Razonamiento matemático_Polya

Tácticas y estrategias para la resolución de problemas

RODOLFO J. RODRIGUEZ-RODRIGUEZ U.R.L.: http://cariari.ucr.ac.cr/~rodolfor

E-mail: [email protected]

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Tabla de contenidos:

1. Introducción ............................................................................................. 4 2. Naturaleza de la resolución de problemas............................................... 5 2.1. ¿Qué es un problema? ........................................................................ 5 2.2. ¿Qué es la resolución de problemas?.................................................. 6 2.3. Etapas de la resolución de problemas ................................................. 7 2.3.1. Análisis ............................................................................................. 9 2.3.2. Exploración....................................................................................... 9 2.3.3. Comprobación de la solución obtenida............................................. 9 2.4. Representación en la resolución de problemas ................................. 11 2.5. Diferencias en las representaciones de expertos y novatos .............. 11 2.6. Las estrategias de resolución de problemas...................................... 12 2.6.1. Método inductivo: razonamiento basado en casos:........................ 13 2.6.2. Método abductivo-deductivo........................................................... 13 2.6.3. Los métodos heurísticos................................................................. 14 2.6.3.1.Tipos de conocimiento involucrados en la resolución de problemas 14 2.6.4. Los algoritmos ................................................................................ 16 2.6.4.1. Pasos para resolución algorítmica de de un problema ............... 16 2.6.4.2. Características de un algoritmo .................................................. 16 2.6.4.3. Análisis del problema.................................................................. 16 2.6.4.4. La Información o los datos requeridos por un algoritmo ............. 17 2.6.4.4.1. Datos constantes: ....................................................................... 17 2.6.4.4.2. Datos variables ........................................................................... 17 2.6.4.4.3. Expresiones ................................................................................ 17 2.6.4.4.4. Operadores aritméticos............................................................... 17 2.6.4.4.4.1. Operadores DIV y MOD .......................................................... 17 2.6.4.4.4.2. Orden de operaciones............................................................. 17 2.6.4.4.5. Operadores de relación .............................................................. 17 2.6.4.4.6. Operadores lógicos..................................................................... 18 2.6.4.4.7. Operaciones de asignación ........................................................ 18 2.6.4.4.7.1. Casos de operaciones de asignación...................................... 18 2.6.4.4.7.1.1. Variables auxiliares:............................................................. 18 2.6.4.4.8. Operaciones de entrada ............................................................. 18 2.6.4.4.9. Operaciones de salida ................................................................ 18 2.6.4.4.10. Operaciones de bifurcación..................................................... 18 2.6.4.4.10.1. Bifurcación hacia adelante................................................... 19 2.6.4.4.10.2. Bifurcación hacia atrás ........................................................ 19 2.6.4.4.10.3. Modos de bifurcaciones....................................................... 19 2.6.4.4.10.3.1. Bifurcación incondicional ..................................................... 19 2.6.4.4.10.3.2. Bifurcación condicional ........................................................ 20 2.6.4.4.10.3.2.1. Estructuras repetitivas........................................................ 20 2.6.4.4.10.3.2.1.1. Bucles ............................................................................. 20 2.6.4.4.10.3.2.1.2. Iteración .......................................................................... 20 2.6.4.4.10.3.2.1.3. Estructura mientras ......................................................... 20 2.6.4.4.10.3.2.1.4. Algoritmo: comensales .................................................... 20 2.6.4.4.10.3.2.1.5. La estructura repetir ........................................................ 20 2.6.4.4.10.3.2.1.6. Algoritmo Repetir............................................................. 20 2.6.4.4.10.3.2.1.7. Estructura desde/para ..................................................... 21




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2.6.4.4.10.3.2.1.8. Algoritmo factorial............................................................ 21 2.6.4.5. Diagrama de flujo........................................................................ 21 2.6.4.5.1. Principales símbolos ................................................................... 21 2.6.4.5.2. Reglas......................................................................................... 21 2.6.4.5.3. Simbología utilizada en los diagramas de flujo ........................... 22 2.6.4.5.4. Ejemplos de algoritmos y diagramas de flujo.............................. 23 2.6.4.5.4.1. Algoritmo y diagrama de flujo para un caso geométrico.......... 23 2.6.4.5.4.2. Porcentaje mensual................................................................. 25 2.6.4.5.4.3. Algoritmo y diagrama de flujo que obtiene la sumatoria de

números pares, del 0 al 100. ................................................... 25 2.6.4.5.4.4. Algoritmo y diagrama de flujo: pulsaciones ............................. 26 2.6.4.5.4.5. Diagrama de flujo que imprime del 0 al infinito........................ 26 2.6.4.5.4.6. Diagrama de flujo que realiza la secuencia de Fibonacci........ 27 2.6.4.5.4.7. Diagrama de flujo para el cálculo del factorial ......................... 28 2.7. Los procesos de pensamiento divergente.......................................... 29 2.8. Factores que afectan la resolución de problemas.............................. 29 2.8.1. Factores relacionados con los procesos ........................................ 29 2.8.2. Factores dependientes del sujeto................................................... 29 2.8.3. Factores ambientales ..................................................................... 30 3. La función del lenguaje.......................................................................... 30 4. Metacognición y resolución de problemas............................................. 31 5. Bibliografía General: .............................................................................. 32 6. Problemas propuestos........................................................................... 34 6.1. Alicia en el País de los acertijos......................................................... 54 6.2. Alicia en el Bosque del olvido ............................................................ 55 6.2.1. El león y el unicornio ...................................................................... 55 6.2.2. Tweedledum y Tweedledee............................................................ 55 6.3. El enigma de Drácula......................................................................... 56 6.3.1. En Transilvana................................................................................ 56 6.3.2. ¿Vive aun el conde Drácula? ......................................................... 57 6.3.3. ¿Qué pregunta debe hacerse?....................................................... 58 6.3.4. En el castillo de Drácula. ................................................................ 58 6.3.5. El enigma de Drácula. .................................................................... 59 6.3.6. Epílogo ........................................................................................... 60 6.3.7. Bibliografía: .................................................................................... 60 6.4. Problemas de trasfondo matemático.................................................. 61 6.4.1. Problemas con alternativas de solución de tipo algebraico ............ 61 6.4.2. Problemas geométricos.................................................................. 61 6.4.3. Problemas numéricos..................................................................... 71 6.4.4. Soluciones a Problemas de trasfondo matemático......................... 75




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1. Introducción Una de las interrogantes que surgen en el contexto de la psicología, la sociobiología, la etología o la antropología, al intentar construir una teoría sistemática de la de la mente, es: ¿qué es la inteligencia?, en términos generales y muy especialmente en términos humanos. En un sentido amplio y referido a organismos que tipifiquen como inteligentes, es posible expresar una definición general de Inteligencia de Stermberg y Salter: “la inteligencia se expresa en términos de conducta adaptativa, dirigida a un fin” (Sternberg, R. y W. Salter, 1982, p. 47). En este sentido una conducta adaptativa es una conducta que se enfrenta y satisface con éxito los desafíos que encuentra a su paso. En lo referente a los desafíos, estos pueden ser internos, planteados por el propio organismo, o bien externos, presentados por el mundo externo. En tanto, los desafíos de diversos medios internos y externos difieren entre un organismo y otro (y consecuentemente, entre una especie y otra), no es posible generalizar una serie de conductas que constituyan “conductas inteligentes”. Lo que es adaptativo en un organismo o en una especie, puede ser lo contrario en otra. No obstante existen coincidencias entre los ambientes de los miembros de una especie, y cuanto mayor sean esas coincidencias, mayor será la posibilidad de llevar a cabo una medición inteligente de la inteligencia. De esta misma manera, entre más reducida sea la gama de organismos y ambientes que estudie, mayor será la posibilidad de realizar análisis finos de la ejecución inteligente (Cfr. Sternberg, R y W. Salter, 1982, p. 47). En el contexto muy particular de la especie humana, la pregunta sería: ¿qué es lo que se denomina una persona prototícamente inteligente?, o planteada de otra manera: ¿qué conductas usualmente se asocian un individuo inteligente? Algunas investigaciones en el contexto de la psicología cognoscitiva durante las últimas cinco décadas han dado resultados relevantes. En términos generales ha habido un consenso, sobre algunas competencias que caracterizan a una persona inteligente. La primera de ellas es aquella que concierne a las habilidades para desempeñarse socialmente. La segunda competencia indicativa de una conducta inteligente es la habilidad verbal. Pero se ha considerado como la competencia más importante la habilidad para la resolución de problemas (Stermberg, 1982, pp. 30-39). Las habilidades de resolución de problemas se aplican a muy diversos ámbitos y diversos contextos, que pueden ser la resolución concreta de problemas cotidianos, la resolución de problemas en el ámbito social, político o administrativo, así como problemas abstractos de la matemática, la lógica y las ciencias naturales. El quehacer de los científicos y de los tecnólogos trata sobre la exploración y resolución continua de problemas. De esto se deriva que reconocer y analizar tanto los aspectos descriptivos como procedimentales de la resolución de problemas, es fundamental para cualquier disciplina intelectual. En la resolución de problemas se encuentran involucrados diversos procesos cognoscitivos de carácter perceptual, mnémico, inferencial, analógico y heurístico. Estos procesos cognoscitivos se subscriben a capacidades genéricas como lo es el pensamiento y la creatividad. Los problemas pueden ser de muy diversa naturaleza. Están los problemas que presentan una clara estructuración, con metas bien establecidas, hasta aquellos cuya definición es defectuosa y las metas no son ni claras ni específicas. En el primer grupo se encuentran los problemas típicos de la naturaleza académica (física, química, matemática, estadística), acertijos y crucigramas. En el segundo grupo se encuentra los problemas de la vida cotidiana, en contextos reales, los cuales, generalmente, se caracterizan por no presentar o disponer de toda la información necesaria, ni las restricciones no son establecidas claramente y tampoco poseen los algoritmos para dar una respuesta eficiente (Puente, A., 1989, pp. 223-224). Al respecto R. Sternberg (1982b) ha señalado: “La inteligencia es un concepto amorfo, pero sin aceptamos su definición global en tanto que adaptabilidad a las variadas situaciones en las que podemos encontrarnos, el estudio del razonamiento y la solución de problemas constituye una magnífica introducción al estudio de la inteligencia, ya que una adaptación carente de trivialidad requerirá inevitablemente distintas formas y modos de razonamiento y solución de problemas[…]inteligencia es en gran parte la capacidad para adquirir y pensar con nuevos sistemas conceptuales y tipos originales de tareas.”(Sternberg, 1982b, p.461).




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2. Naturaleza de la resolución de problemas 2.1. ¿Qué es un problema?

Un problema se define como una situación en la cual un individuo desea hacer algo, pero desconoce el curso de la acción necesaria para lograr lo que quiere (Newell y Simon, 1972), o como una situación en la cual un individuo actúa con el propósito de alcanzar una meta utilizando para ello alguna estrategia en particular (Chi y Glaser, 1983).

Una meta” o a “lograr lo que se quiere”, hace referencia a: la solución. La meta o solución está asociada con un estado inicial y el diferencial que existe entre ambos se denomina “problema”. Las actividades llevadas a cabo por los sujetos tienen por objeto operar sobre el estado inicial para transformarlo en meta. De esta manera, se podría decir que los problemas tienen cuatro componentes:

� las metas, � los datos, � las restricciones y � los métodos

(Mayer, 1983).

Componentes de una situación-problema




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� Las metas constituyen lo que se desea lograr en una situación determinada. En un

problema puede haber una o varias metas, las cuales pueden estar bien o mal definidas. En general, los problemas de naturaleza matemática son situaciones-problema con metas bien definidas.

� Los datos consisten en la información numérica o verbal disponible con que cuenta el solucionador de problemas para comenzar a analizar la situación problema. Al igual que las metas, los datos pueden ser pocos o muchos, pueden estar bien o mal definidos o estar explícitos o implícitos en el enunciado del problema y pueden ser simples o compuestos. Este son conocimiento descriptivo

� Las restricciones son los factores o reglas que limitan la vía para llegar a la solución. De igual manera, pueden estar bien o mal definidos y ser explícitos o implícitos.

� Los métodos u operaciones se refieren a los procedimientos utilizados para resolver el problema. Parten de conocimiento procedimental previo y requieren de creatividad cuando no hay soluciones previas que puedan ser aplicadas para alcanzar la meta.

2.2. ¿Qué es la resolución de problemas?

Según Dijkstra (1991), la resolución de problemas es un proceso cognoscitivo complejo que involucra conocimiento almacenado en la memoria a corto y a largo plazo. La resolución de problemas consiste en un conjunto de actividades mentales y conductuales, a la vez que implica también factores de naturaleza cognoscitiva, afectiva y motivacional. Por ejemplo, si en un problema dado debemos transformar mentalmente metros en centímetros, esta actividad sería de tipo cognoscitiva. Si se nos pregunta cuán seguros estamos de que nuestra solución al problema sea correcta, tal actividad sería de tipo afectiva, mientras que resolver el problema, con papel y lápiz, siguiendo un algoritmo hasta alcanzar su solución, podría servir para ilustrar una actividad de tipo conductual. A pesar de que estos tres tipos de factores están involucrados en la actividad de resolución de problemas, la investigación realizada en el área ha centrado su atención, básicamente, en los factores cognoscitivos involucrados en la resolución. Según Andre (1986), el proceso de resolución de problemas puede describirse a partir de los elementos considerados a continuación:

1. Una situación en la cual se quiere hacer algo, pero se desconocen los pasos precisos para alcanzar lo que se desea.

2. Un conjunto de elementos que representan el conocimiento relacionado con el problema.

3. El solucionador de problemas o sujeto que analiza el problema, sus metas y datos y se forma una representación del problema en su sistema de memoria.

4. El solucionador de problemas que opera sobre la representación para reducir la discrepancia entre los datos y las metas. La solución de un problema está constituida por la secuencia de operaciones que pueden transformar los datos en metas.

5. Al operar sobre los datos y las metas, el solucionador de problemas utiliza o puede utilizar los siguientes tipos de información:

o Información almacenada en su memoria de largo plazo en forma de esquemas o producciones.

o Procedimientos heurísticos. o Algoritmos. o Relaciones con otras representaciones.

6. El proceso de operar sobre una representación inicial con el fin de encontrar una solución al problema, se denomina búsqueda. Como parte del proceso de búsqueda de la solución, la representación puede transformarse en otras representaciones.

7. La búsqueda continúa hasta que se encuentra una solución o el solucionador de problemas se da por vencido.




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¿Qué es la resolución de un problema?

Mapa conceptual basado en R. Stermberg, 1996

2.3. Etapas de la resolución de problemas

Varios investigadores han analizado la actividad de resolución de problemas y señalan que tal actividad es un proceso que involucra una serie de etapas. Desde principios de siglo se viene investigando sobre las fases en la resolución de problemas. Es así como Wallas (1926) señala que éstas incluyen las siguientes:

1. La preparación, es la fase en la cual el solucionador analiza el problema, intenta definirlo en forma clara y recoge hechos e información relevante al problema.

2. La incubación, es la fase en la cual el solucionador analiza el problema de manera inconsciente.

3. La inspiración, es la fase en la cual la solución al problema surge de manera inesperada.

4. La verificación, es la fase que involucra la revisión de la solución. Otros autores (Andre, 1986; Hayes, 1981) señalan que las etapas en la resolución de problemas sirven para enfatizar el pensamiento consciente y para aproximarse analíticamente a la solución, así como también para ofrecer una descripción de las actividades mentales de la persona que resuelve el problema.




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En tal sentido, Andre (1986) propone que las etapas en la resolución de problemas son las especificadas en el cuadro 1:

Cuadro 1 Etapas en la resolución de problemas

1. Darse cuenta del problema, de que existe una discrepancia entre lo que se desea y lo que se tiene.

2. Especificación del problema, se trabaja una descripción más precisa del problema.

3. Análisis del problema, se analizan las partes del problema y se aisla la información relevante.

4. Generación de la solución, se consideran varias alternativas posibles. 5. Revisión de la solución, se evalúan las posibles soluciones. 6. Selección de la solución, se escoge aquélla que tenga mayor

probabilidad de éxito. 7. Instrumentación de la solución, se implementa la solución. 8. Nueva revisión de la solución, de ser necesario.

Es de hacer notar que las etapas se aplican usualmente a problemas aritméticos y algebraicos, pero también pueden aplicarse a muchos otros tipos de problemas no necesariamente relacionados con disciplinas académicas. Resulta particularmente significativa la propuesta del matemático húngaro George Polya (1965b) señala que un problema puede resolverse correctamente si se siguen los siguientes pasos:

• Comprender el problema. • Concebir un plan para llegar a la solución. • Ejecutar el plan. • Verificar el procedimiento. • Comprobar los resultados.

Polya (1965b) explicita los pasos anteriores, de la siguiente manera: Paso 1: Entender el Problema. 1.- ¿Entiendes todo lo que dice? 2.- ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras? 3.- ¿Distingues cuáles son los datos? 4.- ¿Sabes a qué quieres llegar? 5.- ¿Hay suficiente información? 6.- ¿Hay información extraña? 7.- ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

� Paso 2: Configurar un Plan. ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final).

1.- Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura). 2.- Usar una variable. 3.- Buscar un Patrón 4.- Hacer una lista. 5.- Resolver un problema similar más simple. 6.- Hacer una figura. 7.- Hacer un diagrama 8.- Usar razonamiento directo. 9.- Usar razonamiento indirecto 10.- Usar las propiedades de los Números. 11.- Resolver un problema equivalente. 12.- Trabajar hacia atrás. 13.- Usar casos 14.- Resolver una ecuación 15.- Buscar una fórmula. 16.- Usar un modelo. 17.- Usar análisis dimensional. 18.- Identificar sub-metas. 19.- Usar coordenadas.




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20.- Usar simetría.

� Paso 3: Ejecutar el Plan.

� 1.- Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso. 2.- Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que se te prenda el foco cuando menos lo esperes!). 3.- No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.

� Paso 4: Mirar hacia atrás (Verificar el procedimiento, Comprobar los resultados.)

1.- ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema? 2.- ¿Adviertes una solución más sencilla? 3.- ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?

Comúnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta. Fueron múltiples las aportaciones de Pólya, que incluyen más de 250 documentos matemáticos y tres libros que promueven un acercamiento al conocimiento y desarrollo de estrategias en la solución de problemas. Su famoso libro Cómo Plantear y Resolver Problemas(Polya, 1965b) que se ha traducido a 15 idiomas, introduce su método de cuatro pasos junto con la heurística y estrategias específicas útiles en la solución de problemas. Otros trabajos importantes de Pólya son Descubrimiento Matemático (I y II)(Polya, 1965a), y Matemáticas y Razonamiento Plausible (I y II) (Polya, 1966). Después de muchos años de ser profesor en prestigiosas universidades de Europa y de Estados Unidos de América, Pólya, que murió en 1985 a la edad de 97 años, Schoenfeld (1985), a partir de los planteamientos de Polya (1965), se ha dedicado a proponer actividades de resolución de problemas que se pueden llevar a cabo en el aula, con el fin de propiciar situaciones semejantes a las condiciones que los matemáticos experimentan en el proceso de desarrollo de resolución de problemas. Su modelo de resolución abarca los siguientes pasos: Análisis, Exploración y Comprobación de la solución y puede aplicarse a problemas matemáticos y algebraicos. Aunque estos pasos no necesariamente tienen que ser aplicados en su totalidad, en el Anexo 1 se incluye un ejemplo de resolución de un problema matemático siguiendo este modelo. 2.3.1. Análisis

1. Trazar un diagrama, si es posible. 2. Examinar casos particulares 3. Probar a simplificar el problema

2.3.2. Exploración 1. Examinar problemas esencialmente equivalentes: sustituir las condiciones por otras

equivalentes, recombinar los elementos del problema de modo diferente, replantear el problema.

2. Examinar problemas ligeramente modificados: establecer submetas, descomponer el problema en casos y analizar caso por caso.

3. Examinar problemas ampliamente modificados: construir problemas análogos con menos variables, mantener fijas todas las variables menos una para determinar qué efectos tiene esa variable, tratar de sacar partido de problemas afines que tengan parecido en su forma, en sus datos o en sus conclusiones.

2.3.3. Comprobación de la solución obtenida 1. Verificar la solución obtenida siguiendo criterios específicos: utilización de todos los

datos pertinentes, uso de estimaciones o predicciones.




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2. Verificar la solución obtenida siguiendo criterios generales: examinar la posibilidad de obtener la solución por otro método, reducir la solución a resultados conocidos.

En síntesis, como puede observarse, desde principios de este siglo, diferentes autores han propuesto pasos, fases o etapas a cumplir para poder resolver problemas con éxito. Este aspecto es importante ya que permite, de antemano, planificar los pasos a seguir en la resolución de un problema, ejecutar esos pasos y, posteriormente, supervisar el proceso de resolución y comprobar la solución o resultado. Aplicaciones a un caso: A partir del siguiente problema, se establecen las actividades para su resolución, de acuerdo con el modelo de Schoenfeld (1985) y a partir de los planteamientos de Polya. Problema: En un salón de 35 alumnos aprobaron el 40%. Determinar el número de alumnos reprobados. Resolución del problema: Análisis

Trazar un diagrama.

0%

20%

40%

60%

Alumnos

Aprobado

Reprobado

Total de alumnos: 35 alumnos que representan el 100%. Exploración Examinar problemas ligeramente modificados: establecer submetas y descomponer el problema. El enunciado del problema expresa que hay que determinar el número de alumnos reprobados, pero como sabemos que los aprobados y los reprobados representan la totalidad del curso, podemos resolver el problema estableciendo dos submetas. Submeta 1. Transformar el 40% de aprobados en número de alumnos.

35-------100% X---------40%

X = (35 x 40) / 100 = 1.400 / 100 = 14 14 alumnos representan el 40% de los alumnos aprobados. Submeta 2. Transformar el 60% de reprobados en número de alumnos. Esta submeta se puede resolver de dos formas. a) Encontrando la diferencia entre el número total de alumnos del curso y el número de alumnos aprobados. Esto es:

35 - 14 = 21 alumnos b) Calculando el número de alumnos que representa el 60% del total. Este cálculo nos permite predecir y verificar que la cantidad a obtener debe ser 21 alumnos, si hemos realizado bien el cálculo.

35--------100%




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X----------60% X = (35 x 60) / 100 = 2.100/100 = 21 alumnos

21 alumnos representan el 60% de alumnos reprobados. Comprobación de la solución obtenida • Verificar la solución obtenida siguiendo criterios específicos: utilización de todos los datos pertinentes. Sumando los alumnos aprobados y reprobados debemos obtener el total de alumnos del curso. En efecto: 21 alumnos reprobados + 14 alumnos aprobados = 35 alumnos en el curso.

2.4. Representación en la resolución de problemas Un aspecto importante a considerar en el proceso de resolución de problemas es la representación. Esta consiste en la transformación de la información presentada a una forma más fácil de almacenar en el sistema de la memoria, e incluye la identificación de las metas y los datos. La representación también ha sido denominada espacio del problema para referirse a las representaciones mentales de los individuos acerca de su estructura y de los hechos, conceptos y relaciones del mismo. A continuación se presenta un ejemplo para ilustrar cómo se puede representar un problema en la memoria:

Un autobús parte de la parada en la mañana. Se detiene en la primera parada y recoge 5 personas. Sigue hasta la próxima parada y allí suben 6 personas. Continúa hasta la siguiente parada y suben 4 personas. En la próxima parada, suben 5 personas y se bajan 3. En la siguiente parada, suben 5 personas y se bajan 4. En la parada siguiente, suben 6 personas y se baja 1. La próxima vez, suben 3 personas y se bajan 2. La vez siguiente, se bajan 2 personas y no sube nadie. En la siguiente parada nadie espera por el autobús, de manera tal que este no se detiene. En la próxima parada, suben 10 personas y se bajan 3. En la siguiente, suben 3 personas y se bajan 6. Finalmente, el autobús llega al terminal. ¿Cuántas paradas hay en la ruta del autobús?

(Tomado de Andre, 1986, p. 177) La tendencia más común es que la mayoría de los estudiantes puedan decir cuántas personas llegan a la parada final, cuántas subieron o cuántas bajaron, pero muy pocos están en capacidad de indicar cuántas paradas hay en la ruta del autobús debido a que seleccionaron la información numérica como datos importantes y la representaron internamente en la forma de operaciones aritméticas. En términos de los procesos involucrados en la resolución de problemas, esto sucede porque la meta del problema no estaba bien definida a pesar de que había datos numéricos explícitos precisos. El énfasis sobre el número de personas que suben y bajan del autobús hace posible que los estudiantes piensen que tienen que hacer algo con esos datos y, en tal sentido, construyen una meta la cual se representa como el logro de una cantidad total. Esta decisión conduce a los estudiantes a seleccionar cierta información como relevante (número de personas que suben y bajan del autobús) e ignorar otra (número de paradas del autobús). Kintsch y Greeno (1985) señalan que una estrategia adecuada para resolver problemas consiste en traducir cada oración del enunciado del problema a una representación mental interna y, luego, organizar la información relevante en una representación mental coherente de la situación descrita en dicho enunciado. En este sentido, se puede señalar que las representaciones mentales, adecuadas o inadecuadas, utilizadas por los individuos para resolver problemas, pueden facilitar o inhibir la solución. 2.5. Diferencias en las representaciones de expertos y novatos En la literatura sobre la resolución de problemas se pueden distinguir dos tendencias: una que enfatiza el proceso de resolución y otra que resalta el conocimiento base del individuo que resuelve el problema, particularmente la organización de ese conocimiento. En este sentido, podría señalarse que ha habido un cambio en el foco de interés en esta área, el cual ha pasado del análisis de las estrategias generales más o menos independientes de un dominio del conocimiento —como es el caso de los pasos sugeridos por Polya (1965)— al conocimiento




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base referido al área en la cual el individuo resuelve el problema, como por ejemplo, el conocimiento de la matemática, de la física o de la química, necesario para resolver problemas en estas disciplinas. Resolver problemas en áreas o dominios específicos requiere, por lo tanto, del conocimiento de la disciplina involucrada. Sin embargo, se ha puesto en evidencia que la sola presencia del conocimiento almacenado en el sistema de memoria, no implica necesariamente que éste va a estar disponible en el momento de resolver el problema. En años recientes, los investigadores en el área de la resolución de problemas han examinado la ejecución de individuos en tareas que requieren muchas horas de aprendizaje y de experiencia. Los estudios sobre la experticia han focalizado su interés en el examen de las diferencias experto/novato en diferentes áreas del conocimiento. Desde los inicios de la década de los ochenta, Chi, Feltovich y Glaser (1981) y Chi, Glaser y Rees (1982), realizaron algunos estudios con el fin de examinar el comportamiento de los individuos expertos y novatos cuando resuelven problemas de física. Al resumir los diversos experimentos de sus estudios, estos autores concluyen que las diferencias que caracterizan a los expertos y los novatos cuando resuelven problemas de física son las siguientes:

1. Las estructuras cognoscitivas (esquemas) de los expertos se basan en principios físicos (por ejemplo, el principio de la conservación de la energía y la segunda Ley de Newton), mientras que las de los novatos se basan en objetos (por ejemplo, planos inclinados) y en constructos (por ejemplo, fricción, gravedad).

2. Los contenidos de los esquemas de los expertos y los novatos no difieren significativamente en información, sin embargo, las estructuras de los novatos carecen de relaciones importantes que constituyen la base de las soluciones. En los expertos existen vínculos entre la representación del problema y los principios físicos que constituyen la base para resolverlo, mientras que en los novatos estos vínculos no existen.

3. Las estructuras cognoscitivas de los expertos están ordenadas jerárquicamente, de arriba hacia abajo, con los conceptos más generales e inclusores en la parte superior del nivel de abstracción, mientras que en los novatos, los diferentes niveles del conocimiento no están bien integrados y no hay acceso fácil de un nivel a otro.

Los resultados de los estudios realizados conducen a pensar que existen altos niveles de competencia en términos de la interacción entre la estructura de conocimiento del sujeto y sus habilidades de procesamiento, y señalan que las relaciones entre la estructura del conocimiento base y los procesos en la resolución de problemas están mediadas por la calidad de su representación (Gagné y Glaser, 1987). 2.6. Las estrategias de resolución de problemas Las estrategias para resolver problemas se refieren a las operaciones mentales utilizadas por los estudiantes para pensar sobre la representación de las metas y los datos, con el fin de transformarlos en metas y obtener una solución. Las estrategias para la resolución de problemas incluyen los métodos inductivos: razonamiento basado en casos, métodos abductivos-deductivos, métodos heurísticos, los algoritmos y los procesos de pensamiento divergente. El siguiente es un ejemplo de la propuesta de un problema, la representación de sus metas y datos y la consecución de la meta buscada o solución del problema. Una mosca antojadiza. Colocamos sobre la mesa 25 monedas (dato 1) iguales en la siguiente posición (dato 2):

O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

Una mosca viene volando y se posa sobre una de ellas (la indicada)(dato 3). Se le ocurre hacer un paseo andando por las 25 monedas, pero, pasando de una moneda a otra




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horizontalmente y verticalmente y sin repetir moneda (dato 4). ¿Lo podrá hacer? ¿Qué itinerario sería el adecuado para cada moneda en la que se pueda posar? (Meta) 2.6.1. Método inductivo: razonamiento basado en casos:

Se simplifica el problema, construyendo uno análogo pero de menor orden, es decir con menos monedas, pues 25 monedas resultan difíciles de manipular mentalmente. Se prueba entonces con menos: 2x2=4 monedas.

Así:

O O O O

Es obvio que se pose donde se pose, la mosca tiene el camino bien fácil. Se aumenta el orden y complejidad en otro problema análogo, esta vez con 3x3=9 monedas. Así:

O O O O O O O O O

Si la mosca se posa en una esquina también lo tiene fácil. Si se posa en el centro, también. Pero si se posa en cualquier otra moneda, como fácilmente se observa, lo tiene imposible. Así, en el caso de 3x3=9 monedas, a veces se puede hacer el paseo, y otras no. Se infiere inductivamente que en el caso análogo de 5x5=25 monedas suceda algo parecido. En este sentido se ha inducido una solución plausible, con base en el estudio de casos específicos análogos entre sí. 2.6.2. Método abductivo-deductivo Pero surge la pregunta sobre un procedimiento general que responda: ¿Por qué no se puede hacer el paseo en algunos casos cuando hay 9 monedas? (Problema análogo, de menor complejidad que el buscado de 25 monedas). Acudiendo a una simbolización numérica, se fijan los centros de las monedas con coordenadas:

(-1,1) (0,1) (1,1) (-1,0) (0,0) (1,0) (-1,-1) (0,-1) (1,-1)

El solucionador de problemas, puede abducir varias hipótesis que busquen la resolución del problema. Una de ellas, puede ser: ´éxiste alguna característica análoga entre los las coordenadas a partir de las cuales se puede realizar el paseo y entre aquellas coordenadas a partir de las cuales no se pueden realizar. De manera deductiva y a partir de la anterior hipótesis, se prueban cada uno de los casos, y se concluye que los puntos desde los que el paseo no se puede hacer son (0,1), (1,0), (0,-1), (-1,0). En ellos, la suma de las coordenadas es impar (Nuevo dato deducido). En los restantes, la suma de las coordenadas es par (Nuevo dato deducido) Se denominan entonces pares a estos vértices y, a los otros, impares. Hay cuatro vértices impares y cinco pares. El paseo de la mosca, empezando por un vértice impar, sería: Impar Par Impa Par ... Entonces (nuevas hipótesis abducidas): a) Si terminase en impar, habría más vértices impares que pares y b)Si terminase en par, habría igual número de las dos clases. Las hipótesis a y b se refutan ambas como son falsas. En cualquier caso se concluye que: ´´La mosca no puede hacer el paseo saliendo de un vértice impar´´. Esto señala una estrategia análoga para solucionar el caso de 5x5 monedas. El camino en los casos en los que se puede hacer se encuentra fácilmente.




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2.6.3. Los métodos heurísticos Los métodos heurísticos son estrategias generales de resolución y reglas de decisión utilizadas por los solucionadores de problemas, basadas en la experiencia previa con problemas similares. Estas estrategias indican las vías o posibles enfoques a seguir para alcanzar una solución. De acuerdo con Monero y otros (1995) los procedimientos heurísticos son acciones que comportan un cierto grado de variabilidad y su ejecución no garantiza la consecución de un resultado óptimo como, por ejemplo, reducir el espacio de un problema complejo a la identificación de sus principales elementos (p. 20). Mientras que Duhalde y González (1997) señalan que un heurístico es “un procedimiento que ofrece la posibilidad de seleccionar estrategias que nos acercan a una solución” (p. 106). Los métodos heurísticos pueden variar en el grado de generalidad. Algunos son muy generales y se pueden aplicar a una gran variedad de dominios, otros pueden ser más específicos y se limitan a un área particular del conocimiento. La mayoría de los programas de entrenamiento en solución de problemas enfatizan procesos heurísticos generales como los planteados por Polya (1965) o Hayes (1981). Los métodos heurísticos específicos están relacionados con el conocimiento de un área en particular. Este incluye estructuras cognoscitivas más amplias para reconocer los problemas, algoritmos más complejos y una gran variedad de procesos heurísticos específicos. Chi y colaboradores (1981, 1982), señalan que entre el conocimiento que tienen los expertos solucionadores de problemas están los “esquemas de problemas”. Estos consisten en conocimiento estrechamente relacionado con un tipo de problema en particular y que contiene:

• Conocimiento declarativo: principios, fórmulas y conceptos. • Conocimiento procedimental: conocimiento acerca de las acciones necesarias para

resolver un tipo de problema en particular. • Conocimiento estratégico: conocimiento que permite, al individuo solucionador del

problema, decidir sobre las etapas o fases que debe seguir en el proceso de solución. Diversos investigadores han estudiado el tipo de conocimiento involucrado en la resolución de un problema, encontrándose que los resultados apoyan la noción de que la eficiencia en la resolución de problemas está relacionada con el conocimiento específico del área en cuestión (Mayer, 1992; Stenberg, 1987). En este sentido, estos autores coinciden en señalar que los tipos de conocimiento necesarios para resolver problemas incluyen:

• Conocimiento declarativo: por ejemplo, saber que un kilómetro tiene mil metros. • Conocimiento lingüístico: conocimiento de palabras, frases, oraciones. • Conocimiento semántico: dominio del área relevante al problema, por ejemplo, saber

que si Alvaro tiene 5 Euros más que Javier, ésto implica que Javier tiene menos Euros que Alvaro.

• Conocimiento esquemático: conocimiento de los tipos de problema. • Conocimiento procedimental: conocimiento del o de los algoritmos necesarios para

resolver el problema. • Conocimiento estratégico: conocimiento de los tipos de conocimiento y de los

procedimientos heurísticos. 2.6.3.1. Tipos de conocimiento involucrados en la resolución de problemas

Problema: Álvaro tiene 5 dólares. Javier tiene tres euros más que Álvaro. ¿Cuántos dólares tiene Javier?

Cuadro 2.




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Tipos de conocimiento requeridos para resolver un problema según Stenberg (1987)

Paso Tipos de conocimiento Ejemplos

Representación del problema Lingüístico Javier (J)tiene tres euros más que Álvaro(A) significa: J = A + 3 euros.

Traducción Declarativo Un dólar equivale a 1.3 euros

Integración Procedimental Problema de comparación, consistente en dos subunidades y una supraunidad.

Solución del problema Tipos de conocimiento

Planificación Estratégico El objetivo es sumar 3 euros(3 * 1.3 dólares) a 5 dólares

Ejecución Algorítmico

Procedimientos de multiplicación y suma. 3 euros *1.3 = 3.9 dólares J = 5 dólares + 3.9 dólares Javier tiene 8.9 dólares

Entre los procedimientos heurísticos generales se pueden mencionar los siguientes:

• Trabajar en sentido inverso (working backwards). Este procedimiento implica comenzar a resolver el problema a partir de la meta o metas y tratar de transformarlas en datos, yendo de la meta al principio. El procedimiento heurístico es utilizado en geometría para probar algunos teoremas; se parte del teorema y se trabaja hacia los postulados. Es útil cuando el estado-meta del problema está claro y el inicial no.

• Subir la cuesta (hill climbing). Este procedimiento consiste en avanzar desde el estado actual a otro que esté más cerca del objetivo, de modo que la persona que resuelve el problema, al encontrarse en un estado determinado, evalúa el nuevo estado en el que estará después de cada posible movimiento, pudiendo elegir aquel que lo acerque más al objetivo. Este tipo de procedimiento es muy utilizado por los jugadores de ajedrez.

• Análisis medios-fin (means-ends analysis). Este procedimiento permite al que resuelve el problema trabajar en un objetivo a la vez. Consiste en descomponer el problema en submetas, escoger una para trabajar, y solucionarlas una a una hasta completar la tarea eliminando los obstáculos que le impiden llegar al estado final. Según Mayer (1983), el que resuelve el problema debe hacerse las siguientes preguntas: ¿cuál es mi meta?, ¿qué obstáculos tengo en mi camino?, ¿de qué dispongo para superar estos obstáculos? En el estudio de Larkin, McDermott, Simon y Simon (1980), se encontró que los estudiantes de un curso introductorio de física utilizaban el análisis medios-fin para resolver problemas, mientras que los físicos más expertos utilizaban otro procedimiento que evitaba la creación de muchas metas.




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2.6.4. Los algoritmos Los algoritmos son procedimientos específicos que señalan paso a paso la solución de un problema y que garantizan el logro de una solución siempre y cuando sean relevantes al problema. Monereo y otros (1995) señalan que un procedimiento algorítmico es una sucesión de acciones que hay que realizar, completamente prefijada y su correcta ejecución lleva a una solución segura del problema como, por ejemplo, realizar una raíz cuadrada o coser un botón (p. 20). Por otra parte, Duhalde y González (1997) señalan que un algoritmo es una prescripción efectuada paso a paso para alcanzar un objetivo particular. El algoritmo garantiza la obtención de lo que nos proponemos (p. 106). De esta manera, el algoritmo se diferencia del heurístico en que este último constituye sólo “una buena apuesta”, ya que ofrece una probabilidad razonable de acercarnos a una solución. Por lo tanto, es aceptable que se utilicen los procedimientos heurísticos en vez de los algorítmicos cuando no se conocen la solución de un problema. Un método para formular algoritmos de una manera gráfica, son los denominados Diagramas de flujo, organigramas o flujogramas. Estos se basan en la utilización de diversos símbolos para representar operaciones específicas. Se les llama diagramas de flujo porque los símbolos utilizados se conectan por medio de flechas para indicar la secuencia de operación. La simbología utilizada para la elaboración de diagramas de flujo es variable y debe ajustarse a un patrón definido previamente. Los diagramas de flujo para representar algoritmos, junto con su formulación en pseudocódigo, son un instrumento metodológico muy útil, como etapa previa de la elaboración de programas electrónicos para las computadoras. La resolución de un problema exige un diseño de un algoritmo que resuelva un problema:

2.6.4.1. Pasos para resolución algorítmica de de un problema 1. Análisis detallado de todos los datos, restricciones y metas requeridas por la situación problema 2. Diseño del algoritmo, o procedimiento general, como una secuencia de pasos que incorpora todos los datos y las restricciones y que busca alcanzar una meta estipulada 3. Elaboración de suprocedimientos que se incorporan como pasos dentro del algoritmo general. 4. Ejecución de los subprocedimientos 5. Ejecución de la secuencia de pasos del procedimiento general 6. Obtención y validación de la meta 2.6.4.2. Características de un algoritmo • Debe ser preciso e indicar el orden de realización de cada paso • Debe estar definido. Si se sigue el algoritmo dos veces, se debe obtener el mismo resultado • Debe ser finito. Debe iniciar y terminar en algún momento, número finito de pasos. 2.6.4.3. Análisis del problema

Definición y planteamiento del problema

Análisis de puntos de partida

o condiciones de entrada

Análisis de restricciones

o definición de reglas

Análisis del problema

Definición de metas o condiciones de salida

Situación-Problema

Diseño del algoritmo

Ejecución del procedimiento

Solución o

soluciones




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2.6.4.4. La Información o los datos requeridos por un algoritmo

Los datos son expresiones generales que describen los objetos con que se operará en el algoritmo. Los datos pueden ser simples o compuestos. Los simples pueden ser palabras(cadenas de letras), números o expresiones lógicas de relación. Los datos pueden mantenerse constantes a través de la ejecución del algoritmo o pueden variar, es decir ser variables. 2.6.4.4.1. Datos constantes:

Son el punto de partida de datos(objetos) que permanecen sin cambios durante todo el desarrollo del algoritmo. 2.6.4.4.2. Datos variables

Datos cuyo valor puede cambiar durante el desarrollo del algoritmo 2.6.4.4.3. Expresiones

Son combinaciones de constantes, variables, símbolos de operación, paréntesis y nombres de funciones especiales

Las mismas ideas utilizadas en notación matemática tradicional: a+(b+3)+c +b+(b-5)+¶c

2.6.4.4.4. Operadores aritméticos + Suma - Resta * Multiplicación / División

^, **,- Exponenciación div División entera

mod Módulo(resto)

2.6.4.4.4.1. Operadores DIV y MOD El símbolo / se utiliza para la división real. El operador div representa división entera: A div B A y B son expresiones enteras:

• 19 div 3, equivale a 6 • 19 mod 6, equivale a 1 • 15 div 6, equivale a 2 • 15 mod 6 equivale a 3

2.6.4.4.4.2. Orden de operaciones Las reglas de prioridad o precedencia, son: Las operaciones encerradas entre paréntesis se evalúan primero. Si existen paréntesis

anidados las expresiones más interiores se evalúan primero. Orden: Operaciones aritméticas de una operación siguen el siguiente orden: Operador exponencial, ^. **,� Operadores *, /, Operadores div y mod Operadores +, -

2.6.4.4.5. Operadores de relación

Operador Significado

< Menor que > Mayor que

= Igual que

<= Menor o igual que >= Mayor o igual que <> Distinto de




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2.6.4.4.6. Operadores lógicos

Operador lógico Expresión lógica Significado no(not) no (not p) Negación de p y(and) p y q

(p and q) Conjunción de p y q

o(or) p o q (p or q)

Disyunción de p y q

2.6.4.4.7. Operaciones de asignación La asignación es el modo de darle valores a una variable.

Símbolo u operador: ←←←← La operación de asignación se conoce como instrucción o sentencia de asignación

Nombre de la variable ←←←←expresión

TIPO DE ASIGNACIÓN EJEMPLOS ARITMÉTICA AMN ←←←←3+14+8

COCIENTE ←←←←Ter1/Ter2 LÓGICA M ←←←←8<5

P ←←←←7>6 CADENAS DE CARACTERES X ←←←←’15 SETIEMBRE’

2.6.4.4.7.1. Casos de operaciones de asignación

• a ← 80 la variable a toma el valor 80 • a ←12 a contiene 12 • b ←a b contiene a • c← b c contiene b

antes de la ejecución de las tres instrucciones, el valor de a,b,c es indeterminado. si desea darles un valor inicial, habrá que hacerlo explícitamente, incluso cuando sea 0

a ← 0, b ← 0, c ← 0 2.6.4.4.7.1.1. Variables auxiliares:

1. A ← 10 A toma el valor 10 2. B ← 20 B toma el valor 20 3. AUX ← A AUX toma el valor de A, es 10 4. A ← B A toma el valor de B, es 20 5. B ← AUX B toma el valor de AUX, es 10

AUX mantiene el valor de 10 2.6.4.4.8. Operaciones de entrada Permiten leer determinados valores y asignarlos a determinadas variables 2.6.4.4.9. Operaciones de salida Permiten dar o escribir los resultados de la ejecución del algoritmo 2.6.4.4.10. Operaciones de bifurcación

Una bifurcación interrumpe el desarrollo lineal de un programa




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Acción 1

Acción 2

Acción 3

2.6.4.4.10.1. Bifurcación hacia adelante (Positivo)

instrucción 1 instrucción 2 instrucción 3 . . .

instrucción 8 última instrucción

2.6.4.4.10.2. Bifurcación hacia atrás (Negativo)

instrucción 1 instrucción 2 instrucción 3 . . .

instrucción 12

última instrucción

2.6.4.4.10.3. Modos de bifurcaciones Existen dos modos de bifurcaciones: la Incondicional o Condicional 2.6.4.4.10.3.1. Bifurcación incondicional Se realiza siempre que el flujo del programa pase por la instrucción sin necesidad del cumplimiento de ninguna condición




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2.6.4.4.10.3.2. Bifurcación condicional Depende del cumplimiento de una determinada condición.

2.6.4.4.10.3.2.1. Estructuras repetitivas 2.6.4.4.10.3.2.1.1. Bucles Estructuras que repiten una secuencia de instrucciones un número determinado de veces. 2.6.4.4.10.3.2.1.2. Iteración Repetir una ejecución de una secuencia de acciones. 2.6.4.4.10.3.2.1.3. Estructura mientras La estructura repetitiva mientras (hacer mientras): es aquella que el cuerpo del bucle se repite mientras se cumple una determinada condición 2.6.4.4.10.3.2.1.4. Algoritmo: comensales • inicio • poner el mantel • repetir • tomar una servilleta • hasta que el número de servilletas sea igual que comensales • repetir • tomar un vaso • hasta que el número de vasos es igual al de comensales • repetir • tomar un juego de platos • hasta que el número de juegos es igual al de comensales • repetir • tomar un juego de cubiertos • hasta que el número de juegos es igual al de comensales

• fin 2.6.4.4.10.3.2.1.5. La estructura repetir Con esta instrucción se ejecuta hasta que cumpla una condición determinada que comprueba al final del bucle. El bucle repetir-hasta-que se repite mientras el valor de la expresión de la condición sea falsa, justo a la opuesta de la sentencia mientras. 2.6.4.4.10.3.2.1.6. Algoritmo Repetir • Inicio

o contador ← 1 o repetir

• leer(numero) • contador ← contador + 1

o hasta_que contador > 30 o escribir (Números leídos 30´)

• fin

¿condición?

Acción F1 Acción F2

no sí




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2.6.4.4.10.3.2.1.7. Estructura desde/para Para un número fijo de iteraciones, se debe usar la estructura desde o para. La estructura desde ejecuta las acciones del cuerpo del bucle un número especificado de veces y de un modo automático controla las iteraciones o pasos a través del cuerpo del bucle. 2.6.4.4.10.3.2.1.8. Algoritmo factorial El factorial es una expresión algebraica del producto de todos los números naturales hasta n, escrito n! Así el factorial de cuatro: 4!=1*2*3*4=24. La definición completa en forma recursiva es: 1) 1!= 2; 2) (n+1)! = (n!)(n+1). El siguiente es un algoritmo, utilizando estructuras de: desde/para: • Inicio

o //lectura de cantidad de números o leer(n) o desde I ← 1 hasta n hacer

� leer(Numero) � FactoriaL ← 1

• desde j ←1 hasta número hacer • FACTORIAL ←FACTORIAL *J • fin_desde

o escribir(‘El factorial del número’, Numero, ‘es’, Factorial) o fin desde

• fin 2.6.4.5. Diagrama de flujo Un diagrama de flujo es un esquema para representar gráficamente un algoritmo. Se basan en la utilización de diversos símbolos para representar operaciones específicas. Se les llama diagramas de flujo porque los símbolos utilizados se conectan por medio de flechas para indicar la secuencia de operación. Para hacer comprensibles los diagramas a todas las personas, los símbolos se someten a una normalización; es decir, se hicieron símbolos casi universales, ya que, en un principio cada usuario podría tener sus propios símbolos para representar sus procesos en forma de Diagrama de Flujo. Esto trajo como consecuencia que solo aquel que conocía sus símbolos, los podía interpretar. La simbología utilizada para la elaboración de diagramas de flujo es variable y debe ajustarse a un patrón definido previamente. 2.6.4.5.1. Principales símbolos Estandarizados según ISO 5807 No es indispensable usar un tipo especial de símbolos para crear un diagrama de flujo, pero existen algunos ampliamente utilizados por lo que es adecuado conocerlos y utilizarlos, ampliando así las posibilidades de crear un diagrama más claro y comprensible para crear un proceso lógico y con opciones múltiples adecuadas.

• Flecha. Indica el sentido y trayectoria del proceso de información o tarea. un evento que ocurre de forma automática y del cuál generalmente se sigue una secuencia determinada.

• Rombo. Se utiliza para representar una condición. Normalmente el flujo de información entra por arriba y sale por un lado si la condición se cumple o sale por el lado opuesto si la condición no se cumple. Lo anterior hace que a partir de éste el proceso tenga dos caminos posibles.

• Círculo. Representa un punto de conexión entre procesos, se utiliza cuando es necesario dividir un diagrama de flujo en varias partes, por ejemplo por razones de espacio o simplicidad. Una referencia debe de darse dentro para distinguirlo de otros. La mayoría de las veces se utilizan números en los mismos.

Existen además una variedad de formas especiales para denotar las entradas, las salidas, los almacenamientos, etcétera. 2.6.4.5.2. Reglas De acuerdo al estándar ISO los símbolos e incluso las flechas deben de tener ciertas características para estar dentro del estándar. En el caso se los círculos de conexión se debe usar sólo cuando se conecta con un proceso contenido dentro de la misma hoja.




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Aunque también existen conectores de página los cuales son como una casita y se utilizan para unir actividades que se encuentran en otra hoja.

• Existe siempre un camino que permite arribar a una solución • Existe un único inicio del proceso • Existe un único punto de fin para el proceso • De cada símbolo solo puede salir una flecha de flujo, salvo del rombo que indica una

comparación con dos caminos posibles 2.6.4.5.3. Simbología utilizada en los diagramas de flujo

Símbolo Función




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2.6.4.5.4. Ejemplos de algoritmos y diagramas de flujo

2.6.4.5.4.1. Algoritmo y diagrama de flujo para un caso geométrico Se busca representar y encontrar un procedimiento de resolución del problema clásico de la geometría plana, de determinar el área que deja un círculo al estar dentro de un cuadrado. El procedimiento de resolución del problema es trivialmente simple, pues se trata de un círculo inscrito en un cuadrado, de tal manera que hay una diferencia entre el área del círculo y el área del cuadrado. La meta buscada es entonces un procedimiento general, para cualquier círculo y para cualquier cuadrado, en el que se calcule tal diferencia. Para ello, es recomendable la utilización de variables, que puedan utilizar cualquier valor dado. Así, se tendrá la variable C, como el área del cuadrado, S, como en área del círculo, L, como el Lado del cuadrado, R como el radio del círculo, y Z como el área buscada, es decir la diferencia entre el área del círculo y del cuadrado. Debe establecerse como restricciones del problema, que el diámetro, es decir 2R, no puede ser mayor que el lado del cuadrado: L. y tanto R como L deben ser mayores que cero para que se logre una solución al problema planteado. Se presupone las fórmulas de las áreas, tal que la del cuadrado es L x L y la del círculo es R x R x 3,1416. El siguiente es el diagrama de flujo que representa el algoritmo general de resolución del problema propuesto:




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2.6.4.5.4.2. Porcentaje mensual Un individuo desea invertir su capital en un banco y desea saber ¿Cuánto dinero ahorra después de un mes, si el banco paga a razón de 2% mensual?. Si C es el capital de inversión y B es el porcentaje mensual ganado, se obtiene:

2.6.4.5.4.3. Algoritmo y diagrama de flujo que obtiene la sumatoria de números pares, del 0 al 100.




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2.6.4.5.4.4. Algoritmo y diagrama de flujo: pulsaciones Cálculo el numero de pulsaciones que una persona debe tener por cada diez segundos de ejercicio si la formula es (220-edad)/10= N. de pulsaciones.

2.6.4.5.4.5. Diagrama de flujo que imprime del 0 al infinito.




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2.6.4.5.4.6. Diagrama de flujo que realiza la secuencia de Fibonacci. Los números Fibonacci, son la sucesión de números: 0, 1,1,2,3,5,13,21,34,…definida por a1=0 a2=1, … an= an-1+ an-2, para n = 3, 4, 5,6




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2.6.4.5.4.7. Diagrama de flujo para el cálculo del factorial ( ¡ ) de un número n. Por definición recursiva: n!. n! = n(n-1)!, tal que el factorial 0! =1.

0! =1 1!=1 2!=2 x1 3! =3 x2 4!=4 x 3 x 2 x 1.




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2.7. Los procesos de pensamiento divergente Los procesos de pensamiento divergente permiten la generación de enfoques alternativos a la solución de un problema y están relacionados, principalmente, con la fase de inspiración y con la creatividad. La adquisición de habilidades para resolver problemas ha sido considerada como el aprendizaje de sistemas de producción que involucran tanto el conocimiento declarativo como el procedimental. Existen diversos procedimientos que pueden facilitar o inhibir la adquisición de habilidades para resolver problemas, entre los cuales se pueden mencionar:

• Ofrecer a los estudiantes representaciones metafóricas. • Permitir la verbalización durante la solución del problema. • Hacer preguntas. • Ofrecer ejemplos. • Ofrecer descripciones verbales. • Trabajar en grupo. • Utilizar auto-explicaciones.

2.8. Factores que afectan la resolución de problemas Desde la perspectiva del enfoque cognoscitivo, se han revisado los factores que influyen en el proceso de resolución de problemas. Existen algunas categorías que permiten agrupar estos factores en: relacionados con los procesos dependientes del sujeto y ambientales. 2.8.1. Factores relacionados con los procesos Los procesos mentales desarrollados por los individuos, mientras resuelven un problema, han sido objeto de estudio por parte de los investigadores del paradigma cognoscitivo. Por ejemplo, la mayor parte de las investigaciones en el área de la matemática, directa o indirectamente, tienen por objeto analizar y generar modelos que reflejen los procesos subyacentes a la ejecución de los sujetos. Dentro de este marco se encuentran los trabajos de Suppes y Groen, quienes desde 1967 se han dedicado a explorar cómo los niños de los primeros grados de educación básica resuelven problemas de suma con números menores de diez. Estos autores han examinado varios modelos y, a partir de sus trabajos, se han estudiado muchos otros procesos aritméticos, como la sustracción, la multiplicación, la división, las operaciones con fracciones. Tales modelos se han extendido para intentar explicar otros procesos. En el análisis de los procesos involucrados en la resolución de problemas, es la aritmética mental (análisis cronométrico) la técnica que mejor información ha generado. En esencia, esta técnica consiste en medir el tiempo requerido por un sujeto para dar respuesta a un problema. Se parte del supuesto de que este tiempo está en función de los procesos cognoscitivos involucrados para resolver el problema. El estudio de Groen y Parkman (1972) ilustra, de alguna manera, este tipo de análisis. En su estudio, estos autores presentaron a niños de primer grado problemas de adición y les pidieron emitir la respuesta en el tiempo más breve posible. Los autores comprobaron que los datos obtenidos se ajustaban, en primer lugar, al algoritmo simple de la suma, el cual consiste en tomar el valor del sumando mayor e ir añadiendo hacia arriba el número de veces que indica el sumando menor, por ejemplo, 4 + 2 = 6, el niño cuenta 4, 5, 6 y, en segundo lugar, al algoritmo de contar a partir de 1, comenzando por el primer sumando, así 1 y 5 es 6 porque el niño cuenta 1, 2, 3, 4, 5, 6. Los resultados también indicaron que las estrategias de conteo que se desarrollan antes de la escolaridad, juegan un papel importante en la determinación de los procedimientos utilizados en la escuela y los métodos que los niños emplean no son necesariamente los mismos que se les enseñan a través de la instrucción. 2.8.2. Factores dependientes del sujeto Clásicamente, se ha considerado que las características de los individuos tienen un papel importante en el éxito o fracaso en la resolución de problemas. Algunos factores son el conocimiento y la experiencia previa, la habilidad en la lectura, la perseverancia, las habilidades de tipo espacial, la edad y el sexo. En la actualidad, existe una tendencia orientada hacia la construcción de modelos que representan las diferencias entre los solucionadores de problemas eficientes e ineficientes o las diferencias en la ejecución de la tarea por expertos y novatos, a las cuales se hizo referencia anteriormente. Los individuos expertos poseen mayor información que los novatos, lo cual facilita la representación del problema en términos de esquemas, estructuras, procedimientos y




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métodos heurísticos. Las representaciones abstractas habilitan a los expertos para enfrentar con mayor eficiencia los problemas. 2.8.3. Factores ambientales Existe un gran número de factores externos que pueden afectar la ejecución en la resolución de problemas. Sin embargo, la comunidad de educadores en el área de la matemática está de acuerdo en concentrar su esfuerzo en factores relacionados con la instrucción para desarrollar estrategias expertas de pensamiento, para enseñar el uso de herramientas específicas de pensamiento y para entrenar en el uso de reglas generales y específicas de naturaleza heurística. Las estrategias expertas de pensamiento pueden ser utilizadas independientemente del tipo y de la naturaleza del problema y se orientan hacia el desarrollo de un pensamiento original, divergente y de actitudes positivas hacia la resolución de problemas. Las herramientas específicas de pensamiento son estrategias que tienden a equipar al sujeto que resuelve el problema, con un conjunto de habilidades que supuestamente intervienen favorablemente, aunque su eficiencia no ha sido consistentemente comprobada. Los métodos instruccionales diseñados para el entrenamiento en estrategias heurísticas generales o específicas han sido propuestos por Polya (1965). Entre las estrategias heurísticas específicas están: simplificar el problema, trabajar en sentido inverso, etc.; sin embargo, este tipo de estrategia es útil sólo en casos muy particulares. Las estrategias heurísticas generales, como ya señalamos anteriormente, se pueden utilizar en un amplio rango de problemas, siendo las principales el análisis medios-fin, la planificación y la organización de la información. 3. La función del lenguaje Desde los inicios de la década de los ochenta, Rimoldi (1984) ha venido examinando el papel que tienen las estructuras lógicas y los sistemas simbólicos en la resolución de problemas. Este autor ha examinado los efectos de la edad, el sexo, el nivel socioeconómico, la pertenencia a grupos culturales diferentes, etc. La mayor parte de los estudios señalan, por una parte, la verificación de la hipótesis que establece la relación entre los conceptos de lenguaje y la estructura lógica y, por la otra, que la no resolución de un problema puede deberse a un uso deficiente o al desconocimiento del lenguaje utilizado en el enunciado. Este aspecto, sin embargo, no ha sido contemplado en toda su dimensión e importancia por los teóricos clásicos del área de resolución de problemas. En efecto, han sido los investigadores de la comprensión del discurso los que han argumentado y estudiado con más énfasis la relación entre el lenguaje, el sistema simbólico y las estructuras de pensamiento. El lenguaje y el sistema de símbolos constituyen el formato básico de información almacenada en la memoria y éste es un conocimiento que permite comprender y representar el problema. Sin control del sistema simbólico es imposible pretender que un individuo opere satisfactoriamente aunque pueda ser capaz de traducir y comprender la estructura subyacente al problema (Kintsch, 1986). Se ha observado que la mayor parte de los estudiantes, independientemente del nivel de escolaridad, resuelven menos problemas cuando éstos se presentan en forma verbal que cuando se presentan en forma matemática. Se ha comprobado que en muchas situaciones problema, una de las principales dificultades estriba en transformar el estado inicial, formulado en lenguaje natural, al estado formal en lenguaje matemático. Una vez obtenida la transformación y si ésta es correcta, el problema está prácticamente resuelto. Kintsch (1987) descubrió tres posibles fuentes de error al resolver problemas aritméticos sencillos presentados en forma verbal: 1) mal uso o desconocimiento de estrategias aritméticas, falsas concepciones y fracaso en el procedimiento de conteo, 2) comprensión equivocada del problema, principalmente, por factores lingüísticos, y 3) sobrecarga de elementos en la memoria de corto plazo. Recientemente, Jitendra y Kameenui (1996) han examinado de manera extensiva los patrones de errores cometidos por los estudiantes cuando resuelven problemas de tipo verbal, con el fin de comprender sus procesos de razonamiento y diseñar los procesos de instrucción correspondientes para remediarlos. Éstos van desde errores simples de cálculo, hasta otros más sofisticados derivados de la teoría del análisis de errores en lectura y el procesamiento de la información. Los errores de cálculo incluyen varias categorías: operación equivocada, algoritmo defectuoso o incompleto, error de agrupamiento, inversión inapropiada, error de identificación, respuesta al azar o error por descuido. Los basados en el análisis de errores en lectura incluyen: errores en




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comprensión de lectura, ausencia de destrezas en los procesos de codificación, mientras que los errores derivados del procesamiento de información incluyen: dificultades en el lenguaje, representaciones espaciales, conocimiento inadecuado de conceptos y destrezas pre-requisitos, asociaciones incorrectas o aplicación de estrategias irrelevantes. 4. Metacognición y resolución de problemas La investigación en metacognición en el área de resolución de problemas ha tratado de identificar procesos estratégicos que pueden aplicarse a todo tipo de problemas, más que a áreas específicas. Brown (1978) identificó varios procesos estratégicos que los estudiantes deben adquirir para ayudarlos a convertirse en solucionadores efectivos de problemas. Estos son:

• Conocer nuestras limitaciones como aprendiz. • Estar consciente de las estrategias que uno sabe cómo usar y cuándo cada una de

ellas es apropiada. • Identificar el problema a resolver. • Planificar las estrategias apropiadas. • Chequear y supervisar la efectividad del plan diseñado para resolver el problema. • Evaluar la efectividad de los pasos anteriores de manera que el solucionador de

problemas sepa cuando finalizar de trabajar en el problema. En el cuadro 6 se indican los pasos a seguir en la resolución de un problema y las preguntas que el solucionador debe hacerse en cada paso con el fin de llevar a cabo un proceso metacognoscitivo en el transcurso de la resolución (Bañuelos, 1995).

Cuadro 6

Etapas y secuencias para desarrollar conocimiento metacognoscitivo para la resolución de problemas según Bañuelos (1995)

Primero Comprensión del problema Comprender el problema ¿Cuál es la incógnita?, ¿Cuáles son los datos?, ¿Cuáles son las

condiciones? ¿Es posible cumplir las condiciones? ¿Son suficientes las condiciones para hallar la incógnita?, ¿Son insuficientes?, ¿Son redundantes?, ¿Son contradictorias? Represente el problema con una figura. Adopte una notación adecuada. Separe las diferentes partes de las condiciones, ¿Puede ponerlas por escrito?

Segundo Concepción de un plan Descubrir las relaciones entre los datos y la incógnita. Puede verse obligado a tomar en cuenta problemas auxiliares si no encuentra una relación inmediata. Debe llegar a tener un plan de resolución

¿Se ha encontrado antes con el problema?, ¿Lo ha visto de forma diferente?, ¿Conoce algún problema relacionado?, ¿Conoce algún teorema que le pueda ser útil? Revise la incógnita. Intente recordar algún problema familiar que tenga una incógnita igual o parecida. ¿Puede replantearse el problema? Si no puede resolver el problema propuesto, intente resolver primero algún problema que se relacione con el mismo. ¿Puede imaginarse un problema más sencillo, relacionado con éste?, ¿Algún problema más general?, ¿más particular?, ¿Análogo? ¿Puede resolver alguna parte del problema? Mantenga sólo una parte de las condiciones, abandone la otra parte. ¿Hasta qué punto se determina entonces la incógnita, cómo puede variar? ¿Podría extraer algo práctico a partir de los datos? ¿Puede pensar en otros datos adecuados para hallar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita, o los datos, o las dos cosas si hace falta, para que la incógnita esté más próxima a los datos nuevos? ¿Ha utilizado todas las condiciones? ¿Ha tomado en cuenta todos los elementos esenciales que intervienen en el problema?

Tercero Ejecución del plan Llevar a cabo un plan Cuando lleve a cabo su plan de resolución, compruebe cada paso. ¿Puede

ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede demostrar que es correcto?

Cuarto Verificación Examinar la solución obtenida ¿Puede comprobar el resultado? ¿Puede comprobar el razonamiento?

¿Puede percibirlo a simple vista? ¿Puede utilizar el resultado o el método para algún otro problema?




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6. Problemas propuestos Utilizando los distintos métodos de resolución de problemas, resuelva cada una de las siguientes situaciones-problemas.

1. El sastre. Un sastre tiene una pieza de paño de 12 m. de longitud y todos los días corta 2m. ¿Al cabo de cuántos días habrá cortado completamente la pieza?

2. El caracol viajero. Un caracol por asuntos muy particulares, desea trasladarse de una huerta a otra, subiendo un muro de separación, que tiene 5 m. de altura; trepa verticalmente por el muro recorriendo 3 m. cada dia y desciende(¡caprichos del caracol!), también verticalmente, cada noche, 2m., de modo que dada día avanza en efectivo, 1 m. en ruta. ¿En cuántos días llegará a la cima?

3. La lámpara. Se encuentra en una habitación cerrada y afuera tres perillas. Una de ellas prende la lamparita, el resto no. Usted esta afuera y debe averiguar cual de las tres prende la lamparita con una condición: puede entrar solo na vez a la habitación.

4. Un problema de peso. Tiene usted una balanza de escala (aquellas con dos platos en equilibrio) y doce esferas sólidas. Se le dice que una de ellas tiene un peso distinto a las demás, pero no sabe si es más liviana o más pesada. Utilizando la balanza para comparar el peso de las esferas, ¿puede encontrar la esfera distinta y decir si es más liviana o más pesada con sólo tres pesadas?

5. Con monedas y balanzas .Tiene esta vez una balanza electrónica (de las que dan el peso justo) y 15 monedas de curso legal. Le cuentan que una de ellas es falsa pero la unica diferencia es su peso. Una de ellas es más pesada que el resto. Haciendo uso de la balanza solo cuatro veces deberá determinar cual de las 15 monedas es falsa.

6. El hombre en la barra Por su brevedad, simplicidad y dificultad, este tradicional problema es considerado el mejor problema de pensamiento lateral. Un hombre entra dentro de un bar y le solicita al cantinero un vaso de agua. Ellos no se conocían de antemano. El cantinero toma un arma y le apunta al hombre. El hombre dice 'Gracias' y se retira. ¿Qué sucedió?

7. Acortando caminos

Existen cuatro pueblos en Lateralia. Los llamaremos A, B, C y D. Están situados en las cuatro esquinas de un cuadrado de 10 millas de lado. Con motivo de mejorar las comunicaciones entre los pueblos, el Departamento de Transporte de Lateralia ha decidido construir un nuevo sistema de caminos para unir a los cuatro pueblos. Debido a la falta de presupuesto, se decidió que los caminos deberán ser lo más corto posible y aún así permitir el acceso de cualquier pueblo hacia otro. Los ingenieros llegaron a tres diseños que se mostraron inicialmente. El número uno abarca 40 millas, el número dos 30 millas, y el numero tres 28.3 millas de camino. Los diseñadores naturalmente recomendaron el plan número tres porque empleaba la menor área de caminos y costaba menos. Aun así, cuando el plan llego hasta el Ministro de Finanzas, los acuso de extravagantes y rápidamente propuso un mejor diseño, que requería aún menos superficie de camino.¿Cuál fue la solución dada por el Ministro?

8. La proposición. Un explorador es capturado por una tribu cuyo jefe decide que el hombre debe morir. El jefe era un hombre muy lógico y decide darle al explorador una elección. El explorador debería pronunciar una proposición. Si esta resultaba verdadera, seria tirado desde un precipicio. Si resultaba falsa, seria tirado a los leones.¿Que proposición deberá el astuto explorador decir para forzar al jefe a dejarlo ir?

9. Medias. En un cajón dentro de un cuarto oscuro hay 24 medias rojas y 24 azules. ¿ Cuál es el número menor de medias que tengo que sacar del cajón para estar seguro de que saco, por lo menos, dos del mismo color?

10. El mismo pero diferente: En un cajón hay una misma cantidad de medias rojas que de azules. Supongamos que resulta que el número más pequeño de medias que tengo que coger para estar seguro de que saco, por lo menos, un par del mismo color, es el mismo que tengo que coger para sacar, por lo menos, dos medias de diferente color. ¿Cuántos




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medias hay en el cajón? 11. Cantidad de cabellos. He aquí una famosa adivinanza lógica: Dado que en Nueva York

hay más habitantes que cabellos en la cabeza de cualquiera de sus habitantes y que ninguno de ellos es totalmente calvo, ¿Será cierto que tendrá que haber por lo menos dos habitantes que tengan exactamente el mismo número de cabellos? Y aquí una pequeña variante del mismo problema: En Podunk estas tres cosas son verdad: (1) Ninguno de sus habitantes tiene exactamente el mismo número de cabellos. (2) Ninguno de ellos tiene exactamente 518 cabelllos. (3) Hay más habitantes que cabellos en la cabeza de cualquiera de ellos. ¿Cuál es el número mayor de habitantes de Podunk?

12. - En una calle hay cien edificios. Se llama a un fabricante de números para que ponga número a todas las casas del uno al cien; este tendrá que encargar los números para hacer su trabajo. Sin un papel y un lápiz, ¿puede calcular mentalmente cuántos nueves necesitaría?

13. La familia. Cierta familia está constituida por: un abuelo, una abuela, un suegro, una suegra, un yerno, tres hijas, cuatro hijos, dos padres, dos madres,tres nietos,dos nietas,cuatro hermanos,tres hermanas,dos cuñados,dos maridos, dos esposas, un tío, tres sobrinos y dos sobrinas. Si el total de personas no es cuarenta, sino solamente 10, ¿Cómo está formada la familia?

14. El oso. Un hombre está a cien metros al sur de un oso; anda cien metros en dirección este, luego se vuelve hacia el norte, dispara su fusil en esa dirección y le da al oso. ¿De que color era? (-El oso, por supuesto-)

15. La comunidad mítica. En una cierta comunidad mítica, los políticos siempre mienten y los no políticos siempre dicen la verdad. Un extranjero se encuentra con tres nativos y pregunta al primero de ellos si es un político. Este responde a la pregunta. El segundo nativo informa, entonces, que el primer nativo negó ser un político. Pero el tercer nativo afirma que el primer nativo es realmente un político. ¿Cuántos de estos tres nativos eran políticos?

16. Los Puentes de Koenisberg. Problema desarrollado por Leonard Euler: 1735. En la ciudad de Koeninsberg, existían siete puentes conformados de la siguiente manera:

La pregunta que se hizo Euler, fue: ¿Será posible recorrer todos los puentes sin repetir alguno de ellos? Para dar respuesta a este interrogante es conveniente investigas sobre la obra de Leonard Euler, los orígenes de la topología y la teoría de grafos.

17. Dibujando sobres. En la figura tenemos dos sobres ligeramente diferentes ya que el segundo tiene una línea más, que marca la doblez de cierre. ¿Es posible dibujar cada uno de los sobres sin levantar el lápiz del papel, y sin pasar más de una vez por el mismo trazo?




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18. En términos generales: de un solo trazo, ¿posible o imposible? Un vértice es impar si de el parten un número impar de caminos. Un vértice es par si de el parten un número par de caminos. El problema es imposible si en la red hay más de dos vértices impares. Es posible: a) Cuando todos los vértices son pares, y entonces el punto de partida puede ser cualquiera. b) Cuando no hay más de dos vértices impares, y entonces el recorrido comienza por uno de ellos y termina en el otro.

De los 8 dibujos de la figura, ¿cuáles pueden dibujarse de un sólo trazo y cuáles no?

19. La lógica de Einstein. Problema propuesto por Einstein y traducido a varios idiomas conservando su lógica. Einstein aseguraba que el 98% de la población mundial sería incapaz de resolverlo. ¿Es Vd. es del 2% restante?.

Condiciones iniciales: • Tenemos cinco casas, cada una de un color. • Cada casa tiene un dueño de nacionalidad diferente. • Los 5 dueños beben una bebida diferente, fuman marca diferente y tienen mascota

diferente. • Ningún dueño tiene la misma mascota, fuma la misma marca o bebe el mismo tipo de

bebida que otro. • Datos:

1.El noruego vive en la primera casa, junto a la casa azul. 2.El que vive en la casa del centro toma leche 3. El inglés vive en la casa roja. 4. La mascota del Sueco es un perro. 5. El Danés bebe té. 6.La casa verde es la inmediata de la izquierda de la casa blanca. 7.El de la casa verde toma café. 8. El que fuma PallMall cría pájaros. 9.El de la casa amarilla fuma Dunhill. 10.El que fuma Blend vive junto al que tiene gatos. 11. El que tiene caballos vive junto al que fuma Dunhill. 12.El que fuma BlueMaster bebe cerveza. 13.El alemán fuma Prince. 14. El que fuma Blend tiene un vecino que bebe agua.

¿Quién tiene peces por mascota? 20. Las etiquetas cambiadas

Un pastelero recibe tres paquetes con 100 caramelos cada uno. Uno de los paquetes contiene caramelos de naranja, otro de limón y el tercero mitad y mitad: 50 de naranja y 50 de limón. Pero el fabricante le advierte que, a causa de un error de envasado, las tres etiquetas de los paquetes- naranja, limón y surtidos- están cambiadas.




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¿Cuántos caramelos tendrá que sacar como mínimo el pastelero para averiguar el contenido de cada paquete?

21. El tocón traicionero Dicen que este problema lo planteó en cierta ocasión un matemático rural. Es un cuento bastante divertido. Un campesino encontró en el bosque un anciano desconocido. Se pusieron a charlar. El viejo miró al campesino con atención y le dijo:

• En este bosque yo sé que hay un toconcito maravilloso. En caso de necesidad ayuda mucho.

• ¡Cómo que ayuda! ¿Acaso cura algo? • Curar no cura, pero duplica el dinero. Ponés debajo de él el portamonedas con dinero ,

cuentas hasta cien, y listo: el dinero que había en el portamonedas se ha duplicado. Esta es la propiedad que tiene. ¡Magnífico tocón!

• ¡Si pudiera probar! – exclamó soñador el campesino. • Es posible. ¡Cómo no! Pero hay que pagar. • ¿Pagar? ¿A quién? ¿Mucho? • Hay que pagar al que indique el camino. Es decir, a mí en este caso. Si va a ser mucho

o poco es otra cuestión. Empezaron a regatear. Al saber que el campesino llevaba consigo poco dinero, el viejo se conformó con recibir un peso y 20 centavos después de cada operación en que se duplicara el dinero. En eso quedaron. El viejo condujo al campesino a lo más profundo del bosque, lo llevó de un lado para otro y, por fin, encontró entre unas malezas un viejo tocón de abeto cubierto de musgo. Tomando de manos del campesino el portamonedas, lo escondió entre las raíces del tocón. Contaron hasta cien. El viejo empezó a escudriñar y hurgar al pié del tronco y, al fin, sacó el portamonedas, entregándoselo al campesino. Este miró el interior del portamonedas y…, en efecto el dinero se había duplicado. Contó y dio al anciano el peso y los veinte centavos prometidos y le rogó que metiera por segunda vez el portamonedas bajo el tocón maravilloso. Contaron de nuevo hasta cien; el viejo se puso otra vez a hurgar en la maleza junto al tocón y de nuevo se realizó el milagro: el dinero del portamonedas se había duplicado. El viejo recibió del bolsillo el peso y los 20 centavos convenidos. Escondieron por tercera vez el portamonedas bajo el tocón. El dinero también se duplicó esta vez. Pero cuando el campesino hubo pagado al viejo la remuneración prometida, en el portamonedas no quedó ni un solo centavo. El pobre había perdido en la combinación todo su dinero. No había ya nada que duplicar y el campesino, abatido, se retiró del bosque. El secreto de la duplicación maravillosa del dinero, naturalmente, está claro para ustedes: no en balde el viejo, rebuscando el portamonedas, hurgaba en la maleza junto al tocón. Pero, ¿pueden ustedes indicar cuánto dinero tenía el campesino antes de los desdichados experimentos con el traicionero tocón?

22. Las dos fichas En un tablero del juego de damas hay que colocar dos fichas, una blanca y otra negra. ¿De cuántos modos diferentes pueden disponerse dichas fichas?

23. El tabernero astuto Un señor entra en la taberna y pide cuatro litros de vino. ¿No le daría o mismo cinco, o tres? -pregunta el tabernero-. Sólo tengo un barril de ocho litros y dos cazos vacíos para medir, uno de tres y otro de cinco. Pero el cliente insiste en que quiere cuatro litros, ni uno más ni uno menos, y el tabernero se las ingenia para medir cuatro litros exactos utilizando sus cazos. ¿Cómo lo hace? Ayuda: Tener en cuenta que se puede trasvasar de un cazo al otro.

24. El impermeable, el sombrero y los chanclos Cierta persona compró un impermeable, un sombrero y unos chanclos y pagó por todo 200 dólares. El impermeable le costó 90 dólares más que el sombrero; el sombrero y el impermeable juntos costaron 160 dólares más que los chanclos. ¿Cuál era el precio de cada prenda? El problema hay que resolverlo mentalmente, sin emplear ecuaciones.

25. Se conoce un personaje que siempre miente de Lunes a Miércoles y siempre dice la verdad de Jueves a Domingo ¿Qué día de la semana puede haber dicho àyer mentí ' y en ` dos días más diré la verdad ‘? Justifique su respuesta.




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26. Sebastián juega el siguiente solitario de números: parte con a, b y c; luego escoge uno de ellos, lo borra y lo reemplaza por la suma de los otros dos restantes menos 1. Por ejemplo, si elimina al número b lo reemplaza por el número a + c - 1. Después de varios días el juego tiene los números 2001, 2003, 2005. Diga si es posible que Sebastián haya iniciado este juego con los números a = 2, b = 2 y c = 2. Justifique su respuesta.

27. El vaso de agua y el vaso de vino. Tenemos un vaso con agua y un vaso con vino. Tomamos una cucharadita de agua del primer vaso, la echamos en el segundo y removemos, con lo que tendremos una mezcla homogénea de vino con un poco de agua. A continuación, con la misma cuchara, tomamos una cucharadita de esta mezcla y la echamos en el vaso de agua. ¿Habrá más vino en el vaso de agua que agua en el vaso de vino, o viceversa?

28. ¿Cuántos años tiene? A un aficionado a los rompecabezas le preguntaron cuántos años tenía. La contestación fue compleja:

• Tomar tres veces los años que tendré dentro de tres años, restar tres veces los años que tenía hace tres años y resultará exactamente los años que tengo ahora.

¿Cuántos años tiene ahora? 29. Las atribuciones de Robinson

Si le abandonaran en una isla desierta y le dieran a elegir entre un martillo y una caja de clavos ¿que escogería? Imagínese, además, que la isla está llena de árboles, y un buen día se declara un incendio en la punta norte. Para colmo de males, sopla un persistente viento del norte, por lo que el fuego amenaza con barrer toda la superficie de la isla en pocos minutos. La vegetación es tan tupida que no hay un solo rincón en tierra en que un hombre pueda resguardarse de las llamas. Podría tirarse al mar mientras durara el incendio, pero no se lo vamos a poner tan fácil: el agua está infestada de tiburones. ¿Qué haría?

30. Medias y guantes En una misma caja hay 10 pares de medias de color café y 10 pares negros, y en otra caja hay 10 pares de guantes de color café y otros tantos pares negros. ¿Cuántas medias y guantes es necesario sacar de cada caja, para conseguir un par de medias y un par de guantes de un mismo color (cualquiera)?

31. Un guardarropas surtido Todas mis camisas son blancas menos dos, todas son azules menos dos y todas son rosa menos dos.¿Cuántas camisas tengo de cada color?

32. El abuelo y el nieto Lo que voy a contar sucedió en 1932. Tenía yo entonces tantos años como expresan las dos últimas cifras del año de mi nacimiento. Al poner en conocimiento de mi abuelo esta coincidencia, me dejó pasmado al contestarme que con su edad ocurría lo mismo. Me pareció imposible. Claro que es imposible -añadió una voz-. Pues es completamente posible. Mi abuelo me lo demostró. ¿Cuántos años teníamos cada uno de nosotros?

33. La cadena A un herrero le trajeron 5 trozos de cadena, de tres eslabones cada uno, y le encargaron que los uniera formando una cadena continua. Antes de poner manos a la obra, el herrero comenzó a meditar sobre el número de anillos que tendría necesidad de abrir y forjar uno nuevo. Decidió que le haría falta abrir y cerrar cuatro anillos.¿No es posible efectuar este trabajo abriendo y forjando un número menor de anillos?

34. Los huevos de gallina y de pato Las canastas contienen huevos; en unas canastas hay huevos de gallina, en las otras de pato. Su número está indicado en cada canasta: 5, 6, 12, 14, 23 y 29. "Si vendo esta canasta -meditaba el vendedor- me quedará el doble de huevos de gallina que de pato". ¿A qué se refiere el vendedor?

35. El recital Un día, un famoso grupo musical, hizo un concierto tan malo que tuvo que salir corriendo del escenario. Para poder escapar, disponían de un túnel que estaba muy oscuro, por el que podían pasar como máximo dos personas al mismo tiempo.




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Sólo tenían una linterna para poder cruzar el túnel.Los cuatro componentes del grupo, no eran igualmente rápidos. Habían realizado simulacros y uno tardaba 10 minutos en recorrer el túnel, otro tardaba 5 minutos, otro tardaba 2 minutos y el último tardaba 1 minuto. Cuando van de dos en dos, siempre tardan en recorrer el túnel el tiempo que tarda el más lento. Lógicamente si dos de ellos han pasado el túnel con la linterna, uno de los dos tiene que volver para que puedan pasar el túnel los que falten. La pregunta es la siguiente: ¿es posible que el grupo pueda escapar en 17 minutos? Hay otra posible solución si el primero que vuelve es el 2.

36. Besos y abrazos Los Gómez y los López se encuentran por la calle, y rápidamente se produce un efusivo intercambio de besos y abrazos. Cada uno de los López saluda a cada uno de los Gómez. Al saludarse dos varones se dan un abrazo, mientras que al saludarse dos mujeres, o un hombre y una mujer, se dan un beso. Al final de la efusiva salutación se han producido 35 abrazos y 42 besos. ¿Cuántas mujeres y cuantos varones hay en cada familia?

37. Diógenes y los tres jóvenes Iba Diógenes por el bosque con su linterna en la mano, cuando se encontró con Flora. - ¿Qué buscas, Diógenes? -le pregunto la diosa primaveral. A lo que el filósofo contestó con su famosa frase: - Busco un hombre. - Pues aquí cerca hay uno -díjole la diosa-, pero no bastará la luz de tu linterna para reconocerlo, ya que está en compañía de dos faunos de apariencia totalmente humana. »Son dos faunos muy singulares, pues mientras uno siempre dice la verdad, el otro miente invariablemente. En cuanto al hombre verdadero, como es habitual entre los de vuestra voluble especie, unas veces dice la verdad y otras miente, de forma imprevisible.»Sigue, oh, Diógenes, por este camino y hallarás a los tres jóvenes, que se llaman Jacinto, Narciso y Lirio. Puedes hacerles dos preguntas, de las que se contestan diciendo sí o no; las dos preguntas se las puedes hacer al mismo, o bien una a un joven y otra a otro, como prefieras. Si de este modo averiguas cuál de los tres es el hombre, premiaré tu ingenio dándote mi protección, y la Naturaleza te será propicia. Como es bien sabido, Diógenes vivió en un tonel, en armonía con la Naturaleza y sin necesidades urbanas, por los que es de suponer que superó la prueba. ¿Cómo lo hizo? Ayuda: las dos preguntas pueden ser,

a. de tus compañeros, es Narciso el que más probablemente contestaría con la verdad a una pregunta?

b. Si le preguntara al otro fauno si Jacinto es el hombre, me diría que sí? En cada caso analizar distintas posibilidades.

38. Los veintiún bocadillos Pedro, Felipe y Saturio están preparando bocadillos para una excursión. Tienen veintiún panecillos y un trozo de queso. Cuando llevan hecho siete bocadillos, se dan cuenta de que, si siguen poniendo la misma cantidad de queso en cada uno, no habrá bastante para todos, y deciden reducir a la mitad la cantidad de queso por bocadillo. Aún así, sólo consiguen hacer siete bocadillos más, y quedan siete panecillos sin queso. Sin partir ningún bocadillo ni panecillo, ¿Cómo harán el reparto de forma que a cada uno de los tres le toque la misma cantidad de pan y de queso? Solución: Un posible reparto es: 3e 1m 3p, 3e 1m 3p, 1e 5m 1p (e= bocadillo con ración de queso entera, m con media ración, p panecillos sin queso), y otro 2e 3m 2p, 2e 3m 2p, 3e 1m 3p.

39. La unidad ¿Cómo expresar la unidad, empleando al mismo tiempo las diez primeras cifras?

40. Silencio. Si Ángela habla más bajo que Rosa y Celia habla más alto que Rosa, ¿habla Ángela más alto o más bajo que Celia?

41. La nota media. La nota media conseguida en una clase de 20 alumnos ha sido de 6. Ocho alumnos han suspendido con un 3 y el resto superó el 5. ¿Cuál es la nota media de los alumnos aprobados?

42. Los cuatro atletas. De cuatro corredores de atletismo se sabe que C ha llegado inmediatamente detrás de B, y D ha llegado en medio de A y C. ¿Podría Vd. calcular el orden de llegada?




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43. Seis amigos de vacaciones. Seis amigos desean pasar sus vacaciones juntos y deciden, cada dos, utilizar diferentes medios de transporte; sabemos que Alejandro no utiliza el coche ya que éste acompaña a Benito que no va en avión. Andrés viaja en avión. Si Carlos no va acompañado de Darío ni hace uso del avión, podría Vd. decirnos en qué medio de transporte llega a su destino Tomás.

44. Los cuatro perros. Tenemos cuatro perros: un galgo, un dogo, un alano y un podenco. Éste último come más que el galgo; el alano come más que el galgo y menos que el dogo, pero éste come más que el podenco. ¿Cuál de los cuatro será más barato de mantener?

45. Tenis de categoría. En un partido del prestigioso torneo de tenis de Roland Garros se enfrentaron Agasy y Becker. El triunfo correspondió al primero por 6-3 y 7-5. Comenzó sacando Agasy y no perdió nunca su saque. Becker perdió su servicio dos veces. Agasy rompió el servicio de su rival en el segundo juego del primer set y, ¿en qué juego del segundo set?

46. Serpientes marinas. Un capitán en el Caribe fue rodeado por un grupo de serpientes marinas, muchas de las cuales eran ciegas. Tres no veían con los ojos a estribor, 3 no veían nada a babor, 3 podían ver a estribor, 3 a babor, 3 podían ver tanto a estribor como a babor, en tanto que otras 3 tenían ambos ojos arruinados. ¿Cuál es el mínimo número de serpientes necesarias para que con ellas se den todas esas circunstancias?

47. El paro aumenta. Con motivo de realizar un estudio estadístico de los componentes de una población, un agente analizó determinadas muestra de familias. El resultado fue el siguiente: 1) Había más padres que hijos. 2) Cada chico tenía una hermana. 3) Había más chicos que chicas. 4) No había padres sin hijos. ¿Qué cree Vd. que le ocurrió al agente?

48. Partido de tenis. Santana ganó a Orantes un set de tenis por 6-3. Cinco juegos los ganó el jugador que no servía. ¿Quién sirvió primero?

49. Caballos. El caballo de Mac es más oscuro que el de Smith, pero más rápido y más viejo que el de Jack, que es aún más lento que el de Willy, que es más joven que el de Mac, que es más viejo que el de Smith, que es más claro que el de Willy, aunque el de Jack es más lento y más oscuro que el de Smith. ¿Cuál es el más viejo, cuál el más lento y cuál el más claro?

50. El explorador condenado. Un explorador cayó en manos de una tribu de indígenas, se le propuso la elección entre morir en la hoguera o envenenado. Para ello, el condenado debía pronunciar una frase tal que, si era cierta, moriría envenenado, y si era falsa, moriría en la hoguera. ¿Cómo escapó el condenado a su funesta suerte?

51. El prisionero y los dos guardianes. Un sultán encierra a un prisionero en una celda con dos guardianes, uno que dice siempre la verdad y otro que siempre miente. La celda tiene dos puertas: la de la libertad y la de la esclavitud. La puerta que elija el prisionero para salir de la celda decidirá su suerte. El prisionero tiene derecho de hacer una pregunta y sólo una a uno de los guardianes. Por supuesto, el prisionero no sabe cuál es el que dice la verdad y cuál es el que miente. ¿Puede el prisionero obtener la libertad de forma segura?

52. Los 3 presos y las boinas (1). El director de una prisión llama a tres de sus presos, les enseña tres boinas blancas y dos boinas negras, y les dice: «Voy a colocar a cada uno de ustedes una boina en la cabeza, el primero de ustedes que me indique el color de la suya será puesto en libertad». Si los presos están en fila, de manera que el primero no puede ver las boinas de los otros dos, el segundo ve la boina del primero y el tercero ve las boinas de los otros dos. ¿Por qué razonamiento uno de los presos obtiene la libertad?

53. Los 3 presos y las boinas (2). El director de una prisión llama a tres de sus presos, les enseña tres boinas blancas y dos boinas negras, y les dice: «Voy a colocar a cada uno de ustedes una boina en la cabeza, el primero de ustedes que me indique el color de la suya será puesto en libertad». Si los presos pueden moverse, y por tanto ver las boinas de los otros dos. ¿Por qué razonamiento uno de los presos obtiene la libertad?




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54. Los maridos engañados. Cuarenta cortesanos de la corte de un sultán eran engañados por sus mujeres, cosa que era claramente conocida por todos los demás personajes de la corte sin excepción. Únicamente cada marido ignoraba su propia situación. El sultán: «Por lo menos uno de vosotros tiene una mujer infiel. Quiero que el que sea la expulse una mañana de la ciudad, cuando esté seguro de la infidelidad». Al cabo de 40 días, por la mañana, los cuarenta cortesanos engañados expulsaron a sus mujeres de la ciudad. ¿Por qué?

55. El condenado a muerte. En los tiempos de la antigüedad la gracia o el castigo se dejaban frecuentemente al azar. Así, éste es el caso de un reo al que un sultán decidió que se salvase o muriese sacando al azar una papeleta de entre dos posibles: una con la sentencia "muerte", la otra con la palabra "vida", indicando gracia. Lo malo es que el Gran Visir, que deseaba que el acusado muriese, hizo que en las dos papeletas se escribiese la palabra "muerte". ¿Cómo se las arregló el reo, enterado de la trama del Gran Visir, para estar seguro de salvarse? Al reo no le estaba permitido hablar y descubrir así el enredo del Visir.

56. Las deportistas. Ana, Beatriz y Carmen. Una es tenista, otra gimnasta y otra nadadora. La gimnasta, la más baja de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de Beatriz, es más alta que la tenista. ¿Qué deporte practica cada una?

57. El torneo de ajedrez. En un torneo de ajedrez participaron 30 concursantes que fueron divididos, de acuerdo con su categoría, en dos grupos. En cada grupo los participantes jugaron una partida contra todos los demás. En total se jugaron 87 partidas más en el segundo grupo que en el primero. El ganador del primer grupo no perdió ninguna partida y totalizó 7'5 puntos. ¿En cuántas partidas hizo tablas el ganador?

58. Las tres cartas. Tres naipes, sacados de una baraja francesa, yacen boca arriba en una fila horizontal. A la derecha de un Rey hay una o dos Damas. A la izquierda de una Dama hay una o dos Damas. A la izquierda de un corazón hay una o dos picas. A la derecha de una pica hay una o dos picas. Dígase de qué tres cartas se trata.

59. Tres parejas en la discoteca. Tres parejas de jóvenes fueron a una discoteca. Una de las chicas vestía de rojo, otra de verde, y la tercera, de azul. Sus acompañantes vestían también de estos mismos colores. Ya estaban las parejas en la pista cuando el chico de rojo, pasando al bailar junto a la chica de verde, le habló así: Carlos: ¿Te has dado cuenta Ana? Ninguno de nosotros tiene pareja vestida de su mismo color. Con esta información, ¿se podrá deducir de qué color viste el compañero de baile de la chica de rojo?

60. Blanco, rubio y castaño. Tres personas, de apellidos Blanco, Rubio y Castaño, se conocen en una reunión. Poco después de hacerse las presentaciones, la dama hace notar: "Es muy curioso que nuestros apellidos sean Blanco Rubio y Castaño, y que nos hayamos reunido aquí tres personas con ese color de cabello" "Sí que lo es -dijo la persona que tenía el pelo rubio-, pero habrás observado que nadie tiene el color de pelo que corresponde a su apellido." "¡Es verdad!" -exclamó quien se apellidaba Blanco. Si la dama no tiene el pelo castaño, ¿de qué color es el cabello de Rubio?

61. Los cien políticos. Cierta convención reunía a cien políticos. Cada político era o bien deshonesto o bien honesto. Se dan los datos: a) Al menos uno de los políticos era honesto. b) Dado cualquier par de políticos, al menos uno de los dos era deshonesto. ¿Puede determinarse partiendo de estos dos datos cuántos políticos eran honestos y cuántos deshonestos?

62. Comiendo en el restaurante. Armando, Basilio, Carlos y Dionisio fueron, con sus mujeres, a comer. En el restaurante, se sentaron en una mesa redonda, de forma que: Ninguna mujer se sentaba al lado de su marido. Enfrente de Basilio se sentaba Dionisio. A la derecha de la mujer de Basilio se sentaba Carlos. No había dos mujeres juntas. ¿Quién se sentaba entre Basilio y Armando?

63. Sellos de colores. Tres sujetos A, B y C eran lógicos perfectos. Cada uno podía deducir instantáneamente todas las conclusiones de cualquier conjunto de premisas. Cada uno era consciente, además, de que cada uno de los otros era un lógico perfecto. A los tres se les mostraron siete sellos: dos rojos, dos amarillos y tres verdes. A




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continuación, se les taparon los ojos y a cada uno le fue pegado un sello en la frente; los cuatro sellos restantes se guardaron en un cajón. Cuando se les destaparon los ojos se le preguntó a A: ¿Sabe un color que con seguridad usted no tenga? A, respondió: -No. A la misma pregunta respondió B: -No. ¿Es posible, a partir de esta información, deducir el color del sello de A, o del de B, o del de C?

64. Colocando números (1). Colocar un número en cada cuadro, teniendo en cuenta que:

a) 3, 6, 8, están en la horizontal superior. b) 5, 7, 9, están en la horizontal inferior. c) 1, 2, 3, 6, 7, 9, no están en la vertical izquierda. d) 1, 3, 4, 5, 8, 9, no están en la vertical derecha.


a) 3, 5, 9, están en la horizontal superior. b) 2, 6, 7, están en la horizontal inferior. c) 1, 2, 3, 4, 5, 6, no están en la vertical izquierda. d) 1, 2, 5, 7, 8, 9, no están en la vertical derecha.

66. La baraja española. En una mesa hay cuatro cartas en fila: 1. El caballo esta a la derecha de los bastos. 2. Las copas están mas lejos de las espadas que las espadas de los bastos. 3. El rey esta mas cerca del as que el caballo del rey. 4. Las espadas, mas cerca de las copas que los oros de las espadas. 5. El as esta mas lejos del rey que el rey de la sota. ¿Cuáles son los cuatro naipes y en qué orden se encuentran?


a) 4, 5, 6, están en la horizontal superior. b) 7, 8, están en la horizontal inferior. c) 2, 3, 4, 5, 8, 9, no están en la vertical izquierda. d) 1, 5, 6, 7, 8, 9, no están en la vertical derecha.

68. En el ascensor. Cuatro jugadores de rugby entran en un ascensor que puede trasportar un máximo de 380 kilos. Para que no suene una alarma, que detendría al elevador por exceso de carga, tiene usted que calcular su peso total con gran rapidez. Pero, ¿cuanto pesa cada jugador? He aquí los datos: Pablo es quien pesa más: si cada uno de los otros pesara tanto como el, la alarma detendría el ascensor. Carlos es el mas ligero: ¡el ascensor podría subir a cinco como el¡ Renato pesa 14 kilos menos que Pablo, y solo seis menos que Jesús. Jesús pesa 17 kilos mas que Carlos. Los peces de Pablo y de Carlos son múltiplos de cinco.


a) 2, 5, 6, están en la horizontal superior. b) 4, 7, 8, están en la horizontal inferior. c) 2, 3, 4, 6, 7, 9, no están en la vertical izquierda.




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d) 1, 2, 4, 5, 8, 9, no están en la vertical derecha. 70. La oruga y el lagarto. La oruga piensa que tanto ella como el lagarto están locos. Si lo

que cree el cuerdo es siempre cierto y lo que cree el loco es siempre falso, ¿el lagarto está cuerdo? (Personajes originales de Lewis Carroll)

71. Los tres dados. Tengo tres dados con letras diferentes. Al tirar los dados puedo formar palabras como: OSA, ESA, ATE, CAE, SOL, GOL, REY, SUR, MIA, PIO, FIN, VID, pero no puedo formar palabras tales como DIA, VOY, RIN. ¿Cuáles son las letras de cada dado?

72. ¿Son mentirosos? Andrés: Cuando yo digo la verdad, tú también. Pablo: Cuando yo miento, tu también. ¿Es posible que en esta ocasión uno mienta y el otro no?

73. Pasteles para niños. Un niño y medio se comen un pastel y medio en un minuto y medio. ¿Cuántos niños hacen falta para comer 60 pasteles en media hora?

74. La boda. Cuando María preguntó a Mario si quería casarse con ella, este contestó: "No estaría mintiendo si te dijera que no puedo no decirte que es imposible negarte que si creo que es verdadero que no deja de ser falso que no vayamos a casarnos". María se mareó. ¿Puede ayudarla diciéndola si Mario quiere o no quiere casarse?

75. El encuentro. Ángel, Boris, César y Diego se sentaron a beber. El que se sentó a la izquierda de Boris, bebió agua. Ángel estaba frente al que bebía vino. Quien se sentaba a la derecha de Diego bebía anís. El del café y el del anís estaban frente a frente. ¿Cuál era la bebida de cada hombre?

76. El número. Buscamos un número de seis cifras con las siguientes condiciones. - Ninguna cifra es impar. - La primera es un tercio de la quinta y la mitad de la tercera. - La segunda es la menor de todas. - La última es la diferencia entre la cuarta y la quinta.

77. La hilera de casas. En una hilera de cuatro casas, los Brown viven al lado de los Smith pero no al lado de los Bruce. Si los Bruce no viven al lado de los Jones, ¿quiénes son los vecinos inmediatos de los Jones?

78. Completando. Completar la oración siguiente colocando palabras en los espacios: Ningún pobre es emperador, y algunos avaros son pobres: luego: algunos (.........) no son (.........).

79. Examen de historia. De las siguientes afirmaciones. ¿cuáles son las dos que. tomadas conjuntamente, prueban en forma concluyente que una o más niñas aprobaron el examen de historia? a) Algunas niñas son casi tan competentes en historia como los niños. b) Las niñas que hicieron el examen de historia eran más que los niños. c) Más de la mitad de los niños aprobaron el examen. d) Menos de la mitad de todos los alumnos fueron suspendidos.

80. Conductores y su sexo. Las estadísticas indican que los conductores del sexo masculino sufren más accidentes de automóvil que las conductoras. La conclusión es que: a) Como siempre, los hombres, típicos machistas, se equivocan en lo que respecta a la pericia de la mujer conductora. b) Los hombres conducen mejor, pero lo hacen con más frecuencia. c) Los hombres y mujeres conducen igualmente bien, pero los hombres hacen más kilometraje. d) La mayoría de los camioneros son hombres. e) No hay suficientes datos para justificar una conclusión.

81. Gasolina. Si al llegar a la esquina Jim dobla a la derecha o a la izquierda puede quedarse sin gasolina antes de encontrar una estación de servicio. Ha dejado una atrás, pero sabe que, si vuelve, se le acabará la gasolina antes de llegar. En la dirección que lleva no ve ningún surtidor. Por tanto: a) Puede que se quede sin gasolina. b) Se quedará sin gasolina. c) No debió seguir. d) Se ha perdido. e) Debería girar a la derecha. f) Debería girar a la izquierda.




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82. Neumáticos. Todos los neumáticos son de goma. Todo lo de goma es flexible. Alguna goma es negra. Según esto, ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? a) Todos los neumáticos son flexibles y negros. b) Todos los neumáticos son negros. c) S¾lo algunos neumáticos son de goma. d) Todos los neumáticos son flexibles. e) Todos los neumáticos son flexibles y algunos negros.

83. Ostras. Todas las ostras son conchas y todos los conchas son azules; además algunas conchas son la morada de animalitos pequeños. Según los datos suministrados, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) Todas las ostras son azules. b) Todas las moradas de animalitos pequeños son ostras. c) a) y b) no son ciertas. d) a) y b) son ciertas las dos.

84. Pueblos. A lo largo de una carretera hay cuatro pueblos seguidos: los Rojos viven al lado de los Verdes pero no de los Grises; los Azules no viven al lado de los Grises. ¿Quiénes son pues los vecinos de los Grises?

85. El test. Tomás, Pedro, Jaime, Susana y Julia realizaron un test. Julia obtuvo mayor puntuación que Tomás, Jaime puntuó más bajo que Pedro pero más alto que Susana, y Pedro logró menos puntos que Tomás. ¿Quién obtuvo la puntuación más alta?

86. El campesino, el lobo, la cabra y los repollos. En la rivera izquierda de un río se encuentra un campesino que tiene un lobo, una cabra y un canasto de repollos. El campesino necesita transportar a los tres a la rivera derecha y solo tiene un bote en el que pude transportar uno a la vez. Por lo tanto tendrá que hacer varios transportes de rivera a rivera. El problema es que no puede dejar en una rivera al lobo con la cabra, pues al lobo le encanta comer cabras, ni a la cabra con los repollos pues a la cabra le encanta comer repollo. Este campesino se toma su trabajo muy en serio y no quiere alterar el balance ecológico perdiendo alguno de sus pasajeros, entonces ¿cuál es la serie de transportes para cumplir su trabajo?

87. Misioneros y caníbales. Tres misioneros y tres caníbales se encuentran en la rivera izquierda de un río. En ella hay un pequeño bote que puede transportar tan sólo dos personas. Ellos desean cruzar a la otra rivera. Si en una rivera se encuentran más misioneros que caníbales entonces los misioneros convertirán a los caníbales. Entonces, ¿cuál debería ser la serie de transportes seguros para llevar a todos los misioneros y caníbales al otro lado del río sin exponer a los caníbales a la conversión.

88. Cinco maridos celosos(Dudeney,1917). Durante una inundación cinco parejas de esposos se encontrar rodeado de agua y necesitaban escapar de tan desagradable situación en un bote que solo podía transportar tres personas a la vez. Cada marido era demasiado celoso, tal que no dejaría ir a su esposa en un bote o estar en algún lugar, sola con otro hombre u hombres al menos que él estuviera presente. ¿Cuales son los transportes para que estos cinco hombres y sus mujeres salgan seguramente del lugar donde se encuentran atrapados segura.

89. Puntos y trazos • • • • • • • • •

a) De acuerdo a los puntos anteriores trazar cuatro líneas de seguido que pasen por todos los puntos(nota: pueden cruzarse).

b) De acuerdo a los puntos anteriores trazar dos figuras iguales de diferente tamaño y que no se intersequen entre sí que separen todos los puntos y sin pasar por encima de ellos.

90. Es posible dividir un círculo en 8 partes con solo tres líneas. 91. De acuerdo al siguiente diagrama:

• • • •

En los espacios donde no hay puntos, colocar números del 1 al 8, tal que no queden números continuos contiguos. 92. Casas y fuentes. De acuerdo al siguiente esquema:




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Hay tres casas y tres fuentes de agua. Se construirá un acueducto de manera continua (-es decir puede devolverse por el acueducto ya recorrido) y de tal manera cada una de las fuentes debe estar conectadas a cada casa. Por motivos técnicos no pueden cruzarse los caminos de ninguno de los acueductos. Se trata entonces de un trazo continuo, sin entrecruzamientos y sin devolver el camino recorrido.

Respuestas a acertijos: 1-85 1. El sastre. 5 no es 6 2. El caracol viajero. 3 días, no 5 3. La lamparita. Prende la primera perilla por cerca de 5 minutos. Luego la apaga y prende la

segunda perilla. Entra a la habitación, si la lamparita esta prendida es la segunda perilla. Si la lamparita esta apagada pero caliente al contacto, entonces es la primer perilla. Si esta fría significa que nunca fue prendida, entonces es la tercera perilla. Es simple la solución pero no es fácil llegar a ella

4. Un problema de peso. Denominemos a las esferas: A, B, C, D,... L. Comience pesando cuatro contra cuatro. A + B + C + D contra E + F + J + G. Si la balanza se equilibra, pese tres de las restantes con tres de las ya pesadas. Si se equilibra, entonces sabemos que la faltante es la distinta y podemos establecer si es mas pesada o mas liviana en la siguiente pesada. Si en tres contra tres, las restantes pesaban distinto, entonces tome dos de estas y péselas una contra la otra.Si en la primer pesada de cuatro contra cuatro no se equilibra la balanza, entonces realice el segundo paso de la siguiente forma: Si A + B + C + D > E + F + J + G entonces intercambiamos las esferas e introducimos algunas de las buenas. Tratamos A + B + E contra C + F + J ... Si es equivalente, conocemos que D es más pesada o que G o H son mas livianas, por lo que pesando G contra H, obtenemos la distinta y sabemos si pesa mas o menos.Si A + B + E > C + F + J, entonces conocemos que F es mas liviana o que A o B son mas pesadas, por lo que comparamos A y B, llegando a un resultado. Finalmente si A + B + E < C + F + J, derivamos que E es mas liviana o C es mas pesada, comparando cualquiera de las dos con alguna esfera de las buenas acertamos la esfera buscada. Ej. K contra E. Otra alternativa es pesar en la segunda etapa: A + B + E contra C + D + F y se sigue un procedimiento similar al anterior.

5. Con monedas y balanzas Tome los números binarios del 1 al 15 y diagrame la siguiente tabla:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

2 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

3 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

4 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

Si relaciona las cuatro filas con las cuatro pesadas y las quince columnas con las quince monedas, cuando la intersección entre ambas tiene un 1 entonces significa que esa moneda estará en esa pesada. Por ejemplo, la moneda 3 estará en las pesadas 1 y 2. Se realizan las cuatro pesadas y se obtienen cuatro valores. Identificar la/s pesada/s cuyo valor sea mayor a los de las demás. La moneda más pesada será entonces aquella moneda que solo se encuentra en dichas pesadas. (Si todas las pesadas pesan lo mismo entonces la moneda mas pesada es la 15).




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6. Acortando caminos La solución mas corta es según lo muestra el gráfico a continuación. Representa 27.3 millas de camino en total y salva una milla de construcción con respecto a el modelo de las diagonales. Igualmente, alguien comenzando desde A tendria un camino mas corto hasta D pero mas largo hasta B o C.

7. La proposición .El único escape que tiene el explorador es brindar una sentencia que se contradiga. Por lo que la solución sería: 'Seré tirado a los leones'. Ya que si es verdadera, debería ser tirado al precipicio, haciendo falsa la sentencia. Y si es falsa, debería ser tirado a los leones, convirtiendo a la sentencia en verdadera. Por lo que la contradicción es evidente y el explorador queda libre.

8. El hombre en la barra. El hombre entra dentro del bar con un problema: hipo. Por lo que decide pedir un vaso de agua. El cantinero nota el problema y decide solucionarlo a su manera, por lo que le apunta con el arma. Al hombre del susto se le termina el hipo y le agradece.

9. Las medias. La respuesta –equivocada- más corriente es de “25” Si la pregunta hubiera sido: ¿Cuál es el número menor de calcetines que tengo que sacar para que me salgan por lo menos dos calcetines de diferente color? , la respuesta correcta habría sido veinticinco; pero el problema decía “por los menos dos calcetines del mismo color”; y, por lo tanto, la respuesta correcta es “tres”. Si cojo tres calcetines, o serán todos del mismo color(en cuyo caso ya tengo por lo menos dos del mismo color) o si no dos serán de un color y uno del otro y, por tanto, habré sacado dos del mismo color.

10. La respuesta es cuatro. 11. La respuesta al problema es sí. Para mayor claridad diremos por hecho que en Nueva York

hay exactamente 12 millones de habitantes. Si cada habitante tuviera diferente número de pelos, tendría que haber 12 millones de números enteros poitivos diferentes, cada uno de ellos menor de 12 millones. ¡Y eso es copletamente imposible! La solución al segundo problema es 518. Para verlo mejor, supongamos que hubiera más de 518 habitantes, por ejemplo 520. Entonces tendría que haber 520 números distintos todos menores de 520 ninguno de ellos igual a 518. Esto es imposible; hay exactamente 520 números distintos (incluido el 0) menores de 520, por tanto solo hay 519 números que no sean el 518 que sean menores de 520. Obviamente, uno de los habitantes de Podunk tiene qu ser calvo, ¿porqué?

12. Veinte 13. Enrique Raúl Alberto-Elvira Jorge

Eduardo Raquel-Walther Martha Susana

14. El oso tiene que ser blanco; un oso polar. La razón que se da normalmente es que el oso tenía que estar justo en el Polo Norte. Pues bien ésta es una de las posibilidades, pero podría no ser la única. Desde el Polo Norte, todas las direcciones son sur, así es que si el oso estaba justo en el Polo Norte y el hombre estaba a 100 metros al sur de él y andaba 100 metros en dirección este, y una vez allí se colocaba en dirección norte, esatría de nuevo mirando haci el. Pero esta podría no es la única solución.. Podría ocurrir, por ejemplo, que el hombre estuviera cerca del Polo Sur, en un punto en el círculo polar que pasa por allí es una circunferencia de justamente 100 metros y que el oso estuviera 100 metros al norte de él. En este caso, si el hombre anduviera 100 metros en dirección este, estaría andando justo alrededor del círculo y, tras andar 100 metros habría vuelto al mismo punto donde había comenzado. Esta solución podría extrapolarse a círculos menores de una tercera parte de 100, con tres vueltas y así hasta cualquier número positivo n. El problema de este segundo




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juego de soluciones solo sería posible, si alguien llevara un Oso blanco al Polo Sur, pues en este no hay Osos blancos, como en el Polo Norte no hay pingüinos. Pero si esto fuera posible, tambien alguien podría llevar un Oso gris al polo norte, e invalidaría la primera de las respuestas.

15. Los nativos. Si el primer nativo es político, entones miente y niega ser un político. Si el primer nativo no es un político, entonces dice la verdad y niega ser un político. En cualquier caso, pues, el primero niega ser un político. Puesto que el segundo nativo informa que el primer nativo niega ser un político, dice la verdad y por lo tanto no es un político. El tercer nativo afirma que el primer nativo es político, entonces el tercero dice la verdad y, por lo tanto, no es un político. Si el primer nativo no es un político entonces el tercer nativo miente y, por ende es un político. Luego, sólo uno de los nativos primero y tercero es un político, y puesto que el segundo no es un político, solo hay un político entre los tres nativos.

16. Los 7 puentes de Konigsberg. Euler (1707-1783) demostró que el paseo es imposible.

Esta es su demostración. Los siete puentes están tendidos entre cuatro regiones de tierra: A, B, C y D. De A sale 5 puentes; de B, 3; de C, 3, y de D, 3. El paseo sale de una región y podrá terminar en ella misma o en otra. Habrá siempre, al menos, dos regiones que no serán comienzo ni final del paseo. O sea, cada vez que se entra en ellas debe salirse de ellas. De cada una de esas dos regiones debería partir un número par de puentes. Ya se ha dicho que de las regiones parten 5, 3, 3 y 3 puentes, impares todos. Conclusión: El paseo es imposible. Este paseo puede representarse esquemáticamente de la siguiente manera.

En términos generales, si una figura como la indicada puede dibujarse mediante un solo trazo recorriendo una sola vez todas las partes que la componen, el problema de los pues es posible, de lo contrario no lo es. En estas figuras se denominan nudos a los puntos como A, B, C,…de los cuales parten los trazos de líneas que unen un nudo con otro. Se llama orden de un nudo al dado por el número de trazos que de este parten, así por ejemplo, el orden del nudo C es 5, el de B es 3. Si se lograse recorrer toda una figura compuesta de líneas, ya sea en el plano o en el espacio, mediante un solo trazo, volviendo al punto de partida, decimos que hemos recorrido un circuito cerrado.

17. Dibujando sobres. Aunque el segundo parece el más complicado de dibujar, la realidad es que puede dibujarse en las condiciones estipuladas. El primero en cambio, no. Todo vértice en el que concurren un número impar de líneas ha de ser comienzo o fin del trazado, ya que




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si no, por cada entrada ha de haber una salida. En la segunda figura, en los vértices inferiores ocurre esto, luego uno puede ser comienzo y el otro fin del dibujo.

En el primer sobre son cuatro los vértices en los que concurren un número impar de líneas; como no puede haber más que un fin y un comienzo, es imposible dibujarlo en las condiciones propuestas.

18. En general: de un solo trazo, ¿posible o imposible?

Se pueden dibujar de un solo trazo los de la fila superior. Es imposible para los de la

fila inferior. La posibilidad de realización de tal circuito está sujeta a las siguientes condiciones.

� Las figuras que no tienen nudos de orden impar se pueden dibujar con un trazo continuo partiendo de un nudo cualquiera. El caso de las figuras de la fila superior. Tal es el caso del pentágono pitagórico:

Que al tener nodos de orden par, puede ser recorrido de la siguiente manera:

� Todo polígono de un número impar de lados, con sus respectivas diagonales, es una figura de circuito cerrado, mientras que no lo es, si tiene un número par de lados.

� Cuando una figura tiene solamente nudos impares, puede describirse con un solo trazo continuo partiendo de uno de dichos nudos

� Las figuras que tienen más de dos nudos impares no pueden describirse con un trazo continuo.

� Si una figura tiene 2n nudos impares, puede describirse completamente mediante n recorridos diferentes.




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La figura anterior muestra la imposibilidad anterior al presentar nudos de orden impar. No obstante esta figura puede describirse mediante dos recorridos, porque tiene cuatro nudos impares.

19. La lógica de Einstein.

CASA 1 CASA 2 CASA 3 CASA 4 CASA 5

Noruego Amarillo

Agua Dunhill Gatos

Danés Azul Té

Blend Caballos

Inglés Rojo

Leche PalMall Pájaros

Alemán Verde Café

Prince PECES

Sueco Blanco

Cerveza BlueMaster

Perro

20. Basta con sacar un solo caramelo del paquete con la etiqueta "surtido". 21. Antes de la primera duplicación el campesino tenía 1 peso y 5 centavos 22. Las dos fichas se pueden disponer de 4032 modos diferentes. 23. Ayuda: Tener en cuenta que se puede trasvasar de un cazo al otro. 24. Los chanclos, 20 dólares, el sombrero, 45 dólares y el impermeable 135 dólares 25. Verificando cada día de la semana, se comprueba que los únicos días posibles son el

Lunes o el Jueves. En efecto, si la frase la dice un día Lunes, en el cual miente, afirma que ayer (Domingo) mintió, lo cual es una mentira (pues los días Domingo dice la verdad) y afirma que en dos días más (Miércoles) dirá la verdad, lo cual es también una mentira (pues los Miércoles miente), de modo que toda la frase es una mentira, consecuente con el hecho que sea dicha un día Lunes. Por su parte, si la frase la dice un día Jueves, en los cuales dice la verdad, al afirmar que ayer mintió, dice la verdad, pues ayer (Miércoles) efectivamente mintió y, al afirmar que en dos días más dirá la verdad, también está diciendo una verdad, pues en dos días más (Sábado), efectivamente dirá la verdad. Por lo tanto la frase es verdadera, consecuente con el hecho de ser dicha un día Jueves. En los días Viernes, Sábado o Domingo (en los cuales dice la verdad), la frase no puede ser verdadera pues el día anterior ("ayer": Jueves, Viernes o Sábado, respectivamente, no puede haber mentido), quedando entonces descartados los días Viernes, Sábado y Domingo. Finalmente, si la frase la dice un día Martes o Miércoles, en los cuales miente, afirma que ayer (Lunes o Martes, respectivamente) mintió, lo cual es verdad (pues los Lunes y Martes miente) lo cual descarta entonces los días Martes y Miércoles.

26. Supongamos que Sebastián parte con 3 números pares, como sería el caso propuesto. Al eliminar uno de ellos y reemplazarlo por la suma de los otros dos menos 1, lo está reemplazando por un número impar, quedándose entonces con 2 números pares y 1 impar. En el segundo paso si se elimina el número impar, lo reemplaza por la suma de dos pares menos 1, o sea, por otro impar, quedándose entonces, nuevamente, con 2 números pares y 1 impar. Y, si a su vez, el número eliminado es uno de los 2 pares, entonces lo reemplaza por la suma de un par con un impar menos 1, de modo que lo reemplaza por otro número par, quedándose entonces también con 2 números pares y 1 impar, es decir en la situación segunda. En consecuencia, si el juego comienza con 3 números pares, en todas las etapas siguientes tendrá 2 números pares y 1 impar, no pudiendo entonces obtener el trío de impares propuesto: 2001, 2003, 2005. En consecuencia la respuesta es que no es posible haber iniciado el juego con el trío de doses propuesto.

27. La apariencia engañosa es la siguiente: al vino le echamos una cucharada de agua pura, mientras que al agua le echamos una cucharada de vino aguado, luego habrá más agua en el vino que vino en el agua. Pero este razonamiento es falso, porque al vaso de agua, cuando le echamos la cucharada de vino aguado, le falta la cucharada de agua que hemos quitado previamente. Razonando de la forma debida, resulta evidente




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que habrá la misma cantidad de agua en el vino que de vino en el agua: a cada vaso le hemos quitado una cucharada de líquido y luego se la hemos añadido, es decir, cada vaso contiene al final de la operación la misma cantidad de líquido que al principio, luego lo que al vaso de vino le falte de vino lo tendrá de agua, y viceversa.

28. La solución aritmética es bastante complicada, pero el problema se resuelve con facilidad si recurrimos al álgebra y planteamos una ecuación. Designaremos con la letra x el número de años buscado. La edad 3 años después se expresará por x+3, y la edad de 3 años antes por x-Tenemos la ecuación: 3(x+3)-3(x-3)=x Despejando la incógnita, resulta x=18. El aficionado a los rompecabezas tiene ahora 18 años. Comprobémoslo: Dentro de 3 años tendrá 21; hace 3 años tenía sólo 15. La diferencia 3.21-3.15=63-45=15, es decir, igual a la edad actual del aficionado a los rompecabezas.

29. Mucha gente elige el martillo, sin pensar que un martillo es fácil de suplir con una piedra, mientras que una caja de clavos tendría una gran utilidad y es difícil suplir por otros métodos de ensamble. En cuanto al incendio, la solución sería provocar un nuevo fuego hacia la mitad de la isla y mantenerse entre ambos frentes de llamas. Cuando el primero llegara a la mitad, el segundo ya habría consumido el resto de la vegetación y el fuego se apagaría por falta de combustible.

30. Bastan 3 calcetines, porque 2 serán siempre del mismo color. La cosa no es tan fácil con los guantes, que se distinguen no sólo por el color, sino porque la mitad de los guantes son de la mano derecha y la otra mitad de la izquierda. En este caso hará falta sacar 21 guantes. Si se sacan menos, por ejemplo 20, puede suceder que los 20 sean de una mano (por ejemplo, 10 de color café de la mano izquierda y 10 negros de la mano izquierda).

31. Si todas son blancas menos dos, entre azules y rosas sólo hay dos, es decir una de cada una. Repitiendo el mismo razonamiento para las rosas o azules, se ve que sólo hay una camisa blanca, una azul y una rosa. Esta es la solución obvia pero cabe otra más sofisticada: tengo dos camisas, y ninguna de las dos es ni blanca ni azul ni rosa (por ejemplo: una amarilla y otra verde). Todas menos dos, es decir cero son blancas, cero son azules y cero son rosas.

32. A primera vista puede creerse, efectivamente, que el problema está mal planteado; parece como si el nieto y el abuelo fueran de la misma edad. Sin embargo, las condiciones exigidas por el problema se cumplen fácilmente, como vamos a verlo ahora mismo. El nieto, evidentemente, ha nacido en el siglo XX. Las dos primeras cifras del año de su nacimiento, por consiguiente, son 19; ése es el número de centenas. El número expresado por las cifras restantes, sumado con él mismo, debe dar como resultado 32. Es decir, que este número es 16: el año de nacimiento del nieto es 1916, y en 1932 tenía 16 años. El abuelo nació, claro está, en el siglo XIX; las dos primeras cifras del año de su nacimiento son 18. El número duplicado, expresado por las restantes cifras, debe sumar 132. Es decir, que su valor es igual a la mitad de este número, o sea a 66. El abuelo nació en 1866, y en 1932 tenía 66 años. De este modo, el nieto y el abuelo tenían, en 1932, tantos años como expresan las dos últimas cifras de los años de su nacimiento.

33. Puede cumplirse el trabajo encargado, abriendo sólo tres eslabones. Para ello es preciso soltar los tres eslabones de uno de los trozos y unir con ellos los extremos de los cuatro trozos restantes.

34. El vendedor se refería a la cesta con 29 huevos. En las cestas con números 23, 12 y 5 había huevos de gallina; los de pato se hallaban en las cestas designadas con el 14 y el 6.Hagamos la comprobación. Total de huevos de gallina que quedaron: 23+12+5=40. De pato: 14+6=20. De gallina había el doble que de pato, lo que satisface a las condiciones del problema.

35. 1) el problema tiene solución. 2) nombraré a las personas por el tiempo que tardan:




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- van el 1 y el 2.........................2 minutos. - vuelve el 1..............................3 minutos. - van el 10 y el 5......................13 minutos. - vuelve el 2.............................15 minutos. - van el 1 y el 2........................17 minutos.

36. Cada uno de los Gómez saluda a cada uno de los López, o sea que el total de saludos (independientemente de que sean besos o abrazos) será igual al producto del número de miembros de una familia por el de la otra. El número total de saludos será la suma de abrazos y besos, o sea 42 +35 = 77. Ahora bien, 77 sólo puede descomponerse en dos factores de las formas 7 x 11 y 77 x 1; pero la segunda posibilidad no sirve, ya que si el miembro solitario fuera mujer, los abrazos serían 0 y los besos 77, y si fuera un hombre, los besos serían 0. Análogamente, los 35 abrazos equivalen al producto del número de varones de una familia por el de la otra, y como 35 sólo puede descomponerse en dos factores de las formas 5 x 7 y 35 x 1, y la segunda posibilidad queda eliminada por incompatible, tenemos que hay 5 varones en un familia y 7 en la otra, y que las familias constan de 7 y 11 miembros respectivamente. Así que en una familia hay 5 varones y 2 mujeres, y en la otra 7 varones y 4 mujeres.

37. Ayuda: las dos preguntas pueden ser, c. de tus compañeros, es Narciso el que más probablemente contestaría con la verdad a

una pregunta? d. Si le preguntara al otro fauno si Jacinto es el hombre, me diría que sí?

En cada caso analizar distintas posibilidades. 38. Un posible reparto es: 3e 1m 3p, 3e 1m 3p, 1e 5m 1p (e= bocadillo con ración de queso

entera, m con media ración, p panecillos sin queso), y otro 2e 3m 2p, 2e 3m 2p, 3e 1m 3p.

39. 148/296 + 35/70 = 1 40. Silencio. Más bajo. 41. La nota media. Ocho. 42. Los cuatro atletas. B-C-D-A. 43. Seis amigos de vacaciones. En coche. 44. Los cuatro perros. El galgo. 45. Tenis de categoría. En el juego número once. 46. Serpientes marinas. Había 3 serpientes totalmente ciegas y 3 con ambos ojos sanos. 47. El paro aumenta. El agente pasó a engrosar la lista de parados, por incompetente, al

haber llegado a la conclusión primera de que había más padres que hijos. 48. Partido de tenis. Quienquiera que sirviese primero sirvió cinco juegos, y el otro jugador

sirvió cuatro. Supóngase que quien sirvió primero ganó x de los juegos que sirvió, e y del resto de los juegos. El número total de juegos perdidos por el jugador que los sirvió es, entonces, 5-x+y. Esto es igual a 5 (se nos dijo que la que no sirvió ganó cinco juegos); por tanto, x=y, y el primer jugador ganó un total de 2x juegos. Porque sólo Santana ganó un número par de juegos, él debió ser el primero en servir.

49. Caballos. El más viejo el de Mac, el más lento el de Jack y el más claro el de Smith. 50. El explorador condenado. El condenado dijo: «MORIRÉ EN LA HOGUERA». Si esta

frase es cierta, el condenado debe morir envenenado. Pero en ese caso ya es falsa. Y si es falsa, debe morir en la hoguera, pero en este caso es verdadera. El condenado fue indultado.

51. El prisionero y los dos guardianes. El prisionero pregunta a uno de los dos servidores: «si le dijera a tu compañero que me señale la puerta de la libertad, ¿qué me contestaría?» En los dos casos, el guardián señala la puerta de la esclavitud. Por supuesto elegiría la otra puerta para salir de la celda.

52. Los 3 presos y las boinas (1). El primer preso (el que no ve ninguna boina) averigua el color de su boina: Como el tercer preso, que ve las dos boinas, no dice nada, no puede ver dos boinas negras. Si el segundo viera una boina negra en el primero, sabría que él tiene una blanca ya que no oye al tercero decir que tiene una blanca. Entonces el primer preso tiene una boina blanca.

53. Los 3 presos y las boinas (2). Si uno cualquiera de ellos tuviera una boina negra, los otros dos sabrían que tiene una boina blanca; si no, el tercero diría inmediatamente que tiene una boina blanca. Luego cada preso tiene una boina blanca.




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54. Los maridos engañados. Si hubiera sólo un marido engañado, habría expulsado a su mujer la primera mañana, puesto que no conocería ninguna mujer infiel y sabría que hay por lo menos una. Si hubiera dos maridos engañados, cada uno sabría que el otro era engañado, y esperaría que éste último expulsase a su mujer la primera mañana. Como eso no tiene lugar, cada uno deduce que el otro espera lo mismo, y por tanto que hay dos mujeres infieles una de las cuales es la suya. Los dos maridos expulsan pues a sus mujeres la segunda mañana. De la misma manera, si hubiera tres maridos engañados, cada uno sabría que los otros dos lo son, y esperaría que expulsaran a sus mujeres la segunda mañana. Como eso no tiene lugar, cada uno deduce que una tercera mujer infiel, que no puede ser otra más que la suya. Los tres maridos expulsan pues a sus mujeres la tercera mañana. Y así sucesivamente; los cuarenta maridos expulsan a sus cuarenta mujeres a los cuarenta días, por la mañana.

55. El condenado a muerte. Eligió una papeleta y, con gesto fatalista, como correspondía a un árabe, se la tragó. El sultán hubo de mirar la que quedaba, para saber lo que decía la elegida por el reo, con lo que su salvación quedó asegurada merced al Gran Visir y a su propio ingenio.

56. Las deportistas. Ana es más alta que la tenista, por lo tanto no es ni la tenista, ni la gimnasta; la más baja es la nadadora. La gimnasta no es Ana, ni Beatriz (mujer casada), es Carmen. Por eliminación, la tenista es Beatriz.

57. El torneo de ajedrez. Veamos primero el número de jugadores en cada grupo. Sea x el número de jugadores del primer grupo.

(30-x)(29-x)/2 - x(x-1)/2 = 87 870 - 59x + x² - x² + x = 174 ===> 58x = 696 ===> x = 12. Luego hubo 12 jugadores en el primer grupo y 18 jugadores en el segundo grupo. Cada jugador del primer grupo jugó 11 partidas y como el ganador totalizó 7,5 puntos, sin perder ninguna partida, tenemos, llamando y al número de partidas en las que hizo tablas: y 0'5 + (11-y) 1 = 7,5 ===> 0,5y = 3,5 ===> y = 7 partidas.

58. Las tres cartas. Los dos primeros enunciados sólo pueden satisfacer mediante dos disposiciones de Reyes y Damas: RDD y DRD. Los dos últimos enunciados sólo se cumplen con dos combinaciones de corazones y picas: PPC y PCP. Los dos conjuntos pueden combinarse de cuatro maneras posibles:

RP, DP, DC RP, DC, DP DP, RP, DC DP, RC, DP El último conjunto queda excluido por contener dos Damas de picas. Como los otros tres conjuntos están compuestos del Rey de picas, la Dama de picas y la Dama de corazones, tenemos la seguridad de que éstas son las tres cartas que están sobre la mesa. No podemos saber la posición de cada naipe en concreto, pero sí podemos decir que el primero ha de ser de picas y el tercero una Dama.

59. Tres parejas en la discoteca. El chico de rojo tiene que estar con la muchacha de azul. La chica no puede ir de rojo, pues la pareja llevaría el mimo color, y tampoco puede ir de verde, porque el chico de rojo habló con la chica de verde cuando estaba bailando con otro amigo. El mismo razonamiento hace ver que la chica de verde no puede estar ni con el chico de rojo ni con el de verde. Luego debe bailar con el chico vestido de azul. Así pues, nos queda la chica de rojo con el muchacho de verde.

60. Blanco, rubio y castaño. Suponer que la dama se apellida Castaño conduce rápidamente a una contradicción. Su observación inicial fue replicada por la persona de pelo rubio, así que el pelo de Castaño no podrá ser de ese color. Tampoco puede ser castaño, ya que se correspondería con su apellido. Por lo tanto debe ser blanco. Esto implica que Rubio ha de tener el pelo castaño, y que Blanco debe tenerlo rubio. Pero la réplica de la persona rubia arrancó una exclamación de Blanco y, por consiguiente, éste habría de ser su propio interlocutor. Por lo que antecede, la hipótesis de que la dama sea Castaño debe ser descartada. Además, el ,pelo de Blanco no puede ser de este color, ya que coincidirían color y apellido, y tampoco rubio, pues Blanco replica a la persona que tiene ese cabello. Hay que concluir que el pelo de Blanco es castaño. Dado que la señora no tiene el pelo castaño, resulta que ésta no se apellida Blanco, y como tampoco puede llamarse Castaño, nos vemos forzados a admitir que su apellido es Rubio. Como su pelo no puede ser ni rubio ni castaño, se debe concluir que es blanco. Si la señora Rubio no es una anciana, parece justificado que estamos hablando de una rubia platino.




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61. Los cien políticos. Una respuesta bastante corriente es "50 honestos y 50 deshonestos". Otra bastante frecuente es "51 honestos y 49 deshonestos". ¡las dos respuestas son equivocadas! La respuesta es que uno es honesto y 99 deshonestos.

62. Comiendo en el restaurante. La mujer de Dionisio. Siguiendo el sentido de las agujas del reloj, la colocación es la siguiente: Armando, mujer de Dionisio, Basilio, mujer de Armando, Carlos, mujer de Basilio, Dionisio y mujer de Carlos.

63. Sellos de colores. El único cuyo color puede determinarse es C. Si el sello de C fuera rojo, B habría sabido que su sello no era rojo al pensar: "Si mi sello fuera también rojo. A, al ver dos sellos rojos, sabría que su sello no es rojo. Pero A no sabe que su sello no es rojo. Por consiguiente, mi sello no puede ser rojo." Esto demuestra que si el sello de C fuera rojo, B habría sabido que su sello no era rojo. Pero B no sabía que su sello no era rojo; así que el sello de C no puede ser rojo. El mismo razonamiento sustituyendo la palabra rojo por amarillo demuestra que el sello de C tampoco puede ser amarillo. Por tanto, el sello de C debe ser verde.

64. Colocando números (1).

8 3 6

4 1 2

5 9 7


9 5 3

8 1 4

7 2 6

66. La baraja española. Según lo declarado en los números 3 y 5, la distancia entre rey y sota es inferior a la que separa al rey del as, que a su vez es menor de la que media entre rey y caballo. Como solo hay cuatro naipes, el rey debe estar junto a la sota, y el rey y el caballo en ambos extremos. En forma similar, la distancia entre espadas y bastos es menor de la que hay entre espadas y copas, que a su vez es inferior a la distancia entre espadas y oros. Por tanto, las espadas están junto a los bastos, y espadas y oros se encuentran en los extremos. Puesto que el caballo esta a la derecha de los bastos, no puede estar en el extremo izquierdo. De modo que tenemos, de izquierda a derecha: el rey de oros, la sota de copas, el as de bastos y el caballo de espadas.


6 5 4

1 9 3

7 8 2

68. En el ascensor. Pablo pesa 100 kilos; Carlos, 75; Renato, 86; y Jesús, 92. Se nos dice que Pablo pesa mas de 95 kilos, y Carlos no mas de 76 y, además, que los pesos de Pablo y de Carlos son múltiplos de 5.


5 2 6

1 9 3

8 4 7

70. La oruga y el lagarto. El lagarto está cuerdo, la oruga loca. 71. Los tres dados. 1) O-M-E-F-U-V./ 2) S-G-C-I-T-Y./ 3) A-D-L-P-N-R. 72. ¿Son mentirosos? No es posible. La falsedad de la afirmación de Andrés implica la

falsedad de la afirmación de Pablo y viceversa. 73. Pasteles para niños. En minuto y medio un niño se come un pastel. En tres minutos

dos pasteles. En 30 minutos 20 pasteles. Para comerse 60 en media hora se necesitan 3 niños.

74. La boda. Mario se quiere casar. 75. El encuentro. Ángel: agua. Boris: café. César: anís. Diego: vino. 76. El número. El número buscado es el 204.862.




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77. La hilera de casas. Los Brown. 78. Completando. EMPERADORES. AVAROS. 79. Examen de historia. b) y d). 80. Conductores y su sexo. e) No hay suficientes datos para justificar una conclusión. 81. Gasolina. a) Puede que se quede sin gasolina. 82. Neumáticos. d) y e). 83. Ostras. a). 84. Pueblos. Los verdes. 85. El test. Julia.

6.1. Alicia en el País de los acertijos. Inspirado por los clásicos de la literatura infantil en Alicia en el país de las maravillas y A través del espejo, de Lewis Carroll, el mago y matemático contemporáneo Raymond Smullyan hace que Alicia y sus a veces excéntricos acompañantes recorran algunos caminos plagados de problemas en su libro Alice in Puzzle-Land ("Alicia en el país de los acertijos"). "Los personajes de Smullyan no sólo hablan y actúan como los originales, sino que la obra está llena de "los juegos de palabras, problemas de lógica y oscuras paradojas filosóficas características de Carroll".(Martin Gardner,Introducción) He aquí algunos de los problemas que se plantean en el libro:

86. ! Habían robado la sal! Se descubrió que el culpable era la Oruga, Bill el Lagarto o el Gato Sonriente. Sometieron a juicio a los tres, que hicieron las siguientes declaraciones en el tribunal:

� Oruga: Bill el lagarto se comió la sal. � Bill el lagarto: ¡Es cierto! � Gato sonriente: ¡Yo nunca me comí la sal!

Según resultó, por lo menos uno de ellos mintió y al menos uno dijo la verdad. ¿Quién se comió la sal?

87. ! Habían robado la pimienta ¡Los siguientes sospechosos del Rey eran la Liebre de Marzo, el sombrerero Loco y el Lirón. Se enviaron soldados a su casa, pero no pudieron encontrar pimienta alguna. Como podían haberla escondido en algún sitio, fueron detenidos por principio. En el juicio la Liebre declaró que el sombrerero era inocente y el Sombrerero declaró que el Lirón era inocente. El Lirón murmuró algo en sueños, pero no fue recogido.

Como al final resultó, ningún inocente hizo declaración falsa y(recordamos) los que roban pimienta nunca hacen declaraciones verdaderas. Además, sólo uno robó la pimienta. ¿Cuál de los tres, si es que alguno de ellos, es culpable?.

88. -Aquí va otro -dijo la Reina de Corazones Rojos- Una niñita de nombre Alicia tenía un hermano llamado Antonio...

-Yo no tengo un hermano llamado Antonio -la interrumpió Alicia. -No me refería yo a ti -replicó tajante, la Reina de Corazones Rojos -. ! Hablaba de otra Alicia! -! Ah! -Sucede que Antonio tenía igual número de hermanos y de hermanas. Alicia tenía dos veces más hermanos que hermanas. ¿Cuántos niños y cuántas niñas había en la familia? - preguntó la Reina de Corazones Rojos.

89. "He aquí otro más", anunció la Reina Blanca. "Una vez tenía yo que enviar cuatro cartas. Ya estaban escritas las cuatro cartas, y los cuatro sobres tenían las direcciones correctas, pero me descuidó y metí algunas de las cartas en los sobres que no le correspondían. No obstante, solo puse una carta en cada sobre. Resultó que mandé exactamente tres correctas, o exactamente dos correctas, o exactamente una incorrecta. ¿Cuántas envié correctamente?

90. Eso es lo que yo llamo una buena alumna -dijo el Grifo-. Pues claro que te pondré otro. Este es un poco diferente, pero estoy seguro que lo sacarás. "Esta vez el Sombrerero, la liebre de Marzo y el Lirón están todos juntos merendando, y el

Lirón está bastante espabilado y también quiere pasteles. El sombrerero había dispuesto ya los sitios y se había servido el triple de pasteles que a la Liebre, y al Lirón solo le había puesto la mitad que a la Liebre.

-El pobre Lirón es el que salió perdiendo- dijo Alicia compasiva. -¡Sin duda! - respondió el Grifo-, Bueno, el Sombrerero tenía veinte pasteles más que el Lirón.




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-Es un número enorme de pasteles -dijo Alicia. -No tanto -contestó el Grifo-, porque los pasteles eran pequeñisimos. ¿Cuántos pasteles tenía cada uno?. ¡Y no necesitas algebra! ¿Cuál es la solución?

91. -Si un reloj de péndulo tarda treinta segundos en dar seis campanadas, ¿cuánto tardará en dar doce? -preguntó la Reina de Corazones Rojos. -Pues !sesenta segundos, por supuesto! -exclamó Alicia; pero en seguida

advirtió-! oh, no! !No es cierto! ¿Cuál es la respuesta correcta? 92. -Esta es una pregunta lógica -dijo la Reina Blanca- Cuando el Rey Rojo está durmiendo,

todo lo que cree es falso. Es decir, todo lo que el Rey Rojo cree en sueños está mal. Pero todo lo que cree mientras está despierto es verdad. Anoche, a las diez en punto, el Rey Rojo creía que tanto él como la Reina Roja estaban dormidos. ¿Estaba la Reina Roja despierta o dormida a esa hora? Alicia pensó esto y al principio creyó que la situación era imposible. Pero de repente se dio cuenta de que la situación no era imposible y dio la repuesta. ¿Cuál es la repuesta?

93. Alicia se encontró con Tweedledum y Tweedledee, que sonreían a la sombra de un árbol, junto a su casa. Temo que no puedo distinguirlos muy bien sin sus cuellos bordeados -observó Alicia.

Tendrás que usar la lógica -le indicó uno de los hermanos. Entonces sacó del bolsillo un naipe (era la reina de diamantes) y se lo mostró a Alicia. "Como ves, esta es una carta roja. Pues bien, una carta roja significa que quien la lleva dice la verdad, en tanto que una negra significa que quien habla dice mentira. "Mi hermano lleva una carta roja o negra en el bolsillo, y ests a punto de decir algo. Si su naipe es rojo, será verdad lo que diga; pero si es negro, será una mentira. Tu tarea consiste en deducir si él es Tweedledee o Tweedledum". En ese momento, el otro declaró: "soy Tweedledum y llevo una carta negra". ¿Quién era él en realidad?

6.2. Alicia en el Bosque del olvido por Raymond M. Smullyan 6.2.1. El león y el unicornio Cuando Alicia entró en el Bosque del Olvido no lo olvidó todo, solamente ciertas cosas. A menudo olvidaba su nombre, y una de las cosas que más disposición tenía a olvidar era el día de la semana. Ahora bien, el León y el Unicornio visitaban frecuentemente el bosque. Los dos eran criaturas extrañas. El León mentía los lunes, martes y miércoles y decía la verdad los otros días de la semana. El Unicornio, por otra parte, mentía los jueves, viernes y sábados, pero decía la verdad los restantes días de la semana.

94. -Un día Alicia se encontró con el León y el Unicornio que descansaban bajo un árbol. Ellos dijeron lo siguiente:

León: Ayer fue uno de lo días en los que me tocaba mentir. Unicornio: Ayer fue también uno de los días que me tocaba mentir

A partir de estos enunciados Alicia (que era una chica muy lista) fue capaz de deducir el día de la semana. ¿Qué día era éste?

95. En otra ocasión Alicia encontró a león solo. Este dijo: (1) Ayer mentí (2) Mentiré de nuevo dentro de tres días ¿En que día de la semana sucedía esto?

96. En que días de la semana le es posible al León hacer los dos enunciados siguientes: (1) Ayer mentí (2) Mañana mentiré de nuevo

97. En que días de la semana le es posible al León decir: "Ayer mentí y mañana mentiré de nuevo". Aviso: La respuesta no es la misma que la anterior. 6.2.2. Tweedledum y Tweedledee Durante un mes el León y el Unicornio se ausentaron del Bosque del Olvido. Estaban en otra parte luchando afanosamente por la corona. Sin embargo, Tweedledum y Tweedledee visitaban frecuentemente el bosque. Ahora bien, uno de los dos es como el León: miente los lunes, martes y miércoles y dice la verdad los restantes días de la semana. El otro es como el Unicornio: miente los jueves, viernes y sábado y dice la verdad los restantes días de la semana. Alicia no sabía que uno era como el León y que el otro era como el Unicornio. Para terminar de




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arreglarlo, los hermanos se parecían tanto que Alicia no podía ni siquiera distinguirlos (excepto cuando llevaban sus cuellos bordados, cosa que raramente hacían). Así pues, la pobre Alicia se encontró realmente en una situación muy confusa. He aquí ahora alguna de las aventuras de Alicia con Tweedledum y Tweedledee.

98. Un día Alicia se encontró a los hermanos juntos que le hablaron así: El primero de ellos dijo: Yo soy Tweedledumm El segundo dijo: Yo soy Tweedledee

¿Cuál de ellos era realmente Tweedledum y cuál de ellos es Tweedledee? 99. Otro día de la misma semana los dos hermanos dijeron lo siguiente:

El primero de ellos dijo: Yo soy Tweedledum El segundo dijo; Si esto es realmente verdad, entonces yo soy Tweedledee. ¿Quién era

quién? 100. En otra ocasión, Alicia encontró a los hermanos y preguntó a uno de ellos: ¿Mientes los

domingos? El respondió: "Sí". A continuación ella planteó al otro la misma pregunta: ¿Qué respondió este último?

101. En otra ocasión los hermanos hablaron así: El primero de ellos dijo: (1) Los sábados miento. (2)Los domingos miento. El segundo dijo: Mentiré mañana. ¿Qué día de la semana era?

102. Un día Alicia se encontró con uno de los hermanos. Éste le dijo: "Hoy, miento y soy Tweedledee." ¿Quién estaba hablando?

103. Supóngase que, en lugar de eso, el hubiera dicho: "Hoy miento y o soy Tweedledee" ¿Será posible determinar quién era?

104. Un día Alicia se encontró con los dos hermanos qué le dijeron: El primero de ellos dijo: Si soy Tweedledum entonces él es Tweedledee.

El segundo dijo: Sí él es Tweedledee, entonces yo Tweedledum. ¿Es posible determinar quién es quién? ¿Es posible determinar el día de la semana?

105. En ésta ocasión, Alicia resolvió tres grandes misterios. Se encontró con los tres hermanos que sonreían maliciosamente bajo el árbol.

Ella esperaba que en éste encuentro averiguara tres cosas: (1) El día de la semana; (2) Cuál de los dos era Tweedledum; (3) (un hecho que ella había deseado conocer hace tiempo)

Si Tweedledum era como el León o como el Unicornio, por lo que sus hábitos de mentir respecta.

Bien, los dos hermanos hablaron así: El primero de ellos dijo: Hoy no es domingo El segundo dijo: De hecho hoy es lunes.

El primero de ellos dijo: Mañana es uno de los días en los que me toca mentir a Tweedledee. El segundo dijo: El León mintió ayer. Alicia palmoteó de alegría. El problema estaba ahora completamente resuelto. ¿Cuál es la solución?.

6.3. El enigma de Drácula. Por: Raymond Smullyan. 6.3.1. En Transilvana A pesar de lo que Bram Stoker nos ha contado, tengo graves razones para dudar de que el Conde Drácula hubiese sido alguna vez efectivamente aniquilado. Por lo tanto decidí ir a Transilvania para investigar la verdad por mí mismo. Mis propósitos eran: (1) averiguar si el Conde Drácula vivía aún; (2) en el caso de que hubiera sido aniquilado deseaba ver sus verdaderos restos; (3) en el caso de que viviese aún, deseaba tener un encuentro con él. En la época en que estuve en Transilvania aproximadamente la mitad de sus habitantes eran humanos y la mitad eran vampiros. Los humanos y los vampiros son indistinguibles en su apariencia externa, pero los humanos (al menos en Transilvania) dicen siempre la verdad, mientras que los vampiros mienten siempre. Lo que complica enormemente la situación es que la mitad de los habitantes de Transilvania están totalmente locos y completamente engañados por lo que respecta sus creencias -creen que todas las proposiciones verdaderas son falsas y




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que todas las proposiciones falsas son verdaderas. La otra mitad está completamente cuerda y sabe qué proposiciones son verdaderas y qué proposiciones son falsas. Así pues, los habitantes de Transilvania son de cuatro tipos: (1) humanos cuerdos; (2) humanos locos; (3)vampiros cuerdos, y (4) vampiros locos. Todo lo que un humano cuerdo dice es verdadero; todo lo que un humano loco dice es falso; todo lo que un vampiro cuerdo dice es falso, y todo lo que un vampiro loco dice es verdadero. Por ejemplo, un humano cuerdo dirá que dos más dos es igual a cuatro; un humano loco dirá que no es igual a cuatro (puesto que él cree realmente que no lo es); un vampiro cuerdo dirá también que no es igual a cuatro (puesto que él sabe que es igual a cuatro y por tanto miente), y un vampiro loco dirá que es igual a cuatro (puesto que él cree que no es igual a cuatro y, por lo tanto, miente sobre lo que él cree).

106. Me encontré un día con un transilvano que me dijo: "Soy humano o estoy cuerdo."¿De qué tipo era exactamente?

107. Otro habitante dijo: "No soy un humano cuerdo." ¿De qué tipo era?

108. Otro habitante dijo: "Soy un humano loco." ¿Es éste del mismo tipo que el anterior habitante?

109. Me encontré una vez un habitante y le pregunté: "¿Eres un vampiro loco?" El respondió: "Sí" o "No", y supe de qué tipo era.¿De qué tipo era?

110. Me encontré una vez un transilvano que dijo: "Soy un vampiro" ¿Puede inferirse si es humano o vampiro? ¿Puede inferirse si está cuerdo?

111. Supóngase que un transilvano dice: "Estoy loco." (a) ¿Puede inferirse si está cuerdo? (b) ¿Puede inferirse si es humano o vampiro?

112. La inversa de un enunciado: "Si P entonces Q" es el enunciado: "Si Q entonces P". Ahora bien, existen dos enunciados X e Y que son inversos mutuamente y tales que:

(1) Ninguno de los dos enunciados es deducible del otro. (2) Si un transilvano hace cualquiera de los dos enunciados se sigue que el otro debe ser verdadero. ¿Puedes proporcionar estos dos enunciados?

113. Dado un enunciado X, supóngase que un transilvano cree que él cree X. ¿Se sigue que X ha de ser verdadero? Supóngase que él no cree que cree X. ¿Se sigue que X ha de ser falso?

114. Supóngase que un transilvano dice: "Yo creo X." Si es humano, ¿Se sigue que X tiene que ser verdadero? Si es vampiro, ¿Se sigue que X tiene que ser falso?

115. Me encontré una vez con dos transilvanos, A y B. Pregunté a: "¿Es B humano?" A replicó: "Eso creo." Entonces pregunté a B : "¿Crees que A es humano?" ¿Qué respuesta dio B (suponiendo que respondió "Sí" o "No")?

Definamos a un transilvano como `formal' si es humano cuerdo o vampiro loco y como ìnformal' si es un humano loco o un vampiro cuerdo. La gente formal es aquella que hace enunciados verdaderos; la gente informal es aquella que hace enunciados falsos (ya sea sin malicia o por engaño).

116. Supongamos que preguntas a un transilvano: "¿Eres formal?" y él te da un "Sí" o un "No" como respuesta. ¿Puedes determinar a partir de esta respuesta si él es o no un vampiro? ¿Puedes determinar si está él cuerdo?

117. Supongamos, en lugar de eso, que le preguntas: "¿Crees que eres formal?" El te da un "Sí" o un "No" como respuesta. ¿Puedes determinar ahora si él es un vampiro? ¿Puedes determinar si él está cuerdo?

6.3.2. ¿Vive aun el conde Drácula? 118. Recordemos que la primera cuestión importante que deseaba resolver era la de si el

Conde Drácula vivía aún. Bien, pregunté a un transilvano sobre el asunto y dijo: "Si yo soy humano, entonces el Conde Drácula vive aún."

¿Puede determinarse si Drácula vive aún? 119. Otro transilvano dijo: "Si estoy cuerdo, entonces el Conde

Drácula vive aún" ¿Puede determinarse si Drácula vive aún?

120. Otro dijo: "Si soy un humano cuerdo, entonces el Conde Drácula vive aún" ¿Puede determinarse si Drácula vive?




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121. Supóngase que un transilvano ha dicho: "Si yo soy un humano cuerdo o un vampiro loco, entonces el Conde Drácula vive aún."

¿Podría determinarse entonces si Drácula vive aún? 122. ¿Hay algún enunciado, que un transilvano pudiera hacer, y que te convenciese de que

Drácula vive aún y también de que el enunciado es falso? 123. ¿Hay algún enunciado, que un transilvano pudiera hacer, tal que te convenciese de que

Drácula vive aún y del cual no pudieses decir si el enunciado es verdadero o falso? Supóngase que un transilvano hace los dos enunciados siguientes: (1) Estoy cuerdo. (2) Creo que el Conde Drácula está muerto. ¿Podría inferirse si Drácula vive?

7. Supóngase que un transilvano hace los dos enunciados siguientes: (1) Soy humano. (2) Si soy humano, entonces el Conde Drácula vive aún. ¿Podría determinarse si Drácula vive aún? 6.3.3. ¿Qué pregunta debe hacerse?

124. ¿Puedes con una pregunta obtener información de un transilvano sobre si él es o no un vampiro?

125. ¿Puedes con una pregunta obtener información de un transilvano sobre si él está o no cuerdo?

126. ¿Qué pregunta podrías hacerle a un transilvano que le forzase a responder "Sí", independientemente de a cuál de los cuatro tipos pertenezca?

¿Puedes con una pregunta obtener información de un transilvano sobre si el Conde Drácula vive aún? 6.3.4. En el castillo de Drácula. Si hubiera tenido ojo y me hubiera dado cuenta de la respuesta al último problema me hubiera evitado un sinfín de desgracias. Pero estaba entonces tan aturrullado, tan aturdido por esta clasificación entrecruzada de cuerdos y locos sobrepuesta a la de los que mienten y dicen verdad, que no podía pensar correctamente. Además, estaba un poco nervioso al estar en compañía de transilvanos, algunos de los cuales eran vampiros. Y, con todo, me esperaba aún una situación más desconcertante! Aún no sabía si el Conde Drácula estaba vivo. Me parecía que solamente podía encontrar la respuesta si podía llegar al Castillo de Drácula. Por aquel entonces bien poco me daba cuenta de esto, por razones que más adelante descubrirás, solamente complicaría el asunto. Sabía perfectamente dónde estaba el Castillo de Drácula y sabía que allí había mucha actividad.Sabía también que el castillo tenía un anfitrión, pero no sabía si este anfitrión era el Conde Drácula (dejando de lado la cuestión de si Drácula estaba aún vivo). Ahora bien, la admisión en el Castillo de Drácula era solamente mediante invitación, y las invitaciones se daban solamente a la flor y nata de la sociedad transilvana. Por lo tanto tuve que invertir varios meses de ardua escalada social antes de que me encontrase en un posición lo suficientemente elevada para ser invitado. El día llegó finalmente y recibí una invitación par asistir a una fiesta de varios días y noches de duración en el Castillo de Drácula. Fui con grandes esperanzas y en seguida recibí mi primer chasco. Poco tiempo después de entrar en el castillo, me di cuenta que había olvidado recoger, en medio de mi apresuramiento, mi cepillo de dientes, un ajedrez de bolsillo y algún material de lectura. Así pues, me dispuse a dirigirme hacia la puerta para volver a mi hotel, pero fui interceptado por un transilvano fortachón y de aspecto brutal que me dijo educadamente, pero con gran firmeza, que una vez que una persona entra en el Castillo de Drácula, no puede en ningún caso abandonarlo sin permiso del anfitrión. "Entonces", dije yo, "me gustaría hablar con el anfitrión". "Por ahora esto es absolutamente imposible", me informó, "pero yo puedo recoger un mensaje para él, si usted quiere". Bien, envié al anfitrión un mensaje preguntándole si podía abandonar el castillo durante un momento. La respuesta llegó rápidamente; era breve y además nada tranquilizadora. Decía: "Naturalmente, No". En consecuencia, estaba prisionero en el Castillo del Conde Drácula. Bien, ¿qué podría hacer yo? Obviamente, por el momento nada; así, a la manera realmente propia del Zen, decidí disfrutar de la noche en aquello que merecía la pena y entrar en acción en cuanto la primera oportunidad se presentase.




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El baile de aquella noche fue lo más magnífico que haya visto o leído alguna vez. Hacia las dos de la mañana decidí retirarme y se me mostró mi habitación. Asombrosamente, a pesar del infinito peligro en el que estaba, dormí profundamente. Me desperté hacia el mediodía del día siguiente y, después de una buena comida, me mezclé con los huéspedes, esperando obtener más información. Entonces recibí mi segunda sorpresa. Toda la gente (excepto yo mismo)pertenecía a un pequeño subgrupo de transilvanos de élite que en lugar de usar las palabras "Sí" y "No", usaban las palabras "Bal" y "Da". Así pues, me encontraba metido en una situación rodeado de los denominados "transilvanos de élite", cada uno de los cuales era o humano o vampiro, estaba loco o estaba cuerdo, y para remachar todo esto, no sabía lo que significaban las palabras "Bal" y "Da". Parecía que con mi llegada al castillo había pasado de Guatemala a Guatepeor. Bien, al darme cuenta de esto, temo que perdí toda mi compostura propia del Zen y estuve absolutamente deprimido durante el resto del día. Me retiré temprano, sin preocuparme tan siquiera por ver la segunda noche de fiestas. Me encontraba rendido, incapaz de dormir o de pensar. Entonces, de repente me sobresalté. Me di cuenta que las nuevas complicaciones Bal-Da eran en realidad fácilmente manejables. Emocionadamente, tomé mi pluma y mi cuaderno de notas y comencé de inmediato a resolver los problemas siguientes:

127. Con una pregunta (susceptible de ser respondida por "Bal" o "Da") podía averiguar de alguien del castillo si era o no vampiro.

128. Con una pregunta podía averiguar si estaba cuerdo. 129. Con una pregunta podía averiguar lo que significaba "Bal".

Si lo desease podría plantear a cualquiera del castillo una pregunta tal que le forzase a responder "Bal".

130. Con una pregunta podía averiguar si Drácula vive!. ¿Cuáles son esas preguntas? 6.3.5. El enigma de Drácula. ! Llegamos ahora al punto culminante¡ Al día siguiente obtuve toda la información que deseaba. Drácula estaba realmente vivo y era, de hecho, mi anfitrión. Ante mi sorpresa, averigüé también que Drácula era un vampiro loco, por lo tanto, todo enunciado que él hacía era verdadero. Pero, ¿de qué me servía saber esto, ahora que estaba a merced del destino y corría el riesgo de ser convertido en un vampiro y perder mi alma para siempre? Después de algunos días concluyeron los festejos y se permitió marchar a todos los huéspedes excepto a mí. De modo que, virtualmente solo en lo que ahora era un lúgubre y macabro castillo, era prisionero de un anfitrión con el que hasta ahora no había tenido ningún contacto. No tuve que esperar mucho tiempo. Poco antes de medianoche se me sacó groseramente de un sueño profundo y fui escoltado, de manera educada, pero firme, a las habitaciones privadas del Conde Drácula que, evidentemente, había solicitado tener una entrevista conmigo. Mi guía marchó y he aquí que me encontré frente al mismísimo Conde Drácula. Después de lo que me pareció una eternidad de silencio, Drácula dijo: "¿Sabe que yo siempre doy a mis víctimas alguna posibilidad de escapar?" "No", respondí sinceramente, "no sabía esto". "Oh", replicó Drácula, "realmente no podría pensar en privarme de este gran placer". Por alguna razón, no acabó de gustarme el tono de voz con el que dijo eso, tenía un cierto sabor a arrogancia. "Usted verá", continuó Drácula, "yo le planteo a mi víctima un enigma. Si en un cuarto de hora adivina correctamente la respuesta, lo dejo en libertad. Si no logra adivinarla o si la adivina mal, le ataco y se convierte en un vampiro para siempre". "¿En un vampiro cuerdo o en uno loco?", pregunté yo inocentemente. Drácula se volvió lívido de rabia. "Sus chistes no tienen ninguna gracia", gritó. "Se da usted cuenta completamente de la gravedad de la situación? No suelo estar de humor para bromas frívolas. Alguna cosa más de este tipo y no le daré ni siquiera la oportunidad usual". Asustado a medida que iba diciendo todo esto, mi reacción inmediata fue ante todo de curiosidad respecto al hecho de por qué Drácula estaría dispuesto a arriesgarse a perder una víctima. "¿Qué es lo que le mueve a esta generosidad deportiva?", le pregunté. "¿Generosidad?", dijo Drácula con un aire desdeñoso. "No tengo ni un sólo átomo de generosidad en mi cuerpo. Se trata solamente de que el enorme placer sádico que obtengo al observar a mi víctima retorcerse, escribir, convulsionarse bajo esta angustiosa gimnasia mental, compensa con creces la posibilidad infinitesimal de que la pierda.




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Esta palabra: "infinitesimal", no era demasiado consoladora que digamos. "Oh sí", continuó Drácula, "jamás hasta ahora he perdido una víctima; como usted verá, no estoy corriendo demasiado riesgo". "Muy bien",dije, dándome a mí mismo ánimos de la mejor manera que pude, "¿en qué consiste el enigma?".

131. Drácula me miró examinándome durante algún tiempo. "Sus preguntas a mis huéspedes eran muy inteligentes -sí,sí, lo sé todo sobre ellas. Realmente eran muy inteligentes, pero no tan inteligentes como usted podría pensar. Usted tenía que haber diseñado una pregunta separada para cada fragmento de información que deseaba obtener; usted no dio nunca con un principio simple y unificador que le hubiera evitado a usted mucho trabajo mental.

Existe una oración O que tiene la propiedad casi mágica de que, dada cualquier información que usted desee saber, dada cualquier oración X cuya verdad usted desee averiguar, todo lo que usted tiene que hacer es preguntar a cualquiera que esté en el castillo: "¿Es O equivalente a X?". Si usted obtiene como respuesta "Bal", X tiene que ser verdadera; si usted obtiene "Da" como respuesta, X tiene que ser falsa. Así por ejemplo, si usted desease averiguar si el hablante es un vampiro, tendría que preguntar: "¿Es O verdadera si y sólo si usted es un vampiro?". Si usted desease averiguar si está cuerdo, no tendría que preguntar más que: "¿Es O verdadera si y sólo si usted está cuerdo?". Para haber averiguado lo que significaba "Bal", usted sólo habría tenido que preguntar: "¿Es O verdadera si y sólo si `Bal' significa sí?". Para averiguar si yo vivía aún, usted podría haber preguntado: "Es O verdadera si y sólo si Drácula vive aún?", etc. "¿Cuál es esa oración O?", pregunté yo con enorme curiosidad. "Ah", replicó Drácula, "es asunto suyo el averiguarlo. Este es su enigma!".Al decir esto Drácula se puso en pie para abandonar la habitación. "Tiene usted quince minutos. Haría bien en discurrir con ahínco. Los riesgos son muy elevados." Verdaderamente eran muy elevados! Aquellos fueron los quince minutos más penosos de mi vida. Estaba tan paralizado por el miedo que tenía la mente en blanco. Estaba seguro que Drácula me estaba observando secretamente desde algún lugar oculto. Cuando habían transcurrido los quince minutos Drácula volvió ahinco y comenzó a revolotear a mi alrededor con los colmillos hechos agua.Se me fue acercando más y más. hasta que le tuve prácticamente encima. Entonces de repente levanté la mano y grité: "Naturalmente. la oración O es ..." ¿Cuál es la oración O que me salvó? 6.3.6. Epílogo El shock recibido por el pobre Drácula ante el hecho que yo hubiese resuelto su enigma fue tan grande que pereció en el acto, y pocos minutos después se desintegró convertido en ceniza. Ahora cuando alguien me pregunta: "¿Vive aún el Conde Drácula?", puedo responder veraz y adecuadamente: "Bal".

132. Existen cuatro inconsistencias menores en esta historia. ¿Podrías detectarlas? 6.3.7. Bibliografía: 1.- Copi, Irving.(1953/72).Introducción a la Lógica. Buenos Aires: EUDEBA.1984. 2.- Malba Tahan.El hombre que calculaba. aventuras de un singular calculista persa. Ediciones universales: Bogotá Traducción y notas Mario Coppetti. 3.-Smullyan,Raymond(1978).¿Cómo se llama éste libro? Madrid: Cátedra. 1984. 4.- Smullyan, Raymond((1982).¿La dama o el tigre? Madrid: Cátedra. 1985. 5.- Smullyan, Raymond((1982).Alicia en el país de los acertijos. Madrid: Cátedra. 6.- Smullyan, Raymond(1989).5000 años a. de C. y otras fantasías filosóficas. Enigmas, paradojas, adivinanzas y razonamientos. Madrid: Cátedra.




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6.4. Problemas de trasfondo matemático 6.4.1. Problemas con alternativas de solución de tipo algebraico

133. Dos hermanos deciden ahorrar juntos las propinas que reciben de su padre durante un año. Al final de este período lograron reunir $192. Si el hermano mayor ahorró el triple de lo que ahorró el menor, ¿cuánto ahorró cada uno?

134. En el corral de una escuela-granja hay sólo corderos y gallinas. Patricio y Ana deben informar a su maestra cuántos animales hay allí. Cada uno cuenta a su manera. Cuando regresan Patricio dice que contó 192 patas y Ana, que contó las cabezas, llegó a 60. ¿Cuántos animales de cada clase hay en el corral?

135. Un número de dos cifras es tal que: la suma de las cifras es 11 y la cifra de las unidades es igual al doble de la de las decenas disminuido en 1. ¿Cuál es dicho número?

136. Ricardo compró dos libros y un cuaderno por $80. Si un libro cuesta la mitad del otro y el cuaderno $40 menos que el libro más caro, ¿cuánto pagó por cada artículo?

6.4.2. Problemas geométricos 137. Calcular el área de la zona sombreada, si se trata de un rectángulo y dos círculos,

todos tangentes entre sí. (10 significa 10 cm.)

138. Demostrar que la diferencia entre el ángulo suplementario y el complementario de un mismo ángulo agudo es siempre de 90 grados.

139. El perímetro de un patio rectangular es de 56 metros. El ancho es igual a los 2/5 del largo. Calcular el área del patio.

140. El perímetro del rectángulo ABCD es de 60 centímetros y su largo es el doble de su ancho. x mide 1,5 centímetros. Calcular el área sombreada.

141. El radio del círculo. Teniendo en cuenta la figura, hallar el radio del círculo.




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142. El lado del rombo. En una plaza circular de R=9 m. se quiere construir un estanque de

forma rómbica, según la figura. ¿Cuánto mide el lado del rombo?

143. El ángulo de las diagonales. ¿Cuántos grados mide el ángulo que forman las dos

diagonales de las caras del cubo?

144. Golpe de vista. Dos circunferencias secantes tienen por centros P y Q

respectivamente. El segmento PQ mide 3 centímetros. Por uno de los puntos (O) donde se cortas las circunferencias trazamos una recta paralela al segmento PQ. Sean M y N los puntos donde corta dicha recta a las circunferencias. ¿Cuánto mide MN?

145. El ángulo obtuso. ¿Cuánto mide el ángulo obtuso ABC? A, B y C son los puntos

medios de los lados

146. El ángulo exterior. En el triángulo isósceles ABC el ángulo A mide 50 . ¿Cuál es la

medida del ángulo x




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147. Cuadrados que se cortan. Tenemos dos cuadrados iguales superpuestos, de manera que un vértice de uno está siempre en el centro del otro. ¿En qué posición el área comprendida entre los dos cuadrados es la mayor posible?

148. Semejanza de rectángulos. Si el ancho de un marco es igual en sus dos direcciones,

horizontal y vertical, como sucede casi siempre, el rectángulo constituido por el cuadro completo y el rectángulo de la tela pintada ¿serán semejantes?

149. Paquete postal. Un hombre quiere enviar por correo un fluorescente que mide 92 cm.

de largo, pero las normas de Correos prohíben los paquetes postales superiores a 55 cm. ¿Cómo podría enviar el objeto por correo sin romperlo, ni doblarlo ni faltar a las ordenanzas de Correos?

150. Los dos cuadrados. A una circunferencia pueden inscribirse y circunscribirse cuadrados como muestra la figura adjunta. Sabiendo que el área del cuadrado inscrito es de cuatro unidades de superficie, ¿qué área tiene el cuadrado mayor?

151. El cinturón de la tierra. Imaginemos un cordel que envuelve como un cinturón

ajustado la Tierra a lo largo de la línea del Ecuador. Añadámosle un metro al cordel. Cuán flojo queda ahora? .La intuición indicaría que la holgura que se obtiene es pequeñísima, ya que el metro agregado representa muy poco respecto a la circunferencia de la Tierra. Más inquietante es pensar que si ajustamos un cordel alrededor de una naranja, y le agregamos luego un metro, la holgura que se consigue para la naranja es exactamente la misma que para la Tierra. ¿Será cierto?

152. El cordel y el cuadrado. ¿Que pasaría si la Tierra fuese cuadrada? 153. El riel dilatado. Imaginemos un tramo recto de riel, AB, de 500 metros de largo,

aplanado sobre el suelo y fijado en sus dos extremos. Bajo el calor del verano, el riel se expande 2 metros, provocándole una joroba. Suponiendo que el riel se arquea en forma simétrica, ¿a qué altura cree usted que se levanta la joroba en el punto medio? ¿Diez centímetros? ¿Un metro? ¿Diez metros?




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154. El puente sin dispositivo de dilatación. Un puente metálico tiene 1 km. de longitud. Debido al calor se dilata 20 cm. Si no se hubiese previsto un medio de absorber esta dilatación, el puente se levantaría formando un triángulo isósceles de altura h. La base sería el puente antes de la dilatación. ¿Cuánto vale h?

155. Nueve ángulos. Calcula el valor de todos los ángulos de la figura sabiendo que el ángulo 1 vale 70

156. Área de la corona circular. Supongamos dos circunferencias concéntricas. Trazamos

una tangente a la interior que, naturalmente cortará a la exterior en dos puntos. La distancia entre cualquiera de estos puntos y el punto de tangencia es 1 m.. Halla el área de la corona circular que determinan las dos circunferencias.

157. Simetría y reflexión. La imagen en un espejo plano y el objeto reflejado no son iguales, sino simétricos. El producto de dos reflexiones es la igualdad. Estas dos sencillas propiedades nos permitirán gastar una pequeña broma, cuando escribamos a un amigo utilizando un papel carbón y dos cuartillas.

La siguiente carta se la mandé a un amigo mío. ¿Sabe Vd. lo que le pone?

158. Triángulos originales. ¿Cuál tiene una superficie mayor, un triángulo con lados 5, 5, 6

o uno con lados 5, 5, 8? 159. 19.El valor de la mediana. En el triángulo ABC, rectángulo en A, la hipotenusa a=10,

el cateto b=8 y el cateto c=6. Hallar en 30 segundos el valor de la mediana AM. 160. La esfera hueca y el geómetra sagaz. Una esfera pesa 40 kg. Se la coloca

suavemente dentro de un cilindro lleno de agua en el cual entra exactamente. Después de esta operación, el cilindro y su contenido pesan 20 kg más. ¿Cuál es el volumen del cilindro? ¿Cuál es la densidad de la esfera?

161. Las esferas pintadas. Un vendedor de billares tiene como insignia de su negocio dos esferas desiguales, sólidas y hechas de la misma madera. La mayor pesa 27 kg y la pequeña 8 kg. El comerciante se propone volver a pintar las insignias. Con 900 gramos de pintura pinta la esfera mayor. ¿Cuántos gramos necesitará para pintar la pequeña? (La cantidad de pintura necesaria es proporcional a la superficie que hay que pintar)




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162. Giros, ¿posibles o imposibles?. Catalina ha desafiado a sus amigos a hacer algo que

parece totalmente imposible: «Coger un libro, girarlo un ángulo de 180 , volverlo a girar otros 180 y que el libro quede formando un ángulo de 90 con su posición inicial». ¿Será posible realizar lo que dice Catalina?

163. El embalse y el pez. El borde de un embalse es una circunferencia perfecta. Un pez

empieza en un punto del borde y nada en dirección norte 600 metros, lo que le devuelve al borde. Nada entonces en dirección este, llegando al borde después de recorrer 800 metros. ¿Cuál es el diámetro del embalse?

164. El poste roto. Un poste mide 32 palmos de altura. Un día lo parte un rayo. El trozo roto queda apoyado en el suelo formando un triángulo de 16 palmos de base. ¿A qué altura se partió el poste?

165. El cruce de la red. Se trata de trazar una línea continua a través de la red cerrada de la figura, de modo que dicha línea cruce cada uno de los 16 segmentos que componen la red una vez solamente. La línea continua dibujada no es, evidentemente una solución del problema, ya que deja un segmento sin cruzar. Se ha dibujado solamente a fin de hacer patente el significado del enunciado del problema.

166. Los tres cuadrados. Tenemos tres cuadrados iguales dispuestos como se muestra en

la figura. Usando solamente geometría elemental (no trigonometría) demostrar que el ángulo C es igual a la suma de los ángulos A y B.

167. Ventana dividida en dos. Una ventana cuadrada mide 1 metro de lado. Como estaba

orientada al sur y entraba demasiada luz se disminuyó su tamaño a la mitad, tapando parte de ella. Tras ello la ventana seguía teniendo forma cuadrada y tanto su anchura como su altura seguían siendo de 1 metro. ¿Puede Vd. dar una explicación de tan extraño fenómeno?




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168. Monedas iguales dando vueltas. Dos monedas idénticas A y B parten de la posición

que indica la figura. La moneda B permanece en reposo, mientras que la A rueda alrededor de B, sin deslizar, hasta que vuelve a su posición inicial. ¿Cuántas vueltas habrá dado la moneda A?

169. Posavasos y servilleta. Tenemos un posavasos circular y una servilleta cuadrada.

Hallar el centro del posavasos con la ayuda únicamente de la servilleta y un lápiz.

170. El cubo y los planos. Consideremos un cubo de lado 1. Tomemos dos vértices

opuestos por una diagonal máxima del cubo. Cada uno de estos dos vértices opuestos está rodeado de tres vértices cercanos que forman un triángulo. Es fácil ver que los dos planos definidos por estos dos triángulos son paralelos. Sin hacer cálculos, ¿cuál es la distancia entre los dos planos?

171. Cuatro círculos iguales. Tenemos cuatro círculos iguales de radio 1. Uniendo los centros obtenemos un cuadrilátero irregular. ¿Cuánto mide el área sombreada?

172. Los pintores de la catedral. Unos pintores están pintando las paredes interiores de

una catedral. A una ventana circular de un metro de diámetro le añadieron dos líneas tangentes y dos semicírculos cerrando la figura. ¿Qué área tiene la figura sombreada?




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173. Muy elegante. En la figura adjunta, ¿cuánto mide B?

174. La sombra desconocida. En la figura adjunta el triángulo rectángulo tiene el vértice en

centro del cuadrado. ¿Cuál es el área de la parte sombreada?

175. La mediana es menor. Probar que cada mediana de un triángulo es menor que el

promedio de los lados adyacentes. En la figura adjunta, probar que x < (a+b)/2.

176. La luna y el triángulo. Las áreas rayadas de la luna y el triángulo, ¿son iguales?

177. El hexágono y el triángulo. Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen

perímetros iguales. Si el hexágono tiene una superficie de 6 m2., ¿qué área tiene el triángulo?




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178. Área del cuadradito. Tenemos un cuadrado de 10 cm. de lado. ¿Cuánto vale el área

del cuadradito sombreado si A, B, C y D son los puntos medios de los lados del cuadrado?

179. Rectángulo, diagonal y triángulo. La longitud del rectángulo ABCD es 8 y su anchura 3. Dividimos la diagonal AC en tres partes iguales mediante los puntos E y F. ¿Cuánto vale el área del triángulo BEF?

180. Los dos círculos. El círculo 1, cuya área es 4, pasa por el centro del círculo 2 al que

es tangente. ¿Cuál es el área del círculo 2?

181. La zona sombreada. ¿Cuál es el área de la zona sombreada de la figura?




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182. Las 4 cabras del prado. En un prado cuadrado de 100 metros de lado, hay cuatro cabras. Cada una atada a una esquina del prado con una cuerda de 50 metros, lo que permite comer una cierta parte de la hierba del prado, quedando en el centro un trozo que ninguna de ellas alcanza. El propietario, tras vender tres de las cabras, alargó la cuerda de la que quedaba en una de las esquinas, de tal forma que el área sobre la que podía pastar era equivalente al área sobre la que pastaban anteriormente las cuatro. ¿Qué longitud le dio a la cuerda?

183. Fermat: el centro del triángulo. Dado un triángulo ABC, encontrar un punto cuya suma de distancias a los vértices sea mínima.

184. Las tres circunferencias. Dadas tres circunferencias iguales, tangentes dos a dos,

calcula el área encerrada entre las tres.

185. La suma de los catetos. El radio del círculo inscrito en un triángulo rectángulo mide 3 cm., y el del circunscrito, 5 cm. ¿Cuánto vale la suma de los catetos del triángulo?

186. La superficie del lago. La zona sombreada representa un lago. ¿Cuál es la superficie

del lago? Los terrenos que lo limitan son cuadrados.

187. Bonita propiedad. Demostrar que uniendo los puntos medios de los lados de un cuadrilátero se obtiene un paralelogramo.




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188. La recta AB es tangente a la circunferencia de centro O en el punto A. Dicha

circunferencia tiene 9 centímetros de diámetro. C pertenece a la circunferencia y el segmento CB mide las dos terceras partes del radio de la circunferencia. Determinar si el área sombreada es mayor, igual o menor que la de la cuarta parte del círculo.

189. Calcular el área exacta de la figura sombreada, sabiendo que ABCDEF es un hexágono regular, inscripto en la circunferencia de centro O, que la longitud de la misma es de 24 pi cm y que el ángulo ASE es recto.

190. Calcular el área exacta de la zona sombreada si : la curva interior es arco de la circunferencia de centro O ; la curva exterior es arco de la circunferencia de centro O’ ; las rectas BO y AO son perpendiculares y el segmento OA mide 4 metros.

191. Una correa continua corre, en torno de dos ruedas, de manera que éstas giran en sentidos opuestos. Las ruedas tienen 3 cm y 9 cm de radio y la distancia entre sus centros es de 24 cm. Determinar con error menor que 0,01 cm la longitud de la correa.




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6.4.3. Problemas numéricos 192. Ningún nº primo. En la decena: 531, 532, ..., 540, no hay ningún número primo. ¿Podría Vd. encontrar una decena menor en la que tampoco haya ningún número primo? 193. Fracciones extrañas. ¿Qué tienen de extraño las siguientes fracciones: 19/95, 26/65, 16/64? 194. Todos los primos. Los números primos detectados hasta ahora son muchísimos, pero

hay una cantidad finita de ellos. Multipliquémoslos todos entre sí. No, no se ponga a multiplicar; imagine que alguien ya hizo esa multiplicación por Vd. Llamemos al resultado P. a) ¿Con qué cifra del 0 al 9 termina P? b) La segunda cifra (la de las decenas), ¿es par o impar?

195. ¿Qué número soy? Soy capicúa, del 2 al 10 sólo hay un divisor mío, tengo cuatro cifras, pero algunos me ven como si fuera un 9. ¿Qué número soy?

196. Divisiones exactas. Escoge un número de tres cifras y forma otro repitiendo el primero. Por ejemplo: 234234. Divide este número entre 7; después el cociente entre 11 y, por último, el nuevo cociente entre 13. Obtienes divisiones parciales exactas y al final tu número inicial, ¿verdad? ¿Por qué?

197. La base desconocida. Mi hijo ha aprendido a contar según una base no decimal, de manera que en lugar de escribir 136 escribe 253. ¿Cuál es esta base?

198. Menor número. ¿Cuál es el menor número que, dividido por 2, 3, 4, 5 y 6 da respectivamente los restos 1, 2, 3, 4 y 5?

199. Paciencia y progresión. Las nueve cifras de los tres números abc def ghi son distintas. El segundo es el doble del primero, y el tercero es triple del primero. Encontrar los tres números.

200. Producto de cuatro enteros consecutivos. El producto de cuatro números enteros consecutivos es 3.024. ¿Cuáles son estos números?

201. El menor con x divisores. ¿Cuál es el menor número con 7 divisores y no más? ¿Y, con 8 divisores?

202. La cifra borrosa. Al hacer el siguiente producto: 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 y tomar nota del resultado: 1 3 0 7 X 7

4 3 6 8 0 0 0 una de las cifras (la 5ª) quedó borrosa y no sabemos exactamente cuál es. ¿Podría Vd. averiguarla, sin necesidad de repetir la operación?

203. Acerca de los primos. Encontrar 10 números consecutivos que no sean primos. 204. El gran desfile. Treinta soldados pueden desfilar de 1 en 1, de 2 en 2, de 3 en 3, de 5

en 5, de 6 en 6, de 10 en 10, de 15 en 15 y los 30 enfilados; es decir; de 8 formas diferentes sin que existan números desiguales de soldados en las líneas. ¿Cuál es el menor número de soldados que debe tener una compañía para poder desfilar de 64 formas diferentes?

205. Con 4 treses. Empleando cuatro treses (ni más ni menos) y las operaciones habituales: (+, -, x, /, , !, potencias, etc.) expresar todos los números del 1 al 10. Se puede usar la notación anglosajona 0'3=.3=3/10. También se admite: 0,3 período=0,3333...=3/9.

206. Con 4 cincos. Empleando cuatro cincos (ni más ni menos) y las operaciones habituales: (+, -, x, /, , !, potencias, etc.) expresar todos los números del 1 al 10. Se puede usar la notación anglosajona 0'5=.5=5/10. También se admite: 0,5 período=0,5555...=5/9.

207. Escritura del cien. Escribe el número 100 con nueve cifras idénticas. Éstas sólo podrán estar separadas por los signos matemáticos +, -, x, : y ( ).

208. El mayor producto. Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 escribe dos números de tres cifras cada uno cuyo producto sea lo mayor posible. Hay que usarlas todas.

209. Suma por producto. Encontrar dos números tales que el producto de la suma por el producto sea igual a 29.400.

210. Buscando un divisor. Buscar un divisor distinto de él mismo y de la unidad del número 11.111.111.111.111.111 (hay 17 unos).

211. Mayor y menor múltiplos de 11. ¿Cuál es el mayor múltiplo de 11 formado por las nueve cifras significativas sin que se repita ninguna? ¿Y el menor?

212. El numero 1.089. Tomamos un número de tres cifras, de modo que no sean las tres iguales; por ejemplo 637. A continuación formamos otro número, ordenando las cifras de mayor a menor. Resulta 763. Formamos otro, ordenándolas de menor a mayor. Resulta




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367. Restamos 763 - 367 = 396. A este último número le damos la vuelta, 693, y sumamos los dos últimos: 693 + 396 = 1.089. Repetimos con 475 ----> 754 - 457 = 297, 297 + 792 = 1.089. ¿Qué misterio es éste? ¿Será verdad que partiendo de cualquier número resulta siempre 1.089? ¿Por qué?

213. El número mágico 495. Escoge un número cualquiera de tres cifras, no todas iguales; por ejemplo, 373. Construye otro ordenando sus cifras de mayor a menor: 733. Ahora las ordenas de menor a mayor: 337. Resta: 733-337=396. Repite la operación unas cuantas veces con este resultado y los sucesivos. ¿Qué observas? ¿Qué pasa con un número de dos o cuatro cifras al hacer un proceso semejante?

214. Simplificaciones escandalosas. Profesor de matemáticas: Simplifica la fracción 26666/66665. Alumno: Quito un 6 del numerador y otro del denominador y queda 2666/6665. Profesor: Está bien. Pero puedes hacer algo mejor. Alumno: Es cierto; todavía puedo simplificar tres veces el 6 y quedará: 26666/66665 = 2666/6665 = 266/665 = 26/65 = 2/5. Profesor: ¡Bravo! ¡Te pongo un diez! ¡Puedes sentarte! Profesor: (Dirigiéndose a toda la clase) El método de simplificación empleado por su compañero es poco ortodoxo y sin embargo los resultados son exactos. Encontrar una fracción de la misma forma que pueda simplificarse de la misma manera y que sea equivalente a 1/2. Otra equivalente a 1/4. Otra equivalente a 1/5. ¿Qué relación cumplen a, b y c en las fracciones que pueden simplificarse de la forma indicada?

215. Curiosa propiedad. 173=4.913. Si ahora sumamos las cifras del resultado 4+9+1+3, volvemos a tener el 17. Lo mismo ocurre con el 18. 183=5.832. 5+8+3+2=18. No muy lejos de ellos hay otros dos números, consecutivos, cada uno de los cuales goza de la misma propiedad. ¿Cuáles son?

216. Con las cifras del 1 al 9. Los números del 2 al 9 pueden ser expresados como fracciones en las cuales cada dígito, excepto el 0, aparece una y sólo una vez. Por ejemplo: 2=13458/6729, 4=15768/3942. Encuentre fracciones similares que den por resultado 3, 5, 6, 7, 8 y 9.

217. Curiosa propiedad. 12²=144, 21²=441. 13²=169, 31²=961. Encontrar otro número de dos cifras que cumpla la misma propiedad.

218. Delante y detrás. En el resultado del producto 41096 x 83 = 3410968 se ha colocado el 3 delante y el 8 detrás y el producto es correcto. Encontrar otros productos que produzcan el mismo efecto, con el multiplicador de dos dígitos y el multiplicando con las cifras que se quiera.

219. Escritura del cien. Escribe el número 100 empleando cinco cifras iguales. Éstas sólo podrán estar separadas por los signos matemáticos +, -, x,:y ( ).

220. Error mecanográfico. Una mecanógrafa inexperta estaba copiando un libro de matemáticas, donde debía escribir 5423, escribió 5423, que es muy distinto. ¿Podría Vd. encontrar otras cuatro cifras, para que ambos modos de escribir signifiquen el mismo número? (En este caso el error mecanográfico no hubiese tenido importancia en el resultado).

221. Año de nacimiento. Restad a vuestro año de nacimiento la suma de las cuatro cifras que lo componen. Obtendréis así un resultado divisible por 9. ¿Por qué?

222. Múltiplo de 9. ¿Qué condición ha de cumplir un número para que al restarle la suma de sus cifras el resultado sea múltiplo de 9?

223. Fechas indeterminadas. En España, fechas como 6 de diciembre de 1977 suelen abreviarse 6-12-77; pero en otros países, como EE.UU., se da primero el mes y luego el día, escribiéndose 12-6-77. Si desconociésemos cuál de ambos sistemas se ha utilizado, ¿cuántas fechas quedarían indeterminadas en la notación abreviada?

224. Obreros de siempre. Dos albañiles se reparten en dos partes, no exactamente iguales, pero semejantes, a ojo de buen cubero, un montón de 100 ladrillos. El primero los va disponiendo en hileras de 5 ladrillos, y el segundo los coloca en columnas de 7 ladrillos. Cuando terminan su montón al primero le quedan dos ladrillos sin colocar, y al segundo le han sobrado 4. ¿Cuántos ladrillos había tomado cada uno?

225. Venta de pelotas. Por la venta de una partida de pelotas un señor obtiene 60.377 ptas. El precio de cada pelota fue inferior a 200 ptas. ¿Cuántas pelotas vendió?




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226. El número mágico 481. Escoge un número cualquiera de dos cifras, por ejemplo, 26. Construye el número siguiente: 26 + 26x20 = 546. Ahora, el número 546 le multiplicamos por el dicho 481: 546x481 = ... ¿Qué se obtiene? Otro ejemplo: 47 + 47x20 = 987. Ahora: 987x481 = ... ¿Qué se obtiene?

227. Cuadrado perfecto. Hallar una base de numeración distinta de 10 en la que 121 sea cuadrado perfecto.

228. El menor triplete. Hallar el menor triplete de números enteros tales que el mayor sea múltiplo del menor y que sus tres cuadrados estén en progresión aritmética.

229. Quinta potencia de un nº. Halla el número n sabiendo que n5 es un número de 7 cifras acabado en 7.

230. A buen fin, mejor principio. ¿En qué cifra termina 783578? 231. Tres agujas en un pajar. El número primo 37 es un divisor de 999. ¿Puede Vd.

encontrar tres números más que tengan todas sus cifras iguales y sean múltiplos de 37? 232. Cabras y ovejas. Un campesino tenía un rebaño de animales formado por cabras y

ovejas. El número de ovejas multiplicado por el número de cabras da un producto que reflejado en el espejo, muestra el número de animales del rebaño. ¿Cuántos animales de cada clase hay en el rebaño?

233. A²+2=B3. Hallar un cuadrado que se convierta en un cubo al sumarle 2. 234. El corral de palomo. El carpintero que construyó el corral para las ovejas de Palomo

descubrió que podía ahorrarse dos postes si el campo a cercar fuera cuadrado en lugar de rectangular.

De cualquiera de las dos maneras servirá para el mismo número de ovejas, pero si es cuadrado habrá un poste donde atar a cada oveja.

¿Cuántas ovejas había en el famoso rebaño? Se supone que en ambas forman los postes estaban separados por iguales distancias,

que las áreas del corral cuadrado y del rectangular eran iguales, y que el rebaño estaba formado por menos de tres docenas de ovejas.

235. El rebaño más pequeño. Un granjero que tiene un rebaño de ovejas muy numeroso descubre una gran singularidad con respecto a su número. Si las cuenta de dos en dos, le sobra 1. Lo mismo ocurre cuando las cuenta de 3 en 3, de 4 en 4, etc.... hasta de 10 en 10. ¿Cuál es el rebaño más pequeño que se ajusta a estas condiciones?

236. Curiosa persistencia del 5. 8 - 3 = 5 78 - 23 = 55 778 - 223 = 555 7778 - 2223 = 5555 ................... 82 - 32 = 55 782 - 232 = 55 555 7782 - 2232 = 555 555 77782 - 22232 = 55 555 555 ..........................

237. Notable sucesión de cuadrados. 12 = 1 112 = 121 1112 = 12321 11112 = 1234321 111112 = 123454321 1111112 = 12345654321 11111112 = 1234567654321 111111112 = 123456787654321 1111111112 = 12345678987654321 92 = 81 992 = 9801 9992 = 998001 99992 = 99980001 999992 = 9999800001 9999992 = 999998000001




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99999992 = 99999980000001 999999992 = 9999999800000001 9999999992 = 999999998000000001

238. El número 25. o El producto de cualquier número entero por 100 da como resultado el citado número con

dos ceros más a su derecha. o 2. El cociente de 100 entre 4 da como resultado el número 25. o 3. El producto de cualquier número por 25 se puede obtener dividiendo entre 4 el citado

número con dos ceros más a su derecha. o Ejemplo: 357419 x 25 = 8935475. Lo hemos obtenido así: 35741900 : 4 = 8935475. 239. El número 142.857.143. o El producto de cualquier número de 9 cifras por 1.000.000.001 da como resultado el citado

número de 9 cifras duplicado. o 2. El cociente de 1.000.000.001 entre 7 da como resultado el número 142.857.143. o 3. El producto de cualquier número de 9 cifras por el 142.857.143 se puede obtener

dividiendo el citado número de 9 cifras duplicado entre 7. o Ejemplo. 987.542.937 o x 142.857.143 ------------------------------ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ------------------------------------------- o 1 4 1 0 7 7 5 6 2 5 6 9 6 4 8 9 9 Lo hemos obtenido así: 987.542.937.987.542.937 : 7 = 141.077.562.569.648.991 240. El mágico número 68. Consiga una hoja de papel, recorte de ella un cuadrado de

aproximadamente 20 centímetros de lado. Doble el papel al medio cuatro veces, de modo que al desdoblarlo los pliegues formen una cuadrícula de 16 cuadrados pequeños. Ahora marque bien cada pliegue hacia adelante y hacia atrás, para que el papel se doble fácilmente en cualquier dirección. Numere los cuadrados de 1 a 16 como se muestra en la ilustración:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 Doble el papel a lo largo de los pliegues hasta que quede del tamaño de uno de los cuadrados pequeños. Su modo de doblarlo puede ser tan complicado como quiera; puede incluso meter pliegues dentro de pliegues. Teme unas tijeras y corte los cuatro bordes del paquete final para que le queden 16 cuadrados separados. Algunos de los cuadrados tendrán un número arriba, otros un número abajo. Sin dar la vuelta a ninguno de los cuadrados, desparrámelos sobre la mesa. Sume todos los números que hayan quedado boca arriba y escriba el resultado. El número que Vd. ha escrito, ¿será el 68? ¡Qué extraña coincidencia! ¿Verdad?




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241. Método árabe de multiplicación. Todavía lo practican algunos árabes de ciertas

regiones. En el ejemplo se muestra el producto de 346 x 2674 = 925204.

Realiza por este método los siguientes productos: a) 789 x 1358. b) 5432 x 9876. c) 1234 x 56789.

6.4.4. Soluciones a Problemas de trasfondo matemático 133. Primera solución: Trato de estimar las cantidades pedidas. Sospecho que el menor debe haber ahorrado aproximadamente $40. Como el mayor ahorró el triple, esta cantidad es de $120. Luego sumo ambas cantidades para ver si mi estimación responde a los datos del problema: $40+$120 = $160. ¡Me quedé corto! Pruebo con $50 para el menor. Entonces al mayor le corresponden $150. Sumo: $50+$150 = $200. ¡Me pasé, pero no mucho! Sigo tanteando. Supongo ahora que el menor ahorró $48. Entonces el mayor ahorró 3.$48 , o sea $144. Sumo ambas cantidades: $48+$144 = $192. ¡SI!, encontré la solución de mi problema. Respuesta: el hermano menor ahorró $48 y el hermano mayor $144. Habrás notado que esto de "probar" o "tantear" no nos resultó cómodo en esta oportunidad, ¡pero es totalmente válido!. Pero puede ocurrir que nos cansemos antes de llegar a la solución, o que el problema no tenga solución y no podamos convencernos de ello. Veamos, entonces, otra alternativa para resolver nuestro problema: Otra posible solución: Identifiquemos qué es lo que se pide y cuáles son los datos del problema. Llamemos x al dinero que ahorró el menor. Luego, el hermano mayor ahorró 3.x Ya que juntos ahorraron $192 debe ser: x+3x = $192. Resuelvo esta ecuación y encuentro que x=$48 . Es decir, el hermano menor ahorró $48. Como el hermano mayor ahorró 3.x, resulta: 3.$48 = $144. Solución: el hermano menor ahorró $48 y el mayor $144. 134. Primera solución




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Teniendo en cuenta que las cabezas deben sumar 60, probemos: Supongamos 50 corderos y 10 gallinas. Calculemos la cantidad de patas que tendría que haber: Corderos: sabiendo que cada uno tiene 4 patas, el total de patas de corderos se obtiene multiplicando por 4 la cantidad supuesta de corderos, es decir, 4.50 = 200. Gallinas: sabiendo que cada una tiene 2 patas, el total de patas de gallinas se obtiene multiplicando por 2 la cantidad supuesta de gallinas, es decir, 2.10 = 20. El total de patas sería 200+20 = 220. ¡Nos pasamos! Vamos a suponer ahora que hay 20 corderos y 40 gallinas. En este caso, procediendo como lo hicimos anteriormente, resulta que el total de patas sería de 160. ¡Nos quedamos cortos! Seguimos probando hasta encontrar que, si consideramos que hay 36 corderos y 24 gallinas, se verifican las condiciones del problema Solución:. En el corral hay 36 corderos y 24 gallinas. Segunda solución Podríamos suponer que las gallinas se paran en una pata y los corderos en las patas traseras; ahora tendríamos 60 cabezas y 96 patas. Como las gallinas tienen una sola pata en la tierra, las patas que quedan (96-60) corresponden cada una a un cordero; hay entonces 36 corderos y 24 gallinas. Tercera solución: Si llamamos "c" a la cantidad de corderos y "g" a la cantidad de gallinas, tenemos: 4.c + 2.g = 192 patas c + g = 60 cabezas De la segunda relación resulta g = 60 - c que reemplazada en la primera nos dice 4.c + 2.(60-c) = 192, es decir, 4.c + 120 – 2c =192, o sea, 2.c = 72, de donde c = 36 Para conocer g volvemos unos renglones atrás y nos encontramos con que g = 60 – c, es decir, g = 60 - 36 = 24 Solución: en el corral hay 36 corderos y 24 gallinas. 135. Así: 35 = 3.10 + 5. Y esto lo podemos hacer con cualquier número de dos cifras; en general: si ab es un número donde a representa la decena y b la unidad (no interpretar como producto), resulta ab = a.10 + b. Entonces volvamos a los datos de nuestro problema: "...la suma de las cifras es 11..." , es decir, a + b = 11, "...la cifra de las unidades es igual al duplo de la de las decenas disminuido en 1...", es decir , b = 2.a - 1 Bastará reemplazar en la primera ecuación el valor de b que nos brinda la segunda ecuación, es decir: a + (2.a – 1) = 11 es decir, 3.a – 1 = 11 o sea, 3.a = 12 de donde sale que a = 4 Para hallar el valor de b reemplazo en la segunda ecuación el valor de a encontrado: b = 2.4 – 1 = 7. Entonces, a = 4 y b = 7 . Solución: el número buscado es 47. 136. Solución: Ricardo pagó $48 y $24 por los libros y $8 por el cuaderno. 137. El rectángulo tiene 40 cm. de base y 20 cm. de altura, por lo tanto su área es 800 cm2. Cada círculo tiene un área de P: 100 cm2, por lo tanto entre los dos tienen un área de 200 p cm2. La diferencia entre ambas áreas será entonces de 200.(4 - P ) cm2. 138. Si llamamos S a la medida del ángulo suplementario de A (agudo) y C a la del complementario de A (agudo), resulta: S + A = Dos rectos y




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C + A = Un recto. Si restamos miembro a miembro, resulta: S - C = Un recto, que es lo que queríamos demostrar. 139. Si llamamos A a la medida del ancho y L a la del largo resulta A + L = mitad del perímetro. O sea

Luego L = 20 m. A= 8m Solución: El área es de 160 metros cuadrados 140. Si llamamos l y a a las medidas del rectángulo blanco será: l + a = 30 cm. Luego, como el largo es el doble del ancho será 2a + a = 30 cm. De donde a = 10 cm. y l = 20 cm. Entonces el rectángulo blanco tendrá 200 cm2 de área. El rectángulo exterior tiene 23 cm. de largo y 13 de ancho. Su área es entonces de 299 cm2. La diferencia entre ambos es de 99 cm2 , respuesta al problema. 141. El radio del círculo. Dado que la diagonal de 8 cm. tiene la misma longitud que el radio del círculo, la respuesta es 8 cm.

142. El lado del rombo. Basta con darse cuenta de que el lado AC es el radio de la circunferencia y AE y BD son diagonales de un rectángulo. Por lo tanto, son iguales en longitud. Lado del rombo = 9 m.

143. El ángulo de las diagonales. 60°. Basta observar de que se trata de un triángulo equilátero ABC trazando la diagonal BC de la otra cara. 144. Golpe de vista. MN = 6 centímetros. Trazando desde P y Q perpendiculares al segmento MN, obtenemos los puntos R y S. Como MR=RO y NS=SO y RS=PQ, surge la respuesta.




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145. El ángulo obtuso. 120°. Sólo hace falta terminar de dibujar el hexágono regular ABCDEF.

146. El ángulo exterior. Puesto que es isósceles: B = C = (180°-A)/2 = 130°/2 = 65. Por lo tanto: x= 180°-C = 180°- 65° = 115°. 147. Cuadrados que se cortan. El área comprendida entre ambos siempre es la cuarta parte de la de un cuadrado. Los triángulos ABC y CDE son iguales 148. Semejanza de rectángulos. No lo son, puesto que las fracciones: b/a y (b+2h)/(a+2h) son siempre distintas, salvo en el caso del cuadrado (a=b). 149. Paquete postal. Puede utilizar para el envío una caja en forma de cubo de 55 cm. de lado, pues una caja de estas características tiene una diagonal de 95 cm. 150. Los dos cuadrados. En lugar de inscribir el cuadrado como mostraba la figura anterior, hagámoslo girar 45 hasta la posición que muestra la figura siguiente. Se observa que el área del cuadrado mayor es el doble que la del inscrito; es decir, 8 unidades.

151. El cinturón de la tierra. Un sencillo cálculo confirma esta situación sorprendente. Siendo R el radio de la esfera (la Tierra o la naranja), el cordel ajustado mide 2 R. Cuando le agregamos un metro, el cordel pasa a medir 2 R+1. El radio que tiene esta nueva circunferencia, será (2 R+1)/2 . La diferencia de radios nos da la holgura que es: 1/2 = 15'91549... cm. en los dos casos. 152. El cordel y el cuadrado. La holgura es de 12'5 cm. en ambos casos. 153. El riel dilatado. Como la longitud total del riel es ahora 502 metros, cada mitad tendrá 251 metros. Aunque es evidente que la joroba adoptará una forma curva, podemos hacernos una idea de la situación suponiendo que son dos rectas, articuladas en el punto medio. Bajo esta suposición obtenemos una estimación de la altura x aplicando el teorema de Pitágoras: x2 = (2512-2502) . x = 22 metros. 154. El puente sin dispositivo de dilatación. Diez metros. La solución del problema es elemental, pero lo que sorprende es la magnitud de dicha solución. Se trata de hallar el tercer lado de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 1000'2/2 = 500'1 m. y 500 m. uno de los catetos. h2 = (500'1)2-(500)2 ===> h = 10 m. ¿Falló su intuición? 155. Nueve ángulos. El ángulo 2 mide 20°. Por tratarse de un triángulo isósceles (dos lados son radios) los ángulos 4 y 5 son iguales. La suma de los ángulos 2, 3 y 4 es 90°, pues el ángulo total abarca el diámetro. De estas dos condiciones se obtiene que la suma de los ángulos 2 y 4 es igual al ángulo 7. Y el ángulo 7 es igual a dos veces el ángulo 4. De donde el ángulo 2 es la mitad del ángulo 7. Por tanto el ángulo 7 mide 40°, los ángulos 4 y 5 miden 20° cada uno, el ángulo 6 mide 140°, el ángulo 3 mide 50° y los ángulos 8 y 9 son rectos. 156. Área de la corona circular. Sean R el radio del círculo mayor y r el radio del círculo menor:

r2 = R2-1.




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Área de la corona = PiR2 - Pir2 = PiR2 - Pi(R2-1) = (En cualquier viejo formulario de la geometría clásica, que tanto se estudiaba hace 50 años, viene dada directamente la fórmula de la corona circular en función de la cuerda del círculo mayor, tangente al menor: A = pi c/2.)Como en nuestro caso c/2=1, tenemos que A=pi 1=pi. 157. Simetría y reflexión. Querido Paco: Si se te ocurre poner esta carta frente al espejo, la leerás sin dificultad. Por cierto, que no me explico la razón de que Leonardo da Vinci escribiera siempre en la forma que ahora estás viendo. 158. Triángulos originales. Tienen la misma área. Ambos pueden dividirse por la mitad para dar lugar a dos triángulos 3, 4, 5. 159. El valor de la mediana. Basta recordar que todo triángulo rectángulo puede inscribirse siempre en un círculo cuyo diámetro CB=a=10 es la hipotenusa, así que AM=radio=5. 160. La esfera hueca y el geómetra sagaz. El volumen de la esfera es los 2/3 del volumen del cilindro en el cual aquella puede inscribirse: 4/3 Pi R3 = 2/3(2 PiR3). Cuando la esfera se hunde en el cilindro desaloja los 2/3 del agua contenida en ese cilindro. El aumento de peso es, pues, el peso de la esfera (40 kg) menos los dos tercios del peso del agua contenida inicialmente en el cilindro, lo cual, en kilos, es igual a los dos tercios del volumen del cilindro, expresado dicho volumen en decímetros cúbicos. 20 = 40 - 2/3V ===> V=30 dm3 El volumen de la esfera es V'=2/3V=20 dm3 y su densidad es 40/V'=2. 161. Las esferas pintadas. Los volúmenes y, por lo tanto, los pesos son proporcionales a los cubos de los radios. Las superficies y, por lo tanto, las cantidades de pintura son proporcionales a los cuadrados de los radios. Sean R y r los radios de las dos esferas, x el peso en gramos de la pintura necesaria para pintar la esfera pequeña.

r3/R3=8/27 luego r/R=2/3 r2/R2=x/900=4/9 x=400 gramos.

162. Giros, ¿posibles o imposibles?. Girar primero el libro 180 alrededor del lado vertical opuesto al lomo, y a continuación otros 180 alrededor de una recta que forme 45 con el eje anterior. En general, un giro de 180 alrededor de un cierto eje, seguido por otro giro de 180 alrededor de otro eje que forme un ángulo con el primero, resulta ser equivalente a una rotación de ángulo 2 alrededor de un eje perpendicular a los dos primeros y que pasa por su punto de intersección. 163. El embalse y el pez. Mil metros. El pez describe un ángulo recto con su trayectoria. Un ángulo recto, con su vértice en la circunferencia de un círculo, intersecta la circunferencia en los extremos de un diámetro. El diámetro es, por tanto, la hipotenusa de un ángulo recto con lados 600 y 800 metros. 164. El poste roto. x² + 16² = (32-x)²; x=12 palmos. 165. El cruce de la red. El problema no tiene solución. En efecto, cada uno de los tres rectángulos mayores de la figura tiene un número impar de segmentos. Como cada vez que se cruza un segmento se pasa de dentro a fuera del rectángulo o viceversa, quiere decirse que en los tres debe de haber una terminación de la línea en su interior para que la línea cruce el número impar de segmentos una sola vez, y como hay tres rectángulos mientras que la línea continua no tiene más que dos extremos, la solución del problema es imposible. 166. Los tres cuadrados. Solución 1: La siguiente construcción muestra la solución del problema.




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Solución 2: Esta otra construcción también muestra la solución del problema. Los triángulos APO y OQR son semejantes, por lo que los ángulos A y O son iguales. Y como C=B+O, C=B+A.

Solución 3. Usando trigonometría: tgA=1/3, tgB=1/2, tgC=1. tg(A+B) = ...= 1 = tgC. Luego A+B=C. 167. Ventana dividida en dos. La siguiente figura muestra la solución.

168. Monedas iguales dando vueltas. La moneda A da dos vueltas. Tome las dos monedas y lo comprobará. 169. Posavasos y servilleta. Colocamos uno de los vértices de la servilleta sobre cualquiera de los puntos de la circunferencia del posavasos. El ángulo definido por ABC es un ángulo recto, luego el segmento AC es un diámetro de la circunferencia. Trazamos con un lapicero la línea AC y repetimos la misma operación eligiendo como B cualquier otro punto del perímetro del posavasos. Una vez trazado el segundo diámetro ya está hallado el centro de la circunferencia.

170. El cubo y los planos. La diagonal es perpendicular a los planos en cuestión y forma ángulos iguales con todas las aristas del cubo, por lo que la proyección de una cualquiera de éstas sobre aquélla es constante. Luego, sin más que dibujar la figura, se concluye que la distancia entre los dos planos es 1/3 de la diagonal. 171. Cuatro círculos iguales. La misma que uno de los círculos, es decir, PI. La suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360 . Cada sector sombreado cubre una parte de un círculo cuya área depende del ángulo correspondiente. Los cuatro ángulos cubrirán un área igual a la de un círculo completo. 172. Los pintores de la catedral. Un metro cuadrado. Es el área de un cuadrado de un metro de lado. 173. Muy elegante. B puede tener cualquier valor. Sean x e y las dos partes en que se divide B, x la mayor. x/6 = B/10 x = 6B/10 y/6 = B/15 y = 6B/15 Como B = x+y. Sustituyendo: B = 6B/10 + 6B/15; o bien: B = 3B/5 + 2B/5. Igualdad que siempre se cumple para cualquier valor de B.




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174. La sombra desconocida. Observe que los triángulos sombreados de la figura son iguales por ser el triángulo rectángulo. El área de la sombra es la cuarta parte del área del cuadrado. Es decir, 36/4 = 9.

175. La mediana es menor. Sólo hay que repetir un triángulo igual al primitivo, opuesto por la base, como se muestra en la figura adjunta. Es evidente que la diagonal de un cuadrilátero no puede ser mayor que la suma de dos lados consecutivos. Dividiendo por dos la diagonal queda la mediana del triángulo, que por tanto no puede ser igual o mayor que la semisuma de los mismos lados.

176. Sí, son iguales. Veamos: (AB)2 = R2 + R2 = 2R2 Área del cuadrante = PiR2/4 Área del triángulo = R2/2 Área del segmento de arco AB = PiR2/4 - R2/2 Área de la luna = Pi(AB)2/8 - (PiR2/4 - R2/2) = PiR2/4 - PiR2/4 + R2/2 = R2/2. 177. La simple observación de la figura muestra la solución.

178. Área del cuadradito. La simple observación de la siguiente figura muestra que el área del cuadradito es la quinta parte del área del cuadrado. Es decir, 20 cm2.




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179. Rectángulo, diagonal y triángulo. Los triángulos AEB, BEF y FCB tienen la misma área pues tienen la misma altura e iguales bases. Así pues, cada uno la tercera parte del área del triángulo ABC, es decir: Área del triángulo BEF = 1/3 1/2 8 3 = 4. 180. Los dos círculos. Área(2)/Área(1) = Pi R2/Pi r2 = (2r)2/r2 = 4. Entonces: Área(2) = 4 Área(1) = 4 4 = 16. 181. La zona sombreada. Es la cuarta parte del área del cuadrado: 16/4 = 4.

182. Las 4 cabras del prado. El área utilizada por las cuatro es un círculo de radio 50 m., es decir S=Pi 50². La que queda sola ha de pastar sobre un cuadrante de círculo cuya superficie sea la misma: Pi x²/4 = Pi 50² ===> x=100 m. Justamente la longitud del campo.

183. Fermat: el centro del triángulo. Se construye un triángulo equilátero sobre cada lado del triángulo ABC. Uniendo los vértices de esos tres triángulos obtenemos un punto de intersección que cumple la condición requerida.

184. Las tres circunferencias. Área = R2 * Raíz de 3 - Pi * R2/2. Si R=1: Área = Raíz de 3 - Pi /2. 185. La suma de los catetos. 16 cm. Haga la figura correspondiente y lo verá. 186. La superficie del lago. El lago es un triángulo rectángulo. Para hallar su área, basta saber la longitud de los catetos: Área = 5x12/2 = 30 m². 187. Bonita propiedad. Trazando las diagonales del cuadrilátero se observa la propiedad inmediatamente. 188. Dado que OA=4,5cm

y

resulta:

OB=4,5cm+3cm=7,5cm




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Luego (aplicando el teorema de Pitágoras por ser el triángulo OBA rectángulo, dado que la tangente resulta perpendicular al radio en el punto de tangencia) es

de donde el área sombreada será

Calcularemos ahora el área del círculo p(4,5)2=20,25p luego el área de un cuarto del círculo es 5,0625p y como 5,0625p>13,5 (pues p>2,666...) La respuesta es que el área sombreada es menor que el área de la cuarta parte del círculo. 189. El radio de la circunferencia es de 12 cm pues 2pr=24p. La apotema del hexágono es

O sea El trapecio isósceles BEDC tiene por área 3 veces la del triángulo equilátero EOD o sea :

El triángulo rectángulo ABS tiene por área:

El área sombreada resulta entonces: 190.

o sea que

El semicírculo de centro O’ tiene área de o sea 4p m2 . El cuarto de círculo de centro O tiene área

. La diferencia entre este cuarto de círculo y el triángulo AOB es la zona no sombreada:(4p-8)m2 La diferencia entre el semicírculo y la zona no sombreada es la "media luna": 8m2.La suma entre las áreas de la "media luna" y el triángulo AOB es el área pedida: 16 m2. 191. Los triángulos OAP y PDO’ son semejantes. Si llamamos x al segmento OP resulta:

de donde x = 18 cm. Si llamamos y1 al segmento AP, aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo OAP resulta

cm; y si lo aplicamos al triángulo O’BP, llamando y2 al segmento PB resulta y2 =

cm.

Como el segmento AB = y2 + y1 será la medida del segmento AB de cm.




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Además, la tangente del ángulo convexo AOP (cateto opuesto sobre cateto adyacente) es igual

a y1 / OA. Por lo tanto dicha tangente vale , o sea ese ángulo mide 60 grados. Luego el ángulo cóncavo AOC mide 240°.

de donde resulta que la medida del segmento AC es de 12p cm.

Análogamente la medida del segmento BD = 4p cm.

Luego será: AC + BD + 2AB = cm.

Con la respuesta es 91,83 cm.

192. Ningún nº primo. 201, 202, ..., 210. Otras: 321, 322, ..., 330 y 511, 512, ..., 520. 193. Fracciones extrañas. Quitando en cada caso, el número repetido, el resultado es el mismo: 19/95=1/5; 26/65=2/5; 16/64=1/4. 194. Todos los primos. a) Termina en 0, porque P tiene los factores 2 y 5. b) La cifra de las decenas es impar; porque si fuera par, P sería múltiplo de 4, lo que es imposible. 195. ¿Que número soy? El 1001 que en numeración binaria corresponde al 9. 196. Divisiones exactas. 7 x 11 x 13 = 1001 > 234 x 1001 = 234234 > 234234 : 1001 = 234. Es decir, las dos únicas operaciones que hacemos son: 1ª) Multiplicar por 1001 el número de partida. 2ª) Dividir por 1001 de forma disfrazada. Obviamente debe dar el número de partida. abcabc = abc x 1001; abcabc/7x11x13 = abcabc/1001 = abc. 197. La base desconocida. Sea b la base desconocida. 2b²+5b+3=136. Resolviendo b=7. 198. Menor número. Sea n el número desconocido. Ya que n dividido por 2 da resto 1, n+1 es divisible por 2, ya que al dividir n por 3 da resto 2, n+1 es divisible por 3, etc. De la misma manera, n+1 es divisible por 4, 5 y 6. Ahora bien, el mínimo común múltiplo de 2, 3, 4, 5 y 6 es 60. Así: n+1=60. Luego n=59. 199. Paciencia y progresión. 219, 438, 657. 200. Producto de cuatro enteros consecutivos. 3.024 no acaba ni en 0 ni en 5; luego ninguno de los cuatro números es divisible por 5 ni por 10. Si los números fueran mayores que 10, el producto sería mayor que 10.000. Luego solamente tenemos como posibles soluciones 1-2-3-4 y 6-7-8-9. Evidentemente los buscados son 6-7-8-9. 201. El menor con x divisores. Con 7 divisores 64. Con 8 divisores 24. 202. La cifra borrosa. El resultado es múltiplo de cada uno de los factores. En particular de 11. Si aplicamos el criterio de divisibilidad por 11: Suma de las cifras pares: 3+7+7+3+8+0 = 28 Suma de las cifras impares: 1+0+X+4+6+0+0+ = 11+X La diferencia de estas cantidades ha de ser 0, 11 o múltiplo de 11, la única posibilidad es que X=6. Podríamos haber utilizado los criterios de divisibilidad por 3 o por 9; pero con ellos no siempre la solución es única. 203. Acerca de los primos. Formando el factorial de 11, tenemos que: 11!+2 es divisible por 2, 11!+3 es divisible por 3, ..., 11!+10 es divisible por 10, 11!+11 es divisible por 11, ya que el factorial de 11 es divisible por 2,3,...,11, al ser factores suyos. Por lo tanto una solución (hay infinitas), es: 39916802, 39916803, ..., 39916811. 204. El gran desfile. Hay que hallar el menor número que tiene exactamente 64 divisores. El menor número es 7560 soldados. 7560 = 23 33 5 7. El número de divisores es: (3+1)(3+1)(1+1)(1+1) = 4 4 2 2 = 64. 205. Con 4 treses. 1 = 33/33 = 3-3+3/3, 2 = 3/3+3/3, 3 = (3+3+3)/3, 4 = (3x3+3)/3, 5 = 3+(3+3)/3, 6 = 3+3+3-3=(3+3)x3/3, 7 = 3+3+3/3, 8 = 33/3-3, 9 = 3x3x3/3,




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10 = 3x3+3/3. 206. Con 4 cincos. 1 = 55/55 = 5-5+5/5, 2 = 5/5+5/5, 3 = (5+5+5)/5, 4 = (5x5-5)/5, 5 = 5+(5-5)/5, 6 = (5x5+5)/5, 7 = 5+(5+5)/5, 8 = 5!/(5+5+5), 9 = 5+5-5/5, 10 = (55-5)/5. 207. Escritura del cien 100 = 111-11+1-1+1-1 100 = 22x2x2+2+(2x2x2)+2 100 = 333:3-(3x3)-3+(3:3) 100 = 444:4-4-4-4+(4:4) 100 = 5x5x5-(5x5)+5-5+5-5 100 = 66+(6x6)-[(6+6):6x(6:6)] 100 = 7x7x (7+7):7+(7:7)+(7:7) 100 = 88+8+[8x8x8:8:(8+8)] 100 = (99+99):(9+9)x9+(9:9) 208. El mayor producto. Por ensayo y error se llega a 631 x 542. 209. Suma por producto. 29.400 = 24 25 49. Los números buscados son 24 y 25. 210. Buscando un divisor. Las condiciones son sencillas, pero la tarea es terriblemente complicada. Solamente tiene dos divisores: 2.071.723 y 5.363.222.357, y su descubrimiento es una tarea sumamente ardua. 211. Mayor y menor múltiplos de 11. Hay que recordar el criterio de divisibilidad por 11. Un número que cumpla el enunciado es, por ejemplo: 415.276.839. Para encontrar el número mayor hay que tratar que la diferencia entre las cifras del lugar impar sea 0, (que no se puede) u 11. Así sale: 987.652.413. De forma similar el más pequeño es: 123.475.869. 212. El numero 1.089. Si las cifras del número inicial son a, b y c, con a mayor que c. Dicho número es: 110a+10b+c. Al invertir las cifras se obtiene: 100c+10b+a. Restándolos se obtiene:

100a-100c+c-a = 100a-100c-100+90+10+c-a = 100(a-c-1)+90+(10+c-a) Invirtiendo sus cifras se obtiene: 100(10+c-a)+90+(a-c-1) Sumando los dos últimos sale: 900+180+9 = 1.089. 213. El número mágico 495. Se obtiene el número 495. Con dos cifras se obtiene el 9. Con cuatro cifras se obtiene el 6.174. 214. Simplificaciones escandalosas. 49999/99998 = 4999/9998 = 499/998 = 49/98 = 4/8 = 1/2. 16666/66664 = 1666/6664 = 166/664 = 16/64 = 1/4. 9999/99995 = 1999/9995 = 199/995 = 19/95 = 1/5. Sea n el número de las cifras b de la fracción. El numerador de la primera fracción es: a 10n + b (10n-1 + 10n-2 + ... + 1) = a 10n + b (10n-1)/9 El denominador de la primera fracción es: b (10n + 10n-1 + ... + 10) + c = b 10 (10n-1)/9 + c Transportemos a la fracción e igualemos los productos de los extremos y de los medios: a 10n c + b (10n-1)/9 c = b 10 (10n-1)/9 a + c a 9ac = 10ab - bc ===> b = 9ac/(10a-c) es la relación buscada. Curiosidad que viene a cuento: Simplificando la fracción (a2-b2)/(a-b) de la forma que suelen hacer algunos alumnos: «a

2 entre a es a, menos entre menos es + y b

2 entre b es b» se obtiene

el resultado correcto (a+b). 215. Curiosa propiedad. El 26 y el 27. 263=17.576. 273=19.683. 216. Con las cifras del 1 al 9. 3=17469/5823, 5=13485/2697, 6=17658/2943, 7=16758/2394, 8=25496/3187, 9=57429/6381. 217. Curiosa propiedad. El 11 y el 22.




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218. Delante y detrás. 8 x 86 = 688. 1639344262295081967213114754098360655737704918032787 x 71 = 116393442622950819672131147540983606557377049180327877. Los números 83, 86 y 71 son los únicos multiplicadores de dos dígitos que cumplen la condición, aunque el multiplicando puede aumentarse. Así, si prefijamos a 41096 el número 41095890, repetido cualquier número de veces, el resultado puede siempre multiplicarse por 83 de la forma dicha. 219. Escritura del cien. 111 - 11 = 100 33 x 3 + (3:3) = 100 5x5x5 - 5x5 = (5+5+5+5) x 5 = 100 . 220. Error mecanográfico. 2592 = 2592. Sea N=acba. a=1 se puede rechazar. a=2 daría: 2bc2=2bc2. Hágase la tabla de las primeras nueve potencias de 2 y los cuadrados de los primeros nueve números. El producto de los distintos elementos de las dos tablas ha de dar cuatro cifras y debe terminar en 2. Sólo se halla la solución: 2592 = 2592. Para a=3 se comprueba rápidamente que no tiene solución. 221. Año de nacimiento. Sea mcdu es el año de nacimiento. 1000m + 100c + 10d + u - (m+c+d+u) = 999m + 99c + 9d que es múltiplo de 9. 222. Múltiplo de 9. Ninguna. Es una propiedad general de los números naturales. Veamos para uno de tres cifras abc: 100a+10b+c-a-b-c=99a+9b=9(11a+b). 223. Fechas indeterminadas. Cada mes tiene 11 fechas ambiguas (pues la fecha 8-8-77 no es ambigua, por lo que en total hay 11x12=132. [La fecha 8-8-77, también podría considerarse «ambigua», porque no se sabe si el primer 8 significa mes o día. En este caso la solución sería 12x12=144] 224. Obreros de siempre. Por lo que hace a los restos, serían posibles estas soluciones: 82-18, 47-53, 12-88. La desigual distribución impide las soluciones extremas. Así: 47-53 es la buscada. 225. Venta de pelotas. El número 60.377 ha de ser el producto del número de pelotas vendidas, por el precio de cada una, que será inferior a 200. Por consiguiente, hay que buscar un divisor de 60.377 menor que 200. Ahora bien, la última cifra del importe total siendo un 7 ha de provenir del producto de 1x7 ó de 3x9. No tenemos más que buscar algún número primo que termine en cualquiera de estas cifras, divida a 60.377 y sea menor que 200. El único es 173, y, por tanto, el número de pelotas vendidas 349. El problema hubiera sido indeterminado, si los factores primos del número dado hubiesen sido más numerosos y tales que dos al menos fuesen inferiores a 200. 226. El número mágico 481. Se obtiene el número ababab. Siendo ab el número de dos cifras de partida. 227. Cuadrado perfecto. En todo sistema de numeración de base mayor que 2, el número 121 es cuadrado perfecto. En cualquiera de estas bases 11x11=121. 228. El menor triplete. 1, 5, 7. 229. Quinta potencia de un nº. Para que la cifra final sea un 7 ha de serlo la del número buscado. El único número acabado en 7 que elevado a 5 da un resultado de 7 cifras es 17. [Hay que hacer notar que todo número elevado a la 5ª potencia da un resultado cuya última cifra es la misma que la de su base] 230. A buen fin, mejor principio. En 9, ya que las potencias de 7 acaban en 7, 9, 3 ó 1, repitiéndose las terminaciones cada 4 factores. Dividiendo 87578 entre 4, como el resto es 2, quiere decirse que la potencia buscada acaba en 9. 231. Tres agujas en un pajar. No tres, sino un número infinito que cumplan tal condición: 999.999, 999.999.999, 999.999.999.999, etc. 232. Cabras y ovejas. 9 cabras y 9 ovejas. Su producto 81, se transforma en el espejo en 18, que es el número de animales del rebaño. 233. A²+2=B3. 5² + 2 = 33. Fermat demostró que es la única solución. 234. El corral de palomo. El señor Palomo debe haber tenido 8 ovejas en su rebaño. Ocho postes dispuestos en un cuadrado tendrán la misma superficie que diez postes dispuestos en un rectángulo con cinco postes en el lado más largo y dos en el lado más corto. 235. El rebaño más pequeño. mcm (2,3,4,5,6,7,8,9,10) + 1 = 2.521.




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