Racunarska grafikaReprezentacija figura

Vesna Marinkovic

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 1 / 45

Obnavljanje

Sinteticki model kamere – obnavljanje

1 Kakav je odnos tackaste kamere i modela sinteticke kamere?

2 Navesti parametre sinteticke kamere kod perspektivnog i paralelnogprojektovanja.

3 Sta se zadaje vektorom pogleda, a sta vektorom nagore? Kakav jenjihov međusobni odnos?

4 Kakav je odnos uglova vidnog polja i stepena perspektivnogiskrivljenja na slici?

5 Zasto su nam potrebne prednja i zadnja ravan odsecanja?

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 2 / 45

Obnavljanje

Sinteticki model kamere – obnavljanje

6 Pokazati da se i na sledeci nacin dobija isti (u, v ,w) koordinatni

sistem kamere za zadati vektor pogleda i vektor nagore: −→w = −−−→look

|−−→look|

,

−→t = −→w ×−→vup, −→u =

−→t|−→t |

, −→v = −→u ×−→w .

7 Zasto se vrsi transformacija iz proizvoljne zapremine pogleda ustandardnu zapreminu pogleda?

8 Izvesti jednacinu prednje ravni odsecanja kod standardne perspektivnezapremine pogleda.

9 Zasto se vrsi transformacija iz perspektivne u paralelnu zapreminupogleda?

10 Iz kojih se koraka sastoji prevođenje 3D svetskih koordinata primitivau 2D koordinate uređaja za prikaz?

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 3 / 45

Reprezentacija figura Pojam mreze poligona

Poreklo mreze poligona

U prirodi se javljaju u mnogim kontekstima: molekuli, kristali, tkiva

Slozeni oblici opisani su kao kolekcije jednostavnih primitiva

Primitive su uglavnom konveksne, ali su iregularnog oblika

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 4 / 45

Reprezentacija figura Pojam mreze poligona

Primer: Shaw center, Otava

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 5 / 45

Reprezentacija figura Pojam mreze poligona

Mreze poligona

Mreza poligona je skup (najcesce velikog broja) poligona međusobnopovezanih ivicama koji formiraju povrsPrednosti ove reprezentacije:

(skoro) sve se moze predstaviti poligonimarenderovanje poligona je brzo i jednostavno (npr. paralelne pravezahvataju isti ugao sa svim tackama poligona)konacna reprezentacija

Ipak ovakva reprezentacija nije idealna:uvek predstavlja aproksimaciju zakrivljene povrsimoze biti veoma nestrukturirana

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 6 / 45

Reprezentacija figura Pojam mreze poligona

Mreza trouglova

U racunarskoj grafici najcesce se koriste mreze trouglova

Prednosti koriscenja mreza trouglova:

geometrija trougla je veoma jednostavnatrougao lezi uvek u ravni

Elementi mreze trouglova:

temenaivicetrougaone strane

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 7 / 45

Reprezentacija figura Pojam mreze poligona

Predstavljanje figura mrezom trouglova

Poliedre transformisemo u mreze trouglova podelom strana natrouglove

Figure koje ne mozemo tacno predstaviti mrezama trouglova,aproksimiramo utvrđivanjem lokacija velikog broja tacaka na figuri ipovezivanjem susednih tacaka

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 8 / 45

Reprezentacija figura Pojam mreze poligona

Mreze sa veoma velikim brojem poligona

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 9 / 45

Reprezentacija figura Pojam mreze poligona

Koju mrezu smatramo dobrom?

Jednakostranicni trougloviBroj suseda blizak broju 6

Ravnomerno vs. prilagodljivo uzorkovanje ...

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 10 / 45

Reprezentacija figura Pojam mreze poligona

Operacije nad mrezom trouglova

Jedna od najznacajnijih osobina mreze trouglova je homogenostOsnovne operacije nad mrezom trouglova su:

podelajedan trougao zamenjuje se sa nekoliko manjih trouglova, da bi semreza ucinila glatkijomuzastopne podele dovode do znacajnog povecanja broja trouglova

pojednostavljivanjemreza se zamenjuje drugom mrezom koja joj je slicna, ali imakompaktniju strukturustize se do jednostavnije reprezentacije iste povrsi

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 11 / 45

Reprezentacija figura Pojam mreze poligona

Operacije nad mrezom trouglova

Podela

Pojednostavljivanje i regularizacija

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 12 / 45

Reprezentacija figura Pojam mreze poligona

Operacije nad mrezom trouglova – sazimanje ivice

Jedna od standardnih operacija pojednostavljivanja mreze jesazimanje ivice

Ivica se sazima dok joj duzina ne postane 0

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 13 / 45

Reprezentacija figura Pojam mreze poligona

Operacije nad mrezom trouglova – sazimanje ivice

Prilikom stapanja dva temena treba izabrati lokaciju za novo teme

Lokacija novog temena zavisi od zeljenog cilja:

ako je cilj minimizovati racun, moze se zadrzati jedno od starih temenaako zelimo da ocuvamo oblik, moze se izabrati srediste duzi određeneovim temenimaako uprosecavanje pomera puno tacaka a to nije pozeljno, nova tackase moze izabrati tako da se minimizuje maksimalno rastojanje tacakastare mreze od nove tacke mreze

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 14 / 45

Reprezentacija figura Pojam mreze poligona

Operacije nad mrezom trouglova – zamena ivice

Desava se da se mreza deformise tako da pojedinacni trouglovipostanu dugacki i uski – imaju los “aspect ratio”Aspect ratio se moze definisati kao maksimalni odnos visine i sirinepravougaonika među svim pravougaonicima u kojima je objekatsadrzan i koji dodiruju sve 4 stranice objektaZelimo da iz mreze uklonimo trouglove sa velikom vrednoscu zaaspect ratio

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 15 / 45

Reprezentacija figura Pojam mreze poligona

Operacije nad mrezom trouglova – zamena ivice

Ulepsavanje mreze se sastoji u pokusaju da postignemo da se mrezasastoji od trouglova bliskih jednakostranicnim trouglovima

Zamena ivice transformise dva dugacka i uska trougla u dva skorojednakostranicna trougla

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 16 / 45

Reprezentacija figura Pojam mreze poligona

Operacije nad mrezom trouglova – ilustracija

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 17 / 45

Reprezentacija figura Reprezentacije mreze poligona

Strukture podataka za predstavljanje mreze

Mora biti prostorno efikasna

Ako je potrebno promeniti topologiju mreze potrebno je efikasnoodrediti:

sve cvorove povezane sa datim cvoromsve ivice/cvorove date stranesve strane/ivice oko datog cvoraobe strane/oba temena date ivicestranu sa datim temenima

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 18 / 45

Reprezentacija figura Reprezentacije mreze poligona

Razlicite reprezentacije mreze poligona

Eksplicitna reprezentacija

Reprezentacija poligona listom indeksa temena

Reprezentacija poligona listom indeksa ivica

Winged-edge reprezentacija

Lanci povezanih trouglova (triangle fan, triangle strip)

Dvostruko-povezane liste ivica (half-edge structure)

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 19 / 45

Reprezentacija figura Reprezentacije mreze poligona

Eksplicitna reprezentacija mreze poligona

Svaki poligon P sa n temena zadat je nizom svojih temena

P = ((x1, y1, z1), (x2, y2, z2), . . . , (xn, yn, zn))

Redosled temena odgovara obilasku temena poligona

Prostorno neefikasno za veci broj poligona, kada temena pripadajurazlicitim poligonima

Ne postoji eksplicitna informacija o zajednickim temenima/ivicama

Provera pripadnosti temena nekom drugom poligonu je skupa i mozebiti nepouzdana zbog greske zaokruzivanja

Prilikom iscrtavanja mreze poligona, svaka ivica se dva puta iscrtava

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 20 / 45

Reprezentacija figura Reprezentacije mreze poligona

Reprezentacija poligona listom indeksa temena

Svako teme zapisano je tacno jednom u listi temena

V = (V1,V2, . . . ,Vn) = ((x1, y1, z1), (x2, y2, z2), . . . , (xn, yn, zn))

Svaki poligon predstavljen je listom indeksa temena

P1 = (i , j , k , l ,m),P2 = (u, v ,w), . . .

Ova reprezentacija koristi manje memorijeIspitivanje da li dva poligona imaju zajednicko teme je jednostavnaNe postoji eksplicitna informacija o zajednickim temenima/ivicamaI u ovoj reprezentaciji svaka ivica se crta dva puta

V2

V1

V3

V4

P1P2

V = (V1,V2,V3,V4) = ((x1, y1, z1), . . . , (x4, y4, z4))

P1 = (1, 2, 4)

P2 = (4, 2, 3)

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 21 / 45

Reprezentacija figura Reprezentacije mreze poligona

Reprezentacija poligona listom indeksa ivica

Svako teme zapisano je tacno jednom u listi temena

V = (V1,V2, . . . ,Vn) = ((x1, y1, z1), (x2, y2, z2), . . . , (xn, yn, zn))

Svaki poligon predstavljen je listom indeksa ivica

P1 = (Ei ,Ej ,Ek ,El),P2 = (Eu,Ev ,Ew ), . . .

Svaka ivica zadata je spiskom temena i spiskom (jednog ili dva)poligona kojima pripada

E1 = (Vi ,Vj ,Pk , null),E2 = (Vu,Vv ,Pw ,Pz), . . .

Prilikom iscrtavanja mreze, svaka ivica crta se samo jednom

V2

V1

V3

V4

P1P2

E1

E2

E3

E4

E5

V = (V1,V2,V3,V4) = ((x1, y1, z1), . . . , (x4, y4, z4))

E1 = (V1,V2,P1, null)

E2 = (V2,V3,P2, null)

E3 = (V3,V4,P2, null)

E4 = (V4,V2,P1,P2)

E5 = (V4,V1,P1, null)

P1 = (E1,E4,E5)

P2 = (E2,E3,E4)

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 22 / 45

Reprezentacija figura Reprezentacije mreze poligona

Winged-edge struktura podataka

Pogodna je za predstavljanje mreza kod kojih strane nisu trougloviIvice se smatraju građanima prvog redaZa svaku ivicu cuvaju se informacije o:

dva temena koje ivica povezujedve strane kojima ivica pripadaprethodnoj i sledecoj ivici prilikom obilaska u pozitivnom smeru leve,odnosno desne strane kojoj ivica pripada

Za svako teme i za svaku stranu cuvaju se informacije o proizvoljnojivici koja im pripada

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 23 / 45

Reprezentacija figura Reprezentacije mreze poligona

Winged-edge struktura podataka

Ova reprezentacija omogucava efikasno izvrsavanje narednihoperacija:

za datu stranu f odrediti sva njena temena vza datu ivicu e odrediti obe njene susedne straneza dato teme v odrediti sve susedne ivice/strane

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 24 / 45

Reprezentacija figura 1D mreze

Pojam 1D mreze

Mreza u ravni, odnosno jednodimenziona (1D) mreza, sastoji se odkolekcije duzi u ravni

Elementi 1D mreze:temenaivice – duzi koje spajaju temena

1D mreza se moze zadati:tabelom temena, gde je za svako teme zadat njegov indeks i koordinatetabelom ivica, pri cemu je svaka ivica zadata (najcesce uređenim)parom indeksa temena

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 25 / 45

Reprezentacija figura 1D mreze

Geometrija vs. topologija mreze

Tabela temena opisuje geometriju mreze, a tabela ivica njenutopologijuMalom izmenom vrednosti u tabeli temena broj povezanihkomponenti se ne menjaDve nesusedne ivice mreze mogu se seci, ali se podesavanjemkoordinata temena ovakav presek moze izbeci

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 26 / 45

Reprezentacija figura 1D mreze

Geometrija vs. topologija mreze

Ista geometrija mreze, ali drugacija topologija

Ista topologija mreze, ali drugacija geometrija

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 27 / 45

Reprezentacija figura 1D mreze

Vrste 1D mreze

Najcesci slucaj je da svako teme pripada jednoj ili dvema ivicama

Postoje i mreze kod kojih temena pripadaju vecem broju ivica

Postoje i mreze kod kojih se dve ivice presecaju u tacki koja nepripada skupu temena

Mreze u kojima je svaka ivica predstavljena uređenim parom temenanazivamo orijentisanim mrezama, dok one kod kojih je ivicapredstavljena neuređenim parom nazivamo neorijentisanim mrezama

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 28 / 45

Reprezentacija figura 1D mreze

Granica 1D orijentisane mreze

Granica ivice (i , j) (od temena i do j) orijentisane mreze jednaka jej − iGranica 1D mreze jednaka je sumi granica ivica te mrezeGranica mreze sa slike ima vrednost

(v2 − v1) + (v3 − v2) + (v4 − v3) + (v5 − v4) + (v1 − v5)

+(v1 − v0) + (v2 − v0) + (v3 − v0) + (v4 − v0) + (v5 − v0)

= v1 + v2 + v3 + v4 + v5 − 5v0

Kada je vrednost granice nula, jednostavno je definisati unutrasnjost ispoljasnjost mreze i ovakvu mrezu nazivamo zatvorenom

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 29 / 45

Reprezentacija figura 1D mreze

1D mreza mnogostrukosti

1D mreza je mreza mnogostrukosti (manifold mesh) ako je stepensvakog temena 2

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 30 / 45

Reprezentacija figura 1D mreze

Reprezentacija 1D mreze

Pored tabele temena i liste ivica cesto se cuva i tabela susedstva

Tabela susedstva za svako teme sadrzi uređene ciklicne tabele ivicakoje se susticu u tom temenu

U ovakvoj reprezentaciji:

dodavanje novog temena je slozenosti O(1)dodavanje nove ivice je slozenosti O(e)brisanje ivice je slozenosti O(e)izdvajanje ivica koje su susedne nekom temenu je slozenosti O(1)određivanje oba temena date ivice je slozenosti O(1)

Tabele temena i ivica mozemo implementirati koriscenjem statickogniza sa tim da kad se i-ti element niza obrise, on se zamenjuje saposlednjim elementom niza i onda se iz niza brise poslednji element

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 31 / 45

Reprezentacija figura 2D mreze

Pojam 2D mreze

Mreza u 3D prostoru, odnosno dvodimenziona (2D) mreza, sastoji seod kolekcije trouglova u 3D prostoruElementi 2D mreze:

temenatrouglovi – strane mreze

Ivice su “građani drugog reda”: ako temena i , j i k formiraju trougao,tada mrezi pripadaju ivice (i , j), (j , k) i (k , i)

2D mreza ne moze imati ivicu koja “visi”, ali moze imati izolovanoteme

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 32 / 45

Reprezentacija figura 2D mreze

Reprezentacija 2D mreze

Pored tabele temena i tabele trouglova cesto se cuva i tabelasusedstva

Tabela susedstva za svako teme sadrzi (najcesce neuređenu) tabelususednih trouglova

U ovakvoj reprezentaciji:

dodavanje novog temena je slozenosti O(1)dodavanje novog trougla je slozenosti O(1)brisanje temena je sporo, brze je ukoliko cuvamo tabelu susedstvanije dozvoljeno dodavati novu ivicu u mrezuispitivanje da li je data duz ivica mreze je slozenosti O(T )

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 33 / 45

Reprezentacija figura 2D mreze

2D mreza mnogostrukosti

2D mreza je mreza mnogostrukosti ako se sve ivice i trouglovi susednitemenu v mogu poređati u ciklicnom poretku: t1, e1, t2, e2, . . . , tn, enbez ponavljanja tako da je ivica ei stranica trouglova ti i ti+1 (indeksise racunaju po modulu n)Za 2D mrezu mnogostrukosti vazi da svaka ivica pripada tacno dvemastranamaMreze mnogostrukosti mozemo cuvati u istoj strukturi podataka kao iobicne 2D mreze, jedino nisu dozvoljena dodavanja i brisanjatrouglova

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 34 / 45

Reprezentacija figura 2D mreze

Mnogostrukosti u topologiji

U topologiji za 1D mnogostrukosti vazi da svaka tacka ima okolinukoja izgleda kao segment prave

U topologiji za 2D mnogostrukosti vazi da svaka tacka ima okolinukoja izgleda kao disk

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 35 / 45

Reprezentacija figura 2D mreze

Primeri 2D mreza mnogostrukosti

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 36 / 45

Reprezentacija figura 2D mreze

Primeri 2D mreza koje nisu mreze mnogostrukosti

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 37 / 45

Reprezentacija figura 2D mreze

Orijentacija trouglova u mrezi

Trouglove u mrezi orijentisemo tako sto za temena trougla i , j i kracunamo vektor normale ravni kojoj pripada taj trougao(j − i)× (k − i)

Ako dva susedna trougla imaju konzistentno orijentisane vektorenormala, onda ce se ivica koju dele javiti kao (i , j) u jednom trouglu,a kao (j , i) u drugom

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 38 / 45

Reprezentacija figura 2D mreze

Mreze mnogostrukosti sa granicom

Dozvoljavamo da se unutar mreze mnogostrukosti javi granicno temei granicna ivica

Za granicno teme vazi da ivice i strane kojima to teme pripada neobrazuju ciklus, vec lanac

Za prvi i poslednji trougao u ovom lancu vazi da se ivice koje sugranicne ne sadrze ni u jednom drugom trouglu osim u ovimDakle, za mreze mnogostrukosti sa granicom vazi:

svaka ivica je sadrzana u jednom ili dva trouglasvako teme je sadrzano u jednom lancu trouglova povezanih stranicama

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 39 / 45

Reprezentacija figura 2D mreze

Granica 2D mreze

Granica orijentisanog trougla sa temenima i , j i k u 2D mrezi jednakaje sumi ivica (i , j) + (j , k) + (k , i)

Granica 2D mreze jednaka je sumi granica njenih trouglova

Za orijentisane mreze mnogostrukosti vrednost granice je 0

Za orijentisane mreze mnogostrukosti sa granicom, granica ce sesastojati od tacno onih ivica koje smo identifikovali kao granicne

Orijentisanu mrezu mnogostrukosti bez granicnih ivica nazivamo izatvorenom

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 40 / 45

Reprezentacija figura 2D mreze

Ojlerova formula

Za proveru da li je zatvorena povrs dobro definisana koristi seOjlerova formula

Ojlerova formula za povrs koja nema “rupa” glasi

V − E + F = 2

gde je V broj temena, E broj ivica, a F broj strana povrsi

Ukoliko povrs ima G “rupa” formula glasi

V − E + F = 2− 2G

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 41 / 45

Reprezentacija figura 2D mreze

Ojlerova formula za mrezu trouglova

Pretpostavimo da je mreza trouglova zatvorena i da svako temepripada nekom trouglu

S obzirom na to da svaki trougao ima tri ivice i svaku ivicu dele dvatrougla, broj ivica je E = 3/2T

Ojlerova formula za mrezu trouglova glasi:

V − 1/2T = 2− 2G

gde je sa T oznacen broj trouglova

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 42 / 45

Reprezentacija figura 2D mreze

Memorijski zahtevi za predstavljanje mreze trouglova

Za mreze koje predstavljaju zatvorene povrsi vazi:V − 1/2T = 2− 2G

Za povrsi sa malim brojem rupa koje su predstavljene velikimmrezama vrednosti sa desne strane znaka jednakosti su zanemarljive

Dakle, broj trouglova priblizno je jednak dvostrukom broju temena

Vazi odnos: T : E : V = 2 : 3 : 1

Pretpostavimo da i cele i realne brojeve predstavljamo sa po 4 bajta

Za reprezentaciju mreze koriscenjem tabele temena i tabele trouglova,potrebno je 12V + 12T ≈ 18T bajtova

Za winged-edge reprezentaciju svako teme zauzima 16 bajtova, svakastrana 4 bajta, a ivica 32 bajta (4 reference na ivice, 2 reference nastrane, 2 reference na temena)

Pod pretpostavkom trouglastih strana, za winged-edge reprezentacijupotrebno je 16V + 32E + 4T ≈ 8T + 323

2T + 4T = 60T bajtova

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 43 / 45

Reprezentacija figura Reprezentacija objekata kretanjem

Reprezentacija objekata kretanjem

Razmotrimo situaciju kada se temena krecu

Pracenjem putanje tacke koja se pravolinijski krece dobija se duz(dodata je prva dimenzija objekta)

Pracenjem putanje temena duzi koja se krece upravno na sebe dobijase pravougaonik (dodata je druga dimenzija objekta)

Pracenjem putanje temena pravougaonika koji se krece upravno nasebe dobija se kvadar (dodata je treca dimenzija objekta)

Pracenjem putanja tacke koja se nalazi na fiksiranom rastojanju odcentalne tacke dobija se krug

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 44 / 45

Reprezentacija figura Reprezentacija objekata kretanjem

Reprezentacija objekata kretanjem

Kretanje nekog objekta duz neke putanje u prostoru određuje teloNajjednostavnija tela ove vrste su definisana 2D oblascu koja se kreceduz linearne putanje upravne na ravan oblasti – to su translaciona telaTela dobijena rotacijom 2D oblasti oko ose nazivaju se rotaciona tela

Prosirenja ove reprezentacije dozvoljavaju da se objekat koji se kreceskalira tokom kretanja (i slicna uopstenja)

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Reprezentacija figura 45 / 45