Upload
elin
View
41
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Raspodjele podataka. Raspodjele podataka za diskretna obilježja Raspodjele podataka za kontinuirana obilježja Teorijske raspodjele podataka. Raspodjele (diskretna obilježja). Hipergeometrijska (složene kombinacije) Binomna (Bernoulli-jev događaj) - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
N. Šakić, H. Cajner
Raspodjele podataka
• Raspodjele podataka za diskretna obilježja
• Raspodjele podataka za kontinuirana obilježja
• Teorijske raspodjele podataka
N. Šakić, H. Cajner
N. Šakić, H. Cajner
Raspodjele (diskretna obilježja)
• Hipergeometrijska (složene kombinacije)
• Binomna (Bernoulli-jev događaj)
• Poisson-ova (zakon rijetkih događaja, potok događaja)
N. Šakić, H. Cajner
Hipergeometrijska raspodjelaHipergeometrijska raspodjela• proizlazi iz dvoslojnog skupa - složene kombinacije – skup od N elemenata sadrži podskup elemenata sa svojstvom A i podskup elemenata sa
svojstvom Ā
nn
x el Ax el A (n-x) el (n-x) el ĀĀ
UZORAK
NN
M (M (AA)) N-M (N-M (ĀĀ))
SKUP
N. Šakić, H. Cajner
n
N
n-x
MN
x
M
P(x)
• funkcija vjerojatnosti hipergeometrijske raspodjele:
parametri: M, N i n
- n – veličina uzorka
NM
MNxn
Mx
1 Nn, M, N
..., N
21
• očekivana vrijednost:N
MnxE
);(
• varijanca: 1
1 ];)[( 222
n
nN
N
M
N
MnxE
N. Šakić, H. Cajner
543210
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
543210
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
N=10; M=5
X
Pro
babili
ty
N=10; M=3
N=50; M=5 N=50; M=3
Hypergeometric; n=5
• utjecaj parametara na oblik hipergeometrijske raspodjele:
N. Šakić, H. Cajner
Binomna raspodjelaBinomna raspodjela
• Bernoulli-jev događaj – samo dva ishoda
- vjerojatnost događaja se ne mijenja i iznosi p
- vjerojatnost q=1-p
- nezavisni pokušaji (slučajno uzorkovanje)
- broj pokušaja (veličina uzorka), n
pp
AA ĀĀ
(1-p)=q(1-p)=q
UZORAK n - elemenataUZORAK n - elemenata
• broj N (elementi skupa) teži u beskonačnost – podvrsta hipergeometrijske
N. Šakić, H. Cajner
• funkcija vjerojatnosti binomne raspodjele B (n, p):
,...n,xqpx
nP(x) xnx 10,)(
za parametri: n, p
• očekivana vrijednost (aritmetička sredina): pnxE )(
• varijanca: qpn 2
• koeficijent asimetrije:
• koeficijent zaobljenosti:
qpn
q-pM
3 3
3
qpn
qpM
61
34
4 4
- distribucija će biti uvijek asimetrična ako nijep=q=0,5
N. Šakić, H. Cajner
• utjecaj parametara n i p na oblik binomne raspodjele:
76543210
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Pro
babili
ty
Binomial; n=10; p=0,2
1086420
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Pro
babili
ty
Binomial; n=10; p=0,5
11109876543
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Pro
babili
ty
Binomial; n=10; p=0,8
543210
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Pro
babili
ty
Binomial; n=5; p=0,2
76543210
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Pro
babili
ty
Binomial; n=10; p=0,2
121086420
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Pro
babilit
y
Distribution PlotBinomial; n=20; p=0,2
N. Šakić, H. Cajner
• ‘Galtonova’ daska – binomni eksperiment
– kuglicu spuštamo na čavliće koji su složeni u pravilnu trokutastu rešetku
– padom na čavlić kuglica može skrenuti na lijevo ili desno (berouli-jev događaj)
– daska je pravilna te su ishodi jednako vjerojatni p=0.5
– n – broj redova čavlića
Link
N. Šakić, H. Cajner
– primjer ‘Galtonove’ daske sa n=4 reda čavlića:
- slučajna varijabla poprima vrijednost:0 - za jedan ishod1 - za 4 ishoda2 – za 6 ishoda3 – za 4 ishoda4 – za 1 ishod
- općenito:
N. Šakić, H. Cajner
• primjer 1. binomne raspodjele:Primjer: Svaki izuzeti uzorak vode ima vjerojatnost da je kontaminiran otpadnom
tvari u iznosu od 10% . Pretpostavimo da se uzroci uzimaju nezavisno s obzirom na prisustvo otpadnih tvari. Potrebno je pronaći:
a) Vjerojatnost da će u 18 izuzetih uzoraka biti točno 2 uzorka kontaminirana?
284,0)2(
9,01,02
18)2(
18
1,0
162
xP
xP
n
p
vjerojatnost da će biti točno 2 kontaminirana uzorka
b) Vjerojatnost da će od 18 uzoraka biti barem 4 kontaminirana?
098,0)]4([1)4(
)4()3()2()1()0()4(
18;1,0
xPxP
xPxPxPxPxPxP
np
N. Šakić, H. Cajner
- grafički prikaz (binomna raspodjela):
76543210
76543210
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Pro
babili
ty
20 6
0,284
Binomial; n=18; p=0,1
a)
76543210
76543210
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Pro
babili
ty40
0,0982
Binomial; n=18; p=0,1
b)
N. Šakić, H. Cajner
• primjer 2. primjene binomne raspodjele:
Primjer: Rad jednog automata kontrolira se uzorcima od 15 proizvoda. U svakom uzorku se ustanovljuje broj defektnih proizvoda. Budući da je uzeto 200 uzoraka, dobiveni rezultati su dani kroz tablicu. Potrebno je pronaći adekvatnu raspodjelu po kojoj se ponašaju podaci te vjerojatnost pojave ne više od 2 defektna u uzorku. x 0 1 2 3 4 5 6
fi 77 81 31 7 2 1 1
6543210
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
xi
Freq
uen
cy
Histogram of xi
- radi se o Binomnoj raspodjeli (n konačan):
061,0;15;915,0 nx
pnx
9876543210
9876543210
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Pro
babilit
y
2
0,941
4
Binomial; n=15; p=0,061
941,0)2(
);2(
)1()0()2(
939.0061,015
)( )15(
xP
xP
xPxPxP
xxP xx
prilagodba
N. Šakić, H. Cajner
x
n P(x)x px q(n-x) P(x)
0 1 1 0,389031 0,389031 0,389031
1 15 0,061 0,414303 0,379087 0,768118
2 105 0,003721 0,441217 0,172386 0,940504
3 455 0,000227 0,46988 0,048528 0,989032
4 1365 1,38E-05 0,500405 0,009457 0,998489
5 3003 8,45E-07 0,532913 0,001352 0,999841
6 5005 5,15E-08 0,567532 0,000146 0,999987
7 6435 3,14E-09 0,6044 1,22E-05 0,999999
8 6435 1,92E-10 0,643664 7,94E-07 1
9 5005 1,17E-11 0,685478 4,01E-08 1
10 3003 7,13E-13 0,730009 1,56E-09 1
11 1365 4,35E-14 0,777432 4,62E-11 1
12 455 2,65E-15 0,827936 1E-12 1
13 105 1,62E-16 0,881721 1,5E-14 1
14 15 9,88E-18 0,939 1,39E-16 1
15 1 6,02E-19 1 6,02E-19 1
- tablica vjerojatnosti za primjer 2.
N. Šakić, H. Cajner
Poisson-ova raspodjelaPoisson-ova raspodjela• proizlazi iz binomne r. uz određene uvjete:
• opisuje rijetke događaje (oni koji se javljaju s malom vjerojatnošću)• potok događaja – vjerojatnost promatranog događaja u vremenskom periodu (valovi, naleti...) – odabir vremenskog perioda je bitan
vremena) (tijekom .
0
konstpn
n
p
• funkcija vjerojatnosti Poisson-ove raspodjele P(x):
,...n,xzaex
mP(x) m
x
10,!
parametar: m=E(x)
(u literaturi se spominje i λ = parametar m)
N. Šakić, H. Cajner
xmpnxE )(
mxmx )(;)(2 • varijanca:
• očekivana vrijednost:
• koeficijent asimetrije:m
M 13
3 3
• koeficijent zaobljenosti:m
M 13
4
4 4
• rekurzivna formula za Poisson-ovu raspodjelu:
m
x
ex
mP(x)
!m
x
ex
m)P(x
)!1(
11
x
mxPP(x) )1(
N. Šakić, H. Cajner
• utjecaj parametra m na Poisson-ovu raspodjelu :
43210
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Pro
babilit
y
Poisson; Mean=0,5
121086420
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Pro
babilit
y
Poisson; Mean=4
876543210
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Pro
babili
ty
Poisson; Mean=2
- nakon pokazuje se mod – da su dvije susjedne vrijednosti istih vjerojatnosti
- kada gubi se asimetričnost i Poisson-ova raspodjela teži simetričnoj
m
1m
N. Šakić, H. Cajner
• primjer 1. primjene Poisson-ove raspodjele:
Primjer: U slučaju tanke bakrene žice, pretpostavlja se da broj pukotina slijedi zakon Poisson-ove raspodjele sa očekivanjem od 2.3 mikropukotine po milimetru. Potrebno je odrediti:
a) vjerojatnost da se dogodi baš 2 mikropukotine po jednom milimetru žice.
- varijabla x – broj mikropukotina po mm žice
32)( ,xmxE
3,2
!
3,2 ex
P(x)x
265,0!2
3,22 3,2
2
e)P(x
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Pro
babilit
y
2
0,265
0 8
Distribution PlotPoisson; Mean=2,3
N. Šakić, H. Cajner
b) Vjerojatnost da se pojavi barem jedna mikropukotina u 2 mm žice.
- varijabla x – broj mikropukotina na 2mm žice
64322)( ,,xE
6,4
!
6,4 ex
P(x)x
9899,0)0(11 xP)P(x
0101,0!0
6,40 6,4
0
e)P(x
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Pro
babilit
y
10
0,9899
Distribution PlotPoisson; Mean=4,6
N. Šakić, H. Cajner
• primjer 2. primjene Poisson-ove raspodjele:Primjer: Tijekom drugog svjetskog rata London je gađan projektilima V1. Britance je zanimalo kako iz podataka o padanju projektila zaključiti da li je riječ o gađanju nasumce ili se cilja neka točka u Londonu.
- London je podijeljen na 576 sektora- U vremenskom periodu promatranja palo je 537 projektila
x >=43210
250
200
150
100
50
0
Valu
e
ExpectedObserved
Chart of Observed and Expected Values Poisson mean for x = 0,928819
Poisson Contributionx Observed Probability Expected Chi-Sq0 229 0,395020 226,74 0,0094791 211 0,366902 211,39 0,0005332 93 0,170393 98,54 0,2698463 35 0,052755 30,62 0,7003804 7 0,014931 7,14 0,0418605 (6,7..) 1 1,57
TEST: N N* DF Chi-Sq P-Value576 0 3 1,02210 0,796
- podaci se ponašaju po Poisson-ovoj razdiobi!- zaključak - V1 nije imao navođenje
N. Šakić, H. Cajner
Raspodjele (kontinuirana obilježja)
• Normalna • Jedinična normalna• Lognormalna• Weibullova
N. Šakić, H. Cajner
Normalna raspodjela Normalna raspodjela • prvi definirao Abraham de Moivre • upotrijebio Gauss (Gauss-ova raspodjela)• najčešće korištena raspodjela – čak 33% procesa u prirodi slijedi zakon
normalne raspodjele• funkcija gustoće vjerojatnosti f(x) – zbog kontinuiranog obilježja • nastanak normalne r. - binomni poučak (razvijanje binoma u red , A. de
Moivre)
2
2
1
0
2
1)(
50
)()(
)(...)()()(
x
xnxn
x
xxnn
n
exfP(x)
n,qp
qpx
nxPba
x
nba
babababa
i uvjet uz
binomna r.
funkcija gustoće vjerojatnosti normalne r.
N. Šakić, H. Cajner
• funkcija gustoće vjerojatnosti normalne raspodjele f(x):
xexfx
- za 2
2
1
2
1)(
• očekivana vrijednost: E(x)= μ
parametri: μ i σ2(x)
• varijanca: σ2(x)
• koeficijent asimetrije: α3= 0 - simetrična razdioba
• koeficijent zaobljenosti: α4= 3 (α’4= 0) – normalno zaobljena
• svojstva funkcije gustoće vjerojatnosti f(x):
1.
2.
3.
xxf svaki za 0)(
1)( dxxf
2
121)()(
x
x
xxxPdxxf
N. Šakić, H. Cajner
• veza funkcije gustoće vjerojatnosti f(x) i funkcija distribucije F(x) normalne raspodjele:
2
1
)()(x
x
dxxfxF
N. Šakić, H. Cajner
• vjerojatnosti ispod normalne raspodjele N{μ, σ2}:
• utjecaj parametara μ i σ2 na oblik normalne raspodjele:
N. Šakić, H. Cajner
Jedinična normalna raspodjela Jedinična normalna raspodjela N{0,1}N{0,1}• standardizirana normalna raspodjela sa parametrima μ=0 i σ2=1
• sve druge normalne raspodjele svodimo (z-transformacija) na jediničnu normalnu raspodjelu
• bilo koja vrijednost u x domeni se može prikazati kao μ ± k·σ
x
z• transformacija:
N. Šakić, H. Cajner
• funkcija gustoće vjerojatnosti jedinične normalne raspodjele f(z):
1;0;2
1)( 2
22
1
z
ezf
• upotrebom jedinične normalne razdiobe standardiziramo odstupanja preko parametra z:1. |z|=1 → P(z)=0,6827
2. |z|=1,96 → P(z)=0,9500
3. |z|=2,0 → P(z)=0,9545
4. |z|=3 → P(z)=0,9973
• područje ±3σ koje se koristi u konstrukcijama naziva se tolerancija• danas procesi u području ±3σ više nisu dovoljno dobri pa se prelazi na sustav od ±6σ • područje od ±6σ ima vjerojatnost pojave od 99,9999998 %
N. Šakić, H. Cajner
• ostale vjerojatnosti kod normalne razdiobe:
N. Šakić, H. Cajner
• primjer 1. primjene normalne raspodjele:
Primjer: Pretpostavimo da se izmjerena jakost struje u vodiču pokorava zakonu normalne raspodjele sa očekivanjem μ=10 mA i varijancom σ2=4 mA2. Kolika je vjerojatnost da će jakost struje premašiti 13 mA?
17,515,012,510,07,55,0
17,515,012,510,07,55,0
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Den
sity
1310
Normal; Mean=10; StDev=2
06681,0)5,1(1)5,1()13(
5,12
)1013()(
zPzPxP
zx
z
3210-1-2-3
3210-1-2-3
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
z
Densi
ty
1,5
0,0668
0
Normal; Mean=0; StDev=1transformacija
N. Šakić, H. Cajner
Lognormalna raspodjela Lognormalna raspodjela
• slučaj kada je logaritam varijable x ( ln(x) ) normalno distribuiran
anadistribuir normalno - yx )ln(• vjerojatnosti pojave varijable x se dobivaju transformacijom varijable y sa naznakom da je
),0( x
• ako y ima normalnu distribuciju sa očekivanjem α i varijancom β2 tada možemo napisati x=ey što je lognormalna varijabla sa funkcijom gustoće vjerojatnosti:
ostalo za
, za
0
002
1)(
22
2)(ln
βxexxf
x
• raspodjela koja dobro opisuje slučajeve: duljina trajanja proizvodnje, plaće zaposlenika...
parametri: α i β2
N. Šakić, H. Cajner
• utjecaj parametara na oblik lognormalne raspodjele:
N. Šakić, H. Cajner
• primjer primjene lognormalne raspodjele:Primjer: Životni vijek poluvodičkog lasera je lognormalno distribuiran sa očekivanjem od =10 h i standardnom devijacijom =1,5 h. Kolika je vjerojatnost da životni vijek premaši 10 000 sati?
701,0)52,0(1)10000(
52,05,1
102103,9;2103,9
);ln(;;10000
);10000(1)10000(
zFxP
zx
yxeyy
xPxPx
0,000008
0,000007
0,000006
0,000005
0,000004
0,000003
0,000002
0,000001
0,000000
X
Den
sity
10000
0,701
0
Lognormal; Loc=10; Scale=1,5; Thresh=0
N. Šakić, H. Cajner
Weibull-ova raspodjela Weibull-ova raspodjela • definira vjekove trajanja tehničkih sustava – krivulja kade• parametri ove raspodjele daju veliku fleksibilnost prilikom opisivanja različitih slučajeva kada broj otkaza raste sa vremenom (trošenje ležaja), ostaje konstantan ili pada s vremenom (neki poluvodiči)
• funkcija gustoće vjerojatnosti Weibull-ove raspodjele:
ostalo za
, za )
0
0,00()(
)(1 βxexxf
x
parametri: α, β
N. Šakić, H. Cajner
• utjecaj parametara na oblik Weibull-ove raspodjele:
N. Šakić, H. Cajner
• krivulja kade (krivulja mortaliteta):
I. period – ‘dječje bolesti’ – 1. raspodjela e-t
II. period – ‘normalne eksploatacije’, slučajni kvarovi – 2. raspodjela uniformna
III. period – zbog ‘trošenja dijelova’, vremenski kvarovi – 3. raspodjela normalna
N. Šakić, H. Cajner
Teorijske raspodjele
• Studentova ‘t’ raspodjela • raspodjela• F - raspodjela
N. Šakić, H. Cajner
Studentova t-raspodjelaStudentova t-raspodjela• definirao ju W. S. Gosset kao razdiobu varijable t• proizašla iz raspodjele aritmetičkih sredina
• kada n raste približava se normalnoj razdiobi k=30
12
2
11 2
( ) (1 ) ; ( 1)!
2
n
nt
f t n nn nn
N. Šakić, H. Cajner
• tablica Studentove ras.- za određenu vrijednost površine (vjerojatnosti) i stupnja slobode daje vrijednosti parametra t
Primjer: Za =0,01 u uzorku veličine 10 elemenata (k=10-1=9 stupnjeva slobode) t=2,821
• treba s oprezom primjenjivati tablice zbog različitog korištenja termina – površina samo jednog ‘repa’ ili oba?!
N. Šakić, H. Cajner
(hi-kvadrat) raspodjela(hi-kvadrat) raspodjela• varijance se ne pokoravaju normalnoj raspodjeli• poseban slučaj razdiobe definira raspodjelu varijable 2
• varijabla 2 sa samo jednim parametrom k=n-1 → stupanj slobode2
1
0
2
n
i
ixx
kE )( 2 - očekivana vrijednost
N. Šakić, H. Cajner
• tablica 2 ras.- za određenu vrijednost površine (vjerojatnosti) i stupnja slobode daje vrijednosti parametra 2
• kod čitanja vrijednosti 2Ptreba imati na umu da se to
odnosi na ‘unutrašnju’ površinu.
Primjer: Pronaći vrijednosti
i i za vjerojatnost za vjerojatnost
pogreške 5% i k=9. pogreške 5% i k=9.
= = =2,70=2,70
= =
=19,02=19,02
N. Šakić, H. Cajner
F -F - raspodjela raspodjela• definirao G. Snedecor , R. Fisher • to je raspodjela varijable F koja je definirana kao omjer
procijenjenih varijanci• raspodjela ima samo dva parametra:
– stupanj slobode brojnika kbrojnika
– stupanj slobode nazivnika knazivnika
2
2
2
1
ss
F
-parametri: kbrojnika=n1-1; knazivnika=n2-1
- preduvjet: (s1>s2)
N. Šakić, H. Cajner
• Tablica F-raspodjele daje vrijednosti varijable F za vjerojatnost (površinu desnog repa), stupanj slobode brojnika i nazivnika.
Primjer: Pronaći vrijednost varijable F za =0.25, kb=9 i kn=11.
F=1,53
vrijednosti parametra F
N. Šakić, H. Cajner
Papir vjerojatnostiPapir vjerojatnosti• još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja• utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju • za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnosti:
– papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)– papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjele– papir vjerojatnosti lognormalne raspodjele– ...
• uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
N. Šakić, H. Cajner
• konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
70
60504030
20
10
5
1
x
%
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
%
Normal Funkcija distribucije
~84%
• Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točke:– 1. točka : (x=, y=50%)– 2. točka : (x=y=84%)
N. Šakić, H. Cajner
• primjena papira vjerojatnosti
Primjer: Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli.
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli.- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i