MATEMATIKA B 181

1. Estatistika deskribatzailea ………… orria 184 Populazioa eta lagina. Aldagai estatistikoak. A. kualitatiboen grafikoak . A. k. diskretuen grafikoak. A. k. jarraien grafikoak

2. Zentralizazio neurriak ……………….… orria 187 Batezbestekoa, moda eta mediana. Batezbestekoaren bilakaera. Medianaren bilakaera. Batezbesteko eta mediana konparatuak. Kokatze neurriak. 3. Sakabanatze neurriak …………….…… orria 190 Desbideratze tipikoa eta ibilbidea. Kalkulatu sakabanatze neurriak. Batezbestekoa eta desbideratze tipikoa.

4. Erakusgarritasuna………………………………. orria 192 Laginketa estratifikatua Ausazko laginketa. Alborapena

Ariketak

Gehiago jakiteko

Laburpena

Autoebaluazioa

Tutoreari bidaltzeko jarduerak

Helburuak En esta quincena aprenderás a:

• Populazio eta lagin kontzeptuak bereizten.

• Hiru aldagai estatistiko mota desberdintzen.

• Zenbaketak eta grafikoak egiten.

• Informazioa zentralizatzeko neurri estatistiko garrantzitsuenak kalkulatzen.

• Garrantzitsuak diren beste neurri estatistiko batzuk kalkulatzen.

• Laginaren hautaketaren garrantzia ulertzen, erakusgarri izan dadin.

Estatistika 11

182 MATEMATIKA B

MATEMATIKA B 183

Hasi baino lehen

Gogoratu Joan den ikasturtean estatistika ikasi zenuen, eta askotan egin duzu estatistika, ohartu ez bazara ere. Ikus ditzagun adibide batzuk.

Batez besteko nota Ikasturtean zehar aukera asko izango dituzu balio hau kalkulatzeko. Nota bat bi azterketaren araberakoa baldin bada eta azterketa batean 4koa badaukazu, bestean gutxienez 6koa ateratzen saiatuko zara.

Institutuaren amaieran, batxilergoko eta unibertsitaterako hautaprobako batezbestekoak. Batezbesteko lokalarekiko eta nazionalarekiko alderaketak. Ikasketa jakin batzuetarako gutxieneko batezbestekoak

Futbola Gol gehien egin dituen jokalaria, gol gutxien jaso duen atezaina. Ligako sailkapena. Ligako erdi onena. Europako lehiaketetako postuak, beherako postuak, nazioarteko izandako aldiak, azken fase kopurua, jokatutako minutuak, aterako tiraldiak, faltak.

Estatistika

Etxeetako batez besteko ur kontsumoa. 2004 (litro/biz./egun)

Espania

150 baino

gutxiago

150 eta 165

artean

Hiri hondakinak (kg/biz./urte)

* 2004an baztertu egiten dira etxebizitzak eraitsi, eraiki eta konpontzeko lanetako hondakinak, Eurostaten metodologiarekin bat etorriz.

España

MATEMÁTICAS B 184

1. Estatistika deskribatzailea

Populazioa eta lagina.

Populazioa ezaugarri komunen bat duten norbanakoen multzoa da, horri buruz azterketa estatistikoa egiten da.

Lagina populazioaren azpimultzoa da, haren ezaugarriak agerian jartzeko moduan aukeratua; horregatik, erakusgarritasuna da laginen ezaugarririk nagusiena.

Lagina ateratzeko jarraitzen den prozesuari deitzen zaio laginketa.

Aldagai estatistikoak

Populazio batean aztertzen den ezaugarria aldagai estatistikoa da.

Aldagai estatistikoak funtsean bi motakoak izan daitezke, kualitatiboak eta kuantitatiboak.

Aldagai kualitatiboak ez dira zenbaki moduan agertzen, baizik eta kategoria edo atributu moduan.

Aldagai kuantitatiboak zenbakien bidez adieraz daitezke, eta era honelakoak berean izan daitezke:

Kuantitatibo diskretuak, balioen kopuru finitoa baino ezin badute osatu. Kuantitatibo jarraiak, tarte bateko edozein balio har dezaketenean.

Laukitxo bakoitzak fikziozko institutu bateko ikasle bakoitza irudikatzen badu, eta zein kolore duten gustukoen galdetuz gero haiei, laukitxo guztiek populazioa osatzen dute; 625 ikasle, eta inkesta egin zaien 26k lagina osatzen dute.

Estatistika

• Begien kolorea, gustukoen

duten gazta, zein kontinentetan bizi diren, aldagai estatistiko kualitatiboak dira.

• Etxean duten ordenagailu-kopurua, telebista-kopurua eta etxe bakoitzeko biztanle-kopurua, adibidez, aldagai estatistiko kuantitatibo diskretuak dira.

• Pisua, altuera, abiadura, dentsitatea, presioa, aldagai estatistiko kuantitatibo jarraiak dira.

Batx.

3º eta 4º

1º eta 2º

MATEMATIKA B 185

Aldagai kualitatiboen grafikoak. Sektoretako diagrama egokiena da informazio mota honetan. Balio bakoitzaren datuen portzentajea, laginean, zirkulu bateko sektoreko portzentaje berari dagokio. Horrela, adibidez, datuak A, A, A, A, A, B, B, B, C eta C baldin badira. Frekuentziak (A,5), (B,3) eta (C,2), portzentajeak (A,%50), (B,%30) eta (C,%20) izango dira, sektoretako grafiko bati dagozkio (A, 180º), (B,108º) eta (C, 72º) balioekin.

Aldagai diskretuen grafikoak. Barra-diagrama. Nahikoa duzu adibide bat ikustea. Datuei,

1 2 4 4 3

3 3 3 0 0 0 4 0 1 0

0 3 4 1 3 0 4 eskuineko grafikoa dagokie.

Aldagai jarraien grafikoak. Histograma. Datuak laukizuzenen bidez irudikatzen dira, haien oinarria irudikatutako tartearen zabalera da eta altuerak maiztasun absolutua adierazten digu, tarte guztiak zabalera berekoak baldin badira. Horrela ez bada, altuerak kalkulatzen dira, azalerak maiztasun absolutuekiko proportzionalak izateko moduan. Maiztasunen poligonoa. Laukizuzen guztien goi aldeko zentroak elkartuko ditugu hori lortzeko. Maiztasun metatuen histograma ere marrazten da, datu bakoitzean aurreko datuen maiztasuna metatzen da. [150, 160] 4 [160, 170] 10 [170, 180] 3 [180, 190] 6 [190, 200] 7

Estatistika

360graduaksektoreko

osoakopurudatuenafrekuentzi

=

Datuak:

Sektore-diagrama hau dute

xi fi 7 3 1 6 55

Gutira 22

HISTOGRAMA METATUTAKO F.

Zenbaketa Tarteak Maizt Dents.

30 AZTERKETATAKO NOTEN ZENBAKETA

Maiztasun-diagraman gehienezko azalera zutabe gorriari dagokio; ez da maiztasun handienekoa

dentsitatea Maiztasuna

Tartearen luzera

Barra-dentsitateen azalerak tarteko maiztasunekiko proportzionalak dira

F R E C U E n C I a

DE NS I DA D

186 MATEMATIKA B

Gráficos en variables continuas. superior de todos los rectángulos par obtenerlo. También se suele dibujar el histograma de las frecuencias acumuladas, en cada dato se acumula la frecuencia de los datos anteriores.

Estatistika

Ebatzitako ARIKETAK

1. Sailkatu aldagai estatistikoen ondorengo adibide hauek: kamioi baten luzera,

gehienezko zama, gurpil-kopurua, ardatz-kopurua, kamioi-mota, pneumatikoen markak, tapizeria-mota, ate-kopurua, gehienezko altuera.

Kualitatiboak: kamioi-mota, pneumatikoen markak, tapizeria-mota

K. diskretuak: gurpil-kopurua, ardatz-kopurua, ate-kopurua

K. jarraiak: kamioiaren luzera, gehienezko zama eta gehienezko altuera. 2. Kalkulatu balio bakoitzari dagozkion mailak datu hauek abiapuntu hartuta egindako

sektore-grafiko batean: R, R , V , V , V , V , V , A, A eta A

R zenbaketa egitean dugu 2, V 5 eta A 3 Eta kalkulatuko dugu

2 Grados R10 360

= , 5 Grados V10 360

= eta 3 Grados A10 360

= eta hau lortuko dugu

R mailak = 72, V mailak = 180 eta A mailak =108

3. Multzokatu ondorengo datuak eta egin barra-diagrama egoki bat. Datuak = { 0 1 0 2 3 4 1 2 2 1 2 2 3 4 3 2 1 3 }

Adierazi Maiztasuna

0 2

1 4

2 6

3 4

4 2

4. Sailkatu datuak tarteetan eta marraztu histograma egoki bat.

[150, 160] 155 7 [160, 170] 165 6 [170, 180] 175 4 [180, 190] 185 9 [190, 200] 195 4

ALDAGAIA

MATEMATIKA B 187

2. Zentralizazio-neurriak Batez bestekoa, mediana eta moda. N behaketen multzoa, N zenbakiak, baliteke berez ezer ez adieraztea. Aldiz, esaten badigute balio zentral baten edo batzuen inguruan kokatuta daudela, orduan badaukagu informazioa laburbiltzen duen erreferentzia bat.

Batezbestekoa. N zenbakien bildura zati N. Adibidez, 3, 4 eta 5 ditugunean, 3, 4 y 5, (3+4+5)/3 = 12/3 = 4; direnean, 1, 1, 4, 8, 8 eta 8, (1·2+4+8·3)/6=5.

Moda. Behaketa bat beste edozein baino gehiago errepikatzen bada, datu horien modatzat har daiteke. Adibidez, 6,7,8,6,7,6,8,6,9 oharrak baditugu eta 64, 72, 82 eta 91 datuak multzokatzen baditugu, argi eta garbi ikusiko dugu 6 balioa beste edozein baino gehiagotan agertzen dela. Kasu honetan, moda 6 da.

Aldagai jarraiaren kasuan, modatzat hartuko dugu maiztasun handieneko tartea, hori gertatzen denean. Bi moda egotea edo nabarmentzen denik ez egotea ere gerta daiteke.

Mediana. Halako zenbakia, behaketen erdiak handiagoak eta beste erdiak txikiagoak direla.

Ezkerreko adibidearen arabera, kopurua bikoitia edo bakoitia den.

Kopuru handiagoetarako, datuak lehenengo taula batean multzokatu beharko dira. Eta maiztasunarekiko proportzionalak diren luzera-segmentuak zehaztu, modu linealean jarri eta erdigunea markatu, ondorengo adibidean ikus daitekeen bezala.

Beste grafiko honetan adierazita agertzen da mediana, maiztasun erlatibo metatuen diagrama batean.

Adibidez, 6,7,8,6,7,6,8,6,9 oharrak baditugu eta datuak multzokatzen baditugu, argi eta garbi ikusiko dugu 6 balioa beste edozein baino gehiagotan agertzen dela. Kasu honetan, moda 6 da.

xi fr 6 4 7 2 8 2 9 1

Datuak ordenatzen baditugu, eta datu-kopurua bakoitia denez, 7a geratzen da hain justu erdian. 6 6 6 6 7 7 8 8 1 Datuak 6,7,8,6,7,6,8,6,5 izango balira, ordenatutakoan, eta datu-kopurua bikoitia denez, haietako bi egongo lirateke erdian: 5 6 6 6 6 7 7 8 8 1 eta mediana (6+7)/2 = 6.5 izango da

Estatistika

0 1 2 3 4

Nota Batezbest

ekoa

5,5

1. EBALUAZIOA

188 MATEMATIKA B

Batezbestekoa. Honen bilakaera datu bat gehitu edo aldatzean. 1 5 eta 5 datuetan, batezbestekoa 5 da. 5 bat gehitzen badugu, 5ean mantentzen da. 8 bat gehitzen badugu, batezbestekoa 6 izatera aldatzen da. 2 9 datu baldin baditugu, 5eko batezbestekoaz, 15 bat gehitu behar dugu batezbestekoa 6 izan dadin. 19 datu baldin baditugu 5eko batezbestekoaz, orain 25eko datu bat behar dugu batezbestekoa 6 izan dadin. 3 5 batezbestekoa duen datu multzo batean 5 batezbestekoa duen beste bat gehitzen badugu, adibidez 6 eta 4, multzo berriak batezbesteko bera mantentzen du. Mediana. Honen bilakaera datu bat gehitu eta/edo aldatzean. 1 mediana, 2, 3 eta 4 datuetan, Me=3 da. 4ren ordez 5 edo 6 edo beste edozein balio handiago bat jartzen badugu, Me=3 izaten jarraitzen du. 2 Aldiz, beste datu bat gehitzen badugu eta adibidez 2, 3, 4 eta 4 baldin baditugu, orduan Me=3.5. Eta orain bosgarren balio bat gehitzen badugu, 4 bat edo 5 edo 6 edo lau baino handiago den beste edozein, mediana 2, 3, 4, 4 eta ?? datuetan 4 izatera igarotzen da. Berdin da ?? balioa 5, 10 edo 25 izatea. Batezbestekoa eta mediana konparatuak. 4 eta 6 datuetan batezbestekoa eta mediana bat datoz 5en. 8 bat edo 11 bat gehitzen badugu, medianari berdin dio, bi kasuetan 6 izatera igarotzen da eta. Hala ere, batezbestekoa 8 batez 6 izatera igarotzen da, eta 11 batez 7 izango da. 8 eta 11 balioak behaketa atipikoak dira, beste balioetatik bereizten dira, batezbestekoa aldarazi egiten dute, baina ez diote medianari eragiten. Datuak, balio baten arabera, simetrikoki bananduak egongo balira, balio hori batezbestekoa eta mediana izango litzateke aldi berean. Aitzitik, medianaren alde bateko balioak beste aldekoak baino urrunago baldin badaude, batezbestekoa urrutiko balio horietarantz lekualdatzen da, balio horiek erakartzen dute. Asimetria bat dago.

Estatistika

Datu simetrikoak Datu atipikoak Batezbestekoaren berdina den mediana Batezbestekoaz bestelako mediana

Adibidez, ohar hauek baditugu:

1. 20, 24 eta 28.

Me = 24

2. Eta hauetarako: 20, 24, 28 eta 30

Me = (24+28)/2 = 26

3. Hauetarako: 20, 24, 28 eta 100

Me = (24+28)/2 = 26

Aldiz, batezbestekoak ez du berdin jokatzen datu berdinekin

1 24X =

2 5,25X =

3 43X =

Mediana ikusteko bertikal bat trazatzen da ardatz horizontaletik, N/2n.

Datuak Datuak Datuak 5 y 5 5, 5 y 5 5, 5 y 8

Datuak Datuak 1 3 5 5 5 1 3 5 5 5 5 6 7 8 5 6 6 7 8

Datuak Datuak 3 5 7 3 5 10

Mediana Mediana

Mediana

Mediana Mediana

Mediana Mediana

Mediana

Mediana

MATEMATIKA B 189

Kokatze neurriak. Kuartilak eta pertzentilak Medianaz gain datu numeriko multzo bat emanda, beste posizio-neurri batzuk azter ditzakegu.

• Arreta ematen badiogu % 25 edo % 75 gainditzen edo berdintzen duen lehen balioari, lehen eta hirugarren kuartilez ari gara, Q1 eta Q3.

• % 10 edo % 80 bezalako balioetan, pertzentilez ari gara, P10 eta P80 .

Adibidea. 0, 1, 2, 3, 4, balioen aldagaietarako eta 0 9, 1 5, 2 3, 3 6, 4 3 maiztasunetarako, maiztasunekiko proportzionalak diren luzera-barrak marraztuko ditugu eta guztizkoa zati berdinetan banatuko dugu: bi zatitan medianarako, lau koartiletarako eta 10 pertzentil nagusietarako.

Maiztasun metatuen diagrama bat ere egin dezakegu eta zati berdinetan banatu, grafikoan

ikus daitekeen bezala.

Ebatzitako ARIKETAK

5. Kalkulatu kasu bakoitzeko batezbestekoa:

a) 4, 6, 8 Ebazpenak: a) (4+6+8)/3 = 6 b) 4, 6, 8, 6 b) (4+6+8+6)= 24/4 = 6 c) 100, 120, 180, 200 c) (100+120+180+200)/4 = 150

6. Kalkulatu kasu bakoitzeko batezbestekoa: a Marca Fr b Marca Fr

10 2 100 2

20 4 200 4

30 3 300 3

40 2 400 2

a)11

2·403·304·202·10X

+++= =24,54

b) 11

2·4003·3004·2002·100X

+++= = 245,45

7. Zehaztu moda eta mediana

a) 5,6,6 c) 1,2,3,4,2 Ebazpenak: a) Me=6, Mo=6 c) Me=2 Mo=2 b) 1,1,2,3 d) 3,2,3,2,2,2 b) Me=1,5 Mo=1 d) Me=2 Mo=2

8. Kalkulatu kasu bakoitzeko moda eta mediana: a Marka Maizt. b Marka Maizt. 10 2 100 2 20 4 200 3 30 3 300 4 40 2 400 1

Ebazpenak: a) Me=20 Mo=4 b) b) Me=250 Mo=300

9. Kalkulatu mediana, 1. eta 3. koartilak, eta datuen 30, 60 eta 90 pertzentilak.

4 1 3 3 2 3 1 3 3 4 0 0 0 4 4 3 0 3 0 3 2 1 0 0 4 3 0 1 Zenbaketa egingo dugu: 0 8, 1 4, 2 2, 3 9 eta 4 5 eta balio bakoitzerako maiztasunarekiko proportzionalak diren luzera-barrak. Gainera, barraren guztizko luzera hartuko dugu abiapuntu 2, 4 eta 10 zatitan, mediana, koartilak eta pertzentilak lortzeko, irudian agertzen den bezala.

Ikus dezakegunez, mediana urdinaren eta horiaren artean dago, (3+2)/2 = 2.5, Q1 gorriaren eta berdearen artean, Q1=0, Q3=3, p30=1, P60=3 eta P90=4

0 1 2 3 4

Estatistika

0 1 2 3 4

Pertzentilak

Kuartilak

F. absolutu metatuak Pertzentilak

Kuartilak

190 MATEMATIKA B

3. Sakabanatze neurriak. Bariantza, Desbideratze tipikoa eta tartea “Estatistika zientzia bat da, horren arabera, nik oilasko bat jaten badut eta zuk batere ez, batezbestekoan bakoitzak oilasko erdia jan du.”.

Estatistikak adieraziko du denek gauza bera jaten dutela dispertsio neurriak nuluak direnean.

Tartea. Daturik txikienak eta daturik handienak zehazten duten tartea. Daturik handiena eta txikienaren arteko kendurari ere tartea deitzen zaio. Bariantza. Datuek batezbestekoarekin dituzten direrentzien karratuen batezbesteko aritmetikoa.

22 fi·(Xi X)

n

−σ = ∑ honen baliokidea da

22 2fi·(Xi)

(X)n

σ = −∑

Desbideratze tipikoa. Bariantzaren erro karratu positiboa.

2fi·(Xi X)

n

−σ = ∑ o

22fi·Xi

Xn

σ = −∑

Sakabanatze neurriak

Hori da neurri hauen helburua. Adibidez, A= {20, 20}, B={15, 20, 20, 25} datuek batezbesteko, moda eta mediana berberak dituzte. Kasu guztietan, 20. Hala ere, goian zehazturiko hiru dispertsio-neurrietako bakar batean ere bat ez datozela egiazta dezakezu.

Batezbestekoa eta Desbideratze tipikoa. Lagin unimodaletan, moda bakarrekoetan, eta ia simetrikoetan, batezbestekoaren inguruan har dezakegu daturik gehienak dituen tartea. Adibidez, 100eko batezbestekoa eta 10eko desbideratze tipikoa dituen laginean, gutxi gorabehera datuen % 68 egongo dira 90 eta 110 artean; 80 eta 120 artean egongo dira % 95 eta ia guztiak 70 eta 130 artean. Badago normal deritzon datuak sakabanatzeko modua, aurrekoa betetzen duena eta modu batean zein bestean populazio handi guztietatik horri moldatzen zaizkion datuak atera daitezke. Goiko ikasturteetan ikusiko duzu banaketa hauen garrantzia.

σ =1 Heina = [2, 8] anplitudea = 6

σ =0,5 Heina = [4, 6] anplitudea = 2

Bi grafikoetan batezbestekoak, medianak eta modak 5 balio dute

Praktikan formula laburtua erabili ohi da desbideratze tipikoa kalkulatzeko.

22fi·Xi

Xn

σ = −∑

Horrela, honetarako Marka Maizt. 4 3 5 3 6 2

Batezbesteko hau ondorioztatzen da:X 4,85= eta

2 2 223·4 3·5 2·6

4,858

+ +σ = −

Estatistika

Zergadunen garaierak dispertsio txikia agertzen du

Enborren lodierak dispertsio handi samarra du

Lagin unimodala eta simetrikoa

Datuak=39 Barruko zerrenda [2,79-1,48, 2,79+1,48]=[1,3 , 4,28] guztira27 daturekin, hau da, % 69,23. Zabalak 37 datu ditu guztira,% 94,87.

Mediana

MATEMATIKA B 191

Ebatzitako ARIKETAK 10. Kalkulatu batezbestekoa eta desbideratze tipikoa hemen:

a) 200, 250 b) 175, 275 c) 250, 250

a) 2252

200250X =

+= 25

22525

2)225200()225250( 2222

=+

=−+−

=σ

b) 2252

275175X =

+= 50

25050

2)225275()225175( 2222

=+

=−+−

=σ

c) 2502

250250X =

+= 25

200

2)250250()250250( 2222

=+

=−+−

=σ

11. Kalkulatu batezbestekoa eta desbideratze tipikoa hemen: a) 7, 5 , 3, 2, 4, 5 b) 20, 25, 20, 22, 21

a) 7 5 3 2 4 5 26

X 4,336 6

+ + + + += = =

59,175,186

12833,4

6542357 2

222222

=−=−+++++

=σ

b) 20 25 20 22 21 108

X 21,65 5

+ + + += = =

85,156,4665

23506,21

52122202520 2

22222

=−=−++++

=σ

(Oharra.- Ikusi desbideratzerako erabilitako formula) 12. Antolatu ondorengo datuak 10 cm-ko tarteetan, 150etik 200era. Zabaldu taula bi

zutaberekin, bata marken eta maiztasunen biderkadurarentzat eta bestea maiztasunen, diferentzien laukien eta batezbestekoaren biderkadurarentzat. Kalkulatu batezbestekoa eta desbideratze tipikoa.

Taulako datuekin errazagoa da. Hauek dauzkagu:

Estatistika

Batezbestekoa eta desbideratze tipikoa

192 MATEMATIKA B

4. Erakusgarritasuna Erakusgarritasuna. laginketa estratifikatua. Erakusgarritasuna. Lagin bat populazioaren adierazle da bertan populazioan aztertutako ezaugarriak proportzio berean agertzen direnean. Lagina aukeratzeko prozesua, populazioaren ordezkari gisa zein aukeratu, horixe da puntu garrantzitsua eta horren arabera izango da azterketa baliagarria ala ez (adierazgarria ala ez).

Lagina ongi aukeratzea ez da adierazgarritasunaren sinonimo, baina gaizki aukeratzea adierazgarritasun ezaren sinonimo da ia-ia.

Adibidez, populazioaren erosteko ahalmena aztertu nahi badugu eta soilik edo nagusiki inguru bateko pertsonak aukeratzen baditugu, lagin hori ez da inolaz ere adierazgarria izango. Lagina aukeratzeko inguru bakoitzeko populazioarekiko proportzionalak diren giza taldeen laginak hartu behar dira. Hiru inguru badaude 12.000, 18.000 eta 20.000 biztanlerekin, laginak lehenengo inguruko % 24, bigarreneko % 36 eta azken inguruko % 40 izan behar du.

Laginketa mota hau, estratuen banaketa proportzionala egiten duena, estratifikatua deitzen da.

ADIBIDEA

Irudian fikziozko institutu bateko ikasle ordezkatzen dituzten 625 lauki dituzu.

Eskuinaldean aukeratutako lagin estratifikatua eta inkestaren emaitza ikus ditzakegu. Azken sektore-diagramek errealitatea eta inkestaren emaitzak alderatzen dituzte

Estatistika

LAGINA

LAGINKETA Kontuan hartu maila bakoitzean dauden ikasleak: Batxilergoko 1. eta 2. mailako 150 ikasle DBHko 3. eta 4. mailako 175 ikasle DBHko 1. eta 2. mailako 300 ikasle Batxilergoa 15 DBHko 2. zikloa 17 DBHko 1. zikloa 30 Guztira 62 Ehunekoa % 7,52

Ikasleak guztiraInkestatutakoak

guztira Populazioa guztira

Batxilergoa 150DBHko 3. eta 4. mailak 175DBHko 1. eta 2. mailak 300 Guztira 625

EROSI Aukeratutako lagina ona bada, goiko

bi grafikoek antza izan behar dute

eta, ona izateko, beheko biek ia berdinak izan behar dute.

BBaattxxiilleerrggooaa DBHko 3. eta 4. mailak DBHko 1. eta 2. mailak

kk oo ll oo rr ee aa

ma i l a

MATEMATIKA B 193

Alborapena. Ausazko laginketa Alborapena. Lagina alboratuta dagoela esaten da populazio osoko datuen eta laginaren datuen artean desberdintasuna dagoenean. ADIBIDEA: Borondatezko telefono-deiak. Inkesta hauek zenbait zehartasun iturri dituzte. Badaude telefonorik ez duten zenbait familia, mundu guztia ez dago deiaren kostua onartzeko prest. Baina, batez ere, borondatez erantzuteko faktorea, inkestatuak auto-aukeratu egiten dira. Gaiaren inguruko iritzi negatibo irmoa dutenek erantzun ohi dute. Haserraldiak parte hartzera bultzatzen ditu.

Guztiz ausazkoa den laginketa. Estratifikatuan ez bezala, hor proportzioak gordetzen dira, lagina osatzeko modu honek populazio osoa hartzen du eta norbanakoak ausaz hartzen ditu. Jarduteko modu ontzat hartzen da.

Ondorengo adibidean institutuko 625 ikasleen artean guztizko ausazko lagin bat aukeratu da ordenagailuarekin; laginketa hori estratifikatuta atera daiteke ala ez, adibidean ez zen oso ongi estratifikatuta atera.

Ebatzitako ARIKETAK 13. Enpresa handi batek langileak ditu lau arlotan. Langileak, ordezkariak,

administrazioa eta zuzendaritza. Lan-baldintzak nahiko desberdinak dira arlo bakoitzean, beraz, gogobetetze-maila ez da berdina guztietan. Horren berri izateko, 1000, 500, 300 eta 200 langile baldin badaude langileen, ordezkarien, administrarien eta zuzendarien arloetan, arlo bakoitzeko zenbat hautatu behar dira tamaina-lagin baterako?

a) 200 b) 100

c) 300 a) Guztira 2000 enplegatutatik, langile, banatzaile, administrari eta zuzendarien ehunekoak % 50, % 35, % 15 eta % 10 dira. Beraz, laginak 100 langile, 50 banatzaile, 30 administrari eta 20 zuzendari hartuko ditu. b) 50, 25, 15 eta 10. c) 150, 75, 45 eta 30

Estatistika

Ikasleak guztira Inkestatutakoak ti

Guztizko populazioa

Batxilergoa 150DBHko 3. eta 4. mailak 175DBHko 1. eta 2. mailak 300 Guztira 625

BBaattxxiilleerrggooaa DBHko 3. eta 4. mailak DBHko 1. eta 2. mailak

AA nn aa ii -- aa rr rr ee bb aa kk

MMaaii llaa

EROSI Aukeraketa egiterakoan mailak

kontuan hartu ez badituzu ere, anai-arreba kopuruaren arabera alderatzeaz

gain, mailen arabera ere egin

dezakezu.

LAGINA

LAGINKETA HONETAN Ez dituzu mailak kontuan hartu behar, ikasle bakoitza aukeratzea bakarrik. Horrela ere korrelazioa egongo da laginaren eta populazioaren arteko mailetan. Batxilergoa 13 DBHko 2. zikloa 12 DBHko 1. zikloa 37 Guztira 62 Ehunekoa % 7,84

LAGINKETA HONETAN Ez dituzu mailak kontuan hartu behar, ikasle bakoitza aukeratzea bakarrik. Horrela ere korrelazioa egongo da laginaren eta populazioaren arteko mailetan. Batxilergoa 13 DBHko 2. zikloa 12 DBHko 1. zikloa 37 Guztira 62 Ehunekoa % 7,84

LAGINA

194 MATEMATIKA B

Jarraian proposaturiko ariketetako batzuk EINen argitalpen hau oinarri hartuta prestatu dira. Antzeko artikuluak ikus ditzakezu hemen:

http://www.ine.es/prodyser/pubfolletos.htm

Estatistika

MATEMATIKA B 195

Praktikatzeko

1. Multzokatu ondorengo aldagaiak: a) pisua, b) dentsitatea, c) eraikinen solairu-kopurua, d) eraikinen fatxada-mota, e) leiho-kopurua, f) fatxada-metroak, g) eraikin bakoitzeko biztanle-kopurua, h) ate nagusi mota.

2. Idatzi itsasontziekin zerikusia duten

hiru aldagai kualitatibo.

3. Idatzi hegazkinekin zerikusia duten hiru aldagai kuantitatibo diskretu.

4. Idatzi trenekin zerikusia duten hiru aldagai kuantitatibo jarrai.

5. R, V, A eta T-rako maiztasunak R 3,

V 2, A 4 eta T 1 badira, zenbat maila dagozkio letra bakoitzari sektore-grafiko batean?

6. Egin taula bat eta sektore-grafiko bat

datu hauekin: R R A A R A R V N V R N 7. Egin taula bat eta barra-grafiko bat

datu hauekin: 3 3 4 5 4 5 3 2 1 2 3 4 5 4 5 4 3 3 4 4

8. Multzokatu ondorengo datuak

tarteetan

9. Egin histograma bat aurreko ariketako

datuekin 10. Kalkulatu kasu bakoitzeko

batezbestekoa: a) 4, 6, 8 b) 4, 6, 8, 6 c) 100, 120, 180, 200

11. Kalkulatu kasu bakoitzeko

batezbestekoa: a) b)

Marka Maizt Marka Maizt 1 3 1000 3 2 5 2000 5 3 3 3000 3 4 2 4000 2

12. Zehaztu moda eta mediana a) 50,60,60 b) 12,12,22,32 c) 10,20,30,40,20

d) 35,25,35,25,25,25 13. Kalkulatu kasu bakoitzeko moda eta

mediana: a) b) Marka Maizt Marka Maizt 100 5 100 2 200 4 200 7 300 6 300 9 400 3 400 2 14. Ondorengo datuetako zein edo

zeintzuk har daitezke behaketa atipikotzat bi serietako bakoitzean? a) 4 5 6 5 7 8 4 5 8 7 5 12 6 7 6 5 4 b) 8 9 1 9 8 9 7 9 6 7 8

15. Kalkulatu ondorengoaren mediana, lehen eta hirugarren koartilak eta 90eko pertzentila 1 1 4 3 3 4 2 2 5 3 1 2 1 2 2 4 2 2 4 3 1

16. Kalkulatu ondorengoaren mediana, lehen eta hirugarren koartilak eta 20ko pertzentila 3 1 1 1 4 1 5 3 1 3 3 4 5 5 4 4 2 1 4 4

17. Kalkulatu batezbestekoa eta

desbideratze tipikoa ondorengo kasuetako bakoitzean: 100 y 100 99 y 101 110 y 90 120 y 80

18. Osatu taula datuekin:

Estatistika

Tartea Marka Maizt.

196 MATEMATIKA B

19. Zehaztu aurreko taulako datuen batezbestekoa eta desbideratze tipikoa.

20. Zehaztu tarteak ( )X ,X− σ + σ eta

( )X 2 ,X 2− σ + σ eta bakoitzean dagoen

elementu-kopurua. Marca Maizt 0 5 1 4 2 7 3 3 4 2

21. Ikusi ondorengo grafikoak eta erantzun

bakoitzari buruzko galderei a)

a1. Zein aldagai aztertu da? Eta maiztasuna? a2. Zein jarduera-multzori eskaintzen diogu denbora gehiago espainiarrek? a3. Kalkulatu zenbat denbora eskaintzen diegun etxeari eta familiari. Zenbat maila hartzen ditu sektore honek diagraman?

b)

b1. Zein herrialdetan ibiltzen dira paseatzen emakumeak gizonezkoak baino gehiago?

b2. Kalkulatu herrialde bakoitzak paseatzeari eskaintzen dion batez besteko denbora.

b3. Zein herrialde dago 50eko pertzentilean?

c)

c1. Lo egitea zainketa pertsonaleko jarduera gisa zenbatu dela uste al duzu?

c2. 15:00eta maximo lokal bat dago grafikoan. Zergatik?

c3. Bazkaltzeko orduan pertsonen % 38 jarduten da zainketa pertsonalean. Pertsonen % 62k ez duela bazkaltzen esan nahi al du horrek?

d)

d1. Zein erkidegotan eskaintzen zaie denbora gutxien bizitza sozialari eta dibertsioari?

d2. Zenbat denbora eskaintzen diete dibertsioari eta bizitza sozialari erkidego gehienek?

d3. Espainiak batez beste zenbat denbora eskaintzen dio jarduera honi?

Estatistika

Ardura pertsonalakJarduera eguneko uneren batean egiten duten pertsonak

MATEMATIKA B 197

Gehiago jakiteko

Erizaintza lanbidea. Florence Nightingale 1820-1910), erizaintza lanbidearen sortzaile izateagatik ezaguna, Krimeako gerran, borrokan zauritutakoen heriotzen arrazoi nagusia osasun-zerbitzuen eza zela ohartu zen. Neurriak hartutakoan, heriotza-tasa %42,7tik %2,2ra jaitsi zen. Datuen erabilpen eraginkorrari esker, Britainia Handira itzuli zenean osasun-zerbitzuen sistema aldatzea sortu zuen. Datuen errolda aldatu zuen eta datuak modu erraz batean irudikatzeko grafiko estatistikoak erabili zituen lehenetarikoa izan zen, jeneralek eta parlamentariek ere uler zitzaten. Florencerentzat, datuak ez ziren zerbait abstraktua, pertsonen bizitzak salbatzeko modua ziren.

Estatistikaren aita. Sir Ronald A. Fisher (1890-1962) estatistikaren aitatzat hartzen da. Fisherren idazkiek estatistika ikasketa-arlo zehatz gisa antolatzen lagundu zuten, eta metodoak eremu askotako problema praktikoetan aplikatu ziren. Estatistikako aintzindari gehienak bezala, arazo praktikoak ebazteko beharretik jaio ziren lanak.

Inferentzia estatistikoa Gai honetan garatzen den estatistika "deskribatzailea" izenarekin ezagutzen da, bertan informazioa biltzen da eta datuak nola dauden banatuta deskribatzeko kalkuluak egiten dira. Demagun ausaz hautatutako lagin batek batezbesteko bat ematen digula. Benetako batezbestekoa gurearen hurbilekoa al da? Laginaren batezbestekoaren inguruko tarte bat hartzen badut, zein da bertan egoteko ala ez egoteko probabilitatea? Galdera honetaz eta beste batzuez arduratzen da inferentzia estatistikoa.

Estatistikaren aplikazio-eremu nagusiak

Estatistika industria eta enpresak bezalako erremu askotan aplikatzen da. Kateko produkzioko kalitate-kontrolerako, merkatu-azterketarako, fabrikatutako

gaiak jendeari saltzeko prezioaren azterketarako, kudeaketa finantzarioan, etab. Eskuinaldean beste aplikazio batzuk aipatzen dira.

Estatistikaren aplikazio esparruak

Administrazio publikoa

Lurralde- eta probintzia-ordezkaritzen datuak biltzen dira, aztertzeko eta prozesu estatistikoetan erabiltzeko. Horrela biztanleei, prezioei, soldatei, lanari, irakaskuntzari, osasun-zerbitzuari eta abarri buruzko datuak ezagutzen dira. Datu hauek Estatistika Institutu Nazionalak, EINek, argitaratzen ditu (sakatu horra joateko)

Ekonomia.

Esparru honetan nahitaezkoa gertatzen da, batez ere makromagnitudeetan.

Psikologia.

Psikologia esperimentaleko lanik gehienetan estatistika dute lanerako tresna.

Medikuntza.

Esparru hauetako edozein azterketa esperimentaletan. Eremu berezia dago, Bioestatistika, azterketa esperimental hauek burutzeko. Genetika eta antropometria ditugu aplikazio handieneko eremuetako bi.

Estatistika

198 MATEMATIKA B

Gogora ezazu garrantzitsuena

Populazioa. Fikziozko institutu bateko ikasleak.

Lagina. Inkestatutako ikasleak

Aldagai estatistikoak: Kualitatiboa, kolore gustukoena; Kuantitatibo diskretua, anai-arreba kopurua eta kuantitatibo jarraia, altuera.

Azter ditzagu honako bi lagin hauek:

Anai-arreben kopurua 4 3 2 3 1 2 0 2 0 1 2 3 1 2 4 0 1 1 4 1 1 4 0 4 2 0 4 1

Altuera: 182 172 157 194 150 166 163 196 167 199 172 185 172 168 173 160 162 173 161 192 156 164 173 180 193 172

Datuen zenbaketa: Marka 0 5 1 8 2 6 3 3 4 6 28

Tartea Xi Fi [150,160[ 155 3 [160,170[ 165 8 [170,180[ 175 7 [180,190[ 185 3 [190,200[ 195 5 Total 26

Sektore- eta barra-grafikoak Anai-arreben kopurua

Altuera.

Histograma

Batezbestekoa eta moda eta desbideratze tipikoa

Batezbestekoa = 89.12853

X ==

Moda=Mo=1

39.128

67.54==σ

Koartila, mediana, pertzentila

Me=2, Q1=1, Q3=3, P20=1, P60=2, P90=4 Ibilbidea. 0tik 4ra, 4ko anplitudea Batezbestekoa eta desbideratzea Gure adibidean, 28tik 17 datu ez dira desbideratze tipikoa baino gehiago aldentzen batezbestekotik, % 60,7 dira, eta % 100 ez dira desbideratzearen bikoitza baino gehiago aldentzen batezbestekotik.

Adierazgarritasuna Lagin bat populazioarekiko adierazgarria da bertan populazioan aztertutako ezaugarriak proportzio berean agertzen direnean.

Estatistika

0 1 2 3 4

Mediana Pertzentilak

Kuartilak

Guztira

Mediana

MATEMATIKA B 199

Autoevaluación

1 Zenbat maila dagozkio 2 markari sektore-diagraman? Xi Fi 1 4 2 4 3 7 4 5

2 Aurreko taulan, maiztasun handiena markari al

dagokio?

3 Zein da moda? Xi Fi 15 40 25 45 35 37 45 51

4 Zein da batezbestekoa?

Xi Fi 100 4 200 4 300 7 400 5

5 Zen da 30eko pertzentila?

Xi Fi 1 4 2 4 3 7 4 5

6 Zein da aurreko datuen batezbestekoa?

7 Zen da 5. zenbakiko datuen desbideratze tipikoa?

8 Zein da batezbestekoa? Xi Fi 180 40 200 25 220 27 240 50

9 Zein da aurreko datuen desbideratze tipikoa? 10 Zein da 70eko pertzentila?

Estatistika

MATEMÁTICAS B 200

Praktikatzeko ariketen ebazpenak

1. Kualitatiboak: d) h) Kuantitatibo diskretuak c) e) g) K. jarraiak: a) b) f) 2. Propultsioa, Zama, Ibilbide-mota

3. Bidaiari-kopurua, gurpil-kopurua, leiho-

kopurua

4. Gehienezko abiadura, gehienezko zama, potentzia.

5. R 108º, V 72º, A 144º y T 36º

6. R 5,

A 3, V 2, N 2

7. 1 1, 2 2, 3 6, 4 7, 5 4)

8. Tartea Xi fi [150,160) 155 4 [160,170) 165 7 [170,180) 175 4 [180,190) 185 9 [190,200) 195 6

9. ----------------

10. a) 6 b) 6 c) 150

11. a) 2.3 b) 2307

12. a)Mo=60, Me=60 b)Mo=12, Me=17

c)Mo=20, Me=20 d)Mo=25 Me=25

13. a) Mo=300, Me=250 b) Mo=300, Me=300

14. a) 12 b) 1

15. Me= 2, Q1=2, Q3=3, P90=4

16. Me=3, Q1=1, Q3=4 y P20=1

17. Batezbestekoa 100 da 4etan, eta desbideratzea 0, 1, 10 eta 20.

18.

.

19. x 171,3 14.02= σ ≈)

20. (0.42, 2.9)-n 11 daude, eta (-0.88,

4.14)-n denak

21. a1) aldagaia: jarduerak. Maizt.: egunean jarduera honi eskaintzen zaion denbora-ehunekoa a2) zainketa pertsonalak a3) 2h 58m 34s 44,64 maila b1) Alemania, Suedia eta Finlandia b2) E35,5 I20, F18,5 A14 N13 F12,5 S11 R3,5 minututan b3) Frantzia c1) Bai. c2) Bazkaria eta siesta c3) Ez, pikoak bi ordu hartzen ditu eta batzuek ordu-erdian bazkaltzen dute. d1) Euskal Herria, Katalunia eta Madril d2) 1:30etik 1:40era: minutuak d3) 1:29

Jarduerak tutoreari bidali, ahaztu gabe.

Estatistika

Autoebaluazio-ebazpenak

1. Ebaz 72º

2. Ebaz 3

3. Ebaz 51

4. Ebaz 300

5. Ebaz 2

6. Ebaz 2.65

7. Ebaz 1.06

8. Ebaz 212.25

9. Ebaz 24.53

10. Ebaz 240

Tartea Marka Maizt.