározása az együttes eloszlás és sűrűségfüggvényből

Peremeloszlás fogalma (Együttes eloszlásfüggvény)Definíció: Legyenek és a H-n értelmezett valószínűségi változók. A és az együttes eloszlásfüggvényének azt az F kétváltozós függvényt nevezzük, amely az (x,y) számpárhoz a x és y események együttes bekövetkezésének valószínűségét rendeli.F: F(x,y) = P (x; y) ((x,y) R2)Ekkor külön a valószínűségi változó F1 eloszlásfüggvényét és az valószínűségi változó F2 eloszlásfüggvényét perem (vagy vetületi) eloszlásfüggvénynek nevezzük.Peremeloszlás meghatározása az együttes eloszlás fv-bőlTétel:

Együttes sűrűségfüggvény Definíció: Legyen és együttes eloszlásfüggvénye F. Ha létezik olyan nemnegatív f kétváltozós függvény, amelyre

fennáll, akkor a (,) vektorváltozót folytonos eloszlásúnak nevezzük és a f a (,) vektorváltozó együttes sűrűségfüggvénye.Tétel: Ha f (,) együttes sűrűségfüggvénye és F az együttes eloszlásfüggvény, akkor minden olyan pontban, ahol

f folytonos,

Peremsűrűség meghatározésa az együttes sűrűség fv-bőlTétel: Ha és folytonos valószínűségi változók és sűrűségfüggvényük f, akkor

1.

2.

3.

ahol f1 illetve f2 a illetve az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye, ezek az ún. perem-sűrűségfüggvények.

33. Kovariancia és korrelációs együttható értelmezése, korrelálatlanság és függetlenség kapcsolata

Kovariancia és korrelációs együtthatóDefiníció: Ha létezik a és az valószínűségi változók várható értéke, továbbá létezik

várható érték, akkor ezt a és az kovarianciájának nevezzük:

Definíció: Ha a és valószínűségi változóknak létezik a szórásuk, akkor az

számot a és az korrelációs együtthatójának nevezzük.Ha =a, azaz a kapcsolat függvényszerű:M () = aM (); M () = aM (2) és D () = a D()

Definíció: Ha és korrelációs együtthatója létezik és R (,) = 0akkor azt mondjuk, hogy a és az valószínűségi változók korrelálatlanok.Tétel: Ha és szórása létezik, akkor létezik + szórása is és

Következménye: Ha és korrelálatlanok és létezik a szórásuk, akkor

34. Két valószínűségi változó összegének M(), bizonyítással

Tétel: Ha és várható értéke létezik, akkor létezik a + valószínűségi változó várható értéke is és M (+) = M () + M ()

35. Két valószínűségi változó szorzatának M(), bizonyítással

Együttes várható értékDiszkrét esetben:

Folytonos esetbenf(x,y) (,) v.v.v. sűrűség fv-e, g(x,y) tetsz. fv.Definíció:

g(x,y)=xy

36. A valószínűségi változó függetlenségére vonatkozó tételek és igazolásuk

Valószínűségi változók függetlensége

Definíció: A és valószínűségi változókat egymástól függetleneknek nevezzük, ha együttes eloszlásfüggvényük egyenlő a perem-eloszlásfüggvények szorzatával. Képletben:F (x,y) = F1 (x) F2 (y) ((x,y) R2)Tétel: Ha és függetlenek, akkor tetszés szerinti ab; cd számpárok esetén: P (ab; cd) = P (ab) P (cd)

Tétel: A és diszkrét valószínűségi változók akkor és csak akkor függetlenek, ha minden lehetséges (xi, yj) értékpárraP (=xi; =yj) = P (=xi) P (=yj) Vagy a szokásos jelölésekkel: pij = pi qj (i=1…n; j=1…m)

Tétel: A és folytonos valószínűségi változók akkor és csak akkor függetlenek, ha a sűrűségfüggvényekre is fennáll az ún. szorzási szabály: f (x,y) = f1(x) f2(y) ((x,y) R2)

Tétel: Ha és függetlenek, akkor M () = M () M ()(amennyiben ezek a várható értékek léteznek)Következménye: Ha és függetlenek, akkor cov (,) = R (,) = 0

Tétel: Ha és függetlenek, akkor négyzeteik, 2 és 2 is függetlenek.

37. A feltételes várható érték és regressziós függvény fogalma

Definíció: A diszkrét valószínűségi változó =yj feltétel melletti várható értékén az

összeget értjük.Definíció: Az m2 (y) = M (=y) függvényt a valószínűségi változó -ra vonatkozó (elsőfajú) regressziós függvényének, az m1 (x) = M (=x) függvényt az valószínűségi változó -re vonatkozó (elsőfajú) regressziós függvényének nevezzük.Tétel: Ha g tetszés szerinti, minden valós számra értelmezett, véges számú pont kivételével folytonos függvény, akkor

Egy bizonyos függvényosztályon belül talált regressziós függvényt másodfajú regressziós függvénynek nevezzük.

38. Feltételes és diszkrét eloszlások, feltételes eloszlás- és sűrűségfüggvény valószínűségi változók függetlensége

Diszkrét eloszlásokBinomiális eloszlás (háttér: ismételt kísérlet, kockadobás, visszatevéses mintavétel)

Hipergeometrikus eloszlás (háttér: visszatevés nélküli mintavétel)

Karakterisztikus eloszlás (háttér: bekövetkezik-e A esemény vagy sem)

Geometriai eloszlás (háttér: első bekövetkezés, ismételek egy kísérletet és figyelek egy A eseményt, P(A)=p. Mikor következik be először az A esemény?) végtelen eloszlás

Poisson eloszlás (háttér: intervallumba esések számának valószínűsége, intervallum: idő, hossz, terület stb…) végtelen eloszlás

Feltételes eloszlás, feltételes várható érték, regressziós függvény Definíció: Legyenek és diszkrét valószínűségi változók x1, x2 … és y1, y2 … lehetséges értékekkel. A

valószínűségek halmazát a valószínűségi változó =yj feltételhez tartozó feltételes valószínűségeloszlásának nevezzük.Definíció: A diszkrét valószínűségi változó =yj feltétel melletti várható értékén az

összeget értjük.Definíció: A folytonos valószínűségi változó =y feltételre vonatkozó feltételes sűrűségfüggvényén az

függvényt értjük. A -nek =y -ra vonatkozó feltételes várható értéke

Hasonlóan

és

Valószínűségi változók függetlenségeDefiníció: A és valószínűségi változókat egymástól függetleneknek nevezzük, ha együttes eloszlásfüggvényük egyenlő a perem-eloszlásfüggvények szorzatával. Képletben:F (x,y) = F1 (x) F2 (y) ((x,y) R2)

7. Nagy számok törvénye. Empirikus eloszlások39. Nagy számok törvénye, Bernoulli féle alakjának levezetése

Nagy számok törvényeA nagy számok törvényének Bernoulli-féle alakjaTétel: Tekintsünk egy kísérletet, ahol valamely A esemény bekövetkezésének valószínűsége p. Végezzük el a kísérletet n-szer egymástól függetlenül, és jelölje ebben a kísérletsorozatban n az A esemény gyakoriságát. Ekkor tetszőleges 0 esetén igaz, hogy

40. A centrális határeloszlás tétele

A centrális határeloszlás-tételTétel: Ha a 1, 2 … n azonos várható értékű és szórású független valószínűségi változók, M(i)=m és D(i)= (i=1,2…n), akkor az

számtani közepüknek várható értéke és szórása

Ekkor a

valószínűségi változó várható értéke és szórása: M=0, =1

Centrális határeloszlás-tétel: Ha 1, 2 … n, … azonos eloszlású független valószínűségi változók, M(i)=m és D(i)= (i=1,2…), akkor az

valószínűségi változók eloszlásfüggvényei olyan sorozatot alkotnak, amely minden x pontban a standard normális eloszlásfüggvényhez tart:

41. Sűrűségfüggvény és hisztogram fogalma, feltételek empirikus függvény

Definíció: Ha a folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F, akkor az f: f(x) = F’(x) függvényt a sűrűségfüggvényének nevezzük.

8. Nevezetes többdimenziós eloszlások. Normálisból származtatott eloszlásokNéhány nevezetes többdimenziós eloszlás

Egyenletes eloszlásDefiníció: A és valószínűségi változókat az [a,b,c,d] téglalapon egyenletes együttes eloszlásúnak nevezzük, ha együttes sűrűségfüggvényük

Normális eloszlásDefiníció: A és valószínűségi változók együttes eloszlása normális, ha együttes sűrűségfüggvényük

ahol m1 és m2 valós számok, 1 és 2 pozitívak, valamint -1r1Tétel: A fenti formulával definiált együttes eloszlás peremeloszlásai normálisak, amelyeknek várható értéke és szórása

Tétel: Ha és a fenti sűrűségfüggvénnyel jellemzett normális együttes eloszlást alkotó valószínűségi változók, akkor korrelációjuk: R (,) = rMegjegyzés: r=0 azaz a korrelálatlanság esetén a fenti sűrűségfüggvény átmegy a két peremeloszlás sűrűségfüggvényének szorzatába, ez azt jelenti, hogy normális együttes eloszlás esetén a korrelálatlanság és a függetlenség egyenlő.Tétel: Ha és együttes eloszlása normális, akkor a regressziós függvények lineárisak:

Normálisból származtatott eloszlások

Eloszlásfüggvény becsléseTétel: Minden x-re, tetszőleges >0 esetén létezik olyan x-től függő n0, hogy

Az Euler-féle gamma-függvényDefiníció:

A khinégyzet-eloszlásDefiníció: Ha a 1, 2 … n valószínűségi változók függetlenek, standard normális eloszlásúak, akkor a

valószínűségi változót n-szabadságfokú 2 -eloszlásúnak nevezzük.M()=n, D2()=2n

A Student-féle t-eloszlásDefiníció: Ha az , 1, 2 … n valószínűségi változók függetlenek, standard normális eloszlásúak, akkor a

valószínűségi változó eloszlását n-szabadságfokú Student vagy t-eloszlásnak nevezzük.Ha n2, M(t)=0

Ha n3,

Az F- és a z-eloszlásDefiníció: Ha az 1, 2 … m, 1, 2 … n valószínűségi változók függetlenek, standard normális eloszlásúak, akkor az

valószínűségi változó eloszlását m,n-szabadságfokú F-eloszlásnak nevezzük.

Ha n3,

Ha n5,

Definíció: Fischer-féle z-eloszlás:Az F eloszlásból származtatjuk

A béta-eloszlásDefiníció: Ha az 1, 2 … m, 1, 2 … n valószínűségi változók függetlenek, standard normális eloszlásúak, akkor a

valószínűségi változót -eloszlásúnak nevezzük.