Questões Q9.1 sua resposta for negativa. explique por … · Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky, Young & Freedman – Física I –

Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky, Young & Freedman – Física I – Editora Pearson, 10ª Edição

Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

1

Questões

Q9.1 Quando uma fíta de vídeo ou de áudio é

rebobinada, por que a velocidade com que ela se desenrola é

mais rápida no final do rebobinamento?

Q9.2 Um corpo que gira em torno de um eixo fixo

deve ser perfeitamente rígido para que todos os pontos do

corpo girem com a mesma velocidade angular e com a

mesma aceleração angular? Explique.

Q9.3 Qual é a diferença entre a aceleração

tangencial e a aceleração radial de um ponto em um corpo

que gira?

Q9.4 Na Figura 9.11, todos os pontos da corrente

possuem a mesma velocidade escalar linear v. O módulo da

aceleração linear a também é o mesmo para todos os pontos

ao longo da corrente? Qual é a relação existente entre a

aceleração angular das duas rodas dentadas? Explique.

Q9.5 Na Figura 9.11, qual é a relação entre a

aceleração radial de um ponto sobre o dente de uma das

rodas e a aceleração radial de um ponto sobre o dente da

outra roda dentada? Explique o raciocínio que você usou

para responder a essa pergunta.

Q9.6 Um volante gira com velocidade angular

constante. Um ponto de sua periferia possui aceleração

tangencial? Possui aceleração radial? Essas acelerações

possuem um módulo constante? Possuem direção

constante? Explique o raciocínio usado em cada caso.

Q9.7 Qual é o objetivo do ciclo de rotação da

máquina de lavar roupa? Explique em termos dos

componentes da aceleração.

Q9.8 Embora a velocidade angular e a aceleração

angular possam ser tratadas como vetores, o deslocamento

angular θ, apesar de possuir módulo e sentido, não é

considerado um vetor. Isso porque o ângulo θ1 não segue as

regras da lei comutativa da adição vetorial (Equação (l .4)).

Prove essa afirmação do seguinte modo. Coloque um

dicionário apoiado horizontalmente sobre a mesa à sua

frente, com a parte superior voltada para você de modo que

você possa ler o título do dicionário. Gire a aresta mais

afastada de você a 90° em torno de um eixo horizontal.

Chame esse deslocamento angular de 0p A seguir gire a

aresta esquerda 90° se aproximando de você em torno de um

eixo vertical. Chame esse deslocamento angular de θ1. A

lombada do dicionário deve ficar de frente para você, c você

poderá ler as palavras impressas na lombada. Agora repita

as duas rotações de 90°, porém em ordem inversa. Você

obtém o mesmo resultado ou não? Ou seja, θ2 + θ1 é igual a

θ2 + θ1,? Agora repita a experiência porém com um ângulo

de l ° cm vez de 90°. Você acha que um deslocamento

infinitesimal dê obedece à lei comutativa da adição e,

portanto, o qualifica como um vetor? Caso sua resposta seja

afirmativa, como você relaciona a direção e o sentido de dê

com a direção e o sentido de tu?

Q9.9 Você consegue imaginar um corpo que

possua o mesmo momento de inércia para todos os eixos

possíveis? Em caso afirmativo, forneça um exemplo e, se

sua resposta for negativa. explique por que isso seria

impossível. Você pode imaginar um corpo que possua o

mesmo momento de inércia em relação a todos os eixos

passando em um ponto específico? Caso isso seja possível,

forneça um exemplo e diga onde o ponto deve estar

localizado.

Q9.10 Para maximizar o momento de inércia de

um volante e minimizar seu peso, qual deve ser sua forma e

como sua massa deve ser distribuída? Explique.

Q9.11 Como você poderia determinar

experimentalmente o momento de inércia de um corpo de

forma irregular em relação a um dado eixo?

Q9.12 Um corpo cilíndrico possui massa M e raio

R. Pode sua massa ser distribuída ao longo do corpo de tal

modo que seu momento de inércia em relação ao seu eixo de

simetria seja maior do que AW2? Explique.

Q9.13 Explique como a parte (b) da Tabela 9.2

poderia se usada para deduzir o resultado indicado na parte

(d).

Q9.14 O momento de inércia I de um corpo rígido

em relação a um eixo que passa em seu centro de massa é

Icm. Existe algum eixo paralelo a esse eixo para o qual I seja

menor do que Icm? Explique.

Q9.15 Para que as relações de / fornecidas nas

partes (a) e (b) da Tabela 9.2 sejam válidas, é necessário que

a barra tenha uma seção rota circular? Existe alguma

restrição sobre a área da seção reta para que essas relações

sejam válidas? Explique.

Q9.16 Na parte (d) da Tabela 9.2, a espessura da

placa deve ser menor que a para que a expressão de I possa

ser aplicada. Porém, na parte (c), a expressão se aplica para

qualquer espessura da placa. Explique.

Q9.17 Na Figura 5.26a use as expressões

21

2K m v e

21

2K I para calcular a energia

cinética da caixa (considerando-a uma partícula única).

Compare os dois resultados obtidos. Explique esses

resultados.

Q9.18 A Equação (9.18) mostra que devemos usar

ycm para calcular U de um corpo com uma distribuição de

massas contínua. Porém no Exemplo 9.9 (Seção 9.5). y não

foi medido em relação ao centro de massa mas, sim, a partir

do ponto inferior da massa pendurada. Isso está errado?

Explique.

Q9.19 Qualquer unidade de ângulo — radiano,

grau ou revolução — pode ser usada em alguma equação do

Capítulo 9, porém somente ângulos em radianos podem ser

usados em outras. Identifique as equações para as quais o

uso do ângulo em radianos é obrigatório e aquelas para as

quais você pode usar qualquer unidade de ângulo, e diga o

raciocínio que foi usado por você em cada caso.



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SEÇÃO 9.2

VELOCIDADE ANGULAR

ACELERAÇÃO ANGULAR

9.1 (a) Calcule o ângulo em radianos subtendido por

um arco de 1.50 m de comprimento ao longo de uma

circunferência de raio igual a 2.50 m. Qual é esse ângulo em

graus? (b) Um arco de comprimento igual a 14.0 cm subtende

um ângulo de 128° em um círculo. Qual é o raio da

circunferência desse círculo? (c) E de 0.700 rad o ângulo entre

dois raios de um círculo de raio igual a 1.50 m. Qual é o

comprimento do arco sobre a circunferência desse círculo

compreendido entre esses dois raios?

9.2 A hélice de um avião gira a 1900 rev/min. (a)

Calcule a velocidade angular da hélice em rad/s. (b) Quantos

segundos a hélice leva para girar a 35°?

9.3 Considere o volante dos Exemplos 9.1 e 9.2

(Seção 9.2).

(a) Calcule a aceleração angular instantânea para t =

3.5 s. Explique porque seu resultado é igual à aceleração

angular média para o intervalo entre 2,0 s e 5.0 s.

(b) Calcule a velocidade angular instantânea para t =

3.5 s. Explique por que seu resultado não é igual à velocidade

angular média para o intervalo entre 2.0 s e 5.0 s, embora 3.5 s

corresponda ao valor médio desse intervalo de tempo.

9.4 As lâminas de um ventilador giram com

velocidade angular dada por 2t t , onde =

5.00 rad/s e = 0.800 rad/s2.

(a) Calcule a aceleração angular em função do tempo,

(b) Calcule a aceleração angular instantânea a para t =

3.00 s e a aceleração angular média αmed para o intervalo de

tempo t = 0 até t = 3.00 s. Como essas duas grandezas podem

ser comparadas? Caso elas sejam diferentes, por que são

diferentes?

9.5 Uma criança está empurrando um carrossel. O

deslocamento angular do carrossel varia com o tempo de

acordo com a relação 3t t t , onde = 0.400

rad/s e = 0.0120 rad/s2.

(a) Calcule a velocidade angular do carrossel em

função do tempo,

(b) Qual é o valor da velocidade angular inicial?

(c) Calcule o valor da velocidade angular instantânea

para t = 5.00 s e a velocidade angular média med para o

intervalo de tempo de t = 0 até t = 5.00 s. Mostre que med não

é igual a média das velocidades angulares para t = 0 até t = 5.00

s e explique a razão dessa diferença.

9.6 Para t = 0 a corrente de um motor elétrico de

corrente contínua (de) é invertida, produzindo um

deslocamento angular do eixo do motor dado por 2 32 3250 20 1.50t rad s t rad s t rad s t .

(a) Em que instante a velocidade angular do eixo do

motor se anula?

(b) Calcule a aceleração angular no instante em que a

velocidade angular do eixo do motor é igual a zero.

(c) Quantas revoluções foram feitas pelo eixo do

motor desde o instante em que a corrente foi invertida até o

momento em que a velocidade angular se anulou?

(d) Qual era a velocidade angular do eixo do motor

para t = 0, quando a corrente foi invertida?

(e) Calcule a velocidade angular média no intervalo

de tempo desde t = 0 até o instante calculado no item (a).

9.7 O ângulo descrito por uma roda de bicicleta

girando é dado por 2 3t a b t c t onde a, b e c são

constante reais são constantes positivas tais que se t for dado

em segundos, θ deve ser medido em radianos.

(a) Calcule a aceleração angular da roda em função do

tempo.

(b) Em que instante a velocidade angular instantânea

da roda não está variando?

SEÇÃO 9.3

ROTAÇÃO COM ACELERAÇÃO ANGULAR

CONSTANTE

9.8 A roda de uma bicicleta possui uma velocidade

angular de 1.50 rad/s.

(a) Se sua aceleração angular é constante e igual a

0.300 rad/s², qual é sua velocidade angular para t = 2.50 s?

(b) Qual foi o deslocamento angular da roda entre t = t

= 2.50 s?

9.9 Um ventilador elétrico é desligado, e sua

velocidade angular diminui uniformemente de 500 rev/min até

200 rev/min em 4.00 s.

(a) Ache a aceleração angular em rev/s²e o número de

revoluções feitas no intervalo de 4.00 s.

(b) Supondo que a aceleração angular calculada no

item (a) permaneça constante. durante quantos segundos a

mais a roda continuará a girar até parar?

9.10 (a) Deduza a Equação (9.12) combinando a

Equação (9.7) com a Equação (9.11) para eliminar t.

(b) A velocidade angular da hélice de um avião cresce

de 12.0 rad/s até 16.0 rad/s quando ela sofre um deslocamento

angular de 7.00 rad. Qual é a aceleração angularem rad/s²?

9.11 A lâmina rotatória de um misturador gira com

aceleração angular constante igual a 1.50 rad/s².

(a) Partindo do repouso, quanto tempo ela leva para

atingir uma velocidade angular de 36.0 rad/s?

(b) Qual o número de revoluções descritas pela

rotação da lâmina nesse intervalo de tempo?

9.12 Um volante leva 4.00 s para girar através de um

ângulo de 162 rad. Sua velocidade angular nesse instante Final

é igual a 108 rad/s. Calcule

(a) a velocidade angular no início desse intervalo de

4.00 s;

(b) a aceleração angular constante.

9.13 A roda de uma olaria gira com aceleração

angular constante igual a 2.25 rad/s². Depois de 4.00 s, o

ângulo descrito pela roda era de 60.0 rad. Qual era a velocidade

angular da roda no início do intervalo de 4.00 s?

9.14 A lâmina de uma serra circular de diâmetro igual

a 0.200 m começa a girar a partir do repouso. Em 6.00 s ela se

acelera com velocidade angular constante ate uma velocidade

angular igual a 140 rad/s. Calcule a aceleração angular e o

deslocamento angular total da lâmina.



3

9.15 Um dispositivo de segurança faz a lâmina de

uma serra mecânica reduzir sua velocidade angular de um

valor 1 ao repouso, completando 1.00 revolução. Com essa

mesma aceleração constante, quantas revoluções seriam

necessárias para fazer a lâmina parar a partir de uma

velocidade angular 2 sendo 2 = 3 1 ?

9.16 Uma fita refletora estreita se estende do centro à

periferia de uma roda. Você escurece a sala e usa uma câmara e

uma unidade estroboscópica que emite um flash a cada 0.050 s

para fotografar a roda enquanto ela gira em um sentido

contrário ao dos ponteiros do relógio. Você dispara o

estroboscópio de tal modo que o primeiro flash (t = 0) ocorre

quando a fita está na horizontal voltada para a direita com

deslocamento angular igual a zero. Para as situações descritas a

seguir, faça um desenho da foto que você obterá para a

exposição no intervalo de tempo para cinco flashes (para t = 0:

0.050 s; 0.100 s: 0.150 s: e 0.200 s): faça um gráfico de θ contra

t e de a contra t desde t = 0 até t = 0.200 s.

(a) A velocidade angular é constante e igual a 10.0

rev/s.

(b) A roda parte do repouso com uma aceleração

angular de 25.0 rev/s².

(c) A roda está girando a 10.0 rev/s para t = 0 e varia

sua velocidade angular com uma taxa constante de -50.0 rev/s².

9.17 Para t = 0, a roda de um esmeril possui

velocidade angular igual a 24,0 rad/s. Ela possui uma

aceleração angular constante igual a 30.0 rad/s' quando um

freio é acionado em t = 2.00 s. A partir desse instante ela gira

432 rad à medida que pára com uma aceleração angular

constante,

(a) Qual foi o deslocamento angular total da roda

desde t = 0 até o instante em que ela parou?

(b) Em que instante ela parou?

(c) Qual foi o módulo da sua aceleração quando ela

diminuía de velocidade?

9.18 (a) Deduza uma expressão para um movimento

com aceleração angular constante que forneça θ – θ0 em função

de de α e de t (não use 0 na equação),

(b) Para t = 8.0 s, uma engrenagem gira em tomo de

um eixo fixo a 4.50 rad/s. Durante o intervalo precedente de 8.0

s ela girou através de um ângulo de 40.0 rad. Use o resultado da

parte (a) para calcular a aceleração angular constante da

engrenagem,

(c) Qual era a velocidade angular da engrenagem para

t = 0?

SEÇÃO 9.4 RELAÇÕES ENTRE A

CINEMÁTICA ANGULAR LINEAR E A

CINEMÁTICA

9.19 O rotor principal de um helicóptero gira em um

plano horizontal a 90.0 rev/min. A distância entre o eixo do

rotor e a extremidade da lâmina é igual a 5.00 m. Calcule a

velocidade escalar da extremidade da lâmina através do ar se

(a) o helicóptero está em repouso no solo:

(b) o helicóptero está subindo verticalmente a 4.00

m/s.

9.20 Um CD armazena músicas em uma configuração

codificada constituída por pequenas reentrâncias com

profundidade de 10 m. Essas reentrâncias são agrupadas ao

longo de uma trilha em forma de espiral orientada de dentro

para fora até a periferia do disco; o raio interno da espiral é

igual a 25.0 mm e o raio externo é igual a 58.0 mm. À medida

que o disco gira em um CD player, a trilha é percorrida com

uma velocidade linear constante de 1.25 m/s.

(a) Qual é a velocidade angular do CD quando a parte

mais interna da trilha esta sendo percorrida? E quando a pane

mais externa está sendo percorrida?

(b) O tempo máximo para a reprodução do som de um

CD é igual a 74,0 min. Qual seria o comprimento total da trilha

desse CD caso a espiral tosse esticada para formar uma trilha

reta?

(c) Qual é a aceleração angular máxima para esse CD

de máxima duração durante o tempo de 74.0 min? Considere

como positivo o sentido da rotação do disco.

9.21 Uma roda gira com velocidade angular constante

de 6.00 rad/s.

(a) Calcule a aceleração radial de um ponto a 0.500 m

do eixo, usando a relação arad = 2r.

(b) Ache a velocidade tangencial do ponto e calcule

sua aceleração radial pela fórmula arad = v2/r.

9.22 Calcule a velocidade angular necessária (em

rev/min) de uma ultracentrífuga para que a aceleração radial de

um ponto a 2.50 cm do eixo seja igual a 400000g (isto é,

400000 vezes maior do que a aceleração da gravidade).

9.23 Um volante de raio igual a 0.300 m parte do

repouso e se acelera com aceleração angular constante de 0.600

rad/s2. Calcule o módulo da aceleração tangencial, da

aceleração radial e da aceleração resultante de um ponto da

periferia do volante

(a) no início:

(b) depois de ele ter girado um ângulo de 60.0°;

(c) depois de ele ter girado um ângulo de 120.0°.

9.24 Um ventilador de teto cujas lâminas possuem

diâmetro de 0.750 m está girando em torno de um eixo fixo

com uma velocidade angular inicial igual a 0.250 rev/s. A

aceleração angular é igual a 0.900 rev/s2.

(a) Calcule a velocidade angular depois de 0.200 s.

(b) Quantas revoluções foram feitas pela lâmina

durante esse intervalo de tempo?

(c) Qual é a velocidade tangencial de um ponto na

extremidade da lâmina para t = 0.200 s?

(d) Qual é o módulo da aceleração resultante de um

ponto na extremidade da lâmina para t = 0.200 s?

9.25 Uma propaganda afirma que uma centrífuga



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precisa somente de 0.127 m para produzir uma aceleração

radial de 3000 para 5000 rev/min. Calcule o raio necessário

dessa centrífuga. A afirmação da propaganda é viável?

9.26 (a) Deduza uma equação para a aceleração radial

que inclua v e mas não inclua r.

(b) Você está projetando um carrossel para o qual um

ponto da periferia possui uma aceleração radial igual a 0.500

m/s2 quando a velocidade tangencial desse ponto possui

módulo igual a 2.00 m/s. Qual é a velocidade angular

necessária para se atingir esses valores?

9.27 Um problema de furadeira. Ao furar um

buraco com diâmetro igual a 12.7 mm na madeira, no plástico

ou no alumínio, o manual do fabricante recomenda uma

velocidade de operação igual a 1250 rev/min. Para uma broca

com um diâmetro de 12.7 mm girando com uma velocidade

constante igual a 1250 rev/min, calcule

(a) a velocidade linear máxima de qualquer ponto da

broca;

(b) a aceleração radial máxima de qualquer ponto da

broca.

9.28 Para t = 3.00 s, um ponto na periferia de uma

roda com raio de 0.200 m possui uma velocidade tangencial

igual a 50.0 m/s quando a roda está freando com uma

aceleração tangencial constante com módulo igual a 10.0 m/s2.

(a) Calcule a aceleração angular constante da roda.

(b) Calcule as velocidades angulares para t = 3.00 s e t

= 0.

(c) Qual foi o deslocamento angular do giro da roda

entre t = 0 e t = 3.00 s?

(d) Em qual instante a aceleração radial toma-se igual

a g?

9.29 Os ciclos de rotação de uma máquina de lavar

possuem duas velocidades angulares, 423 rev/min e 640

rev/min. O diâmetro interno do tambor é igual a 0.470 m.

(a) Qual é a razão entre a força radial máxima sobre a

roupa, quando a velocidade angular é máxima, e a força radial,

quando a velocidade angular é mínima?

(b) Qual é a razão da velocidade tangencial máxima

da roupa quando a velocidade angular é máxima e quando a

velocidade angular é mínima?

(c) Calcule, em função de g a velocidade tangencial

máxima da roupa e a aceleração radial máxima.

SEÇÃO 9.5

ENERGIA NO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO

9.30 Pequenos blocos, todos com a mesma massa m,

estão presos às extremidades e ao centro de uma barra leve de

comprimento igual a L. Calcule o momento de inércia do

sistema em relação a um eixo perpendicular à barra passando

em um ponto situado a ¼ do comprimento a partir de uma das

extremidades da barra. Despreze o momento de inércia da

barra leve.

9.31 Uma batuta consiste em um fino cilindro

metálico de massa M e comprimento L. Cada extremidade

possui uma tampa de borracha de massa m e cada tampa pode

ser tratada com precisão como uma partícula neste problema.

Calcule o momento de inércia da batuta em relação ao eixo

usual de rotação (perpendicular à batuta e passando pelo seu

centro).

9.32 Calcule o momento de inércia em relação a cada

um dos seguintes eixos para um eixo de 0.300 cm de diâmetro,

1.50 m de comprimento e massa igual a 0.0420 kg. Use as

fórmulas da Tabela 9.2.

(a) Em relação a um eixo perpendicular à barra e

passando pelo seu centro,

(b) Em relação a um eixo perpendicular à barra e

passando em uma de suas extremidades,

(c) Em relação a um eixo longitudinal passando pelo

centro da barra.

9.33 Quatro pequenas esferas, todas consideradas

massas puntiformes com massa de 0.200 kg, estão dispostas

nos vértices de um quadrado de lado igual a 0.400 m e

conectadas por hastes leves (Figura 9.21). Calcule o momento

de inércia do sistema em relação a um eixo

(a) perpendicular ao quadrado e passando pelo seu

centro (um eixo passando pelo ponto O na figura);

(b) cortando ao meio dois lados opostos do quadrado

(um eixo ao longo da linha AB indicada na figura);

(c) passando pelo centro da esfera superior da

esquerda e pelo centro da esfera inferior da direita e através do

ponto O.

0.400 m 0.200 kg

A B

O

Figura 9.21 – Exercício 9.33.

9.34 Fator de Escala de /. Quando multiplicamos

todas as dimensões de um objeto por um fator de escala/, sua

massa e seu volume ficam multiplicados por / . a) O momento

de inércia ficará multiplicado por qual fator? b) Sabendo que

um modelo feito com uma escala de -w possui uma energia

cinética relacional de 2,5 J, qual será a energia cinética do

objeto sem nenhuma redução de escala feito com o mesmo

material e girando com a mesma velocidade angular?

9.35 Uma roda de carroça é feita como indicado na

Figura 9.22. O raio da roda é igual a 0,300 m e o aro possui

massa igual a 1.40 kg. Cada um dos seus oito raios, distribuídos

ao longo de diâmetros, possuem comprimento de 0.300 m e

massa igual a 0.280 kg. Qual é o momento de inércia da roda

em relação a um eixo perpendicular ao plano da roda e

passando pelo seu centro? (Use as fórmulas indicadas na

Tabela 9.2.)



5

FIGURA 9.22 Exercício 9.35.

9.36 Uma hélice de avião possui massa de 117 kg e

comprimento igual a 2.08 m (de uma extremidade a outra). A

hélice está girando a 2400 rev/min em relação a um eixo que

passa pelo seu centro,

(a) Qual é sua energia cinética rotacional? Considere

a hélice como uma barra delgada,

(b) Supondo que ela não gire, de que altura ela deveria

ser largada em queda livre para que adquirisse a mesma energia

cinética?

9.37 (a) Mostre que as unidades de 21

2I são

equivalentes às unidades de joule. Explique por que a unidade

"rad" não precisa ser incluída nessas unidades,

(b) Geralmente w é expresso em rev/min em vez de

rad/s. Escreva uma expressão para a energia cinética rotacional

de forma que se / for expresso em kg . m2 e for expresso em

rev/min, a energia cinética será expressa em joules.

9.38 O prato de discos de um fonógrafo antigo possui

energia cinética igual a 0.0250 J quando gira com 45,0 rev/min.

Qual é o momento de inércia do prato do fonógrafo em relação

ao eixo de rotação?

9.39 Um volante de motor a gasolina deve fornecer

uma energia cinética igual a 500 J quando sua velocidade

angular diminui de 650 rev/min para 520 rev/min. Qual é o

momento de inércia necessário'?

9.40 Uma corda leve e flexível é enrolada diversas

vezes em tomo da periferia de uma casca cilíndrica com raio

de 0.25 m e massa igual a 40.0 N, que gira sem atrito em tomo

de um eixo horizontal fixo. O cilindro é ligado ao eixo por

meio de raios com momentos de inércia desprezíveis. O

cilindro está inicialmente em repouso. A extremidade livre da

corda é puxada com uma força constante P até uma distância

de 5.00 m, e nesse ponto a extremidade da corda se move a

6.00 m/s. Sabendo que a corda não desliza sobre o cilindro,

qual é o valor de P?

9.41 Desejamos armazenar energia em um volante de

70.0 kg que possui forma de um disco maciço uniforme com

raio R = 1.20 m. Para impedir danos estruturais, a aceleração

radial máxima de um ponto na sua periferia é igual a 3500 m/s².

Qual é a energia cinética máxima que pode ser armazenada no

volante?

9.42 Suponha que o cilindro maciço do dispositivo

descrito no Exemplo 9.9 (Seção 9.5) seja substituído por uma

casca cilíndrica com o mesmo raio R e com a mesma massa M.

O cilindro é ligado ao eixo por meio de raios com momentos de

inércia desprezíveis.

(a) Calcule a velocidade da massa m suspensa no

instante em que ela atinge o solo.

(b) A resposta encontrada no item (a) é igual, maior

ou menor do que a resposta do Exemplo 9.9? Explique sua

resposta usando conceitos de energia.

9.43 Taxa de perda da energia cinética. Um corpo

rígido com momento de inércia I gira uma vez a cada T

segundos. A velocidade de rotação está diminuindo, de modo

que dT/dt > 0.

(a) Expresse a energia cinética da rotação do corpo

em termos de I e de T.

(b) Expresse a taxa de variação da energia cinética da

rotação do corpo em termos de I, de T e de dT/dt.

(c) Um volante grande possui I = 8,0 kg.m². Qual é a

energia cinética do volante quando o período de rotação é

igual a 1.5 s?

(d). Qual é a taxa de variação da energia cinética do

volante na parte (c) quando o período de rotação é igual a 1.5 s

e quando ele varia com uma taxa dT/dt = 0.0060 s?

9.44 Uma corda uniforme de 10.0 m de comprimento

e massa igual a 3.00 kg está presa ao teto de um ginásio e a

outra extremidade está quase tocando o solo. Qual é a variação

da energia potencial gravitacional se a corda terminar esticada

sobre o solo (sem espiras)?

9.45 Centro de massa de um objeto com massa

distribuída. Qual é o trabalho realizado por um lutador para

elevar o centro de massa de seu oponente de 120 kg até uma

distância vertical igual a 0.700 m?

SEÇÃO 9.6

TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS

9.46 Calcule o momento de inércia de um aro (um

anel fino) de raio R e massa M em relação a um eixo

perpendicular ao plano do aro passando pela sua periferia.

9.47 Em relação à qual eixo uma esfera uniforme de

madeira leve possui o mesmo momento de inércia de uma

casca cilíndrica de chumbo de mesma massa e raio em relação

a um diâmetro?

9.48 Use o teorema dos eixos paralelos para mostrar

que os momentos de inércia das partes (a) e (b) da Tabela 9.2

são coerentes.

9.49 Uma placa metálica fina de massa M tem forma

retangular com lados a e b. Use o teorema dos eixos paralelos

para determinar seu momento de inércia em relação a um eixo

perpendicular ao plano da placa passando por um dos seus

vértices.

9.50 (a) Para a placa retangular fina indicada na pane

(d) da Tabela 9.2, ache o momento de inércia em relação a um

eixo situado sobre o plano da placa passando pelo seu centro e

paralelo ao eixo indicado na figura,

(b) Ache o momento de inércia da placa em relação a

um eixo situado sobre o plano da placa passando pelo seu

centro e perpendicular ao eixo mencionado no item (a).



6

*SEÇÁO 9.7

CÁLCULOS DE MOMENTO DE INÉRCIA

*9.51 Usando o teorema dos eixos paralelos e

informações da Tabela 9.2, ache o momento de inércia da

barra delgada de massa M e comprimento L indicado na

Figura 9.18 em relação a um eixo passando pelo ponto O

situado a uma distância arbitrária h de uma de suas

extremidades. Compare seu resultado com o encontrado no

Exemplo 9.12 (Seção 9.7).

*9.52 Use a Equação (9.20) para calcular o momento

de inércia de um disco maciço, uniforme, de raio R e massa M

em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco

passando pelo seu centro.

*9.53 Use a Equação (9.20) para calcular o momento

de inércia de uma barra delgada de massa M e comprimento L

em relação a um eixo perpendicular à barra e passando pela sua

extremidade.

*9.54 Uma barra delgada de comprimento L possui

massa por unidade de comprimento variando a partir da

extremidade esquerda, onde x = O, de acordo com dm/dx = x,

onde é constante com unidades de kg/m²,

(a) Calcule a massa total da barra em termos de e de

L.

(b) Use a Equação (9.20) para calcular o momento de

inércia da barra em relação a um eixo perpendicular à barra e

passando pela sua extremidade esquerda. Use a relação

encontrada na parte (a) para obter a expressão de / em termos

de M e de L. Como seu resultado se compara com o obtido

para uma barra delgada uniforme? Explique essa comparação,

(c) Repita o procedimento da parte (b) para um eixo

passando pela extremidade direita da barra. Como seu

resultado se compara com o obtido nas partes (b) e (c)?

Explique esse resultado.



7

PROBLEMAS

9.55 Faça um desenho de uma roda situada no plano do

papel e girando no sentido anti-horário. Escolha um ponto sobre

a circunferência e desenhe um vetor r ligando o centro com

esse ponto,

(a) Qual é a direção e o sentido do vetor ?

(b) Mostre que a velocidade desse ponto é dada por

v r .

(c) Mostre que a aceleração radial desse ponto é dada por

rad rada v a r

(Veja o Exercício 9.26.)

9.56 (a) Prove que, quando um objeto parte do repouso e

gira em torno de um eixo fixo com aceleração angular

constante, a aceleração radial de um ponto do objeto é

diretamente proporcional ao seu deslocamento angular,

(b) Qual foi o deslocamento angular total do objeto quando

a aceleração resultante fez um ângulo de 36.9° com a direção

radial inicial?

9.57 O rolo de uma impressora gira um ângulo: 2 3t t t

= 3.20 rad/s2 e = 0,500 rad/s

3.

(a) Calcule a velocidade angular do rolo em função do

tempo,

(b) Calcule a aceleração angular do rolo em função do

tempo,

(c) Qual é a velocidade angular positiva máxima, e para

qual valor de t isso ocorre?

*9.58 Uma roda de bicicleta com raio igual a 0.33 m gira

com aceleração angular t t , onde = 1.80 rad/s2

e = 0.25 rad/s³. Ela está em repouso para t = 0.

(a) Calcule a velocidade angular e o deslocamento angular

em função do tempo.

(b) Calcule a velocidade angular positiva máxima e o

deslocamento angular positivo máximo da roda. {Sugestão:

Veja a Seção 2.7.}

9.59 Quando um carrinho de brinquedo é atritado contra o

piso, ele acumula energia em um volante. O carrinho possui

massa igual a 0.180 kg. e seu volante possui momento de inércia

igual a 4.00.10kg.m2. O carrinho possui comprimento igual a

15.0 cm. Uma propaganda alega que a velocidade de escala do

carrinho pode atingir 700 km/h. A velocidade de escala é a

velocidade do carrinho multiplicada pelo fator de escala dado

pela razão entre o comprimento de um carro real e o

comprimento do carrinho de brinquedo. Considere um carro real

de comprimento igual a 3.0 m.

(a) Para uma velocidade de escala de 700 km/h, qual deve

ser a velocidade de translação efetiva do carrinho?

(b) Supondo que toda a energia cinética inicialmente

acumulada no volante possa ser convertida em energia cinética

de translação do carrinho, qual foi a energia cinética

inicialmente acumulada no volante?

(c) Qual será a velocidade angular inicial necessária para

que o volante tenha a quantidade de energia cinética acumulada

no item (b)?

9.60 Um automóvel clássico Chevrolet Corvette 1957 com

1240 kg parte do repouso e acelera com aceleração tangencial

constante igual a 3.00 m/s2 em uma pista de teste circular com

raio de 60.0 m. Considere o carro como uma partícula,

(a) Qual é sua aceleração angular?

(b) Qual é sua velocidade angular 6.00 s depois do início?

(c) Qual é sua aceleração radial nesse instante?

(d) Faça um esboço de uma vista de topo mostrando a pista

circular, o carro, o vetor velocidade e os componentes do vetor

aceleração 6.00 s depois de o carro iniciar o movimento,

(e) Qual é o módulo da aceleração resultante e da força

resultante sobre o carro nesse instante?

(f) Qual é o ângulo formado entre a velocidade do carro

nesse instante e a aceleração resultante e entre a velocidade e a

força resultante?

9.61 O volante de uma prensa de perfuração possui

momento de inércia igual a 16,0 kg. M2 e gira a 300 rev/min. O

volante fornece toda a energia necessária para a rápida operação

de perfuração.

(a) Calcule a velocidade em rev/min para a qual a

velocidade do volante se reduz devido a uma repentina operação

de perfuração que necessita de 4000 J de trabalho,

(b) Qual deve ser a potência (em watts) fornecida ao volante

para que ele retorne para sua velocidade inicial em 5.00 s?

9.62 Um bolinho de carne deteriorada de um bar, com

massa igual a 40.0 g, está preso à extremidade livre de um fio de

2.50 m preso ao teto. O bolinho é puxado horizontalmente até

formar um ângulo de 36.9° com a vertical e a seguir é libertado,

(a) Qual deve ser o módulo, a direção e o sentido da

velocidade angular do bolinho na primeira vez que a aceleração

angular se anula?

(b) Qual é o segundo instante em que t = 0?

(c) Nos instantes descritos nas partes (a) e (b), qual é o

módulo, a direção e o sentido da aceleração radial do bolinho?

(d) Mostre que a resposta da parte (c) não depende do

comprimento do fio.

9.63 A correia de uma máquina de lavar a vácuo é enrolada

ligando um eixo de raio igual a 0.45 cm com uma roda de raio

igual a 2.00 cm. O arranjo envolvendo a correia, o eixo e a roda é

semelhante ao descrito na Figura 9.11 envolvendo a corrente e

as rodas dentadas de uma bicicleta. O motor faz o eixo girar com

60.0 rev/s e a correia faz a roda girar, que por sua vez está ligada

a um outro eixo que empurra a sujeira para fora do tapete que

está sendo lavado a vácuo. Suponha que a correia não deslize

nem sobre o eixo nem sobre a roda.

(a) Qual é a velocidade de um ponto sobre a correia?

(b) Qual é a velocidade angular da roda em rad/s?

9.64 O motor de uma serra de mesa gira com 3450 rev/min.

Uma polia ligada ao eixo do motor movimenta uma segunda

polia com metade do diâmetro através de uma correia V. Uma

serra circular de diâmetro igual a 0.208 m está montada sobre o

mesmo eixo da segunda polia,

(a) O operador não é cuidadoso, e a lâmina lança para trás

um pequeno pedaço de madeira. A velocidade do pedaço de

madeira é igual à velocidade tangencial na periferia da lâmina.

Qual é essa velocidade?

(b) Calcule a aceleração radial nos pontos sobre a periferia

da lâmina para entender por que o pó da madeira serrada não fica

grudado em seus dentes.



8

9.65 Uma roda varia sua velocidade angular com uma

aceleração angular constante enquanto gira em tomo de um eixo

fixo passando em seu centro,

(a) Mostre que a variação do módulo da aceleração radial de

um ponto sobre a roda durante qualquer intervalo de tempo é

igual ao dobro do produto da aceleração angular vezes o

deslocamento angular e vezes a distância perpendicular do ponto

ao eixo.

(b) A aceleração radial de um ponto sobre a roda situado a

uma distância de 0.250 m do eixo varia de 25.0 m/s2 a 85.0 m/s

2

para um deslocamento angular da roda igual a 15.0 rad. Calcule

a aceleração tangencial desse ponto,

(c) Mostre que a variação da energia cinética da roda

durante qualquer intervalo de tempo é igual ao produto do

momento de inércia da roda em relação ao eixo vezes a

aceleração angular e vezes o deslocamento angular,

(d) Durante o deslocamento angular de 15.0 rad

mencionado na parte (b), a energia cinética da roda cresce de

20.0 J para 45.0 J. Qual é o momento de inércia da roda em

relação ao eixo de rotação?

9.66 Os três objetos uniformes indicados na Figura 9.23

possuem a mesma massa m. O objeto A é um cilindro maciço de

raio R. O objeto B é uma casca cilíndrica de raio R objeto C é um

cubo maciço cuja aresta é igual a 2R. O eixo de rotação de cada

objeto é perpendicular à respectiva base e passa pelo centro de

massa do objeto.

(a) Qual dos objetos possui o menor momento de inércia?

Explique,

(b) Qual dos objetos possui o maior momento de inércia?

Explique,

(c) Como você compara esses resultados com o momento de

inércia de uma esfera maciça uniforme de massa m e raio R em

relação a um eixo de rotação ao longo de um diâmetro da esfera?

Explique. 2R

2R

A B

2R

C

Figura 9.23 – Problema 9.66.

9.67 A Terra, que não é uma esfera uniforme, possui

momento de inércia igual a 0.3308MR2 em relação a um eixo

ligando o pólo norte ao pólo sul. O tempo para a Terra completar

um giro é igual a 86164 s. Use o Apêndice F para calcular

(a) a energia cinética da Terra oriunda do movimento

de rotação em tomo desse eixo e

(b) a energia cinética da Terra oriunda do movimento

orbital da Terra em tomo do Sol.

(c) Explique como o valor do momento de inércia da

Terra nos informa que a massa da Terra está mais concentrada

perto do seu centro.

9.68 Um disco maciço uniforme de massa m e raio R

está apoiado sobre um eixo horizontal passando em seu centro.

Um pequeno objeto de massa w está colado na periferia do

disco. Se o disco for libertado do repouso com o pequeno objeto

situado na extremidade de um raio horizontal, ache a velocidade

angular quando o pequeno objeto estiver verticalmente embaixo

do eixo.

9.69 Uma régua de um metro e massa igual a 0.160 kg

possui um pivô em uma de suas extremidades de modo que ela

pode girar sem atrito em tomo de um eixo horizontal. A régua é

mantida em uma posição horizontal e a seguir é libertada.

Enquanto ela oscila passando pela vertical, calcule

(a) a variação da energia potencial gravitacional

ocorrida;

(b) a velocidade angular da régua;

(c) a velocidade linear na extremidade da régua oposta

ao eixo.

(d) Compare a resposta da parte (c) com a velocidade

de um objeto caindo de uma altura de 1.00 m a partir do repouso.

9.70 Exatamente uma volta de uma corda flexível de

massa m é enrolada na periferia de um cilindro uniforme maciço

de massa M e raio R. O cilindro gira sem atrito em tomo de um

eixo horizontal ao longo do seu eixo. Uma das extremidades da

corda está presa ao cilindro. O cilindro começa a girar com

velocidade angular . Depois de uma revolução, a corda se

desenrolou e nesse instante ela está pendurada verticalmente

tangente ao cilindro. Calcule a velocidade angular do cilindro e a

velocidade linear da extremidade inferior da corda nesse

instante. Despreze a espessura da corda. {Sugestão: Use a

Equação (9.18).}

9.71 A polia indicada na Figura 9.24 possui raio R e

momento de inércia I. A corda não desliza sobre a polia e esta

gira em um eixo sem atrito. O coeficiente de atrito cinético entre

o bloco A e o topo da mesa é C. O sistema é libertado a partir do

repouso, e o bloco B começa a descer. O bloco A possui massa

mA e o bloco B possui massa mB. Use métodos de conservação da

energia para calcular a velocidade do bloco B em função da

distância d que ele desceu.

FIGURA 9.24 - Problema 9.71.

9.72 A polia indicada na Figura 9.25 possui raio 0.160

m e momento de inércia 0.480 kg.m2. A corda não desliza sobre



9

a periferia da polia. Use métodos de conservação da energia para

calcular a velocidade do bloco de 4.00 kg no momento em que

ele atinge o solo.

4,00 kg

5,00 m

2.00 kg


9.73 Você pendura um aro fino de raio R em um prego

na periferia do aro. Você o desloca lateralmente até um ângulo

a partir de sua posição de equilíbrio e a seguir o liberta. Qual é

sua velocidade angular quando ele retoma para sua posição de

equilíbrio? (Sugestão: Use a Equação (9.18).)

9.74 Um ônibus de passageiro em Zurique, na Suíça,

usa sua potência motora oriunda da energia acumulada em um

volante grande. Utilizando-se de energia da rede elétrica, a roda

é colocada em movimento periodicamente quando o ônibus para

em uma estação. O volante é um cilindro maciço de massa igual

a 1000 kg e raio igual a 1.80 m; sua velocidade angular máxima

é igual a 3000 rev/min.

(a) Para essa velocidade angular, qual é a energia

cinética do volante?

(b) Se a potência média necessária para operar o ônibus

for igual a 1.86.104 W, qual é a distância máxima que ele pode se

mover entre duas paradas?

9.75 Dois discos metálicos, um com raio R1 = 2.50 cm e

massa M1 = 0.80 kg e o outro com raio R2 = 5.00 cm e massa M2

= 1.60 kg, são soldados juntos e montados em um eixo sem atrito

passando pelo centro comum (Figura 9.26).

(a) Qual é o momento de inércia dos dois discos?

(b) Um fio fino é enrolado na periferia do disco menor,

e um bloco de l ,50 kg é suspenso pela extremidade livre do fio.

Se o bloco é libertado do repouso a uma distância de 2.00 m

acima do solo, qual é sua velocidade quando ele atinge o solo?

(c) Repita o cálculo da parte (b), agora supondo que o

fio seja enrolado na periferia do disco maior. Em qual dos dois

casos a velocidade do bloco é maior? Explique por que isso deve

ser assim.

9.76 No cilindro junto com a massa do Exemplo 9.9

(Seção 9.5). suponha que a massa m que cai seja feita de

borracha, de modo que nenhuma energia mecânica é perdida

quando a massa atinge o solo. a) Supondo que o cilindro não

estivesse girando inicialmente e a massa m fosse libertada do

repouso a uma altura h acima do solo, até que altura essa massa

atingiria quando ela retomasse verticalmente para cima depois

de colidir com o solo?

(b) Explique, em termos de energia, por que a resposta

da parte (a) é menor do que h.

9.77 Um disco uniforme fino possui massa M e raio R.

Fazemos um buraco circular de raio R/4 centralizado em um

ponto situado a uma distância RH do centro do disco,

(a) Calcule o momento de inércia do disco com o

buraco em de inércia do disco que foi retirado do disco maciço.)

(b) Calcule o momento de inércia do disco com o

buraco em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco

passando pelo centro do buraco.

9.78 Um pêndulo é constituído por uma esfera

uniforme maciça com massa M e raio R suspensa pela

extremidade de uma haste leve. A distância entre o ponto de

suspensão na extremidade superior da haste e o centro da esfera

é igual a L. O momento de inércia do pêndulo 1^ para uma

rotação em torno do ponto de suspensão é geralmente

aproximado como ML2,

(a) Use o teorema dos eixos paralelos para mostrar que

se R for 5% de L e se a massa da haste for desprezível, Ip será

somente 0.1 % maior do que ML2.

(b) Se a massa da haste for l % de M e se R for 5% de L,

qual será a razão entre Ihaste em relação a um eixo passando pelo

pivô e ML2?

9.79 Teorema dos eixos perpendiculares. Considere

um corpo rígido constituído por uma placa plana fina de forma

arbitrária. Suponha que o corpo esteja sobre o plano xy e

imagine que a origem seja um ponto O no interior ou no exterior

do corpo. Seja Ix, o momento de inércia em relação ao eixo Ox, Iy

o momento de inércia em relação ao eixo Oy e I0 o momento de

inércia do corpo em relação a um eixo perpendicular ao plano e

passando pelo ponto 0.

(a) Considerando elementos de massa mi, com

coordenadas (xi, yi), mostre que I0 = Ix + Iy. Essa relação é o

teorema dos eixos perpendiculares. Note que o ponto O não

precisa ser o centro de massa,

(b) Para uma arruela fina de massa M, raio interno R1, e

raio externo R2 use o teorema dos eixos perpendiculares para

achar o momento de inércia em relação a um eixo situado no

plano da arruela e que passa através de seu centro. Você pode

usar as informações da Tabela 9.2.

(c) Use o teorema dos eixos perpendiculares para mostrar que o

momento de inércia de uma placa fina quadrada de massa M e

lado L em relação a qualquer eixo situado no plano da placa e

que passa através de seu centro é igual a ML2/12. Você pode usar

as informações da Tabela 9.2.

9.80 Uma haste uniforme fina é dobrada em forma de

um quadrado de lado a. Sendo M a massa total, ache o momento

de inércia em relação a um eixo situado no plano do quadrado e

que passa através de seu centro. (Sugestão: Use o teorema dos

eixos paralelos.)

*9.81 Um cilindro de massa M e raio R possui uma

densidade que cresce linearmente a partir do seu eixo, = r,

onde uma constante positiva, a) Calcule o momento de inércia

do cilindro em relação a um eixo longitudinal que passa através

de seu centro em termos de M e de R. b) Sua resposta é maior ou

menor do que o momento de inércia de um cilindro com mesma

massa e mesmo raio porém com densidade constante? Explique

qualitativamente por que esse resultado faz sentido.



10

9.82 Estrelas de nêutrons e restos de supemovas. A

nebulosa do Caranguejo é uma nuvem de gás luminoso que

possui uma extensão de 10 anos-luz, localizada a uma distância

aproximadamente igual a 6500 anos-luz da Terra (Figura 9.27).

São os restos de uma explosão de uma supernova, observada da

Terra no ano de 1054. A nebulosa do Caranguejo liberta energia

com uma taxa aproximada de

R2

R1

m = 1.50 kg


PROBLEMAS DESAFIADORES

Figura 9.27 – Problema 9.82

R

9.83 O momento de inércia de uma esfera com

densidade constante em relação a um eixo que passa através de

seu centro é dado por 2MR2/5 = 0.400MR

2. Observações feitas

por satélites mostram que o momento de inércia da Terra é dado

por 0.3308MR2. Os dados geofísicos sugerem que a Terra é

constituída basicamente de cinco regiões: o núcleo central (de r

= 0 a r= 1220 km) com densidade média igual a 12.900 kg/m³ o

núcleo externo (de r = 1220 km a r = 3480 km) com densidade

média igual a 10900 kg/m³ , o manto inferior (de r = 3480 km a

r = 5700 km) com densidade média igual a 4900 kg/m³ o manto

superior (de r = 5700 km a r = 6350 km) com densidade média

igual a 3600 kg/m3 e a crosta e os oceanos (de r = 6350 km a r =

6370 km) com densidade média igual a 2400 kg/m³.

(a) Mostre que o momento de inércia de uma esfera

oca com raio interno R1 e raio externo R2 e densidade constante

é dado por:

5 5

2 1

8

15I R R

(Sugestão: Forme a esfera oca pela superposição de

uma esfera grande com densidade e uma esfera pequena com

densidade - ).

(b) Confira os dados usando-os para calcular a massa

da Terra,

(c) Use os dados fornecidos para calcular o momento

de inércia da Terra em termos de MR2.

*9.84 Determine o momento de inércia de um cone

maciço uniforme em relação a um eixo que passa através de seu

centro (Figura 9.28). O cone possui massa M e altura h. O raio

do círculo da sua base é igual a R.

h

Eixo

Figura 9.28 – Problema 9.84

9.85 Em um CD, a música é codificada em uma

configuração de minúsculas reentrâncias dispostas ao longo de

uma trilha que avança formando uma espiral do interior à

periferia do disco. À medida que o disco gira no interior de um

CD player, a trilha é varrida com velocidade linear constante

= 1.25 m/s. Como o raio da trilha espiral aumenta à medida que

o disco gira, a velocidade angular do disco deve variar quando

o CD está girando. (Veja o Exercício 9.20.) Vamos ver qual é a

aceleração angular necessária para manter v constante. A

equação de uma espiral é dada por:

0r r

, onde r0 é o raio da espiral para = 0 e uma constante. Em

um CD, r0 é o raio interno da trilha espiral. Considerando como

positivo o sentido da rotação do CD, deve ser positivo, de

modo que r e acrescem à medida que o disco gira.

(a) Quando o disco gira através de um pequeno ângulo

d , a distância varrida ao longo da trilha é ds = r d . Usando a

expressão anterior para r( ), integre ds para calcular a distância

total s varrida ao longo da trilha em função do ângulo total

descrito pela rotação do disco.



11

(b) Como a trilha é varrida com velocidade linear

constante v, a distância total s encontrada na parte (a) é igual a

vt. Use esse resultado para achar 0em função do tempo. Existem

duas soluções para ; escolha a positiva e explique por que

devemos escolher essa solução.

c) Use essa expressão de (t) para determinar a

velocidade angular e a aceleração angular em função do

tempo. O valor de é constante?

(d) Em um CD, o raio interno da trilha é igual a 25.0

mm, o raio da trilha cresce 1.55 m em cada volta e o tempo de

duração é igual a 74.0 min. Calcule os valores de r0 e de ache

o número total de voltas feitas durante o tempo total da

reprodução do som.

(e) Usando os resultados obtidos nas partes (c) e (d),

faça um gráfico de (em rad/s) contra t e um gráfico de (em

rad/s2) contra t desde t = 0 até t = 74.0 min.



12

Gabarito – Exercícios Ímpares

Exercício Gabarito

9.1 (a) 0.600rad (b) 6.27 cm (c) 1.05 m

9.3 (a) 42 rad/s² (b) 74 rad/s

9.5 (a) 2( ) 0.4 0.036t t (b) 0.4

rad/s (c) = 1.30 rad/s, rad = 0.700 rad/s

9.7 (a) α(t) = 2b-6ct (b) b/3c

9.9 (a)-1.25 rev/s2, 23.3 rev

(b) 2.67 s.

9.11 (a) 24s (b) 68.8rev

9.13 10.5rad/s

9.15 9.00 rev

9.17 (a) 540 rad

(b) 12.3s

(c) -8.17 rad/s²

9.19 (a) 3.60m s (b) 43.7m s

9.21

(a) 218.0rada m s

(b) 23.00 , 18.0radv m s a m s

9.23

(a) 2 20.180 ,0,0.180m s m s

(b) 2 2 20.180 ,0.377 ,0.418m s m s m s

(c) 2 2 20.180 ,0.754 ,0.775m s m s m s

9.25 10.7 cm; não

9.27

(a) 0.831m s (b) 109 m/s²

9.29

(a) 2.29

(b) 1.51

(c) 3 215.7 ,1.06 10 108m s m s g .

9.31 (M/12+m/2)L2

9.33

(a) 20.064kg m

(b) 20.032kg m

(c) 20.032kg m

9.35 20.193kg m

9.37 (b) K = π²I ²/1800

9.39 20.600kg m

9.41 47.35 10 J

9.43

(a) 2 22K I T

(b) 2 34dK dt I T dT dt

(c) 70J

(d) 0.56 J s

9.45 75 kg

9.47 Um eixo paralelo e a uma distância

2 15 Rdo centro da esfera

Exercício Gabarito

9.49 2 21

3M a b

9.51 2 21

3 33

M L Lh h

9.53 21

3ML

9.57 (a) 26.4 1.5t t (b) 6.4 3 t

(c) 6.83 para 2.13máx rad s t s

9.59 (a) 35.0km/h = 9.72 m/s (b) 8.51J (c) 652

rad/s

9.61 (a) 211 rev/s. (b) 800 W

9.63 (a) 1.70 m/s (b) 84.8 rad/s

9.65 (b) 2.00 m/s² (d) 0.208 kg.m²

9.67 (a) 292.14 10 J

(b) 332.66 10 J

9.69

(a) 0.784J (b) 5.42rad s

(c) 5.42m s (d) velocidade da partícula:

4.43m s

9.71 22 B C A A Bgd m m m m I R

9.73 1 cosg R

9.75 (a) 3 22.25 10 kg m (b) 3.40m s

(c) 4.95m s

9.77 (a)

2247 512 MR (b)

2383 512 MR

9.79 (b)

2 211 24

M R R

9.81 (a) 23

5MR (b)maior.

9.83 (b) 245.97 10 kg (b)

20.334MR

9.85

(a)

2

02

s r

(b) 2

0 0

12r v t r

(c) 2

322 20

0

2 2

v v

r v t r v t

(d) 4

0 2.50 , 0.247 ,2.13 10r cm m rad rev



13

Gabarito – Exercícios Pares resolvidos

Cortesia: Editora Pearson

9-2: (a)./199

60

min12

min1900 srad

srev

radx

rev

(b)(35º x rad/180º)/(199 rad/s) = 3.07 x 10-3

s.

9-4: (a) .)/60.1(2)( 3 tsradtdt

dwt

(b) (3.0 s) = (-1.60 rad/s3)(3.0 s) = -4.80 rad/s

2

,/40.20.3

/00.5/20.2

0.3

)0()0.3( 2srads

sradsrad

s

save

o qual é tão grande (em, módulo) quanto a aceleração para

t = 3.0 s.

9-6: =(250 rad/s) – (40.0 rad/s2)t – (4.50 rad/s

3)t

2, = -(40.0

rad/s2) – (9.00 rad/s

3)t.

(a) Fazendo-se = 0 resulta em uma equação quadrática em t; o

único valor de tempo positivo para o qual = 0 é t = 4.23 s.

(b) At t = 4.23 s, = -78.1 rad/s2.

(c) At t = 4.23 s, = 586 rad = 93.3 rev.

(d) At t = 0, = 250 rad/s.

(e) ave = ./13823.4

586srad

s

rad

9-8: (a) 0 t

21.50 / (0.300 / )(2.50 ) 2.25 /rad s rad s s rad s

(b) 2

0 1/ 2t t

2 21(1.50 / )(2.50 ) (0.300 / )(2.50 )

2rad s s rad s s

4.69rad

9-10: (a)Resolvendo a Eq. (9-7) para t resulta em:

.0t

Reescrevendo a Eq. (9-11) como:

)

2

1(

00tt

e substituindo t

encontramos:

,2

1

2)(

1

)(2

1

2

0

2

0

0

00

0

0

a qual quando re-agrupada resulta na Eq.

(9-12).

(b) = (1/2)(1/∆ )(2 - )2

0 = (1/2)(1/(7.00 rad))((16.0

rad/s)2 – (12.0 rad/s)

2) = 8 rad/s

2.

9-12: (a) A velocidade angular média é:

,/5.4000.4

162srad

s

rad e portanto a velocidade angular inicial é:

./27,2002

sradave

(b) ./8.3300.4

)/27(/108 2srads

sradsrad

t

9-14: Da Eq. (9-7), com

./33.23

00.6

/140,0 2

0srad

s

srad

t

O ângulo é mais facilmente encontrado de :

.420)00.6)(/70( radssradtave

9-16: A seguinte tabela dá as revoluções e o ângulo através

dos quais uma roda gira em cada instante de tempo e em três

situações distintas:

Os gráficos de e são os seguintes:

(a)

(b)

(c)

9-18: (a) A Equação (9-7) é resolvida para 0 = - t,

resultando em:

.2

1,

2

2

0ttort

ave



14

(b) ./125.02 2

2srad

tt

(c) ./5.5 sradt

9-20: (a)

,/55.21100.58

25.1,/0.50

100.25

/25.133

sradmx

msrad

mx

sm

ou 21.6 rad/s , para três algarismos significativos.

(b) (1.25 m/s)(74.0 min)(60 s/min) = 5.55 km.

(c)./1041.6

min)/60min)(0.74(

/55.21/0.50 23 sradxs

sradsrad

9-22: De ,2rrad

,/1025.11050.2

/80.9000,400 4

2

2

sradxmx

smx

r

qual é(1.25 x 104 rad/s)

.min/1020.160min/1

2/1 5 revxs

radrev

9-24: (a) = 0 + t = 0.250 rev/s + (0.900

rev/s2)(0.200 s) = 0.430 rev/s (note que desde que 0 e são

dados em termos das revoluções, não é necessário converter

para radianos).

(b) onda∆t = (0.340 rev/s)(0.2 s) = 0.068 rev.

(c) Aqui, a conversão para radianos deve ser realizada para que

se possa utilizar a Eq. (9-13), então

./01.1)/2/430.0(2

750.0smrevradxsrev

mrv

(d) Combinando as Equações (9-14) e (9-15),

./46.3

))375.0)(/2/900.0((

))375.0()/2/430.0((

)()(

2

2

122

24

2222

tan

2

sm

mrevradxsrev

mrevradxsrev

rrrad

9-26: (a) Combinando as Equações (9-13) e (9-15),

.22 vv

rrad

(b) Do resultado da parte (a), temos:

./250.0/00.2

/500.0 2

sradsm

sm

vrad

9-28: (a) 2

2

tan /0.50200.0

/0.10srad

m

sm

r

(b) Para t = 3.00 s, v = 50.0 m/s e ,/250

200.0

/0.50srad

sm

r

v

e para t = 0, v = 50.0 m/s + (-10.0 m/s2)(0 – 3.00 s) = 80.0 m/s,

então = 400 rad/s.

(c) avet = (325 rad/s)(3.00 s) = 975 rad = 155 rev.

(d) ./40.1)200.0)(/80.9( 2 smmsmrvrad

Esta

velocidade será alcançada em um tempo de:

ssm

smsm86.4

/0.10

/40.1/0.502

após t = 3.00 s, ou para t = 7.86

s. (Existem muitos modos equivalentes de se realizar estes

cálculos )

9-30: A distância das massas relativo ao eixo são: 3

, ,4 4 4

L L Le e portanto da Eq. (9-16), o momento de inércia é:

.16

11

4

3

44

2

222

mLL

mL

mL

mI

9-32: Como a vara possui um comprimento de 500 vezes

maior que a sua largura, então a mesma pode ser considerada

como sendo uma vara fina

(a) Da Tabela (9-2(a)),

.1088.7)50.1)(042.0(12

1

12

1 2322 mkgxmkgMLI

(b) Da Tabela (9-2(b)),

.1015.3)50.1)(042.0(3

1

3

1 2222 mkgxmkgMLI

(b) Para esta vara fina o momento de inércia relativo ao seu eixo

é obtido considerando-a como um cilindro sólido e, da Tabela

(9-2(f)),

.1073.4)105.1)(042.0(2

1

2

1 28232 mkgxmxkgMRI

9-34: (a) Na expressão da Eq. (9-16), cad termo terá a massa

multiplicada por f 3 e a distância multiplicada por f, e então o

momento de inércia é multiplicado por f 3(f)

2 = f

5.

(b) (2.5)(48)5 = 6.37 x 10

8.

9-36: (a) Da Eq. (9-17), com I da Tabela (9-2(f)),

.103.1min/60

/2

min2400)08.2)(117(

24

1

12

1

2

1 6

2

222 Jxs

revradx

revmkgmLK

(b) De mgy = K,

.16.11016.1)/80.9)(117(

)103.1( 3

2

6

kmmxsmkg

Jx

mg

Ky

9-38: Resolvendo a Eq. (9-17) para I, temos:

.1025.2

)min/

/

60

2min/45(

)025.0(22 23

22

mkgx

rev

sradxrev

JKI

9-40: O trabalho realizado sobre o cilindro é PL, onde L é o

comprimento da corda.Combinando as Equações (9-17), (9-13)

e a expressão para I , ver Tabela (9-2(g)), temos: 2 2

2

2

1 1 (40.0 )(6.00 / )14.7 .

2 2 2(9.80 / )(5.00 )

w w v N m sPL v P N

g g L m s m

9-42: (a) Com I = MR2, a expressão para v é:

./1

2

mM

ghv

Esta expressão é menor que aquela para um cilindro sólido. A

maior parte da massa está concentrada na sua borda, então, para

uma dada velocidade, a energia cinética do cilindro é maior.

Uma grande parte da energia potencial é convertida para

energia cinética do cilindro, e portanto, uma quantidade menor

está disponível para a massa em queda .

9-44: O centro de massa caiu metade do comprimento da

corda, então a variação na energia potencial gravitacional é:

.147)0.10)(/80.9)(00.3(2

1

2

1 2 JmsmkgmgL



15

9-46: Na Eq. (9-19), Icm = MR2 e d = R

2 , então IP = 2MR

2.

9-48: Utilizando o Teorema dos Eixos Paralelos para se

encontrar o momento de inércia de uma corda fina relativo ao

eixo através de sua extremidade e perpendicular a corda, temos:

.3212

2

2

22 LML

MLM

MdIIcmP

9-50: (a) 2

12

1MaI

(b) 2

12

1MbI

9-52: A análise é idêntica aquela do Exemplo 9-13, com o

limite inferior na integral sendo zero, o limite superior sendo

igual a R, e a massa .2LpRM O resultado é:

,2

1 2NRI o que está de acordo com a Tabela (9-2(f)).

9-54: Para estes caso temos dm = dx.

(a) .22

2

0

2

0

LxdxxdmM

LL

(b) 2

4

0

4

2

0 244)( L

MLxdxxxI

LL

Isto é maior que o momento de inércia de uma corda uniforme

de mesma massa e comprimento, visto que a densidade de

massa é bem maior longe do eixo que quando mais próximo

dele .

(c)

.6

12

432

2

)2(

)(

2

4

0

432

2

322

0

2

0

LM

L

xxL

xL

dxxLxxL

xdxxLI

L

L

L

Este é um terço do resultado encontrado na parte (b), refletindo

o fato de que mais a massa está concentrada no final .

9-56: (a) Para uma aceleração angular constante, temos: 2

2 2 .2

rad r r

(b) Denotando como o ângulo que o vetor aceleração faz com

a direção radial, e utilizando as Equações (9-14) e (9-15),

,2

1

2tan

2

tan

r

r

r

r

rad

então .666.0

9.36tan2

1

tan2

1rad

o

9-58: (a) Por integrações sucessivas das Equações

(9-5) e (9-3),

.)/042.0()/90.0(62

.)/125.0()/80.1(2

332232

2322

tsradtsradtt

tsradtsradtt

(b) A velocidade angular positiva máxima ocorre quando = 0,

ou t = ; a velocidade angular para este tempo é:

./48.6)/25.0(

)/80.1(

2

1

2

1

2 3

2222

sradsrad

srad

O deslocamento angular máximo ocorre quando ,0 para

o tempo 2

t (t = 0 é um ponto de inflexão e (0) não é

um máximo ) e o deslocamento angular para este tempo é:

.2.62)/25.0(

)/80.1(

3

2

3

22

6

2

2 3

32

2

332

radsrad

srad

9-60: (a) ./050.00.60

/00.3 2

2

tan sradm

sm

r

(b) ./300.0)00.6)(/05.0( 2 sradssradt

(c) ./40.5)0.60()/300.0( 222 smmsradrrad

(d)

(e)

,/18.6)/00.3()/40.5( 222222

tan

2 smsmsmrad

e o módulo da força é :

F = ma = (1240 kg)(6.18 m/s2) = 7.66 kN.

(f) arctan .9.60

00.3

40.5arctan

tan

orad

9-62: (a) A aceleração angular será zero quando a

velocidade for um máximo, o que ocorre na parte inferior do

circulo . De considerações de energia, a velocidade é:

v = ,)cos1(22 gRgh onde é o

ângulo entre a vertical, livre, e

2(1 cos )

v g

R R

22(9.80 / )(1 cos36.9 ) 1.25 / .

(2.50 )

om srad s

m

(b) será novamente igual a 0 quando a almôndega passa

através do ponto mais baixo.

(c) rad é direcionada em direção ao centro, isto é:



16

2

rad R

2 2(1.25 / ) (2.50 ) 3.93 / .rad rad s m m s

(d) rad = 2R = (2g/R)(1- cos )R = (2g)(1 – cos ),

independente de R.

9-64: A segunda polia, com metade do diâmetro da primeira,

deve ter duas vezes a velocidade angular, e esta é a velocidade

angular da lâmina da serra

(a) (2(3450 rev/min))

./1.752

208.0

min/

/

30sm

m

rev

srad

(b) 2

rad r

2

4 2/ 0.2082(3450 / min) 5.43 10 / ,

30 / min 2rad

rad s mrev x m s

rev

então a força segurando a serragem sobre a lâmina deveria ser

aproximadamente 500 vezes tão forte quanto a gravidade .

9-66: Da Tabela (9-2), quantitativamente:

.3

2,

2

1 222 MRIandMRIMRICBA

(a) O objeto A possui o menor momento de inércia, pois, dos

três objetos dados sua massa é a mais concentrada próxima ao

eixo.

(b) Por outro lado, o objeto B possui a massa concentrada o

mais distante do eixo.

(c) Como Iesfera = 2.5 MR2, a esfera deveria trocar o disco como

possuindo o menor quantidade de momento de inércia .

9-68: Utilizando considerações de energia, o sistema adquire

tanto energia cinética quanto ocorre a perda em sua energia

potencial , mgR. A energia cinética é:

.)(2

1)(

2

1

2

1

2

1

2

1 222222 mRIRmImvIK

Utilizando 2

2

1mRI e resolvendo para , obtemos:

.3

4,

3

42

R

ge

R

g

9-70: Considerando o sistema de referencia zero da energia

potencial gravitacional como estando no eixo, a energia

potencial inicial é nula ( a corda é empacotada círculos tendo o

eixo como centro ). Quando a corda é desenrolada seu centro de

massa está a uma distância de R abaixo do eixo. O

comprimento da corda é 2 R e metade desta distância é a

posição do centro de massa. Inicialmente toda parte da corda

está se movimentando com velocidade 0R, e quando a corda é

desenrolada, o cilindro possui uma velocidade angular , então

a velocidade da corda é R (a parte superior final da corda

possui a mesma velocidade tangencial que a borda do cilindro).

Da conservação de energia, e utilizando I = (1/2)MR2 para um

cilindro uniforme , temos:

.2424

222

0

2 RmgRmM

RmM

Resolvendo para , temos:

,)2(

)/4(2

0

mM

Rmg

e a velocidade em qualquer parte da corda é:

v = R.

9-72: A energia potencial gravitacional que se transformou

em energia cinética é:

K = (4.00 kg – 2.00 kg)(9.80 m/s2)(5.00 m) = 98.0 J.

Em termos da velocidade comum dos blocos, a energia

cinética do sistema é:

.4.12)160.0(

)480.0(00.200.4

2

1

2

1)(

2

1

2

2

2

2

2

2

21

kgvm

mkgkgkgv

R

vIvmmK

Resolvendo para v, temos:

./81.24.12

0.98sm

kg

Jv

9-74: (a)

.1000.2

min/

/

60

2min/3000)90.0)(1000(

2

1

2

1

2

1

7

2

2

2

Jx

rev

sradxrevmkg

IK

(b) ,1075

1086.1

1000.24

7

sWx

Jx

P

K

ave

o qual é aproximadamente 18 min.

9-76: (a) Para o caso que nenhuma energia é perdida, a altura

de recuo h está relacionada com a velocidade v por:

h = ,2

2

g

v e com o resultado para h dado no Exemplo 9-9,

h = .2/1 mM

h

(b) Considerando o sistema como um todo, alguma parte da

energia potencial inicial da massa transformou-se em energia

cinética do cilindro. Considerando apenas a massa, a tensão na

corda realizou trabalho sobre a massa, então sua energia total

não é conservada .

9-78: (a) Do teorema dos eixos paralelos, o momento de

inércia é:Ip = (2/5)MR2 ML

2, e

.

5

21

2

2 L

R

ML

IP

Se R = (0.05) L, a diferença é (2/5)(0.05)2 = 0.001.

(b) (Irod/ML2) = (mrod/3M), o qual é 0.33% quando

mrod = (0.01) M.

9-80: Cada lado possui um comprimento a e massa ,4

M e

o momento de inércia de cada lado, relativo a um eixo

perpendicular ao lado e através do seu centro é:

.48412

1 2

2 Maa

M

Do Teorema dos Eixos Paralelos, o momento de inércia de cada

lado relativo ao eixo através do centro do quadrado é:

.32448

222 MaaMMa

9-82: (a) Do Exercício 9-43, a taxa de perda de energia é:

;4

3

2

dt

dT

T

I resolvendo para o momento de



17

inércia I em termos da potência P, temos: 3

2

1

4 /

PTI

dT dt31 3

38 2

2 13

(5 10 )(0.0331 ) 11.09 10 .

4 4.22 10

x W s sI x kg m

x s

(b)5

2

IR

M 38 2

3

30

5(1.08 10 )9.9 10 10 .

2(1.4)(1.99) 10 )

x kg mR x m km

x kg

(c) .103.6/109.1)0331.0(

)109.9(22 36

3

cxsmxs

mx

T

R

(d) ,/109.6)3/4(

317

3mkgx

R

M

V

M

o qual é muito maior que a densidade de uma rocha comum, 14

ordens de grandeza, sendo comparável a densidade de massa

nuclear .

9-84: Seguindo o procedimento para se resolver o Exemplo

9-14 (e utilizando-se z como a coordenada ao longo do eixo

vertical ), temos:

.2

,)( 4

4

4

2

2

2

dzzh

RdIanddzz

h

Rdm

h

Rzzr

Então,

.10

1][

102

4

0

5

4

4

4

04

4

hRzh

Rdzz

h

RdII hh

O volume de um cone circular é :

,3

1 2hRV e sua massa é : ,

3

1 2hR e portanto:

.10

3

310

3 22

2

MRRhR

I

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