Reader - meneerriksen.nlmeneerriksen.nl/onewebmedia/Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 5... · 12 Een vlieger heeft een diagonaal van 24cm en een oppervlakte van 144cm 2. Bereken

1 1

1 1

ReaderWiskunde MBO Niveau 4 Periode 52012-2013

Transfer Database

M.van der Pijl

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal

2 2

2 2

ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs,Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie en Hoger Beroepsonderwijs.

Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van onze leermiddelen: www.thiememeulen-hoff.nl of via onze klantenservice (088) 800 20 16.

© ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2012.

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geau-tomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch,mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toe-stemming van de uitgever.

Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16 Auteurswetjo het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl., dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingente voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KBHoofddorp (www.cedar.nl/pro). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen,readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) dient men zich tot de uitgever te wenden.Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs ziewww.auteursrechtenonderwijs.nl.

De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenendie desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

3 3

3 3

1 Vierhoeken 1

1.1 Vierhoeken 11.2 Oppervlakte en omtrek van rechthoeken en vierkanten 21.3 Oppervlakte parallellogram, ruit en vlieger 41.4 Oppervlakte trapezium 6

2 Veelhoeken 9

2.1 Regelmatige veelhoeken 92.2 Het getal pi 10

3 Cirkel en cirkelsector 15

3.1 Cirkel 153.2 Cirkelringen 183.3 Cirkelsector 20

4 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 24

4.1 Balk en kubus 244.2 Het prisma en de piramide 264.3 De bol 304.4 De cilinder 324.5 De kegel 34

5 Ruimtelijke lichamen in de praktijk 39

5.1 Samengestelde lichamen 395.2 Berekeningen van lijnstukken in lichamen 52

4 4

4 4

5 5

5 5

1 Vierhoeken

A

B

CD

Figuur 1

De hoeken van een vierhoek zijn samen 360° . Dit is gemakkelijk te zien als we in de vierhoek een diagonaal trekken: we krijgen dan twee driehoeken. Zie figuur 1. Van een driehoek weten we immers dat de som van de hoeken 180° is.

oefeningen

1

1

1 1

1 2 1

1

1

2

2 2

2

2

2

34 5

6

P U

Z

Q

S

R

T

Figuur 2

a Welke vierhoeken bevat de gelijkzijdige driehoek PQR in figuur 2?

1 Vierhoeken

© ThiemeMeulenhoff — 11 september 2012

6 6

6 6

b Bereken van deze vierhoeken ook de grootte van de hoeken.

We gaan de volgende vierhoeken behandelen:

1. rechthoek2. vierkant3. parallellogram4. ruit5. vlieger6. trapezium

Ingewikkelder figuren kunnen we meestal wel samenstellen uit rechthoeken, driehoeken en parallellogrammen. We zullen zien hoe we de omtrek en de oppervlakte kunnen berekenen.

2 opperVlakte en omtrek Van rechthoeken en Vierkanten

Een rechthoek is een figuur waarbij de twee tegenover elkaar liggende zijden even lang en evenwijdig aan elkaar zijn. Alle hoeken zijn 90° . Zie figuur 3a.De oppervlakte kunnen we berekenen met lengte maal breedte. In formulevorm: A l b= ⋅

De omtrek kunnen we berekenen door twee maal de lengte te nemen en twee maal de breedte hierbij op te tellen, in formulevorm: O l b= ⋅ + ⋅2 2

Een bijzonder soort rechthoek is het vierkant: hierbij zijn alle zijden even lang. Zie figuur 3b. Voor het berekenen van de oppervlakte geldt zijde maal zijde, of ook wel de zijde in het kwadraat. In formulevorm: A z= 2

De omtrek berekenen we door viermaal de zijde te nemen, in formulevorm: O z= ⋅4

A lengte

breedte

B

CD

A zijde

zijde

B

CD

Figuur 3 – a. Rechthoek b. Vierkant


2 Vierhoeken

7 7

7 7

GegevenEen rechthoek heeft een lengte van 8cm en een breedte van 6cm .

Gevraagda. Bereken de omtrek.b. Bereken de oppervlakte.

Oplossinga. O l b O= ⋅ + ⋅ ⇒ = × + × =2 2 2 8 2 6 28cm cm cmb. A l b A= ⋅ ⇒ = × =8 6 48 2cm cm cm

oefeningen

2 Een rechthoek heeft een lengte van 12cm en een breedte van 8cm . a Bereken de omtrek.

b Bereken de oppervlakte.

3 De oppervlakte van een rechthoek is 49 2 2, cm , terwijl de breedte 4 1, cm is. a Bereken de lengte.

b Bereken de omtrek.

4 De omtrek van een rechthoek is 35 6, cm . De breedte is 6 2, cm . a Bereken de lengte.


Vb. 1


Vierhoeken 3

8 8

8 8

5 Een vierkant heeft een zijde van 13cm . a Bereken de omtrek.


6 Een vierkant heeft een omtrek van 32 8, cm . a Bereken de lengte van de zijde.


7 Een vierkant heeft een oppervlakte van 123 21 2, cm . a Bereken de lengte van de zijde.

b Bereken de omtrek.

3 opperVlakte parallellogram, ruit en Vlieger

Een parallellogram is een vierhoek waarbij de zijden die tegenover elkaar liggen, ge-lijk en evenwijdig zijn. De overstaande hoeken zijn gelijk. Zie figuur 4a en figuur 4b.De oppervlakte van een parallellogram berekenen we met basis maal de hoogte. In formulevorm: A b h= ⋅

A B

P

S

Q

R

K

M

N L

CDhoogte

zijde of basis

zijde ofbasis diagonalen

hoogte

Figuur 4 – a. Parallellogram b. Parallellogram c. Ruit


4 Vierhoeken

9 9

9 9

Een ruit is een bijzondere vorm van een parallellogram. Zie figuur 4c:

a. Alle zijden zijn even lang.b. De diagonalen staan loodrecht op elkaar en delen elkaar doormidden.

De oppervlakte van een ruit kunnen we op twee manieren berekenen:

1. met de formule voor de oppervlakte van een parallellogram;

2. met de formule: A d d= ⋅ ⋅12

1 2

Deze formule kan ook worden gebruikt voor de berekening van de oppervlakte van een vlieger. Ook hier staan de diagonalen loodrecht op elkaar.

GegevenVoor het parallellogram in figuur 4a geldt dat de basis 24cm en de hoogte 4cm is.

GevraagdBereken de oppervlakte.

OplossingA b h A= ⋅ ⇒ = × =24 4 96 2cm cm cm

oefeningen

8 Voor het parallellogram in figuur 4a geldt dat de basis 12cm en de hoogte 7cm is.Bereken de oppervlakte.

9 Een parallellogram heeft een oppervlakte van 102 2cm . De hoogte is 12cm .Bereken de basis.

10 Een parallellogram heeft een oppervlakte van 31 92 2, cm . De basis is 7 6, cm .Bereken de hoogte.

Vb. 2


Vierhoeken 5

10 10

10 10

11 Van een ruit zijn de diagonalen respectievelijk 8cm en 1 2, dm lang.Bereken de oppervlakte in cm2.

12 Een vlieger heeft een diagonaal van 24cm en een oppervlakte van 144 2cm .Bereken de lengte van de andere diagonaal.

13 Een ruit heeft een oppervlakte van 20 14 2, cm . De langste diagonaal is 7 6, cm.Bereken de kortste diagonaal.

4 opperVlakte trapezium

Als laatste vierhoek bekijken we het trapezium. Zie figuur 5.

A B

D F

h

C

Figuur 5

De oppervlakte van een trapezium kunnen we berekenen met de formule: A h AB CD= ⋅ ⋅ +1

2( )


6 Vierhoeken

11 11

11 11

GegevenVoor het trapezium van figuur 5 geldt: AB = 5cm ; CD = 3cm ; h = 4cm

GevraagdBereken de oppervlakte.

Oplossing

A h AB CD A= ⋅ ⋅ + ⇒ = × × + =12

12

4 5 3 16 2( ) ( )cm cm cm cm

oefeningen

14 Voor het trapezium van figuur 5 geldt: AB = 6cm ; CD = 3 1, cm ; h = 3 0, cm .Bereken de oppervlakte.

15 Het in figuur 5 weergegeven trapezium heeft een oppervlakte van 15 2 2, cm . De hoogte is 3 8, cm en CD = 2 9, cm . Bereken AB .

16 De oppervlakte van figuur 5 is 74 75 2, cm . Verder is gegeven dat AB = 14 2, cm en CD = 8 8, cm . Bereken de hoogte.

17 De oppervlakte van het trapezium in figuur 5 is 300 2cm . Verder is gegeven dat de hoogte 12cm is en AB = 3,2dm . Bereken de lengte CD in cm.

Vb. 3


Vierhoeken 7

12 12

12 12

antwoorden

1a RTZS PTZU QSZU; ; b ∠ = ∠ = ∠ =P R Q 60° ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = ∠ =T T S U S U1 2 1 1 2 2 90°

∠ = ∠ = ∠ =Z Z Z1 2 3 4 5 6 120, , , °

2a 40cm b 96 2cm

3a 12cm b 32,2cm

4a 11 6, cm b 71 92 2, cm

5a 52cm b 169 2cm

6a 8 2, cm b 67 24 2, cm

7a 11 1, cm b 44 4, cm

8 84 2cm

9 8 5, cm

10 4 2, cm

11 48 2cm

12 12cm

13 5 3, cm

14 13 65 2, cm

15 5 1, cm

16 6 5, cm

17 18cm


8 Vierhoeken

13 13

13 13

1 Regelmatige veelhoeken

Voor meetkundige figuren met meer dan vier zijden gebruiken we vaak de verzamel naam veelhoeken. Als we te maken hebben met regelmatige veelhoeken, kunnen we hun omtrek en oppervlakte berekenen door deze te verdelen in bekende drie- of vierhoeken.

In figuur 1 zien we een regelmatige achthoek getekend met daarin een gelijk-benige driehoek MA A1 2 . Hierin geldt MA MA1 2= en ∠ =M 45°.Door de rotatie om punt M over een hoek van 45° gaat �MA A1 2 over in �MA A2 3, waarbij A1 met A2 samenvalt en A2 in A3 komt. Door dezelfde rotatie gaat �MA A2 3 over in �MA A3 4. Door deze rotatie herhaald uit te voeren, krijgen we achthoek A A A A A A A A1 2 3 4 5 6 7 8 .

A1

a8

RA5

A2

A6

M45o

A4

A8

A3

A7

Figuur 1

2 Veelhoeken


14 14

14 14

Voor deze achthoek geldt: MA MA MA MA1 2 3 8= = = =....... en ∠ = ∠ = ∠ = = ∠A A A A1 2 3 8.......MA R1 = is de straal van de omgeschreven cirkel van deze achthoek.A A a1 2 8=Van deze regelmatige achthoek weten we nu:

› Alle zijden zijn even lang. › Alle hoeken zijn even groot.

Een veelhoek waarvan alle zijden even lang en alle hoeken even groot zijn, noemen we een regelmatige veelhoek.

› Een regelmatige veelhoek heeft een omgeschreven cirkel. › Een regelmatige n-hoek heeft n hoeken en n zijden.

In de figuur is een deel van een regelmatige n-hoek met omgeschreven cirkel getekend. Zie figuur 2.

A1

A2

A3

R

R

RP

R

M360o

n

An

180o

n

Figuur 2

Geven we de lengte van een zijde van een regelmatige n-hoek aan met an , dan kunnen we de lengte van an uitrekenen met de formule:

a Rn

n = ⋅ ⋅2180

sin

Noemen we An de oppervlakte van een n-hoek, dan kunnen we deze oppervlakte berekenen met de formule: A n R

nn = ⋅ ⋅ ⋅1

23602 sin


10 Veelhoeken

15 15

15 15

GegevenDe straal R van de omgeschreven cirkel van een regelmatige driehoek is 10cm .

Gevraagda. Bereken a3 .b. Bereken A3 .

Oplossinga. a R

nan = ⋅ ⋅ ⇒ = × × =2

1802 10

1803

17 33sin sin ,cm cm

b. A n Rn

An = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = × × × =12

360 12

3 103603

12923

2sin ( ) sin ,cm 99 2cm

oefeningen

1 Gegeven is een regelmatige tienhoek. De straal van de omgeschreven cirkel is 30cm .

a Bereken de zijde a10 .

b Bereken de oppervlakte A10 .

2 De straal van de omgeschreven cirkel van een regelmatige vijfhoek is 20cm . a Bereken de zijde a5 .


3 Gegeven is een regelmatige zeshoek. De straal van de omgeschreven cirkel is 4 cm . a Bereken de zijde a6 .


vb. 1


Veelhoeken 11

16 16

16 16

4 De straal van de omgeschreven cirkel van een regelmatige achthoek is 15cm . a Bereken de zijde a8 .


5 De lengte van een zijde van een regelmatige n-hoek is 21,21cm . De straal van de omgeschreven cirkel is 15 cm . Bereken n.

6 Gegeven is een regelmatige twaalfhoek. De straal van de omgeschreven cirkel is 6 cm . a Bereken de zijde a12 .


2 het getal pi

Voor het berekenen van de omtrek van een cirkel met straal R gebruiken we de formule: O R= ⋅ ⋅2 π .Hierbij is π een constante met een waarde van ongeveer 3 1416, . Bij berekeningen gebruiken we de π -toets op onze rekenmachine.

oefeningen

7 De straal van de omgeschreven cirkel van een regelmatig zevenhoek is 0,5cm . a Bereken a7 .

b Bereken de omtrek van deze zevenhoek.

c Bereken de omtrek van de omgeschreven cirkel.


12 Veelhoeken

17 17

17 17

8 De straal van de omgeschreven cirkel van een regelmatige zestienhoek is 0,5m . a Bereken a16 .

b Bereken de omtrek van deze zestienhoek.


9 Gegeven is een regelmatige dertighoek en een omgeschreven cirkel met R = 0 5, dm .

a Bereken a30 .

b Bereken de omtrek van deze dertighoek.


10 Gegeven is een regelmatige zestighoek en een omgeschreven cirkel met R = 0 5, cm . a Bereken a60 .

b Bereken de omtrek van deze zestighoek.


11 Als we de omtrek van een zestighoek vergelijken met de omtrek van een cirkel, wat valt dan op?


Veelhoeken 13

18 18

18 18

oefeningen

1a 18 5, cm b 2645 2cm

2a 23 5, cm b 951 1 2, cm

3a 4cm b 41 6 2, cm

4a 11 5, cm b 636 4 2, cm

5 4

6a 3 1, cm b 108 2cm

7a 0 4339, cm b 3 0373, cm c 3 142, cm

8a 0 1951, m b 3 1216, m c 3,142m

9a 0,8660dm b 25,98dm c 3,142dm

10a 0,0523cm b 3,138cm c 3,142cm

11 De omtrek van een zestighoek benadert de omtrek van een cirkel.


14 Veelhoeken

19 19

19 19

1 Cirkel

In figuur 1 zien we een cirkel. Het middelpunt van de cirkel duiden we meestal aan met de letter M . Verder onderscheiden we de begrippen diameter (middellijn) d en de straal r . Bij het berekenen van de omtrek en de oppervlakte komen we verder het getal pi ( π ) tegen. π = 3 14159, .... (afgerond 3 14, ).

straa

l

middellijn

Figuur 1

De omtrek van een cirkel

De omtrek van een cirkel kunnen we op twee manieren berekenen:

a. Met behulp van de diameter van de cirkel.In woorden: omtrek is pi maal de diameter. In formulevorm: O d= ⋅π

b. Met behulp van de straal van de cirkel.In woorden: omtrek is tweemaal pi maal de straal. In formulevorm: O r= ⋅ ⋅2 π

De diameter is tweemaal de straal of d r= ⋅2

3 Cirkel en cirkelsector


20 20

20 20

De oppervlakte van een cirkel

Ook de oppervlakte van een cirkel kunnen we op twee manieren berekenen:

a. met de straal r :in woorden: oppervlakte is pi maal de straal in het kwadraat. in formulevorm: A r= ⋅π 2

b. met de diameter d :in woorden: oppervlakte is een kwart maal pi maal de diameter in het kwadraat. in formulevorm: A d= ⋅ ⋅1

42π

GegevenIn figuur 1 is de straal 6 cm .

Gevraagda. Bereken de omtrek.b. Bereken de oppervlakte.

Oplossinga. O r O= ⋅ ⋅ ⇒ = × × =2 2 6 37 70π π cm cm,

b. A r A= ⋅ ⇒ = × =π π2 2 26 113 10( ) ,cm cm

Oefeningen

1 Bereken in 2 decimalen na de komma nauwkeurig de omtrek van de cirkel als: a d = 25 mm

b r = 4 7, mm

c d = 81 4, mm

Vb. 1



21 21

21 21

2 Bereken in 2 decimalen achter de komma nauwkeurig de oppervlakte van de cirkel als: a r = 67 mm

b d = 1 7, mm

c r = 481 mm

3 De omtrek van een cirkel is 106 8, mm . a Bereken de straal.

b Bereken de middellijn.

c Bereken de oppervlakte.

4 Van een cirkel is de oppervlakte 320 2cm . a Bereken de straal.

b Bereken de middellijn.

c Bereken de omtrek.


Cirkel en cirkelsector 17

22 22

22 22

2 Cirkelringen

In figuur 2 is een cirkelring weergegeven. We zien een middelpunt M , de straal van de buitencirkel r2 en de straal van de binnencirkel r1 . De oppervlakte van de ring kunnen we berekenen met de formule: oppervlakte r r= ⋅ − ⋅π π2

212

r2

r1M

Figuur 2

Oefeningen

5 In figuur 2 zijn r1 2= cm en r2 3= cm . Bereken de oppervlakte van de cirkelring.

6 Bereken in 1 decimaal na de komma nauwkeurig de oppervlakte van de cirkelringen waarvan:

a r r1 23 7= =mm en mm

b r r1 210 5 20 8= =, ,cm en cm

c r r1 253 7 64 8= =, ,mm en mm



23 23

23 23

7 De kogels in een kogellager bevinden zich tussen een bewegende en een stilstaande ring. Zie figuur 3. De buitenste, stilstaande ring heeft een diameter van 47 0, mm . De diameter van het gat is 30 0, mm . Bereken de oppervlakte van het kogellager.

30,0 mm

47,0 mm

Figuur 3

8 De oppervlakte van een ring is 154 8 2, cm . De straal van de binnencirkel is 61 mm .Bereken de straal van de buitencirkel.

9 De oppervlakte van een ring is 351 9 2, mm , terwijl de buitendiameter 51 2, mm is. Bereken de binnendiameter.



24 24

24 24

3 CirkelseCtOr

In figuur 4 is een cirkelsector getekend met een middelpunthoek α . Ook het ontbrekende stuk van de cirkel is een cirkelsector.

α

Figuur 4

De oppervlakte van een cirkelsector berekenen we als volgt: oppervlakte is cirkelhoek gedeeld door 360 maal pi maal de straal in het kwadraat.

In formulevorm: A r= ⋅ ⋅α π360

2

De lengte van een cirkelboog

Een cirkelboog is het gebogen deel van de omtrek van een cirkelsector. Zie figuur 5.

α cirkelboog

Figuur 5

De lengte van een cirkelboog lC is gelijk aan α

360 maal de omtrek van de hele

cirkel. In formulevorm: l rC = ⋅ ⋅ ⋅α π

3602



25 25

25 25

GegevenIn figuur 5 is de straal 8 cm en α = 45°.

Gevraagda. Bereken de oppervlakte van de cirkelsector.b. Bereken de lengte van de cirkelboog.

Oplossing

a. A r A= ⋅ ⋅ ⇒ = × × =α π π360

45360

8 25 12 2 2( ,cm) cm

b. l r lC C cm cm= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = × × × =α π π360

245360

2 8 6 3,

Oefeningen

10 Bereken de lengte van de cirkelbogen als gegeven is: a r = 25 cm , α = 60°

b r = 16 8, cm , α = 135°

c r = 37 5, mm , α = 90°

11 Op een cirkel met een straal r = 15 cm ligt een boog met een lengte van 20 cm . Bereken de bijbehorende middelpunthoek α in 1 decimaal nauwkeurig.

Vb. 2



26 26

26 26

12 Bereken de oppervlakte van de cirkelsectoren als gegeven is:

a r = 14 cm , α = 72°

b r = 19 5, cm , α = 150°

c r = 23 4, mm , α = 15°

13 De oppervlakte van een cirkelsector is 25 5 2, cm . De straal van de cirkel is 7 5, cm . a Bereken de middelpunthoek α van deze sector.

b Bereken de lengte van de boog van deze sector.

14 In figuur 6 zien we het blad getekend van een bureau.

80 cm

150 cm

Figuur 6

a Bereken de oppervlakte van het blad.

b De randen van het blad moet beplakt worden met een kunststof rand. Bereken de lengte van deze rand van kunststof.



27 27

27 27

Antwoorden

1a 78 54, mm b 29 53, mm c 255 73, mm

2a 14 102 61 2. , mm b 2 27 2, mm c 726 842 02 2. , mm

3a 17 0, mm b 34 0, mm c 907 9 2, mm

4a 10 1, cm b 20 2, cm c 63 5, cm

5 15 7 2, cm

6a 125 7 2, mm b 1012 8 2, cm c 4132 3 2, mm

7 1028 1 2, mm

8 9 3, cm

9 46 6, mm

10a 26 2, cm b 39 6, cm c 58 9, mm 11 76 4, °

12a 123 2 2, cm b 497 7 2, cm c 71 7 2, mm

13a 51 9, ° b 6 8, cm

14a 4 15 2, m b 11 97, m



28 28

28 28

1 Balk en kuBus

lengtebreedte

hoogte

Figuur 1

In figuur 1 is een balk getekend. Bij een balk zijn steeds de twee tegenover elkaar liggende vlakken gelijk. Alle vlakken zijn rechthoekig.

De oppervlakte van een balk kunnen we berekenen door de oppervlakten van de afzonderlijke vlakken bij elkaar te tellen. Dus. oppervlakte = ×2 lengte × breedte + ×2 breedte × hoogte + ×2 lengte × hoogte.Of in formulevorm: A l b b h l h= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅2 2 2

De inhoud of het volume berekenen we als volgt:Volume = lengte × breedte × hoogte.Of in formulevorm: V l b h= ⋅ ⋅

zijdezijde

zijde

Figuur 2

4 Oppervlakte en inhoudvan ruimtelijke figu-ren


29 29

29 29

In figuur 2 zien we een kubus getekend, hierbij zijn alle zijden gelijk, dus lengte = breedte = hoogte. Zo’n zijde noemen we meestal ribbe.

De oppervlakte van een kubus kunnen we weer berekenen door de oppervlakten van de afzonderlijke vlakken bij elkaar te tellen. Omdat deze vlakken gelijke vier-kanten zijn, geldt voor de oppervlakte van een kubus:

Oppervlakte = ×6 zijde × zijde Of in formulevorm: A z z z= ⋅ ⋅ = ⋅6 6 2

Voor de inhoud van een kubus geldt: Volume = zijde × zijde × zijde Of in formulevorm: V z z z z= ⋅ ⋅ = 3

GegevenVoor een balk geldt: lengte = 2 m ; breedte = 3 m en hoogte = 25 dm .

GevraagdOppervlakte en inhoud

OplossingHoogte = =25 2 5dm m,A l b b h l hA

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒= × × + × × + ×

2 2 22 2 3 2 3 2 5 2 2m m m m, mm m m× =2 5 37 2,

V l b h V= ⋅ ⋅ ⇒ = × × =2 3 2 5 15 3m m m m,

Oefeningen

1 Bereken de oppervlakte en de inhoud van een balk met de volgende afmetingen: l b= =3 3m, dm en h = 15 cm .

2 Bereken de oppervlakte en het volume van een kubus met een ribbe van 12 cm .

3 Van een balk is de oppervlakte 1090 2cm . De lengte is 13 cm en de hoogte is 2 1, dm . Bereken de breedte en het volume van de balk.

Vb. 1


Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 25

30 30

30 30

4 De inhoud van een balk is 533 52 3, cm . De breedte is 1 2, dm , terwijl de hoogte 5 7, cm is. Bereken de lengte en de totale oppervlakte van deze balk.

5 Een kubus heeft een inhoud van 1728 3cm . Bereken de lengte van de zijde en de totale oppervlakte.

6 De totale oppervlakte van een kubus is A = 726 2cm . Bereken de lengte van een zijde en de inhoud.

2 Het prisma en de piramide

In figuur 3 is een driezijdig prisma getekend. Bij een prisma is de dwarsdoorsnede overal gelijk. Een prisma kan ook meer zijden hebben. Deze zijden kunnen recht-hoekig zijn, maar kunnen ook de vorm van een parallellogram hebben.

hoogte

dwarsdoorsnede

Figuur 3

De oppervlakte van een prisma kunnen we berekenen door de oppervlakte van alle zijden bij elkaar op te tellen. Of in formulevorm: A Azijde= Σ

De inhoud of het volume van een prisma berekenen we met: volume = oppervlakte dwarsdoorsnede × hoogte


26 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren

31 31

31 31

De dwarsdoorsnede loopt evenwijdig aan het grondvlak, de oppervlakte van de dwarsdoorsnede kunnen we vervangen door de oppervlakte van het grondvlak, dus ook geldt: volume = oppervlakte grondvlak × hoogteOf in formulevorm: V A hgv= ⋅

In figuur 4 is een piramide getekend. Ook nu kunnen we een dwarsdoorsnede tekenen. Merk op dat deze naar boven toe steeds kleiner wordt.

dwarsdoorsnede

hoog

te

A BE

C

FE

F

D

T T

T1 T1

Figuur 4

De oppervlakte van een piramide berekenen we door de oppervlakten van de grensvlakken bij elkaar op te tellen. Voor de piramide in figuur 4 geldt dan: oppervlakte piramide = ×4 oppervlakte driehoek ABT + oppervlakte grondvlakOf in formulevorm: A z h z z h zz z= ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ +4 21

22 2 waarbij z = zijde grond-

vlak en hz = hoogte zijvlak.

Tip: om de hoogte van driehoek ABT te berekenen, gebruiken we de stelling van Pythagoras.

De inhoud of het volume van een piramide berekenen we met:

volume = ×13

oppervlakte × hoogte

Of in formulevorm: V z h= ⋅ ⋅13

2



32 32

32 32

GegevenVan de piramide uit figuur 4 is het grondvlak een vierkant met een zijde van 6 cm . De hoogte van de piramide is 7 cm .

Gevraagda. Bereken het volume.b. Bereken de totale oppervlakte.

Oplossing

a. V z h A= ⋅ ⋅ ⇒ = × × =13

13

6 7 842 2 3( cm) cm cm

b. We berekenen eerst de hoogte hz van ABT met de stelling van Pythagoras.

h z2 2 23 7 58= + = ⇒

hz = =58 7 6, cmA z h zz= ⋅ ⋅ + ⇒2 2 A = × × + =2 6 7 6 6 127 22 2cm cm ( cm) cm, ,

GegevenHet prisma van figuur 3 heeft als grondvlak een driehoek met een basis van 8 cm en een hoogte van 6 cm . De hoogte van het prisma is 18 cm .

GevraagdBereken het volume van het prisma.

OplossingV A h Vgv= ⋅ ⇒ = × × × =1

28 6 18 432 3cm cm cm cm

Oefeningen

7 De dwarsdoorsnede van figuur 3 is een gelijkbenige driehoek met gelijke recht-hoekzijden van 6 cm . De zijvlakken zijn rechthoeken met een hoogte van 10 cm .

a Bereken de schuine zijde s van de dwarsdoorsnede.

b Bereken de oppervlakte van het prisma.

c Bereken het volume van het prisma.

Vb. 2

Vb. 3



33 33

33 33

8 Het grondvlak van de piramide is een vierkant met zijden van 5 cm . De hoogte TT1 15= cm .

a Bereken de oppervlakte van de piramide.

b Bereken de inhoud van de piramide.

9 Een zijde van het grondvlak van een piramide is 25 cm. De hoogte bedraagt 30 cm.

a Bereken de oppervlakte van de piramide.

b Bereken de inhoud van de piramide.

10 Een zijde van het grondvlak van een piramide is 25 cm. De inhoud bedraagt 2000 3cm .

a Bereken de hoogte van de piramide.

b Bereken de oppervlakte van de piramide.

11 Het grondvlak van een prisma is een rechthoekige driehoek met rechthoekzijden van 6 cm en 7 cm . De inhoud is 126 3cm .

a Bereken de hoogte van het prisma.

b Bereken de oppervlakte van het prisma.



34 34

34 34

12 Het grondvlak van een recht regelmatig prisma heeft 6 zijden van elk 8 cm . De hoogte bedraagt 15 cm .

a Bereken de omtrek van het grondvlak.

b Bepaal de oppervlakte van het grondvlak.

c Bereken de totale oppervlakte van het prisma.

d Bereken het volume van het prisma.

3 de BOl

De oppervlakte van een bol berekenen we met: oppervlakte bol = × ×4 π straal 2 Of in formulevorm: A r= ⋅ ⋅4 2π

Voor de inhoud of het volume van een geldt: volume bol = × ×43

π straal3

Of in formulevorm: V r= ⋅ ⋅43

3π

GegevenEen bol heeft een straal van 1 5, m .

GevraagdBereken de oppervlakte en de inhoud.

OplossingA r A= ⋅ ⋅ ⇒ = × × =4 4 1 5 28 32 2 2π π ( , ) ,m m

V r V= ⋅ ⋅ ⇒ = × × =43

43

1 5 14 13 3 3π π ( , ) ,m m

Vb. 4



35 35

35 35

Oefeningen

13 Bereken de oppervlakte en de inhoud van een bol met een straal van 2 m .

14 Bereken de oppervlakte en de inhoud van een bol met een middellijn van 6 cm .

15 Een bol heeft een oppervlakte van 100 2cm . a Bereken de straal van de bol.

b Bepaal de inhoud van de bol.

16 Een bol heeft een inhoud van 250 3cm . a Bereken de straal van de bol.

b Bereken de oppervlakte van deze bol.



36 36

36 36

4 de cilinder

Bij een cilinder zijn het grond- en bovenvlak cirkels. Zie figuur 5. De uitslag van de mantel is een rechthoek. Zie figuur 6.

dwarsdoorsnede

h

r

Figuur 5

mantel

2 × π × r

h

Figuur 5

Voor de oppervlakte van een cilinder geldt dan ook: oppervlakte cilinder = ×2 oppervlakte cirkel + oppervlakte mantel

In formulevorm: A r r h= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅2 22π π

De inhoud of het volume van een cilinder berekenen we als volgt:volume cilinder = oppervlakte grondvlak × hoogte

In formulevorm: V r h= ⋅ ⋅π 2



37 37

37 37

GegevenEen cilinder heeft een diameter van 18 cm en een hoogte van 22 cm .

GevraagdBereken de oppervlakte.Bereken de inhoud.

Oplossingr d r= ⋅ ⇒ = × =1

212

18 9cm cm A h A= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = × × + × × × =2 2 2 9 2 9 22 17532 2π π π πr r cm cm cm( ) ccm2

A h A= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = × × + × × × =2 2 2 9 2 9 22 17532 2π π π πr r cm cm cm( ) ccm2

V r h V= ⋅ ⋅ ⇒ = × × =π π2 2 39 22 5598 3( ) ,cm cm cm

Oefeningen

17 Een conservenblik heeft een diameter van 10 cm en is 12 7, cm hoog. a Bereken de oppervlakte van het blik.

b Bereken de inhoud van het blik.

18 Een ander blik heeft dezelfde inhoud van 750 3cm en is 15 cm hoog. a Bereken de straal van de bodem.


19 Een cilinder heeft een inhoud van 80 3cm en een diameter van 8 cm . a Bereken de hoogte.

b Bereken de totale oppervlakte.

Vb. 5



38 38

38 38

20 De oppervlakte van de mantel van een cilinder is 30 2cm . De straal is 4 cm . a Bereken de hoogte van de cilinder.

b Bereken de inhoud van de cilinder.

5 de kegel

De kegel heeft als grondvlak een cirkel. De hoogte h is de afstand tussen de top T en het middelpunt van het grondvlak, rg is de lengte van de straal van het grond-vlak. Zie figuur 7.

h

T

AB

rg

Figuur 7

De uitslag van de mantel is een cirkelsector. Zie figuur 8. De straal van de cirkel-sector is r TAm = .

T

α

A B

rm

Figuur 8



39 39

39 39

Voor de oppervlakte van een kegel geldt: oppervlakte kegel = oppervlakte grondvlak + oppervlakte cirkelsector

Of in formulevorm: A r rg m= ⋅ + ⋅ ⋅π α π2 2

360. Dit is te herleiden tot:

A r r rg g m= × + × ×π π2

De inhoud of het volume van een cilinder berekenen we als volgt:

inhoud kegel = ×13

oppervlakte grondvlak × hoogte

In formulevorm: V r hg= ⋅ ⋅ ⋅13

2π

GegevenHet grondvlak van de kegel van figuur 8 heeft een straal van 5 cm . De hoogte van de kegel is 8 cm .

GevraagdBereken de oppervlakte.Bereken de inhoud.

OplossingOm rm uit te rekenen, gebruiken we de stelling van Pythagoras.

r h rm g2 2 2= + ⇒

rm2 2 28 5 89= + = ⇒

rm = =89 9 43, cm

A r r r Ag g m= ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = × + × × =π π π π2 25 5 9 43 226 4( ) , ,cm cm cm cm22

V r h Vg= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = × × × =13

13

5 8 209 42 2 3π π ( ) ,cm cm cm

Oefeningen

21 Een kerktoren heeft een diameter van 7 m . De spits is 5 m hoog. a Bereken de oppervlakte van de spits.

b Bereken de inhoud van de spits.

Vb. 6



40 40

40 40

22 Het grondvlak van een kegel heeft een straal van 8 cm . De hoogte is 10 cm . a Bereken de oppervlakte van deze kegel.

b Bereken de inhoud van deze kegel.

23 Een kegel heeft een inhoud van 1000 3cm . De hoogte is 12 cm . a Bereken de straal van het grondvlak van deze kegel.

b Bereken het oppervlak van deze kegel.

24 Een kegel heeft een inhoud van 480 3cm . De straal van het grondvlak is 7 cm . a Bereken de hoogte van deze kegel.

b Bereken het oppervlak van deze kegel.



41 41

41 41

antwoorden

1 A = 279 dm2 ; V = 135 3dm

2 A = 864 2cm ; V = 1728 3cm

3 b = 8 cm ; V = 2184 3cm

4 l = 7 8, cm ; A = 412 92 2, cm

5 z = 12 cm ; A = 864 2cm

6 z = 11 cm ; V = 1331 3cm

7a 8 5, cm b 241 2cm c 180 3cm

8a 177 2cm b 125 3cm

9a 2250 2cm b 6250 3cm

10a 9 6, cm b 1415 2cm

11a 6 cm b 175 2 2, cm

12a 48 cm b 165 6 2, cm c 1051 2 2, cm d 2484 3cm

13 50 3 2, m ; 35 5 3, m

14 113 1 2, cm ; 113 1 3, cm

15a 2 8, cm b 92 0 3, cm

16a 3 9, cm b 191 1 2, cm

17a 556 1 2, cm b 997 5 3, cm



42 42

42 42

18a 4 0, cm b 477 5 2, cm

19a 1 6, cm b 140 7 2, cm

20a 4 0, cm b 201 1 3, cm

21a 105 6 2, m b 61 4 3, m

22a 523 0 2, cm b 670 0 2, cm

23a 8 9, cm b 665 4 2, cm

24a 9 4, cm b 411 4 2, cm



43 43

43 43

1 SamengeStelde lichamen

In de praktijk komen we vaak samengestelde lichamen tegen. Deze lichamen zijn bijvoorbeeld samengesteld uit een balk en een cilinder. Ook kunnen we afgeknotte piramides of afgeknotte kegels tegenkomen. We hebben al kennisgemaakt met de formules voor het berekenen van de oppervlakte en de inhoud van deze lichamen. We zullen eerst een overzicht geven van de formules die we kunnen gebruiken.

De balk:

lengtebreedte

hoogte

Figuur 1

oppervlakte: A l b b h l h= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅2 2 2 . Zie figuur 1.volume: V l b h= ⋅ ⋅

Het prisma:

hoogte

dwarsdoorsnede

Figuur 2

De oppervlakte van een prisma berekenen we door de oppervlakte van alle zijden te berekenen en daarna op te tellen. Zie figuur 2.inhoud: I A h= ⋅gv

5 Ruimtelijke lichamenin de praktijk


44 44

44 44

De piramide:

dwarsdoorsnede

hoog

te

A BE

C

FE

F

D

T T

T1 T1

Figuur 3

oppervlakte: A A A= ⋅ +4 ABT gv . Zie figuur 3.

volume: V A h= ⋅ ⋅13

gv

De bol:

oppervlakte: A r= ⋅ ⋅4 2π

volume: V r= ⋅ ⋅43

3π

De cilinder:

dwarsdoorsnede

h

r

Figuur 4

oppervlakte: A r r h= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅2 22π π . Zie figuur 4.

volume: V r h= ⋅ ⋅π 2


40 Ruimtelijke lichamen in de praktijk

45 45

45 45

De kegel:

h

T

AB

rg

Figuur 5

oppervlakte: A r r a= ⋅ + ⋅ ⋅π πg g2 , waarbij a de mantelhoogte voorstelt:

a h r= +2 2g

volume: V r h= ⋅ ⋅ ⋅13

2π g

We hebben een afgeknotte kegel. Zie figuur 6.

6 m

8 m

2

3

Figuur 6

GegevenHelling van de zijden is 3 2: .De hoogte bedraagt 8 meter.De straal van het grondvlak is 6 meter.

GevraagdBereken de inhoud van deze afgeknotte kegel.

OplossingWe bouwen de afgeknotte kegel uit tot een volledige kegel door er een topkegel op te zetten. Zie figuur 6.

Vb. 1


Ruimtelijke lichamen in de praktijk 41

46 46

46 46

De verhouding tussen de hoogte en de straal is 3 2: , dus de hoogte van de

volledige kegel is 32

8 12× = m .

De straal van de topkegel is ook met de verhouding 3 2: te berekenen. De hoogte van de topkegel is 12 6 6− = m . Dan is de straal van de topkegel

23

6 4× = m .

De inhoud van de afgeknotte kegel is de inhoud van de volledige kegel min de inhoud van de topkegel:

V V V V r h rknot volledig top knot tot t= − ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅13

13

2π π oop top

knot m

2

2 2 313

8 1213

4 6 703 7

⋅ ⇒

= =

h

V � � � � � �π π– ,

Oefeningen

1 We hebben een afgeknotte kegel. Zie figuur 7.

Figuur 7

De hoogte bedraagt 10 meter. De straal van het bovenvlak is 4 meter. De straal van het ondervlak is 10 meter.

1a Bereken de helling van de zijden.

b Bereken de inhoud van deze afgeknotte kegel.



47 47

47 47

2 We hebben een afgeknotte kegel. Zie figuur 8. Alle maten zijn in mm aan gegeven.

200

10019

0

95

Figuur 8

Wat is het volume van deze afgeknotte kegel?

3 Een afgeknotte kegel heeft een hoogte h = 20cm. Zie figuur 9.De diameter d2 van het grondvlak is 18cm . De diameter d1 van het bovenvlak bedraagt 9cm .

h

s

d2

d1

Figuur 9

a Bereken het oppervlak van het grondvlak.

b Bereken het oppervlak van het bovenvlak.



48 48

48 48

c Bereken het oppervlak van de zijmantel.

d Bepaal het totale oppervlak.

e Bereken het volume van deze kegel.

f Bepaal de mantelhoogte S .

4 We hebben een afgeknotte piramide. Zie figuur 10. Alle maten zijn in mm aangegeven. Gv1 = grondvlak 1 is 160 160mm mm× en h1 is de hoogte van het afgeknotte deel. Gv2 = grondvlak 2 is 400 400mm mm× en h2 600= mm .

600

360

400

160

400

160

Gv1

Gv2

Figuur 10

Bereken het volume van de afgeknotte piramide.



49 49

49 49

5 Een storttrechter heeft de vorm van een omgekeerde afgeknotte piramide. Zie figuur 11.Gv1 = grondvlak 1 is 160 160mm mm× en h1 is de hoogte van het afgeknotte deel.Gv2 = grondvlak 2 is 4 00 4 00, ,m m× en h2 is de hoogte van de totale piramide.Bereken de inhoud van deze trechter.

4,00 m

1,00 m

4,00 m

1,00 m

3,0

0 m

Gv1

Gv2

Figuur 11



50 50

50 50

GegevenEen balkvormig lichaam met opening. Zie figuur 12. Alle maten zijn aangegeven in mm .

165

154

5016

5

240

40

Figuur 12

GevraagdBereken het volume van dit lichaam.

Oplossingl b h l b1 1 1 2 2240 154 165 40 50= = = = =mm, mm, mm, mm, mm, mmh2 165=V l b h l b h

V

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

= × × − ×1 1 1 2 2 2

240 154 165 40 50mm mm mm mm mmm mm mm× = ⋅165 5 77 106 3,

Vb. 2



51 51

51 51

Oefeningen

6 We hebben een samengesteld lichaam. Zie figuur 13. Alle maten zijn aangegeven in mm .Bereken het volume van het lichaam.

20

12

15

929

6516

Figuur 13

7 We hebben een samengesteld lichaam. Zie figuur 14. Alle maten zijn aangegeven in mm.Bereken het volume van dit lichaam.

80

240

ø125

120

160

Figuur 14



52 52

52 52

8 We hebben een balk met cilindervormige opening. Zie figuur 15. Alle maten zijn aangegeven in mm. Bereken het volume van dit lichaam.

480

210 250

ø90

Figuur 15



53 53

53 53

9 We hebben een zolderverdieping van een huis. Zie figuur 16. De lengte van de verdieping is 8m.

4,50

m

8,00 m

1,50

m

9,40 m

Figuur 16

a Bereken de inhoud van de zolderverdieping.

b Bereken de totale oppervlakte van het dak.

10 We hebben een samengesteld lichaam. Zie figuur 17. Alle maten zijn aangegeven in m. Bereken de inhoud van dit lichaam.

2,25

m

4,80

m6,80

m

8,00 m

4,60 m

6,90 m

Figuur 17



54 54

54 54

11 In figuur 18 zien we het ontwerp van een bungalow. Deze bestaat uit een beneden verdieping en een zolderverdieping. De benedenverdieping heeft een breedte van 8m , een diepte van 15m en een hoogte van 3 m. De helling van het dak bedraagt 40º

Figuur 18

a Bereken de inhoud van de bungalow.

b Bereken het oppervlak van het dak.



55 55

55 55

12 Een graansilo heeft een diameter van 1 60, m . Het conische deel is 60cm hoog en heeft een opening met een diameter van 40cm . De totale inhoud van de silo is 10 3m . Zie figuur 19.

ø 0,40 m

ø 1,60 m

0,60

m

Figuur 19

a Bereken de inhoud van het conische gedeelte van de silo.

b Bereken de hoogte van het bovenste deel van de silo.



56 56

56 56

13 De tophoek van een dak is 90° . Zie figuur 20.

10,00 m7,50 m

6,00 m

te berekenen

Figuur 20

a Bereken de ontbrekende zijde.

b Bereken de oppervlakte van het dak.

c Bereken de inhoud van het dak.

2 Berekeningen Van lijnStukken in lichamen

In lichamen kunnen we diverse lijnen en vlakken tekenen. De lengte van deze lijnstukken kunnen vaak berekend worden met de stelling van Pythagoras. De stelling van Pythagoras is alleen toe te passen in rechthoekige driehoeken. Als we de stelling van Pythagoras niet kunnen toepassen, kunnen we gebruikmaken van de sinusregel of de cosinusregel.

Sinusregels: a b

sin sinα β= a c

sin sinα γ= ;

b csin sinβ γ

=

Cosinusregels: a b c b c2 2 2 2= + − ⋅ ⋅ ⋅ cosα b a c a c2 2 2 2= + − ⋅ ⋅ ⋅ cosβ;

c a b a b2 2 2 2= + − ⋅ ⋅ ⋅ cos γ



57 57

57 57

GegevenDe lengte van een zijde van een kubus is 20 cm . Zie figuur 21.

A

E

C

GP

Q B

F

D

H

Figuur 21

GevraagdBereken de lengte van lichaamsdiagonaal AG .

OplossingAG AB BC CG AG2 2 2 2 2 2 2 220 20 20= + + ⇒ = + + ⇒( ) ( ) ( )cm cm cm

AG AG2 1200 1200 34 64= ⇒ = = , cm

Oefeningen

14 De lengte van de zijde van een kubus is 6cm . Zie figuur 21.Bereken de volgende lijnstukken:

a BH

b AF

c BG

d DF

Vb. 3



58 58

58 58

15 De lengte van de zijde van een kubus is 12mm . AQ = 4 mm en PG = 3mm . Zie figuur 21.Bereken de volgende lijnstukken:

a CP

b QF

c AP

d HQ

e PQ

16 We hebben een balk met AB = 20cm , BC = 12cm en AE = 7cm . Zie figuur 22.

A

EC

GR

S B

FD

H

Figuur 22

Bereken de volgende lijnstukken: a AF

b BG

c EG



59 59

59 59

d DF

e AG

17 We hebben een balk met AB = 18cm , BC = 10cm , AE = 6cm , AS = 15cm en GR = 14cm . Zie figuur 22.Bereken de volgende lijnstukken:

a CS

b DS

c ES

d RB

e RS



60 60

60 60

GegevenWe hebben een piramide met DE ET= , AB = 22cm , BC = 14cm en de hoogte = 16cm. M is het snijpunt van AC en BD . Zie figuur 23.

A

M

E

T

C

BD

Figuur 23

GevraagdBereken EM .

Oplossing

BD AB AD2 2 2= +

BD BD2 2 2 222 14 680= + ⇒ = ⇒( (cm) cm)

BD = =680 26 08, cm

DM BD DM= ⋅ ⇒ = × =12

12

26 08 13 04, ,cm cm

DT DM MT2 2 2= + ⇒ DT DT2 2 2 213 04 16 426 04= + ⇒ = ⇒( , ( ,cm) cm)

⇒ DT = =426 04 20 64, , cm

DE DT DE= ⋅ ⇒ = × =12

12

20 64 10 32, ,cm cm

tan tan,

,∠ = ⇒ ∠ = = ⇒MDTMTDM

MDT16

13 041 227

∠ =MDT 50 8, °

EM DE DM DE DM MDT2 2 2 2= + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ ⇒cos

EM2 2 210 32 13 04 2 10 32 13 04= + − × × ×( , ( , , , coscm) cm) cm cm 550 8, ° ⇒

EM EM2 106 51 106 51 10 3= ⇒ = =, , , cm

Vb. 3



61 61

61 61

Oefeningen

18 We hebben een piramide met AB BC= = 8cm en hoogte = 10cm . M is het snijpunt van AC en BD . P ligt op het midden van AT . Zie figuur 24.

A

T

C

R

B

D

M

P

Q

Figuur 24

Bereken PM .

19 We hebben een piramide met AB BC= = 11cm en de hoogte = 14cm. M is het snijpunt van AC en BD . BQ QT: := 3 1 . Zie figuur 24.Bereken QM .

20 We hebben een piramide met AB BC= = 7cm en de hoogte = 9cm. M is het snijpunt van AC en BD . CR RT: := 1 4 . Zie figuur 24.Bereken RM .



62 62

62 62

21 We hebben een piramide met AB BC= = 20 cm en de hoogte = 25cm . M is het snijpunt van AC en BD CR RT: = 1 4: , BQ QT: = 3 1: en P l igt op het midden van AT . Zie figuur 24.Bereken de volgende lijnstukken:

a PM

b QM

c RM

22 Een prisma met AB = 12cm , BC = 9cm , AD = 6cm , AR = 4cm , ES = 6cm . T ligt op het midden van CF . Zie figuur 25.

A

D T

C

F

R

B

E

S

Figuur 25

Bereken de volgende lijnstukken en hoeken: a RS

b ST

c RT



63 63

63 63

d ∠RST

e ∠STR (tip: gebruik hierbij de sinusregel)

f ∠RTS



64 64

64 64

antwoorden

1a 16 67, m b 1633 9 3, m

2 1 74 106 3, ⋅ mm

3a 254 47 2, cm b 63 62 2, cm c 869 4 2, cm d 1187 5 2, cm e 2968 8 3, cm f 20 5, cm

4 3 0 107 3, ⋅ mm

5 21 3m

6 4 2 105 3, ⋅ mm

7 4 54 106 3, ⋅ mm

8 2 36 107 3, ⋅ mm

9a 200 4 3, m b 106 5 2, m

10 402 96 3, m

11a 561 6 3, m b 156 6 2, m

12a 0 528 3, m b 14 13, m

13a 4 50, m b 105 2m c 135 2m

14a 10 39, cm b 8 49, cm c 8 49, cm d 10 39, cm



65 65

65 65

15a 12 37, mm b 14 42, mm c 19 21, mm d 17 44, mm e 17 69, mm

16a 21 19, cm b 13 89, cm c 23 32, cm d 24 35, cm e 24 35, cm

17a 10 44, cm b 18 03, cm c 16 16, cm d 18 22, cm e 16 03, cm

18 5 74, cm

19 10 68, cm

20 4 35, cm

21a 14 36, cm b 14 01, cm c 19 08, cm

22a 11 66, cm b 4 24, cm c 12 41, cm d 90 05, ° e 19 98, ° f 69 98, °



66 66

66 66

Documents

Reader - meneerriksen.nlmeneerriksen.nl/onewebmedia/Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 5... · 12 Een vlieger heeft een diagonaal van 24cm en een oppervlakte van 144cm 2. Bereken