Áreas y perímetros...y la superaron, cultivándola de forma teórica, por el placer intelectual de investigar y saber. Para hallar áreas y volúmenes, los egipcios utilizaban fórmulas

198

Presentación de la unidad

A lo largo de la unidad, habrá numerosas ocasiones para que los alumnos y las alumnas realicen estimaciones como paso previo y necesario a la medición o al cálculo de perímetros y áreas utilizan-do fórmulas.

Un segundo momento para la estimación tendrá lugar después de aplicadas las fórmulas y realizados los cálculos, para juzgar lo razo-nable de estos y localizar los posibles errores, si es que se han pro-ducido.

Los contenidos de la presente unidad podrían clasificarse de la si-guiente manera:

•Cálculo de áreas y perímetros aplicando las fórmulas correspon-dientes:

– Dando todos los datos que se necesiten.

– Midiendo los elementos que se necesiten.

•Obtención razonada de áreas:

– Cálculo de áreas mediante descomposición y composición.

– Obtención razonada de las fórmulas para el cálculo de áreas.

•Cálculo de áreas obteniendo, previamente, algún elemento me-diante el teorema de Pitágoras.

Conocimientos mínimos

•Realizar mediciones directas de longitudes.

•Conocer las unidades del Sistema Métrico Decimal (S.M.D.). Expresar mediciones en diferentes unidades.

•Conocer instrumentos para medir longitudes.

•Conocer las unidades del S.M.D. para medir superficies.

•Calcular el perímetro de figuras planas aplicando las fórmulas correspondientes.

•Calcular la superficie de figuras planas aplicando las fórmulas co-rrespondientes.

Complementos importantes

•Transformación de unos polígonos en otros por descomposición y recomposición.

•Deducción de las fórmulas o leyes que permiten generalizar pro-cedimientos para medir perímetros y superficies de cualquier polígono, incluyendo el círculo.

•Cálculo de las longitudes de arcos de circunferencia y las superfi-cies de sectores circulares.

13 Áreas y perímetros

198

Esquema de la unidad

MAGNITUD

•Rectángulo:P = 2a + 2b•Cuadrado:P = 4l•Paralelogramo:P = 2b + 2c•Rombo:P = 4l•Círculo:l = 2πr

•Rectángulo:S = a · b•Cuadrado:S = l 2

•Paralelogramo:S = a · b

•Rombo:S = ·D d2

•Triángulo:S = a b2·

•Trapecio:S = ( )'b b a

2·+

•Círculo:S = πr 2

mediante las fórmulas correspondientes

mediante las fórmulas correspondientes

la de la línea que rodea a una figura plana se llama que se mide de forma

que se mide de forma

LONGITUD

PERÍMETRO

Directa

Directa

Indirecta

Indirecta

SUPERFICIE

199

Como posibles temas de profundización, recomendables para los alumnos más interesados, recomendamos:

•Cálculo de áreas para los que se necesite aplicar, previamente, el teorema de Pitágoras.

•Confrontar los conceptos de perímetro y superficie construyendo polígonos de igual perímetro pero de distinta superficie, y viceversa.

•Para un perímetro dado, obtener el polígono que abarca la ma-yor superficie.

Anticipación de tareas

•Preparar instrumentos de medición, como un metro largo para medir la superficie de la planta de la clase. Pedir a los alumnos que midan la superficie de las plantas de sus habitaciones.

•Buscar información sobre las unidades de medidas de longitud y de superficie agraria.

Adaptación curricular

En la parte de “Recursos fotocopiables” se ofrece una adaptación curricular de esta unidad 13 del libro del alumnado.

La lectura inicial servirá para ejercitar la comprensión lectora y para mostrar los dos aspectos que justifican el estudio de las matemáti-cas: el práctico y el intelectual.

Los contenidos, si se adaptan a los mínimos exigibles, o bien no han sufrido cambio alguno o bien se han modificado ligeramente para adecuarlos al posible nivel de los estudiantes a quienes va dirigido. Lo mismo cabe decir de los ejercicios que se proponen.

Si algún contenido supera los mínimos exigibles, o bien se ha su-primido o bien se ha adaptado a los requisitos exigidos.

Los ejercicios y problemas con los que finaliza la unidad se han re-ducido en cantidad y se han modificado hasta adaptarse a lo con-venido. Lo mismo cabe decir de la autoevaluación.

APRENDIZAJE COOPERATIVO PENSAMIENTO COMPRENSIVO PENSAMIENTO CRÍTICO

Pág. 237. Actividad sugerida en esta P.D. (*) Pág. 238. Tercer cálculo mental del ladillo Pág. 239. Actividad 10 (*)

Pág. 249. “Resuelve problemas” (*) Pág. 240. Ejercicios resueltos Pág. 240. Actividad 4

Pág. 242. Problemas resueltos Pág. 241. Actividad 5 (*)

Pág. 244. Ejercicios resueltos Pág. 243. Actividad 3

Pág. 245. Ejercicios resueltos Pág. 249. Actividades 40 y 42 (*)

Pág. 248. Áreas y perímetros utilizando el teo-rema de Pitágoras (*)

Pág. 251. Actividad 55

Pág. 250. Actividad 47 Pág. 252. Actividad “¿Por qué son esféricas las pompas de jabón?” (*)

INTERDISCIPLINARIEDAD TIC EMPRENDIMIENTO RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Pág. 236. Actividad sugeri-da en esta P.D. (*)

Pág. 236. Actividad su-gerida en esta P.D. (*)

Pág. 249. Actividad 44 (*) Todos los problemas propuestos en el L.A. están en-cuadrados en este apartado. Aquí se señalan algu-nos que tienen especial interés.

Pág. 238. Actividad sugeri-da en esta P.D.

Pág. 238. Actividad su-gerida en esta P.D.

Pág. 252. Actividad “Utiliza tu in-genio” (*)

Pág. 240. Actividad 2 (*)




Pág. 247. Actividades 17 y 22

Pág. 249. Actividades 38, 41 y 43


Pág. 250. Actividad “Aprende a resolver problemas” (*)

Pág. 251. Actividades 51, 57, 58 y 60

Pág. 253. Actividad “Entrénate resolviendo proble-mas” (*)

En la siguiente tabla se recoge una relación de actividades para atender y trabajar el aprendizaje cooperativo, el pensa-miento comprensivo, el pensamiento crítico, la interdisciplinariedad, el emprendimiento y la resolución de problemas. Unas están propuestas en el libro del alumnado (L.A.), y aquí se hace referencia a ellas indicando la página y la actividad, y otras, como se indica, se sugieren en esta Propuesta Didáctica (P.D.).

Una selección de estas sugerencias están marcadas en el libro del alumnado con un icono; aquí se han marcado con (*).

200

Al iniciar la unidad

• En la lectura inicial se cuenta una pequeña anécdota sobre cómo un pueblo que domina la geometría es un símbolo de sociedad civilizada.

• Además, se señala el contraste de la geometría pragmática de egipcios y babilonios con la geometría científica, abstracta y especulativa de los griegos, que llega a su culminación con Euclides.

Aprendizaje cooperativo

Estas actividades, si el profesorado lo considera oportuno, pueden reali-zarse en grupo, estimulando el aprendizaje entre iguales. En un primer momento, los grupos buscarán soluciones, que se contrastarán en una posterior puesta en común, justificando los logros conseguidos, debatien-do los desacuerdos y llegando, finalmente, a conclusiones comunes.

Interdisciplinariedad/TIC

Se sugiere la siguiente actividad:

Buscar algún dato biográfico de Arquímedes y alguna anécdota relativa a la aplicación práctica de sus conocimientos científicos.

Redactar con esos datos un pequeño resumen de no más de diez líneas.

Soluciones de las actividades

1 l = 117 m

2 El grosor de cada folio es 0,12 mm.

3 Figura 1 → Área = 7 · 5 = 35 cuadraditos

Figura 2 → Área = 12 + 24 + 4 + 6 = 46 cuadraditos

Figura 3 → Área = 35 cuadraditos





El 6 y el 7 son cálculos aproximados, contando los cuadraditos.

La cultura griega se extendió por el Mediterráneo desde Sicilia hasta Asia Menor. Los griegos aprendieron la geometría egipcia, práctica y utilitaria, y la superaron, cultivándola de forma teórica, por el placer intelectual de investigar y saber.

Para hallar áreas y volúmenes, los egipcios utilizaban fórmulas obtenidas experimentalmente, mientras que

los griegos las obtuvieron mediante un proceso deductivo.

La culminación llegó con Arquímedes de Siracusa, que supo obtenerlas por métodos muy sofisticados.

Cuentan que un barco griego naufragó y algunos via-jeros consiguieron llegar a una playa desconocida.

En la arena vieron dibujadas algunas figuras geométricas. Entonces uno de ellos exclamó: “¡No temamos, compañe-ros!, aquí viven personas civilizadas”.

Medida directa y medida indirecta de una longitudLas longitudes pueden medirse directamente con la regla, la cinta métrica, etc. Pero, en ocasiones, conviene hacerlo de forma indirecta. El teorema de Pitágoras, que nos permite calcular una longitud a partir de otras dos, es, por tanto, una medición indirecta.Hay diversas formas de medir indirectamente una longitud. Veamos algunas.

1 Conociendo la altura del edificio, a = 108 m, y la distancia que hay desde P a su base, d = 45 m, podemos calcular la longitud, l, del cable tendido desde P hasta la azotea.Halla la longitud l.

a

d P

l

2 Un fajo de 200 folios tiene un grosor de 24 mm. Calcula el grosor de cada folio.

Medida de áreas

Cuando aplicamos una fórmula para hallar el área de una figura a partir de algunas lon-gitudes, estamos hallando el área de forma indirecta. Sim embargo, las áreas de las figu-ras 1 y 2 siguientes pueden obtenerse de forma directa contando cuadraditos (unidad de superficie). Con las demás se puede proceder igual, aunque de forma aproximada.

3 Intenta hallar las áreas de todas estas figuras del modo más eficaz: razonando, descomponiendo y recomponiendo, …

1

3

4

56

7

2

13 Áreas y perímetros

GRECIA

Siracusa

ASIA MENOR

SICILIA

ANOTACIONES

201

Sugerencias

• Para adquirir el concepto de medida de superficies, se recomienda:

– Cuadricular rectángulos y contar filas y columnas.

– Deducir la fórmula del área de un rectángulo partiendo de unos cuan-tos casos particulares.

• El cálculo del área de un rectángulo nos sirve como base para obtener las áreas de otros polígonos, pues la mayoría de ellos, en las páginas si-guientes, se han transformado en rectángulos descomponiendo y re-componiendo los polígonos iniciales. Así se ha hecho con el paralelo-gramo, el rombo y el trapecio.

Las fórmulas mediante las que se calculan las áreas de estas figuras lle-gan a memorizarse. Pero es deseable que el alumno sea capaz de “ver” en cada una de ellas el rectángulo con el que se relaciona.

Interdisciplinariedad/TIC

Infórmate y calcula: ¿Cuál es el mayor campo de fútbol de primera división en la liga española? ¿Y el más pequeño? ¿Cuál es la diferencia entre sus áreas?

Refuerzo y Ampliación

Se recomiendan:

•Del cuaderno n.º 5 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:

Refuerzo: Ejercicios 1 a 4 de la página 25. Ejercicios 1 a 3 de la página 26

Ampliación: Ejercicio 4 de la página 30. Ejercicios 4 y 5 de la página 31.

•Del fotocopiable INCLUSIÓN Y ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD:

Ampliación: Ejercicio 4 de la ficha A.

Soluciones de “Piensa y practica”

1 P = 19,8 m; A = 22,4 m2

2 9,331 m2 de papel.

3 15 cm

4 11,75 cm

5 Romboide: A = 24 m2; P = 22 m

Rombo: A = 20 m2; P = 20 m

13UNIDAD

239238

Rectángulo

Tanto el área como el perímetro de un rectángulo son muy conocidos.

b

a

área A = a · b perímetro P = 2a + 2b

Cuadrado

Un cuadrado es un rectángulo con todos los lados iguales. Por tanto:

l

área A = l2

perímetro P = 4l

Paralelogramo cualquiera

Al suprimir en el paralelogra-mo el triángulo de la izquierda y ponerlo a la derecha, se ob-tiene un rectángulo de dimen-siones a × b. b

ac a

b

paralelogramo delados b y c y altura a b

c a

área A = a · b perímetro P = 2b + 2c

Observa que puede haber muchos paralelogramos con los mismos lados pero con distinta área:

4 cm

5 cm

7 cm 7 cm 7 cm

1 cm5 cm3 cm5 cm

Di el área y el perímetro de este rectángulo: 4 cm

2,5 cm

Cálculo mental

¿Cuál es el lado de este cuadrado cuya área cono-cemos? ¿Y su perímetro?

81 cm2 l?

Cálculo mental

Halla el área y el perímetro de este pa-ralelogramo:

3,2 cm4 cm

10 cm

Y ahora que ya conoces el área, ¿sa-brías calcular la otra altura? Es decir, la distancia entre los otros dos lados.

a4 cm

10 cm

Cálculo mental

Rombo

Puesto que el rombo es un paralelogramo, su área se puede calcular como se ha descrito en el apartado anterior:

A = l · a (a es la distancia entre dos lados opuestos).También se puede calcular conociendo sus diagonales.

Área del rectángulo morado: Arectángulo = d · d'dd'

Área del rombo: Arombo = 2ARECTÁNGULO

rombo de lado ly diagonales d y d'

ldd'

área 'A d d2·=

perímetro P = 4l

Trapecio

A los lados paralelos de un trapecio se les lla-ma bases (b, base mayor; b' , base menor). A la distancia entre las bases, altura, a.Si a un trapecio le adosamos otro igual, se obtiene un paralelogramo de base b + b' y altura a.

a

b

b'

b + b'

( )'A A b b a2 2

·TRAPECIO

PARALELOGRAMO= = +

No hay una fórmula especial para el perímetro del trapecio.

l a

l

•Las diagonales de un rombo miden 6 cm y 10 cm. ¿Cuál es su área?

•La diagonal de un cuadrado mide 4 dm. ¿Cuál es su área?

Cálculo mental

Las bases de un trapecio miden 13 cm y 7 cm. Su altura, 10 cm. ¿Cuál es su área?

Cálculo mental

1 Medidas en los cuadriláteros

1. Calcula el perímetro y el área de un salón rectangular de dimensiones 6,4 m y 3,5 m.

2. Mide las dimensiones de una página de este libro. ¿Cuántos metros cuadrados de papel se necesitan para hacer el libro completo, sin contar las tapas?

3. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado de 225 cm2 de área?

4. Halla la altura de un rectángulo de 47 m2 de superfi-cie y 4 m de base.

5. Halla el área y el perímetro de estos dos paralelogramos. Obser-va que, aunque el segundo es un rombo, su área se puede calcu-lar como la de un paralelogramo cualquiera.

4 m

4 m

6 m

5 m

5 m

5 m

Piensa y practica

6. Halla el área y el perímetro de las siguientes figuras:

a) b)

c) d)

24 m

5 m11 m 13 m13 m

25 m20 m

23 m13 m

28 m

43 m

37 m

14,4 m

16 m

24 m

7. Una parcela cuadrangular tiene dos lados paralelos de longitudes 37,5 m y 62,4 m. La distancia entre esos lados paralelos es 45 m.¿Cuál es la superficie de la parcela?

8. Las diagonales de un rombo miden 37 cm y 52 cm.Halla su área.

9. La diagonal de un cuadrado mide 15 cm.Halla su área. (Recuerda, el cuadrado es, también, rombo).

10. ¿Verdadero o falso?

I

II

El área del ala-delta de la figura I se puede hallar cal-culando el área del rombo rojo (figura II), restándo-le el área del rombo verde y dividiendo la diferencia por 2.

Piensa y practica

ANOTACIONES

202

Sugerencias

• Como siempre que resulta posible, y debido a la importancia que con-cedemos a los procedimientos en matemáticas, presentamos dos mo-dos de obtener el área de un rombo:

a) Considerarlo como un paralelogramo.

b) Inscribirlo dentro de un rectángulo cuando las medidas que se cono-cen son las diagonales.


Se recomiendan:


Refuerzo: Ejercicios 1 a 3 y 5 de la ficha A. Ejercicio 1 de la ficha B.



6 a) A = 192 m2; P = 57,6 m

b) A = 710 m2; P = 116 m

c) A = 330 m2; P = 86 m

d) A = 120 m2; P = 52 m

7 2 247,75 m2

8 962 cm2

9 112,5 cm2

10 Verdadero.

13UNIDAD

239238

Rectángulo

Tanto el área como el perímetro de un rectángulo son muy conocidos.

b

a

área A = a · b perímetro P = 2a + 2b

Cuadrado

Un cuadrado es un rectángulo con todos los lados iguales. Por tanto:

l

área A = l2

perímetro P = 4l

Paralelogramo cualquiera

Al suprimir en el paralelogra-mo el triángulo de la izquierda y ponerlo a la derecha, se ob-tiene un rectángulo de dimen-siones a × b. b

ac a

b

paralelogramo delados b y c y altura a b

c a

área A = a · b perímetro P = 2b + 2c

Observa que puede haber muchos paralelogramos con los mismos lados pero con distinta área:

4 cm

5 cm

7 cm 7 cm 7 cm

1 cm5 cm3 cm5 cm

Di el área y el perímetro de este rectángulo: 4 cm

2,5 cm

Cálculo mental

¿Cuál es el lado de este cuadrado cuya área cono-cemos? ¿Y su perímetro?

81 cm2 l?

Cálculo mental

Halla el área y el perímetro de este pa-ralelogramo:

3,2 cm4 cm

10 cm

Y ahora que ya conoces el área, ¿sa-brías calcular la otra altura? Es decir, la distancia entre los otros dos lados.

a4 cm

10 cm

Cálculo mental

Rombo

Puesto que el rombo es un paralelogramo, su área se puede calcular como se ha descrito en el apartado anterior:

A = l · a (a es la distancia entre dos lados opuestos).También se puede calcular conociendo sus diagonales.

Área del rectángulo morado: Arectángulo = d · d'dd'

Área del rombo: Arombo = 2ARECTÁNGULO

rombo de lado ly diagonales d y d'

ldd'

área 'A d d2·=

perímetro P = 4l

Trapecio

A los lados paralelos de un trapecio se les lla-ma bases (b, base mayor; b' , base menor). A la distancia entre las bases, altura, a.Si a un trapecio le adosamos otro igual, se obtiene un paralelogramo de base b + b' y altura a.

a

b

b'

b + b'

( )'A A b b a2 2

·TRAPECIO

PARALELOGRAMO= = +

No hay una fórmula especial para el perímetro del trapecio.

l a

l

•Las diagonales de un rombo miden 6 cm y 10 cm. ¿Cuál es su área?

•La diagonal de un cuadrado mide 4 dm. ¿Cuál es su área?

Cálculo mental

Las bases de un trapecio miden 13 cm y 7 cm. Su altura, 10 cm. ¿Cuál es su área?

Cálculo mental

1 Medidas en los cuadriláteros

1. Calcula el perímetro y el área de un salón rectangular de dimensiones 6,4 m y 3,5 m.

2. Mide las dimensiones de una página de este libro. ¿Cuántos metros cuadrados de papel se necesitan para hacer el libro completo, sin contar las tapas?

3. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado de 225 cm2 de área?

4. Halla la altura de un rectángulo de 47 m2 de superfi-cie y 4 m de base.

5. Halla el área y el perímetro de estos dos paralelogramos. Obser-va que, aunque el segundo es un rombo, su área se puede calcu-lar como la de un paralelogramo cualquiera.

4 m

4 m

6 m

5 m

5 m

5 m

Piensa y practica


a) b)

c) d)

24 m

5 m11 m 13 m13 m

25 m20 m

23 m13 m

28 m

43 m

37 m

14,4 m

16 m

24 m

7. Una parcela cuadrangular tiene dos lados paralelos de longitudes 37,5 m y 62,4 m. La distancia entre esos lados paralelos es 45 m.¿Cuál es la superficie de la parcela?

8. Las diagonales de un rombo miden 37 cm y 52 cm.Halla su área.

9. La diagonal de un cuadrado mide 15 cm.Halla su área. (Recuerda, el cuadrado es, también, rombo).

10. ¿Verdadero o falso?

I

II

El área del ala-delta de la figura I se puede hallar cal-culando el área del rombo rojo (figura II), restándo-le el área del rombo verde y dividiendo la diferencia por 2.

Piensa y practica

ANOTACIONES

203

Sugerencias

• Para calcular el área de un triángulo, se propone un método muy senci-llo: transformar el triángulo añadiéndole otro igual, de manera que se obtiene un paralelogramo.

•Para el caso particular de los triángulos rectángulos, se ofrecen dos pro-cedimientos, dependiendo de si se toman los catetos como base y altu-ra o si la altura que se toma es la correspondiente a la hipotenusa.

•Es muy importante que los alumnos y las alumnas, en todos los ejerci-cios, se habitúen a realizar los dibujos correspondientes, como medio muy aconsejable para entender y poder diseñar el procedimiento ade-cuado que resuelva la situación planteada.


Se recomiendan:


Refuerzo: Ejercicios 1 a 4 de la página 27.

Ampliación: Ejercicio 3 de la página 30.


Refuerzo: Ejercicio 1 de la ficha B.


1 a) A = 130 m2 b) A = 6 000 m2

2 a) A = 216 cm2 b) 14,4 cm

3 A = 692,8 m2

4 Verdadero.

13UNIDAD

241240

Observa: si a un triángulo le adosamos otro igual, se obtiene un paralelogramo. Por tanto, el área del triángulo es la mitad de la del paralelogramo.

b

a

A A b a

2 2·

TRIÁNGULOPARALELOGRAMO= =

No hay una fórmula especial para el cálculo del perímetro de un triángulo.Si el triángulo es rectángulo, los catetos son perpendiculares. Tomando uno como base, el otro es la altura. Por tanto, el área se puede calcular de dos maneras:

ac c'

h A a

2h ·=

c

c' h

'A c c2·=

Halla el área de este triángulo:

5 m

6 m

Cálculo mental

c y c' son los catetos.h es la hipotenusa.a es la altura sobre la hipotenusa.

Notación

Halla el área y el perímetro de este cuadrilátero irregular. Observa que se puede descomponer en dos triángulos rectángulos.

4 m

3 m

13 m

12 m

5 m

Cálculo mental

a es la apotema del polígono regular.Notación

Para hallar el área de un polígono cualquiera, se descompone en triángulos y se calcula el área de cada uno.

área del polígono = = Suma de la áreas de

los triángulos

Sin embargo, para los polígonos regulares se puede proceder de una forma más sencilla.

Área y perímetro de un polígono regular

Si el polígono es regular, se puede descomponer en tantos triángulos iguales como lados tiene el polígono.

a

l

a

l

a

l

a

l

a

l

a

l

a

l

·A n l a Per metro a2 2veces · í= =

n es el número de lados y, por tanto, Perímetro = n · l.

3 Medidas en los polígonos2 Medidas en los triángulos

Ejercicios resueltos

1. Calcular el área del triángu-lo rectángulo de lados 15 cm, 20 cm y 25 cm. Calcular la altura sobre la hipotenusa. Hallar, también, su períme-tro.

Los dos catetos son los lados menores.

El área es, pues: 'A c c2 2

15 20 150· · cm2= = =

25 cm

20 cm

15 c

m

El área también se puede calcular así:20 cm a

25 cm

15 cm

A a

225·=

Como A = 150 → a2

25 150· = → 25 · a = 300 → a 25300 12 cm= =

La altura sobre la hipotenusa mide 12 cm.Su perímetro es 15 cm + 20 cm + 25 cm = 60 cm.

2. Hallar el área de un trián-gulo equilátero de lado 10 cm y 8,66 cm de altura.

, ,A 210 8 66 43 3· cm2= =

El área es 43,3 cm2.10 cm

8,66

cm

1. Halla el área de estos triángulos:

13 m

20 m

a) b)

240 m

50 m

2. De un triángulo rectángulo, conocemos los tres lados: c = 18 cm, c' = 24 cm y h = 30 cm.a) Calcula su área.b) ¿Cuánto mide la altura sobre la hipotenusa?

3. Halla el área de un triángulo equilátero de 40 m de lado y 34,64 m de altura.

4. ¿Verdadero o falso?En las siguientes figuras, se ve que el área de un trián-gulo es igual al área de un rectángulo con su misma altura y la mitad de su base.

a

b

a

b/2

Piensa y practica

1. Calca este polígono en tu cuaderno, continúa descom-poniéndolo en triángulos y toma en ellos las medidas necesarias para calcular sus áreas. Halla, así, el área total.

1,7 cm

4 cm

1,4 cm

2,7 cm

2. En el hexágono regular, la longitud del lado es igual a la longitud del radio de la circunferencia circunscrita.

Dibuja un hexágono regular cuyo lado tenga una lon-gitud l = 4 cm. Mide su apotema y comprueba que es de, aproximadamente, 3,5 cm. Calcula su área.

3. El lado de un octógono regular mide 15 cm, y su apo-tema 18,9 cm. Halla su área.

4. Calcula el área de la siguiente figura:

60 m

20 m

12 m

5. ¿Verdadero o falso?a) En los polígonos irregulares, no se puede calcular el

área. Si acaso, aproximadamente.

b)

Con estas dos figuras se ve que si un triángulo equi-látero y un hexágono regular tienen el mismo pe-rímetro, entonces el área del triángulo es 3/4 de la del hexágono.

Piensa y practica

Practica calculando áreas.

En la web

Sugerencias

• Si se descompone un polígono regular en triángulos iguales, los estu-diantes percibirán que el área del polígono se obtiene calculando el área de uno de esos triángulos y multiplicando por el número de ellos. Colocando los triángulos como se puede observar en el gráfico, los alumnos y las alumnas tomarán conciencia de que la suma de todas las bases es el perímetro del hexágono.

• Al final de la página, y como colofón de un proceso en el que el alumna-do ya ha llegado a saber calcular el área de cualquier polígono regular, se propone el procedimiento de la triangulación para hallar el área de cualquier polígono. Los estudiantes deben ver que este es el mismo método que el empleado para los polígonos regulares, salvo que en este caso no se puede llegar a una fórmula general.


Se recomiendan:


Refuerzo: Ejercicio 2 de la página 30.


1 A = 16,325 cm2

2 A = 1 080 cm2

3 A = 1 134 cm2

4 A = 960 m2

5 a) Falso. b) Falso.

204

Sugerencias• En primer lugar, los estudiantes han de ver que el perímetro de un círcu-

lo, o longitud de su circunferencia, depende enteramente del diámetro. Por un tiempo, conviene usar alternativamente los términos de períme-tro y longitud de circunferencia. Si a partir de la experiencia realizada en unidades anteriores, los alumnos saben que π es una constante que relaciona perímetro con diámetro, será fácil entender la fórmula para el cálculo de longitudes de circunferencias.

• El área del círculo se deduce del hecho de considerar un círculo como un polígono de muchísimos lados.

• Para el cálculo de longitudes de arcos de circunferencia, se recurre a deducir la fórmula planteando sencillos casos de proporcionalidad a partir del ángulo central. Y algo similar se hace en el caso del cálculo del área de un sector circular.

Refuerzo y AmpliaciónSe recomiendan:


Refuerzo: Ejercicios 1 a 3 de la página 29.

Ampliación: Ejercicios 6 y 7 de la página 31.


Refuerzo: Ejercicios 1 y 5 de la ficha A. Ejercicio 3 de la ficha B.


1 A = 3 769,9 m2; P = 376,99 m

2 A = 314,16 m2; P = 125,66 m

3 a) Falso. b) Verdadero.

4 A = 29,32 dam2; P = 22,66 dam

5 6,98 cm

6 A = 16,49 cm2; P = 17 cm

7 A = 104,72 cm2

13UNIDAD

243242

Perímetro del círculo

El perímetro de un círculo es la longitud de su circunferencia. Sabemos que la longitud de una circunferencia es algo más de tres veces su diámetro.

l

d d d

Longitud de la circunferencia = 3,14 veces su diámetro → l = πd = 2πr

Área del círculo

Descomponemos el círculo en muchos triángulos, como si fuera un polígono regular de muchos lados.

Perímetro = 2πr

r

Si los sectores son muy finos, son prácticamente triángulos. Su altura es r.

La suma de todas sus bases es el perímetro del círculo, 2πr. Por tanto, su área es: A r r r2

2π · π 2= =

l = πd = 2πrEl número π (pi) vale, aproximada-mente, 3,14 o 3,1416.

d

Longitud de un arco de circunferencia

La circunferencia completa, cuya longitud es 2πr, corresponde a un arco de 360°.

Así, a cada grado le corresponde una longitud de r2360

π . Por tanto:

Un arco de n grados tiene una longitud de π ·l r n3602= .

Área de un sector circular

El círculo completo, cuya superficie es πr 2, corresponde a un arco de 360°.

Así, a cada grado le corresponde una superficie de πr360

2. Por tanto:

Un sector de n grados tiene una superficie de π ·A r n3602

= .

r

n°

n°

r l

4 Medidas en el círculo

Ejercicio resuelto

Hallar el área y el perímetro de los recintos coloreados.

3 cm

5 cm

3 cm

I II

5 cm

I. Estas dos circunferencias se llaman concéntricas, porque tienen el mismo centro. La región comprendida entre ellas se llama corona circular. Su área es la diferencia de las áreas de los dos círculos.

A = π · 52 – π · 32 = 16 π = 50,26 cm2

El perímetro del recinto es la suma de las longitudes de las dos circunferen-cias:

P = 2π · 5 + 2π · 3 = 16 π = 50,26 cmCuriosamente, su área en centímetros cuadrados coincide con su perímetro en centímetros. Es, simplemente, una casualidad.

II. Aunque la forma sea distinta, tanto su área como su perímetro coinciden con los del recinto anterior.

Ejercicio resuelto

Calcular el área y el perímetro de estos recintos:

120°

3 m

60°

7 m

10 m

I II

I. π · · π ,A 3603 120 3 9 42 m

2 2= = = π · · ,P 3602 3 120 3 3 12 28 m= + + =

II. A = (π · 102 – π · 72) · 36060 = 26,69 m2

P = π ·360

2 10 · 60 + π ·360

2 7 · 60 + 2 (10 – 7) = 10,46 + 7,33 + 6 =

= 23,79 m

1. Halla la superficie y el perímetro del recinto coloreado.

20 m 40 m

2. Calcula el perímetro y el área de esta figura:

40 m

Piensa y practica

3. ¿Verdadero o falso?a) El valor de π es tanto mayor cuanto más grande

sea la circunferencia sobre la que actúa.b) Cuando tomamos para π el valor 3,14, lo estamos

haciendo de forma aproximada.

4. Halla el área y el perímetro de esta figura:

210°

4 dam

5. Halla la longitud de un arco de circunferencia de 10 cm de radio y 40° de amplitud.

6. Calcula el área y el perímetro de esta figura:

90°

5 cm

2 cm

7. Calcula el área de un sector circular de 20 cm de ra-dio y 30° de amplitud.

Piensa y practica

ANOTACIONES

205

Sugerencias

• El teorema de Pitágoras no entra en el currículo oficial de primer curso. A pesar de ello, muchos departamentos didácticos deciden incluirlo en su currículo particular. Por eso incluimos este apartado, expresamente separado, para que resulte cómodo incluirlo o excluirlo. Lo mismo se hace con los ejercicios y problemas del final de la unidad: todas las áreas que requieren el uso del teorema de Pitágoras se encuentran agrupadas en varios bloques de las páginas finales.


Se recomiendan:


Refuerzo: Ejercicios 1 y 2 de la página 37. Ejercicios 5, 6, 9 y 10 de la pá-gina 38. Ejercicio 11 de la página 39.

Ampliación: Ejercicios 3 y 4 de la página 37. Ejercicios 7 y 8 de la página 38. Ejercicios 12 a 14 de la página 39.


Refuerzo: Ejercicio 1 de la ficha B.



1 A = 1 848 cm2

2 A = 9 360 m2

3 A = 300 m2

4 A = 33,25 cm2

5 A = 97,5 cm2

6 A = 3 556,44 cm2

7 A = 1 048,05 cm2

8 A = 364,1 cm2

13UNIDAD

245244

En ocasiones, los datos que poseemos de una figura no son los que se necesitan para calcular su área. En muchos de esos casos, el teorema de Pitágoras permite obtener el dato que conviene. Veamos algunos ejemplos.


Hemos de calcular la otra diagonal.

Empezamos obteniendo el segmento x:

x = 14 10–2 2 = 96 ≈ 9,8 cm

Por tanto, d' = 2 · 9,8 = 19,6 cm.

d'

14 cm

10 cm

d = 20 cm

x

El área del rombo es A = · ,2

20 19 6 = 196 cm2.

En el triángulo rectángulo, conocemos la hipotenusa, 25 m, y un cateto, 43 – 28 = = 15 m. Hallamos el otro cateto, a:

a = 25 15–2 2 = 400 = 20 m

25 m

28 m

43 m15 m

a

El área del trapecio es A = 228 43+ · 20 = 710 m2.

37 – 23 = 14 m; 14 : 2 = 7 m

Los catetos miden 7 m y a (altura):

a = 25 7–2 2 = 576 = 24 m25 m

23 m

37 m7 m

a

El área del trapecio es A = 223 37+ · 24 = 720 m2.

3. Hallar el área de un trape-cio rectángulo cuyas bases miden 43 m y 28 m, y el lado oblicuo, 25 m.

2. El lado de un rombo mide 14 cm, y una de sus diagona-les, 20 cm. Calcular su área.

1. Hallar el área de un rectán-gulo del que conocemos un lado, 10 cm, y la diagonal, 26 cm.

Calculamos el otro lado:

b = 26 10–2 2 = 24 cm

A = a · b = 24 · 10 = 240 cm2

26 cm 10 cm

b

4. Las bases de un trapecio isós-celes miden 37 m y 23 m. Los lados oblicuos miden 25 m. Calcular su área.


En un hexágono regular, el radio es igual al lado:l = r = 8 cm

Apotema: a = 8 4–2 2 ≈ 6,9 cm

Área: A = · · ,2

6 8 6 9 ≈ 165,6 cm2

8 cm

8 cm

4 cm

a

Llamamos x a la mitad del lado:

x = 13 12–2 2 = 25 = 5 cmLado l = 10 cm, perímetro = 10 · 8 = 80 cm

Área = 280 12· = 480 cm2

13 cm12 cm

x

a) x es la mitad de la cuerda.

x = ,15 7 5–2 2 = ,168 75 ≈ 13 cmLa cuerda mide 13 · 2 = 26 cm.

Área del triángulo: A = · ,2

26 7 5 = 97,5 cm2

15 cm

7,5 cm

x

b) Calculamos el área del sector:

°°

360120

31= . El sector es 3

1 del círculo.

Asector = 31 π · 152 ≈ 235,6 cm2

15 cm

120°

El área del segmento circular es:Asegm. circ. = Asector – Atriángulo = 235,6 – 97,5 = 138,1 cm2

7. En un octógono regular, el radio mide 13 cm, y la apo-tema, 12 cm. Hallar su área.

6. Calcular el área del hexágo-no regular de 8 cm de lado.

5. Hallar el área del triángulo equilátero de lado l = 12 m.

Altura: a = 12 6–2 2 = 108 ≈ 10,4 m

Área: A = · ,2

12 10 4 = 62,4 m212 m

6 m

a

8. a) Calcular la longitud de la cuerda y el área del trián gulo .

15 cm

7,5 cm

120°

b) Hallar el área del segmento circular (azul), si el ángulo correspondiente es de 120°.

15 cm

120°

5 El teorema de Pitágoras para el cálculo de áreas

1. La diagonal de un rectángulo mide 65 cm, y uno de sus lados, 33 cm. Halla su área.

2. El lado de un rombo mide 97 m, y una de sus diago-nales, 144 m. Halla su área.

3. En un trapecio rectángulo, las bases miden 45 m y 30 m, y el lado oblicuo, 17 m. Halla su área.

4. Halla el área de un trapecio isósceles cuyas bases mi-den 8,3 m y 10,7 m, y el otro lado, 3,7 m.

Piensa y practica5. Halla el área de un triángulo equilátero de lado 15 cm.

6. Halla el área de un hexágono regular de 37 cm de lado.

37 cm

7. Halla el área de un pentágono regular de radio 21 cm, y apotema, 17 cm.

8. En una circunferencia de radio 29 cm trazamos una cuerda de 29 cm. Halla el área del triángulo con base en esta cuerda y vértice opuesto en el centro de la cir-cunferencia.

Piensa y practica

En la web Practica calculando áreas.

ANOTACIONES

206

Soluciones de “Ejercicios y problemas”

1 a) A = 25 dm2; P = 20 dm

b) A = 8 cm2; P = 17 cm

2 a) A = 78,5 dm2; P = 31,4 dm

b) A = 60 m2; P = 40 m

3 a) A = 56 dm2; P = 32,2 dm

b) A = 50 mm2; P = 30 mm

4 a) A = 54 cm2; P = 38 cm

b) A = 75,6 hm2; P = 58 hm

5 a) A = 1 560 mm2; P = 164,8 mm

b) A = 15,75 cm2; P = 15 cm

6 a) A = 36 dam2; P = 28 dam

b) A = 14,13 km2; P = 9,42 km

7 a) A = 172,8 cm2; P = 48 cm

b) A = 474 cm2; P = 114 cm

8 La altura del rectángulo mide 8 m.

9 El área del trapecio es 160 cm2.

10 A = 160 cm2; P = 60 cm

11 A = 120 dm2; ah = 7,06 dm

12 A = 93,6 mm2; P = 36 mm

13 a) A = 5,76 cm2; P = 9,6 cm

b) A = 4,52 cm2; P = 7,54 cm

14 a) A = 4,8 cm2; P = 8,8 cm

b) A = 3,5 cm2; P = 8 cm

15 a) A = 4,1 cm2; P = 8,4 cm

b) A = 3,3 cm2; P = 6,8 cm

c) A = 3,9 cm2; P = 9 cm

16 a) A = 3 437 m2; P = 314 m

b) A = 180 dam2; P = 72 dam

c) A = 51,29 cm2; P = 28,65 cm

d) A = 66,97 mm2; P = 32,75 mm

e) A = 25 m2; P = 31,4 m

17 A = 20 cm2; P = 30 cm

18 a) A = 505,54 m2; P = 144,44 m

b) A = 50,3 m2; P = 71,6 m

19 a) A = 17,43 km2; P = 22,61 km

b) A = 8,83 m2; P = 20,47 m

20 a) A = 0,98 m2; P = 4,92 m

b) A = 37,12 hm2; P = 28,45 hm

c) A = 10,53 mm2; P = 49,98 mm

d) A = 50 m2; P = 32,5 m

21 A = 6,28 cm2

22 a) A = 7,5 cm2; P = 11,1 cm

b) A = 3,13 cm2; P = 7,41 cm

c) A = 22,77 cm2; P = 22,8 cm

13UNIDAD

246 247

Ejercicios y problemas

Áreas y perímetros de figuras sencillasHalla el área y el perímetro de cada una de las figuras coloreadas en los siguientes ejercicios:

1. a) b)

5 dm5 cm4 cm

2 cm

8 cm

2. a) b)

8 m17 m

15 m

5 m

3. a) b)5 dm

11 dm

7 dm

5 m

m9,2 dm

10 mm

4. a) b)

15 hm

28 hm

6 cm

18 cm

9,5 cm

5,4 hm

5. a) b)

30 mm

57 mm

30,4 mm

47 mm 2,1 cm

3 cm

6. a) b)

4 dam

6 km

5 dam

9 dam

7. a) b)

7,2 cm 6 cm 12 cm

20 cm15 cm

36 cm

43 cm

8. Averigua cuánto mide la altura de un rectángulo de 40 m2 de superficie y 5 m de base.

9. Halla el área de un trapecio cuyas bases miden 12 cm y 20 cm, y su altura, 10 cm.

10. Las bases de un trapecio isósceles miden 26 cm y 14 cm; la altura, 8 cm, y otro de sus lados, 10 cm. Calcula el perímetro y el área de la figura.

11. Los lados de un triángulo rectángulo miden 15 dm, 8 dm y 17 dm. Calcula su área y la altura sobre la hipotenusa.

12. Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular de 6 mm de lado y 5,2 mm de apotema.

Medir y calcular áreas y perímetrosEn cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su área y su perímetro. Para ello, tendrás que medir algún elemento (lado, diagonal, radio…):

13. a) b)

14. a) b)

15.

c)

a) b)

Áreas y perímetros menos sencillosHalla el perímetro y el área de las figuras coloreadas en los siguientes ejercicios:

16. a)

54 m

40 m

49 m31 m

35 m

37 m

b) 6 dam

24 dam

6 da

m

6 da

m

c) d)

7 cm120°

8 mm

e) 5 m

2,5 m

17.

5 cm 4 cm 3 cm

13 cm

18. a) b)

15 m

8 m

10 m

7,1 m

7,9

m 3,5 m

19. a) b)

3 km

9,9 km

4 km

A

A^ = 60°—AB = 10 m—AC = 8,7 m

BC

20. a) b)

1 m

0,5 m 5 hm 7 hm

8,6 hm

c) d)

7 mm

5 m

10 m

8 m

21. Halla el área de la parte coloreada sabiendo que el diámetro de la circunferencia grande es de 6 cm.

22. Toma las medidas que necesites para calcular el área y el perímetro de cada figura:a) b)

c)

α αα αα

207

Aprendizaje cooperativo Si el profesor o la profesora considera oportuno orientar los problemas hacia el aprendizaje cooperativo, se sugiere la siguiente metodología:

Los estudiantes, formando parejas o tríos, resuelven unos cuantos proble-mas individualmente y, después, contrastan las soluciones y los procesos.

Si hay discrepancias, deben analizar el trabajo realizado y descubrir, por sí mismos, los errores. Si no saben resolver las dudas o no se ponen de acuerdo, actuará el docente.


23 a) A = 13,8 m2; P = 17 m

b) A = 84 m2; P = 56 m

24 a) A = 60 cm2; P = 34 cm

b) A = 4 900 m2; P = 280 m

25 a) A = 5 280 cm2; P = 292 cm

b) A = 2 520 m2; P = 212 m

26 a) A = 2 480 dam2; P = 206 dam

b) A = 2 262 cm2; P = 244 cm

27 a) A = 246 m2; P = 60 m

b) A = 165,6 m2; P = 48 m

c) A = 4 499,2 cm2; P = 243,2 cm

d) A = 54 m2; P = 35,3 m

28 a) A = 704,7 cm2; P = 227,3 cm b) A = 247,7 cm2; P = 107,1 cm

c) A = 13,8 cm2; P = 26,6 cm d) A = 569,3 m2; P = 89,1 m

e) A = 79,1 m2; P = 36,5 m

29 A = 57 m2; P = 36 m

30 A = 120 cm2; P = 52 cm

31 A = 96 m2

32 A = 162 m2; P = 52 m

33 A = 420 cm2; P = 90 cm

34 Son necesarias 800 losetas.

35 Serán necesarias 810 baldosas.

36 A = 164,16 cm2

37 a20 = 3,3 cm; a13 = 5,08 cm; a11 = 6 cm

P = 44 cm

38 a) El área del triángulo rojo es el triple que la del azul.

b) La altura del triángulo azul son 4 cm.

c) La distancia del centro del triángulo a cada vértice es, aproximada-mente, de 7,74 cm.

39 A = 8 100 m2

40 Pondremos C en el punto más alto de la circunferencia.

41 La superficie de cada loseta es 250 cm2.

42 La estimación más acertada es la de Jorge.

43 A = 262,5 cm2

44 La longitud del hilo enrollado en el carrete es, aproximadamente, de 285 m.

13UNIDAD

248 249


Áreas y perímetros utilizando el teorema de Pitágoras En cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su área y su perímetro. Para ello, tendrás que calcu lar el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo…). Si no es exacto, redondea a las décimas:

23. a) b)

5 m

7 m6 m 25 m

24. a) b)

5 cm 13 cm 99 m

25. a) b)

110 cm 90 m

53 m

73 cm

26. a) b)

71 dam

41 dam

41 d

am

53 dam

98 cm

89 cm

18 cm

27. a) b)

c) d)

12 m

8 m

40 cm 37 cm

12 m

10,2 m 8 m

28. a) b)

15 cm10 cm

c)

AB AC BC 8 cm= = =

BD DE BE21= =

A E

B

C

D

d) e)

24 m

18 m 10 m

10 m

29.

13 m4 m

3,5 m

5 m

30. Halla el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales menor y mayor miden, respectivamente, 10 cm y 24 cm.

31. Calcula el área de un rombo sabiendo que su pe-rímetro mide 40 m, y su diagonal mayor, 16 m.

32. Halla el área y el perímetro de un trapecio rec-tángulo de bases 16 cm y 11 cm y lado inclinado de 13 cm.

33. Halla el área y el perímetro de un trapecio isós-celes cuyas bases miden 20 cm y 36 cm, y su altura, 15 cm.

Resuelve problemas

34. Un salón cuadrado tiene una superficie de 50 m2. Hemos de embaldosarlo con losetas cuadradas de 25 cm de lado (se llaman losetas de 25 × 25). ¿Cuán-tas losetas son necesarias?

35. Para cubrir un patio rectangular, se han usado 540 baldosas de 600 cm2 cada una. ¿Cuántas baldo-sas cuadradas de 20 cm de lado serán necesarias para cubrir el patio, igual, del vecino?

36. En una circunferencia de 24 cm de radio trazamos una cuerda de 34 cm. Halla el área del segmento circular sa-biendo que el ángulo central correspondiente es de 90°.

24 cm90° O34

cm

37. El área de un triángulo es de 66 cm2; sus lados miden a = 20 cm, b = 11 cm y c = 13 cm. Calcula sus tres alturas y su perímetro.

38. Observa el triángulo equilátero rojo y el azul:

12 c

m

a) ¿Cuál es la relación entre sus áreas?b) Basándote en la respuesta anterior, y teniendo en

cuenta que tienen bases iguales, ¿cuál es la altura del triángulo azul?

c) ¿Cuál es la distancia del centro del triángulo a ca-da vértice?

39. La valla de esta parcela tiene una longitud de 450 m. ¿Cuál es el área de la parcela?

40. A y B son puntos fijos. El punto C puede estar situado en cualquier lugar de la cir-cunferencia.¿Dónde lo pondrás si quieres que el área del triángulo ABC sea la mayor posible?

C C

C

A B

Problemas “+”

41. Halla la superficie de cada loseta de este embal-dosado:

50 cm

40 c

m

42. Nuria y Jorge entrenan en bicicleta. Nuria observa el cuentakilómetros y comenta:— Vamos a dieciocho kilómetros por hora. ¿Cuántas

vueltas dará mi rueda en un minuto?Jorge responde:— No lo sé, habría que medir el radio de la rueda, pe-

ro así, a ojo, échale unas 200 vueltas por minuto.Nuria piensa que son demasiadas:— ¡Halaaaa! No creo que lleguen ni a 150.Sabiendo que el diámetro de la rueda es de 50 cm, ¿cuál de los dos ha hecho una estimación más acertada?

43. La base de este rectángulo mide 20 cm más que la altura. Su perímetro es de 100 cm. Calcula el área del cuadrilátero morado. (Los puntos rojos indican la mitad de los lados correspondientes).

44. Con los datos que te ofrece el esquema, haz una estimación de la longitud del hilo enrollado en el carrete. (Diámetro del hilo: 1/3 de mm).

35 mm

HILO 12 mm

HILO 12 mm

12 mm

208


45 a) A = 216 cm2

b) A = 144 cm2

46 A = 50,24 cm2

47

2

d’ = 8 m

d =

15 m

1

3

6 4

7

8

5

A1 = A2 ; A3 = A4 ; A5 = A6 ; A7 = A8

Afigura = Arectángulo/2 = d · d ’/2

Aazul = 250 mm2 ; Averde = 300 mm2

48 Solar el patio nos costará 744 €.

49 A = 385,33 dm2; P = 79,38 dm

50 a) 4,24 cm × 6 cm; A = 25,44 cm2

b) 6 cm × 6,71 cm; A = 40,26 cm2

51 El lado perpendicular a la base, 40 m; el otro, 40,3 m.

52 A = 1 384 cm2; P = 194,6 cm

53 Como 532 = 452 + 282, es un triángulo rectángulo.

A = 630 cm2; ah = 11,9 cm

54 No es regular. P = 9,64 cm; A = 7 cm2

55 A = 170,88 m2; P = 61,33 m

56 A = 117,14 cm2; P = 46,84 cm

57 A = 5,19 cm2

58 a) A = 8,8 m2; P = 20,5 m

b) A = 13 mm2; P = 26,2 mm

59 a) A ≈ 40,48 cm2; P = 26,15 cm

b) A = 44,11 cm2; P = 26,84 cm

13UNIDAD

250 251


Interpreta, dibuja, justifica

45. Todos los arcos con los que se han trazado estas figuras son iguales, pertenecen a circunferencias de 6 cm de radio. Halla el área de cada una.a) b)

46. Halla el área y el perímetro de toda la figura.

60°

4 cm

47. La figura roja no es un rombo, pero tiene las diagonales perpen-diculares. Justifica que también puedes calcular el área meditante la fórmula:

· 'd d2

8 m

15 m

Calcula, ahora tú, el área de estos dos cuadriláteros tomando medidas.

AB

Resuelve problemas con el teorema de Pitágoras

48. Queremos embaldosar un patio cuadrado de 48 m de perímetro. Para ello, vamos a poner baldosas con forma de rombo cuyas diagonales miden 40 cm y 30 cm. Si cada baldosa cuesta 2,20 € y el cemento cuesta 1,50 €/m2, ¿cuánto nos costará solar el patio?

49. Halla el perímetro y el área de esta figura:

26 dm

10 dm

50. Calcula las dimensiones y el área de cada una de las siguientes secciones del cubo:a) b)

6 cm3 cm

3 cm

3 cm 6 cm6 cm

6 cm6 cm

51. Una comunidad de vecinos quiere pintar una de las fachadas de su edificio. Esta tiene forma de trape-cio rectángulo cuyos lados paralelos miden 110 m y 105 m. Sabiendo que tienen que pintar 4 300 m2 de pared, ¿cuánto miden los otros dos lados de la fachada?

52. Calcula el área y el perímetro de la siguiente ce-nefa decorativa que ha puesto Susana en el jardín de su casa:

80 cm

53. Los lados de un triángulo miden 45 cm, 28 cm y 53 cm. Comprueba que es rectángulo, halla su área y calcula la altura sobre el lado más largo.

54. ¿Es regular este octógono? Calcula su área y su perímetro.

1 cm

1 cm

Problemas “+” (con Pitágoras)

55. Calcula el perímetro y el área de esta figura:

18 m

8 m

8 m12 m

56. Calcula el área y el perímetro de la siguiente fi-gura:

10 cm

57. Calcula el área del si-guiente triángulo equilátero sabiendo que está inscrito en una circunferencia de radio 2 cm.

2 cm

58. En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro:a) b)

8 mm10 m

60°

x x

x

x

59. Halla el área y el perímetro de cada una de las figuras rojas obtenidas mediante un corte plano a un cubo de 6 cm de arista.a) b)

6 cm

3 cm 3 cm

6 cm

3 cm

3 cm

Aprende a resolver problemas

¿Qué quiere hacer Esther? ¿Qué le dicen en la oficina de correos? ¿Qué forma tiene cada uno de los paquetes que puede usar Esther? ¿Qué te preguntan?

¿De qué crees que dependerá que un paquete sea más caro que otro? ¿Qué tienes que hacer entonces?

Perfecto, ponte a ello. La super-ficie del cuadrado es un poco más complicada de calcular, pero fíjate que conoces su dia-gonal...

¿Y ahora?

— Como los dos paquetes son del mismo material, la diferencia de precio solo dependerá de la cantidad de cartón usado.

— Voy a calcular la superficie de cada uno de los paquetes, y la que sea menor, será la más económica.

— Del rectángulo A conozco su largo y su ancho, así que:AA = 128,9 · 70,7 = 9 113,23 cm2

— Del cuadrado B conozco la diagonal, 128,9 cm, y puedo relacionarla con el lado, l, con el teorema de Pitágoras. Además, sé que su área es igual a l 2. Por tanto:(128,9)2 = l 2 + l 2 = 2l 2 →→ AB = l 2 = (1/2) · (128,9)2 = 8 307,605 cm2

— Ya lo tengo. Comparo las dos áreas y listo:8 307,605 < 9 113,23 → AB < AA

Solución: Esther debe utilizar el paquete B.

Esther quiere mandar a su sobrino una cometa como la de la figura. En la oficina de correos le han dicho que tiene que utilizar un paquete rectangular. Para gastar la mínima cantidad de cartón, Esther piensa en dos opciones, A y B, de envolver la cometa. ¿Cuál resulta más económica?

Comprueba que has entendido el enunciado.

Piensa en el camino que vas a seguir para resolver el problema. ¿Qué necesitas saber?

1 m

1 m

50 cm

50 cm

70,7

cm128,9 cm

A B

ANOTACIONES

209

Asocia causas y efectos

¿Por qué son esféricas las pompas de jabón?

Esta hermosa experiencia sirve para poner de manifiesto que el círculo es la figura plana con mayor superficie a igualdad de perímetro. Y que los polígonos regulares cumplen la misma propiedad en comparación con el resto de polígonos con el mismo número de lados.

El experimento es vistoso y fácil de reproducir. Se puede sugerir a los alumnos que lo realicen en casa.

Entrénate resolviendo problemas

Utiliza tu ingenio

• a)

b)1

23

• a)

b)

c)


Reflexiona antes de actuar

•A = 18 cm2

• a) b)

•

•

Soluciones de la autoevaluación

1 a) A = 50 cm2; P = 34 cm b) A = 225 cm2; P = 62 cm

c) A = 168 cm2; P = 65 cm d) A = 2 520 m2; P = 252 m

e) A = 24 cm2; P = 20 cm f ) A = 440 m2; P = 80 m

g) A ≈ 163,36 cm2; P = 66,45 cm

2 A = 32 400 m2

3 A = 116,18 cm2; P = 119,32 cm

4 a) A = 3,6 m2; P = 8,6 m b) A = 150 cm2; P = 50 cm

5 El perímetro de la figura es 34,4 cm.

13UNIDAD

252 253

Taller de matemáticas

aprenderemprender

¿Por qué son esféricas las pompas de jabón?Las láminas de agua jabonosa son elásticas y tienden a reducirse todo lo que pueden. Cuando se las llena de aire (pompas), adoptan la forma esférica porque la esfera es el cuerpo geométrico cuya su-perficie es menor para un mismo volumen (el volumen de aire que hemos insuflado es su interior).

Aquí, la lámina de jabón es plana (mínima superficie).Hemos depositado sobre ella un hilo con los extremos anudados. Si pinchamos en su interior (punto rojo) se rompe esta parte de la lámina.La parte exterior se contrae todo lo que puede. El hilo adopta la forma circular. ¿Por qué? Porque el círculo es la figura plana con mayor superficie (hueco) para el mismo perímetro (hilo). De este modo la lámina jabo-nosa exterior se contrae todo lo posible.

Explica por qué crees que, en este otro caso, el pentágono que se forma es regular:

Asocia causas y efectos

Utiliza tu ingenio•Dando dos cortes a un cuadrado se pueden obtener

con facilidad 4 cuadrados:

a) Dando dos cortes rectos a un cuadrado se pueden formar, con los trozos, dos cuadrados. Hazlo.

b) ¡Más difícil todavía! Da dos cortes rectos a un cua-drado y construye, después, con los trozos, tres cua-drados.

•Dibuja un triángulo equilátero.

a) Divídelo en dos trozos iguales (fácil, ¿verdad?).

b) Dibuja otro y divídelo en tres trozos iguales (este es menos fácil).

c) ¡Pues también puedes dividirlo en cuatro trozos iguales! Y esto último se puede hacer con un trián-gulo cualquiera.


Reflexiona antes de actuar•¿Cuál es el área de la zona comprendida entre los dos

cuadrados?(Gira el interior del circulo 45°).

6 cm

•Busca la manera de partir cada figura en cuatro trozos iguales.a) b)

•Divide esta figura en cuatro partes, todas ellas de igual forma y tamaño.

•Divide esta figura en seis partes, todas ellas de igual forma y tamaño.


1. Calcula el área y el perímetro de cada una de las si-guientes figuras:

a)

5 cm7 cm

12,5 cm

10 cm

b) 17 cm

12 c

m

20,5 cm

c)

15 cm

22 cm

28 cm

12 c

m

d)

56 m

106 m

90 m

e) 5 cm

6 cm

4 cm

f )

16 m

11 m

g)16 cm

10 cm120°

2. Calcula el área de este campo:

390 m

90 m

120 m

150 m

360 m

3. Halla el área y el perímetro de esta figura:

8 cm

10 c

m


a) b)12,5 cm

15 c

m

1,2

m

2,5 m

3,5 m

5. El área de la siguiente figura es 45 cm2. Calcula su perímetro.

Autoevaluación En la web Resoluciones de estos ejercicios.

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Áreas y perímetros...y la superaron, cultivándola de forma teórica, por el placer intelectual de investigar y saber. Para hallar áreas y volúmenes, los egipcios utilizaban fórmulas