RAZLOMLJENO LINEARNO

PROGRAMIRANJE

(31.5.2017.)

Doc. dr. sc. Tunjo Perić

9.5.2017 1

Problem razlomljeno linearnog programanja izgleda ovako:

p.o.

Pri tome su C i D vektori koeficijenata iz linearne funkcije cilja u

brojniku i nazivniku, a X je vektor varijabli, svi formata (n, 1), tj. s

n redaka i jednim stupcem.

A je matrica tehničkih koeficijenata formata (m, n), b je vektor

slobodnih članova formata (m, 1), dok su c0 i d0 skalari (realni

brojevi).

Očito je skup mogućih rješenja jednak kao u problemu linearnog

programiranja.

T

0

T

0

maxC X c

zD X d

AX b

0X

(1)

(2)

(3)

9.5.2017 2

Razlomljeno linearno programiranje je pogodno za otptimizaciju

odnosa između različitih ekonomskih veličina. Posebno je

interesantna primjena s ciljem maksimizacije produktivnosti,

ekonomičnosti i rentabilnosti.

Osnovni teorijski rezultati na kojima se zasniva razlomljeno

linearno programiranje:

(a) Skup mogućih rješenja S = {X: AX b, X 0} je neprazan i

ograničen. Skup S je konveksan, a budući da je ograničen on je i

konveksni poliedar.

Dakle, skup mogućih rješanja ima konačan broj ekstremnih točaka,

i svaka točka iz S može se izraziti kao konveksna kombinacija

njegovih ekstremnih točaka.

(b) Nazivnik fukcije cilja je pozitivan, tj. funkcija cilja je

kontinuirana (nazivnik nikad nije jednak nuli). Dakle imamo:

T

00, .D X d X S

9.5.2017 3

Teorem 1. Problem (1) – (3) uz uvjete (a) i (b) ima maksimum u

nekoj ekstremnoj točki skupa S.

Dokaz:

S je konveksni poliedar pa ima konačan broj ekstremnih točaka.

Neka su L1, L2, ... , Lk sve ekstremne točke skupa S. Neka je V

S bilo koje moguće rješenje, tj. bilo koja točka skupa S. Ta se točka

može prikazati kao konveksna kombinacija ekstremnih točaka

skupa S, tj. vrijedi:

Označimo nadalje funkciju cilja na sljedeći način:

Neka je Lh ona ekstremna točka skupa S u kojoj funkcija z poprima

najveću vrijednost.

1 1 2 2

1 1

V L L ... L L , 1, 0.k k

k k i i i i

i i

T 1

0

T 2

0

( ).

( )

C X c z Xz

D X d z X

9.5.2017 4

Prema tome, vrijedi

Treba dokazati da je točka Lh ujedno i rješenje za cijeli problem

RLP, tj. da je “bolja” od svih ostalih točaka skupa S, odnosno da

vrijedi:

Imamo:

Budući da je z2 > 0 za , pa i za Li, množenje s nazivnikom

neće promijeniti orijentaciju nejednakosti, te imamo:

Pomnožimo li tu relaciju redom s i sve te relacije

zbrojimo dobivamo:

(L ) (L ), 1,2,..., .h i

z z i k

(L ) (V), V S.h

z z

1 1

2 2

(L ) (L )(L ) (V) .

(L ) (L )

h i

h

h i

z zz z

z z

V S

1 2 1 2(L ) (L ) (L ) (L ).

h i i hz z z z

1 2, , ...,

k

2 2 1

1

1 1

(L ) (L ) (L ) (L )k k

h i i h i i

i i

z z z z

(*)9.5.2017 5

Sume u toj formuli možemo izračunati posebno, pa imamo:

Analogno je

Uvrstimo li to u relaciju (*), dobivamo:

iz čega, budući da su nazivnici funkcija cilja (DTV + d0) i z2(Lh)

pozitivni, slijedi:

odnosno

što je i trebalo dokazati.

2 T T T

0 0 0

1 1 1 1

(L ) ( L ) L Vk k k k

i i i i i i i

i i i i

z D d D d D d

1 T

0

1

(L ) V .k

i i

i

z C c

1 2

0 0(L ) ( V ) (L ) ( V ),

T T

h hz D d z C c

1

0

2

0

(L ) V,

(L ) V

T

h

T

h

z C c

z D d

( ) (V), V ,h

z L z S

9.5.2017 6

Dakle, vrijednost funkcije cilja za “najbolju” ekstremnu točku veća

je nego vrijednost funkcije cilja za bilo koje moguće rješenje

problema RLP (V S), pa je točka Lh optimalno rješenje problema

(1) – (3).

Primjer 1: Naći optimalno rješenje problema

p.o.

Zahvaljujući teoremu 1 možemo riješiti ovaj primjer, budući da sve

njegove ekstremne točke možemo pronaći prikažemo li skup

mogućih rješenja grafički (slika 1).

1 2

1 2

2 2 1max

2 3

x xz

x x

1 2

1 2

1 2

3 4 24

2 5

, 0.

x x

x x

x x

9.5.2017 7

x1

x2

D(0, 6)

C(4, 3)

B(5/2, 0)A(0, 0)

S

9.5.2017 8

Ekstremne točke tog skupa su: A(0, 0), B(5/2, 0), C(4, 3) i D(0, 6),

pa vijednosti funkcije cilja u tim točkama su z(0, 0) = - , z(5/2, 0)

= , z(4, 3) = 1, z(0, 6) = .

Maksimalna vrijednost funkcije cilja postiže se u točki C = (4, 3) i

njezina vrijednost je 1. Dakle, imamo: x1* = 4, x2* = 3 i z* = 1.

Martoseva metoda

Prethodni teorem omogućio je mađarskom matematičaru Beli

Martosu da modifikacijom simpleks algoritma dođe do optimalnog

rješenja problema rezlomljeno linearnog programiranja.

Ova metoda ide od jedne do druge ekstremne točke skupa mogućih

rješenja uz uvjet da vrijednost funkcije cilja iz koraka u korak bude

sve veća, naravno ako se radi o problemu maksimuma.

Ovdje je potrebno samo odrediti kriterij za izbor vektora koji ulazi

u novu bazu, prilagođen za problem RLP.

1

38

11

11

15

9.5.2017 9

Definirajmo izraze

pri čemu su tij i ti0 koeficijenti razvoja vektora Aj i b u tekućoj bazi,

kao i u simpleks metodi.

Vrijednost predstavlja vrijednost funkcije cilja za tekuće

bazično rješenje.

Budući da su brojnik i nazivnik razlomljene funkcije cilja ponovo

linearne funkcije, vrijedi da se ulaskom novog vektora Aj u bazu

vrijednosti izraza z1 i z2 mijenjaju, tj.

1

1

m

j ij i

i

z t c

2

1

m

j ij i

i

z t d

1

0 0

1

m

i i

i

z t c c

2

0 0

1

m

i i

i

z t d d

(4)(5)

(6)(7)

1

2

z

z

9.5.2017 10

i1 1 1 1 1( ) ( )

j j j jz z c z z z c

2 2 2 2 2( ) ( ),

j j j jz z d z z z d

gdje je

Pretpostavimo da je početno bazično rješenje nedegenerirano, tj. ti0

> 0, za svako i, pa je > 0.

Da bi se ulaskom vektora Aj u bazu vrijednost funkcije cilja

povećala, mora vrijediti:

iz čega slijedi

0min , 0.i

iji

ij

tt

t

1 1 1

2 2 2

( ),

( )

j j

j j

z z c z

z z d z

9.5.2017 11

1 2 2 1

2 2 2

( ) ( )0.

( )

j j j j

j j

z z d z z c

z z z d

U nazivniku lijeve strane te nejednadžbe su vrijednosti nazivnika

funkcije cilja (prije i poslije ulaska vektora Aj u bazu), koji su

pozitivni za sva moguća rješenja. Budući da je, pored toga, > 0,

da bi vrijedila gornja nejednadžba, dovoljno je da bude ispunjeno:

Odnosno u obliku determinante

Prema tome, da bi se povećala vrijednost razlomljene funkcije cilja

uvođenjem vektora Aj u bazu potrebno je izabrati takav vektor za

kojega je determinanta pozitivna. To je kriterij za izbor vektora

koji ulazi u bazu.

1 2 2 1( ) ( ) 0

j j j jz z d z z c (8)

1 1

2 20

j j

j

j j

z z c

z z d

(9)

j

9.5.2017 12

Prema tome, za optimalnost rješenja kod problema maksimuma

dovoljan uvjet je

Dakle, u svakoj tablici Martoseve metode imat ćemo tri retka zj – cj,

tj. , i redak za . Pored toga uz vektore Aj potrebno

je napisati koeficijente funkcije cilja i iz brojnika (cj) i iz nazivnika

(dj).

Riješimo primjer 1 Martosevom metodom.

Problem je potrebno najprije prevesti u kanonski oblik, tj. dodati

dvije dopunske varijable (x3, x4), te on izgleda ovako:

p.o.

0,j

j

1

j jz c 2

j jz d j

1 2 3 4

1 2 3 4

2 2 0 0 1max

2 0 0 3

x x x xz

x x x x

1 2 3

1 2 4

1 2 3 4

3 4 24

2 5

, , , 0.

x x x

x x x

x x x x

9.5.2017 13

ci -1 2 2 0 0

di 3 1 2 0 0

Baza b A1 A2 A3 A4

0 0 A3 24 3 4 1 0

0 0 A4 5 2 -1 0 1

-1 -2 -2 0 0

3 -1 -2 0 0

-1/3 7 8 0 0

1

j jz c

2

j jz d

j

Tablica 1

9.5.2017 14

ci -1 2 2 0 0

di 3 1 2 0 0

Baza b A1 A2 A3 A4

2 2 A2 6 ¾ 1 ¼ 0

0 0 A4 11 11/4 0 ¼ 1

11 -1/2 0 ½ 0

15 ½ 0 ½ 0

11/15 13 0 -2 0

1

j jz c

2

j jz d

j

Tablica 2

9.5.2017 15

ci -1 2 2 0 0

di 3 1 2 0 0

Baza b A1 A2 A3 A4

2 2 A2 3 0 1 2/11 -3/11

2 1 A1 4 1 0 1/11 4/11

13 0 0 6/11 2/11

13 0 0 5/11 -2/11

1 0 0 -13/11 -52/11

1

j jz c

2

j jz d

j

Tablica 3

Budući da su svi , dobiveno je optimalno rješenje problema

RLP: x1* = 4, x2* = 3, x3* = x4* = 0 i z* = 1.

0j

9.5.2017 16

Problem RLP (1) – (3) može se transformacijom Y = t X svesti na

problem linearnog probramiranja. Po pretpostavci je nazivnik

funkcije cilja pozitivan za sva moguća rješenja, tj. DTX + d0 > 0,

X S.

Uvedimo supstituciju Y = t X, odnosno . Time problem

RLP (1) – (3) prelazi u

p.o.

odnosno

1X Y

t

T

0

T

0

1

max '1

C Y ctz

D Y dt

1

10,

A Y bt

Yt

9.5.2017 17

Charnes – Cooper-ova metoda

p.o.

Postavimo li uvjet da nazivnik nove funkcije cilja bude jednak 1, tj.

tražimo li novu varijablu t takvu da vrijedi DTY + d0t = 1,

dobivamo problem linearnog programiranja koji ima jednu novu

varijablu t i jedno dodatno ograničenje.

Problem linearnog programiranja, koji korespondira problemu RLP

(1) – (3), ima sljedeći oblik:

T

0

T

0

max 'C Y c t

zD Y d t

0

, 0.

AY bt

Y t

9.5.2017 18

0max ' ( )

Tz C Y c t

p.o. 0AY bt

T

01D Y d t

, 0Y t

Ako je Y*, t* optimalno rješenje tog problema, tada je

Optimalno rješenje problema RLP.

Primjer 2. Poduzeće proizvodi dva proizvoda, označimo ih s “A” i

“B”. Proizvodnja se odvija na dva stroja, stroj 1 i stroj 2. Za

proizvodnju proizvoda “A” potrebno je 1 sat rada stroja 1 i 2 sata

rada stroja 2. Za proizvodnju proizvoda “B” potrebno je 2.5 sati

rada stroja 1 i 1 sat rada stroja 2. Ukupno raspoloživo vrijeme rada

strojeva je 8 sati.

*

1* *X Y

t (15)

(11)

(12)

(13)

(14)

9.5.2017 19

Varijabilni troškovi za proizvodnju proizvoda “A” i “B” iznose 28 i

20 dolara, respektivno. Ukupni dnevni fiksni troškovi iznose 1000

dolara.

Odrediti optimalni plan dnevne proizvodnje, kao cilj koristiti

maksimizaciju produktivnosti rada radnika (omjer ukupnog obujma

proizvodnje i ukupnih troškova).

Rješenje: Pretpostavimo da postoji kontinuirana djeljivost proizvoda

“A” i “B”.

x1 = obujam dnevne proizvodnje proizvoda “A”

x2 = obujam dnevne proizvodnje proizvoda “B”

p.o.

1 2

1 2

max28 20 1000

x xz

x x

1 2

1 2

1 2

2.5 8

2 8

, 0

x x

x x

x x

9.5.2017 20

Uvođenjem supstitucije Y = tX, Charnes – Cooperova linearizacija

izgleda ovako:

p.o.

y1, y2, t 0

Simpleks metodom dobiveno je optimalno rješenje problema: y1 =

0.027, y2 = 0.0018 i t = 0.0009. Budući da smo uveli supstituciju Y =

tX, imamo

1 2max 'z y y

1 2

1 2

1 2

2.5 8 0

2 8 0

28 20 1000 1

y y t

y y t

y y t

* 1

1

* 2

2

0.00273

0.0009

0.00182.

0.0009

yx

t

yx

t

9.5.2017 21

* 3 2 50.004448.

28 3 20 2 1000 1124z