I.T.I. FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Física Mecánica

Félix Rodríguez - 10° Guía 7 – Las Leyes de la Dinámica III

POSTULADOS DE LA TERCERA LEY DE NEWTON Hemos visto las dos primeras leyes de Newton, las cuales, junto con ésta, la tercera ley, forman un marco conceptual bastante sólido para la mecánica. Analicemos la siguiente situación: un navegante ejerce una fuerza con su remo sobre el dique de un puerto y como consecuencia de ello, la embarcación se separa del dique (fig. 1). Pues bien, lo que ocurre es que a partir de la fuerza aplicada con el remo, el remero junto con la embarcación experimentan otra fuerza de sentido contrario a la que se aplicó sobre el dique.

Figura 1

La tercera ley de Newton, conocida como el principio de acción y reacción, sintetiza este tipo de situaciones de la siguiente manera: Si un cuerpo ejerce una fuerza (una acción) sobre otro, el otro ejerce una fuerza de igual valor (una reacción), pero de sentido contrario sobre el primero.

Las fuerzas de acción y reacción se aplican sobre cuerpos distintos. Así, en el ejemplo de la barca, si la acción la ejerce el navegante sobre el dique, la

reacción la ejerce el dique sobre éste y en consecuencia la barca se desplaza.

Veamos otro ejemplo. La Tierra ejerce sobre cualquier otro cuerpo una fuerza dirigida hacia abajo que es el peso del cuerpo y que hace que este caiga con la aceleración de la gravedad. Según el principio de acción y reacción, también el cuerpo ejerce una fuerza de igual módulo y de sentido contrario sobre la Tierra. Ahora bien, la aceleración que experimenta la Tierra no se percibe ya que, de acuerdo con la segunda ley de Newton, aplicando la misma fuerza, un objeto de mayor masa experimenta menor aceleración que uno de menor masa. Puesto que la masa de la Tierra es enorme (6.0 · 1024 kg), la aceleración que experimenta es mínima.

Tenemos pues que, cuando dos cuerpos interactúan mutuamente se ejercen fuerzas de igual módulo pero de sentido contrario, llamadas acción y reacción, respectivamente. Cualquiera de las dos fuerzas puede ser la acción y la otra la reacción. Por ejemplo, en el caso del peso del objeto, la acción podría ser la fuerza de la Tierra sobre éste y la reacción la fuerza que ejerce el objeto sobre la Tierra, o bien podría ser al contrario.

Conviene anotar que las fuerzas de acción y reacción entre pares de cuerpos, aunque sean de igual módulo y de sentido contrario, no ocasionan que el conjunto esté en reposo o que se mueva con velocidad constante, ya que, como lo hemos dicho, cada una actúa sobre un cuerpo distinto y por tanto ninguno de los dos puede estar en reposo, a menos que existan otras fuerzas que contrarresten a las anteriores.

La aclaración anterior es muy importante, pues con mucha frecuencia se confunde una pareja de tipo acción y reacción con otras parejas de fuerzas que mantienen en equilibrio a algún cuerpo. Por ejemplo, consideremos un bloque situado sobre una mesa (fig. 2). Sobre el bloque se ejercen dos fuerzas. Por un lado el peso, w, y por otro lado la fuerza dirigida hacia arriba y con igual módulo que . La fuerza es ejercida por la mesa, que es la que mantiene en reposo al bloque e impide que se acelere precipitándose hacia el suelo. Es evidente que estas dos fuerzas no forman una pareja de acción y reacción, pues ambas actúan sobre el bloque. Ahora bien, el bloque ejerce una fuerza de atracción sobre la Tierra,

fuerza que esta dirigida hacia arriba y tiene el mismo modulo que el peso w. De esta forma, w y w' forman una pareja de acción y reacción. Además el

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bloque ejerce una fuerza vertical y hacia abajo, sobre la mesa, fuerza que

también tiene el mismo módulo que el peso y que, junto con forma otra pareja de acción y reacción.

Observa que si el bloque fuera muy pesado, la fuerza podría llegar a romper la mesa, rompiendo así el equilibrio y haciendo desaparecer la pareja

de acción y reacción formada por .

Figura 2

CANTIDAD DE MOVIMIENTO Sabemos que un objeto en movimiento opone resistencia sobre otro que intente detenerlo. Así mismo, resulta más difícil detener un objeto cuanto más rápido se mueva o cuanto mayor sea su masa. Por ejemplo, detener un objeto de 1 kg que se mueve a una velocidad de 1 m/s, puede resultar tan difícil como detener un objeto de 0,01 kg con velocidad de 100 m/s (fig. 3).

Tenemos entonces que, para caracterizar el movimiento de un cuerpo, debemos referirnos a su masa y a su velocidad. La relación entre masa, velocidad y movimiento se conoce como cantidad de movimiento lineal o momentum lineal de un cuerpo y fue definida por Newton en su obra Philosophiae Naturalis Principia Matemática, en 1686. Newton lo expresó de la siguiente manera:

La cantidad de movimiento es la medida del mismo, que nace de la velocidad y de la cantidad de materia, conjuntamente.

Observa que Newton menciona en su definición, la cantidad de materia, sin embargo, cuando definimos masa, dijimos que ésta es una medida de la resistencia que opone un objeto a un cambio en su estado de movimiento.

Figura 3

El momentum lineal o cantidad de movimiento lineal, de un cuerpo se define como el producto de la masa del cuerpo por la velocidad y se expresa como sigue:

La cantidad de movimiento lineal en el S.I. se expresa en

En adelante para referirnos a la cantidad de movimiento lineal o momentum lineal de un objeto, diremos simplemente la cantidad de movimiento. Al ser el producto de una magnitud escalar (la masa, m) por una magnitud vectorial (la velocidad, v), tenemos que la cantidad de movimiento es un vector, cuya dirección y sentido coinciden con los de la velocidad. Es decir, se trata de un vector tangente en cada punto a la trayectoria descrita por el cuerpo (fig. 4).

Un cuerpo aumenta su cantidad de movimiento como resultado de las fuerzas que producen una aceleración, aumentando así su velocidad. Podríamos pensar que un objeto también aumenta la cantidad de

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movimiento si su masa aumenta, y si mantiene una misma velocidad. De manera análoga, un objeto disminuye la cantidad de movimiento cuando disminuye la velocidad o disminuye la masa, sin variar su velocidad.

Figura 4

IMPULSO MECÁNICO Newton estableció que la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual a la variación en el tiempo de la cantidad de movimiento de dicho cuerpo. Esto, se expresa matemáticamente como:

Esto quiere decir que cuanto más intensa es una fuerza, más rápido cambia la cantidad de movimiento del objeto.

Así tenemos, como lo muestra la fig. 5, que si un objeto en el instante t = 0 s

tiene una cantidad de movimiento inicial, , y en un instante posterior t, tiene una cantidad de movimiento igual a .

Entonces, la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es:

Que equivale a decir:

Lo cual concuerda con la ecuación fundamental de la dinámica

Esta expresión, a la que llamamos la segunda ley de Newton no se encuentra en los Principios de Newton y sólo apareció varias décadas después en la obra del matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783).

Figura 5

Ahora bien, a partir de las ecuaciones anteriores, podemos afirmar que si la fuerza neta es constante, entonces:

El producto de la fuerza que actúa sobre un cuerpo, por el tiempo durante el cual está actuando, recibe el nombre de impulso mecánico, l.

Por tanto, , lo que equivale a decir:

Es decir, que la variación de la cantidad de movimiento de un cuerpo es igual al valor del impulso que actúa sobre el cuerpo. Esta relación permite explicar que fuerzas débiles que actúan durante un intervalo de tiempo largo, pueden producir efectos comparables con los de fuerzas intensas que actúan durante intervalos de tiempo cortos.

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El impulso se expresa en el S.l. en N · s. Por tanto, como el impulso es el cambio en la cantidad de movimiento, la cantidad de movimiento se puede expresar también como N · s.

CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Considera un sistema como el que se muestra en la figura 6, formado por dos cuerpos que sólo experimentan las fuerzas que actúan sobre cada uno como resultado de unas acciones mutuas entre ellos. En este caso decimos que los dos cuerpos conforman un sistema aislado. Un sistema es aislado cuando la fuerza neta procedente del exterior, llamada fuerza externa, es cero.

Figura 6

De acuerdo con el principio de acción y reacción, la fuerza que ejerce el

cuerpo 1 sobre el cuerpo 2 es de igual valor y de sentido contrario a la

fuerza que ejerce el cuerpo 2 sobre el cuerpo 1 . Es decir, .

Teniendo en cuenta que, de acuerdo con la segunda ley de Newton expresada en términos de la cantidad de movimiento, la fuerza es igual a la variación de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo, tendremos que las fuerzas que experimentan los objetos 1 y 2 valen, respectivamente:

Como el tiempo durante el cual el objeto 1 ejerce fuerza sobre el objeto 2 es el mismo durante el cual el objeto 2 ejerce fuerza sobre el objeto 1, tenemos que, los cambios de las cantidades de movimiento (fig. 7) se relacionan

mediante la expresión:

Es decir,

Figura 7

Lo que significa que una disminución en la cantidad de movimiento del objeto 1 se manifiesta como un aumento de la cantidad de movimiento del objeto 2.

Dicho de otra manera, constante.

Este resultado muestra que la suma de las cantidades de movimiento de dos objetos que conforman un sistema aislado, antes de que interactúen, es igual a la suma de las cantidades de movimiento de los dos objetos, después de la interacción.

Este resultado se conoce como el principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal y ha sido enunciado de la siguiente manera:

La cantidad de movimiento de un sistema aislado permanece constante.

El principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal es consecuencia de la tercera ley de Newton. Este principio también es válido para un sistema aislado que contenga dos o más partículas, ya que las

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fuerzas son aditivas, es decir, que en un sistema, por ejemplo con tres partículas que interactúan, cada uno experimenta como fuerza la suma de las fuerzas que le ejercen los otros dos.

SISTEMAS DE PROPULSIÓN Una de las aplicaciones del principio de acción y reacción es la propulsión a chorro. Los gases que escapan del combustible quemado son expulsados por la parte posterior de un cohete, el cual recibe una aceleración hacia adelante debido a la fuerza que le ejercen los gases al salir del motor.

Analicemos la situación en términos de la conservación de la cantidad de movimiento. Si un cohete despega a partir del reposo, en cualquier instante posterior, la cantidad de movimiento total de los gases que escapan debe ser de igual módulo y de sentido contrario a la del cohete.

Cuando el cohete expulsa los gases, además de recibir aceleración por efecto de la reacción a la fuerza que le ejercen los gases, disminuye su masa. Esto ocasiona un aumento adicional en la aceleración. En el despegue de un cohete, los gases son expulsados a miles de metros por segundo. La velocidad de salida de los gases y la masa de ellos es aproximadamente constante, lo cual significa que la fuerza que actúa sobre el cohete es constante, pero debido a la progresiva disminución de masa total del cohete, la aceleración de éste es cada vez mayor.

Con el fin de reducir aún más la masa de un cohete durante el vuelo y así aumentar la velocidad del mismo, se construyen cohetes de varias etapas. En la medida en que se va alcanzando cada etapa, el cohete se separa de una de sus partes y así va adquiriendo cada vez mayor velocidad.

COLISIONES Comúnmente, observamos cómo uno o más objetos chocan, por ejemplo, unas bolas de billar o una colisión entre automóviles. A nivel microscópico, la materia se comporta de forma similar. Por ejemplo, las moléculas de un gas colisionan entre sí continuamente.

En general, decimos que una colisión es una interacción entre objetos, en la que hay transferencia de la cantidad de movimiento, entre los objetos involucrados.

Así, en ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento del sistema conformado por los objetos que interactúan, antes de la colisión debe ser igual a la cantidad de movimiento después de la colisión. Es decir, cuando ocurre una colisión, para la cantidad de movimiento total, se cumple que:

E J E M P L O 1

Un instante antes de que una viga de madera de 490 N comience a deslizarse sobre una superficie horizontal de cemento, se aplica una fuerza máxima de fricción estática de 392 N, como se ve en la figura. Calcular el coeficiente de fricción estático entre la madera y el cemento.

Datos Fórmula

Sustitución y resultado

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E J E M P L O 2

Para que un bloque de madera de 60 N iniciara su deslizamiento con una velocidad constante sobre una mesa de madera, se aplicó una fuerza de 21 N. Calcular el coeficiente de fricción dinámico entre las dos superficies.

Datos Fórmula

Sustitución y resultado

E J E M P L O 3

Calcular la fuerza que se necesita aplicar a un cuerpo de 500 N para deslizarlo horizontalmente con una velocidad constante sobre una superficie cuyo coeficiente de fricción dinámico es de 0.4.

Datos

Solución Como la fuerza que se requiere aplicar es de la misma magnitud que la fuerza de fricción dinámica pero de sentido contrario, tenemos que:

E J E M P L O 4

Calcular la fuerza que se debe aplicar para deslizar al bloque de la siguiente figura a velocidad constante, si tiene un peso de 150 N y el coeficiente de fricción dinámico es de 0.3.

Solución Diagrama de cuerpo libre:

Como se observa, la fuerza que se aplica al bloque tiene un ángulo de 20° respecto a la horizontal, por tal motivo su componente horizontal Fx, es la que desplaza al bloque y tendrá un valor igual pero de sentido opuesto a la fuerza de fricción Fd. Por otra parte, la componente vertical de la fuerza, o sea, Fy, al actuar sobre el cuerpo con sentido hacia arriba contribuye a levantarlo reduciendo la fuerza de fricción entre las superficies, por lo que la

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fuerza normal será igual al peso del bloque menos la componente Fy de la fuerza. Si se resuelve tenemos:

De la ecuación 1:

De la ecuación 2:

Sustituyendo 4 en 3:

( )

Como:

Sustituyendo 6 y 7 en 5:

Donde la fuerza que se debe aplicar al bloque es de 43.28 N con un ángulo de 20° respecto a la horizontal para que se desplace con una velocidad constante.

E J E M P L O 5

Se aplica una fuerza de 40 N durante 5 segundos, sobre un bloque de 90 N para desplazarlo sobre una superficie horizontal, con un coeficiente de fricción dinámico de 0.27. Calcular: a. La aceleración del bloque. b. La velocidad que llevará a los 5 segundos. c. La distancia que recorre el bloque al cabo de los 5 segundos.

Datos

Solución a. La aceleración que recibe el cuerpo se debe a la fuerza resultante (FR)

que actúa sobre él y cuyo valor es:

b. Como la aceleración es constante la velocidad a los 5 segundos será:

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c. La distancia recorrida a los 5 segundos es:

E J E M P L O 6

Una motocicleta cuyo peso es de 1800 N se mueve a una velocidad de 60 km/h. Al aplicar los frenos se detiene a una distancia de 25 m. Calcular la fuerza de fricción promedio que la detiene.

Datos

Solución Como las unidades deben estar en el mismo sistema de unidades convertimos la velocidad a m/s:

La fuerza de fricción que detiene a la motocicleta es igual a:

como

; sustituyendo m en la ecuación, tenemos:

Puesto que desconocemos el valor de la aceleración, la calculamos a partir de una de las ecuaciones usadas para la velocidad final. Deducción de las ecuaciones utilizadas en el MRUA para movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Cuando la motocicleta se detiene Vf = 0; donde: 0 = , despejando

a la aceleración tenemos:

⁄

Sustituyendo en la ecuación 1:

Por tanto, la fuerza de fricción promedio que detiene a la motocicleta es de 1019.39 N

E J E M P L O 7

Se aplica una fuerza de 120 N formando un ángulo de 30° con la horizontal sobre un bloque de 220 N, como se ve en la figura. Si el bloque adquiere una aceleración de 2 m/s2 calcular el coeficiente de fricción dinámico.

Solución Diagrama de cuerpo libre:

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Como el bloque recibe una aceleración de 2 m/s2 es evidente que la fuerza resultante (FR) que la provoca equivale a la diferencia entre la componente (Fx) de F = 120 N y la fuerza de fricción dinámica (Fd), donde:

despejamos :

Como

tenemos que N vale:

E J E M P L O 8

Un bloque de 50 N se desliza sobre una tabla existiendo un coeficiente de fricción dinámica de 0.3. Calcular la fuerza que se debe aplicar al bloque para que se mueva con una velocidad constante si: a. La tabla se encuentra sobre una superficie horizontal, [figura (A)]. b. La tabla forma un ángulo de 30° respecto al plano horizontal [figura (B)]. Solución a. Como la fuerza que se aplica para que el bloque se mueva a velocidad

constante es igual a la fuerza de fricción dinámica, tenemos:

Figura A

Figura B

b. Diagrama de cuerpo libre:

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Como se observa, el peso del bloque es una fuerza que actúa verticalmente sobre él y se descompone en dos fuerzas menores, una perpendicular al plano, es decir, Py y otra paralela al plano, es decir, Px. La fuerza normal que tiende a mantener unido el bloque a la tabla será igual y opuesta a la componente Py del peso, ya que su componente. Px actúa paralelamente al plano oponiéndose al movimiento ascendente del bloque, tal como se opone la fuerza de fricción dinámica. Por tanto, de acuerdo con las ecuaciones de equilibrio tenemos:

Los valores de las componentes del peso son:

De acuerdo con la ecuación 1 tenemos:

Por tanto, la fuerza de fricción dinámica es:

Por lo que al sustituir valores en la ecuación 2 tenemos:

(valor de la fuerza necesaria para que el bloque ascienda con una velocidad constante).

T R A B A J O E N C L A S E

1. Un bloque de madera de .20 N es jalado con una fuerza máxima estática de 12 N; al tratar de deslizarlo sobre una superficie horizontal de madera, ¿cuál es el coeficiente de fricción estático entre las dos superficies?

2. Se aplica una fuerza de 85 N sobre un cuerpo para deslizado a velocidad constante sobre una superficie horizontal. Si la masa del cuerpo es de 21.7 kg, ¿cuál es el coeficiente de fricción dinámico?

3. Se requiere mover un bloque de 30 N sobre una superficie horizontal a una velocidad constante, si el coeficiente de fricción dinámico es de 0.5, determine la fuerza que se necesita para moverlo y la aceleración que adquirirá el bloque si se le aplica el doble de la fuerza calculada.

4. Calcular la fuerza que se debe aplicar para deslizar un bloque de 200 N con velocidad constante sobre una superficie con coeficiente de fricción igual a 0.4, al presentarse las siguientes situaciones: a. Se empuja el bloque con un ángulo de 30°. b. Se jala el bloque con un ángulo de 30°.

5. Un camión de carga cuyo peso es de 98000 N viaja a una velocidad de 70 km/h. el conductor aplica los frenos y lo detiene a una distancia de 100 m. ¿Cuál es la fuerza de fricción promedio que lo detiene?

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6. Sobre un bloque de 40 N se aplica una fuerza de 15 N formando un ángulo de 250 con la horizontal. Si el bloque adquiere una aceleración de 1.5 m/s2 calcular el coeficiente de fricción dinámico.

7. Un bloque de 30 N se desliza sobre una tabla al existir un coeficiente de fricción dinámico de 0.4. Determinar la fuerza que se debe aplicar al bloque para que se mueva con una velocidad constante cuando: a. La tabla se encuentra sobre una superficie horizontal. b. La tabla forma un ángulo de 20° respecto al plano horizontal.

8. Se aplica una fuerza de 25 N durante 4 segundos sobre un bloque de 55

N para desplazarlo en una superficie horizontal con un coeficiente de fricción dinámico de 0.3. Calcular la velocidad que adquiere el bloque a los 4 segundos y la distancia recorrida en ese tiempo.

T R A B A J O E N C A S A

1. Se coloca un cartón sobre un par de rodillos y sobre él se coloca un

soporte liviano que sostiene un péndulo. Al hacer oscilar el péndulo, el carrito se mueve hacia adelante y hacia atrás. Explicar este hecho.

2. ¿Los cohetes necesitan del aire que los rodea para impulsarse? ¿Qué pasa en el espacio vacío?

3. Aplicar el principio de acción y reacción para explicar los movimientos de un nadador.

4. El peso es la fuerza que ejerce la Tierra sobre los objetos. ¿Cuál es la

fuerza de reacción correspondiente al peso tomado como acción? 5. Si la fuerza con que la Tierra atrae una bola de plomo de 200 g es el

doble que la fuerza con la que atrae a otra bola de plomo de 100 g, ¿por qué cuando se dejan caer a la vez las dos desde la misma altura no se observa que la de doble peso, llegue en menor tiempo al suelo?

6. En términos de la conservación de la cantidad de movimiento, ¿por qué

retrocede un arma cuando es disparada? 7. Una persona empuja una caja con una fuerza de 20 N, ¿cuál es la fuerza

de reacción de la caja sobre la persona? 8. El mejor tiempo alcanzado en una carrera de 100 metros planos es 8,6

segundos. ¿Cuál es la cantidad de movimiento promedio de un corredor de 60 kg, que termina la carrera en dicho tiempo?

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9. Una bola de billar de 200 g se mueve con una rapidez de 12 m/s y choca con la banda formando un ángulo de 30°. Si rebota con una velocidad de 10 rn/s y un ángulo de 45°, entonces, ¿cuál es el cambio en la cantidad de movimiento?

10. Una pelota de 200 g se mueve con una velocidad de 100 cm/s en la

dirección positiva del eje x y choca de frente con una pelota de la misma masa, pero que estaba en reposo. ¿Cuáles son las velocidades de las dos pelotas, si el choque fue totalmente elástico?

BIBLIOGRAFÍA

Mc Graw Hill Serway, Física Tomo II

Prentice Hall, Wilson - Buffa, Física

Editorial Voluntad Física Investiguemos

Wikipedia. Enciclopedia libre Apuntes de Física Luis Alfredo Caro Fisicanet

Ver FÍSICA OLIMPIADAS 10 (Editorial Voluntad) Ejercicios de página de Internet fuerzas mecánicas. Ejercicios y laboratorios virtuales

www.educaplus.org www. Ibercajalav.net/

Santillana, Física 1 Nueva edición.

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