Raíces de Ecuacionesdsf

7/23/2019 Races de Ecuacionesdsf

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Races de ecuaciones

2.1 Mtodos de intervalos: Grfcos, Biseccin y

alsa posicin.2.2 Mtodos abiertos: Iteracin punto fo,

Mtodo de !e"ton #ap$son y Mtodo de lasecante. Mtodos para ra%ces &'ltiples.

2.( )plicaciones a la in*enier%a &ecnica.

+os proble&as ue involucran resolver al*una ecuacin parauna deter&inada variable o de un par&etro sonespecial&ente valiosos en proyectos de in*enier%a, donde conrecuencia resulta i&posible despear de &anera anal%tica lospar&etros de ecuaciones de dise-o.

)ntes del adveni&iento de las co&putadoras di*itales, sedispon%a de una serie de &todos para encontrar las ra%ces de

ecuaciones al*ebraicas y trascendentales. n al*unos casos,las ra%ces se pod%an obtener con &todos directos, aunue$ab%a ecuaciones ue a si&ple vista se ven &uy sencillas paraobtener su interseccin con ee / 0esto es su ra%, esto esi&posible co&o por ee&plo con la ecuacin:

034e5353

+os &todos ue se describen a continuacin para resolverecuaciones reuieren ue las unciones sean dierenciales, ypor tanto continuas, en el intervalo donde se apliuenaullos. 6a&bin se puede intentar utiliarlos para uncionesno dierenciales o discontinuas en al*unos puntos, pero eneste caso el lle*ar al resultado depender, aleatoria&ente, deue durante la aplicacin del &todo no se touen esospuntos.


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2.1 Mtodos de intervalos: Grfcos, Biseccin y alsa posicin.

+os &todos lla&ados de intervalos son auellos uee&piean con suposiciones ue encierran o ue contienen a lara% y reducen siste&tica&ente el anc$o del intervalo7&todos de intervalos aprovec$an el $ec$o de ue unauncin en or&a t%pica ca&bia de si*no en la vecindad de unara%.

8e suponen dos &todos el de biseccin y el de la alsa

posicin, aunue co&o el titulo lo dice, ta&bin se puedeto&ar encuentra al &todo *rafco co&o tal, ya ue paraencontrar la ra% de una ecuacin por bosueo visual en la*rfca ta&bin depender del intervalo ue le asi*ne&os a laecuacin para *rafcarla.

Mtodo *rfco

9n &todo si&ple para obtener una apro/i&acin a la ra% dela ecuacin consiste en *rafcar la uncin y observar endonde crua el ee /. este punto, ue representa el valor de /para la cual , proporciona una apro/i&acin inicial de la ra%.

or ee&plo:

;eter&ine el coefciente de roa&iento c necesario para ueun paracaidista de &asa &4* ten*a una velocidad v de?@ &As despus de una ca%da libre de t41@ s, utiliando lasi*uiente ecuacin. !ota: +a aceleracin de la *ravedad es .=&As2 .


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8ustituyendo los valores ue da el proble&a en la ecuacin,

se obtiene:

Con lo cual nos ueda una uncin en tr&inos de una solavariable, c, a$ora se prosi*ue a darle valores a c y

posterior&ente *rafcar y e/a&inar el punto donde el lu*ar*eo&trico corta al ee /, en ese punto apro/i&ado es dondese encuentra la ra%, entonces tene&os:


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9n vistao a la *rfca proporciona una esti&acin de la ra%1D, co&o ta&bin lo dice la tabla, pero &as sin e&bar*oco&o se presenta 0 c en c i*ual a 1D, este ulti&o valor no ese/acta&ente la ra%, ya ue para ese valor 0 c no ese/acta&ente cero.

l &todo *rafco es una &uy buena $erra&ienta paraapro/i&ar una ra% al i*ual ue los otros ue se analiaranense*uida, ya ue por este &todo puede ue &uestre la&ayor parte o todas las ra%ces de las unciones, co&o por

ee&plo para la uncin , su *rafca correspondiente es, de a$%nos da&os idea de donde estn todas las ra%ces, ya ue esuna uncin peridica.


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Mtodo de Biseccin

Cuando nosotros evalua&os una uncin 0/ en dos puntos 0a,0a y 0b, 0b y encontre&os ue en esos dos puntos $ay unca&bio de si*no por parte de 0/, pode&os ase*urar ue porlo &enos $ay una ra% real entre a y b, esto es:

0a0bE@

ntonces $ay por lo &enos una ra% entre a y b

l &todo de biseccin, conocido ta&bin co&o corte binario,de particin en dos intalos i*uales o &todo de Bolano, es un&todo de b'sueda incre&ental en el ue el intervalo sedivide sie&pre en dos. 8i la uncin ca&bia de si*no sobre unintervalo, se eval'a el valor de la uncin en el punto &edio.+a posicin de la ra% se deter&ina situndola en el punto&edio del subintervalo dentro del cual ocurre un ca&bio desi*no. l proceso se repite $asta obtener una &eorapro/i&acin.

asos a se*uir para aplicar el &todo de biseccin paradeter&inar la ra% de una uncin:

1. 8e busca un intervalo, 0a, b, ue conten*a a la ra%buscada. ;ebe cu&plir la si*uiente condicin7 0a F 0b E @.


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2. 8e biseca el intervalo de acuerdo a la si*uiente e/presin,para obtener una apro/i&acin a la ra% buscada.

340abA2

(. 8e selecciona el subintervalo ue conten*a la ra% buscada,recorriendo los l%&ites del intervalo de acuerdo a las

si*uientes condiciones.

a 8i 0a F 0/@ E @, entonces b 4 /@

b 8i 0a F 0/@ H @, entonces a 4 /@

c 8i 0a F 0/@ 4 @, entonces /@ es la ra% e/acta, ter&inar.

?. 8e biseca nueva&ente para obtener una nuevaapro/i&acin

D. 8e eval'a el rror apro/i&ado porcentual de acuerdo a lasi*uiente e/presin

a40353oA3F1@@


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+a si*uiente i&a*en &uestra una or&a *rfca en ue se vabisecando los intervalos para tener una &eor apro/i&acin ala ra% buscada.

2.2 Mtodos abiertos: Iteracin punto fo,Mtodo de !e"ton #ap$son y Mtodo de lasecante.

Iteracin punto fjo

+os &todos abiertos e&plean una r&ula uepredice la ra% .6al r&ula puede ser desarrolladapara una si&ple iteracin de punto fo0o ta&binlla&ada iteracin de un punto o sustitucin sucesivaal reare*lar la ecuacin 0/4@ de tal &odo ue /uede del lado iuierdo de la ecuacin:

34*03

sta transor&acin se puede llevar acabo por &ediode operaciones al*ebraicas o si&ple&entea*re*ndole / a cada &ie&bro de la ecuacin ori*inal.or ee&plo:


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(325?3D4@

8e puede ordenar para obtener:

340(32

DA?;e esta &anera, dado un valor de inicio a la ra% 3i,

las ecuaciones ya transor&adas co&o la anterior, sepuede usar para obtener una nueva apro/i&acin

3i1, e/presada por la r&ula iterativa

3i14*03i

9na ve teniendo la nueva apro/i&acin se puedecalcular el error apro/i&ado porcentual de la &is&a&anera en ue se $a $ec$o anterior&ente.

Mtodo de Newton-Raphson

Mtodos tan*enciales para el clculo de ra%ces

8e dice ue si 0/, L0/ y LL0/ son continuas cerca de una ra%p, cuando se $abla de p se dice ue es un nu&ero real de launcin, ue dic$o nu&ero real es cuando la uncin ya sea deuna curva ue corta al ee / o de la abscisa y 0y tiende a cero,esa es la ra% p.


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8e va suponer ue la apro/i&acin inicial @esta cerca de lara%, co&o se &uestra en la f*. )nterior. ntonces la curva y40/ y el ee de abscisas se cortan en el punto 0p, @ y, ade&s,el punto 0p@, 0p@ esta situado en la curva cerca de 0p, @, unave $ec$o este paso se defne p1 co&o el punto de interseccindel ee de abscisas con la recta tan*ente ala curva en el punto0p@, 0p@. ntonces se ve en la f*ura anterior ue 1 esta &scerca de p ue p@, es $ay donde se puede encontrar la ecuacinue relaciona p1 con p@i*ualando dos or&ulas distintas, dondenuestra ecuacin seria la de la pendiente de la recta tan*ente,en el cual:

ue es la pendiente de la l%nea recta ue pasa por 0p1, @ y 0p@, 0p@, en donde:

ue esto es la pendiente de la recta tan*ente a la curva en elpunto 0p@, 0p@, y a$ora si, se i*ualan co&o se dioanterior&ente:

9na ve i*ualado se obtiene la e/presin anterior, claro uedespeando 1, la pre*unta es, Nor u se despeo 1O, y es porue 1 es la ue esta &as cerca de la ra% p, ya lue*o este&is&o proceso se repite, pero a$ora to&ando p1 co&o nuestra


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apro/i&acin inicial para encontrar p2, y esta sucesin secontinua $asta ue conver*e a p.

8e da el caso de ue la sucesin no conver*e7 no sie&pre se dael caso de ue enconre&os una solucin despus de !

interacciones. ) veces, es posible deter&inar un intervalopreciso en el ue 0/ tiene una ra%7 el conoci&iento delco&porta&iento de la uncin o una *rafca aceptable puedenser de *ran ayuda para ele*ir @, por eso es re&endable $aceruna *rafca de la uncin antes de e&pear a utiliar el este&todo.

Mtodo de la secante

l &todo de la secante necesita solo una evolucin de 0/ porpaso y una ra% si&ple tiene un orden de conver*encia#P1.


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l pri&er valor de & de la ecuacin anterior es la pendiente dela recta secante ue pasa por los puntos in%ciales y el se*undovalor es la pendiente de la recta ue pasa por 0p1, 0p1 y 0p2,@. I*ualando las dos ecuaciones anteriores y despeando p2 4 *0p1, p@ obtene&os:

l tr&ino *eneral de la sucesin *enerada por este &todoviene dado por la or&ula de iteracin de dos puntos:

ste &todo es casi si&ilar al &todo de ne"ton5rap$son, ladierencia es ue en este es una recta secante y en la otra esuna recta tan*ente, y ue el &todo de la secante se utilia dosposiciones cercanas a la ra%, ya sea ue encierre ala ra% o ueestn antes de la ra% o despus y el &todo de ne"ton solo esun punto cercana ala ra% y ue se tiene ue derivar y el de lasecante no.

2.3 APLIAI!N"# A LA IN$"NI"RIA M"ANIA

#)SC8 ; C9)CIT!8

n ocasiones en el &bito de la in*enier%a esnecesario resolver ecuaciones no lineales ue notienen solucin anal%tica o ue es &uy co&plicado


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$allarlas, co&o en el caso de la r&ula de la secantepara pandeo de colu&nas con car*a e/cntrica. araestos casos, deben utiliarse &todos de solucinnu&rica de ecuaciones.

e&plo Mecnica de Rractura

+a ecuacin de actor de intensidad de esueros parauna placa de anc$o " y espesor t con una *rieta en elborde de lar*o a es:

;onde Q es un actor *eo&trico ue depende delanc$o de la placa y el ta&a-o de *rieta, siendo.

+a alla catastrfca de la placa se produce cuando elactor de intensidad de esueros U i*uala o supera ala tenacidad a la ractura Uic, entonces el ta&a-o de*rieta cr%tica es:

Co&o el actor *eo&trico Q depende de a, laecuacin (.( debe resolverse por el &todo de puntofo. +a iteracin es entonces:


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8e tiene un caso de una placa sueta a tensin donde"4 2.Din, V 4 2?.=>si, UIc4D2>siWin . 8e eli*e co&oapro/i&acin inicial a @ 4 @.2D@in. 9na tabla de /celpro*ra&ada para este caso particular con el &todode punto fo entre*a la solucin con tres cirasdeci&ales:

1. Iriarte X. Balderra&a, #aael, Mtodos !u&ricos, 1Yed., 6rillas

2. Huerta Cerezuelo, Antonio, Mtodos numericos, aplicaciones

y propagacin. CPET

3. 8. C. C$apra, #. . Canale, Mtodos !u&ricos parain*enieros,

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