1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS

¡OJO! Errores comunes

sen (α + β) ≠ sen α + sen βcos (α + β) ≠ cos α + cos β

tg (α + β) ≠ tg α + tg β

sen (α + β) = sen α·cos β + sen β·cos α

cos (α + β) = cos α·cos β – sen α·sen β

tg (α + β) = tg α + tg β 1 - tg α·tg β

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA DIFERENCIA DOS ÁNGULOS

sen α = - sen (- α)cos α = cos (- α) tg α = - tg (- α)

¡OJO! Errores comunes

sen (α - β) ≠ sen α - sen βcos (α - β) ≠ cos α - cos β

tg (α - β) ≠ tg α - tg β

sen (α - β) = sen α·cos β - sen β·cos α

cos (α - β) = cos α·cos β + sen α·sen β

tg (α - β) = tg α - tg β

1 + tg α·tg β

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE Y DEL ÁNGULO MITAD

Usando las fórmulas trigonométricas de la suma

de ángulos para β = α, se deducen las razones

trigonométricas del ángulo doble

sen 2α = 2 sen α·cos α

cos 2α = cos2 α - sen2 α

tg 2α = 2 tg α

1 - tg2 α

sen =

cos

tg

2

=

1 - cos 2

=

β β

2 1 + cos

2β β

1 - cos β

1 + cos β2β

Usando las fórmulas trigonométricas del ángulo

doble de, , se deducen las razones

trigonométricas del ángulo mitad2β

2β

(2 · = β)

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TRANSFORMACIONES DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS EN PRODUCTO

Transformación de la suma de senos en producto

Usando las fórmulas trigonométricas del seno de la suma y de la diferencia y haciendo el siguiente cambio

se obtiene:

En ocasiones es útil emplear la expresión

sen A + sen B = 2 sen · cos

sen α · cos β = [sen (α + β) + sen (α – β)]

α + β = A α - β = B → α = β = A - B2

A + B2

A + B2

A - B2

12

Transformación de la diferencia de senos en producto

Por un procedimiento análogo al anterior, obtenemos la siguiente expresión:

sen A - sen B = 2 cos · sen A - B2 A + B

2

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TRANSFORMACIONES DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE COSENOS EN PRODUCTO

Transformación de la suma de cosenos en producto

Usando las fórmulas trigonométricas del coseno de la suma y de la diferencia y con el siguiente cambio

se obtiene:

En ocasiones es útil emplear la expresión

cos A + cos B = 2 cos · cos

cos α · cos β = [cos (α + β) + cos (α – β)]

α + β = A α - β = B → α = β = A - B2

A + B2

A - B2

A + B2

12

Transformación de la diferencia de cosenos en producto

Por un procedimiento análogo al anterior, obtenemos la siguiente expresión:

cos A - cos B = -2 sen · cos A - B2

A + B2

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TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO

Teorema del coseno

En un triángulo cualquiera, un lado elevado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble de su producto por el coseno del ángulo que forman.

a2 = b2 + c2 – 2bc cos Ab2 = a2 + c2 – 2ac cos Bc2 = a2 + b2 – 2ab cos C

Teorema del seno

En un triángulo cualquiera, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos:

asen A =

bsen B =

csen C