Rácsrezgések

http://physics-animations.com/Physics/English/phon_txt.htm

Longitudális hullám rúdban

Rácsrezgések lokális erő az x pontban

x

uAExF

)(x

u(x) Young modulus

L

L

x

u(x)

x

u(x)

x

u(x)

A q hullámszám értelmezési tartománya

véges méret periódikus határfeltétel (Born-Kármán)

x

u(x)

),(),( tLxutxu

számokegész...0,1,2,nahol,2

1})({}{

Lnqeeueu iqLtLxqi

otqxi

o

2

2

2

2

x

uE

t

u

)(),( tqxi

oeutxu

q (q) diszperziós reláció:

frekvencia-hullámszám függés

E

u(x+x)

x+x

2

2( ) ( )

uF x x F x V

t

2

2

2

2

x

uVEx

x

uAEx

dx

dF

Newton II

x

𝜕𝐹

𝜕𝑥

Lq

2

a rúdban kialakuló lehetséges állóhullámok

számokegész...0,1,2,nahol,2

1})({}{

Lnqeeueu iqLtLxqi

otqxi

o

Definiciók

Módus

rezgési állapot, melyet

a q hullámhossz és az frekvencia jellemez

q

q

az atomi természet miatt

kell lenni

egy maximális

hullámszámnak

aL

N

LNq

22

2max

maxq

Állapotsűrűség N(q), g() - a lehetséges módusok száma

a q és q+dq, illetve az és +d tartományban

q

)(qN

2

L

a

2

vagy

a ħq impulzus és a ħ energia (kvantummechanika)

q

q

2

1)(

)()(

2)(

L

cg

dqqNdg

LqN

Lineáris lánc

un-3 un-2 un-1 un un+1 un+2 un+3

Egyforma atomok, első szomszéd kölcsönhatás

a

a rácstávolság

c rugóállandó

)()( 112

2

nnnnn uucuuc

dt

udM

Legyen un az elmozdulás az rn=na helyen.

A mozgásegyenlet:

)( tqrio

neuu

A próbafüggvény

2sin4)cos1(2)2()( 22 qa

cqaceeciM iqaiqa 2

sin4

)(qa

M

cq

diszperziós reláció

Tulajdonságai

- periódikus 2/a szerint; célszerű választás q=0 , =0

M

ca

E

/a -/a

- lineárisan indul, meredekség: (folytonos közeg: )

- a -/a < q < /a intervallum hordoz minden információt

q

Lineáris lánc

un-3 un-2 un-1 un un+1 un+2 un+3

Egyforma atomok, első szomszéd kölcsönhatás

a

a rácstávolság

c rugóállandó

)()( 112

2

nnnn uucuucdt

udM

Legyen un az elmozdulás az rn=na helyen.

A mozgásegyenlet:

)( tqrio

neuu

A próbafüggvény

2sin4)cos1(2)2()( 22 qa

cqaceeciM iqaiqa 2

sin4

)(qa

M

cq

diszperziós reláció

Tulajdonságai

- periódikus 2/a szerint; célszerű választás q=0 , =0

M

ca

E

- az A és B pontok ekvivalensek (a második Brillouin-zónához

tartozó vektor ugyanazt a rezgést írja le)

/a -/a -2/a 2/a

első

Brillouin-zóna

második

Brillouin-zóna

második

Brillouin-zóna

A B

- lineárisan indul, meredekség: (folytonos közeg: )

- a -/a < q < /a intervallum hordoz minden információt

q

Lineáris lánc

un-3 un-2 un-1 un un+1 un+2 un+3

Egyforma atomok, első szomszéd kölcsönhatás

a

a rácstávolság

c rugóállandó

)()( 112

2

nnnn uucuucdt

udM

Legyen un az elmozdulás az rn=na helyen.

A mozgásegyenlet:

)( tqrio

neuu

A próbafüggvény

2sin4)cos1(2)2()( 22 qa

cqaceeciM iqaiqa 2

sin4

)(qa

M

cq

diszperziós reláció

Tulajdonságai

- periódikus 2/a szerint; célszerű választás q=0 , =0

M

ca

E

- az A és B pontok ekvivalensek (a második Brillouin-zónához

tartozó vektor ugyanazt a rezgést írja le)

- nem lehet tetszőlegesen nagy energiájú gerjesztés, max

4c

M

/a -/a -2/a 2/a

első

Brillouin-zóna

második

Brillouin-zóna

második

Brillouin-zóna

A B

- lineárisan indul, meredekség: (folytonos közeg: )

- a -/a < q < /a intervallum hordoz minden információt

q

2max

22

maxmax

1

1

2sin1

1

2cos

2

1

2)(

)()(

)()(

N

qa

N

qaa

Lg

dq

dqNg

dqqNdg

Az állapotsűrűség:

Lineáris lánc

Tulajdonságai

- periódikus 2/a szerint; célszerű választás q=0 , =0

M

ca

E

- az A és B pontok ekvivalensek (a második Brillouin-zónához

tartozó vektor ugyanazt a rezgést írja le)

- az állapotsűrűség divergál a zónahatáron

- nem lehet tetszőlegesen nagy energiájú gerjesztés, max

4c

M

/a -/a -2/a 2/a

első

Brillouin-zóna

második

Brillouin-zóna

második

Brillouin-zóna

A B

- lineárisan indul, meredekség: (folytonos közeg: )

- a -/a < q < /a intervallum hordoz minden információt

q

n n+1 n+2 n+3 n+4 n+5 n-1 n-2 n-3 n-4 n-5

A hullámszám egyértelműsége

q

A: q=-0.7/a

B: q=1.3/a

ahol az elmozdulást leíró függvények eltérnek, nincs atomi pozició

q ekvivalens q = q + G -vel (G tetszőleges reciprok rácsvektor)

G

=-2 /a =2 /a

= /a =- /a A B

)( tqnain ueu

)}2

1{( tanqi

n vev

)2

cos(22 uqa

vcuM

)2

cos(22 vqa

ucvm

n+1 n+2 n-1 n

a

M m M M m M m

Kétatomos lánc

mM

qa

mM

mMc

mM

mMc

2sin4)()( 22

2

q a

a

Két megoldás:

)()( 12

2

nnnnn vucvuc

dt

udM

)()( 12

2

nnnnn uvcuvc

dt

vdm

nu1nv1nunv

A mozgásegyenletek:

Tömegek: m és M

Rugóállandó: c

)( tqnain ueu

)}2

1{( tanqi

n vev

)

2cos(22 u

qavcuM

)2

cos(22 vqa

ucvm

m

c2csak m rezeg

M

c2csak M rezeg

qamM

c

)(2

akusztikus ág (q=0: a teljes lánc eltolása)

mM

mMc

)(2

optikai ág (q=0: m és M tömegközépponti rezgése)

3 dimenziós, egyatomos kristály

Harmonikus közelítés

R'R,

RrRr )'()(2

1E

párpotenciál

alapállapoti energia

(állandó)

a kristály egyensúlyának feltétele,

hogy a lineáris tagok összege = 0

R'R,

RuRRDRu )'()'()(2

1harmE

''

2

',

2 )''()'()'(

R

RR

RRRRRR

uuuu

D

Az energia harmonikus közelítésben:

dinamikus mátrix

Inverziós szimmetria: és energiája azonos )'()'( RRDRRD )( Ru

R

RD 0)(

RRR'R,

RdRDddRRDd )(2

)(2

)'(2

10 Ddd

NN

)(Ru

A dinamikus mátrix tulajdonságai:

Az energia független a kristály térbeli pozíciójától

)(Ru

)'(Ru

R

R’

r(R’)

r(R)

)'()()'(

)'()(4

10'

2

1

)'()('2

1)'(')(

2

1

2

,',',

',',

RRRR

RRRR

RuRuRRRuRRuR

RRRR

RRRR

uuuu

uu

E

3 dimenziós, egyatomos kristály

Mozgásegyenlet

,'

,2

2

)'()'()(

)(

R

RRRR

RuD

u

E

dt

udM harm

R'R,

RuRRDRu )'()'()(2

1harmE

'2

2

)'()'()(

R

RuRRDRu

dt

dM

Síkhullám próbafüggvény

)(),( tiet qRεRu

εqDε )(2 M

)()( RDRD

RR

qRqRqR

R

qRRDRDRDqD2

1sin)(22)(

2

1)()( 2iii eee

R

RD 0)(felhasználtuk hogy:

Mivel szimmetrikus és valós

)()()()( qεqqεqD sss

M

ss

)()(

qq

',' )()( ssss qεqε

)(qD

polarizáció

q

/a

L

T1

T2

terjedési irány, q sε

Izotróp anyagban minden -hoz lehet q

olyan polarizációt választani, hogy

1ε párhuzamos legyen q-val (longitudinális hullám)

32 ,εε merőleges legyen q-ra (transzverzális hullám)

εRDRRuRDRuRRD

R

qRqR

RR

''

"

'''

)"()"()"()'()'( iti ee

D(q)

Ábrázolás reciprok térben Rácsrezgések diszperziós relációja: Ne, T = 4.2 K

Valós rács Reciprok rács

Rácsrezgések diszperziós relációja: NaCl, T = 77 K

LA

TA2

TA1

L

T2

T1

L

T2=T1

LO

TO2

TO1