52 ARCH. MATH.

Quelques Caract6risations Op6ratorielles des Lzv-Espaces

Par

NIeora~ Pori*)

Les derniers progresses enr~gistr6s dans le domaine de la th6orie des espaces de Banaeh, notamment par les t r a v a u x de Lindenstrauss, Pelczynski, Rosenthal, Retherford, Stegall, ont fair possible la earact6risation des espaces pour lesquels diverses classes d'op6rateurs, par exemple la classe des op6rateurs absohment sommables, ou int6graux, coincident.

Un exemple dans ce sens est constitu6 par [11], off on montre qu'un espaee de Banach E est isomorphe avec un ~r si et seulement si, pour tout espace de Banach F, chaque operateur absolument sommable de E dans 2" est integral.

D'autre cSt~ Lindenstrauss et Rosenthal ont caract6ris6 dans [8] les espaces munis de la propri6t6 du prolongement (respectivement du lifting) pour la classe des op6rateurs compacts.

On est conduit ainsi vers l'id6e de donner des 6nonc6s analogues en remplagant la classe des op6rateurs compacts par une autre elasse d'op6rateurs, ce qui constitue l 'objet du travail.

On utilisera la terminologie habituelle de la th6orie des espaces de Banach [2], [9] avec les suivantes pr6cisations.

Pour deux espaces de Banach E et 2", l'espace des op6rateurs lin6aires et continus de E dans 2" sera not6 par L (E, 2"). On dira opdrateur pour d6signer un 616ment de L (E, 2"). On ~erira E c 2' dans le cas qu'fl y a une isom6trie de E dans F.

Nous notons par d(E, 2") = inf {l I T][, H T - in : T ~ L(E, 2"), T invertible}, d (E, 2") peut prendre la valeur infinie.

Soit 1 ~ t0 ~ co, ~ > 1. Un espaee de Banach E s'appelle .Sf~, ;~-es10ace, si pour tout sous-espace B r E de dimension finie il existe un sous-espace C c E, tel que B c C , dim C----n et d(C,l~) ~ 2.

S'fl existe un ~ > 1 tel que E soit un .9~, ~-espace, alors E s'appelle .5f~-espace. Les espaces L~ (/z) sont des Lf~, ~-espaees pour tout ~ > 1. Un espaee de Banach est in]dcti] s'il est complement6 dans tout espace de Banach F

tel que E c 2". E a la 10ro10ridtd d'a1010roximation si pour tout s > 0 et K compact de E, il y a

U e g ' Q E tel que [ U ( x ) - - x t < e, x e K .

*) Ce travail a ~t~ pr6par6 pendant que l'auteur 6tait boursier de la Fondation d'Alexander yon Humboldt.

Vol. XXVII, 1976 Caract6risations Op6ratorielles des .~ap-Espaces 53

Un op6rateur T e L (E,

(t) ~ lI T(x~)]l _-< i = 1

En notant inf C avee

F) est appel6 absolument sommable s'il y a C > 0, telle que

II T t]as et l'espaee des op6rateurs absolument sommables avec AS(E , F), AS(E , F) est un espace de Banach pour la norme H TIlas"

T e L (E, F) est appel6/ortement absolument sommable [1], s'fl y a C > 0 telie que

}} (2) s .p ,.(~) ~ e E ' , s u p x"(x~)[: H z " l f = l , x " e Z " ___l < ( i = l

< V max H x~li, x~ e E.

Si on note par ][ T i[1as inf C et par F A S (E, F) l'espace des op6rateurs lesquels v6rifient (2), FAS(E , .F) muni de ]] TIlfas est un espaee de Banaeh.

Dans [1] on montre que T e F A S ( E , F ) si et seulement si T' e A S ( F ' , E ' ) et T e A S (E, / ' ) si et seulement si T' e F A S (F', E').

Appelons maintenant un op6rateur T e L ( E , F), intdgral s'il existe un espace m6sure finie (f2, X,/~), tel qu'fl y a la faetorisation suivante:

T I

E , F . . . . F "

i ' (3) ~ s J

L~(~) - L~ (~)

oh I, J sont les applications eanoniques et R, S sont des op6rateurs. L'espaee des op~rateurs int~graux de E dans F sera not~ par I (E, F). T e L (E, 2')

est nucldaire si l'on peut 6crire sous la forme

oo t

(4) r (~) = 7. x~(z) y~, x e E , i = l

o o �9 t

i = l

L'infimum des ~ H x~ n [[ y~ ][ pour routes les expressions de T sons la forme (4), / = 1

est not6 par [I TUn" L'espaee des op6rateurs nuel6aires muni de eette nonne sera not6 par iV (E, F) et deviendra un espaee de Banaeh.

Th~or~me 1. I. Soit E un esloace de Banach. Les aHirmations suivantes sont ~qui. valentes:

1) E est un .~oo-espace.

2) Pour taws esl~aces de Banach F et G tels que E r Get Tour tout T e L (E, F), il existe une extension T e A S (G, F) de T.

En outre, l'a]/irmation 1) implique que T Ioeut $tre choid mSme intdgral.

54 N. PoPa ARCH. MATH.

II. Si E est un espace de Banach complement~ dans son bidual, alors 1) est 4quivalent avec:

3) Pour tous espaces de Banach F et G tels que F c Get pour tout T e A S (F, E), il existe une extension de T, T e A S (G, E).

Si E est un .~eoo-espace, T peut ~tre choisi m~me integral.

D ~ m o n s t r a t i o n . I. 1) ~ 2). D'apr~s ce qui a ~t~ remarqu~ auparavant Stegall et Retherford out montr6 dans le th~or~me I I I -3-- [l l] que E est un ~foo-espace si et seulement si A S ( E , 1~) = I (E , F) pour tout espace de Banach iv. On a done par l'hypoth~se T e I (E , F).

Puisque E" est un espace de Banach inj~etff (voir le corollaire du th~or~me 3.2-- [8]), en vertu du th~or~me 2.1-9)--[6], il existe To eL(G, E" ) tel que To/E ---- idE. T ~tant integral, il r~sulte que T " est integral, done faiblement compact.

Alors T " ( E ' ) c F ee qui implique que T----(T")a o To est dans I (G ,F) , off (T")a e'est l'op~rateur T " consider6 entre E " et iv. 1Kais, ~videmment,

~/E = (T")a o To/E = (T")a/E = T.

2) ~ 1). Soit M un espace compact tel que E c C(M). Puisque C(M) est un ~f~-espace, l'414ment T e A S (C (M), iv) est m~me dans I (C (M), F) (voir le th4or~me I I I -3 - - [ l l ] ) . Alors T e I (E , iv), ce qui implique que, pour tout espaee de Banach F, A S ( E , F ) = I (E , F). Done E est un .~e~-espace, en appliquant de nouveau le th4or~me III-3--[11].

II . 1) ~ 3). Dans la remarque III-4-iii) -- [11] on montre que E est un ~ - e s p a c e si et seulement si, pour tout espace de Banach F, AS(iv, E) = I(iv, E).

Si T e A S ( F , E) Mors T e I (F, E), c'est-A-dire il admet la factorisation (3), off les rSles de E et F sont intervertis.

Soit G un espace de Banach tel que G o F. En vertu du th4or~me du prolongement de Naehbin-Kelley (volt [4], [10]), il existe _~ e L(G, L~(#)) tel que _~/iv = / ~ . En posant T I = S o J o R alors T t e I ( G , E " ) et T 1 / F = I o T . Si P : E " - - > E est la projection canonique assfir6e par l'hypoth~se sur E, Mors T = P o T1 ~ I(G, E) et~/F=PoT1/iv=PoloT= T.

3) ~ 1). Soit M un compact tel que i v c C ( M ) . Si T e A S ( F , E ) , il existe par l'hypoth~se r T e A S ( C ( M ) , E ) telle que T / F = T. En appliquant le th4or6me I I I . 3 - - [ l l ] il r~sulte que ~ ~ I (C(M), E), c'est-s que T e I (F , E). On obtient maintenant la conclusion en vertu de la remarque III-4-i i i)--[ l l] .

On peut remarquer que dans l'imp!ication 3) ~ I) le fair que E soit complement6 dans E " n'a pas ~t6 utilis4.

Si on r6nonee s cette restriction on peut d6montrer l'6quivalence de 1) avec une affirmation plus faible que 3).

CoroUaire 2. So~t E un espace de Banach. Les suivantes a//irmations sont dquivalentes:

1) E est un .ifoo-espave.

2) Pour tous espaces de Banach 2' et G tels que F c G et Tour tout T e A S (II, E") il existe T e A S ( G , E " ) tel que ~/iv = T.

Si E est un .5~oo-espace, ~' peut 4tre choisi m4me int4gral.

Vol. XXVII, 1976 Caract~risations 0p~ratorielles des ~-Espaces 55

D 6 m o n s t r a t i o n . Puisque E " est complement6 dans son bidu~l, en vertu du th6orbme 1 il r6sulte que l'affirmation 2) est 6quivalente avee l'affirmation:

1') E" est un ..Sf~c.espace.

Mais 1') est ~quivalente avee 1) s la suite du th~pr~me I I I - - [ l l ] . Le th~or&me 1 precise une remarque de Cohen [1], qui a montr~ qu'en g~n~ral

un op~rateur absolument sommable n 'admet pas un prolongement absolument sommable.

On peut caract~riser les .9~l-espaces d 'un fa~on analogue au th~or~me III-3--[11].

Th~or~me 3. I. Soit E un espace de Banach. Les 8uivantes a//irmations sont dqui- valentes :

1) E est un .~f l-es~ace.

2) Pour tout espace de Banach F, FAS(E , F) ~- I (E, F).

II. Supposons que E est un espace de Banach conjugud. Alors 1) est dquivalente avec:

3) Pour tout espace de Banach F, FAS(F , E) ~- I (F, E).

D ~ m o n s t r a t i o n . I. Remarquons d 'abord que FAS(E , F ) ~ I (E, F) pour tous espaces de Banach E et F.

1) ~ 2). Soit maintenant T e .FAS(E ,P) , c'est-s T ' e A S ( F ' , E ' ) . Puisque E ' est nn ~ - e s p a c e (voir [8]), en vertu de la remarque III-4-ifi) -- [l l] il suit que T' e I ( F ' , E'), ee qui ~quivaut s dire que T e I ( E , F ) .

2) ~ 1). Montrons qne E ' est un s Soit G u n espaee de Banach et soit V e AS(G, E'). Alors V' et, a fortiori, V'/E

sont des op~rateurs fortement absolument sommables. Plus pr~cis~ment

V'/E e FAS(E , G'),

ee qui entraine en vertu de l'hypoth~se que V'/E e I (E, G'). Si I : E --> E " c'est l 'application canonique, alors V'/E -~ V' o I, d'ofi

(V'/E)" = V ' "o I = V ' " /E" = V' .

Done V' e I (E", G') ce qui implique que V e I (G, E'), e'est-s que E ' est un ~f:~-espaee. (On utilise de nouveau la remarque III-4-ii i)--[l l] .)

II . L'impheation 1) ~ 3) se prouve d'une mani~re analogue ~ 1) ~ 2) en utihsant au lieu de la remarque III-4-iii), le th~or~me I I L 3 - - [ l l ] .

3) ~ 1). Soit G u n espace de Banaeh tel que E = G ' . Si T e A S ( G , F ) , alors T' ePAS(F',G')---- F A S ( F ' , E ) - ~ I(.F',E)----- I(F' ,G') . Done T e I ( G , $ ' ) , c'est- m-dire G est un cf~-espace. La conclusion r~sulte imm~diatement.

On pent r~noneer k la condition restrictive sur E impos~e dans le th~or~me 3 I I en affaibhssant l 'affirmation 3).

Corollaire 4. Soit E un espace de Banach. Les a//irmations suivantes sont ~quivalentes:

1) E est un .Sf l-es~ace.

2) Pour tout espace de Banach _~, EAS(E , E") ~- I (F , E").

D ~ m o n s t r a t i o n . Puisque E" est un espaee de Banaeh conjugu~, 1'affirmation 2) est ~quivalente avec l'affirmation

56 N. Po~A ARCH. MATH.

1') E" est un --q~l-espace. 1Kais 1') et 1) sont ~quivalentes en vertu du th~or~me III--[8] . Enfin on peut caract~riser les ~l-espaees d 'un fapon dual & la caract~risation des

~oo-espaees donn~e dans le th6or~me 1.

Th~or~me 5. Soit E un espace de Banach con]ugu~ et J: E---> E" l'aTplication canonique. Alors les deux aHirmations qu{ suivent 8ont ~quivalentes:

1) E est un .9'l-espace.

2) Pour tous espaces de Banach • et G tels qu'il existe un homomorphisme m~trique sur]ecti/ ~: G --+ E et pour tout T e F A S ( F , E), il existe T e lVAS(E, G") tel que ~"o ~---- Jo T.

En outre 1) implique que ~' peut ~tre cho{si mgme integral.

D 6 m o n s t r a t i o n . 1) ~ 2). E ' ~tant un .~-espace , on a l e diagramme commutatif

E'--~ F'

off q~', le transposg de ~0, est une isom~trie darts G', T" s A S ( E ' , !") et V ~ I(G', F') est don_n~ par le th6or~me 1.

Alors ~" o V' = T", d'ofl J o T = ~" o V'/F. i~Iais V ~tant int6gral, V' et, a fortiori, V'/F sont int6graux. En notant V'/F avec ~, on obtient l'affirmation 2).

2) ~ 1). Soit (x,)~lUn ensemble total dans la boule unit6 de E, G = l l (I) et 9: 11 (I) --> E l 'homomorphisme m*trique surjectif donn6 par (i,)~ez -+ ~ t ,x , . Par

i e I

l 'hypoth~se fl existe T e F A S ( F , G") tel que 9 " 0 T = J o T. Puisque G est un 5gl-espace, le corollaire 4 nous montre que T e I (F, G"). Done J o T ~ I (F , E"), ce qui entralne que T e I (F, E).

En appliquant le th6or~me 3 I I on en eonclut. On peut donner maintenant le dual du th6or~me 1 de [5].

Th6or~me 6. Soit E un espace de Banach con]ugu4. Alors les a//irmations suivantes sont dquivalentes:

1) E est isomorphe avec ll ( I) pour un certain ensemble I.

2) Pour tout espace de Banach F, F A S (F, E) = IY (F, E).

D ~ m o n s t r a t i o n . 1) ~ 2). Puisque E est un ~ez-espace, le th~or~me 3 implique que F A S ( F , E ) = I (F , E). D'autre c5t6, est bienconnu que I (F, E ) = N(F, E), (volt par exemple [5], page 180) donc l'implication est d~montr~e.

2) ~ 1). Soit H u n espace de Banach tel que E = H ' et soit T e AS(H, ~). Alors T' e F A S (F', E) ---- N (F', E) c I (F', E), c'est-~-dire T �9 I (H, F). Donc AS(H, F) = I (H, F) pour tout espace de Banach F. En vertu du th~or~me I I I -3 ) - - [ l l ] H est un .~-espace, ce qui implique que H "

est un .~'oo-espace. Alors H " poss~de la propri~t~ d'approximation, [12]. I1 s'en suit que H ' a la propri6t~ d'approximation et grace & la proposition 15,

chap. I - - [3] T appartient au N(H, F). La conclusion r~sulte maintenant du th~or~me 1--[5].

Vol. XXVII, 1976 Caract6risations Op6ratorieiles des .L~a~-Espaces 57

Corollaire 7 (La 19ropridtd de lifting pour les applications /ortement absolument ~ommables).

Soit E un espace de Banach con]ugud. Alors on a les dquivalences:

1) E est isomorphe avec un ll (I).

2) 2our tows espaces de Banach .F et G, tout homomorphisme mdtrique sur]ecti/ ~v: G--> E et tout T e F A S ( F , E ) , il existe ~' e F A S ( F , G) tel que q~o T = T.

En outre si E est isomorlghe avec un 11 (I), Tes t m~me nuclgaire.

D 6 m o n s t r a t i o n . 1) ~ 2). E n ver tu du th6orbme 6 il r6sulte que T e N ( E , F). Alore il existe T e h r (2', G) tel que T o T = T.

2) ~ 1). Soit (Xs)sez un ensemble tota l de la boule unit6 de E, G = 11 (S) et : I1 (S) --> E l 'homomorphisme (2s)szz ---> ~ 2s Xs.

s e S

Pa r l 'hypoth~se pour t ou t T e FAS(F , E), il existe T e FAS(F , G), tel que T = q o T. Mais, en ver tu du th6or~me 6, T ~ N(F, G), ee qui implique que T e h r (F, E). En appl iquant de nouveau le th6or~me 6, on obtient la conclusion.

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Anschrift des Autors:

Nicolae Popa Institut des Math6matiques Bucarest Roumanie et FB Mathematik der Universit~t D-66 Saarbriicken Bundesrepublik Deutschland

Eiagegangen am 16. 12. 1974