ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

---------------------

Nguyễn Thị Yến

QUÁ TRÌNH TÁN XẠ SIÊU HẠT

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã số: 60.44.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. PHẠM THÚC TUYỀN

Hà Nội-2011

1

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin gửi lời biết ơn chân thành tới Thầy giáo, TS. Phạm Thúc

Tuyền người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình và giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và

hoàn thành Bản luận văn thạc sĩ khoa học này.

Em cũng gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong Khoa vật lý, tới tất cả các Thầy

Cô, Tập thể cán bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết , đã hết lòng dạy dỗ trang bị cho em

những kiến thức và tạo điều kiện cho em trong quá trình học tập và thời gian hoàn

thành luận văn.

Cuối cùng, em muốn gửi lời cảm ơn tới tất cả người thân, bạn bè. Sự quan tâm

của mọi người đã giúp em có thêm quyết tâm để em hoàn thành luận văn một cách tốt

nhất.

Hà Nội, 15 tháng 12 năm 2011

Học viên

Nguyễn Thị Yến

2

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ............................................................................................................................. 4

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT TRƯỜNG SIÊU ĐỐI XỨNG ......................................... 6

1.1.Siêu đối xứng. ........................................................................................................... 6

1.2. Siêu không gian và siêu trường ............................................................................ 8

1.2.1.Siêu không gian................................................................................................... 8

1.2.2. Siêu trường ......................................................................................................... 9

1.2.3.Siêu trường vô hướng thuận tay (siêu trường chiral) ..................................... 11

1.2.4. Siêu trường vectơ ............................................................................................. 15

1.3. Lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng .............................................................. 17

1.3.1. Lý thuyết trường chuẩn Abel .......................................................................... 17

1.3.2. Lý thuyết trường chuẩn non-Abel................................................................... 20

1.3.3. Vi phạm siêu đối xứng .................................................................................... 22

1.3.4. Trường vật lý của MSSM ................................................................................ 24

CHƯƠNG 2: MA TRẬN VÀ TIẾT DIỆN TÁN XẠ .................................................. 27

2.1. Ma trận tán xạ và tiết diện tán xạ trong cơ học lượng tử. ............................. 27

2.1.1. Khái niệm ma trận tán xạ S. ............................................................................ 27

2.1.2. Ý nghĩa vật lí của ma trận tán xạ S ................................................................. 29

2.1..3. Khái niệm tiết diện tán xạ. ............................................................................. 31

2.1.4.Các biến Mandelstam. ...................................................................................... 31

2.1.5.Biểu thức tiết diện tán xạ vi phân. ................................................................... 34

2.2.Ma trận tán xạ và tiết diện tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử. ............. 39

3

2.2.1. S- ma trận và khai triển Dyson. ...................................................................... 39

2.2.2 Tiết diện tán xạ.................................................................................................. 48

CHƯƠNG 3: QUÁ TRÌNH TÁN XẠ e e ................................................. 52

3.1. Yếu tố ma trận....................................................................................................... 52

3.2. Tiết diện tán xạ vi phân ....................................................................................... 59

KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 63

4

MỞ ĐẦU

Siêu đối xứng có một tiên đoán rất kịch tính, đó là, mỗi hạt chất và trường đã

biết đều có siêu hạt đồng hành với spin sai khác 1/2 đơn vị [1]. Như vậy, mỗi lepton

có siêu đồng hành gọi là slepton, mỗi quark có siêu đồng hành là squark. Squark và

slepton là boson vô hướng. Mỗi hạt gauge truyền tương tác sẽ có siêu đồng hành là

gaugino: photon truyền tương tác điện tử có photino, hạt Yang-Mills truyền tương tác

yếu sẽ có Yang-Millsino, hạt gluon truyền tương tác mạnh sẽ có gluino. Các gaugino là

fermion Majorana.

Tiên đoán trên đây được coi là kịch tính vì cho đến nay, sau 40 năm tìm kiếm,

chúng ta chưa tìm được bất cứ siêu hạt đồng hành nào. Nếu tìm thấy, siêu đối xứng sẽ

là đối xứng thực sự của tự nhiên, nếu không tìm thấy, siêu đối xứng sẽ chỉ là một giả

định, chưa có gì đảm bảo là đúng.

Khi siêu đối xứng là đúng, thay cho một spinơ diễn tả hạt chất nào đó, ta có một

“siêu đa tuyến”, bao gồm cả trạng thái fermion (spinơ) lẫn trạng thái boson (vô hướng).

Thay cho một vectơ diễn tả trường một tương tác nào đó, ta có một “siêu đa tuyến”,

bao gồm cả trạng thái boson (vectơ) lẫn trạng thái fermion (spinơ Majorana) [2]-[3].

Khi đó, quá trình tán xạ giữa hai hạt trở nên rất phức tạp do sự tham gia của quá nhiều

hạt. Chính vì chưa tính được sự đóng góp của tất cả các hạt và hạt đồng hành, cho nên,

ta chưa thể tìm được vùng năng lượng có thể tìm thấy siêu hạt.

Nhiệm vụ được đặt ra cho tác giả luận văn thạc sỹ này là nghiên cứu một trong

số những quá trình tán xạ khi tính đến siêu đối xứng. Để tính đến sự đóng góp của tất

cả các hạt ta phải dùng đến các phần mềm chuyên dụng như FormCalc, FeynArts.

Trong luận văn này do tác giả chỉ tính bằng tay, cho nên cũng chỉ giới hạn ở một quá

trình cụ thể.

Luận văn được phân chia làm ba chương. Chương 1 đề cập đến những khái

niệm cơ bản về siêu đối xứng, viết tắt là SUSY, từ đó suy ra Lagrangian tương tác giữa

5

hạt với hạt, hạt với siêu hạt đồng hành và siêu hạt đồng hành với nhau. Chương 2 tóm

tắt các đặc trưng của bài toán tán xạ, các công thức cần thiết cho tính toán. Chương 3 là

tính một quá trình tán xạ phi đàn tính e e .

Các kết luận được tách riêng thành mục cuối cùng.

Việc lựa chọn quá trình tán xạ có sinh ra siêu hạt từ sự hủy cặp e e là có chủ ý.

Hiện nay mặc dù đã có máy va chạm hadron lớn (LHC), nhưng những số liệu thu được

từ các máy gia tốc lepton (LEP) vẫn rất phong phú và có vai trò quan trọng trong việc

tìm kiếm và kiểm chứng những lết luận của SUSY. Thêm nữa, các máy gia tốc cũng

đạt đến thang năng lượng không nhỏ (cỡ 1 TeV ), vì vậy, mọi tính toán lý thuyết đều có

thể kiểm tra được ở các trung tâm này.

6

CHƯƠNG 1

LÝ THUYẾT TRƯỜNG SIÊU ĐỐI XỨNG

1.1.Siêu đối xứng.

Siêu đối xứng (SUSY) là đối xứng giữa fermion và boson [1]-[4]. Các phép biến

đổi siêu đối xứng được sinh bởi các toán tử spinơ Q, Q , biến trường fermion thành

trường boson và ngược lại.

| | ;Q Boson Fermion | | .Q Fermion Boson

Do trường boson và trường fermion có thứ nguyên khác nhau 1/2, cho nên, thứ nguyên

Q phải bằng 1/2. Toán tử , Q Q được gọi là vi tử sinh lẻ. Chúng cùng với vi tử sinh

của nhóm Lorentz, được gọi là vi tử sinh chẵn, lập thành một đại số, trong đó, ngoài

đại số của nhóm Poincaré, ta còn có:

, , 0

1,

2

1,

2

, 2

, , 0

Q P Q P

Q J Q

Q J Q

Q Q P

Q Q Q Q

(1.1a)

Với:

7

1, , 1, ,

1 1,

4 4

(1.1a)

Trong đại số này phép toán giữa các vi tử sinh chẵn (hai toán tử boson B ) hoặc một

chẵn một lẻ (một toán tử boson B và một toán tử fermion F ) là giao hoán tử, phép

toán cho hai vi tử sinh lẻ (hai toán tử fermion F ) là phản giao hoán tử. Kết quả của các

phép toán đó là:

, , , , ,B B B F F B B F F

(1.2)

Dĩ nhiên, đồng nhất thức Jacobi cũng được tổng quát hóa tương thích với quy tắc (1.2):

1 2 3 2 3 1 3 1 2

1 2 2 1 1 2

, , , , , , 0

, , , , , , 0

B B B B B B B B B

B B F B F B F B B

(1.3)

1 2 1 2 2 1

1 2 2 2 3 1 3 1 2

, , , , , , 0

, , , , , , 0

B F F F F B F B F

F F F F F F F F F

Đại số trong đó có cả hai phép toán, giao hoán tử và phản giao hoán tử, thỏa mãn đồng

nhất thưc Jacobi tổng quát như trên được gọi là đại số Lie phân bậc hay siêu đại số Lie.

Mục đích của các lý thuyết siêu đối xứng là đưa ra một mô tả thống nhất cho fermion

và boson, tức là, cho cả trường chất lẫn trường truyền tương tác.

Điểm nổi bật của siêu đối xứng là kết hợp các boson và fermion vào trong cùng

những đa tuyến tối giản hữa hạn. Siêu đối xứng làm phong phú thêm cho vật lý hạt cơ

bản; ngay cả một mô hình siêu đối xứng đơn giản nhất cũng có rất nhiều những hệ quả

lý thú, đặc biệt, chúng hạn chế được rất nhiều loại giản đồ phân kỳ trong lý thuyết

nhiễu loạn.

Siêu đối xứng là đối xứng duy nhất đã biết có thể liên hệ các hạt có spin khác

nhau là boson và fermion, và có ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực phát triển của

8

vật lý lý thuyết ở giai đoạn hiện nay, chẳng hạn như lý thuyết dây. Ngoài ra có nhiều

nguyên nhân về mặt hiện tượng luận làm cho SUSY trở nên hấp dẫn. Một là, nó hứa

hẹn giải quyết vấn đề phân bậc tương tác (hierachy) tồn tại trong mô hình tiêu chuẩn.

Hai là, trong SUSY hạt Higgs có thể xuất hiện một cách tự nhiên như hạt vô hướng cơ

bản và nhẹ.

Để diễn đạt SUSY thuận tiện nhất, ta dùng phương tiện là siêu không gian và

siêu trường.

1.2. Siêu không gian và siêu trường

1.2.1.Siêu không gian.

Vi tử sinh spinơ của nhóm siêu đối xứng không thể biểu diễn được chỉ bằng

toán tử vi phân theo tọa độ không thời-gian thông thường. Để khắc phục điều này,

người ta đã mở rộng không-thời gian bằng cách đưa vào tọa độ spinơ phản giao hoán

, bên cạnh tọa độ vectơ giao hoán x [5]. Không gian mở rộng được gọi là siêu

không gian, tọa độ phản giao hoán được gọi là tọa độ lẻ, tọa độ giao hoán được gọi là

tọa độ chẵn. Do tọa độ lẻ chỉ là công cụ, chúng không thể có mặt trong biểu thức cuối

cùng của Lagrangian, cho nên, bước tính toán cuối cùng là tích phân theo tất cả tọa độ

lẻ. Tích phân theo tọa độ lẻ được tính như đạo hàm theo tọa độ đó.

Nếu dùng hình thức luận spinơ bốn thành phần tọa độ lẻ là spinơ Majorana ,

còn nếu dùng hình thức luận spinơ hai thành phần tọa độ lẻ sẽ là cặp hai spinơ Weyl

( , ), trong đó, là spinơ Weyl loại một hay tay chiêu, là spinơ Weyl loại hai, hay

tay đăm [6]. Chỉ số của là không có chấm, , chỉ số của * là có

chấm. Các ma trận Pauli bốn chiều sẽ có một chỉ số có chấm một chỉ số không có

chấm. Tensơ Ricci sẽ có hai chỉ số không chấm hoặc hai chỉ số có chấm. Trong luận

văn này, ta sử dụng hình thức luận spinơ hai thành phần (xem phụ lục A).

9

Do tính phản giao hoán của tọa độ spinơ:

, , , 0

(1.4)

Từ đó suy ra, bình phương của các biến tọa độ lẻ bằng không, tức là biến lũy linh. Biến

lũy linh còn được gọi là biến Grassmann. Biến tọa độ lẻ phải có thứ nguyên bằng

1 / 2 .

Khi đó, vi tử sinh , Q Q của siêu đối xứng sẽ được biểu diễn bằng toán tử vi

phân theo các tọa độ như sau:

Q i ix

Q i ix

(1.5)

Phép biến đổi siêu đối xứng và đạo hàm không giao hoán nhau, nghĩa là, hàm

trường và đạo hàm của nó không biến đổi như nhau. Để có được đạo hàm giao hoán

với vi tử sinh phản giao hoán, ta đưa vào đạo hàm hiệp biến sau đây:

D i ix

D i ix

(1.6)

Đạo hàm hiệp biến có thứ nguyên 1/2.

1.2.2. Siêu trường

Siêu trường là một hàm trường trên siêu không gian. Chúng có thể là vô hướng,

vectơ hay spinơ. Do tính lũy linh, khai triển của siêu trường theo lũy thừa của tọa độ lẻ

sẽ hữu hạn. Ví dụ, khai triển siêu trường vô hướng ( , , )x theo lũy thừa của và

sẽ có dạng:

10

( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ).

x A x x x M x N x

V x x x F x

(1.7)

trong đó, hệ số lũy thừa khác nhau của sẽ được gọi là trường thành phần. Tập hợp

các trường thành phần được gọi là một siêu đa tuyến. Siêu đa tuyến tương ứng với siêu

trường (1.7) sẽ gồm:

- 8 trạng thái boson, diễn tả bằng 4 trường vô hướng phức:

, , , A x M x N x F x

- 16 trạng thái fermion diễn tả bằng 4 trường spinơ Weyl:

( ), ( ), ( ), ( )x x x x

- 8 trạng thái boson diễn tả bằng 1 trường vectơ phức:

( )V x

Siêu trường thỏa mãn những tính chất cơ bản sau đây:

- Tổ hợp tuyến tính của các siêu trường cũng là siêu trường .

-Tích các siêu trường cũng là siêu trường.

Từ quy tắc biến đổi của siêu trường ta suy ra quy tắc biến đổi của trường thành

phần. Quy tắc biến đổi cho các siêu trường được định nghĩa:

( , , ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

m

x A x x x

M x N x V x

x x F x

Q Q

(1.8)

Trong đó, là tham số biến đổi. Tham số biến đổi cũng phải là spinơ và có thứ

nguyên 1 / 2 . Bằng cách so sánh lũy thừa theo ở cả hai vế, và với vi tử sinh được

cho như trong (1.5), ta có thể thu được phép biến đổi cho trường thành phần:

11

, 2 ,F i F

(1.9)

Như vậy, các siêu trường tạo thành các biểu diễn tuyến tính của đại số SUSY. Ta có

thể xây dựng siêu trường tương ứng với bất cứ siêu đa tuyến thành phần nào, bằng cách

bắt nguồn từ một trong các thành phần và áp dụng liên tiếp phép biến đổi (1.5) cho đến

khi đa tuyến là đóng.

1.2.3.Siêu trường vô hướng thuận tay (siêu trường chiral)

Siêu trường vô hướng thỏa mãn điều kiện [7]:

0D

(1.10)

được gọi là siêu trường thuận tay trái, hay tay chiêu (left-handed superfield). Trong

(1.10), D là toán tử đạo hàm hiệp biến, chứ không phải là đạo hàm thường. Nó không

chứa nội dung động lực học như đạo hàm hiệp biến trong lý thuyết trường chuẩn mà

chỉ là công cụ toán học để giản lược số trường thành phần trong một siêu đa tuyến. Đặt

:

y x i

(1.11)

suy ra:

.

.

.

.

2 ;m

mD i

y

D

(1.12)

Nghiệm tổng quát của (1.10) là:

12

( ) 2 ( ) ( )

1( ) ( ) ( )

4

2 ( ) ( ) ( )2

A y y F y

A x i A x A x

ix x F x

(1.13)

Như vậy, một siêu trường vô hướng tay chiêu chỉ chứa ba trường thành phần: một

trường vô hướng A, một trường spinơ tay chiêu và một trường phụ trợ F . Trong đa

tuyến của siêu trường vô hướng (1.13), trường vô hướng A , trường spinơ lẫn đạo

hàm của chúng đều có mặt, vì vậy, Lagrangian của chúng có thể được tạo nên từ lũy

thừa của siêu trường tay chiêu. Siêu trường tay chiêu có thể coi là dạng siêu đối xứng

hóa trường chất cổ điển. Trong đa tuyến chất sẽ có trường spinơ tay chiêu , trường

vô hướng A và trường phụ trợ F . Trường vô hướng A xuất hiện trong đa tuyến của

trường chất , cho nên, nó được gọi là vô hướng siêu đồng hành của .

Tương tự, siêu trường thỏa mãn điều kiện:

0D

(1.14)

sẽ được gọi là siêu trường thuận tay phải, hay siêu trường tay đăm. Đặt:

y x i

(1.15)

Khi đó:

.

. .

;

2 ;m

m

D

D iy

(1.16)

Nghiệm tổng quát của (1.10) sẽ có dạng tương ứng là:

13

* *

* * *

*

( ) 2 ( ) ( )

1( ) ( ) ( )

4

2 ( ) ( ) ( )2

m m

m m

m

m

A y y F y

A x i A x A x

ix x F x

(1.17)

Tích các siêu trường chiral cùng loại sẽ là các siêu trường cùng loại. Ví dụ, tích

các siêu trường tay đăm:

( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i j i j i j i j

i j j i i j

A y A y y A y A y y

A y F y A y F y y y

(1.18)

( ) ( ) ( ) 2

[ ]

i j k i j k i j k j k i k i j

i j k j k i k i j i j k i j k i j k

A y A y A y A A A A A A

F A A F A A F A A A A A

(1.19)

cũng có khai triển của siêu trường tay đăm.

Tích của một siêu trường có tính thuận tay khác nhau sẽ không còn là siêu

trường thuận tay. Ví dụ, với hai siêu trường tay chiêu , i j , tích i j sẽ có khai

triển sau đây:

14

.

* *

*

* *

* *

*

( ) ( ) 2 ( ) ( )

2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

22

22

i j i j j i

i j i j i j

i j i j i j

i j i j j i

j j i j

A x A x x A x

x A x A x F x F x A x

i A A A A

iA A F

iA A F

* * * *1 1 1

4 4 2

2 2

i j i j i j i j

i j i j

F F A A A A A A

i i

(1.20a)

Rõ ràng, nó không phải là đa tuyến tay chiêu hay tay đăm.

Nếu có một siêu đa tuyến tay chiêu , biểu thức được gọi là dạng Kähler

của siêu trường . Dạng Kähler có khai triển sau đây:

.

2 * *

* * *

* *

*

2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2

22

22

A x x A x x A x A x F x

F x A x i A A A A

iA A F

iA A F

(1.20b)

2* * *1

2 2

iA A F x A A A A

Nếu lấy tích phân theo tất cả các tọa độ lẻ, chỉ có số hạng thuộc dòng cuối cùng của

dạng Kähler (1.20b) là khác không. Điều này nghĩa là, trong dạng Kähler ta chỉ giữ lại

hệ số của . Đó cũng là động năng của trường vô hướng A và trường spinơ .

15

Số hạng 2

F sẽ bị khử nhờ phương trình chuyển động. Số hạng cuối cùng chỉ là đạo

hàm toàn phần và do đó nó có thể được bỏ qua.

1.2.4. Siêu trường vectơ

Siêu trường thỏa mãn điều kiện thực [7]:

( , , ) ( , , )V x V x

(1.21)

sẽ có biểu thức khai triển:

( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

iV x C x i x i x M x iN x

i iM x iN x V x i x x

ii x x D x x

(1.22)

Tuy V là vô hướng nhưng do trong khai triển của nó có chứa trường thành phần vectơ

V cho nên nó được gọi là siêu trường vectơ. Từ điều kiện thực suy ra:

- Các trường thành phần , , ,C D M N và V là thực. Đó là 8 thành phần boson

của siêu đa tuyến.

- Các trường , là hai spinơ tay chiêu Weyl. Đó là 8 thành phần fermion

của siêu đa tuyến.

Nếu có một siêu trường tay chiêu , tổng sẽ là một siêu trường vectơ.

Khi đó, xét phép biến đổi tác động lên siêu trường V như sau:

V V V

(1.23)

trong đó, là siêu trường tay chiêu. Trường thành phần của V sẽ biến đổi theo quy

luật:

16

2Re , 2

( ) ( ) ( ) ( ) 2

2 Im ,

,

C C A i

M x iN x M x iN x iF

V V A

D D

(1.24)

Như vậy, giống như trường chuẩn cổ điển, thành phần vectơ của siêu trường vectơ

cũng được cộng thêm građiên 2 lẫn phần ảo của A . Siêu trường vectơ có thể coi là

dạng siêu đối xứng hóa của trường chuẩn, và do đó nó còn được gọi là siêu trường

chuẩn. Nếu chọn thành phần của siêu trường tay chiêu một cách thích hợp, ta có thể

khử các trường C , , ,M N và siêu trường chuẩn chỉ còn lại một trường vectơ, một

trường vô hướng và một siêu trường spinơ V , và D :

1( ) ( ) ( ) ( )

2V V V x i x i x D x

(1.25)

Siêu trường tay chiêu thỏa mãn tính chất trên được gọi là chuẩn Wess-Zumino. Siêu

trường chuẩn trong chuẩn Wess-Zumino chỉ gồm một trường chuẩn vectơ thực V ,

trường spinơ và trường vô hướng phụ trợ D . Trường spinơ xuất hiện trong đa

tuyến của trường chuẩn V , cho nên, nó là trường siêu đồng hành của V .

Khác với siêu trường chất, trong khai triển (1.25) của siêu trường chuẩn, không

có đạo hàm trường chuẩn. Mặt khác, để V có thứ nguyên bằng 1, siêu trường V phải

có thứ nguyên bằng 0. Vì vậy, để có cường độ trường chuẩn, ta phải lấy đạo hàm hiệp

biến siêu trường vectơ. Xét siêu trường spinơ sau đây:

1 1

, 4 4

W DDD V W DDD V

(1.26)

Siêu trường spinơ W là tay chiêu vì DDDD V chứa tích của ba đạo hàm D cho nên

nó sẽ bằng không. Tương tự, W sẽ là siêu trường tay đăm. Các siêu trường này có thứ

17

nguyên 3/2 . , W W W W

là tích hai siêu trường thuận tay nên chúng cũng thuận tay.

Vì lẻ đó, ta chỉ giữ lại hệ số của lũy thừa , của chúng. Các hệ số này có thứ

nguyên bằng 4, đúng như yêu cầu của Lagrangian của trường chuẩn. Tính toán trực

tiếp, ta có:

( )2

( )2

iW i y D y F y

y

iW i y D y F y

y

F V V

(1.27)

Và do đó:

212

2 4

iW W W W i F F D F F

(1.28)

Số hạng thứ hai cho Lagrangian trường chuẩn cổ điển, số hạng thứ nhất cho động năng

của trường spinơ siêu đồng hành, số hạng thứ tư sẽ gây nên dị thường dòng trục khi

lượng tử hóa.

Với nhóm chuẩn non-Abel, siêu trường vectơ V sẽ không được chọn là siêu

trường chuẩn. Thay vào đó, ta sẽ chọn là expV . Nếu khai triển hàm mũ, ta chỉ có đến

số hạng thứ ba là khác không:

21exp 1

2V V V

(1.28)

1.3. Lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng

1.3.1. Lý thuyết trường chuẩn Abel

18

Giả sử ta có một siêu trường tay chiêu mô tả chất. Xét phép biến đổi chuẩn

1U tác động lên :

, i ie e

(1.26a)

trong đó là một siêu trường vô hướng không thứ nguyên. Để bảo toàn tính tay chiêu

của , siêu trường phải thỏa mãn điều kiện:

0D D

(1.26b)

nghĩa là cũng phải là siêu trường tay chiêu và phải là một siêu trường tay đăm.

Tuy nhiên, dạng Kähler lại không bất biến chuẩn:

ie

(1.27a)

bởi vì không phải là siêu trường thực (vectơ).

Để khôi phục tính bất biến chuẩn cho dạng Kähler, ta đưa vào siêu trường vectơ

V , với quy tắc biến đổi (1.23):

V V V i

(1.27b)

và thay cho dạng Kähler ban đầu ta dùng:

VK e

(1.28)

Có thể thấy rằng, dạng Kähler (1.28) là bất biến chuẩn.

Các siêu trường spinơ W, W cũng bất biến chuẩn. Thực vậy:

1 1

4 4

4 4

W DDD V DDD V i

i iW DDD W DDD

(1.29a)

Mặt khác, có thể kiểm tra trực tiếp:

19

, 2D D i

(1.29b)

Và do là siêu trường tay chiêu, số hạng cuối của (1,29a) sẽ bằng không:

,

2 0

DDD D D D D D D D D

D D D i

(1.29c)

Và như vậy, W W W W

là bất biến chuẩn.

Với các kết quả trên, ta sẽ chọn Lagrangian cho lý thuyết trường chuẩn 1U

siêu đối xứng như sau:

1|

4Ve W W W W

L

(1.30)

Ta có thể xét nhiều siêu trường tay chiêu cho chất l với quy tắc biến đổi:

.

' , '

0, 0

l lig ig

l l l le e

D D

(1.31)

Khi đó, Lagrangian của lý thuyết chuẩn siêu đối xứng sẽ là (1.30) cộng thêm số hạng

siêu thế:

1|

4

1 1 .

2 3

V

l l

ik i k ikl i k l

e W W W W

m g h c

L

(1.32)

Trong đó, để siêu thế là bất biến 1U , ta phải yêu cầu 0ikm hoặc 0iklg bất cứ khi

nào i kg g hoặc

i k lg g g khác không. Để làm sáng tỏ nội dung hạt của

Lagrangian (1.32), ta có thể khai triển dạng Kähler của (1.28) trong chuẩn Wess-

Zumino:

20

* *

* *

* 2

1

2 2

1 1

2 22

Ve A A i FF

igV A A A A

ig A A gD g V V

(1.33)

Số hạng thuộc dòng thứ nhất vế trái là động năng trường chất vô hướng A và trường

spinơ siêu đồng hành . Số hạng thuộc dòng thứ hai là tương tác chuẩn (dòng x thế)

của hai trường nói trên. Số hạng thuộc dòng thứ ba là Lagrangian tương tác bậc cao

giữa trường chất (kể cả siêu đồng hành) với trường chuẩn vectơ và siêu đồng hành

spinơ của nó.

1.3.2. Lý thuyết trường chuẩn non-Abel

Ta có thể tổng quát hóa kết quả trên cho nhóm chuẩn non-Abel. Khi đó, trường

chất sẽ biến đổi theo quy luật:

'

'

i

i

e

e

(1.34)

trong đó, pha là siêu trường xác định trong biểu diễn phó của nhóm chuẩn:

ij ij

a

agT

(1.35a)

với aT là vi tử sinh của biểu diễn phó, thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa và điều kiện giao

hoán như sau:

, 0

,

a b ab

a b abc c

Sp T T k k

T T it T

(1.35b)

Để Lagrangian (1.30) bất biến dưới phép biến đổi chuẩn non-Abel (1.34), ta sử yêu

cầu siêu trường chuẩn biến đổi theo quy luật:

21

'V i V ie e e e

(1.36)

trong đó, a

aV T V . Khi đó, tensơ cường độ trường chuẩn sẽ được định nghĩa bằng:

1W

4V VDDe D e

(1.37a)

Khác với trường hợp của nhóm chuẩn Abel, tensơ cường độ không bất biến chuẩn mà

biến đổi theo quy luật:

W W Wi ie e

(1.37b)

Tuy nhiên, nếu lấy vết của tích tensơ cường độ trường, ta vẫn được biểu thức bất biến

chuẩn để đóng vai trò Lagrangian của lý thuyết siêu chuẩn đơn giản nhất sẽ là:

.

.

2

1W W W

16VSp W e

kg

L

(1.38)

Nếu thay 2V gV , và nếu vẫn dùng chuẩn Wess-Zumino, Lagrangian (1.38) sẽ có

biểu thức khai triển:

1

4

12

2

a a a a

a a a a a a

a a

F F i D D A D A i D

D D F F i g A T T A

aD A T A

L

(1.39)

Trong đó, các đạo hàm hiệp biến cho từng trường và tensơ cường độ trường sẽ được

định nghĩa như thường lệ:

22

a a

a a

a a abc b c

a a a abc b c

D A A igV T A

D igV T

D gt V

F V V gt V V

(1.40)

Lagrangian siêu đối xứng (1.39) chứa động năng của trường chuẩn V , trường spinơ

siêu đồng hành , trường chất vô hướng A , trường siêu đồng hành , các thế của

trường phụ trợ , aD F và Lagrangian tương tác.

1.3.3. Vi phạm siêu đối xứng

Để lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng diễn tả thế giới tự nhiên một cách thực

tế, cả đối xứng chuẩn lẫn siêu đối xứng đều phải bị vi phạm. Sự vi phạm có thể là tự

phát, là vi phạm mềm hoặc cả hai. Trong SM, sự vi phạm tự phát được diễn tả thông

qua một lưỡng tuyến trường Higgs. Trong MSSM, ta cần phải có hai lưỡng tuyến

trường Higgs. Trong tám bậc tự do Higgs, ba đã bị trường chuẩn Yang-Mills “ăn thịt”,

năm thành phần còn lại sẽ tạo thành năm hạt Higgs, hai hạt tích điện, một hạt vô hướng

thực sự và hai hạt giả vô hướng. Sau đó, chúng lại pha trộn với hạt gauge tích điện và

trung hòa, tạo thành các hạt chargino (tích tử) và neutralino (trung tử).

Sự vi phạm tự phát trong SM khác với trong MSSM [7]. Từ hệ thức phản giao

hoán của vi tử sinh lẻ (hệ thức thứ 4 của (1.1a) suy ra Hamiltonian:

1 1 1 1 2 2 2 2

1

4Q Q Q Q Q Q Q Q H

(1.41)

Ta thấy ngay rằng, Hamiltonian xác định dương, nghĩa là với mọi trạng thái vật lý ,

ta đều có 0 H . Như vậy, trạng thái cơ bản với năng lượng bằng không sẽ

23

không bị vi phạm siêu đối xứng, 0 0 0Q Q . Để có sự vi phạm tự phát, trạng thái

cơ bản phải có năng lượng khác không.

Với nhóm chuẩn 3 2 1G SU SU U , ta sẽ có các trường nguyên thủy sau

đây cho MSSM [8]:

1. Ba siêu đa tuyến trường chuẩn:

WW , , 1,2,3i i i cho tương tác yếu

, BB cho tương tác điện từ

G , , 1,2,...,8a aG a cho tương tác mạnh

2. Siêu đa tuyến tay chiêu cho trường chất: Vì nội dung hạt ở ba thế hệ là giống

nhau, cho nên, ta chỉ nêu cho một thế hệ:

Le

, Le

,

c

Le , Re cho lepton và slepton (electron)

L

u

d

, L

u

d

, ,

c c

L Lu d , * *, R Ru d cho quark và squark (quark up và down)

Siêu tích yếu của các trường chất được suy ra từ hệ thức Gell-Mann và Nishijima.

3. Trường Higgs sẽ bao gồm hai lưỡng tuyến:

1 21 11 2

1 22 2

, H H

H HH H

, 1 21 11 2

1 22 2

, H H

H HH H

cho Higgs và Higgsino

Siêu tích của lưỡng tuyến thứ nhất bằng 1 , của lưỡng tuyến thứ hai bằng 1 . Như

vậy, 12H có điện tích 1 , 2

1H có điện tích 1 hai thành phần còn lại trung hòa điện.

Tương tự như vậy cho Higgsino.

Siêu thế bất biến chuẩn tổng quát nhất giữ nguyên được các kết quả của SM là:

1 2 1 1 2W IJ I J IJ I J IJ I J

ij i j ij i j ij i j ij i jh H H l H L R d H Q D u H Q U

(1.42)

24

trong đó, , , , L Q U D được hiểu là lưỡng tuyến lepton, quark va đơn tuyên quark kiểu

up ( , , u c t ) và quark kiểu down ( , , d s b ) và I , J là chỉ só thế hệ. Còn một số biểu

thức bất biến gauge nhưng vi phạm các định luật bảo toàn số lepton, số baryon cho nên

không thể chấp nhận được (chúng sẽ bị loại trừ nhở quy tắc bất biến R chẵn lẻ).

Những số hạng vi phạm mềm được tách thành nhiều loại:

a) Số hạng khối lượng cho trường vô hướng

1 2

2 1* 1 2 2* 2 2 *

2 * 2 *

2 * 2 *

IJ I J

H i i H i i L i i

IJIJ I J I J

R i i Q i i

IJ IJI J I J

D U

m H H m H H m L L

m R R m Q Q

m D D m U U

(1.43)

trong đó, tổng được lấy cho chỉ số thể hệ ,I J .

b) Số hạng khối lượng của gaugino:

1 2 1. . .a a i i

G G G G B Bm h c m h c m h c

(1.44)

c) Số hạng kiểu Yukawa:

1 2 1 1 2 .IJ I J IJ I J IJ I J

S ij i j ij S i j ij S i j ij S i jh H H l H L R d H Q D u H Q U h c

(1.45)

1.3.4. Trường vật lý của MSSM

Từ biểu thức siêu thế (1.42) và các số hạng vi phạm mềm (1.43)-(1.45), bằng

cách chéo hóa các ma trận khối lượng , , IJ IJ IJl u d , chọn giá trị trung bình chân không

của trường Higgs dưới dạng:

11 2

2

01 1,

02 2H H

(1.46)

và chọn chuẩn ’t Hooft-Feynman, ta sẽ thu được các trường vật lý. Chúng gồm:

25

Trường gauge: Trường gluon aG và trường photon A vẫn không có khối

lượng, trong khi trường Yang - Mills trở thành W và 0Z với khối lượng là:

2 2 2 21 2 W 1 2,

2sin cos 2sinZ

e em m

(1.47)

trong đó, được gọi là góc Weinberg, còn tham số e liên quan đến hệ số liên kết yếu

2g và điện từ 1g : 2 1sin cose g g .

Trường Higgs tích điện: Sẽ có bốn hạt Higgs tích điện tương ứng với bốn bậc

tự do tích điện trong hai đa tuyến Higgs. Hai trong số đó có khối lượng

1 21

22 2 2 2W 2H HH

M m m m h

(1.48)

và hai còn lại vẫn không có khối lượng. Trong gauge unitary, hai hạt vô hướng không

khối lượng (hạt Goldstone) sẽ bị trường Yang - Mills “ăn thịt” và không xuất hiện

trong Lagrangean. Trong gauge ’t Hooft-Feynman, Lagrangean vẫn còn chứa trường

Goldstone. Các trường nói trên liên quan đến trường Higgs nguyên thủy bằng hệ thức:

1*2 1 2 12 2

1 221 21 2

,H H

H HZ Z

H H

(1.48)

Trường Higgs trung hòa: Nếu các tham số của lý thuyết là thực, ta sẽ có hai

hạt Higgs trung hòa vô hướng 01,2H và hai giả vô hướng 0

3,4H . Nếu, chẳng hạn, h là

phức, tính có CP chẵn lẻ xác định sẽ không còn nữa. Nói chung, tham số phức sẽ dẫn

đến nguồn gây nên vi phạm đối xứng CP. Các hạt Higgs trung hòa được diễn tả thông

qua trường nguyên thủy iiH nhờ ma trận chéo khối lượng, chứa tham số Sh , và 1,2 .

Khối lượng của chúng cũng được xác định nhờ những tham số này.

Trường tích tử (chargino): Hai spinơ hai thành phần siêu đồng hành của

trường gauge tương tác yếu 1,2W và hai spinơ hai thành phần siêu đồng hành của trường

26

Higgs tích điện 1 22 1, H H sẽ pha trộn để tạo thành hai spinơ Dirac bốn thành phần 1 2,

gọi là hai hạt tích tử, hay chargino.

Trường trung tử (neutralino): Bốn spinơ hai thành phần 3 1 2W 1 2, , , B H H sẽ

pha trộn để tạo nên bốn spinơ Majorana 0 , 1,2,3,4i i gọi là trung tử , hay neutralino.

Trong chương 3, ta dùng đến hàm sóng của tích tử và trung tử cho nên ở đó ta sẽ

trình bày biểu thức cụ thể của chúng.

Các trường vật lý khác, như quark, lepton, trường slepton cũng sẽ được trình

bày trong chương 3.

27

CHƯƠNG 2

MA TRẬN VÀ TIẾT DIỆN TÁN XẠ

2.1. Ma trận tán xạ và tiết diện tán xạ trong cơ học lượng tử.

2.1.1. Khái niệm ma trận tán xạ S.

Ma trận tán xạ đã được trình bày trong [9]-[10]. Giả sử H t là Hamiltonian

tương tác và ( )t là vectơ trạng thái tại thời điểm t. Khi đó, phương trình chuyển động

trong biểu diễn tương tác sẽ là:

( )( ) ( )

ti H t t

t

(2.1)

Cho 0( )t là vectơ trạng thái tại thời điểm ban đầu 0t ta cần xác định vectơ trạng thái

( )t tại các thời điểm t 0t . Do phương trình (2.1) là phương trình vi phân tuyến tính

bậc nhất, nên nghiệm của nó có thể viết dưới dạng:

0 0( ) ( , ) ( )t S t t t (2.2)

trong đó, 0( , )S t t là toán tử tuyến tính. Thay (2.2) vào (2.1), lấy tích phân hai vế ta

được:

0

0 1 1 1 0( , ) 1 ( ) ( , )t

t

S t t i dt H t S t t

(2.3)

Sử dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp để giải (2.3) ta tìm được dạng của toán tử tuyến

tính 0( , )S t t ở dạng gần đúng như sau:

28

0 0( , ) ( , )n

n o

S t t S t t

(2.4)

trong đó:

0

0

0 1

0 0

0 1 1

00

10 1 1

2 20 1 2 1 2

0 1 2 1 2

( , ) 1

( , ) ( )

( , ) ( ) ( ) ( )

.......

( , ) ( ) ..... ( ) ( )... ( )n

t

t

t t

t t

t t tn n

n nt t t

S t t

S t t i dt H t

S t t i dt dt H t H t

S t t i dt dt dt H t H t H t

(2.5)

Nhận xét rằng, 0( , )S t t là toán tử Unita:

0 0( , ) ( , ) 1S t t S t t (2.6)

Công thức của 0( , )S t t ở dạng tổng quát (2.4) chứa các số hạng tích phân có

cận dưới là 0t nhưng các cận trên lại khác nhau, để thuận tiện trong tính toán, ta đưa

biểu thức tổng quát của 0( , )S t t về dạng sau:

0 0

0 1 10 1 2 1 2

( )( , ) ..... [ ( ) ( )... ( )]

! n

nt t t

nn n

t t t

iS t t dt dt dt P H t H t H t

n

(2.7)

Trong đó:

1 2 1 2[ ( ) ( )... ( )]= ( ) ( )... ( )i i in i i inP H t H t H t H t H t H t (2.8)

29

Với 1 2 2...i i it t t . Khi xét bài toán tán xạ, ta coi hệ ban đầu là hoàn toàn tự do (các

hạt không tương tác với nhau). Sau tương tác, các hạt tồn tại ở trạng thái hoàn toàn tự

do, nhưng chuyển động tự do của hạt sau tương tác khác với chuyển động tự do của hạt

trước tương tác do có sự va chạm giữa hạt và bia. Khi đó, ta coi 0 ,t t và

biểu thức của 0( , )nS t t được viết như sau:

1 2 1 2

( )( , ) ..... [ ( ) ( )... ( )]

!

n

n nn o

iS dt dt dt P H t H t H t

n

(2.9)

Viết dưới dạng hàm mũ:

( , ) exp ( )S S P i dtH t

(2.10)

Ma trận S được gọi là ma trận tán xạ.

2.1.2. Ý nghĩa vật lí của ma trận tán xạ S

Theo (2.2) ta có 0 0( ) ( , ) ( )t S t t t , nghĩa là vectơ trạng thái của hệ ở thời điểm t là

( )t có thể thu được nhờ tác dụng của toán tử 0( , )S t t lên vectơ trạng thái của hệ ở thời

điểm ban đầu 0t là 0( )t . Ta coi ban đầu hệ ở thời điểm 0t , khi đó các hạt hoàn

toàn tự do và vectơ trạng thái của hệ 0( ) ( ) it . Sau quá trình tán xạ, tại thời

điểm cuối t , hệ ở trạng thái mới ( ) ( )t liên hệ với trạng thái đầu bằng

hệ thức:

( ) ( ) iS S (2.11)

30

Sau khi tương tác, các hạt ở xa nhau vô cùng (không tương tác với nhau), và ta cũng có

thể coi ( ) như là vectơ trạng thái của hệ mới các hạt tự do. Vectơ trạng thái

( ) của hệ được khai triển theo bộ đầy đủ các vectơ trạng thái của hệ n như sau:

( ) n nn

C

(2.12)

với

( )n n n iC S (2.13)

Tại thời điểm t , xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái n được tính theo công thức:

22Wn n n i n iC S S (2.14)

Nếu tại thời điểm ban đầu hệ ở trạng thái i thì xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái cuối

f là:

22

W |i f f f iC S (2.15)

Để tìm Wi f ta cần tính yếu tố ma trận :

| |i f f iS S (2.16)

Như vậy ma trận tán xạ 0 00

( , ) ( , )n

n

S t t S t t

có yếu tố ma trận là:

0 0

0

1 1

4 4

0 1 2 1 2

2 ( )

1

( )( , ) .... | [H(t )H(t )...H(t )]|

!n

fi f i fi

t tnt

n ni f n f n i

tt t

S P P M

pA

iS S t t dt dt dt P

n

(2.17)

Khi không có tương tác:

31

0f i f iS (2.18)

Khi có tương tác, yếu tố ma trận n

S được viết dưới dạng sau:

iRn fi fiS (2.19)

Trong đó ma trận:

4 42 ( )fi f i fiS P P M (2.20)

2.1..3. Khái niệm tiết diện tán xạ.

Giả sử có một hạt bia ở trong một miền không gian A và một hạt đạn đi qua

miền không gian này. Xác suất tán xạ P được định nghĩa như sau:

1P

A (2.21)

Trong đó là xác suất tìm tán xạ trong một đơn vị thể tích và được gọi là tiết diện tán

xạ toàn phần của quá trình tán xạ. Xác suất tán xạ P và miền không gian A đều không

phụ thuộc vào hệ quy chiếu là khối tâm hay phòng thí nghiệm. Do vậy, tiết diện tán xạ

không phụ thuộc vào hệ quy chiếu ta chọn.

Trong nhiều trường hợp, ta chỉ quan tâm tới sự tán xạ trong một góc khối. Ta có khái

niệm: Tiết diện tán xạ riêng phần, hay tiết diện tán xạ vi phân d

d

. Do góc khối d

phụ thuộc vào hệ quy chiếu cho nên tiết diện tán xạ vi phân d

d

phụ thuộc vào hệ quy

chiếu.

2.1.4.Các biến Mandelstam.

Các biến Mandelstam được định nghĩa như sau:

32

2 21 2 3 4

2 21 3 4 2

2 21 4 3 2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

s p p p p

t p p p p

u p p p p

(2.22)

Ở đây 1 2,p p là xung lượng 4 chiều của các hạt đi vào và

3 4,p p là xung lượng 4

chiều của các hạt đi ra.

Hình 1.1

1 2 3 4p p p p kênh s

1 3 2 4p p p p kênh t

1 4 2 3p p p p kênh u

Các kênh này miêu tả giản đồ Feynman khác nhau hoặc quá trình tán xạ khác nhau.

Ta có:

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 3 42 . 2 . 2 .s p p p p p p p p p p (2.23)

Tương tự:

1 3 2 42 . 2 .t p p p p (2.24)

33

1 4 2 32 . 2 .u p p p p (2.25)

Và có:

2 2;i i

p m (2.26)

1 2 3 4 1 2 3 4p p p p p p p p (2.27)

Ta sẽ chứng minh biểu thức sau đây đối với các biến s,t,u:

2 2 2 2

1 2 3 4s t u m m m m (2.28)

Thật vậy, ta có:

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 . 2 .s p p p p p p m m p p (2.29)

2 2 2 2 2

1 3 1 3 1 3 1 3 1 32 . 2 .t p p p p p p m m p p (2.30)

2 2 2 2 2

1 4 1 4 1 4 1 4 1 42 . 2 .u p p p p p p m m p p (2.31)

Cộng vế với vế các biểu thức (2.29),(2.30),(2.31) ta được:

2 2 2 2

1 2 3 4 1 2 1 3 1 43 2 . . .s t u m m m m p p p p p p

2 2 2 2 2

1 2 3 4 1 1 2 1 3 1 42 . . .m m m m m p p p p p p

2 2 2 2 2

1 2 3 4 1 1 2 3 42 ( )m m m m m p p p p

2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 1 12m m m m m p

2 2 2 2 2

1 2 3 4 1 1 12 ( )m m m m m p p

2 2 2 2

1 2 3 4m m m m (điều phải chứng minh)

34

Trong trường hợp tán xạ hai vật, A+B -> C+D, các biến Mandelstam được đưa vào có

dạng như sau:

2

2

2

( )

( )

( )

A B

A C

A D

s p p

t p p

u p p

(2.32)

Ở đây p là các vectơ momen năng xung lương 4 chiều và bình phương là một bất biến

Lorentz.Ví dụ:

2p g p p (2.33)

2.1.5.Biểu thức tiết diện tán xạ vi phân.

Xét quá trình tán xạ 2 hạt 1+2 -> 3+4 xảy ra do tương tác, yếu tố ma trận được

xác định bằng công thức:

4exp ( ) ,intS T L x d x (2.34)

Trong đó T là T- tích; int

( )L x là Lagrangian tương tác.

Như vậy, để nghiên cứu bài toán tán xạ phải tính yếu tố ma trận i f

S f S i

.Hằng

số tương tác ở đây giả thiết là nhỏ và việc tính toán quá trình vật lý này ta tiến hành

theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến.

42fi f i fi

f S j P P M (2.35)

Trong đó ,i f

P P là tổng năng xung lượng ở trạng thái đầu và trạng thái cuối.fi

M là biên

độ tán xạ hai hạt 2->2.

Tiết diện tán xạ vi phân của quá trình này được xác định bằng công thức:

35

' '2

2 2 2 20 0

1 1( )

2a b

fi fi f i

a ba b a b

dp dpd M p p

p pp p m m

(2.36)

* Tiết diện tán xạ vi phân trong hệ khối tâm:

Tại góc cố định , , kết quả tích phân theo không gian pha của hai hạt sau phép lấy

tích phân đối với toàn 4p và toàn 3E là:

3 34 4 3 4

3 4 3 4 1 2 63 4

233

3 4 3 4

1( , ) (2 ) ( )

(2 ) 2 2

16

f

d d

d p d pd p p p p p p

E E

d pd p

E E d E E

(2.37)

Do đó:

23 3

23 4 3 464 ( )

p d pMd

d F E E d E E

(2.38)

Với

22 23 33E p m

(2.39)

2 2 2 22 2 24 4 43 1 2 3( )E p E p p p m

(2.40)

Đối với các hạt không có spin, sự phụ thuộc của ma trận M vào xung lượng chỉ thông

qua bất biến Lorentz bởi các biến s,t và u :

2 2 2 21 2 3 4s t u m m m m (2.41)

36

Ta có:

2 22 23 4

3 43 4 3 4

3 3

( )d m p d m p

d E EE E E E

d p d p d p

3 4 1 2( ) ( )p E E p E E

(2.42)

Mặt khác

1 2( )F p E E

(2.43)

21 2( )s E E (2.44)

Khi đó biểu thức tiết diện tán xạ vi phân trong hệ khối tâm được viết lại như sau:

2

2

1

64cm

pdM

d s p

(2.45)

Chú ý rằng :

22 21 2

1( , , )

4p s m m

(2.46)

22 23 4

1( , , )

4p s m m

s

(2.47)

Với

37

2( , , ) ( ) 4a b c a b c abc 2 2( ) ( )a b c a b c (2.48)

* Tiết diện tán xạ vi phân thông qua các biến Mandelstam s và t:

2 2 21 3 1 3 1 3( ) 2t p p m m p p

2 21 3 1 3 1 3

2 21 3 1 3 1

2 2 os

2 2 os

m m E E p p C

m m E E p p C

(2.49)

Ta suy ra

2 osdt p p C

(2.50)

Ta có góc khối:

2 ,0d dcos dtp p

(2.51)

2

2

64cm

Md

dt s p

(2.52)

Khi lấy tổng theo spin của các hạt ở trạng thái cuối, và lấy trung bình theo spin của các

hạt ở trạng thái đầu, ta thay:

3 4 1 2 3 4

22 2

, ,1 2

1

(2 1)(2 1)s s s s s s

M M Ms s

(2.53)

Có thể biết lại (2.52) dưới dạng sau:

38

2

2 21 216 ( , , )cm

Md

d s m m

(2.54)

* Tiết diện tán xạ vi phân trong hệ phòng thí nghiệm:

Trong hệ phòng thí nghiệm, một hạt đứng yên, các biến động lực được xác định bởi:

1 1

2 2

3 3

4 4 4

( , );

( ,0);

( , );

( , )

p E p

p m

p E p

p E p

(2.55)

Ta dễ dàng thu được các hệ thức sau:

4 1 2 3E E m E

2 2 2 24 ( ) 2 os( )labp p p p p p p c

3 43 4 1 2 3

( )( ) os( )lab

d E EE E p E E p E c

d p

(2.56)

Thay (2.56) vào (2.38) ta thu được:

2

22

1 2 3

1

64( ) os( )lab

lab

M pd

pd m pE m E c

p

(2.57)

Trong trường hợp: 1 3 2 4

;m m m m

39

12 2

22 3 12 2 2 2

2 2

1 ( )64 2lab

M pd qm E m

d m p m p

(2.58)

Trong điều kiện tĩnh 40p , ta có

1 3';p p E E và

1 2 3 2 1os 1 os

'lab lab

pE m E c m E c

p

(2.59)

Biểu thức tán xạ vi phân có thể lấy xấp xỉ:

2

2 22 1 2

1

64 1 / 1 oslab lab

Md

d m E m c

(2.60)

Trong tương đối tính, 1

; 'E p E p thì vi phân tiết diện tán xạ có giá trị gần đúng

như sau:

22

32 2

2 164lab

M Ed

d m E

(2.61)

2.2.Ma trận tán xạ và tiết diện tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử.

2.2.1. S- ma trận và khai triển Dyson.

Xét một dao động tử phi điều hòa, với Hamiltonians là:

2 2 321

1 / 22

H m p m q q (2.62)

Biểu thức của Hamiltonians khi viết dưới dạng toán tử sinh hủy hạt có dạng:

40

3

3/2

0

1

2 2

'

H a a aa a am

H H

(2.63)

Với ( )a k

là toán tử sinh hạt, ( )a k là toán tử hủy hạt, ( ) ( ) ( )n k a k a k

gọi là

toán tử số hạt.0

H là Hamiltonians ban đầu của dao động tử tự do và nó giao hoán với

toán tử sinh hủy hạt còn 'H là Hamiltonians tương tác và nó không giao hoán với toán

tử sinh hủy hạt.

3' ( ) 'H d x h (2.64)

Trong “bức tranh tương tác”( Interaction picture- IP), vector trạng thái có dạng:

0( ) ( )i H t

It e t (2.65)

Khi đó:

0

0

0

0 0

0

0 0

( ) ( ) ( )

( ) ( ') ( )

' ( )

' ( )

i H t

I

i H t

i H t

i H t i H

I

d di t e H t i tdt dt

e H t H H t

e H t

e H e t

(2.66)

Đặt

0 0' 'i H t i H t

IH H e

ta có:

41

( ) '( ) ( )I I

di t H t tdt (2.67)

Ta coi ban đầu hệ ở thời điểm 0t , khi đó các hạt hoàn toàn tự do và vectơ trạng

thái của hệ 0( ) ( ) it . Sau quá trình tán xạ, tại thời điểm cuối t , hệ ở

trạng thái mới ( ) ( )t liên hệ với trạng thái đầu bằng hệ thức:

( ) ( )I I

S S i

( ) | | fiI If f S i S

(2.68)

Sau khi tương tác, các hạt ở xa nhau vô cùng (không tương tác với nhau), và ta cũng có

thể coi ( ) như là vectơ trạng thái của hệ mới các hạt tự do. Vectơ trạng thái

( ) của hệ được khai triển theo bộ đầy đủ các vectơ trạng thái của hệ f như sau:

( ) ( ) fiIf f

f f S fi

(2.69)

Chú ý rằng S là toán tử Unita 1S S

và có tính chất quan trọng là:

1 ( ) | ( ) | | |I I

i S S i i i

*

kf ki fik

S S

(2.70)

Lấy tích phân 2 vế phương trình (2.67) với cận từ - ->t ta được:

42

( ) ' ( ) ( ') 't

II It i H t t dt

(2.71)

Sử dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp để giải (2.71) ta tìm được dạng của toán tử tuyến

tính ( )t ở dạng gần đúng như sau:

1

(0)

(1)

1 1 1

(2)

1 1 2 1 2

( )

( ) ( ' ( ))

( ) ( ' ( )) ( ' ( ))( ' ( ))

I

tt

II

t t

I I II

t i

t i dt iH t dt i

t i iH t dt i dt iH t iH t i

(2.72)

1

(2)

1 1 1 2 1 2( ) 1 ( ' ( )) ( ' ( ))( ' ( ))tt t

I I IIt iH t dt dt dt iH t iH t i

(2.73)

Khi t-> ta có:

1

1 1( )

1 2 1 2

1 ( ' ( ))

( )

( ' ( ))( ' ( )) ...

In

tI

I I

iH t dt

t i

dt dt iH t iH t

(2.74)

Và do đó ta có:

1

1 1 1 2 1 21 ( ' ( )) ( ' ( ))( ' ( )) ...t

I I IS iH t dt dt dt iH t iH t

(2.75)

11

1 2 1 20

( ) ... ' ( ) ' ( )... ' ( )ntt

n

n I I I nn

S i dt dt dt H t H t H t

(2.76)

Theo (2.64) ta có,

43

3' ( ) ( ) '( , )IH t d x h x t (2.77)

do vậy số hạng thứ 2 của (2.75) có thể được viết lại như sau:

1 2

4 4

1 2 1 2

4 4 4

1 2 1 2

( ' ( ))( ' ( ))

1... ( ' ( ))( ' ( ))

2

I It t

n I I

d x d x iH x iH x

d x d x d x T iH x iH x

(2.78)

Ở đây T là T-tích.

1 2 1 2

( ' ( ) ' ( )) ' ( ) ' ( )I I I I

T H x H x H x H x nếu 1 2t t

2 1' ( ) ' ( )I IH x H x nếu 1 2

t t

(2.79)

Cuối cùng ta thu được:

4 4 4

1 2 1 20

( )... ' ( ) ' ( )... ' ( )

n

n I I I nn

iS d x d x d x T H x H x H x

n

(2.80)

Như vậy, ta đã thu được ma trận tán xạ S bằng cách khai triển theo phương pháp

Dyson. Kết quả S- ma trận thu được chính là biểu thức (2.80).

Bây giờ ta sẽ tính S- Ma trận cho quá trình tán xạ A+B-> A+B

Gọi ,A B

p p là cácvec tơ momen năng xung lượng 4 chiều ban đầu,

' , 'A B

p p là các vec

tơ momen năng xung lượng 4 chiều sau khi tán xạ.Ta cần tính yếu tố ma trận

' , ' | | ,A B A B

p p S p p (2.81)

Ta có:

2 ( ) 0i i i i

p E a p (2.82)

Do đó,S- ma trận ở gần đúng bậc 0 là:

44

1/20 ( ' ) ( ' ) ( ) ( ) 0 (16 ' ' )A B A BA B A B A B A Ba p a p a p a p E E E E

(2.83)

Khi toán tử sinh tác động lên trạng thái không hạt theo lối bên phải còn toán tử hủy tác

động lên trạng thái không hạt theo lối bên trái thì ta đều thu được kết quả là không.Tức

là:

0 0 0i ia a

(2.84)

Mặt khác :

3 3

ij( ), ( ') 2 ( ')ji

a k a k k k

,i,j=A,B,C

, , 0i j i ja a a a

(2.85)

Áp dụng (2.84) và (2.85) vào (2.83)ta có:

3 3

3 3

3 33 3

3 33 3

3 33

0 ( ' ) ( ' ) ( ) ( ) 0

0 ( ' ) ( ) 2 ( ' ) ( ) ( ' ) 0

0 ( ' ) ( ) 2 ( ' ) 0

0 2 ( ' ) ( ) ( ' ) 2 ( ' ) 0

2 ( ' ) 2 ( ' )

2 2 ( ' )2 2

A B A BA B A B

A A B BA A B B B B

A AA A B B

A AA A A A B B

A A B B

A A A B

a p a p a p a p

a p a p p p a p a p

a p a p p p

p p a p a p p p

p p p p

E p p E

3( ' )B B

p p

(2.86)

S- ma trận ở gần đúng bậc 1 là:

4 ' , ' | ( ) ( ) ( ) | ,A A A B C A B

ig d x p p x x x p p (2.87)

Ở đây

45

3

3( , ) ( )2 2

ikx ikxk

d kx t a k e a e

(2.88)

Vì không có hạt C nào sinh ra hay mất đi nên 0 | | 0 0C nên (2.87) sẽ bằng

không.Nghĩa là S- ma trận ở gần đúng bậc một bằng không.

S- Ma trận ở gần đúng bậc hai

2 4 4

1 2

1 1 1 2 2 2

1/2

1( ) ( ) ( ) 0 | ( ' ) ( ' )

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0 (16 ' ' )

A BA B

A B C A B C

A BA B A B A B

ig d x d x a p a p

T x x x x x x

a p a p E E E E

(2.89)

Ở biểu thức trên ta thấy phải tính toán với mười toán tử.Chúng ta sẽ tính toán với bốn

toán tử sau đó tổng quát hóa.Giả sử bốn toán tử cần tính là , , ,A B C D .Trong đó với

mỗi toán tử, chúng có thể là ia hoặc ia

hoặc tổ hợp của cả ia và ia

.

Với i iA a a

,sử dùng (2.84) ta có:

0 | | 0 0 | ( ) | 0

0 | | 0 0 | , | 0

iABCD a a BCD

aBCD a BCD

(2.90)

Lại có:

, , , ,a BCD a B CD B a C D BC a D

(2.91)

Vì vậy:

46

0 , 0 , 0 0 , 0 0 , 0 0

, 0 , 0 0 0 0 0 ;

, 0 , 0 0 0 0 0 ;

, 0 , 0 0 0 0 0

a BCD a B CD a C BD a D BC

a B a B aB AB

a C a C aC AC

a D a D aD AD

(2.92)

Cuối cùng (2.90) trở thành

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

ABCD AB CD AC BD

AD BC

(2.93)

Trong đó biểu thức (2.93) chỉ còn lại các số hạng có dạng 0 0 0i ia a

.Và do đó

1 20 0 0 ( ( ) ( )) 0C CABCD T x x (2.94)

Biểu thức (2.89) cho ta :

1 2 2

1 1 2

1 2

0 ( ' ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 ( ' ) ( ) 0

0 ( ) ( ) 0 0 ( ( ) ( )) 0

A A BA A BA A B

BB C CB

a p x x a p a p x

x a p T x x

x x

(2.95)

Với kết quả ở (2.95) ta có giản đồ mô tả

Hình 2.1

47

Ta có:

'1

1

10 ( ' ) ( ) 0

2Aip x

A AA

A

a p x eE

(2.96)

Nên biểu thức (2.89) trở thành:

' '1 22 4 4

1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0 ( ( ) ( )) 0A AB B

i p p x i p p x

C Cig d x d x e e T x x

(2.97)

1 2 1 2

2 1 2 1

3( ) ( )

31 2 1 2

( ) ( )

2 1

0 ( ( ) ( )) 0 [ ( )2 2

( ) ]

k

k

i t t ik x x

C C

k

i t t ik x x

d kT x x t t e

t t e

(2.98)

Trong đó: 2 2 2

Ck m

Đặt:

( )2

iztdz et i

z i

(2.99)

Nhân (2.99) với ki te và chuyển k

z z ta được:

( )2 ( )

k

izti t

k

dz et e i

z i

(2.100)

Đặt (2.100) vào (2.98):

1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )3

41 20 ( ( ) ( )) 0

( ) ( )2 2

iz t t ik x x iz t t ik x x

C C

k kk

d kdz e eT x x i

z i z i

(2.101)

48

1 2 1 2( ) ( )3

41 2

0 0

0 ( ( ) ( )) 02 ( ) ( )2

ik x x ik x x

C C

k k k

d kdz i e eT x x

k i k i

(2.102)

Thay 0 0

( , )k k k k k k ,ta có kết quả cuối cùng:

1 2

1 2

1 2

4( )

4

0 0

4

( )

4 2 2

0

0 ( ( ) ( )) 0

1 1

( ) ( )2

( )2

C C

ik x x

k k

ik x x

k

T x x

d ke

k i k i

d k ie

k i

(2.103)

Hoặc

1 2

1 2

4( )

4 2 2

0

0 ( ( ) ( )) 0

2

C C

ik x x

C

T x x

d k ie

k k m i

(2.104)

Cuối cùng S- ma trận ở gần đúng bậc hai có dạng:

442 4 4

4 2

42 4

2

( ) 2 ( ' ' )2

( ) 2 ( ' ' )

iqx ikx

A B A B

C

A B A B

C

d k iig p p p p d xe e

k m i

iig p p p p

q m i

(2.105)

Với ' 'A B A B

q p p p p

Một cách tổng quát:

4 4(2 ) ( )fi fi f i fi

S i p p M (2.106)

2.2.2 Tiết diện tán xạ.

Xét quá trình tán xạ A+B-> A+B.Tiết diện tán xạ toàn phần

49

4 4

2

1(2 ) ( ' ' )

2 2

( ; ' , ' )

A B A B

A B

fi A B

d p p p pE E v

dLips s p p

M

(2.107)

Ở đây, là vận tốc tới của A trong hệ quy chiếu gắn với B.

, , ' , 'A B A B

p p p p lần lượt là xung lượng 4 chiều của hai hạt đi vào và hai hạt đi ra. fiM

là biên độ tán xạ hai hạt. Lips là bất biến Lorentz của không gian pha (Lorentz

invariant phase space).

Biểu thức vi phân của Lips là :

3 34 '

2

1 '( ; ' , ' ) ( ' ' )

(4 )A B

A B A B A B

A B

d p d pdLips s p p p p p p

E E

(2.108)

Ta có:

2 2( ) ( )A B A B A B

E E v p p m m (2.109)

Trong hệ quy chiếu khối tâm (CM)ta có:

' ' 0A B A B

p p p p (2.110)

34' 1( ' ' ) ( ' ' )

' 'B

A B A B A B A B

B B

d pp p p p E E E E

E E (2.111)

Ta nhớ lại rằng 'B

p được thay thế bởi 'A B A

p p p trong fi

M .Ở vế phải của biểu

thức (2.111), 'B

p và 'B

E được xác định bởi điều kiện:

' ' ;B A B A

p p p p 2 2 1/2' ( ' )B B BE m p (2.112)

Ta có:

50

3 2' ' | ' | ;A A Ad p p d p d 2 2 1/2' ( ' )A A AE m p (2.113)

Với tất cả những tính toán trên, chúng ta thu được kết quả:

4 '

2

1 | | '( ; ' , ' ) ( ' ' )

(4 ) 'A A

A B A B A B

B

p dEdLips s p p d E E E E

E

(2.114)

Chú ý rằng:

'A B B

p p p ' ' 'A B

p p p

2 2 1/2' ( ' )A AE m p ; 2 2 1/2' ( ' )B BE m p (2.115)

Bởi vậy:

' ' ' ' ' 'A A B B

E dE p d p E dE ; 2 2 1/2' ( ' )B BE m p (2.116)

Đặt : W' ' 'A B

E E là tổng năng lượng của hệ sau tán xạ.

WA B

E E là tổng năng lượng của hệ trước tán xạ.Ta có:

W ' ' ' W 'W' ' ' '

' ' 'A B A

A B B

p d pd dE dE dE

E E E (2.117)

Sử dụng (2.116),yếu tố

'| | '

( ' ' )'

A A

A B A B

B

p dEE E E E

E (2.118)

trở thành:

W '' (W-W')

W'

dp (2.119)

Do năng lượng được bảo toàn nên sau khi lấy tích phân, ta thu được kết quả của yếu tố

trong (2.118) là / Wp .

51

Và cuối cùng

2

1( ; ' , ' )

(4 ) WA B

pdLips s p p d

(2.120)

Trong xung lượng trung tâm, chúng ta có:

2

2 2 2 2 2

( , ).( , )

( ) W

A B A B A B

A B A B

p p E p E p E E p

p p m m p

(2.121)

Vì vậy ta có:

2

2

1 1

4 W (4 ) Wfi

pd d

p

M (2.107)

Cuối cùng,tiết diện tán xạ vi phân trong hệ quy chiếu khối tâm là:

2

2

1

(8 W)fi

CM

d

d

M (2.107)

52

CHƯƠNG 3

QUÁ TRÌNH TÁN XẠ e e

Trong chương này, ta sẽ tính toán một quá trình tán xạ phi đàn tính trong đó có

sự tham gia của siêu hạt đồng hành, đó là quá trình sinh cặp photino trong máy gia tốc

LEP, ở đó electron và positron sẽ hủy nhau.

3.1. Yếu tố ma trận.

Với quá trình tán xạ e e ( 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )e p e p k k ) các giản

đồ Feynman khả dĩ được cho trong (hình 3.1):

Hình 3.1.Giản đồ tán xạ e e

Từ Lagrangian (1.33), sử dụng trường vật lý thu được sau khi pha trộn và vận

hành cơ chế Higgs, ta được các đỉnh tương tác như trong (hình 3.2).

Lagrangian tương tác cho quá trình này là:

* *

int w2 sin L R R LL R R L

g P ee eP e P ee eP e

L (3.1)

Ta tính yếu tố ma trận tương ứng cho quá trình ở giản đồ (b) và (d) rồi làm tương

53

tự cho giản đồ (a) và (c):

22

eR 1 5 1 2 5 2/ 2( ) ( )(1 ) ( ) ( )(1 ) ( )bM e M t u k u p v p v k

(3.2)

22 1

eR 2 5 1 2 5 1/ 2( ) ( ) (1 ) ( ) ( )(1 ) ( )T T

dM e M u v k C u p v p Cu k

(3.3)

Ở đây 2

1 1( )t p k và có:

( , ) ( , );T

u k s Cv k s ( , ) ( , )T

v k s Cu k s (3.4)

Nên có thể viết lại (3.3) như sau:

Hình 3.2.Quy tắc Feynman cho các đỉnh ;Re e các quy tắc cho đỉnh

Le e có thể thu được từ các quy tắc trên bằng cách đổi dấu của 5γ và nhân

toàn bộ với -1

54

22

eR 2 5 1 2 5 1/ 2( ) ( ) (1 ) ( ) ( )(1 ) ( )T T

dM e M u u k u p v p v k

(3.5)

Trong đó, 2

1 2( )u p k .Chú ý rằng, khi vẽ lại chiều mũi tên ở trong hình (3.1d) như

hình vẽ dưới đây thì chúng ta có thể thu được dM một cách trực tiếp.Và do đó, ta thấy

rằng, trong trường hợp này, việc lựa chọn hướng cho các mũi tên không ảnh hưởng tới

kết quả. Chúng ta cần tính 2

b dM M .

Hình 3.3 giản đồ cho quá trình + -e e γγ với quy ước chiều mũi tên của photino khác

hình 3.1(d)

Như đã trình bày trong chương hai, khi tính tiết diện tán xạ ta cần tính

*.fi fi fiM M M nên ta lấy liên hợp phức biểu thức (3.2), được:

2 * ** 2 * *

eR 1 5 1 2 5 2/ 2( ) ( )(1 ) ( ) ( )(1 ) ( )

bM e M u u k u p v p v k

(3.6)

Khi đó, lấy tổng theo spin ta được:

22 4eR 1 5 1 2 5 2

* ** *

1 5 1 2 5 2

/ 4( ) ( )(1 ) ( ) ( )(1 ) ( )

( )(1 ) ( ) ( )(1 ) ( )

bspin

M e M t u k u p v p v k

u k u p v p v k

(3.7)

2

1 5 1 2 5 2

* *

1 0 5 1 2 0 5 2

( )(1 ) ( ) ( )(1 ) ( )

( ) (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( )

bspin

T T

M hs u k u p v p v k

u k u p v p v k

(3.8)

55

2

1 5 1 2 5 2

* *

1 0 5 0 0 1 2 0 5 0 0 2

1 5 1 1 5 1

2 5 2 2 5 2

5 1 1 5

( )(1 ) ( ) ( )(1 ) ( )

( ) (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( )

( )(1 ) ( ) ( )(1 ) ( )

( )(1 ) ( ) ( )(1 ) ( )

(1 ) ( ) ( )(1 ) (

bspin

T T

T TT T

M hs u k u p v p v k

u k u p v p v k

hs u k u p u p u k

v k v p v p v k

hs Tr u p u p u k

1 1

5 2 2 5 2 2

) ( )

(1 ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( )T T

u k

Tr v p v p v k v k

(3.9)

Trong đó 24

eR/ 4( )hs e M t

,tức là phần hệ số.

Mặt khác ta lại có:

( )( ) ( ) ( )ss

s

u p u p p M (3.10)

( )( ) ( ) ( )

ss

s

v p v p p M (3.11)

( )( ) ( ) ( ) (s Ts

s

u p v p p ) TM C (3.12)

( )( )1( ) ( ) (

ss T

s

u p v p C p )M (3.13)

( )( )1( ) ( ) (

ss T

s

v p u p C p )M (3.14)

( )( ) ( ) ( ) (s Ts

s

v p u p p ) TM C (3.15)

56

Trong đó ( ), ( )u p v p là spinor mô tả trạng thái vào của hạt và phản hạt, ( ), ( )u p v p là

spinor mô tả trạng thái ra của hạt và phản hạt. p p

Sử dụng (3.10), (3.11) ta có:

( )( )

1 1( ) ( )

ss

s

u p u p p1 e

m ; ( )

( )

1 1( ) ( )

ss

s

u k u k k 1 M (3.16)

( )( )

2 2( ) ( )

ss

s

v p v p p2 e

m ; ( )( )

2 2( ) ( )

ss

s

v k v k k 2 M (3.17)

Thay (3.16),(3.17) vào (3.9) :

2

51

bspin

M hs Tr p 511

em k

1

51

M

Tr p

521

T

em k 2

T

M

(3.18)

Khai triển các biểu thức tính vết ta được:

2

51 bspin

M hs Tr p 511 k 1 51 p

51

5 5

1

1 1

e

M

m k

1 5 5

5

1 1

1

em M

Tr p

521 k 2 51 p

52

5 5

1

1 1

e

M

m k

2 5 51 1 e

m M

(3.19)

2

51bspin

M hs Tr p 511 k 1 51Tr p 52

1 k 2 (3.20)

Cuối cùng, ta được:

57

2

1 1 2 2

2 22 22 2

1 1 2 2

4 222 2

22

eR

16 2 .2

16

4

bspin

e e

b espin

M hs p k p k

hs p k m M p k m M

eM t M m

M t

(3.21)

Tương tự, lấy liên hợp phức biểu thức (3.5) và tính toán ta được:

2 22 2 2 24 ( ) / ( )d e

s

M e u M m M u (3.22)

Bây giờ ta tính,

4

*

2 2 1 5 1 2

eR eR

* ** *

5 2 2 5 1 2 5 1

2 ( )(1 ) ( ) ( )2( )( )

(1 ) ( ) ( )(1 ) ( ) ( )(1 ) ( )

b ds

eM M u k u p v p

M t M u

v k u k u p v p v k

(3.23)

4

*

2 2 1 5 1 2

eR eR

* *

5 2 2 0 5 0 0 1 2 0 5 0 0 1

1 5 1 2

5 2 2 5 1 2 5 1

5 1

2 ( )(1 ) ( ) ( )2( )( )

(1 ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( )

( )(1 ) ( ) ( )

(1 ) ( ) ( )(1 ) ( ) ( )(1 ) ( )

(1 ) (

b ds

T T

T TT T

eM M u k u p v p

M t M u

v k u k u p v p v k

hs u k u p v p

v k u k u p v p v k

hs Tr u p

1 5 2 2 5

2 2 5 1 1

) ( )(1 ) ( ) ( )(1 )

( ) ( )(1 ) ( ) ( )

T

T TT

u p v k v k

v p v p v k u k

(3.24)

Trong đó

4

2 2

eR eR2( )( )

ehs

M t M u

là hằng số.

58

Áp dụng các công thức (3.10) đến (3.15) ta có:

( )( )

1 1( ) ( )

ss

s

u p u p p1 e

m ; (3.25)

( )( )

2 2( ) ( )

ss

s

v p v p p2 e

m (3.26)

( )( )

2 2( ) ( ) (

s Ts

s

u k v k k 2

2 ) TM C (3.27)

( )( )1

1 1( ) ( ) (

ss T

s

u k v k C k 2

1 )M (3.28)

( )( )1

1 1( ) ( ) (

ss T

s

v k u k C k 2

1 )M (3.29)

Khi đó biểu thức (3.24) sẽ trở thành

*

52 (1 )b ds

M M hs p 1

5(1 ) (

em

k

2

2 5) (1 )TM C p 1

52(1 ) (

T

em C k 2

1 )M (3.30)

24

*

2 2 52 (1 )(

2( )( )

b d

s

eM M Tr p

M t M u

51

)(1 )

(

em

k

2 5

) (1 ) ( T TM C p 1

52) (1 ) ( T T

em C k

1 ) M

(3.31)

Mặt khác ta lại có:

5(1 ) (T TC p 1

5 52) (1 ) (1 )(T T

em C p 52) (1 )T

em (3.32)

nên

59

224

*

2 2 5

eR eR

42 (1 )

( )( )

b d

s

e MM M Tr p

M t M u

1p

2

2 2 24 2

eR eR= -8 ( 2 ) /( )( )

e

e M s m M t M u

(3.33)

Trong đó: s=(p1+p2)2 (3.34)

3.2. Tiết diện tán xạ vi phân

Tính toán tương tự cho các quá trình (c) và (d) ở hình 3.1. Cuối cùng ta được tiết diện

vi phân của quá trình tán xạ e e là (với eR eLM = M ):

12 22

2

2 22 2 2 22 2 2 2

2 2 2 2

4

4 4

16 2 ( )

( )( )

e

e e e e

e e ee

d s M

d s s m

t M m u M m m M s M m

M t M u M t M u

(3.35)

Để kiểm tra dấu của số hạng nhiễu loạn, ta giả sử eM lớn và sử dụng giản đồ đỉnh

tương tác hình 3.4(a) thay cho bốn giản đồ hình 3.1.

Hình 3.4 Giản đồ đỉnh tương tác bốn fermion

60

Tính toán vết thích hợp cho giản đồ trên ta được:

22

2

5/ (ee M Tr k

1 5) (M k

2

5

)

(v

M

Tr p

51

) (e

m p

2

244

2 2 2 22 2 2 2 2 2

)

4 /

( ) ( ) 16 2 ( )

e

e

e e e e

m

e M

t M m u M m m M s M m

(3.36)

Rõ ràng (3.36) hoàn toàn tương tự (3.35) trong trường hợp eM lớn.

Trong trường hợp γM = 0 , khi đó photino là hạt Dirac tay trái, ta dùng giản đồ đỉnh

tương tác hình 3.4(b). Tính toán vết thích hợp ta được:

22

2

5/ 2 (ee M Tr p

51) (

e vm p

2

5

)

(1 )

e

v

m

Tr k

1 5(1 ) k

2

44 2 2 2 2 22 / ( ) ( ) 2e e e e

e M t m u m sm

(3.37)

Với giới hạn eLM ta đơn giản là sẽ bỏ qua các giản đồ (a) và (c) trong hình 3.1

Tiết diện tán xạ khi đó sẽ là:

12 22

2

2 2 22 2 22 2 2

2 2 2 2

eR eR

4

8 4

2 (2 )

( )( )

e

e e e

e eR

d s M

d s s m

t M m u M m M m s

M t M u M t M u

(3.38)

61

Thực tế, ta có thể lấy gần đúng là me=0 và 2eM s . Khi đó ta có thể viết lại phương

trình (3.35):

32 22

2

4

41 1 cos

8 e

d s M

d sM

(3.39)

62

KẾT LUẬN

Tiết diện tán xạ của quá trình e e rõ ràng khác không và do đó ảnh

hưởng của việc tồn tại siêu hạt là có cơ hội kiểm nghiệm nếu ta tính đến hết các quá

trình khả dĩ.

Biểu thức (3.39) có được khi bỏ qua khối lượng của electron. Tuy nhiên, biểu

thức đó hữu hạn và nhỏ, chứng tỏ rằng khối lượng của selectron là không nhỏ. Siêu đối

xứng nếu có đã bị vi phạm.

Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vào thừa số 3/22

1 4 /M s chứ không phải

1/22

1 4 /M s chứng tỏ rằng, trạng thái của hệ là trạng thái P phù hợp với việc

photino là hạt có spin 1/2. Điều này cũng đã được nói đến trong [11]

63

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Hà Huy Bằng (2006), Các bài giảng về Siêu đối xứng, NXB Đại học Quốc gia

Hà Nội.

2. Nguyễn Xuân Hãn (1996), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB Đại học

Quốc gia Hà Nội.

3. Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng (2004), Vật lý thống

kê,NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

4. Phạm Thúc Tuyền (2007), Lý thuyết hạt cơ bản, NXB Đại học Quốc gia Hà

Nội.

Tiếng Anh

5. Aitchison, I. J. R. and Hey, A. J. G. (2004), Gauge theories in Particle Physics,

Vol. I, IOP Pubishing Ltd 2004.

6. Aitchison, I. J. R. and Hey, A. J. G. (2004), Gauge theories in Particle Physics,

Vol. II, IOP Pubishing Ltd 2004.

7. Aitchison, I. J. R. (2007), Supersymmtry in Particle Physics an elementary

introduction, Cambridge university press.

8. Bilal, A. (2001), “Introduction to Supersymmetry”, arXiv:hep-th/0101055v1 10

Jan 2001.

9. Wess, J. and Bagger, J. (1992), Supersymmetry anh Supergravity, Princeton

series in Physics.

10. Peskin, M. and Schroeder, D. (1995), An introduction to Quantum field

theory, Perseus Books Publishing 1995.

11. Weinberg, S. (2000), The quantum theory of fields – volume III –

Supersymmetry, Cambridge universiry press.

64

TÀI LIỆU DẪN (References)

[1] H.E. Haber and G.L. Kane, Phys. Rep. 117 (1985) 75;

H.P. Nilles, Phys. Rep. 110 (1984) 1

[2] Phạm Thúc Tuyền, Nhập môn siêu đối xứng, bài giảng cho SV bộ môn VLLT,

ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội (2005).

[3] Hà Huy Bằng, Các bài giảng về Siêu đối xứng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội

(2006).

[4] S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, V.3 Supersymmetry, Cambridge

University Press (2000).

[5] A. Salam, J. Strathdee, Nucl. Phys. B76 (1974) 477. 131.

[6] S. Martin, Supersymmetry Primer, hep-ph/9709356;

M. Dress, An Introduction to Supersymmetry, hep-ph/9611409;

M. Drees and M.M. Nojiri, Nucl. Phys. B369 (1992) 54, and Phys. Rev. D47 (1993)

376.

[7] J. Wess, J. Bagger, Supersymmetry and Supergravity, Princeton University Press

(1992)

[8] X.R. Tata, in Proceedings of the Mt Sorak Symposium on the Standard Model and

Beyond, Mt Sorak, Korea, 1990.

J. Rosiek, Phys. Rev. D (1990) 41.

[9] Phạm Thúc Tuyền, Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội, 2011.

[10] Nguyễn Xuân Hãn, Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB Đại học Quốc gia Hà

Nội (1996).

[11] H. Goldberg, Phys. Rev. Lett 50 (1983) 1419.