Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq

σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn

mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι

qπςπζαwωeτrt

νyuτioρνμpκaλsdfghςjklzxcvλοπbnα

mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmσγqw

φertyuioσδφpγρaηsόρωυdfghjργklαz

xcvbnβφδγωmζqwertλκοθξyuiύασφ

dfghjklzxcvbnmqwertyuiopaβsdfghjk

lzxcεrυtγyεuνiιoαpasdfghjklzxcηvbnα

σφδmqwertασδyuiopasdfασδφγθμκx

cvυξσφbnmσφγqwθeξτσδφrtyuφγςο

ιopaασδφsdfghjklzxcvασδφbnγμ,mq

wertyuiopasdfgασργκοϊτbnmqwerty

σδφγuiopasσδφγdfghjklzxσδδγσφγc

vbnmqwertyuioβκσλπpasdfghjklzxcv

bnmqwertyuiopasdγαεορlzxcvbnmq

wertyuiopasdfghjkαεργαεργαγρqwer

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΙΟΥΛΙΟΣ 2015 – ΙΟΥΛΙΟΣ 2016

1

Ξεκίνησε τον Ιούλιο 2015 μια προσπάθεια συλλογής αξιόλογων

ασκήσεων στο κεφάλαιο της Ευθείας Β Λυκείου Θετικού

Προσανατολισμού.

Δημοσιεύθηκαν στο site Μαθηματικός και Φυσικός κόσμος

http://mfcosmos.com/archives/23395

Σε αυτή την προσπάθεια πρωτοστάτησε ο Βασίλης Μαυροφρύδης και

έδωσαν το παρόν αξιόλογοι συνάδελφοι, προτείνοντας και λύνοντας

θέματα.

Η ομάδα αποτελείται από

Μαυροφρύδης Βασίλης, Τσιφάκης Χρήστος, Τσαντίλας Σωτήρης,

Χρονόπουλος Παναγιώτης, Πετρά Ζωή, Γκόλφης Νίκος, Ζανταρίδης

Νίκος, Ραϊκόφτσαλης Θωμάς, Στάμου Γιάννης, Σανδαλίδης Λάζαρος,

Παπαγγελής Νίκος και Δημήτρης Μυρογιάννης.

Η αποδελτίωση και τα σχήματα έγιναν από τον Χρήστο Τσιφάκη και τον

Βασίλη Μαυροφρύδη.

Αφιερωμένο στους μαθητές της Β λυκείου

Τσιφάκης Χρήστος

2

ΑΣΚΗΣΗ 1 (Βασίλης Μαυροφρύδης)

Έστω α R και τα κινητά Μ και N στο επίπεδο. Αν Μ 2α,2α 1 και

2 2N α 1,α 2 τότε:

i) Να βρείτε την γραμμή 1ε , που γράφει το κινητό Μ στο επίπεδο.

ii) Να βρείτε την γραμμή 2ε , που γράφει το κινητό N στο επίπεδο.

iii) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α για την οποία τα

κινητά Μ και N έχουν την ίδια θέση στο επίπεδο.

iv) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραμμών 1ε και 2

ε που γράφουν

τα κινητά στο επίπεδο.

v) Να συγκριθούν οι ελάχιστες αποστάσεις της αρχής των αξόνων O από

τα σημεία Μ και N αντίστοιχα.

Πηγή: Βασίλης Μαυροφρύδης

Λύση:

i) Ένα σημείο M x,y βρίσκεται στην ζητούμενη γραμμή, αν και μόνο

αν, υπάρχει α R με x 2α και y 2α 1 :

xx 2α α

2y 2α 1

y x 1α R

x R

Άρα η ζητούμενη γραμμή που γράφει το κινητό M , είναι η ευθεία

1ε : y x 1

ii) Ένα σημείο x,y βρίσκεται στην ζητούμενη γραμμή, αν και μόνο αν,

υπάρχει α R με 2x α 1 και2y α 2 :

2 2

2 2

x α 1 α x 1 0 α x 1

y α 2 y α 1 1 y x 1

α R α R x 1

Άρα η ζητούμενη γραμμή που γράφει το κινητό N , είναι η ημιευθεία

3

2ε : y x 1,x 1

iii) Για να έχουν τα κινητά Μ και N την ίδια θέση στο επίπεδο αρκεί2 2Μ Ν ΜΝ 0 α 1 2α 0 α 2 2α 1 0 α 1

Σχόλιο: Στο ίδιο αποτέλεσμα θα φτάναμε και εάν απαιτούσαμε η

απόσταση ΜΝ να ήταν ίση με μηδέν.

iv) Για να βρούμε τα κοινά σημεία των γραμμών 1ε και 2

ε που

γράφουν τα κινητά στο επίπεδο, αρκεί να λύσουμε το σύστημα:

y x 1,x R

Σ :y x 1,x 1

Το σύστημα Σ έχει άπειρες λύσεις της μορφής

x,y x,x 1 ,x 1, τα οποία παριστάνουν και τα ζητούμενα

κοινά σημεία των γραμμών 1ε και 2

ε

v) Έστω Α 1,1 το σημείο

για α 1 και Β το ίχνος της

καθέτου από το Ο προς την

1ε . Είναι ΟΝ ΟΑ (το

μεγαλύτερο ισχύει όταν

Α Ν αφού το ΟΝ

βρίσκεται απέναντι από την

αμβλεία γωνία στο τρίγωνο

ΟΑΝ) , άρα min

ΟΝ ΟΑ

όταν Ν Α .

Είναι ΟΜ ΟΒ (το

μεγαλύτερο ισχύει όταν Β Μ αφού το ΟΒ είναι το κάθετο τμήμα προς

την y x 1 από το Ο ενώ το ΟΜ πλάγιο) , άρα min

ΟΜ ΟΒ όταν

Μ Β

Για την σύγκριση των ελαχίστων αποστάσεων ΟΑ,ΟΒ έχουμε ότι:

ΟΑ ΟΒ αφού το ΟΑ είναι πλάγιο τμήμα και το ΟΒ κάθετο.

4

ΑΣΚΗΣΗ 2 (Βασίλης Μαυροφρύδης)

Έστω οι εξισώσεις : κη : κ 1 x 1 κ y 0,κ R

2 2

με : μ 6μ 5 x μ 2μ 1 y 2μ 2 0,μ R

i) Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών κ,μ ώστε οι εξισώσεις

μ κε , η να παριστάνουν ευθείες στο επίπεδο.

ii) Για κ R καιμ 1 , να δείξετε ότι η με διέρχεται από σταθερό

σημείο Α , όπως και η κη από σταθερό σημείοΒ .\

iii) Να εξεταστεί αν υπάρχουν τιμές των πραγματικών αριθμών κ,μ με

μ 1 έτσι ώστε οι μ κε , η να παριστάνουν την ίδια ευθεία.

iv) Να βρείτε την ικανή και αναγκαία συνθήκη που πρέπει να πληρούν οι

κ,μ R με μ 1 ώστε: μ κε η

v) Αν μ 3 2κ,μ 1 και τοΔ είναι το σημείο τομής των μ κε , η τότε

να δείξετε ότι το Δ ανήκει σε σταθερό κύκλο.

Πηγή: Βασίλης Μαυροφρύδης

Λύση:

i) Για να παριστάνουν οι μ κε , η εξισώσεις ευθειών αρκεί

τουλάχιστον ένας εκ των δύο συντελεστών των x,y να μην είναι μηδέν.

Έστω ότι υπάρχουν 0 0

μ R,κ R ώστε:

2

0 0

2

0 0

μ 6μ 5 0

μ 2μ 1 0

και

0

0

κ 1 0

1 κ 0

2

0

1 6 1 5 0

μ 1

και

0

0

κ 1

κ 1

0

μ 1 και αδύνατο.

Επομένως για κάθε μ R 1 και για κάθε κ R οι μ κε , η

παριστάνουν εξισώσεις ευθειών.

5

ii) Έστω 0 0Α x ,y σημείο της οικογένειας ευθειών μ

ε

Είναι 2 2

μ 0 0Α ε μ 6μ 5 x μ 2μ 1 y 2μ 2 0

2

0 0 0 0 01 x μ 6x 2y 2 μ 5x y 2 0 1

Το πολυώνυμο

2

0 0 0 0 0 0Ρ μ y x μ 6x 2y 2 μ 5x y 2,μ R είναι το

μηδενικό αφού ισχύει η 1 και επίσης Ρ 1 0

Επομένως 0

0 0

0 0

0

1x

y x 0 2Ρ μ 0

6x 2y 2 0 1y

2

Οπότε η οικογένεια ευθειών με , διέρχεται για κάθε μ 1 από το

σταθερό σημείο 1 1

Α ,2 2

Όμοια η οικογένεια ευθειών κη , για κάθε κ R , διέρχεται από το

σταθερό σημείο Β 0,0

iii) Έστω ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί 1 1

κ ,μ με 1

μ 1 έτσι ώστε οι

1 1μ κ

ε , η να παριστάνουν την ίδια ευθεία. Επειδή 1κ

Β η έπεται ότι

1

2 2

μ 1 1 1 1 1 1Β ε μ 6μ 5 0 μ 2μ 1 0 2μ 2 0 μ 1 ,

άτοπο. Άρα δεν υπάρχουν τιμές των πραγματικών αριθμών κ,μ με μ 1

έτσι ώστε οι μ κε , η να παριστάνουν την ίδια ευθεία.

iv) Τα διανύσματα 2 2

1δ μ 2μ 1,μ 6μ 5 ,μ R 1 και

2δ 1 κ,1 κ ,κ R είναι παράλληλα αντίστοιχα προς τις ευθείες

μ κε , η και είναι μ κ 1 2

ε η δ δ 0

Έχουμε

2 2

1 2δ δ 0 μ 2μ 1 1 κ μ 6μ 5 1 κ 0

6

μ 1 1 κ μ 5 1 κ 0 μ 3 2κ,μ 1

Οπότε μ κε η μ 3 2κ,μ 1

v) Για το Δ επιλύουμε το σύστημα:

2 2μ 6μ 5 x μ 2μ 1 y 2μ 2 0Σ :

κ 1 x 1 κ y 0

Είναι

μ 3 2κ

μ 1 κ 1

μ 5 x μ 1 y 2Σ

κ 1 x 1 κ y 0

3 2κ 5 x 3 2κ 1 y 2

κ 1 x 1 κ y 0

κ 1 x 1 κ y 1

κ 1 x 1 κ y 0

2κ 1 1 κ

D 2 κ 1 0,κ 1κ 1 κ 1

x

1 1 κD 1 κ

0 κ 1

και

y

κ 1 1D κ 1

κ 1 0

Άρα

yx

2 2

DD 1 κ κ 1Δ , , ,κ 1

D D 2 κ 1 2 κ 1

Το μέσο Κ του ΑΒ είναι σταθερό σημείο, με συντεταγμένες

Α B Α B

Κ Κ

x x y y1 1x y

2 4 2 4

, άρα

1 1Κ ,

4 4

Είναι

2 2

2 2

Κ Δ Κ Δ 2 2

1 1 κ 1 κ 1ΔΚ x x y y

4 42 κ 1 2 κ 1

2 2 22

22 2 2

2 κ 11 1 κ 1 1 κ 2

4 4 42 κ 1 2 κ 1 16 κ 1

7

Οπότε το σημείο Δ ανήκει στον σταθερό κύκλο 2

Κ,4

Σχόλιο: Αν σκεφτούμε γεωμετρικά και κάνουμε σχήμα θα φανεί ότι δεν

είναι τυχαίος ο υπολογισμός της απόστασης ΔΚ

ΑΣΚΗΣΗ 3 (Χρήστος Τσιφάκης)

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(1,3) , Β(1,1) και Γ(5,2)

Η εξίσωση της εσωτερικής διχοτόμου είναι

α(δ ) :( 17 1)x 4y (13 17) 0

Να δείξετε ότι η α

(δ ) βρίσκεται μεταξύ των α

(υ ) και α

(μ )

Πηγή : Γ. Καρεκλίδης (1993)

Λύση:

Βρίσκουμε πρώτα τις εξισώσεις της διαμέσου και του ύψους.

Αν M μέσο της ΒΓ , τότεΜ M

1 5 1 2 3x 3,y

2 2 2

, οπότε το

3M 3,

2

και η εξίσωση της διαμέσου είναι αμ : 3x 4y 15 0

8

Για το ύψος αυ έχουμε: Γ Β

BΓ

Γ B

y y 2 1 1λ

x x 5 1 4

BΓ υ υ υ

1λ λ 1 λ 1 λ 4

4

Η εξίσωση του ύψους είναι αυ : 4x y 7 0

Εάν 1

Δ(x ,0) , 2

E(x ,0) και 3

Z(x ,0) τα σημεία τομής του ύψους ,

διχοτόμου και διαμέσου αντίστοιχα με τον x'x , αρκεί να δείξουμε ότι

1 2 3x x x .

Για y 0 έχουμε 1

7x

4 ,

2

3 17 1x

4

,

3x 5 και ισχύει ότι

1 2 3x x x , άρα η

α(δ ) βρίσκεται μεταξύ των

α(υ ) και

α(μ )

ΑΣΚΗΣΗ 4 (Σωτήρης Τσαντίλας)

Δίνεται η εξίσωση 2 2x y 2 (2 x 2 y x y) 5 (I)

α) να δείξετε ότι η (I)παριστά δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους.

Έστω 1

(ε ) ,2

(ε ) οι ευθείες.

β) να βρείτε την απόσταση των ευθειών.

γ) να βρείτε την μεσοπαράλληλη (ε) των 1

(ε ) και 2

(ε )

δ) αν το σημείο P(κ,λ) κινείται στην ευθεία 1

(ε ) και το σημείο Σ(μ,ν)

κινείται στην 2

(ε ) , να δείξετε ότι το σημείο κ μ λ ν

Μ( 1, 1)2 2

κινείται στην ευθεία (ε)και το εμβαδόν του τριγώνου ΡΜΣ παραμένει

σταθερό .

Πηγή : Ευκλείδης 2006

Λύση:

α) 2 2x y 2 (2 x 2 y x y) 5

2 2 2x y 4 x 4 y 2 x y 5 0 (x y) 4 (x y) 5 0 (1)

9

Θέτω ω x y και η (1) γίνεται: 2ω 4ω 5 0

2Δ 4 4( 5) 16 20 36 0

1 2

4 36 4 6 4 36 4 6ω 1 , ω 5

2 2 2 2

Άρα για ω 1 έχουμε x y 1 1

(ε ) : x y 1 0

για ω = – 5 έχουμε x y 5 2

(ε ): x y 5 0

παρατηρούμε ότι 1 2ε ε 1 2

λ λ 1 ε / /ε

β) 1

(ε ) : x y 1 0

2

(ε ): x y 5 0

Για την εύρεση της 1 2

d((ε ),(ε )) , εκλέγω τυχαίο σημείο Ατης 1

(ε )

π.χ για x 0 η εξίσωση της 1

(ε ) δίνει y 1 , άρα 1

Α(0,1) (ε ) , οπότε:

1 2 2d((ε ),(ε )) d(A,(ε ))

1 22 2

0 1 5 6 6 2 6 23 2 d(ε ,ε ) 3 2

22 2 21 1

γ) 1

(ε ) : x y 1 0

2

(ε ): x y 5 0 ζητείται η μεσοπαράλληλη (ε)των 1

(ε ) και 2

(ε )

ε1

ε

ε2

Α

Μ:μέσο ΑΒ

Β

Είναι αρχαία γνώση στη γεωμετρία

ότι : η μεσοπαράλληλη των ε1 και ε2

διχοτομεί κάθε ευθύγραμμο τμήμα

που έχει τα άκρα του στις δύο

παράλληλες αυτές ευθείες.

Α

10

1Α(0,1) (ε ) (από β. ερώτημα)

Εκλέγω τυχαίο σημείο της 2

(ε ) π.χ για x 0 έχουμε y 5

Οπότε B(0, 5) σημείο της 2

(ε )

Οι συντεταγμένες του μέσου M M

M(x ,y ) του AB είναι :

Μ M

0 0 5 1x 0,y 2

2 2

, άρα M(0, 2)

1 21 2 ε ε ε(ε) / /(ε ) / /(ε ) λ λ λ 1 , για την (ε) γνωρίζουμε το

ελ και

ένα σημείο της το Μ οπότε ο τύπος της είναι

(ε) : y ( 2) 1(x 0) (ε) : x y 2 0

δ) 1

P(κ,λ) (ε ) : x y 1 0 κ λ 1 0 κ λ 1 (1)

2Σ(μ,ν) (ε ) : x y 5 0 μ ν 5 0 μ ν 5 (2)

Θέλουμε να δείξουμε ότι το σημείο κ μ λ ν

Μ( 1, 1)2 2

κινείται στην

(ε) , αρκεί οι συντεταγμένες του να επαληθεύουν την εξίσωση της.

Πράγματι :

κ μ λ ν κ λ μ ν κ λ μ ν 41 1 2 0 2 0 0

2 2 2 2

(1)

(2)

1 5 40 0 0

2

που ισχύει.

Άρα το M (ε)

Εύρεση εμβαδού του τριγώνου ΡΜΣ.

P(κ,λ) , Σ(μ,ν) , κ μ λ ν

Μ( 1, 1) 2 2

κ μ λ ν κ μ 2 2κ λ ν 2 2λΡΜ ( 1 κ, 1 λ) ( , )

2 2 2 2

μ 2 κ ν 2 λ( , )

2 2

11

ΡΣ (μ κ,ν λ) .

μ 2 κ ν 2 λ

det(ΡΜ,ΡΣ) 2 2

μ κ ν λ

=(μ 2 κ) (ν λ) (ν 2 λ) (μ κ)

2 2

=

μν μλ 2ν 2λ κν κλ νμ νκ 2μ 2κ λμ λκ

2

=

2(μ ν) 2(κ λ)

2

2 ( 5) 2 1 126

2 2

1 1(ΡΜΣ) | det(ΡΜ,ΡΣ) | | 6 | 3 τ.μ

2 2 .

Άρα το εμβαδόν του τριγώνου παραμένει σταθερό.

ΑΣΚΗΣΗ 5 (Σωτήρης Τσαντίλας)

Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy , η εξίσωση ευθείας

2 2 2(2λ λ 1)x (λ λ 1)y (λ 2λ) 0 , όπου λ {0,1,2,...,19}

παριστάνει τις πορείες 20πλοίων που κατευθύνονται σε κάποιο λιμάνι.

α) να βρεθεί η θέση του λιμανιού.

β) ανοικτά του λιμανιού στο σημείο Φ(1,2) υπάρχει φάρος που δεν

λειτουργεί. Να εξετάσετε αν υπάρχει περίπτωση, κάποιο από τα πλοία να

συγκρουστεί με το φάρο.

γ) εξετάστε αν κάποιο από τα 20πλοία κινείται παράλληλα με μικρό

σκάφος που κινείται στην ίδια περιοχή και του οποίου η πορεία του

δίνεται από την εξίσωση: 11x 3y 22 0

πηγή : Σχολική εγκυκλοπαίδεια Ορόσημο.

Λύση:

2 2 2(2λ λ 1) x (λ λ 1)y (λ 2λ) 0, όπου λ {0,1,...19} (Ι)

α) Το λιμάνι θα βρίσκεται στο σημείο που διέρχονται όλες ευθείες που

(1)

(2)

12

εκφράζει η (I) . Για να προσδιορίσουμε το σημείο εργαζόμαστε ως εξής:

δίνουμε δύο τιμές στο λ , με λ 0,1,2,...,19 , και προκύπτουν δύο από

τις 20 ευθείες που περιγράφει η (I) . Λύνουμε το σύστημα των

εξισώσεων τους και βρίσκουμε το σημείο τομής τους.

Π.χ. για λ 0 , έχουμε 1

(ε ) : x y 0 .

για λ 1 , έχουμε 2

(ε ): 4x y 3 0 .

x y 0 x y x yΣ: (x,y) (1,1)

4x y 3 0 4x x 3 x 1

Άρα οι 1

(ε ) και 2

(ε ) τέμνονται στο σημείο Λ(1,1) .

Ελέγχουμε εάν οι συντεταγμένες του Λ επαληθεύουν την (Ι)

2 2 2(2λ λ 1) 1 (λ λ 1) 1 (λ 2λ) 0

2 2 22λ λ 1 λ λ 1 λ 2λ 0 0 0

Πράγματι οι συντεταγμένες του Λ, επαληθεύουν την (Ι), άρα το λιμάνι

βρίσκεται στη θέση Λ(1,1) .

β) Για να συγκρουστεί ένα πλοίο με το Φάρο, θα πρέπει να υπάρχει

λ {0,1,...19} , ώστε η ευθεία που θα προκύπτει να διέρχεται από το

Φ(1,2) (οι συντεταγμένες του να επαληθεύουν τον τύπο της).

Για x 1 και y 2 η (I) δίνει :

2 2 2(2λ λ 1) 1 (λ λ 1) 2 (λ 2λ) 0

2 2 2 22λ λ 1 2λ 2λ 2 λ 2λ 0 λ λ 1 0 .

Αδύνατη διότι: 2Δ 1 4( 1)( 1) 1 4 3 0

Άρα καμία από τις ευθείες που περιγράφει η (Ι) δεν διέρχεται από το

Φ(1,2) , κανένα πλοίο δε θα συγκρουστεί με τον Φάρο.

γ) η πορεία του μικρού σκάφους εκφράζεται από την εξίσωση της

13

ευθείας 1

11 22ε :11 x 3 y 22 0 3 y 11 x 22 y x

3 3

με συντελεστή διεύθυνσης 1ε

11λ

3 .

2 2 2(2λ λ 1) x (λ λ 1)y (λ 2λ) 0

2 2 2(λ λ 1)y (2λ λ 1) x (λ 2λ) 2 2

2 2

2λ λ 1 λ 2λy x

λ λ 1 λ λ 1

με 2λ λ 1 0 , διότι 2Δ 1 4( 1)( 1) 1 4 3 0

(δεν έχει πραγματικές ρίζες η εξίσωση).

Οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης των ευθειών που εκφράζει η (Ι) είναι :

2

2

2λ λ 1λ=

λ λ 1

Θα εξετάσουμε εάν υπάρχει λ {0,1,...19} , ώστε κάποια από τις ευθείες

(Ι) είναι παράλληλη με την ε1

Αρκεί 1

2

ε 2

2λ λ 1 11λ λ

λ λ 1 3

2

2 2

2

2λ λ 1 113(2λ λ 1) 11(λ λ 1)

λ λ 1 3

2 2 2 26λ 3λ 3 11λ 11λ 11 11λ 6λ 11λ 3λ 11 3 0

25λ 14λ 8 0

2Δ ( 14) 4 5 8 196 160 36 0

1

2

( 14) 36 14 6 20λ 2

2 5 10 10

ή

( 14) 36 14 6 8 4λ

2 5 10 10 5

Δεκτή η λ 2 {0,1,2,...,19} και η (Ι) δίνει :

14

2 2 2(2 2 2 1) x (2 2 1)y (2 2 2) 0 11x 3y 8 0 (ΙΙ)

Άρα υπάρχει πλοίο με εξίσωση ευθείας που περιγράφει η (ΙΙ) και είναι

παράλληλη με την ε1 (την εξίσωση της πορείας του μικρού πλοίου).

Σχόλιο:

για 4

λ5

, θα πάρουμε την ίδια εξίσωση που περιγράφει η (ΙΙ)

διότι από ένα σημείο μπορούμε να φέρουμε μόνο μία ευθεία παράλληλη

προς γνωστή ευθεία. (όμως το 4

λ5

δεν ανήκει στο {0,1,2,...,19})

ΑΣΚΗΣΗ 6 (Χρήστος Τσιφάκης)

i) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες λ

(ε ): (λ 3)x (2 λ)y λ 0 (1)

με λ R διέρχονται από το ίδιο σημείο.

ii) Να βρείτε ποιες από τις ευθείες αυτές τέμνουν τους άξονες στα σημεία

A και B έτσι ώστε να είναι 1 1

2OA OB

.

Γ. Καρεκλίδης (1993)

Λύση:

i) Η εξίσωση γίνεται:

(λ 3)x (2 λ)y λ 0 λx 3x 2y λy λ 0

λ(x y 1) (3x 2y) 0

Η σχέση ισχύει για κάθε λ R , άρα

x y 1 0 2x 2y 2 0

3x 2y 0 3x 2y 0

2x

5

3y

5

2 3

K( , )5 5

ii) Οι συντεταγμένες των σημείων τομής με τους άξονες x΄xκαι y΄y

15

αντίστοιχα είναι λ

A ,0λ 3

και

λΒ 0,

2 λ

με λ 2 , λ 3 και

λ 0 γιατί τότε η ευθεία διέρχεται από το Ο(0,0)και Α Β Ο .

Τότε λλ

ΟΑλ 3 λ 3

και λλ

ΟΒ2 λ λ 2

λ 3 λ 21 12 2 λ 3 λ 2 2 λ

λ λOA OB

(1)

Αν λ 3 τότε (1) 1 0 Αδύνατη

Αν 3 λ 0 τότε 5

(1) λ2

Αν 0 λ 2 τότε 5

(1) λ 0,22

Αδύνατη

Αν λ 2 τότε (1) 1 0 Αδύνατη

Άρα 5

λ2

και η ευθεία έχει εξίσωση x 9y 5 0 .

ΑΣΚΗΣΗ 4 (Παναγιώτης Χρονόπουλος)

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γενός τριγώνου

ΑΒΓ , αν Α(1, 3) και οι εξισώσεις δυο υψών του είναι οι 2x y 6 0

και x 3y 4 0 .

β) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γενός τριγώνου

ΑΒΓ , αν Α(2,3) και οι εξισώσεις δυο διαμέσων του είναι οι

x 4y 4 0 και 4x 5y 9 0

γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ ενός τριγώνου

ΑΒΓ , αν Α(1,2) και οι εξισώσεις δυο διχοτόμων του είναι οι x 2 0

και y x 5

δ) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓείναι Α(2,0) , ενώ οι εξισώσεις μιας διαμέσου

και ενός ύψους του, που άγονται από διαφορετικές κορυφές, είναι

αντίστοιχα x y 2 0 και 3x y 2 0 . Να βρείτε τις συντεταγμένες

των κορυφών Β και Γ

16

ε) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓείναι Α(2, 2) , ενώ οι εξισώσεις μιας διχοτόμου

και ενός ύψους του, που άγονται από διαφορετικές κορυφές, είναι

αντίστοιχα x 3y 2 0 και x y 2 0 . Να βρείτε τις συντεταγμένες

των κορυφώνΒ και Γ .

στ) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓείναι Α(8, 2) , ενώ οι εξισώσεις μιας διαμέσου

και μιας διχοτόμου του, που άγονται από την ίδια κορυφή, είναι

αντίστοιχα 11x 6y 58 0 και 3x y 12 0 . Να βρείτε τις

συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ .

Πηγή: Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Στεργίου – Νάκης – Στεργίου

Λύση:

α) Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες του Aδεν επαληθεύουν τις

εξισώσεις των υψών που δίνονται. Έτσι ονομάζουμε

(ΒΔ): 2x y 6 0 και (ΓΖ): x 3y 4 0 και έχουμε:

17

ΑΓ ΒΔ ΑΓ

1ΑΓ ΒΔ λ λ 1 λ

2 με

ΒΔλ 2 , οπότε

(ΑΓ): x 2y 7 0

Όμοια ΑΒ ΓΖ ΑΒ

ΑΒ ΓΖ λ λ 1 λ 3 με ΓΖ

1λ

3 , οπότε

(ΑB): 3x y 0

Από (ΑΓ): x 2y 7 0 και (ΓΖ): x 3y 4 0 προκύπτει Γ(13,3)

Από (ΑB): 3x y 0 και (ΒΔ): 2x y 6 0 προκύπτει Β(6, 18)

β) Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες του Aδεν επαληθεύουν τις

εξισώσεις των διαμέσων που δίνονται. Έτσι ονομάζουμε

(ΒΔ): x 4y 4 0 και (ΓΖ): 4x 5y 9 0 και έχουμε:

Το Δ Δ

Δ(x ,y ) είναι το μέσο της (ΑΓ) , Γ Γ

Δ Δ

2 x 3 yx ,y

2 2

και

επαληθεύει την εξίσωση της (ΒΔ): x 4y 4 0 , άρα

18

Γ Γ

Δ Δ

2 x 3 yx 4y 4 0 4 4 0

2 2

Γ Γ Γ Γ2 x 6 2y 8 0 x 2y 12 και από την (ΓΖ) έχουμε

Γ Γ4x 5y 9 0 , οπότε προκύπτει Γ(6, 3)

Όμοια το Ζ Ζ

Ζ(x ,y ) είναι το μέσο της (ΑΒ) , Β Β

Ζ Ζ

2 x 3 yx ,y

2 2

και επαληθεύει την εξίσωση της (ΓΖ): 4x 5y 9 0 , άρα

Β Β

Ζ Ζ

2 x 3 y4x 5y 9 0 4 5 9 0

2 2

Β Β Β Β8 4x 15 5y 18 0 4x 5y 5 και από την (ΒΔ) έχουμε

Β Βx 4y 4 0 οπότε προκύπτει Β(0, 1)

γ) Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες του Aδεν επαληθεύουν τις

εξισώσεις των διχοτόμων που δίνονται. Έτσι ονομάζουμε

(ΒΔ): x 2 0 και (ΓΖ): y x 5 .

Από το Α(1,2) φέρνουμε την (ΑΚ) κάθετη στην διχοτόμο (ΒΔ) και

παίρνουμε το συμμετρικό του Ε . Όμοια φέρνουμε την (ΑΛ) κάθετη

19

στην διχοτόμο (ΓΖ) και παίρνουμε το συμμετρικό του Η . Η ευθεία

(ΕΗ) ταυτίζεται με την πλευρά (ΒΓ) του τριγώνου. Το σημείο Κ( 2,2)

και το Ε( 5,2) .

ΑΛ ΓΖ ΑΛΑΛ ΓΖ λ λ 1 λ 1 και

(ΑΛ): y 2 1(x 1) (ΑΛ): y x 3

Το σημείο Λ επαληθεύει την (ΑΛ): y x 3 δηλαδή Λ Λ

y x 3

και επαληθεύει την (ΓΖ): y x 5 , άρα Λ Λ

y x 5 , οπότε Λ

y 4 και

Λx 1 , άρα Λ( 1,4) και είναι το μέσο του ΑΗ , οπότε

Η Η

Η Η

1 x 2 y1 ,4 x 3,y 6

2 2

. Άρα το Η( 3,6)

Η πλευρά (ΒΓ)δίνεται y 2 2(x 5) y 2x 12

(ΒΓ) : y 2x 12B( 2,8)

(ΒΔ) :x 2 0

και

(ΒΓ) : y 2x 12Γ( 7, 2)

(ΓΖ) :y x 5

δ) Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες του Α(2,0)δεν επαληθεύουν τις

εξισώσεις της διαμέσου και του ύψους που δίνονται. Έτσι ονομάζουμε

(ΒΔ) : x y 2 0 την διάμεσο και (ΓΖ): 3x y 2 0 το ύψος.

Το σημείο Δ Δ

Δ(x ,y ) είναι το μέσο της (ΑΓ) ,

Γ Γ Γ

Δ Δ

2 x 0 y yx ,y

2 2 2

και επαληθεύει την

Γ Γ

Δ Δ

2 x y(ΒΔ): x y 2 0 x y 2 0 2 0

2 2

Γ Γ

Γ Γ Γ Γ

2 x y2 0 2 x y 4 0 y x 6

2 2

και από την

(ΓΖ): 3x y 2 0 έχουμε Γ Γ Γ Γ

3x y 2 0 3x x 6 2 0

Γ Γx 2,y 4 , δηλαδή το Γ( 2,4) .

20

Η ΑΒ ΓΖ ΑΒ

1ΑΒ ΓΖ λ λ 1 λ

3 και

1(ΑΒ): y (x 2) (ΑΒ): x 3y 2 0

3 , οπότε

(ΑΒ): x 3y 2 0B( 4, 2)

(ΒΔ):x y 2 0

ε) και στ) ανάλογα …

ΑΣΚΗΣΗ 8 (Βασίλης Μαυροφρύδης)

Από όλες τις ευθείες α 2 x 1 2α y 3α 4 0,α R να βρεθεί

αυτή που απέχει περισσότερο από την αρχή των αξόνων.

Πηγή: Δ. Ντρίζος στο περιοδικό Μαθηματική Έκφραση

Λύση:

Η απόσταση της αρχής των αξόνων από την οικογένεια ευθειών

αε : α 2 x 1 2α y 3α 4 0,α R είναι η

21

α 2 2 2 2

α 2 0 1 2α 0 3α 4 3α 4d α,ε

α 2 1 2α α 2 1 2α

Η παραπάνω απόσταση είναι μία συνάρτηση του α , με

2 2

3α 4f α ,α R

α 2 1 2α

Η f γίνεται μέγιστη όταν υπάρχει 0

α R ώστε για κάθε α R , να ισχύει

0f α f α , ( 0

f α 0 )

Δηλαδή, αν συμβολίσουμε 0f α Μ , όταν και μόνο όταν:

2 2

0 0

2 2

0 0

3α 4Μ

α 2 1 2αf α Μ

f α Μ 3α 4Μ

α 2 1 2α

2 2 22

2 2 22

0 0 0

3α 4 Μ α 2 1 2α

3α 4 Μ α 2 1 2α

2

2 2 2

2 2 2

0 0

5Μ 9 05Μ 9 α 24α 5Μ 16 0

Δ 05Μ 9 α 24α 5Μ 16 0

Δ 0

2 2

2

0

2

95Μ 9 0 Μ

Μ 5 f α 55Δ 0

Μ 5

Άρα η μέγιστη απόσταση είναι 5 και επιτυγχάνεται όταν

4 2

0 2

24 Μ 5Μ 24 25 25 3α

2 5 5 9 42 5Μ 9

, οπότε η ζητούμενη

ευθεία είναι η 3

4

x 2: y 0ε 5

22

Άλλες λύσεις http://eisatopon.blogspot.gr/2015/07/blog-post_27.html

ΑΣΚΗΣΗ 9 (Νίκος Παπαγγελής)

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνοΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ . Πάνω στην ευθεία ΒΓ

παίρνουμε σημείο Η διαφορετικό από τα σημεία Β και Γ .

Αν 1

d και 2

d είναι οι αποστάσεις του σημείου Η από τις ευθείες ΑΒ και

ΑΓαντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:

α) Αν το σημείο Ηείναι εσωτερικό του ευθυγράμμου τμήματος ΒΓ ,

τότε το άθροισμα 1 2

d d είναι σταθερό.

β) Αν το σημείο Ηείναι εξωτερικό του ευθυγράμμου τμήματος ΒΓ , τότε

η διαφορά 1 2

d d είναι σταθερή.

γ) Πότε είναι 1 2

d d 0 και πότε 1 2

d d 0 ;

Πηγή: Νίκος Παπαγγελής

Λύση:

α) Έστω το ισοσκελές τρίγωνο με (0, )

( ,0) , ( ,0) με , 0 και σημείο ( ,0)

εσωτερικό της πλευράς με .

Η πλευρά έει εξίσωση

x y( ) : 1 ( ) : x y 0

και η

( ) : x y 0 . Έτσι

2 2 2

0d d H,(A )

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 ( ) ( ) 2d d ct

23

β) εάν το ( ,0) είναι εξωτερικό σημείο

της , (έστω προς το ) έχουμε .

1 2 2 2 2 2

0 0d d

2 2 2 2

( ) ( ) 2ct

γ) αν το (0,0) τότε 1 2d d

εάν το βρίσκεται στην ημιευθεία x , τότε

1 2d d γιατί

1 2 2 2 2 2

0 0d d

(*)

2 2 2 2

00

0

Αλλοιώς

2 2 2 2 2 22) 2(*

4 0 0

Αντίστοιχα 1 2d d εάν βρίσκεται στην ημιευθεία x'B

24

ΑΣΚΗΣΗ 10 (Νίκος Παπαγγελής)

Θεωρούμε την ευθεία ε που τέμνει τους θετικούς ημιάξονες Oxκαι

Oy στα σημεία Aκαι B αντίστοιχα. Αν M είναι η προβολή της αρχής O

στην ευθεία ε , d (OM) και θ xOM

, π

0 θ2

, να αποδείξετε ότι η

εξίσωση της ευθείας (ε) είναι: xσυνθ yημθ d 0

Πηγή: Μαθηματικά Β΄ Λυκείου των Θ. Τζουβάρα – Κ. Τζιρώνη

Λύση:

Έστω ότι η ευθεία ( ) τέμνει τον x΄x στο

( ,0) και τον y΄y στο B(0, ) με , 0 .

Η ευθεία ( ) έχει εξίσωση x y

( ) : 1

2 2 2 2

0 0d d ,( )

Έχουμε ότι d

και d

Άρα x y d d

( ) : 1 x y d x y d

xσυνθ yημθ d 0

ΑΣΚΗΣΗ 11 (Σωτήρης Τσαντίλας)

Δύο σημεία Α και Β κινούνται πάνω στους ημιάξονες Οx και Οy έτσι,

ώστε να ισχύει (ΟΑ) + (ΟΒ) = 2 . Με διαγώνιο το ΑΒ κατασκευάζουμε

τετράγωνο ΑΒΓΔ . Να αποδείξετε ότι η μία από τις κορυφές Γ και Δ

μένει σταθερή , ενώ η άλλη κινείται σε ευθεία .

Πηγή : Γιώργος Κομπότης (Αναλυτική Γεωμετρία 1995)

25

Λύση:

Y

x

(ΟΑ) (ΟΒ) 2 α β 2 β 2 α (Ι) ,

β 0 2 α 0 0 α 2

Εξίσωση ευθείας ΑΒ :

(1)β 0 2 α α 2y 0 (x α) y (x α) y x α 2

0 α α α

, με

ΑΒ

α 2λ

α

Συντεταγμένες του μέσου M M

Μ(x ,y )του ΑΒ

(1)

Μ Μ

α 0 α β 0 β 2 αx , y

2 2 2 2 2

Άρα α 2 α α β

Μ( , ) Μ( , )2 2 2 2

Έστω A(α,0) με α 0 αφού A Ox

και Β(0,β) με β 0 αφού B Oy

ΑΒδιαγώνιος του τετραγώνου ΑΒΓΔ

Μ το κέντρο τετραγώνου

Οι διαγώνιες του τετραγώνου τέμνονται

κάθετα , είναι ίσες, διχοτομούνται

,διχοτομούν τις γωνίες του.

A

B

Γ

Δ

Μ

Ο

Προφανώς το τετράγωνο εγγράφεται σε

κύκλο κέντρου Μ και ακτίνας

ΑΒρ ΜΑ ΜΒ ΜΓ ΜΔ

2

26

Η ΓΔ είναι μεσοκάθετη του ΑΒ άρα:

ΓΔ ΑΒ ΓΔ ΓΔ

α 2 α αλ λ 1 λ 1 λ

α 2 α β

,

για την ΓΔ γνωρίζουμε τον ΓΔ

λ και ένα σημείο της το Μ άρα

β α αΓΔ: y (x )

2 β 2 (1).

Εξίσωση κύκλου κέντρου Μ και ακτίνας ρ=ΑΒ

2,

2 2 2 2 2ΑΒ ΟΑ ΟΒ α β ,

2 2 2

2 2 2 2 2

0 0

α β AB α β(x x ) (y y ) ρ (x ) (y ) (2)

2 2 4 4

,

Εύρεση Γ : σημείο τομής της ΓΔ και του κύκλου (c)

Λύνω το (Σ) των εξισώσεων τους. { ΓΔ και (C)}

Από (1) και (2) έχουμε :

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

α α α α β α α α β(x ) ( ) (x ) (x ) (1 )

2 β 2 4 2 β 4

2 2 2 2 2 2

2 2

2

α α β α β α β α β(x ) ( ) (x ) x

2 β 4 2 4 2 4

β α α βx x

2 2 2

( Ι )α β 2 α β α 2 α 2(α 1)x 1 x α 1

2 2 2 2 2

Άρα οι τετμημένες των Γ και Δ είναι x 1 και x α 1 αντίστοιχα.

Για x 1 η (1) δίνει : (Ι)β α α β α 2 α α β α β 2

y (1 ) y ( ) y 12 β 2 2 β 2 2 2 2 2

Άρα Γ(1,1) σταθερό .

27

Για x α 1 η (1) δίνει :

β α α 2 α α α 2 α 2 αy (α 1 ) y ( ) y

2 β 2 2 2 α 2 2 2

2α 2 2(1 α)y 1 α

2 2

Άρα Δ Δ

Δ(x α 1,y 1 α) παρατηρούμε ότι Δ Δ

x y 0

Δηλαδή το Δ κινείται στην ευθεία x y 0 (οι συντεταγμένες του Δ

επαληθεύουν την εξίσωση x y 0 )

ΑΣΚΗΣΗ 12 (Χρήστος Τσιφάκης)

Δίνεται ευθεία (d) που διέρχεται από το σημείο M(4,1)και τέμνει τους

ημιάξονες Ox,Oyστα σημεία Α,Βαντίστοιχα.

i) Να βρεθεί η ευθεία για την οποία το (ΟΑΒ) γίνεται ελάχιστο.

ii) Να βρεθεί η ευθεία για την οποία η (ΟΑ) (ΟΒ) γίνεται ελάχιστη.

Πηγή: Βιετνάμ

Λύση:

i) Ας είναι Α α,0 ,Β 0,β με α,β 0, τότε η εξίσωση της ευθείας

(d) είναι x y

1α β (δες την αντίστοιχη άσκηση στην β ομάδα).

Είναι 4

M1

1: 1α

(4,1) dβ

και ΟΑ ΟΒ αβ

(OAB)2 2

Από την ανισότητα ΑΜ – ΓΜ έχουμε ότι :

14 1 4 1 42 1 αβ 16

α β α β αβ(OAB) 8τ.μ. με την ισότητα

να ισχύει αν και μόνο αν 4 1

α 4βα β και σε συνδυασμό με την 1

παίρνουμε β 2,α 8

28

Οπότε έχουμε min

(OAB) 8τ.μ. όταν x y

d : 1 x 4y 8 08 2

ii) Έχουμε 4 1 α

1 β ,α 4α β α 4

οπότε

α α 4 44

α 4 α 4(OA) (OB) α β α α 4

ΑΜ ΓΜ

α 4 α 44 4

5 2 5 4 5 9α 4 α 4

,

με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν α 4

α 4 α 4 24

αα

64

και 6

β 36 4

.

Δηλαδή min (OA) (OB) 6 3 9 όταν και μόνο όταν

x yd : 1 x 2y 6 0

6 3

ΑΣΚΗΣΗ 13 (Γιάννης Στάμου)

Στο επίπεδο Oxy θεωρούμε την εξίσωση

2 2ω ω6συν 1 x 3 4ημ y 7συνω 4 0

2 2

(1), όπου ω [0,π]

α) Να δειχθεί ότι η (1) παριστά οικογένεια ευθειών, η οποία διέρχεται

από σταθερό σημείο Μ το οποίο να προσδιοριστεί.

β) Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το Μ και

σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 4.

γ) Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το Μ και τα

σημεία A(2,0) και B(4, 2) ισαπέχουν απ’ αυτές. Ποιες από τις ευθείες

αυτές ανήκουν στην οικογένεια ευθειών που παριστά η (1); Για ποια τιμή

του ω συμβαίνει αυτό;

Πηγή: Εφημερίδα

29

Λύση:

α) Απ’ τους τύπους του αποτετραγωνισμού έχουμε

2 2 2ω 1 συνω ω ωσυν 6συν 3 3συνω 6συν 1 2 3συνω

2 2 2 2

και

2 2 2ω 1 συνω ω ωημ 4ημ 2 2συνω 3 4ημ 1 2συνω

2 2 2 2

,

οπότε η (1) γίνεται (2 3συνω)x (1 2συνω)y 7συνω 4 0 (2)

Είναι Α = 2 + 3συνω και Β = 1 + 2συνω, οπότε:

2 3συνω 0

1 2συνω 0

2συνω

Α 0 3

Β 0 1συνω

2

, οπότε δεν υπάρχει τιμή του

ω [0,π] για την οποία Α = Β = 0, συνεπώς η (1) παριστά ευθεία για

κάθε τιμή του ω [0,π]

Για x 1 και y 2 η (2) γίνεται

(2 3συνω) 1 (1 2συνω) 2 7συνω 4 0

2 3συνω 2 4συνω 7συνω 4 0 0 0 ,

άρα η (2) παριστά οικογένεια ευθειών που διέρχεται απ’ το σταθερό

σημείο M(1,2)

β) Απ’ το σημείο M(1,2)διέρχονται οι ευθείες της μορφής

ε : y 2 λ(x 1) y 2 λx λ y λx 2 λ και ε΄: x 1

Η ευθεία ε΄: x 1 δεν αποτελεί λύση του προβλήματος, διότι δεν τέμνει

τον άξονα y΄y.

Στην εξίσωση της ε πρέπει λ 0 , διότι αν λ 0 τότε η ευθεία y 2 δεν

τέμνει τον άξονα x΄x. Επίσης πρέπει λ 2 , διότι αν λ 2 τότε η ευθεία

y 2x διέρχεται απ’ την αρχή των αξόνων και δεν σχηματίζει τρίγωνο μ’

αυτούς.

30

Για y 0 , έχουμε λ 0 λ 2 λ 2

0 λx 2 λ x Κ ,0λ λ

Για x 0 , έχουμε y λ 0 2 λ y 2 λ Λ(0,2 λ)

Το εμβαδόν του τριγώνου είναι

2

λ 22 λ

λ 2(ΟΚ) (ΟΛ) λ(ΟΚΛ) 4 8

2 2 λ

2(λ 2) 8 λ (3)

Για λ 0 , η (3) γίνεται: 2 2λ 4λ 4 8λ λ 12λ 4 0 2Δ ( 12) 4 1 4 144 16 128

1

1,2

2

λ 6 4 212 128 12 8 2λ

2 2 λ 6 4 2

,

οπότε έχουμε τις ευθείες

1ε : y (6 4 2)x 4 4 2 κι

2ε : y (6 4 2)x 4 4 2

Για λ 0 , η (3) γίνεται: 2 2 2λ 4λ 4 8λ λ 4λ 4 0 (λ 2) 0 λ 2 ,

οπότε έχουμε και την ευθεία 3

ε : y 2x 4

γ) Είναι 2 2

1 2 0 1 1 2 1d(Α,ε )́ 1

11 0

και

2 2

1 4 0 ( 2) 1 4 1d(Β,ε )́ 3

11 0

, άρα η ευθεία ε΄: x 1 δεν

αποτελεί λύση του προβλήματος.

Είναι 2 2 2 2

2λ 1 0 2 λ 4λ 1 ( 2) 2 λd(Α,ε) d(Β,ε)

λ 1 λ 1

λ 1λ 2 3λ 4 2λ 2

λ 2 3λ 4 3λ 2 3λ 4 4λ 6 λ

2

,

31

άρα οι ζητούμενες ευθείες είναι οι 1ε : x y 3 0 και

2ε :3x 2y 7 0

Η ευθεία 1ε έχει τη μορφή της (2) εφόσον υπάρχει ω [0,π] τέτοιο,

ώστε:

2 3συνω 1 2συνω2 3συνω 1 2συνω 7συνω 4

3 6συνω 7συνω 41 1 3

ω [0, π]συνω 1συνω 1 ω π

συνω 1

Η ευθεία 2ε έχει τη μορφή της (2) εφόσον υπάρχει ω [0,π] τέτοιο,

ώστε:

4 6συνω 3 6συνω2 3συνω 1 2συνω 7συνω 4

7 14συνω 14συνω 83 2 7

Οι παραπάνω εξισώσεις είναι αδύνατες, άρα η ευθεία ε2 δεν ανήκει στην

οικογένεια ευθειών της (1)

ΑΣΚΗΣΗ 14 (Γιάννης Στάμου)

Θεωρούμε την εξίσωση 2 2 2λ x y 2λ(λ 2)x 4y λ(λ 4) 0 (1)

α) Να δειχθεί ότι η (1) παριστά δύο οικογένειες ευθειών για κάθε *λ

β) Να δειχθεί ότι οι ευθείες κάθε οικογένειας διέρχονται από σταθερό

σημείο 1

Σ και 2

Σ αντίστοιχα, το οποίο και να προσδιοριστεί.

γ) Αν 1

Σ είναι το σημείο που έχει θετική τεταγμένη, λε η οικογένεια

των ευθειών που διέρχονται απ’ αυτό και λη η άλλη οικογένεια

ευθειών, τότε:

i. Να προσδιοριστούν οι τιμές του *λ για τις οποίες υπάρχουν ευθείες

των οικογενειών λε και λ

η , οι οποίες τέμνονται σε σημεία λ

Ρ

ii. Να δειχθεί ότι τα σημεία λ

Ρ , όταν υπάρχουν, είναι συνευθειακά.

32

iii. Να βρεθούν οι ευθείες της οικογένειας λη , οι οποίες εφάπτονται του

κύκλου 2 2C:4x 4y 3 και να υπολογιστεί η οξεία γωνία που

σχηματίζουν.

Πηγή: Εφημερίδα

Λύση:

α) Η (1) γίνεται:

2 2 2 2λ x y 2λ(λ 2)x 4y λ 4λ 0

2 2 2 2λ x y 2λ(λ 2)x 4y λ 4λ 4 4 0

2 2 2 2λ x y 2λ(λ 2)x 4y (λ 2) 4 0

2 2λx (λ 2) (y 2) 0

λx (λ 2) (y 2) λx (λ 2) (y 2) 0

(λx y λ 4) (λx y λ) 0 λx y λ 4 0 ή λx y λ 0

Οι παραπάνω ευθείες αποτελούν οικογένειες ευθειών για κάθε *λ

β) Είναι

1

x 1 0 x 1λx y λ 4 0 λ(x 1) (y 4) 0 Σ (1,4)

y 4 0 y 4

και 2

x 1 0 x 1λx y λ 0 λ(x 1) y 0 Σ (1,0)

y 0 y 0

γ) i. Είναι λx y λ 4 0 λx y λ 4

λx y λ 0 λx y λ

λ 1D λ λ 2λ 0

λ 1

x

λ 4 1D λ 4 λ 2λ 4 2(λ 2)

λ 1

33

2

y

λ λ 4D λ

λ λ

2λ 4λ 4λ

x

λ

D 2x

D

(λ 2)

2

λ 2

λλ

,

λ

4λy 2

2λ

, άρα υπάρχουν ευθείες

των οικογενειών (ελ) και (ηλ) που τέμνονται στα σημεία λ

λ 2Ρ ,2

λ

ii. Είναι λ 2

xλ

και y 2 , άρα τα σημεία Ρλ ανήκουν στην ευθεία y 2

iii. Είναι 2 2 2 2 3C:4x 4y 3 x y

4 , δηλαδή έχουμε κύκλο κέντρου

Ο(0, 0) και ακτίνας 3

ρ2

. Για να εφάπτεται ο κύκλος C σε κάποια απ’

τις ευθείες λη πρέπει και αρκεί

2

λ 22 2 2

λ 0 1 0 λ λ3 3 λ 3d(O,η ) ρ

2 2 λ 1 4λ 1 λ 1

2 2 24λ 3λ 3 λ 3 λ 3

Άρα έχουμε τις ευθείες 1

η : 3x y 3 0 και 2

η : 3x y 3 0

Έστω 1 11δ / /η δ (1, 3) , 2 22

δ / /η δ (1, 3) και 1 2φ (δ , δ )

Τότε:

1 2

22 2 21 2

δ δ (1, 3) (1, 3) 1 3 2 1συνφ φ 120

4 24 4δ δ 1 3 1 ( 3)

Άρα η οξεία γωνία των δύο ευθειών είναι ίση με 60

34

ΑΣΚΗΣΗ 15 (Λάζαρος Σανδαλίδης)

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ . Αν Α(3, 1) και η εξίσωση της μεσοκαθέτου της

πλευράς ΑΒ είναι (ε) : x 4y 16 0 , ενώ Η(4, 1) είναι το

ορθόκεντρο του τριγώνου, να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του.

Πηγή: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

Η.Γαρούφος, Π.Κατσιμαγκλής, Μ.Τριπολιτσιώτης

Εκδόσεις: Οικοβιβλία 1999

Λύση:

Η πλευρά ΑΒ ε ΑΒ

ΑΒ (ε) λ λ 1 λ 4

(ΑΒ): y 1 4(x 3) (ΑΒ) :4x y 13 0

Το σημείο Δ Δ

Δ(x ,y ) είναι το μέσο της (ΑB) , B B

Δ Δ

3 x 1 yx ,y

2 2

και επαληθεύει την B B3 x 1 y

(ε) : x 4y 16 0 4 16 02 2

B B

B B B B

3 x 1 y4 16 0 3 x 4 4y 32 0 x 4y 33 0

2 2

Η κορυφή

B B B BB(x ,y ) (AB) 4x y 13 0

Λύνοντας το σύστημα προκύπτει B(5,7)

Η πλευρά

ΑΓ ΒΗ ΑΓ

1ΑΓ (ΒΗ) λ λ 1 λ

8

1(ΑΓ): y 1 (x 3) (ΑΓ) : x 8y 5 0

8

και όμοια

Η πλευρά ΒΓ

ΒΓ (ΑΗ) λ δεν ορίζεται άρα

(ΒΓ) x x́ (ΒΓ) : x 5

35

ΑΣΚΗΣΗ 16 (Λάζαρος Σανδαλίδης)

Έστω παραλληλόγραμμο ABΓΔ με εξισώσεις διαγωνίων (ΒΔ) : y x 1

και (AΓ) : y 2x 3 . Η διαγώνιος ΒΔ είναι η μεσοπαράλληλος των

ευθειών 1

(ε ) , 2

(ε ) των οποίων η μεταξύ τους απόσταση είναι: d 2 2

και οι οποίες διέρχονται από τις κορυφές Ακαι Γ αντιστοίχως. Αν

ΑΔ (4,6) , τότε:

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου Κ του παραλληλογράμμου

ABΓΔ .

β) Να δείξετε ότι οι ευθείες 1

(ε ) , 2

(ε ) έχουν εξισώσεις:

1(ε ) : x y 1 0 ,

2(ε ) : x y 3 0

γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών A,B,Γ,Δ του

παραλληλογράμμου.

δ) Να βρείτε το εμβαδόν ABΓΔ του παραλληλογράμμου.

Πηγή: ΟΕΦΕ 2009

Λύση:

α) (ΒΔ): y x 1 y x 1 y x 1 y 5

Κ(4,5)(AΓ) : y 2x 3 y 2x 3 x 4 x 4

β) 1

(ε ) : y x α , 2

(ε ) : y x β

1 2d(K,( )) d(K,( )) 2

Άρα 1 2 2

4 5d(K,( )) 2 2

1 ( 1)

1 2 1 2

3 ή 1

Άρα η 1 1

(ε ): y x 1 (ε ): x y 1 0 και

2 2(ε ): y x 3 (ε ) : x y 3 0

36

γ) 1(ε ) : x y 1 0 x 2x 3 1 0 x 2

(AΓ) : y 2x 3 y 2x 3 y 1

, άρα A(2,1)

2(ε ) : x y 3 0 x 2x 3 3 0 x 6

(AΓ) : y 2x 3 y 2x 3 y 9

, άρα (6,9)

Αφού Δ Δ Δ ΔΑΔ (4,6) x 2,y 1 (4,6) x ,y 6,7

Αφού το Κ(4,5) είναι το μέσο του έχουμε

x x x 6x 4 4 x 2

2 2

και

y 7 y 7y 5 5 y 3

2 2

, άρα B(2,3)

δ) 0 21

2 2 det AB,A 8 84 62

τ.μ.

ΑΣΚΗΣΗ 17 (Νίκος Γκόλφης)

Δίνονται τα σημεία λ 2

Α 2,λ 1

και

1Β , 1

λ

, λ 1

i) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που διέρχονται από τα σημεία Α,Β για τις

διάφορες τιμές του λ ανήκουν στην οικογένεια των ευθειών

λ(ε ): λx (λ 1)y λ 2 0

ii) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες λ

(ε )διέρχονται από σταθερό σημείο.

iii) Να βρείτε την ευθεία (ε) της οικογένειας λ

(ε ) ώστε το εμβαδόν του

τριγώνου ΟΑΒ να είναι ίσο με 1

iv) Να βρείτε σημείο Λ του άξονα x΄x ώστε το συμμετρικό του K ως

προς την ευθεία (ε) να βρίσκεται στον άξονα y΄y .

Ευκλείδης Β τ.60

Λύση:

i) ΑΒ

λ 21

λλ 1λ1 λ 1

2λ

Οι ευθείες που διέρχονται από τα A,B για τις διάφορες τιμές του λ

είναι: λ 1

AB: y 1 (x ) (λ 1)y λ 1 λx 1λ 1 λ

37

λx (λ 1)y λ 2 0

ii) 1ος τρόπος

λ(ε ): λx (λ 1)y λ 2 0 λ(x y 1) (y 2) 0 (1)

To ζητούμενο σημείο είναι εκείνο για το οποίο η (1) ισχύει για κάθε τιμή

του λ , επομένως: x y 1 0 x 1

y 2 0 y 2

Άρα όλες οι ευθείες διέρχονται από το σημείο Ν(1, 2)

2ος τρόπος

Για λ 0 η λ

(ε ) δίνει (ζ) : y 2 0 y 2

Για λ 1 η λ

(ε ) δίνει (η) : x 1 0 x 1

Άρα οι ευθείες (ζ) και (η) διέρχονται από το σημείο Ν(1, 2)

Θα δείξουμε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται από το

Ν(1, 2)

Για x 1 και y 2 η λε λ (λ 1)( 2) λ 2 0 0 0 , ισχύει.

Άρα όλες οι ευθείες διέρχονται από το Ν.

iii) λ 2

ΟΑ 2,λ 1

και

1ΟΒ , 1

λ

2

λ 22

2λ 3λ 2λ 1det(OA,OB)

1 λ(λ 1)1

λ

21 1 2λ 3λ 2(ΟΑΒ) det(OA,OB)

2 2 λ(λ 1)

22λ 3λ 2

2λ(λ 1)

, γιατί λ 1

Επομένως

2

2 22λ 3λ 2(ΟΑΒ) 1 1 2λ 3λ 2 2λ 2λ

2λ(λ 1)

λ 2

38

Άρα (ε) : 2x 3y 4 0

iv) Λ x x́ , έστω Λ(α,0) και Κ y΄y έστω K(0,β)

Αν Μ το μέσο του ΚΛ τότε M

αx

2 και

M

βy

2 ,

α βΜ( , )

2 2. Τα Κ,Λ

είναι συμμετρικά ως προς την (ε) , άρα το

α βΜ (ε) 2 3 4 0 2α 3β 8 0

2 2 (1)

ΚΛ (ε)

β 2ΚΛ (ε) λ λ 1 1 2β 3α

α 3

3αβ

2 (2)

( ) 3α 16(1) 2α 3 8 0 4α 9α 16 α

2 5

2

και 24

β5

Άρα 16

Λ( ,0)5

και 24

Κ(0, )5

ΑΣΚΗΣΗ 18 (Νίκος Γκόλφης)

Δίνoνται οι εξισώσεις: (λ 2)x λy 1 0 , (λ 5)x 2y 2 0 , λ .

i) Nα δείξετε ότι οι παραπάνω εξισώσεις παριστάνουν δύο ευθείες

1 2(ε ),(ε ) .

ii) Να βρείτε τη σχετική θέση των δύο ευθειών 1 2

(ε ),(ε )για κάθε τιμή

του λ .

iii) Για ποιες τιμές του λ οι παραπάνω ευθείες είναι κάθετες;

iv) Για ποιες τιμές του λ οι παραπάνω ευθείες είναι παράλληλες. Για τη

μικρότερη από αυτές τις τιμές αυτές να βρείτε την εξίσωση της

μεσοπαράλληλης αυτών.

v) Να βρεθεί η ευθεία (ε )́ που τέμνει τις ευθείες 1

(ε ) και 2

(ε )που

προκύπτουν για λ 1 στα σημεία Ακαι Βαντίστοιχα ώστε το σημείο

Μ(4, 2) να είναι μέσο του ΑΒ .

Ευκλείδης Β τ.90

39

Λύση:

i) Παρατηρούμε ότι οι συντελεστές των x,y και στις δύο εξισώσεις δεν

μηδενίζονται ταυτόχρονα. Άρα οι παραπάνω εξισώσεις για κάθε τιμή του

λ παριστάνουν δύο ευθείες 1

(ε ): (λ 2)x λy 1 0 ,

2(ε ): (λ 5)x 2y 2 0

ii) Λύνουμε το σύστημα των δύο εξισώσεων

λ 2 x λy – 1 0

λ 5 x 2y – 2 0

2 2 2λ 2 λ

D 2λ 4 λ 5λ λ 3λ 4 (λ 3λ 4) (λ 1)(λ 4)λ 5 2

x

1 λD 2 2λ (λ 1)

2 2

y

λ 2 1D 2λ 4 λ 5 λ 1

λ 5 2

Για (λ 1)(λ 4) 0 λ 1 και λ 4

το σύστημα έχει μοναδική λύση xD

x λ 4D

, y

D 1y

D λ 4

, άρα

οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο με συντεταγμένες

1(x,y) λ 4,

λ 4

Αν λ 1 τότε το σύστημα γίνεται 3x y 1

3x y 16x 2y 2

δηλαδή οι ευθείες ταυτίζονται.

Αν λ 4 τότε το σύστημα γίνεται

12x 4y 1 x 2y

2x 2y 2

x 2y 2

Που είναι αδύνατο, άρα οι ευθείες είναι παράλληλες.

40

iii) Θεωρούμε τα διανύσματα 1

α / /(ε ) α (λ, λ 2) και

2β / /(ε ) β (2, λ 5) .

Αφού οι 1 2

(ε ) (ε ) α β 0

22λ (λ 2)(λ 5) 0 λ 9λ 10 0 .

Άρα 1,2

9 41λ

2

ΑΣΚΗΣΗ 19 (Θωμάς Ραικόφτσαλης)

Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε η εξίσωση

2 2y x 4y 2x λ 1 0 1 να παριστάνει δύο ευθείες στο επίπεδο.

Πηγή : Μαυροφρύδης Βασίλης

Λύση:

Έστω ότι μία τουλάχιστον από τις δύο ευθείες είναι κατακόρυφη με

εξίσωση 0

x x . Τα σημεία 0x ,y για κάθε y R ανήκουν στην

0x x ,

άρα επαληθεύουν την 1 .

Είναι

2 2 2 2

0 0 0 0y x 4y 2x λ 1 0 y 4y x 2x λ 1 0, y R .

Δηλαδή το πολυώνυμο 2 2

0 0P y y 4y x 2x λ 1 είναι το

μηδενικό που είναι άτοπο.

Επομένως η 1 δεν παριστάνει κάποια κατακόρυφη ευθεία, άρα οι

ευθείες που παριστάνει έχουν εξίσωση y αx β και τα σημεία

x,αx β , x R επαληθεύουν την 1 . Δηλαδή ισχύει

2 2x 4 2x λ 1 0αx β αx β

μηδενικό

2 2 2

πολυώνυμοα 1 x 2αβ 4α 2 x β 4β λ 1 0

41

2

2 2 2

α 1 0 α 1 α 1

2αβ 4α 2 0 2β 4 2 0 2β 4 2 0

β 4β λ 1 0 β 4β λ 1 0 β 4β λ 1 0

α 1 α 1

β 1 β 3

λ 2 λ 2

. Οπότε η 1 παριστάνει τις ευθείες y x 1,y x 3

και η ζητούμενη τιμή είναι λ 2 .

ΑΣΚΗΣΗ 20 (Θωμάς Ραικόφτσαλης)

Δίνεται η εξίσωση 2 2λ 1 x 2λy λ 2λ γ 0 , όπου λ R και γ

πραγματική σταθερά .

i. Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ η εξίσωση

παριστάνει ευθεία γραμμή.

ii. Εάν γ 1 , να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την

παραπάνω εξίσωση διέρχονται από το ίδιο σημείο

iii. Εάν γ 1 , να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων εκείνων που

από καθένα διέρχεται μόνο μία ευθεία η οποία επαληθεύει την παραπάνω

εξίσωση.

Πηγή: Θέμα πανελληνίων 2002-επαναληπτικές

Λύση:

i. Έστω ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός 0

λ ώστε :

2

0λ 1 0 και

0 02λ 0 λ 1 και

0λ 0 , αδύνατο.

Άρα για κάθε λ R είναι 2λ 1 0 ή 2λ 0 , οπότε η εξίσωση

2 2λ 1 x 2λy λ 2λ γ 0 παριστάνει ευθεία.

ii. Για γ 1 η εξίσωση γράφεται 2 2λ 1 x 2λy λ 2λ 1 0 1

Έστω 0 0Α x ,y σημείο της οικογένειας ευθειών 1 .

42

Είναι 0

2 2

0Α 1 x yλ 1 2λ λ 2λ 1 0

2

0 0 0x 1 λ 2y 2 λ x 1 0

Το πολυώνυμο 2

0 0 0Ρ λ x 1 λ 2y 2 λ x 1 0,λ R είναι το

μηδενικό.

Επομένως 0

0

0

0

0

x 1 0x 1

2y 2 0Ρ λ 0y 1

x 1 1

Οπότε η οικογένεια ευθειών 1 , διέρχεται για κάθε λ R από το ίδιο

σταθερό σημείο Α 1,1

iii. Για γ 1 η εξίσωση 1 γράφεται 2x 1 λ 2y 2 λ x γ 0

Ένα σημείο Μ x,y του επιπέδου ανήκει σε μία μόνο ευθεία που

επαληθεύει την παραπάνω εξίσωση αν και μόνο η παραπάνω εξίσωση

έχει μοναδική λύση ως προς λ .

Αν x 1

τότε η εξίσωση είναι πρώτου βαθμού και γίνεται

2y 2 λ 1 γ 0 2y 2 λ 1 γ η οποία έχει μοναδική λύση

όταν και μόνο όταν y 1 . Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος του Μ

είναι η ευθεία x 1 εκτός του σημείο της, Α 1,1 .

Αν x 1

τότε η εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού και έχει μοναδική λύση όταν και

μόνο όταν 2 2Δ 0 x y γ 1 x 2y 1 γ 0

2 2

2 2γ 1 γ 1 γ 1x 2x y 2y 1 1 1 γ

2 2 2

2 2

2γ 1 γ 1x y 1

2 2

2

2 γ 1γ 1x y 1 : 2

2 2

43

γ 1 γ 1

KM , όπου Κ ,12 2

.

Η 2 για x 1 δίνει y 1 οπότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος του

Μ είναι ο κύκλος γ 1

Κ,2

εκτός του σημείο του, Α 1,1 .

Συνοψίζοντας ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος του Μ είναι η ευθεία

x 1 και ο κύκλος γ 1

Κ,2

εκτός του σημείο Α 1,1 .

ΑΣΚΗΣΗ 21 (Νίκος Ζανταρίδης)

Δίνεται η εξίσωση :

2 2 2 2 3x y m m x m m y 2xy m 0, m 1

.

α) Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο παράλληλες

ευθείες 1 2

(ε ),(ε ).

β) Να βρείτε για ποιά τιμή του m 1

οι ευθείες

1 2(ε ),(ε )

σχηματίζουν με τους ημιάξονες Ox,Oy τραπέζιο με εμβαδό 3 τ.μ.

Πηγή: (Ν.ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ : ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ A

ΔΕΣΜΗΣ 1994)

Λύση:

α) Η δοσμένη εξίσωση διαδοχικά και ισοδύναμα γράφεται

2 2 2 2 3x y m m x m m y 2xy m 0

2 2 2x y m m x y m m 0 2x y m x y m

Οπότε η δοσμένη εξίσωση παριστάνει τις ευθείες

2

1 2ε : y x m ,ε : y x m οι οποίες είναι παράλληλες μεταξύ τους

διότι 1 2ε ε

λ λ 1 .

44

β) Για τα σημεία τομής της 2

1ε : y x m με τους άξονες έχουμε:

Οπότε τα σημεία τομής είναι τα 2 2Α m ,0 ,Β 0,m .

Όμοια για τα σημεία τομής της 2

ε : y x m με τους άξονες έχουμε:

Οπότε τα σημεία τομής είναι τα Γ m,0 ,Δ 0,m .

Το εμβαδό του τραπεζίου ΑΒΔΓδίνεται

από την απόλυτη τιμή της διαφοράς των

εμβαδών των τριγώνων ΟΑΒ,ΑΓΔ ,

οπότε έχουμε:

ΟΑΒ ΟΓΔ ΑΒΔΓ

2 2m m m m3

2 2

4 2 4 2m m 6 m m 6 0

4 2Δ 25 m m 6 0,Δ 0

m 02 21 5

m m 3 m 32

.

ΑΣΚΗΣΗ 22 (Ζωή Πετρά )

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ του οποίου μία κορυφή έχει συντεταγμένες (1,3) .

Αν δύο διχοτόμοι έχουν εξισώσεις x 3 0 και x y 1 0 , να βρεθεί

η εξίσωση της απέναντι πλευράς από την κορυφή (1,3) .

(Αντώνης Αξιώτης, Αναλυτική γεωμετρία, 1993)

x 0 2m y 2m 0

x 0 m y m 0

45

Λύση

Οι συντεταγμένες (1,3) δεν επαληθεύουν τις εξισώσεις των δυο

διχοτόμων. Έστω A(1,3) και (BE): x 3 0 , (ΓΖ): x y 1 0 οι

διχοτόμοι αντίστοιχα. Ζητάμε την εξίσωση της πλευράς ΒΓ .

Φέρνουμε από το Aκάθετη στη διχοτόμο BEπου τέμνει την BE στο Λ

και την ΒΓ στο Δ . Όμοια, φέρνουμε κάθετη στη διχοτόμο ΓΖ, που

τέμνει τη ΓΖ στο Κ και την ΒΓ στο Η .

Τα τρίγωνα ΒΑΔ και ΓΑΗ είναι ισοσκελή, με τα Δ,Η συμμετρικά του

Α ως προς τις ευθείες BE και ΓΖ αντίστοιχα.

Αν Δ(α,β) , τότε 1 α 3 β

Λ ,2 2

και

επειδή το Λ είναι σημείο της BE θα

έχουμε 1 α

3 02

, οπότε α 5 .

Είναι ΒΕ / /y΄y και BE ΑΔ . Άρα

ΑΔ/ /x x́ , οπότε θα έχει συντελεστή

διεύθυνσης

β 3λ 0 0 β 3

α 1

.

Άρα έχουμε Δ(5,3) και όμοια Η(4,0) .

Από τις συντεταγμένες των σημείων Δ και Ηπροκύπτει ότι η πλευρά

ΒΓ έχει εξίσωση 3 0

y 0 (x 4) y 3x 125 4

46

ΑΣΚΗΣΗ 23 (Ζωή Πετρά )

Δίνεται η εξίσωση 1

(ε ): (2κ 1)x (κ 1)y 2κ 1 0 , κ R .

i) Δείξτε ότι η εξίσωση 1

(ε ) παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του κ .

ii) Δείξτε ότι οι ευθείες που παριστάνει η εξίσωση 1

(ε ) για τις διάφορες

τιμές του κ , διέρχονται από σταθερό σημείο Α.

iii) Να βρεθεί η τιμή του λ R , ώστε η ευθεία 2

(ε ): (λ 1)x y 3 0

να είναι μία από τις ευθείες της εξίσωσης 1

(ε ) .

iv) Για την τιμή του λ που βρήκατε, δείξτε ότι κάθε εξίσωση της μορφής

1 2(ε ) μ(ε ) 0 , μ R , παριστάνει ευθεία της

1(ε ) .

v) Να βρεθούν οι ευθείες 1

(ε )που είναι παράλληλες στους άξονες

συντεταγμένων.

vi) Εξετάστε αν κάποια ευθεία 1

(ε ) διχοτομεί το τμήμα ΒΓ με Β(5, 6)

και Γ( 1, 4)

Λύση

i) Οι συντελεστές των x,y δε μηδενίζονται ταυτόχρονα, οπότε η εξίσωση

παριστάνει ευθεία για κάθε κ R .

ii) Για κ 1 έχουμε x 3 , ενώ για 1

κ2

έχουμε y 4 .

Για x 3 , y 4 η 1

(ε )επαληθεύεται, οπότε η 1

(ε ) διέρχεται από το

σταθερό σημείο A( 3, 4) .

47

iii) Αν η 2

(ε ) είναι μία από τις ευθείες 1

(ε ) , οι συντεταγμένες του Aθα

επαληθεύουν την εξίσωση της 2

(ε ) . Έτσι έχουμε:

2(λ 1)( 3) ( 4) 3 0 λ

3 ,

iv) Για 2

λ3

η 2

(ε ) γίνεται 1

x y 3 03

, οπότε η εξίσωση

1 2(ε ) μ(ε ) 0 γίνεται

1(2κ 1)x (κ 1)y 2κ 1 μ x y 3 0

3

και επαληθεύεται από

τις συντεταγμένες του A . Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία της 1

(ε ) .

v) Από τη λύση του ii) προκύπτει ότι οι δύο ευθείες είναι οι x 3 και

y 4 .

vi) Το μέσο Μ του ευθ. τμήματος ΒΓ έχει συντεταγμένες Μ(2, 5) . Αν

κάποια ευθεία 1

(ε ) διχοτομεί το τμήμα ΒΓ , τότε οι συντεταγμένες του

σημείου Μ θα επαληθεύουν την 1

(ε ) .

Αντικαθιστώντας x 2 , y 5 η 1

(ε ) επαληθεύεται για 6

κ11

.

Για 6

κ11

η 1

(ε ) γίνεται x 5y 23 0 , οπότε η ευθεία που ζητάμε

είναι η x 5y 23 0 .