PORCENTAJES1. DEFINICIN: Es una aplicacin de la regla de tres simple directa en donde una de las cantidades representa una unidad dividida en 100 partes iguales (100%)Esquema:m -------- 100 %n -------- x

X = x100 %

2. PRINCIPALES RELACIONES:

A. Transformaciones:

A.1 De % a Fraccin:Ejemplo: 20% 45% En general:

a %

A.2 De Fraccin a %:Ejemplo:

En general:

B. Porcentajes semejantes:Ejemplo: 25% de N, ms el 30% de N = (25% + 30%) de N

= 55% de N = 42% de N, ms el 38% de N, menos el 45% de N.= (42% + 38% - 45%) de N

= 35% de N =

C. Porcentajes de porcentaje:Ejemplo: 40% del 50% de N = 75% del 80% del 60%de N =

Ejemplo: 5 por ciento de 300

5 + 5 + 5 = 15NOTA:dedelimplica una multiplicacinde los

ES significa igualdad. Cuando nos dicen que se disminuye o se aumenta a un total en trminos de porcentajes, debemos considerar que ese total es el 100% de s mismo.

Perdi QuitoMe Queda

30%100% - 30%

40%60%

90%10%

Gan AumentaMe Queda

30%100% + 30%

40%140%

200%300%

PORCENTAJE: La expresin por ciento viene de la fraccin latina per centum y de ella deriva la palabra porcentaje. Se denomina porcentaje o tanto por ciento, al nmero de unidades que se toma de cada 100. Si decimos el 70 por ciento de las respuestas de una prueba son correctas. Se podr usar 70/100 en vez de la frase 70por ciento. La frase por ciento se usa cuando una razn est expresada con un denominador 100.

70 por ciento: En vez de la expresin por ciento se usa el smbolo es una abreviatura de 1/100

Todo nmero puede ser expresado como un porcentaje multiplicando dicho nmero x 100

Ejemplo:

4 < > 4 x 100% 400%

x 100% 50%

x 100% 65%Se puede sumar o restar porcentajes de una misma cantidad.

Ejemplo: 20% A + 40% A = 60% A 50% A 28% A = 22% A 26% B 14% A + 5% B = 17% B

Ejemplo:

A) 15% del (12% de C) + 4% del (12 de C)

se suman

= 19% del (12% de C)B) Una cantidad ms su 30% = 130% de la cantidad.C) Mi edad ms el 23% de ella = 123% de mi edad.

EJEMPLOS DE PORCENTAJEEjemplo 1: Hallar el 40% de 900Resolucin:

40% de 900 = R RSimplificando obtenemos:

40 x 9 = R R = 630Ejemplo 2: Hallar el 0,02% de 36 000Resolucin:

0,002% de 36 000 = R Simplificando obtenemos:

0,002 x 36 = R =

R = 0,72

Segundo caso:Cuando en: P% de N = RSe conocen P% y RSe desconocen N

Ejemplo 3: 25% de que nmero es 60?Resolucin:Sea: N el nmero buscado,

entonces: 25% de N = 60

Despejando N obtenemos:

Ejemplo 4: 0,06% de qu nmero es 24?Resolucin:Sea: N el nmero buscado, entonces: 0,06% de N = 24

Ejemplo 5: Si tuviera 20% ms de la edad que tengo tendra 48 aos. Qu edad tengo en la actualidad?Resolucin:Sea mi edad actual: e 100%eRecordemos que la totalidad de una cantidad es siempre el 100% de ella misma. Del enunciado, obtenemos: e + 20%e = 48 aos 100%e + 20%e = 48 aos 120%e = 48 aos

e = 48 aos

e = aos e = 40 aos (edad actual)

EJERCICIOSNIVEL BASICO1. Hallar el 10% del 25% de 400 000.

2. Hallar el 0,002% de 36 000.

3. 25% de qu nmero es 60?

4. De qu nmero es 298 el ms?5. Si el x% ms de q es p; Cul es el valor de x?

6. Si tuviera 20% ms de la edad que tengo tendra48 aos Qu edad tengo en la actualidad?

7. Una cantidad disminuida en su 13% es 957. Cul es dicha cantidad?

8. De qu nmero es 128 el 36% menos?a) 240 b) 200 c) 100 d) 250 e) 400

9. Cunto es el 20% ms del 20% menos de 50?a) 50 b) 48 c) 52 d) 46 e) NA

10. Determine el 25% de los 2/5 del 40% de los 2/9 del 10% de 36 000.a) 30 b) 32 c) 34 d) 31 e) 33

11. El 20%A = 30%B qu porcentaje de (A+B) es B?a) 20% b) 30% c) 40% d) 50% e) 60%

12. En la academia San Agustn hay 600 alumnos, de los cuales 450 son mujeres qu porcentaje del total son los varones?a) 15% b) 25% c) 35% d) 24% e) 36% RESOLVER: NIVEL INTERMEDIO1. 0,06% de qu nmero es 24?

a) 2400b) 240c) 242d) 344e) N.A

2. Hallar el 0,008% de 0,2?

a) 16x10-4b) 16x10-6 c) 8x10-4d) 8x10-6e) 16x10-33. Hallar el (a+b)% de

a) (a-b)b) (a+b)2c)

d) (a-b)2e) 4. Hallar: de la mitad de 80 aumentada en 20?a) 0,3b) 0,03c) 0,003d) 3e) 0,65. Halle 0,08% de 0,05% de 40 000?

a) 0,16b) 0,016c) 0,032d) 0,165e) N.A6. Cuando recibir ms: si me dan el 17% de 200; el 0,08% de 40 000 los 5/6% de 3000.a) Cuando me den 0,08% de 40000b) Cuando me den 17% de 200c) Cuando reciba 5/6% de 3000d) Siempre igual e) N.A

7. Si Jos tuviera 24% menos de la edad que tiene, tendra 38 aos Qu edad tiene actualmente?

a) 45 aosb) 50 aosc) 35 aosd) 65 aose) 55 aos

8. Si vendiera mi libro de Razonamiento Matemtico en un 30% menos, costara 17,50 soles Cul es el precio real del libro?

a) S/. 25b) S/. 35c) S/. 30d) S/.28e) S/. 32

9. El 40% de los del 6% de 48 es 0,012 de los 2/3 de una cantidad. Hallar el 25% de dicha cantidad.

a) 17b) 19c) 23d) 27e) 37

10. Dos blusas son vendidas en S/. 30 cada una. En la primera se gana 20% y en la segunda se pierde el 20%. Entonces se puede afirmar que:

a) Se pierde S/.4b) Se gana S/. 4c) Se pierde S/. 2,50d) Se gana S/. 2,50e) N.A

CUATRO OPERACIONES

Se conoce con el nombre de cuatro operaciones a una parte de la Matemtica que comprende el estudio de las operaciones y propiedades de Adicin, Sustraccin, Multiplicacin y Divisin, en el conjunto de los Nmeros Naturales y luego por extensin en el conjunto de los Nmeros Enteros.En los problemas daremos nfasis al anlisis, y algunos mtodos prcticos.

ADICINEs una operacin binaria, en la cual para dos nmeros enteros a y b llamados sumandos, se obtiene un tercer nmero entero S llamado suma o suma total. a + b = S

sumandos suma totalSUSTRACCINEs la operacin inversa a la Adicin, en la cual, para dos nmeros enteros llamados Minuendo y Sustraendo, se obtiene un tercer nmero entero llamado resta o diferencia.M-S=D MinuendoSustraendoDiferencia.

M = S + D MULTIPLICACINEs una operacin binaria, que para dos nmeros enteros M y m llamados multiplicando y multiplicador respectivamente o factores, se obtiene un tercer nmero entero llamado producto, el cual es igual a sumar tantas veces el multiplicando como lo indica el multiplicador.Multiplicando m sumandos M x m = M + M + .... + M = P multiplicador producto DIVISINEs la operacin inversa a la multiplicacin, en la cual, para dos enteros D y d Dividendo y divisor

respectivamente (ste ltimo diferente de cero), se encuentra un tercer nmero entero llamado cociente, de modo que el producto del divisor y el cociente sea el dividendo.

D d =q Dividendo divisor cociente

TEOREMA DE LA DIVISIN ENTERADados dos nmeros D y d llamados dividendo y divisor ( 0 d ) es posible calcular otros dos enteros c y r llamados cociente y residuo, tal que:

D = dc + r0 r d

Esta expresin denominada Ecuacin General de una Divisin entera, permite clasificar a sta segn el valor del residuo. En:a) Exacta: r = 0 D = dc

Ejemplo: 204 05Entonces 20 = 4 (5).

b) Inexacta: r 0 dc D d.(c+1)

El nmero c es el mayor entero que multiplicado por el divisor da un producto menor que el dividendo y se llama cociente entero por defecto.El nmero (c+1) es el menor entero que multiplicado por el divisor da un producto mayor que el dividendo y se le llama cociente entero por exceso.

Para una divisin inexacta por defecto:

D = dc + r 0 r d, donde: r = residuo por defecto.

Ejemplo: 20 6 2 3 Entonces 20 = 6 (3) + 2

Para una divisin exacta por exceso:

D = d (c+1) r 0 r d, donde: r = residuo por exceso

Ejemplo:20 6 4 4 Entonces 20 = 6 (4) 4 Propiedades:

i) r + r = dii) rmximo = d 1iii) rmnimo = 1

OPERACIONES COMBINADAS

1). Conociendo la suma (S) y la diferencia (D) de dos nmeros:

Nmero mayor = Nmero menor =

2). Conociendo la suma (S) y cociente (q) de dos nmeros:Nmero menor = Nmero mayor =

3). Conociendo la diferencia (D) y el cociente (q) de dos nmeros:

Nmero menor =

Nmero mayor =

4). Conociendo la suma (S) y el producto (P) de dos nmeros:

Nmero menor =

Nmero mayor =

5). Conociendo la diferencia (D) y el producto (P) de dos nmeros:Nmero mayor =

Nmero menor =

COMPLEMENTO ARITMTICO (C.A.)

Se llama as a lo que le falta a un nmero para ser igual a una unidad del orden inmediato superior.

CA(28) = 102 28 = 100 28 = 72CA(534) = 103 534 = 1000 534 = 466CA(6200) = 104 6200 = 10000 6200 = 3800

*Se tiene: CA (N) = 10k NDonde k = es la cantidad de cifras de N

Mtodo Prctico:

CA(534) =

CA(6200) =

CA(4306) =

CADonde: d 0

Ejercicios

Nivel bsico

1. De dos nmeros que suman 240, uno de ellos es el cudruple del otro. calcular el triple de la sexta parte del menor.

2. De dos nmeros cuya diferencia es 343 se sabe que su cociente es 8. Calcular la sptima parte del menor.

3. Una lata con aceite pesa 18000 gramos. Si el aceite pesa 17000 gramos ms que la lata, Cunto pesa cada uno?

4. La suma de dos cifras de un nmero es 10; la cifra de las unidades excede en 6 a la cifra de las decenas Cul es el nmero?

5. Mayo trae 31 das, mi cumpleaos ser aquel da en el cual los das que ya haya vivido exceder en 19 a los que aun faltan vivir de aquel mes. Qu da de mayo es mi cumpleaos?

6. La suma de dos nmeros es 180 y uno de ellos es el doble del otro .Hallar dichos nmeros.

7. La cantidad de caramelos que tiene Manuel es los 2/3 de lo que tiene Sara; si entre los dos tienen 80 caramelos Cunto tiene Manuel?

8. Hallar un numero de dos cifras , sabiendo que la diferencia entre sus cifras es 6, y que las cifras de las decenas es el cudruple que la de las unidades.

9. La diferencia de los cargamentos de dos camiones es de 1600 toneladas uno de ellos tiene de carga los 3/5 de lo que tiene el otro. Entonces cada uno tiene

NIVEL I Lee y resuelve los siguientes problemas matemticos aplicando las operaciones aritmticas.

a. Un corredor de autos se dispone a recorrer toda la costa del Pacfico, con un recorrido total de 7 500 km. Cada neumtico de su coche soporta un trayecto de 5 000 km. Cuntas ruedas de repuesto tendr que llevar para compensar el desgate?

b. Mara tiene S/. 500.00 y desea apostar su dinero; primero gan S/. 180.00, despus de una hora volvi a ganar S/. 67.50. Despus perdi S/. 375.00. Gan o perdi? Cunto?

c. Elena compra un pantaln S/. 75.00 y un polo de S/. 35.00. Cunto de vuelto recibir si pag con S/. 200.00?

d. Carlos tiene 90 canicas, primero regala 1/5 de sus canicas; despus 1/3 de lo que sobra. Con cuntas canicas se queda Carlos?

e. Yanelli observa la siguiente oferta: tres polos a tan slo S/. 45.00 y un pantaln a S/. 50.00. Cunto pagar si lleva un polo y dos pantalones?

f. Se tiene un terreno de 30 metros de largo y 15 metros de ancho. Y se desea cercar todo los lados. Cuntos metros de alambre comprar?

g. Una secretaria gana mensualmente S/. 1 500. Pero hace los siguientes gastos: S/. 50.00 paga de luz; S/. 450.98 de alimentos y por ltimo S/. 25,88 de agua. Cunto le queda de dinero?

h. Hay una oferta de combo por el da de la madre; una licuadora, una olla arrocera y una plancha todo a slo S/. 120.00. pero se sabe que la plancha cuesta S/. 35.50 la licuadora S/. 25.46 ms que la plancha. Cunto cuesta la olla arrocera?

NIVEL II1.) La suma de los trminos de dos operaciones de restas es 168 y uno de los sustraednos es 35. Determinar una de las diferencias, si se sabe que la diferencia de los minuendos es 24.

2.) El cociente y el resto de una divisin inexacta son 4 y 30 respectivamente, si se suman los trminos el resultado es 574. Hallar el divisor.

3.) El residuo por exceso de una divisin es 793. Si el residuo por defecto es la tercera parte del residuo mximo. Hallar el residuo por defecto.

4.) La suma de dos nmeros es 90 y su diferencia es igual a la tercera parte del minuendo, qu nmero es el sustraendo.

a) 36 b) 18 c) 54 d) 48 e) 60

5.) En una sustraccin la suma de sus tres trminos es 142; si el sustraendo es el complemento aritmtico del minuendo. Hallar la suma de las cifras de la diferencia?.

a) 8 b) 7 c) 5 d) 6 e) 9

6.) El exceso del triple de un nmero sobre 42 equivale al exceso de 286 sobre el nmero. Cul es el nmero?

a) 28b) 42 c) 56d) 82e) 61

7.) A un baile asistieron 110 personas, la primera dama bail con 5 caballeros, la 2da con 8, la 3era con 11 y as sucesivamente hasta que la ltima bail con todos los caballeros Cuntas damas concurrieron?

a) 23b) 27c) 28d) 29e) 30

8.) Se reparte una cantidad de dinero entre cierto nmero de personas, recibiendo cada uno S/200. Si 2 de las personas renuncian a su parte, entonces cada uno de los restantes recibe S/50 ms Cuntas personas son en total?

a) 10b) 11c) 12d) 13e) 14

9.) El producto de 2 nmeros es 1890; si el multiplicador aumenta en 5 unidades y el producto aumenta en 270. Dar la diferencia de ambos nmeros.

a) 17b) 18c) 19d) 20e) 2110.) El producto de dos nmeros es 720; si se aaden 6 unidades al multiplicando, el producto es entonces 816. Cul es el multiplicador?

a) 72 b) 36 c) 45 d) 16 e) 32

Profesor enseando Razonamiento Matemtico

MTODOS ARITMETICOSMTODO DEL CANGREJO Se puede aplicar en aquellos problemas matemticos que tienen las siguientes caractersticas: Siempre se desea conocer la cantidad inicial. A la cantidad inicial se le ha realizado una serie de operaciones aritmticas consecutivas (+,-, X, , , etc.) El nico dato que nos dan es la cantidad final que se ha obtenido despus de las operaciones sucesivas.EL MTODO DEL CANGREJO: consiste en realizar las operaciones inversas y en sentido opuesto a lo que nos indica el problema hasta obtener el valor inicial. Es a esta forma de proceder que se debe el nombre del mtodo. Adems hay que tener presente la correcta interpretacin del enunciado del problema.CANGREJO OPERACIONES INVERSAS

OPERACIONES DIRECTAS

Manuel gana 60 soles + 60 - 60Pamela pierde 50 soles- 50 + 50Duplic su dinero X 2 2Ana gast la mitad de su dinero 2 X 2Triplic lo que tena X 3 3Gast 8 soles - 8 + 8

Ejemplo 1 Con un cierto nmero realizo las siguientes operaciones: lo multiplico por 2, luego le agrego 4, a continuacin le disminuyo 8, en seguido lo divido entre 2 para finalmente disminuirle 1, obteniendo finalmente cero. Cul es el nmero?

MTODO PRCTICO?

X 2 2+ 4- 4_ 8 + 8 2X 2_ 1+ 10

EJERCICIOSNivel basicoProblema n 1: A una cierta cantidad se le suma 6 y al resultado se le divide entre 3, y a este valor le resto 2 obteniendo finalmente 8. Hallar la cantidad inicial.a) 14 b) 24 c) 34 d) 54Problema n 2: Jaimito le dice a Juana: Si a la cantidad de dinero que tengo le agregas S/. 20 a ese resultado lo multiplicas por 6, luego le quitas S/. 24, posteriormente le extraes la raz cuadrada y por ltimo lo divides entre 3, obtienes S/. 8. Dar la cantidad inicial que tiene Jaimito.a) 80 b) 40 c) 60 d) 70

Problema n 3: Manuel compr un cuaderno, cada da escribe la mitad de las hojas en blanco ms 5 hojas; si despus de 3 das observa que solamente le queda 5 hojas, Cuntas hojas tiene dicho cuaderno?a) 100 b) 110 c) 120 d) 130

Problema n 4: Vctor compra cierta cantidad de naranjas, a su hermana le regala la mitad de lo que compra ms 4 naranjas, a su vecina le regala la mitad de lo que queda ms 3 naranjas. Cuntas naranjas compr si an quedan 16 naranjas?a) 64 b) 74 c) 84 d) 94

Problema n 5: Un recipiente lleno de agua se agota en 3 das, porque cada da se extrae la mitad de su volumen ms 2 litros. Cul es el volumen de dicho recipiente?a) 48 b) 38 c) 18 d) 28

Problema n 6: A un cierto nmero lo multiplicamos por 4, al resultado le aadimos 8 y a dicha suma la dividimos entre 4, obteniendo finalmente 6. Cul es el nmero?a) 4 b) 14 c) 24 d) 34

Problema n 7: A un cierto nmero lo dividimos entre 4, al resultado hallado le sumamos 8, a este resultado lo multiplicamos por 3, a este resultado le restamos 8, a este resultado le extraemos la raz cuadrada; obteniendo como resultado final 5. Halla dicho nmeroProblema n8: Se triplica un nmero, al resultado se le agrega 4, se le divide entre 2 al resultado y se eleva al cuadrado y al obtenido se le disminuye 21, para que al sacar la raz cuadrada al resultado se obtenga 10. Cul es el nmero inicial?a) 6 b) 8 c) 10 d) 12

Nivel Avanzado

1.- Un nmero se divide entre 2, al resultado se eleva al cuadrado, luego se divide entre 4 y por ltimo se le extrae la raz cuadrada, obteniendo5. Cul es el nmero inicial?A) 20 B) 40 C) 60 D) 12 E) 10 2.- A un cierto nmero lo multiplicamos por 2, al resultado le aadimos 6 y a dicha suma la dividimos entre 4, obteniendo finalmente 2. Cul es el nmero?A) 2 B) 4 C) 1 D) 3 E) 5 3.- A un cierto nmero se le eleva al cuadrado, a este resultado se le resta 7, a este nuevo resultado se le multiplica por 7, luego le agregamos 2, finalmente le extraemos la raz cuadrada, obteniendo como resultado final 4. Halla dicho nmero.A) 2 B) 1 C) 4 D) 5 E) 3 4.- En un pueblo existe un santo que hace el milagro de duplicar el dinero que uno tiene, pero por cada milagro que hace se le debe dejar una limosna de 16 soles. Si luego de hacerle 3 milagros seguidos a un devoto, este sali de la iglesia sin un centavo, Cunto tena al entrar? A) 12 B) 14 C) 15 D) 20 E) 26

5.- A un cierto nmero lo multiplicamos por 3, al resultado hallado le sumamos 4, a este resultado lo multiplicamos por 2, a este nuevo resultado le restamos 2, a este resultado le extraemos la raz cuadrada, obteniendo como resultado final 6. Halla dicho nmero. A) 5 B) 6 C) 3 D) 2 E) 7 6.- Multiplicamos un nmero por 4, producto al que luego restamos 12, dividiendo enseguida el resultado entre 3, para volver a multiplicar por 6 aadiendo luego 3 al resultado y dividiendo finalmente entre 3 resulta 89. Cul es el nmero inicial? A) 35 B) 36 C) 26 D) 24 E) 287.- Juan compr un cuaderno cada da escribe la mitad de las hojas en blanco ms 4 hojas; si despus de 3 das observa que solamente le queda 2 hojas, Cuntas hojas tiene dicho cuaderno?A) 64 B) 76 C) 72 D) 84 E) 548.- De un recipiente con agua se le extrae agua durante 3 das hasta que slo quede 8 litros de agua. En cada da se extrae la mitad de su volumen ms 2 litros. Cul es el volumen de dicho recipiente? A) 50L B) 54L C) 84L D) 90L E) 92L9.- A un cierto nmero se eleva al cuadrado, a este resultado se le resta 14 a este nuevo resultado se le multiplica por 3, luego le agregamos 3, finalmente le extraemos la raz

cuadrada, obteniendo como resultado final 3. Halla dicho nmero.A) 4 B) 2 C) 8 D) 6 E) 9 10.- Si a la edad de tu abuelo lo multiplicas por 6; luego lo divides entre 10 y el cociente lo multiplicas por 4, aadiendo en seguida 42, obtendras 162. Cul es la edad de tu abuelo?A) 40 B) 36 C) 60 D) 40 E) 50 PRACTICA11.- A un cierto nmero lo dividimos entre 6, al resultado hallado le sumamos 2; a este resultado lo multiplicamos por 3; a este nuevo resultado le restamos 7; a este nuevo resultado le extraemos su raz cbica obteniendo como resultado final. Halla dicho nmero.A) 24 B) 18 C) 26 D) 14 E) 16

12.- Si a un nmero se le resta 32, a la diferencia lo dividimos entre 8, por ltimo a este cociente se le multiplica por 4, se obtiene como producto 20. Halla este nmero.A) 64 B) 72 C) 84 D) 96 E) 66

13.- En un pueblo existe un santo que hace el milagro de duplicar el dinero que uno tiene, pero por cada milagro se le debe dejar una limosna de 8 soles; si luego de hacerle 3 milagros seguidos a un devoto, este sali de la iglesia sin un centavo. Cunto tena al entrar?A) S/ 6 B) S/7 C)S/ 14 D)S/ 21 E) S/ 16 14.- Cada vez que Manuel se encuentra con Sara, ste le duplica el dinero a Sara; en agradecimiento Sara le da un sol. Si en un da se han encontrado 3 veces y luego de las cuales Sara tiene 25 soles. Cunto tena inicialmente Sara? A) S/ 4 B) S/6 C)S/ 8 D)S/ 15 E) S/ 26

15.-Si a mi edad lo multiplico por 2, le resto 3, a todo esto lo divido entre 2, al cociente le agrego 2 y le extraigo la raz cuadrada al resultado, obtengo 6 aos. Cul es mi edad?A) 10 aos B) 15 aos C)20 aos D) 30 aos E) 25 aos

16.- Un tanque se demora 4 das para vaciarse completamente. En cada da se desocupa la mitad ms 1 litro de lo que haba el da anterior. Cuntos litros tena el tanque?A) 45 L B) 30 L C) 20 L D) 35L E) 40 L

MTODO DEL ROMBOEste mtodo se puede aplicar a los problemas de 4 operaciones que presentan las siguientes caractersticas:Valor unitario (mayor)

Que tenga dos incgnitas. Que presente un valor numrico producido(-)(X)

Por la suma de dos incgnitas (n total de Elementos). Total recaudado(-)

Valor unitario de cada una de las incgnitas. Adems tenga otro valor numrico producido Por el nmero total de elementos.

Los valores se ubican en las vrtices de un rombo y las flechas indican la forma cmo se debe operar.Valor unitario (menor)

Siempre obtendremos primero el valor de la incgnita del que posee el menor valor unitario. El valor de la otra incgnita se halla por diferencia.Este mtodo nos permite encontrar la solucin del problema en forma directa. Para que se entienda mejor , veamos algunos problemas.Valor unitario (menor)Total recaudado

1.-En un corral en que se cran conejos y gallinas se cuenta en total 90 cabezas y 280 patas. Cuntos animales de cada tipo se cra?RESOLUCIN:Donde: Nmero total de elementos : 90 En el vrtice superior e inferior se colocan los valores unitarios.

Conejos (tiene 4 patas) mayor

Total recaudado 280 patas.Aplicando el mtodo rombo y operando como se indica:

N de gallinas = 90 X 4 280 =

4 2

360 280 = 80 = 40 2 2

Luego: N de conejos + N de gallinas = N de cabezas Nmero de conejos = 90- 40 = 50 entonces

Hay 40 gallinas y 50 conejos.

PROBLEMAS DEL MTODO ROMBO

1.- En una factora hay entre bicicletas y autos 300 y el nmero de llantas es 800. Cuntos autos hay?A) 80 B) 100 C) 200 D) 150 E) 120

2.- Jaimito tiene 34 animales entre gallinas y perritos. Cuntos perritos tiene Jaimito si en total hay 100 patas (extremidades)?A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22

3.- En un corral se contaron 40 cabezas y 130 patas. Cuntos conejos existen en el corral, si en dicho corral existen solamente conejos y pollos?A) 18 B) 10 C) 16 D) 15 E) 25

4.- En un teatro las entradas para adultos costaban S/.3 y para los nios S/. 1; concurrieron 752 espectadores y se recaudaron S/. 1824. Cuntos eran adultos y cuntos nios?A) 536 Y 216 B) 512 Y 240 C) 600 Y 152D) 550 Y 252 E) N.A.

5.- En un grupo de carneros y gallinas, el nmero de patas era 56 y el nmero de cabezas era 25. Cuntos carneros hay?A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 6

6.- A un teatro entraron un total de 450 personas entre nios y nias. Recaudaron S/. 1200 debido a que cada nio pag S/. 3 y cada nia S/.2. La diferencia entre nios y nias es:A) 100 B) 150 C) 75 D) 60 E) 50

7.- En un examen de 30 preguntas un alumno respondi todas, obtuvo 80 puntos; si cada pregunta correcta vale 4 puntos y cada incorrecta pierde 1 punto. En cuntas preguntas se equivoc? A) 6 B) 8 C) 22 D) 9 E) 12

8.- En un corral hay 92 patas y 31 cabezas; si lo nico que hay son gallinas y conejos, Cul es la diferencia entre el nmero de gallinas y conejos existentes?A) 1 B) 2 C) 15 D) 6 E) 4

9.- En un establecimiento comercial se cuentan 25 vehculos entre bicicletas y triciclos; si en total se cuentan 65 llantas, Cuntos triciclos hay?A) 8 B) 10 C) 15 D) 12 E) 16

10.- El profesor Carlos cobra 15 soles por clase dictada y se le descuenta 5 soles por cada clase que falta. Si al trmino del mes debi dictar 40 clases y nada le queda por cobrar, A cuntas clases falto Carlos? A) 10 B) 20 C) 12 D) 25 E) 30

11.- 60 personas viajan en un tren donde los adultos pagan 6 soles por pasaje y los nios 2 soles. Si en total se lleg a recaudar 280 soles, Cuntos adultos viajaron?A) 40 B) 20 C) 18 D) 26 E) 12

EJERCICIOS PARA CASA

12.- Un seor al regresar de cacera le dice a su esposa traigo en la canasta 37 cabezas 102 patas. Cuntos conejos ms que gallinas llevaba este seor?A) 23 B) 13 C) 14 D) 9 E) 16

13.- Un mnibus realiza el servicio de Moquegua a Torata cobrando 7 soles por cada adulto y 4 soles por cada nio. Si en uno de sus viajes recaud 148 soles y transport 25 pasajeros. Cuntos adultos hicieron uso del servicio?A) 9 B) 15 C) 16 D) 12 E) 18

14.- Se tiene 40 billetes que hacen un total de S/ 500; si slo haba billetes de S/ 20 y de S/ 10. Cuntos hubieron de cada claseA) 30 Y 10 B) 20 Y 10 C) 10 Y 30D) 28 Y 12 E) 25 y 15

15.- Manolito compr 37 libros, unos le costaron 120 soles y otros 200 soles cada uno; si gast 5 640 soles. Cuntos libros de mayor precio compr?A) 18 B) 22 C) 20 D) 16 E) 1516.- Un maestro propone 9 problemas a su alumno y le promete 6 soles por cada problema bien resuelto; pero debiendo devolver el alumno, 3 soles por cada problema errado; resulta que al final el alumno y el maestro no se deben nada. Cuntos problemas fueron resueltos bien?A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

17.- Se forma la longitud de 1 metro colocando 37 monedas de 5 y 10 centavos en contacto con sus cantos y a continuacin unas de otras. Los dimetros son 25 y 30 milmetros. Cuntas monedas son de 5 centavos?A) 18 B) 20 C) 22 D) 15 E) 25

18.- La semana que trabajo, da lunes puedo ahorrar S/. 40; pero la semana que no lo hago tengo que retirar del banco S/.20. Si despus de 10 semanas he podido ahorrar solo S/. 220, Cuntos lunes no trabaj?A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 6

19.- Carlos tiene 6 billetes de cinco y diez soles. Si del total tiene 45 soles; Cuntos son los billetes d menor denominacin?A) 5 B) 1 C) 3 D) 12 E) 4

20.- 120 personas viajan en un tren, los pasajes de primera clase se pagan S/.86 por persona y los de segunda S/. 50 si despus del viaje se recaud S/. 8 592, Cuntas personas viajaron en primera clase?A) 48 B) 72 C) 60

MTODO DEL RECTANGULO

EJERCICIOSProblema 01 Una persona debe repartir cierto nmero de caramelos entre sus sobrinos, si les da 2 a cada uno le sobran 6, pero si les da 4 a cada uno le faltan 18. Cuntos caramelos tena esta persona inicialmente?A) 12 B) 30 C) 15 D) 18 E) NA

Problema 02 Con el fin de ganar S/. 200 en una rifa se emitieron 50 boletos, pero slo se vendieron 30 por lo cual se perdi S/.400 Cul era el precio del premio?A) 1200 B) 1300 C) 1500 D) 1800 E) NA

Problema 03 Un padre decide ir al cine con sus hijos, pero observa que si toma entradas de S/.5 le faltaran S/.8 pero tomando entradas de S/.3 le sobran S/.12 Cantos hijos tiene?A) 12 B) 10 C) 9 D) 13 E) NAProblema 04 Una Persona quiere rifar un reloj de un precio determinado emitiendo para esto cierto nmero de acciones, si se vende a S/.2 cada accin, perder S/.30 y vendiendo en S/.5 la accin ganar S/.60 Cunto vale el reloj?A) 60 B) 80 C) 90 D) 30 E) 40

REGLA CONJUNTA

Es un mtodo que nos permite determinar la equivalencia de dos elementos.Procedimiento:

1. Colocar la serie de equivalencias formando columnas.2. Procurar que en cada columna no se repitan los elementos; si se repiten cambiar el sentido de la equivalencia.3. Multiplicar los elementos de cada columna.4. Despejar la incgnita.

EJEMPLOSe aplica en aquellos problemas donde se dan una serie de _____________________.

Se resuelven verificando que el segundo miembro de cada _________________ sea de la misma ____________________ que el primero de la siguiente y as sucesivamente, para finalmente multiplicar estas _____________________.

Para su mejor comprensin veamos algunos problemas

1. Sabiendo que 6 varas de pao cuestan lo mismo que 5 metros y que 2 metros valen 300 soles. Cunto costarn 4 varas?

a) 500b) 400c) 600

d) 800e) N.A.

Formamos las equivalencias y apliquemos regla conjunta de acuerdo a lo aprendido

As tendremos :

6 varas =5 metros 2 metros=S/. 300S/. x=4 varasMultiplicando 6 . 2 x = 5 . 300 . 4

x =

x = S/. Rpta : clave

Ejemplo 1: Si 4 soles equivale a una libra esterlina; 3 yenes equivale a 2 libras esterlinas; 5 marcos equivale a 6 yenes; y 9 marcos equivale a 6 pesetas.Cuntas pesetas equivale a 16 soles?Resolucin:S/. 4 1 l.e.2 l.e. 3 yenes6 yen. 5 marcos9 mar. 6 pesetasX pes. S/. 164.2.6.9.X = 1.3.5.6.16X = 10/3

EJERCICIOS

1. Se ha pagado una deuda de S/. 170 con monedas de S/. 5 y S/.2. El nmero de monedas de S/. 2 es mayor que la de S/. 5 en 15. Cunto suman las monedas de S/. 5 y S/. 2?

2. Un carnicero compr 152 kg de carne a S/. 15 el kg, despus de haber vendido 32 kg a S/. 18 el kg. guarda la carne por varios das y se le malogra el 30%. A como debe vender el kg de lo que le queda para ganar en total 144 soles?

3. Compre varios radios porttiles por $2800; vend parte de ellos en $900 a $60 cada radio perdiendo $20 en cada uno. A como debo vender cada uno de los restantes para que pueda ganar $ 500 en la venta total?

4. Un tanque de agua de 540m de capacidad, puede ser desaguado mediante 3 bombas A, B y C colocadas equidistantemente de arriba hacia abajo; los caudales respectivos son de 3; 10 y 5m/min. Si estando lleno el tanque se ponen en funcionamiento las bombas. En que tiempo ser desaguado totalmente?

5. Para la eleccin de la Junta Directiva del mejor equipo del mundo TODO SPORT se presentaron tres listas A, B y C, 150 hombres no votaron por C; 170 mujeres no votaron por B; 90 hombres votaron por C; 180 votaron A y 50 hombres votaron por B. Cuntos fueron los votantes y que lista gan, si 200 votaron por B?

6. Un mnibus que hace su recorrido de Lima a Huaral, y en uno de sus

viajes recaud en total la suma de S/. 228. El precio nico del pasaje es de S/. 6.00, cualquiera que sea el punto donde baje o suba el pasajero; cada vez que baj un pasajero subieron 3 y el mnibus llego a Huaral con 27 pasajeros se desea saber el N de pasajeros que llevaba el mnibus al salir de Lima

7. Hallar el mayor de dos nmeros sabiendo que la suma es el mximo nmero de 3 cifras y su diferencia es el mximo nmero de 2 cifras.

8. En una fiesta en la cual hay 42 personas, la primera dama baila con 7 caballeros; la segunda dama con 8; la tercera con nueve y as sucesivamente hasta que la ltima baila con todos los caballeros. Cuntos caballeros asistieron?

9. Si le pago S/. 15 a cada uno de mis empleados, me faltaran S/. 400, pero si slo le pago S/. 8 me sobraran S/. 160. Cuntos empleados tengo?

10. Un padre va al cine con sus hijos y al sacar entradas de S/. 3 observa que le falta para 3 de ellos, y entonces tiene que sacar entradas de S/. 1,50. As entonces entran todos y an le sobran S/. 3 Cuntos eran los hijos?

11. Mientras iba al mercado a vender sus sandas un comerciante pensaba: si los vendo cada uno a S/. 18, me comprar mi terno y me sobrarn S/. 60; pero si los vendo a S/.20 cada uno, me sobraran S/.90 luego de comprarme mi terno. Qu precio tiene el terno?

12. Para ganar S/. 28 en la rifa de una radio se hicieron 90 boletos, vendiendo nicamente 75 y originando una prdida de S/. 17. Cul es el valor de la radio?

13. A un nmero le sumamos 2; luego lo multiplicamos por 10 al resultado le sumamos 14 y obtenemos 54 como resultado final. De qu nmero se trata.

14. Se tiene un nmero de dos cifras al cul se le multiplica por 4, luego se le suma 36, se le divide entre 2, nuevamente lo multiplicamos por 3 para al final restarle 33, obteniendo como resultado final el mximo nmero de 2 cifras. Dar como respuesta la suma de las cifras de dicho nmero.

15. Paquito ha pensado un nmero en la cul le realiza las siguientes operaciones consecutivas; le agrega 2 a este resultado lo multiplica por 4 luego le merma 4, este resultado le extrae la raz cuadrada, luego lo divide entre 2 y por ltimo le quita uno; obteniendo como resultado final uno. Cul es el nmero?

Rpta: ..

16. Una nia escogi un nmero con el cual realiz las siguientes operaciones en el orden mencionado: lo elevo al cuadrado, rest tres a la potencia, dividi entre dos la diferencia, elev al cubo el cociente, le agreg nueve a la potencia, le extrajo la raz cuadrada a la suma y finalmente multiplico por 9 la raz, obteniendo de esta forma 54. Calcular el duplo del nmero elegido.

Rpta.: ..

17. Dos amigos decidieron jugar una partida de cartas con la condicin que el que pierda duplicar el dinero del otro. Si cada uno ha perdido una partida quedndole a cada uno S/.40. Cunto tenan inicialmente cada uno?

Rpta: ..

18. A, B, C deciden jugar teniendo en cuenta la siguiente regla que el perdedor deber duplicar el dinero de los dems. Pierden en el orden indicado y al final quedaron como sigue A con S/. 16, B con S/. 24 y C con S/. 60. Cunto tena A al principio?

Rpta:

19. Tres amigos estn jugando con la condicin que aquel que pierda deber duplicar el dinero de los otros dos. Si cada uno ha perdido una partida quedndole luego de la tercera partida con S/. 60 c/u; dgase cunto tena inicialmente c/u.

TAREA DOMICILIARIA

Ya has aprendido Mtodos Operativos Recuerda el desafi radica en saber reconocer cuando aplicar determinado mtodo y cul es el procedimiento de solucin.. Aplica lo aprendido en la solucin de los siguientes problemas.

1. Los mtodos operativos, se han clasificado en :________________, _________________, ________________ y ___________________

2. Relacionar correctamente:

a) Operaciones()Regla Conjunta Inversas b) Valor supuesto ()Cangrejoc) Diferencia total y unitaria()Rombod) Equivalencias () Rectngulo.

3. En el mtodo del rectngulo, hallamos el # desconocido de elementos (n) dividiendo : _______________ entre ________________.

4. Colocar V F segn corresponda :

1. Regla conjunta se aplica en equivalencias.()2. El 1er miembro debe ser de la misma especie que el 2.()3. n = diferencia/unitaria diferente total. ()4. Rombo y rectngulo se efectan grficos. ()

5. Una persona quiere repartir cierto nmero de caramelos a sus sobrinos. Si les da 8 caramelos a c/u le sobran 45 y si les da 11 a c/u, le faltan 27. Cuntos caramelos quiere repartir?.

a) 237b) 327c) 273d) 723e) 372

6. Si se forman filas de 7 nios sobran 5 pero faltaran 4 nios para formar 3 filas adicionales de 6 nios. Cuntos nios son?.

a) 72b) 61c) 68d) 116e) 12

7. Un padre va con sus hijos al teatro y al querer comprar entradas de 30 soles observa que le falta para 3 de ellos, y resuelve comprar de 15 soles. De esta manera entran todos y le sobran 30 soles. Cuntos eran los hijos?.

a) 5b) 8c) 7d) 6e) 9

8. Si compro 10 camisas me faltaran 100 soles para comprar 4 ms, pero si slo 6 camisas me sobran 200 soles. Entonces el dinero que tengo es:

a) 750b) 425c) 525d) 325e) 875

9. Si se posaron 3 palomas en cada poste, sobraran 4 postes, pero si se osara una paloma en cada poste, sobraran 6 palomas. Cul es la cantidad de postes?

a) 6b) 7c) 10d) 8e) 9

10. Un alumno dice a otro; si quiero comprar 15 chocolates me faltan 10 soles, pero comprando tan solo 10 me sobran 15 soles. Cunto dinero tena?.

a) 80b) 75c) 48d) 90e) 65

11. Un grupo de personas decide ir al teatro, si van a platea les faltan 240 soles y si van a galera les sobra 160 soles. Si invitan a uno les sobrara solo 10 soles, pero si uno de ellos se va slo les faltara 40 soles. Cuntos son el grupo?.

a) 5b) 8c) 6d) 7e) N.A.

12. En cierto pueblo se realiza el siguiente trueque: 5 sacos de papa se cambian por 4 de camote. 10 sacos de yuca se cambian por 6 de olluco. 8 sacos de camote se cambian por 3 de olluco.Cuntos sacos de papa se cambian por 2 sacos de yuca?.

a) 2b) 4c) 6d) 8e) 1

CRIPTOARITMETICA

La palabra criptoaritmtica proviene de dos voces griegas:

KRIPTOS = OCULTO yARITHMOS = NMERO

En los problemas de criptoaritmtica se debe encontrar una serie de valores escondidos que hagan vlida una operacin aritmtica. En este captulo utilizaremos las leyes y reglas bsicas de las cuatro operaciones fundamentales: adicin, sustraccin, multiplicaciny divisin:Ejemplos:1. Dada la operacin:

A + B + C + D es igual a:Solucin:En la columna de las unidades: 2 + B + 6 + 5 = ... 213 + B = ... 2 B = 9En la columna de las decenas: 8 + 7 + 0 + C + 2 = ... 8 se lleva 17 + C = ... 8 C = 1En la columna de las centenas: A + 7 + 3 + 2 + 1 = ... 8 se lleva A + 13 = ... 8 A = 5En la columna de las unidades de millar: 2 + 3 + 1 = D se llevaD = 6Finalmente:

A + B + C + D = 5 + 9 + 1 + 6 = 212. Hallar la suma de las cifras que reemplazan los asteriscos en los productos parciales.

a) 23b) 33c) 30d) 34e) 29Solucin:

Suma de todas las cifras (*) en los productos parciales es: Rpta.Debemos tener en cuenta: Las cifras que utilizamos (Sistema Decimal) son: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Letras diferentes representan cifras diferentes y letras iguales representan a una misma cifra o el mismo valor (salvo que nos den otros datos). Cada asterisco representa a una cifra y 2 asteriscos pueden tener el mismo valor como tambin no. Para enfrentar a un problema se tratar de imaginar la operacin y seguir sus procedimientos como si tuviera su forma normal. numeral ; ab Producto. La suma de 2 cifras iguales no es mayor que 18. La suma de 2 cifras diferentes no es mayor que 17. La cifra a la izquierda del numeral no puede ser cero. El producto de dos cifras impares da como resultado un nmero impar.

Practicamos

Nivel Bsico

1. Halle: A + B, sabiendo que: a) 5b) 12c) 25d) 15e) 132. Determine el valor de: P + A + Z si: , se sabe que todas las cifras son distintas de cero.a) 18b) 19c) 21d) 20e) 223. Si: , y adems: a + b + c = 14. Determine el producto de: a, b y ca) 0b) 14c) 56d) 84e) 724. Determine el valor de: a) 32b) 40c) 48d) 42e) 625.

Si: Halle el valor de: a) 86b) 46c) 27d) 18e) 546. Sabiendo que:

Determine el valor de: a) 1110b) 360c) 420d) 460e) 7207. Complete la siguiente multiplicacin:

Indique el producto.a) 634b) 728c) 532d) 378e) 564

8. Si: Hallar: M x I x La) 18b) 81c) 45d) 76e) 729. Si:

Hallar: B + 2Ca) 20b) 13c) 15d) 18e) 2410. Si:

Hallar A + M + I + G + A ; M 0a) 24b) 26c) 18d) 29e) 3011. Si: Hallar A + B + Ca) 10b) 11c) 12d) 13e) 1412. Halla la suma de las cifras del producto en la siguiente multiplicacin:

a) 12 b) 36c) 18d) 15e) 20

13. Si: Hallar: U + N + Ia) 17 b) 16c) 18d) 19e) 20

14. Determinar: , si:

a) 18 b) 19c) 20d) 21e) 30

15. Si : . Hallar : A + B + Ca) 15b) 19c) 21d) 24e) 20

16. En la multiplicacin, el mayor dgito que aparece en el producto es: N I G M A E x 5E N I G M A

a) 5b) 6c) 7d) 8e)9

17. Si : .Hallar : A + B + Ca) 4b) 5c) 6d) 7e) 9

18. Si: . Hallar: P + A + Z + E a) 15b) 16c) 17d) 18e) 19

19. Si cada letra diferente representa un dgito diferente y sabiendo que:

; (O cero)Hallar: Q + U + E + S + O

a) 21b) 22c) 20d) 19e) 23

20. Si: C E R O +C E R OC E R OC E R O Con O cero C E R ON A D AHallar la suma de valores de xX = D + O + C + E + N + A

a) 28b) 34c) 62d) 58e) 36

21. Si: La suma de cifras del sustraendo es:a) 18b) 21c) 24d) 15e) 16

22. Si:

Entonces: , es:a) 297b) 396c) 495d) 198e) 29

23. Si el producto termina en 2 471.Calcular el valor de: m + c + d + ea) 8b) 19c) 20d) 21e) 22

24.

Calcular: , Si:

a) 75b) 75c) 57d) 57e) 48

25. Si:

Hallar: a) 43 972 b) 45 796c) 82 376d) 78 543 e) 67 183

26. Sea: Hallar: a2 + b2 + c2a) 44b) 31c) 14d) 54e) 41

27. Se sabe que en una divisin entera el divisor es 30 y el residuo 12. Cuntas unidades como mnimo se le puede disminuir al dividendo para que el cociente disminuya en 11 unidades?a) 313b) 311c) 314d) 317e) 315

28. Cuntas cifras 7 tiene el producto de un nmero formado por n cifras 9 y otro de n cifras 7?a) n b) 2nc) 4nd) n1e) 2n1