Rappresentazione grafica dell’inversa

• Il capitolo relativo alle potenze, all’esponenziale e ai logaritmi offre l’occasione per cominciare a visualizzare l’inversa di una funzione.

• Dovresti avere già ripassato i logaritmi e quindi ricordare che il logaritmo è definito proprio come la funzione inversa dell’esponenziale.

• Per fissare le idee supponiamo che la base sia a>1.

x

y

Cominciamo dal grafico della funzione esponenziale…

1

Invertire una funzione graficamente equivale ad invertire il ruolo dell’asse

delle ascisse con quello delle ordinate.

In altre parole cominciamo con il ruotare il grafico

(al tuo clic!)

x

y

1

x

y

1

x

y

1

x

y

1

x

y 1

x

y 1

Ora però l’orientazione degli assi è invertita…

Al tuo clicprovvediamo a risistemare

x

y

1

x

y

1

x

y

1

x

y

1

x

y

1

x

y

1

x

y1

x

y1

Ora però dobbiamo rimettere in riga la x e la y(al tuo clic)

x

y1

Ora però dobbiamo rimettere in riga la x e la y(al tuo clic)

x

y1

E magari riassegnargli la loro posizione “naturale”…(sempre al tuo clic)

x

y

1

Ecco fatto!

Riconosci il grafico della funzione logaritmo?L’esponenziale ed il logaritmo sono una l’inversa dell’altra

Al tuo clic potrai vedere altri esempi

x

yy = x2

Questa funzione però non è invertibile!

Perché?

Perché non è iniettiva: guardax1 x2

Se però restringessimo il dominio alla sola semiretta [0,+[ …

x

y = x2

y

Adesso la funzione è iniettiva e quindi invertibile

Per vedere l’inversa, anche in questo caso, prima scambiamo il ruolo degli assi

x

y =

x2

y

Poi ribaltiamo per ritrovare l’orientamento “corretto”

x

y = x

2

y

E infine rimettiamo le lettere al posto giusto e nel verso giusto

x

yOtteniamo così il grafico della funzione

y = x

y = x

Ora puoi provare tu ad invertire

x x

yy

y = - x + 1

y = x3

Copia i due grafici su un foglio trasparente e individua i grafici delle funzioni inverse.Sai ricavarne anche la legge? Sai trovare altri esempi?