Razonamiento diagramático

“Camino del ser y diagrama total”, Juan José Luetich (2008).[1]

El Camino del Ser (de color rojo) y el diagrama total (en escalade grises): ambos, resultados del razonamiento diagramático

El razonamiento diagramático (también llamado razo-namiento gráfico o conceptografía) es el que se llevaadelante haciendo uso de representaciones visuales de losconceptos.[2] En esta técnica, los diagramas y los gráficosson más importantes que las palabras y las expresionesmatemáticas.[3]

El origen de esta forma de razonamiento debe buscarseen los grafos de Llul y Leibniz, las líneas de Leibniz y losdiagramas de Euler.[4] Sin embargo, una expresión equi-valente a “razonamiento diagramático” —aunque aplica-da específicamente a una notación de dos dimensiones—recién aparece en 1879 con la publicación del libro Be-griffsschrift de Gottlob Frege, que ha sido traducido alcastellano como Conceptografía.[5] La historia del razo-namiento diagramático incluye también la creación porparte de Peirce del sistema de gráficos existenciales, unanotación geométrica-topológica-lógica que Gardner con-sideraba “el más ambicioso sistema de lógica geométricaque se haya construido jamás”.[6] [7][8] Shin hizo luegouna extensión de esos gráficos hasta convertirlos en unaherramienta equivalente a la técnica clásica de operacióncon predicados monádicos de primer orden.[9] En la tra-dición de considerar a la lógica como “lenguaje universal”trabajaron Leibniz, Frege, Russell, Wittgenstein, Carnap,Quine, Strawson y, más recientemente, Luetich.[7][10] Seha mostrado que el lenguaje de diagramas y gráficos per-mite establecer relaciones de largo alcance: por ejemplo,entre las matemáticas, la ontología, la dialéctica, la lógi-ca, la semiología y la fenomenología.[11][12][13]

1 Lingua y calculus

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), filósofo y matemáticoalemán de los tiempos del Sacro Imperio Romano Germánico, “elúltimo genio universal” y el primer sabio en recurrir al razona-miento diagramático

La characteristica universalis es el lenguaje formal uni-versal que Leibniz imaginó para expresar conceptos ma-temáticos, científicos y filosóficos.[10] En su vasta obra,Leibniz formuló el lenguaje universal de varias maneras,un resumen de las cuales se encuentra en la serie de ar-tículos editados por G. H. R. Parkinson.[14]

El objetivo de Leibniz era usar ese lenguaje en un siste-ma de cálculo lógico universal de tipo computacional, elcalculus ratiocinator.[15] En palabras del propio Leibniz,con un sistema tal, «de surgir controversias, dos filósofosno tendrían que discutir más que dos matemáticos. Seríasuficiente que tomaran papel y lápiz, se sentaran y dije-ran: ‹¡Calculemos!›».[16] De ahí que Russell haya tradu-cido la expresión latina characteristica universalis como“matemática universal”.[16]

En resumen, la propuesta de Leibniz era: encontrar unlenguaje que permita aplicar reglas de inferencia a con-ceptos matemáticos y no matemáticos.

1

2 2 LENGUAJE

El lenguaje tiene sus reglas de construcción, llamadas re-glas sintácticas. Las demostraciones son hechas respetan-do reglas que establecen la dirección del razonamiento,las reglas semánticas.Muchos pensadores retomaron esta idea de Leibniz. Fre-ge, por ejemplo, introdujo la Conceptografía como uncalculus ratiocinator con su lingua characteristica, y —según Kluge— esa obra estuvo conscientemente inspira-da en las ideas de Leibniz.[17] Otros pensadores, en cam-bio, no la mencionaron. Tal es el caso de Peirce, quiencreía que todo razonamiento era, en última instancia,diagramático.[18]

El genio de Leibniz fue reconocido por Grassmann cuan-do, en la introducción a su Análisis Geométrico, dejó es-crito que ideas como la de la characteristica ponían al filó-sofo por encima de otros pensadores de su tiempo.[19] So-bre este punto volvió mucho después Heath.[20] NorbertWiener veía en la máquina de Leibniz un antecedente delas computadoras actuales.

2 Lenguaje

Los diagramas constituyen el lenguaje de este tipo de ra-zonamiento. También son usados los grafos, que estable-cen conexiones y en muchos aspectos son equivalentes alos diagramas.

2.1 Diagramas

El sistema universal de Leibniz tenía dos componentes:un lenguaje (characteristica) y un método (calculus). Am-bos eran inseparables al punto que sus nombres son usa-dos muchas veces como sinónimos. Este hecho se puedeinterpretar de dos maneras:

• detrás de ambos está la lógica,[21] lo cual obliga adarle a la voz griega λóγος simultáneamente los sig-nificados de “palabra” y “razón”,[22] o

• las definiciones son una cosa (ontología) y las ope-raciones que con ellas se hace son otra (lógica).[23]

Adoptando el segundo punto de vista, los diagramas pue-den ser clasificados en ontológicos (los de Euler, los deVenn de conjuntos y los totales), topológicos (los diagra-mas de Peirce extendidos, los de Shin y los diagramascon arañas) o lógicos (los de Venn de enunciados y losdiagramas “alfa” y “beta” de Peirce).

2.1.1 Diagramas ontológicos

Son los diagramas que muestran entes (“elementos”)y las definiciones que a ellos se les ha aplicado(“conjuntos”).[24]

Diagramas de Leibniz En los primitivos diagramasde Leibniz los conjuntos eran representados con líneascontinuas. Las mismas se superponían en las interseccio-nes (indicadas con segmentos discontinuos).Leibniz también usó círculos, pero encontró que en cier-tos casos éstos requerían signos suplementarios. Las lí-neas de Leibniz constituyen una muestra de la lingua cha-racteristica.[25]

El gran matemático suizo Leonhard Euler (1707–1783)

Diagramas de Euler En los diagramas de Euler (a ve-ces llamados “círculos de Euler”), se muestran las líneasde definición de los conjuntos y cada región (de elemen-tos propios o de superposición) contiene al menos un ele-mento.Cuando no hay elementos que respondan a cierta combi-nación de definiciones, la región no se representa.Los diagramas de Euler hicieron de puente entre los pri-mitivos diagramas de Leibniz y los diagramas de Venn,ampliamente usados hoy.

Diagramas de Venn de conjuntos Los diagramas deVenn de conjuntos muestran todas las regiones posibles(en este caso, 7, dos de ellas sombreadas por estar vacías)más la región de los elementos que no responden a nin-guna definición (totalizando 8).El rectángulo del diagrama de Venn representa el conjun-to de los elementos tomados en cuenta (conjunto univer-sal, U). Venn nunca representó al universal en sus traba-jos, pero fue quien introdujo la expresión “universo deldiscurso”.

2.1 Diagramas 3

El matemático y lógico inglés John Venn (1834–1923)

Diagramas totales 2D Los diagramas totales de dosdimensiones muestran los elementos definidos, los que noresponden a ninguna definición y algunos de los que nohan sido considerados.En el diagrama total en dos dimensiones se representala región de las definiciones, el “cosmos” (blanca), y lade lo no definido, el “caos” (gris); ambas constituyen elTodo.[12] El diagrama total permite resolver de maneraelegante el problema que Humpty Dumpy le planteó aAlicia en la obraA través del espejo de Lewis Carroll. Esteproblema no es tan sencillo como lo hace parecer el for-mato de cuento infantil elegido por el autor porque plan-tea a un mismo tiempo el dilema matemático “ser A-serno A" y la cuestión filosófica “mostrarse-ocultarse”.[26]

2.1.2 Diagramas topológicos

Son los diagramas quemuestran la posición relativa de losconjuntos, pero no los elementos. La forma, el tamaño yla posición de las líneas cerradas no tienen importancia.

Regiones posibles En los diagramas de conjuntos deEuler y de Venn se pone énfasis en indicar las regionesposibles. En los diagramas de Euler, solamente son repre-sentadas las regiones en las que puede haber elementos.En los diagramas de Venn, a las regiones que no contienenelementos se las anula sombreándolas.[27]

En estos ejemplos se muestra que no hay elementos quepertenezcan aA yC que no sean también deB, ni tampocoelementos que pertenezcan exclusivamente a C. En el dia-grama de Venn de conjuntos cada región sombreada es—

para usar una expresión de Leibniz— una combinatio im-possibilis. Se trata entonces de diagramas topológicos.[28]

Topología flexible En un intento por flexibilizar la to-pología de los sistemas, Peirce introdujo en los diagramasde Venn la notación lógica correspondiente a la disyun-ción. Con ello creó los diagramas de topología flexible.A esta extensión de Peirce siguieron otras dos (Venn-I yVenn-II), propuestas por Shin.[29]

Charles Sanders Peirce (1839–1914), lógico americano conside-rado el padre de la semiótica moderna

Extensión de Peirce La extensión de Peirce de los dia-gramas de Euler-Venn introduce tres símbolos:

• “o” para reemplazar al sombreado,

• “x” para indicar importación existencial, y

• "–" (línea) para unir los dos anteriores e indicardisyunción.[29]

Así, por ejemplo, el siguiente diagrama representa la pro-posición: «Todo elemento de B es de A o algunos elemen-tos de B son de A».Esta proposición topológica no se podría representar conun diagrama de Euler: sería necesario usar dos y buscaralguna manera de indicar la disyunción.Las ventajas de la notación de Peirce, en este caso, songrandes. Sin embargo, cuando las proposiciones son máscomplejas, la lectura del diagrama se torna dificultosa.[29]

4 2 LENGUAJE

Primera extensión de Shin (Venn-I) Esta extensióntiene las siguientes características:

• vuelve al sombreado de regiones para indicar queéstas no pueden ser ocupadas,

• usa el símbolo “x” de Peirce, y

• usa el símbolo "–", introducido por Peirce.[29]

En estos diagramas (equivalentes), las dos premisas son:

• «Ningún elemento es sólo de B», y

• «B tiene algún elemento».

La conclusión, por lo tanto, es: «Algún elemento perte-nece simultáneamente a B y A».

Segunda extensión de Shin (Venn-II) Esta extensióntiene las mismas características que el anterior, pero agre-ga la posibilidad de conectar dos diagramas—que en estecaso tienen representado el conjunto universal— con unalínea de disyunción.[29]

La proposición, en este caso, es: «O todo elemento de Aes elemento de B y algún elemento de A es de B, o ningúnelemento de A es de B y algún elemento de B no es de A».El diagrama simple de Peirce es de lectura más difícil queel correspondiente diagrama doble de Shin.

Arañas Los diagramas con arañas son una extensiónde los diagramas de Euler, y por lo tanto en ellos hay in-formación topológica. Se los obtiene introduciendo res-tricciones de dos tipos: agregando “arañas” (secuencias xde Peirce generalizadas) y sombreando regiones. La pre-sencia de una araña indica la existencia de un elementoen su “hábitat” (la región donde se encuentra). Una re-gión sombreada es la que no contiene más elementos quelos que indican las arañas correspondientes. Si una regiónsombreada no tiene arañas, está vacía. Dos arañas unidaspor una línea indican la existencia de por lo menos un ele-mento en las regiones involucradas. El nombre “araña” seha elegido porque en diagramas complejos muchas líneaspueden salir de cada punto, como los hilos de un nodo deuna telaraña.[27]

El diagrama de la figura indica que:

• C está contenido en B;

• A – B tiene exactamente dos elementos;

• hay al menos un elemento en B – A.

El diagrama tiene 3 líneas limite de conjuntos (definicio-nes), indicadas con los rótulos A, B y C, y 6 regiones, porejemplo la región cuyo contorno es B pero que no contie-ne elementos ni de A ni de C. Una zonas está sombreada

y contiene sólo 2 elementos. El diagrama contiene 3 ara-ñas: 2 de un pie cuyo hábitat es la zona de los elementosde A que no pertenecen a B y 1 “articulada”, en la regiónde los elementos que son de B pero no de A.[27]

2.1.3 Diagramas lógicos

Son los diagramas que muestran los resultados de opera-ciones lógicas.

Diagramas de Venn de enunciados Los diagramasde Venn de enunciados muestran el resultado de una ope-ración con enunciados (en este caso, A ∨ B) con colores,que en este caso son: verde, cuando la región correspondeal resultado; rojo, cuando no. Éste es el código del semá-foro de dos colores.

Gráficos existenciales “alfa” de Peirce En los grá-ficos existenciales “alfa” de Peirce (gráficos que conec-tan enunciados), la conjunción se representa colocandolos enunciados sin solución de continuidad y la negaciónse representa como un “recorte” de la “hoja de enuncia-dos” (una línea curva cerrada). En el siguiente diagramase muestra la proposición ¬((¬A) ∧ (¬B)), equivalente aA ∨ B.[6]

Al hacer demostraciones o cuando los diagramas soncomplejos, es conveniente sombrear las zonas encerra-das por un número impar de recortes, como se ha hechomás abajo.

Gráficos existenciales “beta” de Peirce En los gráfi-cos existenciales “beta” de Peirce (gráficos que conectanpredicados), hay cuantificadores aplicados a entes, no adefiniciones. A estas expresiones Peirce las llamó “de pri-mer orden”. En estos gráficos, el autor introdujo la “líneade identidad” o “línea de importación existencial” (–):

• la expresión –A se lee «algo [o alguien] es A», esdecir, ∃x | x ∈ A;

• la expresión A—B se lee «algo [o alguien] es A y B»,es decir, ∃x | x ∈ A ∧ x ∈ B.

Del mismo modo que en los gráficos “alfa”, las conexio-nes de dos predicados pueden ser hechas recurriendo a“recortes”.[18]

La notación de la columna izquierda evita que los recortesocupen tanto espacio.

2.1.4 Diagrama total 3D

El diagrama total de tres dimensiones es una extensiónde los diagramas de Venn que forma parte de la teoríadel conocimiento presentada en una serie de artículos fi-losóficos por Juan José Luetich.[24] Su estructura es la de

2.2 Grafos 5

un árbol con tres bifurcaciones.[30] Las dos primeras sur-gieron de un análisis de la obra Sobre la Naturaleza deParménides.[30] La última corresponde a un diagrama deVenn de una sola definición.[31]

De todos los entes que la mente humana puede concebir(reales, imaginarios, concretos, abstractos), el Todo, unospocos forman parte de su universo, U. De esos entes, asu vez, sólo algunos se corresponden con una definición oconcepto, A. Los entes definidos —por responder a unadefinición o por oponerse a ella (A o ~A)— forman partede la región blanca, el universo o “cosmos”, ya que hansido “ordenados” por la definición. Los entes no definidosexisten, pero están ocultos en la región gris, forman partedel “caos”, del lugar donde no hay conceptos ni orden.[12]

2.2 Grafos

Los grafos son construcciones que surgen de representarelementos y sus conexiones.[32] La teoría de grafos, co-mo la teoría de conjuntos, está íntimamente ligada a latopología.[33][34]

2.2.1 Cuadrado de oposición

Aristóteles (384 a.C.–322 a.C.), filósofo griego fundador de lalógica clásica

Aristóteles, al fundar la lógica, puso su atención en al-gunos cuantificadores usados en el lenguaje natural: to-do, algún, ningún, no todo.[35] Éstos pueden ser expresa-dos usando la notación de Peirce de predicados (gráficosexistenciales “beta”). El clásico “cuadrado de oposición

de juicios” de Aristóteles quedaría entonces representa-do como se muestra en la figura.

2.2.2 Diamante de Leibniz

Una muestra de razonamiento diagramático: grabado del librode Leibniz De Arte Combinatoria de 1666

En el grabado de la portada del libro De Arte Combina-toria de 1666, Leibniz habría dado otra muestra de sulenguaje universal.[36] En él se representa la idea de losantiguos de que todas las cosas materiales están hechasde tierra, agua, aire y fuego, “elementos” que combinanlas cualidades de: frío, húmedo, caliente y seco. Entre ele-mentos, entre cualidades, y entre elementos y cualidades,han sido dibujadas líneas, cada una con un rótulo. Así,por ejemplo, a los nodos SICCITAS yHVMIDITAS (“se-quedad” y “humedad”) se los ha conectado con una línearotulada Combinatio impossibilis (“combinación imposi-ble”). En otros términos, de los elementos de estos dosconjuntos, el grabado muestra las conexiones, objeto deestudio de la topología. La characteristica es, en este ca-so, una notación topológica.[37]El siguiente grafo es unavariante del Diamante de Leibniz, que muestra la rela-ción entre elementos y cualidades a la manera de un grafobipartido.[37]

Cuando dos cualidades concurren en un elemento es por-que su combinación es posible. Por ejemplo, CALIDI-TAS y HVMIDITAS concurren en AER. Cuando doscualidades no se encuentran en ningún elemento, su com-binación es imposible. Tal es el caso de HVMIDITAS ySICCITAS.[37] Con estos elementos y cualidades, suje-tas a las restricciones mencionadas, se puede deducir lacantidad de combinaciones posibles.El diamante de Leibniz puede ser representado sin recu-rrir a un grafo partido, simplemente usando cuatro con-juntos. En este caso, a menos que a los conjuntos se losdibuje como rectángulos, quedarían regiones vacías. Para

6 3 DEMOSTRACIONES

ignis - aer - aqua - terra (Leibniz, Germán Schultze - Luventicus)

indicar esa situación se puede hacer uso de un diagramacon arañas.[37]

Estas representaciones actuales del tema que Leibniz to-mó de los antiguos para ilustrar su libro de análisis com-binatorio muestran lo que ha sido la historia del razona-miento diagramático, un área de trabajo en la que se havuelto siempre sobre los mismos complejos problemas,desde la perspectiva de especialistas en las materias másdiversas.[37]

2.2.3 Árboles

Los árboles son unos grafos especiales con estructura je-rárquica, que pueden ser usados para dar la misma in-formación topológica que los diagramas de Euler y deVenn.[31][38]

Cada árbol muestra las regiones posibles del diagramaque está a su derecha. Las primeras 2 ramas correspondenal conjunto A; las restantes 4, al conjunto B. En el diagra-ma de Euler, la rama de no pertenencia (∉) a A aparecede color gris, ya que no es una región posible. En conse-cuencia, también están de ese color las ramas derivadas.En el diagrama de Venn, dado que se define un conjuntouniversal, la no pertenencia a A es posible, exceptuandoel caso de pertenencia (∈) simultánea a B.[31]

2.2.4 Notación bidimensional

La notación bidimensional de Frege permite representarlas operaciones lógicas con conexiones.[39]

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848–1925), matemático ale-mán considerado por muchos el fundador de la lógica moderna

Este esquema representa la disyunción lógica A ∨ B, omejor, ¬A→ B.[40]

En su trabajo sobre los axiomas del cálculo proposicional,Frege recurría sólo a las operaciones negación e implica-ción.Obsérvese que la notación de los diagramas “beta” dePeirce —con recortes abreviados o no— también es bi-dimensional, como se puede ver claramente en la lista dereglas de inferencia.

3 Demostraciones

Las deducciones sirven son operaciones que se realizancon los diagramas o grafos para obtener resultados o con-clusiones.

3.1 Reglas de inferencia de Peirce

Las siguientes reglas permiten obtener nuevas proposi-ciones —en la forma de diagramas “alfa” o “beta”— apartir de proposiciones dadas.[18]

1. Regla de borrado e inserción: Cualquier expresión(enunciado, proposición o parte de línea de identi-dad) encerrada por un número par de recortes o porningún recorte puede ser borrada; cualquier expre-sión puede ser colocada en un área encerrada por unnúmero impar de recortes.

• Borrado en los diagramas “alfa”A ( B ( C ) ) → ( B ( C ) )

3.2 Sistema de demostraciones de Shin 7

A ∧ ¬(B ∧ ¬C) → ¬(B ∧ ¬C)La regla de borrado permite reducir una con-junción a uno de sus constituyentes.

• Inserción en los diagramas “alfa”( A ) → ( A B )¬A→ ¬(A ∧ B)Esta regla está justificada porque una conjun-ción es falsa con la sola condición de que unode sus constituyentes sea falso.

• Borrado en los diagramas “beta”

«algún A no es B» → «algo [o alguien] es A yalgo [o alguien] no es B» → «algo [o alguien]no es B»Una línea de identidad encerrada por unnúmero par de recortes o por ningún recortepuede ser cortada.

• Inserción en los diagramas “beta”

«algo [o alguien] es A y nada [o nadie] es B»→ «algún A no es B»Dos líneas de identidad encerradas por unnúmero impar de recortes pueden ser unidas.

2. Regla de iteración y desiteración: Cualquier expre-sión puede ser copiada en el área abarcada por todoslos recortes que encierran a la original o en un nivelmás profundo, pero no en el interior o exterior deella misma; cualquier expresión puede ser borradasi puede haber resultado de una iteración.

• Iteración en los diagramas “alfa”A ( B ) → A ( A B )A ∧ ¬B→ A ∧ ¬(A ∧ B)Aquí se ha iteradoA en un nivel más profundo.En cambio, sería incorrecto deducir A ( B ( B) ) o A B ( B ).

• Desiteración en los diagramas “alfa”A ( A B ) → A ( B )A ∧ ¬(A ∧ B) → A ∧ ¬BAquí se ha desiterado A de un nivel más pro-fundo.En cambio, sería incorrecto deducir A ( B ) deA ( B ( B ) ) o A B ( B ).

• Iteración en los diagramas “beta”

Esta deducción parte de la afirmación: «Noes el caso que (algún A es B y nada [o nadie]es C)». En la segunda transformación, unalínea de identidad se ramifica, lo cual es lícitosiempre que el extremo libre ingrese a uncírculo, aunque puede apoyarse en él. Laiteración también habilita a crear una líneacon un extremo libre dentro de dos círculos y

a unirla luego a la línea correspondiente de laexpresión iterada. Por otra parte, la iteracióntambién permite unir los extremos libres delas partes más internas de dos líneas, como sevio en la regla de inserción.

• Desiteración en los diagramas “beta”La desiteración permite revertir todas lastransformaciones mencionadas en el punto an-terior.

3. Regla de aserción: Cualquier expresión verdaderapuede ser representada en la hoja sin líneas que laencierren.Esta regla permite introducir premisas. Las premi-sas deben ser representadas una al lado de la otra yconstituyen una conjunción.

4. Regla de doble recorte: Alrededor de cualquier ex-presión se puede insertar un par de círculos; doscírculos que rodean a una expresión pueden ser eli-minados. No debe haber nada entre los círculos.

• Doble recorte en los diagramas “alfa”A B→ A ( ( B ) )

• Doble recorte en los diagramas “beta”

«algún A es B» → «algún A no es no B»

5. Regla de deformación: Cualquier expresión puedeser deformada siempre que las conexiones no seanalteradas.Esta regla muestra el carácter topológico de la nota-ción de Peirce.

Ejemplos de aplicación de estas reglas son: para los dia-gramas “alfa”, la demostración del “Teorema Brillante”de Leibniz; para los diagramas “beta”, la deducción silo-gística.

3.2 Sistema de demostraciones de Shin

El razonamiento humano es heterogéneo, en el sentido deque involucra palabras y símbolos, pero también imáge-nes, diagramas y modelos. Por otra parte, para procesaresa información, el ser humano usa relaciones semánti-cas entre proposiciones (“similitud intuitiva”) y proce-dimientos no deductivos (como la “abducción”). Desdeáreas de trabajo diversas, han sido hechas distintas apro-ximaciones al “razonamiento multimodal”.[41]

En cuanto a la comparación del razonamiento simbólicocon el razonamiento diagramático, se ha mostrado que nohay diferencia entre ambos en lo que a “estatus lógico” serefiere. En 1994, Shin presentó los diagramas Venn-I yVenn-II como un sistema de representación formal consu propia sintaxis y semántica. Las reglas sintácticas in-dican si un diagrama es aceptable, en el sentido de si estábien formado y qué transformaciones están permitidas.

8 4 APLICACIONES

La semántica se ocupa de las consecuencias lógicas. Asíse comprueba que los sistemas mencionados son robustosy completos, en el mismo sentido que lo son algunos siste-mas lógicos simbólicos.[9] Este resultado da por tierra conla arraigada creencia de que los sistemas de diagramaspueden llevar a deducciones erróneas y que por lo tantohay que abstenerse de usarlos en demostraciones.[9][42][29]

4 Aplicaciones

El razonamiento diagramático ha encontrado aplica-ción en diversas áreas de trabajo: máquinas de calcu-lar, algoritmos de demostración de proposiciones, se-miótica, ciencias de la cognición, inteligencia artificial(IA), teoría del conocimiento, filosofía del lenguaje,ontología.[24][13][3]

4.1 Machina ratiocinatrix

Máquina de Leibniz(Staffelwalze)

Con el calculus ratiocinator, Leibniz tenía un objetivomás ambicioso que el de Pascal, ya que él no tenía enmente un dispositivo mecánico para hacer cálculos arit-méticos sino una machina ratiocinatrix.[43][44] El calcu-lus ratiocinator era un algoritmo que, aplicado a una ex-presión simbólica escrita con la characteristica universa-lis, determinaría si dicha fórmula es o no verdadera.[45]Sin embargo Leibniz —con los medios disponibles en sutiempo— sólo logró construir la máquina de calcular lla-mada Staffelwalze ("cilindro dentado", por la forma deldispositivo mecánico de cálculo que utiliza), conocidahoy como “Máquina de Leibniz”. La computadora digitales para muchos la materialización de la machina ratioci-natrix.[46]

4.2 Demostración del “Teorema Brillante”

La siguiente es la demostración del resultado que Leibnizllamó Praeclarum Theorema (“Teorema Brillante”): «Si

A implica C y B implica D, entonces A y B implican C yD».[47] En símbolos, la tesis es la siguiente.

(A ⊃ C) ∧ (B ⊃ D)) ⊃ ((A ∧ B) ⊃ (C ∧ D))La demostración se puede hacer aplicando las reglas in-dicadas más arriba para los diagramas “alfa” de Peirce.Para facilitar la lectura y el uso de las reglas 1 y 2, lasregiones rodeadas por un número impar de recortes apa-recen de color gris; las regiones rodeadas por un númeropar de recortes o por ningún recorte están en blanco.[47]

Teorema Brillante - Leibniz

Aquí se ha aplicado primero la regla de doble recorte (4)a la hoja de enunciados en blanco. Luego han sido inser-tadas dos expresiones en la región gris (regla 1). Luegohan sido aplicadas sucesivamente las reglas de: iteración(2), inserción (1), iteración (2) y desiteración (2). Por úl-timo, eliminando un doble recorte (regla 4), se llegó aldiagrama correspondiente a la tesis del teorema.

4.3 Deducción silogística

La siguiente deducción se hace aplicando las reglas co-rrespondientes a los diagramas “beta” de Peirce.[18]

1. Dos premisas son introducidas usando la regla deaserción (3): «Todo A es B» y «todo B es C».

2. Se hace la iteración de la segunda premisa usando laregla 2.

3. Se borra la segunda premisa usando la regla 1.

9

4. Se aplica la regla de iteración (2).

5. Se aplica la regla de inserción (1).

6. Se aplica la regla de desiteración (2).

7. Se aplica la regla de deformación (5).

8. Se aplica la regla de doble recorte (4).

9. Se aplica la regla de borrado (1).

10. Se aplica la regla de deformación (5).

La conclusión es entonces: «Todo A es C».Usando la notación de recortes completos, la misma de-ducción quedaría representada como sigue.

4.4 Animaciones del pensamiento

Las deducciones de los dos puntos anteriores son una se-rie de figuras que, mostradas una a continuación de otra,constituyen animaciones. Dau las llama “animaciones delpensamiento”.[48] En efecto, son una representación abs-tracta de los procesos mentales que conducen a una con-clusión. Si bien la interpretación de estas animacionesrequiere el conocimiento de las convenciones de Peirce,también es cierto que un ser inteligente podría descubrirlas reglas a partir de la observación de varias secuencias.

4.5 Interfaces gráficas de usuario

Nakatsu mostró cómo el uso de diagramas ha facilita-do el diseño de sistemas de inteligencia artificial del tipointerfaz de usuario para tareas de toma de decisión y reso-lución de problemas.[49] En estas interfaces los diagramasfacilitan la interacción de los operadores con las cada vezmás complejas tecnologías de la información. En parti-cular, permiten comprender y visualizar sistemas de IA.Con el razonamiento diagramático es posible programarusando técnicas que emulan el pensamiento humano y lacapacidad de resolución de problemas. Entre estas técni-cas, cabe mencionar:

• los “sistemas expertos”,

• el “razonamiento basado en modelos”,

• el “razonamiento inexacto” (los “factores de certeza”y las “redes bayesianas”), y

• el “razonamiento lógico”,

que han encontrado aplicaciones en las ciencias físicas, lamedicina, la macroeconomía, las finanzas y la logística.

5 Véase también

6 Referencias[1] “Camino del ser y diagrama total”,Actas – Editoriales, Ro-

sario, Academia Luventicus, 2013

[2] Gerard Allwein y Jon Barwise (editores), Logical Reaso-ning with Diagrams, Studies in Logic and Computation,Nueva York, Oxford University Press, 1996

[3] Michael Anderson, “Reasoning with Diagrammatic Re-presentations”, AI Magazine, Vol. 19 No. 2, Palo Alto,Association for the Advancement of Artificial Intelligen-ce, 1998

[4] Margaret E. Baron, “A Note on the Historical Develop-ment of Logic Diagrams: Leibniz, Euler and Venn”, TheMathematical Gazette, Vol. 53 No. 384, Leicester, TheMathematical Association, 1969

[5] Friedrich Ludwig Gottlob Frege, Begriffsschrift. Eine DerArithmetischen Nachgebildete Formelsprache Des ReinenDenkens, Halle, Louis Nebert, 1879

[6] Charles Hartshorne – Paul Weiss (compiladores), capítuloIV: “Symbolic Logic” – “Existential Graphs” – “On Exis-tential Graphs, Euler’s Diagrams, and Logical Algebra”,The Collected Papers of Charles Sanders Peirce, Cambrid-ge, Harvard University Press, 1931–5

[7] João Queiroz – Frederik Stjernfelt, “Introduction: Dia-grammatical reasoning and Peircean logic representa-tions”, Semiotica, Vol. 186 No. 1/4, Berlín, Walter deGruyter, 2011

[8] Martin Gardner, Logic machines and diagrams, Chicago,University of Chicago Press, 1982

[9] Sun-Joo Shin, The logical status of diagrams, Cambridge,Cambridge University Press, 1994

[10] “Diagramas ontológicos: de Leibniz a Luetich”, Actas –Editoriales, Rosario, Academia Luventicus, 2013

[11] Juan José Luetich, “Ontología y dialéctica”, Actas – Su-plemento 1, 1 (1) 2, Rosario, Academia Luventicus, 2003

[12] Juan José Luetich, “Glosario de ontología”, Actas – Suple-mento 1, 1 (2) 1, Rosario, Academia Luventicus, 2003

[13] Frederik Stjernfelt, The Diagrammatology: An investiga-tion on the borderlines of phenomenology, ontology, andsemiotics, Dordrecht, Springer Verlag, 2007

[14] G. H. R. Parkinson, Leibniz: Logical Papers, Oxford, Cla-rendon, 1966

10 6 REFERENCIAS

[15] Nicholas Rescher, “Review of On the Project of a Uni-versal Character by Jonathan Cohen”, Journal of SymbolicLogic, Vol. 19 No. 133, Newton, Association for Symbo-lic Logic, 1969

[16] Bertrand Russell, A critical exposition of the philosophy ofLeibniz, with an appendix of leading passages, Cambridge,Cambridge University Press, 1900

[17] E. H.W. Kluge, “Frege, Leibniz and the notion of an ideallanguage”, Studia Leibnitiana, 12, Stuttgart, Franz Steiner,1980.

[18] P. N. Johnson-Laird, “Peirce, logic diagrams, and the ele-mentary operations of reasoning”, Thinking and reaso-ning, Vol. 8 No. 1, Abingdon, Psychology Press, 2002

[19] Hermann Günther Grassmann,Geometrische Analyse gek-nüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charak-teristik, Leipzig, Weidmann’sche Buchhandlung, 1847

[20] A. E. Heath, “The geometrical analysis of Grassmann andits connection with Leibniz’s characteristic”, The Monist,Vol. 27 No. 1, Búfalo, Hegeler Institute, 1917

[21] Jean van Heijenoort, “Logic as calculus and logic as lan-guage”, Synthese, 17, Dordrecht, Springer, 1967

[22] Juan José Luetich, “Ser y pertenecer”, Actas – Suplemento1, 1 (2) 1, Rosario, Academia Luventicus, 2008

[23] Juan José Luetich, “Logos: inteligencia, palabra, sentido,razón”, Actas – Suplemento 1, 1 (6) 1, Rosario, AcademiaLuventicus, 2004

[24] Volumen I: “Filosofía y Humanidades” Actas – Suplemen-to 1, Rosario, Academia Luventicus

[25] L. Couturat (editor), “Generales Inquisitiones de AnalysiNotionum et Veritatum”, Opuscules et Fragments Inéditsde Leibniz, París, Alcan, 1903

[26] “El no cumpleaños de Humpty Dumpty”, Actas – Edito-riales, Rosario, Academia Luventicus, 2013

[27] John Howse – Gem Stapleton – John Taylor, “Spider dia-grams”, Journal of Computation andMathematics, 8, Lon-dres, London Mathematical Society, 2005

[28] Juan José Luetich, “Operaciones con tres onjuntos”, Lu-venticus – Universidad, 15, Rosario, Academia Luventi-cus, 2003

[29] Edward N. Zalta – Uri Nodelman – Colin Allen (edito-res), artículo: “Diagrams”, Stanford Encyclopedia of Phi-losophy, Stanford, Metaphysics Research Lab – Center forthe Study of Language and Information – Stanford Uni-versity, 2001–2013

[30] Juan José Luetich, “Las tres bifuraciones del Camino delSer”, Actas – Suplemento 1, 1 (2) 3, Rosario, AcademiaLuventicus, 2003

[31] “Diagramas y árboles”, Actas – Editoriales, Rosario, Aca-demia Luventicus, 2013

[32] W. T. Tutte, Graph Theory, Cambridge, Cambridge Uni-versity Press, 2001

[33] J. L. Gross – T. W. Tucker, Topological graph theory,Nueva York, Wiley Interscience, 1987

[34] Kenneth Kunnen – Jerry E. Vaughan (editores), Hand-book of Set-Theoretic Topology, Ámsterdam, North Ho-lland, 1985

[35] Duilio D'Alfonso, “Generalized Quantifiers: Logic andLanguage"], Logic and Philosophy of Science, Vol. 9 No.1, Trieste, Dipartimento di Studi Umanistici – Universitàdegli Studi di Trieste, 2011

[36] Gottfried Wilhelm Leibniz, Dissertatio de Arte Combina-toria, 1666

[37] “El Diamante de Leibniz”, Actas – Editoriales, Rosario,Academia Luventicus, 2013

[38] Reinhard Diestel, Graph Theory, 3a. edición, Berlín –Nueva York, Springer, 2005

[39] DovM. Gabbay – JohnWoods, The Rise of Modern Logic:From Leibniz to Frege, Handbook of the History of Logic,Vol. 3, Ámsterdam, Elsevier – North Holland, 2004

[40] Edward N. Zalta – Uri Nodelman – Colin Allen (edito-res), artículo: “Gottlob Frege”, Stanford Encyclopedia ofPhilosophy, Stanford, Metaphysics Research Lab – Cen-ter for the Study of Language and Information – StanfordUniversity, 2001–2013

[41] Selmer Bringsjord – Yingrui Yang, “Human reasoning isheterogeneous—as Jon Barwise informed us”, Journal ofExperimental & Theoretical Artificial Intelligence, Taylor& Francis, 2006.

[42] E. Hammer, “Reasoning with Sentences and Diagrams”,Notre Dame Journal of Formal Logic, Vol. 35 No. 1, 1995

[43] Norbert Wiener, “The Human Use of Human Beings”,Cybernetics and Society, Vol. 20, Boston, Houghton Mif-flin, 1950

[44] Norbert Wiener, Cybernetics, Second Edition: or the Con-trol and Communication in the Animal and the Machine,Boston, MIT Press, 1965

[45] Hartley Rogers Jr., “An Example in Mathematical Lo-gic”, The American Mathematical Monthly, Vol. 70 No. 9,Washington, The Mathematical Association of America,1963

[46] Norbert Wiener, “Time, communication, and the nervoussystem”, “Teleological mechanisms”, Annals of the NewYork Academy of Sciences, Vol. 50 No. 4, Nueva York,John Wiley, 1948

[47] Charles Sanders Peirce, Existential Graphs with commen-tary by John F. Sowa, MS514, 1909

[48] Frithjof Dau, Leibniz' splendid theorem as moving-pictureof Thought, 2014

[49] Robbie Nakatsu, Diagrammatic Reasoning in AI, NuevaYork, John Wiley & Sons, 2010

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7 Enlaces externos• Suplemento de la revista Actas de la Academia Lu-venticus dedicado a la difusión de la obra de JuanJosé Luetich (ISSN 1666-7581).

• Página oficial de la revista Studia Leibnitiana en elsitio de la editorial Franz Steiner.

12 8 ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS

8 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias

8.1 Texto• Razonamiento diagramático Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Razonamiento_diagram%C3%A1tico?oldid=78612006 Colaborado-res: Mariano Deheza, Marcus Cyron, Eduardosalg, Arjuno3, Grillitus, El Ayudante, NahidSultan, Cl6rk, Balles2601, -revi y Anónimos:7

8.2 Imágenes• Archivo:Aristotle_Altemps_Inv8575.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ae/Aristotle_Altemps_Inv8575.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: Jastrow (2006) Artista original: Copy of Lysippus

• Archivo:Camino_del_Ser_y_diagrama_total_-_Juan_José_Luetich_(2008).png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a6/Camino_del_Ser_y_diagrama_total_-_Juan_Jos%C3%A9_Luetich_%282008%29.png Licencia: CC BY-SA 3.0Colaboradores: http://www.luventicus.org/actas/editoriales/caminodelserydiagramatotal.html Artista original:Mariano Deheza

• Archivo:Charles_Sanders_Peirce_theb3558.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a4/Charles_Sanders_Peirce_theb3558.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: ? Artista original: ?

• Archivo:Deartecombinatoria.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Deartecombinatoria.jpg Licencia:CC0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original:Mariano Deheza

• Archivo:Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6a/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: /gbrown/philosophers/leibniz/BritannicaPages/Leibniz/LeibnizGif.html Artistaoriginal: Christoph Bernhard Francke

• Archivo:Ignis_-_aer_-_aqua_-_terra_(Leibniz,_Germán_Schultze_-_Luventicus).png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/42/Ignis_-_aer_-_aqua_-_terra_%28Leibniz%2C_Germ%C3%A1n_Schultze_-_Luventicus%29.png Licencia:CC BY-SA 3.0 Colaboradores: http://www.luventicus.org/actas/editoriales/eldiamantedeleibniz.html Artista original:Mariano Deheza

• Archivo:John_Venn.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/03/John_Venn.jpg Licencia: Public domain Cola-boradores: ? Artista original: ?

• Archivo:Leibnitzrechenmaschine.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/92/Leibnitzrechenmaschine.jpg Li-cencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: recorded by me in de:Technische Sammlungen der Stadt Dresden (with photo permission) Artistaoriginal: User:Kolossos

• Archivo:Leonhard_Euler_2.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/60/Leonhard_Euler_2.jpg Licencia: Pu-blic domain Colaboradores:

• 2011-12-22 (upload, according to EXIF data)

Artista original: Jakob Emanuel Handmann• Archivo:Peirce_reglas_-_1a.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7f/Peirce_reglas_-_1a.png Licencia: CCBY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original:Mariano Deheza

• Archivo:Peirce_reglas_-_1b.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7d/Peirce_reglas_-_1b.png Licencia: CCBY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original:Mariano Deheza

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8.3 Licencia del contenido 13

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8.3 Licencia del contenido• Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0