KVANTITATIVNE METODE U GRA ĐEVINSKOM MENADŽMENTU

predavanja 2017/18

V6

RASPODJELA NEPREKIDNIH PROMJENLJIVIH1. Normalna (Gausova) raspodjela

Zadatak 1. Otpor kidanju jednog metalnog konca je slučajna promjenljiva X sa N(120,8). Uzorak koji se ispituje smatra se defektnim ako je X<110. Odredi vjerovatnoću da je uzorak defektan.

RJEŠENJEX~N(120;8)treba odrediti vjerovatnoću: P(X<110)uvodi se smjena za standardizovanu promjenljivu:

� ����

��

�����

�

� � � 110 � � � � 1208 � 110 � 120

8� � � �1,25� 1 � � � 1,25 � 1 � 0,8946� 0,1054

Uzorak je defektan sa vjerovatnoćom 10,54%.

Zadatak 2. Fabrika proizvodi kuglice nominalnog pre čnika 5 mm. Usled neprecizne izrade, prečnik kuglice je praktično slučajna promenljiva X, sa normalnim zakonom raspodjele (μ=5mm i σ=0,05 mm). Pri kontroli se odbacuju sve kuglice čiji prečnik odstupa od nominalnog za više od 0,1 mm. a)Koliki procenat kuglica će u prosjeku biti odbačen?b) Kolika toerancija prećnika kuglice može da se garantuje sa vjerovatnoćom 0,97

RJEŠENJEX~N(5;0,05)Treba izračunati P(|X- 5|>0,1)

� � � 5 � 0,1 � 1 � � � � 5 � 0,1� 1 � P��0,1 � � � 5 � 0,1�uvedimo smjenu:

� ����

��

��

�,�

� � � 5 � 0,1 � 1 � P �0,1 � � � 5 � 0,1� 1 � � �0,1

0,05 � � � 50,05 � 0,1

0,05� 1 � P �2 � � 2� 1 � � � 2 � � � �2� 1 � � � 2 � 1 � � � 2� 2 � 2� � 2� 2 � 2 ∗ � � 2 � � � 2� 2 � 2 ∗ � � 2 � 2 ∗ 0� 2 � 2 ∗ 0,9772 � 0,0465u prosjeku će biti odbačeno 4,6% kuglica

Zadatak 2. - nastavakFabrika proizvodi kuglice nominalnog pre čnika 5 mm. Usled neprecizne izrade, prečnik kuglice je praktično slučajna promenljiva X, sa normalnim zakonom raspodjele (μ=5mm i σ=0,05 mm). Pri kontroli se odbacuju sve kuglice čiji prečnik odstupa od nominalnog za više od 0,1 mm. a)Koliki procenat kuglica će u prosjeku biti odbačen?b) Kolika toerancija prećnika kuglice može da se garantuje sa vjerovatnoćom 0,97

RJEŠENJEX~N(5;0,05)Treba odrediti a iz uslova:P(|X- 5|<a)=0,97

� � � 5 � � � P �� � � 5 � � 0,97

uvedimo smjenu:

� ����

��

���

�,��

� � � 5 � � � � �� � � � 5 � � � ���

0,05�

� � 5

0,05�

�

0,05

� ���

0,05� �

�

0,05

� � ��

0,05� � � �

�

0,05

� � ��

0,05� 1 � � �

�

0,05

� 2 ∗ � � �

0,05� 1 � 0,97

� � �

0,05�1 � 0,97

2� 0,985

iz tablica se pročita :

��� � 0,985� ��

0,05� 2,17

odavde se sračuna � � 2,17 ∗ 0,05 � 0,1085

sa vjerovatno ćom 0,97 može da se garantuje da je prečnik kuglice u granicama:μ-a; μ+a, odnosno 4,8915 do 5,1085

Zadatak 3. Izračunati vjerovatnoću da u 10000 bacanja novčića broj palih grbova bude između 4950 i 5100.

RJEŠENJEX~B(10000;0,5) može se aproksimirati normalnom raspodjelom

�~� ��; ��� , �~��5000; 50�Treba izračunati P(4950<X<5100)

uvedimo smjenu:

� �����

�� �

�����

�

� 4950 � � � 5100� � �4950 � 5000

50 � � � 500050

� 5100 � 500050 � �1 � � 2

� � � 2 � 1 � � � 1� � � 2 � 1 � � � 1 �� 0,9772 � 1 � 0,8413 � ", #$#%

Zadatak 4. Vijek trajanja baterije (u časovima) je slučajna promjenljiva X sa normalnom raspodjelom N(100, 5).a. Odrediti vjerovatnoću da nova baterija istog tipa traje najmanje 105 časova?b. Ako je jedna baterija već izdržala 90 časova, kolika je vjerovatnoća da će izdržati još15 časova?c. Odrediti interval simetričan u odnosu na μ u kojem će vjerovatnoća slučajne promjenljive X biti 0,4

RJEŠENJE �~��100; 5�a) naći vjerovatno ću: P(X≥105)uvedimo smjenu:

� ������

� � & 105 � 1 � � � � 105� 1 � � � � 100

5 � 105 � 1005� 1 � � � 1 � 1 � 0,8413� ", $%#'

b. Neka je događaj A={X ≥105} i događaj B={X≥90}. Traži se vjerovatno ća uslovnogdogađaja A|B .

� ( ) � � � & 105� � & 90 � 0,15870,9772 � 0,1624

� � & 90 � 1 � � � � 90� 1 � � � � 100

5 � 90 � 1005� 1 � � � �2� 1 � 1 � � � 2 � ", *''+

Zadatak 4. -nastavakVijek trajanja baterije (u časovima) je slučajna promjenljiva X sa normalnom raspodjelom N(100, 5).a. Odrediti vjerovatnoću da nova baterija istog tipa traje najmanje 105 časova?b. Ako je jedna baterija već izdržala 90 časova, kolika je vjerovatnoća da će izdržati još15 časova?c. Odrediti interval simetričan u odnosu na μ u kojem će vjerovatnoća slučajne promjenljive X biti 0,4

RJEŠENJE �~��100; 5�

c) uvedimo smjenu

� �� � �

��� � 100

5

� ��

��� � �

���

�� � �

�

�� � �

�

�� 0,45

� � ��

�� � � � �

�

�� 0,45

� � ��

�� 1 � � � �

�

�� 0,45

2 ∗ � � ��

�� 1 � 0,45

� � ��

��1 � 0,45

2� 0,725

iz tablica se pročita :

��� � 0,725� ��

5� 0,6

odavde se sračuna � � 0,6 ∙ 5 � 3

dakle traženi interval za X je:

� � �, � � � � 100 � 3; 100 � 3 � �97; 103�

može se provjeriti tako da se za ovaj interval iz tablica procita vjerovatnoca

Zadatak 5.Pri velikom broju mjerenja uočeno je da 75% grešaka ne premašuje +1,25mm. Zamjenjujući frekvencije pojavljivanja grešaka njihovim vjerovatnoćama, odrediti standardno odstupanje σ, smatrajući da su greške mjerenja slučajna promjenljiva sa normalnom raspodjelom �~� 0; � .

RJEŠENJE X- slučajna promjenljiva= veličina greške (odstupanja)

�~��0; ��

75% grešaka ne premašuje +1,25mm, se može zapisati:

� � � 1,25 � 0,75

uvedimo smjenu:

� ����

�

� � � 1,25 � �� � 0

��1,25 � 0

�� � � �

1,25

�� 0,75

iz tablica se pročita :

��� # 0,75� �1,25

�� 0,68

odavde se sračuna � � 1,25/0,68 � %, &'

Literatura

• Vukadinović, S.: Elementi teorije verovatnoće i matematičke statistike, Privredni pergled, Beo

• Vukadinović, S.: Zbirka rešenih zadataka iz teorije verovatnoće, Privredni pergled, Beograd, 1983

• Čuljak, V: Vjerojatnost i statistika, Građevinski fakultet, Sveučilište u Zagrebu, 2011, https://portal.uniri.hr/system/resources/docs/000/004/082/original/Skripta_Vera_%C4%8Culjak.pdf?1413283708

• Prof. dr Dušan Joksimović: POSLOVNA STATISTIKA, Megatrend univerzitet primenjenih nauka, Beograd, 2006.

• Pivac, S.: Statističke metode (predavanja, diplomski studij, kolegij "Statističke metode") e-nastavni materijal, Split, 2010.

• http://www.ef.uns.ac.rs/Download/metodologija_nir/20_uzorkovanje.pdf• http://www.medfak.ni.ac.rs/PREDAVANJA/2.%20STOMATOLOGIJA/STATISTIKA/6.%

20predavanje.pdf