Rangowy test zgodności rozkładów

Piotr Nowak

Dane:

k populacji o dowolnych (ale ciągłych) rozkładach,

o nieznanych dystrybuantach F1(x), F2(x), ..., Fk(x) próby losowe o liczebnościach ni (i=1,2,...,k) pobrane z tych populacji

Hipotezy

Hipoteza zerowa

Hipoteza alternatywna

H0:F1(x)= F2(x)=...= Fk(x)

rozkład badanej cechy nie we wszystkich populacjach jest taki sam

Rangowanie

uporządkowanie wyników wszystkich prób od najmniejszego do największego

wyniki numerujemy kolejnymi liczbami naturalnymi

przy jednakowych wynikach przypisujemy średnią

arytmetyczną odpowiednich liczb naturalnych

Wybór statystyki

test Kruskala-Wallisa (k=3)

test Kruskala-Wallisa (k>3)

test Friedmana (n1= n2=...=nk)

Dla każdej próby z osobna obliczamy sumę rang Ri (i=1,2,...,k)

Test Kruskala-Wallisa (k=3)

Założenia:

321 ,, nnn

)1(3)1(

12 3

1

22

nn

R

nn i i

i

Wówczas statystyka

ma asymptotyczny rozkład o (k-1) stopniach swobody

2

(w praktyce wystarczają ni>10)

Test Kruskala-Wallisa

Założenia:

3k

k

i ii

ii

nnnn

nnR

1

2

2

)1)((2

)1(12

Wówczas statystyka

ma asymptotyczny rozkład o (k-1) stopniach swobody

2

Test Friedmana

Założenia:

knnn ...21

k

ii knR

kkn 11

2

1

2 )1(3)1(

12

Wówczas statystyka

ma asymptotyczny rozkład o (k-1) stopniach swobody

2

Obliczenia

obszar krytyczny we wszystkich trzech testach jest budowany prawostronnie

hipotezę zerową odrzucamy, gdy

22

Test rangowanych znaków Wilcoxona

wyznaczamy różnice pomiędzy wszystkimi parami wyników prób (xi-yi), a następnie bezwzględnym różnicom nadajemy rangi

wyznaczamy T+ oraz T- tzn. sumy rang różnic odpowiednio dodatnich i ujemnych

Dane: dwie małe próby z dużych populacji

Test rangowanych znaków Wilcoxona

uzyskujemy sprawdzian rangowanych znaków:

),min( TTT

obszar krytyczny lewostronny

wartości krytyczne odczytujemy z tablic wartości krytycznych testu rangowanych znaków Wilcoxona

Przykład

dane są wyniki punktowe z egzaminu ze statystyki

opisowej z czterech grup studentów hipotezą zerową jest stwierdzenie, że rozkład punktów wśród studentów każdej grupy jest taki sam we wszystkich grupach

Koniec prezentacji