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Quantencomputer: EinführungMartin Lange
Institut für Informatik
Ludwig-Maximilians-Universität München
Quantencomputer: Einführung – p.1/29
Einleitung
Quantencomputer: Einführung – p.2/29
Geschichte
Computer sind physikalische Geräte, unterliegen denGesetzen der Physik
was sind die Gesetze der Physik?
klassische Physik ist nicht widerspruchsfrei
Anfang des 20. Jh.: Quantenmechanik
Vorteil: beschreibt die Welt besser als klassische Physik
Nachteil: nicht sonderlich intuitiv
Quantencomputer: Einführung – p.3/29
Geschichte
Computer sind physikalische Geräte, unterliegen denGesetzen der Physik
was sind die Gesetze der Physik?
klassische Physik ist nicht widerspruchsfrei
Anfang des 20. Jh.: Quantenmechanik
Vorteil: beschreibt die Welt besser als klassische Physik
Nachteil: nicht sonderlich intuitiv
Quantencomputer: Einführung – p.3/29
Geschichte
Computer sind physikalische Geräte, unterliegen denGesetzen der Physik
was sind die Gesetze der Physik?
klassische Physik ist nicht widerspruchsfrei
Anfang des 20. Jh.: Quantenmechanik
Vorteil: beschreibt die Welt besser als klassische Physik
Nachteil: nicht sonderlich intuitiv
Quantencomputer: Einführung – p.3/29
Geschichte
Computer sind physikalische Geräte, unterliegen denGesetzen der Physik
was sind die Gesetze der Physik?
klassische Physik ist nicht widerspruchsfrei
Anfang des 20. Jh.: Quantenmechanik
Vorteil: beschreibt die Welt besser als klassische Physik
Nachteil: nicht sonderlich intuitiv
Quantencomputer: Einführung – p.3/29
Geschichte
Computer sind physikalische Geräte, unterliegen denGesetzen der Physik
was sind die Gesetze der Physik?
klassische Physik ist nicht widerspruchsfrei
Anfang des 20. Jh.: Quantenmechanik
Vorteil: beschreibt die Welt besser als klassische Physik
Nachteil: nicht sonderlich intuitiv
Quantencomputer: Einführung – p.3/29
Geschichte
Computer sind physikalische Geräte, unterliegen denGesetzen der Physik
was sind die Gesetze der Physik?
klassische Physik ist nicht widerspruchsfrei
Anfang des 20. Jh.: Quantenmechanik
Vorteil: beschreibt die Welt besser als klassische Physik
Nachteil: nicht sonderlich intuitiv
Quantencomputer: Einführung – p.3/29
Die Church-Turing-These
allgemein akzeptiert in der Informatik:
Quantencomputer: Einführung – p.4/29
Die Church-Turing-These
allgemein akzeptiert in der Informatik:
Jeder Algorithmus kann als (probabilistische)Turing-Maschine dargestellt werden.
Quantencomputer: Einführung – p.5/29
Die Church-Turing-These
allgemein akzeptiert in der Informatik:
Jeder Algorithmus kann als (probabilistische)Turing-Maschine dargestellt werden.
wichtiger Aspekt des Modells Turing-Maschine:
Quantencomputer: Einführung – p.6/29
Die Church-Turing-These
allgemein akzeptiert in der Informatik:
Jeder Algorithmus kann als (probabilistische)Turing-Maschine dargestellt werden.
wichtiger Aspekt des Modells Turing-Maschine:
Satz: Es gibt eine universelle Turing-Maschine.
Quantencomputer: Einführung – p.7/29
Die Church-Turing-These
allgemein akzeptiert in der Informatik:
Jeder Algorithmus kann als (probabilistische)Turing-Maschine dargestellt werden.
wichtiger Aspekt des Modells Turing-Maschine:
Satz: Es gibt eine universelle Turing-Maschine.
Idee wird in jedem Computer benutzt, geht auf von Neumann
zurück
Quantencomputer: Einführung – p.8/29
Deutschs Idee
Problem mit Church-Turing-These: unbeweisbar wegen BegriffAlgorithmus
Deutsch: evtl. stärkere These beweisbar
Jeder physikalische Prozess läßt sich auf Maschinesimulieren.
Aber was ist ?
Quantencomputer, da die Welt quantenmechanisch ist
Quantencomputer: Einführung – p.9/29
Deutschs Idee
Problem mit Church-Turing-These: unbeweisbar wegen BegriffAlgorithmus
Deutsch: evtl. stärkere These beweisbar
Jeder physikalische Prozess läßt sich auf Maschinesimulieren.
Aber was ist ?
Quantencomputer, da die Welt quantenmechanisch ist
Quantencomputer: Einführung – p.9/29
Deutschs Idee
Problem mit Church-Turing-These: unbeweisbar wegen BegriffAlgorithmus
Deutsch: evtl. stärkere These beweisbar
Jeder physikalische Prozess läßt sich auf Maschine
�
simulieren.
Aber was ist ?
Quantencomputer, da die Welt quantenmechanisch ist
Quantencomputer: Einführung – p.9/29
Deutschs Idee
Problem mit Church-Turing-These: unbeweisbar wegen BegriffAlgorithmus
Deutsch: evtl. stärkere These beweisbar
Jeder physikalische Prozess läßt sich auf Maschine
�
simulieren.
Aber was ist
�
?
Quantencomputer, da die Welt quantenmechanisch ist
Quantencomputer: Einführung – p.9/29
Deutschs Idee
Problem mit Church-Turing-These: unbeweisbar wegen BegriffAlgorithmus
Deutsch: evtl. stärkere These beweisbar
Jeder physikalische Prozess läßt sich auf Maschine
�
simulieren.
Aber was ist
�
?
Quantencomputer, da die Welt quantenmechanisch ist
Quantencomputer: Einführung – p.9/29
Von Interesse für die Informatik
Quantencomputer ist Berechnungsmodell
Wie verhält er sich zu anderen (z.B. TM, Schaltkreisen,Prog.-sprachen, . . . ) bzgl. der Berechnungsstärke?
Antwort:
mindestens so stark:kann per Definition TM simulieren
höchstens so stark:kann auf TM simuliert werden
Quantencomputer: Einführung – p.10/29
Von Interesse für die Informatik
Quantencomputer ist Berechnungsmodell
Wie verhält er sich zu anderen (z.B. TM, Schaltkreisen,Prog.-sprachen, . . . ) bzgl. der Berechnungsstärke?
Antwort:
mindestens so stark:kann per Definition TM simulieren
höchstens so stark:kann auf TM simuliert werden
Quantencomputer: Einführung – p.10/29
Von Interesse für die Informatik
Quantencomputer ist Berechnungsmodell
Wie verhält er sich zu anderen (z.B. TM, Schaltkreisen,Prog.-sprachen, . . . ) bzgl. der Berechnungsstärke?
Antwort:
� mindestens so stark:kann per Definition TM simulieren
höchstens so stark:kann auf TM simuliert werden
Quantencomputer: Einführung – p.10/29
Von Interesse für die Informatik
Quantencomputer ist Berechnungsmodell
Wie verhält er sich zu anderen (z.B. TM, Schaltkreisen,Prog.-sprachen, . . . ) bzgl. der Berechnungsstärke?
Antwort:
� mindestens so stark:kann per Definition TM simulieren
� höchstens so stark:kann auf TM simuliert werden
Quantencomputer: Einführung – p.10/29
Das ist aber noch nicht alles . . .
Aber: Simulation auf TM vermutlich exponentiell!
Quantencomputer interessant für Komplexitätstheorie, denn:
bekannte Komplexitätsklassen (P, NP, PSPACE, EXPTIME)robust weil unabhängig von Maschinenmodell
gilt das auch für Quantencomputer?
Quantencomputer: Einführung – p.11/29
Das ist aber noch nicht alles . . .
Aber: Simulation auf TM vermutlich exponentiell!
Quantencomputer interessant für Komplexitätstheorie, denn:
bekannte Komplexitätsklassen (P, NP, PSPACE, EXPTIME)robust weil unabhängig von Maschinenmodell
gilt das auch für Quantencomputer?
Quantencomputer: Einführung – p.11/29
Das ist aber noch nicht alles . . .
Aber: Simulation auf TM vermutlich exponentiell!
Quantencomputer interessant für Komplexitätstheorie, denn:
bekannte Komplexitätsklassen (P, NP, PSPACE, EXPTIME)robust weil unabhängig von Maschinenmodell
gilt das auch für Quantencomputer?
Quantencomputer: Einführung – p.11/29
Das ist aber noch nicht alles . . .
Aber: Simulation auf TM vermutlich exponentiell!
Quantencomputer interessant für Komplexitätstheorie, denn:
bekannte Komplexitätsklassen (P, NP, PSPACE, EXPTIME)robust weil unabhängig von Maschinenmodell
gilt das auch für Quantencomputer?
Quantencomputer: Einführung – p.11/29
Überblick über das Seminar
� Begriffsbildung
der Quantencomputer als Berechnungsmodell(Quanten-TM, -Schaltkreise, -Automaten, . . . )
Quanten-Komplexitätsklassen
Algorithmen für Quantencomputer
Anwendung: Kryptographie
Programmiersprachen für Quantencomputer
Quantencomputer: Einführung – p.12/29
Überblick über das Seminar
� Begriffsbildung
� der Quantencomputer als Berechnungsmodell(Quanten-TM, -Schaltkreise, -Automaten, . . . )
Quanten-Komplexitätsklassen
Algorithmen für Quantencomputer
Anwendung: Kryptographie
Programmiersprachen für Quantencomputer
Quantencomputer: Einführung – p.12/29
Überblick über das Seminar
� Begriffsbildung
� der Quantencomputer als Berechnungsmodell(Quanten-TM, -Schaltkreise, -Automaten, . . . )
� Quanten-Komplexitätsklassen
Algorithmen für Quantencomputer
Anwendung: Kryptographie
Programmiersprachen für Quantencomputer
Quantencomputer: Einführung – p.12/29
Überblick über das Seminar
� Begriffsbildung
� der Quantencomputer als Berechnungsmodell(Quanten-TM, -Schaltkreise, -Automaten, . . . )
� Quanten-Komplexitätsklassen
� Algorithmen für Quantencomputer
Anwendung: Kryptographie
Programmiersprachen für Quantencomputer
Quantencomputer: Einführung – p.12/29
Überblick über das Seminar
� Begriffsbildung
� der Quantencomputer als Berechnungsmodell(Quanten-TM, -Schaltkreise, -Automaten, . . . )
� Quanten-Komplexitätsklassen
� Algorithmen für Quantencomputer
� Anwendung: Kryptographie
Programmiersprachen für Quantencomputer
Quantencomputer: Einführung – p.12/29
Überblick über das Seminar
� Begriffsbildung
� der Quantencomputer als Berechnungsmodell(Quanten-TM, -Schaltkreise, -Automaten, . . . )
� Quanten-Komplexitätsklassen
� Algorithmen für Quantencomputer
� Anwendung: Kryptographie
� Programmiersprachen für Quantencomputer
Quantencomputer: Einführung – p.12/29
Begriffsbildung
Quantencomputer: Einführung – p.13/29
Quanten-Bits
QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer
Bit QuBit
Zustand
mit
Messungliefert
mitmit
mit
Zustanddanach
Quantencomputer: Einführung – p.14/29
Quanten-Bits
QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer
Bit QuBit
Zustand
� � �� �� �
mit
Messungliefert
mitmit
mit
Zustanddanach
Quantencomputer: Einführung – p.14/29
Quanten-Bits
QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer
Bit QuBit
Zustand
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mit� � �� � � � � � � �
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Quantencomputer: Einführung – p.14/29
Quanten-Bits
QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer
Bit QuBit
Zustand
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mit
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Quantencomputer: Einführung – p.14/29
Quanten-Bits
QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer
Bit QuBit
Zustand
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Messungliefert
�
mit
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Quantencomputer: Einführung – p.14/29
Quanten-Bits
QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer
Bit QuBit
Zustand
� � �� �� �
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Quantencomputer: Einführung – p.14/29
Quanten-Bits
QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer
Bit QuBit
Zustand
� � �� �� �
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mit� � �� � � � � � � �
Messungliefert
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Zustanddanach
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Quantencomputer: Einführung – p.14/29
Operationen auf QuBits . . .
. . . sind immer linear,
d.h. beschrieben durch Matrix
Sei :
Quantencomputer: Einführung – p.15/29
Operationen auf QuBits . . .
. . . sind immer linear, d.h. beschrieben durch Matrix
��
�� � ���
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Sei :
Quantencomputer: Einführung – p.15/29
Operationen auf QuBits . . .
. . . sind immer linear, d.h. beschrieben durch Matrix
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Sei
� � � � ��� � � � � � � � � � :
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Quantencomputer: Einführung – p.15/29
Operationen auf QuBits . . .
. . . sind immer linear, d.h. beschrieben durch Matrix
��
�� � ���
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Sei
� � � � ��� � � � � � � � � � :
� � � � � � �� � � � � ��� � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � �
Quantencomputer: Einführung – p.15/29
Welche Operationen sind zugelassen?
nur unitäre,
d.h. beschrieben durch Matrix , wobei
mit
ist -Einheitsmatrix
ist mit Einträgen komplex-konjugiert
ist transponiert
Aber auch: jede unitäre Operation ist zulässig!
Quantencomputer: Einführung – p.16/29
Welche Operationen sind zugelassen?
nur unitäre, d.h. beschrieben durch Matrix
�
, wobei
� � �� �
mit
ist -Einheitsmatrix
ist mit Einträgen komplex-konjugiert
ist transponiert
Aber auch: jede unitäre Operation ist zulässig!
Quantencomputer: Einführung – p.16/29
Welche Operationen sind zugelassen?
nur unitäre, d.h. beschrieben durch Matrix
�
, wobei
� � �� �
mit
� � ist
� � �-Einheitsmatrix
ist mit Einträgen komplex-konjugiert
ist transponiert
Aber auch: jede unitäre Operation ist zulässig!
Quantencomputer: Einführung – p.16/29
Welche Operationen sind zugelassen?
nur unitäre, d.h. beschrieben durch Matrix
�
, wobei
� � �� �
mit
� � ist
� � �-Einheitsmatrix
�
� ��
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ist mit Einträgen komplex-konjugiert
ist transponiert
Aber auch: jede unitäre Operation ist zulässig!
Quantencomputer: Einführung – p.16/29
Welche Operationen sind zugelassen?
nur unitäre, d.h. beschrieben durch Matrix
�
, wobei
� � �� �
mit
� � ist
� � �-Einheitsmatrix
�
� ��
� �� � �
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� �
ist
�
mit Einträgen komplex-konjugiert
ist transponiert
Aber auch: jede unitäre Operation ist zulässig!
Quantencomputer: Einführung – p.16/29
Welche Operationen sind zugelassen?
nur unitäre, d.h. beschrieben durch Matrix
�
, wobei
� � �� �
mit
� � ist
� � �-Einheitsmatrix
�
� ��
� �� � �
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� �
ist
�
mit Einträgen komplex-konjugiert
�
� �
ist
�
transponiert
Aber auch: jede unitäre Operation ist zulässig!
Quantencomputer: Einführung – p.16/29
Welche Operationen sind zugelassen?
nur unitäre, d.h. beschrieben durch Matrix
�
, wobei
� � �� �
mit
� � ist
� � �-Einheitsmatrix
�
� ��
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�
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ist
�
mit Einträgen komplex-konjugiert
�
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ist
�
transponiert
Aber auch: jede unitäre Operation ist zulässig!
Quantencomputer: Einführung – p.16/29
Lineare Algebra
Vektorraum der Dimension �
� � � � � � -Vektor
-Vektor mit komplex-konjugierten Einträgen
inneres Produkt = Skalarprodukt
äußeres Produkt, -Matrix
Tensorprodukt
Quantencomputer: Einführung – p.17/29
Lineare Algebra
Vektorraum der Dimension �
� � � � � � -Vektor
� � � � � �-Vektor mit komplex-konjugierten Einträgen
inneres Produkt = Skalarprodukt
äußeres Produkt, -Matrix
Tensorprodukt
Quantencomputer: Einführung – p.17/29
Lineare Algebra
Vektorraum der Dimension �
� � � � � � -Vektor
� � � � � �-Vektor mit komplex-konjugierten Einträgen
�� � � � inneres Produkt = Skalarprodukt�� � � � � �
äußeres Produkt, -Matrix
Tensorprodukt
Quantencomputer: Einführung – p.17/29
Lineare Algebra
Vektorraum der Dimension �
� � � � � � -Vektor
� � � � � �-Vektor mit komplex-konjugierten Einträgen
�� � � � inneres Produkt = Skalarprodukt�� � � � � �
� � � � � � äußeres Produkt, � � �-Matrix
Tensorprodukt
Quantencomputer: Einführung – p.17/29
Lineare Algebra
Vektorraum der Dimension �
� � � � � � -Vektor
� � � � � �-Vektor mit komplex-konjugierten Einträgen
�� � � � inneres Produkt = Skalarprodukt�� � � � � �
� � � � � � äußeres Produkt, � � �-Matrix
� � � Tensorprodukt
Quantencomputer: Einführung – p.17/29
Tensorprodukt
��
����
�� � � � � �� �
......
��� � � � � ��� ��
�
� �
����
�� � � � ��� �
......
�� � � � ��� �
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......
......
Quantencomputer: Einführung – p.18/29
Tensorprodukt
��
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......
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......
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......
Quantencomputer: Einführung – p.18/29
Tensorprodukt
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......
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�� � � � � � �� ��
......
��� � � � � � ��� ��
�
Quantencomputer: Einführung – p.18/29
2 QuBits
geg. 2 QuBits in Zuständen
� � � � �� � � � � �� � � � und
��� � � �� � � � � �� � � �
Tensorprodukt zum Zusammenbauen größerer Systeme
Zustand eines 2-QuBit-System beschrieben durch
Quantencomputer: Einführung – p.19/29
2 QuBits
geg. 2 QuBits in Zuständen
� � � � �� � � � � �� � � � und
��� � � �� � � � � �� � � �
Tensorprodukt zum Zusammenbauen größerer Systeme
Zustand eines 2-QuBit-System beschrieben durch
Quantencomputer: Einführung – p.19/29
2 QuBits
geg. 2 QuBits in Zuständen
� � � � �� � � � � �� � � � und
��� � � �� � � � � �� � � �
Tensorprodukt zum Zusammenbauen größerer Systeme
Zustand eines 2-QuBit-System beschrieben durch
� � � � � � � ����� � � ��
� �� �
�� �
�� � �
Quantencomputer: Einführung – p.19/29
Operationen auf 2-QuBit-Systemen
unitäre Matrizen der Form
��
������
�� � ��� �� � �� �
�� � �� � �� � �� �
� � � � �� � � � � � �
� � � � �� � � � � � ��
�
usw. für -QuBit-Systeme
Quantencomputer: Einführung – p.20/29
Operationen auf 2-QuBit-Systemen
unitäre Matrizen der Form
��
������
�� � ��� �� � �� �
�� � �� � �� � �� �
� � � � �� � � � � � �
� � � � �� � � � � � ��
�
usw. für �-QuBit-Systeme
Quantencomputer: Einführung – p.20/29
Quantenmechanik ist nicht intuitiv
Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand
� � � �� ��� �
messe , dann ; Ergebnisse unabhängig voneinander
aber: 2-QuBit-System in Bell-Zustand
Messung von 1. QuBit liefert mit Wahrscheinlichkeit jeweils
und Folgezustand
und Folgezustand
Messung von 2. QuBit liefert danach Wert des 1.!
Quantencomputer: Einführung – p.21/29
Quantenmechanik ist nicht intuitiv
Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand
� � � �� ��� �
messe
�� , dann
�� ; Ergebnisse unabhängig voneinander
aber: 2-QuBit-System in Bell-Zustand
Messung von 1. QuBit liefert mit Wahrscheinlichkeit jeweils
und Folgezustand
und Folgezustand
Messung von 2. QuBit liefert danach Wert des 1.!
Quantencomputer: Einführung – p.21/29
Quantenmechanik ist nicht intuitiv
Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand
� � � �� ��� �
messe
�� , dann
�� ; Ergebnisse unabhängig voneinander
aber: 2-QuBit-System in Bell-Zustand
� � � �
��
� � � � � � � � � � �
Messung von 1. QuBit liefert mit Wahrscheinlichkeit jeweils
und Folgezustand
und Folgezustand
Messung von 2. QuBit liefert danach Wert des 1.!
Quantencomputer: Einführung – p.21/29
Quantenmechanik ist nicht intuitiv
Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand
� � � �� ��� �
messe
�� , dann
�� ; Ergebnisse unabhängig voneinander
aber: 2-QuBit-System in Bell-Zustand
� � � �
��
� � � � � � � � � � �
Messung von 1. QuBit liefert mit Wahrscheinlichkeit
�� jeweils
und Folgezustand
und Folgezustand
Messung von 2. QuBit liefert danach Wert des 1.!
Quantencomputer: Einführung – p.21/29
Quantenmechanik ist nicht intuitiv
Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand
� � � �� ��� �
messe
�� , dann
�� ; Ergebnisse unabhängig voneinander
aber: 2-QuBit-System in Bell-Zustand
� � � �
��
� � � � � � � � � � �
Messung von 1. QuBit liefert mit Wahrscheinlichkeit
�� jeweils
�
� � �
und Folgezustand
� � � � � � � � �
und Folgezustand
Messung von 2. QuBit liefert danach Wert des 1.!
Quantencomputer: Einführung – p.21/29
Quantenmechanik ist nicht intuitiv
Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand
� � � �� ��� �
messe
�� , dann
�� ; Ergebnisse unabhängig voneinander
aber: 2-QuBit-System in Bell-Zustand
� � � �
��
� � � � � � � � � � �
Messung von 1. QuBit liefert mit Wahrscheinlichkeit
�� jeweils
�
� � �
und Folgezustand
� � � � � � � � �
�
� � �
und Folgezustand� � � � � � � � �
Messung von 2. QuBit liefert danach Wert des 1.!
Quantencomputer: Einführung – p.21/29
Quantenmechanik ist nicht intuitiv
Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand
� � � �� ��� �
messe
�� , dann
�� ; Ergebnisse unabhängig voneinander
aber: 2-QuBit-System in Bell-Zustand
� � � �
��
� � � � � � � � � � �
Messung von 1. QuBit liefert mit Wahrscheinlichkeit
�� jeweils
�
� � �
und Folgezustand
� � � � � � � � �
�
� � �
und Folgezustand� � � � � � � � �
Messung von 2. QuBit liefert danach Wert des 1.!
Quantencomputer: Einführung – p.21/29
Schaltelemente
Lemma: Sei
�
unitär. Dann ist
� �
unitär.
Folgerung:
Operationen auf QuBits sind reversible
Schaltelemente haben gleiche Anzahl von Ein- undAusgängen
z.B. CONTROLLED-NOT
oder
Quantencomputer: Einführung – p.22/29
Schaltelemente
Lemma: Sei
�
unitär. Dann ist
� �
unitär.
Folgerung:
� Operationen auf QuBits sind reversible
� Schaltelemente haben gleiche Anzahl von Ein- undAusgängen
z.B. CONTROLLED-NOT
oder
Quantencomputer: Einführung – p.22/29
Schaltelemente
Lemma: Sei
�
unitär. Dann ist
� �
unitär.
Folgerung:
� Operationen auf QuBits sind reversible
� Schaltelemente haben gleiche Anzahl von Ein- undAusgängen
z.B. CONTROLLED-NOT
�����
oder� �
������
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
��
Quantencomputer: Einführung – p.22/29
Schaltkreise . . .
. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verbotenebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT
Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden
z.B. QuBit-Vertauscher:
betrachte Aktion auf und :
Quantencomputer: Einführung – p.23/29
Schaltkreise . . .
. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verbotenebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT
Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden
z.B. QuBit-Vertauscher:
betrachte Aktion auf und :
Quantencomputer: Einführung – p.23/29
Schaltkreise . . .
. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verbotenebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT
Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden
z.B. QuBit-Vertauscher:
betrachte Aktion auf und :
Quantencomputer: Einführung – p.23/29
Schaltkreise . . .
. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verbotenebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT
Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden
z.B. QuBit-Vertauscher:
� � �� � �
�����
����� �����
betrachte Aktion auf und :
Quantencomputer: Einführung – p.23/29
Schaltkreise . . .
. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verbotenebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT
Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden
z.B. QuBit-Vertauscher:
� � �� � �
�����
����� �����
betrachte Aktion auf
� � �
und
� � �
:
� � � �� � �
Quantencomputer: Einführung – p.23/29
Schaltkreise . . .
. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verbotenebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT
Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden
z.B. QuBit-Vertauscher:
� � �� � �
�����
����������
betrachte Aktion auf
� � �
und
� � �
:
� � � �� � �
Quantencomputer: Einführung – p.23/29
Schaltkreise . . .
. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verbotenebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT
Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden
z.B. QuBit-Vertauscher:
� � �� � �
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betrachte Aktion auf
� � �
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:
� � � �� � � � � � � �� � � � �
Quantencomputer: Einführung – p.23/29
Schaltkreise . . .
. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verbotenebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT
Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden
z.B. QuBit-Vertauscher:
� � �� � � �����
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betrachte Aktion auf
� � �
und
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:
� � � �� � � � � � � �� � � � �
Quantencomputer: Einführung – p.23/29
Schaltkreise . . .
. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verbotenebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT
Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden
z.B. QuBit-Vertauscher:
� � �� � � �����
�����
�����
betrachte Aktion auf
� � �
und
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Quantencomputer: Einführung – p.23/29
Schaltkreise . . .
. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verbotenebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT
Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden
z.B. QuBit-Vertauscher:
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betrachte Aktion auf
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und
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Quantencomputer: Einführung – p.23/29
Schaltkreise . . .
. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verbotenebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT
Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden
z.B. QuBit-Vertauscher:
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Quantencomputer: Einführung – p.23/29
Schaltkreise . . .
. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verbotenebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT
Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden
z.B. QuBit-Vertauscher:
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Quantencomputer: Einführung – p.23/29
Schaltkreise . . .
. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verbotenebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT
Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden
z.B. QuBit-Vertauscher:
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betrachte Aktion auf
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Quantencomputer: Einführung – p.23/29
Schaltkreise . . .
. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verbotenebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT
Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden
z.B. QuBit-Vertauscher:
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und
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Quantencomputer: Einführung – p.23/29
Messen
Ergebnisse nicht einfach an beliebiger Stelle auslesen
Messen beeinflusst Zustand des Sytems
Messapparat ist ebenfalls physikalisches System
Sei mögliches Resultat einer Messung
Messung geg. durch unitären Operator , d.h.
Messung ist
Quantencomputer: Einführung – p.24/29
Messen
Ergebnisse nicht einfach an beliebiger Stelle auslesen
Messen beeinflusst Zustand des Sytems
Messapparat ist ebenfalls physikalisches System
Sei mögliches Resultat einer Messung
Messung geg. durch unitären Operator , d.h.
Messung ist
Quantencomputer: Einführung – p.24/29
Messen
Ergebnisse nicht einfach an beliebiger Stelle auslesen
Messen beeinflusst Zustand des Sytems
Messapparat ist ebenfalls physikalisches System
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Messung geg. durch unitären Operator , d.h.
Messung ist
Quantencomputer: Einführung – p.24/29
Messen
Ergebnisse nicht einfach an beliebiger Stelle auslesen
Messen beeinflusst Zustand des Sytems
Messapparat ist ebenfalls physikalisches System
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Quantencomputer: Einführung – p.24/29
Quantencomputer arbeiten anders
die Gesetze des Quantumcomputing lassen sich als Postulateformulieren
1. Postulat: (Zustandsraum)
Zu jedem isolierten, physikalischen System gehört ein Hilber-
traum (= komplexer Vektorraum mit innerem Produkt). Der Zu-
stand des Systems wird beschrieben durch einen Vektor der
Einheitslänge in diesem Raum.
Quantencomputer: Einführung – p.25/29
Quantencomputer arbeiten anders
die Gesetze des Quantumcomputing lassen sich als Postulateformulieren
1. Postulat: (Zustandsraum)
Zu jedem isolierten, physikalischen System gehört ein Hilber-
traum (= komplexer Vektorraum mit innerem Produkt). Der Zu-
stand des Systems wird beschrieben durch einen Vektor der
Einheitslänge in diesem Raum.
Quantencomputer: Einführung – p.25/29
2. Postulat: (Evolution)Die Evolution eines isolierten Systems vom Zeitpunkt
�zu
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wird durch einen unitären Operator
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in dem zug. Hilbertraumbeschrieben.
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Quantencomputer: Einführung – p.26/29
3. Postulat: (Messung)Messungen sind gegeben durch eine Reihe
� � � vonunitären Messoperatoren. Für diese gilt:
wird in gemessen mit Wahrscheinlichkeit
der Zustand nach dieser Messung ist
die Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu 1
Quantencomputer: Einführung – p.27/29
3. Postulat: (Messung)Messungen sind gegeben durch eine Reihe
� � � vonunitären Messoperatoren. Für diese gilt:
� � wird in
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gemessen mit Wahrscheinlichkeit
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der Zustand nach dieser Messung ist
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Quantencomputer: Einführung – p.27/29
3. Postulat: (Messung)Messungen sind gegeben durch eine Reihe
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Quantencomputer: Einführung – p.27/29
3. Postulat: (Messung)Messungen sind gegeben durch eine Reihe
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gemessen mit Wahrscheinlichkeit
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Quantencomputer: Einführung – p.27/29
4. Postulat: (Zusammengesetzte Systems)Der Zustandsraum eines zusammengesetzten Systems istdas Tensorprodukt der Zustandsräume seiner Komponenten.D.h. sind Komponenten in Zuständen
� �� � � � � � �� �� � , dann ist
das Gesamtsystem im Zustand
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Quantencomputer: Einführung – p.28/29
The End
Quantencomputer: Einführung – p.29/29
Huge EinleitungGeschichteDie Church-Turing-TheseDie Church-Turing-TheseDie Church-Turing-TheseDie Church-Turing-TheseDie Church-Turing-TheseDeutschs IdeeVon Interesse f"ur die InformatikDas ist aber noch nicht alles ldots "Uberblick "uber das SeminarHuge BegriffsbildungQuanten-BitsOperationen auf QuBits ldots Welche Operationen sind zugelassen?Lineare AlgebraTensorprodukt2 QuBitsOperationen auf 2-QuBit-SystemenQuantenmechanik ist nicht intuitivSchaltelementeSchaltkreise ldots MessenQuantencomputer arbeiten andersThe End