ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

---------------------

Trần Việt Phú

QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ SIÊU HẠT

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã số: 60.44.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. PHẠM THÚC TUYỀN

Hà Nội-2011

1

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy Phạm

Thúc Tuyền. Cảm ơn thầy đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo em trong suốt quá trình

học tập cũng như trong thời gian thực hiện luận văn này.

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong tổ Vật lý lý thyết, các thầy

cô trong khoa Vật lý. Những người đã hết lòng dạy dỗ và tạo điều kiện cho em

trong lúc em làm luận văn cũng như trong thời gian em học tập tại trường.

Cuối cùng, em muốn gửi lời cảm ơn đến những người thân và bạn bè của

mình. Sự khuyến khích và giúp đỡ của mọi người đã giúp em có điều kiện và niềm

tin để có thể bước đi trên con đường mình đã chọn.

Hà Nội, ngày 17 tháng 12 năm 2011

Học viên: Trần Việt Phú

2

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 4

CHƯƠNG 1: Mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu ........................................ 6

1.1 Các trường trong mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu ......................... 6

1.2 Lagrangian trong MSSM ............................................................................... 8

1.3 Phổ vật lý của MSSM .................................................................................. 11

CHƯƠNG 2: Quá trình phân rã trong lý thuyết trường lượng tử ............................ 19

2.1 Biểu diễn tương tác ...................................................................................... 19

2.2 S ma trận và khai triển Dyson ...................................................................... 21

2.3 Áp dụng cho quá trình phân rã C A B .................................................. 24

CHƯƠNG 3: Tốc độ phân rã siêu hạt .................................................................... 29

3.1 Sự phân rã của gluino Lg uu ................................................................... 29

3.2 Sự phân rã 1g t t ....................................................................................... 34

KẾT LUẬN ........................................................................................................... 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 41

PHỤ LỤC.............................................................................................................. 44

A. Các quy tắc và kí hiệu của spinor .................................................................. 44

B. Các Quy tắc lấy tổng ..................................................................................... 45

3

i) Quy tắc lấy tổng theo chỉ số màu………………………………………….45

ii) Quy tắc lấy tổng theo spin………………………………………………...46

4

MỞ ĐẦU

Khi thế giới vật chất là siêu đối xứng, ngoài những hạt đã biết sẽ tồn tại

những hạt đồng hành với chúng có spin sai khác 1/2 đơn vị [14]-[15]. Như vậy, nếu

trước đây trong một quá trình phân rã ta có một số giản đồ khả dĩ thì giờ đây số giản

đồ sẽ tăng lên gấp đôi. Điều này kéo theo, vận tốc phân rã sẽ có những thay đổi

đáng kể cả về lượng lẫn về chất. Việc cho đến nay chưa tìm ra một hạt siêu đồng

hành nào, có thể có nguyên nhân là do chúng ta chưa có đánh giá đúng về khối

lượng của chúng và do đó việc tìm kiếm đã không được thực hiện trong vùng năng

lượng chính xác.

Trong luận văn này chúng tôi sẽ trình bày tính toán một số quá trình phân rã

của gluino, siêu hạt đồng hành của gluon, thành quark up và quark top và phản hạt

đồng hành của chúng. Những kết quả tính toán như thế, nều được thực hiện đầy đủ,

chúng sẽ góp phần vào việc xác định vùng cần tìm kiếm các siêu hạt đồng hành ở

các máy gia tốc.

Luận văn được trình bày trong ba chương và một phần kết luận. Chương 1

dành để trình bày nội dung chủ yếu của mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu.

Phần siêu đối xứng được coi như đã biết [5]. Cuối chương một số số hạng của khai

triển Lagrangian tương tác cho những siêu trường cần thiết giúp cho việc thực hiện

tính toán trong chương 3 sẽ được viết tường minh [16]. Chương 2 dành để tóm lược

những tiến trình cần thực hiện để tính tốc độ phân rã. Chương 3 được dùng để trình

bày những tính toán cho tốc độ của quá trình phân rã gluino thành quark u và

squark u và gluino thành quark t và squark t .

Những quá trình phân rã trên là sản phẩm của những va chạm năng lượng

cao tại các máy gia tốc LEP, LEP2, trong đó có phản ứng hủy cặp e e sau khi đã

được gia tốc tới vận tốc rất lớn.

5

Biện luận về các kết quả thu được sẽ được trình bày trong phần kết luận.

Phần phụ lục sẽ trình bày kỹ năng tính toán đối với spinơ hai thành phần, cần

thiết cho việc tính toán thực hiện trong chương 3.

Cuối cùng là sách tham khảo và tài liệu dẫn.

6

CHƯƠNG 1:

MÔ HÌNH TIÊU CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG

TỐI THIỂU

1.1 Các trường trong mô hình tiêu chuẩn siêu đối xứng tối thiểu

Để thu được lý thuyết mở rộng siêu đối xứng tối thiểu cho mô hình tiêu

chuẩn (Minimal Supersymmetric Standard Model - MSSM) ta cần mở rộng thành

phần trường của lý thuyết bằng cách thêm vào các siêu đồng hành vô hướng và

fermion thích hợp cho các trường vật chất và trường chuẩn ban đầu. Với lepton ta

có các hạt vô hướng siêu đồng hành là slepton, với quark ta có các hạt vô hướng

siêu đồng hành là squark. Với các hạt chuẩn (gauge) như W, Z, photon, gluon ta có

các hạt fermion siêu đồng hành được gọi là gaugino. Photon có photino, W có wino,

Z có zino, gluon có gluino. Hạt Higgs sẽ có hạt fermion siêu đồng hành là higgsino.

Nếu dùng ngôn ngữ siêu không gian và siêu trường [17], mỗi thế hệ của

MSSM được mô tả bởi năm siêu trường thuận tay trái, tay chiêu (left-handed), còn

các trường chuẩn sẽ được miêu tả bởi các siêu trường vector tương ứng.

Về trường Higgs, trong SM ta chỉ cần một lưỡng tuyến Higgs để có thể tính

toán khối lượng cho fermion thông qua tương tác Yukawa. Khi chuyển sang

MSSM, nếu chỉ dùng một lưỡng tuyến Higgs sẽ không đủ để tính khối lượng của tất

cả các quark và các lepton vì các số hạng tương tác Yukawa trong các lý thuyết

chuẩn siêu đối xứng xuất phát từ siêu thế, nên chỉ chứa các siêu trường chiral chứ

không chứa liên hợp hermitic của các siêu trường này. Điều này dẫn đến không thể

đưa vào các số hạng bất biến U(1)Y mà có thể sinh khối cho cả quark up lẫn quark

down nếu chỉ dùng một lưỡng tuyến Higgs. Vì vậy trong MSSM ta cần ít nhất hai

lưỡng tuyến Higgs [18]-[19]. Các trường thành phần trong MSSM được mô tả trong

các bảng sau:

7

Spin 1 Spin 1/2 3 2 1C L Y

SU SU U

Hệ số liên

kết

(coupling)

1em

U

B B

1 1 0 1g 0

iW

W

i 1 3 0 2g 0 1

aG

a

G 8 1 0 3g 0

Bảng 1.1 Các đa tuyến của nhóm chuẩn SU(3)×SU(2)×U(1)

Spin 0 Spin 1/2 3 2 1C L Y

SU SU U 1em

U

I

I

-IL

νL =

e

I

IL -I

L

νψ =

e 1 2 1

0

1

I +IRR = e

CI -IR Lψ = e 1 2 1 1

I

I

IL

uQ =

d

I

IQ I

L

uψ =

d 3 2 1 / 3

23

13

-

8

I I*RD = d

CI ID Lψ = d 3 1 2 / 3 1

3

I I*RU = u

CI IU Lψ = u 3 1 4 / 3 2

3

111

12

HH =

H

1H11

H 1H2

ψψ =

ψ 1 2 1

0

1

212

22

HH =

H

2H12

H 2H2

ψψ =

ψ 1 2 1

0

1

-

Bảng 1.2 Các đa tuyến vật chất.

1.2 Lagrangian trong MSSM

Việc xây dựng Lagrangian trong MSSM cũng tương tự như trong SM. Ta sẽ

chia Lagrangian ra các phần như sau:

kinetic interaction Yukawa soft V l = l l l l (1.1)

Trong đó, các thành phần cụ thể như sau:

1. kineticl chỉ số hạng động năng của các trường và có dạng:

- Các boson chuẩn:

μν i iμν a aμν1 1 1μν μν μν4 4 4

- B B - A A - g g (1.2)

Trong đó:

9

μν μ ν ν μ

i i i ikl k lμν μ ν ν μ μ ν

a a a abc b cμν μ ν ν μ μ ν

B = B - B

A = A - A - gε A A

g = g - g - gC g g

(1.3)

- Các fermion gồm có các gaugino, lepton, quark và Higgsino:

i (1.4)

- Các boson vô hướng gồm có slepton, squark và Higgs:

* (1.5)

2. interactionl chỉ các số hạng tương tác gồm có:

- Số hạng tự tương tác của các đa tuyến chuẩn: tương tác đỉnh ba và bốn

của các gauge boson cộng thêm tương tác của các trường gaugino và trường gauge:

ba c

abc V igf (1.6)

- Tương tác của các đa tuyến chuẩn với các đa tuyến vật chất:

a a *ij i j i j

a a * aij j i i j

2 a b a b *ij i j

( + ),

2 ( ),

( )

gT V iA A

ig T A A

g T T V V A A

(1.7)

3. Siêu thế vô hướng V :

a a *1i i2V D D F F (1.8)

Ở đây:

i i

a * ai ij j

F W / A

D gA T A (1.9)

10

4. Yukawal để chỉ số hạng tương tác Yukawa:

*2 2

i j i j

i j i j

1 W W

2 A A A A

(1.10)

Ở các biểu thức trên ta đã dùng kí hiệu W để chỉ siêu thế. Đó là một hàm của

siêu trường chỉ phụ thuộc vào các trường vô hướng iA mà không phụ thuộc vào *iA .

Dạng tổng quát của siêu thế không vi phạm bất biến chuẩn và các định luật bảo toàn

trong SM là:

1 2 IJ 1 I J IJ 1 I J IJ 2 I Jij i j l i j d i j u i jW H H +Y H L R +Y H Q D +Y H Q U (1.11)

5. softl là số hạng phá vỡ siêu đối xứng mềm. Số hạng này được đưa vào để

phù hợp với các số liệu thực nghiệm là việc các hạt trong cùng một đa tuyến có khối

lượng khác nhau, nhưng không làm mất đi tính chất quan trọng của lý thuyết là sự

vắng mặt của các phân kỳ bậc hai. Nó có dạng tổng quát:

2 2 3 a a1 2 3m A + m A + y A + H.c. + m λ λ + H.c.R T (1.12)

A2 và A3 để chỉ tất cả các tổ hợp của các trường vô hướng bất biến chuẩn. Số

hạng trên có thể chia ra các lớp:

- Số hạng khối lượng cho các trường vô hướng:

1 2

2 1* 1 2 2* 2 2 IJ I* J 2 IJ I* JH i i H i i L i i R

2 IJ I* J 2 IJ I* J 2 IJ I* JQ i i D U

m H H m H H (m ) L L (m ) R R

(m ) Q Q (m ) D D (m ) U U (1.13)

- Số hạng khối lượng cho các gaugino:

i i a a1 1 11 B B 2 A A 3 G G2 2 2M λ λ + M λ λ + M λ λ + H.c. (1.14)

11

- Liên kết tam tuyến của các trường vô hướng tương ứng với số hạng

Yukawa trong siêu thế:

212 1 2 IJ 1 I J IJ 1 I J IJ 2 I J

ij i j ij l i j ij d i j ij u i jm H H + A H L R + A H Q D + A H Q U H.c. (1.15)

- Liên kết tam tuyến của các trường vô hướng khác với số hạng Yukawa

trong siêu thế (còn được gọi là “các số hạng không giải tích” vì chúng chứa liên hợp

điện tích của trường Higgs):

2* 2* 1* 'IJ I J 'IJ I J 'IJ I Jl i j d i j u i jA H L R + A H Q D + A H Q U H.c. (1.16)

1.3 Phổ vật lý của MSSM

Để thu được phổ vật lý của các hạt trong MSSM ta cần thực hiện quy trình

tiêu chuẩn của việc phá vỡ đối xứng chuẩn thông qua các giá trị trung bình chân

không (vacuum expectation value-VEV) của các trường Higgs trung hòa và tìm các

trạng thái riêng của các ma trận khối lượng cho tất cả các trường. VEV của trường

Higgs thỏa mãn phương trình (θ để chỉ góc Weinberg, Ws = sinθ , Wc = cosθ ,

2 W 1 We = g s = g c ):

11 2

2

v 01 1H = H =

v02 2 (1.17)

1

222 2 2 2

1 2 H 1 12 22 2W W

ev v + m + μ v = m v

8s c (1.18)

2 2 1

222 2 2 2

1 2 H 122 2W W

ev v + m + μ v = m v

8s c (1.19)

Các tham số của phương trình trên bị ràng buộc bởi điều kiện là 1v và 2v

phải dẫn đến các giá trị thích hợp của khối lượng các boson chuẩn.

Các trường vật lý của MSSM có thể được xác định như sau:

12

1. Các boson chuẩn. Tám gluon aμg và photon μF không khối lượng, còn các

boson ±μW và μZ có khối lượng:

1

22 2Z 1 2

W W

eM = v +v

2s c (1.20)

1

22 2W 1 2

W

eM = v +v

2s (1.21)

2. Các Higgs vô hướng tích điện. Có bốn Higgs vô hướng tích điện tồn tại,

trong đó có hai hạt có khối lượng còn hai hạt không có khối lượng.

±1 21

22 2 2 2W H HH

M = M + m + m +2 μ (1.22)

Khi có trường chuẩn, các hạt ±2H ( ±G ) bị ăn bởi các W boson và biến mất

khỏi Lagrangian. Các trường +1H và 2

+H liên hệ với các trường Higgs ban đầu bởi

ma trận quay HZ :

1* +2 1

H2 +1 2

H H= Z

H H (1.23)

1- 2 12 2 2

H 1 2

1 2

v -vZ = v +v

v v (1.24)

3. Các Higgs vô hướng trung hòa. Để thuận tiện, ta chia các Higgs trung hòa

ra hai lớp:

i) Các hạt vô hướng 0iH với i = 1,2, được định nghĩa:

i ij 0i R j i2 H = Z H +vR (không lấy tổng theo i) (1.25)

13

Ma trận ZR và các khối lượng của 0iH có thể thu được bằng cách chéo hóa

mà trận 2RM

01

02

2 2 22 22 1 1 2

212 122 2 2 2H1 W W W WT

R R 22 2 22 21 2 1 2 H12 122 2 2 2

W W 2 W W

v e v e v v-m + m -

M 0v 4s c 4s cZ Z =

0 Me v v v e vm - -m +

4s c v 4s c

(1.26)

ii) Các hạt giả vô hướng 0iA , i=1,2:

T i ij 0i H j2 H = Z A (1.27)

0 01A ( A ) có khối lượng

1 1

22 2 2A H HM = m + m + 2 μ , 0 0

2A ( ) G là hạt boson

Goldstone không khối lượng và sẽ biến mất khi dùng chuẩn unitary. Ma trận ZH

tương tự trường hợp boson Higgs tích điện.

4. Các fermion vật chất (quark và lepton) có khối lượng (chú ý rằng I Il dY , Y

được định nghĩa là âm):

II I 1 lν e

I II I1 d 2 ud u

v Ym = 0 m = -

2

v Y v Ym = - m =

2 2

(1.28)

5. Các chargino. Bốn spinor hai thành phần 2 1

1 2 1 2A A H Hλ , λ , ψ , ψ kết hợp thành

hai fermion Dirac bốn thành phần 1 2χ , χ tương ứng với hai chargino vật lý. Các ma

trận pha trộn chargino Z+ và Z- được định nghĩa bằng điều kiện:

1

2

22

χT W

- +

1 χ

W

evM

M 02sZ Z =

ev 0 Mμ

2s

(1.29)

14

Các ma trận Z+ và Z- không được xác định một cách duy nhất. Vì vậy ta có

thể lựa chon để iχM xác định dương và

2 1χ χM > M . Các trường i được liên hệ với

các spinor ban đầu như sau:

1

2

2 2i +H + i

+i1 2i -

H - i i -i

1 2± 1i ±A AA ± i

ψ = Z κ

κψ = Z κ χ =

κ

λ iλλ = iZ κ

2

(1.30)

6. Neutralino. Bốn spinor hai thành phần 3B

1 2A H1 H2λ , λ , ψ , ψ kết hợp thành bốn

fermion Mojorana 0i , i = 1,…,4, gọi là neutralino. Công thức cho các ma trận pha

trộn và khối lượng được cho:

01

04

1 21

W W

1 2χ2

W WTN N

1 1

χW W

2 2

W W

-ev evM 0

2c 2c

ev -ev M 00 M2s 2s

Z Z =-ev ev

0 -μ 0 M2c 2s

ev -ev-μ 0

2c 2s

(1.31)

1

2

1i 0B N i

3 2i 0A N i

0i1 3i 0 0

H N i i 0i

2 4i 0H N i

λ = iZ κ

λ = iZ κ

κψ = Z κ χ =

κ

ψ = Z κ

(1.32)

7. Các gaugino SU(3) không pha trộn. Khi sử dụng kí hiệu spinor bốn thành

phần ta có tám gluino ag với khối lượng 3M .

15

aGa

aG

-iλg =

iλ (1.33)

8. Ba trường phức vô hướng I1L tạo thành ba sneutrino với khối lượng có

được bằng cách chéo hóa ma trận 2νM :

ˆ

1

3

I IJ J1 ν

2ν

† 2ν ν ν

2ν

2 2 21 22 2

ν L2 2W W

L = Z ν

M 0

Z M Z =

0 M

e v - vM = 1+ m

8s c

(1.34)

Sneutrino là các vô hướng phức trung hòa.

9. Các trường I2L và RI pha trộn tạo thành sáu slectron tích điện Li, i=1,…,6:

I+3 iI Ii* - I +2 L i L iL = Z L R = Z L (1.35)

1

6

22 2 LL LLL LR†

L L†2 22

L LLR RR L

M 0M M

Z Z =M M 0 M

(1.36)

ˆ

ˆ

2 2 2 2 2 2T1 2 W2 21 l

L L2 2LLW W

2 2 2 2 21 22 21 l

L R2RRW

2 *L 2 l l 1 lLR

e v - v 1- 2c v YM = 1+ + m

8s c 2

e v - v v YM = - 1+ + m

4c 2

1M = v Y μ - A +v A

2

(1.37)

10. Các trường I1Q và UI trở thành sáu squark up Ui:

16

I+3 i*I Ii + I -1 U i U iQ = Z U U = Z U (1.38)

1

6

22 2 UU ULL LRT *

U U†2 22

U ULR RR U

M 0M M

Z Z =M M 0 M

(1.39)

ˆ

ˆ

2 2 2 2 2 2T1 2 W2 2 †2 u

U Q2 2LLW W

2 2 2 2 21 22 22 u

U U2RRW

2 *U 1 u u 2 uLR

e v - v 1- 4c v YM = - 1+ + Km K

24s c 2

e v - v v YM = 1+ + m

6c 2

1M = - v Y μ + A +v A

2

(1.40)

11. Cuối cùng ta có sáu squark down Di từ các trường I2Q và DI:

I+3 iI Ii* - I +2 D i D iQ = Z D D = Z D (1.41)

1

6

22 2 DD DLL LR†

D D†2 22

D DLR RR D

M 0M M

Z Z =M M 0 M

(1.42)

ˆ

ˆ

2 2 2 2 2 2T1 2 W2 21 d

D Q2 2LLW W

2 2 2 2 21 22 21 d

D D2RRW

2 *D 2 d d 1 dLR

e v - v 1+ 2c v YM = - 1+ + m

24s c 2

e v - v v YM = - 1+ + m

12c 2

1M = v Y μ - A +v A

2

(1.43)

Bây giờ ta có thể định nghĩa tất cả các trường vật lý có trong MSSM:

Photon μA

17

Gauge boson 0 ±μ μZ , W

Gluon aμg a=1…8

Gluino ag a=1…8 (spinor Majorana)

Chargino iχ i=1,2 (spinor Dirac)

Neutralino 0iχ i=1…4 (spinor Majorana)

Neutrino Iν I=1…3 (spinor Dirac)

Electron eI I=1…3 (spinor Dirac)

Quark uI, dI I=1…3 (spinor Dirac)

Sneutrino Iν I=1…3

Selectron ±iL i=1…6

Squark ± ±i iU , D i=1…6

Các hạt Higgs

tích điện

± ±1H H

vô hướng trung hòa 0 01 2H , H H, h

giả vô hướng trung hòa 0 01A A

Trong chương ba ta sẽ tính đến một số quá trình rã mà sản phẩm là các siêu

hạt. Để làm việc đó ta cần viết Lagrangian theo các trường thành phần và từ đó suy

ra Lagrangian tương tác giữa chúng. Tuy nhiên, do khi tính toán, ta chỉ dùng một số

trong số đó, cho nên, để kết thúc chương này, ta sẽ dẫn ra một số Lagrangian tương

18

tác trong chuẩn ’t Hooft-Feynman. Trong chuẩn ’t Hooft-Feynman, trường ma sẽ có

Lagrangian rất đơn giản và dễ sử lý. Tuy nhiên, trường không vật lý là trường

Goldstone lại không bị khử hoàn toàn ở cơ chế Higgs như trong chuẩn unitary. Do

khi tính bổ chính bậc cao, việc sử lý số hạng liên quan đến trường Goldstone dễ hơn

việc sử lý trường ma cho nên, ta sẽ dùng chuẩn ’t Hooft-Feynman thay cho chuẩn

unitary quen thuộc.

2 2 2

04 W 2 2

22 0 24 W 2 2

1 1 1 1W W

2 2 2

W W

1

2

aGF

Z

Z

L G Z A

m H Z im H H

m H m H H

(1.44)

trong đó, trường chuẩn của tương tác điện - yếu là:

3

3

cos sin W

sin cos

A B W

Z B W

(1.45)

Dòng thứ nhất của (1.44) là chuẩn ’t Hooft-Feynman quen thuộc trong SM,

dòng thứ hai sẽ khử những yếu tố ngoài đường chéo của điỉnh tương tác gauge-

Higgs sau khi đã vận hành cơ chế Higgs, dòng cuối cùng sẽ tạo khối cho hạt

Goldstone.

19

CHƯƠNG 2:

QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ TRONG LÝ THUYẾT

TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

2.1 Biểu diễn tương tác

Khi xây dựng các lý thuyết hiện đại để mô tả bản chất vật lý của các hiện

tượng, ta gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải các phương trình, xử lý toán học

các biểu thức… Để chuyển những khó khăn này sang các mảng khác trong trường

hợp cụ thể, ta dùng các lý thuyết biểu diễn và đỏi hỏi tất cả các lý thuyết biểu diễn

chỉ là phương pháp mà không được phép làm thay đổi một số đại lượng vật lý quan

sát đo đạc được như: trị riêng của toán tử, phần chéo hóa của yếu tố ma trận…

Có ba bức tranh diễn tả cơ học lượng tử nói riêng và lý thuyết lượng tử nói

chung mà ta quen gọi là ba biểu diễn [6]: biểu diễn Schroedinger, biểu diễn

Heisenberg và biểu diễn tương tác. Trong lý thuyết trường lượng tử, khi xét hệ gồm

các hạt tương tác thì lựa chọn thuận tiện nhất là sử dụng biểu diễn tương tác. Khi đó

ta có thể giảm bớt sự phức tạp của Hamintonian phần tương tác sang cả hàm sóng

và toán tử.

Hamintonian trong biểu diễn tương tác được chia làm 2 phần:

H=H0 + H’ (2.1)

Trong đó: H0 là phần mô tả các hạt tự do.

H’ là phần mô tả tương tác giữa các hạt.

Tương ứng với toán tử A không phụ thuộc thời gian trong biểu diễn

Schroedinger, ta định nghĩa toán tử trong biểu diễn tương tác:

ˆ ˆˆ ˆ0 0iH t -iH t

IA (t)= e Ae (2.2)

20

Từ đây ta có phương trình cho toán tử:

ˆ

ˆ ˆ

II 0

dA (t)= -i A (t),H

dt (2.3)

Trong biểu diễn Heisenberg, toán tử trường liên hợp chính tắc của (x,t) là:

ˆˆ π(x,t)= (x,t)

(2.4)

Và ta chấp nhận biểu thức giao hoán tử tại cùng thời điểm:

ˆ ˆ 3(x,t), π(y,t) = iδ (x - y) (2.5)

Với biểu thức khai triển của (x,t) và π(x,t) theo toán tử sinh hủy:

ˆ ˆ ˆ

3-ikx † ikx

3-

d k(x)= a(k)e + a (k)e

(2π) 2ω (2.6)

ˆ ˆˆ

3-ikx † ikx

3-

d kπ(x)= (-iω) a(k)e - a (k)e

(2π) 2ω (2.7)

Ở đây kx = ωt kx

và 2 2ω = k + m

.

Từ (2.5), (2.6), (2.7) ta thu được biểu thức giao hoán tử của toán tử sinh hủy:

ˆ ˆ † 3 3a(k), a (k ) = (2π) δ (k - k ) (2.8)

Tương tự, trong biểu diễn tương tác ta cũng có:

I Iˆ ˆ

3(x,t), π (y,t) = iδ (x - y) (2.9)

Tức là trong biểu diễn tương tác, các trường I (x,t) và Iπ (y,t) tuân theo biểu

thức giao hoán tử như các trường tự do. Vì vậy, các trường trong biểu diễn tương

tác tuân theo các phương trình động và các biểu thức giao hoán như của các toán tử

21

trường tự do. Do đó, biểu thức khai triển (2.6) và giao hoán tử (2.8) cũng có thể

dùng cho các toán tử trong biểu diễn tương tác.

Bây giờ ta xem xét véc tơ trạng thái trong biểu diễn tương tác. Sử dụng véc

tơ trạng thái trong biểu diễn Schroedinger ψ(t) ta định nghĩa:

ˆ

0iH t

Iψ(t) = e ψ(t) (2.10)

Từ đó ta có phương trình động cho I

ψ(t) :

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ

0

0

0

0 0

iH t0I

iH t0 0

iH t

iH t -iH t

I

d di ψ(t) = e -H ψ(t) +i ψ(t)dt dt

= e -H ψ(t) +(H + H ) ψ(t)

= e H ψ(t)

= e H e ψ(t)

(2.11)

Hay: ˆ II I

di ψ(t) = H (t) ψ(t)dt

(2.12)

Với: ˆ ˆ

Iˆ ˆ 0 0iH t -iH tH = e H e (2.13)

Là Hamiltonian tương tác trong biểu diễn tương tác.

2.2 S ma trận và khai triển Dyson

Giả sử các trạng thái đầu và trạng thái cuối của hệ tại các thời điểm t

và t lần lượt được diễn tả bởi các véc tơ trạng thái I

( ) i và

I( ) f . Và tại các thời điểm này I

ˆ 0 H . Khi đó ta định nghĩa toán tử S :

I I

ˆ ˆ( ) S ( ) S i (2.14)

22

Một phần tử nào đó của ma trận S chính là biên độ xác suất để tìm thấy hạt

với trạng thái cuối là f nào đó trong I

( ) :

fiIˆf ( ) f S i S (2.15)

Vì vậy ta có thể viết:

fiI If f

( ) f f ( ) S f (2.16)

Ta cần tính được các các phần tử Sfi của S-ma trận và từ đó có xác suất

chuyển dời 2

fiS .

Tuy nhiên, trước hết ta lưu ý một tính chất quan trọng của S . Giả sử I

( )

và i đều được chuẩn hóa, ta có:

†I I

1 ( ) ( ) i S S i i i (2.17)

Từ đó suy ra S là toán tử unitary: †ˆ ˆ ˆS S I , hay:

*kf ki fi

k

S S (2.18)

Thay i = f trong (2.18) ta có 2

kikS 1 , điều này cho thấy các hệ số trong

khai triển (2.16) tuân theo điều kiện tổng tất cả xác suất bằng 1.

Bây giờ ta sử dụng phương pháp của lý thuyết nhiễu loạn để tính S . Lấy tích

phân (2.12) với thời điểm ban đầu là t ta được:

ˆ

t

II I-ψ(t) = i - i H (t ) ψ(t ) dt (2.19)

Nghiệm của phương trình tích phân (2.19) có thể viết dưới dạng dãy số theo

ˆ IH dạng:

23

(0) (1) (2)

I I I...

Iψ(t) ψ(t) ψ(t) ψ(t) (2.20)

Với các gần đúng:

(0)

Iψ(t) = i (2.21)

ˆ

t(1)

I 1 1I -ψ(t) = (-iH (t ))dt i (2.22)

ˆ ˆ

1t t(2)

1 2 I 1 I 2I - -ψ(t) = dt dt (-iH (t ))(-iH (t )) i (2.23)

……………………………………………

Cho t ta có chuỗi nhiễu loạn của toán tử S :

ˆ ˆ ˆ ˆ

1t

I 1 1 1 2 I 1 I 2- - -

S = 1+ (-iH (t ))dt dt dt (-iH (t ))(-iH (t ))+ ... (2.24)

ˆ ˆ ˆ ˆ

1t n-1n

1 2 n I 1 I 2 I nn=0

S = (-i) dt dt ... dt H (t )H (t ) ... H (t ) (2.25)

Ta biết rằng:

Iˆ ˆ

3IH (t)= (x,t)d xH (2.26)

Vì vậy ta có thể viết lại số hạng thứ hai của (2.25):

I I 2ˆ ˆ

1 2

4 41 2 1t >t

d x d x (-i (x ))(-i (x ))H H (2.27)

Sử dụng T-tích ta có thể viết lại (2.27):

1I I 22

ˆ ˆ 4 4

1 2 1d x d x T (-i (x ))(-i (x ))H H (2.28)

Trong đó:

24

I I 2 I I 2 1 2

I 2 I 1 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

1 1T ( (x ))( (x )) (x ) (x ) khi t t

= (x ) (x ) khi t < t

H H H H

H H (2.29)

Một cách tương tự với số hạng tổng quát của (2.25) ta có khai triển Dyson

cho toán tử S :

n I I 2 I nˆ ˆ ˆ ˆ

n4 4 4

1 2 1n=0

(-i)S = ... d x d x ... d x T (x ) (x ) ... (x )

n!H H H (2.30)

2.3 Áp dụng cho quá trình phân rã C A B

Xét hệ gồm có ba loại hạt vô hướng A, B và C với khối lượng là mA, mB, mC.

Số hạng tương tác đơn giản nhất có dạng A B Cˆ ˆ ˆ g . Hamintonian của hệ có dạng:

ˆ ˆ ˆ 0H = H + H (2.31)

Với: 2 2 2 2 30 i i i i

i ,

1 ˆ ˆˆ ˆH ( ) m d x2

A B, C

(2.32)

Và 3 3A B C

ˆ ˆ ˆˆ ˆH g d d x xH (2.33)

Mỗi trường i , (i = A, B, C) có dạng (2.6), và các toán tử sinh hủy tuân theo

quy tắc giao hoán:

ˆ ˆ † 3 3

i j ija (k), a (k ) = (2π) δ (k - k )δ i, j = A, B, C (2.34)

Tương tự, ta cũng có ˆ ˆ ˆ ˆ † †

i j i ja , a = a , a = 0 .

Bây giờ, sử dụng (2.30) ta sẽ tính tốc độ phân rã cho phân rã C A B với

bậc thấp nhất của g. Ta giả sử rằng trạng thái ban đầu i có hạt C với xung lượng

bốn chiều pC, và trạng thái cuối có hai hạt gồm một hạt A và một hạt B với các xung

lượng bốn chiều lần lượt là pA và pB. Ta muốn tính yếu tố ma trận:

25

ˆfi A B CS = p , p S p (2.35)

Với bậc thấp nhất của g (Chú ý là số hạng ‘1’ trong (2.4) không đóng góp

vào đây vì các trạng thái đầu và trạng thái cuối là trực giao). Tức là ta cần tìm giá trị

của biên độ xác suất:

(1) 4fi A B C

ˆ ˆ ˆd x (x) (x) (x) A B C-ig p , p pA (2.36)

Để tiếp tục, ta cần chuẩn hóa các trạng thái ip . Ta định nghĩa:

ˆ†i i i ip = 2E a (p ) 0 (i = A, B, C) (2.37)

Với 2 2i i iE = m + p

. Sử dụng (2.34) ta được:

3 3i i i i ip p = 2E (2π) δ (p - p )

(2.38)

Đại lượng 3i i iE δ (p - p )

là bất biến Lorentz. Chú ý rằng điều kiện đủ cho các

trạng thái này là:

3

3i

i i

i

d p 1p p = 1

(2π) 2E

(2.39)

Bây giờ ta xem xét phần C Cˆ (x) p của (2.36):

ˆ ˆ 3

-ikx † ikx †C C C C C3

k

d k 1a (k)e + a (k)e 2E a (p ) 0

(2π) 2E

(2.40)

Với kk = (E , k)

và 2 2k CE = k + m

. Số hạng chứa hai ˆ†

Ca sẽ bằng không khi

kết hợp với trạng thái cuối không chứa các hạt của C. Ta sử dụng (2.34) kết hợp với

ˆCa (k) 0 = 0 để viết lại (2.40):

26

- C

3-ip x3 3 -ikx

C C3

k

d k 1(2π) δ (p k) 2E e 0 = e 0

(2π) 2E

(2.41)

Với ( 2 2C C C Cp p +m , p )

. Một cách tương tự, ta cũng có:

A Bˆ ˆ(x) (x) A BiP x iP x

A Bp , p 0 e e (2.42)

Vì vậy, biểu thức (2.36) có thể viết lại:

(1)fi A B Ci(p +p - p )x4 4 4

A B C-ig d xe = -ig(2π) δ (p + p - p )A (2.43)

Hàm δ trên chỉ khác không khi pC = pA + pB. Rõ ràng sự chuyển dời

C A B chỉ xảy ra khi mC > mA + mB (trong hệ quy chiếu mà C đứng yên, ta cần

2 2 2 2C A Bm = m + p + m + p

). Giả sử điều kiện trên thỏa mãn, ta sẽ tính toán tốc độ

phân rã C A B . Vấn đề đầu tiên là xác suất chuyển dời 2(1)

fiA xuất hiện bình

phương của hàm δ bốn chiều δ(x - a)δ(x - a)= δ(x - a)δ(0) và δ(0) tiến tới vô cùng.

Trong trường hợp này ta có bốn lần vô cùng. Đây là do ta đã dùng các nghiệm là

các sóng phẳng trong phương trình sóng. Một giải pháp cho vấn đề này là ta chấp

nhận “chuẩn hóa hình hộp”, trong đó ta hình dung không gian có thể tích hữu hạn V

và tương tác chỉ xảy ra trong khoảng thời gian T. Khi đó, “4 4(2π) δ (0)” thực ra là

“VT”. Vì vậy, tốc độ chuyển dời trong một đơn vị thể tích là:

2 2(1) 4 4

fi fi A B C fiP = A / VT = (2π) δ (p + p - p ) M (2.44)

Với (từ (2.43)) (1)fi fi

4 4A B C= (2π) δ (p + p - p )iA M (2.45)

Vì vậy, biên độ bất biến fiiM trong trường hợp này chính là –ig.

Phương trình (2.44) chính là xác suất chuyển dời trong một đơn vị thời gian

tới một trạng thái cuối cụ thể f . Tuy nhiên, trong trường hợp ta đang xét, các

27

trạng thái cuối A + B có dạng liên tục, và để có được tốc độ phân rã toàn phần ta

cần lấy tích phân fiP cho toàn miền liên tục của các trạng thái cuối thỏa mãn tính

bảo toàn năng – xung lượng. Tốc độ phân rã vi phân d được định nghĩa:

fi fdΓ = P dN , với fdN là số các trạng thái cuối cho mỗi hạt trong thể tích không

gian xung lượng 3 3A Ad p d p

. Với chuẩn (2.37) ta có:

3 3

A Bf 3 3

A B

d p d pdN =

(2π) 2E (2π) 2E

(2.46)

Cuối cùng, để thu được một đại lượng không phụ thuộc vào chuẩn, ta cần

chia cho số các hạt phân rã trong một đơn vị thể tích chính là 2EC. Vì vậy ta có công

thức cuối cùng của tốc độ phân rã:

2

fi 3 3

4 4 A BA B C 3 3

C A B

1 d p d pΓ = dΓ = (2π) δ (p + p - p )

2E (2π) 2E (2π) 2E

M (2.47)

Bây giờ ta sẽ tính tốc độ phân rã toàn phần với hệ quy chiếu C đứng yên.

Khi đó, phần xung lượng ba chiều của 4δ dẫn đến A Bp + p = 0

, hay A Bp = p = -p

,

và phần năng lượng trở thành Cδ(E - m ) với:

2 2 2 2A B A BE = m + p + m + p = E + E

(2.48)

Vì vậy ta có tốc độ phân rã toàn phần:

2 3

C2C A B

1 g d pΓ = δ(E - m )

2m (2π) 4E E

(2.49)

Lấy vi phân (2.48) ta có:

A B A B

p p p EdE = + d p = d p

E E E E

(2.50)

Nên ta có thể viết:

28

23 A BE E

d p = 4π p d p = 4π p dEE

(2.51)

Thay vào (2.49) ta được:

2

2C

pgΓ =

8π m

(2.52)

Đại lượng p

được xác định từ (2.48) với E = mC:

1/ 24 4 4 2 2 2 2 2 2

A B C A B B C C A Cp m + m + m - 2m m - 2m m - 2m m / 2m

(2.53)

Nếu đặt Cg = gm ta có:

2g

Γ = p8π

(2.54)

Với g không thứ nguyên. Phương trình (2.54) cho thấy tỉ lệ với năng

lượng giải phóng của phân rã được xác định bởi p

. Nếu mC = mA + mB thì p

= 0

và do đó =0. Nếu mA và mB không đáng kể so với mC, thì ta có:

2

C

gΓ = m

16π

(2.55)

Phương trình (2.55) cho thấy kể cả khi 2g / 16π (chẳng hạn như ~1/137) là

nhỏ thì vẫn có thể lớn nếu như mC là lớn, ví dụ như quá trình - -eW e +ν .

29

CHƯƠNG 3:

TỐC ĐỘ PHÂN RÃ SIÊU HẠT

Bây giờ, ta sẽ áp dụng các kết quả ở chương 1 và 2 để tính toán tốc độ phân

rã của siêu hạt photino thành quark và squark trong một vài sơ đồ cây.

3.1 Sự phân rã của gluino Lg uu

u m1,k1,s1,c1

g

m3,k3,s3,c3 m2,k2,c2

Lu

Hình 3.1 Giản đồ bậc thấp nhất cho phân rã Lg uu

Trước hết ta xem xét phân rã của g có khối lượng 3 gm ( m ) , xung lượng

bốn thành phần k3, spin s3 và chỉ số màu c3, tạo thành một quark u có khối lượng m1

(=mu), xung lượng bốn thành phần k1, spin s1, chỉ số màu c1 và một phản squark Lu

có khối lượng L

2 um ( m ) , xung lượng bốn thành phần k2 và chỉ số màu c2. Ta giả

sử sự phân rã này được cho phép về mặt động học. Sự pha trộn của squark có thể bỏ

qua cho trạng thái cuối của thế hệ thứ nhất này, ta sẽ tính đến nó cho quá trình

g t t .

Các trường gluino, quark và squark lần lượt được kí hiệu bởi các spinor trái

ug, và trường phức vô hướng Lu . Lagrangian tương tác cụ thể là:

30

a† † as u β Lβ

1- 2g g χ (λ )u

2 (3.1)

Với a = 1...8 là các chỉ số màu, α,β = 1...3 . Ta chú ý là cường độ tương tác

được xác định bởi hằng số tương tác gs trong QCD. Đầu tiên ta biến đổi (3.1) thành

dạng spinor Dirac bốn thành phần ( ) cho trường quark và Majorana M( ) cho

gluino (sử dụng các công thức trong phụ lục A). Ta có:

u

u

χa† † † a† gau u M R M

†χ gaL M 0 M

† gaL u 0 M

gau R M

g χ = χ g =Ψ P Ψ

= P Ψ γ Ψ

= P Ψ γ Ψ

=Ψ P Ψ

(3.2)

Để tính cả khả năng tham số khối lượng M3 của gluino là âm, ta thay gM bởi

g g5 M(i )

. Khi đó, (3.2) trở thành:

gθ ga

u R M(i) Ψ P Ψ (3.3)

Sử dụng R 5 RP γ = P . Sự chính xác hóa này chỉ thích hợp khi ta tính đến sự pha

trộn của squark.

Với bậc thấp nhất của gs, biên độ phân rã là:

gθ 4 ga a

s 1 1 1 L 2 2 u R M β Lβ 3 3 3

1-i 2g (i) u, k , s , c ; u , k , c d xΨ (x)P Ψ (x) λ u (x) g, k , s , c

2

(3.4)

Phần tử của ma trận có thể được xác định bằng cách rút gọn các trạng thái

đầu và trạng thái cuối của các hạt. Sử dụng tính chất phản giao hoán của toán tử

sinh hủy fermion:

31

1 2 1 2

1 2 1 2

† 3 3λ 1 λ 2 1 2 λ λ

† †λ 1 λ 2 λ 1 λ 2

c (k ),c (k ) = (2π) δ (k - k )δ

c (k ),c (k ) = c (k ),c (k ) = 0 (3.5)

Ta có:

1 1 1

3† * ik x

1 1 1 uα u,s ,c 1 k u,s ,c α3s ck

* -ik xu,s ,c α

d ku, k , s , c Ψ (x)= 0 c (k ) 2E [c (k )u(k ,s )ω (c )e

(2π) 2E

+ d (k )v(k ,s )ω (c )e ]

1 1 1

3† * ik x

k u,s ,c 1 u,s ,c α3s ck

d k= 0 2E c (k )c (k )u(k ,s )ω (c )e

(2π) 2E

1 1 1 1 1

33 3 † * ik x

k 1 s s c c u,s ,c u,s ,c 1 α3s ck

d k= 0 2E (2π) δ (k - k )δ δ - c (k )c (k ) u(k ,s )ω (c )e

(2π) 2E

1

33 * ik x

k 1 α

k

d k0 2E δ (k - k )u(k ,s )ω (c )e

2E

1ik x*1 1 α 1= 0 u(k ,s )ω (c )e (3.6)

Ở đây ta sử dụng 0 †

u,s ,c0 c (k ) , số hạng chứa 1 1u,s ,c 1 u,s ,cc (k )d (k ) sẽ bằng

không khi kết hợp với trạng thái đầu không chứa các hạt u. Còn ω(c) là hàm sóng

màu ba thành phần cho một tam tuyến màu với chỉ số màu là ‘c’.

Tương tự ta có:

3-ik xgaR M 3 3 3 R 3 3 a 3P Ψ (x) g, k , s , c P u(k ,s )Ω (c )e (3.7)

2ik xa aL 2 2 β Lβ 2

1 1u , k , c λ u (x) λ ω(c )e

2 2 (3.8)

32

a 3Ω (c ) (a = 1,2,...,8) là hàm sóng màu cho gluino

Khi đó, (3.4) được rút gọn thành:

40 d x 0g 31 2

θ -ik xik x ik x* as 1 1 α 1 2 R 3 3 a 3

1-i 2g (i) u(k ,s )ω (c )e λ ω(c )e P u(k ,s )Ω (c )e

2

2 340 d x 0

g 1

θ i(k +k -k )x* as 1 1 R 3 3 a 3 α 1 2

1-i 2g (i) u(k ,s )P u(k ,s )Ω (c ) ω (c ) λ ω(c ) e

2

gθ † a 4 4s 1 1 R 3 3 a 3 1 2 1 2 3

1= -i 2g (i) u(k ,s )P u(k ,s )Ω (c ) ω (c ) λ ω(c ) (2π) δ (k + k - k )

2

4 41 2 3(2π) δ (k + k - k )iM (3.9)

Với

gθ † as 1 1 R 3 3 a 3 1 2

12g (i) u(k ,s )P u(k ,s )Ω (c ) ω (c ) λ ω(c )

2M (3.10)

Là biên độ bất biến cho quá trình trên.

Tốc độ phân rã được cho bởi:

1 2

3 324 4 1 2

1 2 3 3 33 k k

1 d k d kΓ = (2π) δ (k + k - k )

2E (2π) 2E (2π) 2E

M (3.11)

Với 2

M là kết quả của việc lấy tổng trung bình theo chỉ số spin và màu của

trạng thái đầu và trạng thái cuối:

1 2 3 1 3

2

c ,c ,c s ,s

1 1

8 2

2M M (3.12)

Thừa số màu được xác định trong phần phụ lục B, và bằng 1/2. Phần spinor

là:

33

I 1 3

* * *1 1 R 3 3 1 1 R 3 3

s ,s

1u(k ,s )P u(k ,s )u (k ,s )P u (k ,s )

2

T0 0 0

1 3

*5 51 1 3 3 1 1 3 3

s ,s

1+ γ 1+ γ1u(k ,s ) u(k ,s )u (k ,s ) u (k ,s )

2 2 2

T T

1 3

5 51 1 3 3 1 1 3 3

s ,s

1+ γ 1- γ1u(k ,s ) u(k ,s )u (k ,s ) u (k ,s )

2 2 2

1 3

5 51 1 3 3 3 3 1 1

s ,s

1+ γ 1- γ1u(k ,s ) u(k ,s )u(k ,s ) u(k ,s )

2 2 2

1 3

5 53 3 3 3 1 1 1 1

s ,s

1+ γ 1- γ1Tr u(k ,s )u(k ,s ) u(k ,s )u(k ,s )

2 2 2

Sử dụng các hệ thức lấy tổng theo spin như trong phần phụ lục B, ta được:

I

5 53 3 1 1

1+ γ 1- γ1Tr k + m k + m

2 2 2

5 53 1

1+ γ 1- γ1= Tr k k

2 2 2

53 1

1+ γ1= Tr k k

2 2

2 2 2

3 1 3 1 3 1 2

1 1= Tr k k = k k = (m + m - m )

4 2 (3.13)

Vậy ta có:

2

s

s

2 2 22 2 222 3 1 23 1 2g m + m - mm + m - m

2g =4 2

M (3.14)

Cuối cùng, ta tính tích phân trong không gian pha:

34

I 1 2

3 34 4 1 2

1 2 3 3 33 k k

1 d k d k(2π) δ (k + k - k )

2E (2π) 2E (2π) 2E

(3.15)

Xét hệ quy chiếu hạt thứ 3 đứng yên, khi đó 1 2k + k = 0

, hay 1 2k = k = -k

, do

đó:

1 2 3 3δ k + k - k = δ E - m (3.16)

Với: 1 2k k

2 2 2 21 1 2 2E = m + k + m + k = E + E

(3.17)

Vì vậy, ta có:

3

I 1 2

3

32k k

1 d kδ E - m

E E8m 2π

(3.18)

Mặt khác, từ (3.17) ta lại có:

1 2 1 2k k k k

k k E kdE = + d k = d k

E E E E

(3.19)

Nên ta có thể viết:

1 22 k k3

E Ed k = 4π k d k = 4π k dE

E

(3.20)

Thay (3.20) vào (3.18) ta được:

3 1 2 32 233

1 dE 1I = 4π k δ E - m = k m ,m ,m

E 8πm8m 2π

(3.21)

Với k là độ lớn của xung lượng ba thành phần của trạng thái cuối của các hạt

1, 2 trong hệ quy chiếu hạt 3 đứng yên:

4 4 4 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 3k(m ,m ,m )= [m + m + m - 2m m - 2m m - 2m m ] / 2m (3.22)

35

Trong trường hợp này, 1 um = m , L

2 um = m và 3 gm = m . Vì vậy ta có:

L

L

22us u

L u gu2 2g g

mα mΓ g uu = 1+ - k m ,m ,m

4 m m

(3.23)

Với: 2s

s

gα =

4π (3.24)

Để minh họa, nếu ta lấy sk 100 GeV, α 0.1 thì Γ ~ GeV và khi đó thời

gian sống tương ứng ~ 10-25s.

3.2 Sự phân rã 1g tt

Bây giờ ta xét phân rã 1g tt . Ta biết là các trường 1,2t với trạng thái riêng

khối lượng tương ứng được cho bởi các trường không pha trộn R,Lt :

1 Lt t

t t2 R

t tcosθ -sinθ=

sinθ cosθt t

(3.25)

Vì vậy ta cần tính biên độ cho cả hai quá trình:

Lg tt (3.26)

Rg tt (3.27)

Tương tác ứng với giản đồ (3.26) thu được bằng cách thay ‘u’ bởi ‘t’ trong

(3.1):

t gθa† † a ga as β Lβ s tα R M αβ Lβ

1 1- 2g g χ (λ )t - 2g (i) Ψ P Ψ (λ ) t

2 2 (3.28)

Và thành phần ứng với sự sinh ra 1t là:

36

gθ ga as tα R M αβ t 1β

1- 2g (i) Ψ P Ψ (λ ) cosθ t

2 (3.29)

Với (3.27) ta chú ý rằng trường †Rt tạo thành siêu đồng hành vô hướng của

quark đơn tuyến tương tác yếu và phá vỡ siêu đồng hành vô hướng của phản quark

đơn tuyến tương tác yếu. Vì vậy, theo kí hiệu ở 1.1, †Rt và t tạo thành một đa

tuyến chiral, thuộc về biểu diễn 3 của nhóm SU(3)C. Phân rã (3.27) tương ứng với:

a* as Rα αβ tβ

1- 2g t (-λ ) χ g

2 (3.30)

Chuyển về dạng spinor bốn thành phần, ta có:

t aχ gatβ Mβ L Mχ g =Ψ PΨ (3.31)

Ta lại có:

*t 2 tχ = -iσ ψ (3.32)

Vì vậy:

t t

*2 t 2 2 t tχ ψ

M M*t 2 t

iσ χ = iσ (-iσ )ψ = ψΨ = =Ψ

χ = -iσ ψ (3.33)

Sử dụng:

ttψ

M c *t 2 t

ψΨ =

ψ = -iσ ψ (3.34)

t tψ χt R M L MΨ = P Ψ + P Ψ (3.35)

Ta được:

tt tχ ψ † †

N L R M 0 R t 0 LΨ P = (P Ψ ) γ = (P Ψ ) γ =Ψ P (3.36)

37

Tương tác (3.30) có thể viết được thành:

gθa* gas Rα αβ tβ L M

1- 2g t (-λ ) -i Ψ P Ψ

2 (3.37)

Ở đây ta đã tính đến cả trường hợp M3 âm và sử dụng L 5 LP γ = -P . Thành

phần tạo thành một t là:

t gθa* gas 1α αβ tβ L M

1- 2g -sin t (-λ ) -i Ψ P Ψ

2 (3.38)

Phần tử ma trận của (3.38) có thể được xác định tương tự như (3.4) (3.9) .

Phần có chứa màu tích là:

a* *α 2 β 1αβ

ω (c ) -λ ω c (3.39)

Với c1, c2 để chỉ màu tích của quark và phản quark. Ta có thể viết lại (3.39)

như sau:

* a† † aβ 1 α 2 1 2βα

ω c -λ ω (c )= -ω (c )λ ω c (3.40)

Ở đây ta đã dùng tính hermitic của ma trận . Ta thấy biểu thức trên giống

như phần thừa số màu của biểu thức (3.9) với khác biệt là một dấu ‘-’.

Từ đó ta thấy, biên độ phân rã 1g tt có dạng tương tự như phần bên trái

của (3.9), cùng với việc thay thế:

g g gθ θ θ

1 1 R 3 3 1 1 R t L t 3 3u(k ,s ) i P u k ,s u(k ,s ) i P cosθ + -i P sinθ u(k ,s )

1 1 5 3 3u(k ,s ) A+ Bγ u k ,s (3.41)

Với

38

g g

g g

θ θ

t t

θ θ

t t

1 1A= i cosθ + -i sinθ

2 2

1 1B = i cosθ - -i sinθ

2 2

(3.42)

Vì vậy, biểu thức cộng theo chỉ số spin sẽ là:

1 3

** *

s ,s

1

2 1 1 5 3 3 1 1 5 3 3u(k ,s ) A+ Bγ u k ,s u (k ,s ) A+ Bγ u k ,s

1 3

T * * *0 0 0

s ,s

1

2 1 1 5 3 3 1 1 5 3 3u(k ,s ) A+ Bγ u k ,s u (k ,s ) A + B γ u k ,s

1 3

T * * T

s ,s

1

2 1 1 5 3 3 1 1 5 3 3u(k ,s ) A+ Bγ u k ,s u (k ,s ) A - B γ u k ,s

1 3

* *

s ,s

1

2 5 3 3 3 3 5 1 1 1 1Tr A+ Bγ u k ,s u k ,s A - B γ u(k ,s )u(k ,s )

* *

5 3 3 5 1 1

1= Tr (A+ Bγ ) k + m (A - B γ )(k + m )

2

2 2 2 22 2 23 1 2 1 3= A + B m +m - m + A - B 2m m (3.43)

Và

g2 2 2 2 θ

t

1 1A + B = , A - B = -1 sin2θ

2 2 (3.44)

Do đó, 1Γ g tt có dạng (3.23) với việc thay thế:

1t

gL

222 2θuu t t

t2 2 2 2g g g g g

mmm m m1+ - 1+ - 2 -1 sin2θ

m m m m m

(3.45)

Hay:

39

1

1

t

t t

g

22

θs t t1 t g2 2

g g g

mα m mΓ g tt 1+ - 2 -1 sin2θ k(m ,m ,m )

4 m m m

(3.46)

Tất nhiên có nhiều kiểu phân rã thành hai hạt như các quá trình trên: các

kênh này có thể được lặp lại cho tất cả các hương quark khác.

40

KẾT LUẬN

Thông qua kết quả của chương 3 ta có thể rút ra những kết luận sau đây:

Các công thức (3.23) và (3.46) cho tốc độ phân rã gluino thành quark và phản

squark là hợp lý vì chúng trùng với công thức cho tốc độ phân rã gluino thành hai

hạt được cho trong [21].

Tốc độ phân rã của gluino ở thang năng lượng của máy gia tốc LEP

( 100k GeV ) tương ứng với thời gian sống của nó cỡ 2510 s . Nếu tính đến những

kênh phân rã khác thời gian sống của gluino sẽ lớn hơn và khả năng phát hiện ra nó

sẽ lớn hơn.

Do tốc độ phân rã của gluino phụ thuộc vào hiệu của bình phương khối

lượng squark và phản squark. Từ kết quả tính số cho các phản ứng đó, ta sẽ có

thông tin về mức độ phá vỡ siêu đối xứng.

41

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Phạm Thúc Tuyền (2007), Lý thuyết hạt cơ bản, NXB Đại học Quốc gia

Hà Nội.

2. Nguyễn Xuân Hãn (1996), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB Đại học

Quốc gia Hà Nội.

3. Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng (2004), Vật lý

thống kê,NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

4. Hà Huy Bằng (2006), Các bài giảng về Siêu đối xứng, NXB Đại học Quốc

gia Hà Nội.

5. Phạm Thúc Tuyền (2005), Nhập môn siêu đối xứng, bài giảng cho SV bộ

môn VLLT, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, 2005.

6. Phạm Thúc Tuyền (2011), Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG HN.

Tiếng Anh

7. Bilal, A. (2001), “Introduction to Supersymmetry”, arXiv:hep-

th/0101055v1 10 Jan 2001.

8. Wess, J. and Bagger, J. (1992), Supersymmetry anh Supergravity,

Princeton series in Physics.

9. Weinberg, S. (2000), The quantum theory of fields – volume III –

Supersymmetry, Cambridge universiry press.

10. Peskin, M. and Schroeder, D. (1995), An introduction to Quantum field

theory, Perseus Books Publishing 1995.

11. Aitchison, I. J. R. and Hey, A. J. G. (2004), Gauge theories in Particle

42

Physics, Vol. I, IOP Pubishing Ltd 2004.

12. Aitchison, I. J. R. and Hey, A. J. G. (2004), Gauge theories in Particle

Physics, Vol. II, IOP Pubishing Ltd 2004.

13. Aitchison, I. J. R. (2007), Supersymmtry in Particle Physics an

elementary introduction, Cambridge university press.

14. Haber, H.E. and Kane, G.L. (1985), Phys. Rep. 117, pp 75.

15. Nilles, H.P. (1984), Phys. Rep. 110, pp 1.

16. Rosiek, J. (1990), Phys. Rev. D41, pp 3464.

17. Salam, A. and Strathdee, J. (1974), Nucl. Phys. B76, pp 477 - 131.

18. Fayet, P. (1975), Nuclear Phys. B90, pp 104;

Fayet, P. (1976), Phys. Lett. B64, pp 159;

Fayet, P. (1977), Phys. Lett. B69, pp 489;

Fayet, P. (1979), Phys. Lett. B84, pp 416.

19. Inoue, K., Komatsu, A. and Takeshita, S. (1982), Prog. Theor. Phy, 68,

pp 927;

Inoue, K., Komatsu, A. and Takeshita, S. (1983), Prog. Theor. Phys,

70, pp 330.

20. Fayet, P. and Ferrara, S. (1977), “For reviews on the MSSM”, Phys. Rep,

32, pp 249;

Nilles, H.P. (1984), Phys. Rep. 110, pp 1;

Barbieri, R. (1988), Riv. Nuovo Cim. 11N4, pp 1;

Arnowitt, R. and Nath, P. (1993), Report CTP-TAMU-52-93;

43

Bagger, J. (1995), Lectures at TASI-95.hep-ph/9604232;

Djouadi,A. (2008), Physics Reports, 459, pp 1–241.

21. Baer, H. and Tata, X. (2006), Weak Scale Supersymmetry, Cambridge

University Press.

44

PHỤ LỤC

A. Các quy tắc và kí hiệu của spinor

μνg = diag 1,-1,-1,-1 (A1)

Các ma trận Pauli:

μ μσ = 1,σ , σ = 1,-σ (A2)

Các ma trận trong biểu diễn chiral:

μ

μμ

0 σγ =

σ 0 (A3)

0 1 2 35

-1 0γ = iγ γ γ γ =

0 1 (A4)

Các toán tử chiếu:

L 5 R 5

1 1P = 1- γ , P = 1+ γ

2 2 (A5)

Vì vậy ta có thể kí hiệu: L,R L,Rψ = P ψ với:

a L

aR

ξ ψψ = =

ψη (A6)

Trong đó ψ là spinor Dirac và aξ và aη là các spinor Weyl hai thành phần

loại một và loại hai.

Spinor Majorana:

La

M 2 *aL

ψξψ = =

iσ ψξ (A7)

45

Ta định nghĩa spinor liên hợp Dirac và spinor liên hợp điện tích:

† 0 c Tψ = ψ γ , ψ = Cψ (A8)

Trong đó 2 0C = -iγ γ .

Ta định nghĩa tensor phản xứng αβ βαε = -ε :

αβ 2αβ

0 1ε = -ε = iσ =

-1 0 (A9)

Các quy tắc chuyển từ spinor hai thành phần sang spinor bốn thành phần:

R 2 1

1

1 L 2 1 2

1 2

μ μ1 L 2 1 2

μ μ1 R 2 2

ψ P ψ = η ξ

ψ P ψ = η ξ

ψ γ P ψ = ξ σ ξ

ψ γ P ψ = -η σ η

(A10)

B. Các Quy tắc lấy tổng

i) Quy tắc lấy tổng theo chỉ số màu

Hàm sóng màu ω(c) được biểu diễn bởi các véc tơ cột ba thành phần, ta có

thể chọn:

1 0 0

ω(r)= 0 ω(b)= 1 ω(g)= 0

0 0 1

(B1)

Quy tắc lấy tổng theo chỉ số màu:

†s l sl

c

ω (c)ω (c)= δ (B2)

46

ii) Quy tắc lấy tổng theo spin

Ừng với các trạng thái đi vào (đi ra) của các fermion ta kí kiệu là

u p u p cho hạt và v p v p cho phản hạt. Ta có:

s

u s, p u s, p = p + M (B3)

s

v s, p v s, p = p - M (B4)