r

rPQ 由 2 2( ) ( )x yh k r ，

2 2 21 1( ) ( )AQ x yh r rk 則 。

O

Q(h,k)

P(x,y)y

x

2. 圓的標準式：以 Q(hk) 為圓心， r 為半徑的圓方程式為

(xh)2+(yk)2=r2 。

因此， (xh)2+(yk)2=r2 即為圓 C 的方程式。

1~1圓的方程式一、圓的方

程式1. 圓的意義：平面上與定點 ( 圓心 ) 的距離是定值 ( 半徑 )的所有點所成的圖形稱為

圓。

證明：若 P(xy) 是圓 C 上任意一點，

即所有滿足方程式的點 A 到 Q 的距離都等於 r 。

(xh)2+(yk)2=r2 。

因此圓上的點 P(xy) 都滿足方程式

反之，若點 A(x1y1) 滿足方程式 (xh)2+(yk)2=r2 。

稱之為圓 C 的標準式。

2 半徑為 倍

2 所求圓半徑為 。

3. 範例： (1) 求圓心為點 (2,3) ，半徑為 4 的圓方程式。

(2) 設圓 C ： (x3)2+(y+1)2=1 ，求與圓 C 有相同的圓心且面積為圓 C 面積 2 倍的圓方程

式。 (x2)2 +

[y(3)]2 = 42

(2) 圓 C ： (x3)2 + (y+1)2 =1 的圓心為 (31) ，半徑為 1 ，

故所求圓方程式為 (x3)2 + (y+1)2 = 2 。

(x2)2 + (y+3)2 =16 。

解： (1) 圓心 (23) ，半徑 4

圓面積為 2 倍

22(5 2) 1 ( 3) 5r 半徑 ，

2 2(6 2) (0 3) 5AQ

2 2( 2 2) ( 1 3) 20 5BQ

2 2(0 2) (2 3) 29 5CQ

4. 範例：求以點 Q(2,3) 為圓心，通過點 P(5,1) 的圓方程式，

並判斷 A(60) ， B(21) ， C(02) 是在圓內、圓外還是圓上。

解：

點 C 在圓外。

點 B 在圓內。

點 A 在圓上。

得圓方程式為 (x2)2+(y+3)2=25 。

AB求以 為直徑的圓方程式。

AB 的中點即為圓心4 6 9 3

, (5,6)2 2

Q

，

1

2r AB 2 21

(4 6) (9 3) 102

，

QA(4,9) B(6,3)

5. 範例：設 A(4,9) ， B(6,3) ，解

：

故所求圓方程式為 (x5)2 + (y6)2 = 10 。

6. 範例：說明下列方程式所代表的圖形。(1) x2+y22x+6y+6=0 (2) x2+y22x+6y+10=0(3) x2+y22x+6y+16

=0 。解： (1) 利用配方法，得 (x22x+1)+(y2+6y+9) = 6+1+9 ， (x1)2+(y+3)2

=4 ，

(2) 利用配方法，得 (x22x+1)+(y2+6y+9) = 10+1+9 ， (x1)2+(y+3)2

=0 ，

(3) 利用配方法，得 (x22x+1)+(y2+6y+9) = 16+1+9 (x1)2+(y+3)2 =

6 ，

其圖形為圓心 (13) ，半徑為 2 的圓。

此方程式沒有實數解，其圖形不存在。

可得 (xy)=(13) ，其圖形為一點 (13) 。

(1,1)A

代入則：

2 21 1 0d e f

2

2

2 5d e

f

f

f

d

e

e

d

，

解得 d = 1 ， e = 0 ， f = 3 ，

7. 範例：求通過 A(1,1) ， B(1,1) ， C(2,1) 三點的圓方程式。

解：設所求的圓方程式為 x2+y2+dx+ey+f=0

故所求為 x2+y2+x3=0 。

(1, 1)B 代入( 2,1)C 代入

2 21 ( 1) 0d e f 2 2( 2) 1 2 0d e f

(1,1)

(4,2)

(0,0)

Q

O

P

代

代入代入

則： 入2

2 2

2

1 1

0

4 2 4 2 0

0d f

d

e

e f

f

4 2 2

0

0

2d

d

e

e

f

。

馬上練習：設一圓通過 O(00) ， P(11) ， Q(42) 三點，

Ans：圓心為 (4,3) ，半徑為 5 。

求其圓心與半徑。

即 (x4)2+(y+3)2=25 。

x2+y28x+6y=0 ，

解得 d = 8 ， e = 6 ，f = 0

解：設所求的圓方程式為 x2+y2+dx+ey+f=0

QA QB ，

2 2 2 2( 2 2) ( 1) ( 2 ) ( 1)t t t t

1

2t 解得 1

(4, ) 2

Q ，

13

2r QA 。

2 21 13( 4) ( )

2 4x y 故所求為 。

A

Q

B L

8. 範例：設一圓通過 A(5,1) ， B(3,1) ，且圓心在直線 L ： x+2y3=0 上，求此圓的方程式。

解： x+2y3=0 的參數式為 (x,y)=(32t,t) ，設圓心 Q(3

2t,t)

QA QB ，

2 2 2 2(2 7) ( 1) (2 5) ( 1)t t t t

2 t 解得 (2, 2) Q ，

10r QA 。

A

Q

B

L

馬上練習：求圓心在直線 x2y+2=0 上，且通過 A(5,1) ， B(3,1) 的圓方程

式。Ans： (x2)2+(y2)2=10 。解： x2y+2=0 的參數式為 (x,y)=(2t2

,t) ，設圓心 Q(2

t2,t)

故所求為 (x2)2+(y2)2=10 。

10 AB 且 的弦心距為 ，

(2, 6) 2 10 (2,1)AB AB AB M

， ， 中 點 ，

(3,1) 10A MQ MQ MQB

由 ，令 ，得 ，

10AB 又 的弦心距為

( , )Q x M My Q

圓心 的坐標

(2,1) (3,1) ( 1,0) 。

2 2 2 2( 10) ( 10) 20QA AM MQ 圓 半徑 。

A

QB

M

9. 範例：設一圓通過 A(1,4) ， B(3,2) ，求此圓的方程式。解

：

故所求圓為 (x5)2+(y2)2 = 20 或 (x+1)2+y2 = 20 。

(2,1) (3,1) ，

( , )Q x y M MQ

或 的坐標

2 2 2 cos ,0 2

sin

x rC x y r

y r

圓 ： 的參數式為 。

sin cosy x

r r 則 ，

cos , 0 2

sin

x r

y r

。

cos0 2

sin

x h r

y k r

， 。

y

O

P(rcos ,rsin)

x

O

P(rcos,rsin)

y

x

二、圓的參數式1. 圓的參數式：證明：設 P(x,y) 為圓 C ： x2+y2=r2 上的一

點，以原點為中心， x 軸的正向為始邊，旋轉 到終邊

OP ，

注意：圓 C ： (xh)2+(yk)2=r2 的參數式為

皆滿足圓方程式 x2+y2=r2 。

因此圓上每一點 (xy) 都可

反之，所有可表成 (rcosrsin) 的點

表成 (rcosrsin) 。

cos 0 2

s

2

2 in

x

y

， 。

(1) cos sin (0 22 2 )x y ，1 1

(cos sin )2

22

2 si2 2 n( )4

。

2 2 2 2 sin( ) 2 24

又 ，

2 2x y所以 的最大值為 。

(2) cos sin 2(2s2 2 in cos )xy ‧

2 (0sin 2 2 ) ，

2 2sin 2 2 又 ， 2xy所以 的最大值為 。

2 2 2 2cos sina b a b a b 。

2. 範例：已知實數 x ， y 滿足 x2y24 ，分求 xy 與 xy 的最大值。

解：圓 x2y222 的參數式為

注意：

參考文獻• http://tblog.pcsh.tpc.edu.tw/

• http://tblog.pcsh.tpc.edu.tw/lifetype/post/93/1297