TRIGONOMETRI

DI SUSUN OLEH : BEKTI OKTAVIANA 201013500055 ARIS UTOYO 201013500057 MAHARANI CITRA JATI 201013500074 DITA MASTITI 201013500091 KOKOM KOMALASARI 201013500101 ELISA WIWIT PUJIYANTI 201013500103

KELAS R5A

SAP

Eliminasi Persamaan trigonometri

sederhana

Persamaan trigonometri lanjutan

Segitiga menurut bentuk dalil-dalil segitiga

Macam-macam segitiga

Garis-garis istimewa pada segitiga

Dalil sinus Dalil cosinus Macam-macam grafik fu

ngsi Dalil-dalil siklometri Rumus –rumus fungsi sikl

ometri

ELIMINASI

Sekiranya diketahui dua buah persamaan yang masing-masingnya mempunyai satu bilangan yang tidak dikenal yaitu x. Maka x dapat dihilangkan. Jadi dengan sendirinya tidak akan ada persamaan yang sama dalam kedua persamaan itu, sekiranya koefisien dari kedua persamaan itu tidak mempunyai persyaratan yang mesti dipenuhi keduanya. Syarat yang harus dipenuhi itu ialah menghilangkan x dari kedua persamaan itu. Menghilangkan x dari kedua persamaan itu disebut mengeliminasikansKembali ke

SAP

LATIHAN SOAL ELIMINASI

Eliminasilah x dan y dari persamaan-persamaan ini:

Kembali ke SAP

JAWABAN SOAL ELIMINASI

Umpamakan tg x = t dan tg y = u, maka sehingga

dengan permisalan ini di peroleh :

Kembali ke SAP

Dari dua persamaan yang pertama diperoleh jika, a≠c dan p≠r:

sehingga mempergunakan keikatannya dengan persamaan yang ketika diperoleh :

atau umpama a = b, maka persamaan yang pertama menjadi palsu, sedangkan kalau a = c, maka persamaan dalam setiap kejadian akan identik. Seterusnya kalau p ≠q, maka y dapat diselesaikan dengan jalan dua penyelesaian dan seterusnya x dapat diselesaikan dari persamaan yang ketiga. Akhirnya diperoleh hasil persamaan dengan eliminasi ini :

(a≠b, p≠q)Atau a =b = c (dengan catatan p = q ≠r)Atau p = q = r (dengan catatan a = b ≠c)

Kembali ke SAP

PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA

Persamaan trigonometri adalah suatu persamaan yang memuat fungsi trigonometri dari suatu sudut yang belum diketahui.

Contoh persamaan trigonometri adalah 2 sin x = 1, tan x + = 0, dan cos x =

Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah mencari sudut × yang membuat persamaan menjadi benar. Dalam menyelesaikan persamaan trigonometri kita gunakan operasi aljabar dan juga identitas trigonometri jika diperlukan. Beberapa persamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran dan menyatakan persamaan tersebut dalam satu macam fungsi trigonometri saja.Kembali ke

SAP

Berikut ini akan diberikan penyelesaian umum dari persamaan trigonometri:

1. Pada bagian sebelumnya kita dapatkan bahwa fungsi sinus bernilai positif di kuadran I dan II serta periode dasarnya adalah 360°. Dengan demikian, penyelesaian dari persamaan

sin x = sin α adalah x = α + k . 360° atau x = (180 – α) + k . 360 °.dengan k = 0, ± 1, ± 2, …

2. Fungsi kosinus bernilai positif di kuadran I dan IV serta mempunyai periode dasar 360°, sehingga penyelesaian dari

cos x = cos α adalah x = α + k . 360° atau x = (- α) + k . 360°.

dengan k = 0, ± 1, ± 2, …3. Fungsi tangen bernilai positif di kuadran I dan III serta periode

dasarnya adalah 180°, sehingga penyelesaian daritan x = tan α adalah x = α + k . 180°

dengan k = 0, ± 1, ± 2, … Kembali ke SAP

LATIHAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA

Tentukan solusi dari sin x + sin x cos x = 0 untuk 0° ≤ x < 360°

Tentukan solusi dari cos² x + sin x – 1 = 0 untuk 0° ≤ x < 360°

Kembali ke SAP

JAWABAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRI SEDERHANA

Soal pertama menggunakan penyelesaian pemfaktoran:Sin x + sin x cos x = 0sin x (1 + cos x) = 0a. sin x = 0 b. 1 + cos x = 0 x = 0° cos x = -1

x = 180°Jadi, solusinya adalah 0° dan 180°

Soal kedua menggunakan penyelesaian menyatakan persamaan tersebut dalam satu macam fungsi trigonometri cos² x + sin x – 1 = 0 (subtitusi cos² x = 1 – sin² x)1 - sin² x + sin x – 1 = 0sin x - sin² x = 0sin x (1 – sin x) = 0a. sin x = 0 b. 1 – sin x = 0 x = 0°, 180° sin x = 1

x = 90°Jadi, solusinya adalah 0°, 90°, dan 180°

Kembali ke SAP

PERSAMAAN TRIGONOMETRI LANJUTANDibawah ini akan di bicarakan persamaan-persamaan yang

penyelesaiannya dapat di kembalikan kepada a cos x+b sin x= c tipe-tipenya adalah

A tg x+ b cot x + c= 0 (a dan b ≠ c)Persamaan ini dapat di jadikan menjadi kuadrat dalam tg x, namun pendapat tidak secara logaritms dan kurang mantap dalam cara perhitungan. Supaya berbentuk logaritmis dan kedua bagian kiri dan kanan sama-sama di kalikan dengan 2 sinx cos x, sehingga persamaan berbentuk (a-b) cos 2x-c sin 2x= a+b. Bentuk dirubah begitu rupa sehingga menjadi bentuk :

Cos (2x+ϕ)-  Sin x sin (x-a) = p cos 2x. Sesudah kedua ruas di kalikan denga 2, maka

di peroleh persamaan seperti berkut :Cos a – cos (2x-a) = p (1+ cos 2x), bentuk ini serupa dengan bentuk a cos + b sin x = c

  Kembali ke SAP

LATIHAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRI LANJUTAN

Carilah x dari sin x + cos x + tg x + cotg x ≠sec x + cosec x = a!

Kembali ke SAP

PERSAMAAN TRIGONOMETRI LANJUTAN A sin2x + b sin x cos x + c cos2x = d. Karena sin x cos x=

½ sin 2x dan kuadrat dari sin x cos x dapat dikembalikan kepada cos 2x maka di perbanya kedua ruas dengan 2, dan persamaan di rubah menjadi: A (1-cos 2x)+b sin 2x + c (1-cos 2x) = 2d, (c-a) cos 2x +b sin 2x= 2d-a-c dan seterusnya. Persamaan juga dapat dirubah menjadi persamaan kuadrat dalam tg x.

  Tg (x+a) + tg (x-a) = b. Dengan merubah tg x dengan sin

x dan cos x, dalam mengalikan sekalian suku dengan penyebut, maka di peroleh : sin 2x= b cos (x+a)cos (x-a )= ½ b (cos 2x+ cos 2a) : maka di peroleh : -b cos 2x + 2 sin 2x = b cos 2a.Kembali ke

SAP

JAWABAN SOAL PERSAMAAN TRIGONOMETRI LANJUTAN

Bentuk soal di atas di tulis dengan sin x dan cos x seluruhnya makan di perolehlah : dengan memisalkan sin x + cos x = p ; makan persamaan terakhir menjadi

dengan memisalkan sin x + cos x = p ; makan persamaan terakhir menjadi

Kembali ke SAP

SEGITIGA MENURUT BENTUK DALIL-DALIL SEGITIGA

1. Jika dua buah sisi sebuah segitiga tidak sama panjang,maka sudut terbesar terletak di hadapan sisi terpanjang.Pada ΔABC, BC > AB ⇒ ∠BAC > ∠ACB Bukti:

ΔABD samakaki

∠DAB = ∠ADB∠ADB = ∠DAC + ∠ACD∠DAB = ∠DAC + ∠ACD

sehingga:∠DAB + ∠DAC > ∠DAC + ∠ACD∠BAC > ∠ACDatau ∠BAC > ∠ACB

B

A

D

C1

2

12

Kembali ke SAP

SEGITIGA MENURUT BENTUK DALIL-DALIL SEGITIGA

2. Jika dua buah sudut pada sebuah segitiga tidak sama, maka sisi terpanjang terletak di hadapan sudut terbesar Pada ΔABC, ∠A > ∠C ⇒ BC > AB Bukti:

Digunakan bukti tidak langsung.Ada 3 kemungkinan hubungan antara BC dan AB yaitu:

1) BC < AB2) BC = AB3) BC > AB

1) Jika BC < AB, maka ∠A < ∠C (menurut Teorema I)2) Jika BC = AB, maka ∠A = ∠C. Hal ini bertentangan dengan yang diketahui. Jadi BC =AB salah3) Jadi kemungkinan yang benar BC > AB

B

A C

Kembali ke SAP

SEGITIGA MENURUT BENTUK DALIL-DALIL SEGITIGA

3. Dalam sebuah segitiga, jumlah panjang dua buah sisi, lebih panjang dari panjang sisi yang ketiga

Jika pada ΔABC, AC yang panjangnya b adalah sisi terpanjang pun, b < a + c

Kembali ke SAP

MACAM-MACAM SEGITIGA

Jenis-jenis segitiga dapat ditinjau dari berdasarkan : Panjang sisi-sisinya ;(i) Segitiga sembarang(ii) Segitiga sama kaki(iii) Segitiga sama sisi Besar sudut-sudutnya(i) Segitiga lancip (0°<x<90°)(ii)Segitiga tumpul (90°<x<180°)(iii)Segitiga siku-siku (90°) Panjang sisi dan besar sudut(i) Segitiga siku-siku sama sisi(ii) Segitiga tumpul sama kaki

Kembali ke SAP

LATIHAN SOAL MACAM-MACAM SEGITIGA

1. Tentukan jenis segitiga-segitiga berikut inia. ∆ ABC dengan < A=60°, < B=60°, dan < C=60°b. ∆ PQR dengan PQ=7cm, PR=5cm, RQ=7cm

2. Dari segitiga yang ada di bawah ini kelompokkan yang mana merupakan Segitiga sama kaki, segitiga sama sisi, segitiga lancip, segitiga siku-siku,segitiga tumpul.

a b

Kembali ke SAP

JAWABAN SOAL MACAM-MACAM SEGITIGA

1. a. segitiga sama sisi : karena < A=< B=< C, masing-masing sudut sama besar.b. segitiga sama kaki : karena besar dari PQ=RQ.

2. - gambar A menunjukkan segitiga sama sisi- gambar b menunjukkan segitiga siku-sikuKembali ke

SAP

GARIS-GARIS ISTIMEWA PADA SEGITIGA1. Garis Tinggi2. Garis Bagi3. Garis Berat4. Garis sumbu

c c c

d d dGambar A , garis cd pada gambar B, garis cd gambar C, garis cd Merupakan Garis bagi. Merupakan garis tinggi Merupakan garis berat

A

B C D

Kembali ke SAP

DALIL SINUS

Perhatikan gambar di bawah berikut:

Pada gambar diatas, ΔABC yang ada adalah segitiga lancip dan tumpul. Pada masing-masing segitiga dibuat garis tinggi CD yang panjangnya h.

Pada gambar (b), <CAD = 180° - A dan sin <CAD = sin (180° - A) = sin A. Untuk kedua segitiga kita dapatkan:

Sin A = atau h = b sin A dan,

Sin B = atau h = a sin B

Sehingga a sin B = b sin A.Kembali ke

SAP

Dengan membagi kedua ruas dengan sin A sin B diperoleh

= Dengan menarik garis tinggi melalui titik A dan dengan

cara yang sama diperoleh: =

Gabungan dari kedua persamaan diatas kita peroleh aturan sinus berikut ini.Pada ΔABC dengan sudut-sudutnya A, B, dan C serta isi-isi dihadapan sudut tersebut berturut-turut adalah a, b, dan c berlaku

= = Perlu diperhatikan bahwa aturan sinus tersebut dapat

digunakan dalam perhitungan pada segitiga, jika diketahui:1. Dua sudut dan sembarang sisi2. Dua sisi dan satu sudut di depan salah satu sisiKembali ke

SAP

LATIHAN SOAL DALIL SINUS

Tentukan unsur-unsur lainnya pada segitiga ABC jika A = 30°, B = 70°, dan a = 4

Tentukan unsur-unsur segitiga ABC jika a = 2, b = 6, dan A = 20°

Kembali ke SAP

JAWABAN SOAL DALIL SINUS

Sketsa segitiga ABC  

sudut C dengan mudah ditentukan, yaituC = 180° - A – B = 180° - 30° – 70° = 80°Untuk mencari b, gunakan pasangan pertama dan kedua dari aturan sinus, yaitu = atau b = = = 7, 52Gunakan aturan sinus sekali lagi untuk mencari c, = atau c = = = 7, 88

Jadi, C = 80°, b = 7,52 dan c = 7,88 Dengan aturan sinus =

Sin B = = = 1,026 Karena nilai sinus tidak mungkin lebih besar dari 1, maka tidak ada segitiga yang memenuhi soal.

Kembali ke SAP

DALIL KOSINUS

Perhatikan gambar disamping

Dari titik C tarik garis tinggi CD sehingga diperoleh segitiga siku-siku ADC dan segitiga siku-siku BDC. Berdasarkan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku ADC, maka diperoleh

Cos A = atau AD = AC x cos A = b cos A

Selain itu, berdasarkan teorema Pythagoras, berlakuDC² = AC² - AD² = b² - (b cos A)²

= b² - b² cos² A Pada segitiga siku-siku BDC berlaku

BC² = DC² + BD² = b² – b² cos² A + (BA – AD)² = b² – b² cos² A + (c – b cos A)² = b² – b² cos² A + c² – 2 bc cos A + b² cos² Aa² = b² + c² – 2 bc cos A

Kembali ke SAP

Dengan cara yang sama akan kita peroleh rumus:b² = a² + c² - 2ac cos Bc² = a² + b² - 2ab cos C

Sehingga kita peroleh aturan kosinus berikut ini: Pada ΔABC dengan sudut-sudutnya A, B, dan C serta sisi-sisi dihadapan sudut tersebut berturut-turut adalah a, b, dan c berlaku

a² = b² + c² - 2bc cos Ab² = a² + c² - 2ac cos Bc² = a² + b² -2ab cos C

aturan kosinus tersebut dapat diucapkan “kuadrat dari sebarang sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat sisi yang lain dikurangi dua kali perkalian sisi itu dikalikan kosinus sudut apit kedua sisi tersebut”.

Aturan kosinus tersebut dapat digunakan untuk menentukan unsur-unsur lainnya pada segitiga, jika diketahui hal-hal berikut ini:1. Dua sisi dan sudut apit kedua sisi tersebut2. Tiga sisi diketahui

Kembali ke SAP

LATIHAN SOAL DALIL KOSINUS

Tentukan unsur-unsur lainnya pada segitiga ABC, jika c = 10, b = 40, dan A = 120°

Tentukan unsur-unsur lainnya pada segitiga ABC, jika diketahui a = 7, b = 6, dan c = 8

Kembali ke SAP

JAWABAN SOAL KOSINUS

1. Dengan aturan kosinus, a² = b² + c² - 2bc cos A

= 40² + 10² - 2(40) (10) cos 120° = 1600 + 100 – 800 (-0,5) = 2100 a = 45, 825   Meskipun B dan C dapat dicari dengan aturan kosinus, tetapi lebih

mudah jika kita gunakan aturan sinus. Untuk C kita cari dengan rumus = sehingga sin C = = = 0,189

Jadi, C = 10,89° (sudut C harus lancip karena A sudut tumpul)Selanjutnya B = 180° - A –C = 180° – 120° – 10,89° = 49,11°Kembali ke

SAP

2. Kita hitung dahulu sudut yang terbesar (sudut dihadapan sisi terpanjang) yaitu sudut C

c² = a² + b² - 2ab cos C 8² = 7² + 6² - 2(7) (6) cos C64 = 85 – 84 cos C84 cos C = 21Cos C = 0,25

Karena cos C positif, maka C = 75,52² Untuk mencari A dan B kita gunakan aturan sinus

= ↔ sin B = = = 0,726

Sehingga B = 46,55°Dengan demikian A = 180° – B – C = 180° – 46,55° – 75,52° = 57,93°

Jadi A = 57,93°, B = 46,55°, dan C = 75,52°Kembali ke

SAP

MACAM – MACAM GRAFIK FUNGSI

Grafik sinus

Kembali ke SAP

MACAM-MACAM GRAFIK FUNGSI

Grafik kosinus

Kembali ke SAP

MACAM-MACAM GRAFIK FUNGSI

Grafik tangen

Kembali ke SAP

PENGERTIAN SIKLOMETRI

Dalam penyelesaian dari persamaan trigonometri, biasanya yang ditemui adalah bentuk-bentuk seperti berikut : sin X= a, cos Y= b, tg Z= c. Selain diketahui bahwa |a|≤1, maka dapat dicari besar X dari sin x= a, dan tidak mungkin dicari X sembarang yang tidak memenuhi harga mutlak dari a tersebut. Pengertian tersebut dapat dituliskan dengan kalimat seperti berikut :

- X = adalah sebuah sudut, yang sinusnya sama dengan a- X = sudut dengan sinusnya = a- X = sudut sin a

Untuk menuliskan pengertian di atas dengan singkat, maka dibuatlah sebuah sepakatan dan ditulis sebagai notasi, yaitu: arc sin a, atau dalam bahasa indonesia x = busur sin a (arc adalah kependekan dari arcus). Arc sin x adalah inversi dari sin x dan seturusnya. Arc sin x, arc cos x, dan arc tg x dinamakan fungsi siklometri, sedangkan x dalam fungsi siklometri itu disebut argumen.Kembali ke

SAP

FUNGSI SIKLOMETRI

Fungsi siklometri yang paling sederhana adalah y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = sec x, y = coses x, dan y = cot x.

Relasi f dari x dan y merupakan fungsi siklometri. Masalahnya: relasi apakah g dari y ke x ? Mari ikuti uraian berikut:

X dalam radian, x = arcus (busur) AB (arcus di baca arkus). Misal: Sin , pernyataan tersebut dapat dibaca: adalah suatu sudut

yang sinusnya sama dengan atau ⅙ Atau: adalah arcus yang sinusnya sama dengan

Maka berarti: sin <----> = arc sin

x yf

g

x

Kembali ke SAP

Umumnya: y sin x <----> x Definisi:

Jika f: X Y relasi goniometri maka g: Y X merupakan relasi siklometri.Bila f: y sin x dan g: x + arc sin y, dinyatakan dengan notasi himpunan: jika maka atau

g yang merupakan relasi siklometri tersebut disebut invers dari f, yang biasanya ditulis f-1 (g = f-1 dan g-1 = f). lebih lanjut kita bicarakan relasi siklometri <---->

Kembali ke SAP

Ternyata suatu relasi yang bukan fungsi, karena terdapat banyak nilai x yang memenuhi. Agar relasi merupakan fungsi maka x harus tunggal, syaratnya: jika

atau untuk membedakan relasi

X: arc sin y, fungsi fungsi siklometri. Dengan demikian

atauMisal atau

dinamakan harga utama atau

harga utamanya

,

,

Kembali ke SAP

RUMUS –RUMUS FUNGSI SIKLOMETRI

Fungi goniometri (f)

Fungsi siklometri (f-1)

Domain Range

{ (x,y) y = sin x}

{(x,y) y = arc sin x}

{y|-1 ≤ y ≤1 } {x| ½ ∏ ≤ x ½∏}

{(x,y) y = cos x}

{(x,y) y= arc cos x}

{y| -1 ≤y ≤ 1} {x| 0≤ x ≤ x∏ }

{(x,y) y = tan x}

{(x,y) y = arc tan x}

{y| -~ ≤ y <~} {x| ½ ∏ ≤ x ½∏}

{(x,y) y = cot x} {(x,y) y = arc cot x}

{y| -~ ≤ y <~} {x|0 ≤ x ≤ ∏}

{(x,y) y = sec x}

{(x,y) y = arc sec x}

{y| y ≤ -1 }{y | y ≥ 1}

{x|0 ≤ x ≤ ½∏}{x| ½ ∏ ≤ x ≤∏}

{(x,y) y = csc x }

{(x,y) y = arc csc x}

{y| y ≤ -1 }{y | - y ≥ 1}

{x|½ ∏≤ x ≤ 0}{x|0 ≤ x ≤ ½∏}Kembali ke

SAP

LATIHAN SOAL RUMUS –RUMUS FUNGSI SIKLOMETRI

X =? Π , x = ? x utama = ?

Kembali ke SAP

JAWABAN SOAL RUMUS –RUMUS FUNGSI SIKLOMETRI

a.b.c.

Kembali ke SAP