Embed Size (px)
Citation preview
24.05.2008 © Allar Veelmaa, Loo Keskkool 2005 1
Pythagorase teoreemi erinevaid tõestusi
Allar Veelmaa, Loo Keskkooli õpetaja
24.05.2008 © Allar Veelmaa, Loo Keskkool 2005 2
Pythagoras (u.580–500 e.Kr)
* oli kreeka matemaatik, filosoof ja poliitik* oli väidetavalt esimene, kes tõestas
meile juba tuttava teoreemi:
täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude
summa on võrdne hüpotenuusi ruuduga
a
c
a2 + b2 = c2
b
24.05.2008 © Allar Veelmaa, Loo Keskkool 2005 3
Esimene tõestus: täisnurkse kolmnurga ABC külgedele on ehitatud ruudud. Kas AC2 + BC2 = AB2? Uurime seda!
Mis on muutunud? Mis on samaks jäänud?
24.05.2008 © Allar Veelmaa, Loo Keskkool 2005 4
Teine tõestus: kas kollase ruudu pindala on võrdne rohelise ruudu ja punase ruudu pindalade summaga?
Kuidas oleks võimalik punast ja rohelist ruutu nii
ümber paigutada, et veenduksime lihtsas tõsiasjas
– nende ruutude pindalade summa on võrdne kollase ruudu
pindalaga?
24.05.2008 © Allar Veelmaa, Loo Keskkool 2005 5
Pöörasime punast ruutu ümber tipu B.
Mida teha edasi?
24.05.2008 © Allar Veelmaa, Loo Keskkool 2005 6
Mis on toimunud?
Kuidas toimida edasi?
24.05.2008 © Allar Veelmaa, Loo Keskkool 2005 7
Sellega ongi teoreem tõestatud!
24.05.2008 © Allar Veelmaa, Loo Keskkool 2005 8
Kolmas tõestus: selleks jagame ruudu neljaks osaks
Paigutame tekkinud tükid alumise ruudu sisse, kuid
nii, et hiljem saaks sellesse ruutu ära
mahutada ka rohelise ruudu. Kuidas seda teha?
24.05.2008 © Allar Veelmaa, Loo Keskkool 2005 9
4
3
12
Veel viimane samm ja teoreem on
tõestatud!
24.05.2008 © Allar Veelmaa, Loo Keskkool 2005 10
Neljas tõestus: selgitame, kuidas järgmise joonise abil tõestada Pythagorase teoreemi kehtivust
24.05.2008 © Allar Veelmaa, Loo Keskkool 2005 11
Pythagorase teoreem Babüloonia savitahvlitel u. 1000.a. e.Kr
Kui savitahvlil on tõepoolest tegemist
Pythagorase teoreemi tõestusega, siis mis järeldus tuleks teha?
24.05.2008 © Allar Veelmaa, Loo Keskkool 2005 12
Viies tõestus: püüame ise teoreemi tõestada!
Teoreemi tõestamiseks tuleb liigutada siniseid punkte. Arvesta, et kollase kolmnurga kõrgus on pool alusest. Liikuva pildi saamiseks vajuta siia.
24.05.2008 © Allar Veelmaa, Loo Keskkool 2005 13
Kuues tõestus: püüame ise teoreemi tõestada!
Teoreemi tõestamiseks tuleb liigutada siniseid punkte. Liikuva pildi saamiseks vajuta siia.
24.05.2008 © Allar Veelmaa, Loo Keskkool 2005 14
Garfieldi tõestus
)(21 babaS +⋅+
=
222
2
2cababS ++=
James Garfield (1831 – 1881) – USA kahekümnes president
Leiame joonisel oleva kujundi pindala kahelerineval viisil:a) Trapetsi pindala b) Kujund koosneb kolmest täisnurksest
kolmnurgast, seega
Et S1 = S2, siis kehtib võrdus
( )
( ).
,2
,2222
222
22
2
cbacabba
cababbaba
=+
+=+
++=+⋅+
24.05.2008 © Allar Veelmaa, Loo Keskkool 2005 15
Pythagorase “püksid”
Selgita sammhaaval (1-5) Pythagorase teoreemi tõestust kõrvaloleva
joonisel abil
24.05.2008 © Allar Veelmaa, Loo Keskkool 2005 16
Kes on pildil? Mis on pildil?
Vastused leiad internetist!
24.05.2008 © Allar Veelmaa, Loo Keskkool 2005 17
TööülesanneLahenda töölehel olevad ülesanded ja saada vastuste leht (selle doc-faili nimeks pane omanimi.doc) õpetaja mailiaadressile [email protected] tööülesannete täitmise juurde asumist vaata ära ka viimane slaid!
24.05.2008 © Allar Veelmaa, Loo Keskkool 2005 18
Huvitavaid linke Pythagorase ja tema teoreemi kohta
Pythagorase teoreemMõningaid Pythagorase toereemi tõestusiVeel Pythagorase teoreemi tõestusiPythagorase teoreemi kalkulaatorLahenda ülesandeid Pythagorase teoreemi kohtaLeonardo da Vinci Pythagorase teoreemi tõestus
24.05.2008 © Allar Veelmaa, Loo Keskkool 2005 19
LÕPP
