Nonostante la limitatezza della sua istruzione tradizionale, Srinivasa Ramanujan, nato in Indianel 1887, riuscì a ricostruire quasi da solo buona parte dell'edificio della teoria dei numeri,procedendo poi a derivare teoremi e formule originali. Come già molti illustri matematici primadi lui, Ramanujan era affascinato dal numero )-(: il rapporto tra la circonferenza e il diametrodi un cerchio qualsiasi. In base alle sue ricerche sulle equazioni modulari (si veda il riquadro dipagina 94), formulò espressioni precise per t e ne derivò ottimi valori approssimati. In seguitoal lavoro di vari ricercatori (tra cui gli autori), i metodi di Ramanujan hanno ora trovato unamigliore comprensione e sono stati adattati per una loro applicazione sui calcolatori elettronici.

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I rapporto tra la circonferenza e ildiametro di un cerchio qualsiasi, n,fu calcolato nel 1987 a un livello di

precisione mai raggiunto in precedenza:più di 100 milioni di cifre decimali. L'an-no scorso ricorreva anche il centenariodella nascita di Srinivasa Ramanujan. unenigmatico genio matematico indianoche trascorse buona parte della sua bre-ve vita in isolamento e malfermo in sa-lute. I due avvenimenti sono in realtàstrettamente collegati in quanto nelleteorie di Ramanujan si trova un'antici-pazione del metodo che sta alla base deipiù recenti calcoli di n, anche se per ap-plicarlo concretamente si è dovuta atten-dere la messa a punto di algoritmi effi-cienti (da parte di vari ricercatori, tra cuinoi), di moderni supercalcolatori e dinuovi modi per moltiplicare numeri.

Al di là del gusto di stabilire un certotipo di record, potrebbe sembrare che iltentativo di calcolare milioni di posti de-cimali del numero sia del tutto ozioso.Trentanove cifre di n sono sufficienti percalcolare la circonferenza di un cerchioche racchiuda l'intero universo noto,con un errore non superiore al raggio diun atomo di idrogeno. È difficile imma-ginare situazioni fisiche che richiedanoun numero maggiore di cifre. E alloraperché matematici ed esperti di calcola-tori non si accontentano, diciamo, delleprime 50 cifre decimali di n?

Si possono dare diverse risposte. Unaè che il calcolo di n è diventato una sortadi parametro per l'elaborazione: servecome misura della raffinatezza e dell'af-fidabilità dei calcolatori che lo effettua-no. Inoltre, la ricerca di valori semprepiù precisi di n porta i matematici a sco-prire risvolti inattesi e interessanti dellateoria dei numeri. Un'altra motivazione,più sincera, è semplicemente l'esistenzadi n: «perché c'è». In effetti, n è un temafisso della cultura matematica da più didue millenni e mezzo.

Per di più, esiste sempre la possibilitàche questi calcoli servano a gettar lucesu alcuni dei misteri che circondano n,

una costante universale ancora non benconosciuta nonostante la sua natura re-lativamente elementare. Per esempio,per quanto sia stato dimostrato che nonè possibile ottenere il valore esatto di nsottoponendo interi positivi a una qual-siasi combinazione di somme, sottrazio-ni, moltiplicazioni, divisioni o estrazionidi radici, nessuno è riuscito a dimostrareche le cifre di 7t seguano una distribuzio-ne casuale (tale per cui la frequenza concui ricorrono i numeri da O a 9 sia ugua-le). E possibile, anche se altamente im-probabile, che dopo un po' tutte le re-stanti cifre di n siano O e 1 o che rivelinoaltri tipi di regolarità. Inoltre, la costanten la si ritrova nei contesti più impensati,senza alcun collegamento con i cerchi.Se, per esempio, si sceglie a caso un nu-mero dall'insieme degli interi, la proba-bilità che non abbia divisori primi che siripetono è uguale a sei diviso la radicequadrata di n. Non diversamente da altrieminenti matematici, anche Ramanujansubì il fascino di questo numero.

'Fra i tesori matematici dissepolti in se-guito al rinnovato interesse per l'o-

pera di Ramanujan si possono trovare gliingredienti dei più recenti metodi per ilcalcolo di n. Buona parte dei lavori diRamanujan , però, è ancora inaccessibileai ricercatori, in quanto il corpo centraledella sua opera si trova nei «Taccuini»,una serie di appunti scritti in una suapersonale notazione. A rendere ancorapiù frustrante lo studio dei «Taccuini» daparte dei matematici, c'è il fatto che disolito Ramanujan non usava corredare isuoi teoremi delle dimostrazioni forma-li. Solamente ora è in via di completa-mento il lavoro di decifrazione e revisio-ne dei «Taccuini» intrapreso da BruceC. Berndt dell'Università dell'Illinois aUrbana-Champaign.

Per quanto ne sappiamo. mai è statotentato un lavoro di redazione matema-tica di questa portata o difficoltà. Quelloche è certo è che si tratta di uno sforzoche merita di essere compiuto. L'eredità

di Ramanujan contenuta nei «Taccuini»non promette solo di arricchire la mate-matica pura, ma anche di trovare appli-cazioni in vari campi della fisica mate-matica. Rodney J. Baxter della Austra-lian National University, per esempio,riconosce che i risultati di Ramanujanl'hanno aiutato a risolvere problemi dimeccanica statistica quali il cosiddettomodello dell'esagono rigido, che prendein considerazione il comportamento diparticelle interagenti su una griglia a ni-do d'ape. Analogamente, Carlo J. Mo-reno della City University di New Yorke Freeman J. Dyson dell'Institute forAdvanced Study hanno rilevato che i ri-sultati del lavoro di Ramanujan inizianoa essere applicati dai fisici alla teoria del-le supercorde.

La statura di Ramanujan come mate-matico è ancora più sorprendente se siconsidera la limitatezza della sua istru-zione tradizionale. Nato il 22 dicembre1887 a Erode, una città dell'India meri-dionale, in una famiglia molto decadutadella casta braminica crebbe a Kumba-konam dove il padre faceva il contabilein una fabbrica di stoffe. La sua preco-cità matematica fu ben presto ricono-sciuta e all'età di sette anni ebbe unaborsa di studio per l'Istituto superioremunicipale di Kumbakonam, dove si di-ce che recitasse a memoria formule ma-tematiche ai suoi compagni di scuola,compreso il valore di n con molti postidecimali.

A 12 anni, Ramanujan padroneggiavail vasto contenuto del testo di trigono-metria piana di S. L. Loney, compresala discussione relativa a somme e prodot-ti di successioni infinite, un argomentoche doveva poi figurare in primo pianonella sua opera. (Una successione infini-ta è una sequenza senza fine di termini,spesso generata da una formula sempli-ce. Ai nostri fini, sono interessanti quel-le successioni i cui termini si possonosommare o moltiplicare in modo da ot-tenere un valore finito preciso. Se i ter-mini vengono sommati, l'espressione

che ne risulta è chiamata serie; se ven-gono moltiplicati, assume il nome di pro-dotto.) Tre anni più tardi prese in pre-stito la Synopsis of Elementary Results inPure Mathematics, un elenco di circa6000 teoremi (molti dei quali dati senzadimostrazione) compilato da G. S. Carr,docente all'Università di Cambridge. Suquesti due libri si compì il tirocinio ma-tematico di Ramanujan.

Nel 1903 Ramanujan fu ammesso afrequentare un'università statale del luo-go, ma egli era talmente assorbito daisuoi passatempi matematici, a scapito diqualsiasi altro interesse, da venire re-spinto agli esami; la stessa cosa avvennequattro anni più tardi, con la sua iscri-zione a un'altra università, a Madras.Sposatosi, nel 1909 Ramanujan decisedi mettere da parte, almeno tempora-neamente, la sua occupazione preferitaper cercare lavoro. Fortunatamente, nel1910 R. Ramachandra Rao, un ricco me-cenate appassionato di studi matematici,gli assegnò uno stipendio mensile grazieall'interessamento di diversi matematiciindiani al corrente dei risultati che Ra-manujan aveva già iniziato ad annotaresui «Taccuini».

Nel 1912, cercando un'occupazionepiù convenzionale, si impiegò nell'am-ministrazione portuale di Madras, al-lora diretta da Sir Francis Spring, un in-gegnere britannico e da V. RamaswamiAiyar, il fondatore della Società mate-matica indiana. I due incoraggiaronoRamanujan a comunicare i suoi risultatia tre eminenti matematici inglesi. Duenon si rifecero vivi; a dare risposta, in-vece, fu G. H. Hardy, di Cambridge,attualmente considerato il più valentematematico inglese dell'epoca.

La lettera di Ramanujan arrivò adHardy il 16 gennaio del 1913; questi, abi-tuato a ricevere le comunicazioni piùstrambe, a una prima occhiata fu pro-penso a non prenderla neppure in consi-derazione. Ma quella sera, dopo cena,Hardy e John E. Littlewood, suo amicoe collega, passarono qualche ora a spre-mersi le meningi su una lista di 120 for-mule e teoremi che Ramanujan avevaallegato alla lettera. Alla fine giunseroalla conclusione che davanti a loro nonc'erano farneticazioni, ma il lavoro di ungenio. (Secondo una sua personale «sca-la del talento matematico puro», Hardyin seguito attribuì a Ramanujan 100 pun-ti, a Littlewood 30 e a se stesso 25. Ilmatematico tedesco David Hilbert, la fi-gura più influente dell'epoca, meritavasolo 80 punti.) Hardy descrisse quellarivelazione e le sue conseguenze, comel'evento più romanzesco della sua vita;scrisse anche di essersi sentito del tuttoimpotente davanti ad alcune delle for-mule di Ramanujan, che pure «devonoessere vere, perché se non lo fossero nes-suno avrebbe avuto l'immaginazione perinventarle».

Hardy invitò immediatamente Rama-nujan a Cambridge. Nonostante le fortiobiezioni della madre e le sue stesse per-

plessità, Ramanujan partì per l'Inghil-terra nel marzo del 1914. Nei cinque anniseguenti, Hardy e Ramanujan lavoraro-no insieme al Trinity College. L'incontrotra l'esperienza tecnica di Hardy e la na-turale vivacità dell'intelligenza di Rama-nujan produsse una collaborazione ine-guagliabile. I due pubblicarono una seriedi articoli sulle proprietà di varie funzio-ni aritmetiche, gettando le basi per larisposta a problemi come i seguenti:quanti divisori primi è probabile che ab-bia un numero dato? In quanti modi sipuò esprimere un numero come sommadi interi positivi più piccoli?

Nel 1917 Ramanujan, primo indianoa ricevere tale onore, divenne membrodella Royal Society di Londra e quindidel Trinity College. Mentre la sua famacresceva, però, la sua salute iniziò rapi-damente a peggiorare, un declino forseaccelerato dalla difficoltà di mantene-re una dieta strettamente vegetariananell'Inghilterra costretta dalla guerra al

razionamento. Pur continuando a entra-re e uscire dai sanatori, però, non smisedi produrre nuovi risultati. Nel 1919,quando con la pace i viaggi ridivennerosicuri, tornò in India. Ormai diventatoun simbolo per i giovani intellettuali in-diani, il trentaduenne Ramanujan morìil 26 aprile 1920 di quella che venne al-lora diagnosticata come turbercolosi, mache ora si pensa fosse una grave carenzavitaminica. Fedele alla matematica finoalla fine, Ramanujan non rallentò l'atti-vità durante gli ultimi penosi mesi, pro-ducendo i notevoli lavori registrati nelcosiddetto «Taccuino perduto».

Il lavoro di Ramanujan su n nacque inbuona parte dalle sue ricerche sulleequazioni modulari, forse l'argomentopiù approfondito nei «Taccuini». Dettoin modo piuttosto grossolano, un'equa-zione modulare è una relazione algebri-ca tra una funzione f(x) espressa in ter-mini della variabile x e la stessa funzioneespressa in termini di una potenza intera

Ramanujan e nI più efficienti algoritmi che oggi consentono di generare, con l'aiuto dipotenti calcolatori, milioni di cifre decimali di n si basano su metodinumerici elaborati circa 75 anni fa da un grande genio matematico indiano

di Jonathan M. Borwein e Peter B. Borwein

90 91

PRODOTTO DI WALLIS (1665)

Tr _2 x 2 x4x4,6x6x8x8, 11 4n2 2 1x 3 3x 5 5x 7 7 x 9 4n2-1n=1

SERIE DI GREGORY (1671)

'TTl 11 1 (– l)"4 3-5 2n+1

FORMULA DI MACHIN (1706)

RAMANUJAN (1914)

1 _ N53 (4n)![1103 + 26 390n] , dove n! = n x (n-1) x (n-2) x x 1 e 0! = 1irr 9801 (n! )4 3964"

n=0

BORWEIN E BORWEIN (1987)

_IT-

12 t' (-1)"(6n),'(3n)![5 280(236 674 + 30 303\ 61))(3. +3/2)

n=0

l= 4 arctg (1/5) – arctg (1/239),4

X3 X5 X7 x(2n1)dove arctg X = X – —3

+ —5 (_ i) -f

-2n+ 1»= 0

Per ottenere valori di n o del suo reciproco (eventualmente divisi per una costante) si possonosommare i termini di una successione matematica. Le prime due successioni, scoperte rispetti-vamente dai matematici John Wallis e James Gregory, sono tra le più note, ma risultanopraticamente inutili ai fini dell'elaborazione: per sommare o moltiplicare i termini di una qual-siasi di esse necessari a ottenere 100 cifre decimali di JT, anche un supercalcolatore richiederebbeoltre 100 anni di tempo macchina. La formula dovuta a John Machin rese fattibile l'elaborazionepoiché il calcolo differenziale consente di esprimere la tangente inversa (arcotangente) di unnumero x in termini di una successione la cui somma converge tanto più rapidamente al valoredell'arcotangente quanto più piccolo è x. In pratica, dall'inizio del diciottesimo secolo ai primianni settanta tutti i calcoli di n si sono basati su varianti della formula di Machin. La serie diRamanujan converge molto più rapidamente al valore esatto di 1/7r: ogni termine della succes-sione aggiunge circa altre otto cifre. La successione formulata dagli autori aggiunge circa 25cifre per termine; il primo termine (n = 0) porta a un numero che concorda con JT per 24 cifre.

PERIMETRO

PERIMETRODEL POLIGONO

DEL POLIGONOCIRCOSCRITTO

INSCRITTO

= n tg (180°/n)DOVE

n = NUMERODEI LATI

P, = n seri (180°/n)

Il metodo di Archimede per trovare una stima di à faceva ricorso a poligoni regolari (cioè conlati di lunghezza uguale) inscritti e circoscritti a un cerchio di diametro pari all'unità. I perimetridei poligoni inscritti e circoscritti servivano rispettivamente da limiti inferiori e superiori per ilvalore di à. Per calcolare il perimetro dei poligoni si possono usare le funzioni seno e tangente,ma Archimede dovette sviluppare relazioni equivalenti fondate su costruzioni geometriche.Usando poligoni di 96 lati, egli stabilì che :t è maggiore di 3 e 10/71 e minore di 3 e 1/7.

= 3,464...

P, = 3,215... P, = 3,105...

n=12

P, = 3.159 P, = 3,132.

n=24

//I

P, = 3,000...

n=6

92 93

di x, per esempio f(x2), f(x3) o f(x4).L'«ordine» dell'equazione modulare èdato dalla potenza intera. L'equazionemodulare più semplice è del secondo Or-dine: f(x) 2 V f(x2) I [1 + f(x2)].Naturalmente, non tutte le funzioni sod-disfano un'equazione modulare, ma solouna classe particolare, quella appuntodelle cosiddette funzioni modulari. Per

questo tipo di funzioni valgono diversesorprendenti proprietà di simmetria, cheattribuiscono loro un posto particolarenelle scienze matematiche.

Ramanujan aveva la capacità inegua-gliabile di arrivare a soluzioni di equa-zioni modulari che soddisfacessero an-che altre condizioni. Queste soluzionisono dette valori singolari e si dà il caso

che la soluzione per valori singolari por-ta in certi casi a numeri i cui logaritminaturali coincidono con Tr (moltiplicatoper una costante) fino a un numero sor-prendente di posti decimali (si veda ilriquadro a pagina 94). Applicando que-sta impostazione generale con straordi-nario virtuosismo. Ramanujan riuscì aottenere numerose serie infinite di note-vole interesse e approssimazioni di It aun unico termine. Alcune di queste seriele possiamo ritrovare nel contesto di unarticolo scritto da Ramanujan proprio suquesto argomento, Modular Equationsand Approximations to n), pubblica-to nel 1914.

I tentativi di approssimazione a Itcompiuti da Ramanujan fanno parte diuna venerabile tradizione. Già le primeciviltà indo-europee erano consapevolidel fatto che l'area di un cerchio è pro-porzionale al quadrato del suo raggio ela circonferenza al diametro. Più diffici-le, invece, è sapere quando ci si rese con-to che il rapporto tra la circonferenza diun cerchio e il suo diametro e il rapportotra l'area di un cerchio e il quadrato delsuo raggio sono in realtà la stessa costan-te, oggi identificata dal simbolo n. (Ilsimbolo, che dà il nome alla costante,compare tardivamente nella storia dellamatematica: introdotto nel 1706 dal ma-tematico dilettante inglese William Jo-nes, venne poi reso popolare dal mate-matico svizzero Leonhard Euler nel di-ciottesimo secolo.)

Achimede di Siracusa, il più grandematematico dell'antichità, stabilì in

modo rigoroso l'equivalenza dei duerapporti nel trattato Misura del cerchio.Calcolò anche un valore di n basato suprincipi matematici anziché sulla misu-razione della circonferenza, dell'area edel diametro di un cerchio. Il metodo diArchimede consisteva nell'inscrivere ecircoscrivere poligoni regolari (cioè coni lati tutti della stessa lunghezza) su uncerchio di diametro di lunghezza unitariae nel considerare i perimetri dei poligonicome limiti rispettivamente inferiori esuperiori per possibili valori della cir-conferenza del cerchio, numericamenteuguale a n (si veda l'illustrazione in que-sta pagina).

Questo metodo di approssimazione alvalore di n non era nuovo: l'idea di in-scrivere in un cerchio poligoni con unnumero di lati sempre maggiore era stataproposta in precedenza da Antifonte eBrisone di Eraclea, contemporaneo diAntifonte, aveva aggiunto al procedi-mento i poligoni circoscritti. La novitàstava nell'esatta determinazione, da par-te di Archimede, dell'effetto derivantedal raddoppio del numero dei lati sia suipoligoni circoscritti, sia su quelli inscrit-ti. Archimede sviluppò un procedimen-to che, ripetuto un numero sufficiente divolte, consente in linea di principio dicalcolare un numero qualsiasi di cifrc de-cimali di n. (Il perimetro di un poligonoregolare può essere facilmente calcolato

con semplici funzioni trigonometriche:le funzioni seno, coseno e tangente. Maal tempo di Archimede, il terzo secoloa. C., queste funzioni erano solo parzial-mente comprese. Archimede, quindi,doveva affidarsi soprattutto a costruzio-ni geometriche, che rendevano i calcolinotevolmente più ardui di quanto possasembrare ai giorni nostri.)

Archimede iniziò inscrivendo e circo-scrivendo a una generica circonferenzaesagoni che dessero la disuguaglianza3 < n < IO. Raddoppiando il nume-ro di lati quattro volte, fino a 96, restrin-geva il campo di n all'intervallo tra3 10/71 e 3 1/7, ottenendo la stiman = 3,14. Ci sono ragioni per credereche il testo di Misura del cerchio rima-stoci sia solo un frammento di un'operapiù ampia in cui Archimede descrivevacome ottenere, partendo da esagoni eraddoppiando il numero dei lati sei vol-te, una stima a cinque cifre: n = 3,1416.

Il metodo di Archimede è semplicedal punto di vista concettuale, ma inmancanza di un modo agile per calcolarefunzioni trigonometriche richiede l'e-strazione di radici, un'operazione cheimplica una notevole perdita di tempoquando sia eseguita con carta e penna.Per di più, le stime convergono lenta-mente a n: il loro errore diminuisce di unfattore quattro per iterazione. Cionono-stante, tutti i tentativi di calcolare n com-piuti in Europa prima della metà del di-ciassettesimo secolo si fondavano, in unmodo o nell'altro, su questo metodo.Nel sedicesimo secolo, il matematicoolandese Ludolph van Ceulen dedicògran parte della sua vita al calcolo di n.Verso la fine dei suoi anni, ottenne unastima a 32 cifre calcolando il perimetrodi poligoni inscritti e circoscritti con 262(circa 10 18) lati. Questo valore di n, chia-mato in alcuni paesi d'Europa numerodi Ludolph, si dice sia servito come suoepitaffio.

Lo sviluppo del calcolo differenziale,in gran parte dovuto a Isaac Newton eGottfried Wilhelm Leibniz, consentì dicalcolare n in modo molto più veloce. Ilcalcolo differenziale fornisce tecnicheefficaci per calcolare la derivata di unafunzione (il tasso di variazione «istanta-nea» della funzione in dipendenza deivalori assunti dalle sue variabili) e il suointegrale (la somma dei valori di una fun-zione su un certo dominio di variabili).Applicando queste tecniche, si può di-mostrare che da integrali di funzioniquadratiche che descrivono la curva diun cerchio si ottengono funzioni trigono-metriche inverse. L'inverso di una fun-zione trigonometrica fornisce l'angoloche corrisponde a un particolare valoredella funzione. Per esempio, la tangenteinversa (arcotangente) di 1 è 45 gradi,ossia n/4 radianti. Si può riconoscerel'implicito collegamento tra funzioni tri-gonometriche ed espressioni algebrichese si considera un cerchio che abbia rag-gio unitario e centro nell'origine di unsistema bidimensionale di assi cartesia-

ni. L'equazione di questo cerchio - la cuiarea ha valore numerico uguale a n -è x2 + y 2 = 1, una riformulazione delteorema di Pitagora per un triangolo ret-tangolo con ipotenusa pari a 1. Inoltre,il seno e il coseno dell'angolo compresotra il semiasse positivo delle x e un raggiopassante per un qualsiasi punto sul cer-chio sono rispettivamente uguali alle co-ordinate y ex del punto; la tangente del-l'angolo è semplicemente ylx.

Di maggiore importanza per il calcolodi n è però il fatto che una funzione tri-gonometrica inversa può essere «svilup-pata» sotto forma di una serie, i cui ter-mini possono venire calcolati a partiredalle derivate della funzione. Lo stessoNewton calcolò n fino a 15 posti decimalisommando i primi termini di una serieche si può derivare come espressione perl'inverso della funzione seno. In seguitoconfessò a un collega: «Mi vergogno adirti quanti conti mi sono costati questicalcoli, non avendo a quell'epoca null'al-tro da fare».

Nel 1674 Leibniz derivò la formula1 - 1/3 + 1/5 - 1/7... = n/4, che è il

valore per 1 della funzione tangente in-versa. (La serie generale della tangenteinversa venne originariamente scopertanel 1671 dal matematico scozzese JamesGregory, anche se in realtà sembra cheespressioni analoghe siano state svilup-pate in modo indipendente in India pa-recchi secoli prima.) L'errore dovuto al-l'approssimazione, definito come la dif-ferenza tra la somma di n termini e l'e-satto di Tc/4, è circa uguale all'n-esimotermine della serie. Dato che il denomi-natore di ciascun termine successivo au-menta solo di 2, si devono sommare circa50 termini per ottenere la precisione adue cifre, 500 termini per la precisione atre cifre e così via. È chiaro che risultaproibitivo sommare i termini della serieper calcolare un valore di n lungo più dicinque cifre.

Un'osservazione di John Machin, pe-rò, rese praticabile il calcolo di n attra-verso lo sviluppo di una serie per la fun-zione arcotangente. Egli notò che n di-viso 4 è uguale a 4 volte l'arcotangentedi 1/5 meno l'arcotangente di 1/239. Da-to che la serie dell'arcotangente per un

198719491706 1957 1961 1973 1985

100 000 000

10 000 000

1 000 000

< 100 000 --2i.3

xwellij 10 000 —u_

Eo 1000 —

2D

100

10 —

PRE- -1450ISTORIA

dato . valore converge tanto più rapida-mente quanto più piccolo è il valore stes-so, la formula di Machin semplifica-va notevolmente il calcolo. Associandoquesta formula allo sviluppo della for-mula per l'arcotangente, nel 1706 Ma-chin calcolò 100 cifre decimali di n. Lasua tecnica si dimostrò in effetti così po-tente che tutti i calcoli estesi di n, dall'i-nizio del diciottesimo secolo fino quasiai giorni nostri, si fondarono su di essa.

Due calcoli effettuati nel diciannove-simo secolo meritano una citazione

particolare. Nel 1844, con un lavoro diqualche mese Johann Dase arrivò a 205cifre decimali di n calcolando i valori ditre arcotangenti in una formula del tipodi quella di Machin. Dase aveva una ca-pacità di calcolo prodigiosa e riusciva amoltiplicare a mente numeri di 100 cifre- un'impresa che gli richiedeva circa ottoore. (Fu forse il più immediato precur-sore dei moderni supercalcolatori, alme-no in termini di capacità di memoria.)Nel 1853, William Shanks superò Dasepubblicando il suo calcolo di n a 607 po-sti decimali, anche se le cifre dopo il 527--esimo posto erano sbagliate. Il lavoro diShanks durò anni e consistette in un'ap-

plicazione abbastanza di routine, perquanto laboriosa, della formula di Ma-chin. (È a suo modo una sorta di recordil fatto che dovettero passare 92 anni pri-ma che l'errore di Shanks venisse indivi-duato attraverso un confronto tra il suovalore e un'approssimazione a 530 deci-mali prodotta da D. F. Ferguson conl'aiuto di una calcolatrice meccanica.)

L'avvento del calcolatore digitale videuna ripresa dei tentativi di calcolare unnumero sempre più elevato di cifre de-cimali di n, in quanto la macchina eral'ideale per «macinare numeri» in modoprolungato e ripetitivo. ENIAC, uno deiprimi calcolatori digitali, venne impiega-to per questo scopo nel giugno del 1949da John von Neuman e dai suoi colleghi,e produsse 2037 cifre in 70 ore. Nel 1957,G. E. Felton tentò di calcolare 10 000cifre di n, ma per un errore della mac-china solo le prime 7480 cifre erano esat-te. L'obiettivo delle 10 000 cifre fu rag-giunto l'anno successivo da F. Genuyscon un calcolatore IBM 704. Nel 1961,Daniel Shanks e John W. Wrench, Jr.,calcolarono 100 000 cifre di 21 in meno dinove ore con un IBM 7090. Il livello delmilione di cifre fu superato nel 1973 daJean Guilloud e M. Bouyer, con un'im-

presa che richiese poco meno di unagiornata di calcolo con un CDC 7600. (Icalcoli compiuti da Shanks e Wrench eda Guilloud e Bouyer furono in realtàeffettuati due volte usando differentiidentità della tangente inversa per n. Vi-sta la storia di errori di calcoli commessisia dall'uomo, sia dalle macchine, i mo-derni «cacciatori di cifre» consideranoufficiale un record solo dopo una verificadel genere.)

Anche se l'aumento nella velocità deicalcolatori consentiva calcoli sempre piùprecisi, risultò presto chiaro che c'eranolimiti invalicabili. Raddoppiare il nume-ro di cifre significa allungare il tempo dicalcolo di un fattore quattro, se si appli-cano ai calcolatori i tradizionali metodiaritmetici. Ne consegue che anche am-mettendo un incremento di cento voltenella velocità di calcolo, il programma diGuilloud e Bouyer avrebbe richiesto al-meno un quarto di secolo per produrreun valore di n con un miliardo di cifre.Dal punto di vista dei primi anni settan-ta, un calcolo del genere non sembravarealisticamente praticabile.

Eppure ora questo risultato è possibi-le , grazie non solo a calcolatori più velo-ci, ma anche a nuovi e più efficaci metodiper moltiplicare grandi numeri con i cal-colatori. Fondamentale è stato anche unterzo passo avanti: l'avvento di algoritmiiterativi che convergono rapidamente an. (Un algoritmo iterativo può essereformulato sotto forma di programma percalcolatore che compie ripetutamente lastessa operazione aritmetica, prendendol'uscita di un ciclo come ingresso per ilciclo successivo.) Questi algoritmi, alcu-ni dei quali costruiti da noi, si trovanosotto molti aspetti anticipati in Rama-nujan, sebbene egli ovviamente non sa-pesse nulla di programmazione al calco-latore. In effetti, i calcolatori non solohanno reso possibile applicare il lavorodi Ramanujan, ma hanno anche contri-buito a chiarirlo. Programmi di manipo-lazione algebrica molto raffinati hannoconsentito un'ulteriore esplorazione delpercorso seguito 75 anni fa da Rama-nujan in solitudine e senza aiuti,

na delle più interessanti lezioni dellascienza teorica dei calcolatori è che

molti algoritmi di uso comune, comequello per la moltiplicazione che si in-segna ai bambini nella scuola elementa-re, sono ben lungi dall'essere ottima-li. Gli studiosi dei calcolatori misuranol'efficacia di un algoritmo stabilendo lasua «complessità in bit», ovvero il nume-ro di volte in cui singole cifre vengonosommate o moltiplicate per eseguire unalgoritmo. Secondo questa misura, lasomma di due numeri di n cifre effet-tuata nel modo consueto ha una com-plessità in bit che aumenta di pari passoa n; la moltiplicazione nel modo abitualedi due numeri di n cifre ha una comples-sità in bit che aumenta secondo n 2 . Conmetodi tradizionali, la moltiplicazione èmolto «più difficile» della somma, nel

senso che richiede molto più tempo.Eppure, come venne dimostrato nel

1971 da A. Schónhage e V. Strassen, lamoltiplicazione di due numeri può averein teoria una complessità in bit solo dipoco superiore a quella della somma.Un modo per raggiungere questa poten-ziale riduzione della complessità in bitconsiste nell'implementare le cosiddettetrasformate veloci di Fourier (TVF). Lamoltiplicazione di due grandi numericon utilizzo di TVF consente di orche-strare in modo accurato i calcoli inter-medi tra singole cifre così da evitare laridondanza. Dato che la divisione e l'e-strazione di radice si possono ridurre auna successione di moltiplicazioni, an-ch'esse possono avere una complessità inbit di poco superiore a quella della som-ma. Ne risulta un enorme risparmio dicomplessità in bit e quindi di tempo dicalcolo. Per questo motivo, tutti i piùrecenti tentativi di calcolare n si fondanosu qualche variante della tecnica TVFper la moltiplicazione.

Ma perché divenisse praticabile il cal-colo di milioni di cifre di n, si dovetteriscoprire una bella formula già nota aCari Friedrich Gauss un secolo e mezzoprima. A metà degli anni settanta, Ri-chard P. Brent e Eugene Salamin, indi-pendentemente uno dall'altro, notaronoche la formula produceva un algoritmoper n che convergeva in modo quadrati-co, cioè con un raddoppio del numero dicifre a ogni iterazione. Tra il 1983 e oggi,Yasumasa Kanada e i suoi colleghi del-l'Università di Tokio hanno impiegatoquesto algoritmo per stabilire numerosirecord mondiali di cifre decimali di n.

Noi ci siano chiesti cosa stia alla basedella notevole velocità di convergenza an dell'algoritmo di Gauss-Brent-Salamine studiandolo abbiamo sviluppato tecni-che generali per la costruzione di analo-ghi algoritmi che convergono rapida-mente a 31 e ad altre grandezze. Basan-doci su una teoria delineata nel 1829 dalmatematico tedesco Karl Gustav JacobJacobi, ci rendemmo conto che poteva-mo in linea di principio arrivare a unastima di 3I valutando alcuni integrali ap-partenenti alla classe degli integrali ellit-tici, che servono a calcolare il perimetrodi un'ellisse. (Un cerchio, la «cornice»geometrica dei precedenti tentativi diapprossimare n, è semplicemente un'el-lisse con assi di lunghezza uguale.)

Di solito gli integrali ellittici non sipossono calcolare come gli integrali con-venzionali, ma possono esser facilmenteapprossimati con procedure iterative chesi fondano su equazioni modulari. Sco-primmo che l'algoritmo di Gauss-Brent--Salamin è in realtà una specificazionedella nostra tecnica più generale basatasu un'equazione modulare del secondoordine. Una convergenza più rapida alvalore dell'integrale, e quindi un algo-ritmo più veloce per n, è possibile sesi usano equazioni modulari di ordinesuperiore; costruimmo pertanto anchevari algoritmi basati su equazioni modu-

(a) Sia yo – = 21F2

e

7

3 8 191 - V1- y?,Yn+ = «0 + 1 = [(1 +yn , i )2an ]-2n+1 yn,

1 + Vi - y?,

(b) Sia yo N- 1 «o= 6 - 4V-2-

e

1 –t1 -yA

1/a,

8

1/a2

41

1/03

171

1/04

694

Yn+11 +N1-y,1,

«0+1 = [(1 +Yn+ 04an] – 22n +3yn + + Yn +1 + YA+

(c) Sia 50 = 5(V3 - 2) "0 _- 2

e25 = – Y = (X-1)2 +

1/a,

5

1/102

31

1/10 3

166

1/a4

848

Sn+l- dove X 1,50(Z + X/Z + 1)2' so

e Z = NVX(Y + VY2-4X3)2 i i

= 50

[ 5" 2 5 + V5,(5A - 25„ + 5) 1/et l/01, 1/a> 1/cx4"n+ a r,

Gli autori hanno sviluppato algoritmi iterativi che portano a valori molto precisi di TC. (Unalgoritmo iterativo è una successione di operazioni ripetute in modo che il risultato di un ciclosia preso come valore in ingresso di quello successivo.) L'algoritmo a converge a Ihr quadrati-camente: il numero di cifre corrette dato da o.,, aumenta di più del doppio ogni volta che n èincrementato di 1. L'algoritmo b converge biquadraticamente; vale a dire, il numero di cifrecoincidenti con :T dato da ciascuna iterazione aumenta di più di un fattore quattro; nel caso dic tale numero aumenta di più di un fattore cinque. L'algoritmo b è forse il più efficiente tra quellinoti per il calcolo di n ed è stato utilizzato per stabilire gli ultimi tre record con supercalcolatori.Nel corso del loro lavoro sugli algoritmi, agli autori è apparso chiaro che Ramanujan avevautilizzato metodi analoghi per le sue approssimazioni a n. In effetti, il calcolo di S„ nell'algoritmoc si fonda su una notevole equazione modulare del quinto ordine scoperta da Ramanujan.

Nel corso dell'ultimo decennio il numero di cifre decimali conosciute di Tr è aumentato di dueordini di grandezza (fattori 10), in seguito alla messa a punto di algoritmi iterativi in grado digirare su supercalcolatori dotati di nuovi, efficienti metodi di calcolo per la moltiplicazione.

FUNZIONI MODULAR! E APPROSSIMAZIONI A rr

Una funzione modulare è una funzione A(q) che può essere collegata attraverso un'espressionealgebrica chiamata equazione modulare, alla stessa funzione espressa in termini della stessa variabileq elevata a una potenza intera:. A(ce). La potenza intera p determina l'ordine dell'equazionemodulare. Un esempio di funzione modulare è

X(q) = 16q ( .1+ q iq2n )8i 2n- •

n= 1

L'equazione modulare del settimo ordine a essa associata, che collega A(q) a A.(q7), è data da

' /X(q)X(q) +''[1 - X(q)1[1 -X(q 7)1 = 1 .

I valori singolari sono soluzioni di equazioni modulari che devono soddisfare anche ulterioricondizioni. Una classe di valori singolari corrisponde al calcolo di una successione di valori, /9, dove

k p = VX(e–.V)

e p assume valori interi. Questi valori godono della curiosa proprietà per cui l'espressionelogaritmica

- 2 ‘kp\T) 1°g( )

coincide con molte delle prime cifre di si. Il numero di cifre che l'espressione ha in comune con naumenta al crescere dei valori di p.

Ramanujan non aveva rivali nella capacità di calcolare questi valori singolari. Uno dei più famosi,incluso nella prima lettera a G.H. Hardy, è in valore ottenuto con p uguale a 210:

k210 = (V2 - 1 )2(2 -V3)(0 - Vt)2(8 - 3V5)(V10 - V 14)(4 - V15)2(6 - VB)

Questo numero, una volta inserito nell'espressione logaritmica, concorda con n per i primi 20posti decimali. Per fare un confronto, k2n porta a un numero che concorda con n per più di unmilione di cifre.

Applicando questo metodo generale, Ramanujan costruì un gran numero di serie notevoli per n,compresa quella riportata nell'illustrazione nella pagina precedente. 11 metodo generale è alla baseanche degli algoritmi iterativi a due passi descritti nell'illustrazione in alto nella pagina a fronte. Perogni iterazione, il primo passo (calcolare y,) corrisponde a calcolare un valore di una successione divalori singolari attraverso la risoluzione di un'equazione modulare dell'ordine appropriato; ilsecondo passo (calcolare dn) è equivalente a prendere il logaritmo di quel valore singolare.

94 95

COME OTTENERE DUE MILIARDI DI CIFRE DECIMALI DI nCON UNA CALCOLATRICE*

Sia

yo = — 1 oto = 6- 4 N72-

y i = [1 —t1 —1/041/[1 +t1 — yo4] "i = ( 1 + Y1)4 ao — 235'1( 1 + Yi +Y12)

Y2 = [ 1 —\‘.71 — Y 1 4141 4/1 —Y141 "2 — (1 + Y2)4 "1 —25)12 (1 + Y2 + Y22)

y3 = [1 —t1 — Y24]11 1 +t1 —Y24] — (1 -4- Y3)4 "2 —225'3(1 + Y3 + Y32)

y4 = [1 —t1 —y341/[1 +ti —Y341 — ( 1 + Y4)4 "3 295'4(1 + Y4 + Y42)

y5 = [1 —</1 —y44]/[1 +t1 —y44] =(1 + y5)4 _ 211y 5(l + y5 + y52)

Y6 = [1 —tt —y54]/[1 — y54] "6 = + Y6)4 "5 = 213y6(1 + Y6 +Y62)

y7 = (1 —5,641/11 -1-t1 —Y641 = ( 1 + Y7)4 "6 —215Y7( / + Y7 +Y72)

Y8 = [1 —t1 —y74]/[1 -y74] "8 = + yar ot 2 —217Y8( 1 + Y8 +Y82)

y5 = [1 —</'-1/841/[1 +<71 —y84] = (1 + Y9)4 "8 = 219519(1 + Y9 + Y92)

Yio = 51941111 +1/.1 Y94]"10 =(i +y10)4 «9 _221 5, 10(i + r + rio2)

Yti = - N414 1 —Y1041 "11 = (1 + Y11 )4 "10 —223Y11 (1 Yff +y112)

Y12 = li -' i1 41/li +ti —Y114] '1 12 = ( 1 + Y12)4 a lf 225Y12( 1 +Y12+51122)

Y13 = "13 = + Y13)4 "12 — 2275, 13( 1 + y13+ Y132)

y 14 = [1-tt-y139/[1 +ti -y134] "la = +y 14)4 "13 = 229Y140 Ynt + Y142)

Yls = O -t41/1 1'T---sel441 2315115(1 + Y15 + Y152)"15 = +Y15)4

1/0 15 concorda con n per più di due miliardi di cifre decimali

*Naturalmente, la calcolatrice dovrebbe possedere un visualizzatore con due miliardi di cifre;su una calcolatrice tascabile il calcolo perderebbe interesse dopo la seconda iterazione.

Sfruttando le istruzioni esplicite per eseguire l'algoritmo b della figura in alto nella paginaprecedente sarebbe possibile, in linea di principio, calcolare i primi due miliardi di cifre di n inpochi minuti. Tutto ciò che serve è una calcolatrice con due registri di memoria e l'usuale capacitàdi sommare, sottrarre, moltiplicare, dividere ed estrarre radici. Sfortunatamente, gran partedelle calcolatrici ha solo un visualizzatore a otto cifre e questo rende il calcolo puramente teorico.

lari del terzo, quarto e più ordine.Nel 1986, David H. Bailey dell'Ames

Research Center della NASA generò29 360 000 posti decimali di n iterando12 volte uno dei nostri algoritmi su unsupercalcolatore Cray-2. Essendo basa-to su un'equazione modulare del quartoordine, l'algoritmo converge a n biqua-draticamente, più che quadruplicando ilnumero di cifre a ogni iterazione. Unanno più tardi, Kanada e i suoi colle-ghi effettuarono un'ulteriore iterazioneraggiungendo, con un supercalcolatoreNEC SX-2, i 134 127 000 posti decimalie verificando in questo modo un calcoloanalogo fatto in precendenza per mezzodell'algoritmo di Gauss-Brent-Salamin.(Iterando altre due volte il nostro algo-ritmo - operazione facilmente realizza-bile a condizione di monopolizzare unsupercalcolatore per qualche settimana -si otterrebbero più di due miliardi di ci-fre di n.) I metodi iterativi per calcolare31 sono particolarmente adatti a un cal-colatore, e non è quindi sorprendenteche Ramanujan non si sia mai dato la

pena di seguirli. Eppure nel suo lavorosi possono trovare gli ingredienti baseper algoritmi iterativi per il calcolo di n,in particolare le equazioni modulari. Al-meno parzialmente, il suo metodo origi-nale per derivare serie infinite e appros-simazioni a n deve aver seguito un anda-mento parallelo ai nostri sforzi per arri-vare ad algoritmi per 31. In effetti, le for-mule che elenca nel suo articolo su 71 enei «Taccuini» ci hanno aiutato moltissi-mo nella costruzione di alcuni dei nostrialgoritmi. Per esempio, per quanto fos-simo in grado di dimostrare l'esistenza diun algoritmo dell'undicesimo ordine ene conoscessimo la formulazione gene-rale, scoprimmo la sua forma inaspetta-tamente semplice solo dopo esserci im-battuti nelle equazioni modulari dellostesso ordine scritte da Ramanujan.

Per converso, eravamo anche in gradodi derivare tutte le serie di Ramanujandalle formule generali che avevamo svi-luppato. Una di queste, che convergevaa n più velocemente di qualsiasi altra checonoscessimo a quel tempo, riuscimmo

a derivarla con un piccolo aiuto prove-niente da una fonte inaspettata. Aveva-mo giustificato tutte le grandezze dell'e-spressione per la serie tranne una: il co-efficiente 1103, che appare nel numera-tore dell'espressione (si veda la tabella apagina 93). Eravamo convinti - come de-ve esserlo stato anche Ramanujan - che1103 dovesse essere esatto. Per dimo-strarlo dovevamo semplificare una spa-ventosa equazione con variabili elevatea potenze di parecchie migliaia oppureinoltrarci più a fondo nell'arcano dellateoria dei numeri.

Per coincidenza, R. William Gosper,Jr., della Symbolics Inc., aveva deciso disfruttare la stessa serie di Ramanujanper arrivare a un valore ad alta precisio-ne di n. Quando effettuò il calcolo a piùdi 17 milioni di cifre (un record per allo-ra), non gli era nota alcuna dimostrazio-ne dell'effettiva convergenza a n dellaserie. Sapeva, naturalmente, che milionidi cifre del suo valore coincidevano conun precedente calcolo di Kanada com-piuto con il metodo di Gauss-Brent-Sa-lamin e quindi la possibilità di errore erapressoché inesistente.

Appena Gosper ebbe finito il suo cal-colo e lo ebbe verificato confrontandolocon quello di Kanada, ci trovammo adisporre di quello che ci serviva per di-mostrare che 1103 era il numero neces-sario_ per rendere la serie esatta a uno su101' ". Così come due numeri interila cui differenza sia minore di 1 devonoessere uguali, il suo risultato era suffi-ciente per specificare il numero: esatta-mente 1103. 11 calcolo di Gosper divenneparte della nostra dimostrazione. Sape-vamo che la serie (e l'algoritmo associa-to) è così sensibile alle minime impreci-sioni che se Gosper avesse usato un qual-siasi altro valore per il coefficiente o seil calcolatore avesse introdotto un erroreanche solo di un'unica cifra durante ilcalcolo, sarebbe arrivato a un risultatonumerico senza senso invece che a unvalore di Tr.

Si può dimostrare che gli algoritmi allaRamanujan per approssimare n sonoquasi quanto di meglio sia possibile rea-lizzare. Se si assommano tutte le opera-zioni implicate nell'esecuzione degli al-goritmi (supponendo che si siano appli-cate le migliori tecniche note per la som-ma, la sottrazione e la moltiplicazione),la complessità in bit del calcolo di n cifredi n è solo di poco superiore a quelladella moltiplicazione di due numeri di ncifre. Ma moltiplicare due numeri di ncifre con una tecnica basata sulle TVF èsolo di poco più complesso che sommaredue numeri di n cifre, che è la più sem-plice delle operazioni aritmetiche possi-bili con un calcolatore. Probabilmente lamatematica non ha ancora assorbito inpieno l'impatto con il genio di Rama-nujan. Nei «Taccuini» ci sono molte al-tre meravigliose formule che riguardanogli integrali, le serie infinite e le frazionicontinue (un numero più una frazione,il cui denominatore possa essere espres-

96

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1 «Taccuini» di Ramanujan sono costituiti da una serie di appunti personali in cui sono annotatemolte delle sue formule. La pagina riprodotta contiene svariate equazioni modulari del quintoordine, tutte nella notazione non standard di Ramanujan. Sfortunatamente, questi non si pre-occupò di accludere dimostrazioni formali per le equazioni; altri hanno dovuto trascriverle,rivederle e dimostrarle. Le formule dei «Taccuini» contengono sottili relazioni tra numeri efunzioni che si possono applicare in altri campi della matematica o anche nella fisica teorica.

so come un numero più una frazione, ilcui denominatore possa essere espressocome un numero più una frazione, e cosìvia). Sfortunatamente, sono riportatecon poche indicazioni sul metodo usatoda Ramanujan per dimostrarle e a voltene sono del tutto prive. Ha scritto Little-wood: «Se in qualche punto si trovavagià un frammento abbastanza significa-tivo del ragionamento e la miscela com-plessiva di evidenza e intuizione gli davala certezza, Ramanujan non indagavaulteriormente».

L'impresa titanica di rivedere i «Tac-cuini», iniziata 60 anni fa dagli analistiinglesi G. N. Watson e B. N. Wilson eora quasi completata da Bruce Berndt,presuppone che vengano fornite una di-mostrazione, un'origine o a volte unacorrezione per ciascuno delle molte mi-

gliaia di teoremi e identità. È facile cheuna sola riga dei «Taccuini» possa richie-dere molte pagine di commenti. Il com-pito è reso ancor più difficile dal fattoche le formule sono scritte in una nota-zione matematica non standard. Ne con-segue che molta parte del lavoro di Ra-manujan non sarà disponibile per la co-munità matematica finché non sarà ter-minato il lavoro di Berndt.

La straordinaria capacità di lavorarein modo intuitivo su formule complesseha permesso a Ramanujan di gettare se-mi in un giardino (prendo a prestito unametafora di Freeman Dyson) che soloora inizia a fiorire. Insieme a molti altrimatematici, siamo impazienti di vederequali semi germineranno negli anni a ve-nire e renderanno ancora più bello que-sto giardino.

98

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