Embed Size (px)
Citation preview
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Spis treści:Definicja
Wykres
Ciągłość, granica iterowana i podwójna
Pochodne cząstkowe
Różniczka zupełna
Gradient
Pochodna kierunkowa
Twierdzenie Schwarza
Ekstrema funkcji dwóch zmiennych
Funkcja uwikłana
DefinicjaFunkcją dwóch zmiennych x i y, określoną w podzbiorze D
płaszczyzny R x R, nazywamy przyporządkowanie każdej
parze (x,y) є D dokładnie jednej liczby rzeczywistej z.
W przyporządkowaniu tym x i y nazywamy zmiennymi
niezależnymi, natomiast z zmienną zależną lub wartością funkcji w punkcie (x,y).
Zbiór D nazywamy dziedziną funkcji , natomiast zbiór f (D)wartości, jakie przyjmuje zmienna zależna z nazywamy przeciwdziedziną tej funkcji.
Prościej:Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych rzeczywistych to funkcja, której
argumentami są pary liczb rzeczywistych, a wartościami są liczby
rzeczywiste.
Funkcje dwóch zmiennych oznaczamy symbolem
Uwaga
Jeśli funkcja f (x,y) jest określona wzorem i
dziedzina jej nie jest podana, to przyjmujemy, że
jest nią zbiór wszystkich punktów (x,y) dla których wzór ten ma sens liczbowy.
Przyklady 221.1 yxz --=
)12arcsin()164ln(.2 22 -+-+= xyxz
22
22
2
)44ln(.3
yxx
yxz
--
--=
Definicja
Wykresem funkcji dwóch zmiennych x i y, określonej w
podzbiorze D płaszczyzny R x R, nazywamy powierzchnię:
Π={(x,y,z): (x,y)є D, z=f(x,y)},
będącą zbiorem punktów przestrzeni { P(x,y,z) }.
PrzykładyNaszkicować funkcje:
22 yxz += 422 -+= yxz
Definicja
Ciąg punktów {Pn (xn, yn)}( n=1, 2,…) płaszczyzny jest zbieżny
do punktu P0 (x0, y0), jeżeli
Gdzie
jest odległością między punktami Pn i P0 . Piszemy:
Wniosek
Definicja (GRANICA PODWÓJNA FUNKCJI)
Liczbę g nazywamy granicą (podwójną) funkcji f(x, y) w punkcie
P0 (x0, y0), jeżeli dla dowolnego ciągu punktów {Pn (xn, yn)}zbieżnego do P0
ciąg {f(Pn )} = {f (xn, yn)} jest zbieżny do g .
Piszemy:
Definicja (GRANICA ITEROWANA)
Granicami iterowanymi nazywamy granice:
2.
Ponieważ:
więc:
Może się zdarzyć, że:
1. Istnieje i nie istnieją granice iterowane.
2. Istnieją granice iterowane i nie istnieje
Jeżeli istnieją granice iterowane i są one różne to możemy wyciągnąć wniosek, że granica nie istnieje.
Pochodna cząstkowa pierwszego rzędu
Jeżeli rozpatruje się funkcję dwóch zmiennych
to można ustalić jedną ze zmiennych np. y i przyjąć, że
funkcja zależy tylko od jednej zmiennej x
Pochodna cząstkowa względem zmiennej x
Definicja
Granicę właściwą ilorazu różnicowego
nazywamy pochodną cząstkową funkcji
względem zmiennej x w punkcie i oznaczamy
Pochodna ta jeśli istnieje zależy od wartości zmiennej x
jak i również od ustalonej wartości zmiennej y
.
dx
yxfydxxf
x
yxfdx
),(),(lim
),( 0000
0
00 -+=
¶
¶®
),( 00 yx
Pochodna cząstkowa względem zmiennej y
Definicja
Granicę właściwą ilorazu różnicowego
,
nazywamy pochodną cząstkową funkcji
względem zmiennej y w punkcie i oznaczamy
Pochodna ta jeśli istnieje zależy od wartości zmiennej y
jak i również od ustalonej wartości zmiennej x
.
dy
yxfdyyxf
y
yxf
dy
),(),(lim
),( 0000
0
00 -+=
¶
¶
®
),( 00 yx
Przykłady
a)
b)
c)
d)
,
,
,
.
Przykłady a)
Przykłady b)
Przykłady
c)
Przykłady d)
Pochodna cząstkowa drugiego rzędu
Jeżeli to pochodne jeżeli istnieją
w pewnym obszarze, są również funkcjami zmiennych x i y.
Pochodne cząstkowe rzędu drugiego definiuje się następująco
- pochodne jednoimienne - pochodne różnoimienne
:
Twierdzenie Schwarza
Jeżeli funkcja w pewnym obszarze ma ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu, to w tym obszarze
.
Przykłady Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji:
Warunek Konieczny istnienia Ekstremum
(WKE)Jeżeli funkcja ma ekstremum lokalne w punkcie ,
i jest w tym punkcie różniczkowalna, to
.
i
Dla znalezienia punktów stacjonarnych, w których może istnieć ekstremum, należy rozwiązać układ równań:
.
Następnie dla każdego z punktów należy obliczyć:
Następnie obliczamy tzw. wyróżnik:
.
Warunek Konieczny istnienia Ekstremum- c.d.
Warunek Wystarczający istnienia Ekstremum(WWE)
Jeżeli dla funkcji w punkcie stacjonarnym
to funkcja ma w punkcie maksimum,
to funkcja ma w punkcie
, to nie istnieje ekstremum funkcji w punkcie
, to nie da się rozstrzygnąć istnienia ekstremum funkcji
w punkcie tą metodą
minimum,
Przykłady obliczania ekstremum funkcji
a)
b)
c)
d)
,
,
,
.
e)
a)
WKE:
a)-cd
WWE:funkcja ma w p. (1,-1) minimum.
w p. (0,0) funkcja nie ma ekstremum.
Dla punktu (1, -1) mamy:
b)
WKE :
b)-cd
WWE:
Niech
funkcja nie ma ekstremum .
Wystarczy zauważyć, że
c)
WKE:
c)
funkcja nie ma ekstremum
WWE:
d)
WKE:
d) - cd
WWE:
Niech
funkcja ma w p. minimum.
Warunek Konieczny istnienia Ekstremum-cdfunkcje 3 zmiennych
Jeżeli funkcja 3 zmiennych ma ekstremum lokalne w punkcie
i jest w tym punkcie różniczkowalna, to
.
Dla znalezienia punktów stacjonarnych, w których może istnieć ekstremum, należy rozwiązać układ równań:
.
Ekstremum funkcji 3 zmiennych Dla każdego z punktów stacjonarnych należy obliczyć pochodne cząstkowe II rzędu:
Następnie obliczamy tzw. wyróżniki:
.
Warunek Wystarczający istnienia Ekstremum
Jeżeli dla funkcji w punkcie stacjonarnym
to funkcja ma w punkcie maksimum,
to funkcja ma w punkcie minimum ,
PrzykładZnaleźć ekstrema funkcji
GRADIENT
Gradientem funkcji dwóch zmiennych f(x,y)
w punkcie P(x0,y0) jest wektor ,
wskazujący kierunek największego wzrostu funkcji
w punkcie P(x0,y0).
Miara tego wzrostu jest dana jako moduł wektoragradientu, czyli długość gradientu.
),(grad 00 yxf
)],(),,([),(grad 000000'' yxfyxfyxf yx=
POCHODNA KIERUNKOWA
Pochodna kierunkowa wyraża miarę wzrostu funkcji
f(x,y) w punkcie P(x0,y0) w kierunku wyznaczonym
przez wektor .
Największa wartość pochodnej kierunkowej funkcji
f(x,y) w punkcie P(x0,y0) jest w kierunku gradientu
w punkcie P(x0,y0) i jest równa
kkd
df kyxfyx o),(grad),( 0000 =
k
0 0 0 0 0 0
2 2' 'grad ( , ) ( , ) ( , )x y
f x y f x y f x yé ů é ů= +ë ű ë ű
RÓŻNICZKA ZUPEŁNA
Niech i oznaczają dowolne i niezależne od siebie
Iloczyny
przyrosty zmiennej oraz zmiennej .
Definicja
oraz nazywamy
różniczkami cząstkowymi funkcji
a ich sumę
różniczką zupełną funkcji .
,
Wniosek
Przykłady obliczania różniczki
a)
b)
c)
d)
,
,
,
.
a)
b)
c)
d)
Fakt
Dla małych przyrostów i
Przykłady
Oblicz przybliżoną wartość wyrażeń korzystając z różniczki zupełnej
02,204,1a)
33 97,102,1b) +
Ekstremum warunkowe funkcji wielu zmiennych
Na YT są przykłady policzone metodą mnożników Lagrange’a. My pokażemy inne rozwiązanie.
Znależć ekstrema warunkowe funkcji f(x,y) przy warunku w:
032:,)(a) =-+++= yxwyxxyx,yf
10:,)(b) 22 =++= yxwyxx,yf
032:,)(a) =-+++= yxwyxxyx,yfOdp.:
Maksimum warunkowe funkcji f(x,y) przy warunku w:
10:,)(b) 22 =++= yxwyxx,yfOdp.:
Minimum warunkowe funkcji f(x,y) przy warunku w:
Niech F(x,y)=0 dla (x,y) D.
Każdą fynkcję y=y(x), która spełnia powyższe
równanie, tzn. taką, że F(x,y(x))=0 dla x X, nazywamyFunkcją uwikłaną określoną w zbiorze X.
Równanie F(x,y(x))=0 nazywamy postacią uwikłaną funkcji y=y(x)
Przykład:
Uwaga: Nie zawsze jest możliwe wyznaczenie funkcji uwikłanej y=y(x) równania F(x,y)=0.
2 2 2 0x y y+ - =
Funkcja uwikłana
Jeżeli F(x,y) jest funkcją dwóch zmiennych,
oraz w otoczeniu punktu istnieją ciągłepochodne czastkowe
to w pewnym otoczeniu punktu x istnieje dokładnie
jedna ciągła funkcja uwikłana y=y(x) określona za
pomocą równania F(x,y)=0, spełniająca warunek
Ponadto funkcja uwikłana y=y(x) ma w pewnym
otoczeniu punktu xo pochodną y’daną wzorem:
0 0( ) .y x y=
Twierdzenie 1
Jeżeli F(x,y) jest funkcją dwóch zmiennych,
oraz w otoczeniu punktu istnieją ciągłepochodne czastkowe I i II rzędu
to funkcja uwikłana y=y(x) ma w pewnym otoczeniu
punktu xo drugą pochodną y’’daną wzorem:
Twierdzenie 2
y
Jeżeli spełnione sa warunki:
1. F(x,y) ma ciągłe pochodne czastkowe I i II rzędu
w pewnym otoczeniu punktu ,
2.
3.
4.
to funkcja uwikłana y=y(x) dana równaniem F(x,y)=0
ma w punkcie xo minimum (maksimum) lokalne
równe yo = y(xo).
Twierdzenie 3 (warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji uwikłanej)
y
ZadaniaZnajdź ekstrema funkcji uwikłanej oraz równanie stycznej w
punkcie Po
