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Rappresentazione e risoluzione grafica e analitica dei quadrilateri divisi in triangoli rettangoli È necessario sapere e saper operare con: Le proporzioni Primo principio di equivalenza Rappresentazione e risoluzione grafica del triangolo non rettangolo Risoluzione analitica del triangolo non rettangolo Obiettivi di apprendimento: Rappresentazione e risoluzione grafica dei quadrilateri divisi in triangoli non rettangoli Risoluzione analitica dei quadrilateri divisi in triangoli non rettangoli Per la rappresentazione e risoluzione grafica e analitica dei seguenti quadrilateri si utilizzano nozioni riguardanti i triangoli rettangoli. C A D N. B. In alcuni casi è possibile avere una doppia soluzione, ovvero RISULTATI diversi ma DATI uguali.

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Rappresentazione e risoluzione grafica e

analitica dei quadrilateri divisi in triangoli

rettangoli

È necessario sapere e saper operare con:

• Le proporzioni

• Primo principio di equivalenza

• Rappresentazione e risoluzione grafica

del triangolo non rettangolo

• Risoluzione analitica del triangolo non

rettangolo

Obiettivi di apprendimento:

• Rappresentazione e risoluzione grafica

dei quadrilateri divisi in triangoli non

rettangoli

• Risoluzione analitica dei quadrilateri

divisi in triangoli non rettangoli

Per la rappresentazione e risoluzione grafica e analitica dei seguenti quadrilateri si utilizzano

nozioni riguardanti i triangoli rettangoli.

C

A

D

N. B.

In alcuni casi è possibile avere una doppia soluzione, ovvero RISULTATI diversi ma DATI uguali.

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Esercizio

C

A

D

DATI SOLUZIONI

������ � 163 ����� � ?

������ � 185 �� � ?

� � 171,6 � � ?

�� � 123,7°

�� � 61,8°

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Rappresentazione e risoluzione grafica – 1° soluzione

C

A

D

DATI SOLUZIONI

������ � 163 ����� � ?

������ � 185 �� � ?

� � 171,6 � � ?

�� � 123,7°

�� � 61,8°

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Svolgimento

1. Disegnare l’angolo ��

D

2. Disegnare il lato ������

D

A

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3. Disegnare l’angolo ��

D

A

4. Disegnare il lato ������

D

BA

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5. Puntando in �, disegnare un arco di raggio uguale la lato ������ che intersechi la retta

precedentemente tracciata per l’angolo ��

D

BA

6. Unire il vertice � con il punto d’intersezione dell’arco

D

BA

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7. Si ottiene il quadrilatero finito

D

B

C

A

8. Misurare il lato ������ e gli angoli �� e ��

D

B

C

A

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Si ottiene

DATI SOLUZIONI

������ � 163 ����� � 319,5

������ � 185 �� � 104,37°

����� � 171,6 � � 70,13°

�� � 123,7°

�� � 61,8°

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Risoluzione analitica– 1° soluzione

C

A

D

DATI SOLUZIONI

������ � 163 ����� � ?

������ � 185 �� � ?

� � 171,6 � � ?

�� � 123,7°

�� � 61,8°

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Svolgimento

La risoluzione analitica del quadrilatero studiato richiede la risoluzione dei singoli triangoli in cui

esso è scomposto, come mostrato di seguito.

D

B

C

A

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1. Studiare il triangolo ���

D

BA

a. Ricavare il lato �������

Il teorema del cos consente di impostare la seguente relazione

������� � ������� � ������� � 2 ������ ������ cos ��

da cui

������ � $������� � ������� � 2 ������ ������ cos ��

Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene

������ � $163� � 185� � 2 163 185 cos 123,7°

� $26569 � 34225 � 2 163 185 cos 123,7° �

� $26569 � 34225 � 2 163 185 %�0,5548444& �

� $26569 � 34225 � 33462,67 �

� $94256,67 �

� 307,01

b. Ricavare l’angolo ��'

Il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione

������ ( sin �� � ������ ( sin ��+

Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene

307,01 ( sin 123,7° � 163 ( sin ��+

da cui

sin ��+ �sin 123,7° 163

307,01�

0,8319541 163307,01

�135,61307,01

� 0,4417036 ,

, sin-+ ��+ , 26,21°

c. Ricavare l’angolo �� '

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sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è

180°, si ottiene

�� � ��+ � ��+ � 180°

sostituendo ai dati i valori

123,7° � 23,21° � ��+ � 180°

applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al

secondo membro cambiandoli di segno

��+ � 180° � 123,7° � 23,21°

da cui

��+ � 30,09°

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2. Studiare il triangolo ���

D

B

C

a. Ricavare l’angolo �� .

sapendo che

�� � ��+ � ���

sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene

61,8° � 30,09° � ���

applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al primo

membro cambiandoli di segno

61,8° � 30,09° � ���

quindi, si ottiene

��� � 61,8° � 30,09°

da cui

��� � 31,71°

b. Ricavare l’angolo ��

il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione

������ ( sin � � ����� ( sin ���

Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene

307,01 ( sin � � 171,6 ( sin 31,71°

Da cui

sin � �307,01 sin 31,71°

171,6�

307,01 0,5256592171,6

�161,38171,6

� 0,9404658 ,

, sin-+ � , 70,13°

c. Ricavare l’angolo ��.

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sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è

180°, si ottiene

��� � � � ��� � 180°

sostituendo ai dati i valori

��� � 70,13° � 31,71° � 180°

applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al

secondo membro cambiandoli di segno

��� � 180° � 70,13° � 31,71°

da cui

��� � 78,16°

d. Ricavare il lato ������

Il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione

����� ( sin ��� � ����� ( sin ���

Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene

����� ( sin 78,16° � 171,6 ( sin 31,71°

Da cui

����� �sin 78,16° 171,6

sin 31,71°�

0,9787152 171,60,5256592

�167,95

0,5256592� 319,5

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3. Ricavare l’angolo ��

Osservando il quadrilatero

D

B

C

A

B2

B1

È possibile notare che

�� � ��+ � ���

Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene

�� � 26,21° � 78,16° � 104,37°

Da cui

�� � 104,37°

Si ottiene

DATI SOLUZIONI

������ � 163 ����� � 319,5

������ � 185 �� � 104,37°

����� � 171,6 � � 70,13°

�� � 123,7°

�� � 61,8°

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Rappresentazione e risoluzione grafica – 2° soluzione

C

A

D

DATI SOLUZIONI

������ � 163 ����� � ?

������ � 185 �� � ?

� � 171,6 � � ?

�� � 123,7°

�� � 61,8°

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Svolgimento

1. Disegnare l’angolo ��

D

2. Disegnare il lato ������

D

A

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3. Disegnare l’angolo ��

D

A

4. Disegnare il lato ������

D

BA

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5. Puntando in �, disegnare un arco di raggio uguale la lato ������ che intersechi la retta

precedentemente tracciata per l’angolo ��

D

BA

6. Unire il vertice � con il punto d’intersezione dell’arco

D

BA

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7. Si ottiene il quadrilatero finito

D

B

C

A

8. Misurare il lato ������ e gli angoli �� e ��

D

B

C

A

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Si ottiene

DATI SOLUZIONI

������ � 163 ����� � 202,85

������ � 185 �� � 64,63°

����� � 171,6 � � 109,87°

�� � 123,7°

�� � 61,8°

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Risoluzione analitica– 1° soluzione

C

A

D

DATI SOLUZIONI

������ � 163 ����� � ?

������ � 185 �� � ?

� � 171,6 � � ?

�� � 123,7°

�� � 61,8°

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Svolgimento

La risoluzione analitica del quadrilatero studiato richiede la risoluzione dei singoli triangoli in cui

esso è scomposto, come mostrato di seguito.

D

B

C

A

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1. Studiare il triangolo ���

D

BA

a. Ricavare il lato �������

Il teorema del cos consente di impostare la seguente relazione

������� � ������� � ������� � 2 ������ ������ cos ��

da cui

������ � $������� � ������� � 2 ������ ������ cos ��

Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene

������ � $163� � 185� � 2 163 185 cos 123,7°

� $26569 � 34225 � 2 163 185 cos 123,7° �

� $26569 � 34225 � 2 163 185 %�0,5548444& �

� $26569 � 34225 � 33462,67 �

� $94256,67 �

� 307,01

b. Ricavare l’angolo ��'

Il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione

������ ( sin �� � ������ ( sin ��+

Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene

307,01 ( sin 123,7° � 163 ( sin ��+

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da cui

sin ��+ �sin 123,7° 163

307,01�

0,8319541 163307,01

�135,61307,01

� 0,4417036 ,

, sin-+ ��+ , 26,21°

c. Ricavare l’angolo �� '

sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è

180°, si ottiene

�� � ��+ � ��+ � 180°

sostituendo ai dati i valori

123,7° � 23,21° � ��+ � 180°

applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al

secondo membro cambiandoli di segno

��+ � 180° � 123,7° � 23,21°

da cui

��+ � 30,09°

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2. Studiare il triangolo ���

D

B

C

a. Ricavare l’angolo �� .

sapendo che

�� � ��+ � ���

sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene

61,8° � 30,09° � ���

applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al primo

membro cambiandoli di segno

61,8° � 30,09° � ���

quindi, si ottiene

��� � 61,8° � 30,09°

da cui

��� � 31,71°

b. Ricavare l’angolo �� della 1° soluzione

il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione

������ ( sin � � ����� ( sin ���

Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene

307,01 ( sin � � 171,6 ( sin 31,71°

Da cui

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sin � �307,01 sin 31,71°

171,6�

307,01 0,5256592171,6

�161,38171,6

� 0,9404658 ,

, sin-+ � , 70,13°

Quindi

�+° /01234056 � 70,13°

c. Ricavare l’angolo ��. della 2° soluzione

Studiando il seguente cerchio trigonometrico

sin A =0,9404658

A

B

ˆ

ˆ

1

1

sin B =0,9404658

P

P1

È possibile notare che

i. Gli angoli �� e �� sono supplementari

ii. I due triangoli evidenziati in rosso sono equivalenti

Quindi, i seni di 70,13° e 109,87° sono uguali.

Per ottenere la 2° soluzione, occorre considerare l’angolo supplementare di

78, 9:°, ovvero

��° /01234056 � 109,87°

d. Ricavare l’angolo ��.

sapendo che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo rettangolo è

180°, si ottiene

��� � � � ��� � 180°

sostituendo ai dati i valori

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��� � 109,87° � 31,71° � 180°

applicando il primo principio di equivalenza, si trasportano i termini noti al

secondo membro cambiandoli di segno

��� � 180° � 109,87° � 31,71°

da cui

��� � 38,42°

e. Ricavare il lato ������

Il teorema del sin consente di impostare la seguente proporzione

����� ( sin ��� � ����� ( sin ���

Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene

����� ( sin 38,42° � 171,6 ( sin 31,71°

Da cui

����� �sin 38,42° 171,6

sin 31,71°�

0,6213843 171,60,5256592

�106,63

0,5256592� 202,85

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3. Ricavare l’angolo ��

Osservando il quadrilatero

D

B

C

A1B

B2ˆ

È possibile notare che

�� � ��+ � ���

Sostituendo ai dati i valori numerici si ottiene

�� � 26,21° � 38,42° � 64,63°

Da cui

�� � 64,63°

Si ottiene

DATI SOLUZIONI

������ � 163 ����� � 202,85

������ � 185 �� � 64,63°

����� � 171,6 � � 109,87°

�� � 123,7°

�� � 61,8°