Qualität von Netzen

Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil

Qualität von Netzen

• Definition von Qualität

• Präzision

• Zuverlässigkeit

• Beispiel Datumsfestlegung – Qualität


Was ist Qualität?

Vier Bedingungen für Qualitätskriterien:– allgemein anerkannt– nachvollziehbar– objektiv– adäquat

Qualität oft wertend: „gute Qualität“

Hängt oft von der Aufgabe ab


Anerkannte Definition

„Grad, in dem ein Satz inheränter Merkmale Anforderungen erfüllt“ (ISO 9000)

Immer im Kontext mit AnforderungenGeographische Daten (Guptill & Morrison 1995):

– Vollständigkeit– Positions- und Attributsgenauigkeit– Aktualität– Auflösung bzw. Maßstab– Konsistenz (Abwesenheit von Widersprüchen)– Herkunft


Qualität in der Geodäsie?

Gezielt gesetzt Schwerpunkte

Unterscheidung zwischen

– Präzision

– Zuverlässigkeit


Präzision

Mit wie vielen signifikanten Stellen wurde ein Wert bestimmt?

Statistische Verteilung der Realisierungen

Nur korrekt, wenn funktionales Modell und a priori Annahmen über Standardabweichung und Korrelation korrekt

Qualität des Entwurfes


Zuverlässigkeit

Kontrollmöglichkeiten im Ausgleichsmodell

Kriterien für Kontrollierbarkeit von Beobachtungen

Abschätzung des Einflusses nicht auf-deckbarer Fehler auf die Unbekannten

Qualität der Realisierung

Aussagen über den Schutz vor groben Fehlern


Beurteilung der Präzision

Beurteilung von erforderlicher bzw. erreichter Präzision notwendig

Maße für die Präzision eines Punktes sollte geometrisch anschaulich sein

Es gibt noch Maße für die Präzision von Funktionen und des gesamten Netzes (globale Kriterien für die Präzision)

Maße für die Präzision sind meist datums-abhängig


Präzision von Netzpunkten

Maßgeblich ist die Kovarianzmatrix

Zu beachten: ist nur Schätzwert für die Gewichtseinheit - umso genauer je höher die Anzahl der Freiheitsgrade nf

Bei a-priori-Ausgleichung:

f

T

xxxx nss

PvvQC 2

020 mit

20s

20

xxxx Q20


Konfidenzhyperellipsoid, Eigenwertkriterien, Hauptkomponentenanalyse etc.

ypypypxpypyypxypyypxypyypx

xpypxpxpxpyxpxxpyxpxxpyxpx

ypyxpyyyxyyyxyyyxy

ypxxpxyxxxyxxxyxxx

ypyxpyyyxyyyxyyyxy

ypxxpxyxxxyxxxyxxx

ypyxpyyyxyyyxyyyxy

ypxxpxyxxxyxxxyxxx

qqqqqqqq

qqqqqqqq

qqqqqqqq

qqqqqqqq

qqqqqqqq

qqqqqqqq

qqqqqqqq

qqqqqqqq

332211

332211

11333323231313

11333323231313

11323222221212

11323222221212

11313121211111

11313121211111

Standardabweichung der Koordinaten oder mittlere Präzision der KoordinatenFehler- und Konfidenzellipse und PunktlagefehlerRelative Fehler- und Konfidenzellipsen


Lokale Kriterien für die Präzision

• Präzision einzelner Beobachtungen

• Präzision einzelner Unbekannter

• Präzision von Funktionen der Unbekannten

• Helmertsche Fehlerellipse

• Präzision eines Koordinatenpaares

• relative Fehlerellipse

• (relative) Konfidenzellipse


Präzision einzelner Beobachtungen

A priori- Präzision der Beobachtungen in ll - stochastisches Modell der Ausgleichung

• A posteri- Präzision :

• Kofaktoren/Kovarianzen der Verbesserungen:

TxxllAAQQ ˆˆ

llllvv ˆˆQQQ


Präzision einzelner Unbekannter

• Varianz x2, y

2, z2 (h

2)

• Standardabweichung x, y, z (h)

Direkt abgelesen aus Kofaktormatrix Qxx

Abhängig von der Lage des Koordinaten-systems eher selten verwendet

• Konfidenzintervall (siehe A1)

iiiiii yyyxxx qssqss 00 bzw.


Präzision von Funktionen der Unbekannten

Gegeben: Beliebige Funktion =fTx und die Kovarianzmatrix xx der Unbekannten x

Gesucht: Varianz der Funktion Kovarianzfortpflanzungsgesetz (siehe A1):

ff xxT2


Helmert‘sche Fehlerellipse

Gegeben: sx und sy

Gesucht: Mittlerer Fehler des Punktes in einer beliebigen Richtung

Ergebnis: Fußpunktskurve mit den Halb-achsen A und B


Herleitung (1)

Konfiguration:– Punkt P mit Koordinaten x und y,

Standardabweichungen sx und sy

– Punkt P mit Koordinaten und ist fehlerfrei gegeben

– Punkt P rotiert auf Kreisbahn um Punkt P

Bestimmung des Streckenfehlers PP über Fehlerfortpflanzungsgesetz


Herleitung (2)

Fehlerfortpflanzungsgesetz liefert

Einsetzen von liefert

Fußpunktskurve einer Ellipse mit sx, sy

dyydxxdrr

yxr

222

222

22

22

2yxr s

r

ys

r

xs

sin,cos

r

y

r

x

22222 sincos yxr sss


Fußpunktskurve


Fehlerellipse

Ellipse der Fußpunktskurve heißt mittlere Fehlerellipse nach Helmert oder Standard–Ellipse

Bei P auf x- oder y-Achse: = 0 / = /2, sr fällt mit Halbachsen sx bzw. sy der Ellipse zusammen

Voraussetzung für diesen Weg: sx und sy unabhängig voneinander, also sxy = 0


Allgemeine Lösung (1)

Transformation

Allgemeines Fehlerfortpflanzungsgesetz liefert aus der Kofaktorenmatrix Qxx die Kofaktorenmatrix im gedrehten System

cossin

sincos

yxu

yxt

22

22

22

sincossincos

coscossin2sin

sincossin2cos

xyxxyytu

yyxyxxuu

yyxyxxtt

qqqq

qqqq

qqqq



Suche der Extremwerte und der zuge-hörigen Richtungen: Ableitung nach

Als Extremwertaufgabe gleich Null gesetzt

Vergleich mit Kofaktoren im gedrehten System: Bei qtu=0 Drehwinkel gleich Richtung der max. Varianz

coscossin2sincos2cossin2 22yyxyxx

tt qqqd

dq

2cos

22

2sin

sincos2cossin20 xyyyxx qqq



Wenn also gleich der Richtung der max. Varianz, dann qtt und quu unabhängig mit extremen Werten

2tan:2

2tan maxmin,yyxx

xy

qq

q

22 4

2

2tan1

2tan2sin

xyyyxx

xyextr

qqq

q

2cos121sin

2cos121cos

2

2

22 42tan1

12cos

xyyyxx

yyxxextr

qqq

qq

qqqqqqqQ xyyyxxyyxxtt ,42

1

2

1 22maxmin,,



Netzbilder: Meist Ellipse gezeichnet

Beziehungen:

Richtungswinkel der großen Halbachse:

22222

222

222

4

2

12

1

xyyx

yxF

yxF

sssw

wssB

wssA

22

2atan2

1

yx

xyF ss

s


Wahre Punktlage vs. Helmert‘sche Fehlerellipse

Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Fehler-ellipse die wahre Punktlage überdeckt: ~29-39%(abhängig vom Freiheitsgrad)


Berechnung über Spektralzerlegung

Zerlegung des entsprechenden Ausschnittes Qii der Kofaktormatrix Qxx in

Spektralmatrix D mit Eigenwerten 1 und 2

Modalmatrix S mit Eigenvektoren s1 und s2

mit den Kenngrößen

T

TTiiiii

2

1

2

121 0

0

s

sssSDSQ

y

xF

FF

s

s

sBsA

1

1

220

21

20

2

tan

,


Genauigkeit eines Koordinatenpaares (1)

• Punktlagefehler (siehe A1)• Helmertscher (mittlerer) Punktlagefehler

Längenmaß, auch SpurkriteriumKeine Wahrscheinlichkeitsaussage möglich

• Werkmeisterscher Punktlagefehler

Flächenmaß, daher auch Flächenkriterium oder Volumenkriterium (bei 3D)

2221

20

20

222 tr FFiiyxH BAsssss Q

2120

20

2222 det ssssss iixyyxW Q


Genauigkeit eines Koordinatenpaares (2)

Punkte mit unterschiedlicher Fehlerellipse können denselben Punktlagefehler haben

Werkmeisterschem Punktlagefehler: Extreme Achslängen der Fehlerellipse werden nicht erkannt! Tritt beim Helmertschen Punktlagefehler nicht auf

Kleines Problem bei Helmert: Wert ist größer als große Halbachse der Fehlerellipse „totaler“ mittlerer Punktfehler nach Friedrich


Relative Fehlerellipse (1)

Relativpräzision zwischen zwei Punkten Pi und Pk

Präzision des Mittelpunktes der Ver-bindungsgeraden

Zunächst Kovarianzmatrix der Koordi-natendifferenzen: kiikkkii

ik

222222

222222

4mit2

atan2

1

2

1,

2

1

yxyxRyx

yxR

RyxFRyxF

ssswss

s

wssBwssA


Relative Fehlerellipse (2)

Graphische Darstellung der relativen Fehlerellipse meist in der Mitte der Verbindungsgeraden

Existiert auch für zwei Punkte mit Abstand Null (z.B. mittlerer Durchschlagsfehler eines Tunnels)


Konfidenzellipse (1)

Bereich, der mit einer Wahrscheinlichkeit von 1- die wahre Punktlage überdeckt

Kenngrößen aus entsprechenden Elementen der Helmertschen Fehlerellipse durch Multiplikation mit– bei theoretischem Wert für– bei empirischem Wert für

90%: doppelte Achslänge99%: über dreifache Achslänge

Fläche: mehr als 10x so groß!

21,2

20201,,22 fF


Konfidenzellipse (2)

bzw.

Relative Konfidenzellipse entsprechend

FKFKFK BBAA ,, 221,2

2221,2

2

FKFfKFfK BFBAFA ,2,2 21,,2

221,,2

2

RRKRfRKRfRK BFBAFA ,2,2 21,,2

221,,2

2


Globale Maße der Präzision

Gesamte Kovarianzmatrix wird zur Berechnung herangezogen

Insbesondere bei Netzoptimierung verwendet

Arten– Konfidenzhyperellipsoid– Rayleigh-Relation– Homogenität/Isotropie– Hauptkomponentenanalyse– Kriteriummatrix


Konfidenzhyperellipsoid

Verallgemeinerung der Betrachtungen zur Fehlerellipse führt zu

Eigenwerte größenmäßig absteigend angeordnet

Halbachsen des Konfidenzhyperellipsoides:

Tu

T

T

uxx

s

s

s

sssQ

2

1

1

1

1

21

0

0

21,

20

2 uii sA


Gütekriterien (1)

Volumen des Konfidenzhyperellipsoides

Das führt zu

Ist eine Verallgemeinerung des Werkmeisterschen Punktfehlers

Analogon zum Helmertschen Punktfehler: Spur- oder Varianzkriterium

mindet1

20

202

201

20

20

u

iiuxx sssss Q

mintr1

20

202

201

20

20

u

iiuxx sssss Q


Gütekriterien (2)

Durchschnittlicher Eigenwert oder mittlere Koordinatengenauigkeit

Durchschnittlicher (Helmertscher) Punktfehler

Auch Eigenwerte der Kofaktormatrix zur Berechnung verwendbar

u

s ixx 20u

trQ

20

20

222

u

2trs

uss ixx

H Q


Rayleigh-Relation

Beschränkung der resultierenden Präzision für beliebige Funktionen der Unbekannten

Rayleigh-Quotient wird eingeschränkt:

Sinnvolle Präzisionsforderung:

maxmin

ff

ffT

xxT

minmax


Homogenität/Isotropie

• Homogen: Kein Punkt unterscheidet sich von einem anderen Punkt in irgendeiner Weise

• Isotrop: Es gibt keine ausgezeichnete Richtung


Homogenität/Isotropie bei geodätischen Netzen

• Homogenes Netz: Die lokalen Kriterien der Präzision (z.B. Helmertsche Fehler-ellipsen) zeigen in allen Punkten dieselbe Tendenz

• Isotropes Netz: Die Präzision ist in allen Richtungen gleich groß (die Helmertschen Fehlerellipsen sind Kreise)


Beurteilung von Homogenität

Minimaler und maximaler Eigenwert

Immer nur näherungsweise erfüllt!

Homogenität und Isotropie nehmen zu je näher die Differenz bei Null bzw. der Quotient bei Eins liegt

Homogene und isotrope Situationen sind nicht immer optimal (z.B. Tunnelvortrieb)

minmaxmin

max bzw

.


Hauptkomponentenanalyse

Erste Hauptkomponentemit dem maximalen Eigenwert 1 und dem zugehörigen normierten Eigenvektor s1

Deckt Schwachstellen auf (Richtungen, die am schlechtesten bestimmt sind)

Extreme Netzsituationen: größter EW bis zu 40-60% der Gesamtvarianz wesentlicher Eigenvektor

111 sp


Kriteriummatrix

Auch Kriterion-Matrix

Spiegelt die vollständige Struktur der Kovarianzmatrix wider, hat aber eine geänderte Struktur

Hat sich noch nicht durchgesetzt

Siehe Grafarend (1979)


Optimierung

• A-Optimalität: minimale Spur von xx

• D-Optimalität: minimale Determinante v. ist die aus den nicht-verschwindenden Eigenwerten von xx gebildete Diagonal-matrix, also

• E-Optimalität: minimaler Wert von max

• S-Optimalität: minimale Differenz max-min

rxx

rxx

min ri


Beurteilung der Zuverlässigkeit

Geodätische Arbeitsweise: Durchgreifende Kontrollen

Einfache Kontrolle: Wiederholung der Messung – nicht immer durchgreifend– Refraktion gleich– Automatische Korrekturparameter falsch– Gerät nicht genau aufgestellt– …

Notwendig daher: Geometrisch anders wirkende Kontrolle


Beispiel

Neupunktsbestimmungfür Punkt N

Mögliche Messgrößen:Strecken, Winkel

Eindeutige Lösung: Beliebige Kombination zweier Beobachtungen – Genauigkeit möglicherweise erreicht aber:

Keine Kontrolle!3. Beobachtung: Kontrolle, bei Fehler Bestimmung

von N immer noch möglich


Definition Zuverlässigkeit

Ein geodätisches Netz ist zuverlässig, wenn allfällige Modellfehler entdeckt und eliminiert werden können

Zuverlässigkeitskriterien beantworten die Fragen– Gibt es grobe Fehler?– Ist eine Beobachtung genügend kontrolliert?– Wo liegt die Grenze nicht erkennbarer Fehler?– Welchen Einfluss auf das Ergebnis hat dieser

Grenzwertfehler?


Beantwortung?

Statistische TestverfahrenOft genaue Berechnung nicht notwendig, da nur

relative Angaben für Entscheidung zwischen Varianten nötig

• Innere Zuverlässigkeit– Standardisierte Verbesserungen– Redundanzanteil– Maximal aufdeckbare Ausreißer

• Äußere Zuverlässigkeit– Durchschnittl. Einfluss eines Beobachtungsfehlers


Standardisierte Verbesserungen

Verbesserungen aus Ausgleichung sind normal verteilt mit Mittelwert Null und Standardabweichung

Standardisierte Verbesserung: Division durch Standardabweichung (vgl. normierte Normalverteilung), also

Beobachtungen mit großem wi werden näher untersucht und eventuell eliminiert (z.B. 3-Regel)

)(0

iivvv qs

i

iv

ii

vw


Redundanzanteil (1)

Statistischer Test: Mit Redundanz nf=n-u (n-n0 bei bedingter Ausgleichung) wird die Streuung der wahren Fehlergeschätzt über

Nullhypothese:

Aussage: Stichprobe gehört der Grund-gesamtheit an, also nur zufällige Fehler

)(2 pE

f

T

ns

Pvv2

fT nsHEs 2

022

0 |oder Pvv


Redundanzanteil (2)

Alternativhypothese oder

Einführung von v für die Differenz der Verbesserungen bei Null- und Alternativ-hypothese, also v=v|Ha-v|H0

Gemischte Glieder verschwinden

022

2

||

|

Hs

EHs

E

nsHE

T

a

T

faT

PvvPvv

Pvv

vPv TE20

1


Redundanzanteil (3)

Parameter hat also zwei Bedeutungen:– Fiktive Erweiterung der Redundanz– Normierte Differenz der quadratischen Form vTPv von Null- und Alternativhypothese

Betrachten wir die Macht des Tests: Wahrscheinlichkeit für Annahme einer falschen Hypothese: 1- und somit

anm HF

sP |1 ,,12

2


Redundanzanteil (4)

Testgröße F1-,m,n ist Fisher-verteilt mit Redundanzen m und n bei Berechnung von s2 bzw. 2

geht über in =(,,m=nf,n=∞)

Parameter kann ausgedrückt werden als mit m=nf und n=∞

nmF

nm nmdFFf,,1

),,()( ,,


Redundanzanteil (5)

Übergang von Erwartungswerten auf konkrete Werte liefert

Prüfung dieser Beziehung benötigt Untersuchung des Zusammenhanges zwischen v und l

lPPQlvPv vvTT

22

11


Redundanzanteil (6)

x in v eingesetzt gibt

Zusätzlich bekannt

lAxv PlAPAAx TT 1 lIPAANv T1

llllvv

T

ll

xx

ll

ˆˆ

1ˆˆ

1

1

QQQ

AANQ

NQ

PQ


Redundanzanteil (7)

Einsetzen für Qvv gibt

Multiplikation von rechts mit –l gibt

Und somit

vvQllll ˆˆQQ 111 PPAANP T 11 PPAANI T T

ll AANQ 1 11 PIPAAN T llT QIPAAN 1

IPAANQQ Tllvv

11

vlIPAANlQQ Tllvv

11

lQQv 1 llvv


Redundanzanteil (8)

Zum Ausdruckkommen wir, indem wir v=Ax-l in vTPv einsetzen:

Herausheben von –lTP gibt

Wir setzen nun den gerade berechneten Ausdruck für v ein und erhalten

lPPQlvPv vvTT

22

11

lAxPlAxPvv TTTT

PllPAxlPvv TTT

PvllAxPlPvv TTT

PlPQlPvv vvTT


Redundanzanteil (9)

Übergang auf Differenzen liefert

Uns interessiert nun im Vektor l genau die Komponente , welche die Ver-schiebung bewirkt. Wir setzen also

Und erhalten

lPPQlvPv vvTT

il

0000 iT ll

iivvil PPQ


Redundanzanteil (10)

Der Nenner ergibt sich zu

Und mit P=I erhalten wir

Nenner: Steigerung der Präzision der Beobachtung durch die Ausgleichung

bestimmt mit konkreten Werten für 0 (klein), 0 (groß), nf=1 (1 konkrete Beob.) und n=∞

PAPAAPAPPPQ TTvv

1

iiTTilAAAAI1

0

0



Je größer , desto größer kann der entsprechende Fehler bei gleicher Auswirkung sein.

Grober Fehler fällt nur auf, wenn er größer als ist.

Normale Ausgleichsgeometrien: Grober Fehler schlägt sich hauptsächlich in

der Verbesserung dieser Beobachtung nieder

il

il

1llvvQQWerte in Hauptdiagonale von sind größer als die übrigen Werte

einer Zeile



Grober Fehler

Auswirkung auf entsprechende Verbes-serung:

Verbesserung vorhanden, welche diesen Grenzwert überschreitet: Kann als grob falsch angesehen werden

Parameter ri … Redundanzanteil der i-ten Beobachtung

il

iiiiillvvi lrlv 1QQ


Aussage der Redundanzanteile

Zunehmender Betrag von ri zunehmende Kontrolle

• ri = 0: vollkommen unkontrolliert

• ri < 0,3 : geringe Kontrolle – Aufdeckung grober Fehler kaum möglich

• 0,3 < ri < 0,7 : gute Kontrollierbarkeit

• ri > 0,7 : sehr gute Kontrolle, Notwendigkeit?

• ri = 1 : vollständig kontrolliert überflüssig

ri ist gleich der Gesamtredundanz


Optimales Netz

• Alle Beobachtungen kontrolliert

• Alle Redundanzanteile etwa gleich groß

Reduktion der Beobachtungen möglich, wenn häufig Redundanzanteile von 70% und mehr


Lokale Zuverlässigkeit

Bestimmt aus Quotient der entsprechenden Diagonalenglieder

Summe im Allgemeinen größer als Gesamtredundanz außer unkorrelierte Beobachtungen

)(

)(

iill

iivv

i q

qz


Kleinster aufdeckbarer Ausreißer

Innere Zuverlässigkeit beschreibt Kontrollierbarkeit der Beobachtungen innerhalb des Netzes

Bisher: Angaben über die innere Zuverlässigkeit

Weiteres Maß: GrenzwertGrober Fehler gerade noch aufdeckbar

Nichtzentralitätsparameter 0 üblicherweise gesetzt zu 4,13 (0=0,1% und 0=80%)

00

i

li

rl i


Äußere Zuverlässigkeit

Auswirkungen unentdeckter Beobachtungsfehler auf die Unbekannten

Für Nutzer oft wesentlich wichtiger!

Oft verwendetes Maß: Durchschnittlicher Einfluss eines Beobachtungsfehlers

Möglichst klein ( 0)

Ist datumsinvariant

00

1

i

i

r

ri


Bemerkungen

• Optimieren von Netzen verlangt Fingerspitzen-gefühl (wie genau messe ich tatsächlich?)

• Erforderliche Qualität variiert mit der Anwendung– Landesvermessung: möglichst homogen und isotrop– Tunnel: Querrichtung wichtiger als Längsrichtung

• Unsere Qualitätsangaben sind in der Praxis oft problematisch: Juristen denken in absoluten Zahlen (Twaroch 2005), Baunormen verwenden maximal erlaubte Toleranzen (Peters 1974)

• Projekte: Qualität oft vorgegeben (ENV 13005: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement)


Qualitätskriterien

Präzision Zuverlässigkeit

innere P. äußere P.

a-priori P. lokale P. globale P.

innere Z. äußere Z.

a-posteriori PräzisionPunktfehler

FehlerellipseKonfidenzellipse

relative Fehlerellipserelative Konfidenzellipse

KonfidenzhyperellipsoidHauptkomponentenanalyse

HomogenitätIsotropie

Redundanz

Statistische Tests

Nabla-Operator

Einfluss eines Fehlersauf die Unbekannten

Einfluss eines Messwertesauf die Punktlage


Kap. 5: Beispiel Streckennetz

• Zusammenhang Datum – Qualitätsmaße• Langgestrecktes Netz (Trasse, Tunnel, …)• A priori- Präzision 2mm+1ppm• 22 Punkte, 45 Unbekannte, 102 Strecken• Datumsdefekt d = 4


Zwangsfreie Ausgleichung (1)

• Datumsfestlegung: 4 Koordinaten (2 Punkte) festgehalten Redundanz 61 (102 - 41)

• Bei jeder Datumsfestlegung andere Fehlerellipsen

• Gerechnete Varianten: Festgehalten sind– Linke Eckpunkte– Obere Eckpunkte– Mittlere Punkte





• Redundanzen für 1. Fall (Festhalten 1 und 12) zwischen 50 und 65%

• Strecke 1 nach 12 (beides Festpunkte) hat nicht 100%!

• Ursache: Maßstab!

von nach ri [%] von nach ri [%]

1 2 56 2 13 61

1 12 56 2 14 63

1 13 63 3 2 56

2 1 56 3 4 56

2 3 56 3 13 63

2 12 63 3 14 61


Gezwängte Ausgleichung

• 4 Eckpunkte für Datum 37 Unbekannte, Freiheitsgrad 65

• Kleinere Fehlerellipsen


Teilspurminimierung

• Eckpunkte als Passpunkte

• Keine Festpunkte Fehlerellipsen für alle Punkte

• Freiheitsgrad 61 = 102-45+4 (Lagerungs-bedingungen)


Gesamtspurminimierung

• Alle Punkte als Passpunkte

• Keine Festpunkte Fehlerellipsen für alle Punkte

• Freiheitsgrad 61

• Beachte Lage der kleinsten Fehlerellipsen!

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Qualität von Netzen