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Apostila Resumo Exerccios Simulado Prova

RACIOCNIO LGICO

Geraldo Mendes Leite Jr.

Ttulo: Fundamentos de Raciocnio Lgico Matemtico

www.resumosconcursos.com Assunto: Fundamentos de Raciocnio Lgico Matemtico Matria: Raciocnio Lgico Autor: Geraldo Mendes Leite Jr.

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Raciocnio Lgico

Ttulo:

FUNDAMENTOS DE RACIOCNIO LGICO

MATEMTICO

Autor:

GERALDO MENDES LEITE JR.

AlexandreOval

AlexandreRetngulo

www.resumosconcursos.com

Centro Universitrio Augusto Motta - UNISUAM Curso de Graduao Disciplina: Raciocnio Lgico I 2008 / 1

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SUMRIO

Introduo 03

Seqncias 05

Exerccios de Seqncias 07

Teoria de Conjuntos 14

Exerccios de Conjuntos 19

Fraes 23

Exerccios de Fraes 25

Razes e Propores 29

Exerccios de Razes e Propores 33

Percentagem 37

Exerccios de Percentagem 38

Correlao 41

Exerccios de Correlao 46

Tcnicas de Resoluo de Problemas 50

Respostas dos Exerccios 52



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INTRODUO

Ementa:

O Raciocnio Lgico na resoluo de problemas lgicos, envolvendo seqncias de figuras, palavras ou numricas; conjuntos; fraes; razes; propores; percentagens; etc. O Raciocnio Lgico na Correlao entre diversos elementos de um certo universo.

Objetivos Gerais:

Desenvolver as habilidades e o raciocnio do aluno para o entendimento das estruturas lgicas de relaes arbitrrias entre pessoas, lugares, coisas e eventos fictcios; deduzir novas informaes das relaes fornecidas, e avaliar as condies usadas para estabelecer a estrutura daquelas relaes; usar logicamente o raciocnio na aquisio de tcnicas de estudo que facilitem o aprendizado dos contedos programticos, evidenciando condies de continuidade .

Objetivos Especficos:

Desenvolver as habilidades do aluno para o entendimento de estruturas lgicas , num contexto interdisciplinar;

Explorar novas perspectivas proporcionando outras vises de um problema prtico;

Inserir o contedo matemtico num contexto mais amplo que venha a contemplar os seus interesses acadmicos e os do cotidiano;

Resolver problemas que exigem o uso do raciocnio lgico e do conhecimento das ferramentas matemticas;

Desenvolver no aluno a capacidade de raciocinar, analisar, argumentar criticamente, posicionar-se e expressar-se com clareza, utilizando a linguagem matemtica;

Explorar novas perspectivas de soluo de um problema ou diagrama lgico;

Trabalhar o desenvolvimento do Raciocnio Lgico numa linguagem no formal.

Bibliografia Bsica:

Rocha, Enrique Raciocnio Lgico: voc consegue aprender, Rio de Janeiro, Editora Campus, 2006.



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Bibliografia Complementar:

o IMENES, L. M. Matemtica. Editora Scipione. (5 a 8 sries) Coleo Vivendo a Matemtica.

o Primo, ngelo Jnior. Raciocnio Lgico Concursos Brasil Livraria e Editora Central de Concursos Ltda. So Paulo 2.006 Endereo Eletrnico: www.centraldeconcursos.com.br.

o Hercun, Dbora (org). Aumente Seu QI, testes desafiadores para desenvolver sua capacidade mental Editora Marco Zero So Paulo 2006 Endereo Eletrnico: www.editoramarcozero.com.br.

o Telecurso 2000. Primeiro grau Fundao Roberto Marinho: livro volumes 1,2,3,4, Matemtica, Editora Globo.

Contedo Programtico:

1. Problemas envolvendo 1.1 a lgica na organizao das seqncias numricas simples. 1.2 o Raciocnio Lgico na Teoria dos Conjuntos: trabalhar situaes envolvendo os

conceitos das operaes bsicas entre conjuntos. 1.3 a lgica nas aplicaes das propriedades das operaes bsicas aritmticas e fracionrias. 1.4 uso de ferramentas tecnolgicas na resoluo de problemas, durante todo o curso.

2. Problemas lgicos sobre Razo e Proporo 2.1 Conceito. 2.2 Trabalhando problemas envolvendo porcentagem, proporcionalidade e regra de trs.

3. A correlao entre elementos de um certo universo. 3.1 Trabalhando problemas lgicos de nvel fcil. 3.2 Trabalhando problemas lgicos de nvel intermedirio.

4. Resolvendo Problemas Interdisciplinares 4.1 A importncia do Raciocnio Lgico na soluo de problemas que contemplem diversas

reas do conhecimento. 4.2 Sistematizando a soluo dos problemas.



5

SEQNCIAS

Questes de Amostra:

Estude cuidadosamente as seguintes questes de amostra antes de comear os exerccios.

1. Voc ter de fazer comparaes entre desenhos.

Exemplo: Qual dos cinco faz a melhor comparao?

A resposta C. Um crculo que dividido em duas partes pode ser comparado a um quadrado que dividido em duas partes tambm.

2. Esta questo tambm poder vir com desenhos.

Exemplo: Qual dos cinco desenhos menos similar aos outros quatro?

A resposta D. Os outros todos so feitos com linhas retas. Um crculo uma linha curva.

3. Em algumas questes ser pedido para fazer uma comparao entre palavras.

Exemplo: Qual dos cinco itens faz a melhor comparao?

Barco est para gua como avio est para: SOL - CHO - GUA - CU - RVORE

A resposta cu. Um barco viaja atravs da gua. Isto pode ser comparado a um avio que viaja pelo cu.

4. Em algumas questes ser dado um grupo de cinco coisas. Quatro delas tero alguma coisa em comum, elas sero similares de alguma forma. Voc ser levado a escolher aquela que no similar s outras quatro.

Exemplo: Qual dos cinco elementos menos parecido com os outros quatro? CO - CARRO - GATO - PSSARO - PEIXE

A resposta carro. Os outros so seres vivos. Um carro inanimado.



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5. Em algumas questes sero dados nmeros, ou letras, as quais estaro em uma certa ordem. Eles seguem algum critrio de arranjo. Entretanto, um deles no. Voc ter de escolher aquele que no se encaixa dentro daquele critrio.

Exemplo: Qual desses nmeros no pertence seguinte srie? 1 - 3 - 5 - 7 - 9 - 10 - 11 - 13

A resposta 10. Comeando do 1, os nmeros mpares so arranjados em ordem, sendo que 10 no se enquadra nessa seqncia.

6. Haver tambm alguns problemas que voc ter de resolver. Estes no requerem nenhuma matemtica difcil. Pelo contrrio, eles estaro testando o quo lgico voc , ou seja, quo bem voc pensa.

OBS: Se uma questo parece ter mais de uma resposta ou nenhuma resposta correta, escolha aquela que voc considera ser a melhor dentre as alternativas dadas. Estas questes so formuladas propositalmente para testar sua habilidade de pensamento e razo.

Agora voc est pronto para comear. Leia cada questo cuidadosamente, responda e compare seus resultados com as respostas corretas, que podem ser encontradas no final da apostila.



7

Exerccios de Raciocnio Lgico I

Exerccios sobre Seqncias:

A. Seqncias de Figuras

[1] Escolha a figura correta, dentre as cinco alternativas colocadas abaixo, para preencher o espao do ponto de interrogao:

[2] Qual das imagens abaixo completa melhor a seqncia superior?

[3] Qual das imagens abaixo completa melhor a seqncia superior?

[4]



8



9

[5] Qual dos cinco desenhos faz a melhor comparao?

[6] Qual dos cinco desenhos menos similar aos outros quatro?





[11] Qual dos desenhos menos similar aos outros quatro?




10


B. Seqncias de Palavras

[14] Uma propriedade lgica define a sucesso: segurana, terrena, quase, quintuplicou, sexagenrio, sbio, X. Determine X, sabendo-se que X uma palavra entre as cinco alternativas abaixo:

(a) japons (b) chins (c) italiano (d) dominicano (e) brasileiro

[15] A sucesso das palavras abaixo obedece a uma ordem lgica: brim, ruim, feio, boiou, X. Ache o valor de X, sabendo-se que X uma palavra entre as cinco alternativas abaixo:

(a) barco (b) afundou (c) afogando (d) famlia (e) piauiense

[16] Observe com ateno os vocbulos que formam a sucesso lgica: Homero, depois, teatro, deveis, coito, X. Em seguida, determine X, sabendo-se que X uma palavra dentre as cinco alternativas abaixo:

(a) ps (b) mo (c) costas (d) brao (e) tronco

[17] Observe a sucesso de letras a seguir e determine a letra que deve substituir o ponto de interrogao (considere apenas o alfabeto da lngua portuguesa).

B , D , G , L , Q , ?



11

[18] A sucesso de palavras abaixo foi escrita obedecendo-se a uma certa lgica: principalmente, vers, outros, X. Determinar X, sabendo-se que X uma palavra dentre as cinco alternativas abaixo:

(a) catalogar (b) dias (c) filmagem (d) invlido (e) guerra

[19] Seja a seguinte sucesso de vocbulos formados todos com cinco letras: arara, preta, ativa, adota, X. Determine X, sabendo-se que X um dos elementos do conjunto de aves:

(a) pavo (b) cisne (c) ganso (d) corvo (e) urubu

[20] A sucesso de palavras a seguir obedece a um princpio lgico bem definido: dezenove, novias, outrora, setoriavam, X. Determine qual a palavra que corresponde ao X ?

(a) agora (b) sempre (c) rezando (d) orando (e) sentindo

[21] Uma propriedade comum forma a sucesso das seguintes palavras: manuelino, euforia, pauperismo, ageiro, X. Determine X,sabendo-se que X uma palavra dentre as cinco alternativas abaixo:

(a) agricultor (b) reflorestou (c) somente (d) eucalipto (e) medicinal

[22] Observe atentamente a sucesso de palavras escritas com certa lgica: cada, abrao, acalenta, adormece, levanta, afinal, X. Determine um valor apropriado para X dentre as opes fornecidas abaixo:

(a) agoniza (b) moral (c) descontrolado (d) parente (e) longnquo

[23] A sucesso de palavras a seguir obedece a uma ordem lgica: hino, amor, acenou, agia, beijo, X. Determine X, sabendo-se que X uma palavra dentre as cinco alternativas abaixo:

(a) fino (b) beato (c) anuncia (d) traje (e) completo

C. Seqncias de Nmeros:

[24] Na tabela seguinte, fazendo uma operao aritmtica, dois dos nmeros de cada linha ou coluna tm como resultado o terceiro nmero. Qual o nmero que falta?

6 2 4 2 ? 0 4 0 4

[25] Na tabela seguinte, fazendo uma operao aritmtica, dois dos nmeros de cada linha ou coluna tm como resultado o terceiro nmero. Qual o nmero que falta?



12

6 2 12 4 5 20 24 10 ?

[26] Qual dos nmeros no pertence seguinte srie numrica?

9 7 8 6 7 5 6 3


2 3 6 7 8 14 15 30


2 6 8 24 26 28 78 80


1 2 5 10 13 26 29 48

[30] Complete a seqncia numrica: ,4964

,

3625

,

916

,

41

...

(a) 9082

(b) 72

100 (c)

10081

(d) 7299

(e) 81

100

[31] Qual o prximo nmero da seguinte seqncia numrica: 5, 20, 80, ... ?

(a) 100 (b) 160 (c) 320 (d) 400 (e) 480

[32] O prximo nmero da seqncia numrica 10, 4, 18, 5, 28, 6, ... :

(a) 37 (b) 38 (c) 39 (d) 40 (e) 41

[33] Os prximos dois nmeros na seqncia numrica 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... so:

(a) 34, 55 (b) 43, 55 (c) 47, 62 (d) 35, 54 (e) 34, 54



13

[34] Qual o prximo nmero na seqncia numrica 77,49, 36, 18, ... ?

(a) 10 (b) 12 (c) 8 (d) 14 (e) 7

[35] Continuando a seqncia numrica 47, 42, 37, 33, 29, 26,... , temos:

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

[36] Na seqncia numrica 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22,... o nmero que sucede o 22 dever ser:

(a) 28 (b) 29 (c) 30 (d) 31 (e) 32



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TEORIA DE CONJUNTOS

Conceitos Primitivos:

No estudo de conjuntos trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem bem entendidos e aceitos sem definio.

Um conjunto intuitivamente aceito como sendo uma coleo de objetos, chamados de elementos deste conjunto. Estes elementos podem representar qualquer coisa: nmeros, letras, animais, pessoas, cadeiras, lugares, etc...

A propriedade fundamental de um conjunto o nmero de elementos que ele possui.

So exemplos de conjuntos:

O conjunto de todas as vogais do alfabeto O conjunto de todos os nmeros naturais O conjunto dos meses com 31 dias do ano O conjunto de todos os alunos da UNISUAM

De forma geral, um conjunto representado por uma letra maiscula do alfabeto latino: A, B, C, ... , Z. Um elemento de um conjunto representado por uma letra minscula do alfabeto latino: a,b,c, ... , z.

Assim, um conjunto representado escrevendo seus elementos entre duas chaves. Por exemplo:

{ }uoieaA ,,,,= representa o conjunto das vogais do alfabeto

{ }dezembrooutubroagostojulhomaiomarojaneiroB , , , , , ,= representa o conjunto dos meses com 31 dias do ano

{ }K,6,5,4,3,2,1=N representa o conjunto dos nmeros naturais

Uma forma de representar graficamente um conjunto utilizando o Diagrama de Venn-Euler. Desta forma, um conjunto representado por uma regio do plano limitada por uma curva ou por uma linha poligonal fechada.

A

{ }uoieaA ,,,,=

a b c d e



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A relao de pertinncia a caracterstica associada a um elemento que nos permite dizer se o elemento faz parte ou no do conjunto.

Se um elemento a pertence a um conjunto A utilizamos o smbolo , que se l pertence para indicar esta propriedade: Aa . Da mesma forma, quando a no um elemento do conjunto A , utilizamos o smbolo e escrevemos: Aa .

Por exemplo, para indicar que o nmero 1 um nmero natural, isto , que ele pertence ao conjunto de todos os nmeros naturais escrevemos: N1 .

Algumas vezes um conjunto descrito por meio de uma propriedade. Por exemplo:

{ } { } vogaluma ,,,, xxuoieaA ==

{ } { } natural nmero um ,6,5,4,3,2,1 xxN == K

Subconjuntos e Relao de Incluso:

Dados dois conjuntos quaisquer A e B, diremos que o conjunto A est contido em B, representado por BA se todos os elementos que pertencem ao conjunto A tambm pertencem ao conjunto B. Desta forma

o conjunto A denominado subconjunto do conjunto B.

B

{ }caA ,= e { }cbaB ,,= BA BaAa BcAc

Conjuntos Especiais:

Conjunto Vazio um conjunto que no possui elementos. representado por { } ou . O conjunto vazio est contido em todos os conjuntos.

Conjunto Unitrio um conjunto que possui um nico elemento.

Considere os seguintes exemplos:

{ } =



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Conjunto Universo um conjunto que contm todos os elementos e conjuntos dentro do contexto no qual estamos trabalhando. O conjunto universo representado pela letra U.

Para a resoluo de certos problemas da teoria de conjuntos necessrio que se defina um conjunto que contenha todos os conjuntos considerados. Por exemplo, em um problema envolvendo quantidades comum utilizar o conjunto dos nmeros inteiros Z como conjunto universo.

Operaes entre Conjuntos:

I) Interseo de Conjuntos:

Dados dois conjuntos A e B, a interseo destes conjuntos definida como o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e tambm pertencem ao conjunto B.

A interseo do conjunto A com o conjunto B representada por BA . Observe o seguinte diagrama onde a interseo BA est indicada.

U

BA

Propriedades da Interseo de Conjuntos:

1. A ordem dos conjuntos no altera o resultado da interseo: ABBA = .

2. A interseo de conjuntos associativa: ( ) ( )CBACBA = .

3. Se A subconjunto de um conjunto B qualquer ento: ABA = .

II) Unio de Conjuntos:

Dados dois conjuntos A e B, a unio destes conjuntos definida como o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A, pertencem ao conjunto B ou pertencem a ambos.

A B



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A unio do conjunto A com o conjunto B representada por BA . No diagrama abaixo, a unio BA est representada pela parte sombreada.

U

Propriedades da Unio de Conjuntos:

1. A ordem dos conjuntos no altera o resultado da unio: ABBA = .

2. A unio de conjuntos associativa: ( ) ( )CBACBA = .

3. Se A subconjunto de um conjunto B qualquer ento: BBA = .

4. Dados trs conjuntos quaisquer A, B e C, valem sempre as seguintes igualdades:

( ) ( ) ( )CABACBA = ( ) ( ) ( )CABACBA =

III) Diferena de Conjuntos:

Dados dois conjuntos A e B, a diferena do conjunto A para o conjunto B definida como o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e no pertencem ao conjunto B.

A diferena do conjunto A para o conjunto B representada por BA ou ainda pela expresso A e no B. A diferena BA est representada pela parte sombreada do seguinte diagrama:

U

Propriedades da Diferena de Conjuntos:

A B

A B



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1. A ordem dos conjuntos altera o resultado de sua diferena: ABBA , sempre que BA .

2. A diferena de conjuntos no associativa: ( ) ( )CBACBA .

3. Se A subconjunto de um conjunto B qualquer ento: = BA .

IV) Complementar de um Conjunto:

Seja A um conjunto qualquer do conjunto universo U. O complemento do conjunto A em relao ao conjunto universo U definido como o conjunto de todos os elementos do universo U que no pertencem ao conjunto A.

O complemento do conjunto A representado por A~ ou A . Observe que a parte sombreada no diagrama abaixo representa o complemento do conjunto A:

U

A~

Em problemas de raciocnio lgico que envolvem conjuntos, necessrio estudar as caractersticas que determinam cada um dos conjuntos dados, bem como as relaes existentes entre os elementos destes conjuntos, de maneira que se possa concluir algo mais sobre os conjuntos ou sobre seus elementos. O uso do Diagrama de Venn-Euler facilita o entendimento de tais problemas e geralmente simplifica consideravelmente a sua resoluo.

A



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Exerccios sobre Conjuntos:

[1] Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 pessoas liam o jornal A, 150 pessoas liam o jornal B, 20 pessoas liam os dois jornais (A e B) e 110 pessoas no liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas foram consultadas?

[2] (UNB-DF) De 200 pessoas que foram pesquisadas sobre suas preferncias em assistir aos campeonatos de corrida pela televiso, foram colhidos os seguintes dados: 55 dos entrevistados no assistem a nenhum deles; 101 assistem s corridas de Frmula l e 27 assistem s corridas de Frmula l e de Motovelocidade. Quantas das pessoas entrevistadas assistem, exclusivamente, s corridas de Motovelocidade?

[3] Uma cidade de 10.000 habitantes possui dois clubes de futebol: A e B. Numa pesquisa feita com toda a populao da cidade, constatou-se que l.200 pessoas no apreciam nenhum dos clubes, l.300 pessoas apreciam os dois clubes e 4.500 pessoas apreciam o clube A. Quantas pessoas apreciam:

a) apenas o clube A?

b) apenas o clube B?

c) o clube B?

[4] Numa pesquisa sobre a preferncia em relao a dois filmes, 470 pessoas foram consultadas e o resultado encontrado foi o seguinte: 250 delas assistiram ao filme F, 180 delas assistiram ao filme M e 60 delas assistiram aos filmes F e M. Calcule quantas pessoas:

a) assistiram apenas ao filme F?

b) assistiram apenas ao filme M?

c) assistiram a um dos dois filmes?

d) no assistiram a nenhum dos dois filmes?

[5] Uma editora estuda a possibilidade de relanar as seguintes publicaes: Helena, Iracema e A Moreninha. Para isso, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que, para cada l.000 pessoas consultadas, temos que:

600 pessoas leram o livro A Moreninha; 400 pessoas leram o livro Helena; 300 pessoas leram o livro Iracema; 200 pessoas leram os livros A Moreninha e Helena; 150 pessoas leram os livros A Moreninha e Iracema;



20

100 pessoas leram os livros Iracema e Helena; 20 pessoas leram as trs obras.

Pede-se que voc determine:

a) o nmero de pessoas que leu apenas uma das trs obras.

b) o nmero de pessoas que no leu nenhuma das trs obras.

c) o nmero de pessoas que leu duas ou mais destas obras,

[6] Em uma cidade so consumidos trs produtos A, B e C. Foi feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo destes produtos e foram obtidos os seguintes resultados:

Produto Nmero de Consumidores A 109 B 203 C 162

A e B 25 A e C 28 B e C 41

A, B e C 5 Nenhum 115

Determine:

a) Quantas pessoas foram ouvidas nesta pesquisa?

b) Quantas pessoas consomem apenas o produto A?

c) Quantas pessoas consomem apenas o produto B?

d) Quantas pessoas consomem apenas o produto C?

[7] (UFLA-MG) Numa comunidade so consumidos os tipos de leite A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram colhidos os resultados:

Leite Nmero de Consumidores A 100 B 150 C 200

A e B 20 A e C 30 B e C 40

A, B e C 10 Nenhum 160



21

Determine:

a) Quantas pessoas foram consultadas?

b) Quantas pessoas consomem apenas dois tipos de leite?

c) Quantas pessoas no consomem o leite tipo B?

d) Quantas pessoas no consomem o leite tipo A e no consomem o leite tipo B?

[8] (Faap-SP) Numa prova constituda de dois problemas, 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 alunos acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 alunos erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?

[9] (Fafi-BH) Durante a Segunda Guerra Mundial, os aliados tomaram um campo de concentrao nazista e de l resgataram um total de 979 prisioneiros. Desses, 527 estavam com sarampo, 251 com tuberculose e 321 no apresentavam nenhuma dessas doenas. Qual o nmero de prisioneiros resgatados com as duas doenas?

[10] Em certa comunidade existem apenas pessoas de 3 nacionalidades: Brasileira, Portuguesa e Argentina. Sabendo que 70 pessoas so brasileiras, 350 pessoas so no portuguesas e 50% do total de pessoas so argentinas, determine:

a) qual o nmero de argentinos?

b) qual o nmero total de pessoas desta comunidade?

c) qual o nmero de portugueses?

[11] Foi feita uma pesquisa em um grupo de 99 esportistas, que so praticantes de vlei, xadrez e tnis. Observou-se que 40 esportistas praticam vlei, 20 praticam vlei e xadrez, 22 praticam xadrez e tnis, 18 praticam vlei e tnis, 11 praticam todas as trs modalidades. Sabendo que o nmero de esportistas que praticam xadrez igual ao nmero de esportistas que praticam tnis, determine quantos esportistas:

a) jogam tnis e no jogam vlei?

b) jogam xadrez ou tnis e no jogam vlei?

c) jogam vlei e no jogam xadrez?

[12] Em uma pesquisa sobre hbitos alimentares realizada com empregados de um Tribunal Regional, verificou-se que todos se alimentavam ao menos uma vez ao dia, e que os nicos momentos de alimentao eram: manh, almoo e jantar. Alguns dados tabelados por esta pesquisa so:

5 pessoas se alimentam apenas pela manh; 17 pessoas se alimentam apenas no jantar; 53 pessoas se alimentam no almoo;



22

30 pessoas se alimentam pela manh e no almoo; 28 pessoas se alimentam pela manh e no jantar; 26 pessoas se alimentam no almoo e no jantar; 18 pessoas se alimentam pela manh, no almoo e no jantar.

Dos funcionrios pesquisados, o nmero daqueles que se alimentam apenas no almoo :

(a) igual ao nmero de funcionrios que se alimentam apenas no jantar (b) o triplo do nmero de funcionrios que se alimentam apenas pela manh (c) a tera parte do nmero de funcionrios que fazem as trs refeies (d) a metade do nmero de funcionrios pesquisados (e) o dobro do nmero de funcionrios que se alimentam no almoo.

Exerccios Suplementares:

[13] Dezenove produtos diferentes para bochecar anunciam as seguintes propriedades: 12 afirmam que refrescam o hlito, 10 anunciam que previnem gengivite, 11 dizem reduzir a formao de placas, 6 afirmam que refrescam o hlito e reduzem a formao de placas, 5 anunciam que previnem gengivite e tambm refrescam o hlito, e finalmente 5 dizem que previnem gengivite e reduzem a formao de placas. Portanto, pergunta-se:

a) Quantos produtos anunciam que tm todas as trs propriedades?

b) Quantos produtos dizem que refrescam o hlito, mas no afirmam reduzir a formao de placas?

c) Quantos produtos anunciam que tm apenas duas das propriedades?

[14] Numa pesquisa com 125 pessoas, verificou-se que: 35 pessoas fumam, o nmero de homens que no fumam o dobro do nmero de mulheres que fumam e o nmero de mulheres que no fumam o triplo do nmero de homens que fumam. Pergunta-se:

Quantas mulheres fumam?

[15] No ltimo vero, a famlia Alves resolveu passar alguns dias no Rio de Janeiro.. Houve sol pela manh em apenas 5 dias e sol tarde em apenas 6 dias. Em 7 dias ao todo houve chuva e se chovia pela manh, no chovia tarde. Quantos dias a famlia Alves passou no Rio de Janeiro?

(a) 7 (b) 8 (c) 9 (d) 10 (e) 11



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FRAES

Frao a representao de um par ordenado de nmeros naturais com o segundo elemento diferente de zero.

ba

, com Na e *Nb

Na linguagem comum frao significa parte. utilizada para representar o tamanho ou a quantidade de alguma coisa.

Fraes indicam partes de um todo. Quando representamos uma frao existem dois nmeros separados por uma barra horizontal. O nmero abaixo da barra chamado de denominador e indica em quantas partes iguais algo foi dividido. O nmero acima da barra horizontal chamado de numerador e indica quantas das partes iguais foram consideradas.

53

so considerados 3 pedaos de um conjunto dividido em 5 partes iguais.

72

so considerados 2 pedaos de um conjunto dividido em 7 partes iguais.

Frao Prpria a aquela cujo numerador (diferente de zero) menor que o denominador. Exemplos:

32

,

53

,

1712

.

Frao Imprpria a aquela cujo numerador maior ou igual ao denominador. Exemplos:

25

,

58

,

33

.

Frao Aparente a frao imprpria em que o numerador mltiplo do denominador.

Exemplos: 48

,

33

.

A frao aparente representa um nmero natural, que o quociente entre o numerador e o

denominador. Assim, 48

representa o nmero natural 2, pois 8 : 4 = 2. Da mesma forma, 33

representa o

nmero natural 1, pois 3 : 3 = 1.

Fraes Equivalentes duas fraes so ditas equivalentes quando os produtos do numerador de uma com o denominador da outra so iguais.

Exemplos:



24

64

32

= pois: 4362 = e 2015

129

= pois: 1512209 =

Simplificar uma frao consiste em obter uma frao equivalente primeira com termos menores. Por exemplo,

53

3018

53

6:306:18

3018

===

87

2421

87

3:243:21

2421

===

Fraes Decimais so as fraes cujos denominadores so potncias de 10.

Exemplos: 103

,

1001

,

100042

.

Note que toda frao decimal pode ser representada por um nmero decimal.

Por exemplo, 0,3 103

= ou 1,23 100123

= .

As operaes de adio e multiplicao de fraes so realizadas conforme descrito a seguir. Para somar duas fraes necessrio inicialmente coloc-las no mesmo denominador, ento podemos somar os numeradores e repetir o denominador comum. Para multiplicar duas fraes basta multiplicar os numeradores e multiplicar os denominadores.

Adio de Fraes: bd

bcad

dc +

=+ba

Exemplo: 1526

1520

156

354532

34

52

=+=

+=+

Multiplicao de Fraes: bdac

dc

=

ba

Exemplo: 158

3542

34

52

=

=



25


Exerccios sobre Fraes:

[1] Quanto vale 53

de R$ 100,00?

[2] Quanto vale 72

de R$ 210,00?

[3] Um aluno de ginsio obrigado a freqentar, no mnimo, 43

das aulas dadas durante o perodo letivo. Se

o seu ginsio der 720 aulas, quantas aulas no mnimo ele ter de freqentar?

[4] No aougue uma pessoa pediu 43

de quilo de contrafil, que custa R$ 8,40 o quilo.

a) Quantas gramas de contrafil a pessoa pediu?

b) Quanto esta pessoa pagou?

[5] Uma viagem area do Rio de Janeiro at Natal tem 2250 km. Do Rio de Janeiro at Salvador faz-se 32 da

viagem. Quantos quilmetros h de Salvador at Natal?

[6] Comprei um apartamento por R$ 420.000,00. Paguei 32

de entrada o resto em 10 meses. Quanto tive que dar de entrada? Qual foi o valor da prestao?

[7] Um terreno tem 3000 metros quadrados, dos quais 83

foram reservados para a plantao. Nessas

condies, calcule:

a) Quantos metros quadrados foram reservados para a plantao?

b) Quantos metros quadrados sobraram?

[8] Dois teros de uma pea de fazenda medem 90 metros. Quantos metros tm a pea?

[9] Trs quintos de uma viagem de trem correspondem a 180 Km. Qual a distncia total desta viagem?



26

[10] Mariana fez um trabalho em grupo com Jos, Carlos, Francisco, Jlio e Joo, todos alunos de uma mesma turma.

a) Se eles correspondem a 41 dos alunos do sexo masculino da turma, quantos so os alunos do sexo

masculino da turma ?

b) Se, na turma, os alunos do sexo masculino so 52 do total de alunos, quantos alunos tem a turma?

[11] J li 53

de um livro e ainda faltam 74 pginas para terminar a leitura. Portanto, responda:

a) Que frao do livro ainda devo ler?

b) Quantas pginas tm o livro?

c) Quantas pginas eu j li?

[12] Uma escola oferece aos seus alunos trs opes como atividades em Educao Fsica: basquete, vlei e futebol. Entre os alunos da escola

85

se inscreveram em basquete, 61

em vlei e o restante em futebol.

Sabendo que a escola possui 480 alunos, responda:

a) Quantos alunos se inscreveram em basquete?

b) Quantos alunos se inscreveram em vlei?

c) Quantos alunos se inscreveram em futebol?

[13] Nas eleies para prefeito de uma cidade que tem 3.600 eleitores, 201

destes eleitores deixaram de

votar. Entre os eleitores que votaram, 201

votaram em branco, 121

anularam o voto e 53

votaram no

candidato que venceu as eleies. Nessas condies, responda:

a) Quantos eleitores deixaram de votar?

b) Quantos eleitores votaram em branco?

c) Quantos eleitores anularam o voto?

d) Quantos votos obteve o candidato que venceu as eleies?

[14] Uma torneira enche um tanque em 3 horas. Em quantos minutos enche 43

do tanque?



27

[15] Em uma receita culinria comum aparecer a medida de 31 de xcara de ch. Sabendo que esta medida

corresponde a 80 mililitros, descubra a quantos mililitros corresponde a medida 43 de xcara de ch.

[16] Um excursionista fez um viagem de 360 Km. Os 43

do percurso foram feitos de trem, 81

a cavalo e o

restante de automvel. Quantos Km andou de automvel e que frao representa a viagem total?

[17] Gasto 52

do meu ordenado com o aluguel de minha casa e 21

dele em outras despesas. Fico ainda com

R$ 200,00. Qual o meu ordenado?

[18] Num time de futebol carioca, metade dos jogadores contratados so cariocas, 31

so de outros estados e

os 4 restantes so estrangeiros. Quantos jogadores contratados tm o clube?

[19] Paulo gastou 43

do que possua e, a seguir, a metade do resto. Ficou ainda com R$ 7,00. Quanto Paulo possua?

[20] Numa cesta havia laranjas. Deu-se 52

a uma pessoa, a tera parte do resto a outra pessoa e ainda restam

10 laranjas. Quantas laranjas havia na cesta?

[21] Um operrio ganha R$ 520,00 por ms. Gasta 41 deste dinheiro com aluguel e

52

com a alimentao

da famlia. Este ms ele teve uma despesa extra: 83 do salrio foram gastos com remdios. Pergunta-se:

sobrou dinheiro ou este operrio ficou devendo? Quanto?

[22] Uma pessoa despendeu certa quantia na compra de um terreno e o vendeu por R$ 35.000,00; nesta venda ganhou

43

do que despendera. Por quanto comprou o terreno?



28


[23] Cludia e Vera possuam juntas R$ 100,00. Ao comprarem um presente de R$ 23,00 para oferecer a uma amiga comum, cada qual deu uma quantia diferente, na medida de suas possibilidades. Claudia entrou com

41 do dinheiro de que dispunha e Vera com

51

do seu. Calcule com quanto cada uma delas contribuiu.

[24] Para ladrilhar 75

de um ptio empregaram-se 46.360 ladrilhos. Quantos ladrilhos iguais sero

necessrios para ladrilhar 83

do mesmo ptio?

[25] Um negociante ao falir s pde pagar 3617

do que deve. Se possusse mais R$ 23.600,00 poderia pagar

54

da dvida. Quanto deve este negociante?

[26] A soma de dois ngulos 90 graus. Um deles 72

do outro. Quais so as medidas destes ngulos?

[27] Que horas so se o que ainda resta para terminar o dia 32

do que j passou?



29

RAZES E PROPORES

Razo denomina-se razo entre dois nmeros a e b , nessa ordem, o quociente ba

com 0b ,

que tambm pode ser representado por ba : .

Os nmeros a e b so os termos da razo, a chamado de primeiro termo ou antecedente e b chamado de segundo termo ou conseqente da razo.

Exemplos:

A razo de 3 para 12 escrita: 41

123

=

A razo de 20 para 4 escrita: 54

20=

A razo de 0,25 para 2 escrita: 81

225,0

=

Razes Inversas duas razes so inversas entre si quando o produto delas igual a 1

As razes ba

e a

b so inversas, onde 0a e 0b .

Por exemplo, a razo inversa de 34

igual a 43

.

Tambm temos que 43

e 9

12 so razes inversas. Neste caso, podemos dizer que 3 est para 4 na

razo inversa de 12 para 9.

Propriedade Fundamental das Razes: multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razo por um mesmo nmero racional (diferente de zero), obtemos uma razo equivalente razo dada.

Exemplos:

1) So razes equivalentes a 31

:

62

2321

=

; 93

3331

=

; 124

4341

=

2) Dada a razo 16040

, podemos simplific-la obtendo outras razes equivalentes:



30

8020

2:1602:40

= ; 205

8:1608:40

= ; 41

40:16040:40

=

A razo 41

chamada irredutvel pois no tem mais como ser simplificada.

Proporo a sentena matemtica que indica a igualdade entre duas razes.

Dados quatro nmeros racionais a, b, c, d, no-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporo quando a razo do primeiro para o segundo for igual razo do terceiro para o quarto.

dc

ba

= ; l-se: a est para b assim como c est para d

Na proporo dc

ba

= , com 0b e 0d , tm-se:

a e d so chamados de extremos b e c so chamados de meios

Por exemplo, a proporo 63

42

= lida 2 est para 4 assim como 3 est para 6. Nesta proporo, 2 e 6

so os extremos enquanto que 4 e 3 so os meios.

Proporo Mltipla a igualdade de mais de duas razes simultaneamente.

Exemplo: 124

93

62

31

===

Propriedade Fundamental das Propores: em toda proporo, o produto dos meios igual ao produto dos extremos.

cbdadc

ba

==

Por exemplo, na proporo 156

52

= , tm-se: 3065152 == .

Proporo Contnua aquela que possui os meios iguais.

Exemplo: 46

69

= , esta proporo contnua pois possui os meios iguais a 6.



31

Terceira Proporcional dados dois nmeros naturais a e b, no-nulos, denomina-se terceira proporcional desses nmeros o nmero x tal que:

x

bba

=

Exemplo: A terceira proporcional dos nmeros 20 e 10 igual a 5, pois: 5

101020

= .

Quarta Proporcional dados trs nmeros naturais a, b e c, no-nulos, denomina-se quarta proporcional desses nmeros o nmero x tal que:

x

c

ba

=

Exemplo: A quarta proporcional dos nmeros 8, 12 e 6 igual a 9, pois: 96

128

= .

Grandezas Diretamente Proporcionais: duas grandezas so ditas diretamente proporcionais quando ao aumentarmos uma delas a outra aumenta na mesma razo.

Por exemplo:

Ao comprar um 1 Kg de carne paguei R$ 7,00. Portanto, fcil concluir que 2 Kg de carne custam R$ 14,00; 3 Kg de carne custam R$ 21,00 e assim sucessivamente.

A quantidade de carne comprada e o valor pago so grandezas diretamente proporcionais pois ao dobrar a quantidade comprada, o valor pago tambm dobra; ao triplicar a quantidade comprada, o valor pago tambm triplica e assim por diante.

Grandezas Inversamente Proporcionais: duas grandezas so ditas inversamente proporcionais quando ao aumentarmos uma delas a outra diminui na mesma razo.

Por exemplo:

Para percorrer uma distncia de 360 Km a uma velocidade mdia de 30 Km/h levarei 12 horas. Portanto, fcil concluir que se a velocidade mdia for de 60 Km/h levarei 6 horas, se a velocidade mdia for de 90 Km/h levarei 4 horas e assim sucessivamente.

A velocidade mdia e o tempo de viagem so grandezas inversamente proporcionais pois ao dobrar a velocidade, o tempo de viagem se reduz pela metade; ao triplicar a velocidade, o tempo de viagem fica dividido por trs e assim por diante.



32

Considere as seguintes situaes problema:

1) Se 40 metros de tecido custam R$ 60,00, qual o preo de 100 metros do mesmo tecido?

Aumentado-se a quantidade de tecido, o valor pago tambm aumentar. Logo, as grandezas quantidade de tecido e valor pago so diretamente proporcionais. Portanto, o problema deve ser resolvido atravs de uma regra de trs simples e direta.

00,150 R$ 40

10060

6010040

=

== xxx

2) A uma velocidade mdia de 60 Km/h fao uma viagem em 8 horas. Em quanto tempo farei a mesma viagem utilizando uma velocidade mdia de 80 Km/h ?

Aumentado-se a velocidade mdia de viagem, o tempo de viagem ir diminuir. Logo, as grandezas velocidade mdia e tempo de viagem so inversamente proporcionais. Portanto, o problema deve ser resolvido atravs de uma regra de trs simples e inversa.

horas 6 80

608

86080

=

== xxx



33


Exerccios sobre Razes e Propores:

[1] Numa prova de 20 questes, acertei 8. Qual a razo entre o nmero de questes certas e o nmero de questes erradas?

[2] Em uma prova, um aluno acertou 16 questes e errou 12. Pergunta-se:

a) Qual a razo entre o nmero de acertos e o nmero de erros?

b) Qual a razo entre o nmero de acertos e o total de questes da prova?

[3] Jos ganha R$ 2.400,00 por ms e Maria ganha R$ 1.600,00. Qual a razo entre os ganhos de Jos e de Maria?

[4] Um automvel percorre 36 Km com 4 litros de lcool. Qual o consumo de combustvel deste veculo (razo entre a distncia percorrida e o lcool gasto) ?

[5] Num retngulo de 20 cm de largura e 32 cm de comprimento, qual a razo da menor dimenso para a maior dimenso?

[6] Em um mapa, uma distncia de 18 cm est representando uma distncia real de 36 Km. Qual a escala desse mapa?

[7] Sabendo que a distncia entre duas cidades de 400 Km, qual ser o valor utilizado para representar esta distncia em um mapa cuja escala de 000.500:1 ?

[8] A razo entre dois nmeros igual a 34

e sua soma 28. Quais so esses nmeros?

[9] A razo entre dois nmeros igual a 54

. Determine-os sabendo que eles somam 72.

[10] Dois nmeros esto para si assim como 2 est para 3. Determine-os sabendo que a diferena entre eles igual a 7.

[11] A diferena entre dois nmeros igual a 10. Calcule esses nmeros, sabendo que a razo entre eles de 3 para 5.



34

[12] Dois nmeros so proporcionais a 2 e 7. Determine-os sabendo que a soma do dobro do primeiro com o triplo do segundo igual a 100.

[13] A soma dos quadrados de dois nmeros positivos igual a 100 e a razo entre esses nmeros igual a

43

. Quais so esses nmeros?

[14] A razo entre dois nmeros positivos 1311

. Determine-os sabendo que a soma dos seus quadrados

igual a 29.000.

[15] Para usar um certo tipo de tinta concentrada, necessrio dilu-la em gua na proporo de 2:3 (proporo de tinta concentrada para gua). Sabendo que foram comprados 9 litros dessa tinta concentrada, quantos litros de tinta sero obtidos aps a diluio na proporo recomendada ?

[16] Dividir um lucro de 48 milhes, de uma sociedade, entre seus trs scios sabendo que eles trabalharam 2,3 e 7 meses respectivamente.

[17] Trs amigos se cotizaram para comprar um bilhete de loteria. Um deu R$ 2,00, outro deu R$ 1,00 e o terceiro deu R$ 7,00. Sabendo que o bilhete foi premiado com R$ 25.000,00 , quanto dever caber a cada um?

[18] Trs garotos desejam repartir uma mesada de R$ 210,00 em partes diretamente proporcionais s suas idades que so de 8, 10 e 12 anos. Quanto cada garoto dever receber da mesada ?

[19] Uma mquina produz 20.000 unidades em 5 horas, quantas unidades produzir em 3 horas e meia?

[20] Um carro consome na estrada 30 litros de gasolina, em cada 144 Km. Quantos litros so necessrios para percorrer 240 Km?

[21] Em uma salina, de cada metro cbico ( 3m ) de gua salgada, so retirados 0,04 3m de sal. Para obtermos 2 3m de sal, quantos metros cbicos de gua salgada so necessrios?

[22] Cem quilogramas de arroz com casca fornecem 96 Kg de arroz sem casca. Quantos quilogramas de arroz com casca sero necessrios para produzir 300 Kg de arroz sem casca ?

[23] Se 32

de uma pea de fazenda custaram R$ 0,95, ento qual ser o valor de 54

da mesma pea?



35

[24] Com uma rea de absoro de raios solares de 1,2 2m , uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 Watts por hora de energia. Aumentando-se essa rea para 1,5 2m , qual ser a energia produzida?

[25] Qual a altura de um edifcio que projeta uma sombra de 12 metros, se no mesmo instante, uma estaca vertical de 1,5 metros projeta uma sombra de 0,5 metros ?

[26] Se um relgio adianta 18 minutos por dia, quanto ter adiantado ao longo de 4 horas e 40 minutos ?

[27] Se 52

de uma obra foram executados em 30 dias, quantos dias sero necessrios para terminar a obra?

[28] Um avio com a velocidade de 280 Km/h faz o percurso Rio - So Paulo em 1 hora e 15 minutos. Em quanto tempo um jato com a velocidade de 840 Km/h ir percorrer essa distncia?

[29] Trabalhando 6 horas por dia, consigo fazer um servio em 20 dias. Em quantos dias posso fazer o mesmo servio, trabalhando 8 horas por dia?

[30] Um trem, deslocando-se a uma velocidade mdia de 400 Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria este mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480 Km/h?

[31] Se 12 operrios fazem um trabalho em 20 dias, quantos operrios so necessrios para fazer o mesmo trabalho em 30 dias?

[32] Duas rodas dentadas esto engrenadas uma na outra. A menor delas tem 12 dentes e a maior tem 78 dentes. Quantas voltas ter dado a menor quando a maior der 10 voltas ?

[33] Jacira consegue datilografar 20 pginas de um manuscrito em 4 horas e Joana o faz em 5 horas. Ainda restam 900 pginas do manuscrito para datilografar. Se as duas comearem a datilografar no mesmo instante essas pginas, quantas pginas dever pegar a mais lenta, de forma de ambas terminem juntas?


[34] Trs nmeros so proporcionais a 2, 3 e 5 respectivamente. Sabendo que o quntuplo do primeiro, mais o triplo do segundo, menos o dobro do terceiro resulta em 18, quanto vale o maior deles ?



36

[35] Trs garotos repartiram uma mesada em partes diretamente proporcionais s suas idades que eram 9, 12 e 15 anos. Ao receber a sua parte o mais velho fez a seguinte observao: se cada um de ns fosse trs anos mais velho, a minha parte seria R$ 7,00 menor do que . Considerando os dados apresentados qual foi o valor da mesada repartida ?

(a) R$ 81,00 (b) R$ 252,00 (c) R$ 352,00 (d) R$ 400,00 (e) R$ 420,00

[36] Sabe-se que 1 litro de tinta pura pesa 1.200 gramas. Numa mistura de tinta e gua, cada litro pesa 1.120 gramas. Qual a razo entre as massas de gua e de tinta, nesta ordem, que esto presentes na mistura ?

(a) 2 para 3 (b) 5 para 9 (c) 3 para 2 (d) 3 para 5 (e) 9 para 5

[37] Um trabalhador gasta 6 horas para limpar um terreno quadrado de 5 metros de lado. Quanto tempo gastaria se o terreno tivesse 10 metros de lado?

[38] Um automvel com velocidade de 60 Km/h percorre uma estrada em 1 hora e 20 minutos. Em quanto tempo o mesmo automvel percorre

53

da mesma estrada com 25% da velocidade inicial?

[39] Uma torneira enche um tanque em 3 horas enquanto um ralo o esvaziaria em 5 horas. Em quanto tempo o tanque vazio se encher se ao abrir a torneira o ralo for deixado aberto tambm ?

[40] Uma turma de 15 operrios pretende terminar em 14 dias certa obra. Ao cabo de 9 dias, entretanto, fizeram apenas

31

da obra. Com quantos operrios a turma original dever ser reforada para que a obra seja concluda no tempo fixado ?

[41] O litro de leite do tipo B custa 170 merrecas e o litro do leite de tipo C custa 105 merrecas. Misturando-se o tipo B com o tipo C, obtm-se um terceiro tipo de leite cujo litro custa 144 merrecas. Qual deve ser, nesta mistura, a proporo do leite mais barato para o mais caro?

(a) 2 para 3 (b) 3 para 2 (c) 21 para 34 (d) 34 para 21

[42] Em 8 horas, 20 caminhes descarregam 160 3m de areia. Em 5 horas, quantos caminhes sero necessrios para descarregar 125 3m ?

[43] Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2 metros de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura deste muro para 4 metros, qual ser o tempo necessrio para completar o muro ?

[44] Numa fbrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos sero montados por 4 homens em 16 dias ?



37

PERCENTAGEM

Razo Percentual denominamos razo percentual ou razo centesimal a toda razo cujo conseqente seja igual a 100.

As razes percentuais so utilizadas para evidenciar a participao de uma parte no todo e para facilitar comparaes.

Exemplos: 10025

, 100

4

Uma razo percentual normalmente escrita utilizando-se o smbolo %.

% 2510025

= , onde 25 a percentagem e % 25 a taxa percentual

Portanto, podemos dizer de forma bem simples que a taxa percentual o antecedente (numerador) de uma razo cujo conseqente (denominador) igual a 100.

Considere a seguinte situao:

1) Um vendedor ganha uma comisso de 3% sobre o valor total vendido. Isso significa que para cada R$ 100,00 vendidos, o vendedor ganha R$ 3,00 de comisso.

A comisso do vendedor est na razo de 3 para 100. Portanto, %303,0100

3== . A taxa que representa a

comisso do vendedor pode ser expressa de trs formas:

Forma Percentual: % 3

Forma Fracionria: 100

3

Forma Decimal: 03,0

Em problemas especficos, os termos desconto, abatimento, lucro e prejuzo so geralmente representados por meio de taxas percentuais. De forma geral, resolver um problema envolvendo percentagem fundamentalmente resolver uma proporo ou uma regra de trs simples.



38


Exerccios sobre Percentagem:

[1] Se voc tem um desconto de 3% ao pagar vista uma conta de R$ 120,00, quantos reais voc teve de abatimento?

[2] Um atirador faz 320 disparos contra um alvo, tendo acertado 288 vezes. Qual foi a porcentagem de tiros certos e qual a porcentagem de tiros errados?

[3] Uma comisso de venda de R$ 3,00 em cada R$ 25,00 a que percentagem corresponde?

[4] Uma bonificao de R$ 45,00 corresponde a que percentagem de um salrio de R$ 150,00?

[5] Em um concurso havia 15.000 homens e 10.000 mulheres. Sabe-se que 60% dos homens e 55% das mulheres foram aprovados. Do total de candidatos quantos por cento foram aprovados?

[6] Um vendedor ganha uma comisso de 4% sobre suas vendas. Quanto ganhar se conseguir vender R$ 3.000,00?

[7] (CEF/91) Num grupo de 400 pessoas, 70% so do sexo masculino. Se, nesse grupo, 10% dos homens so casados e 20% das mulheres so casadas; qual o nmero de pessoas casadas?

[8] Um negociante concede um abatimento de 5% sobre o preo marcado numa mercadoria e o desconto de R$ 21,00. Qual o preo marcado na mercadoria?

[9] Uma pessoa compra um terreno por R$ 20.000,00 e vende-o com lucro de R$ 4.000,00. Qual a porcentagem de lucro?

[10] Vendi uma mercadoria recebendo 25% de entrada e o restante em trs prestaes de R$ 160,00 e uma de R$ 180,00. Qual o preo da mercadoria?

[11] Por quanto devo revender um objeto que comprei por R$ 40,00 de modo que tenha um lucro de 20% sobre o preo de venda?

[12] (CEB-Contador-IDR/94) Para obter um lucro de 25% sobre o preo de venda de um produto adquirido por R$ 615,00; o comerciante dever vend-lo por quanto?



39

[13] Uma mercadoria que custava R$ 20.000,00 sofreu trs reajustes sucessivos, de 10%, 20% e novamente de 10%. Qual o novo preo deste produto aps a aplicao destas taxas sobre taxas?

[14] O nmero de litros de gua necessrios para reduzir 9 litros de loo de barba contendo 50% de lcool para uma loo contendo 30% de lcool :

(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6 (e) 7

[15] Um vendedor ambulante vende os seus produtos com um lucro de 50% sobre o preo de venda. Ento o seu lucro sobre o preo de custo de:

(a) 10% (b) 25% (c) 33,333...% (d) 100% (e) 120%

[16] Quanto por cento sobre o custo corresponde a um lucro de 60% sobre a venda?

[17] (UnB/93) A soma de dois nmeros 28 e a razo entre eles de 75%. Quais so estes nmeros?

[18] Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hbitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanas em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% do seu peso. A seguir, passou uns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de seu peso. Aps, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rgido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice tambm emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, aps as visitas a esses quatro familiares, com relao ao peso imediatamente anterior ao incio dessa seqncia de visitas, ficou:

(a) exatamente igual; (b) 5% maior; (c) 5% menor; (d) 10% menor; (e) 10% maior;


[19] Em uma turma, 60% das pessoas so homens e 30% das pessoas usam culos. Se apenas 20% das mulheres usam culos, qual a frao das pessoas, formada por homens, que usam culos?

[20] Comprou-se certa mercadoria. Sobre o custo pagou se 5% de imposto e 3% de frete. Sendo a mercadoria vendida por R$ 27,00 houve um lucro de 25%. Por quanto essa mercadoria foi comprada?



40

[21] A remunerao mensal dos funcionrios de uma empresa constituda de uma parte fixa igual a R$ 1.500,00, mais uma comisso de 3% sobre o total das vendas que exceder a R$ 8.000,00. Calcula-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidirem sobre o seu salrio bruto (isto , sobre o total da parte fixa mais a comisso). Em dois meses consecutivos, um dos funcionrios dessa empresa recebeu, lquido, respectivamente, R$1.674,00 e R$ 1.782,00. Com esses dados, pode-se afirmar que as vendas realizadas por esse funcionrio, no segundo ms, foram superiores s do primeiro ms em:

(a) 8% (b) 10% (c) 14% (d) 15% (e) 20%

[22] Uma escola, que oferece apenas um curso diurno de Portugus e um curso noturno de Matemtica, possui quatrocentos alunos. Dos quatrocentos alunos, 60% esto matriculados no curso de Portugus. Dos alunos que esto matriculados no curso de Portugus, 50% esto matriculados tambm no curso de Matemtica. Dos alunos matriculados no curso de Matemtica, 15% so paulistas. Portanto, o nmero de estudantes matriculados no curso de matemtica e que so paulistas de:

(a) 42 (b) 24 (c) 18 (d) 84 (e) 36

[23] Um trabalhador gastava 40% do seu salrio com aluguel. Aps certo perodo, seu aluguel havia aumentado 50%, enquanto seu salrio, reajustado em 20%. Ento, a percentagem do salrio que ele passou a gastar com aluguel foi de:

(a) 50% (b) 49% (c) 48% (d) 47% (e) 70%

[24] Uma mercadoria X teve seu preo aumentado em 20% enquanto uma outra mercadoria, Y, sofreu um aumento de apenas 10%. Sabe-se que para adquirir as duas mercadorias, depois dos aumentos que tiveram, seria necessrio gastar uma quantia 16% superior quela que seria necessria antes dos aumentos. Qual era a razo entre os preos de X e de Y, nesta ordem, antes dos aumentos?



41

CORRELAO

Problemas de correlao so aqueles em que so prestadas informaes de diferentes tipos, como por exemplo: nomes, carros, cores, qualidades, profisses, atividades, etc. O objetivo do problema descobrir a correlao entre os dados apresentados neste conjunto de informaes. Ou seja, quando o exerccio lhe pedir que identifique quem usou o qu, quando, com quem, aonde, de que cor, etc..., voc estar tentando resolver um exerccio de correlao.

Exemplo:

Trs homens, Lus, Carlos e Paulo, so casados com Lcia, Patrcia e Maria, mas no sabemos quem casado com quem. Eles trabalham com Engenharia, Advocacia e Medicina, mas tambm no sabemos quem faz o qu. Com base nas dicas abaixo, tente descobrir o nome de cada marido, a profisso de cada um e o nome de suas esposas.

a) O mdico casado com Maria. b) Paulo advogado. c) Patrcia no casada com Paulo. d) Carlos no mdico.

Resoluo:

Para facilitar a resoluo do problema, construiremos uma tabela, passo a passo, contendo os trs grupos de informaes: homens, esposas e profisses.

Escolha um dos grupos e coloque cada um de seus elementos em uma linha:

Carlos Lus Paulo

O prximo passo criar uma coluna para cada elemento dos outros grupos:

Md

.

Eng.

Adv

.

Lci

a

Patr

cia

Mar

ia

Carlos Lus Paulo



42

Por fim, toma-se o ltimo grupo das colunas (neste caso, o das esposas) e cria-se uma linha para cada um de seus elementos, colocando-os abaixo da ltima linha:

Md

.

Eng.

Adv

.

Lci

a

Patr

cia

Mar

ia

Carlos Lus Paulo Lcia Patrcia Maria

Observao: essa regra vale para qualquer nmero de grupos do problema. Ou seja, se forem, por exemplo, cinco grupos, um deles ser a referncia para as linhas iniciais e os outros quatro sero distribudos em colunas. Depois disso, da direita para a esquerda, os grupos sero levados para baixo na forma de linhas, exceto o primeiro.

Md

.

Eng.

Adv

.

Lci

a

Patr

cia

Mar

ia

Loiro

Ruiv

o

Cast

anho

Carlos Lus Paulo Loiro Ruivo Castanho Lcia Patrcia Maria

Observe ainda que os buracos na tabela representam regies onde as informaes seriam cruzadas com elas mesmas, o que desnecessrio.

A etapa seguinte consiste na construo da Tabela Gabarito, que no servir apenas como gabarito, mas em alguns casos ela fundamental para que se enxergue as informaes escondidas na tabela principal.

Homens Profisses Esposas Carlos



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Lus Paulo

Iniciamos a resoluo marcando com S (sim) todas as afirmaes que aparecem nas dicas e preenchendo com N (no) as casas restantes da mesma linha e coluna onde cada S aparece. Observe que temos as seguintes afirmaes: a) O mdico casado com Maria e b) Paulo advogado . Com isso teremos:

Tabela Principal:

Md

.

Eng.

Adv

.

Lci

a

Patr

cia

Mar

ia

Carlos N Lus N Paulo N N S Lcia N Patrcia N Maria S N N

Tabela Gabarito:

Homens Profisses Esposas Carlos Lus Paulo Advogado

A seguir marca-se com N as negaes que aparecem nas dicas. Ateno!!!! No caso das negaes no se deve preencher com S as casas restantes das mesmas linhas e colunas onde cada N aparece. Observe que temos as seguintes negaes: c) Patrcia no casada com Paulo e d) Carlos no mdico.

Tabela Principal:

Md

.

Eng.

Adv

.

Lci

a

Patr

cia

Mar

ia

Carlos N N Lus N Paulo N N S N Lcia N Patrcia N Maria S N N

Por fim, deduz-se por eliminao, as restantes correlaes: Se nem Carlos, nem Paulo so mdicos, logo Lus o mdico.



44

Tabela Gabarito:

Homens Profisses Esposas Carlos Lus Mdico Paulo Advogado

Se Lus mdico e Paulo Advogado, ento Carlos engenheiro.

Tabela Principal:

Md

.

Eng.

Adv

.

Lci

a

Patr

cia

Mar

ia

Carlos N S N Lus S N N Paulo N N S N Lcia N Patrcia N Maria S N N

Tabela Gabarito:

Homens Profisses Esposas Carlos Engenheiro Lus Mdico Paulo Advogado

O mdico casado com Maria, ento:

Tabela Principal:

Md

.

Eng.

Adv

.

Lci

a

Patr

cia

Mar

ia

Carlos N S N N Lus S N N N N S Paulo N N S N N Lcia N Patrcia N Maria S N N

Tabela Gabarito:



45

Homens Profisses Esposas Carlos Engenheiro Lus Mdico Maria Paulo Advogado

Paulo no casado com Patrcia nem Maria, logo Paulo casado com Lcia.

Tabela Gabarito:

Homens Profisses Esposas Carlos Engenheiro Lus Mdico Maria Paulo Advogado Lcia

Sobrou ento, para Carlos ser casado com Patrcia.

Tabela Gabarito:

Homens Profisses Esposas Carlos Engenheiro Patrcia Lus Mdico Maria Paulo Advogado Lcia



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Exerccios sobre Correlao:

[1] Davi, Paulo e Ana trabalham na mesma empresa h muitos anos, como assistente, gerente e telefonista, no necessariamente nesta ordem. Os trs se tornaram to amigos que agora so mais do que simplesmente colegas de trabalho, uma vez que passaram a freqentar o ambiente familiar uns dos outros. Recentemente, cada um deles convidou os outros dois para um evento diferente: churrasco, festa de aniversrio e piscina. Descubra o nome de cada pessoa, o seu cargo na empresa e o convite que fez aos amigos, com base nas seguintes dicas:

a) Ana telefonista. b) O assistente convidou os colegas de trabalho para a festa de aniversrio de seu filho. c) Davi convidou os amigos para um churrasco em sua casa.

[2] Acompanhando a conquista espacial, esto Lucas, Roberto e Slvio que pesquisam tudo o que podem sobre o assunto. Entretanto, atualmente, cada rapaz est concentrado no estudo de um planeta diferente: Vnus, Marte e Saturno, no necessariamente nesta ordem. Alm disso, cada um possui uma miniatura de uma nave espacial diferente: Columbia, Discovery e Voyager, no necessariamente nesta ordem. Com base nas dicas a seguir, determine o nome de cada rapaz, o planeta que est pesquisando e a miniatura que possui.

a) Slvio pesquisa o planeta Saturno. b) O rapaz que pesquisa o planeta Vnus tem uma miniatura da nave Voyager. c) Lucas tem uma miniatura da nave Columbia.

[3] Dione, Isabela e Tain levaram cada qual seu filho ou filha: Alice, Plnio e Rafael, no necessariamente nesta ordem, para um passeio no shopping. Cada criana ficou entretida com uma atividade diferente: fliperama, parque e teatrinho. Com base nas informaes dadas, tente descobrir o nome de cada mulher e de cada criana e a atividade que fizeram durante o passeio no shopping.

a) Plnio filho de Tain. b) Rafael ficou feliz em brincar no parque de diverses do shopping. c) Dione levou a filha ao teatrinho armado na praa de alimentao do shopping.

[4] Trs mulheres hospedaram-se recentemente em hotis diferentes, cada qual com a inteno de cumprir um programa de dietas que o hotel oferecia. Com base nas dicas ao lado, tente descobrir o nome de cada mulher, o hotel onde se hospedou e a base da sua dieta.

a) Brbara fez uma dieta base de saladas. b) O hotel Malta oferecia um programa de dieta base de iogurte. c) Os outros hotis eram o Capri e o Vrzea. d) Clia no se hospedou no Hotel Malta nem no Capri.



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e) A terceira dieta era base de gua de coco. f) Uma delas se chamava Tatiana.

[5] (ESAF/ AFTN/ 1996) Os carros de Artur, Bernardo e Csar so, no necessariamente nesta ordem, uma Braslia, uma Parati e um Santana. Um dos carros cinza, um outro verde, e o outro azul. O carro de Artur cinza; o carro de Csar o Santana; o carro de Bernardo no verde e no a Braslia. Ento, podemos concluir que as cores da Braslia, da Parati e do Santana so, respectivamente:

(a) cinza, verde e azul; (b) azul, cinza e verde; (c) azul, verde e cinza; (d) cinza, azul e verde; (e) verde, azul e cinza.

[6] (ESAF/ AFC/ 2002) Um agente de viagens atende a trs amigas. Uma delas loura, outra morena e a outra ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas far uma viagem a um pas diferente da Europa: uma delas ir Alemanha, outra ir Frana e a terceira ir Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informaes:

A loura disse: No vou Frana nem Espanha.; A morena disse: Meu nome no Elza nem Sara.; A ruiva disse: Nem eu nem a Elza vamos Frana..

O agente de viagens concluiu, ento, acertadamente, que:

(a) A loura Sara e vai Espanha; (b) A ruiva Sara e vai Frana; (c) A ruiva Bete e vai Espanha; (d) A morena Bete e vai Espanha; (e) A loura Elza e vai Alemanha.

[7] O professor Jeremias d aulas de Filosofia para uma turma bastante desinteressada. Quatro alunos da turma sentam invariavelmente na ltima fileira da sala, e esto sempre ocupados com alguma coisa fora da aula. Na semana passada, o Professor resolveu pegar cada um deles enquanto estivesse distrado com outra coisa e chamar-lhe a ateno. Com base nas dicas a seguir, tente descobrir o nome de cada aluno, a atividade com que estava envolvido durante a hora da aula, a ordem em que foi pego e qual havia sido a nota dele na prova.

a) Lenildo foi pego fazendo palavras cruzadas. b) Breno tirou a nota mais baixa, mas no foi o primeiro a ser pego. c) Nilo foi o ltimo a ser pego pelo professor. d) O segundo a ser pego pelo professor (que no foi Lenildo) tinha tirado 60 na prova. e) O terceiro a ser pego estava escrevendo um relatrio de outra matria na hora da aula. f) O que foi pego dormindo em sala de aula tinha tirado 50. g) Um deles se chamava Marcelo.



48

h) As notas foram 48, 50, 55 e 60. i) Um deles estava lendo revista.

[8] Numa recente pesquisa realizada por uma famosa revista esportiva, cinco homens: Alexandre, Cristiano, Eric, Romeu e Xavier, foram entrevistados sobre suas preferncias de eventos: Copa do Mundo, Frmula 1, Mundial de Vlei, Olimpadas e Taa Davis. As idades dos entrevistados so, no necessariamente nesta ordem, 25, 30, 35, 40 e 45. A partir das informaes dadas abaixo, descubra a idade de cada um, o seu evento esportivo preferido e a ordem dos entrevistados.

a) Xavier prefere o Mundial de Vlei. b) O homem entrevistado em 2 lugar prefere a Copa do Mundo. c) Romeu no tem 30 anos. d) Eric tem 40 anos, no prefere a Copa do Mundo e foi entrevistado em 4 ou 5 lugar. e) O homem que prefere a Formula 1 tem 5 anos a menos que o ltimo entrevistado e 10 anos a mais do que o homem que prefere as Olimpadas. f) Cristiano prefere a Taa Davis, no tem 25 anos e foi entrevistado em 2 ou 3 lugar.


[9] Em uma clnica especializada em cirurgia plstica da cidade do Rio de Janeiro, cinco homens: Flvio, Prsio, Slvio, Walter e Ivan se submeteram a cirurgia, para correo de: Nariz, Orelha, Plpebras, Pescoo e Implante Capilar, nos meses de Maio, Julho, Agosto, Setembro e Outubro. As idades dos homens so, no necessariamente nesta ordem, 37, 38, 39, 40 e 41. Com base nos dados fornecidos abaixo, descubra qual a idade de cada um, o ms em que foi feita a sua cirurgia e a que tipo de operao a que se submeteu.

a) O homem de 41 anos (que operou o nariz em maio) no Flavio, Prsio e nem Ivan. b) Walter no tem 39 anos, no fez a cirurgia em maio e no operou as plpebras. c) O homem de 37 anos no Prsio nem Ivan e fez a cirurgia dois meses aps o implante capilar. d) O homem de 38 anos foi operado em setembro, mas no fez a cirurgia nas plpebras nem nas orelhas. e) Prsio (que tem mais de 38 anos) operou um ms antes do homem de 39 anos. f) O homem de 40 anos foi operado trs meses antes da cirurgia nas plpebras.

[10] Cinco famlias: Bragana, Hallo, Matarazo, Soares e Valinho compraram pacotes de viagem diferentes para famosos Hotis: Atlntico, Grande Hotel, Imperial, Metropolitano e Vitoriano. As famlias sairo de Joo Pessoa, Macei, Natal, So Paulo e Vitria no necessariamente nesta ordem. Com as dicas abaixo, descubra os detalhes do pacote de cada famlia de onde sairo, os nomes dos hotis em que se hospedaro e as marcas dos carros que alugaram: Fiat, Peugeot, Renault, Seat e Volvo.

a) A famlia Bragana tem reserva no Grande Hotel. b) A famlia Soares sair do aeroporto de Macei e, obviamente, voltar para l alguns dias mais tarde, se tudo correr bem. c) A famlia Hallo, que alugou um Fiat, no sair de Vitria, nem ficar hospedada no Hotel Atlntico e nem no Imperial.



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d) A famlia Valinho no usar um Seat (carro espanhol). e) A famlia que partir de Natal, que usar um Volvo, no ficar no Hotel Atlntico. f) A famlia que ficar no Hotel Metropolitano e alugou um Peugeot tem sobrenome com mais letras que aquela que se hospedar no Hotel Atlntico. g) A famlia Matarazo no a que partir do aeroporto de Joo Pessoa para se hospedar no Hotel Imperial.

[11] O Campeonato Brasileiro de Tnis de 2004 ficou famoso por algumas partidas e lances at ento inditos, e cinco jogadores (Bruno-Floriano-Nicolas-Ronaldo-Vtor) em especial se destacaram pelos seus saques, que tiveram muito sucesso. Com base nas dicas fornecidas abaixo descubra a velocidade do saque em km/h (184-194-198-204-206), o nmero de trocas de bola realizadas (5-6-7-8-9) e em qual jogada a partida decisiva de cada um foi ganha (ace-backspin-lob-slice-voleio).

a) Floriano realizou um backspin. b) Vtor tem o saque com menos de 204 Km/h. c) Nicolas fez 7 trocas de bolas e sacou 10 km/h a mais que o jogador que fez o lob. d) Floriano fez menos de 8 trocas de bolas. e) O jogador que realizou o ace fez mais uma troca que Bruno, porm menos uma troca que o jogador que sacou a 204 km/h. f) O lob foi feito depois de mais de 5 trocas de bola. g) Vtor no fez 8 trocas de bola. h) o jogador que fez 9 trocas de bola realizou o voleio.



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TCNICAS DE RESOLUO DE PROBLEMAS

Em todo momento, o homem se v na necessidade de analisar e interpretar a realidade onde est inserido. Se quiser modific-la, dever resolver os problemas que ela apresenta, desde os econmicos, os sociais, os de relao familiar, os financeiros, etc.

Segundo DANTE (1989), problema qualquer situao que exija o pensar do indivduo para solucion-la.

A resoluo de problemas como eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de Matemtica, deve ser resumida nos seguintes princpios:

A situao problema o ponto de partida da atividade matemtica e no a definio. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idias e mtodos matemticos devem ser abordados mediante a explorao de problemas, ou seja, de situaes em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratgia para resolv-las; O problema certamente no um exerccio em que o aluno aplica, de forma quase mecnica, uma frmula ou um processo operatrio. S h problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questo que lhe posta e a estruturar a situao que lhe apresentada.

Um problema pode ser entendido como sendo uma situao que demanda a realizao de uma seqncia de aes ou operaes para obter um resultado. Ou seja, a soluo no est disponvel de incio, mas possvel constru-la.

De acordo com POLYA (1977), quando se tenta resolver um problema, o ponto de vista, a maneira de encarar o problema, pode ser modificado vrias vezes. Em geral, quando se inicia o trabalho com um problema, a concepo que se tem dele muito incompleta. medida que se vai progredindo, a perspectiva vai sendo modificada.

Passos para a resoluo de problemas

Detalhar as variveis do problema Encontrar possveis solues Escolher a soluo adequada Executar a soluo escolhida Revisar e atualizar os dados do Projeto

Detalhar as variveis do problema

O primeiro passo para a soluo do problema buscar os dados relacionados ao mesmo, para que se possa verificar a profundidade do problema. Ao ler o enunciado do problema procure destacar os dados mais importantes, separando as incgnitas e as informaes j fornecidas.



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Encontrar possveis solues

De posse das variveis internas e externas destacadas durante o processo de leitura e interpretao do problema, o aluno deve realizar um estudo para encontrar as possveis solues.

Existem alguns problemas que apresentam solues imediatas, outros apresentam solues mais trabalhadas, tudo depender do grau de familiaridade que o problema apresente para o aluno. Para alguns o problema poder parecer fcil, para outros poder apresentar um grau de dificuldade maior.

Escolher a soluo adequada

Um problema poder apresentar vrias solues viveis, cabe ao aluno identificar aquela que melhor se aplique s suas necessidades, aquela que lhe ser mais agradvel e que lhe traga maior confiana na resoluo.

Executar a soluo escolhida

Nessa etapa, o aluno deve realizar a soluo escolhida no passo anterior, seguindo a descrio e as tarefas necessrias. Durante a execuo da soluo, o aluno deve observar se os resultados que esto sendo obtidos so os esperados.

Revisar e atualizar os dados do problema

Aps o trmino da soluo do problema o aluno deve sempre fazer uma avaliao sobre o resultado encontrado, fazendo teste e proposies, testando os novos resultados encontrados.

Lembre-se que um problema no possui apenas uma nica forma de ser resolvido, aprenda com seus erros, e se permita aprender

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