Ini adalah hasil karya kami dari kelompok 6 . Dengan tema aljabar linier . Tolong untuk di maklumi apabila banyak kekurangan di saat anda melihat karya kami . Terima kasih

Kelompok 6 :

Gita bela (201013500676)mujiono (201013500680)

ade rahayu (201013500679)paskah dosmah(201013500689)

Bebas linier dan bergantung

linier

Himpunan S= dikatakan bebas linier

jika dan hanya jika persamaan vektor

hanya mempunyai satu penyelesaian , yakni

k1=k2=k3=…=kn=0

Himpuna S= dikatakan bergantung

linier jika dan hanya jika persamaan vektor

mempunyai penyelesaian lain, selain

penyelesaian k1=k2=k3=…=kn =0

nvvv

,...,, 21

0...332211

nnvkvkvkvk

nvvv

,...,, 21

0...332211

nnvkvkvkvk

Cotoh soal

Apakah himpunan vektor S= dengan =(2,-1,0,3),

=(1,2,5,-1), =(7,-1,5,8) merupakan himpunanyang bebas linier ? Buktika ?

jawab : k1(2,-1,0,3)+k2(1,2,5,-1)+k3(7,-1,5,8)=(0,0,0,0)

akan memberikan 4 persamaan, yaitu :

2k1+k2+7k3 =0

-k1+2k2–k2 =0

5k2+5k3=0

3k1–k2 +8k3 =0

dengan meggunakan operasi baris elementer, makaakan diperoleh : k1=3 ,k2=1 ,k3=-1. karena adapenyelesaian selain k1=k2=k3=0, maka himpunanvektor S= adalah bergantung linier.

321 ,, vvv

1v

2v

3v

321 ,, vvv

Latihan

1. Apakah a=(2,-1,4), b=(3,6,2), c=(2,10,-4)

himpunan vektor bergantung linier atau bebas

linier ? Buktikan ?

1. Ruang Euclid

Ruang euclid merupakan ruang vektor atas

himpunan semua bilangan nyata dengan produk

skalar yang definit positif

2. Panjang euclid

Norm euclid (panjang euclid) dari vektor u=

pada Rn didefinisikan sebagai

|u|= =

3. Jarak euclid

Jarak euclid antara dan

didefinisikan sebagai

d|u,v| =

uu22

2

2

1 ... nuuu

)...,( 21 nuuu

nuuuu ,..., 21 nvvvv ,..., 21

22

22

2

11 )(....)()( nn vuvuvu

Contoh soal

Jika u=(1,3,-2,7) dan v=(0,7,2,2) . Tentukan

panjang dan jarak euclid antar vektor ?

Jawab :

panjang euclid

dan

jarak euclid d(u,v) =

736372312222

u

5722702222

v

58272273012222

Latihan

1. Hitung lah panjang euclid di bawah ini :

a.

b.

c.

d.

2. Hitunglah jarak euclid antar vektor a dan b

, serta vektor c dan d ?

3,4a

1,1b

)1,3,0,2(c

3,1,0,4d

Misal V sembarang himpunan obyek yang dua operasinya

didefinisikan yaitu penambahan dan perkalian dengan

skalar (bilangan riil).Penambahan untuk mengasosiasikan

aturan dengan setiap pasangobyek u dan v dalam V, yang

mengandung elemen u + v, disebut jumlah u dan v. Perkalian

skalar untuk mengasosiasikan baik untuk setiap skalar

k maupun setiap obyek u pada V yang mengandung elemen

ku, disebut perkalian skalar (skalar multiple) u oleh k. Jika

aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua obyek

u, v, w pada V dan oleh semua skalar k dan l, maka dinamakan

V sebuah ruang vektor (vector space) dan obyek-obyek pada V

dinamakan vektor.

Ruang Vektor Umum

Aksioma pada ruang vektor umum

1. jika u dan v adalah obyek-obyek pada V, maka u + v berada di V

2. u+v=v+u

3. u+(v+w)=(u+v)+w

4. ada sebuah obyek 0 di V sehingga 0+u=u+0=u untuk semua di V.

5. Untuk setiap u di V, ada sebuah obyek -u di V yang dinamakan

negatif u sehingga u+(-u)=(-u)+u=0

6. Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah sembarang obyek di

V, maka ku berada di V

7. k(u+v) = ku + kv

8. (k+l)u = ku + lu

9. k(lu) = (kl)(u)

10. 1u = u

Contoh soal

P2 adalah himpunan semua polinomial derajat

2 atau kurang dengan koefisien bilangan real .

Didefinisikan penjumlahan dan perkalian skalar

sebagai berikut :

p(x)=a0+a1x+a3x2 dan q(x)=b0+b1x+b2x

2 maka

p(x)+q(x)=(a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x2 . Dan bila c

suatu skalar, maka : cp(x)=ca0+ca1x+ca2x2.

jelas, P2 merupakan ruang vektor dan hal ini dapat

diperluas untuk Pn dengan n ≠ 0

Latihan

Jika V adalah himpunan sembarang bidang yang

melalui titik asal 0(0,0,0) dalam R3 , buktikan

bahwa V merupakan ruang vektor di bawah

operasi penjumlahan standar dan operaso

perkalian standar, yaitu :

dan

),( 321 vuvuvuvu

321 ,, kvkvkvvk

BasisJika e adalah sembarang ruang vektor dan

S={ē1,ē2,…,ēr} adalah sebuah himpunan

berhingga dari vektor-vektor di dalam e, maka S

dinamakan sebuah “basis” untuk e jika :

1.S bebas linier

2. S merentang e

Dapat di simpulkan bahwa S untuk menjadi

basis suatu ruang vektor e , maka S harus

terlebih dahulu di buktikan sebagai himpunana

yang bebas linier dan bahwa S adalah

merentang e.

Contoh soal

Himpunan S = {ē1, ē2, … , ēn} dengan ē1=(0,0,0,…1)

, ē2 =(0,1,0,0,….,0)…, ē3 = (0,0,0…1) merupakan

“basis” untuk ruang vektor Rn . Karena terlihat bahwa

S={ē1,ē2,…,ēn} bebas linier dan S merentang Rn .

S merentang Rn sebab setiap ē=(e1, e2, e 3, …. en )Є Rn

dapat dinyatakan sabagai kombinasi linier dari

ē1,ē2,ē3,….ēn, yaitu ē=v1ē1+v2ē2+v3ē3+…+vnēn.

Latihan soal

Misalkan v1 =(1,2,1), v2 =(2,9,0), dan v3 =(3,3,4).

Buktikanlah bahwa himpunan S=(v1 ,v2 ,v3)

adalah basis untuk R3.

Dimensi

Dimesi dari sebuah ruang vektor v berdimensi

berhingga didevinisikan sebagai bayaknya vektor di

dalam sebuah basis v .

Dimensi hingga dan tak hinggaSebuah ruang vektor V yang tak nol dinamakan

berdimesi hingga jika ruang vektor tersebut

megandung sebuah himpunan berhingga dari vektor-

vektor {v1, v2, v3,…, vn} yang membentuk sebuah

basis. Jika tidak demikian , maka v dinamakan

berdimensi tak hingga .

Contoh soal

Basis standart untuk Rn mengadung n vektor.

Basis standar dalam hal ini adalah

S={(1,0,…,0),(0,1,0,0,…0),(0,0,1,0,…,0),(0,0,0,…

,1)} sehingga Rn adalah ruang vektor yang

berdimensi n .

Latihan

Tentukan sebuah basis dan dimensi untuk ruang

penyelesaian dari sistem persamaa linier

homogen berikut :

2x1 + 2x2 –x3 +x5 =0

-x1 - x2 + 2x3 -3x4 +x5 =0

x1 +x2 – 2x3 +x5 =0

x3 +x4 + x5 =0

Nilai Eigen dan vektor Eigen

Jika A adalah sebuah matriks berukuran n x

n, maka sebuah vektor tak nol di Rn dinamakn

vektor eigen dari A jika A adalah kelipatan skalar

dari , yaitu: A =

Skalar λ ini dinamakan nilai eigen dari

A, sedangkan dinamakan vektor eigen yang

bersesuaian dengan λ.

x

x

x

x

x

x

Persamaan karakteristik

Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n x

n,maka:

Ax = λx

Ax = λΙx atau (λΙ-A)x = 0 atau (A-λ1 )x=0

Persamaan diatas akan mempunyai penyelesaian tak nol jika

dan hanya jika:

det(λΙ-A) = 0 atau det(A- λΙ) = 0

Persamaan ini dinamakan “persamaan karakteristik”.

Det (λΙ-A) adalah sebuah polinomial dalam λ yang

dinamakan polinomial karakteristik dari A.

Contoh

Carilah nilai eigen dari matriks A=

Jawab: λI –A=

Maka polinom karakteristik dari A adalah :

Det (λI-A)= det

Dan persamaan karakteristik dari A adalah

dan pemecahan-pemecahan persamaan ini

adalah λ=1 dan λ=2 ,inilah nilai-nilai eigen dari A

01

23

1

23

01

23

10

01

231

232

0232

Latihan

Carilah nilai-nilai

eigen dari matriks A=

Carilah nilai-nilai

eigen dari matriks B =25

12

8174

100

010

Basis untuk ruang eigen

Carilah basis-basis untuk ruang eigen dari

Jawab: Persamaan karakteristik dari A adalah

, maka nilai eigen dari A adalahdan

Dan x adalah penyelesaian tak trivial dari

, yakni:

500

032

023

A

2)5)(1(

1 5

0)( xAI

0

0

0

500

032

023

3

2

1

x

x

x

3

2

1

x

x

x

x

Untuk maka

Akan didapat penyelesaian x1=-s, x2=s, dan x3=t

sehingga vector eigen yang bersesuaian dengan

adalah:

Karena dan adalah vector-vektor yang

bebas linier, maka

vector ini membentuk sebuah basis untuk ruang

eigen yang bersesuaian dengan .

5

5

1

0

0

0

1

1

0

0

0

ts

t

s

s

t

s

s

x

0

1

1

1

0

0

5

0

0

0

000

022

022

3

2

1

x

x

x

Untuk , maka

akan didapat

penyelesaian x1=t, x2=t, dan x3=0.

sehingga

adalah basis yang bersesuaian untuk λ=1 .

0

0

0

400

022

022

3

2

1

x

x

x

1

0

1

1

0

tt

t

x

0

1

1

Diagonalisasi

Sebuah matriks bujus sangkar A dikatakan

dapat didiagonal jika ada matriks P yang dapat

dibalik sehingga p-1 A P diagonal . Dan matriks P

dikatakan “mendiagonal ” matriks A.

Jika A adalah matriks yang berukuran

nxn, maka pernyataan-pernyataan berikut ini

ekuivalen satu sama lain :

1. A dapat didiagonal

2. A mempunyai n vektor eigen yang bebas linier.

Contoh

Carilah matriks P yang mendiagonal matriks

Jawab : Nilai-nilai eigen dari A adalah λ=1 dan λ=5

• vector eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ=5 adalah

P dan P2=

vector eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen

adalah

P3=

Dan terlihat bahwa {p1,p2,p3} adalah bebas linier

sehingga:

akan mendiagonal matriks A.

500

032

023

A

Latihan

1. Carilah matriks P yang mendiagonal

matriks :

2. Carilah basis untuk R3 relatif terhadap

mana matriks T diagonal , jika

menyatakan basis baku untuk R3, .

500

032

023

A

321 ,, eeeB

Terimah kasih kepada allah SWT yang telah memberikan rahmat kepada kami , sehingga kami bisa membuat karya ini sedemikian baik dan tepat pada waktunya . Terima kasih juga untuk dosen kita tercinta bapak Yogi Wiratomo , selaku dosen workshop matematika . Mohon maap apabila banyak keekurangan dari karya kami , karena kami masih dalam proses untuk menuntut ilmu . Dan assalamualaikum warrahmatullahi wabarakatuh .

By : kelompok 6